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Administração ·
Matemática Financeira
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JUROS SIMPLES Prof Júlio César Engel de Abreu Atualizado por Patrícia Liane Grudzinski da Silva Nesta unidade temática você vai aprender A capitalização em juros simples A descapitalização em juros simples As taxas proporcionais de juros simples Que nos juros simples o crescimento é linear Introdução Este tema trata de movimentos financeiros no regime de capitalização simples isto é capitalizações e descapitalizações a juros simples No regime de juros simples a taxa de juros i incide sempre sobre o capital inicial Por isso o valor do juro é igual em cada período da aplicação Quer dizer que o juro no primeiro mês é igual ao juro no segundo mês e assim sucessivamente J 1 J 2 J 3 Jn Consequentemente o saldo crescerá linearmente em relação ao tempo As taxas de juros simples são proporcionais Juros Simples Juros J é o custo do capital quando se faz um empréstimo Para calcular esse valor é utilizada a taxa de juros Como para operação de crédito existe sempre o fornecedor do empréstimo e o tomador do recurso o juro é também a remuneração para quem empresta A maneira como a taxa incide sobre o capital inicial define diversos tipos de juros Portanto sempre que utilizarmos cálculos no sistema de juros simples consideramos durante todo o prazo de aplicação o mesmo capital inicialmente investido Antes de iniciar o estudo dos juros simples é necessário definir alguns conceitos a Capital C ou PV é o valor que se aplica ou se toma emprestado Também é chamado de principal ou valor presente É o valor do capital no momento de um determinado investimento ou aplicação financeira b Montante M ou FV é a soma do capital aplicado com o juro por ele produzido Também é chamado de valor futuro ou saldo final c Prazo ou período n é o espaço de tempo que o capital permanece aplicado ou emprestado isto é o número de períodos transcorridos entre o principal e o montante Podemos também definir como o tempo decorrido entre a data de aplicação e a data de resgate do capital Por exemplo se tivermos uma taxa de juro de 10 aa ao ano o período financeiro será anual mas se a taxa for de 5 as ao semestre o período financeiro será semestral Fique de olho Quando trabalhamos com prazos ou períodos é necessário observar que tipo de ano a que se referem os problemas pois na Matemática Financeira trabalhamos com dois tipos o ano civil e o ano comercial Assim definidos 1 Ano civil é o ano do calendário que possui 365 dias ou 366 dias quando for bissexto 12 meses de 289 30 ou 31 dias cada mês com seu número real de dias 2 Ano comercial é o ano matemático não possui calendário Possui 360 dias 12 meses de 30 dias 6 bimestres de 60 dias 4 trimestres de 90 dias 3 quadrimestres de 120 dias 2 semestres de 180 dias d Juros J é a quantia que se recebe ou que se paga por emprestar ou pedir emprestado certo capital durante um determinado prazo Existem diferentes classificações conforme descrito a seguir 1 Juro comercial ou ordinário é calculado levando em conta o ano comercial Para transformar as unidades de tempo temos que levar em conta os seguintes fatores para ano comercial 1a 2s 3q 4t 6b 12m 360d 2 Juro pela regra dos banqueiros ou juro exato é calculado levando em consideração os dias transcorridos no calendário Utilizamos a regra dos banqueiros sempre que o prazo for apresentado fazendose referência ao ano civil Esse dado ano civil deve vir expresso no contexto do problema que exige essa regra na sua resolução e Taxa de juros i é o coeficiente que mede o juro em relação ao tempo isto é é a razão percentual entre o capital e o juro cuja unidade será a do prazo de aplicação A taxa de juros pode ser expressa em percentual ou de forma unitária A taxa percentual é a quantia de juro que será produzido pela aplicação de 100 