Circuitos Integradores e Diferenciadores em Sistemas CA

Sumário Introdução 5 Circuito integrador e diferenciador 6 Pulsos 6 Ciclo 7 Freqüência 7 Período 8 Largura de pulso 8 Ciclo de trabalho 8 Tempo de subida e descida 9 Componente cc 11 Circuito integrador 14 Circuito diferenciador 17 Integrador e diferenciador com amplificador operacional 22 Integrador com amplificador operacional 23 Diferenciador com amplificador operacional 29 Apêndice 33 Questionário 33 Bibliografia 34 Espaço SENAI Missão do Sistema SENAI Contribuir para o fortalecimento da indústria e o desenvolvimento pleno e sustentável do País promovendo a educação para o trabalho e a cidadania a assistência técnica e tecnológica a produção e disseminação de informação e a adequação geração e difusão de tecnologia Série de Eletrônica 5 Introdução Circuitos RC são muito utilizados em sistemas ca com a finalidade de proporcionar defasagens entre sinais elétricos bem como para facilitar o acoplamento entre estágios amplificadores Existe no entanto uma aplicação importante dos circuitos RC em equipamentos de instrumentação e controle industrial Nesses equipamentos o resistor e o capacitor compõem circuitos integradores e diferenciadores que recebem pulsos na entrada e fornecem sinais de disparo para o controle de motores válvulas solenóides relés etc Este fascículo tem por objetivo apresentar e discutir os princípios de funcionamento dos circuitos integradores e diferenciadores que são elementos fundamentais utilizados na análise dos circuitos de controle industrial Para a boa compreensão do conteúdo e desenvolvimento das atividades contidas neste fascículo o leitor deverá estar familiarizado com os conceitos relativos a Dinâmica de carga e descarga em capacitores Amplificador operacional Circuito integrador e diferenciador 6 Circuito integrador e diferenciador PULSOS O termo pulso pode ser usado para designar uma forma de onda tendo uma componente que se repete como função do tempo conforme mostrado na Fig1a Entretanto é comum aplicar esse termo em referência a formas de ondas retangulares do tipo mostrado na Fig1b Fig1 Formas de ondaa arbitrária b retangular Pulsos podem ser caracterizados pelos seguintes parâmetros Ciclo Freqüência Período Largura do pulso Ciclo de trabalho Tempos de subida e descida Componente cc Série de Eletrônica 7 CICLO Um sinal periódico consiste na reprodução no tempo de uma porção básica do sinal O intervalo de tempo que contém essa porção básica delimita um ciclo do sinal periódico conforme ilustrado no gráfico da Fig2 Fig2 Ciclos associados a uma seqüência de pulsos FREQÜÊNCIA A freqüência f de uma seqüência de pulsos é definida como sendo o número de ciclos por segundo No exemplo da Fig3 existem 10 ciclos em um intervalo de tempo de 1 segundo ou equivalentemente 1 ciclo ocorrendo em um intervalo de tempo de 01 seg A freqüência associada à seqüência de pulsos vale f 10 1 0 1 10 1 seg seg Hz Fig3 Seqüência de pulsos de freqüência 10 Hz Circuito integrador e diferenciador 8 PERÍODO Um período de uma seqüência de pulsos é o intervalo de tempo que contém um ciclo da forma de onda O período T está relacionado com a freqüência pela relação T f 1 1 Para a seqüência de pulsos da Fig3 f 10 Hz e da Eq1 T 110 01 seg 100 mseg LARGURA DE PULSO A largura de pulso corresponde ao intervalo de tempo ocupado por cada pulso conforme mostrado na Fig4 Fig4 Seqüência de pulsos retangulares e definição da largura de pulso CICLO DE TRABALHO Ciclo de trabalho originado do termo inglês duty cycle é definido como a razão entre a largura de pulso e o período associado à seqüência de pulsos De acordo com essa definição temse que T 2 Série de Eletrônica 9 Por exemplo para a seqüência de pulsos mostrada na Fig5a 05 mseg e T 125 mseg O ciclo de trabalho vale portanto 0 5 1 25 0 2 1 5 Para o caso da Fig5b o ciclo de trabalho vale 1 2 0 5 mseg mseg 1 2 Fig5 Seqüência de pulsos a assimétrica b simétrica A forma de onda mostrada na Fig5b é constituída de pulsos simétricos isto é pulsos cuja largura corresponde exatamente a meio período tendo portanto um ciclo de trabalho 12 Quando a seqüência de pulsos exibe 12 como no caso da Fig5a dizse que a