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UNIDADE 4 Métodos NUMÉRICOS UNIVERSIDADE LaSalle Viver é evoluir NOVA GRADUAÇÃO UNIVERSIDADE LA SALLE EDUCAÇÃO E CULTURA Ajustes de Curvas e Integração Numérica Prezado estudante Estamos começando uma unidade desta disciplina Os textos que a compõem foram organizados com cuidado e atenção para que você tenha contato com um conteúdo completo e atualizado tanto quanto possível Leia com dedicação realize as atividades e tire suas dúvidas com os tutores Dessa forma você com certeza alcançará os objetivos propostos para essa disciplina Objetivo Geral Identificar os métodos numéricos mais apropriados para a resolução de uma situação problema envolvendo ajuste de curvas ou integração unidade 4 V1 2021 Parte 1 Interpolação unidade 4 O conteúdo deste livro é disponibilizado por SAGAH V1 2021 Interpolação Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir interpolação polinomial e por splines Reconhecer a diferença entre polinômio de Newton e o polinômio de Lagrange Aplicar a interpolação polinomial e a interpolação por splines para estimar valores intermediários entre dados precisos Introdução Neste capítulo você vai aprender a realizar interpolações polinomiais e por splines para estimar valores intermediários entre dados apresentados além de saber como identificar as principais diferenças entre os polinômios de Lagrange e de Newton Os métodos de interpolação polinomial têm a finalidade de obter uma aproximação para uma função tu em duas situações básicas A primeira situação ocorre quando tu é uma função cuja lei de apresentação não é linear eou transcendente ou seja é difícil de avaliála analiticamente apenas com valores numéricos conhecidos A segunda situação é consequência da primeira pois em muitos casos não se sabe a expressão analítica de tu o que se sabe é o valor de alguns pontos em um intervalo no qual a função está determinada Interpolação polinomial e por splines Historicamente a aproximação de funções por polinômios é uma atividade que ocorre há bastante tempo na área de pesquisa da Análise Numérica e consequentemente mais antiga ainda em situações problemas de resolução de problemas físicos no Cálculo Numérico Os polinômios possuem características que justificam a sua utilização como função de substituição em problemas de determinação de valores intermediários entre dados precisos os resultados Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 219 dos processos de integração e derivação resultam em outros polinômios e a determinação de suas raízes em diversos casos pode ser computada por procedimentos analíticos FRANCO 2006 No caso da interpolação de funções por substituições com polinômios um teorema de Weierstrass já descreve que uma função contínua dada pode ser eventualmente aproximada por um polinômio Karl Weierstrass 18151897 é muitas vezes chamado de pai da análise moderna devido à sua insistência de rigor na demonstração de resultados matemáticos Ele foi importante no desenvolvimento de testes para convergência de séries e na de terminação de maneiras para definir rigorosamente números irracionais BURDEN R FAIRES BURDEN A 2008 p 100 Como ponto de partida para o desenvolvimento do conceito de interpolação analisemos o Quadro 1 U 2 1 0 1 2 tu 6 3 2 3 6 Quadro 1 Valores de uma função Avaliando os valores do quadro podemos chegar à conclusão de que tu u² 2 sem muitos problemas pois uma função polinomial do segundo grau pode ser determinada por um procedimento analítico Agora nem sempre realizar essa avaliação é possível Imagine se a função apresentada fosse wu sen ln u ecos u a determinação dos valores apresentados em um quadro como descrito anteriormente se tornaria uma tarefa complicada Dessa forma a principal finalidade do procedimento de interpolação é a partir de pontos conhecidos de uma função determinada encontrar uma aproximação para ela sem a necessidade por exemplo de derivar ou integrar a função Interpolação 2 220 MÉTODOS NUMÉRICOS Genericamente uma função de interpolação de grau g pode ser definida a partir de g 1 pontos diferentes u0 u1 ug nomeados de nós de interpolação e os seus respectivos valores de tu nesses pontos tu0 tu1 tug Nesse sentido a forma de interpolação de tu consiste em se encontrar uma função wu tal que se verifique a condição de interpolação Nesse contexto as funções escolhidas podem ser racionais trigonométricas exponenciais e logarítmicas entre outras mas vamos nos delimitar apenas ao estudo de interpolações polinomiais Interpolação polinomial Consideremos os pontos u0 tu0 u1 tu1 ug tug logo g 1 pontos que desejamos aproximar tu por meio de um polinômio pgu com grau menor ou igual a g de forma que tuk pguk e k 0 1 2 3 g O polinômio pgu a0 a1 u a2 u² ag ug é único e da relação tuk pgukdesenvolvemos o seguinte sistema linear Transformando esse sistema linear em forma de uma matriz temos 3 Interpolação Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 221 Desde de que u0 u1 ug sejam pontos diferentes temos que essa matriz de Vandermonde gera um sistema linear que possui solução única No vídeo disponível no link a seguir a professora Joyce Bevilacqua da UNIVESP explica detalhadamente como realizar interpolações por polinômios por meio de exemplos httpsqrgopagelink1DdmL Maneiras de obter o polinômio interpolador Há outras formas de obter o polinômio interpolador além da descrita ante riormente resolução do sistema linear apresentado como por exemplo os polinômios de Lagrange e Newton A forma de Lagrange parte também da ideia de que sejam u0 u1 ug com g 1 pontos diferentes tui i 0 1 g e seja pgu o polinômio de grau menor ou igual a g que interpola t em u0 u1 ug e é representado pela expressão tui tu0L0ui tu1L1ui tugLgu na qual os polinômios da forma Lku possuem grau g Retomando a ideia fundamental da interpolação desejamos que a condição tui pgui seja válida tui tu0L0ui tu1L1ui tugLgui pgui Avaliando Lkui a partir das condições descritas temos Interpolação 4 222 MÉTODOS NUMÉRICOS Com isso estabelecemos que Portanto a forma geral do polinômio interpolador de Lagrange é dada por Para ilustrar o conceito vamos explorar os casos particulares de g 1 e g 2 da forma de Lagrange descrita no exemplo a seguir Exemplo 1 Apresente a interpolação linear com dois pontos e quadrática com três pontos da forma de Lagrange ou seja avalie os casos onde g 1 e g 2 Utilizando a forma de Lagrange para g 1 temos p1u tu0L0u tu1L1u com e Já para g 2 temos p2u tu0L0u tu1L1u tu2L2u Fonte Ruggiero e Lopes 1996 p 218219 É possível realizar essas aplicações genéricas com valores de g variando de 0 a k 5 Interpolação Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 223 Genericamente Lku pode ser apresentado por A forma de Newton para o polinômio pgu que interpola u0 u1 ug g 1 com pontos diferentes tui i 0 1 g é descrita pela seguinte expressão pgu d0 d1u u0 d2u u0 u u1 dnu u0 u u1 u ug1 A forma de Newton apresenta um operador de diferenças divididas Po demos definila pelo Quadro 2 Fonte Adaptado de Ruggiero e Lopes 1996 tu0 tu0 Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem g Quadro 2 Apresentando o operador de diferenças divididas Interpolação 6 224 MÉTODOS NUMÉRICOS Assim como em muitas áreas Isaac Newton foi um pioneiro no estudo de equações diferenciais Ele desenvolveu fórmulas de interpolação já em 1675 usando usa notação em tabelas de diferenças Ele adotou uma abordagem muito geral para as fórmulas de diferenças de modo que os exemplos que ele produziu explicitamente incluindo as fórmulas de Lagrange são frequentemente conhecidos por outros nomes BURDEN R FAIRES BURDEN A 2008 p 117 Dessa forma tu1 u2 uk é chamada de diferença dividida de ordem k da função tu com relação aos k 1 pontos de u0 u1 uk O Quadro 3 descreve as diferenças divididas tabuladas de maneira organizada Fonte Adaptado de Ruggiero e Lopes 1996 u Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem g u0 tu0 u1 tu1 tu0 u1 u3 tu2 tu1 u2 tu0 u1 u2 tu0 u1 u2 u3 u3 tu3 tu2 u3 tu1 u2 u3 tu1 u2 u3 u4 U4 tu4 tu3 u4 tu2 u3 u4 tu0 u1 ug ug tug tug1 ug tug2 ug1 ug tug3 ug2 ug1 ug Quadro 3 Dados do operador de diferenças divididas organizados Estudos posteriores a Newton sobre interpolação polinomial elaborados pelo matemático Hermite generalizaram os polinômios de Lagrange e Taylor com os chamados polinômios osculadores Como nossos estudos se restringem ao Cálculo numérico não vamos abordar esse tipo de interpolação polinomial 7 Interpolação Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 225 Charles Hermite 1822 1901 fez descobertas em muitas áreas especialmente em análise complexa e teoria dos números Ele ficou conhecido por demonstrar em 1873 que é um número transcendental BURDEN R FAIRES BURDEN A 2008 p 127 Hermite deu uma descrição de um polinômio osculador geral em uma carta a Carl W Bochard em 1878 a quem regularmente enviava seus novos resultados Sua demonstração é uma aplicação interessante do uso de técnicas de integração complexa para resolver problemas de valor real BURDEN R FAIRES BURDEN A 2008 p 128 Interpolação por splines Os métodos de interpolação polinomial descritos anteriormente consistem basicamente de aproximações de funções aleatórias em intervalos fechados Contudo a essência oscilatória de polinômios de grau alto é uma característica que provoca alta flutuação em uma pequena parte do intervalo BURDEN R FAIRES BURDEN A 2008 Nesse sentido uma forma diferente de se realizar a interpolação polinomial de uma função é segmentar um conjunto de subintervalos e elaborar um polinômio aproximador distinto em cada subin tervalo esse procedimento é nomeado de aproximação polinomial por partes A forma mais simples de aproximação por partes é a chamada interpo lação linear por partes que apresenta como ideia fundamental a junção de uma coleção de pontos apresentados por um conjunto de retas A Figura 1 descreve essa ideia A inconveniência da aproximação linear por partes é a chance de não existir a possibilidade de derivar os limites dos subintervalos Essa perspectiva reflete em métodos de aproximação por partes que precisam de referências sobre a derivada da função avaliada O spline cúbico interpolador utiliza polinômios cúbicos no processo de interpolação de funções é a forma mais habitual de aproximação por partes de uma função Os campos de estudo da computação gráfica e da acústica na suavização de áudio em caráter digital são as principais aplicações de splines em um contexto mais prático RUGGIERO LOPES 1996 Interpolação 8 226 MÉTODOS NUMÉRICOS Figura 1 Representação Gráfica da aproximação linear por partes Fonte Adaptada de Burden R Faires e Burden A 2008 y y fx x0 x1 x2 xj xj 1 xj 2 xn 1 xn x A justificativa essencial para a utilização do spline cúbico está no fato de que geralmente a configuração do polinômio cúbico apresenta quatro constantes permitindo assim a garantia da diferenciabilidade e a continuidade da função interpoladora além da existência da derivada de segunda ordem da função interpoladora BURDEN R FAIRES BURDEN A 2008 A Figura 2 exprime a ideia de que as derivadas da função interpoladora em um spline cúbico harmonizem com a função aproximada por partes Figura 2 Representação Gráfica da função interpoladora em um spline cúbico Fonte Adaptada de Burden R Faires e Burden A 2008 x0 x1 x2 xj xj 1 xj 2 xn 2 xn 1 xn x Sx S0 S1 Sj Sj 1 Sn 2 Sn 1 Sjxj1 fxj1 Sj1xj1 Sjxj1 Sj1xj1 Sjxj1 Sj1xj1 9 Interpolação Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 227 A análise da Figura 2 permite que apresentemos uma definição para um spline cúbico interpolador descrevendoo conforme a seguir Dada a função f definida em a b e em um conjunto de nós a u0 u1 uk b um spline cúbico interpolador S para f é uma função que satisfaz as seguintes condições a Su é um polinômio cúbico denotado Sju no subintervalo uj uj1 para cada j 0 1 k 1 b Sjuj fuj e Sjuj1 para cada j 0 1 k 1 c Sj1uj1 Sjuj1 para cada j 0 1 k 2 d Sj1uj1 Sjuj1 para cada j 0 1 k 2 e Sj1uj1 Sjuj1 para cada j 0 1 k 2 f Um dos conjuntos de condições de contorno a seguir é satisfeito Su0 Suk 0 condições de contorno livres ou naturais Su0 fu0 e Suk fuk condições de contorno fixadas Dessa forma quando as condições de contorno são livres ou naturais o spline é nomeado como spline livre ou natural Quando são seguidas as condições de contorno fixadas a aproximação por partes de uma função é mais precisa Um spline livre não tem condições impostas para a direção em suas extremidades então a curva toma a forma de uma linha reta depois que passa pelos pontos de interpolação mais próximos de suas extremidades Um spline livre é a forma natural que uma haste flexível assume se forçada a passar pelos pontos de interpolação especificados sem restrições adicionais BURDEN R FAIRES BURDEN A 2008 p 137 Interpolação 10 228 MÉTODOS NUMÉRICOS A função spline linear pode ser expressa por dois pontos que determinam uma reta É possível também deduzir a função de spline linear a partir dos pontos apresentados que passam pela reta Principais diferenças entre as formas polinomiais de Lagrange e Newton Na comparação entre as interpolações polinomiais de Lagrange e Newton para um conjunto de g pontos podemos considerar três