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Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ESPACIAL (ENUNCIADOS) QUESTÃO 1 Analise as proposições seguintes: (I) Existe uma única reta paralela a duas retas reversas. (II) Seja r uma reta secante ao plano α e paralela à reta s, então a interseção da reta s e do plano α não é vazia. (III) Sempre existe um plano paralelo a duas retas reversas. (IV) Se a reta r está contida no plano α, a reta s está contida no plano β, α βsecantes, e r paralela a s, então r e s são ambas paralelas a interseção entre α e β. A quantidade de proposições verdadeiras é: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 QUESTÃO 2 (UFSCAR 2001) Considere um plano α e um ponto P qualquer do espaço. Se por P traçarmos a reta perpendicular a α, a direção dessa reta é chamada de direção ortogonal de P em relação a α, e um ponto chamado projeção ortogonal do ponto P sobre α. No caso de uma figura F do espaço, a projeção ortogonal de F sobre α é definida pelo conjunto das projeções ortogonais de seus pontos. Em relação a um plano qualquer fixado, pode-se dizer que: a) a projeção ortogonal de um segmento de reta pode resultar numa semi-reta. b) a projeção ortogonal de uma reta sempre resulta numa reta. c) a projeção ortogonal de uma parábola pode resultar num segmento de reta. d) a projeção ortogonal de um triângulo pode resultar num quadrilátero. e) a projeção ortogonal de uma circunferência pode resultar num segmento de reta. QUESTÃO 3 (AMAN) Ao estudarmos o problema das posições relativas entre planos e retas, verificamos que: a) um plano paralelo a uma reta de outro plano é paralelo a esse plano. b) um plano perpendicular a uma reta de outro plano é perpendicular a esse outro plano. c) um plano paralelo a duas retas de um plano é paralelo ao plano. d) dois planos paralelos a mesma reta são paralelos. e) um plano paralelo a três retas de um mesmo plano é paralelo às três retas e ao plano que as contém. QUESTÃO 4 (EsPCEx 2013) O sólido geométrico abaixo é formado pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto do prisma. Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as retas LB e GE; as retas AG e HI, e as retas AD e GK. As posições relativas desses pares de retas são, respectivamente, a) concorrentes; reversas; reversas. b) reversas; reversas; paralelas. c) concorrentes; reversas; paralelas. d) reversas; concorrentes; reversas. e) concorrentes; concorrentes; reversas. QUESTÃO 5 (FATEC 2007) A reta r é a interseção dos planos α e β, perpendiculares entre si. A reta s, contida em α, intercepta r no ponto P. A reta t, perpendicular a β, intercepta-o no ponto Q, não pertencente a r. Nessas condições, é verdade que a) r e s são perpendiculares entre si. b) s e t são paralelas entre si. c) r e t são concorrentes. d) s e t são reversas. e) r e t são ortogonais. QUESTÃO 6 madematica.blogspot.com Página 1 de 18 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com Duas retas no espaço perpendiculares a uma terceira: a) são paralelas. b) são ortogonais. c) podem ser perpendiculares. d) são coplanares. e) são reversas. QUESTÃO 7 (UEM 2008) O sólido S, ilustrado na figura abaixo, foi obtido seccionando-se uma pirâmide não regular, por um plano não paralelo à base da mesma, subtraindo-se a porção que não contém o vértice. Analise as afirmações seguintes e classifique-as em verdadeira (V) ou falsa (F). 1) Os planos que contêm as faces laterais do sólido S interceptam-se em um ponto. 2) Os planos que contêm as faces ABC e DEF interceptam-se em apenas um ponto. 3) A reta suporte da aresta DF não intercepta o plano que contém a face ABC. 4) Não existe um plano que contenha as retas suportes das arestas AC e DE. 5) A aresta EB é perpendicular a alguma reta do plano que contém a face ABC. A sequência obtida é: a) V – F – F – V – V b) F – F – V – F – V c) F – F – F – F – F d) F – F – F – V – V e) F – V – V – F – F QUESTÃO 8 (UEM 2009) Considere as afirmações sobre o cubo ABCDEFGH representado na figura abaixo. (I) A reta determinada pelos vértices H e F e a reta determinada pelos vértices A e B são reversas. (II) O tetraedro determinado pelos vértices A, B, D e H e o tetraedro determinado pelos vértices A, B, C e H têm o mesmo volume. (III) A reta determinada pelos vértices A e C é paralela ao plano determinado pelos vértices E, H e F. (IV) O triângulo determinado pelos vértices D, E e F é retângulo. (V) A seção determinada no cubo pelo plano que contém os pontos A, B, E e G é um quadrado. A quantidade de afirmações FALSAS é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 QUESTÃO 9 (UNIFESP 2009) Considere o sólido geométrico exibido na figura, constituído de um paralelepípedo encimado por uma pirâmide. Seja r a reta suporte de uma das arestas do sólido, conforme mostrado. Quantos pares de retas reversas é possível formar com as retas suportes das arestas do sólido, sendo r uma das retas do par? a) 12 b) 10 c) 8 d) 7 e) 6 madematica.blogspot.com Página 2 de 18 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com QUESTÃO 10 Dada uma circunferência de diâmetro AB, levanta-se por A um segmento AD perpendicular ao plano da circunferência e une-se D a um ponto C qualquer da circunferência, distinto de B. a) Prove que as retas BC e DC são perpendiculares. b) Sabendo que AB=AD=8 e que C é o ponto médio do arco AB, determine a medida do ângulo CDB. QUESTÃO 11 Seja C um cubo de aresta unitária, encontre o maior valor que pode assumir a projeção ortogonal no C desse cubo em um plano. QUESTÃO 12 (FUVEST 2010) Dois planos π1 e π2 se interceptam ao longo de uma reta r, de maneira que o ângulo entre eles mede α radianos, 0 < α < π / 2. Um triângulo equilátero ABC, de lado l, está contido em π2, de modo que AB esteja em r. Seja D a projeção ortogonal de C sobre o plano π1, e suponha que a medida θ, em radianos, do ângulo CAD satisfaça que sen θ = √6 / 4. Nessas condições, determine, em função de l, a) o valor de α. b) a área do triângulo ABD. QUESTÃO 13 Um aparelho transmissor de rádio, cujas ondas atingem no máximo uma distância r, está situado no alto de uma torre vertical de altura h. As ondas do transmissor atingem uma estrada retilínea e horizontal que está a uma distância d do pé da torre. Determine o comprimento do trecho da estrada no qual se pode captar a transmissão. a) √r²+h²+d² b) √r²−h²−d² c) 2√r²+h²+d² d) 2√r²−h²−d² e) 2(r+d+r) QUESTÃO 14 Analise as proposições a seguir atribuindo V às verdadeiras e F às falsas. (I) Se dois pontos distintos pertencem a um plano, então o segmento que os une se encontra nesse plano. (II) Se em cada face de um ângulo diedro encontra-se uma reta, de forma que elas sejam paralelas, então essas retas são paralelas à aresta do diedro. (III) Se dois planos distintos formam ângulos diedros de igual medida com um terceiro plano, então todo plano secante a esses planos formará ângulos diedros de igual medida com esses planos. (IV) Sejam três planos secantes dois a dois, tais que os diedros possuem a mesma medida, então o terceiro diedro deve ter a mesma medida dos outros dois. A sequência obtida é: a) V F V F b) V F F F c) F V F V d) F V F F e) V F F F QUESTÃO 15 (AIME 1993) Um poliedro convexo possui 32 faces, cada uma delas é um triângulo ou um pentágono. Em cada um dos seus V vértices, T faces triangulares e P faces pentagonais encontram-se. O valor de 100P+10T+V é a) 250 b) 262 c) 340 d) 352 e) 432 QUESTÃO 16 Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em quatro unidades. Sabendo que o poliedro tem 8 vértices, o produto do número de faces de cada tipo é a) 10 madematica.blogspot.com Página 3 de 18 QUESTÃO 33 (ARML 2010) Seis tetraedros regulares sólidos são dispostos em uma superfície plana de maneira