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Engenharia de Produção ·
Matemática Financeira
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JUROS COMPOSTOS Capitalização composta Cálculo do montante e do principal a juros compostos Equivalência de capitais a juros compostos A equação de valor CAPÍTULO 2 Regime de capitalização composta ou exponencial O regime de juros compostos é o mais comum no diaadia no sistema financeiro e no cálculo econômico Nesse regime os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte Ou seja o rendimento gerado pela aplicação será incorporado a ela passando a participar da geração do rendimento no período seguinte dizemos então que os juros são capitalizados Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal No regime de juros simples não há capitalização pois apenas o capital inicial rende juros O dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples A juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente em progressão geométrica ao longo do tempo dado que os rendimentos de cada período são incorporados ao saldo anterior e passam por sua vez a render juros No regime de juros simples o montante cresce linearmente pois os juros de um determinado período não são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte não há capitalização de juros nesse regime Diferença geométrica entre os regimes de juros simples e composto Um principal de R 100000 aplicado à taxa de 20 aa por período de 4 anos a juros simples e compostos Dados P 100000 i 20 aa n 4 anos MATHIAS Washington Franco Matemática Financeira 6ª edição São Paulo Atlas 2009 p 82 MATHIAS Washington Franco Matemática Financeira 6ª edição São Paulo Atlas 2009 p 82 Capitalização e desconto a juros compostos cálculo do montante e do principal Vejamos o que acontece com o montante de um capital aplicado a juros compostos por três meses Término do mês 1 S P x 1 i Término do mês 2 S P x 1 i x 1 i Término do mês 3 S P x 1 i x 1 i x 1 i Generalizando para n períodos podemos calcular diretamente o montante S resultante da aplicação do principal P durante n períodos a uma taxa de juros composta i S P 1 in A fórmula expressa o montante ao fim de n períodos como uma função exponencial do capital inicial aplicado A taxa de juros deve ser sempre referida à mesma unidade de tempo do período financeiro O fator 1 in é chamado fator de capitalização ou fator de valor futuro para aplicação única É o número pelo qual devemos multiplicar o valor da aplicação inicial para obtermos seu valor futuro ou de resgate Esse fator pode ser encontrado nas tabelas financeiras no Apêndice deste livro ou calculado com o auxílio de máquinas calculadoras Se o capital fosse de 1000 a taxa composta de 20 am e o prazo de 3 meses o montante ao término do terceiro mês poderia ser calculado diretamente da seguinte forma S 1000 x 1 023 1728 O cálculo do valor presente de um montante ou pagamento único é simplesmente o inverso do cálculo do montante P S x 1 in O fator 1 in é conhecido como fator de valor presente fator de desconto ou fator de atualização para pagamento único Esquematicamente os fatores de valor futuro 1 in e de valor presente 1 in permitem efetuar as seguintes operações No diagrama a flecha horizontal superior representa o processo de desconto de um pagamento ou montante único e a inferior o processo de capitalização de um principal Os fatores 1 in e 1 in têm a seguinte finalidade O fator 1 in empurra grandezas para a frente permite encontrar o montante ou valor futuro de uma aplicação Ou seja capitaliza um principal levandoo a uma data posterior O fator 1 in puxa grandezas para trás permite encontrar o principal de um determinado montante Ou seja desconta um valor futuro trazendoo a uma data anterior Exemplo 21 A juros compostos de 20 am qual o montante de 3500 em 8 meses Dados n 8 meses i 20 am P 3500 S Exemplo 23 Qual o capital que em 6 anos à taxa de juros compostos de 15 aa monta 14000 Dados n 6 anos i 15 aa S 14000 P Exemplo 24 Em que prazo um empréstimo de 55000 pode ser quitado por meio de um único pagamento de 11062480 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15 am Dados P 55000 S 11062480 i 15 am n Exemplo 26 A que taxa de juros um capital de 1320000 pode transformarse em 3511226 considerando um período de aplicação de sete meses Dados P 13200 S 3511226 n 7 i Cálculo com prazos fracionários No cálculo