aspectos que as diferem quanto às operações realizadas nos respectivos processos de interpolação que são o número de adições o número de multiplicações é o número de divisões O Quadro 4 descreve essas operações Fonte Adaptado de Barroso et al 1987 Fórmulas Operações Número de adições Número de multi plicações Número de divisões Total Lagrange n2 n 1 n2 1 2n 2n2 3n 2 Newton n2 n 2 2n 3 n2 n2 3n2 5n 102 Quadro 4 Comparação entre o número de operações realizadas na interpolação polino mial de Lagrange e Newton 11 Interpolação Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 229 Dessa forma observamos que o número de operações realizadas no proce dimento de interpolação polinomial de Lagrange é superior ao de interpolação polinomial de Newton como apresentado na desigualdade a seguir Com relação à vantagem de aplicação de um procedimento em relação ao outro é possível afirmar que para um mesmo conjunto de u associados a funções t a aproximação de Lagrange é menos trabalhosa Já na elaboração do quadro de diferenças divididas as ordens serão construídas de acordo com a quantidade de interpolações BARROSO et al 1987 Com relação ao esforço computacional o método de Newton é mais vantajoso pois realiza um número menor operações o que implica em uma velocidade maior na compilação de uma implementação computacional do procedimento RUGGIERO LOPES 1996 Aplicando as interpolações polinomiais e por splines para estimar valores intermediários Nas seções anteriores apresentamos as interpolações polinomiais e por splines de forma genérica vamos apresentar exemplos de aplicação desses métodos para estimar valores intermediários Inicialmente vamos encontrar um valor intermediário a partir de três pontos tabelados obtendo o polinômio de interpolação por um sistema linear O exemplo a seguir vai explorar essa experimentação Exemplo 2 Dados os valores tabelados no quadro a seguir encontre o polinômio interpolador e o valor da função tu em u 1 u 1 0 1 2 tu 4 1 1 Interpolação 12 230 MÉTODOS NUMÉRICOS Como são apresentados três pontos ou nós o polinômio interpolador possui grau dois A expressão que representa um polinômio dessa forma é p2u a0 a1u a2u² usando a relação de interpolação polinomial temos I p2u0 tu0 p21 4 a0 a11 a212 4 a0 a1 a2 4 II p2u1 tu1 p20 1 a0 a10 a202 1 a0 0 0 1 a0 1 III p2u2 tu2 p22 1 a0 a12 a222 1 a0 2a1 4a2 1 Substituindo a0 1 em I e III temos a0 a1 a2 4 a1 a2 4 a1 a2 4 1 a1 a2 3 a0 2a1 4a2 1 1 2a1 4a2 1 2a1 4a2 1 1 2a1 4a2 2 Com isso obtemos o seguinte sistema linear Reescrevendoo em sua forma matricial e resolvendoo por escalonamento temos Retomando a forma de sistema linear dispomos Substituindo esse valor na primeira equação temos Com isso o polinômio interpolador p2u a0 a1u a2u² se torna Para encontrar p21 basta substituirmos u 1 no polinômio interpolador Fonte adaptado de Ruggiero e Lopes 1996 p 215 13 Interpolação Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 231 Apesar do processo para a determinação do polinômio interpolador e do valor intermediário estimado serem realizados de forma objetiva existem situações em que o procedimento não acontece de forma simples RUGGIERO LOPES 1996 Agora vamos aplicar a interpolação polinomial com o polinômio de La grange por meio do exemplo a seguir Exemplo 3 Utilize a interpolação polinomial de Lagrange para encontrar o polinômio interpolador de grau dois dos dados tabelados apresentados no Exemplo 1 Relembrando a forma de Lagrange para um polinômio de grau dois temos Substituindo os valores encontrados na forma de Lagrange temos Multiplicando a equação por seis temos p2u 4 2 u2 2u 3 u2 u 2 u2 u p2u 8u2 16u 3u2 3u 6 u2 u p2u 6 14u 4u2 Interpolação 14 232 MÉTODOS NUMÉRICOS Dividindo a equação por seis temos Simplificando as frações equivalentes temos Observe que a expressão representa o mesmo polinômio interpolador do exemplo anterior Fonte Adaptado de Ruggiero e Lopes 1996 Após apresentarmos um exemplo de aplicação da interpolação polinomial com o polinômio de Lagrange vamos aplicar uma interpolação polinomial com o polinômio de Newton por meio do exemplo a seguir Exemplo 4 Utilizando os dados tabelados do Exemplo 2 obtenha o polinômio interpolador pela forma de Newton Relembrando a forma de Newton para um polinômio de grau dois temos p2u tu0 u u0 tu0 u1 u u0u u1 tu0 u1 u2 Utilizando a tabela de operadores divididos temos o seguinte u Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 1 4 3 1 0 1 2 1 tu0 4 u0 1 u1 0 tu0 u1 3 tu0 u1 u2 15 Interpolação Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 233 Substituindo esses valores em p2u tu0 u u0 tu0 u1 u u0u u1 tu0 u1 u2 temos Novamente encontramos o polinômio interpolador de grau 2 Fonte Adaptado de Ruggiero e Lopes 1996 O exemplo a seguir reflete uma aplicação de spline linear que interpolada uma função apresentada a partir de dados tabelados Exemplo 5 A partir dos dados tabelados da função abaixo encontre um spline linear que interpole essa função u u0 u1 u2 u3 1 2 5 7 tu 1 2 3 25 Interpolação 16 234 MÉTODOS NUMÉRICOS A partir da definição de spline linear temos Fonte Adaptado de Ruggiero e Lopes 1996 No vídeo disponível neste link a professora Joyce Bevilacqua da UNIVESP explica detalhadamente os conceitos de interpolação linear e suas aplicações básicas por meio de exemplos httpsqrgopagelinkdKTQs Para a implementação computacional de interpolações polinomiais po demos utilizar softwares que apresentam funcionalidade para a matemática científica em ambientes como o Visual Basic for Applications VBA no Excel Octave Matlab e Scilab associando a alguma linguagem de programação por exemplo C C Fortran entre outras de acordo com a finalidade e habilidades de programação do usuário 17 Interpolação Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 235 BARROSO L C et al Cálculo numérico com aplicações 2 ed São Paulo Harbra 1987 BURDEN R L FAIRES D J BURDEN A M Análise numérica 8 ed São Paulo Cengage Learning 2008 FRANCO N B Cálculo numérico São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 RUGGIERO M A G LOPES V L da R Cálculo numérico aspectos teóricos e computa cionais São Paulo Pearson 1996 Leituras recomendadas CHAPRA S C CANALE R P Métodos numéricos para engenharia 7 ed Porto Alegre AMGH 2016 DORNELLES FILHO A A Fundamentos de cálculo numérico Porto Alegre Bookman 2016 Interpolação 18 ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE PREZADO ESTUDANTE Parte 2 Regressão por Mínimos Quadrados unidade 4 O conteúdo deste livro é disponibilizado por SAGAH V1 2021 Regressão por mínimos quadrados Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir regressão polinomial múltipla e não linear Reconhecer a diferença entre regressão e interpolação Aplicar a regressão para ajustar uma reta a um conjunto de dados Introdução Neste capítulo você vai aprender a realizar regressão por polinômios de forma múltipla e regressão linear utilizando mínimos quadrados de forma que seja possível estimar valores intermediários entre os dados apresentados além de saber como identificar as principais diferenças entre regressão e interpolação Os métodos de regressão têm a finalidade de obter um ajuste de dados que se aproxima do padrão original Esses ajustes de curvas têm caráter linear e as funções de aproximação seguem principalmente modelos polinomiais exponenciais logarithmicos e até trigonométricos para estimar valores a partir de dados computados de forma experimental em um quadro Consequentemente apresentase um erro chamado especificamente neste assunto de resíduo Método dos mínimos quadrados discreto contínuo e não linear Ao se investigar a relação entre dois parâmetros matemáticos que se associam por exemplo uma relação u e ut de forma experimental é natural que ocorram erros pois essas variáveis em algum momento de aferição podem sofrer mudanças em seus valores originais Normalmente a construção da Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Regressão por Mínimos Quadrados PARTE 2 239 relação entre duas variáveis segue um parâmetro Nesse sentido existem casos em que esses parâmetros podem ser dimensionados de forma analítica e em outros casos a solução numérica é a que produz mais viabilidade em termos de resultados esperados É possível também indicar uma previsão desse comportamento por meio de um Diagrama de Dispersão e a partir de uma breve análise gráfica verificar algum parâmetro que se aproxima do real Basicamente a situação problema que se configura com a necessidade de ajuste de curvas na qual são apresentados pontos tabelados u1 tu1 u2 tu2 uk tuk em um quadro com os valores u1 u2 uk a ab equivale a determinar n funções v1u v2u vnu contínuas no intervalo ab e consequentemente adquirir n constantes a1 a2 an de forma que wu a1v1u a2v2u anvnu se aproxime de forma eficiente de tu Essa maneira de otimizar os modelos matemáticos gerados em problemas físicos se constitui de forma linear já que os coeficientes que se deseja obter se configuram na equação wu de forma linear Do ponto de vista de Álgebra Linear ou em contexto vetorial podemos dizer que a função wu se configura como uma combinação linear entre as funções contínuas do intervalo ab que necessariamente não sejam lineares e as constantes que se deseja determinar Certamente vão surgir dois questionamentos sobre modelo de ajuste de curvas apresentado 1 De que forma escolher funções contínuas v1u v2u vnu 2 Qual o modelo matemático função de aproximação que se ajusta de maneira mais adequada aos pontos apresentados em um Diagrama de Dispersão plotados no plano cartesiano por meio de um quadro com dados tabelados O critério para utilizar a função nesse procedimento é realizado por meio de análise gráfica dos pontos tabelados em um Diagrama de Dispersão ou fundamentandose nas circunstâncias experimentais que promoveram os dados tabelados Após a elaboração do Diagrama de Dispersão é possível associar um modelo matemático que se ajusta de forma eficiente aos dados apresentados Regressão por mínimos quadrados 2 240 MÉTODOS NUMÉRICOS A partir dos dados apresentados na tabela a seguir você será capaz de determinar a função contínua de aproximação U 100 075 060 050 030 000 020 040 050 070 100 tu 205 1153 045 040 050 000 020 060 0512 120 205 Ao elaborarmos o diagrama de dispersão dos dados tabelados no Excel temos o seguinte gráfico Figura 1 Figura 1 Representação gráfica do diagrama de dispersão Ao avaliarmos o Diagrama de Dispersão com os pontos plotados em um plano cartesiano observamos que uma função contínua que se ajusta à curva apresentada é v1u u2 ou seja uma equação cônica com característica de parábola que intercepta a origem do plano cartesiano e consequente wu a1v1u a1 u2 Recorrendo ao problema verificamos que ao determinar as funções con tínuas v1u v2u vnu a partir da interpretação do Diagrama de Dispersão temos que avaliar a condição de aproximação entre tu e wu e assim en contrar os coeficientes a1 a2 an De forma geral o fundamento principal desse procedimento de ajuste de curvas é estabelecer o desvio tuj wuj de forma que seja o menor possível ou mínimo para j 1 2 3 k 3 Regressão por mínimos quadrados Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Regressão por Mínimos Quadrados PARTE 2 241 Há diversas maneiras de estabelecer esses desvios com a configuração apresentada anteriormente mas vamos abordar neste capítulo especificamente o método dos mínimos quadrados de forma discreta e contínua Método dos mínimos quadrados Observando as premissas estabelecidas anteriormente u1 tu1 u2 tu2 uk tuk os pontos v1u v2u vnu as funções contínuas e wu a1v1u a2v2u anvnu constantes para determinar a aproximação mais eficiente possível de tu podemos conceituar o método dos mínimos quadrados MMQ Seja dj tuj wuj o desvio em uj o MMQ significa eleger as constantes de maneira que a soma dos quadrados dos dj seja a menor possível Portanto se é a menor possível obteremos cada parcela do somatório muito pequena Utilizando o Cálculo Diferencial na expressão 1 para encontrar um ponto de mínimo nas constantes e derivando parcialmente cada termo dj também em 1 obtemos um sistema linear de forma matricial M a b Associando essa forma matricial à notação de produto escalar de vetores temos Conectando essa condição ao desenvolvimento do método de mínimos quadrados temos 1 A matriz M é simétrica pois Regressão por mínimos quadrados 4 242 MÉTODOS NUMÉRICOS 2 Também associamos que 3 Sendo assim 4 O sistema linear pode ser representado como Para determinar o coeficiente a1 na expressão wu a1 u2 do exemplo a seguir vamos desenvolvêlo Esse caso pode ser considerado como caso MMQ discreto A partir da tabela a seguir determine o coeficiente a1 na expressão wu a1 u2 U 100 075 060 050 030 000 020 040 050 070 100 tu 205 1153 045 040 050 000 020 060 0512 120 205 Como são onze valores tabelados temos a seguinte equação Associando essas informações podemos elaborar a tabela a seguir U 100 075 060 050 030 000 020 040 050 070 100 u2 u2 1 03164 01296 00625 00081 000 00016 00256 00625 02401 100 tu u2 205 06486 0162 01 0045 000 0008 0096 0128 0588 205 5 Regressão por mínimos quadrados Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Regressão por Mínimos Quadrados PARTE 2 243 Substituindo