Analise de Circuitos em Engenharia - Guia Completo e Codigo de Cores para Resistores

William H Hayt Jr Jack E Kemmerly Steven M Durbin Análise de Circuitos em Engenharia 8ª edição Clássico da área Análise de Cir de quem apresentou a milhar elétricos lineares do pon têm contato com os detalh por meio de abordagem pedagógica cuidado alunos são ainda orientado verificar cálculos a mão quan Destaques desta edição Mais de 1000 exercícios novo Uso de ícones para identificar p problemas de projeto com m análise com apoio de um computador Novos exemplos e problemas pr Tratamento ampliado de filtros ativ fi ltros Butterworth de múltiplos es Uso ampliado do MA Hayt Jr Kemmerly Durbin 8ª ed Análise de Circuito Engenharia Análise de Circuitos em Engenharia A Bookman Editora é um dos selos editoriais do Grupo A Educação empresa que oferece soluções em conteúdo tecnologia e serviços para a educação acadêmica e profissional O Grupo A Educação publica com exclusividade obras com o selo McGrawHill Education em língua portuguesa ENGENHARIA ELÉTRICA wwwgrupoacombr wwwgrupoacombr 0800 703 3444 O Código de Cores para Resistores Cor da faixa Preto Marrom Vermelho Laranja Amarelo Verde Azul Violeta Cinza Branco Valor Numérico 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1o número 2o número Faixa de tolerância pex ouro 5 prata 10 nenhum 20 Multiplicador 1 Escreva o valor numérico correspondente à primeira faixa à esquerda 2 Escreva o valor numérico correspondente à segunda faixa a partir da esquerda 3 Escreva o número de zeros indicados pela faixa multiplicadora que representa uma potência de 10 preto sem zeros adicionais marrom 1 zero etc Uma faixa multiplicadora dourada indica que a vírgula deve ser deslocada uma casa para a esquerda uma faixa multiplicadora prateada indica que a vírgula deve ser deslocada duas casas para a esquerda 4 A faixa de tolerância representa a precisão Então por exemplo não devemos nos surpreender ao encontrar um resistor de 100 W com 5 de tolerância que pode ter qualquer valor entre 95 e 105 Ω Exemplo Vermelho Vermelho Laranja Ouro 22000 ou 22 103 22 kΩ tolerância de 5 Azul Cinza Ouro 68 ou 68 101 68 Ω tolerância de 20 Valores Padrão de Resistores com 5 de Tolerância 10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 43 47 51 56 62 68 75 82 91 Ω 10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 43 47 51 56 62 68 75 82 91 Ω 100 110 120 130 150 160 180 200 220 240 270 300 330 360 390 430 470 510 560 620 680 750 820 910 Ω 10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 43 47 51 56 62 68 75 82 91 kΩ 10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 43 47 51 56 62 68 75 82 91 kΩ 100 110 120 130 150 160 180 200 220 240 270 300 330 360 390 430 470 510 560 620 680 750 820 910 kΩ 10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 43 47 51 56 62 68 75 82 91 MΩ TABELA 141 u Pares de Transformadas de Laplace ft 1 Fs Fs ft ft 1 Fs Fs ft δt 1 1 β αe αt e βtut 1 s αs β ut 1 s sen ωt ut ω s2 ω2 tut 1 s2 cos ωt ut s s2 ω2 tn 1 n 1ut n 1 2 1 sn senωt θut s senθ ωcos θ s2 ω2 e αtut 1 s α cosωt θut s cos θ ωsenθ s2 ω2 te αtut 1 s α2 e αt sen ωt ut ω s α2 ω2 tn 1 n 1e αtut n 1 2 1 s αn e αt cos ωt ut s α s α2 ω2 Frontsheetindd 2 7314 706 PM TABELA 61 u Resumo de Circuitos Básicos com AOPs Nome Diagrama esquemático Relação entradasaída Amplificador Inversor Rf R1 i i υent υsaída υsaída Rf R1 υent Amplificador Não Inversor Rf R1 υent υsaída υsaída 1 Rf R1 υent Seguidor de Tensão também conhecido como Amplificador de Ganho Unitário υent υsaída υsaída υent Amplificador Somador i υsaída R R RL R υ1 υa υb Rf i3 i2 i1 υ2 υ3 υsaída Rf R υ1 υ2 υ3 Amplificador de Diferença i υsaída R RL R R υ1 υa υb R i2 i1 υ2 υsaída υ2 υ1 H426a Hayt William H Análise de circuitos em engenharia recurso eletrônico William H Hayt Jr Jack E Kemmerly Steven M Durbin tradução Juan Paulo Robles Balestero Márcio Falcão Santos Barroso revisão técnica Antonio Pertence Júnior 8 ed Dados eletrônicos Porto Alegre AMGH 2014 Capítulo 19 está disponível online Editado também como livro impresso em 2014 ISBN 9788580553840 1 Engenharia elétrica 2 Circuitos elétricos I Kemmerly Jack E II Durboin Stevem M III Título CDU 62137 Catalogação na publicação Ana Paula M Magnus CRB 102052 Steven M Durbin University at Buffalo The State University of New York Jack E Kemmerly falecido California State University William H Hayt Jr falecido Purdue University Tradução Juan Paulo Robles Balestero Mestre em Engenharia Elétrica pela UNESP Professor do Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de São Paulo Márcio Falcão Santos Barroso Doutor em Engenharia Elétrica pela UFMG Professor da Universidade Federal de São João del Rei UFSJ Revisão técnica Antonio Pertence Júnior MSc Mestre em Engenharia pela Universidade Federal de Minas Gerais Engenheiro Eletrônico e de Telecomunicações pela PUC Minas Professor da Universidade FUMEC 2014 Versão impressa desta obra 2014 Obra originalmente publicada sob o título Engineering Circuit Analysis 8th Edition ISBN 0073529575 9780073529578 Original edition copyright 2012 The McGrawHill Global Education Holdings LLC New York New York 10020 All rights reserved Portuguese language translation copyright 2014 AMGH Editora Ltda a division of Grupo A Educação SA All rights reserved Gerente editorial Arysinha Jacques Affonso Colaboraram nesta edição Editoras Viviane Nepomuceno e Denise Weber Nowaczyk Capa Maurício Pamplona Imagem da capa Hon Fai Ng Thinkstock Leitura final Daniele DallOglio Stangler e Cristhian Matheus Herrera Editoração Casa de Ideias MATLAB é uma marca registrada de The MathWorks Inc PSpice é uma marca registrada de Cadence Design Systems Inc As fotografias listadas são cortesia de Steve Durbin pág 5 Figuras 222 a 224 ac 534 61 a 72 ac 711 ab 1315 1729 Reservados todos os direitos de publicação em língua portuguesa à AMGH Editora Ltda uma parceria entre GRUPO A EDUCAÇÃO S A e McGRAWHILL EDUCATION Av Jerônimo de Ornelas 670 90040340 Porto Alegre RS Fone 51 30277000 Fax 51 30277070 É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na Web e outros sem permissão expressa da Editora Unidade São Paulo Av Embaixador Macedo Soares 10735 Pavilhão 5 Cond Espace Center Vila Anastácio 05095035 São Paulo SP Fone 11 36651100 Fax 11 36671333 SAC 0800 7033444 wwwgrupoacombr IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL Para Sean e Kristi A melhor parte de cada dia Esta página foi deixada em branco intencionalmente Sobre os autores WILLIAM H HAYT Jr recebeu seus títulos de BS e MS da Purdue University e seu PhD da University of Illinois Após passar quatro anos na indústria ingressou na Purdue University onde foi professor e chefe da Escola de Engenharia Elétrica e como professor emérito após se aposentar em 1986 Além de Análise de Circuitos em Engenharia o professor Hayt escreveu três outros livros O Professor Hayt fazia parte das sociedades Eta Kappa Nu Tau Beta Pi Sigma Xi Sigma Delta Chi e era Fellow do IEEE da ASEE e da NAEB Enquanto esteve em Purdue ele recebeu muitos prêmios como professor incluindo o prêmio de melhor professor da univer sidade Ele também está listado no Purdues Book of Great Teachers um muro em exibição permanente localizado no Purdue Memorial Union desde 23 de abril de 1999 O muro contém os nomes do grupo inaugural de 225 membros da faculdade que no passado e no presente dedicaram suas vidas à excelência no ensino e na escolaridade Eles foram escolhidos por seus estudantes e colegas como os melhores educadores de Purdue JACK E KEMMERLY recebeu seu título de BS magna cum laude da The Catho lic University of America seu título de MS da University of Denver e seu PhD da Purdue University Iniciou lecionando na Universidade de Purdue e mais tarde trabalhou como engenheiro chefe na divisão de defesa da Ford Motor Company Ele então trabalhou na California State University Fullerton como professor chefe da Faculdade de Engenharia Elétrica chefe do Departamento de Engenharia e professor emérito O professor Kemmerly foi membro das sociedades profissionais Eta Kappa Nu Tau Beta Pi Sigma Xi ASEE e IEEE membro sênior Seus interesses fora da academia incluíam a participação na liga de baseball juvenil e atividades como chefe de escoteiros STEVEN M DURBIN recebeu os títulos de BS MS e PhD da Purdue Univer sity West Lafayete Indiana Posteriormente atuou no Departamento de Engenharia Elétrica da Florida State University e Florida AM University antes de ingressar na University of Canterbury Nova Zelândia em 2000 Desde agosto de 2010 ele trabalha na Universidade de Buffalo The State University of NewYork nos Depar tamentos de Engenharia Elétrica e Física Suas áreas de interesse em ensino incluem circuitos eletrônica eletromagnetismo eletrônica de estado sólido e nanotecnologia Suas área de interesse em pesquisa são primeiramente relacionadas ao desenvolvi mento de novos materiais semicondutores em especial aqueles à base de óxido de u Sobre os autores viii nitreto bem como novas estruturas de dispositivos optoeletrônicos Ele é um pesquisador fundador do MacDiarmid Institute for Advanced Materials and Nanotechnology um novo Centro Nacional de Excelência em pesquisa da Nova Zelândia e coautor de mais de 100 