financeiro a juros compostos muitas vezes o prazo da aplicação não corresponde a um número inteiro de períodos a que se refere a taxa de juros mas a um número fracionário Nesse caso geralmente admitemse duas alternativas de cálculo cálculo pela convenção linear e cálculo pela convenção exponencial Cálculo pela convenção linear Os juros compostos são usados para o número inteiro de períodos e os juros simples para a parte fracionária de períodos Cálculo pela convenção exponencial Os juros compostos são usados tanto para o número inteiro de períodos quanto para a parte fracionária de períodos Exemplo 224 Para um capital de 25000 aplicado durante 77 dias a juros de 5 am calcular o montante utilizando as convenções linear e exponencial Dados P 25000 i 5 am n 77 dias 2 meses e 17 dias S Exemplo 225 Um determinado capital aplicado a juros efetivos de 40 aa durante 4 anos e 11 meses resultou em um montante de 10000 Determinar o valor do capital Dados S 10000 i 40 aa n 4 anos e 11 meses 59 meses P Exemplo 226 Um capital de 27000 aplicado a juros efetivos de 6 am rendeu 565480 Determinar o prazo da aplicação em meses Dados S 3265480 P 27000 i 6 am n 1º Calcular o montante de uma aplicação de 1000000 sob as hipóteses a seguir Taxa Prazo a 20 aa 5 anos b 5 as 3 anos e meio c 25 am 1 ano 2º Qual é o juro auferido de um capital de 150000 aplicado segundo as hipóteses abaixo Taxa Prazo a 10 aa 10 anos b 8 at 18 meses c 1 à semana 2 meses 3º Qual é o juro auferido de um capital de 150000 aplicado segundo as hipóteses abaixo Taxa Prazo a 10 aa 10 anos b 8 at 18 meses c 1 à semana 2 meses 4º Qual é a taxa de juros mensal recebida por um investidor que aplica 100000 e resgata os montantes segundo as hipóteses abaixo a 107689 3 meses b 112551 4 meses c 134010 6 meses 5º Um apartamento é vendido a vista por 22000000 Caso o comprador opte por pagar em uma única parcela após certo período de tempo o vendedor exige 6161859 como juros pois quer ganhar 25 am Qual é o prazo de financiamento na hipótese acima 6º Um investidor aplicou 2500000 em uma instituição que paga 3 am Após certo período de tempo ele recebeu 3564402 estando neste valor incluídos os juros creditados e o capital investido Quanto tempo ficou o dinheiro aplicado
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JUROS COMPOSTOS Capitalização composta Cálculo do montante e do principal a juros compostos Equivalência de capitais a juros compostos A equação de valor CAPÍTULO 2 Regime de capitalização composta ou exponencial O regime de juros compostos é o mais comum no diaadia no sistema financeiro e no cálculo econômico Nesse regime os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte Ou seja o rendimento gerado pela aplicação será incorporado a ela passando a participar da geração do rendimento no período seguinte dizemos então que os juros são capitalizados Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal No regime de juros simples não há capitalização pois apenas o capital inicial rende juros O dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples A juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente em progressão geométrica ao longo do tempo dado que os rendimentos de cada período são incorporados ao saldo anterior e passam por sua vez a render juros No regime de juros simples o montante cresce linearmente pois os juros de um determinado período não são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte não há capitalização de juros nesse regime Diferença geométrica entre os regimes de juros simples e composto Um principal de R 100000 aplicado à taxa de 20 aa por período de 4 anos a juros simples e compostos Dados P 100000 i 20 aa n 4 anos MATHIAS Washington Franco Matemática Financeira 6ª edição São Paulo Atlas 2009 p 82 MATHIAS Washington Franco Matemática Financeira 6ª edição São Paulo Atlas 2009 p 82 Capitalização e desconto a juros compostos cálculo do montante e do principal Vejamos o que acontece com o montante de um capital aplicado a juros compostos por três meses Término do mês 1 S P x 1 i Término do mês 2 S P x 1 i x 1 i Término do mês 3 S P x 1 i x 1 i x 1 i Generalizando para n períodos podemos calcular diretamente o montante S resultante da aplicação do principal P durante n períodos a uma taxa de juros composta i S P 1 in A fórmula expressa o montante ao fim de n períodos como uma função exponencial do capital inicial