esses valores em Temos aproximação por truncamento considerando quatro dígitos significativos Assim wu 2 0642 u2 Lembrando do conceito de produto escalar Dados dois vetores c e d Rn o número real é denominado produto escalar de c por d Condições para a admissão da solução do sistema linear 2 Se as funções v1u v2u vnu estiverem associadas aos vetores de forma a serem linearmente independentes então det M 0 Consequentemente o sistema linear 2 conta com apenas uma solução Essa solução é o ponto no qual a função apresenta o menor valor possível ou mínimo da função Além disso os vetores do sistema linear 2 possuem característica de matriz diagonal Dessa forma é possível elaborar polinômios de grau 0 1 2 g que se configuram como ortogonais Regressão por mínimos quadrados 6 244 MÉTODOS NUMÉRICOS No caso contínuo de MMQ desejamos realizar a seguinte aproximação Por meio do exemplo a seguir vamos aplicar o caso contínuo por meio da aproximação de um polinômio de grau 3 por uma reta Aproxime o polinômio tu 4u3 por uma reta no intervalo 01 Dos dados apresentados no problema temos wu a1v1u a2v2u a1 a2u com a1 e a2 ℝ pois v1u 1 e v2u u Representamos o sistema linear M a b em sua forma matricial para o caso particular duas linhas por duas colunas Calculamos cada termo das matrizes M e b utilizando a condição do caso contínuo do MMQ Lembrando que a12 a21 porque a matriz M é diagonal e simétrica 7 Regressão por mínimos quadrados Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Regressão por Mínimos Quadrados PARTE 2 245 Com isso temos o seguinte sistema linear Com isso a aproximação por uma reta utilizando o MMQ da função tu 4u3 no intervalo 01 é Até agora os casos discreto e contínuo apresentaram funções lineares em seus parâmetros mas existem situações em que isso não ocorre esse caso é denominado como caso linear Ao elaborar um Diagrama de Dispersão o modelo aproximado que se apresenta a partir de uma análise gráfica é uma função exponencial do tipo com a1 0 a2 0 Para utilizar o MMQ nesse caso é fundamental realizar uma linearização As formas de linearização mais comuns a partir dos dados tabelados com a produção do Diagrama de Dispersão são hipérbole curva exponencial curva geométrica e curva trigonométrica RUGGIERO LOPES 1996 Regressão por mínimos quadrados 8 246 MÉTODOS NUMÉRICOS Diferenças entre a regressão e a interpolação no processo de aproximação de valores estimados O método da interpolação é um caso especial inserido no MMQ para o ajuste de dados em forma de regressão BURDEN R FAIRES BURDEN A 2008 Nesse sentido não é interessante utilizar o método de interpolação quando os valores tabelados são obtidos de forma experimental seja em Física Experimental Engenharia Química Econometria ou outros campos de investigação científica que estudam problemas físicos em contexto real Nessas situações específicas os dados obtidos podem apresentar erros ou resíduos que não são estimados BARROSO et al 1987 Outra situação na qual não é interessante utilizar a interpolação é quando necessitamos encontrar um valor aproximado da função que não está contido no intervalo de dados tabelados O ajuste dos dados por regressão se divide em casos discreto por poli nômios de grau de 1 2 3 g contínuo em intervalos nos quais as funções de aproximação são contínuas calculando a partir da integração no intervalo apresentado e não linear a partir de funções de aproximação não lineares Já a interpolação apresenta como aproximação os polinômios de Newton Lagrange por Sistema Linear por Splines cúbicos e naturais 9 Regressão por mínimos quadrados Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Regressão por Mínimos Quadrados PARTE 2 247 Regressão para ajustar uma reta a um conjunto de dados Nas seções anteriores apresentamos os casos do MMQ em situações discre tas contínuas e não lineares Especificamente vamos explorar exemplos de aplicação do MMQ para ajustar um conjunto de dados por uma reta Veja no exemplo a seguir uma aplicação com essas configurações No controle de qualidade da produção de refrigerantes da Fábrica Ventos Elísios o nível da temperatura é controlado para não haver fermentação por meio do crescimento de bactérias indesejáveis O Engenheiro Químico responsável pelo setor de controle de qualidade tem em seu computador os valores de referência tabelados Temperatura ºC 1 3 4 8 População de bactérias em milhões P 35 74 92 148 Sabendo que uma reta ajusta os dados da tabela qual será a população de bactérias com uma temperatura de 2ºC Esse caso configurase como uma regressão linear pois o ajuste dos dados é realizado por meio de uma reta do tipo wu a1u a2 com as funções de aproximação v1u u e v2u 1 Elaborando uma tabela auxiliar para utilização do MMQ temos v1u u 1 3 4 8 v1v1 v2v1 v2u 1 1 1 1 1 v1v2 v2v2 P fu 35 74 92 148 v1fu v2fu Regressão por mínimos quadrados 10 v₁fu 1 35 3 74 4 92 8 148 35 222 368 1184 1809 Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Regressão por Mínimos Quadrados PARTE 2 249 Ajustes de curvas utilizando planilhas eletrônicas Nos vídeos a seguir a professora Joyce Bevilacqua da UNIVESP apresenta uma aplicação de ajustes de curvas utilizando como ferramenta planilhas eletrônicas httpsqrgopagelink4XW1f httpsqrgopagelink5Jv2g Planilha eletrônica para testar regressão linear No link a seguir você verá terá acesso a uma planilha eletrônica elaborada no Excel para estimar valores em uma regressão linear a partir da inserção de dados nas células ajustáveis httpsqrgopagelink9oAgK Para a implementação computacional do MMQ podemos utilizar softwares que tem funcionalidade para a Matemática Científica em ambientes como o Visual Basic for Applications VBA no Excel Octave Matlab e Scilab asso ciando a alguma linguagem de programação por exemplo C C Fortran entre outras de acordo com a finalidade e as habilidades de programação do usuário BARROSO L C et al Cálculo numérico com aplicações 2 ed São Paulo Harbra 1987 BURDEN R L FAIRES D J BURDEN A M Análise numérica 8 ed São Paulo Cengage Learning 2008 FRANCO N B Cálculo numérico São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 Regressão por mínimos quadrados 12 250 MÉTODOS NUMÉRICOS RUGGIERO M A G LOPES V L da R Cálculo numérico aspectos teóricos e computa cionais São Paulo Pearson 1996 Leituras recomendadas CHAPRA S C CANALE R P Métodos numéricos para engenharia 7 ed Porto Alegre AMGH 2016 DORNELLES FILHO A A Fundamentos de cálculo numérico Porto Alegre Bookman 2016 13 Regressão por mínimos quadrados ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE PREZADO ESTUDANTE Parte 3 Integração Numérica Regra do Trapézio unidade 4 O conteúdo deste livro é disponibilizado por SAGAH V1 2021 Integração numérica regra do trapézio Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra do Trapézio PARTE 3 253 Regra do trapézio simples e composta A ideia básica do desenvolvimento da integração numérica está ligada à neces sidade de calcular integrais definidas de funções que não possuam antiderivada ou primitivas conhecidas ou de forma analítica BARROSO et al 1987 O método elementar para encontrar uma aproximação da integral da função é chamado de quadratura numérica e usa o somatório Dado um conjunto de pontos diferentes u0 u1 un pertencentes a um intervalo fechado a b ao integrarmos o polinômio interpolador de Lagrange obtemos a fórmula da quadratura descrita em 1 Usando o polinômio de Lagrange de grau 1 com pontos igualmente espaçados obtemos a fórmula do trapézio simples ou regra do trapézio simples para determinar integrais numéricas Para encontrar a expressão da regra do trapézio simples para a aproximação de uma integral podemos utilizar o polinômio de Lagrange de grau 1 Aplicando para o caso da quadratura numérica levamos em conta os dados a seguir u0 a u1 b p b a Integração numérica regra do trapézio 2 254 MÉTODOS NUMÉRICOS Com isso temos Nesse sentido se aplicarmos o Teorema do Valor Médio para as integrais ao termo do erro obtemos um erro no intervalo u0 u1 para um ξ temos Sabendo que u u0u1 u não altera seu sinal no intervalo u0 u1 Dessa forma a equação 3 pode ser descrita como Lembrando que p u1 u0 b a Substituindo esse valor na equação anterior temos Essa fórmula representa a regra do trapézio simples ou sem repetições A Figura 1 descreve uma interpretação geométrica dessa fórmula 3 Integração numérica regra do trapézio Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra do Trapézio PARTE 3 255 Figura 1 Representação gráfica da regra do trapézio simples ou sem repetições Fonte Adaptada de Burden e Faires 2008 Quando t é uma função com valores maiores do que zero em consideremos a aproximação como uma área de trapézios por isso o nome regra dos trapézios BURDEN FAIRES 2008 Quando a aproximação é realizada em um intervalo com grande ampli tude o erro pode ser muito alto Nesses casos utilizamos a regra do trapézio composta ou repetida aproximando a cada intervalo de aplicação ou seja com subintervalos FRANCO 2006 O teorema abaixo caracteriza a regra do trapézio composta Dado t R2 a b p b an e uk a kp k 01 n um w a b para o qual a regra do trapézio composta para n subintervalos pode ser expressa com o termo de erro por Integração numérica regra do trapézio 4 256 MÉTODOS NUMÉRICOS A Figura 2 descreve uma interpretação geométrica dessa fórmula Figura 2 Representação gráfica da regra do trapézio composta ou com repetições Fonte Adaptada de Burden e Faires 2008 As expressões 4 e 5 determinam um limitante para o erro nas regras do trapézio simples e composta Em situaçõesproblema conseguimos delimitar o erro por meio dessas expressões Tipos de regras do trapézio na integração numérica Quando desejamos calcular a integral de funções pelos métodos numéricos das regras do trapézio simples e composta temos que avaliar algumas premissas como se o intervalo a b apresenta amplitude pequena ou grande ou se o valor da aproximação é considerável pois a aproximação é defasada 5 Integração numérica regra do trapézio Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra do Trapézio PARTE 3 257 Analisemos essas considerações e premissas por meio do Exemplo 1 a seguir Exemplo 1 Determine o valor de e estime o erro pela regra do trapézio simples Aplicando a regra do trapézio simples temos O valor de Substituindo esses valores na regra do trapézio temos Agora vamos calcular o erro estimado determinando cada componente da fórmula do limitante do erro para a regra do trapézio simples O maior valor de tu no intervalo 1 7 é para Para calcular o erro estimado substituímos os valores encontrados na expressão Esse erro obtido é muito grande Integração numérica regra do trapézio 6 258 MÉTODOS NUMÉRICOS Recorrendo ao problema verificamos que ao determinar o valor de U pela regra do trapézio simples há uma diferença considerável em relação ao valor encontrado de forma analítica usando o teorema fundamental do cálculo No Exemplo 2 a seguir vamos calcular numericamente o valor de U do exemplo anterior usando a regra do trapézio composta com seis subintervalos Exemplo 2 Determine o valor de e estime o erro pela regra do trapézio composta com seis subintervalos O primeiro passo é Com isso determinamos os valores igualmente espaçados no intervalo 17 para seis subdivisões u0 1 u1 2 u2 3 u3 4 u4 5 u5 6 u6 7 Aplicando a regra do trapézio composta temos Para calcular o erro estimado substituímos os valores encontrados na expressão O erro foi 36 vezes menor 1083 36 Melhorou significativamente a estimativa do erro 7 Integração numérica regra do trapézio Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra do Trapézio PARTE 3 259 Agora se desejássemos um erro menor que 0001 na aproximação ou seja considerando 3 casas decimais como faríamos isso De forma geral é possível determinar o número de subdivisões a realizar para atender a um erro de aproximação pela expressão O Exemplo 3 a seguir vai ilustrar o número de subdivisões para que o erro em U seja menor do que 0001 Exemplo 3 Determine o número de subdivisões de U para que o erro estimado seja menor do que 0001 Aplicando a fórmula com os valores encontra dos nos Exemplos 1 e 2 temos Como o número de subdivisões é natural n 329 subdivisões para o erro atender o critério 0001 Regra do trapézio em resoluções de problemas Nas seções anteriores apresentamos as regras do trapézio simples e composta e avaliamos quando utilizar cada regra a partir da estimativa do erro Veja no Exemplo 4 a seguir uma aplicação com essas configurações Integração numérica regra do trapézio 8 260 MÉTODOS NUMÉRICOS Exemplo 4 Um radar foi usado para medir a velocidade de um atleta em ritmo de preparação para uma seletiva de 100 metros rasos durante os primeiros 5 segundos de uma corrida de testes visualize o quadro abaixo Utilize a regra dos trapézios composta para estimar a distância que o atleta de teste percorreu nesses 5 segundos ts 00 05 10 15 20 25 30 35 40 45 50 vms 000 469 738 883 972 1021 1061 1077 1079 1091 1091 Ao observar a tabela observamos que n 10 e p b an 5 010 510 05 Aplicando a regra do trapézio composta ao problema temos Dessa forma o atleta percorreu uma distância aproximada de 4468 metros Explorando a regra do trapézio simples e composta para integração