Atividade Resolvida Cálculo Várias Variáveis - Derivadas Integrais e Pontos Extremos

Cálculo de Várias Variáveis Profa Dra Débora Bezerra Linhares Libório 1 Atividade 2 1 Se 4 2 z v y ln x encontre vz z y 2 Utilizando a regra da cadeia calcule x w e y w considerando xy v y x u senv u w 2 2 3 Ache os pontos extremos e os pontos de sela de 2y x y 4 x f x y 2 2 4 Calcule a integral iterada 2 1 2 1 3 2 dy dx 8x 12x y 5 Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações 8 4 e y x x y 3 Se f x y é uma função contínua arbitrária expresse R f x y dA como uma integral iterada das duas maneiras 6 Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações 2 1 e x x x x y 1 y 2 e encontre sua área utilizando uma ou mais integrais duplas V Y lnx2 z4 achar Vzzy Vzzy y z z V Então z V z Y lnx2 z4 Yx2 z4 4z3 4Yz3x2 z4 Assim z z V z 4Yz3x2 z4 3 4Yz2 x2 z4 4Yz3 4z3x2 z42 Regra do Quociente Y 12x2z2 12z6 16z6x2 z42 Y 12x2z2 4z6x2 z42 Por fim Vzzy y Y 12x2z2 4z6x2 z42 12x2z2 4z6x2 z42 Então Vzzy 12x2z2 4z6x2 z42 WX e WY pelo regra do c tieten com W u senv u x2 y2 V XY Temos que Wu u usenv senv Wv v usenv u cosv E também uX 2X yY 2Y uX Y uY X Regra do c tieten Logo WX Wu uX Wv vX 2X senV Y u cosv 2X senXy Yx2 y2cosXY Regra do c tieten e WY Wu uY Wv vY 2Y senV X u cosv 2Y senXY Xx2 y2cosXY Assim WX 2x senXY Yx2 y2cosXY WY 2Y senXY Xx2 y2 cosXY 3 Pontos extremos e de sela Fxy x2 4y2 x 2y Calcular pontos críticos onde parciais se anulam Fx 2x 1 Fy 8y 2 2x 1 0 x 12 8y 2 0 y 14 Há somente 1 ponto crítico 12 14 Teste do segundo derivado HF Fxx Fyy Fxy2 2 8 0 HF 16 0 não é ponto de sela Como Fxx x Fx 2 0 então é ponto de mínimo Não há pontos de Sela e o mínimo é atingido em 12 14 Sendo então MinimoF F12 14 12 from 1 to 2 from 1 to 2 12 x y2 8x3 dy dx from 1 to 2 4 x y3 8 x3 y evaluated from y1 to y2 dx from 1 to 2 32 x 16 x3 4 x 8 x3 dx from 1 to 2 36 x 24 x3 dx 18 x2 6 x4 evaluated from 1 to 2 72 96 18 6 24 12 36 from 1 to 2 from 1 to 2 12 x y2 8 x3 dy dx 36 R y x3 x 4 y 8 R y x3 y 8 x 4 x4 x y13 Pontos de encontro Se x4 x y13 64 Se y 8 8 x3 x 2 então x 2 4 Area da región seria from 2 to 4 from y to x3 dy dx Então se F é contínua R Fxy dA from 2 to 4 from y to x3 Fxy dy dx from 8 to 64 from y13 to 4 Fxy dx dy y 1x y x2 x 1 x 2 X 1 2 x2 y 1x Logo Area from 1 to 2 from x2 to 1x dy dx from 1 to 2 1x x2 dx ln x x3 3 from 1 to 2 ln 2 ln 1 83 13 ln 2 73 Area ln 2 73