Conceitos de Taxas em Matemática Financeira

MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof George Sales Atualização Prof Samuel Durso 2 TAXAS EQUIVALENTE NOMINAL E EFETIVA 3 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM No presente book serão apresentados os principais conceitos referentes a taxas tais como proporcional equivalente nominal efetiva e aparente Ao final do estudo o discente deverá ser capaz de compreender identificar e aplicar os conhecimentos adquiridos em problemas financeiros existentes no mundo real 4 SUMÁRIO 1 Conversão de Taxas 11 Taxas Proporcionais x Taxas Equivalentes 12 Taxa Nominal x Taxa Efetiva 121 Relação entre Taxa Nominal e Taxa Efetiva 2 Taxas Reais x Taxas Aparentes 21 Cálculo de Inflação Acumulada 22 Taxas Prefixadas e Pósfixadas 5 1 CONVERSÃO DE TAXAS 11 Taxas Proporcionais x Taxas Equivalentes a Taxas proporcionais Duas taxas de juros expressas em unidades de tempo distintas são proporcionais quando incidindo sobre um mesmo principal durante um mesmo prazo geram o mesmo montante considerando o regime de capitalização simples Exemplo a taxa de 3 am é proporcional à taxa de 36 aa Exercício de Fixação 1 A taxa de juros da poupança é de 6 aa nominal Qual é a sua capitalização mensal n1 i1 n2 i2 1 6 12 i2 i2 05am A poupança capitaliza 05 am b Taxas equivalentes Duas taxas de juros expressas em unidades de tempo distintas são consideradas equivalentes quando incidindo sobre um mesmo principal durante um mesmo prazo geram o mesmo montante considerando o regime de capitalização composta Exemplo 1 a taxa de 25 am é equivalente a uma taxa de 3449 aa De maneira genérica transformamos uma determinada taxa em outra sua equivalente segundo a seguinte equação Onde N1 número de períodos da taxa1 N2 número de períodos da taxa2 6 Exemplo 2 determine a taxa diária equivalente à taxa de 4 am para 1 mês de 30 dias corridos Considerandose Taxa1 taxa diária Taxa2 4 am N1 1 dia N2 30 dias Exemplo 3 determine a taxa diária equivalente a 18 aa taxa considerando 252 dias úteis Taxa1 taxa diária Taxa2 18 aa N1 1 dia N2 252 dias Exercício de Fixação 2 A taxa do DI é uma taxa cuja base apresenta 252 dias úteis Digamos por exemplo que um contrato futuro de DI com vencimento daqui a 66 dias úteis esteja sendo negociado a 13 ao ano Qual a taxa equivalente paga por esse contrato até o seu vencimento Ou seja 13 ao ano é equivalente a 325 por 66 dias úteis ambas as taxas estão na base 252 dias Importante Quando falamos de taxas proporcionais já está subentendido que estamos no regime de capitalização simples Por outro lado quando falamos de taxas equivalentes estamos usando o regime de capitalização composta 7 As taxas proporcionais têm aplicação limitada no mercado financeiro brasileiro pois trabalhamos quase que tão somente com juros compostos O mesmo não se pode dizer das taxas equivalentes que têm larga aplicação Exercício de Fixação 3 Um investidor aplicou R 12700000 por 6 meses à taxa de 60 ao ano com juros compostos Faça o cálculo do valor a ser resgatado Podemos resolver a questão por meio do cálculo direto utilizando a fórmula Veja a seguir uma série de exemplos de conversibilidade de taxas de juros Taxa proporcional de juro simples Taxa Taxa equivalente de juro composto 8 12 Taxa Nominal x Taxa Efetiva O termo taxa nominal tem dois significados que são utilizados em situações totalmente diferentes Eles são a Primeiro conceito de taxa nominal É aquela expressa em uma unidade de tempo que não coincide com o período no qual os juros são capitalizados Exemplos 20 aa capitalizados semestralmente 10 aa capitalizados mensalmente 25 ad capitalizados trimestralmente b Segundo conceito de taxa nominal É aquela que descontada da taxa de inflação resulta na taxa real Comentário Nesse caso seria preferível utilizar o termo taxa aparente como muitos autores o fazem no lugar de chamála de taxa nominal para se evitar mal entendidos Porém o termo taxa nominal ainda é muito utilizado nesse contexto Trataremos sobre a taxa aparente ainda neste book Agora vamos focar no primeiro conceito de taxa nominal ou seja a taxa que está expressa num período de tempo diferente daquele no qual é capitalizada Para efeito de cálculo financeiro entretanto as taxas e os períodos de capitalização devem ser os mesmos Quando é apresentada uma taxa nominal é necessário