publicações técnicas É mem bro sênior do IEEE e membro da Eta Kappa Nu da Electron Devices Socie ty da Materials Research Society da AVS a antiga American Vacuum Society da American Physical Society e da Royal Society of New Zealand Prefácio xv 1 Introdução 1 2 Componentes Básicos e Circuitos Elétricos 9 3 Leis de Tensão e Corrente 39 4 Análise Nodal e Análise de Malha 77 5 Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 117 6 O Amplificador Operacional 167 7 Capacitores e Indutores 209 8 Circuitos Básicos RL e RC 253 9 O circuito RLC 313 10 Análise em Regime Permanente Senoidal 363 11 Análise de Potência em Circuitos CA 413 12 Circuitos Polifásicos 449 13 Circuitos Acoplados Magneticamente 485 14 Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 527 15 Análise de Circuitos no Domínio s 567 16 Resposta em Frequência 615 17 Quadripolos 683 18 Análise de Circuitos Usando Fourier 727 Apêndice 1 Uma introdução à topologia de rede 785 Apêndice 2 Solução de equações simultâneas 797 Apêndice 3 Uma Prova do Teorema de Thévenin 805 Apêndice 4 Um tutorial do PSpice 807 Apêndice 5 Números complexos 811 Apêndice 6 Um breve tutorial do Matlab 821 Apêndice 7 Teoremas Adicionais da Transformada de Laplace 827 Índice 833 Sumário resumido Esta página foi deixada em branco intencionalmente C A P Í T U L O 1 Introdução 1 11 Visão Geral do Texto 2 12 Relação entre a Análise de Circuitos e a Engenharia 4 13 Análise e Projeto 5 14 Análise Auxiliada por Computador 6 15 Estratégias Bemsucedidas na Solução de Problemas 7 LEITURA COMPLEMENTAR 8 C A P Í T U L O 2 Componentes Básicos e Circuitos Elétricos 9 21 Unidades e Escalas 9 22 Carga Corrente Tensão e Potência 11 23 Fontes de Tensão e Corrente 18 24 Lei de Ohm 23 RESUMO E REVISÃO 29 LEITURA COMPLEMENTAR 30 EXERCÍCIOS 30 C A P Í T U L O 3 Leis de Tensão e Corrente 39 31 Nós Caminhos Laços e Ramos 39 32 A Lei de Kirchhoff das Correntes 40 33 A Lei de Kirchhoff das Tensões 42 34 O Circuito com apenas um Laço 45 35 Circuito com apenas um Par de Nós 48 36 Fontes Conectadas em Série e em Paralelo 51 37 Resistores em Série e em Paralelo 54 38 Divisão de Tensão e Corrente 60 RESUMO E REVISÃO 65 LEITURA COMPLEMENTAR 66 EXERCÍCIOS 67 C A P Í T U L O 4 Análise Nodal e Análise de Malha 77 41 Análise Nodal 78 42 O Supernó 87 43 Análise de Malha 89 44 A Supermalha 95 45 Comparação entre Análise Nodal e Análise de Malha 98 46 Análise de Circuitos Auxiliada por Computador 100 RESUMO E REVISÃO 105 LEITURA COMPLEMENTAR 106 EXERCÍCIOS 106 C A P Í T U L O 5 Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 117 51 Linearidade e Superposição 117 52 Transformação de Fontes 127 53 Circuitos Equivalentes de Thévenin e Norton 135 54 Máxima Transferência de Potência 146 55 Conversão TriânguloEstrela 149 56 Selecionando uma Abordagem um Resumo de Várias Técnicas 151 RESUMO E REVISÃO 152 LEITURA COMPLEMENTAR 153 EXERCÍCIOS 154 Sumário u Sumário xii C A P Í T U L O 6 O Amplificador Operacional 167 61 Fundamentos 167 62 O AOP Ideal uma Introdução Cordial 168 63 Estágios em Cascata 176 64 Circuitos para Fontes de Tensão e Corrente 179 65 Considerações Práticas 184 66 Comparadores e o Amplificador de Instrumentação 196 RESUMO E REVISÃO 199 LEITURA COMPLEMENTAR 200 EXERCÍCIOS 201 C A P Í T U L O 7 Capacitores e Indutores 209 71 O Capacitor 209 72 O Indutor 217 73 Combinações de Indutâncias e Capacitâncias 227 74 Consequências da Linearidade 230 75 Circuitos AOP Simples com Capacitores 232 76 Dualidade 234 77 Modelando Capacitores e Indutores com o PSpice 237 RESUMO E REVISÃO 240 LEITURA COMPLEMENTAR 241 EXERCÍCIOS 242 C A P Í T U L O 8 Circuitos Básicos RL e RC 253 81 O Circuito RL sem Fontes 253 82 Propriedades da Resposta Exponencial 260 83 O Circuito RC sem Fontes 265 84 Uma Perspectiva Mais Geral 267 85 A Função Degrau Unitário 274 86 Circuitos RL com Fontes 278 87 Respostas Natural e Forçada 281 88 Circuitos RC com Fontes 287 89 Prevendo a Resposta de Circuitos Chaveados Sequencialmente 292 RESUMO E REVISÃO 299 LEITURA COMPLEMENTAR 301 EXERCÍCIOS 301 C A P Í T U L O 9 O circuito RLC 313 91 O Circuito Paralelo sem Fontes 313 92 O Circuito RLC Paralelo Sobreamortecido 318 93 Amortecimento Crítico 326 94 O Circuito RLC Paralelo Subamortecido 330 95 O Circuito RLC Série sem Fontes 338 96 A Resposta Completa do Circuito RLC 343 97 O Circuito LC sem Perdas 351 RESUMO E REVISÃO 353 LEITURA COMPLEMENTAR 355 EXERCÍCIOS 355 C A P Í T U L O 1 0 Análise em Regime Permanente Senoidal 363 101 Características das Senóides 363 102 Resposta Forçada a Funções Senoidais 366 103 A Função Forçante Complexa 370 104 O Fasor 375 105 Impedância e Admitância 381 106 Análises Nodal e de Malha 387 107 Superposição Transformação de Fontes e o Teorema de Thévenin 389 108 Diagramas Fasoriais 397 RESUMO E REVISÃO 401 LEITURA COMPLEMENTAR 402 EXERCÍCIOS 402 C A P Í T U L O 1 1 Análise de Potência em Circuitos CA 413 111 Potência Instantânea 414 112 Potência Média 416 113 Valores Eficazes de Tensão e Corrente 425 114 Potência Aparente e Fator de Potência 430 115 Potência Complexa 433 RESUMO E REVISÃO 439 LEITURA COMPLEMENTAR 440 EXERCÍCIOS 441 u Sumário xiii C A P Í T U L O 1 2 Circuitos Polifásicos 449 121 Sistemas Polifásicos 450 122 Sistemas Monofásicos a Três Fios 452 123 Conexão Trifásica YY 456 124 A Conexão em Triângulo 462 125 Medição de Potência em Sistemas Trifásicos 468 RESUMO E REVISÃO 476 LEITURA COMPLEMENTAR 478 EXERCÍCIOS 478 C A P Í T U L O 1 3 Circuitos Acoplados Magneticamente 485 131 Indutância Mútua 485 132 Considerações sobre Energia 493 133 O Transformador Linear 496 134 O Transformador Ideal 504 RESUMO E REVISÃO 515 LEITURA COMPLEMENTAR 516 EXERCÍCIOS 516 C A P Í T U L O 1 4 Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 527 141 Frequência Complexa 527 142 A Função Forçante Senoidal Amortecida 531 143 Definição da Transformada de Laplace 534 144 Transformada de Laplace de Funções Temporais Simples 537 145 Técnicas para Transformadas Inversas 540 146 Teoremas Básicos para a Transformada de Laplace 548 147 Os Teoremas do Valor Inicial e do Valor Final 556 RESUMO E REVISÃO 559 LEITURA COMPLEMENTAR 560 EXERCÍCIOS 560 C A P Í T U L O 1 5 Análise de Circuitos no Domínio s 567 151 Zs eYs 567 152 Análises Nodal e de Malha no Domínio s 573 153 Técnicas Adicionais de Análise de Circuitos 580 154 Polos Zeros e Funções de Transferência 583 155 Convolução 584 156 O Plano das Frequências Complexas 594 157 A Resposta Natural e o Plano s 598 158 Uma Técnica para Sintetizar a Razão Hs VsaídaVentrada 603 RESUMO E REVISÃO 606 LEITURA COMPLEMENTAR 607 EXERCÍCIOS 607 C A P Í T U L O 1 6 Resposta em Frequência 615 161 Ressonância Paralela 615 162 Largura de Faixa e Circuitos com Q Alto 624 163 Ressonância Série 630 164 Outras Formas Ressonantes 633 165 Mudança de Escala 640 166 Diagramas de Bode 644 167 Projeto de Filtros Básicos 659 168 Projeto de Filtros Avançados 668 RESUMO E REVISÃO 674 LEITURA COMPLEMENTAR 675 EXERCÍCIOS 676 C A P Í T U L O 1 7 Quadripolos 683 171 Bipolos 683 172 Parâmetros de Admitância 687 173 Algumas Redes Equivalentes 694 174 Parâmetros de Impedância 703 175 Parâmetros Híbridos 708 176 Parâmetros de Transmissão 711 RESUMO E REVISÃO 715 LEITURA COMPLEMENTAR 716 EXERCÍCIOS 717 C A P Í T U L O 1 8 Análise de Circuitos Usando Fourier 727 181 Forma Trigonométrica da Série de Fourier 727 182 O Uso da Simetria 737 183 Resposta Completa a Funções Forçantes Periódicas 741 u Sumário xiv 184 Forma Complexa da Série de Fourier 744 185 Definição da Transformada de Fourier 750 186 Algumas Propriedades da Transformada de Fourier 754 187 Pares da Transformada de Fourier para algumas Funções Temporais Simples 757 188 A Transformada de Fourier de uma Função Temporal Periódica Genérica 762 189 A Função de Sistema e a Resposta no Domínio da Frequência 763 1810 O Significado Físico da Função de Sistema 770 EPÍLOGO 774 RESUMO E REVISÃO 775 LEITURA COMPLEMENTAR 776 EXERCÍCIOS 777 APÊNDICE 1 Uma introdução à topologia de rede 785 APÊNDICE 2 Solução de equações simultâneas 797 APÊNDICE 3 Uma Prova do Teorema de Thévenin 805 APÊNDICE 4 Um tutorial do PSpice 807 APÊNDICE 5 Números complexos 811 APÊNDICE 6 Um breve tutorial do Matlab 821 APÊNDICE 7 Teoremas Adicionais da Transformada de Laplace 827 Índice 833 O públicoalvo é basicamente o que norteia o processo de elaboração de um livro sendo esse um fator importante nas decisões de pequeno e grande porte influenciando particularmente tanto o ritmo quanto o estilo geral de escrita Por isso é importante notar que os autores tomaram a decisão consciente de escrever este livro para o aluno e não para o professor Nossa filosofia de trabalho é que a leitura do livro seja agra dável apesar do nível de detalhes técnicos que o constitui Quando olhamos para trás em direção à primeira edição de Análise de Circuitos em Engenharia naturalmente se percebe que a obra foi desenvolvida especificamente para ser mais uma conversa do que um discurso maçante sobre um dado conjunto de temas fundamentais Para tornálo uma conversa direta com o leitor tivemos que trabalhar duro para atualizar o livro de modo que ele pudesse alcançar um grupo cada vez mais diversificado de estudantes que irão usálo em todo o