cem unidades de capital durante uma unidade de prazo Esse resultado é expresso pelo número obtido acrescido do símbolo porcentagem e da unidade do prazo utilizada na apresentação dos problemas Exemplos a Se a aplicação do capital de R 10000 produzir um juro de R 1000 no prazo de 1 um ano diremos que a taxa percentual será de 10 por cento ao ano que será representada por 10 aa A taxa unitária é a quantia de juro que será produzido pela aplicação de 01 uma unidade de capital durante uma unidade de prazo Esse resultado será expresso apenas pelo número obtido e a unidade do prazo ou seja é a taxa percentual dividida por 100 cem que é utilizada na solução dos problemas aplicação das fórmulas Exemplo a Se a aplicação do capital de R 10000 produzir durante um ano de aplicação a quantia de R 1000 significa que temos uma taxa unitária de 010 ao ano que será representada por 010 aa Fique de olho Obs a A taxa unitária é utilizada nos cálculos Porém na calculadora HP12C essa operação é feita automaticamente Por isso usa como símbolo a letra I letra i maiúscula b A taxa e o prazo devem sempre estar na mesma unidade de tempo Determinando fórmulas Vamos analisar um exemplo Um capital inicial PV de R 50000 foi aplicado por um período de 6 meses n ao regime de juros simples com uma taxa mensal de 10 i Qual o valor dos juros e o montante dessa aplicação Dados do problema PV R 50000 i 10 am 01 am n 6 meses Observe na tabela abaixo o desenvolvimento desse problema mês a mês Lembrese de que no regime de juros simples os juros são sempre calculados sobre o capital inicial Logo para determinarmos o valor dos juros simples podemos utilizar a fórmula J PV i n onde J juros PV capital inicial i taxa de juros n período Vamos resolver o problema anterior utilizando a fórmula Um capital inicial PV de R 50000 foi aplicado por um período de 6 meses n ao regime de juros simples com uma taxa mensal de 10 i Qual o valor dos juros e o montante dessa aplicação a Determinando o valor dos juros Observe que a taxa de juros e o período estão na mesma unidade de tempo portanto não é necessária nenhuma transformação J PV i n substituindo os dados na fórmula J 500 0 1 6 J 300 reais b Determinando o montante FV FV PV J substituindo a fórmula dos juros FV PV PV i n colocando o fator comum em evidência FV PV 1 in Logo para determinarmos o valor do montante FV podemos utilizar as seguintes fórmulas FV PV J ou FV PV 1 in Determinando o montante pelas duas fórmulas a FV PV J FV 500 300 FV R 80000 b FV PV 1 in FV 500 1 016 Calcular primeiro o que está entre parênteses Lembrese de que é necessário iniciar pela operação de multiplicação para depois adicionar FV 500 1 06 FV 500 16 multiplicar 500 por 16 FV R 80000 Exercícios resolvidos 1 Determine o valor montante gerado por um capital de R 3 00000 aplicado durante 4 meses a uma taxa de 24 ao ano de juros simples Dados do problema Capital inicial R 3 00000 logo PV R 3 00000 i 24 aa 024 aa n 4 meses FV Observe que as unidades de tempo da taxa i 024 aa e número de períodos n 4 meses são diferentes ano e meses O primeiro passo para resolver esse problema é transformar o tempo em ano ou a taxa ao mês Em JUROS SIMPLES podese fazer qualquer uma delas Optamos aqui por deixar o tempo equivalente à taxa que está ao ano Lembrese de que um ano tem 12 meses logo 412 ⅓ ou 03333 Vamos resolver este problema com diferentes procedimentos a Analisando a linha do tempo desta aplicação ILUSTRADOR ilustrar a imagem conforme o modelo Conforme demonstrado na linha do tempo verificamos que os juros são sempre calculados sobre o capital inicialmente aplicado PV resultando juros iguais em cada período de aplicação isto é J1 J2 J3 J4 R 6000 Para calcular o montante FV podemos proceder da seguinte forma FV PV J1 J2 J3 J4 FV 3000 60 60 60 60 FV R 3 24000 b Aplicando a fórmula do montante FV PV 1 in FV 3000 1 0 24 ⅓ FV 3000 1 008 FV 3000 