·
Engenharia Civil ·
Concursos
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com. 38) (ITA 2002) Sabendo que a equação x³ - px² = qⁿ, p,q > 0, q ≠1, m ∈ N, possui três raízes reais positivas a, b, c, então logq (a²+b²+c²) ³ + b+c² é igual a a) 2m + plogq p b) m + 2plogq p c) m + plogq b d) m + plogq p a) b) d) c) 39) (ITA 2002) Com base no gráfico da função polinomial y= f (x) esboçado abaixo, calcule o resto da divisão de f(x) por (x - 1/2)(x -1). f(x) 2 a) x + 1 b) x² - 1/2 x + 1 = c) d) x² + 1/4 40) (ITA 2001) O valor da soma a + b para que as raízes do polinômio 4x⁴ - 20x³ + x² - 25x + b estejam em progressão aritmética de razão 1/2 é: a) 36 b) 41 c) 26 d) -27 e) -20 41) (ITA 2001) O polinômio com coeficientes reais P(x) = x⁵ + a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ tem duas raízes distintas, cada uma delas com multiplicidade 2, e duas de suas raízes são 2 c i. Então, a soma dos coeficientes é igual a: a) -4 b) -6 c) -1 d) 1 e) 4 madematica.blogspot.com Página 4 de 33 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com. QUESTÕES DE POLINÔMIOS DO ITA DE 2001 A 2013 (ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES) QUESTÃO 1 (ITA 2013) Considere a equação ∑⁵a₀xⁿ = 0 em que a soma das raízes é igual a −2 e os coeficientes a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ e a₅ formam, nesta ordem, uma progressão geométrica com a₀ = 1. Então, ∑⁵aₙ é igual a a) −21 b) −2/3 c) 21/32 d) 63 RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: O somatório ∑⁵aₙxⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + a₅x⁵ = 0 representa um polinômio de 5° grau e, pelas relações de Girard, a soma de suas raízes é igual a -a₄/a₅ = -2. Seja a PG: a₀, a₁, a₂, a₃, a₄,a₅ de razão q, então a₄ = a₀ ⋅ q⁴ e a₅ = a₀ ⋅ q⁵ = q⁵. Assim, temos −a₄/a₅ = −2 ⇒ q⁴/q⁵ = q ⇒ q = 1/2. Portanto, ∑⁵aₙ = a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = a₀(q⁶−1) 1. ( (1/2)⁶ − 1 ) q−1 2 (1/2) − 1(63/32). QUESTÃO 2 (ITA 2013) Considere o polinômio P(m) = am²−3m−18, com a ∈ R tal que a soma das raízes de P é igual a 3. Determine a raiz m de P tal que duas, e apenas duas, soluções da equação em x, x³ + mx² + (m+4)x +5 = 0, estejam no intervalo ]−2,2]. RESPOSTA: m = 6 RESOLUÇÃO: madematica.blogspot.com Página 5 de 33 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com. Como a soma das raízes de P(m) = am² − 3m − 18 é igual a 3, então P(m) = m² − 3m −18 ⇔ m = −3 ⇔ m = 6. Por inspeção, notamos que x = −1 é raiz da equação x³ + mx² + (m+4)x +5 = 0. Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini, temos: −1| 1 m m+4 5 1 m+1 m m(m+1) 0 Portanto, x³ + mx² + (m+4)x +5 = 0 ⇔ (x +1)(x² +(m−1)x +5) = 0. Como x = −1 ∈] −2,2[, então exatamente uma das duas raízes da equação x² + (m−1)x +5 = 0 deve estar no intervalo ]−2,2[. Se m = −3, a equação torna-se x² − 4x + 5 = 0, cujo discriminante Δ = (−4)² − 4⋅1⋅5 = −4 < 0, o que implica que a equação não possui reais raízes reais. Se m = 6, a equação torna-se x² + 5x + 5 = 0, cujas raízes são x = −5±√5 . A menor raiz 2 2 x = −5−√5 < −2 e a maior raiz x = −5+√5 é tal que −5+√5 está no ]−5+√5< −2 > −2 > −2 =1.5.] −5+√5−2 =1.5. Portanto, se m = 6, a equação x³ + mx² + (m+4)x +5 = 0 possui exatamente duas raízes no intervalo ]−2,2[. QUESTÃO 3 (ITA 2012) Considere um polinômio p(x), de grau 5, com coeficientes reais. Sabe-se que −2i e i−√3 são duas de suas raízes. Sabe-se, ainda, que dividindo-se p(x) pelo polinômio q(x) = x−5 obtém-se resto zero e que p(1) = 20(5+2√3). Então, p(−1) é igual a a) 5(5−2√3) b) 15(5−2√3) c) 30(5−2√3) d) 45(5−2√3) e) 50(5−2√3) RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: O polinômio p(x) de coeficientes reais possui raízes −2i e i−√3, então seus conjugados 2i e −i−√3 também são raízes de p(x). O polinômio p(x) é divisível por q(x) = x−5, então 5 é raiz de p(x). Como p(x) é de grau 5, então sua forma fatorada é dada por: p(x) = a(x −(−2i))(x−2i)(x−(i−√3))(x−(−i−√3))(x−5) = a(x²+4)(x²+2√3x+4)(x−5). madematica.blogspot.com Página 6 de 33 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para matematica.blogspot.com. Essa questão poderia ser feita observando que 1 deve ser raiz do polinômio P(x)=x⁴+x²+ax+b e da sua primeira derivada P'(x)=4x³+2x+a . Logo, P'(1)=4.1³+2.1+a=0 ⇔ a=-6 e P(1)=1⁴+1²-6.1+b=0 ⇔ b=4 , o que implica a²-b³=(-6)²-4³=36-64=-28 . QUESTÃO 8 (ITA 2010) Considere o polinômio p(x)= ∑ (de n=0 a 15) aᵢ xⁿ com coeficientes a₀ = -1 e aₙ =1+i.aₙ₋₁ , n = 1,2,…,15 . Das afirmações: I. p(-1) ∉ ℝ, II. |p(x)| ≤ 4 (3 + √2 + √5) , ∀ x ∈ [-1, 1], III. a₈ = a₄ , é (são) verdadeira(s) apenas a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III. RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: a₀ = -1 a₁ = 1+i.a₀ =1-i a₂ = 1+i.a₁ =1+i(1-i) = 2+i a₃ = 1+i.a₂ = 1+i(2+i) =2i O₁O₂ ² = O₁C²+ CO₂ ² ⇔ 10²= AB ² +5² ⇔ AB ² = 75 ⇔ AB = 5√3 a₄ = a₀ ⇒ a₅ = a₁ = a₆= a₂ ⇒ a₈ = a₄ a₁₂ = a₆ = a₁₄ = 2+i a₃ = a₇ = a₁₁ = a₁₅ = 2i ⇒ p(x) = (-1)(1+x⁴+x⁸+x¹² )(1+i)(x+x⁵+x⁹+x¹³ ) +(2+i)(x²+x⁶+x¹⁰+x¹⁴)+(2i)(x³+x⁷+x¹¹+x¹⁵ ) I. FALSA p(-1) = -1+4(1-i)(-4)+(2+i).4+(2i)(-4)=0 ∈ ℝ II. VERDADEIRA x ∈ [-1,1] ⇒ |x| ≤ 1, n ∈ ℕ |p(x)|= | ∑ (de n=0 a 15) aᵢ xⁿ|≤ ∑ (de n=0 a 15) |aᵢ xⁿ|≤ ∑ (de n=0 a 15) |aᵢ| |xⁿ|≤ ∑ (de n=0 a 15) |aᵢ| = 4(1-i -1+i|+2+i+2i)=4(3+√2+√5) III. VERDADEIRA matematica.blogspot.com Página 10 de 33