mundo Embora em muitos programas de engenharia o curso introdutório de circuitos seja precedido ou acompanhado de um curso introdutório de física em que a eletri cidade e o magnetismo são introduzidos normalmente a partir de uma perspectiva de campos isso não é necessário neste livro Depois de terminar o curso muitos alunos encontramse verdadeiramente maravilhados visto que um amplo conjunto de ferramentas analíticas é obtido a partir de apenas três simples leis científicas a lei de Ohm e as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes Os seis primeiros capítulos apresentam apenas álgebra e equações simultâneas familiares os capítulos seguintes consideram que um primeiro curso de Cálculo envolvendo derivadas e integrais é utilizado juntamente com a teoria apresentada Além disso tentamos incorporar deta lhes suficientes para permitir que o livro possa ser lido de forma simples Então quais são as características fundamentais que levaram à concepção deste livro voltado para o aluno Primeiramente capítulos individuais são organizados em subseções relativamente curtas cada uma com um único tema principal A linguagem foi atualizada para ser informal e para a leitura fluir sem problemas A cor além de melhorar a estética da página destaca informações importantes Há também espa ço em branco para anotações curtas e perguntas Novos termos são definidos assim que são introduzidos de modo que exemplos são inseridos estrategicamente para demonstrar não somente os conceitos básicos mas também a abordagem da resolu ção de problemas Exercícios de fixação relevantes para os exemplos são colocados Prefácio u Prefácio xvi de forma próxima entre si para que os alunos possam experimentar as técnicas por si mesmos antes de tentar resolver os exercícios de final de capítulo Os exercícios apresentam uma ampla gama de dificuldades geralmente classificados dos mais simples aos mais complexos agrupados de acordo com a seção correspondente de cada capítulo Respostas para exercícios selecionados de final de capítulo estão disponíveis online no site wwwgrupoacombr Engenharia é um assunto intensivo para estudar e os estudantes encon tramse frequentemente confrontados com os prazos e as intensas cargas de trabalho Isso não significa que os livros didáticos devem ser formais e pomposos ou de outra forma que os cursos nunca devam conter qualquer elemento de diversão Na verdade resolver um problema com sucesso mui tas vezes é divertido e aprender a fazer isso pode ser divertido também A determinação da melhor forma de alcançar este objetivo dentro do contexto de um livro didático é um processo contínuo Os autores contaram com o retorno sempre muito sincero recebido de nossos próprios estudantes na Universidade de Purdue Universidade do Estado da Califórnia Fullerton Fort Lewis College em Durango no programa de engenharia conjunta na Universidade A M da Florida e Universidade do Estado da Florida a Universidade de Canterbury Nova Zelândia e da Universidade de Buffalo Também contamos com comentários correções e sugestões de professores e alunos em todo o mundo incluindo a uma nova fonte de observações postagens quase anônimas em vários sites na internet A primeira edição de Análise de Circuitos em Engenharia foi escrita por Bill Hayt e Jack Kemmerly dois professores de engenharia que gos tavam muito de ensinar interagindo com seus alunos e formando gera ções de futuros engenheiros Ele foi bem recebido devido à sua estrutura compacta ao ponto do estilo informal de escrita e organização lógica Não há timidez quando se trata de apresentar a teoria subjacente a um tema específico ou dar socos no desenvolvimento de expressões mate máticas Tudo porém foi cuidadosamente projetado no intuito de ajudar os alunos na sua aprendizagem apresentar assuntos de vanguarda de uma forma simples e deixar a exibição tradicional da teoria para outros livros Eles se dedicaram intensamente para escrever o livro e o seu entusiasmo é transmitido para o leitor PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DA OITAVA EDIÇÃO Tivemos muito cuidado para manter os principais recursos da sétima edi ção que nitidamente funcionaram bem Estes aspectos incluem o layout geral e a sequência de capítulos o estilo básico do texto e das ilustrações inúmeros exemplos resolvidos e exercícios de fixação relacionados e agrupamento de exercícios de final de capítulo de acordo com a seção Os transformadores continuam tendo o seu próprio capítulo e a frequência complexa é brevemente introduzida através de uma extensão da técnica fasorial de forma amigável para o estudante em vez de indiretamente limi tarse a indicar a transformada integral de Laplace Também se manteve o uso de ícones uma ideia introduzida na sexta edição u Prefácio xvii É um aviso para erros comuns Indica um ponto específico que vale a pena tomar nota Identifica um problema de projeto que pode possuir mais de uma única resposta Indica um problema que requer a análise auxiliada por computador O objetivo da introdução da análise e dos projetos por software orientados para a engenharia foi o de auxiliar mas não substituir o processo de aprendi zagem Consequentemente o ícone do computador indica problemas em que o aplicativo deve ser utilizado para verificar as respostas e não simplesmente fornecêlas Tanto o MATLAB quanto o PSpice são utilizados neste contexto MUDANÇAS ESPECÍFICAS PARA A OITAVA EDIÇÃO INCLUEM f Nova seção inserida no Capítulo 16 sobre a análise e projeto de filtros Butterworth de múltiplos estágios f Mais de 1000 exercícios novos e revisados nos finais de capítulo f Uma nova filosofia abrangente no que tange aos exercícios no final de cada capítulo cada seção contém problemas semelhantes àqueles solucionados nos exemplos resolvidos e exercícios de fixação antes de prosseguir para problemas mais complexos que visam testar as habilidades do leitor f Exercícios de Integração no final de cada capítulo agrupados por seção Para proporcionar a oportunidade de atribuir exercícios com menos ênfase em um método de solução explícita por exemplo análise de malha ou nodal bem como para dar uma perspectiva mais ampla sobre temas fundamentais um número seleto de Exercí cios de Integração aparecem ao final de cada capítulo f Capturas de tela atualizadas e descrições de textos de análise auxi liada por computador f Novos exemplos resolvidos e exercícios de fixação f Atualizações de características no tema Aplicação introduzidas para ajudar os alunos a relacionar o material de cada capítulo com con ceitos de engenharia mais amplos Os tópicos incluem distorção em amplificadores modelagem de sistemas de suspensão automotivos aspectos práticos de aterramento a relação de polos com a estabi lidade resistividade e o memristor que por vezes é chamado de o elemento perdido f Simplificação do texto especialmente nos exemplos resolvidos visando à obtenção de conclusões de modo mais rápido u Prefácio xviii f Respostas aos exercícios selecionados de final de capítulo estão disponíveis online no site wwwgrupoacombr Entrei para a equipe do livro em 1999 e infelizmente nunca tive a opor tunidade de falar com Bill ou Jack sobre o processo de revisão embora eu me considere sortudo por ter feito um curso de Circuitos Elétricos com Bill Hayt quando eu era estudante na Universidade de Purdue É um privilégio muito grande ser um coautor de Análise de Circuitos em Engenharia e ao trabalhar neste livro dou prioridade à sua filosofia e ao seu públicoalvo Agradeço muito as diversas pessoas que deram um retorno positivo ou negativo sobre aspectos diversos das edições anteriores e também convido outras pessoas a fazer o mesmo seja através dos editores McGrawHill do Ensino Superior ou de mim mesmo durbinieeeorg Naturalmente este projeto tem sido um esforço de equipe como é o caso de todos os livros didáticos modernos Em particular eu gostaria de agradecer a Raghu Srinivasan Editor Global Peter Massar Editor patrocinador Curt Reynolds Gerente de Marketing Jane Mohr Gerente de Projetos BrittneyCorriganMcElroy Gerente de Projetos Brenda Rolwes Desenhista Tammy Juran Gerente de Projetos de Mídia e mais importante à Editora de Desenvolvimento Darlene Schueller que me ajudou com muitos muitos detalhes edições prazos e questões Ela é absolutamente a melhor e eu sou muito grato por todo o apoio da equipe da McGrawHill Gostaria também de agradecer a vários representantes da Editora McGrawHill especialmente a Nazier Hassan que aparecia sempre no campus apenas para cumprimentar e perguntar como as coisas anda vam Agradecimentos especiais também são dirigidos a Catherine Shultz e Michael Hackett exeditores que continuam a manter contato Às empresas Cadence e The MathWorks por gentilmente prestarem assistência com os seus respectivos aplicativos de análise auxiliada por computador o que foi muito útil Vários colegas generosamente forneceram ou ajudaram de alguma forma com fotografias e detalhes técnicos aos quais eu sou muito grato Prof Masakazu Kobayashi da Universidade de Waseda Dr Wade Enright Prof Pat Bodger Prof Rick Millane Sr Gary Turner e Prof Richard Blaikie da Universidade de Canterbury e Prof Reginald Perry e Prof Jim Zheng da Universidade A M da Florida e da