108 FV R 3 24000 c Utilizando a calculadora HP 12C 2 Determine os juros produzidos por uma aplicação de R 6 00000 à taxa de 30 ao ano de juros simples durante 3 meses e 20 dias Banco de dados PV 6 000 i 30 aa 030 aa n 3m20d J Observe que neste problema as unidades de tempo da taxa e do número de períodos são diferentes Portanto temos que adequar A melhor forma é transformar o período e o ano em número de dias Como o problema não faz referência ao ano exato vamos utilizar o ano comercial 360 dias e todos os meses com 30 dias Logo n 3 meses e 20 dias 3 30 20 90 20 110 dias i 030 aa 030360 0000833 ad J PV i n J 6000 0 000833 110 J R 55000 Utilizando a calculadora HP 12C 3 Uma pessoa aplicou R 3 00000 durante 5 meses e 15 dias obtendo como saldo R 3 24000 Qual a taxa mensal de juros simples usada Banco de dados PV 3000 n 5m15d FV 3240 i am Utilizando a fórmula dos juros J FV PV J 3240 3000 J R 24000 J PV i n 240 3000 i 55 240 16500 i 0014545 i i 0014545 am taxa unitária i 0014545 x 100 14545 am 4 Após quanto tempo os capitais de R 7 00000 e R 9 00000 empregados à taxas de juros simples de 6 e 4 ao mês respectivamente atingirão o mesmo montante Neste problema vamos trabalhar com dois capitais que são chamados de PV 1 e PV 2 Observe que o problema pede que se determine o tempo n necessário para que as duas aplicações atinjam o mesmo montante isto é o tempo necessário para que FV 1 FV 2 Logo FV 1 PV 1 1 i 1 n 1 FV 2 PV 2 1 i 2 n 2 FV 1 FV 2 Assim PV 1 1 i 1 n 1 PV 2 1 i 2 n 2 Substituindo os dados do problema 7000 1 006x 90001 004x Multiplicando pelos fatores que estão nos parênteses 7000 420x 9000 360 x Isolar o x 420x 360x 9000 7000 60x 2000 x 200060 x 33333 m Lembrese de que x representa o número de períodos Transformando o prazo n 333333 m n 33 03333 n 33 meses inteiros 2 anos 9 meses 03333 meses x 30 10 dias Logo n 2a9m10d 5 Um empréstimo de R 5 00000 foi feito no dia 12032015 Qual será o valor pago em 20062016 se considerarmos a taxa de 12 ao mês de juros simples Considere o ano exato Quando trabalhamos com o ano exato temos que fazer a contagem do número de dias entre essas datas e observar se o ano considerado é ou não bissexto Neste exemplo temos um ano bissexto 2016 Para ser bissexto ao dividirmos por 4 o resto terá que ser zero isto é o ano deve ser divisível por 4 Para encontrarmos o número de dias podemos fazer por contagem utilizar uma tábua ou calculadora HP12C ou ainda buscar sites com aplicativos que fazem esse cálculo a Determinando o número de dias entre as duas datas utilizando uma tábua TÁBUA DE CONTAGEM ENTRE DUAS DATAS Vamos determinar o número de dias transcorridos entre 12032015 e 20062016 1º passo Você irá encontrar o número 71 Este dado informa que já se passaram 71 dias desde o início do ano Portanto para terminar o ano de 2015 faltam ainda 294 dias 365 71 294 o que significa que em 2015 o dinheiro ficou aplicado por 294 dias 2º passo Você irá encontrar o número 171 que significa que nesta data já se passaram 171 dias Porém é necessário acrescentar mais um dia pois o ano de 2016 é bissexto e portanto o mês de fevereiro tem 29 dias Logo em 2016 o dinheiro ficou aplicado por 172 dias 3º passo Voltando ao problema sabemos que PV 5000 i 12 am n 466d 46630m FV FV PV1in FV 5000101246630 FV 500011864 FV 5000 2864 FV R14 32000 b Utilizando a calculadora HP12C Digite 12032015ENTER20062016gDYS 466 dias Referências FRANCISCO Walter de Matemática Financeira São Paulo Atlas 2002 GIMENES Cristiano Marchi Matemática Financeira com HP12C e Excel São Paulo Pearson Prentice Hall 2009 KRUSE Fábio Matemática Financeira conceitos e aplicações com o uso da HP12C 2 ed Novo Hamburgo FEEVALE 2005 SAMANEZ Carlos Patrício Matemática Financeira aplicações à análise de investimentos 2 ed São Paulo Makron Books 1999 Créditos Produzido por Núcleo de Audiovisual e Tecnologias Educacionais NATE ULBRA EAD Universidade Luterana do Brasil Todos os direitos reservados