que suas bases formem um hexágono regular H de lado 1, e tal que seus vértices que não estão no plano de H (os vértices “superiores”) são coplanares entre si. Uma bola esférica de raio r é colocada de forma que seu centro fica diretamente acima do centro do hexágono. A esfera apoia-se sobre os tetraedros de forma que ela é tangente a uma aresta de cada tetraedro. Se o centro da bola é coplanar aos vértices superiores dos tetraedros, calcule r. QUESTÃO 34 8 esferas sólidas de raio 1 estão localizadas no interior de um cilindro, em duas camadas, com 4 esferas em cada camada. Cada esfera está em contato com duas esferas da mesma camada, 2 esferas da outra camada, uma base e a superfície lateral do cilindro. Calcule a altura do cilindro. QUESTÃO 35 (IME CG 2013) Um cubo está inscrito em um cone reto. O raio da base do cone é igual a r e a sua área lateral é igual ao dobro de sua área da base. Determine a aresta do cubo em função de r. QUESTÃO 36 (EFOMM 2014) A área lateral de um tronco de pirâmide triangular regular cujas bases são paralelas e têm áreas 25√3 cm^2 e 4√3 cm^2 e altura 4 cm é, em cm^2, a) 19√3 b) 25/√3 c) 15√19 d) 21√19 e) 25/√15 QUESTÃO 37 (EFOMM 2013) Um cone foi formado a partir de uma chapa de aço, na forma de um setor de 12 cm de raio e ângulo central de 120°. Então, a altura do cone é: a) 2√2 b) 4√2 c) 6√2 d) 8√2 e) 12√2 QUESTÃO 38 (EFOMM 2013) Constrói-se um depósito, na forma de um sólido V, dentro de uma semiesfera de raio 4 m. O depósito é formado por uma semiesfera de raio 1 m sobreposta a um cilindro vertical de altura h. Sabendo-se que a capacidade do depósito é 40π L, determine h em metros. QUESTÃO 25 Seja um prisma reto cuja base é um hexágono regular. O raio do círculo que circunscreve a base où R. Sabendo que os números que representam a área da base, a área lateral e o volume desse prisma formam uma progressão geométrica, o número que representa a altura do prisma em função de R é a) 3R^2/16 b) 6/√3R^2 c) 3R^2/4 d) 6/√3R^2 QUESTÃO 26 (ESA 2009) A altura de um prisma hexagonal regular é 5 m. Sabe-se também que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume desse prisma, em m^3, é: a) 220√3 b) 270√3 c) 250√3 d) 200√3 e) 285√3 QUESTÃO 27 Uma pirâmide triangular regular foi seccionada por um plano que passa por um dos vértices da base e pelos pontos médios de duas de suas arestas laterais. Calcule a razão entre a área lateral da pirâmide e a área da sua base, sabendo-se que o plano secante é perpendicular à face lateral. a) 1 b) √3 c) 2 d) √6 e) 2√3 QUESTÃO 28 ABC é um triângulo equilátero. No tetraedro SABC com SA = 2√3, a projeção H de A sobre o plano SBC é o ortocentro do triângulo SBC. Se o ângulo diedro entre os planos HAB e ABC é 30°, qual é o volume de SABC? a) 2√3 b) 3√3/2 c) 3√3 2 d) 9√3/2 e) 9√3/4 QUESTÃO 29 (UFC 2009) Ao seccionarmos um cone circular reto por um plano paralelo à sua base, cuja distância ao vértice do cone é igual a um terço da sua altura, obtém dois sólidos: um cone circular reto S_1 e um tronco de cone S_2. A relação volume(S_2)/volume(S_1) é igual a: a) 33 b) 27 c) 26 d) 9 e) 3 QUESTÃO 30 (EFEI 2003) Uma lata tem a forma de um cilindro reto cuja base é um círculo de raio 3 dm. A lata contém água até um certo nível e observa-se que, ao mergulhar totalmente uma esfera de chumbo na água, o nível desta sobe 0,5 dm na lata. Então o raio da esfera, medido em decímetros, vale: a) 1 b) 3 c) 5 QUESTÃO 31 Uma esfera de raio r está sobre uma mesa. Uma fonte de luz pontual está posicionada diretamente sobre o centro da esfera a uma altura h acima da mesa. A sombra da esfera tem área igual à área da superfície da esfera. O valor de h, em função do raio r, é a) 2r b) 4/√3r c) 8r d) 3r e) 8r/√3 QUESTÃO 32 Em um octaedro regular M-ABCDE-N, são marcados os baricentros P e G das faces BMC e AMD, respectivamente. Se o volume do octaedro é 120, calcule o volume do tronco de prisma AGD-BPC. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para matematica.blogspot.com QUESTÃO 39 (EFOMM 2012) Um recipiente na forma de um cilindro circular reto contém um líquido até um certo nível. Colocando-se nesse recipiente uma esfera, o nível do líquido aumenta 2 cm . Sabendo-se que o raio do cilindro mede 3 \sqrt{2} cm , conclui-se que o raio da esfera, em cm, mede: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 QUESTÃO 40 (EFOMM 2011) Seja uma pirâmide quadrangular regular com arestas iguais a 2 cm . No centro da base da pirâmide, está centrada uma semiesfera que tangencia as arestas da pirâmide. Existe uma esfera de maior raio, que está apoiada externamente em uma face lateral da pirâmide e tangencia internamente a superfície curva da semiesfera. Essa esfera possui volume, em cm³, igual a (A) π \cdot \frac{27−11\sqrt{6}}{54} (B) π \cdot \frac{\sqrt{3}}{24} (C) π \cdot \frac{4\sqrt{3}}{24} (D) π \cdot \frac{108−44\sqrt{6}}{27} (E) π \frac{2}{3} QUESTÃO 41 (EFOMM 2011) Um hexágono regular de lado igual a 8 cm está inscrito na base de um cone de revolução de volume igual a 128π cm³ . A razão entre a área total do cone e a área total de um cilindro, com o mesmo volume e a mesma base do cone, é de (A) 0,3 (B) 0,6 (C) 0,9 (D) 0,27 (E) 0,36 QUESTÃO 42 (EFOMM 2011) Seja um container, no formato de um paralelepípedo retângulo de dimensões a , b e c , a maior distância entre dois vértices do paralelepípedo é igual a 6 \sqrt{5} m . É correto afirmar que metade de sua área total, em m², vale (dado: a+b+c = 22 m ) (A) 120 (B) 148 (C) 152 (D) 188 (E) 204 QUESTÃO 43 (EFOMM 2010) Sejam ABC e BCD dois triângulos retângulos congruentes, contidos em planos perpendiculares, com hipotenusas AC = BD = 8 m e cateto AB = 4 m . O volume, em m³ , do tetraedro ABCD definido pelos vértices desses triângulos é igual a a) 16\sqrt{3} b) 8\sqrt{3} c) \frac{16\sqrt{3}}{3} d) \frac{32}{3} e) \frac{32\sqrt{3}}{3} matematica.blogspot.com Página 7 de 18 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para matematica.blogspot.com QUESTÃO 44 (EFOMM 2010) Um recipiente tem a forma de um paralelepípedo retângulo com altura h e base quadrada. Ele está com uma certa quantidade de água até uma altura h₁ . Duas esferas, ambas com diâmetros iguais a 2 dm , foram colocadas dentro do recipiente, ficando esse recipiente com o nível de água até a borda (altura h). Considerando que o volume do paralelepípedo retângulo é de 40 litros, pode-se afirmar que a razão \frac{h₁}{h} , utilizando π = 3, vale: a) \frac{4}{5} b) \frac{1}{2} c) \frac{5}{8} d) \frac{1}{5} e) \frac{1}{8} QUESTÃO 45 (EN 2014) Num prisma hexagonal regular a área lateral é 75% da área total. A razão entre a aresta lateral e a aresta da base é a) \frac{2\sqrt{5}}{3} b) \frac{3\sqrt{3}}{2} c) \frac{5\sqrt{3}}{2} d) \frac{2\sqrt{3}}{5} e) \frac{5\sqrt{2}}{3} QUESTÃO 46 (EN 2014) A Marinha do Brasil comprou um reservatório para armazenar combustível com o formato de um tronco de cone conforme figura abaixo. Qual é a capacidade em litros desse reservatório? a) \frac{40}{3}10²π b) \frac{19}{2}10⁵π c) \frac{49}{3}10π d) \frac{49}{3}10²π e) \frac{19}{3}10³π QUESTÃO 47 (EN 2014) Um astronauta, em sua nave espacial, consegue observar, em certo momento, exatamente \frac{1}{10} da superfície da Terra. A que distância ele está do nosso planeta? Considere o raio da Terra igual a 6400 km a) 1200 km b) 1280 km c) 1600 km d) 3200 km e) 4200 km QUESTÃO 48 (EN 2014) Qual é o menor ângulo formado por duas diagonais de um cubo de aresta L ? a) arcsen \frac{1}{4} b) arccos \frac{1}{4} c) arcsen \frac{1}{3} d) arccos \frac{1}{3} e) arctg \frac{1}{4} matematica.blogspot.com Página 8 de 18 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para matematica.blogspot.com QUESTÃO 49 (EN 2014) Um quadrado ABCD, de lado 4 cm , tem os vértices num