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com. 38) (ITA 2002) Sabendo que a equação x³ - px² = qⁿ, p,q > 0, q ≠1, m ∈ N, possui três raízes reais positivas a, b, c, então logq (a²+b²+c²) ³ + b+c² é igual a a) 2m + plogq p b) m + 2plogq p c) m + plogq b d) m + plogq p a) b) d) c) 39) (ITA 2002) Com base no gráfico da função polinomial y= f (x) esboçado abaixo, calcule o resto da divisão de f(x) por (x - 1/2)(x -1). f(x) 2 a) x + 1 b) x² - 1/2 x + 1 = c) d) x² + 1/4 40) (ITA 2001) O valor da soma a + b para que as raízes do polinômio 4x⁴ - 20x³ + x² - 25x + b estejam em progressão aritmética de razão 1/2 é: a) 36 b) 41 c) 26 d) -27 e) -20 41) (ITA 2001) O polinômio com coeficientes reais P(x) = x⁵ + a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ tem duas raízes distintas, cada uma delas com multiplicidade 2, e duas de suas raízes são 2 c i. Então, a soma dos coeficientes é igual a: a) -4 b) -6 c) -1 d) 1 e) 4 madematica.blogspot.com Página 4 de 33 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com. QUESTÕES DE POLINÔMIOS DO ITA DE 2001 A 2013 (ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES) QUESTÃO 1 (ITA 2013) Considere a equação ∑⁵a₀xⁿ = 0 em que a soma das raízes é igual a −2 e os coeficientes a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ e a₅ formam, nesta ordem, uma progressão geométrica com a₀ = 1. Então, ∑⁵aₙ é igual a a) −21 b) −2/3 c) 21/32 d) 63 RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: O somatório ∑⁵aₙxⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + a₅x⁵ = 0 representa um polinômio de 5° grau e, pelas relações de Girard, a soma de suas raízes é igual a -a₄/a₅ = -2. Seja a PG: a₀, a₁, a₂, a₃, a₄,a₅ de razão q, então a₄ = a₀ ⋅ q⁴ e a₅ = a₀ ⋅ q⁵ = q⁵. Assim, temos −a₄/a₅ = −2 ⇒ q⁴/q⁵ = q ⇒ q = 1/2. Portanto, ∑⁵aₙ = a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = a₀(q⁶−1) 1. ( (1/2)⁶ − 1 ) q−1 2 (1/2) − 1(63/32). QUESTÃO 2 (ITA 2013) Considere o polinômio P(m) = am²−3m−18, com a ∈ R tal que a soma das raízes de P é igual a 3. Determine a raiz m de P tal que duas, e apenas duas, soluções da equação em x, x³ + mx² + (m+4)x +5 = 0, estejam no intervalo ]−2,2]. RESPOSTA: m = 6 RESOLUÇÃO: madematica.blogspot.com Página 5 de 33 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com. Como a soma das raízes de P(m) = am² − 3m − 18 é igual a 3, então P(m) = m² − 3m −18 ⇔ m = −3 ⇔ m = 6. Por inspeção, notamos que x = −1 é raiz da equação x³ + mx² + (m+4)x +5 = 0. Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini, temos: −1| 1 m m+4 5 1 m+1 m m(m+1) 0 Portanto, x³ + mx² + (m+4)x +5 = 0 ⇔ (x +1)(x² +(m−1)x +5) = 0. Como x = −1 ∈] −2,2[, então exatamente uma das duas raízes da equação x² + (m−1)x +5 = 0 deve estar no intervalo ]−2,2[. Se m = −3, a equação torna-se x² − 4x + 5 = 0, cujo discriminante Δ = (−4)² − 4⋅1⋅5 = −4 < 0, o que implica que a equação não possui reais raízes reais. Se m = 6, a equação torna-se x² + 5x + 5 = 0, cujas raízes são x = −5±√5 . A menor raiz 2 2 x = −5−√5 < −2 e a maior raiz x = −5+√5 é tal que −5+√5 está no ]−5+√5< −2 > −2 > −2 =1.5.] −5+√5−2 =1.5. Portanto, se m = 6, a equação x³ + mx² + (m+4)x +5 = 0 possui exatamente duas raízes no intervalo ]−2,2[. QUESTÃO 3 (ITA 2012) Considere um polinômio p(x), de grau 5, com coeficientes reais. Sabe-se que −2i e i−√3 são duas de suas raízes. Sabe-se, ainda, que dividindo-se p(x) pelo polinômio q(x) = x−5 obtém-se resto zero e que p(1) = 20(5+2√3). Então, p(−1) é igual a a) 5(5−2√3) b) 15(5−2√3) c) 30(5−2√3) d) 45(5−2√3) e) 50(5−2√3) RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: O polinômio p(x) de coeficientes reais possui raízes −2i e i−√3, então seus conjugados 2i e −i−√3 também são raízes de p(x). O polinômio p(x) é divisível por q(x) = x−5, então 5 é raiz de p(x). Como p(x) é de grau 5, então sua forma fatorada é dada por: p(x) = a(x −(−2i))(x−2i)(x−(i−√3))(x−(−i−√3))(x−5) = a(x²+4)(x²+2√3x+4)(x−5). madematica.blogspot.com Página 6 de 33 Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para matematica.blogspot.com. Essa questão poderia ser feita observando que 1 deve ser raiz do polinômio P(x)=x⁴+x²+ax+b e da sua primeira derivada P'(x)=4x³+2x+a . Logo, P'(1)=4.1³+2.1+a=0 ⇔ a=-6 e P(1)=1⁴+1²-6.1+b=0 ⇔ b=4 , o que implica a²-b³=(-6)²-4³=36-64=-28 . QUESTÃO 8 (ITA 2010) Considere o polinômio p(x)= ∑ (de n=0 a 15) aᵢ xⁿ com coeficientes a₀ = -1 e aₙ =1+i.aₙ₋₁ , n = 1,2,…,15 . Das afirmações: I. p(-1) ∉ ℝ, II. |p(x)| ≤ 4 (3 + √2 + √5) , ∀ x ∈ [-1, 1], III. a₈ = a₄ , é (são) verdadeira(s) apenas a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III. RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: a₀ = -1 a₁ = 1+i.a₀ =1-i a₂ = 1+i.a₁ =1+i(1-i) = 2+i a₃ = 1+i.a₂ = 1+i(2+i) =2i O₁O₂ ² = O₁C²+ CO₂ ² ⇔ 10²= AB ² +5² ⇔ AB ² = 75 ⇔ AB = 5√3 a₄ = a₀ ⇒ a₅ = a₁ = a₆= a₂ ⇒ a₈ = a₄ a₁₂ = a₆ = a₁₄ = 2+i a₃ = a₇ = a₁₁ = a₁₅ = 2i ⇒ p(x) = (-1)(1+x⁴+x⁸+x¹² )(1+i)(x+x⁵+x⁹+x¹³ ) +(2+i)(x²+x⁶+x¹⁰+x¹⁴)+(2i)(x³+x⁷+x¹¹+x¹⁵ ) I. FALSA p(-1) = -1+4(1-i)(-4)+(2+i).4+(2i)(-4)=0 ∈ ℝ II. VERDADEIRA x ∈ [-1,1] ⇒ |x| ≤ 1, n ∈ ℕ |p(x)|= | ∑ (de n=0 a 15) aᵢ xⁿ|≤ ∑ (de n=0 a 15) |aᵢ xⁿ|≤ ∑ (de n=0 a 15) |aᵢ| |xⁿ|≤ ∑ (de n=0 a 15) |aᵢ| = 4(1-i -1+i|+2+i+2i)=4(3+√2+√5) III. VERDADEIRA matematica.blogspot.com Página 10 de 33