convertêla em taxa efetiva para poder fazer os eventuais cálculos O conceito da taxa efetiva é o oposto da taxa nominal ou seja é a taxa que está expressa em uma unidade de tempo que coincide com o período no qual os juros são capitalizados Exemplos 10 aa capitalizados anualmente 25 ad capitalizados diariamente 121 Relação entre Taxa Nominal e Taxa Efetiva Para calcularmos de uma taxa nominal a taxa efetiva que será usada para capitalizar a operação usamos a proporcionalidade de taxas 9 mesma técnica usada para o cálculo de taxas proporcionais em juros simples descrita no início do book Onde IEP taxa efetiva no período de capitalização IN taxa nominal N número de períodos de capitalização contidos na unidade de tempo em que a taxa nominal é expressa De maneira geral para encontrarmos a taxa efetiva capitalizada no regime composto para um determinado período podemos escrever Onde IE taxa efetiva IN taxa nominal N número de períodos de capitalização contidos na unidade de tempo em que a taxa nominal é expressa Exercício de Fixação 4 Dada a taxa nominal de 15 ao ano capitalizada mensalmente qual é a taxa efetiva anual 10 Exercício de Fixação 5 A taxa de juros da poupança é de 6 ao ano nominal Qual é a sua taxa efetiva anual Exercício de Fixação 6 Admita que o custo do crédito pessoal do Banco A corresponda a uma taxa efetiva de 42 am Por outro lado o Banco B diz que está cobrando uma taxa nominal de somente 412 am 30 dias corridos Os juros da operação são calculados diariamente sobre o saldo devedor da conta corrente Qual é o melhor Banco para se ter conta corrente Os dois bancos são equivalentes 11 2 TAXAS REAIS X TAXAS APARENTES OU NOMINAIS A inflação é um dos componentes das taxas de juros praticadas no mercado Os conceitos de taxas reais e taxas aparentes estão ligados ao conceito de inflação As taxas aparentes que são também chamadas de taxas nominais de acordo com a segunda definição apresentada anteriormente neste book são aquelas praticadas pelo mercado Por exemplo digamos que um CDB com 1 ano de prazo tenha rendido 10 nesse período Essa é a taxa conhecida como aparente As taxas reais são as taxas aparentes depois do desconto da inflação Por exemplo digamos que no exemplo acima a inflação no período de 1 ano tenha sido de 5 A taxa real do CDB deve ser calculada utilizandose a fórmula de Fisher Fórmula Fischer Portanto a taxa real aquela que remunera o dinheiro já descontando o efeito da inflação foi nesse exemplo de 476 no período Exercício de Fixação 7 Sabese que a Taxa Selic está em 715 aa e que a inflação acumulada dos últimos 12 meses está em 635 Perguntase qual é a Taxa Real do investidor que aplica seu dinheiro à 100 da Taxa Selic 12 21 Cálculo de Inflação Acumulada Uma vez que já sabemos calcular a taxa real vejamos como calcular a inflação acumulada de um período Como exemplo usaremos o Sistema de Metas para Inflação usado pelo Banco Central O Banco Central do Brasil responsável por implementar a política monetária no país trabalha dentro do sistema de metas para inflação Nesse sistema o Banco Central é responsável por manter a inflação acumulada em 1 ano dentro de um intervalo estipulado Para medir a inflação o Banco Central utilizase do IPCA que é um índice de inflação calculado pelo IBGE No hipotético exemplo abaixo veja como podemos descobrir se o Banco Central conseguiu fazer com que a inflação tenha ficado dentro da meta a partir dos registros do IPCA para cada um dos 12 meses do ano Exemplo Meta para inflação no ano 45 Intervalo de tolerância 2 para cima ou para baixo da meta Mês IPCA Janeiro 05 Fevereiro 04 Março 03 Abril 05 Maio 07 Junho 04 Julho 02 Agosto 05 Setembro 03 Outubro 07 Novembro 09 Dezembro 10 Para calcularmos a inflação acumulada podemos usar a seguinte fórmula Onde Iacumulada é a inflação acumulada no período i1 in é a inflação mensal desde o mês 1 até o mês n 13 Aplicando a fórmula acima ao nosso exemplo obtemos a seguinte inflação anual iacumulada 1005x1004x1003x1005x1007x1004x0998 x0995x1003x1007x1009x101 1 x 100 iacumulada 51 Dessa maneira o Banco Central em nosso exemplo atingiu seu objetivo e conseguiu que a inflação anual ficasse dentro do intervalo de tolerância estipulado 22 Taxas Prefixadas e Pósfixadas As operações com taxas prefixadas são aquelas que desde o momento de sua realização estabelecem os valores de todos