Guia de Estudo em Mecânica: Ementa e Conteúdos

1 2 3 Reitor Prof Me Stefano Barra Gazzola Gestão da Educação a Distância Prof Me Wanderson Gomes de Souza Design Instrucional e Diagramação Isabella de Menezes Revisão Ortográfica Gramatical Olga Tereza Prado Martins 4 Thiago Luís Nogueira Silva Graduado em Engenharia Mecânica especialista em Gestão Estratégica e Inteligência em Negócios Professor da Instituição ministrando aulas nas disciplinas de Mecânica Resistência dos Materiais Metrologia Transferência de Calor I e II Máquinas Térmicas e Instrumentos e Sistemas de Medida Atua também como Assessor Administrativo do Grupo UNIS httplattescnpqbr6468652777956930 5 SILVA Thiago Luís Nogueira Guia de Estudo Mecânica GEaD UNISMG 2016 205 p 1 Mecânica Geral 2 Estática 3 Vetores 4 Máquinas 5 Estruturas Mecânica 6 EMENTA DA DISCIPLINA 11 ORIENTAÇÕES GERAIS DA DISCIPLINA 11 PALAVRASCHAVE 11 UNIDADE I INTRODUÇÃO À ESTÁTICA 12 OBJETIVOS DESTA UNIDADE 12 INTRODUÇÃO 12 1 DESENVOLVIMENTO 13 11 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 13 12 MODELAGEM 14 13 FORÇA CONCENTRADA 15 14 AS TRÊS LEIS DO MOVIMENTO DE NEWTON 16 141 LEI DE NEWTON DA ATRAÇÃO GRAVITACIONAL 17 15 UNIDADES DE MEDIDA 19 16 CÁLCULOS NUMÉRICOS 21 RESUMINDO 24 UNIDADE II VETORES DE FORÇA 25 OBJETIVOS DESTA UNIDADE 25 INTRODUÇÃO 25 2 ESCALARES E VETORES 26 21 OPERAÇÕES VETORIAIS 27 22 ADIÇÃO VETORIAL DE FORÇAS 30 23 EXEMPLOS RESOLVIDOS 34 24 ADIÇÕES DE UM SISTEMA DE FORÇAS COPLANARES 40 25 VETORES CARTESIANOS 50 26 ADIÇÃO DE VETORES CARTESIANOS 56 27 VETORES POSIÇÃO 60 RESUMINDO 66 UNIDADE III EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA 67 OBJETIVOS DESTA UNIDADE 67 INTRODUÇÃO 67 3 CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA 68 31 O DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 68 32 SISTEMAS DE FORÇAS COPLANARES 73 7 33 SISTEMAS DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 79 RESUMINDO 85 34 DIRETRIZES PARA A PRÓXIMA UNIDADE 85 UNIDADE IV RESULTADO DE UM SISTEMA DE FORÇAS 86 OBJETIVOS DESTA UNIDADE 86 INTRODUÇÃO 86 4 PRODUTO VETORIAL 90 41 MOMENTO DE UMA FORÇA FORMULAÇÃO VETORIAL 94 REFERENCIAIS PARA A PRÓXIMA UNIDADE 106 UNIDADE V EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO 107 OBJETIVOS DESTA UNIDADE 107 INTRODUÇÃO 107 5 EQUILÍBRIO EM DUAS DIMENSÕES 109 51 DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE 110 511 REAÇÕES DE APOIO 111 512 FORÇAS INTERNAS 117 513 O PESO E O CENTRO DE GRAVIDADE 119 514 MODELOS IDEALIZADOS 119 515 PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE 120 516 PONTOS IMPORTANTES 121 517 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 123 518 PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE 123 UNIDADE VI ANÁLISE ESTRUTURAL 125 OBJETIVOS DESTA UNIDADE 125 INTRODUÇÃO 125 61 O MÉTODO DOS NÓS 132 62 MEMBROS DE FORÇA ZERO 139 63 O MÉTODO DAS SEÇÕES 146 UNIDADE VII ESFORÇOS INTERNOS 151 OBJETIVOS DESTA UNIDADE 151 INTRODUÇÃO 151 71 CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO EM VIGAS 152 72 FORÇAS INTERNAS DESENVOLVIDAS EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS 156 73 EQUAÇÕES E DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR 165 UNIDADE VIII CENTRO DE GRAVIDADE E MOMENTO DE INÉRCIA 178 OBJETIVOS DESTA UNIDADE 178 INTRODUÇÃO 178 81 CENTRO DE GRAVIDADE DE ÁREAS COMPOSTAS 179 8 82 MOMENTO DE INÉRCIA 186 ESTUDO DE CASO 187 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 187 10 Olá sou o Prof Thiago e irei trabalhar com vocês a disciplina de Mecânica Durante todo o guia trataremos de assuntos relacionados com um dos mais importantes temas da engenharia a Mecânica Trataremos de conceitos como vetores treliças vigas momentos de inércia entre outros de grande relevância para a formação geral do futuro engenheiro A geometria analítica é uma ferramenta importante nas demonstrações e será usada com muita frequência durante todo este trabalho A melhor dica para que se possa aprender a matéria de Mecânica é fazer muitos exercícios portanto leia e estude este guia com lápis e papel na mão faça anotações resolva novamente todos os exemplos e principalmente tente fazer todos os exercícios não só os que serão cobrados nas atividades mas também aqueles que estão propostos ao longo de todo o guia no apêndice A estarão às respostas de todos eles portanto façaos e depois confira as respostas e se ainda surgir alguma dúvida pergunte ao professor Também é muito importante assistir todas as aulas gravadas e se possível acompanhálas ao vivo pois será um momento impar de ter contato com seu professor A aprendizagem total dos conteúdos será dada mediante o seu empenho em realizar as atividades propostas e compreendêlas Desejo a todos um excelente semestre que Deus nos abençoes e possamos vencer mais essa etapa Prof Esp Thiago Luís Nogueira Silva 11 Ementa da disciplina Introdução à Estática Princípios Gerais Vetores Força Equilíbrio de uma Partícula Sistema Sistemas de Forças Equivalentes Equilíbrio de Corpo Rígido Análise Estrutural e Esforços Internos nos Elementos Estruturais e das Máquinas Diagrama de Esforços Equações Diferenciais do Equilíbrio de Vigas Cálculo do Centro de Gravidade Momento Estático da Área Centroides de Área linhas e Formas Compostas Momento de Inércia de Área Raio de Giração Cabos Atritos em Correias Atrito em Disco Trabalho Virtual Orientações gerais da disciplina Ver Plano de Estudos da disciplina disponível no ambiente virtual Palavraschave Mecânica Geral Estática Vetores Máquinas Estruturas 12 Unidade I Introdução à Estática Objetivos desta unidade Fornecer uma introdução aos conceitos fundamentais da mecânica Apresentar as Leis de Newton para o movimento e gravitação Revisar os princípios básicos da aplicação das unidades do SI Examinar os procedimentos padrão de execução de cálculos numéricos Introdução A Mecânica é um ramo das ciências físicas que trata do estado de repouso ou movimento dos corpos sujeitos à ação das forças Em geral esse assunto é subdividido em três áreas mecânica dos corpos rígidos mecânica dos corpos deformáveis e mecânica dos fluídos Neste guia estudaremos a mecânica dos corpos rígidos uma vez que é um requisito básico para o estudo de outras áreas principalmente Resistência dos Materiais Além disso ela é essencial para o projeto e a análise de muitos tipos de elementos estruturais componentes mecânicos ou dispositivos elétricos encontrados na engenharia A mecânica dos corpos rígidos dividese em duas áreas estática e dinâmica Em nosso estudo vamos focar na estática que trata do equilíbrio dos corpos ou seja aqueles que estão em repouso ou em movimento com velocidade constante Podemos considerar a estática um caso especial da 13 dinâmica em que a aceleração é zero entretanto a estática merece um tratamento distinto na aprendizagem da engenharia uma vez que muitos objetos são projetados com a intenção de permanecerem em equilíbrio 1 Desenvolvimento Os princípios da estática desenvolveramse na história a muito tempo porque podiam ser formulados simplesmente a partir das medições da geometria e da força Estudos sobre polia plano inclinado e torção aparecem em registros antigos da época em que as necessidades da engenharia limitavamse principalmente a construção de edifícios e máquinas 11 Conceitos fundamentais Iniciaremos o estudo da mecânica para a engenharia mostrando o significado de alguns conceitos e princípios fundamentais Quantidades Básicas Dentro da mecânica quatro quantidades básicas são fundamentais vejamos quais são e uma pequena definição de cada uma delas Comprimento O comprimento é usado para localizar a posição de um ponto no espaço e portanto descrever o tamanho do sistema físico 14 Tempo O tempo é concebido para estabelecer uma sucessão de eventos Massa A massa é uma medida da quantidade de matéria que é usada para comparar a ação de um corpo com a de outro Força De maneira geral podemos considerar a força como um empurrão ou puxão exercido por um corpo sobre outro Uma força fica completamente definida pela sua intensidade direção e ponto de aplicação 12 Modelagem As modelagens ou idealizações são meios usados na mecânica para simplificar a aplicação da teoria Em particular vamos definir três modelos importantes Partícula Uma partícula possui massa mas em um tamanho que pode ser desprezado 15 Imagine um caminhão Ao longo de uma estrada ele pode ser considerado uma partícula pois o seu tamanho é desprezível em relação a estrada Porém este mesmo caminhão se for colocado em um galpão já não poderá ser considerado uma partícula pois seu tamanho não é desprezível em relação ao local onde se encontra Quando um corpo é modelado como uma partícula os princípios da mecânica reduzemse a uma forma muito simplificada uma vez que a geometria do corpo não estará envolvida na análise do problema Corpo Rígido Um corpo rígido pode ser considerado a combinação de um grande número de partículas que permanecem a uma distância fixa umas das outras tanto antes como depois da aplicação da carga Na maioria dos casos as deformações reais ocorrem em estruturas máquinas mecanismos e similares são relativamente pequenas e a hipótese de corpo é adequada para a análise 13 Força Concentrada Uma força concentrada representa o efeito de uma carga que supostamente age em um ponto do corpo A força de contato entre uma roda e o solo 16 14 As Três Leis do Movimento de Newton1 A mecânica para engenharia é formulada com base nas três leis de Newton Elas podem ser postuladas resumidamente como a seguir Primeira Lei Uma partícula originalmente em repouso ou movendose em linha reta com velocidade constante tende a permanecer nesse estado desde que não seja submetida a uma força em desequilíbrio fig 11 a Figura 11 a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 3 Segunda Lei Uma partícula sob a ação de uma força em desequilíbrio F sofre uma aceleração a que possui a mesma direção da força e intensidade diretamente proporcional a essa força fig 11 b 1 Neste guia sempre que uma letra do alfabeto latino que representa uma quantidade básica como por exemplo força aceleração gravidade etc aparecer em negrito estaremos falando de uma entidade vetorial 17 Figura 11 b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 3 Matematicamente esta lei pode ser descrita como 𝑭 𝑚 𝒂 11 Terceira Lei As forças de ação e reação entre duas partículas são iguais opostas e colineares fig 11 c Figura 11 c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 3 141 Lei de Newton da Atração Gravitacional 18 Depois de explicar suas três leis do movimento Newton postulou a lei que governa a atração gravitacional entre duas partículas quaisquer Matematicamente temos 𝑭 𝐺 𝑚1𝑚2 𝑟2 12 onde F força gravitacional entre duas partículas G constante da gravitação universal 667 x 1011 m3kgs2 m1 e m2 massa de cada uma das partículas r distância entre as duas partículas Peso Segundo a equação 12 quaisquer duas partículas ou corpos possuem uma força de atração mútua gravitacional agindo entre eles Entretanto no caso de uma partícula localizada sobre ou próxima à superfície da Terra a única força da gravidade com intensidade considerável é aquela entre a Terra e a partícula Consequentemente essa força denominada peso será a única força que consideraremos no estudo da mecânica 𝑾 𝑚𝒈 13 Por comparação com F ma podemos ver que g é a aceleração devido à gravidade Como ela depende de r então o peso de um corpo não é uma quantidade absoluta Em vez disso sua intensidade é determinada onde a medição foi feita Para a maioria dos cálculos de engenharia no entanto g é determinada ao nível do mar e na latitude de 45º que é considerado o local padrão 19 15 Unidades de medida As quatro quantidades básicas comprimento tempo massa e força não são todas independentes umas das outras na verdade elas são relacionadas pela segunda lei do movimento de Newton F ma A igualdade F ma é mantida apenas se três das quatro unidades chamadas unidades básicas estiverem definidas e a quarta unidade for então derivada da equação Unidades SI O Sistema Internacional de Unidades abreviado como SI do francês Système International dUnités é uma versão moderna do sistema métrico que recebeu aceitação mundial Como mostra a Tabela 11 o sistema SI define o comprimento em metros m o tempo em segundos s e a massa em quilogramas kg A unidade de força chamada newton N é derivada de F ma Portanto 1 newton é igual a força necessária para fornecer a 1 um quilograma de massa uma aceleração de 1 ms2 N kgms2 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 4 20 Se o peso de um corpo localizado no local padrão for determinado em newtons então a equação 13 deve ser aplicada Nessa equação as medidas fornecem g 980665 ms2 entretanto para cálculos será usado o valor g 981 ms2 Assim 𝑾 𝑚𝒈 𝒈 981 𝑚 𝑠2 14 Um corpo de massa 1 kg possui um peso de 981 N como na figura 12 Figura 12 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 5 Para usarmos adequadamente o Sistema Internacional devemos seguir algumas regras para o seu uso e terminologias relevantes a mecânica para engenharia Prefixos Quando uma quantidade numérica é muito grande ou muito pequena as unidades usadas para definir seu tamanho podem ser modificadas usando um prefixo Alguns dos prefixos usados no SI são mostrados na Tabela 12 21 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 5 16 Cálculos numéricos O trabalho numérico na prática da engenharia é quase sempre realizado usando calculadoras e computadores Entretanto é importante que as respostas de qualquer problema sejam apresentadas com precisão justificável de algarismos significativos apropriados Nessa seção discutiremos esses tópicos justamente com outros aspectos importantes envolvidos em todos os cálculos de engenharia Homogeneidade dimensional 22 Os termos de qualquer equação usada para descrever um processo físico devem ser dimensionalmente homogêneos isto é cada termo deve ser expresso nas mesmas unidades Independentemente de como a equação seja calculada ela mantém sua homogeneidade dimensional Observe com atenção que os problemas na mecânica sempre envolvem a solução de equações dimensionalmente homogêneas e portanto esse fato pode ser usado como uma verificação parcial para manipulações algébricas de uma equação Algarismos significativos O número de algarismos significativos contidos em qualquer número determina a precisão dele Por exemplo o número 4981 contém quatro algarismos significativos Entretanto se zeros ocorrerem no final de um número pode não ficar claro quantos algarismos significativos o número representa Para evitar essas ambiguidades usaremos a notação de engenharia para expressar um resultado Isso exige que os números sejam arredondados para a quantidade adequada de