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JUROS SIMPLES Prof Júlio César Engel de Abreu Atualizado por Patrícia Liane Grudzinski da Silva Nesta unidade temática você vai aprender A capitalização em juros simples A descapitalização em juros simples As taxas proporcionais de juros simples Que nos juros simples o crescimento é linear Introdução Este tema trata de movimentos financeiros no regime de capitalização simples isto é capitalizações e descapitalizações a juros simples No regime de juros simples a taxa de juros i incide sempre sobre o capital inicial Por isso o valor do juro é igual em cada período da aplicação Quer dizer que o juro no primeiro mês é igual ao juro no segundo mês e assim sucessivamente J 1 J 2 J 3 Jn Consequentemente o saldo crescerá linearmente em relação ao tempo As taxas de juros simples são proporcionais Juros Simples Juros J é o custo do capital quando se faz um empréstimo Para calcular esse valor é utilizada a taxa de juros Como para operação de crédito existe sempre o fornecedor do empréstimo e o tomador do recurso o juro é também a remuneração para quem empresta A maneira como a taxa incide sobre o capital inicial define diversos tipos de juros Portanto sempre que utilizarmos cálculos no sistema de juros simples consideramos durante todo o prazo de aplicação o mesmo capital inicialmente investido Antes de iniciar o estudo dos juros simples é necessário definir alguns conceitos a Capital C ou PV é o valor que se aplica ou se toma emprestado Também é chamado de principal ou valor presente É o valor do capital no momento de um determinado investimento ou aplicação financeira b Montante M ou FV é a soma do capital aplicado com o juro por ele produzido Também é chamado de valor futuro ou saldo final c Prazo ou período n é o espaço de tempo que o capital permanece aplicado ou emprestado isto é o número de períodos transcorridos entre o principal e o montante Podemos também definir como o tempo decorrido entre a data de aplicação e a data de resgate do capital Por exemplo se tivermos uma taxa de juro de 10 aa ao ano o período financeiro será anual mas se a taxa for de 5 as ao semestre o período financeiro será semestral Fique de olho Quando trabalhamos com prazos ou períodos é necessário observar que tipo de ano a que se referem os problemas pois na Matemática Financeira trabalhamos com dois tipos o ano civil e o ano comercial Assim definidos 1 Ano civil é o ano do calendário que possui 365 dias ou 366 dias quando for bissexto 12 meses de 289 30 ou 31 dias cada mês com seu número real de dias 2 Ano comercial é o ano matemático não possui calendário Possui 360 dias 12 meses de 30 dias 6 bimestres de 60 dias 4 trimestres de 90 dias 3 quadrimestres de 120 dias 2 semestres de 180 dias d Juros J é a quantia que se recebe ou que se paga por emprestar ou pedir emprestado certo capital durante um determinado prazo Existem diferentes classificações conforme descrito a seguir 1 Juro comercial ou ordinário é calculado levando em conta o ano comercial Para transformar as unidades de tempo temos que levar em conta os seguintes fatores para ano comercial 1a 2s 3q 4t 6b 12m 360d 2 Juro pela regra dos banqueiros ou juro exato é calculado levando em consideração os dias transcorridos no calendário Utilizamos a regra dos banqueiros sempre que o prazo for apresentado fazendose referência ao ano civil Esse dado ano civil deve vir expresso no contexto do problema que exige essa regra na sua resolução e Taxa de juros i é o coeficiente que mede o juro em relação ao tempo isto é é a razão percentual entre o capital e o juro cuja unidade será a do prazo de aplicação A taxa de juros pode ser expressa em percentual ou de forma unitária A taxa percentual é a quantia de juro que será produzido pela aplicação de 100 cem unidades de capital durante uma unidade