numérica No link a seguir você encontrará um resumo ilustrado e esquematizado da regra do trapézio simples e composta para estimar integrais numéricas elaborado pelo professor Carlos Alves do Instituto de Matemática da Universidade de Lisboa httpsqrgopagelinks322d Regra do trapézio sem repetição No vídeo a seguir a professora Joyce Bevilacqua da UNIVESP apresenta a regra do trapézio sem repetição a partir da estimativa do cálculo da área de uma curva httpsqrgopagelinkRQokm 9 Integração numérica regra do trapézio Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra do Trapézio PARTE 3 261 Regra do trapézio com repetição No vídeo a seguir a professora Joyce Bevilacqua da UNIVESP apresenta a regra do trapézio com repetição a partir da estimativa do cálculo da área de uma curva httpsqrgopagelinkcsQ8o Para a implementação computacional do método de integração numérica do trapézio podemos utilizar softwares que têm funcionalidade para a matemática científica em ambientes como o Visual Basic for Applications VBA no Excel Octave Matlab e Scilab associando a alguma linguagem de programação por exemplo C C Fortran entre outras de acordo com a finalidade e habilidades de programação do usuário RUGGIERO LOPES 2000 BARROSO L et al Cálculo numérico com aplicações 2 ed São Paulo Editorial Harbra 1987 BURDEN R L FAIRES D J Análise numérica 8 ed São Paulo Cengage Learning 2008 FRANCO N B Cálculo numérico São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 RUGGIERO M A G LOPES V L R Cálculo numérico aspectos teóricos e computacionais 2 ed São Paulo Pearson 2000 Leituras recomendadas CHAPRA S C CANALE R P Métodos numéricos para engenharia Porto Alegre AMGH 2016 DORNELLES FILHO A A Fundamentos de cálculo Numérico Porto Alegre Bookman 2016 Integração numérica regra do trapézio 10 ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE PREZADO ESTUDANTE Parte 4 Integração Numérica Regra de Simpson unidade 4 O conteúdo deste livro é disponibilizado por SAGAH V1 2021 Integração numérica Regra de Simpson Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra de Simpson PARTE 4 265 Regra de Simpson simples e composta como procedimento de integração numérica No estudo do Cálculo Numérico a ideia básica da integração numérica é determinar aproximações para integrais definidas onde não é possível deter minar o seu resultado de forma analítica utilizando a quadratura numérica um princípio indicado nas somas de Riemann Ao utilizar o polinômio de Lagrange de grau 2 ou seja uma parábola é possível aproximar os resultados de uma integral essa aplicação é conhecida como regra de Simpson BARROSO et al 1987 Thomas Simpson era um tapeceiro que aprendeu matemática sozinho e tornouse um dos melhores matemáticos ingleses do século XVIII O que chamamos de Regra de Simpson já era conhecido por Cavalieri e Gregory no século XVI mas Simpson popularizoua em seu livro de cálculo muito vendido chamado A New Treatise of Fluxions STEWART 2006 Se dividirmos o intervalo fechado a b em n subintervalos igualmente espaçados obteremos o passo com n sendo par Portanto em cada par sucessivo de intervalos é possível uma aproximação a uma curva t f u 0 A Figura 1 descreve essa interpretação geométrica Integração numérica Regra de Simpson 2 266 MÉTODOS NUMÉRICOS Figura 1 Representação gráfica da regra Simpson simples ou sem repetições Fonte Adaptada de Burden e Faires 2008 Nesse sentido consideramos o caso particular da parábola que passa pelos pontos descritos na Figura 2 e associamos a área sobre a região delimitada por Au2 Bu C parábola de u p até u p Figura 2 Representação genérica de uma parábola associada ao passo Fonte Adaptada de Stewart 2006 3 Integração numérica Regra de Simpson Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra de Simpson PARTE 4 267 Observando a parábola da Figura 2 temos Note que Au2 C é par e Bu é ímpar pelo teorema de funções simétricas Se f for par fu fu então Com f sendo contínua em a a Realizando a correspondência com o resultado da integração temos Reescrevendo a área sobre a parábola temos Essa fórmula representa a regra do trapézio simples ou sem repetições Se estendermos as áreas sob as parábolas diversas vezes e a dividimos em n subintervalos obtemos a regra do trapézio composta Integração numérica Regra de Simpson 4 268 MÉTODOS NUMÉRICOS Comparando a aproximação da regra do trapézio com a regra de Simpson a segunda possui uma ordem de convergência maior o que se traduz em uma precisão maior na aproximação dos valores da integração numérica BURDEN FAIRES 2008 Quando a aproximação é realizada em um intervalo com grande ampli tude o erro pode ser muito alto Nesses casos utilizamos a regra de Simpson composta ou repetida aproximando a cada intervalo de aplicação ou seja com subintervalos FRANCO 2006 As expressões a seguir determinam um limitante para o erro nas regras de Simpson simples e composta Em situações problema conseguimos delimitar o erro por meio dessas expressões Situaçõesproblema em que utilizamos cada tipo de regra do trapézio na integração numérica Quando desejamos calcular a integral de funções pelos métodos numéricos das regras de Simpson simples e composta avaliamos se o intervalo a b apresenta amplitude pequena ou grande e se o valor da aproximação é considerável pois a aproximação apresentada caracterizase como defasada Avaliando uma aproximação do valor de π com uma precisão de 00001 pela regra de Simpson O exemplo 1 a seguir 5 Integração numérica Regra de Simpson Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra de Simpson PARTE 4 269 Exemplo 1 Determine o valor de com precisão 00001 pela regra de Simpson composta Barroso et al 1996 p 219 a 221 Como no problema não foi informado o número de subintervalos de aproximação e sim a precisão encontramos o número de subintervalos n pela expressão Sabendo que temos que Lembrando que 0 c 1 ou c 01 o maior valor que tiv c pode assumir é c 0 Como a 0 e b 1 temos Considerando que n deve ser um número par temos n 6 Avaliando o erro n 6 temos Se avaliarmos o erro n 8 temos Aplicando 8 subintervalos temos Integração numérica Regra de Simpson 6 270 MÉTODOS NUMÉRICOS Associando esses valores de forma tabelada temos i ci ti coeficientes produto 0 0000 100000 1 1000000 1 0125 0984615 4 3938460 2 0250 0941176 2 1882352 3 0375 0876712 4 3506848 4 0500 080000 2 1600000 5 0625 0719101 4 2876404 6 0750 0640000 2 1280000 7 0875 0566372 4 2265488 8 100 0500000 1 0500000 Somatório 18849552 Relacionando com a regra de Simpson Composta temos Relacionando com a expressão apresentada no problema temos Ao compararmos esse valor com o valor de uma calculadora científica 3141592654 verificaamos que o valor da aproximação está correto em seis dígitos significativos Analisando o exemplo é possível verificar a diferença da aproximação encontrada com uma calculadora que possui dez dígitos significativos No exemplo 2 a seguir vamos calcular essa diferença 7 Integração numérica Regra de Simpson Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra de Simpson PARTE 4 271 Exemplo 2 Sabendo que e π 3141592654 qual é a margem de erro dessa aproximação Para calcularmos essa margem de erro realizamos a diferença entre o valor dito como real e o valor aproximado ME 3141592654 3141592 654 107 Uma margem de erro consideravelmente pequena A fórmula de Simpson apresenta valores exatos para polinômios de grau menor ou igual 3 O exemplo 3 a seguir vai apresentar uma comparação entre as regras do trapézio simples e de Simpson simples com o valor exato mostrando a eficiência de cada método Exemplo 3 Sabendo que uma função no intervalo 0 2 pela regra do trapézio simples é dada pela aproximação uma reta e pela regra de Simpson uma parábola Se associarmos os valores aos dados tabelados com três casas decimais temos Burden e Faires 2008 p 184 tu u2 u4 1u1 Sen u eu Trapézio 4000 16000 1333 3326 0909 8389 Simpson 2667 6667 1111 2964 1425 6421 Valor exato 2667 6400 1099 2958 1416 6389 O que podemos avaliar desses resultados Ao observarmos os resultados apresentados avaliamos que a aproximação de Simpson simples é bem mais eficiente do que a do Trapézio simples Isso ocorre porque de forma implícita a regra de Simpson inclui o pontomédio em sua expressão Devido a essa precisão de aproximação muitos sistemas algébricos com putacionais e calculadoras eletrônicas utilizam em sua programação a regra de Simpson como ferramenta de aproximação de integrais Além disso existem formas mais elaboradas de calcular integrais numéricas em computação cientí fica como a técnica denominada adaptante em que a função flutua no intervalo dividindoo em subintervalos diminuindo assim o custo computacional e alcançando a precisão desejada de forma mais eficiente STEWART 2006 Integração numérica Regra de Simpson 8 272 MÉTODOS NUMÉRICOS Os teoremas que definem a expressão do erro para as fórmulas fechadas de newton cotes com uma distribuição de subintervalos ímpar e par 1 Erro na integração Teorema para um número de intervalos ímpar Se os pontos uk uo ip com p 0 1 2 dividem o intervalo fechado a b em uma quantidade ímpar de intervalos iguais e tu tem derivada de ordem n 1 contínua no intervalo fechado a b então a expressão do erro para as fórmulas fechadas de NewtonCotes do tipo fechado pode ser expressa como Para algum ponto ξ ϵ a b 2 Erro na integração Teorema para um número de intervalos par Se os pontos uk u0 ip com p 0 1 2 n dividem o intervalo fechado a b em uma quantidade ímpar de intervalos iguais e tu tem derivada de ordem n 2 contínua no intervalo fechado a b então a expressão do erro para as fórmulas fechadas de NewtonCotes do tipo fechado pode ser expressa como Para algum ponto ξ ϵ a b Regra de Simpson em uma situaçãoproblema Nas seções anteriores apresentamos as regras de Simpson simples e composta e avaliamos a eficiência da aproximação Veja no exemplo 4 a seguir uma aplicação com essas características Exemplo 4 O tráfego de dados em uma linha direta conectando duas redes pode ser mensurado de forma experimental visualize o quadro abaixo a partir de uma relação de dados de processamento em Gigabits por segundo Gbs versus tempo em horas Utilize a regra de Simpson composta para estimar a quantidade total de dados At transmitidos por meio dessa linha de transmissão de dados em 12 horas STEWART 2006 9 Integração numérica Regra de Simpson Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra de Simpson PARTE 4 273 thoras 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Dt 32 27 19 17 13 10 11 13 28 57 71 77 79 Ao observar os dados tabelados visualizamos o tempo apresentado em ho ras mas a relação de transmissão dos dados Dt está em gigabits por segundo Sendo assim poderíamos reescrever o quadro com dados tabelados convertendo horas em segundo pela relação 1 hora 3600 segundos da seguinte forma tsegundos 0 3600 7200 10800 14400 18000 21600 25200 Dt 32 27 19 17 13 10 11 13 tsegundos 28800 32400 36000 39600 43200 Dt 28 57 71 77 79 Com isso temos n 12 e p t b an 43200 012 4320012 3600 Ao associar a quantidade de dados em gigabits transmitidos no tempo t segue a relação At Dt e aplicando a regra de Simpson composta ao problema temos Dessa forma a quantidade total de dados em doze horas é de aproxima damente 143880 gigabits Integração numérica Regra de Simpson 10 274 MÉTODOS NUMÉRICOS No link a seguir você encontrará um resumo ilustrado e esquematizado da regra de Simpson simples e composta para estimar integrais numéricas elaborado pelo professor Carlos Alves do Instituto de Matemática da Universidade de Lisboa httpsqrgopagelinkkrouu No vídeo a seguir o professor Leônidas Brandão da UNIVESP apresenta a regra de Simpson a partir da estimativa do cálculo da área de uma curva httpsqrgopagelinkiZJbp Para a implementação computacional do método de integração numérica de Simpson podemos utilizar softwares que tem funcionalidade para a matemá tica científica em ambientes como o Visual Basic for Applications VBA no Excel Octave Matlab Scilab associando a alguma linguagem de programação por exemplo C C Fortran entre outras de acordo com a finalidade e as habilidades de programação do usuário RUGGIERO LOPES 1996 BARROSO L et al Cálculo numérico com aplicações 2 ed São Paulo Editora Harbra1987 BURDEN R L FAIRES D J Análise numérica 8 ed São Paulo Cengage Learning 2008 FRANCO N B Cálculo numérico São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 RUGGIERO M A G LOPES V L R Cálculo numérico aspectos teóricos e computacionais São Paulo Pearson 1996 STEWART J Cálculo 5 ed São Paulo Cengage Learning 2006 v 1 11 Integração numérica Regra de Simpson Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra de Simpson PARTE 4 275 Leituras recomendadas CHAPRA S C CANALE R P Métodos numéricos para engenharia Porto Alegre AMGH 2016 DORNELLES FILHO A A Fundamentos de cálculo numérico Porto Alegre Bookman 2016 Integração numérica Regra de Simpson 12 ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE PREZADO ESTUDANTE Se você encontrar algum problema neste material entre em contato pelo email eadproducaunilasalleedubr Descreva o que você encontrou e indique a página Lembrese a boa educação se faz com a contribuição de todos Av Victor Barreto 2288 I Canoas RS CEP 92010000 0800 541 8500 eadproducaounilasalleedubr