plano α . Pelos vértices A e C são traçados dois segmentos AP e CQ , perpendiculares a α , medindo respectivamente, 3 cm e 7 cm . A distância PQ tem medida, em cm, igual a a) 2\sqrt{2} b) 2\sqrt{3} c) 3\sqrt{2} d) 3\sqrt{3} e) 4\sqrt{3} QUESTÃO 50 (EN 2014) Nas proposições abaixo, coloque (V) na coluna à esquerda quando a proposição for verdadeira e (F) quando for falsa. ( ) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano. ( ) Se uma reta é perpendicular a uma reta perpendicular a um plano, então ela é paralela a uma reta do plano. ( ) Dois planos perpendiculares a um plano são paralelos. ( ) Se dois planos são perpendiculares, todo plano paralelo a um deles é perpendicular ao outro. ( ) Se três planos são dois a dois perpendiculares, eles têm um único ponto em comum. Lendo-se a coluna da esquerda, de cima para baixo, encontra-se (A) (F) (F) (V) (F) (B) (V) (F) (V) (V) (F) (C) (V) (V) (F) (F) (V) (D) (V) (V) (F) (V) (V) (E) (V) (V) (V) (V) (V) QUESTÃO 51 (EN 2013) Considere dois cones circulares retos de altura H e raio da base 1 cm , de modo que o vértice de cada um deles é o centro da base do outro. O volume comum aos dois cones coincide com o volume do sólido obtido pela rotação do setor circular, sombreado na figura abaixo, em torno do eixo l. O valor de H é, em cm, (A) (2+\sqrt{3})r³ (B) 2\sqrt{3} r³ (C) \frac{4}{3} r³ (D) 2r³ (E) 4r³ QUESTÃO 52 (EN 2013) Uma esfera confeccionada em aço é usada em um rolamento de motor de um navio da Marinha do Brasil. Se o raio da esfera mede \sqrt{3}\sqrt{5}\sqrt{3}\sqrt{5}\sqrt{3}\ldots cm, então seu volume vale (A) 45.10⁻³π dm³ (B) 0,45.10⁻³π dm³ (C) 60.10⁻³π dm³ (D) 0,15.10³π dm³ (E) 60.10³π dm³ RESPOSTA: C QUESTÃO 53 (EN 2012) As bases de um tronco de pirâmide triangular regular têm de perímetro, respectivamente, 54/\sqrt{3} m e 90/\sqrt{3} m . Se θ é o ângulo formado pela base maior com cada uma das faces laterais e a altura do tronco medindo 6\sqrt{3} m , então tg² θ vale a) \frac{1}{3} b) \sqrt{3} c) 1 d) \frac{1}{\sqrt{3}} e) 3 matematica.blogspot.com Página 9 de 18 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com c) 25√3 d) 30√3 QUESTÃO 67 (AFA 2011) Uma vinícola armazena o vinho produzido em um tanque cilíndrico (reto) com sua capacidade máxima ocupada. Esse vinho será distribuído igualmente em barris idênticos também cilíndricos (retos) e vendidos para vários mercados de uma cidade. Sabe-se que cada mercado receberá 2 barris de vinho, com altura igual a 1/5 da altura do tanque e com diâmetro da base igual a ¼ do diâmetro da base do tanque. Nessas condições, a quantidade de x de mercados que receberão os barris (com capacidade máxima ocupada) é tal que x pertence ao intervalo a) 0 < x < 20 b) 20 ≤ x < 40 c) 40 ≤ x < 60 d) 60 ≤ x < 80 QUESTÃO 68 (AFA 2010) Considere uma chapa de aço circular de espessura desprezível e raio 15 cm. Recortando-se, dessa chapa, dois setores circulares de ângulo 2π/3 rad cada, e juntando-se em cada um desses setores os lados de mesma medida, sem perda de material, obtém-se dois objetos em forma de cone. Unindo-se as bases desses cones, obtém-se um objeto A. Dentro desse objeto A foram inseridas esferas de ferro cuja área da superfície de cada uma, é 9π cm². Sabendo-se que foram inseridas a maior quantidade possível dessas esferas dentro do objeto A, o espaço vago dentro desse objeto, é tal que, seu volume é, em cm³, igual a Dado: √2 = 1,41 a) 2π b) π c) π/2 d) π/4 QUESTÃO 69 (AFA 2003) Na figura seguinte, tem-se uma esfera de maior raio contida num cone reto e tangente ao plano da base do mesmo. Sabe-se que o raio da base e a altura desse cone são, respectivamente, iguais a 6 cm e 8 cm. A metade do volume da região do cone exterior à esfera é, em cm³, igual a a) 66π b) 48π c) 30π d) 18π QUESTÃO 70 (ITA 2014) Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles ABC em torno de uma reta paralela à base BC que dista d, 0,25 cm do vértice A e 0,75 cm da base BC. Se o lado AB mede √x² + 1/2π cm, o volume desse sólido, em cm³, é igual a a) 9 b) 13 c) 96 (d) 7/24 e) 9/24 e) 11/96 QUESTÃO 71 (ITA 2014) Três circunferências C1, C2 e C3 são tangentes entre si, duas a duas, externamente. Os raios r1, r2 e r3 destas circunferências constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão 1/3. A soma dos comprimentos de C1, C2 e C3 é igual a 26π cm. Determine: a) a área do triângulo cujos vértices são os centros de C1, C2 e C3. b) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo em torno da reta que contém o maior lado. QUESTÃO 72 (ITA 2014) Uma pirâmide de altura h = 1 cm e volume V = 50 cm³ tem como base um polígono convexo de n lados. A partir de um dos vértices do polígono traçam-se (n—3) diagonais que o decompõem em (n—2) triângulos cujas áreas Si, i=1,2,...,(n—2), constituem uma progressão aritmética na qual S3 = 3 cm² e S6 = 3 cm². Então n é igual a a) 22 b) 24 c) 26 d) 28 e) 32 QUESTÃO 73 (ITA 2014) Um cilindro reto de altura h = 1 cm e em sua base no plano xy definido por x² + y² — 2x — 4y + 4 ≤ 0. Um plano, contendo a reta y — x = 0 e paralelo ao eixo do cilindro, o secciona em dois sólidos. Calcule a área total da superfície do menor sólido. QUESTÃO 74 (ITA 2014) Seis esferas de mesmo raio R são colocadas sobre uma superfície horizontal de tal forma que seus centros definam os vértices de um hexágono regular de aresta 2R. Sobre estas esferas é colocada uma sétima esfera de raio 2R que tangencia todas as demais. Determine a distância do centro da sétima esfera à superfície horizontal. QUESTÃO 75 (ITA 2013) No sistema xOy os pontos A = (2,0) e B = (2,5) e C = (0,1) são vértices de um triângulo inscrito na base de um cilindro circular reto de altura 8. Para este cilindro, a razão volume área total da superfície comprimento, é igual a a) 1 b) 100 c) 105 d) 110/11 e) 100 115 5/6 QUESTÃO 76 (ITA 2013) Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo de vértice V, determinando um triângulo ABC cujos lados medem, respectivamente, √10, √17 e 5 cm. O volume, em cm³, do sólido VABC é a) 2 b) 4 c) √17. d) 6. e) 5√10. QUESTÃO 77 (ITA 2013) Dentre das afirmações: I. Duas retas coplanares são concorrentes; II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas; III. Das duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos paralelos, cada um contendo uma dessas retas; IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso definem um paralelogramo, é (são) verdadeira(s) apenas a) III. b) I e III. c) II e III. d) III e IV. e) I e II e IV. QUESTÃO 78 (ITA 2013) Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de bases retangulares ABCD e EFGH, em que A, B , C e D são, respectivamente, as projeções ortogonais de E, F, G e H. As medidas das arestas distintas AB, AD e AE constituem uma progressão aritmética cuja soma é 12 cm. Sabe-se que o volume da pirâmide ABCF é igual a 10 cm³. Calcule: (a) As medidas das arestas do paralelepípedo. (b) O volume e a área total da superfície do paralelepípedo. c) π e 2π√2. QUESTÃO 79 (ITA 2012) As interseções das retas r : x - 3y + 3 = 0, s : x + 2y - 7 = 0 e t : x + y - 7 = 0, duas a duas, respectivamente, definem os vértices de um triângulo que é a base de um prisma reto de altura igual a 2 unidades de comprimento. Determine: a) A área total da superfície do prisma. b) O volume do prisma. QUESTÃO 80 (ITA 2012) Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz √3/3, é interceptado por um plano paralelo à sua base, sendo determinado, assim, um novo cone. Para que esse novo cone tenha o mesmo volume de um cubo de aresta (π/243)^(1/3), é necessário que a distância do plano à base do cone original seja, em cm, igual a a) 1/3 . b) 1/2 . c) 2/3 . d) 3/4 . QUESTÃO 81 (ITA 2012) A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 120° e área igual a 3π cm². A área total e o volume deste cone medem, em cm² e cm³, respectivamente a) 4π e 2π√2/3 . b) 4π e π√2/3 . c) 4π e π√2. d) 3π e 2π√2/3 . QUESTÃO 82 (ITA 2012) Em um plano estão situados uma circunferência θ de raio 2 cm e um ponto P que dista 2√2 cm do centro de θ. Considere os segmentos PA e PB tangentes a θ nos pontos A e B , respectivamente. Ao girar a região fechada delimitada pelos segmentos PA e PB e pelo arco menor AB em torno de um eixo passando pelo centro de θ e perpendicular ao segmento PA, obtém-se um sólido de revolução. Determine: a) A área total da superfície do sólido. b) O volume do sólido. QUESTÃO 83 (ITA 2011) Considere as afirmações: I. Existe um triedro cujas 3 faces têm a mesma medida e â = 120° . II. Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem, respectivamente, 30°, 45°, 50° e 170°. III. Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais tem 9 vértices. IV. O número total de vértices e arestas de um poliedro convexo com 10 vértices é 2880°. Destas, é(são) correta(s) apenas a) II. b) IV. c) II e IV. d) I, II e IV. e) II, III e IV. QUESTÃO 84 (ITA 2011) Considere uma esfera Ω com centro em C e raio r = 6 cm e um plano Σ que dista 2 cm de C. Determine a área da interseção do plano Σ com uma cunha esférica de 30° em Ω QUESTÃO 85 (ITA 2011) Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 12 cm e a aresta da base mede 10/3√3 cm. Então o raio da esfera, em cm, é igual a a) 10/3√3. QUESTÃO 101 (IME) Considere um triângulo equilátero ABC de lado 2k. O lado AB está contido na interseção dos planos \(\pi_1\) e \(\pi_2\) . H3 é a projeção ortogonal de C sobre \(\pi_1\) e H2 é a projeção ortogonal de C sobre \(\pi_2\). Calcule CH1 em função de k, supondo que o ângulo AHB = 120°. QUESTÃO 102 (IME) Um plano \(\pi\) faz um ângulo de 30° com um plano horizontal α, e a reta r é a interseção entre esses dois planos. Seja A um ponto de r e ABCD um quadrado de lado a e centro O contido em \(\pi\), cuja diagonal BD é paralela a r. (a) Indique a natureza da projeção ortogonal de ABCD sobre α, calcule o comprimento dos lados e a área dessa projeção. (b) Determine o ponto P tal que α equidistante dos vértices A, B, C, D, calculando também a distância de P ao ponto A. QUESTÃO 103 (IME) Seja um triângulo ABC, retângulo em A. Por B, traça-se uma reta perpendicular ao plano do triângulo. Sobre esta, fixa-se um ponto S. Por B, passa-se um plano que intercepta SC em C' e seja perpendicular a SC. O plano corta SA em A'. Demonstre que os cinco pontos A, B, C, A' e C' pertencem a uma mesma esfera. QUESTÃO 86 (ITA 2010) Um cilindro reto de altura \(\frac{\sqrt{6}}{3}\) cm está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem 3 cm, o volume do cilindro, em cm³, é igual a (A) \(\frac{\pi \sqrt{3}}{4}\). (B) \(\frac{\pi \sqrt{3}}{6}\). (C) \(\frac{\pi \sqrt{6}}{6}\). (D) \(\frac{\pi \sqrt{6}}{10}\). QUESTÃO 87 (ITA 2010) As superfícies de duas esferas se interceptam ortogonalmente (isto é, em cada ponto da interseção os respectivos planos tangentes são perpendiculares). Sabendo que os raios destas esferas medem 2 cm e \(\frac{3}{2}\) cm, respectivamente, calcule (a) a distância entre os centros das duas esferas. (b) a área da superfície do sólido obtido pela interseção das duas esferas. QUESTÃO 88 (ITA 1978) Quais as sentenças falsas nos itens abaixo? I) Se dois planos são secantes, todas as retas de um deles sempre interceptam o outro plano. II) Se em dois planos, num deles existem duas retas distintas paralelas ao outro plano, os planos são sempre paralelos. III) Em dois planos paralelos, todas as retas de um são paralelas ao outro plano. IV) Se uma reta é paralela a um plano, em tal plano existe uma infinidade de retas paralelas àquela. V) Se uma reta é paralela a um plano, será paralela a todas as retas do plano. a) I; III b) I; IV c) I; III; IV d) II; III; IV e) n.d.a. QUESTÃO 89 (ITA 1960) Prove que se duas alturas de um tetraedro se encontram, então as outras duas também se encontram. QUESTÃO 90 (IME 2014) Seja ABCDA'B'C'D' um prisma reto de base retangular ABCD. Projeta-se o ponto médio M da mediana da base sobre a diagonal AC, obtendo-se o ponto P. Em seguida projeta-se o ponto P na face oposta, obtendo-se o ponto N. Sabe-se que \(|\overrightarrow{NA} - \overrightarrow{NC}|=k\). Determine o comprimento da menor aresta da base. QUESTÃO 91 (IME 2014) Seja SABCD uma pirâmide, cuja base é um quadrilátero convexo ABCD. A aresta SD é a altura da pirâmide. Sabe-se que AB = BC = \(\sqrt{5}\), AD = DC = \(\sqrt{2}\), AC = 2 e SA + SB = 7. O volume da pirâmide é (A) \(\sqrt{5}\) (B) \(\sqrt{7}\) (C) \(\sqrt{11}\) (D) \(\sqrt{13}\) (E) \(\sqrt{17}\) QUESTÃO 92 (IME 2013) Considere um tetraedro regular ABCD e um plano \(\pi\), oblíquo à base ABC. As arestas DA, DB e DC, deste tetraedro são seccionadas, por este plano, nos pontos E, F e G, respectivamente. O ponto T é a interseção da altura do tetraedro, correspondente ao vértice D, com o plano \(\pi\). Determine o valor de DT sabendo que \(\frac{1}{DE} + \frac{1}{DF} + \frac{1}{DG} = \frac{1}{\sqrt{6}}\). QUESTÃO 93 (IME 2012) Uma pirâmide regular triangular apresenta em volume V. Determine o raio da circunferência circunscrita a uma das faces laterais da pirâmide em função de V, sabendo que o ângulo do vértice vale \(30^\circ\). QUESTÃO 94 (IME 2012) Uma pirâmide regular possui como base um dodecágono de aresta a. As faces laterais fazem um ângulo de \(15^\circ\) com o plano da base. Determine o volume desta pirâmide em função de a. (A) \(\frac{a^3 \cdot \sqrt{3} + 2}{2\sqrt{3}}\) (B) \(\frac{a^3 \cdot \sqrt{3} - 2}{2 + \sqrt{3}}\) (C) \(\frac{a^3 \cdot \sqrt{3} + 2}{\sqrt{3}}\) (D) \(\frac{a^3}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}\) (E) \(\frac{a^3 \cdot \sqrt{3} + 2}{\sqrt{3}}\) QUESTÃO 95 (IME 2011) A base de um prisma reto ABCAB1C1 é um triângulo com o lado AB igual ao lado AC. A medição do segmento CD é x, onde D é o ponto médio da aresta lateral A1A. Sabendo que \(\alpha\) é o ângulo ACB e \(\beta\) é o ângulo DCA, determine a área lateral do prisma em função de x, \(\alpha > \beta\). QUESTÃO 96 (IME 2008) Um plano corta um cubo com aresta de comprimento 1 passando pelo ponto médio de três arestas concorrentes no vértice A e formando uma pirâmide, conforme a figura a seguir. Este processo é repetido para todos os vértices. As pirâmides obtidas são agrupadas formando um octaedro cuja área da superfície externa é igual a: (A) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) (B) \(\sqrt{3}\) (C) 1 (D) 2 (E) \(2\sqrt{2}\) QUESTÃO 97 (IME 2002) Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base comum e o vértice do cone se encontra no centro da outra base do cilindro. Determine o ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz, sabendo-se que a razão entre a área total do cilindro e a área total do cone é \(\frac{7}{4}\). QUESTÃO 98 (IME 1997) Considere uma esfera inscrita e tangente à base de um cone de revolução. Um cilindro está circunscrito à esfera de tal forma que uma de suas bases é apoiada na base do cone. Seja \(V_1\) o volume do cone e \(V_2\) o volume do cilindro. Encontre o menor valor da constante K para o qual \(V_1 = k \cdot V_2\). Sugestão: Considere o ângulo formado pelo diâmetro da base e a geratriz do cone em uma das extremidades deste diâmetro. QUESTÃO 99 (IME 1996) Determine os números naturais n para os quais existem poliedros convexos de n arestas. QUESTÃO 100 (IME 1957) Um poliedro convexo apresenta faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o número de faces pentagonais de duas unidades. Calcule o número de faces de cada espécie, sabendo-se que o poliedro tem sete vértices. Euphoria, anxiety of influence, attention, propagation of error.
