Lista de Exercicios Logica Matematica UFSS - Resolucao de Proposicoes e Argumentos

UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PAR A INSTITUTO DE ENGENHARIA DO ARAGUAIA MASMB02112 L OGICA MATEM ATICA Lista Extra 1 Justifique cuidadosamente todas as suas respostas 1 Verifique que as seguintes proposicoes sao equivalentes a Vocˆe chega no trabalho no horario ou vocˆe e demitido e Se vocˆe nao chegar no trabalho no horario entao vocˆe e demitido b 1 5 2 ou nao e o caso que 1 1 5 3 e 1 5 1 ou 1 5 2 ou x 3 Lista Extra 1 Pagina 2 de 6 Perıodo 4 2022 2 Completar cada um dos seguintes argumentos validos a 1 n q Premissa 2 n q p Premissa 3 n p Premissa 4 n n q 5 n p 6 n n p 7 n b 1 n q Premissa 2 n q p Premissa 3 n p Premissa 4 n n q 5 n p 6 n p 7 n p 8 p n 9 p n 10 n n 11 n n 12 n Lista Extra 1 Pagina 3 de 6 Perıodo 4 2022 c 1 n q Premissa 2 n q p Premissa 3 n p Premissa 4 n n q 5 n p 6 n p 7 p n 8 p n 9 n q n 10 n q n 11 n q n 12 n n q 13 n q 14 n q 15 n Lista Extra 1 Pagina 4 de 6 Perıodo 4 2022 3 Construa uma prova direta de validade para o seguinte argumento a Se Luıs comprar um carro entao Carlos tambem comprara Se Carlos comprar um carro entao ou Maria ou Gloria tirarao a Carteira de Habilitacao Se ou Maria ou Gloria tirarem a Carteira de Habilitacao entao Joao sofrera um acidente automobilıstico Se a compra de um carro por Luıs implicar um acidente com Joao b Se estudo sou aprovado em Logica Matematica Se nao jogo vˆolei entao estudo Nao fui aprovado em Logica Matematica Portanto joguei vˆolei c O oxigˆenio do tubo ou combinouse com o filamento formando um acido ou evaporou completamente O oxigˆenio do tubo nao pode ter evaporado totalmente Portanto o oxigˆenio do tubo combinouse com o filamento formando um acido Lista Extra 1 Pagina 5 de 6 Perıodo 4 2022 4 Usando Demonstracao Indireta valide o seguinte argumento p q r s p q r r p p t s q r r t q 5 Considere px y a sentença aberta x y é múltiplo de 2 em que o domínio para as variáveis consiste em todos os inteiros e q é a proposição 8 1 é múltiplo de 2 Determine o valorverdade de cada uma destas proposições a y p1 y c x y px y q b x y px y q d y x px y Para entregar dia 09 abril Questão 1 Para mostrar que duas proposições são equivalen tes precisamos verificar se elas se implicam mu tuamente ou seja se a primeira implica na se gunda e viceversa a 1 Proposição 1 implica na Proposição 2 Considere o seguinte caso Se você chegar no trabalho no horário Proposição 1 verdadeira então a disjunção é verdadeira e a Proposição 2 também é verdadeira pois se não chegar no trabalho no horário não se aplica Se você não chegar no trabalho no horário Propo sição 1 falsa a disjunção será falsa mas a Proposição 2 será verdadeira pois em caso de atraso você será demitido segundo a hipótese da Proposi ção 1 Portanto a Proposição 2 é verdadeira Dessa forma podemos concluir que a Proposi ção 1 implica na Proposição 2 2 Proposição 2 implica na Proposição 1 Considere o seguinte caso Se você não chegar no trabalho no horário parte antecedente da Proposição 2 é verda deira a consequente da Proposição 2 sera ver dadeira isto é você será demitido Portanto a Proposição 1 é verdadeira já que você será demi tido se não chegar no horário Se você chegar no trabalho no horário parte antecedente da Proposição 2 é falsa a Proposi ção 2 é irrelevante para a veracidade da propo sição 1 pois a primeira parte você chega no tra balho no horário é verdadeira Portanto a Propo sição 1 é verdadeira Dessa forma podemos concluir que a Proposição 2 implica na Proposição 1 Assim podemos concluir que as duas proposições a são equivalentes b Proposição 1 15 2 ou não é o caso que 1 15 3 Proposição 2 15 1 ou 15 2 ou x 3 Para mostrar que essas proposições não são equi valentes basta encontrar um caso em que uma de las é verdadeira e a outra é falsa Proposição 1 é verdadeira se 15 2 Já a Proposição 2 é verdadeira se apenas uma das opções dentro da disjunção for verdadeira Nesse caso a única opção verdadeira é 15 2 mas essa opção também é verdadeira na Proposi ção 1 Portanto a Proposição 1 é