Universidade do Estado da Flórida Para a oitava edição as seguintes pessoas merecem reconhecimento e uma dívida de gratidão por terem dedicado seu tempo para analisar as várias versões do manuscrito Chong Koo An Universidade de Ulsan Mark S Andersland Universidade de Iowa Marc Cahay Universidade de Cincinnati Claudio Canizares Universidade de Waterloo Teerapon Dachokiatawan Universidade de Tecnologia do Norte Bangkok do Rei Mongkut John Durkin Universdade de Akron Lauren M Fuentes Colégio Durham Lalit Goel Universidade Tecnológica de Nanyang Rudy Hofer Faculdade Conestoga u Prefácio xix ITAL Mark Jerabek Universidade West Virginia Michael Kelley Universidade de Cornell Hua Lee Universidade da Califórnia Santa Barbara Georges Livanos Instituto de Tecnologia Faculdade Humber Ahmad Nafisi Universidade politécnica do estado da California Arnost Neugroschel Universidade da Flórida Pravin Patel Colégio Durham Jamie Phillips Universidade de Michigan Daryl Reynolds Universidade West Virginia GVKR Sastry Universidade Andhra Michael Scordilis Universidade de Miami Sun Yu Universidade de Toronto Canadá Chanchana Tangwongsan Universidade de Chulalongkorn Edward Wheeler Instituto de Tecnologia RoseHulman Xiaobang Xu Universidade de Clemson Tianyu Yang Universidade de EmbryRiddle Aeronautical Zivan Zabar Instituto Politécnico de NYU Eu também gostaria de agradecer a Susan Lord Universidade de San Diego Archie L Holmes Jr Universidade de Virgínia Arnost Neugroschel Universidade da Flórida e Michael Scordilis Universidade de Miami por sua assistência na precisa revisão das respostas para os exercícios selecio nados ao fim de cada capítulo Finalmente eu gostaria de agradecer brevemente a uma série de outras pessoas que contribuíram direta e indiretamente para a oitava edição Em primeiro lugar minha esposa Kristi e nosso filho Sean por sua paciência compreensão apoio distrações e conselhos úteis Durante todo o dia sem pre foi um prazer falar com amigos e colegas sobre o que deve ser ensinado como deve ser ensinado e como medir o aprendizado em particular Martin Allen Richard Blaikie Alex Cartwright Peter Cottrell Wade Enright Jeff Gray Mike Hayes Bill Kennedy Susan Lord Philippa Martin Theresa Mayer Chris McConville Reginald Perry Joan Redwing Roger Reeves Dick Schwartz Leonard Tung Jim Zheng e muitos outros que me fornece ram muitas informações úteis como o meu pai Jesse Durbin graduado em engenharia elétrica pelo Instituto de Tecnologia de Indiana Steven M Durbin Buffalo New York Esta página foi deixada em branco intencionalmente CONCEITOS FUNDAMENTAIS Circuitos Lineares versus Circuitos Não Lineares Quatro Principais Categorias de Análise de Circuitos Análise CC Análise Transitória Análise Senoidal Resposta em Frequência Análise de Circuitos Além dos Circuitos Análise e Projeto Uso de Software em Engenharia Uma Estratégia para a Solução de Problemas PREÂMBULO Embora existam campos de atuação bem definidos em engenharia de maneira geral os engenheiros compartilham uma considerável gama de conhecimentos áreas e habilidades De fato na prática em engenharia é possível trabalhar em muitas áreas diferentes mesmo fora de suas especialidades tradicionais uma vez que muitas de suas habilidades são transferíveis para outras áreas Atualmente os graduados em engenharia podem trabalhar em uma variedade de funções de projetar peças de maquinário e sistemas à solucionar problemas socioeconômicos como a poluição das águas e do ar planejamento urbano comunicação transporte público geração e distribuição de energia e conservação e uso eficiente de recursos naturais Partindo deste princípio a análise de circuitos tem sido utilizada tradicionalmente como uma introdução à arte de resolver problemas em uma perspectiva da enge nharia mesmo fora do contexto da engenharia elétrica E existem razões para isso A melhor delas é que no mundo atual é extremamente improvável que um engenheiro encontre um sistema que não utilize algum tipo de circuito elétrico À medida que os circuitos se tornam menores e requerem menor gasto de energia e por sua vez tais fontes de energia se tornam menores e mais baratas os circuitos elétricos estão cada vez mais em tudo o que utilizamos Em várias situações práticas fazse necessária uma equipe multidisciplinar para a solução de problemas em engenharia e conhecimento prévio de análise de circuitos pode ser um facilitador para agregar aos esforços da equipe melhorando além dos aspectos técnicos a comunicação entre seus membros Consequentemente este livro não é só sobre análise de circuitos sob o ponto de vista da engenharia mas é também um texto que pretende ajudar o leitor a desenvol ver habilidades básicas na solução de problemas em engenharia O leitor perceberá que os conceitos adquiridos e sua habilidade em resolver problemas podem ser tam bém utilizados em situações e sistemas de maior complexidade a partir da analogia que muitos desses sistemas apresentam com circuitos elétricos Porém antes que o leitor se debruce nesse novo universo é preciso que ele conheça os tópicos que encontrará no restante do texto fazendo uma breve pausa para compreender a dife rença entre análise e projeto e o envolvimento de ferramentas computacionais que auxiliam na análise de circuitos 1 Introdução Capítulo 1 u Introdução 2 11 VISÃO GERAL DO TEXTO O assunto fundamental deste texto é a análise de circuitos lineares o que pode induzir que alguns leitores perguntem Existe análise de circuitos não lineares Certamente Circuitos não lineares são encontrados em diversos dispositivos e sis temas no nosso dia a dia eles estão presentes na captura e decodificação dos sinais de nossas TVs e rádios nos milhões de cálculos por segundo de nossos micropro cessadores na conversão de voz em sinal elétrico para a transmissão em linhas de telefonia e em diversas outras funções que estão fora de nosso campo de visão No entanto seja no projeto no teste eou em sua implementação os circuitos não linea res necessitam de uma análise mais detalhada mas profunda e complexa O leitor mais uma vez é induzido a fazer a seguinte pergunta Por que estudar análise de circuitos lineares Essa é uma excelente pergunta É fato que não existem sistemas físicos incluindo os circuitos elétricos perfeitamente lineares No entanto para nossa sorte grande parte dos comportamentos apresentados por tais sistemas é razoavelmente linear em uma região limitada Que fique claro que os modelos lineares utilizados têm sua validade apenas naquela região Para ilustrar esse conceito considere a função f x e x p Os aparelhos de televisão incluem muitos circuitos não lineares Grande parte deles no entanto pode ser entendida e analisada com o auxílio de modelos lineares Sony Electronics Inc u Nem todos os engenheiros eletricistas e de telecomunicações fazem uso rotineiro da análise de circuitos mas utilizam frequentemente habilidades analíticas e de solução de problemas aprendidas no início de suas carreiras Em cursos de análise de circuitos é onde primeiro aprendem tais conceitos Solar Mirrors Corbis Skyline Getty ImagesPhotoLink Oil Rig Getty Images Dish Getty ImagesJ Luke PhotoLink Seção 11 u Visão geral do texto 3 Uma possível aproximação linear1 para essa função é f x 1 x Façamos então o teste A Tabela 11 mostra o valor de x de f x da aproximação 1 x e o erro relativo entre o valor real e o valor obtido pela aproximação Vejam que o erro relativo é menor do que 001 para valores de x entre 00001 e 001 Então para valores de x entre 00001 e 001 é vantajosa a utilização da aproximação uma vez que basta somar 1 ao valor de x o que é menos complexo do que calcular a exponencial Tabela 11 u Comparação entre o modelo linear de ex e o seu valor exato x fx 1 x Erro Relativo 00001 10001 10001 00000005 0001 10010 10010 000005 001 10101 10100 0005 01 11052 11000 05 10 27183 20000 26 Utilizando quatro algarismos significativos Erro Relativo 100e x 1 x e x Problemas lineares são inerentemente mais simples de resolver do que seus equivalentes não lineares Por essa razão procuramos sempre uma possível aproxi mação ou modelo linear para situações práticas Modelos lineares são mais fáceis de manipular e entender o que torna o seu projeto um processo mais simples Todos os circuitos que encontraremos nos próximos capítulos serão aproxima ções lineares de circuitos elétricos físicos Quando pertinente serão feitas breves discussões sobre os possíveis limites e imprecisões das aproximações utilizadas2 No Capítulo 2 será apresentada uma discussão detalhada dos elementos que constituem os circuitos lineares A análise de circuitos lineares pode ser separada em quatro grandes categorias 1 análise CC em que a fonte de energia não muda com o tempo 2 análise de transitório em que as coisas mudam rapidamente 3 análise senoidal quando são aplicados sinais eou fonte alternadas CA e 4 resposta em frequência que é a mais geral das quatro categorias assumindo geralmente que algo está mudando com o tempo Começaremos a nossa jornada pelos chamados circuitos resistivos nos quais incluímos exemplos simples como uma lanterna ou uma torradeira É uma oportunidade perfeita para aprender algumas técnicas poderosas para análise de circuitos como a análise