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UNIDADE 4 Métodos NUMÉRICOS UNIVERSIDADE LaSalle Viver é evoluir NOVA GRADUAÇÃO UNIVERSIDADE LA SALLE EDUCAÇÃO E CULTURA Ajustes de Curvas e Integração Numérica Prezado estudante Estamos começando uma unidade desta disciplina Os textos que a compõem foram organizados com cuidado e atenção para que você tenha contato com um conteúdo completo e atualizado tanto quanto possível Leia com dedicação realize as atividades e tire suas dúvidas com os tutores Dessa forma você com certeza alcançará os objetivos propostos para essa disciplina Objetivo Geral Identificar os métodos numéricos mais apropriados para a resolução de uma situação problema envolvendo ajuste de curvas ou integração unidade 4 V1 2021 Parte 1 Interpolação unidade 4 O conteúdo deste livro é disponibilizado por SAGAH V1 2021 Interpolação Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir interpolação polinomial e por splines Reconhecer a diferença entre polinômio de Newton e o polinômio de Lagrange Aplicar a interpolação polinomial e a interpolação por splines para estimar valores intermediários entre dados precisos Introdução Neste capítulo você vai aprender a realizar interpolações polinomiais e por splines para estimar valores intermediários entre dados apresentados além de saber como identificar as principais diferenças entre os polinômios de Lagrange e de Newton Os métodos de interpolação polinomial têm a finalidade de obter uma aproximação para uma função tu em duas situações básicas A primeira situação ocorre quando tu é uma função cuja lei de apresentação não é linear eou transcendente ou seja é difícil de avaliála analiticamente apenas com valores numéricos conhecidos A segunda situação é consequência da primeira pois em muitos casos não se sabe a expressão analítica de tu o que se sabe é o valor de alguns pontos em um intervalo no qual a função está determinada Interpolação polinomial e por splines Historicamente a aproximação de funções por polinômios é uma atividade que ocorre há bastante tempo na área de pesquisa da Análise Numérica e consequentemente mais antiga ainda em situações problemas de resolução de problemas físicos no Cálculo Numérico Os polinômios possuem características que justificam a sua utilização como função de substituição em problemas de determinação de valores intermediários entre dados precisos os resultados Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 219 dos processos de integração e derivação resultam em outros polinômios e a determinação de suas raízes em diversos casos pode ser computada por procedimentos analíticos FRANCO 2006 No caso da interpolação de funções por substituições com polinômios um teorema de Weierstrass já descreve que uma função contínua dada pode ser eventualmente aproximada por um polinômio Karl Weierstrass 18151897 é muitas vezes chamado de pai da análise moderna devido à sua insistência de rigor na demonstração de resultados matemáticos Ele foi importante no desenvolvimento de testes para convergência de séries e na de terminação de maneiras para definir rigorosamente números irracionais BURDEN R FAIRES BURDEN A 2008 p 100 Como ponto de partida para o desenvolvimento do conceito de interpolação analisemos o Quadro 1 U 2 1 0 1 2 tu 6 3 2 3 6 Quadro 1 Valores de uma função Avaliando os valores do quadro podemos chegar à conclusão de que tu u² 2 sem muitos problemas pois uma função polinomial do segundo grau pode ser determinada por um procedimento analítico Agora nem sempre realizar essa avaliação é possível Imagine se a função apresentada fosse wu sen ln u ecos u a determinação dos valores apresentados em um quadro como descrito anteriormente se tornaria uma tarefa complicada Dessa forma a principal finalidade do procedimento de interpolação é a partir de pontos conhecidos de uma função determinada encontrar uma aproximação para ela sem a necessidade por exemplo de derivar ou integrar a função Interpolação 2 220 MÉTODOS NUMÉRICOS Genericamente uma função de interpolação de grau g pode ser definida a partir de g 1 pontos diferentes u0 u1 ug nomeados de nós de interpolação e os seus respectivos valores de tu nesses pontos tu0 tu1 tug Nesse sentido a forma de interpolação de tu consiste em se encontrar uma função wu tal que se verifique a condição de interpolação Nesse contexto as funções escolhidas podem ser racionais trigonométricas exponenciais e logarítmicas entre outras mas vamos nos delimitar apenas ao estudo de interpolações polinomiais Interpolação polinomial Consideremos os pontos u0 tu0 u1 tu1 ug tug logo g 1 pontos que desejamos aproximar tu por meio de um polinômio pgu com grau menor ou igual a g de forma que tuk pguk e k 0 1 2 3 g O polinômio pgu a0 a1 u a2 u² ag ug é único e da relação tuk pgukdesenvolvemos o seguinte sistema linear Transformando esse sistema linear em forma de uma matriz temos 3 Interpolação Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 221 Desde de que u0 u1 ug sejam pontos diferentes temos que essa matriz de Vandermonde gera um sistema linear que possui solução única No vídeo disponível no link a seguir a professora Joyce Bevilacqua da UNIVESP explica detalhadamente como realizar interpolações por polinômios por meio de exemplos httpsqrgopagelink1DdmL Maneiras de obter o polinômio interpolador Há outras formas de obter o polinômio interpolador além da descrita ante riormente resolução do sistema linear apresentado como por exemplo os polinômios de Lagrange e Newton A forma de Lagrange parte também da ideia de que sejam u0 u1 ug com g 1 pontos diferentes tui i 0 1 g e seja pgu o polinômio de grau menor ou igual a g que interpola t em u0 u1 ug e é representado pela expressão tui tu0L0ui tu1L1ui tugLgu na qual os polinômios da forma Lku possuem grau g Retomando a ideia fundamental da interpolação desejamos que a condição tui pgui seja válida tui tu0L0ui tu1L1ui tugLgui pgui Avaliando Lkui a partir das condições descritas temos Interpolação 4 222 MÉTODOS NUMÉRICOS Com isso estabelecemos que Portanto a forma geral do polinômio interpolador de Lagrange é dada por Para ilustrar o conceito vamos explorar os casos particulares de g 1 e g 2 da forma de Lagrange descrita no exemplo a seguir Exemplo 1 Apresente a interpolação linear com dois pontos e quadrática com três pontos da forma de Lagrange ou seja avalie os casos onde g 1 e g 2 Utilizando a forma de Lagrange para g 1 temos p1u tu0L0u tu1L1u com e Já para g 2 temos p2u tu0L0u tu1L1u tu2L2u Fonte Ruggiero e Lopes 1996 p 218219 É possível realizar essas aplicações genéricas com valores de g variando de 0 a k 5 Interpolação Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 223 Genericamente Lku pode ser apresentado por A forma de Newton para o polinômio pgu que interpola u0 u1 ug g 1 com pontos diferentes tui i 0 1 g é descrita pela seguinte expressão pgu d0 d1u u0 d2u u0 u u1 dnu u0 u u1 u ug1 A forma de Newton apresenta um operador de diferenças divididas Po demos definila pelo Quadro 2 Fonte Adaptado de Ruggiero e Lopes 1996 tu0 tu0 Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem g Quadro 2 Apresentando o operador de diferenças divididas Interpolação 6 224 MÉTODOS NUMÉRICOS Assim como em muitas áreas Isaac Newton foi um pioneiro no estudo de equações diferenciais Ele desenvolveu fórmulas de interpolação já em 1675 usando usa notação em tabelas de diferenças Ele adotou uma abordagem muito geral para as fórmulas de diferenças de modo que os exemplos que ele produziu explicitamente incluindo as fórmulas de Lagrange são frequentemente conhecidos por outros nomes BURDEN R FAIRES BURDEN A 2008 p 117 Dessa forma tu1 u2 uk é chamada de diferença dividida de ordem k da função tu com relação aos k 1 pontos de u0 u1 uk O Quadro 3 descreve as diferenças divididas tabuladas de maneira organizada Fonte Adaptado de Ruggiero e Lopes 1996 u Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem g u0 tu0 u1 tu1 tu0 u1 u3 tu2 tu1 u2 tu0 u1 u2 tu0 u1 u2 u3 u3 tu3 tu2 u3 tu1 u2 u3 tu1 u2 u3 u4 U4 tu4 tu3 u4 tu2 u3 u4 tu0 u1 ug ug tug tug1 ug tug2 ug1 ug tug3 ug2 ug1 ug Quadro 3 Dados do operador de diferenças divididas organizados Estudos posteriores a Newton sobre interpolação polinomial elaborados pelo matemático Hermite generalizaram os polinômios de Lagrange e Taylor com os chamados polinômios osculadores Como nossos estudos se restringem ao Cálculo numérico não vamos abordar esse tipo de interpolação polinomial 7 Interpolação Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 225 Charles Hermite 1822 1901 fez descobertas em muitas áreas especialmente em análise complexa e teoria dos números Ele ficou conhecido por demonstrar em 1873 que é um número transcendental BURDEN R FAIRES BURDEN A 2008 p 127 Hermite deu uma descrição de um polinômio osculador geral em uma carta a Carl W Bochard em 1878 a quem regularmente enviava seus novos resultados Sua demonstração é uma aplicação interessante do uso de técnicas de integração complexa para resolver problemas de valor real BURDEN R FAIRES BURDEN A 2008 p 128 Interpolação por splines Os métodos de interpolação polinomial descritos anteriormente consistem basicamente de aproximações de funções aleatórias em intervalos fechados Contudo a essência oscilatória de polinômios de grau alto é uma característica que provoca alta flutuação em uma pequena parte do intervalo BURDEN R FAIRES BURDEN A 2008 Nesse sentido uma forma diferente de se realizar a interpolação polinomial de uma função é segmentar um conjunto de subintervalos e elaborar um polinômio aproximador distinto em cada subin tervalo esse procedimento é nomeado de aproximação polinomial por partes A forma mais simples de aproximação por partes é a chamada interpo lação linear por partes que apresenta como ideia fundamental a junção de uma coleção de pontos apresentados por um conjunto de retas A Figura 1 descreve essa ideia A inconveniência da aproximação linear por partes é a chance de não existir a possibilidade de derivar os limites dos subintervalos Essa perspectiva reflete em métodos de aproximação por partes que precisam de referências sobre a derivada da função avaliada O spline cúbico interpolador utiliza polinômios cúbicos no processo de interpolação de funções é a forma mais habitual de aproximação por partes de uma função Os campos de estudo da computação gráfica e da acústica na suavização de áudio em caráter digital são as principais aplicações de splines em um contexto mais prático RUGGIERO LOPES 1996 Interpolação 8 226 MÉTODOS NUMÉRICOS Figura 1 Representação Gráfica da aproximação linear por partes Fonte Adaptada de Burden R Faires e Burden A 2008 y y fx x0 x1 x2 xj xj 1 xj 2 xn 1 xn x A justificativa essencial para a utilização do spline cúbico está no fato de que geralmente a configuração do polinômio cúbico apresenta quatro constantes permitindo assim a garantia da diferenciabilidade e a continuidade da função interpoladora além da existência da derivada de segunda ordem da função interpoladora BURDEN R FAIRES BURDEN A 2008 A Figura 2 exprime a ideia de que as derivadas da função interpoladora em um spline cúbico harmonizem com a função aproximada por partes Figura 2 Representação Gráfica da função interpoladora em um spline cúbico Fonte Adaptada de Burden R Faires e Burden A 2008 x0 x1 x2 xj xj 1 xj 2 xn 2 xn 1 xn x Sx S0 S1 Sj Sj 1 Sn 2 Sn 1 Sjxj1 fxj1 Sj1xj1 Sjxj1 Sj1xj1 Sjxj1 Sj1xj1 9 Interpolação Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 227 A análise da Figura 2 permite que apresentemos uma definição para um spline cúbico interpolador descrevendoo conforme a seguir Dada a função f definida em a b e em um conjunto de nós a u0 u1 uk b um spline cúbico interpolador S para f é uma função que satisfaz as seguintes condições a Su é um polinômio cúbico denotado Sju no subintervalo uj uj1 para cada j 0 1 k 1 b Sjuj fuj e Sjuj1 para cada j 0 1 k 1 c Sj1uj1 Sjuj1 para cada j 0 1 k 2 d Sj1uj1 Sjuj1 para cada j 0 1 k 2 e Sj1uj1 Sjuj1 para cada j 0 1 k 2 f Um dos conjuntos de condições de contorno a seguir é satisfeito Su0 Suk 0 condições de contorno livres ou naturais Su0 fu0 e Suk fuk condições de contorno fixadas Dessa forma quando as condições de contorno são livres ou naturais o spline é nomeado como spline livre ou natural Quando são seguidas as condições de contorno fixadas a aproximação por partes de uma função é mais precisa Um spline livre não tem condições impostas para a direção em suas extremidades então a curva toma a forma de uma linha reta depois que passa pelos pontos de interpolação mais próximos de suas extremidades Um spline livre é a forma natural que uma haste flexível assume se forçada a passar pelos pontos de interpolação especificados sem restrições adicionais BURDEN R FAIRES BURDEN A 2008 p 137 Interpolação 10 228 MÉTODOS NUMÉRICOS A função spline linear pode ser expressa por dois pontos que determinam uma reta É possível também deduzir a função de spline linear a partir dos pontos apresentados que passam pela reta Principais diferenças entre as formas polinomiais de Lagrange e Newton Na comparação entre as interpolações polinomiais de