verdadeira enquanto a Proposição 2 é falsa o que indica que essas Proposições b não são equivalentes 2 a 1 n q premissa 2 n q p premissa 3 n p premissa 4 n n q Consequentia mirabilis em 1 5 n p Silogismo hipotético em 2 e 4 6 n n p Simplificação em 5 7 n Redução ao absurdo em 3 e 6 Dessa forma a última etapa do argumento 7 nos permite concluir que n não é verdadeira Como o argumento é válido ou seja as premissas implicam necessariamente na conclusão podemos afirmar que a conclusão também é verdadeira n b 1 n q premissa 2 n q premissa 3 n p premissa 4 n n q Consequentia mirabilis em 1 5 n p Silogismo hipotético em 2 e 4 6 n p premissa 7 n p resolução em 6 8 p n contrapositiva em 7 9 p n contrapositiva em 8 10 n n redução ao absurdo 11 n n Tautologia 12 n Simplificação em 11 c 1 n q Premissa 2 n q p Premissa 3 n p Premissa 4 n n q Consequentia mirabilis em 1 5 n p Premissa 6 n p Resolução em 5 7 p n Contrapositiva em 6 8 p n Contrapositiva em 7 9 n q n Redução ao absurdo 10 n q n Resolução de negação em 9 11 n q n Associatividade em 10 12 n n q Resolução em 11 13 n q Simplificação em 12 14 n q Premissa 15 n Silogismo hipotético em 1 e 13 3 a Para construir uma prova direta de validade para este argumento podemos utilizar os seguintes passos 1 L C Premissa Se Luís comprar um carro então Carlos também comprará 2 C M G Premissa Se Carlos comprar um carro então Maria ou Glória tirarão a carteira de habilitação 3 M G S Premissa Se Maria ou Glória tirarem a carteira de habilitação então João sofrerá um acidente automobilístico 4 L S Premissa Se a compra de um carro por Luís implicar um acidente com João 5 L C M G dedução da conclusão a Suponha que L é verdadeira b Pela premissa 1 C também é verdadeira c Por 2 ou M ou G são verdadeiras d Por 3 S é verdadeira e Concluímos que a compra de um carro por Luís implica necessariamente em C M ou G e S f A conclusão é a validade do argumento já que as premissas implicam na conclusão b 1 S A Premissa Se estudo então sou aprovado em lógica matemática 2 V S Premissa Se não jogo vôlei então estudo 3 A Premissa Não fui aprovado em lógica matemática 4 V Dedução da conclusão a Suponha que V é verdadeiro b Pela premissa 2 S também é c Pela premissa 1 A é verdadeiro d Contudo 3 estabelece que A uma contradição e Concluímos que V é falso e portanto V é verdadeiro 5 A conclusão é que joguei vôlei v c 1 A v B Premissa O oxigênio do tubo ou combinouse com o filamento formando um ácido ou evaporou completamente 2 B Premissa O oxigênio do tubo não pode ser evaporado completamente 3 A dedução da conclusão a Suponha que A é verdadeiro b Isso implica que B é verdadeiro c Contudo 2 estabelece que B uma contradição d Concluímos que B implica em A 4 A conclusão é que o oxigênio do tubo combinouse com o filamento formando um ácido 4 Para validar esse argumento usando demonstração indireta vamos supor que a conclusão seja falsa e ver se isso leva a uma contradição com as premissas Suponha que q seja verdadeiro 1 p q r s Premissa 2 p q r Premissa 3 r p Premissa 4 p t v s Premissa 5 q r Premissa 6 r t Premissa 7 q suposição 8 p q r Queda da Bicondicionalidade em 2 9 p Modus tollens em 8 e 5 10 q 11 t 12 p t v s Queda da Bicondicionalidade em 4 13 t v s Modus Ponens em 12 e 10 14 contradição em 6 e 11 r e t não pode ter 15 q redução ao absurdo q leva a contradição 5 a Para avaliar a proposição y py precisamos verificar se py é verdadeiro para todo y no domínio que consiste em todos os inteiros Se x y e y é um número ímpar então xy é ímpar e portanto não é múltiplo de dois Logo a proposição é falsa b Sabemos que q é verdadeiro e pxy é verdadeiro para todo x e y quando xy é múltiplo de 2 Portanto a proposição é verdadeira c Sabemos que q é verdadeiro para x8 e pxy é verdadeiro para todo x e y quando xy é múltiplo de 2 Portanto podemos escolher x8 e a proposição é verdadeira d Sabemos que px é verdadeiro quando x e y têm mesma paridade ou seja ambas são pares ou ambas são impares Podemos escolher y 0 pois para qualquer valor de x x 0 é múltiplo de 2 se e só se x é par Portanto a proposição é verdadeira