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Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ESPACIAL (ENUNCIADOS) QUESTÃO 1 Analise as proposições seguintes: (I) Existe uma única reta paralela a duas retas reversas. (II) Seja r uma reta secante ao plano α e paralela à reta s, então a interseção da reta s e do plano α não é vazia. (III) Sempre existe um plano paralelo a duas retas reversas. (IV) Se a reta r está contida no plano α, a reta s está contida no plano β, α βsecantes, e r paralela a s, então r e s são ambas paralelas a interseção entre α e β. A quantidade de proposições verdadeiras é: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 QUESTÃO 2 (UFSCAR 2001) Considere um plano α e um ponto P qualquer do espaço. Se por P traçarmos a reta perpendicular a α, a direção dessa reta é chamada de direção ortogonal de P em relação a α, e um ponto chamado projeção ortogonal do ponto P sobre α. No caso de uma figura F do espaço, a projeção ortogonal de F sobre α é definida pelo conjunto das projeções ortogonais de seus pontos. Em relação a um plano qualquer fixado, pode-se dizer que: a) a projeção ortogonal de um segmento de reta pode resultar numa semi-reta. b) a projeção ortogonal de uma reta sempre resulta numa reta. c) a projeção ortogonal de uma parábola pode resultar num segmento de reta. d) a projeção ortogonal de um triângulo pode resultar num quadrilátero. e) a projeção ortogonal de uma circunferência pode resultar num segmento de reta. QUESTÃO 3 (AMAN) Ao estudarmos o problema das posições relativas entre planos e retas, verificamos que: a) um plano paralelo a uma reta de outro plano é paralelo a esse plano. b) um plano perpendicular a uma reta de outro plano é perpendicular a esse outro plano. c) um plano paralelo a duas retas de um plano é paralelo ao plano. d) dois planos paralelos a mesma reta são paralelos. e) um plano paralelo a três retas de um mesmo plano é paralelo às três retas e ao plano que as contém. QUESTÃO 4 (EsPCEx 2013) O sólido geométrico abaixo é formado pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto do prisma. Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as retas LB e GE; as retas AG e HI, e as retas AD e GK. As posições relativas desses pares de retas são, respectivamente, a) concorrentes; reversas; reversas. b) reversas; reversas; paralelas. c) concorrentes; reversas; paralelas. d) reversas; concorrentes; reversas. e) concorrentes; concorrentes; reversas. QUESTÃO 5 (FATEC 2007) A reta r é a interseção dos planos α e β, perpendiculares entre si. A reta s, contida em α, intercepta r no ponto P. A reta t, perpendicular a β, intercepta-o no ponto Q, não pertencente a r. Nessas condições, é verdade que a) r e s são perpendiculares entre si. b) s e t são paralelas entre si. c) r e t são concorrentes. d) s e t são reversas. e) r e t são ortogonais. QUESTÃO 6 madematica.blogspot.com Página 1 de 18 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com Duas retas no espaço perpendiculares a uma terceira: a) são paralelas. b) são ortogonais. c) podem ser perpendiculares. d) são coplanares. e) são reversas. QUESTÃO 7 (UEM 2008) O sólido S, ilustrado na figura abaixo, foi obtido seccionando-se uma pirâmide não regular, por um plano não paralelo à base da mesma, subtraindo-se a porção que não contém o vértice. Analise as afirmações seguintes e classifique-as em verdadeira (V) ou falsa (F). 1) Os planos que contêm as faces laterais do sólido S interceptam-se em um ponto. 2) Os planos que contêm as faces ABC e DEF interceptam-se em apenas um ponto. 3) A reta suporte da aresta DF não intercepta o plano que contém a face ABC. 4) Não existe um plano que contenha as retas suportes das arestas AC e DE. 5) A aresta EB é perpendicular a alguma reta do plano que contém a face ABC. A sequência obtida é: a) V – F – F – V – V b) F – F – V – F – V c) F – F – F – F – F d) F – F – F – V – V e) F – V – V – F – F QUESTÃO 8 (UEM 2009) Considere as afirmações sobre o cubo ABCDEFGH representado na figura abaixo. (I) A reta determinada pelos vértices H e F e a reta determinada pelos vértices A e B são reversas. (II) O tetraedro determinado pelos vértices A, B, D e H e o tetraedro determinado pelos vértices A, B, C e H têm o mesmo volume. (III) A reta determinada pelos vértices A e C é paralela ao plano determinado pelos vértices E, H e F. (IV) O triângulo determinado pelos vértices D, E e F é retângulo. (V) A seção determinada no cubo pelo plano que contém os pontos A, B, E e G é um quadrado. A quantidade de afirmações FALSAS é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 QUESTÃO 9 (UNIFESP 2009) Considere o sólido geométrico exibido na figura, constituído de um paralelepípedo encimado por uma pirâmide. Seja r a reta suporte de uma das arestas do sólido, conforme mostrado. Quantos pares de retas reversas é possível formar com as retas suportes das arestas do sólido, sendo r uma das retas do par? a) 12 b) 10 c) 8 d) 7 e) 6 madematica.blogspot.com Página 2 de 18 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com QUESTÃO 10 Dada uma circunferência de diâmetro AB, levanta-se por A um segmento AD perpendicular ao plano da circunferência e une-se D a um ponto C qualquer da circunferência, distinto de B. a) Prove que as retas BC e DC são perpendiculares. b) Sabendo que AB=AD=8 e que C é o ponto médio do arco AB, determine a medida do ângulo CDB. QUESTÃO 11 Seja C um cubo de aresta unitária, encontre o maior valor que pode assumir a projeção ortogonal no C desse cubo em um plano. QUESTÃO 12 (FUVEST 2010) Dois planos π1 e π2 se interceptam ao longo de uma reta r, de maneira que o ângulo entre eles mede α radianos, 0 < α < π / 2. Um triângulo equilátero ABC, de lado l, está contido em π2, de modo que AB esteja em r. Seja D a projeção ortogonal de C sobre o plano π1, e suponha que a medida θ, em radianos, do ângulo CAD satisfaça que sen θ = √6 / 4. Nessas condições, determine, em função de l, a) o valor de α. b) a área do triângulo ABD. QUESTÃO 13 Um aparelho transmissor de rádio, cujas ondas atingem no máximo uma distância r, está situado no alto de uma torre vertical de altura h. As ondas do transmissor atingem uma estrada retilínea e horizontal que está a uma distância d do pé da torre. Determine o comprimento do trecho da estrada no qual se pode captar a transmissão. a) √r²+h²+d² b) √r²−h²−d² c) 2√r²+h²+d² d) 2√r²−h²−d² e) 2(r+d+r) QUESTÃO 14 Analise as proposições a seguir atribuindo V às verdadeiras e F às falsas. (I) Se dois pontos distintos pertencem a um plano, então o segmento que os une se encontra nesse plano. (II) Se em cada face de um ângulo diedro encontra-se uma reta, de forma que elas sejam paralelas, então essas retas são paralelas à aresta do diedro. (III) Se dois planos distintos formam ângulos diedros de igual medida com um terceiro plano, então todo plano secante a esses planos formará ângulos diedros de igual medida com esses planos. (IV) Sejam três planos secantes dois a dois, tais que os diedros possuem a mesma medida, então o terceiro diedro deve ter a mesma medida dos outros dois. A sequência obtida é: a) V F V F b) V F F F c) F V F V d) F V F F e) V F F F QUESTÃO 15 (AIME 1993) Um poliedro convexo possui 32 faces, cada uma delas é um triângulo ou um pentágono. Em cada um dos seus V vértices, T faces triangulares e P faces pentagonais encontram-se. O valor de 100P+10T+V é a) 250 b) 262 c) 340 d) 352 e) 432 QUESTÃO 16 Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em quatro unidades. Sabendo que o poliedro tem 8 vértices, o produto do número de faces de cada tipo é a) 10 madematica.blogspot.com Página 3 de 18 QUESTÃO 33 (ARML 2010) Seis tetraedros regulares sólidos são dispostos em uma superfície plana de maneira