Exponencial e Logaritmo

1 Exponencial e Logaritimo 1 Resolva a25𝑥 125 b 9𝑥 243 c 3𝑥 71 2 Esboce o gráfico das seguintes funções 𝑥 a 𝑓𝑥 3 b 𝑦 2𝑥 1 c 𝑓𝑥 𝑒𝑥 3 d 𝑓𝑥 log 𝑥 3 A fórmula da magnitude na escala Richter é de 𝑀 2 𝑙𝑜𝑔 𝐸 onde E é a energia liberada pelo 3 𝐸0 terremoto em joules e 𝐸0 1044 joules é a energia liberada por um pequeno terremoto de referência usado como um padrão de medida O terremoto de São Francisco de 1906 liberou aproximadamente 596 1016 joules de energia Qual foi sua magnitude na escala Richter 4 O modelo Count é uma fórmula usada para predizer a altura de uma criança em idade pré escolar Se hx é a altura em centímetros na idade xem anos para 14 𝑥 6 então hx pode ser aproximada por ℎ𝑥 70228 5104𝑥 9222 𝑙𝑛 𝑥 Determine a altura aproximada de uma criança quando atinge a idade de 2 anos 5 Suponha que após t horas existam Determine Pt células presentes em uma cultura em que 𝑃𝑡 5000𝑒02𝑡 a Quantas células estavam presentes inicialmente b Quando o número de células será de 20000 6 Se a população de certa região cresce segundo a lei Pt P0e002t em que P0 é a população num ano inicial qualquer t é o número de anos após o anobase e ao qual corresponde a população Pt determine a a população 8 anos depois de ter tido 500000 habitantes b Se em 1980 a população era de 350000 qual foi a população em 1994 c Depois de quantos anos número inteiro podemos garantir que a população duplicou Bom trabalho a Vamos transformar a equação dada em uma igualdade de potências de mesma base 25 5 1 52 125 5 25 5 5 1 53 Assim 25x 125 52x 53 52x 53 Igualando os expoentes 2x 3 x 32 Então o conjunto solução é S 32 b Fatorando os valores numéricos de ambos os membros da equação 9 3 1 32 243 3 81 3 27 3 9 3 3 1 35 Dessa forma 9x 243 32x 35 32x 35 Igualando os expoentes de potências de mesma base 2x 5 x 52 Logo o conjunto solução é S 52 c Neste caso os números 3 e 71 são números primos e portanto não podem ser decompostos em fatores primos Como consequência não conseguiremos igualar os bases dos potências Para resolver esse tipo de problema podemos recorrer ao uso de logaritmos 3x 71 Aplicando log em ambos os membros da igualdade log 3x log 71 x log 3 log 71 x log 71 log 3 log3 71 Portanto S log3 71 a Como a 13 então 0 a 1 Logo a curva exponencial é decrescente Vamos utilizar uma tabela para encontrar um conjunto de pontos que pertencem à função para assim esboçar a curva x 2 1 0 1 2 13x 132 131 130 131 132 fx 9 3 1 13 19 b Mais uma vez encontraremos um conjunto de pontos para em seguida esboça o gráfico x 2 1 0 1 2 3 2x 1 22 1 21 1 20 1 21 1 22 1 23 1 y 34 12 0 1 3 7 c Construindo tabela com conjunto de pontos x 2 1 0 1 2 ex 3 e2 3 e1 3 e0 3 e1 3 e2 3 fx 1e2 3 1e 3 1 3 e 3 e2 3 Aproximação 314 337 4 572 1039 Representação gráfica d De modo similar ao caso exponencial consideraremos porções convenientes para a descoberta de pontos pertinentes à função x 1100 110 1 10 100 logx log1100 log110 log1 log10 log100 fx 2 1 0 1 2 Observe que se escolhemos escalas distintas podemos comprometer a representação de valores para x1 ou para 0x1 Então consideraremos a escala na proporção da unidade para produzir o gráfico a seguir Como M 23 log EE0 e E0 1044 então quando E 596 x 1016 temos qua M 23 log 596 x 1016 1044 23 log596 23 log1016 23 log1044 Como log ax x log a e loga a 1 podemos escrever M 23 log 596 16 log10 44 log10 23 log 596 16 44 Ou seja M 23 log 596 116 De modo aproximado M 23 078 116 825 4 Considerando x 2 obtemos h2 70228 5104 2 9222 ln2 h2 70228 10208 9222 ln2 h2 80436 9222 ln2 cm De forma aproximada h2 80436 9222 0693 86828 cm Portanto a criança atinge aproximadamente 87 centímetros 5 a Considerando o instante inicial t 0 obtemos P0 5000 e020 5000 e0 5000 1 5000 Portanto estavam presentes 5000 células inicialmente b Agora queremos obter t tal que Pt 20000 Assim 20000 5000 e02 t 200005000 4 e02 t Aplicando ln a ambos os membros da igualdade ln4 lne02 t ln4 02 t lne 02 t Então t ln402 6931 7 Logo aproximadamente após 7 horas o número de células será de 20000 6 a Considerando t 8 e P0 500000 obtemos P8 500000 e00218 500000 e016 58675544 586755 Logo 8 anos depois a população é de 586755 habitantes b Temos que t 1994 1980 14 anos e P0 350000 Dessa forma P14 350000 e002114 350000 e028 46309543 463095 Portanto a população estimada foi de 463095 habitantes c Queremos encontrar t de modo que Pt 2 P0 Então 2 P0 P0 e002 t 2 e002 t Aplicando ln a ambos os membros da igualdade ln2 lne002 t 002 t lne 002 t t ln2002 34657 35 anos Logo podemos garantir que a população duplicou depois de 35 anos