seqüência é formada por pulsos assimétricos TEMPO DE SUBIDA E DESCIDA Cada pulso de uma seqüência exibe duas transições que ocorrem nas bordas do pulso conforme ilustrado na Fig6 A subida está associada a uma transição positiva e a descida a uma transição negativa conforme indicado na Fig6 Circuito integrador e diferenciador 10 Fig6 Transições associadas aos pulsos de uma seqüência Um exame mais detalhado do formato do pulso indica que suas transições não ocorrem de forma vertical e abrupta Como se pode observar na Fig7 existem tempos de transição associados à subida e à descida do pulso Definese o tempo de subida ts como aquele necessário à ocorrência de uma transição positiva entre os limites correspondentes a 10 e 90 do valor máximo da transição conforme mostrado na Fig7 Fig7 Tempos de subida e de descida associados às transições de um pulso Na Fig7 o tempo de descida td é aquele necessário à ocorrência de uma transição negativa entre os limites correspondentes a 90 e 10 do valor máximo da transição Um pulso retangular ideal seria aquele exibindo transições verticais ou seja transições com ts td 0 Entretanto esse tipo de transição nunca ocorre pois nenhum evento físico pode variar abruptamente Podese no entanto minimizar os valores de ts e td de forma a garantir o bom funcionamento de dispositivos eletrônicos que operem com formas de onda pulsadas Série de Eletrônica 11 COMPONENTE cc A componente cc de uma seqüência periódica de pulsos retangulares representa o valor médio do sinal calculado em um período T Para a seqüência de pulsos retangulares mostrada na Fig8 o valor médio do sinal pode ser calculado diretamente notando que durante uma fração T do período o sinal se mantém no nível Vp1 e durante uma fraçãoTT do período o sinal se mantém no nível Vp2 O valor médio ou componente cc do sinal é portanto V T V T T V cc p1 p2 ou equivalentemente V T V T V cc p1 p2 3 1 Fig8 Valor médio associado a uma seqüência de pulsos O valor médio definido pela Eq3 tem uma interpretação simples Para isso basta colocar a Eq3 na forma TV V T V cc p1 p2 Essa última expressão em conjunto com a Fig8 permite extrair as seguintes observações O primeiro membro da expressão representa a área do retângulo sombreado na Fig8 O segundo membro é a soma das áreas dos retângulos de dimensões Vp1 e Vp2t Circuito integrador e diferenciador 12 Ou seja o valor médio ou componente cc do sinal representa a altura de um retângulo de área igual àquela ocupada pelos dois pulsos que estão contidos no período T Notese que se existirem pulsos negativos sinais negativos devem ser atribuídos às áreas a eles associadas e portanto a componente cc poderá ser negativa ou mesmo nula conforme ilustra o exemplo a seguir Exemplo 1 Determinar a componente cc para cada seqüência de pulsos mostrada na Fig9 Fig9 Seqüências de pulsos para o Exemplo 1 Para o caso da Fig9a a Eq3 fornece Vcc 1 8 6 10 8 6 0 1 8 60 60 8 V Vcc 75 Para a seqüência de pulsos mostrada na Fig9b temse que Vcc 1 8 4 10 8 4 10 1 8 40 40 V Vcc 0 Série de Eletrônica 13 Finalmente para a seqüência de pulsos mostrada na Fig9c obtémse Vcc 1 8 5 2 8 2 5 1 8 10 30 20 8 V Vcc 2 5 Um caso particular da Eq3 ocorre quando o sinal se anula em uma porção do período conforme ilustrado na Fig10 Fig10 Seqüência de pulsos intercalados por valores nulos do sinal Nessa situação a Eq3 fornece V T V T T V cc p p 1 0 e utilizando a definição dada pela Eq2 resulta em V V cc p 4 A Eq4 indica que nesse caso particular a componente cc se reduz ao produto ciclo de trabalhoaltura do pulso Circuito integrador e diferenciador 14 CIRCUITO INTEGRADOR Para que se possa entender o funcionamento do circuito integrador é necessário que se tenha inicialmente uma noção matemática da operação de integração A operação matemática de integração é freqüentemente utilizada como ferramenta de cálculo de área de figuras regulares e irregulares possibilitando a determinação da área sob uma curva de forma arbitrária A Fig11 ilustra alguns exemplos de áreas calculadas utilizando o processo de integração Fig11 Exemplos de áreas calculadas através do processo de integração Em qualquer um dos exemplos mostrados na Fig11 a área sob a curva