Lagrange e Newton para um conjunto de g pontos podemos considerar três aspectos que as diferem quanto às operações realizadas nos respectivos processos de interpolação que são o número de adições o número de multiplicações é o número de divisões O Quadro 4 descreve essas operações Fonte Adaptado de Barroso et al 1987 Fórmulas Operações Número de adições Número de multi plicações Número de divisões Total Lagrange n2 n 1 n2 1 2n 2n2 3n 2 Newton n2 n 2 2n 3 n2 n2 3n2 5n 102 Quadro 4 Comparação entre o número de operações realizadas na interpolação polino mial de Lagrange e Newton 11 Interpolação Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 229 Dessa forma observamos que o número de operações realizadas no proce dimento de interpolação polinomial de Lagrange é superior ao de interpolação polinomial de Newton como apresentado na desigualdade a seguir Com relação à vantagem de aplicação de um procedimento em relação ao outro é possível afirmar que para um mesmo conjunto de u associados a funções t a aproximação de Lagrange é menos trabalhosa Já na elaboração do quadro de diferenças divididas as ordens serão construídas de acordo com a quantidade de interpolações BARROSO et al 1987 Com relação ao esforço computacional o método de Newton é mais vantajoso pois realiza um número menor operações o que implica em uma velocidade maior na compilação de uma implementação computacional do procedimento RUGGIERO LOPES 1996 Aplicando as interpolações polinomiais e por splines para estimar valores intermediários Nas seções anteriores apresentamos as interpolações polinomiais e por splines de forma genérica vamos apresentar exemplos de aplicação desses métodos para estimar valores intermediários Inicialmente vamos encontrar um valor intermediário a partir de três pontos tabelados obtendo o polinômio de interpolação por um sistema linear O exemplo a seguir vai explorar essa experimentação Exemplo 2 Dados os valores tabelados no quadro a seguir encontre o polinômio interpolador e o valor da função tu em u 1 u 1 0 1 2 tu 4 1 1 Interpolação 12 230 MÉTODOS NUMÉRICOS Como são apresentados três pontos ou nós o polinômio interpolador possui grau dois A expressão que representa um polinômio dessa forma é p2u a0 a1u a2u² usando a relação de interpolação polinomial temos I p2u0 tu0 p21 4 a0 a11 a212 4 a0 a1 a2 4 II p2u1 tu1 p20 1 a0 a10 a202 1 a0 0 0 1 a0 1 III p2u2 tu2 p22 1 a0 a12 a222 1 a0 2a1 4a2 1 Substituindo a0 1 em I e III temos a0 a1 a2 4 a1 a2 4 a1 a2 4 1 a1 a2 3 a0 2a1 4a2 1 1 2a1 4a2 1 2a1 4a2 1 1 2a1 4a2 2 Com isso obtemos o seguinte sistema linear Reescrevendoo em sua forma matricial e resolvendoo por escalonamento temos Retomando a forma de sistema linear dispomos Substituindo esse valor na primeira equação temos Com isso o polinômio interpolador p2u a0 a1u a2u² se torna Para encontrar p21 basta substituirmos u 1 no polinômio interpolador Fonte adaptado de Ruggiero e Lopes 1996 p 215 13 Interpolação Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 231 Apesar do processo para a determinação do polinômio interpolador e do valor intermediário estimado serem realizados de forma objetiva existem situações em que o procedimento não acontece de forma simples RUGGIERO LOPES 1996 Agora vamos aplicar a interpolação polinomial com o polinômio de La grange por meio do exemplo a seguir Exemplo 3 Utilize a interpolação polinomial de Lagrange para encontrar o polinômio interpolador de grau dois dos dados tabelados apresentados no Exemplo 1 Relembrando a forma de Lagrange para um polinômio de grau dois temos Substituindo os valores encontrados na forma de Lagrange temos Multiplicando a equação por seis temos p2u 4 2 u2 2u 3 u2 u 2 u2 u p2u 8u2 16u 3u2 3u 6 u2 u p2u 6 14u 4u2 Interpolação 14 232 MÉTODOS NUMÉRICOS Dividindo a equação por seis temos Simplificando as frações equivalentes temos Observe que a expressão representa o mesmo polinômio interpolador do exemplo anterior Fonte Adaptado de Ruggiero e Lopes 1996 Após apresentarmos um exemplo de aplicação da interpolação polinomial com o polinômio de Lagrange vamos aplicar uma interpolação polinomial com o polinômio de Newton por meio do exemplo a seguir Exemplo 4 Utilizando os dados tabelados do Exemplo 2 obtenha o polinômio interpolador pela forma de Newton Relembrando a forma de Newton para um polinômio de grau dois temos p2u tu0 u u0 tu0 u1 u u0u u1 tu0 u1 u2 Utilizando a tabela de operadores divididos temos o seguinte u Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 1 4 3 1 0 1 2 1 tu0 4 u0 1 u1 0 tu0 u1 3 tu0 u1 u2 15 Interpolação Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 233 Substituindo esses valores em p2u tu0 u u0 tu0 u1 u u0u u1 tu0 u1 u2 temos Novamente encontramos o polinômio interpolador de grau 2 Fonte Adaptado de Ruggiero e Lopes 1996 O exemplo a seguir reflete uma aplicação de spline linear que interpolada uma função apresentada a partir de dados tabelados Exemplo 5 A partir dos dados tabelados da função abaixo encontre um spline linear que interpole essa função u u0 u1 u2 u3 1 2 5 7 tu 1 2 3 25 Interpolação 16 234 MÉTODOS NUMÉRICOS A partir da definição de spline linear temos Fonte Adaptado de Ruggiero e Lopes 1996 No vídeo disponível neste link a professora Joyce Bevilacqua da UNIVESP explica detalhadamente os conceitos de interpolação linear e suas aplicações básicas por meio de exemplos httpsqrgopagelinkdKTQs Para a implementação computacional de interpolações polinomiais po demos utilizar softwares que apresentam funcionalidade para a matemática científica em ambientes como o Visual Basic for Applications VBA no Excel Octave Matlab e Scilab associando a alguma linguagem de programação por exemplo C C Fortran entre outras de acordo com a finalidade e habilidades de programação do usuário 17 Interpolação Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Interpolação PARTE 1 235 BARROSO L C et al Cálculo numérico com aplicações 2 ed São Paulo Harbra 1987 BURDEN R L FAIRES D J BURDEN A M Análise numérica 8 ed São Paulo Cengage Learning 2008 FRANCO N B Cálculo numérico São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 RUGGIERO M A G LOPES V L da R Cálculo numérico aspectos teóricos e computa cionais São Paulo Pearson 1996 Leituras recomendadas CHAPRA S C CANALE R P Métodos numéricos para engenharia 7 ed Porto Alegre AMGH 2016 DORNELLES FILHO A A Fundamentos de cálculo numérico Porto Alegre Bookman 2016 Interpolação 18 ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE PREZADO ESTUDANTE Parte 2 Regressão por Mínimos Quadrados unidade 4 O conteúdo deste livro é disponibilizado por SAGAH V1 2021 Regressão por mínimos quadrados Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir regressão polinomial múltipla e não linear Reconhecer a diferença entre regressão e interpolação Aplicar a regressão para ajustar uma reta a um conjunto de dados Introdução Neste capítulo você vai aprender a realizar regressão por polinômios de forma múltipla e regressão linear utilizando mínimos quadrados de forma que seja possível estimar valores intermediários entre os dados apresentados além de saber como identificar as principais diferenças entre regressão e interpolação Os métodos de regressão têm a finalidade de obter um ajuste de dados que se aproxima do padrão original Esses ajustes de curvas têm caráter linear e as funções de aproximação seguem principalmente modelos polinomiais exponenciais logarithmicos e até trigonométricos para estimar valores a partir de dados computados de forma experimental em um quadro Consequentemente apresentase um erro chamado especificamente neste assunto de resíduo Método dos mínimos quadrados discreto contínuo e não linear Ao se investigar a relação entre dois parâmetros matemáticos que se associam por exemplo uma relação u e ut de forma experimental é natural que ocorram erros pois essas variáveis em algum momento de aferição podem sofrer mudanças em seus valores originais Normalmente a construção da Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Regressão por Mínimos Quadrados PARTE 2 239 relação entre duas variáveis segue um parâmetro Nesse sentido existem casos em que esses parâmetros podem ser dimensionados de forma analítica e em outros casos a solução numérica é a que produz mais viabilidade em termos de resultados esperados É possível também indicar uma previsão desse comportamento por meio de um Diagrama de Dispersão e a partir de uma breve análise gráfica verificar algum parâmetro que se aproxima do real Basicamente a situação problema que se configura com a necessidade de ajuste de curvas na qual são apresentados pontos tabelados u1 tu1 u2 tu2 uk tuk em um quadro com os valores u1 u2 uk a ab equivale a determinar n funções v1u v2u vnu contínuas no intervalo ab e consequentemente adquirir n constantes a1 a2 an de forma que wu a1v1u a2v2u anvnu se aproxime de forma eficiente de tu Essa maneira de otimizar os modelos matemáticos gerados em problemas físicos se constitui de forma linear já que os coeficientes que se deseja obter se configuram na equação wu de forma linear Do ponto de vista de Álgebra Linear ou em contexto vetorial podemos dizer que a função wu se configura como uma combinação linear entre as funções contínuas do intervalo ab que necessariamente não sejam lineares e as constantes que se deseja determinar Certamente vão surgir dois questionamentos sobre modelo de ajuste de curvas apresentado 1 De que forma escolher funções contínuas v1u v2u vnu 2 Qual o modelo matemático função de aproximação que se ajusta de maneira mais adequada aos pontos apresentados em um Diagrama de Dispersão plotados no plano cartesiano por meio de um quadro com dados tabelados O critério para utilizar a função nesse procedimento é realizado por meio de análise gráfica dos pontos tabelados em um Diagrama de Dispersão ou fundamentandose nas circunstâncias experimentais que promoveram os dados tabelados Após a elaboração do Diagrama de Dispersão é possível associar um modelo matemático que se ajusta de forma eficiente aos dados apresentados Regressão por mínimos quadrados 2 240 MÉTODOS NUMÉRICOS A partir dos dados apresentados na tabela a seguir você será capaz de determinar a função contínua de aproximação U 100 075 060 050 030 000 020 040 050 070 100 tu 205 1153 045 040 050 000 020 060 0512 120 205 Ao elaborarmos o diagrama de dispersão dos dados tabelados no Excel temos o seguinte gráfico Figura 1 Figura 1 Representação gráfica do diagrama de dispersão Ao avaliarmos o Diagrama de Dispersão com os pontos plotados em um plano cartesiano observamos que uma função contínua que se ajusta à curva apresentada é v1u u2 ou seja uma equação cônica com característica de parábola que intercepta a origem do plano cartesiano e consequente wu a1v1u a1 u2 Recorrendo ao problema verificamos que ao determinar as funções con tínuas v1u v2u vnu a partir da interpretação do Diagrama de Dispersão temos que avaliar a condição de aproximação entre tu e wu e assim en contrar os coeficientes a1 a2 an De forma geral o fundamento principal desse procedimento de ajuste de curvas é estabelecer o desvio tuj wuj de forma que seja o menor possível ou mínimo para j 1 2 3 k 3 Regressão por mínimos quadrados Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Regressão por Mínimos Quadrados PARTE 2 241 Há diversas maneiras de estabelecer esses desvios com a configuração apresentada anteriormente mas vamos abordar neste capítulo especificamente o método dos mínimos quadrados de forma discreta e contínua Método dos mínimos quadrados Observando as premissas estabelecidas anteriormente u1 tu1 u2 tu2 uk tuk os pontos v1u v2u vnu as funções contínuas e wu a1v1u a2v2u anvnu constantes para determinar a aproximação mais eficiente possível de tu podemos conceituar o método dos mínimos quadrados MMQ Seja dj tuj wuj o desvio em uj o MMQ significa eleger as constantes de maneira que a soma dos quadrados dos dj seja a menor possível Portanto se é a menor possível obteremos cada parcela do somatório muito pequena Utilizando o Cálculo Diferencial na expressão 1 para encontrar um ponto de mínimo nas constantes e derivando parcialmente cada termo dj também em 1 obtemos um sistema linear de forma matricial M a b Associando essa forma matricial à notação de produto escalar de vetores temos Conectando essa condição ao desenvolvimento do método de mínimos quadrados temos 1 A matriz M é simétrica pois Regressão por mínimos quadrados 4 242 MÉTODOS NUMÉRICOS 2 Também associamos que 3 Sendo assim 4 O sistema linear pode ser representado como Para determinar o coeficiente a1 na expressão wu a1 u2 do exemplo a seguir vamos desenvolvêlo Esse caso pode ser considerado como caso MMQ discreto A partir da tabela a seguir determine o coeficiente a1 na expressão wu a1 u2 U 100 075 060 050 030 000 020 040 050 070 100 tu 205 1153 045 040 050 000 020 060 0512 120 205 Como são onze valores tabelados temos a seguinte equação Associando essas informações podemos elaborar a tabela a seguir U 100 075 060 050 030 000 020 040 050 070 100 u2 u2 1 03164 01296 00625 00081 000 00016 00256 00625 02401 100 tu u2 205 06486 0162 01 0045 000 0008 0096 0128 0588 205 5 Regressão por mínimos