Correlação e Regressão Linear: Conceitos e Cálculos

Correlação e Regressão Linear NA3411 Estatística Básica A correlação mede o relacionamento entre duas variáveis com a média e o desvio padrão de cada variável equalizados Correlação e Regressão Linear X Y X Y X Y Correlação Linear entre duas variáveis aleatórias Representa a capacidade de uma variável prever o valor da outra variável por uma relação linear equação de uma reta Baixa Correlação Linear Alta Correlação Linear Positiva Negativa Correlação e Regressão Linear Coeficiente de Correlação Linear Pearson r 1 r 1 O grau de correlação é perfeita e positiva se r 1 perfeita e negativa se r 1 nula ou a correlação não é linear se r 0 Quando r estiver mais próximo de 1 ou de 1 temos uma correlação significativa forte Quando r estiver mais próximo de 0 temos uma correlação fraca ou não linear Quanto menor a dispersão dos dados mais alta a correlação Correlação e Regressão Linear r 1 r 1 r 0 r entre 0 e 1 r entre 0 e 1 Correlação Linear entre duas variáveis aleatórias Correlação mede qual o valor da força do relacionamento entre duas variáveis variando de 1 até 1 Correlação e Regressão Linear Expressão para calcular o Coeficiente de Correlação Linear Pearson r 2 2 2 2 y y n x x n y x xy n rxy n quantidade de linhas ou o número de pares ordenados xy Obs no EXCEL utilize a função CORREL Correlação e Regressão Linear Exemplo 1 O Levantamento de duas variáveis aleatórias gerou a tabela abaixo Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson para as variáveis aleatórias Xe Y i Variável Aleatória X Variável Aleatória Y XY X² Y² 1 10 5 50 100 25 2 9 4 36 81 16 3 6 2 12 36 4 4 5 1 5 25 1 n 5 3 0 0 9 0 Total 33 12 103 251 46 Correlação e Regressão Linear Exemplo 1 continuando Calculando o Coeficiente de Correlação Linear Correlação e Regressão Linear Coeficiente de Determinação Coeficiente de Determinação CD é a porcentagem que explica a variabilidade da variável dependente Y de acordo com a variável independente X O CD é dado por Quanto maior a porcentagem mais objetos são explicáveis 2 2 xy r r EXCEL RQUADdados X dados Y Correlação e Regressão Linear Voltando ao caso do Exemplo 1 podemos calcular o Coeficiente de Determinação 9920 9960 100 0 9960 0 2 2 xy xy r r Então 9920 da variável dependente Y se justifica pela variável independente X ou podemos dizer que 080 da variável dependente Y não se justifica somente pela variável independente X Correlação e Regressão Linear É um modelo linear que estima novas situações ou ainda uma reta que ajusta os pontos estimados Correlação e Regressão Linear Reta ajustada de Regressão Linear Modelo Linear Estimativa X variável independente Y variável dependente Parâmetros da reta a Coeficiente angular da reta INCLINAÇÃO b Coeficiente linear da reta INTERCEPÇÃO b ax y 2 2 x x n y x xy n a n x a n y b REGRESSÃO LINEAR EXCEL a INCLINACAOdados X dados Y b INTERCEPCAOdados X dados Y Correlação e Regressão Linear REGRESSÃO LINEAR ERRO PADRÃO DE ESTIMATIVA Erro Padrão de Estimativa da reta de regressão linear referese ao erro relacionado ao ajuste da reta de regressão linear Quanto menor o erro melhor será este ajuste n quantidade de linhas 2 2 n y y Se EXCEL EPADYXdados X dados Y Correlação e Regressão Linear Ainda no caso do Exemplo 1 vamos calcular o Erro Padrão da Estimativa da Reta de Regressão Linear 2 2 n y y Se Significa que cada ponto estimado pela reta de Regressão Linear Pode ter um erro aproximado de 02149 Correlação e Regressão Linear y 07169x 23315 R² 09919 1 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 12 Variável Aleatória Y Variável aleatória X Diagrama de Dispersão e Reta de Regressão Linear Exemplo 1 Gráfico de Dispersão PONTOS e da Regressão Linear RETA EXCEL Selecionar os dados de X e Y inserir gráfico de dispersão e a RETA de tendência linear Correlação e Regressão Linear Pontos da Tabela Reta de Regressão Exemplo Correlação e Regressão Linear NA3411 Estatística Básica Exemplo A tabela a seguir demonstra o alcance auditivo em mil ciclos por segundo de pessoas expostas ao ruído de decolagem de aviões durante um certo período de tempo Pedese a Calcule o coeficiente de correlação linear b Encontre a reta de regressão linear c Estime o alcance auditivo de uma pessoa exposta ao ruído do avião por trinta e cinco semanas d Estime o alcance auditivo de uma pessoa exposta ao ruído do avião por duzentas semanas e Apresente o diagrama de dispersão e desenhe a reta da regressão linear f Calcule o Erro Padrão de Estimativa da reta de regressão linear Correlação e Regressão Linear 2 2 2 2 y n y x x n x y n xy rxy Correlação linear 2 2 x x n x y n xy a Reta Regressão Linear n x a n y b ax b y 2 2 n y y Se Erro Padrão de Estimativa RELEMBRANDO Correlação e Regressão Linear Correlação e Regressão Linear 1668015 Reta de Regressão Portanto c x 35 d x 200 Correlação e Regressão Linear y 00175x 15322 R² 0898 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Gráfico da Regressão Linear e Diagrama de dispersão e reta de regressão linear Correlação e Regressão Linear EXEMPLO Dados amostrais hipotéticos Quilometragem e preço de venda de carros do ano de 1975 de certa marca STEVENSON W 2001 p 345 Pedese a Calcular o coeficiente de correlação e o coeficiente de determinação b ajustar a reta de regressão e calcular oerro padrão estimado c Qual o preço estimado de venda de um carro com 20000 milhas rodadas d Quantos quilômetros um carro deve ter aproximadamente para ser vendido por 1350 Correlação e Regressão Linear y 38555x 29336 R² 08086 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0 10 20 30 40 50 60 70 de venda Km Km dos carros relacionado com o valor de venda 1975 Km x Linear Km x Correlação e Regressão Linear