é sempre proporcional ao produto de uma dimensão horizontal e outra vertical Esses conceitos básicos podem ser aplicados ao circuito eletrônico denominado de integrador Um circuito integrador fornece na saída uma tensão que é proporcional à área sob a curva que define o sinal A dimensão horizontal associada à área representa o tempo de aplicação do sinal na entrada e a dimensão vertical é associada à amplitude do sinal Para ilustrar a operação de um circuito integrador suponha que o bloco mostrado na Fig12 represente um circuito integrador que produza na saída uma tensão proporcional à integral do sinal de entrada Essa relação de proporcionalidade é definida pela constante k mostrada da Fig12 Série de Eletrônica 15 Fig12 Bloco integrador submetido a um sinal de entrada constante Admitindose que o sinal de entrada na Fig12 seja aplicado em t 0 decorrido um tempo t1 a área sob a curva que define o sinal vale A t V t 1 1 i e o circuito integrador produziria na saída um sinal i 1 o 1 kV t t V Em um tempo t2 t1 o sinal de saída passa a ser i 2 o 2 kV t t V e assim sucessivamente Para um tempo t arbitrário o sinal de saída é dado por kV t t V i o Essa última expressão mostra que a saída do circuito integrador aumenta linearmente com o tempo a partir da aplicação de um sinal de entrada constante em t0 conforme mostrado na Fig12 Verificase que um circuito RC do tipo mostrado na Fig13 executa sob determinadas condições uma função semelhante àquela de um circuito integrador Isso pode ser verificado a partir da curva de carga do capacitor mostrada na Fig13 Circuito integrador e diferenciador 16 Fig13 Circuito RC e curva de carga do capacitor Analisandose com mais detalhe a região do gráfico correspondente a t05RC verificase que nessa região a tensão no capacitor aumenta de forma praticamente proporcional ao tempo conforme mostrado na Fig14 00 01 02 03 04 0 01 02 03 04 05 t RC V CV i Fig14 Detalhe da curva de carga do capacitor na região t 05RC Podese mostrar que na região t 05RC a dependência temporal do parâmetro VC de um circuito RC submetido a uma tensão Vi é aproximadamente V RCV t C i 5 1 0 20 40 60 80 100 tempo RC 2RC 3RC 4RC 5RC 0 02V i 04V i 06V i 08V i V i V C Série de Eletrônica 17 Dessa forma a aplicação de um pulso de tensão de altura Vp e de largura 05RC na entrada de um circuito RC conforme ilustrado na Fig15 resulta em uma saída dada por RC V t V p o 1 onde t é o tempo decorrido após a aplicação do pulso Fig15 Aplicação de um pulso na entrada de um circuito RC e tensão de saída correspondente CIRCUITO DIFERENCIADOR O circuito diferenciador é essencialmente um detetor da taxa de variação de sinal com relação ao tempo Nesse tipo de circuito a tensão de saída é proporcional ao grau de variação do sinal e inversamente proporcional ao intervalo de tempo em que ocorre essa variação A Fig16 ilustra um sinal que varia de Vi a Vf do tempo ti ao tempo tf A variação do sinal é portanto V V V f i Circuito integrador e diferenciador 18 e o intervalo de tempo referente a essa variação vale t t t f i Fig16 Bloco diferenciador submetido a uma variação de sinal Esse sinal aplicado à entrada de um circuito diferenciador produziria um valor nulo na saída até a ocorrência da variação de sinal No instante de tempo ti a saída do diferenciador indicaria a existência da variação de sinal fornecendo uma tensão dada por 6 o t V k V onde k é um constante Para t tf a saída do diferenciador forneceria uma tensão nula indicando a ausência de variações do sinal conforme mostrado na Fig16 A fração no segundo membro da Eq6 representa a taxa de variação do sinal no tempo ou equivalentemente a declividade da função representando o sinal no tempo ti como indicado na Fig16 A aplicação mais comum do diferenciador é na detecção das bordas de subida ou descida de pulsos retangulares Conforme mostrado na Fig17 o circuito diferenciador detecta essas variações produzindo um pico positivo durante a transição positiva e outro negativo durante a transição negativa do pulso Série de Eletrônica 19 Fig17 Circuito diferenciador submetido a um pulso de sinal Se a tensão de entrada varia linearmente com o tempo conforme ilustrado na Fig18 temse