algarismos significativos e em seguida expressos em múltiplos de 103 tais como 103 106 ou 109 Por exemplo se 23400 tiver cinco algarismos significativos ele é escrito como 23400103 mas se tiver apenas três algarismos significativos ele é escrito como 234103 Se zeros ocorrerem no início de um número menor que um então não serão significativos Por exemplo 000821 possui três algarismos significativos Usando a notação de engenharia esse número é expresso como 821103 Da mesma forma 0000582 pode ser expresso como 0582103 ou 582106 Arredondamento de números 23 Arredondar um número é necessário para que a precisão do resultado seja a mesma dos dados do problema Como regra geral qualquer algarismo numérico terminado em cinco ou mais é arredondado para cima e um número menor que cinco é arredondado para baixo Suponha que o número 35587 precise ser arredondado para três algarismos significativos Como o quarto algarismo 8 é maior que 5 o terceiro número é arredondado para 356 Agora suponha que queremos arredondar o número 1341 para três algarismos significativos como o quarto algarismo 1 é menor que 5 então teremos 134 Como regra geral se o algarismo precedendo o 5 for um número par então esse algarismo não é arredondado para cima Se o algarismo precedendo o 5 for um número impar então ele é arredondado para cima Exemplo O número 7525 for arredondado para três algarismos significativos se torna 752 Cálculos Quando uma sequência de cálculos é realizada é melhor armazenar os resultados intermediários na calculadora Em outras palavras não arredonde os cálculos até expressar o resultado final Esse procedimento mantém a precisão por toda a série de etapas até a solução final Normalmente arredondamos as respostas para três algarismos significativos já que a maioria dos dados na mecânica para engenharia 24 como geometria e cargas pode ser medida de maneira confiável nesse nível de precisão Nesta unidade tivemos a oportunidade de estudar os aspectos básicos do curso de mecânica suas leis básicas sistemas de unidades e procedimentos básicos de cálculo 17 Referenciais para a próxima unidade Na próxima unidade faremos um estudo rápido de vetores e também de sua aplicação em dispositivos bastante utilizados em engenharia como vigas ganchos suportes e outros Até a próxima Resumindo 25 Unidade II Vetores de Força Objetivos desta unidade Mostrar como adicionar forças e decompôlas em componentes usando a lei do paralelogramo Expressar a força e a sua posição de forma de um vetor cartesiano e explicar como determinar a intensidade e a direção do vetor Introduzir o produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre outro Introdução Um dos grandes problemas que os alunos da disciplina de Mecânica enfrentam em um curso inicial como esse é a álgebra de Vetores portanto nessa unidade faremos um resumo sobre o que é vetores qual sua diferença em relação às grandezas escalares e também iremos considerar o estudo da álgebra ligada a eles Como este é um assunto que irá dominar todo o resto do curso advertimos aos alunos que deem uma atenção especial pois a continuidade do guia dependerá totalmente do bom entendimento desta unidade 26 2 Escalares e vetores Todas as quantidades físicas na mecânica aplicada à engenharia são medidas usando escalares ou vetores Escalar Por definição um escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que pode ser completamente especificada por sua intensidade Comprimento massa tempo intensidade de corrente elétrica etc Vetor Um vetor é qualquer quantidade física que requer uma intensidade e uma direção para sua completa descrição Força posição momento etc Um vetor é representado graficamente por uma seta conforme podemos ver pela figura 21 Figura 21 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 11 27 O comprimento da seta representa a intensidade do vetor ou como é chamado tecnicamente magnitude o ângulo θ entre o vetor e um eixo fixo determina a direção de sua linha de ação A ponta da seta indica o sentido da direção do vetor 21 Operações vetoriais Multiplicação e divisão de um vetor por um escalar Se um vetor é multiplicado por um escalar positivo sua intensidade é aumentada por essa quantidade Quando um vetor é multiplicado por um vetor negativo ele também mudará o sentido de sua direção veja os exemplos da figura 22 Figura 22 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 12 Adição de Vetores Todas as quantidades vetoriais obedecem à lei do paralelogramo da adição Somente para ilustrarmos os dois vetores componentes A e B da figura 23 a são somados para formar um vetor resultante R A B usando o seguinte procedimento 28 Figura 23 a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 12 Primeiro una as origens dos vetores componentes em um ponto único de modo que se tornem concorrentes veja a figura 23 b Figura 23 b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 12 A partir da extremidade de A faça um prolongamento paralelo ao vetor B Depois faça um prolongamento da extremidade de B e que seja paralela ao vetor A Essas duas linhas se interceptam em um ponto P para formar os lados adjacentes de um paralelogramo A diagonal desse paralelogramo que se estende até P forma R que então representa o vetor resultante R A B veja a figura 23 c 29 Figura 23 c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 12 Quando fazemos uma análise mais profunda podemos notar que a adição de vetores é uma operação comutativa ou seja os vetores podem ser somados em qualquer ordem ou seja R A B B A Existe ainda outro processo para realizarmos a adição de vetores que é o uso da lei dos triângulos mais como esse processo muitas vezes pode trazer dificuldades quando temos muitos vetores para serem somados optamos por não trabalharmos com ele em nosso guia Subtração de vetores A resultante da diferença entre dois vetores A e B do mesmo tipo pode ser expressa como R A B A B A figura 24 exemplifica exatamente esse processo veja que como o vetor B é negativo2 o mesmo tem seu sentido invertido para a formação do paralelogramo 2 Lembramonos da Geometria Analítica e da Álgebra Linear que os vetores somente admitem duas operações a soma e o produto porém para a operação de subtração aplicamos a operação soma porém com o segundo vetor negativo mostrando assim que houve uma inversão em seu sentido 30 Figura 24 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 13 22 Adição vetorial de forças Lembrandonos dos conhecimentos obtidos em Física I que uma força é uma quantidade vetorial pois possui intensidade direção e sentido especificados e sua soma é feita de acordo com a lei do paralelogramo Dois problemas comuns em estática envolvem determinar a força conhecida em duas componentes Veremos agora como podemos resolver cada um desses problemas usando a lei do paralelogramo Determinando uma força resultante As duas forças componentes F1 e F2 agindo sobre o pino da figura 25 a podem ser somadas para formar a força resultante FR F1 F2 como podemos ver na figura 25 b 31 Figura 25 a Figura 25 b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 13 A partir dessa construção podemos aplicar a lei dos cossenos ou lei dos senos para o triângulo3 a fim de obter a intensidade da força resultante e sua direção Determinando as componentes de uma força Algumas vezes é necessário decompor uma força em duas componentes para estudar seu efeito Vejamos um exemplo na figura 26 a F deve ser decomposta em duas componentes ao longo dos membros definidos pelos eixos u e v Figura 26 a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 14 3 Não se esqueça quando for realizar cálculos de seno e cosseno em calculadoras não se esquecer de chavear as mesmas para degraus 32 Para determinar a intensidade de cada componente um paralelogramo é construído primeiro desenhando linhas iniciando na extremidade de F uma linha paralela a u e a outra linha paralela a v Essas linhas então se interceptam com os eixos u e v formando um paralelogramo As componentes das forças Fu e Fv são estabelecidas simplesmente unindo a origem de F com os pontos de interseção nos eixos u e v figura 26 b Figura 26 b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 14 Esse paralelogramo pode então ser reduzido a um triângulo que representa a regra do triângulo figura 26 c Figura 26 c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 14 A partir disso a lei dos senos pode ser aplicada para determinar as intensidades desconhecidas das componentes 33 Adição de várias forças Se mais de duas dessas forças precisam ser somadas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo podem ser realizadas de modo a obter a força resultante Por exemplo se três forcas F1 F2 e F3 atuam em um ponto O figura 27 a resultante de quaisquer duas forças digamos F1 F2 é encontrada e depois dessa resultante é somada com à terceira força produzindo a resultante das três forças ou seja FR F1 F2 F3 Figura 27 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 14 Resolução de problemas Problemas que envolvem a soma de duas forças podem ser resolvidas da seguinte maneira primeiro utilizamos a lei do paralelogramo e logo em seguida aplicar os princípios da trigonometria Para usar o principio da trigonometria primeiro redesenhe metade do paralelogramo para ilustrar a adição triangular extremidadeparaorigem das componentes Para esse triângulo a intensidade da força resultante é determinada pela lei dos cossenos e sua direção pela lei dos senos As intensidades das duas componentes de forças são determinadas pela lei dos senos Veja as formulas mostrada na figura 28 34 Figura 28 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 14 23 Exemplos resolvidos 1 O gancho da figura 29 a está sujeito a duas forças F1 e F2 Determine a intensidade e a direção da força resultante Figura 29 a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 15 35 Solução O paralelogramo é formado por uma linha a partir da extremidade de F1 que seja paralela a F2 e outra linha a partir da extremidade de F2 que seja paralela a F1 A força resultante Fg estendese para onde essas linhas se interceptam no ponto A Veja na Figura 29 b Figura 29b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 15 As duas incógnitas são a intensidade de FR e o ângulo θ A partir do paralelogramo construímos o triangulo vetorial Figura 29 c Usando a lei dos cossenos 36 Figura 29 c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 15 𝐹𝑅 100𝑁2 150𝑁2 2100𝑁150𝑁 cos 115 𝐹𝑅 10000 22500 30000 04226 𝐹𝑅 2126 𝑁 𝐹𝑅 213 𝑁 Aplicando a lei dos senos para determinar θ 150 𝑁 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2126 𝑁 𝑠𝑒𝑛 115 𝑠𝑒𝑛 𝜃 150 𝑁 2126 𝑁 𝑠𝑒𝑛 115 Aplicando o inverso do seno na equação acima obtemos 𝜃 398 Assim a direção Φ phi de FR medida a partir da horizontal é 398 15 548 37 2 Decomponha a força horizontal de 600 N da Figura 210 a nas componentes que atuam ao longo dos eixos u e v e determine a intensidade dessas componentes Figura 210 a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 16 SOLUÇÃO O paralelogramo é constituído estendendose uma linha na extremidade da força de 600 N paralela ao eixo v até que se intercepte o eixo u no ponto B veja na Figura 210b Figura 210 b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 16 38 O vetor de A para B representa Fu Da mesma forma a linha extendida da extremidade da força de 600 N paralelamente ao eixo u intercepta o eixo v no ponto C que resulta em Fv A adição dos vetores usando a regra do triângulo é mostrada na Figura 210 c As duas incógnitas são as intensidades de Fu e Fv Aplicando a lei dos senos Figura 210 c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 16 𝐹𝑢 𝑠𝑒𝑛 120 600 𝑁 𝑠𝑒𝑛 30 𝐹𝑢 1039 𝑁4 𝐹𝑣 𝑠𝑒𝑛 30 600 𝑁 𝑠𝑒𝑛 30 𝐹𝑣 600 𝑁 4 Vemos nesse caso que algumas vezes a componente pode ter uma intensidade maior do que a resultante 39 3 Determine a intensidade da força resultante F na figura 211 a e a intensidade da força resultante se FR estiver direcionada ao longo do eixo y positivo Figura 211 a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 17 SOLUÇÃO A lei do paralelogramo da adição é mostrada na Figura 211 b e a regra do triângulo é mostrada na Figura 211 c Figura 211 b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 17 40 Figura 211 c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 17 As intensidades de FR e F são as duas incógnitas Elas podem ser determinadas aplicandose a lei dos senos 𝐹 𝑠𝑒𝑛 60 200 𝑁 𝑠𝑒𝑛 45 245 𝑁 𝐹𝑅 𝑠𝑒𝑛 75 200 𝑠𝑒𝑛 45 273 𝑁 24 Adições de um sistema de forças coplanares Quando uma força é decomposta em duas componentes ao logo dos eixos x e y as componentes são então chamadas de componentes retangulares Para um trabalho analítico podemos representar essas componentes de duas maneiras usando a notação escalar ou a notação de vetor cartesiano Notação escalar 41 As componentes retangulares da força F mostrados na Figura 212 a são determinadas usando a lei do paralelogramo de modo que F Fx Fy Como essas componentes formam um triângulo retângulo suas intensidades podem ser determinadas por Figura 212 a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 22 Modificado 𝐹𝑥 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 e 𝐹𝑦 𝐹 𝑠𝑒𝑛𝜃 Note que apenas teremos a relação cos acompanhada de 𝐹𝑥 e a relação sen acompanhada de 𝐹𝑦 se e somente se 𝐹𝑥 for o cateto adjacente ao ângulo e se 𝐹𝑦 for cateto oposto ao ângulo Devemos então guardar a regra que cateto adjacente será a relação cosseno independentemente se está orientada para x ou y E o mesmo vale para cateto oposto sempre será seno Podemos também nos deparar com a situação que em vez de usar o ângulo θ a direção de F também pode ser definida por um pequeno triângulo da inclinação como mostra a Figura 212 b Onde se aplica a semelhança de triângulos 42 Figura 212 b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 22 Como esse triângulo e o triângulo maior sombreado são semelhantes o comprimento proporcional dos lados fornece 𝐹𝑥 𝐹 𝑎 𝑐 ou 𝐹𝑥 𝐹 𝑎 𝑐 e 𝐹𝑦 𝐹 𝑏 𝑐 ou 𝐹𝑦 𝐹 𝑏 𝑐 A componente y é um escalar negativo já que Fy está orientada ao longo do eixo y negativo Notação vetorial cartesiana Também é possível representar as componentes x e y de uma força em termos de vetores cartesianos unitários i e j Cada um desses vetores 43 unitários possui intensidade adimensional igual a um e portanto pode ser usado para designar as direções dos eixos x e y respectivamente figura 213 Figura 213 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 22 Como a intensidade de cada componente de F é sempre uma quantidade positiva representada pelos escalares positivos Fx e Fy então podem expressar F como um vetor cartesiano 𝐹 𝐹𝑥𝑖 𝐹𝑦𝑗 Resultante de forças coplanares Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado para determinar