quadrados Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Regressão por Mínimos Quadrados PARTE 2 243 Substituindo esses valores em Temos aproximação por truncamento considerando quatro dígitos significativos Assim wu 2 0642 u2 Lembrando do conceito de produto escalar Dados dois vetores c e d Rn o número real é denominado produto escalar de c por d Condições para a admissão da solução do sistema linear 2 Se as funções v1u v2u vnu estiverem associadas aos vetores de forma a serem linearmente independentes então det M 0 Consequentemente o sistema linear 2 conta com apenas uma solução Essa solução é o ponto no qual a função apresenta o menor valor possível ou mínimo da função Além disso os vetores do sistema linear 2 possuem característica de matriz diagonal Dessa forma é possível elaborar polinômios de grau 0 1 2 g que se configuram como ortogonais Regressão por mínimos quadrados 6 244 MÉTODOS NUMÉRICOS No caso contínuo de MMQ desejamos realizar a seguinte aproximação Por meio do exemplo a seguir vamos aplicar o caso contínuo por meio da aproximação de um polinômio de grau 3 por uma reta Aproxime o polinômio tu 4u3 por uma reta no intervalo 01 Dos dados apresentados no problema temos wu a1v1u a2v2u a1 a2u com a1 e a2 ℝ pois v1u 1 e v2u u Representamos o sistema linear M a b em sua forma matricial para o caso particular duas linhas por duas colunas Calculamos cada termo das matrizes M e b utilizando a condição do caso contínuo do MMQ Lembrando que a12 a21 porque a matriz M é diagonal e simétrica 7 Regressão por mínimos quadrados Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Regressão por Mínimos Quadrados PARTE 2 245 Com isso temos o seguinte sistema linear Com isso a aproximação por uma reta utilizando o MMQ da função tu 4u3 no intervalo 01 é Até agora os casos discreto e contínuo apresentaram funções lineares em seus parâmetros mas existem situações em que isso não ocorre esse caso é denominado como caso linear Ao elaborar um Diagrama de Dispersão o modelo aproximado que se apresenta a partir de uma análise gráfica é uma função exponencial do tipo com a1 0 a2 0 Para utilizar o MMQ nesse caso é fundamental realizar uma linearização As formas de linearização mais comuns a partir dos dados tabelados com a produção do Diagrama de Dispersão são hipérbole curva exponencial curva geométrica e curva trigonométrica RUGGIERO LOPES 1996 Regressão por mínimos quadrados 8 246 MÉTODOS NUMÉRICOS Diferenças entre a regressão e a interpolação no processo de aproximação de valores estimados O método da interpolação é um caso especial inserido no MMQ para o ajuste de dados em forma de regressão BURDEN R FAIRES BURDEN A 2008 Nesse sentido não é interessante utilizar o método de interpolação quando os valores tabelados são obtidos de forma experimental seja em Física Experimental Engenharia Química Econometria ou outros campos de investigação científica que estudam problemas físicos em contexto real Nessas situações específicas os dados obtidos podem apresentar erros ou resíduos que não são estimados BARROSO et al 1987 Outra situação na qual não é interessante utilizar a interpolação é quando necessitamos encontrar um valor aproximado da função que não está contido no intervalo de dados tabelados O ajuste dos dados por regressão se divide em casos discreto por poli nômios de grau de 1 2 3 g contínuo em intervalos nos quais as funções de aproximação são contínuas calculando a partir da integração no intervalo apresentado e não linear a partir de funções de aproximação não lineares Já a interpolação apresenta como aproximação os polinômios de Newton Lagrange por Sistema Linear por Splines cúbicos e naturais 9 Regressão por mínimos quadrados Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Regressão por Mínimos Quadrados PARTE 2 247 Regressão para ajustar uma reta a um conjunto de dados Nas seções anteriores apresentamos os casos do MMQ em situações discre tas contínuas e não lineares Especificamente vamos explorar exemplos de aplicação do MMQ para ajustar um conjunto de dados por uma reta Veja no exemplo a seguir uma aplicação com essas configurações No controle de qualidade da produção de refrigerantes da Fábrica Ventos Elísios o nível da temperatura é controlado para não haver fermentação por meio do crescimento de bactérias indesejáveis O Engenheiro Químico responsável pelo setor de controle de qualidade tem em seu computador os valores de referência tabelados Temperatura ºC 1 3 4 8 População de bactérias em milhões P 35 74 92 148 Sabendo que uma reta ajusta os dados da tabela qual será a população de bactérias com uma temperatura de 2ºC Esse caso configurase como uma regressão linear pois o ajuste dos dados é realizado por meio de uma reta do tipo wu a1u a2 com as funções de aproximação v1u u e v2u 1 Elaborando uma tabela auxiliar para utilização do MMQ temos v1u u 1 3 4 8 v1v1 v2v1 v2u 1 1 1 1 1 v1v2 v2v2 P fu 35 74 92 148 v1fu v2fu Regressão por mínimos quadrados 10 v₁fu 1 35 3 74 4 92 8 148 35 222 368 1184 1809 Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Regressão por Mínimos Quadrados PARTE 2 249 Ajustes de curvas utilizando planilhas eletrônicas Nos vídeos a seguir a professora Joyce Bevilacqua da UNIVESP apresenta uma aplicação de ajustes de curvas utilizando como ferramenta planilhas eletrônicas httpsqrgopagelink4XW1f httpsqrgopagelink5Jv2g Planilha eletrônica para testar regressão linear No link a seguir você verá terá acesso a uma planilha eletrônica elaborada no Excel para estimar valores em uma regressão linear a partir da inserção de dados nas células ajustáveis httpsqrgopagelink9oAgK Para a implementação computacional do MMQ podemos utilizar softwares que tem funcionalidade para a Matemática Científica em ambientes como o Visual Basic for Applications VBA no Excel Octave Matlab e Scilab asso ciando a alguma linguagem de programação por exemplo C C Fortran entre outras de acordo com a finalidade e as habilidades de programação do usuário BARROSO L C et al Cálculo numérico com aplicações 2 ed São Paulo Harbra 1987 BURDEN R L FAIRES D J BURDEN A M Análise numérica 8 ed São Paulo Cengage Learning 2008 FRANCO N B Cálculo numérico São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 Regressão por mínimos quadrados 12 250 MÉTODOS NUMÉRICOS RUGGIERO M A G LOPES V L da R Cálculo numérico aspectos teóricos e computa cionais São Paulo Pearson 1996 Leituras recomendadas CHAPRA S C CANALE R P Métodos numéricos para engenharia 7 ed Porto Alegre AMGH 2016 DORNELLES FILHO A A Fundamentos de cálculo numérico Porto Alegre Bookman 2016 13 Regressão por mínimos quadrados ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE PREZADO ESTUDANTE Parte 3 Integração Numérica Regra do Trapézio unidade 4 O conteúdo deste livro é disponibilizado por SAGAH V1 2021 Integração numérica regra do trapézio Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra do Trapézio PARTE 3 253 Regra do trapézio simples e composta A ideia básica do desenvolvimento da integração numérica está ligada à neces sidade de calcular integrais definidas de funções que não possuam antiderivada ou primitivas conhecidas ou de forma analítica BARROSO et al 1987 O método elementar para encontrar uma aproximação da integral da função é chamado de quadratura numérica e usa o somatório Dado um conjunto de pontos diferentes u0 u1 un pertencentes a um intervalo fechado a b ao integrarmos o polinômio interpolador de Lagrange obtemos a fórmula da quadratura descrita em 1 Usando o polinômio de Lagrange de grau 1 com pontos igualmente espaçados obtemos a fórmula do trapézio simples ou regra do trapézio simples para determinar integrais numéricas Para encontrar a expressão da regra do trapézio simples para a aproximação de uma integral podemos utilizar o polinômio de Lagrange de grau 1 Aplicando para o caso da quadratura numérica levamos em conta os dados a seguir u0 a u1 b p b a Integração numérica regra do trapézio 2 254 MÉTODOS NUMÉRICOS Com isso temos Nesse sentido se aplicarmos o Teorema do Valor Médio para as integrais ao termo do erro obtemos um erro no intervalo u0 u1 para um ξ temos Sabendo que u u0u1 u não altera seu sinal no intervalo u0 u1 Dessa forma a equação 3 pode ser descrita como Lembrando que p u1 u0 b a Substituindo esse valor na equação anterior temos Essa fórmula representa a regra do trapézio simples ou sem repetições A Figura 1 descreve uma interpretação geométrica dessa fórmula 3 Integração numérica regra do trapézio Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra do Trapézio PARTE 3 255 Figura 1 Representação gráfica da regra do trapézio simples ou sem repetições Fonte Adaptada de Burden e Faires 2008 Quando t é uma função com valores maiores do que zero em consideremos a aproximação como uma área de trapézios por isso o nome regra dos trapézios BURDEN FAIRES 2008 Quando a aproximação é realizada em um intervalo com grande ampli tude o erro pode ser muito alto Nesses casos utilizamos a regra do trapézio composta ou repetida aproximando a cada intervalo de aplicação ou seja com subintervalos FRANCO 2006 O teorema abaixo caracteriza a regra do trapézio composta Dado t R2 a b p b an e uk a kp k 01 n um w a b para o qual a regra do trapézio composta para n subintervalos pode ser expressa com o termo de erro por Integração numérica regra do trapézio 4 256 MÉTODOS NUMÉRICOS A Figura 2 descreve uma interpretação geométrica dessa fórmula Figura 2 Representação gráfica da regra do trapézio composta ou com repetições Fonte Adaptada de Burden e Faires 2008 As expressões 4 e 5 determinam um limitante para o erro nas regras do trapézio simples e composta Em situaçõesproblema conseguimos delimitar o erro por meio dessas expressões Tipos de regras do trapézio na integração numérica Quando desejamos calcular a integral de funções pelos métodos numéricos das regras do trapézio simples e composta temos que avaliar algumas premissas como se o intervalo a b apresenta amplitude pequena ou grande ou se o valor da aproximação é considerável pois a aproximação é defasada 5 Integração numérica regra do trapézio Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra do Trapézio PARTE 3 257 Analisemos essas considerações e premissas por meio do Exemplo 1 a seguir Exemplo 1 Determine o valor de e estime o erro pela regra do trapézio simples Aplicando a regra do trapézio simples temos O valor de Substituindo esses valores na regra do trapézio temos Agora vamos calcular o erro estimado determinando cada componente da fórmula do limitante do erro para a regra do trapézio simples O maior valor de tu no intervalo 1 7 é para Para calcular o erro estimado substituímos os valores encontrados na expressão Esse erro obtido é muito grande Integração numérica regra do trapézio 6 258 MÉTODOS NUMÉRICOS Recorrendo ao problema verificamos que ao determinar o valor de U pela regra do trapézio simples há uma diferença considerável em relação ao valor encontrado de forma analítica usando o teorema fundamental do cálculo No Exemplo 2 a seguir vamos calcular numericamente o valor de U do exemplo anterior usando a regra do trapézio composta com seis subintervalos Exemplo 2 Determine o valor de e estime o erro pela regra do trapézio composta com seis subintervalos O primeiro passo é Com isso determinamos os valores igualmente espaçados no intervalo 17 para seis subdivisões u0 1 u1 2 u2 3 u3 4 u4 5 u5 6 u6 7 Aplicando a regra do trapézio composta temos Para calcular o erro estimado substituímos os valores encontrados na expressão O erro foi 36 vezes menor 1083 36 Melhorou significativamente a estimativa do erro 7 Integração numérica regra do trapézio Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra do Trapézio PARTE 3 259 Agora se desejássemos um erro menor que 0001 na aproximação ou seja considerando 3 casas decimais como faríamos isso De forma geral é possível determinar o número de subdivisões a realizar para atender a um erro de aproximação pela expressão O Exemplo 3 a seguir vai ilustrar o número de subdivisões para que o erro em U seja menor do que 0001 Exemplo 3 Determine o número de subdivisões de U para que o erro estimado seja menor do que 0001 Aplicando a fórmula com os valores encontra dos nos Exemplos 1 e 2 temos Como o número de subdivisões é natural n 329 subdivisões para o erro atender o critério 0001 Regra do trapézio em resoluções de problemas Nas seções anteriores apresentamos as regras do trapézio simples e composta e avaliamos quando utilizar cada regra a partir da estimativa do erro Veja no Exemplo 4 a seguir uma aplicação com essas configurações Integração numérica regra do trapézio 8 260 MÉTODOS NUMÉRICOS Exemplo 4 Um radar foi usado para medir a velocidade de um atleta em ritmo de preparação para uma seletiva de 100 metros rasos durante os primeiros 5 segundos de uma corrida de testes visualize o quadro abaixo Utilize a regra dos trapézios composta para estimar a distância que o atleta de teste percorreu nesses 5 segundos ts 00 05 10 15 20 25 30 35 40 45 50 vms 000 469 738 883 972 1021 1061 1077 1079 1091 1091 Ao observar a tabela observamos que n 10 e p b an 5 010 510 05 Aplicando a regra do trapézio composta ao problema temos Dessa forma o atleta percorreu uma