que a taxa de variação do sinal de entrada no tempo é constante ou seja V t constante e como indica a Eq6 o circuito diferenciador fornece uma saída constante como ilustrado na Fig18 Fig18 Circuito diferenciador submetido a uma variação linear de sinal Circuito integrador e diferenciador 20 Uma inspeção nas operações realizadas por um integrador e um diferenciador indica que esses circuitos realizam operações inversas conforme ilustrado na Fig19 Fig19 Comparação entre as operações realizadas por um integrador e um diferenciador O circuito RC série também pode ser utilizado como circuito diferenciador desde que sejam atendidas algumas condições Uma das condições requer que os terminais de saída correspondam aos terminais do resistor conforme mostrado na Fig20 A análise do funcionamento do circuito é feita com base na Fig21 que mostra a aplicação de um sinal de entrada que varia subitamente no tempo ti Fig20 Circuito RC série configurado como diferenciador Série de Eletrônica 21 Fig21 Circuito RC série configurado para operação como diferenciador Como se pode observar na Fig22a enquanto a tensão de entrada permanece nula o mesmo ocorre na saída No momento em que a tensão de entrada atinge o valor Vi no tempo ti o capacitor inicia um processo de carga Se a constante de tempo RC for suficientemente pequena o capacitor se carregará rapidamente como indicado na Fig22b Como durante o carregamento circula corrente surge uma queda de tensão sobre o resistor apenas durante um curto intervalo de tempo Como se pode observar na Fig22c na saída do circuito aparece apenas um pico de tensão indicativo de uma variação positiva na tensão de entrada Enquanto não houver nova variação na tensão de entrada a tensão de saída permanecerá nula Fig22 Sinais elétricos no circuito RC da Fig21 a Tensão de entrada b tensão no capacitor e c tensão de saída do circuito Se a tensão de entrada retornar a zero no tempo tf o capacitor se descarregará rapidamente através do resistor gerando um novo pico de tensão na saída Como a corrente de descarga circula em sentido oposto ao da carga o pico de tensão nesse caso será negativo como mostrado na Fig23 Circuito integrador e diferenciador 22 Fig23 Tensão de saída para o circuito RC da Fig21 após a aplicação de um pulso de sinal Verificase então que a tensão de saída existe apenas quando ocorrem variações de tensão na entrada do circuito Notase também que a tensão de saída exibe o sinal correspondente ao sentido de variação do sinal de entrada A partir da discussão anterior podese estabelecer a condição que deve ser imposta para que o circuito RC funcione como diferenciador Um circuito RC série quando configurado como circuito diferenciador tem de ser projetado com uma constante RC pequena Na prática a constante RC deve ser no máximo 110 da menor largura de pulso aplicado à entrada do circuito INTEGRADOR E DIFERENCIADOR COM AMPLIFICADOR OPERACIONAL Os circuitos integradores e diferenciadores passivos que contêm apenas resistores e capacitores apresentam as seguintes limitações práticas Integrador Só opera satisfatoriamente durante a primeira meia constante de tempo de ocorrência do sinal onde a carga e a tensão no capacitor variam linearmente com o tempo Série de Eletrônica 23 Diferenciador A constante de tempo tem de ser no máximo 110 da menor largura de pulso do sinal aplicado à entrada Além disso verificase que a ligação de uma carga à saída altera o comportamento do circuito pois modifica a constante RC do circuito conforme ilustrado na Fig24 Fig24 Influência de uma carga externa no circuito RC diferenciador Essas limitações podem ser contornadas com o uso de um componente ativo tal como o amplificador operacional conforme examinado a seguir INTEGRADOR COM AMPLIFICADOR OPERACIONAL Para analisar o funcionamento do circuito integrador com AO convém considerar duas importantes características associadas a este componente Ambas as entradas de um AO se mantêm praticamente no mesmo potencial A corrente injetada em cada entrada de um AO é praticamente nula Essas características estão representadas na Fig25 Fig25 Representação de duas características de entrada de um AO Circuito integrador e