a resultante de várias forças coplanares Para tanto cada força é decomposta e suas componentes são somadas usandose álgebra escalar uma vez que são colineares A força resultante é então composta adicionandose as componentes da figura 214a que tem as componentes x e y como mostra a figura 214b Usando a notação vetorial cartesiana cada força é representada como um vetor cartesiano ou seja 44 Figura 214a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 23 Figura 214b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 23 𝐹1 𝐹1𝑥𝑖 𝐹2𝑦𝑗 𝐹2 𝐹2𝑥𝑖 𝐹2𝑦𝑗 𝐹3 𝐹3𝑥𝑖 𝐹3𝑦𝑗 O vetor resultante é portanto 𝐹𝑅 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝐹1𝑥𝑖 𝐹1𝑦𝑗 𝐹2𝑥𝑖 𝐹2𝑦𝑗 𝐹3𝑥𝑖 𝐹3𝑦𝑗 45 𝐹1𝑥 𝐹2𝑥 𝐹3𝑥𝑖 𝐹1𝑦 𝐹2𝑦 𝐹3𝑦𝑗 𝐹𝑅𝑥𝑖 𝐹𝑅𝑦𝑗 Se for usada a notação escalar temos então 𝐹𝑅𝑥 𝐹1𝑥 𝐹2𝑥 𝐹3𝑥 𝐹𝑅𝑦 𝐹1𝑦 𝐹2𝑦 𝐹2𝑦 As componentes da força resultante de qualquer número de forças coplanares podem ser representadas simbolicamente pela soma algébrica das componentes x e y de todas as forças ou seja 𝐹𝑅𝑥 𝐹𝑥 21 𝐹𝑅𝑦 𝐹𝑦 Pelo esquema da figura 214c a intensidade de FR é determinada pelo teorema de Pitágoras ou seja Figura 214c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 23 𝐹𝑅 𝐹𝑅𝑥 2 𝐹𝑅𝑦 2 46 Além disso o ângulo θ que especifica a direção da força resultante é determinado por meio da trigonometria 𝜃 𝑡𝑔1 𝐹𝑅𝑦 𝐹𝑅𝑥 EXEMPLOS RESOLVIDOS Determine as componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre a lança mostrada na figura 215a Expresse cada força como um vetor cartesiano Figura 215a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 24 SOLUÇÃO Pela lei do paralelogramo F1 é decomposta nas componentes x e y figura 215b Como F1x atua na direção x e F1y na direção y temos 𝐹1𝑥 200 𝑠𝑒𝑛 30 𝑁 100 𝑁 100 𝑁 𝐹1𝑦 200 cos 30 𝑁 173 𝑁 173 𝑁 47 Figura 215b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 24 A força F2 é decomposta em suas componentes x e y como mostra a figura 215c Figura 215c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 24 Nesse caso a inclinação da linha de ação da força é indicada A partir desse triângulo de inclinação podemos obter o ângulo θ ou seja 𝜃 𝑡𝑔1 5 12 e determinar as intensidades das componentes da mesma maneira que fizemos para F1 O método mais fácil entretanto consiste em usar partes proporcionais de triângulos semelhantes ou seja 𝐹2𝑥 260 𝑁 12 13 𝐹2𝑥 260𝑁 12 13 240 𝑁 48 Da mesma forma 𝐹2𝑦 260 𝑁 5 13 100 𝑁 Veja que a intensidade da componente horizontal F2x foi obtida multiplicando a intensidade da força pela relação entre o lado horizontal do triângulo da inclinação dividido pela hipotenusa enquanto a intensidade da componente vertical F2y foi obtida multiplicando a intensidade da força pela relação entre o lado vertical dividido pela hipotenusa Logo 𝐹2𝑥 240 𝑁 240 𝑁 𝐹2𝑦 100 𝑁 100 𝑁 Tendo determinado as intensidades e direções das componentes de cada força podemos expressar cada uma delas como um vetor cartesiano 𝐹1 100𝑖 173𝑗 𝑁 𝐹2 240𝑖 100𝑗 𝑁 1 A ponta de uma longa lança O na figura 216a está submetida a três forças coplanares concorrentes Determine a intensidade e a direção da força resultante Figura 216a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 26 49 SOLUÇÃO Cada força é decomposta em suas componentes x e y figura 216b Somando as componentes x temos Figura 216b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 26 𝐹𝑅𝑥 𝐹𝑥 𝐹𝑅𝑥 400 𝑁 250 𝑠𝑒𝑛 45 𝑁 200 4 5 𝑁 3832 𝑁 3832 𝑁 O sinal negativo indica que FRx atua para a esquerda ou seja na direção x negativa como observamos pela pequena seta Obviamente isso ocorre porque F1 e F2 na figura 216 b contribuem com um puxão maior para a esquerda do que F2 que puxa para a direita Somando as componentes de y temos 𝐹𝑅𝑦 𝐹𝑦 𝐹𝑅𝑦 250 cos 45 𝑁 200 3 5 𝑁 2968 𝑁 A força mostrada na figura 216c possui a seguinte intensidade 𝐹𝑅 3832 𝑁2 2968 𝑁2 485 𝑁 50 Figura 216c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 26 Da adição de vetores na figura 216 c o ângulo de direção θ é 𝜃 𝑡𝑔1 2968 3832 378 25 Vetores cartesianos As operações da álgebra vetorial quando aplicada para resolver problemas em três dimensões são enormemente simplificadas se os vetores forem primeiro representados na forma de um vetor cartesiano Usando a regra da mão direita Usaremos um sistema de coordenadas destro regra da mão direita para desenvolver a teoria da álgebra vetorial que se segue Dizemos que um sistema de coordenadas retangular é destro desde que o polegar da mão direita aponte na direção positiva do eixo z quando os dedos da mão direita estão curvados em relação a esse eixo e direcionados do eixo x positivo para o eixo y positivo figura 217 51 Figura 217 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 30 Componentes retangulares de um vetor Um vetor A pode ter uma duas ou três componentes retangulares ao longo dos eixos coordenados x y z dependendo de como o vetor está orientado em relação aos eixos Em geral quando A está direcionado dentro de um octante do sistema x y z figura 218 Figura 218 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 30 Combinando essas equações para eliminar A A é representado pela soma vetorial de suas três componentes retangulares 𝐴 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 22 52 Vetores cartesianos unitários Em três dimensões os vetores cartesianos unitários i j k são usados para designar as direções dos eixos x y z respectivamente Os vetores cartesianos unitários são mostrados na figura 219 Figura 219 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 31 Representação de um vetor cartesiano Como as três componentes de A na Equação 22 atuam nas direções positivas de i j k figura 220 podese escrever A na forma de um vetor cartesiano como 𝐴 𝐴𝑥𝑖 𝐴𝑦𝑗 𝐴𝑧𝑘 23 53 Figura 220 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 31 As componentes dos vetores unitários são calculadas da seguinte maneira 𝑈𝐴 𝐴𝑥 𝐴 𝑖 𝐴𝑦 𝐴 𝑗 𝐴𝑧 𝐴 𝑘 Em que 𝐴 𝐴𝑥2 𝐴𝑦 2 𝐴𝑧2 Intensidade de um vetor cartesiano É sempre possível obter a intensidade de A desde que ele seja expresso sob a forma de vetor cartesiano Como mostra a figura 221 do triângulo retângulo cinza claro 𝐴 𝐴2 𝐴𝑧2 e do triângulo retângulo cinza 54 escuro 𝐴 𝐴𝑥2 𝐴𝑦2 Combinandose essas equações para eliminar A temos 𝐴 𝐴𝑥2 𝐴𝑦2 𝐴𝑧2 24 Figura 221 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 31 Direção de um vetor cartesiano A direção de A é definida pelos ângulos de direção ângulos diretores coordenados α alfa β beta e γ gama medidos entre a origem de A e os eixos x y z positivos desde que esteja localizada na origem A figura 222 55 Figura 222 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 31 Para determinarmos α β e γ vamos considerar as projeções de A sobre os eixos x y z figura 223 Com referência aos triângulos sombreados de cinza claro mostrados em cada figura temos cos 𝛼 𝐴𝑥 𝐴 cos 𝛽 𝐴𝑦 𝐴 cos𝛾 𝐴𝑧 𝐴 25 Esses números são conhecidos como os cossenos diretores de A Uma vez obtidos os ângulos de direção coordenados α β e γ são determinados pelo inverso dos cossenos 56 Figura 222 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 31 Podemos ainda determinar um ângulo diretor desde que conhecido os outros dois através da equação 𝑐𝑜𝑠2𝛼 𝑐𝑜𝑠2𝛽 𝑐𝑜𝑠2𝛾 1 26 Adição de vetores cartesianos A adição ou subtração de dois ou mais vetores é bastante simplificada se os vetores forem expressos em função de suas componentes cartesianas Por exemplo se A Axi Ayj Azk e B Bxi Byj Bzk figura 223 então o vetor resultante R tem componentes que representam as somas escalares das componentes i j e k de A e B ou seja 𝑅 𝐴 𝐵 𝐴𝑥 𝐵𝑥𝑖 𝐴𝑦 𝐵𝑦𝑗 𝐴𝑧 𝐵𝑧𝑘 57 Figura 223 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 33 Se este conceito for generalizado e aplicado em um sistema de várias forças concorrentes então a força resultante será o vetor soma de todas as forças do sistema e poderá ser escrita como 𝐹𝑅 𝐹 𝐹𝑥𝑖 𝐹𝑦𝑗 𝐹𝑧𝑘 26 EXEMPLOS RESOLVIDOS 1 Expresse a força F mostrada na figura 224 como um vetor cartesiano 58 Figura 224 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 33 SOLUÇÃO Como apenas dois ângulos de direção coordenados são dados o terceiro ângulo α deve ser calculado pela equação a seguir 𝑐𝑜𝑠2𝛼 𝑐𝑜𝑠2𝛽 𝑐𝑜𝑠2𝛾 1 𝑐𝑜𝑠2𝛼 𝑐𝑜𝑠260 𝑐𝑜𝑠245 1 cos 𝛼 1 052 07072 cos 𝛼 05 Portanto existem duas possibilidades a saber 𝛼 𝑐𝑜𝑠105 60 ou 𝛼 𝑐𝑜𝑠105 120 Da figura 224 é necessário que α 60 visto que F está na direção x Usando a equação a seguir com F 200 N temos 𝐹 𝐹 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑖 𝐹 cos 𝛽 𝑗 𝐹 cos 𝛾 𝑘 𝐹 200 cos 60 𝑁𝑖 200 cos 60 𝑁𝑗 200 cos 45 𝑁𝑘 59 𝐹 1000𝑖 1000𝑗 1414𝑘𝑁 2 Determine a intensidade é os ângulos de direção coordenados da força resultante que atua sobre o anel da figura 225a Figura 225a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 34 SOLUÇÃO Uma vez que cada força está representada na forma vetorial cartesiana a força resultante mostrada na figura 225b é 𝐹𝑅 𝐹 𝐹1 𝐹2 60𝑗 80𝑘𝑘𝑁 50𝑖 100𝑗 100𝑘𝑘𝑁 𝐹𝑅 50𝑖 40𝑗 180 𝑘𝑘𝑁 A intensidade de FR é 𝐹𝑅 50 𝑘𝑁2 40 𝑘𝑁2 180 𝑘𝑁2 𝐹𝑅191 𝑘𝑁 Os ângulos de direção coordenados α β γ são determinados pelas componentes do vetor unitário que atuam na direção de FR 𝑢𝐹𝑅 𝐹𝑅 𝐹𝑅 50 1910 𝑖 40 1910 𝑗 180 1910 𝑘 60 𝑢𝐹𝑅 02617𝑖 02094𝑗 09422𝑘 De modo que cos 𝛼 02617 𝛼 748 cos 𝛽 02094 𝛽 102 cos 𝛾 09422 𝛾 196 Esses ângulos são mostrados na figura 225b Figura 225b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 34 27 Vetores posição Coordenadas x y z Olhando a figura 226 vemos que os eixos x e y ficam no plano horizontal Os pontos no espaço estão localizados em relação à origem das coordenadas O por meio de medidas sucessivas ao longo dos eixos x y z 61 Figura 226 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 40 Vetor posição Vetor posição r é definido como um vetor fixo que posiciona um ponto no espaço em relação a outro Por exemplo se r estendese da origem de coordenadas O para o ponto Pxyz figura 227a então r pode ser expresso na forma de um vetor cartesiano como R xi yj zk Figura 227a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 40 62 Observe como a adição vetorial extremidade para origem das três componentes produz o vetor r figura 227b Figura 227b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 40 De acordo com a figura 228 pela adição vetorial extremidade para origem usando a regra do triângulo é necessário que rA r rB Resolvendose para r e expressandose rA e rB na forma vetorial cartesiana temse 𝑟 𝑟𝐵 𝑟𝐴 𝑥𝐵𝑖 𝑦𝐵𝑗 𝑧𝐵𝑘 𝑥𝐴𝑖 𝑦𝐵𝑗 𝑧𝐵𝑘 ou 𝑟 𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑖 𝑦𝐵 𝑦𝐴𝑗 𝑧𝐵 𝑧𝐴𝑘 27 63 Figura 228 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 41 EXEMPLO RESOLVIDO A cobertura é suportada por cabos como mostra a foto Se os cabos exercem as forças FAB 100 N e FAC 120 N no gancho da parede em A como mostra na figura 229a determine na força resultante que atua em A Expresse o resultado como um vetor cartesiano 64 Figura 229a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 44 SOLUÇÃO A força FR é mostrada graficamente na figura 229b Podese expressar essa força como um vetor cartesiano definido antes FAB e FAC como vetores cartesianos e depois adicionando suas componentes As direções de FAB e FAC são especificadas definindose os vetores unitários uAB e uAC ao longo dos cabos Esses vetores unitários são obtidos dos vetores posição associados rAB e rAC Com referência à figura 229a para ir de A a B precisamos deslocar 4k m e depois 4i m Portanto 𝑟𝐴𝐵 4𝑖 4𝑘𝑚 𝑟𝐴𝐵 4 𝑚2 4 𝑚2 𝑟𝐴𝐵 566 𝑚 𝐹𝐴𝐵 𝐹𝐴𝐵 𝑟𝐴𝐵 𝑟𝐴𝐵 100 𝑁 4 566𝑖 4 566𝑗 𝐹𝐴𝐵 707𝑖 707𝑗 𝑁 65 Figura 229b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 44 Para ir de A a C precisamos deslocar 4k m e depois 2j m e finalmente 4i Temos 𝑟𝐴𝐶 4𝑖 2𝑗 4𝑘𝑚 𝑟𝐴𝐶 4 𝑚2 2 𝑚2 4 𝑚2 𝑟𝐴𝐶 6 𝑚 𝐹𝐴𝐶 𝐹𝐴𝐶 𝑟𝐴𝐶 𝑟𝐴𝐶 120 𝑁 4 6 𝑖 2 6 𝑗 4 6 𝑘 𝐹𝐴𝐶 80 𝑖 40 𝑗 80 𝑘 A força resultante portanto é 𝐹𝑅 𝐹𝐴𝐵 𝐹𝐴𝐶 707 𝑖 707 𝑘𝑁 80 𝑖 40 𝑗 80 𝑘 𝑁 𝐹𝑅 𝐹𝐴𝐵 151 𝑖 40 𝑗 151 𝑘𝑁 66 Nesta unidade fizemos um breve estudo sobre a álgebra vetorial utilizada na disciplina de Mecânica vimos às definições operações e aplicações 28 Diretrizes para a próxima unidade Na próxima unidade faremos um estudo sobre o equilíbrio de partículas e diferentemente do que normalmente é estudado em Física I iremos falar sobre componentes mecânicos como molas e vigas Até a próxima Resumindo 67 Unidade III Equilíbrio de uma partícula Objetivos desta unidade Introduzir o conceito de diagrama de corpo livre para uma partícula Mostrar como resolver problemas de equilíbrio de uma partícula usando as equações de equilíbrio Introdução Nesta unidade falaremos sobre uma ferramenta poderosa no ensino da estática o diagrama de corpo livre Estaremos estudando todas as suas nuances e vários tipos de casos Na segunda parte da unidade mostraremos como usar o diagrama de corpo livre em situações simples de engenharia verá também como resolver problemas usando as equações de equilíbrio de uma partícula 68 3 Condição de Equilíbrio de uma partícula Dizemos que uma partícula está em equilíbrio quando está em repouso se originalmente se achava em repouso ou quando em velocidade constante se originalmente estava em movimento Muitas vezes no entanto o termo equilíbrio ou mais especificamente equilíbrio estático é usado para descrever um objeto em repouso Para manter o equilíbrio é necessário satisfazer à primeira lei do movimento de Newton segundo a qual a força resultante que atua sobre uma partícula deve ser igual à zero Essa condição é expressa matematicamente como 𝐹 0 31 Onde F é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre a partícula 31 O diagrama de corpo livre Para aplicar a equação de equilíbrio devemos considerar todas as forças conhecidas e desconhecidas F que atuam sobre a partícula A melhor maneira de fazer isso é pensar na partícula de forma isolada e livre de seu entorno Um esboço mostrando a partícula com todas as forças que atuam sobre ela é chamado diagrama de corpo livre DCL da partícula Porém antes de mostrarmos como funciona o processo vamos analisar dois casos particulares Molas Se uma mola ou fio linearmente elástica de comprimento não deformado lo é usada para sustentar uma partícula o comprimento da mola varia em proporção direta à força F que atua sobre ela figura 31 Uma 69 característica que define a elasticidade de uma mola é a constante da mola ou rigidez k Figura 31 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 62 A intensidade da força exercida sobre a mola linearmente elástica que tem uma rigidez k e é deformada alongada ou comprimida de uma distância s l lo medida a partir de sua posição de carga é 𝐹 𝑘𝑠 32 Cabos e polias Salvo disposição em contrário ao longo deste guia será considerado que todos os cabos ou fios têm peso desprezível e não podem esticar Além disso um cabo pode suportar apenas uma força de tração que atua sempre na direção do cabo Em unidade posterior veremos que a força de tração sobre um cabo contínuo que passa por