nodal ou análise dos nós análise de malha superposi ção transformação de fontes teoremas de Thévenin e de Norton e alguns métodos de simplificação de redes de componentes quando ligados em série eou paralelo Um alento é que a variação do tempo não afeta as análises dos circuitos puramente resistivos Isso significa que só precisamos fazer a análise em um instante de tempo 1 N de T A função f x x 1 é uma função afim ou quase linear pois não atente ao princípio da superposição como será visto no decorrer do texto No entanto para o que se propõe o exemplo a sua classificação como linear não interfere no seu entendimento 2 N de T Quando grande precisão é requerida na prática modelos não lineares são empregados mas claro com o acréscimo considerável na complexidade de suas soluções Capítulo 1 u Introdução 4 específico e nada mais Como resultado focaremos os nossos esforços iniciais na análise CC partindo do princípio que os componentes são invariantes com o tempo Embora os circuitos CC como lanternas e o desembaçador do vidro traseiro do carro sejam importantes em nosso dia a dia as coisas se tornam muito mais interes santes quando estudamos circuitos que variam repentinamente Na linguagem utili zada em análise de circuitos nos referimos à análise transitória como um conjunto de técnicas usadas para estudar circuitos quando são energizados ou desenergizados repentinamente Para tornar os circuitos mais interessantes é necessário introduzir elementos de circuito que respondam às variações das grandezas elétricas de manei ra dinâmica Há um custo nesta introdução para explicar o comportamento de tais circuitos é necessário incorporar equações diferenciais aos modelos dos circuitos lineares Felizmente as equações diferenciais podem ser obtidas facilmente por meio das técnicas apresentadas na primeira parte deste livro Porém nem todos os circuitos apresentam a característica de variar com o tempo quando submetido às variações repentinas de sua fonte de energia Como exemplos podemos citar os condicionadores de ar ventiladores e lâmpadas fluorescentes De maneira geral as soluções baseadas no cálculo diferencial e integral são bastante tediosas e tem um gasto temporal considerável Para nossa sorte existe alternativa quando o que nos interessa é a análise de equipamentos que já passaram pelos efei tos transitórios Essa ferramenta é a análise CA análise senoidal ou simplesmente análise fasorial A parte final de nossa jornada termina com um assunto conhecido como resposta em frequência Uma maneira intuitiva de entendermos o funcionamento de circuitos que contêm elementos armazenadores de energia capacitores e indutores por exem plo é trabalharmos diretamente com as equações diferenciais obtidas por meio da análise no domínio do tempo No entanto como veremos mesmo em circuitos com um pequeno número de componentes a análise pode se tornar muito complexa e novas técnicas métodos devem ser levadas em conta Essas técnicas que incluem as transformadas de Laplace e Fourier permitem transformar equações diferenciais em equações algébricas e também projetar circuitos que respondam de maneira espe cífica a um conjunto particular de frequências Fazemos uso de circuitos dependentes da frequência todos os dias quando usamos o telefone selecionamos a nossa estação de rádio preferida ou nos conectamos à internet 12 RELAÇÃO ENTRE ANÁLISE DE CIRCUITOS E ENGENHARIA Os conceitos apresentados neste livro possuem vários desdobramentos Além da mecânica das técnicas de análise de circuitos podemos desenvolver uma abordagem metódica para a solução de problemas a habilidade de determinar os objetivos de um problema em particular a habilidade na coleta de informações necessárias para a solução efetiva de um problema e igualmente importante a oportunidade de verificar na prática a validade precisão de tais soluções Alunos familiarizados com o estudo de tópicos de outras engenharias como mecânica dos fluidos sistemas de suspensão automotiva projeto de pontes admi nistração da cadeia de suprimentos ou controle de processos reconhecerão a forma geral de muitas das equações desenvolvidas para descrever o comportamento de p Trens modernos são movidos por motores elétricos Seus sistemas elétricos são mais bem analisados usando as técnicas de análise CA ou fasorial Used with permission Image copyright 2010 M Kobayashi All rights reserved p Circuitos dependentes de frequência são o coração de muitos dispositivos eletrônicos e seu projeto pode ser muito interessante The McGrawHill Companies Inc 5 Seção 13 u Análise e projeto vários circuitos Precisamos apenas aprender como traduzir as variáveis relevan tes por exemplo substituindo tensão por força carga por distância resistência por coeficiente de atrito etc para descobrir que já sabemos trabalhar com um novo tipo de problema Frequentemente se temos experiência prévia na solução de problemas similares ou relacionados nossa intuição nos guiará na solução de um problema totalmente novo O que estamos prestes a aprender na análise de circuitos lineares forma a base de muitas matérias subsequentes em um curso de engenharia elétrica O estudo da ele trônica se baseia na análise de circuitos com dispositivos conhecidos como diodos e transistores que são usados para construir fontes de alimentação amplificadores e circuitos digitais As habilidades que desenvolveremos são aplicadas geralmente de maneira rápida e metódica pelos engenheiros eletrônicos que às vezes podem anali sar um circuito complicado sem mesmo pegar em um lápis Os capítulos deste livro referentes ao domínio do tempo e ao domínio da frequência conduzem diretamente a discussões sobre processamento de sinais transmissão de energia teoria de controle e comunicações Achamos que as análises no domínio da frequência em particular são uma técnica extremamente poderosa facilmente aplicada a sistemas submetidos à excitação variante no tempo e bastante útil para o projeto de filtros 13 ANÁLISE E PROJETO Engenheiros adquirem um entendimento básico dos princípios físicos os combi nam com conhecimento prático de maneira geral expresso em termos matemá ticos e frequentemente com considerável criatividade encontram uma solução para um determinado problema Análise é o processo por meio do qual determi namos o escopo de um problema obtemos as informações necessárias para o seu entendimento e estimamos os parâmetros de interesse Projeto é o processo pelo qual sintetizamos algo novo como parte da solução de um problema De modo geral há a expectativa de que não exista apenas uma solução para os problemas que necessitem de um projeto diferentemente do que ocorre na etapa de análise Assim o último passo do projeto é sempre a análise do resultado para ver se ele atende às especificações t Instalação utilizada para realizar crescimento epitaxial por feixe molecular em cristais As equações que governam sua operação assemelhamse muito àquelas usadas para descrever circuitos lineares simples p Exemplo de um braço robótico O sistema de controle em realimentação pode ser modelado usando elementos de circuitos lineares para determinar situações nas quais a operação pode ser tornar instável NASA Marshall Space Flight Center Capítulo 1 u Introdução 6 Este texto é focado no desenvolvimento da habilidade de analisar e resolver pro blemas porque este é o ponto de partida em todas as situações práticas em engenharia A filosofia adotada neste livro assume que são necessárias explicações claras exem plos bem formulados e muita prática para que possamos desenvolver tais habilidades Portanto elementos de projeto são integrados aos problemas de final de capítulo e aos capítulos finais para serem melhor aproveitados sem que desviem a atenção do leitor 14 ANÁLISE AUXILIADA POR COMPUTADOR A solução de determinadas equações resultantes da análise de circuitos pode ser muito complicada mesmo em circuitos de complexidade moderada Isso é claro introduz uma probabilidade crescente de se cometer erros além de um tempo con siderável para a execução dos cálculos O desejo de encontrar uma ferramenta que ajudasse nesse processo é anterior aos computadores eletrônicos com computadores puramente mecânicos como a Máquina Analítica desenvolvida por Charles Babba ge em 1880 proposta como uma possível solução Talvez o primeiro computador eletrônico projetado com sucesso para solucionar equações diferenciais tenha sido o ENIAC na década de 1940 cujas válvulas ocupavam uma sala inteira No entanto com o advento de computadores pessoais de baixo custo a análise de circuitos auxi liada por computador se transformou em uma ferramenta valiosa do dia a dia sendo parte integral não somente da análise mas também do projeto Um dos aspectos mais poderosos do projeto auxiliado por computador é a inte gração relativamente recente de múltiplos programas de maneira transparente ao usuário Isso permite que o circuito seja desenhado esquematicamente na tela redu zido automaticamente ao formato requerido por um programa de análise como o SPICE que será introduzido no Capítulo 4 e em seguida que os resultados sejam convenientemente transferidos para um terceiro programa capaz de apresentar gra ficamente as várias grandezas elétricas de interesse