os fluxos financeiros dessa operação Exemplo Por exemplo em uma aplicação de R 10000000 a 20 ao ano pelo prazo de 1 ano Desde o momento inicial da aplicação o investidor já sabe que receberá R 12000000 no seu vencimento Quando a operação tem taxas pósfixadas o valor do fluxo financeiro da operação não é conhecido previamente Exemplo Por exemplo IGPM 10 ao ano Somente quando conhecermos a variação do IGPM saberemos o montante devido ou o valor a receber da aplicação embora a rentabilidade seja conhecida previamente IGPM 10 aa nesse exemplo Exercício de Fixação 8 Uma instituição financeira pretende entrar em um leilão de LTN Letra do Tesouro Nacional que representa um tipo de aplicação prefixada com prazo de 42 dias úteis desde que a taxa fique acima de 1250 aa Sabendo que o valor de face valor futuro da LTN é R 100000 perguntase qual deve ser o valor do Preço Unitário PU dessa aplicação para que a instituição realize o investimento 14 Exercício de Fixação 9 Suponha que uma LFT Letra Financeira do Tesouro foi emitida em 11220X1 com vencimento para 11220X3 e foi negociada em 11220X2 com uma taxa de 0265896 aa Sabese que a taxa Selic acumulada no período 11220X1 a 11220X2 foi de 18 Qual é o valor de negociação sabendo que o valor de face da aplicação é de R 100000 Valor de Face Atualizado Valor de Face 1Taxa Selic Valor atualizado 10001018 118000 Ou seja em 0112X2 o preço unitário da LFT já considerando a atualização do valor de face pela Selic do período seria de R 117687 Ou seja para que a instituição financeira realize o investimento o PU deverá ser menor do que R 980 56 uma vez que valores maiores do que 1250 aa produzirão um PU menor do que o valor encontrado 15 Dicas Sobre Taxas na HP 12C Dica 1 como calcular taxa equivalente Qual a taxa mensal equivalente a taxa anual de 12 Step Comando Explicações 1 f clx Limpa todos os registros da calculadora 2 1 CHS PV Armazena 1 como valor presente 3 12 i Armazena a taxa anual 4 1 n Armazena 1 ano que é o período da taxa anual 5 FV Retorna o valor presente capitalizado pela taxa anual de 12 em um ano 6 12 n Armazena 12 meses que é o período da taxa mensal que queremos encontrar 7 i Retorna a taxa mensal equivalente à taxa anual de 12 R 0948879 Dica 2 como calcular taxa equivalente Qual a taxa de juros diária equivalente a uma taxa de juros mensal de 5 considerar um mês comercial Step Comando Explicações 1 f clx Limpa todos os registros da calculadora 2 1 CHS PV Armazena 1 como valor presente 3 5 i Armazena a taxa mensal 4 1 n Armazena 1 mês que é o período da taxa mensal 5 FV Retorna o valor presente capitalizado pela taxa mensal de 5 em um mês 6 30 n Armazena 30 dias que é o período da taxa diária que queremos encontrar 7 i Retorna a taxa diária equivalente à taxa mensal de 3 R 0162766 Dica 3 passar da taxa nominal para efetiva Uma aplicação apresenta taxa nominal anual de 7 capitalizados mensalmente Qual a taxa efetiva anual Step Comando Explicações 1 f clx Limpa todos os registros da calculadora 2 7 ENTER Armazena a taxa nominal 3 12 Divide a taxa nominal para o período de capitalização mensal 4 i Armazena o resultado do step 3 como taxa de juros 5 1 CHS PV Armazena 1 como valor presente 6 12 n Armazena 12 meses para encontrar a taxa efetiva anual 7 FV Retorna o valor presente atualizado pela taxa efetiva anual 8 1 Retira o valor presente inicial utilizado 9 100 X Retorna a taxa efetiva anual da operação em R 72290 16 INDICAÇÃO DE LEITURA OBRIGATÓRIA VIEIRA SOBRINHO J D Matemática Financeira 8ª ed São Paulo Atlas 2018 Capítulo 7 FIPECAFI Todos os direitos reservados A FIPECAFI assegura a proteção das informações contidas nesse material pelas leis e normas que regulamentam os direitos autorais marcas registradas e patentes Todos os textos imagens sons vídeos eou aplicativos exibidos nesse volume são protegidos pelos direitos autorais não sendo permitidas modificações reproduções transmissões cópias distribuições ou quaisquer outras formas de utilização para fins comerciais ou educacionais sem o consentimento prévio e formal da FIPECAFI CRÉDITOS Autoria George Sales Coordenação de Operações Juliana Nascimento Design Instrucional Patricia Brasil Design Gráfico e Diagramação Dejailson Markes Captação e Produção de Mídias Erika Alves Gabriel Rodrigues Gabriel dos Santos e Mauricio Leme Revisão de Texto Patricia Brasil