distância aproximada de 4468 metros Explorando a regra do trapézio simples e composta para integração numérica No link a seguir você encontrará um resumo ilustrado e esquematizado da regra do trapézio simples e composta para estimar integrais numéricas elaborado pelo professor Carlos Alves do Instituto de Matemática da Universidade de Lisboa httpsqrgopagelinks322d Regra do trapézio sem repetição No vídeo a seguir a professora Joyce Bevilacqua da UNIVESP apresenta a regra do trapézio sem repetição a partir da estimativa do cálculo da área de uma curva httpsqrgopagelinkRQokm 9 Integração numérica regra do trapézio Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra do Trapézio PARTE 3 261 Regra do trapézio com repetição No vídeo a seguir a professora Joyce Bevilacqua da UNIVESP apresenta a regra do trapézio com repetição a partir da estimativa do cálculo da área de uma curva httpsqrgopagelinkcsQ8o Para a implementação computacional do método de integração numérica do trapézio podemos utilizar softwares que têm funcionalidade para a matemática científica em ambientes como o Visual Basic for Applications VBA no Excel Octave Matlab e Scilab associando a alguma linguagem de programação por exemplo C C Fortran entre outras de acordo com a finalidade e habilidades de programação do usuário RUGGIERO LOPES 2000 BARROSO L et al Cálculo numérico com aplicações 2 ed São Paulo Editorial Harbra 1987 BURDEN R L FAIRES D J Análise numérica 8 ed São Paulo Cengage Learning 2008 FRANCO N B Cálculo numérico São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 RUGGIERO M A G LOPES V L R Cálculo numérico aspectos teóricos e computacionais 2 ed São Paulo Pearson 2000 Leituras recomendadas CHAPRA S C CANALE R P Métodos numéricos para engenharia Porto Alegre AMGH 2016 DORNELLES FILHO A A Fundamentos de cálculo Numérico Porto Alegre Bookman 2016 Integração numérica regra do trapézio 10 ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE PREZADO ESTUDANTE Parte 4 Integração Numérica Regra de Simpson unidade 4 O conteúdo deste livro é disponibilizado por SAGAH V1 2021 Integração numérica Regra de Simpson Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra de Simpson PARTE 4 265 Regra de Simpson simples e composta como procedimento de integração numérica No estudo do Cálculo Numérico a ideia básica da integração numérica é determinar aproximações para integrais definidas onde não é possível deter minar o seu resultado de forma analítica utilizando a quadratura numérica um princípio indicado nas somas de Riemann Ao utilizar o polinômio de Lagrange de grau 2 ou seja uma parábola é possível aproximar os resultados de uma integral essa aplicação é conhecida como regra de Simpson BARROSO et al 1987 Thomas Simpson era um tapeceiro que aprendeu matemática sozinho e tornouse um dos melhores matemáticos ingleses do século XVIII O que chamamos de Regra de Simpson já era conhecido por Cavalieri e Gregory no século XVI mas Simpson popularizoua em seu livro de cálculo muito vendido chamado A New Treatise of Fluxions STEWART 2006 Se dividirmos o intervalo fechado a b em n subintervalos igualmente espaçados obteremos o passo com n sendo par Portanto em cada par sucessivo de intervalos é possível uma aproximação a uma curva t f u 0 A Figura 1 descreve essa interpretação geométrica Integração numérica Regra de Simpson 2 266 MÉTODOS NUMÉRICOS Figura 1 Representação gráfica da regra Simpson simples ou sem repetições Fonte Adaptada de Burden e Faires 2008 Nesse sentido consideramos o caso particular da parábola que passa pelos pontos descritos na Figura 2 e associamos a área sobre a região delimitada por Au2 Bu C parábola de u p até u p Figura 2 Representação genérica de uma parábola associada ao passo Fonte Adaptada de Stewart 2006 3 Integração numérica Regra de Simpson Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra de Simpson PARTE 4 267 Observando a parábola da Figura 2 temos Note que Au2 C é par e Bu é ímpar pelo teorema de funções simétricas Se f for par fu fu então Com f sendo contínua em a a Realizando a correspondência com o resultado da integração temos Reescrevendo a área sobre a parábola temos Essa fórmula representa a regra do trapézio simples ou sem repetições Se estendermos as áreas sob as parábolas diversas vezes e a dividimos em n subintervalos obtemos a regra do trapézio composta Integração numérica Regra de Simpson 4 268 MÉTODOS NUMÉRICOS Comparando a aproximação da regra do trapézio com a regra de Simpson a segunda possui uma ordem de convergência maior o que se traduz em uma precisão maior na aproximação dos valores da integração numérica BURDEN FAIRES 2008 Quando a aproximação é realizada em um intervalo com grande ampli tude o erro pode ser muito alto Nesses casos utilizamos a regra de Simpson composta ou repetida aproximando a cada intervalo de aplicação ou seja com subintervalos FRANCO 2006 As expressões a seguir determinam um limitante para o erro nas regras de Simpson simples e composta Em situações problema conseguimos delimitar o erro por meio dessas expressões Situaçõesproblema em que utilizamos cada tipo de regra do trapézio na integração numérica Quando desejamos calcular a integral de funções pelos métodos numéricos das regras de Simpson simples e composta avaliamos se o intervalo a b apresenta amplitude pequena ou grande e se o valor da aproximação é considerável pois a aproximação apresentada caracterizase como defasada Avaliando uma aproximação do valor de π com uma precisão de 00001 pela regra de Simpson O exemplo 1 a seguir 5 Integração numérica Regra de Simpson Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra de Simpson PARTE 4 269 Exemplo 1 Determine o valor de com precisão 00001 pela regra de Simpson composta Barroso et al 1996 p 219 a 221 Como no problema não foi informado o número de subintervalos de aproximação e sim a precisão encontramos o número de subintervalos n pela expressão Sabendo que temos que Lembrando que 0 c 1 ou c 01 o maior valor que tiv c pode assumir é c 0 Como a 0 e b 1 temos Considerando que n deve ser um número par temos n 6 Avaliando o erro n 6 temos Se avaliarmos o erro n 8 temos Aplicando 8 subintervalos temos Integração numérica Regra de Simpson 6 270 MÉTODOS NUMÉRICOS Associando esses valores de forma tabelada temos i ci ti coeficientes produto 0 0000 100000 1 1000000 1 0125 0984615 4 3938460 2 0250 0941176 2 1882352 3 0375 0876712 4 3506848 4 0500 080000 2 1600000 5 0625 0719101 4 2876404 6 0750 0640000 2 1280000 7 0875 0566372 4 2265488 8 100 0500000 1 0500000 Somatório 18849552 Relacionando com a regra de Simpson Composta temos Relacionando com a expressão apresentada no problema temos Ao compararmos esse valor com o valor de uma calculadora científica 3141592654 verificaamos que o valor da aproximação está correto em seis dígitos significativos Analisando o exemplo é possível verificar a diferença da aproximação encontrada com uma calculadora que possui dez dígitos significativos No exemplo 2 a seguir vamos calcular essa diferença 7 Integração numérica Regra de Simpson Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra de Simpson PARTE 4 271 Exemplo 2 Sabendo que e π 3141592654 qual é a margem de erro dessa aproximação Para calcularmos essa margem de erro realizamos a diferença entre o valor dito como real e o valor aproximado ME 3141592654 3141592 654 107 Uma margem de erro consideravelmente pequena A fórmula de Simpson apresenta valores exatos para polinômios de grau menor ou igual 3 O exemplo 3 a seguir vai apresentar uma comparação entre as regras do trapézio simples e de Simpson simples com o valor exato mostrando a eficiência de cada método Exemplo 3 Sabendo que uma função no intervalo 0 2 pela regra do trapézio simples é dada pela aproximação uma reta e pela regra de Simpson uma parábola Se associarmos os valores aos dados tabelados com três casas decimais temos Burden e Faires 2008 p 184 tu u2 u4 1u1 Sen u eu Trapézio 4000 16000 1333 3326 0909 8389 Simpson 2667 6667 1111 2964 1425 6421 Valor exato 2667 6400 1099 2958 1416 6389 O que podemos avaliar desses resultados Ao observarmos os resultados apresentados avaliamos que a aproximação de Simpson simples é bem mais eficiente do que a do Trapézio simples Isso ocorre porque de forma implícita a regra de Simpson inclui o pontomédio em sua expressão Devido a essa precisão de aproximação muitos sistemas algébricos com putacionais e calculadoras eletrônicas utilizam em sua programação a regra de Simpson como ferramenta de aproximação de integrais Além disso existem formas mais elaboradas de calcular integrais numéricas em computação cientí fica como a técnica denominada adaptante em que a função flutua no intervalo dividindoo em subintervalos diminuindo assim o custo computacional e alcançando a precisão desejada de forma mais eficiente STEWART 2006 Integração numérica Regra de Simpson 8 272 MÉTODOS NUMÉRICOS Os teoremas que definem a expressão do erro para as fórmulas fechadas de newton cotes com uma distribuição de subintervalos ímpar e par 1 Erro na integração Teorema para um número de intervalos ímpar Se os pontos uk uo ip com p 0 1 2 dividem o intervalo fechado a b em uma quantidade ímpar de intervalos iguais e tu tem derivada de ordem n 1 contínua no intervalo fechado a b então a expressão do erro para as fórmulas fechadas de NewtonCotes do tipo fechado pode ser expressa como Para algum ponto ξ ϵ a b 2 Erro na integração Teorema para um número de intervalos par Se os pontos uk u0 ip com p 0 1 2 n dividem o intervalo fechado a b em uma quantidade ímpar de intervalos iguais e tu tem derivada de ordem n 2 contínua no intervalo fechado a b então a expressão do erro para as fórmulas fechadas de NewtonCotes do tipo fechado pode ser expressa como Para algum ponto ξ ϵ a b Regra de Simpson em uma situaçãoproblema Nas seções anteriores apresentamos as regras de Simpson simples e composta e avaliamos a eficiência da aproximação Veja no exemplo 4 a seguir uma aplicação com essas características Exemplo 4 O tráfego de dados em uma linha direta conectando duas redes pode ser mensurado de forma experimental visualize o quadro abaixo a partir de uma relação de dados de processamento em Gigabits por segundo Gbs versus tempo em horas Utilize a regra de Simpson composta para estimar a quantidade total de dados At transmitidos por meio dessa linha de transmissão de dados em 12 horas STEWART 2006 9 Integração numérica Regra de Simpson Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra de Simpson PARTE 4 273 thoras 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Dt 32 27 19 17 13 10 11 13 28 57 71 77 79 Ao observar os dados tabelados visualizamos o tempo apresentado em ho ras mas a relação de transmissão dos dados Dt está em gigabits por segundo Sendo assim poderíamos reescrever o quadro com dados tabelados convertendo horas em segundo pela relação 1 hora 3600 segundos da seguinte forma tsegundos 0 3600 7200 10800 14400 18000 21600 25200 Dt 32 27 19 17 13 10 11 13 tsegundos 28800 32400 36000 39600 43200 Dt 28 57 71 77 79 Com isso temos n 12 e p t b an 43200 012 4320012 3600 Ao associar a quantidade de dados em gigabits transmitidos no tempo t segue a relação At Dt e aplicando a regra de Simpson composta ao problema temos Dessa forma a quantidade total de dados em doze horas é de aproxima damente 143880 gigabits Integração numérica Regra de Simpson 10 274 MÉTODOS NUMÉRICOS No link a seguir você encontrará um resumo ilustrado e esquematizado da regra de Simpson simples e composta para estimar integrais numéricas elaborado pelo professor Carlos Alves do Instituto de Matemática da Universidade de Lisboa httpsqrgopagelinkkrouu No vídeo a seguir o professor Leônidas Brandão da UNIVESP apresenta a regra de Simpson a partir da estimativa do cálculo da área de uma curva httpsqrgopagelinkiZJbp Para a implementação computacional do método de integração numérica de Simpson podemos utilizar softwares que tem funcionalidade para a matemá tica científica em ambientes como o Visual Basic for Applications VBA no Excel Octave Matlab Scilab associando a alguma linguagem de programação por exemplo C C Fortran entre outras de acordo com a finalidade e as habilidades de programação do usuário RUGGIERO LOPES 1996 BARROSO L et al Cálculo numérico com aplicações 2 ed São Paulo Editora Harbra1987 BURDEN R L FAIRES D J Análise numérica 8 ed São Paulo Cengage Learning 2008 FRANCO N B Cálculo numérico São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 RUGGIERO M A G LOPES V L R Cálculo numérico aspectos teóricos e computacionais São Paulo Pearson 1996 STEWART J Cálculo 5 ed São Paulo Cengage Learning 2006 v 1 11 Integração numérica Regra de Simpson Ajustes de Curvas e Integração Numérica UNIDADE 4 Integração Numérica Regra de Simpson PARTE 4 275 Leituras recomendadas CHAPRA S C CANALE R P Métodos numéricos para engenharia Porto Alegre AMGH 2016 DORNELLES FILHO A A Fundamentos de cálculo numérico Porto Alegre Bookman 2016 Integração numérica Regra de Simpson 12 ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE PREZADO ESTUDANTE Se você encontrar algum problema neste material entre em 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