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Engenharia de Produção ·
Cálculo
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P3 22/10/12 Ponto crítico (Revisão) Um ponto (a,b) é dito um ponto crítico de f se fₓ(a,b) = 0 e fᵧ(a,b) = 0. O plano tangente a superfície z = f(x,y) (ou seja ao gráfico de f) no ponto (a,b,f(a,b)) é dado por z = f(a,b) + fₓ(a,b)(x-a) + fᵧ(a,b)(y-b) Se (a,b) é um ponto crítico, então a equação acima se reduz a z = f(a,b) = k ou seja, no ponto crítico o plano tangente é horizontal. Classificação de ponto crítico Seja f(x,y) = x² + y² - 2x - 6y + 14, classifique os pontos críticos. fₓ = 2x - 2 = 0 => x = 1 fᵧ = 2y - 6 = 0 2y = 6 y = 3 P = (1,3) é ponto crítico Reescreva a função (x-1)² + (y-3)² - 2 = 14 + 1 - 9 f(x,y)=(-1)² + (14-3)² - 41 parênt.obt. por último, o vértice é (1,3,4) 22/10/12 máximo global não possui mínimo global candidato a extremo local é ponto crítico da função. Teorema: Se uma função f tem um máximo ou mínimo em (a,b), então (a,b) é ponto crítico de f, os): fg variável e contínua. Ex.: classifique o ponto crítico de g(x,y) = y² - x³ gₓ = -3x² = 0 fy = 2y = 0 ? (0,0) -> PONTO DE SELA g(0,0) = 0 g(0,0) = 0 para qualquer ponto no eixo y (na forma (0,y)) e no eixo x na forma (x,0)) temos g(0,y) = y² = 0 e g(x,0) = = x² = 0 respectivamente, g(0,0)=0 22/10/12 g(x,y) = y² - x³ (0,0) é um ponto de mínimo do eixo x y qualquer vizinhança de (0,0) contém pontos de ambos os sinais logo dentro de qualquer vizinhança de (0,0) existem pontos (x,y) tais que g(x,y) > 0 e g(x,y) > 0; e existem pontos (x,y) tais que (x,y) = = 0 e g(y) < 0 logo (0,0) não é máximo nem mínimo local, é Posit de sela. Critério para a classificação de ponto crítico Para função de 2 variáveis, suponha: b²-a*c = <0 a m b) é um ponto crítico de f, e H é a matriz hessiana de f em (a,b) Hₓ(a,b): [ fₓₓ(a,b), fₓᵧ(a,b) [fᵧₓ(a,b), fᵧᵧ(a,b)] (1,3) é máximo global Y 1° modo: H(x,y)= - (x-1)/4 (y-3)/2 < 4 > 4 70 70 H(1,3)=4 = (1,3) é mínimo global 22/10/12 Sejam f: D⊂R^2→R uma ponto (a,b)∈D. Dizemos que: * (a,b)= máximo local se f(x,y)≤f(a,b), para toda (x,y)≈ponto de (a,b) * (a,b)= mínimo local se f(x,y)≥f(a,b) (x,y)≈D * ponto de (a,b) * (a,b)= máximo global se f(x,y)≤f(a,b), f: (x,y)∈D * (a,b)= mínimo global se f(x,y)≥f(a,b), f: (x,y)∈D * ➕ detH≥0 & trH≥0 ⇒ (a,b) é MÍNIMO LOCAL * ➕ detH>0 & trH<0 ⇒ (a,b) é MÁXIMO LOCAL * ➖ detH<0 ⇒ (a,b) é PONTO DE SELA * ⚠️ detH=0 ⇒ tudo podemos afirmar o ponto crítico DEGENERADO Ex: classifique os pontos críticos de f(x,y)=3x+y2-3xy2 dx=3, 3x2-3y; ∴ (1-x2-y2)=0 dy=-3x, 2xy=-0 ⇒ 6xy=0 y2+x2=1 (1) x y=0 (II) 1° caso (II) x=y=0 ⇒ P1=(0,0) (1) 0+0=1 ⨯ 2° caso (II) x=0 (1) y2=1 ⇒ y=±1 ⇒ P2=(0,1) e P3=(0,-1) 3° caso (II) y=0 ⇒ (I) x2=1 ⇒ x=±1 ⇒ P4=(1,0) e P5=(-1,0) 22/10/12 ➕ Autovalores de H>0 ⇒ (a,b,c) é mínimo local ➕ Autovalores de H<0 ⇒ (a,b,c) é máximo local * ➖ λ1>0 και λ2<0 ⇒ (a,b,c) é ponto de sela * ⚠️ λ1=0 και λ2爽0 ⇒ (a,b,c) é ponto degenerado Ex: classifique os pontos críticos de f(x,y,z)=x^2-y^2+z^2 dx: 2x=0 ∴ P=(0,0,0) dy: -2y=0 dz: 2z=0 Hf(0,0,0)=( 2 0 0 0 -2 0 0 0 2) λ1 και λ2 και λ3 λ1 και λ2 και λ3=-6 <0 detH=-36<0 Ponto de sela (0,1) Hf=( 0 -6 -6 0) detH=-36<0 Ponto de sela (0,1) Hf=( 0 6 6 0) detH=36<0 Ponto de sela 22/10/12 (1,0) Hf=( 0 6 ) detH=36>0 trH=12=0 Máximo local (-1,0) Hf=( 6 0) detH=36>0 trH=12=0 Máximo local Para função de quaisquer n de variáveis Sejam f: D⊂R^n→R e (a,b,c) um ponto crítico de f. Seja H a matriz Hessiana de f em (a,b,c). Hf =( fxx(a,b,c) fxy(a,b,c) fxz(a,b,c) fxy(a,b,c) fyy(a,b,c) fyz(a,b,c) fxz(a,b,c) fyz(a,b,c) fzz(a,b,c)) 24/10/23 Otimização com queremos otimizar o extremo de f(x,y) qualquer ponto (x,y) satisfaça a equação g(x,y)=k. Formalmente Maximização Minima: f(x,y) sujeita a g(x,y)=k Nele exemplo (x0,y0) = máximo local de f restrito a g(x,y) = k crura de nivel de g(x,y) funçao g(x,y) 10 = valor máximo de f restrito a g(x,y) = k Maximizar f(x,y) sujeita a g(x,y)=k é achar no maior valor de c tal que a curva do nível f(x,y) = c intercepta a curva de nivel g(x,y) = k acontece quando as curvas de nivel f(x,y) = c, g(x,y) = k são tangentes entre si (as seja, possuem uma reta tangente em comum), pois caso contrário, poderia aumentar o valor de c. Se f (x,y) = c e g(x,y) k possuem na mesma reta tangente um (x0,y0) (ponto de tangência), então possuem também a mesma reta normal tibase
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P3 22/10/12 Ponto crítico (Revisão) Um ponto (a,b) é dito um ponto crítico de f se fₓ(a,b) = 0 e fᵧ(a,b) = 0. O plano tangente a superfície z = f(x,y) (ou seja ao gráfico de f) no ponto (a,b,f(a,b)) é dado por z = f(a,b) + fₓ(a,b)(x-a) + fᵧ(a,b)(y-b) Se (a,b) é um ponto crítico, então a equação acima se reduz a z = f(a,b) = k ou seja, no ponto crítico o plano tangente é horizontal. Classificação de ponto crítico Seja f(x,y) = x² + y² - 2x - 6y + 14, classifique os pontos críticos. fₓ = 2x - 2 = 0 => x = 1 fᵧ = 2y - 6 = 0 2y = 6 y = 3 P = (1,3) é ponto crítico Reescreva a função (x-1)² + (y-3)² - 2 = 14 + 1 - 9 f(x,y)=(-1)² + (14-3)² - 41 parênt.obt. por último, o vértice é (1,3,4) 22/10/12 máximo global não possui mínimo global candidato a extremo local é ponto crítico da função. Teorema: Se uma função f tem um máximo ou mínimo em (a,b), então (a,b) é ponto crítico de f, os): fg variável e contínua. Ex.: classifique o ponto crítico de g(x,y) = y² - x³ gₓ = -3x² = 0 fy = 2y = 0 ? (0,0) -> PONTO DE SELA g(0,0) = 0 g(0,0) = 0 para qualquer ponto no eixo y (na forma (0,y)) e no eixo x na forma (x,0)) temos g(0,y) = y² = 0 e g(x,0) = = x² = 0 respectivamente, g(0,0)=0 22/10/12 g(x,y) = y² - x³ (0,0) é um ponto de mínimo do eixo x y qualquer vizinhança de (0,0) contém pontos de ambos os sinais logo dentro de qualquer