uma 70 polia sem atrito deve ter uma intensidade constante para manter o cabo em equilíbrio Portanto para qualquer ângulo θ mostrado na figura 32 o cabo estará submetido a uma tração constante T ao longo de todo o seu comprimento Figura 32 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 62 Procedimento para traçar um diagrama de corpo livre Como devemos considerar todas as forças que atuam sobre a partícula quando aplicamos as equações de equilíbrio a importância excessiva dada ao traçar um diagrama de corpo livre não pode ser tão enfatizada Para construir um diagrama de corpo livre é necessário o seguinte procedimento Desenhe o contorno da partícula a ser estudada Mostre todas as forças Identifique cada força Vejamos o exemplo a seguir para entendermos o processo 71 Exemplo A esfera da figura 33 a tem massa de 6 kg e está apoiada como mostrado Desenhe o diagrama de corpo livre da esfera da corda CE e do nó em C Figura 33a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 63 SOLUÇÃO Verificamos que há apenas duas forças atuando sobre a esfera nominalmente seu peso 6 kg 981 ms2 589 N e a força da corda CE O diagrama de corpo livre é mostrado na figura 33b Figura 33b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 63 72 Corda CE Quando a corda CE é isolada de seu entorno seu diagrama de corpo livre mostra apenas duas forças atuando sobre ela nominalmente a força da esfera e a força do nó figura 33c Figura 33c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 63 Observe que FCE mostrada na figura é igual mas oposta à mostrada na figura 33b uma consequência da lei da ação e da reação de Newton Além disso FCE e FEC puxam a corda e a mantém sob tração de modo que não se rompa Para o equilíbrio FCE FEC Nó O nó C está sujeito a três forças figura 33d Elas são causadas pelas cordas CBA e CE e pela mola CD Como solicitado o diagrama de corpo livre mostra todas as forças identificadas por suas intensidades e direções É importante observar que o peso da esfera não atua diretamente sobre o nó Em vez disso é a corda CE que submete o nó a essa força 73 Figura 33d Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 63 32 Sistemas de forças coplanares Se uma partícula estiver submetida a um sistema de forças coplanares localizadas no plano xy como mostra a figura 34 então cada força poderá ser decomposta em suas componentes i e j Para o equilíbrio essas forças precisam ser somadas para produzir força resultante zero ou seja 𝐹 0 𝐹𝑥𝑖 𝐹𝑦𝑗 0 Para que essa equação vetorial seja satisfeita as componentes x e y da força devem ser iguais a zero Portanto 𝐹𝑥 0 33 𝐹𝑦 0 74 Essas duas equações podem ser resolvidas no máximo para duas incógnitas geralmente representadas como ângulos e intensidades das forças mostradas no diagrama de corpo livre da partícula Quando aplicamos cada uma das equações de equilíbrio precisamos levar em conta o sentido da direção de qualquer componente usando um sinal algébrico que corresponda à direção da seta da componente ao longo do eixo x ou y É importante notar que se a força tiver intensidade desconhecida no sentido da seta da força no diagrama de corpo livre será assumido Portanto se a solução resultar um escalar negativo isso indicará que o sentido da força atua no sentido oposto ao assumido Procedimento para análise Os problemas de equilíbrio de forças coplanares para uma partícula podem ser resolvidos usandose o seguinte procedimento Diagrama de corpo livre Estabeleça os eixos x y com qualquer orientação adequada Identifique todas as intensidades e direções das forças conhecidas e desconhecidas no diagrama O sentido de uma força que tenha intensidade desconhecida é assumido Equações de equilíbrio Aplique as equações de equilíbrio 𝐹𝑥 0 𝑒 𝐹𝑦 0 75 As componentes serão positivas se forem direcionadas ao longo de um eixo positivo e negativas se forem direcionadas ao longo d um eixo negativo Se existirem mais de duas incógnitas e o problema envolver mola devese aplicar F ks para direcionar a força da mola à deformação s da mola Como a intensidade de uma força é sempre uma quantidade positiva então se a solução produzir um resultado negativo isso indica que o sentido da força é oposto ao mostrado no diagrama de corpo livre que foi assumido Exemplo 1 Determine a tração nos cabos BA e BC necessária para sustentar o cilindro de 60 kg na figura 34a Figura 34a 76 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 65 SOLUÇÃO Devido ao equilíbrio o peso do cilindro faz com que a tração no cabo BD seja 𝑇𝐴𝐵 60 981 𝑁 como mostra a figura 34 b Figura 34b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 65 As forças nos cabos BA e BC podem ser determinadas examinandose o equilíbrio do Anel B Seu diagrama de corpo livre é mostrado na figura 34c As intensidades de TA e TC são desconhecidas mas suas direções são conhecidas Figura 34c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 65 77 Aplicandose as equações de equilíbrio ao longo dos eixos x e y temos 𝐹𝑥 0 𝑇𝐶 cos 45 4 5 𝑇𝐴 0 1 𝐹𝑦 0 𝑇𝐶 sen 45 3 5 𝑇𝐴 60981𝑁 0 2 A equação 1 pode ser escrita como TA 08839 TC Substituindo TA na equação 2 temos 𝑇𝐶 𝑠𝑒𝑛 45 3 5 08839 𝑇𝐶 60981𝑁 0 Assim 𝑇𝐶 47566 𝑁 476 𝑁 Substituindo esse resultado na equação 1 ou na equação 2 temos 𝑇𝐴 420 𝑁 Determine o comprimento da corda AC na figura 35a de modo que a luminária de 8 kg seja suspensa na posição mostrada O comprimento não deformado da mola AB é lAB 04 m e a mola tem uma rigidez kAB 300 Nm Figura 35a 78 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 66 SOLUÇÃO Se a força na mola AB for conhecida o alongamento da mola será determinado usando F ks Da geometria do problema é possível então calcular o comprimento de AC Diagrama de corpo livre A luminária tem peso W 8981 785 N e portanto o diagrama de corpo livre do anel em A é mostrado na figura 35b Figura 35b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 67 Equações de equilíbrio Usando os eixos x y 𝐹𝑥 0 𝑇𝐴𝐵 𝑇𝐴𝐶 cos 30 0 𝐹𝑦 0 𝑇𝐴𝐶 𝑠𝑒𝑛 30 785 𝑁 0 Resolvendo obtemos 𝑇𝐴𝐶 1570 𝑁 79 𝑇𝐴𝐵 1359 𝑁 O alongamento da mola AB é portanto 𝑇𝐴𝐵 𝑘𝐴𝐵𝑠𝐴𝐵 1359 𝑁 300 𝑁𝑚𝑠𝐴𝐵 𝑠𝐴𝐵 0453 𝑚 Logo o comprimento alongado é 𝑙𝐴𝐵 𝑙𝐴𝐵 𝑠𝐴𝐵 𝑙𝐴𝐵 04 𝑚 0453 𝑚 0853 𝑚 A distância horizontal de C e B figura 35a requer 2 𝑚 𝑙𝐴𝐶 cos 30 0853 𝑚 𝑙𝐴𝐶 132 𝑚 33 Sistemas de forças tridimensionais No item 31 afirmamos que a condição necessária e suficiente para o equilíbrio de uma partícula é 𝐹 0 34 No caso de sistema de forças tridimensional como na figura 36 podemos decompor as forças em suas respectivas componentes i j k de modo que 𝐹𝑥 𝑖 𝐹𝑦 𝑗 𝐹𝑧 𝑘 0 Para satisfazer essa equação é necessário que 𝐹𝑥 0 𝐹𝑦 0 35 𝐹𝑍 0 80 Figura 36 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 75 Essas três equações estabelecem que a soma algébrica das componentes de todas as forças que atuam sobre a partícula ao longo de cada um dos eixos coordenados precisa ser zero Usandoas podemos resolver para no máximo três incógnitas geralmente representadas como ângulos de direção coordenados ou intensidade das forças no diagrama de corpo livre da partícula Procedimentos para análise Problemas de equilíbrio de forças tridimensionais para uma partícula podem ser resolvidos usandose o seguinte procedimento Diagrama de corpo livre Defina os eixos x y z em alguma orientação adequada Identifique todas as intensidades e direções das forças conhecidas e desconhecidas no diagrama O sentido de uma força que tenha intensidade desconhecida pode ser assumido 81 Equações de equilíbrio Use as equações escalares de equilíbrio 𝐹𝑥 0 𝐹𝑦 0 𝐹𝑧 0 nos casos em que seja fácil decompor cada força em suas componentes x y z Se a geometria tridimensional parecer difícil então expresse primeiro cada força no diagrama de corpo livre como um vetor cartesiano substitua estes vetores em 𝐹 0 e em seguida iguale a zero as componentes i j j Se a solução de uma força produzir resultado negativo isso indica que o sentido da força é oposto ao mostrado no diagrama de corpo livre Exemplos Uma carga de 90 N está suspensa pelo gancho mostrado na figura 37a Se a carga é suportada por dois cabos e uma mola com rigidez k 500 Nm determine a força nos cabos e o alongamento da mola para a condição de equilíbrio O cabo AD está no plano xy e o cabo no plano xz Figura 37a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 76 82 SOLUÇÃO O alongamento da mola poderá ser determinado depois que a força sobre a mola for determinada Diagrama de corpo livre A conexão em A foi escolhida para a análise de equilíbrio visto que as forças dos cabos são concorrentes nesse ponto O diagrama de corpo livre é mostrado na figura 37b Figura 37b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 76 Equações de equilíbrio Cada força pode ser facilmente decomposta em suas componentes x y z e portanto as três equações de equilíbrio escalares podem ser usadas Considerando as componentes direcionadas ao longo do eixo positivo como positivas temos 83 𝐹𝑥 0 𝐹𝐷 𝑠𝑒𝑛 30 4 5 𝐹𝐶 0 1 𝐹𝑦 0 𝐹𝐷 cos 30 𝐹𝐵 0 2 𝐹𝑧 0 3 5 𝐹𝐶 90 𝑁 0 3 Resolvendo a Equação 3 para FC depois a equação 1 para FD e finalmente a equação 2 para FB temos Fc 150 N FD 240 N FB 2078 N Portanto o alongamento da mola é 𝐹𝐵 𝑘𝑠𝐴𝐵 2078 𝑁 500 𝑁 𝑚 𝑠𝐴𝐵 𝑠𝐴𝐵 0416 𝑚 1 A luminária de 10 kg mostrada na figura 38a é suspensa pelas três cordas de mesmo comprimento Determine sua menor distância vertical s a partir do teto para que a força desenvolvida em qualquer corda não exceda 50 N 84 Figura 38a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 77 SOLUÇÃO Diagrama de corpo livre Devido à simetria figura 38b a distância DA DB DC 600 mm Logo como 𝐹𝑥 0 𝑒 𝐹𝑦 0 a tração T em cada corda será a mesma Também o ângulo entre a corda e o eixo z é γ Figura 38b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 77 85 Equação de Equilíbrio Aplicando a equação de equilíbrio ao longo do eixo z com T 50 N temos 𝐹𝑍 0 350 𝑁 cos 𝛾 10981𝑁 0 𝛾 𝑐𝑜𝑠1 981 150 4916 Do triângulo sombreado cinza mostrado na figura 38b 𝑡𝑔 4916 600 𝑚𝑚 𝑠 𝑠 519 𝑚𝑚 Nesta unidade vimos como se confeccionar um diagrama de corpo livre e como resolver os diversos tipos de problemas relativos à equilíbrio de corpos 34 Diretrizes para a próxima unidade Na próxima unidade faremos um estudo sobre como calcular o momento de uma força de duas e três dimensões e como reduzir um carregamento distribuído simples em uma força resultante e seu ponto de aplicação Até a próxima Resumindo 86 Unidade IV Resultado de um sistema de forças Objetivos desta unidade Discutir o conceito de movimento de uma força e mostrar como calculálo em duas e três dimensões Fornecer um método para determinação do momento de uma força em relação a um eixo específico Definir o momento de um binário Apresentar métodos para a determinação das resultantes de sistemas de forças não concorrentes Mostrar como converter uma carga distribuída simples em uma força resultante e seu ponto de aplicação Introdução Momento é a tendência de uma força a girar um corpo rígido em torno de um eixo fixo O momento está diretamente ligado a intensidade da força do vetor força bem como com a distância da linha de ação do vetor força em relação a um eixo fixo ou um ponto de referência Considerese uma força F que atua em um corpo rígido fixo no ponto O como indicado na 42 87 Figura 42 O vetor F representa o vetor força e sua direção e sentido podemos adotar como sendo linha de ação do vetor uma reta que tem mesma direção do vetor F entre outras palavras por onde o vetor F pode atuar O vetor d é a distância perpendicular de O a linha de ação do vetor F Definese momento escalar do vetor F em relação à O como sendo Existe ainda uma convenção de sinal que deve ser respeitada para adotarmos o sentido correto do momento Assim como para os eixos x e y 88 onde o sentido positivo destes eixos são para o lado direita e para cima respectivamente existe a convenção do sinal para o momento Momentos que tendem a girar o corpo em torno do eixo no sentido antihorários são considerados positivos e no sentido horários negativos A direção que momento assume será sempre ortogonal ao plano que se encontra a força e o braço de alavanca Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 84 Para problemas bidimensionais em que todas as forças estão no plano x y figura 43 o momento resultante MRo em relação ao ponto O o eixo z pode ser determinado pela adição algébrica dos momentos causados no sistema por todas as forças 89 Figura 43 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 86 O momento resultante nessa figura é Exemplo Determine o momento resultante das quatro forças que atuam na barra mostrada na figura 44 em relação ao ponto O Figura 44 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 87 90 Solução Assumindo que momentos positivos atuam na direção k ou seja no sentido antihorário temos 𝑀𝑅𝑂 𝐹𝑑 𝑀𝑅𝑂 50 𝑁2 𝑚 60 𝑁0 20 𝑁3 𝑠𝑒𝑛 30º 𝑚 𝑀𝑅𝑂 40𝑁4 𝑚 3 𝑐𝑜𝑠 30º 𝑚 𝑀𝑅𝑂 334 𝑁 𝑚 334 𝑁 𝑚 horário Para esse cálculo note que as distâncias dos braços dos momentos para as forças de 20 N e 40 N foram estabelecidas pelo prolongamento das linhas de ação tracejadas de cada uma delas 4 Produto Vetorial O produto de dois vetores A e B produz o vetor C que é escrito C A x B 42 é lido como C A vetor B Intensidade A intensidade de C é definida como o produto das intensidades de A e B e o seno do ângulo θ entre suas origens 0º θ 180º Logo C AB sen θ Ou conhecendo o vetor do momento basta retirar o módulo como qualquer outro vetor 91 Direção Conforme a figura 45 conhecendo a direção e a intensidade de C podemos escrever 𝐶 𝐴 𝑥 𝐵 𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑢𝑐 43 Figura 45 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 88 Propriedades da Operação A propriedade da cumutatividade não é válida ou seja A x B B x A Em vez disso conforme vemos na figura 46 temos 𝑨 𝒙 𝑩 𝑩 𝒙 𝑨 92 Figura 46 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 88 Se o produto vetorial for multiplicado por um escalar a ele obedecerá à propriedade associativa 𝒂 𝑨 𝒙 𝑩 𝒂𝑨𝒙 𝑩 𝑨 𝒙 𝒂𝑩 𝑨 𝒙 𝑩𝒂 O produto vetorial também obedece à propriedade distributiva da adição 𝑨 𝒙 𝑩 𝑫 𝑨 𝒙 𝑩 𝑨 𝒙 𝑫 Formulação do vetor cartesiano Como podemos ver na figura 47 o vetor resultante aponta na direção k Portanto i x j 1k Podemos fazer esta análise para os outros eixos utilizando claro a mesma regra da mão direita Assim sendo teremos 93 Figura 47 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 90 Um esquema simples é útil para a obtenção dos mesmos resultados quando for necessário é mostrado na figura 48 abaixo Figura 48 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 90 Matematicamente podemos ver na expressão abaixo como fazer esta representação 94 𝐴 𝑥 𝐵 𝑖 𝑗 𝑘 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 44 Sendo assim Figura 48 b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 