de prazo Esse resultado é expresso pelo número obtido acrescido do símbolo porcentagem e da unidade do prazo utilizada na apresentação dos problemas Exemplos a Se a aplicação do capital de R 10000 produzir um juro de R 1000 no prazo de 1 um ano diremos que a taxa percentual será de 10 por cento ao ano que será representada por 10 aa A taxa unitária é a quantia de juro que será produzido pela aplicação de 01 uma unidade de capital durante uma unidade de prazo Esse resultado será expresso apenas pelo número obtido e a unidade do prazo ou seja é a taxa percentual dividida por 100 cem que é utilizada na solução dos problemas aplicação das fórmulas Exemplo a Se a aplicação do capital de R 10000 produzir durante um ano de aplicação a quantia de R 1000 significa que temos uma taxa unitária de 010 ao ano que será representada por 010 aa Fique de olho Obs a A taxa unitária é utilizada nos cálculos Porém na calculadora HP12C essa operação é feita automaticamente Por isso usa como símbolo a letra I letra i maiúscula b A taxa e o prazo devem sempre estar na mesma unidade de tempo Determinando fórmulas Vamos analisar um exemplo Um capital inicial PV de R 50000 foi aplicado por um período de 6 meses n ao regime de juros simples com uma taxa mensal de 10 i Qual o valor dos juros e o montante dessa aplicação Dados do problema PV R 50000 i 10 am 01 am n 6 meses Observe na tabela abaixo o desenvolvimento desse problema mês a mês Lembrese de que no regime de juros simples os juros são sempre calculados sobre o capital inicial Logo para determinarmos o valor dos juros simples podemos utilizar a fórmula J PV i n onde J juros PV capital inicial i taxa de juros n período Vamos resolver o problema anterior utilizando a fórmula Um capital inicial PV de R 50000 foi aplicado por um período de 6 meses n ao regime de juros simples com uma taxa mensal de 10 i Qual o valor dos juros e o montante dessa aplicação a Determinando o valor dos juros Observe que a taxa de juros e o período estão na mesma unidade de tempo portanto não é necessária nenhuma transformação J PV i n substituindo os dados na fórmula J 500 0 1 6 J 300 reais b Determinando o montante FV FV PV J substituindo a fórmula dos juros FV PV PV i n colocando o fator comum em evidência FV PV 1 in Logo para determinarmos o valor do montante FV podemos utilizar as seguintes fórmulas FV PV J ou FV PV 1 in Determinando o montante pelas duas fórmulas a FV PV J FV 500 300 FV R 80000 b FV PV 1 in FV 500 1 016 Calcular primeiro o que está entre parênteses Lembrese de que é necessário iniciar pela operação de multiplicação para depois adicionar FV 500 1 06 FV 500 16 multiplicar 500 por 16 FV R 80000 Exercícios resolvidos 1 Determine o valor montante gerado por um capital de R 3 00000 aplicado durante 4 meses a uma taxa de 24 ao ano de juros simples Dados do problema Capital inicial R 3 00000 logo PV R 3 00000 i 24 aa 024 aa n 4 meses FV Observe que as unidades de tempo da taxa i 024 aa e número de períodos n 4 meses são diferentes ano e meses O primeiro passo para resolver esse problema é transformar o tempo em ano ou a taxa ao mês Em JUROS SIMPLES podese fazer qualquer uma delas Optamos aqui por deixar o tempo equivalente à taxa que está ao ano Lembrese de que um ano tem 12 meses logo 412 ⅓ ou 03333 Vamos resolver este problema com diferentes procedimentos a Analisando a linha do tempo desta aplicação ILUSTRADOR ilustrar a imagem conforme o modelo Conforme demonstrado na linha do tempo verificamos que os juros são sempre calculados sobre o capital inicialmente aplicado PV resultando juros iguais em cada período de aplicação isto é J1 J2 J3 J4 R 6000 Para calcular o montante FV podemos proceder da seguinte forma FV PV J1 J2 J3 J4 FV 3000 60 60 60 60 FV R 3 24000 b Aplicando a fórmula do montante FV PV 1 in FV 3000 1 0 24 ⅓ FV 3000 1 008 FV 3000 108 FV R 3 24000 c Utilizando a calculadora