aplicado A taxa de juros deve ser sempre referida à mesma unidade de tempo do período financeiro O fator 1 in é chamado fator de capitalização ou fator de valor futuro para aplicação única É o número pelo qual devemos multiplicar o valor da aplicação inicial para obtermos seu valor futuro ou de resgate Esse fator pode ser encontrado nas tabelas financeiras no Apêndice deste livro ou calculado com o auxílio de máquinas calculadoras Se o capital fosse de 1000 a taxa composta de 20 am e o prazo de 3 meses o montante ao término do terceiro mês poderia ser calculado diretamente da seguinte forma S 1000 x 1 023 1728 O cálculo do valor presente de um montante ou pagamento único é simplesmente o inverso do cálculo do montante P S x 1 in O fator 1 in é conhecido como fator de valor presente fator de desconto ou fator de atualização para pagamento único Esquematicamente os fatores de valor futuro 1 in e de valor presente 1 in permitem efetuar as seguintes operações No diagrama a flecha horizontal superior representa o processo de desconto de um pagamento ou montante único e a inferior o processo de capitalização de um principal Os fatores 1 in e 1 in têm a seguinte finalidade O fator 1 in empurra grandezas para a frente permite encontrar o montante ou valor futuro de uma aplicação Ou seja capitaliza um principal levandoo a uma data posterior O fator 1 in puxa grandezas para trás permite encontrar o principal de um determinado montante Ou seja desconta um valor futuro trazendoo a uma data anterior Exemplo 21 A juros compostos de 20 am qual o montante de 3500 em 8 meses Dados n 8 meses i 20 am P 3500 S Exemplo 23 Qual o capital que em 6 anos à taxa de juros compostos de 15 aa monta 14000 Dados n 6 anos i 15 aa S 14000 P Exemplo 24 Em que prazo um empréstimo de 55000 pode ser quitado por meio de um único pagamento de 11062480 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15 am Dados P 55000 S 11062480 i 15 am n Exemplo 26 A que taxa de juros um capital de 1320000 pode transformarse em 3511226 considerando um período de aplicação de sete meses Dados P 13200 S 3511226 n 7 i Cálculo com prazos fracionários No cálculo financeiro a juros compostos muitas vezes o prazo da aplicação não corresponde a um número inteiro de períodos a que se refere a taxa de juros mas a um número fracionário Nesse caso geralmente admitemse duas alternativas de cálculo cálculo pela convenção linear e cálculo pela convenção exponencial Cálculo pela convenção linear Os juros compostos são usados para o número inteiro de períodos e os juros simples para a parte fracionária de períodos Cálculo pela convenção exponencial Os juros compostos são usados tanto para o número inteiro de períodos quanto para a parte fracionária de períodos Exemplo 224 Para um capital de 25000 aplicado durante 77 dias a juros de 5 am calcular o montante utilizando as convenções linear e exponencial Dados P 25000 i 5 am n 77 dias 2 meses e 17 dias S Exemplo 225 Um determinado capital aplicado a juros efetivos de 40 aa durante 4 anos e 11 meses resultou em um montante de 10000 Determinar o valor do capital Dados S 10000 i 40 aa n 4 anos e 11 meses 59 meses P Exemplo 226 Um capital de 27000 aplicado a juros efetivos de 6 am rendeu 565480 Determinar o prazo da aplicação em meses Dados S 3265480 P 27000 i 6 am n 1º Calcular o montante de uma aplicação de 1000000 sob as hipóteses a seguir Taxa Prazo a 20 aa 5 anos b 5 as 3 anos e meio c 25 am 1 ano 2º Qual é o juro auferido de um capital de 150000 aplicado segundo as hipóteses abaixo Taxa Prazo a 10 aa 10 anos b 8 at 18 meses c 1 à semana 2 meses 3º Qual é o juro auferido de um capital de 150000 aplicado segundo as hipóteses abaixo Taxa Prazo a 10 aa 10 anos b 8 at 18 meses c 1 à semana 2 meses 4º Qual é a taxa de juros mensal recebida por um investidor que aplica 100000 e resgata os montantes segundo as hipóteses abaixo a 107689 3 meses b 112551 4 meses c 134010 6 meses 5º Um apartamento é vendido a vista por 22000000 Caso o comprador opte por pagar em uma única parcela após certo período de tempo o vendedor exige 6161859 como juros pois quer ganhar 25 am Qual é o prazo de financiamento na hipótese acima 6º Um investidor aplicou 2500000 em uma instituição que paga 3 am Após certo período de tempo ele recebeu 3564402 estando neste valor incluídos os juros creditados e o capital investido Quanto tempo ficou o dinheiro aplicado