90 Para obter o produto vetorial de quaisquer vetores cartesianos A e B é necessário expandir um determinante cuja primeira linha de elementos consiste dos vetores unitários i j k e a segunda e terceira linhas são as componentes x y z dos dois vetores A e B respectivamente 41 Momento de uma força formulação vetorial O memento de uma força F em relação a um ponto O ou mais exatamente em relação ao eixo do momento que passa por O e é perpendicular ao plano de O e F veja a figura 49a pode ser expresso na forma de um produto vetorial nominalmente Mo r x F 45 95 Figura 49a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 90 Nesse caso r representa um vetor posição dirigido de O até algum ponto sobre a linha de ação do vetor F Vamos mostrar agora que de fato o momento Mo quando obtido por esse produto vetorial possui intensidade e direção próprias Intensidade A intensidade do produto vetorial é definida como 𝑀𝑜 𝑟 𝐹 𝑠𝑒𝑛 𝜃 O ângulo θ é medido entre as origens de r e F Para definir esse ângulo r deve ser tratado como um vetor deslizante de modo que θ possa ser representado corretamente conforme a figura 49b Uma vez que o braço do momento 𝑑 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 então 𝑀𝑜 𝑟𝐹 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹 𝑑 96 Figura 49b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 90 Direção A direção e o sentido de Mo são determinados pela regra da mão direita do produto vetorial Assim deslizando r ao longo da linha tracejada e curvando os dedos da mão direita de r para F r vetor F o polegar fica direcionado para cima ou perpendicular ao plano que contém r e F que está na mesma direção de Mo no momento da força em relação ao ponto O da figura 49b Principio da Transmissibilidade Podemos usar qualquer vetor posição r medido do ponto O a qualquer ponto sobre a linha de ação da força F Veja na figura 410 97 Figura 410 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 91 Formulação do vetor cartesiano Se estabelecermos os eixos coordenados x y z estão na posição r e a força F podem ser expressas como vetores cartesianos conforme a figura 411a Figura 411a 98 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 91 Matematicamente 𝑀𝑜 𝑟 𝑥 𝐹 𝑖 𝑗 𝑘 𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧 46 Se o determinante for expandido temos 𝑀𝑜 𝑟𝑦𝐹𝑧 𝑟𝑧𝐹𝑦𝑖 𝑟𝑥𝐹𝑧 𝑟𝑧𝐹𝑥𝑗 𝑟𝑥𝐹𝑦 𝑟𝑦𝐹𝑥𝑘 47 O significado físico dessas três componentes do movimento se torna evidente ao analisar a Figura 411b Figura 411b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 91 Momento resultante de um sistema de forças 99 Se um corpo é submetido à ação de um sistema de forças conforme figura 412 o momento resultante das forças em relação ao ponto O pode ser determinado pela adição vetorial do momento de cada força Essa resultante pode ser escrita simbolicamente como 𝑀𝑅𝑂 𝑟 𝑥 𝐹 48 Figura 412 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 92 Exemplo Determine o momento produzido pela força F na figura 413 em relação ao ponto O Expresse o resultado como vetor cartesiano 100 Figura 413 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 92 Solução Como mostra a figura tanto rA quanto rB podem ser usados para determinar o momento em relação ao ponto O Esses vetores posição são rA 12k m e rB 4i 12j m A força F expressa como um vetor cartesiano é 𝐹 𝐹𝑢𝐴𝐵 2 𝑘𝑁 4𝑖 12𝑗 12𝑘𝑚 4 𝑚2 12 𝑚2 122 𝐹 04588𝑖 1376𝑗 1376𝑘𝑘𝑁 Logo 𝑀𝑜 𝑟𝐴 𝑥 𝐹 𝑖 𝑗 𝑘 0 0 12 04588 1376 1376 101 𝑀𝑜 01376 121376𝑖 01376 1204588𝑗 01376 004588𝑘 𝑀𝑜 165𝑖 551𝑗𝑘𝑁 𝑚 44 O princípio dos momentos Um conceito bastante usado na mecânica é o princípio dos momentos que algumas vezes é referido como o teorema de Varignon Ele estabelece que o momento de uma força em relação a um ponto é igual a soma dos momentos das componentes da força em relação ao mesmo ponto Assim Como F F1 F2 temos 𝑀𝑂 𝑟 𝑥 𝐹 𝑟 𝑥 𝐹1 𝐹2 𝑟 𝑥 𝐹1 𝑟 𝑥 𝐹2 Veja a figura 414 Figura 414 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 93 Para problemas bidimensionais 𝑀𝑂 𝐹𝑦𝑥 𝐹𝑥𝑦 Veja a figura 415 102 Figura 415 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 94 Pontos importantes O momento de uma força cria a tendência de um corpo girar em torno de um eixo passando por um ponteiro específico O Usando a regra da mão direita o sentido de rotação é indicado pela curva dos dedos e o polegar é direcionado ao longo do eixo do momento ou linha de ação do momento A intensidade do momento é determinada através de MO Fd onde d é chamado o braço do momento que representa a distância perpendicular ou mais curta do ponto O à linha de ação da força Em três dimensões o produto vetorial é usado para determinar o momento ou seja MO r x F lembrese de que r está direcionado do ponto O a qualquer ponto sobre a linha de ação de F O princípio dos momentos afirma que o momento de uma força em relação a um ponto é igual à soma dos momentos das componentes da força em relação ao mesmo ponto Exemplo 103 Determine o momento da força na figura 416a em relação ao ponto O Figura 416a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 94 Solução O braço do momento d da figura 416a pode ser determinado por meio da trigonometria 𝑑 3𝑚𝑠𝑒𝑛 75º 2898 𝑚 Logo 𝑀𝑂 𝐹𝑑 5 𝑘𝑁2898 𝑚 145 𝑘𝑁 𝑚 Como a força tende a girar ou orbitar no sentido horário em torno do ponto O o momento está direcionado para dentro da página Exemplo A força F age na extremidade da cantoneira mostrada na figura 417a Determine o momento da força em relação ao ponto O 104 Figura 417a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 95 Solução A força é decomposta em suas componentes x e y como mostra a figura 417b então Figura 417b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 95 𝑀𝑂 400 𝑠𝑒𝑛 30 𝑁02 𝑚 400 cos30 𝑁04 m 𝑀𝑂 986 𝑁 𝑚 986 𝑁 𝑚 ou 𝑀𝑂 986 𝑘𝑁 𝑚 105 Podemos resolver este exercício de outra maneira ou seja usando a análise vetorial mas para isso vamos nos basear na figura 417c Figura 417c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 95 Empregando uma abordagem do vetor cartesiano os vetores de força e posição mostrados na figura são 𝑟 04𝑖 02𝑗𝑚 𝐹 400 𝑠𝑒𝑛 30𝑖 400 cos 30𝑗 𝑁 𝐹 2000𝑖 3464𝑗𝑁 Portanto o momento é 𝑀𝑂 𝑟 𝑥 𝐹 𝑖 𝑗 𝑘 04 02 0 2000 3464 0 𝑀𝑂 0𝑖 0𝑗 043464 022000𝑘 𝑀𝑂 986𝑘𝑁 𝑚 106 Referenciais para a próxima unidade Na próxima iremos desenvolver as equações de equilíbrio para um corpo rígido e também introduzir o conceito de diagrama de corpo livre para um corpo rígido Até a próxima 107 Unidade V Equilíbrio de um corpo rígido Objetivos desta unidade Desenvolver as equações de equilíbrio para um corpo rígido Introduzir o conceito de corpo livre para um corpo rígido Mostrar como resolver problemas de equilíbrio do corpo rígido usando as equações de equilíbrio Introdução Como mostra a figura 51a este corpo está sujeito a um sistema externo de força e momento de binário Momento criado por duas forças de mesma intensidade e direção porém sentidos contrários separados por uma distância r que é o resultado dos efeitos das forças gravitacionais elétricas magnéticas ou de contato causadas pelos corpos adjacentes Figura 51a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 145 108 O sistema de força e momento de binário que atuam sobre um corpo pode ser reduzido a uma força resultante e um momento de binário resultante equivalentes em qualquer ponto O arbitrário dentro ou fora do corpo Se essa força e momento de binários resultantes são ambos iguais a zero então dizemos que o corpo está em equilíbrio Conforme podemos ver na figura 51b a seguir Figura 51b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 146 Matematicamente o equilíbrio de um corpo é expresso como 𝐹𝑅 𝐹 0 𝑀𝑅0 𝑀0 0 51 Essas duas equações não são apenas necessárias para o equilíbrio elas são também suficientes Considere a soma dos momentos em relação a algum outro ponto como o ponto A na figura 51c 109 Figura 51c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 146 Precisamos de 𝑀𝐴 𝑟 𝑥 𝐹𝑅 𝑀𝑅0 0 Ao aplicarmos as equações de equilíbrio assumiremos que o corpo permanece rígido Na verdade entretanto todos os corpos deformam quando sujeitos a cargas Embora esse seja o caso muitos dos materiais usados em engenharia como o aço e o concreto são muito rígidos e portanto sua deformação normalmente é muito pequena Consequentemente quando aplicamos as equações de equilíbrio em geral podemos assumir sem introduzir qualquer erro significativo que o corpo permanecerá rígido e não deformará sob a carga aplicada Desse modo a direção das forças aplicadas e seus braços de momento com relação a uma referência fixa permanecem invariáveis antes e após o corpo ser carregado 5 Equilíbrio em duas dimensões Consideraremos o caso em que o sistema de forças que age sobre um corpo rígido se situa em ou pode ser projetado para um único plano e 110 além disso quaisquer momentos de binário atuando sobre o corpo são direcionados perpendicularmente para esse plano Esse tipo de sistema de força e binário é frequentemente referido como um sistema de forças bidimensional ou coplanar Veja por exemplo a figura 52 Figura 52 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 146 51 Diagramas de corpo livre O diagrama de corpo livre é um esquema da forma do corpo que o representa isolado ou livre de seu ambiente ou seja um corpo livre Um entendimento completo de como desenhar um diagrama de corpo livre é de primordial importância para a resolução de problemas de mecânica 111 511 Reações de apoio Vamos analisar vários tipos de reações que ocorrem em apoios e pontos de contato entre corpos sujeitos a sistemas de forças coplanares Como regra geral Se o apoio impede a translação do corpo em uma determinada direção então uma força é desenvolvida no corpo nessa direção Se a rotação é impedida um momento de binário é exercido sobre o corpo Por exemplo vamos considerar três maneiras na qual um membro horizontal como uma viga é apoiado na sua extremidade Um método consiste de um rolete ou cilindro Vejamos na figura 53a e 53b respectivamente Figura 53a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 147 Figura 53b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 147 Como esse suporte apenas impede que a viga translade na direção vertical o rolete só exercerá uma força sobre a viga nessa direção 112 A viga pode ser apoiada de uma forma mais restritiva por meio de um pino Conforme podemos ver na figura 53c Figura 53c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 147 Aqui o pino pode impedir a translação da viga em qualquer direção Φ c portanto o pino pode exercer uma força F sobre a viga nessa direção Veja a figura 53d Figura 53d Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 147 Para fins de análise geralmente é mais fácil representar essa força resultante F por suas duas componentes retangulares Fx e Fy Conforme podemos ver na figura 53e Figura 53e Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 147 113 A maneira mais restritiva de apoiar a viga seria usar um apoio do tipo engaste Esse apoio impedirá tanto a translação quanto a rotação da viga Veja na figura 53 f Figura 53f Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 147 Para fazer isso uma força e momento de binário devem ser desenvolvidos sobre a viga em seu ponto de conexão Veja na figura 53g Figura 53g Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 147 A tabela 51 relaciona outros tipos comuns de apoio para corpos sujeitos a sistemas de forças coplanares bidimensionais 114 Tabela 51a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 147 115 Tabela 51b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 148 Exemplos mais comuns de suportes reais são mostrados na seguinte sequência de fotos 116 Nesta foto podemos perceber que o cabo exerce uma força sobre o suporte na direção do cabo Já nesta foto o suporte rocker para esta viga mestra da ponte permite um movimento horizontal de modo que a ponte esteja livre para expandir e contrair devido às mudanças de temperatura Conforme podemos ver nesta foto esta viga mestra de concreto está apoiada sobre a base que deve agir como uma superfície de contato lisa 117 Já está construção utilitária é suportada por pinos no alto da coluna Finalmente nesta foto as vigas de solo desta construção são soldadas e portanto formam conexões fixas 512 Forças internas As forças internas que atuam entre partículas adjacentes em um corpo sempre ocorrem em pares colineares de modo que tenham a mesma intensidade e ajam em sentidos opostos terceira lei de Newton 118 Como essas forças se cancelam mutuamente elas não criarão um efeito externo sobre o corpo É por essa razão que as forças internas não devem ser incluídas no diagrama de corpo livre se o corpo inteiro precisa ser considerado Por exemplo o motor mostrado na figura 54a tem um diagrama de corpo livre mostrado na figura 54b Figura 54a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 149 Figura 54b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 149 119 513 O peso e o centro de gravidade Quando um corpo está dentro de um campo gravitacional cada uma de suas partículas possui um peso específico O sistema de forças pode ser reduzido a uma única força resultante que age em um ponto específico Essa força resultante é chamada de peso W do corpo e a posição de seu ponto de aplicação de centro de gravidade 514 Modelos idealizados Os dois casos a seguir ilustram o que é necessário para desenvolver um modelo adequado Na figura 55a a viga de aço deve ser utilizada para apoiar as três vigas do telhado de um edifício Para uma análise de força é razoável assumir que o material aço é rígido já que apenas pequenas deformações ocorrerão quando a viga é carregada Figura 55a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 150 120 A conexão aparafusada em A permitirá que qualquer rotação leve que ocorra aqui quando a carga for aplicada e assim um pino pode ser considerado para esse apoio Em B um rolete pode ser considerado já que esse suporte não oferece qualquer resistência ao movimento horizontal Normas para edificação são usadas para especificar a carga A de um telhado de modo que as cargas de viga F possam ser calculadas Essas forças serão maiores do que qualquer carga real na viga uma vez que elas consideram casos extremos de carga e efeitos dinâmicos ou vibracionais Finalmente o peso da viga geralmente é desprezado quando é pequeno comparado com a carga que ela suporta O modelo idealizado da viga portanto é mostrado com dimensões médias a b c e d na figura 55b Figura 55a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 150 515 Procedimentos para análise Desenhe de forma esboçada Mostre todas as forças e momentos de binário Identifique cada carga e dimensões 121 516 Pontos importantes Nenhum problema de equilíbrio deve ser resolvido sem antes desenhar o diagrama de