que suas bases formem um hexágono regular H de lado 1, e tal que seus vértices que não estão no plano de H (os vértices “superiores”) são coplanares entre si. Uma bola esférica de raio r é colocada de forma que seu centro fica diretamente acima do centro do hexágono. A esfera apoia-se sobre os tetraedros de forma que ela é tangente a uma aresta de cada tetraedro. Se o centro da bola é coplanar aos vértices superiores dos tetraedros, calcule r. QUESTÃO 34 8 esferas sólidas de raio 1 estão localizadas no interior de um cilindro, em duas camadas, com 4 esferas em cada camada. Cada esfera está em contato com duas esferas da mesma camada, 2 esferas da outra camada, uma base e a superfície lateral do cilindro. Calcule a altura do cilindro. QUESTÃO 35 (IME CG 2013) Um cubo está inscrito em um cone reto. O raio da base do cone é igual a r e a sua área lateral é igual ao dobro de sua área da base. Determine a aresta do cubo em função de r. QUESTÃO 36 (EFOMM 2014) A área lateral de um tronco de pirâmide triangular regular cujas bases são paralelas e têm áreas 25√3 cm^2 e 4√3 cm^2 e altura 4 cm é, em cm^2, a) 19√3 b) 25/√3 c) 15√19 d) 21√19 e) 25/√15 QUESTÃO 37 (EFOMM 2013) Um cone foi formado a partir de uma chapa de aço, na forma de um setor de 12 cm de raio e ângulo central de 120°. Então, a altura do cone é: a) 2√2 b) 4√2 c) 6√2 d) 8√2 e) 12√2 QUESTÃO 38 (EFOMM 2013) Constrói-se um depósito, na forma de um sólido V, dentro de uma semiesfera de raio 4 m. O depósito é formado por uma semiesfera de raio 1 m sobreposta a um cilindro vertical de altura h. Sabendo-se que a capacidade do depósito é 40π L, determine h em metros. QUESTÃO 25 Seja um prisma reto cuja base é um hexágono regular. O raio do círculo que circunscreve a base où R. Sabendo que os números que representam a área da base, a área lateral e o volume desse prisma formam uma progressão geométrica, o número que representa a altura do prisma em função de R é a) 3R^2/16 b) 6/√3R^2 c) 3R^2/4 d) 6/√3R^2 QUESTÃO 26 (ESA 2009) A altura de um prisma hexagonal regular é 5 m. Sabe-se também que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume desse prisma, em m^3, é: a) 220√3 b) 270√3 c) 250√3 d) 200√3 e) 285√3 QUESTÃO 27 Uma pirâmide triangular regular foi seccionada por um plano que passa por um dos vértices da base e pelos pontos médios de duas de suas arestas laterais. Calcule a razão entre a área lateral da pirâmide e a área da sua base, sabendo-se que o plano secante é perpendicular à face lateral. a) 1 b) √3 c) 2 d) √6 e) 2√3 QUESTÃO 28 ABC é um triângulo equilátero. No tetraedro SABC com SA = 2√3, a projeção H de A sobre o plano SBC é o ortocentro do triângulo SBC. Se o ângulo diedro entre os planos HAB e ABC é 30°, qual é o volume de SABC? a) 2√3 b) 3√3/2 c) 3√3 2 d) 9√3/2 e) 9√3/4 QUESTÃO 29 (UFC 2009) Ao seccionarmos um cone circular reto por um plano paralelo à sua base, cuja distância ao vértice do cone é igual a um terço da sua altura, obtém dois sólidos: um cone circular reto S_1 e um tronco de cone S_2. A relação volume(S_2)/volume(S_1) é igual a: a) 33 b) 27 c) 26 d) 9 e) 3 QUESTÃO 30 (EFEI 2003) Uma lata tem a forma de um cilindro reto cuja base é um círculo de raio 3 dm. A lata contém água até um certo nível e observa-se que, ao mergulhar totalmente uma esfera de chumbo na água, o nível desta sobe 0,5 dm na lata. Então o raio da esfera, medido em decímetros, vale: a) 1 b) 3 c) 5 QUESTÃO 31 Uma esfera de raio r está sobre uma mesa. Uma fonte de luz pontual está posicionada diretamente sobre o centro da esfera a uma altura h acima da mesa. A sombra da esfera tem área igual à área da superfície da esfera. O valor de h, em função do raio r, é a) 2r b) 4/√3r c) 8r d) 3r e) 8r/√3 QUESTÃO 32 Em um octaedro regular M-ABCDE-N, são marcados os baricentros P e G das faces BMC e AMD, respectivamente. Se o volume do octaedro é 120, calcule o volume do tronco de prisma AGD-BPC. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para matematica.blogspot.com QUESTÃO 39 (EFOMM 2012) Um recipiente na forma de um cilindro circular reto contém um líquido até um certo nível. Colocando-se nesse recipiente uma esfera, o nível do líquido aumenta 2 cm . Sabendo-se que o raio do cilindro mede 3 \sqrt{2} cm , conclui-se que o raio da esfera, em cm, mede: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 QUESTÃO 40 (EFOMM 2011) Seja uma pirâmide quadrangular regular com arestas iguais a 2 cm . No centro da base da pirâmide, está centrada uma semiesfera que tangencia as arestas da pirâmide. Existe uma esfera de maior raio, que está apoiada externamente em uma face lateral da pirâmide e tangencia internamente a superfície curva da semiesfera. Essa esfera possui volume, em cm³, igual a (A) π \cdot \frac{27−11\sqrt{6}}{54} (B) π \cdot \frac{\sqrt{3}}{24} (C) π \cdot \frac{4\sqrt{3}}{24} (D) π \cdot \frac{108−44\sqrt{6}}{27} (E) π \frac{2}{3} QUESTÃO 41 (EFOMM 2011) Um hexágono regular de lado igual a 8 cm está inscrito na base de um cone de revolução de volume igual a 128π cm³ . A razão entre a área total do cone e a área total de um cilindro, com o mesmo volume e a mesma base do cone, é de (A) 0,3 (B) 0,6 (C) 0,9 (D) 0,27 (E) 0,36 QUESTÃO 42 (EFOMM 2011) Seja um container, no formato de um paralelepípedo retângulo de dimensões a , b e c , a maior distância entre dois vértices do paralelepípedo é igual a 6 \sqrt{5} m . É correto afirmar que metade de sua área total, em m², vale (dado: a+b+c = 22 m ) (A) 120 (B) 148 (C) 152 (D) 188 (E) 204 QUESTÃO 43 (EFOMM 2010) Sejam ABC e BCD dois triângulos retângulos congruentes, contidos em planos perpendiculares, com hipotenusas AC = BD = 8 m e cateto AB = 4 m . O volume, em m³ , do tetraedro ABCD definido pelos vértices desses triângulos é igual a a) 16\sqrt{3} b) 8\sqrt{3} c) \frac{16\sqrt{3}}{3} d) \frac{32}{3} e) \frac{32\sqrt{3}}{3} matematica.blogspot.com Página 7 de 18 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para matematica.blogspot.com QUESTÃO 44 (EFOMM 2010) Um recipiente tem a forma de um paralelepípedo retângulo com altura h e base quadrada. Ele está com uma certa quantidade de água até uma altura h₁ . Duas esferas, ambas com diâmetros iguais a 2 dm , foram colocadas dentro do recipiente, ficando esse recipiente com o nível de água até a borda (altura h). Considerando que o volume do paralelepípedo retângulo é de 40 litros, pode-se afirmar que a razão \frac{h₁}{h} , utilizando π = 3, vale: a) \frac{4}{5} b) \frac{1}{2} c) \frac{5}{8} d) \frac{1}{5} e) \frac{1}{8} QUESTÃO 45 (EN 2014) Num prisma hexagonal regular a área lateral é 75% da área total. A razão entre a aresta lateral e a aresta da base é a) \frac{2\sqrt{5}}{3} b) \frac{3\sqrt{3}}{2} c) \frac{5\sqrt{3}}{2} d) \frac{2\sqrt{3}}{5} e) \frac{5\sqrt{2}}{3} QUESTÃO 46 (EN 2014) A Marinha do Brasil comprou um reservatório para armazenar combustível com o formato de um tronco de cone conforme figura abaixo. Qual é a capacidade em litros desse reservatório? a) \frac{40}{3}10²π b) \frac{19}{2}10⁵π c) \frac{49}{3}10π d) \frac{49}{3}10²π e) \frac{19}{3}10³π QUESTÃO 47 (EN 2014) Um astronauta, em sua nave espacial, consegue observar, em certo momento, exatamente \frac{1}{10} da superfície da Terra. A que distância ele está do nosso planeta? Considere o raio da Terra igual a 6400 km a) 1200 km b) 1280 km c) 1600 km d) 3200 km e) 4200 km QUESTÃO 48 (EN 2014) Qual é o menor ângulo formado por duas diagonais de um cubo de aresta L ? a) arcsen \frac{1}{4} b) arccos \frac{1}{4} c) arcsen \frac{1}{3} d) arccos \frac{1}{3} e) arctg \frac{1}{4} matematica.blogspot.com Página 8 de 18 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para matematica.blogspot.com QUESTÃO 49 (EN 2014) Um quadrado ABCD, de lado 4 cm , tem os vértices num