vizinhança de (0,0) existem pontos (x,y) tais que g(x,y) > 0 e g(x,y) > 0; e existem pontos (x,y) tais que (x,y) = = 0 e g(y) < 0 logo (0,0) não é máximo nem mínimo local, é Posit de sela. Critério para a classificação de ponto crítico Para função de 2 variáveis, suponha: b²-a*c = <0 a m b) é um ponto crítico de f, e H é a matriz hessiana de f em (a,b) Hₓ(a,b): [ fₓₓ(a,b), fₓᵧ(a,b) [fᵧₓ(a,b), fᵧᵧ(a,b)] (1,3) é máximo global Y 1° modo: H(x,y)= - (x-1)/4 (y-3)/2 < 4 > 4 70 70 H(1,3)=4 = (1,3) é mínimo global 22/10/12 Sejam f: D⊂R^2→R uma ponto (a,b)∈D. Dizemos que: * (a,b)= máximo local se f(x,y)≤f(a,b), para toda (x,y)≈ponto de (a,b) * (a,b)= mínimo local se f(x,y)≥f(a,b) (x,y)≈D * ponto de (a,b) * (a,b)= máximo global se f(x,y)≤f(a,b), f: (x,y)∈D * (a,b)= mínimo global se f(x,y)≥f(a,b), f: (x,y)∈D * ➕ detH≥0 & trH≥0 ⇒ (a,b) é MÍNIMO LOCAL * ➕ detH>0 & trH<0 ⇒ (a,b) é MÁXIMO LOCAL * ➖ detH<0 ⇒ (a,b) é PONTO DE SELA * ⚠️ detH=0 ⇒ tudo podemos afirmar o ponto crítico DEGENERADO Ex: classifique os pontos críticos de f(x,y)=3x+y2-3xy2 dx=3, 3x2-3y; ∴ (1-x2-y2)=0 dy=-3x, 2xy=-0 ⇒ 6xy=0 y2+x2=1 (1) x y=0 (II) 1° caso (II) x=y=0 ⇒ P1=(0,0) (1) 0+0=1 ⨯ 2° caso (II) x=0 (1) y2=1 ⇒ y=±1 ⇒ P2=(0,1) e P3=(0,-1) 3° caso (II) y=0 ⇒ (I) x2=1 ⇒ x=±1 ⇒ P4=(1,0) e P5=(-1,0) 22/10/12 ➕ Autovalores de H>0 ⇒ (a,b,c) é mínimo local ➕ Autovalores de H<0 ⇒ (a,b,c) é máximo local * ➖ λ1>0 και λ2<0 ⇒ (a,b,c) é ponto de sela * ⚠️ λ1=0 και λ2爽0 ⇒ (a,b,c) é ponto degenerado Ex: classifique os pontos críticos de f(x,y,z)=x^2-y^2+z^2 dx: 2x=0 ∴ P=(0,0,0) dy: -2y=0 dz: 2z=0 Hf(0,0,0)=( 2 0 0 0 -2 0 0 0 2) λ1 και λ2 και λ3 λ1 και λ2 και λ3=-6 <0 detH=-36<0 Ponto de sela (0,1) Hf=( 0 -6 -6 0) detH=-36<0 Ponto de sela (0,1) Hf=( 0 6 6 0) detH=36<0 Ponto de sela 22/10/12 (1,0) Hf=( 0 6 ) detH=36>0 trH=12=0 Máximo local (-1,0) Hf=( 6 0) detH=36>0 trH=12=0 Máximo local Para função de quaisquer n de variáveis Sejam f: D⊂R^n→R e (a,b,c) um ponto crítico de f. Seja H a matriz Hessiana de f em (a,b,c). Hf =( fxx(a,b,c) fxy(a,b,c) fxz(a,b,c) fxy(a,b,c) fyy(a,b,c) fyz(a,b,c) fxz(a,b,c) fyz(a,b,c) fzz(a,b,c)) 24/10/23 Otimização com queremos otimizar o extremo de f(x,y) qualquer ponto (x,y) satisfaça a equação g(x,y)=k. Formalmente Maximização Minima: f(x,y) sujeita a g(x,y)=k Nele exemplo (x0,y0) = máximo local de f restrito a g(x,y) = k crura de nivel de g(x,y) funçao g(x,y) 10 = valor máximo de f restrito a g(x,y) = k Maximizar f(x,y) sujeita a g(x,y)=k é achar no maior valor de c tal que a curva do nível f(x,y) = c intercepta a curva de nivel g(x,y) = k acontece quando as curvas de nivel f(x,y) = c, g(x,y) = k são tangentes entre si (as seja, possuem uma reta tangente em comum), pois caso contrário, poderia aumentar o valor de c. Se f (x,y) = c e g(x,y) k possuem na mesma reta tangente um (x0,y0) (ponto de tangência), então possuem também a mesma reta normal tibase