corpo livre a fim de considerar todas as forças e momentos de binário que atuam sobre o corpo Se um suporte impede a translação de um corpo em uma determinada direção então o suporte exerce uma força sobre o corpo nessa direção Se a rotação é impedida então o suporte exerce um momento de binário sobre o corpo Estude a tabela 51 As forças internas nunca são mostradas no diagrama de corpo livre já que elas ocorrem em pares colineares iguais mas opostos e portanto se cancelam O peso de um corpo é uma força externa e seu efeito é representado por uma única força resultante que atua sobre o centro de gravidade G do corpo Momentos de binário podem ser colocados em qualquer lugar no diagrama de corpo livre já que são vetores livres As forças podem agir em qualquer ponto ao longo de suas linhas de ação já que são vetores deslizantes Exemplo Desenhe um diagrama de corpo livre da viga uniforme mostrada na figura 56a A viga possui uma massa de 100 kg 122 Figura 56a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 152 SOLUÇÃO O diagrama de corpo livre da viga é mostrado na figura 56b Como o suporte em A é fixo a parede exerce três reações sobre a viga representadas como Ax Ay e Ma As intensidades dessas reações são desconhecidas e seu sentido foi assumido O peso da viga W 100981 N 981 N atua através do centro de gravidade da viga G que está a 3 m de A já que a viga é uniforme Figura 56b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 152 123 517 Equações de Equilíbrio As condições de equilíbrio em duas dimensões são 𝐹𝑋 0 𝐹𝑦 0 𝑀𝑜 0 52 518 Procedimentos para análise Diagrama de corpo livre Estabeleça os eixos coordenados x y em qualquer orientação apropriada Desenhe uma forma esquemática do corpo Mostre todas as forças e momentos de binário que atuam sobre o corpo Rotule todas as cargas e especifique suas direções em relação ao eixo x ou y O sentido de uma força ou momento de binário de intensidade desconhecida mas com uma linha de ação conhecida pode ser assumido Indique as dimensões do corpo necessárias para calcular os momentos de forças Equações de equilíbrio 124 Aplique a equação de equilíbrio de momento em relação a um ponto O localizada na interseção das linhas de ação das duas forças desconhecidas Assim os momentos dessas incógnitas são iguais a zero em relação a O e uma solução direta para a terceira incógnita pode ser determinada Ao aplicar as equações de equilíbrio de força oriente os eixos x e y ao longo das linhas que fornecerão a decomposição simples das forças em suas componentes x e y Se a solução das equações de equilíbrio produzir um escalar negativo para uma intensidade de força ou momento de binário isso indica que o sentido é oposto ao que foi presumido no diagrama de corpo livre 125 Unidade VI Análise Estrutural Objetivos desta unidade Mostrar como determinar as forças nos membros de uma treliça usando o método dos nós e o método das seções Analisar as forças que atuam nos membros de estruturas e máquinas compostas de membros conectados por pinos Introdução Treliça é uma estrutura de membros esbeltos conectados entre si em suas extremidades Os membros normalmente usados em construções consistem de escoras de madeira ou barras de metal A treliça mostrada na figura a seguir é um exemplo típico de treliça de telhado Figura 61a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 195 126 Como esse peso atua no mesmo plano da treliça as análises das forças desenvolvidas nos membros da treliça são bidimensionais veja a figura abaixo Figura 61b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 195 No caso de uma ponte o peso do tabuleiro é primeiramente transmitido para as longarinas depois para as vigas de pisos e finalmente para os nós das duas treliças laterais Figura 61c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 196 127 Assim como no telhado o peso da ponte de treliça é coplanar Figura 61d Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 196 Pressupostos para projeto Para projetar os membros e as conexões de uma treliça é necessário primeiro determinar a força desenvolvida em cada membro quando a treliça está sujeita a um determinado carregamento Para isso faremos duas hipóteses importantes Todas as cargas são aplicadas nos nós Em muitas situações tais como para treliças de ponte e de telhado essa hipótese é verdadeira Os membros são unidos entre si por pinos lisos As conexões normalmente são formadas aparafusando os soldando as extremidades dos membros a uma placa comum chamada placa de ligação como mostra a figura 62a 128 Figura 62a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 196 Ou simplesmente passando um grande parafuso ou pino através de cada um dos membros figura 62b Figura 62b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 196 Podemos assumir que essas conexões atuam como pinos já que as linhas centrais dos membros articulados são concorrentes como na figura 63 Devido a esses dois pressupostos cada membro de treliça agirá como um membro de duas forças e portanto a força atuando em cada extremidade 129 do membro será direcionado ao longo do eixo do membro Se a força tende a alongar o membro ela será uma força de tração T figura 63a Figura 63a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 197 Se a força tende a encurtar o membro é uma força de compressão C figura 63b 130 Figura 63b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 197 No projeto inicial de uma treliça é importante especificar se a natureza da força é de tração ou de compressão Frequentemente os membros em compressão precisam ser fabricados mais espessos do que os mesmos em tração devido a flambagem que ocorre com o membro está em compressão Se os três membros são conectados por pino em suas extremidades eles formam uma treliça triangular rígida 131 Figura 64 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 197 Unir dois ou mais membros e conectálos a um novo nó D forma uma treliça maior Figura 65 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 197 132 61 O método dos nós Para analisar ou projetar uma treliça é necessário determinar a força de cada um de seus membros Uma maneira de fazer isso é usar o método dos nós Como os membros de uma treliça plana são membros de duas forças retas situadas em um único plano cada nó está sujeito a um sistema de forças que é coplanar e concorrente Como resultado apenas Fx 0 e Fy 0 precisam ser satisfeitos para o equilíbrio Por exemplo três forças atuam sobre o pino a saber a força de 500 Ne as forças exercidas pelos membros BA e BC Figura 66 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 197 O diagrama de corpo livre do pino é mostrado na figura a seguir 133 Figura 66 a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 198 Aqui FBA está puxando o pino o que significa que o membro BA está em tração enquanto FBC está empurrando o pino e portanto o membro BC está em compressão Esses efeitos são claramente demonstrados isolandose o nó com pequenos segmentos dos membros conectados ao pino figura 66 b Figura 66 a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 198 Ao usar o método dos nós sempre comece em um nó que tenha pelo menos uma força conhecida e no máximo duas forças desconhecidas Desse modo a aplicação de Fx 0 e Fy 0 produz duas equações algébricas que podem ser resolvidas para as duas incógnitas Ao aplicar 134 essas equações o sentido correto de uma força de membro desconhecida pode ser determinado um dos dois métodos possíveis O sentido correto da direção de uma força da incógnita pode em muitos casos ser determinado por observação Em casos mais complexos o sentido de uma força do membro incógnito pode ser assumido Sempre considere que as forças do membro incógnito que atuam no diagrama de corpo livre do nó que está sob tração Dessa maneira a solução numérica das equações de equilíbrio produzirá escalares positivos para os membros sob tração e escalares negativos para membros sob compressão Uma vez que uma força de membro incógnito é encontrada usase sua intensidade no diagrama de corpo livre do nó subsequente PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE Desenhe o diagrama de corpo livre de um nó tendo pelo menos uma força conhecida e no máximo duas forças desconhecidas Se não existir este nó então pode ser necessário primeiro calcular as reações externas no suporte Use um dos métodos descritos acima para estabelecer o sentido de uma força desconhecida Usando os resultados calculados continue a analisar cada um dos outros nós Oriente os eixos x e y de modo que as forças no diagrama de corpo livre possam ser facilmente decompostas em uma das componentes x e y 135 e depois aplique as duas equações de equilíbrio da força Fx 0 e Fy 0 Resolva para as duas forças de membros desconhecidas e verifique seu uso correto Lembrese que um membro sob compressão empurra o nó e um membro sob tração puxa o nó Além disso certifiquese de escolher um nó que tenha pelo menos uma força conhecida e no máximo duas forças desconhecidas Exemplo 1 Determinar a força em cada membro da treliça mostrada na figura 67ª e indique se os membros estão sob tração ou compressão Figura 67 a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 199 Como não devemos ter mais do que duas forças incógnitas no nó e não menos que uma força conhecida atuando ali começaremos nossa análise com o nó B Nó B O diagrama de corpo livre do nó B é mostrado na figura 67 b aplicando as equações de equilíbrio temos 136 Figura 67 b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 199 𝐹𝑋 0 500𝑁 𝐹𝐵𝐶 𝑠𝑒𝑛 45 0 𝐹𝐵𝐶 7071 𝑁𝐶 𝐹𝑦 0 𝐹𝐵𝐶 cos 45 𝐹𝐵𝐴 0 𝐹𝐵𝐴 500 𝑁𝑇 Como a força no membro BC foi calculada podemos proceder à análise do nó C para determinar a força no membro CA e a reação no apoio móvel Perceba ainda que no diagrama de corpo livre foi adotado o sentido de BC chegando no nó isso porque neste caso foi fácil determinar que a barra está sendo comprimida desse modo o resultado foi um escalar positivo contudo deve ser informado ao final dos cálculos que se trata de uma barra comprimida Nó C Pelo diagrama de corpo livre do nó C figura 67 c temos 137 Figura 67 c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 199 𝐹𝑋 0 𝐹𝐶𝐴 7071 cos45 𝑁 0 𝐹𝐶𝐴 500 𝑁 𝑇 𝐹𝑦 0 𝐶𝑦 7071 𝑠𝑒𝑛 45 𝑁 0 𝐶𝑦 500 𝑁 Nó A Embora não seja necessário podemos determinar as componentes das reações de apoio no nó A usando os resultados de FAC e FAB Através do diagrama de corpo livre figura 67 d temos Figura 67 d Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 199 𝐹𝑋 0 500 𝑁 𝐴𝑋 0 𝐴𝑋 500 𝑁 138 𝐹𝑦 0 500 𝑁 𝐴𝑦 0 𝐴𝑦 500 𝑁 Observação Os resultados da análise são resumidos na figura 67 e Observe que o diagrama de corpo livre de cada nó ou pino mostra os efeitos de todos os membros conectados e forças externas aplicadas ao nó enquanto o diagrama de corpo livre de cada momento mostra apenas os efeitos dos nós sobre o membro Figura 67 e Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 199 Via de regra para evitarmos o esquecimento de mencionar se está sendo tracionada ou comprimida adote todas as barras saindo do nó como se fossem tração se o resultado for positivo indica que realmente ela está sendo tracionada se o resultado for negativo saberemos que ela está sob compressão 139 62 Membros de força zero Os membros de força zero são usados para aumentar a estabilidade da treliça durante a construção e para fornecer um apoio adicional se o carregamento for alterado Em geral os membros de força zero de uma treliça podem ser determinados por observação de cada um dos nós Por exemplo considere uma treliça mostrada na figura 68 a Se um diagrama de corpo livre do pino no nó A for desenhado figura 68 b vemos que os membros AB e AF são membros de força zero Figura 68 a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 203 140 Figura 68 b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 203 De modo semelhante considere o diagrama de corpo livre do nó D Figura 68 c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 203 A partir dessas observações podemos concluir que se apenas dois membros formam um nó de treliça e nenhum peso externo ou reação de 141 suporte é aplicado ao nó os dois membros podem ser membros de força zero O peso sobre a treliça na figura é portanto sustentado por apenas cinco membros Veja a Figura 68 c Figura 68 c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 203 O diagrama de corpo livre no pino D é mostrado na figura 69 a Figura 69 a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 203 O diagrama de corpo livre do pino no nó D é mostrado na figura 69 b 142 Figura 69 b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 203 Orientando o eixo y ao longo dos membros DC e DE e o eixo x ao longo do membro DA podemos ver que DA é um membro de força zero Note que esse também é o caso para membros CA Figura 69 b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 203 A treliça mostrada na figura abaixo portanto é adequado para sustentar o peso P 143 Figura 69 c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 203 Exemplo 2 Usando o método dos nós determine todos os membros de força zero da treliça de telhado Fink mostrado na figura 610ª Considere que todos os nós são conectados por pinos Figura 610 a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 204 Procure geometrias de nó que tenham três membros para os quais dois sejam colineares Temos Nó G Figura 610 b 144 Figura 610 b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 204 𝐹𝑦 0 𝐹𝐺𝐶 0 Percebe que não poderíamos concluir que GC é um membro de força zero considerando o nó C onde existem cinco incógnitas O fato de que GC é um membro de força zero significa que a carga de 5 kN em C precisa ser suportada pelos membros CB CH CF e CD Nó D Figura 610 c Figura 610 c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 204 𝐹𝑥 0 𝐹𝐷𝐹 0 Nó F 145 Figura 610 d Figura 610 d Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 204 𝐹𝑦 0 𝐹𝐹𝐶 cos 𝜃 0 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝜃 90 𝐹𝐹𝐶 0 NOTA Se o nó B for analisado Figura 610 e Figura 610 e Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 204 𝐹𝑦 0 2𝑘𝑁 𝐹𝐵𝐻 0 𝐹𝐵𝐻 2𝑘𝑁 𝐶 Além disso FHC precisa satisfazer 𝐹𝑦 0 Figura 610fe portanto HC não é um membro de força zero 146 Figura 610 f Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 204 63 O método das seções Quando precisamos encontrar a força em apenas alguns membros de uma treliça podemos analisar a treliça usando o método das seções Este método se baseia no princípio de que se uma treliça está em equilíbrio então qualquer segmento dela também está em equilíbrio Por exemplo considere dois membros de treliça mostrados no lado esquerdo da figura 611 147 Figura 611 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 209 