descrevendo o comportamento do circuito Assim que o engenheiro estiver satisfeito com o desempenho simulado p Dois projetos propostos para a próxima geração de ônibus espaciais Embora ambos contenham elementos similares cada um apresenta características únicas NASA Dryden Flight Research Center u Máquina Diferencial Número 2 de Charles Babbage restaurada pelo Science Museum Londres em 1991 Science MuseumScience Society Picture Library 7 Seção 15 u Estratégias bemsucedidas na solução de problemas do projeto o mesmo programa pode gerar o layout da placa de circuito impresso usando parâmetros geométricos de sua biblioteca de componentes Esse nível de integração está aumentando continuamente e logo chegará ao ponto em que o enge nheiro poderá traçar um diagrama esquemático clicar em alguns botões e apanhar do outro lado da mesa uma versão fabricada do circuito pronta para ser testada No entanto o leitor deve ficar atento a um detalhe os software de análise de circuitos embora agradáveis de usar não substituem de forma alguma uma boa aná lise à moda antiga à base de papel e lápis Precisamos ter um sólido conhecimento sobre como os circuitos funcionam para que possamos desenvolver a habilidade para projetálos Restringir nossas ações ao simples uso de um determinado programa de computador é quase o mesmo que jogar na loteria considerando erros cometidos pelo usuário parâmetrospadrão ocultos em uma variedade de opções de menus e ocasio nais limitações presentes em códigos escritos por seres humanos É muito importante ter ao menos uma ideia aproximada de qual seria o comportamento esperado do circuito analisado Assim se o resultado da simulação não estiver de acordo com o esperado será possível encontrar o erro o quanto antes e não tarde demais Mesmo assim a análise auxiliada por computador é uma ferramenta poderosa Ela nos permite variar parâmetros avaliar a mudança no desempenho do circuito e considerar diferentes possibilidades ao longo da realização de um projeto de maneira simples O resultado é uma redução de tarefas repetitivas e maior tempo disponível para se concentrar em detalhes de engenharia 15 ESTRATÉGIAS BEMSUCEDIDAS NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS Como o leitor pode ter percebido este livro é tanto sobre solução de problemas quanto análise de circuitos A expectativa é que durante o curso de engenharia você aprenda como resolver problemas ou seja no momento essa habilidade ainda não p Circuito amplificador desenhado em um software comercial de captura de diagramas esquemáticos Capítulo 1 u Introdução 8 está totalmente desenvolvida Ao avançar no curso você irá adquirir técnicas que vão lhe ajudar e que continuarão a fazêlo mesmo no seu trabalho como engenheiro Nesse estágio então passaremos algum tempo discutindo pontos básicos O primeiro ponto é que de longe a maior dificuldade encontrada por estudantes de engenharia é não saber como começar um problema Tal conhecimento se adqui re com a experiência O melhor conselho que podemos dar é adotar uma abordagem metódica começando com a leitura lenta e cuidadosa do problema mais de uma vez se necessário Já que a experiência normalmente nos fornece alguma ideia de como lidar com um problema específico exemplos resolvidos aparecem ao longo do livro Em vez de apenas lêlos no entanto pode ser útil contar com a ajuda de um lápis e um pedaço de papel para trabalhálos Depois de ler completamente um problema e sentir que temos experiência sufi ciente o próximo passo é identificar os objetivos do problema possivelmente cal cular a tensão ou a potência ou selecionar o valor de um componente Saber onde queremos chegar é de grande ajuda O próximo passo é coletar todas as informações de que precisamos e organizálas de alguma maneira Neste momento ainda não estamos prontos para pegar a calculadora Primeiro é melhor elaborarmos um plano talvez baseado na experiência ou simplesmente em nossa intuição Às vezes planos funcionam às vezes não Iniciando nosso plano é hora de construirmos o conjunto inicial de equações Se as equações estiverem completas poderemos resolver o problema Se não precisamos ou incorporar mais informação ou modificar nosso planejamento ou ambos Mesmo que tenhamos uma solução que pareça aplicável ao problema não devemos parar mesmo cansados e necessitando de uma pausa Nenhum problema de engenharia está resolvido a menos que a solução seja testada de alguma maneira Podemos fazer os testes por meio de simulações computacionais ou resolvendo o problema de maneiras diferentes ou até mesmo estimando qual res posta seria aceitável Uma vez que nem todo mundo gosta de ler para aprender esses passos estão resu midos no fluxograma ao lado Ele apresenta apenas uma estratégia para a solução de problemas e o leitor deve se sentir livre para modificálo se necessário A verdadeira chave no entanto é tentar e aprender em um ambiente relaxado com baixo nível de estresse e sem distrações A experiência é a melhor professora e aprender com os nos sos erros faz parte do caminho para nos tornarmos engenheiros hábeis LEITURA COMPLEMENTAR Este livro relativamente barato e muito vendido ensina ao leitor como desenvolver estratégias bemsucedidas para enfrentar problemas aparentemente insolúveis G Polya How to Solve It Princeton NJ Princeton University Press 1971 Ler o enunciado do problema devagar e com cuidado Identifique o objetivo do problema Reúna as informações conhecidas Trace um plano Determine se são necessárias informações adicionais Verifique a solução Ela é razoável ou esperada Fim Sim Não Sim Não Construa um conjunto a propriado de equações Tente uma solução CONCEITOS FUNDAMENTAIS Grandezas Elétricas Básicas e Unidades Associadas Carga Corrente Tensão e Potência Direção da Corrente e Polaridade da Tensão Convenção do Sinal Passivo para Cálculo de Potência Fontes Ideais de Corrente e Tensão Fontes Dependentes Resistência e Lei de Ohm INTRODUÇÃO Na análise de circuitos estamos sempre procurando algum valor de corrente tensão ou potência específico Então neste momento é importante fazermos uma breve des crição dessas grandezas Em termos de componentes que podemos usar para a cons trução de circuitos elétricos não temos muitas alternativas Focaremos inicialmente nos resistores um componente passivo simples e uma série de fontes ativas ideais de tensão e corrente Conforme avançarmos novos componentes serão adicionados tornando os circuitos mais complexos e úteis Um rápido conselho antes de começarmos preste bastante atenção para a regra dos sinais de e utilizadas para identificar as fontes de tensão e também no significado das setas na definição das correntes Essas informações geralmente fazem a diferença no acerto das respostas 21 UNIDADES E ESCALAS Para definir o valor de uma grandeza mensurável devemos fornecer um número e uma unidade de medida como por exemplo 3 metros Para nossa sorte usamos o mesmo sistema de numeração No entanto isso não ocorre quando nos referimos às unidades de medida Sendo assim precisamos definir um padrão de unidades que seja largamente aceito no meio de engenharia e que seja permanente A unidade padrão de comprimento por exemplo não pode ser definida como a distância entre duas mar cas em uma fita de borracha isso não é permanente e também permitiria que várias pessoas usassem padrões diferentes O sistema de unidades mais frequentemente utilizado é o adotado pelo National Bureau of Standards localizado na França desde 1964 ele é usado pela maior parte das sociedades de engenheiros profissionais e é a linguagem em que a maioria dos livrostexto é escrita atualmente Esse sistema denominado Sistema Internacional de Unidades abreviado como SI em todas as línguas foi adotado pela Conferência Geral de Pesos e Medidas em 1960 Modificado diversas vezes o SI é composto de sete uni dades básicas o metro o quilograma o segundo o ampère o kelvin o mole e a candela ver Tabela 21 Esse é o sistema métrico geralmente utilizado na maioria dos países embora ainda não seja muito difundido nos Estados Unidos Unidades de outras gran dezas como volume força energia etc são derivadas dessas sete unidades básicas Componentes Básicos 2 e Circuitos Elétricos 10 Capítulo 2 u Componentes Básicos e Circuitos Elétricos Tabela 21 u Unidades de Base do SI Grandeza base Nome Símbolo comprimento metro M massa quilograma Kg tempo segundo S corrente elétrica ampère A temperatura termodinâmica kelvin K quantidade de matéria mole mol intensidade luminosa candela cd A unidade fundamental de trabalho e energia é o joule J Um joule 1 kg m2 s2 no sistema SI é equivalente a 07376 péslibras força ft lbf Outra unidade de energia incluída é a caloria cal igual a 4187 J a unidade térmica britânica Btu1 equivalente a 1055 J e o quilowatthora kWh equivalente a 36 106 J Potência é definida como a razão pela qual o trabalho é feito ou a energia é dissipada A unidade fundamental de potência é o watt W definido como 1 Js Um watt é equivalente a 07376 ft lbfs ou equivalentemente 17457 hp horsepower O SI usa o sistema decimal para relacionar os múltiplos e submúltiplos das unidades básicas e são adicionados prefixos para representar as várias potências de 10 A lista de prefixos e seus símbolos