plano α . Pelos vértices A e C são traçados dois segmentos AP e CQ , perpendiculares a α , medindo respectivamente, 3 cm e 7 cm . A distância PQ tem medida, em cm, igual a a) 2\sqrt{2} b) 2\sqrt{3} c) 3\sqrt{2} d) 3\sqrt{3} e) 4\sqrt{3} QUESTÃO 50 (EN 2014) Nas proposições abaixo, coloque (V) na coluna à esquerda quando a proposição for verdadeira e (F) quando for falsa. ( ) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano. ( ) Se uma reta é perpendicular a uma reta perpendicular a um plano, então ela é paralela a uma reta do plano. ( ) Dois planos perpendiculares a um plano são paralelos. ( ) Se dois planos são perpendiculares, todo plano paralelo a um deles é perpendicular ao outro. ( ) Se três planos são dois a dois perpendiculares, eles têm um único ponto em comum. Lendo-se a coluna da esquerda, de cima para baixo, encontra-se (A) (F) (F) (V) (F) (B) (V) (F) (V) (V) (F) (C) (V) (V) (F) (F) (V) (D) (V) (V) (F) (V) (V) (E) (V) (V) (V) (V) (V) QUESTÃO 51 (EN 2013) Considere dois cones circulares retos de altura H e raio da base 1 cm , de modo que o vértice de cada um deles é o centro da base do outro. O volume comum aos dois cones coincide com o volume do sólido obtido pela rotação do setor circular, sombreado na figura abaixo, em torno do eixo l. O valor de H é, em cm, (A) (2+\sqrt{3})r³ (B) 2\sqrt{3} r³ (C) \frac{4}{3} r³ (D) 2r³ (E) 4r³ QUESTÃO 52 (EN 2013) Uma esfera confeccionada em aço é usada em um rolamento de motor de um navio da Marinha do Brasil. Se o raio da esfera mede \sqrt{3}\sqrt{5}\sqrt{3}\sqrt{5}\sqrt{3}\ldots cm, então seu volume vale (A) 45.10⁻³π dm³ (B) 0,45.10⁻³π dm³ (C) 60.10⁻³π dm³ (D) 0,15.10³π dm³ (E) 60.10³π dm³ RESPOSTA: C QUESTÃO 53 (EN 2012) As bases de um tronco de pirâmide triangular regular têm de perímetro, respectivamente, 54/\sqrt{3} m e 90/\sqrt{3} m . Se θ é o ângulo formado pela base maior com cada uma das faces laterais e a altura do tronco medindo 6\sqrt{3} m , então tg² θ vale a) \frac{1}{3} b) \sqrt{3} c) 1 d) \frac{1}{\sqrt{3}} e) 3 matematica.blogspot.com Página 9 de 18 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com c) 25√3 d) 30√3 QUESTÃO 67 (AFA 2011) Uma vinícola armazena o vinho produzido em um tanque cilíndrico (reto) com sua capacidade máxima ocupada. Esse vinho será distribuído igualmente em barris idênticos também cilíndricos (retos) e vendidos para vários mercados de uma cidade. Sabe-se que cada mercado receberá 2 barris de vinho, com altura igual a 1/5 da altura do tanque e com diâmetro da base igual a ¼ do diâmetro da base do tanque. Nessas condições, a quantidade de x de mercados que receberão os barris (com capacidade máxima ocupada) é tal que x pertence ao intervalo a) 0 < x < 20 b) 20 ≤ x < 40 c) 40 ≤ x < 60 d) 60 ≤ x < 80 QUESTÃO 68 (AFA 2010) Considere uma chapa de aço circular de espessura desprezível e raio 15 cm. Recortando-se, dessa chapa, dois setores circulares de ângulo 2π/3 rad cada, e juntando-se em cada um desses setores os lados de mesma medida, sem perda de material, obtém-se dois objetos em forma de cone. Unindo-se as bases desses cones, obtém-se um objeto A. Dentro desse objeto A foram inseridas esferas de ferro cuja área da superfície de cada uma, é 9π cm². Sabendo-se que foram inseridas a maior quantidade possível dessas esferas dentro do objeto A, o espaço vago dentro desse objeto, é tal que, seu volume é, em cm³, igual a Dado: √2 = 1,41 a) 2π b) π c) π/2 d) π/4 QUESTÃO 69 (AFA 2003) Na figura seguinte, tem-se uma esfera de maior raio contida num cone reto e tangente ao plano da base do mesmo. Sabe-se que o raio da base e a altura desse cone são, respectivamente, iguais a 6 cm e 8 cm. A metade do volume da região do cone exterior à esfera é, em cm³, igual a a) 66π b) 48π c) 30π d) 18π QUESTÃO 70 (ITA 2014) Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles ABC em torno de uma reta paralela à base BC que dista d, 0,25 cm do vértice A e 0,75 cm da base BC. Se o lado AB mede √x² + 1/2π cm, o volume desse sólido, em cm³, é igual a a) 9 b) 13 c) 96 (d) 7/24 e) 9/24 e) 11/96 QUESTÃO 71 (ITA 2014) Três circunferências C1, C2 e C3 são tangentes entre si, duas a duas, externamente. Os raios r1, r2 e r3 destas circunferências constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão 1/3. A soma dos comprimentos de C1, C2 e C3 é igual a 26π cm. Determine: a) a área do triângulo cujos vértices são os centros de C1, C2 e C3. b) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo em torno da reta que contém o maior lado. QUESTÃO 72 (ITA 2014) Uma pirâmide de altura h = 1 cm e volume V = 50 cm³ tem como base um polígono convexo de n lados. A partir de um dos vértices do polígono traçam-se (n—3) diagonais que o decompõem em (n—2) triângulos cujas áreas Si, i=1,2,...,(n—2), constituem uma progressão aritmética na qual S3 = 3 cm² e S6 = 3 cm². Então n é igual a a) 22 b) 24 c) 26 d) 28 e) 32 QUESTÃO 73 (ITA 2014) Um cilindro reto de altura h = 1 cm e em sua base no plano xy definido por x² + y² — 2x — 4y + 4 ≤ 0. Um plano, contendo a reta y — x = 0 e paralelo ao eixo do cilindro, o secciona em dois sólidos. Calcule a área total da superfície do menor sólido. QUESTÃO 74 (ITA 2014) Seis esferas de mesmo raio R são colocadas sobre uma superfície horizontal de tal forma que seus centros definam os vértices de um hexágono regular de aresta 2R. Sobre estas esferas é colocada uma sétima esfera de raio 2R que tangencia todas as demais. Determine a distância do centro da sétima esfera à superfície horizontal. QUESTÃO 75 (ITA 2013) No sistema xOy os pontos A = (2,0) e B = (2,5) e C = (0,1) são vértices de um triângulo inscrito na base de um cilindro circular reto de altura 8. Para este cilindro, a razão volume área total da superfície comprimento, é igual a a) 1 b) 100 c) 105 d) 110/11 e) 100 115 5/6 QUESTÃO 76 (ITA 2013) Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo de vértice V, determinando um triângulo ABC cujos lados medem, respectivamente, √10, √17 e 5 cm. O volume, em cm³, do sólido VABC é a) 2 b) 4 c) √17. d) 6. e) 5√10. QUESTÃO 77 (ITA 2013) Dentre das afirmações: I. Duas retas coplanares são concorrentes; II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas; III. Das duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos paralelos, cada um contendo uma dessas retas; IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso definem um paralelogramo, é (são) verdadeira(s) apenas a) III. b) I e III. c) II e III. d) III e IV. e) I e II e IV. QUESTÃO 78 (ITA 2013) Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de bases retangulares ABCD e EFGH, em que A, B , C e D são, respectivamente, as projeções ortogonais de E, F, G e H. As medidas das arestas distintas AB, AD e AE constituem uma progressão aritmética cuja soma é 12 cm. Sabe-se que o volume da pirâmide ABCF é igual a 10 cm³. Calcule: (a) As medidas das arestas do paralelepípedo. (b) O volume e a área total da superfície do paralelepípedo. c) π e 2π√2. QUESTÃO 79 (ITA 2012) As interseções das retas r : x - 3y + 3 = 0, s : x + 2y - 7 = 0 e t : x + y - 7 = 0, duas a duas, respectivamente, definem os vértices de um triângulo que é a base de um prisma reto de altura igual a 2 unidades de comprimento. Determine: a) A área total da superfície do prisma. b) O volume do prisma. QUESTÃO 80 (ITA 2012) Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz √3/3, é interceptado por um plano paralelo à sua base, sendo determinado, assim, um novo cone. Para que esse novo cone tenha o mesmo volume de um cubo de aresta (π/243)^(1/3), é necessário que a distância do plano à base do cone original seja, em cm, igual a a) 1/3 . b) 1/2 . c) 2/3 . d) 3/4 . QUESTÃO 81 (ITA 2012) A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 120° e área igual a 3π cm². A área total e o volume deste cone medem, em cm² e cm³, respectivamente a) 4π e 2π√2/3 . b) 4π e π√2/3 . c) 4π e π√2. d) 3π e 2π√2/3 . QUESTÃO 82 (ITA 2012) Em um plano estão situados uma circunferência θ de raio 2 cm e um ponto P que dista 2√2 cm do centro de θ. Considere os segmentos PA e PB tangentes a θ nos pontos A e B , respectivamente. Ao girar a região fechada delimitada pelos segmentos PA e PB e pelo arco menor AB em torno de um eixo passando pelo centro de θ e perpendicular ao segmento PA, obtém-se um sólido de revolução. Determine: a) A área total da superfície do sólido. b) O volume do sólido. QUESTÃO 83 (ITA 2011) Considere as afirmações: I. Existe um triedro cujas 3 faces têm a mesma medida e â = 120° . II. Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem, respectivamente, 30°, 45°, 50° e 170°. III. Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais tem 9 vértices. IV. O número total de vértices e arestas de um poliedro convexo com 10 vértices é 2880°. Destas, é(são) correta(s) apenas a) II. b) IV. c) II e IV. d) I, II e IV. e) II, III e IV. QUESTÃO 84 (ITA 2011) Considere uma esfera Ω com centro em C e raio r = 6 cm e um plano Σ que dista 2 cm de C. Determine a área da interseção do plano Σ com uma cunha esférica de 30° em Ω QUESTÃO 85 (ITA 2011) Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 12 cm e a aresta da base mede 10/3√3 cm. Então o raio da esfera, em cm, é igual a a) 10/3√3. QUESTÃO 101 (IME) Considere um triângulo equilátero ABC de lado 2k. O lado AB está contido na interseção dos planos \(\pi_1\) e \(\pi_2\) . H3 é a projeção ortogonal de C sobre \(\pi_1\) e H2 é a projeção ortogonal de C sobre \(\pi_2\). Calcule CH1 em função de k, supondo que o ângulo AHB = 120°. QUESTÃO 102 (IME) Um plano \(\pi\) faz um ângulo de 30° com um plano horizontal α, e a reta r é a interseção entre esses dois planos. Seja A um ponto de r e ABCD um quadrado de lado a e centro O contido em \(\pi\), cuja diagonal BD é paralela a r. (a) Indique a natureza da projeção ortogonal de ABCD sobre α, calcule o comprimento dos lados e a área dessa projeção. (b) Determine o ponto P tal que α equidistante dos vértices A, B, C, D, calculando também a distância de P ao ponto A. QUESTÃO 103 (IME) Seja um triângulo ABC, retângulo em A. Por B, traça-se uma reta perpendicular ao plano do triângulo. Sobre esta, fixa-se um ponto S. Por B, passa-se um plano que intercepta SC em C' e seja perpendicular a SC. O plano corta SA em A'. Demonstre que os cinco pontos A, B, C, A' e C' pertencem a uma mesma esfera. QUESTÃO 86 (ITA 2010) Um cilindro reto de altura \(\frac{\sqrt{6}}{3}\) cm está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem 3 cm, o volume do cilindro, em cm³, é igual a (A) \(\frac{\pi \sqrt{3}}{4}\). (B) \(\frac{\pi \sqrt{3}}{6}\). (C) \(\frac{\pi \sqrt{6}}{6}\). (D) \(\frac{\pi \sqrt{6}}{10}\). QUESTÃO 87 (ITA 2010) As superfícies de duas esferas se interceptam ortogonalmente (isto é, em cada ponto da interseção os respectivos planos tangentes são perpendiculares). Sabendo que os raios destas esferas medem 2 cm e \(\frac{3}{2}\) cm, respectivamente, calcule (a) a distância entre os centros das duas esferas. (b) a área da superfície do sólido obtido pela interseção das duas esferas. QUESTÃO 88 (ITA 1978) Quais as sentenças falsas nos itens abaixo? I) Se dois planos são secantes, todas as retas de um deles sempre interceptam o outro plano. II) Se em dois planos, num deles existem duas retas distintas paralelas ao outro plano, os planos são sempre paralelos. III) Em dois planos paralelos, todas as retas de um são paralelas ao outro plano. IV) Se uma reta é paralela a um plano, em tal plano existe uma infinidade de retas paralelas àquela. V) Se uma reta é paralela a um plano, será paralela a todas as retas do plano. a) I; III b) I; IV c) I; III; IV d) II; III; IV e) n.d.a. QUESTÃO 89 (ITA 1960) Prove que se duas alturas de um tetraedro se encontram, então as outras duas também se encontram. QUESTÃO 90 (IME 2014) Seja ABCDA'B'C'D' um prisma reto de base retangular ABCD. Projeta-se o ponto médio M da mediana da base sobre a diagonal AC, obtendo-se o ponto P. Em seguida projeta-se o ponto P na face oposta, obtendo-se o ponto N. Sabe-se que \(|\overrightarrow{NA} - \overrightarrow{NC}|=k\). Determine o comprimento da menor aresta da base. QUESTÃO 91 (IME 2014) Seja SABCD uma pirâmide, cuja base é um quadrilátero convexo ABCD. A aresta SD é a altura da pirâmide. Sabe-se que AB = BC = \(\sqrt{5}\), AD = DC = \(\sqrt{2}\), AC = 2 e SA + SB = 7. O volume da pirâmide é (A) \(\sqrt{5}\) (B) \(\sqrt{7}\) (C) \(\sqrt{11}\) (D) \(\sqrt{13}\) (E) \(\sqrt{17}\) QUESTÃO 92 (IME 2013) Considere um tetraedro regular ABCD e um plano \(\pi\), oblíquo à base ABC. As arestas DA, DB e DC, deste tetraedro são seccionadas, por este plano, nos pontos E, F e G, respectivamente. O ponto T é a interseção da altura do tetraedro, correspondente ao vértice D, com o plano \(\pi\). Determine o valor de DT sabendo que \(\frac{1}{DE} + \frac{1}{DF} + \frac{1}{DG} = \frac{1}{\sqrt{6}}\). QUESTÃO 93 (IME 2012) Uma pirâmide regular triangular apresenta em volume V. Determine o raio da circunferência circunscrita a uma das faces laterais da pirâmide em função de V, sabendo que o ângulo do vértice vale \(30^\circ\). QUESTÃO 94 (IME 2012) Uma pirâmide regular possui como base um dodecágono de aresta a. As faces laterais fazem um ângulo de \(15^\circ\) com o plano da base. Determine o volume desta pirâmide em função de a. (A) \(\frac{a^3 \cdot \sqrt{3} + 2}{2\sqrt{3}}\) (B) \(\frac{a^3 \cdot \sqrt{3} - 2}{2 + \sqrt{3}}\) (C) \(\frac{a^3 \cdot \sqrt{3} + 2}{\sqrt{3}}\) (D) \(\frac{a^3}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}\) (E) \(\frac{a^3 \cdot \sqrt{3} + 2}{\sqrt{3}}\) QUESTÃO 95 (IME 2011) A base de um prisma reto ABCAB1C1 é um triângulo com o lado AB igual ao lado AC. A medição do segmento CD é x, onde D é o ponto médio da aresta lateral A1A. Sabendo que \(\alpha\) é o ângulo ACB e \(\beta\) é o ângulo DCA, determine a área lateral do prisma em função de x, \(\alpha > \beta\). QUESTÃO 96 (IME 2008) Um plano corta um cubo com aresta de comprimento 1 passando pelo ponto médio de três arestas concorrentes no vértice A e formando uma pirâmide, conforme a figura a seguir. Este processo é repetido para todos os vértices. As pirâmides obtidas são agrupadas formando um octaedro cuja área da superfície externa é igual a: (A) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) (B) \(\sqrt{3}\) (C) 1 (D) 2 (E) \(2\sqrt{2}\) QUESTÃO 97 (IME 2002) Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base comum e o vértice do cone se encontra no centro da outra base do cilindro. Determine o ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz, sabendo-se que a razão entre a área total do cilindro e a área total do cone é \(\frac{7}{4}\). QUESTÃO 98 (IME 1997) Considere uma esfera inscrita e tangente à base de um cone de revolução. Um cilindro está circunscrito à esfera de tal forma que uma de suas bases é apoiada na base do cone. Seja \(V_1\) o volume do cone e \(V_2\) o volume do cilindro. Encontre o menor valor da constante K para o qual \(V_1 = k \cdot V_2\). Sugestão: Considere o ângulo formado pelo diâmetro da base e a geratriz do cone em uma das extremidades deste diâmetro. QUESTÃO 99 (IME 1996) Determine os números naturais n para os quais existem poliedros convexos de n arestas. QUESTÃO 100 (IME 1957) Um poliedro convexo apresenta faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o número de faces pentagonais de duas unidades. Calcule o número de faces de cada espécie, sabendo-se que o poliedro tem sete vértices. Euphoria, anxiety of influence, attention, propagation of error.