Claramente podese ver que o equilíbrio requer que o membro sob tração T esteja sujeito a um puxão enquanto o membro sob compressão C está sujeito a um empurrão O método das seções também pode ser usado para cortar ou seccionar os membros de uma treliça inteira Com apenas três equações de equilíbrio independentes 𝐹𝑋 0 𝐹𝑦 0 𝑀𝑂 0 podem ser aplicadas ao diagrama de corpo livre de qualquer segmento então tentaríamos escolher uma seção que em geral passe por não mais que três membros em que as forças são desconhecidas Por exemplo considere a treliça da figura abaixo 148 Figura 612 a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 209 Se as forças nos membros BC GC e GF devem ser determinadas então a seção aa seria apropriada Os diagramas de corpo livre nos dois segmentos são mostrados nas figuras 612 a e 612 b Figura 612 b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 210 149 Figura 612 c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler pag 210 Ao usarmos as equações de equilíbrio devemos considerar cuidadosamente maneiras de escrever as equações a fim de produzir uma solução direta para cada uma das incógnitas em vez de precisar resolver equações simultaneamente Como no método dos nós há duas maneiras em que podemos determinar o sentido correto de uma força de membro desconhecida O sentido correto de uma força de membro desconhecido pode em muitos casos ser determinado por observação Em casos mais complicados o sentido de uma força de membro desconhecida pode ser assumido Via de regra se torna mais fácil considerar todas as cargas internas das barras seccionadas saindo das barras se o resultado for positivo indica tração caso contrário compressão PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE 150 Diagrama de corpo livre Decida sobre como cortar ou seccionar a treliça através dos membros onde as forças devem ser determinadas Antes de isolar a seção apropriada pode ser necessário primeiro determinar as reações de apoio da treliça Se isso for feito então as três equações de equilíbrio estarão disponíveis para resolver as forças de membros de seção Desenhe o diagrama de corpo livre do segmento da treliça seccionada que possuem o menor número de forças agindo Use um dos dois métodos descritos anteriormente para estabelecer o sentido das forças de membros desconhecidas Equações de equilíbrio Os momentos devem ser somados em torno de um ponto situado na interseção das linhas de ação de duas forças desconhecidas de modo que a terceira força desconhecida possa ser determinada diretamente pela equação de momento Se duas forças desconhecidas são paralelas as forças ser somadas perpendicularmente à direção dessas forças desconhecidas para determinar diretamente a terceira força desconhecida 151 Unidade VII Esforços Internos Objetivos desta unidade Carregamentos distribuídos e concetrados Cálculo dos esforços internos Normal Cortante e Momento Fletor Desenho dos diagramas de esforços cortantes e momento fletor Introdução O projeto e a análise de qualquer elementos estrutural requer conhecimento das cargas atuantes no interior desse elemento não apenas quando ele está instalado no seu local de trabalho mas também durante seu deslocamento e instalação neste local 152 Figura 7 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler 71 Carregamento distribuído em Vigas Carregamento distribuído coplanares são definidas usandose uma função do carregamento w xx que indica a intensidade do carregamento ao longo da extensão de um membro Essa intensidade é medida em Nm Os efeitos externos causados por um carregamento distribuído coplanar atuando sobre um corpo podem ser representados por uma única força resultante 153 Essa força resultante é equivalente à área sob o diagrama do carregamento e tem uma linha de ação que passa pelo centroide ou centro geométrico dessa área Neste momento iremos trabalhar apenas com carregamentos do tipo retangular e triangular O centro de gravidade do retângulo é no centro da dimensão da base e do triângulo a 13 da base iniciando a partir do ângulo de 90 do diagrama da figura caso o carregamento triangular seja isométrico a carga concentrada será na metade da dimensão da base Conforme figuras abaixo Figura 71 Fonte Autor Exemplo Determine as reações de apoio 154 Figura 71a Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler Solução Perceba que antes de começarmos os cálculos é necessário concentrar as cargas como se trata de um carregamento do tipo retangular basta calcular a área de cada trecho e concentrar a força no centro do diagrama Figura 71b Fonte Autor 𝑀𝐵 45075 2715 𝐴𝑦 3 9375 0 155 𝐴𝑦 2363 kN 𝐹𝑌 9 2363 27 𝐵𝑦 45 0 𝐵𝑦 1687 kN Exemplos 02 Encontre as cargas concentradas Solução Neste caso basta encontrarmos à área de cada trecho e concentrar conforme já está na imagem a seguir Lembrando que para o triângulo área bh2 e o centro de gravidade é 13 da base iniciando no ângulo de 90 156 Figura 71b Fonte Autor 72 Forças Internas Desenvolvidas em Elementos Estruturais Os esforços internos que atuam num determinado elemento estrutural podem ser determinados pelo uso do método das seções Para ilustrar esse procedimento consideremos a viga simplesmente apoiada mostrada na figura 72 O elemento estrutural está submetido às forças F1 e F2 e reações de apoio Ax Ay e By 157 Figura 72 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler Para determinarmos as forças internas que atuam na seção reta em C devemos fazer um seccionamento imaginário da viga cortandoa em dois segmentos Com esse procedimento os esforços internos ao corte tornamse externos nos diagramas de corpo livre de cada novo segmento Como ambas as partes do segmento AC e CB estavam em equilíbrio antes de a viga ser seccionada o equilíbrio de cada um desses novos segmentos é mantido desde que os componentes retangulares das forças Nc Vc e um momento resultante Mc sejam desenvolvidos nessas seções de corte É interessante estabelecer uma convenção de sinais para os esforços internos As literaturas trabalham com o esforço normal saindo da viga o esforço cortante ou de cisalhamento girando no sentido horário e o momento fletor tendendo a tracionar as fibras inferiores e comprimir as superiores isto analisando o lado esquerdo do corte Estas forças serão explicadas logo a seguir 158 Desta maneira a atribuição dos sentidos das cargas seriam as descritas na imagem a seguir se para o lado esquerdo adotase estes sentidos para que haja o equilíbrio caso escolha o lado direito os sentidos deverão ser contrários Figura 72b Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler Em mecânica os componentes da força N atuando normal à viga na região de corte e V que atua tangente a essa região são denominados de força normal ou axial e força de cisalhamento ou cortante respectivamente O momento M é denominado momento fletor 159 Figura 72c Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler Reações de Suporte Antes que o membro seja seccionado pode ser preciso primeiro determinar suas reações de apoio de modo que as equações de equilíbrio possam ser usadas para solucionar as cargas internas somente depois que o membro for seccionado Diagrama de Corpo Livre Mantenha todas as cargas distribuídas momentos e forças que atuam sobre o membro em seus locais exatos depois faça uma secção imaginária pelo membro perpendicular ao seu eixo no ponto onde as cargas internas devem ser determinadas Depois que a secção for feita desenhe um diagrama de corpo livre do segmento que tem o menor número de cargas sobre ele e indique as componentes das resultantes das forças e do momento na seção 160 transversal que atua em suas direções positivas conforme a convenção de sinal estabelecida Equações de Equilíbrio Os momentos devem ser somados na seção Desse modo as forças normal e cortante na seção são eliminadas e podemos obter uma solução direta para o momento Se a solução das equações de equilíbrio gerar um escalar negativo o sentido da quantidade é oposto ao que é mostrado no diagrama de corpo livre Exemplo Determine os esforços internos antes e depois da carga de 6 kN correspondentes aos pontos B e C Figura 72d Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler 161 Solução Vamos primeiramente desenhar o diagrama de corpo livre da viga Figura 72e Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler Analisando antes da carga de 6 kN observando da esquerda para a direita percebemos que teremos que fazer uma seção no ponto B mais especificamente teremos dois lados que podemos escolher o lado esquerdo ou o lado direito Nesse momento ambos os lados poderão ser escolhidos porém como o conteúdo seguinte exige que escolhemos o lado esquerdo para que haja uma padronização nas respostas vamos escolher o lado esquerdo aqui também Só que antes de realizamos o desenho do diagrama de corpo livre do lado esquerdo devemos calcular a reação de apoio Ay visto que ela está do lado esquerdo da figura Diagrama do lado esquerdo 162 Fonte Autor Exemplo 02 Determine os esforços normal e cortante bem como o momento fletor no ponto C 163 Figura 72f Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler Solução Neste caso perceba que se torna mais fácil realizar a seção e escolher o lado direito visto que não haveria a necessidade de se calcular reações de apoio Corte escolhendo o lado direito Note que temos que encontrar a altura do carreamento visto que 1200 seria a altura total do carregamento distribuído como fizemos uma seção cerca de 15 metro este carregamento w deverá ser menor Para isso faremos a semelhança de triângulos 164 𝑤 15 1200 3 𝑤 600 𝑁𝑚 Obviamente seria 600 Nm pelo fato de estar exatamente no centro a seção mas em todos os casos é interessante efetuar estes cálculos Conhecendo agora a carregamento distribuído podemos calcular a carga concentrada e enfim os esforços internos 𝐹 15600 2 450 𝑁 𝐹𝑥 0 𝑁𝑐 0 𝐹𝑦 0 𝑉𝑐 450 0 𝑉𝑐 450 𝑁 𝑀 0 165 𝑀𝑐 45005 0 𝑀𝑐 225 𝑁 𝑚 O sinal negativo indica que o momento está no sentido contrário ao indicado no diagrama 73 Equações e Diagramas de esforço cortante e momento fletor O projeto real de uma viga requer um conhecimento detalhado da variação do esforço cortante interno V e do momento fletor M interno atuando em cada ponta ao longo do eixo da viga A força normal interna não é considerada por dois motivos Na maioria dos casos as cargas aplicadas a uma viga atuam perpendicularmente ao eixo da viga e portanto produzem apenas um esforço cortante e um momento fletor interno E para fins de projeto a resistência da viga ao cisalhamento e particularmente à flexão é mais importante do que resistir a uma força normal Essas variações de V e M ao longo do eixo da viga podem ser obtidas usando o método das seções já discutido Neste caso porém é necessário seccionar a viga a uma distancia arbitrária x a partir de uma extremidade e depois aplicar as equações de equilíbrio ao segmento tendo o comprimento x Fazendo isso podemos então obter V e M como funções de x Em geral as funções de esforço cortante e momento fletor interno serão descontinuas ou suas inclinações serão descontinuas em pontos onde uma carga distribuída varia ou onde forças ou momentos 166 concentrados são aplicados Por causa disso essas funções precisam ser determinadas para cada segmento da viga localizado entre duas descontinuidades de carga quaisquer Figura 72g Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler Por exemplo segmentos com comprimentos x1 x2 e x3 terão que ser usados para descrever a variação de V e M ao longo do comprimento da viga Essas funções serão válidas somente dentro das regiões de O até a para x1 de a até b para x2 e de b até L para x3 Se para cada função estabelecida nos intervalos mencionados fosse atribuído um gráfico este nós o chamamos de diagrama de Esforço cortante e diagrama de Momento Fletor DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE 167 Figura 72g1 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR Figura 72g2 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler Em termos gerais devemos observar primeiramente o carregamento se o carreamento estiver em uma função de grau 0 a cortante terá grau 1 e o momento grau 2 Veja o caso do primeiro trecho da figura 73 g no segmento de O até a perceba que se trata de um carregamento de grau 0 pois é uma reta 168 constante dessa forma a cortante terá grau 1 reta inclinada e o momento grau 2 parábola como pode ser comprovado nos diagramas mostrados Além disso temos que nos atentar para a convenção de sinais costuma se utilizar a convenção de estudar a viga da esquerda para a direita então usase o lado esquerdo da convenção mostrada na figura 72 b Exemplo Desenhe o diagrama de esforço cortante e momento fletor da viga Figura 72 Fonte Mecânica para Engenharia Hibbler Solução Devemos inicialmente identificar quantas seções deverão ser feitas neste caso em específico como houve a aplicação de uma força temos que entender que a viga se comportava de um jeito antes da carga e vai se comportar de outro depois de ser aplicada a força Então devemos fazer dois cortes um antes e um depois da carga 169 1º Corte Antes da carta a uma distância x do apoio 2º Corte Depois da carga a uma distância x do apoio A 170 Para desenhar os diagramas basta analisar as equações no primeiro trecho os valores de x não podem serem maiores do que 2 e no segundo de 2 a 4 Nas equações apresentadas o maior grau encontrado é 1 na equação de momento grau 1 representa uma reta que pode ser montada apenas com 2 pontos atribuídos a coordenada x Esses dois pontos serão o início e o final de cada intervalo que pertence ao trecho no primeiro 0 e 2 e no segundo 2 e 4 Obtendo os resultados para V e M basta traçar o gráfico utilizando as coordenadas de x e os resultados de V e M 171 Exemplo 02 Determine as equações em função de x dos esforços internos bem como os diagramas de esforço cortante e momento fletor da viga abaixo A viga tem 4 m de comprimento Fonte O Autor 172 Solução Inicialmente devemos determinar quantas seções serão necessárias para que iniciemos os cálculos Neste caso perceba que existe apenas um tipo de carregamento ou seja apenas um corte é suficiente Antes de realizamos o corte devemos calcular a reação de apoio do lado esquerdo visto que precisaremos desta informação para calcular as reações de apoio Vamos concentrar a carga para encontrar as reações Fonte O Autor 𝑀𝐵 26001333 𝐴𝑦 4 0 𝐴𝑦 8667 𝑘𝑁 𝐵𝑦 17333 173 Fonte O Autor Em posse destas informações podemos realizar o corte e calcular as informações necessárias Fonte Autor Perceba que como seccionamos a uma distância x o carregamento não será mais 1300 kN devemos realizar a semelhança de triângulos para encontrar o valor de w 𝑤 𝑥 1300 4 𝑤 325𝑥 𝑘𝑁 174 Perceba que o grau do