pode ser vista na Tabela 22 os prefixos mais utilizados em engenharia aparecem com fundo branco Tabela 22 u Prefixos do SI Fator Nome Símbolo Fator Nome Símbolo 1024 yocto y 1024 yotta Y 1021 zepto z 1021 zetta Z 1018 atto a 1018 exa E 1015 femto f 1015 peta P 1012 pico p 1012 tera T 109 nano n 109 giga G 106 micro µ 106 mega M 103 mili m 103 quilo k 102 centi c 102 hecto h 101 deci d 101 deca da Esses prefixos são dignos de memorização uma vez que frequentemente aparecem neste e em outros textos técnicos Combinações de vários prefixos como por exemplo milimicrossegundos são inaceitáveis É 1 N de T Do inglês British thermal unit A caloria usada para alimentos bebidas e exercícios físicos é na realidade a quilocaloria igual a 4187 kJ Existem inconsistências em relação ao uso letras maiúsculas para unidades de medida que são nomeadas em homenagem a uma personalidade Neste livro adotaremos a convenção12 mais contemporânea em que as unidades são escritas em letras minúsculas por exemplo watt e joule mas abreviadas com letras maiúsculas por exemplo W e J 1 H Barrell Nature 220 1968 p 651 2 V N Krutikov T K Kanishcheva S A Kononogov L K Isaev e N I Khanov Measurement Techniques 51 2008 p 1045 11 Seção 22 u Carga corrente tensão e potência interessante notar que é mais comum encontrar o termo mícron µm do que micrômetro na medida de distância e em geral o uso do angstrom Å para designar 1010 metros Também na análise de circuitos e na engenharia em geral é muito comum vermos números expressos de uma forma específica denominada unidades de engenharia Nessa notação de engenharia as unidades são representadas por números entre 1 e 999 e uma unidade métrica apropriada usando uma potência divisível por 3 Assim por exemplo é preferível expressar a grandeza 0048 W como 48 mW em vez de 48 cW 48 102 W ou 48000 µW u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 21 Um laser de fluoreto de criptônio emite luz a um comprimento de onda de 248 nm Isso é o mesmo que a 00248 mm b 248 µm c 0248 µm d 248 Å 22 Uma porta lógica de um protótipo de circuito integrado é capaz de chave ar do estado ligado on para o estado desligado off em 12 ps Isso corresponde a a 12 ns b 120 ns c 1200 ns d 12000 ns 23 Uma lâmpada incandescente comum utilizada para leitura tem uma potência de 60 W Se ela permanecer ligada constantemente qual é a energia consumida por dia e qual é o custo semanal se a energia é tarifada em R 030 por quilowatthora Respostas 21 c 22 d 23 518 MJ R 302 22 CARGA CORRENTE TENSÃO E POTÊNCIA Carga Um dos conceitos mais fundamentais na análise de circuitos é o da con servação das cargas Sabemos da física básica que existem dois tipos de cargas positivas correspondentes aos prótons e as negativas correspon dentes aos elétrons Em sua maior parte este texto foca em circuitos em que apenas o fluxo de elétrons é relevante Existem muitos dispositivos como baterias diodos e transistores nos quais o movimento das cargas positivas é importante para entender suas operações internas mas conside rando a parte externa nos concentraremos nos elétrons que fluem por seus terminais conectados Embora ao utilizar um circuito elétrico continua mente transferimos carga entre partes diferente de um circuito não somos capazes de mudar a quantidade total de carga Em outras palavras não somos capazes de criar ou destruir elétrons prótons quando utilizamos um circuito2 A carga em movimento representa uma corrente No sistema SI a unidade fundamental de carga é o coulomb C Essa unidade pode ser definida em termos do ampère pela contagem da carga total que passa por uma seção transversal arbitrária de um condutor durante o intervalo de um segundo um coulomb é medido a cada segundo em um fio conduzindo uma corrente de 1 ampère Figura 21 Neste sistema de 2 Embora a presença de fumaça às vezes possa sugerir o contrário Como se vê na Tabela 21 as unidades básicas do SI não são derivadas de grandezas físicas fundamentais Ao invés disso elas representam medidas estabelecidas historicamente que levam a definições aparentemente regressivas Por exemplo fisicamente faria mais sentido definir o ampère com base na carga eletrônica p FIGURA 21 Definição de corrente ilustrada usando uma corrente fluindo através de um fio 1 ampère corresponde a 1 coulomb de carga atravessando uma seção transversal arbitrariamente escolhida em um intervalo de 1 segundo Seção transversal Direção do movimento das cargas Cargas individuais 12 Capítulo 2 u Componentes Básicos e Circuitos Elétricos unidades um único elétron tem a carga de 1602 1019 C e um único próton tem a carga de 1602 1019 C Uma quantidade de carga que não varia com o tempo é representada por Q A quantidade instantânea de carga que pode ou não variar com o tempo é representada por qt ou simplesmente q Essa convenção será utilizada em todo o livro letras maiúsculas são reservadas para quantidades constantes invariantes no tempo enquanto letras minúsculas serão utili zadas para os casos gerais Então uma quantidade constante de carga pode ser representada por Q ou q mas uma quantidade de carga que varia com o tempo deve ser representada por q Corrente A ideia de transferência de carga ou carga em movimento é de vital importância para nosso estudo de circuitos elétricos porque ao movi mentar cargas de um lugar para outro também transferimos potência de um ponto para outro Uma linha de transmissão de energia é um exemplo prático de um dispositivo que transfere energia De igual importância é a possibilidade de variar a taxa em que a carga é transferida de forma a estabelecer comunicação ou transmitir informação Esse processo é a base dos sistemas de comunicação como rádio televisão e telemetria A corrente presente em um caminho discreto como um fio metálico tem um valor numérico e uma direção associados a ela a corrente é a medida da taxa de cargas em movimento que passam por um determina do ponto em uma direção específica Uma vez especificada a direção de referência podemos dizer que qt é a carga total que passou por um ponto de referência arbitrário no tempo t 0 movendose na direção especificada A contribuição dessa carga total será negativa se a carga negativa se movimentar na direção de referência ou se a carga positiva estiver se movendo na direção contrária à definida Como um exemplo a Figura 22 mostra um histórico da carga total qt que passou por um dado ponto de referência em um condutor como aquele mostrado na Figura 21 Definimos a corrente que flui em um dado ponto em uma direção específica como a taxa instantânea com a qual a carga positiva resultante atravessa aquele ponto na direção especificada Infelizmente esta definição histórica se tornou popular antes que se verificasse que a corrente nos con dutores é causada na verdade pelo movimento de cargas negativas e não positivas A corrente é simbolizada por I ou i e também i dq dt qt qt0 dq t t0 i dt qt t t0 i dt qt0 1 A unidade de corrente é o ampère A em homenagem ao físico francês A M Ampère sendo comumente abreviado como amp de modo não ofi cial e informal Um ampère é igual a um coulomb por segundo Usando a Equação 1 calculamos a corrente instantânea e obtivemos a Figura 23 A letra minúscula i é usada novamente para denominar valor instantâneo a letra maiúscula I denota um valor constante isto é invariante no tempo FIGURA 23 A corrente instantânea i dqdt em que q é dada na Figura 22 05 1 15 15 1 05 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 it A ts FIGURA 22 Gráfico do valor instantâneo da carga total qt que passou por um dado ponto de referência a partir do instante t 0 3 2 1 0 6 5 4 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 qt C ts 13 Seção 22 u Carga corrente tensão e potência A carga transferida entre o tempo t0 e t pode ser expressa como uma integral definida i dq dt qt qt0 dq t t0 i dt qt t t0 i dt qt0 A carga total transferida durante todo o tempo é dado por i dq dt qt qt0 dq t t0 i dt qt t t0 i dt qt0 2 Tipos diferentes de correntes são mostrados na Figura 24 A corrente constante no tempo é denominada corrente direta ou simplesmente corrente CC e é mostrada na Figura 24a Acharemos vários exemplos práticos de correntes que variam senoidalmente no tempo Figura 24b correntes desse tipo estão presentes normalmente em circuitos domésticos Essa corrente é geralmente denominada corrente alternada ou CA Correntes exponenciais e correntes senoidais amortecidas Figura 24c e d também serão mencionadas mais tarde Criamos uma representação gráfica símbolo para uma corrente colo cando uma seta perto do condutor Assim na Figura 25a a direção da seta e o valor 3 A indicam que uma carga positiva de 3 Cs está se movendo para a direita ou que uma carga negativa de 3 Cs está se movendo para a esquerda a cada segundo Na Figura 25b também existem duas possibilida des de análise 3 A está se movimentando para a esquerda ou 3 A está se movendo para a direita Todas as quatro afirmações e ambas figuras repre sentam correntes com efeitos elétricos equivalentes então podemos dizer que elas são iguais Uma analogia não elétrica pode ser usada para facilitar o entendimento um depósito bancário pode ser visto como fluxo de caixa positivo entrando na conta ou um fluxo de caixa