diferenciador 24 A partir dessas considerações a análise do integrador com AO é feita com base no diagrama de circuito mostrado na Fig26 onde se admite a aplicação de um pulso retangular na entrada do circuito Fig26 Circuito integrador com AO No intervalo de tempo 0 t t1 a tensão de entrada é nula Considerandose o AO corretamente ajustado a tensão de saída também é nula Em t t1 a tensão de entrada aumenta para o valor V1 permanecendo constante até o instante de tempo tt2 Durante o intervalo de tempo t1 t t2 a tensão V1 permanece totalmente aplicada entre os terminais do resistor uma vez que um de seus terminais corresponde ao terra virtual do AO conforme mostrado na Fig27 Fig27 Operação do integrador no intervalo de tempo t1 t t2 Série de Eletrônica 25 Sendo nula a corrente injetada no terminal inversor circula através do resistor e do capacitor uma corrente dada por I V R 1 É importante observar que o terra virtual na entrada inversora garante que essa corrente se mantenha constante durante a permanência do sinal de entrada no valor V1 O capacitor começa a se carregar devido à circulação de corrente Como a corrente é constante a carga armazenada aumenta linearmente com o tempo o mesmo ocorrendo com a tensão entre os terminais do capacitor conforme ilustrado na Fig28 Fig28 Corrente no resistor e tensão no capacitor para t1 t t2 Como o terminal A do capacitor está mantido a um potencial essencialmente nulo o aumento de tensão no capacitor só pode ocorrer se a tensão de saída V0 diminuir linearmente com o tempo de forma que V t t V t V V t V o o o A C 0 Assim uma queda de tensão positiva entre os terminais do capacitor só pode ocorrer se a tensão V0 tornarse negativa conforme mostrado na Fig29 de forma que o segundo membro da expressão anterior seja positivo Circuito integrador e diferenciador 26 Fig29 Tensões de entrada e saída no circuito integrador para t1 t t2 A tensão de saída assume portanto um valor negativo que varia linearmente com o tempo e permanece variando enquanto a tensão de entrada permanecer no valor V1 Essa variação poderá ser interrompida em três situações Se a tensão de saturação do operacional for atingida Se o capacitor atingir seu limite de carga Se a tensão de entrada mudar de valor A saturação do operacional pode ser evitada se a tensão V1 aplicada for sempre inferior a tensão de saturação do operacional A segunda depende dos valores de R C e largura do pulso de entrada e pode ser evitada pelo emprego de valores adequados para R e C Se a tensão de entrada retorna novamente a zero para t t2 a queda de tensão no resistor tornase nula visto que o terminal A do operacional corresponde ao terra virtual conforme mostrado na Fig30 Esse valor nulo de tensão implica uma corrente nula circulando através do resistor e do capacitor Nessas condições a carga armazenada no capacitor não se altera e a tensão de saída se mantém constante para t t2 conforme mostrado na Fig30 Série de Eletrônica 27 Fig30 Tensão de entrada e saída para um pulso de entrada que retorna a um valor nulo A única possibilidade de descarregar o capacitor é através da aplicação de uma tensão negativa na entrada conforme mostra a Fig31 Fig31 Efeito produzido na saída do integrador por um pulso com uma componente negativa Circuito integrador e diferenciador 28 A tensão negativa na entrada do resistor fará circular uma corrente constante sobre o resistor com o sentido indicado na Fig31 Essa corrente constante faz que a carga do capacitor diminua linearmente como função do tempo A queda de tensão no capacitor diminui proporcionalmente e como resultado a tensão de saída aumenta linearmente com o tempo Se o tempo de aplicação da tensão negativa na entrada for longo o suficiente a carga armazenada na armadura positiva passa a se tornar negativa e a queda de tensão no capacitor muda de sinal Como resultado a tensão de saída passa a ser positiva como mostrado na Fig31 Assim a aplicação de uma onda quadrada simétrica na entrada de um integrador com AO produz na saída uma onda dente de serra do tipo mostrado na Fig32 Fig32 Onda dente de serra gerada a partir de uma onda quadrada simétrica na entrada de um integrador com AO Na prática