carregamento é 1 ou seja a equação da cortante deverá ter grau 2 e do momento fletor grau 3 Vamos concentrar esse carregamento w para que possamos enfim encontrar as equações Fonte Autor Cortante 0 𝑥 4 𝐹𝑦 8667 1625𝑥2 𝑉 0 𝑉 1625𝑥2 8667 𝑘𝑁 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Momento fletor 0 𝑥 4 175 𝑀 𝑀 1625𝑥2 𝑥 3 8667 𝑥 0 𝑀 54166 𝑥3 8667𝑥 𝑘𝑁 𝑚 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑙𝑒𝑡𝑜𝑟 Percebam que de fato conforme dito anteriormente que o grau da cortante foi um grau acima do carregamento e do momento um grau acima da cortante Dessa maneira existe a possibilidade de realizar estes cálculos usando integral ou derivada se você conhece a equação da cortante integrando você achará o momento fletor Contudo esse método pode apresentar algumas dificuldades quando se tem mais de uma seção entretanto tendo a equação do momento fletor antes basta derivar que automaticamente achará a cortante sem muitos problemas Vamos determinar os pontos para traçar os diagramas Note que temos equações de 2º e 3º grau por isso precisaremos de mais de dois pontos para traçar estas curvas O ideal é que utilizemos os dois extremos dos valores que as equações pertencem ou seja 2 e 4 O terceiro ponto será o ponto máximo para o momento Via de regra quando temos vigas biapoiadas como é o exemplo desta aonde a cortante for 0 o momento tenderá a ser o máximo Então iremos atribuir o valor de 0 para V na equação de esforço cortante e encontrar a sua coordenada de x 0 1625𝑥2 8667 𝑥2 8667 1625 𝑥2 5333 𝑥 231 𝑚 176 Vamos utilizar esta tabela para auxiliar na montagem das coordenadas Basta usar os valores de x nas equações encontradas Esforço P x 0 P x 231 P x 4 V Cortante 8667 kN 0 kN 17333 kN M Momento Fletor 0 kNm 13343 kNm 0 kNm Fonte Autor Perceba que no gráfico da cortante na coordenada x 4 o valor que resta para o gráfico chegar a zero é exatamente o valor da reação em B 177 Vejamos o gráfico produzido pelo software Ftool percebam a semelhança claro que existe uma ligeira diferença visto que o programa trabalha com infinitas coordenadas para x Fonte Autor 178 Unidade VIII Centro de Gravidade e Momento de Inércia Objetivos desta unidade Cálculo do centro de gravidade Cálculo do momento de inércia Aplicações Introdução Centro de gravidade centróide ou ainda baricentro é o ponto de um corpo onde pode ser aplicada a força resultante que neste corpo possa ser calculada Além disso corresponde ao ponto em que existi o equilíbrio das forças Muito utilizado para o cálculo do momento de inércia e para identificar aonde os esforços são nulos em uma viga carregada 179 81 Centro de gravidade de áreas compostas Para o cálculo do centro de gravidade é preciso separar as áreas em figuras planas e com isso calcular separadamente o centróide de cada figura Podemos utilizar as seguintes expressões para o cálculo dos centroides 𝑋𝑔 𝑥 𝐴 𝐴 𝑌𝑔 𝑦 𝐴 𝐴 Onde x Coordenada x de cada figura plana que compõem a área onde se quer calcular o centróide ou centro de gravidade y Coordenada y de cada figura plana que compõem a área onde se quer calcular o centróide ou centro de gravidade A Área de cada figura plana Para que seja possível encontrar as informações de x e y temos que estudar a tabela a seguir 180 181 Para o momento devemos focar apenas nos cálculos das áreas e na coordenada G de cada figura É importante mencionar que as coordenadas do ponto G de cada figura representa a distância da origem dos eixos até o centro de gravidade de cada figura caso a imagem em que se está calculando as figuras planas não estiverem dispostas da mesma maneira conforme apresentado na tabela devemos somar então a coordenada x ou y a diferença até chegar na origem dos eixos Neste caso a primeira imagem é o padrão da tabela na segunda simula uma condição em que a figura foi deslocada para a direita então a coordenada y não se altera porque em y não houve nenhum deslocamento mas em x passa a ser o valor da coordenada x mais o tanto que foi deslocado no caso 5 cm Na terceira imagem temos a figura invertida ou seja temos que inverter as coordenadas x e y no ponto G além disso verificar se houve deslocamento no caso deslocou 5 cm em y 182 Exemplo 01 Determine o centro de gravidade para a área abaixo Solução Vamos dividir esta imagem em três figura planas Poderíamos dividir em ¼ de círculo e um triângulo Mas para fixar melhor os conceitos apresentados anteriormente vamos dividir em 3 imagens sendo ¼ de círculo e 2 triângulos Depois vamos calcular as áreas e posição do baricentro de cada figura em relação aos eixos x e y da figura principal 183 Quando temos figuras simétricas ou seja o lado esquerdo for igual ao direito ou a parte de cima é igual a parte de baixo o centro de gravidade é onde temos o ponto de simetria E além disso quando não é fornecido os eixos de referência X e Y estes devem ser atribuídos no início da figura principal Veja o exemplo a seguir Exemplo 02 Determine a localização Yg do centro de gravidade da figura abaixo 184 Fonte Mecânica para engenheiros Hibbeler 12º edição Solução Vejam que neste caso não temos a orientação dos eixos principais e foi solicitado apenas a coordenada Yg porque em X é fácil ser determinado haja visto que existe simetria o lado esquerdo é igual ao direito então dessa forma a coordenada Xg está no meio da figura principal Fonte O Autor 185 Podemos utilizar uma tabela para auxiliar em descobrir o centro de gravidade mas antes temos que determinar quantas e quais imagens planas vamos subdividir a imagem principal Podemos fazer da seguinte maneira Figura 1 Retângulo superior horizontal Figura 2 Retângulo vertical Figura 3 Círculo CentróideCentro de Massa Figuras área cm2 xi cm yi cm XA cm3 YA cm3 x g cm 1 22500 7500 25750 16875 57938 7500 2 22500 7500 17500 16875 39375 3 78540 7500 5000 58905 39270 y g cm 11056 Somatório 123540 92655 136583 Interpretando a tabela Antes vamos entender que os valores de x correspondem a distância medida na direção x do centro de gravidade da figura plana até a origem do sistema e y também corresponde a distância medida na direção y do centro de gravidade da figura plana até a origem do sistema Dessa forma as coordenadas X de todas as imagens serão as mesmas confirmando que de fato a coordenada X do centro de gravidade da figura principal estaria no centro Para as coordenadas y basta usar a tabela com as características das seções e ir calculando Pelo fato de todas as figuras serem simétricas a localização dos centros de gravidade passa a ser fácil contudo temos que tomar cuidado pois se queremos conhecer a distância de cada centro de 186 gravidade em relação aos eixos da figura principal temos que considerar as medidas da figura Por isso que a coordenada y da figura 1 é 2575 cm temos 25 cm até a figura 1 com mais 075 cm do centróide total 2575 cm Tendo localizado todas estas informações basta usar a fórmula para calcular 𝑋𝑔 𝑥 𝐴 𝐴 92655 12354 75 𝑐𝑚 𝑌𝑔 𝑦 𝐴 𝐴 136583 12354 11056 𝑐𝑚 Pontos importantes O centro de gravidade de figuras compostas dever ser calculado através do somatório das áreas das figuras planas entre tanto se tiver que subtrair alguma figura geométrica no cálculo do centróide a área deve ter valor negativo mantendo normalmente o processo do cálculo Além disso as distâncias que representam as coordenadas x e y caso esteja no lado negativo do eixo elas também terão o sinal negativo 82 Momento de Inércia Podemos entender o momento de inércia como sendo a tendência de um perfil girar em torno de algum eixo essa variável é constantemente utilizada para medir qual a melhor geometria do perfil a ser utilizada em uma determinada estrutura visto que a posição do perfil interfere 187 diretamente na resistência que o mesmo oferece e isto está ligado ao momento de inércia que se tem nos eixos cartesianos Apesar de ser usado um par de eixos de referência X e Y o cálculo do Momento de Inércia 𝐼𝑒𝑖𝑥𝑜 é feito em relação a cada um deles separadamente podendo os eixos serem quaisquer ou baricêntricos De acordo com a distribuição da área da figura plana ao redor do eixo de referência o Momento de Inércia sempre resultará um número positivo Se o eixo de referência for um eixo de simetria o eixo será baricêntrico O inverso não é verdadeiro À medida que o eixo de referência se afasta do baricentro da figura plana o resultado do momento de inércia em relação ao eixo de referência aumenta Existe diversos exemplos práticos que podemos assimilar com o momento de inércia por exemplo precisamos dobrar chapas de aço na maioria das vezes para fabricar um portão Fonte Aluplan Esquadrias de alumínio 188 Perceba que isso não é apenas estético mas todas as vezes que afastamos a massa do centro de gravidade nós aumentamos o momento de inércia melhorando a aplicação do perfil em se tratando de aumento de resistência Outro exemplo porque a maioria das vigas são dispostas conforme a imagem a seguir A resposta também tem entre outros fatores a ver com o momento de inércia Fonte Cassolpré fabricados Poderão perceber na fórmula que perfis assim possui um momento de inércia em x muito maior do que em y Usaremos nesta disciplina o método de cálculo que se chama teorema dos eixos paralelos este teorema pode estudado de maneira mais analítica no livro Mecânica para engenheiros Hibbeler no capítulo X Para o cálculo 𝐼𝑥 𝐼𝑥𝑔 𝐴 𝑑𝑦2 𝐼𝑦 𝐼𝑦𝑔 𝐴 𝑑𝑥2 189 Onde 𝐼𝑥𝑔 𝑒 𝐼𝑦𝑔 Representam os momentos de inércia que passam pelo centróide tanto em x quanto em y E são encontrado na tabela de características das seções disponibilizada anteriormente A Área da figura 𝑑𝑦 Distância entre o eixo X do centróide da figura principal com o eixo X do centróide da figura geométrica 𝑑𝑦 𝑌𝑔 𝑌𝑓𝑖𝑔 𝑑𝑥 Distância entre o eixo Y do centróide da figura principal com o eixo Y do centróide da figura geométrica 𝑑𝑥 𝑋𝑔 𝑋𝑓𝑖𝑔 Exemplo 01 Determine o momento de inércia em relação aos eixos X e Y da seção a seguir Fonte Mecânica para Engenheiros Hibbeler 190 Dados da tabela Fonte Autor Solução Como já encontramos o centro de gravidade desta seção não há a necessidade recalcular novamente mas caso fosse uma nova seção deveríamos encontrar o centro de gravidade primeiro e depois aplicar os cálculos de momento de inércia 191 Fonte Autor Vamos utilizar a tabela que usamos para o cálculo do centro de gravidade esta tabela é nos auxilia com as informações das figuras compostas que juntas formam a imagem principal CentróideCentro de Massa Figuras área cm2 xi cm yi cm XA cm3 YA cm3 x g cm 1 22500 7500 25750 16875 57938 7500 2 22500 7500 17500 16875 39375 3 78540 7500 5000 58905 39270 y g cm 11056 Somatório 123540 92655 136583 Fonte Autor Quando calculamos o centro de gravidade informações como a área x e y que constam na tabela além das próprias coordenadas do centro de gravidade serão utilizadas para o momento de inércia 192 Vams calcular em cm para que o número não fique muito extenso Teorema dos eixos paralelos 𝐼𝑥 𝐼𝑥𝑔 𝐴 𝑑𝑦2 𝐼𝑦 𝐼𝑦𝑔 𝐴 𝑑𝑥2 Figura 1 Retângulo superior horizontal 𝐼𝑋1 15153 12 225 11056 25752 486227 𝑐𝑚4 𝐼𝑌1 15153 12 225 75 752 42187 𝑐𝑚4 Figura 2 Retângulo vertical 𝐼𝑋2 15153 12 225 11056 1752 135619 𝑐𝑚4 𝐼𝑌2 15153 12 225 75 752 4218 𝑐𝑚4 Figura 3 Círculo 193 𝐼𝑋3 𝜋 54 4 7854 11056 52 337134 𝑐𝑚4 𝐼𝑌3 𝜋 54 4 7854 75 52 98175 𝑐𝑚4 𝐼𝑋𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐼𝑥1 𝐼𝑥2 𝐼𝑥3 𝐼𝑋𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 486227 135619 337134 95898 𝑐𝑚4 𝐼𝑌𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐼𝑦1 𝐼𝑦2 𝐼𝑦3 𝐼𝑌𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 42187 4218 98175 140784 𝑐𝑚4 Percebam a diferença dos momentos de inércia podemos associar isso pela diferença em que os eixos X dos centróides das figuras estão em relação ao eixo X da figura principal estão mais distantes enquanto que os eixos Y estão mais próximos por isso que o momento desta direção deu maior Exemplo 02 Dois perfis de 25 cm e 765 kg são soldados a uma chapa de 30 cm X 25 cm para formar a seção transversal de uma viga Encontre a distância d para a qual os momentos de inércia em relação aos eixos que passam pelo 194 centróide sejam iguais assim como os respectivos momentos principais de inércia cotas em cm Fonte Mecânica para Engenheiros Hibbeler 𝑌𝐺 𝐴𝑦 𝐴 𝑌𝐺 279125 2 752625 2792 75 2038 𝑐𝑚 Vamos analisar o 𝐼𝑋 visto que o momento em X não necessita da distância compreendida como o d 𝐼𝑥𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐼𝑥𝑔 𝐴 𝑑𝑦2 195 𝐼𝑥𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 2 2613 279 2038 1252 30253 12 752038 26252 1131419 𝑐𝑚4 𝐼𝑦𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 2 898 279 1605 𝑑 2 2 25303 12 750 02 𝐼𝑦𝑡𝑜𝑡𝑎 2 898 279 16052 21605 𝑑 2 𝑑 2 2 5625 𝐼𝑦𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 1796 5582576 1605𝑑 025𝑑2 5625 𝐼𝑦𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 1395𝑑2 8956𝑑 594834 𝐼𝑥𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐼𝑦𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 1131419 1395𝑑2 8956𝑑 594834 1395𝑑2 8956𝑑 536586 0 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 2º 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑 1666 𝑐𝑚 𝑑 1966 𝑐𝑚 Valor correto d 1666 cm 197 Embora o estudo da Mecânica se tenha iniciado no tempo de Aristóteles 364322 A C e Arquimedes 287212 A C ela teve que esperar até Newton 16421727 para encontrar uma formulação satisfatória de seus princípios fundamentais e sua validade permaneceu imutável até Einstein 1905 Apesar de suas limitações terem sido reconhecidas a mecânica newtoniana ainda permanece sendo a base das ciências atuais de Engenharia Com base neste texto pesquise em fontes fidedignas sobre a evolução na mecânica através dos séculos e faça um breve resumo com as conclusões em que você chegou e considere também algumas aplicações que justifiquem o aprendizado destas três primeiras unidades Nestes últimos capítulos vimos aspectos importantes da mecânica e o mais importante disso tentamos mostrar aquilo que vocês presenciam e vão presenciar no seu dia a dia no trabalho portanto procure na sua localidade na sua empresa ou até mesmo em sua casa alguns sistemas mecânicos que estudamos nessas unidades e faça um breve relato procurando associar tudo aquilo que aprendemos a sua realidade cotidiana Estudo de Caso 198 HIBBELER R C Estática mecânica para engenharia 10 Ed São Paulo Pearson 2005 MERIAM J L KRAIGE L G Estática mecânica para engenharia volume 1 6 Ed Rio de Janeiro LTC 2009 BEER Ferdinand P JOHNSTON Jr E Russell Mecânica Vetorial para engenheiros estática 5 ed Ver São Paulo Pearson 1994 SILVA Larissa Mecânica estática São Paulo Pearson Prentice Hall 2011 BV SHAMES I H Estática mecânica para engenharia 4 Ed São Paulo Ed Prentice Hall 2002 V1 BV RICARDO Octavio Gaspar de Souza Teoria das estruturas SP Mcgrawhill 1978 Referências Bibliográficas