HP 12C 2 Determine os juros produzidos por uma aplicação de R 6 00000 à taxa de 30 ao ano de juros simples durante 3 meses e 20 dias Banco de dados PV 6 000 i 30 aa 030 aa n 3m20d J Observe que neste problema as unidades de tempo da taxa e do número de períodos são diferentes Portanto temos que adequar A melhor forma é transformar o período e o ano em número de dias Como o problema não faz referência ao ano exato vamos utilizar o ano comercial 360 dias e todos os meses com 30 dias Logo n 3 meses e 20 dias 3 30 20 90 20 110 dias i 030 aa 030360 0000833 ad J PV i n J 6000 0 000833 110 J R 55000 Utilizando a calculadora HP 12C 3 Uma pessoa aplicou R 3 00000 durante 5 meses e 15 dias obtendo como saldo R 3 24000 Qual a taxa mensal de juros simples usada Banco de dados PV 3000 n 5m15d FV 3240 i am Utilizando a fórmula dos juros J FV PV J 3240 3000 J R 24000 J PV i n 240 3000 i 55 240 16500 i 0014545 i i 0014545 am taxa unitária i 0014545 x 100 14545 am 4 Após quanto tempo os capitais de R 7 00000 e R 9 00000 empregados à taxas de juros simples de 6 e 4 ao mês respectivamente atingirão o mesmo montante Neste problema vamos trabalhar com dois capitais que são chamados de PV 1 e PV 2 Observe que o problema pede que se determine o tempo n necessário para que as duas aplicações atinjam o mesmo montante isto é o tempo necessário para que FV 1 FV 2 Logo FV 1 PV 1 1 i 1 n 1 FV 2 PV 2 1 i 2 n 2 FV 1 FV 2 Assim PV 1 1 i 1 n 1 PV 2 1 i 2 n 2 Substituindo os dados do problema 7000 1 006x 90001 004x Multiplicando pelos fatores que estão nos parênteses 7000 420x 9000 360 x Isolar o x 420x 360x 9000 7000 60x 2000 x 200060 x 33333 m Lembrese de que x representa o número de períodos Transformando o prazo n 333333 m n 33 03333 n 33 meses inteiros 2 anos 9 meses 03333 meses x 30 10 dias Logo n 2a9m10d 5 Um empréstimo de R 5 00000 foi feito no dia 12032015 Qual será o valor pago em 20062016 se considerarmos a taxa de 12 ao mês de juros simples Considere o ano exato Quando trabalhamos com o ano exato temos que fazer a contagem do número de dias entre essas datas e observar se o ano considerado é ou não bissexto Neste exemplo temos um ano bissexto 2016 Para ser bissexto ao dividirmos por 4 o resto terá que ser zero isto é o ano deve ser divisível por 4 Para encontrarmos o número de dias podemos fazer por contagem utilizar uma tábua ou calculadora HP12C ou ainda buscar sites com aplicativos que fazem esse cálculo a Determinando o número de dias entre as duas datas utilizando uma tábua TÁBUA DE CONTAGEM ENTRE DUAS DATAS Vamos determinar o número de dias transcorridos entre 12032015 e 20062016 1º passo Você irá encontrar o número 71 Este dado informa que já se passaram 71 dias desde o início do ano Portanto para terminar o ano de 2015 faltam ainda 294 dias 365 71 294 o que significa que em 2015 o dinheiro ficou aplicado por 294 dias 2º passo Você irá encontrar o número 171 que significa que nesta data já se passaram 171 dias Porém é necessário acrescentar mais um dia pois o ano de 2016 é bissexto e portanto o mês de fevereiro tem 29 dias Logo em 2016 o dinheiro ficou aplicado por 172 dias 3º passo Voltando ao problema sabemos que PV 5000 i 12 am n 466d 46630m FV FV PV1in FV 5000101246630 FV 500011864 FV 5000 2864 FV R14 32000 b Utilizando a calculadora HP12C Digite 12032015ENTER20062016gDYS 466 dias Referências FRANCISCO Walter de Matemática Financeira São Paulo Atlas 2002 GIMENES Cristiano Marchi Matemática Financeira com HP12C e Excel São Paulo Pearson Prentice Hall 2009 KRUSE Fábio Matemática Financeira conceitos e aplicações com o uso da HP12C 2 ed Novo Hamburgo FEEVALE 2005 SAMANEZ Carlos Patrício Matemática Financeira aplicações à análise de investimentos 2 ed São Paulo Makron Books 1999 Créditos Produzido por Núcleo de Audiovisual e Tecnologias Educacionais NATE ULBRA EAD Universidade Luterana do Brasil Todos os direitos reservados