acrescentase ao circuito integrador um resistor em paralelo com o capacitor para que o AO possa também operar com realimentação cc como indicado na Fig33 Esse resistor em geral tem uma resistência 10 vezes maior que aquela do resistor de entrada do circuito Esse alto valor de resistência minimiza interferências na constante de tempo e formas de onda do circuito e melhora sua estabilidade Série de Eletrônica 29 Fig33 Circuito integrador com a adição de um resistor em paralelo com o capacitor na malha de realimentação DIFERENCIADOR COM AMPLIFICADOR OPERACIONAL O diferenciador com AO tem uma configuração que se assemelha à do integrador e pode ser obtido alternando a posição do resistor com a posição do capacitor conforme ilustrado na Fig34 Fig34 Configuração básica de um diferenciador com AO Circuito integrador e diferenciador 30 Admitindo a aplicação do sinal mostrado na Fig35 quando a tensão de entrada é nula os dois lados do capacitor estão a um potencial nulo e como não há corrente circulando na malha de realimentação a tensão de saída é nula Fig35 Diferenciador com AO sujeito a um sinal de entrada Os sinais elétricos no circuito estão mostrados na Fig36 Como pode ser aí observado no instante de tempo t1 quando a tensão de entrada varia de zero a um valor V1 o capacitor tende a se carregar o que implica uma circulação de corrente através do capacitor e do resistor Essa corrente circula até que o capacitor se carregue totalmente Durante esse tempo de carga do capacitor surge uma queda de tensão no resistor Como o terminal A da Fig35 está a um potencial nulo a tensão de saída tornase negativa durante o tempo de carga do capacitor O diferenciador exibe uma constante de tempo RC pequena e a corrente de carga circula apenas durante um breve intervalo de tempo provocando o aparecimento de um pico de tensão negativa na saída do circuito como mostrado na Fig36 Fig36 Sinais elétricos no diferenciador com AO Série de Eletrônica 31 Para uma transição negativa do sinal de entrada a corrente circula em sentido oposto gerando um pico positivo na saída conforme ilustrado na Fig37 Fig37 Tensão na saída de um diferenciador submetido a um pulso de tensão É muito comum a aplicação de uma tensão dente de serra na entrada do diferenciador Nesse caso a variação linear na tensão de entrada aplicada diretamente aos terminais do capacitor impede que a corrente de carga varie gerando tensões de saída constantes e proporcionais às inclinações das rampas associadas à tensão dente de serra conforme ilustrado na Fig38 Fig38 Tensão de saída de um diferenciador submetido a um pulso de tensão Circuito integrador e diferenciador 32 Na prática acrescentase um resistor em série com o capacitor no circuito diferenciador conforme mostrado no diagrama da Fig39 Esse resistor evita oscilações do circuito em altas freqüências e tem geralmente uma resistência 10 vezes menor que aquela do resistor da malha de realimentação Fig39 Diferenciador com AO com resistor em série com o capacitor Série de Eletrônica 33 Apêndice QUESTIONÁRIO 1 Faça um desenho de uma seqüência periódica de pulsos retangulares e identifique os seguintes parâmetros ciclo período largura de pulso freqüência e componente cc 2 O que se entende por integração no sentido matemático 3 Qual é a função básica de um circuito integrador 4 Qual é a função básica de um circuito diferenciador 5 De que forma um circuito RC pode ser configurado para servir como integrador E como diferenciador 6 Qual é a máxima largura de pulso que pode ser aplicada a um circuito RC integrador para que o circuito opere satisfatoriamente 7 Qual é o máximo valor da constante de tempo de um circuito diferenciador RC em relação à largura do pulso de entrada para que ele opere satisfatoriamente 8 Desenhe os diagramas de circuito de um integrador com AO e de um diferenciador com AO 9 Qual é a vantagem de uso de diferenciadores e integradores com AO relativamente àqueles circuitos na configuração RC Circuito integrador e diferenciador 34 BIBLIOGRAFIA LANDO Roberto Antônio ALVES Sérgio Rios Amplificador operacional São Paulo Érica 1983 MALVINO Albert Paul Eletrônica vol2 São Paulo McGraw Hill do Brasil 1986