negativo saindo da conta É conveniente imaginarmos a corrente como o movimento de cargas positivas mesmo sabendo que o fluxo de corrente em um condutor metálico resulta do movimento de elétrons Em gases ionizados em soluções eletro líticas e em alguns materiais semicondutores no entanto parte ou o total da corrente é constituído de cargas positivas em movimento Sendo assim as definições de corrente podem coincidir com a natureza física do processo em apenas algumas situações Portanto é importante levar em conta que as definições e simbologia que adotamos são padrões É essencial compreendermos que as setas na corrente não indicam a dire ção real do fluxo de corrente mas são apenas uma convenção que nos permi te mencionar de forma inequívoca a corrente no condutor A seta é uma parte fundamental da definição da corrente Portanto falar do valor de uma corrente i1t sem especificar a seta é discutir uma entidade indefinida Por exemplo a Figura 26a e b são representações sem sentido de i1t enquanto a Figura 26c é uma representação correta e completa para a corrente FIGURA 26 a b Definições incompletas impróprias e incorretas de uma corrente c A definição completa e correta de i1t i1t i1t a b i1t i1t c i t d t i c i t b i t a i t d t i c i t b i t a FIGURA 24 Vários tipos de corrente a Corrente contínua CC b Corrente senoidal CA c Corrente exponencial e d Corrente senoidal amortecida FIGURA 25 Dois métodos de representar a mesma corrente 3 A b 3 A a 3 A b 3 A a 14 Capítulo 2 u Componentes Básicos e Circuitos Elétricos u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 24 No condutor da Figura 27 elétrons estão se movendo da esquerda para a direita para criar uma corrente de 1 mA Determine I1 e I2 Respostas I1 1 mA e I2 1 mA Tensão Devemos começar a nos referir aos elementos de circuito de forma mais geral Dispositivos elétricos como fusíveis lâmpadas de filamento resisto res baterias capacitores geradores e bobinas de ignição podem ser repre sentados pela combinação de elementos de circuito simples De forma mais genérica podemos definir um elemento de circuito como um objeto sem forma que possui dois terminais que podem ser utilizados para se conectar a outros elementos de circuito como mostra a Figura 28 Então podemos dizer que existem dois caminhos para a corrente entrar ou sair de um dispositivo Nas discussões seguintes definiremos elementos particulares de circuitos descrevendo as características que podemos obser var em seus terminais Na Figura 28 observaremos um elemento de circuito genérico em que podemos supor que uma corrente CC está entrando no terminal A e saindo pelo terminal B Assumirmos também que para empurrar uma carga atra vés do elemento será necessário despender energia Podemos dizer então que uma tensão elétrica ou uma diferença de potencial existe entre os dois terminais ou que existe uma tensão no elemento Então a tensão entre um par de terminais de um elemento é a medida do trabalho requerido para mover uma carga através do mesmo A unidade de tensão é o volt3 e 1 V é definido como 1 JC A tensão é representada por V ou υ Uma tensão pode existir entre um par de terminais elétricos mesmo que não haja fluxo de corrente entre eles Uma bateria automotiva por exemplo tem uma tensão de 12 V entre seus terminais mesmo sem elementos de circuito ligados a seus terminais De acordo com o princípio da conservação de energia a energia que é despendida para fazer a carga fluir no elemento de circuito deve aparecer em algum outro lugar Mais tarde quando formos examinar elementos específicos de circuitos veremos que a energia ou é armazenada de forma a permanecer diretamente disponível como energia elétrica ou então se transforma de maneira irreversível em calor energia acústica ou alguma outra forma de energia não elétrica Vamos estabelecer agora uma convenção pela qual distinguiremos a energia fornecida para um elemento e a energia que é fornecida pelo próprio elemento Faremos isso escolhendo o sinal para tensão do terminal A com relação ao terminal B Se uma corrente positiva está entrando no terminal A de um elemento e uma fonte externa é responsável pelo gasto 3 Tivemos muita sorte por não ser utilizado o nome completo do cientista italiano do século XVIII Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta para a unidade de diferença de potencial I2 I1 FIGURA 27 FIGURA 28 Um elemento de circuito genérico com dois terminais A B 15 Seção 22 u Carga corrente tensão e potência de energia para estabelecer essa corrente então o terminal A é positivo em relação ao terminal B Alternativamente podemos dizer que o terminal B é negativo em relação ao terminal A O sentido da tensão é indicado pelo par de sinais algébricos mais menos Na Figura 29a por exemplo o sinal colocado no terminal A indica que a tensão é v volts positivos neste terminal em relação ao termi nal B Se mais tarde acharmos uma tensão v com o valor numérico 5 V poderemos então dizer que A é 5 V positivo em relação a B ou que B é 5 V positivo em relação a A Outros casos são mostrados nas Figuras 29b c e d Assim como notamos em nossa definição de corrente é essencial que percebamos que o par de sinais algébricos de maismenos não indica a pola ridade efetiva da tensão mas é simplesmente uma maneira convencional que nos permite dizer de maneira inequívoca a tensão entre um par de terminais A definição de uma tensão deve incluir o par de sinais mais menos Usar uma grandeza υ1t sem especificar sua polaridade é usar um terminal indefinido As Figuras 210a e b não servem como definição de υ1t enquanto a Figura 210c serve u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 25 Para o elemento na Figura 211 υ1 17 V Determine υ2 υ2 υ1 FIGURA 211 Respostas υ2 17 V Potência Já definimos potência e vamos representála por P ou p Se um joule de energia é despendido na transferência de uma carga de um coulomb através de um dispositivo em um segundo então a razão da energia transferida é de um watt A potência consumida deve ser proporcional ao número de coulombs transferidos por segundo corrente e à energia necessária para transferir um coulomb através do elemento tensão Então p υi 3 No que diz respeito às dimensões o lado direito da Equação 3 é o produto de joules por coulomb e coulombs por segundo o que produz a dimensão esperada de joules por secundo ou watts As convenções para corrente tensão e potência podem ser vistas na Figura 212 Agora temos uma expressão para a potência absorvida por um elemento de circuito em termos de uma tensão sobre e uma corrente através dele A tensão foi definida em termos de consumo de energia e a potência é a razão na qual a energia é consumida No entanto nada pode ser dito a respeito da energia transferida nos quatro casos mostrados na Figura 29 por exemplo FIGURA 29 a b O terminal B está 5 V positivo em relação ao terminal A c d o terminal A está 5 V positivo em relação ao terminal B A υ 5 V B d A υ 5 V B c A υ 5 V B a A υ 5 V B b FIGURA 212 A potência absorvida pelo elemento é dada pelo produto p υi Alternativamente podemos dizer que o elemento gera ou fornece uma potência de υi υ i FIGURA 210 a b Definições inadequadas de tensão c Uma definição correta inclui tanto um símbolo para a variável quanto um par de sinais mais menos υ1t c b υ1t a 16 Capítulo 2 u Componentes Básicos e Circuitos Elétricos antes que a direção da corrente seja especificada Imaginemos que a seta de corrente esteja posicionada junto ao terminal A de cada um dos elementos ilustrados apontando para a direita e marcada como 2 A Primeiro vamos considerar o caso mostrado na Figura 210c O terminal A está 5 V positivo em relação ao terminal B o que significa que são necessários 5 J de energia para injetar cada coulomb de carga positiva no terminal A mover essa carga ao longo do objeto e retirála pelo terminal B Como estamos injetando 2 A uma corrente de 2 coulombs de carga positiva por segundo no terminal A estamos realizando um trabalho de 5 JC 2 Cs 10 J por segundo no objeto Em outras palavras o objeto está absorvendo 10 W de potência do dispositivo que está injetando a corrente Sabemos de uma discussão anterior que não há diferenças entre as Figura 29c e d então esperamos que o objeto ilustrado na Figura 29d também absorva 10 W Podemos verificar isso facilmente estamos inje tando 2 A no terminal A do objeto então 2 A saem pelo terminal B Em outras palavras estamos injetando 2 A de corrente no terminal B São necessários 5 JC para mover carga do terminal B para o terminal A então o objeto está absorvendo 5 JC 2 Cs 10 W como esperado A única dificuldade em descrever esse caso em particular é manter o sinal de menos mas com um pouco de cuidado vemos que a resposta correta pode ser obtida indiferente de nossa escolha de qual terminal é o positivo termi nal A na Figura 29c e terminal B na Figura 29d Agora vamos olhar para a situação ilustrada na Figura 29a Novamente com 2 A injetados no terminal A Como são necessários 5 JC para mover carga do terminal A para o terminal B o objeto absorve 5 JC 2 Cs 10 W O que isso significa Como é possível alguma coisa absorver potência negativa Se pensarmos em termos da transferência de energia 10 J são transferidos para o objeto a cada segundo quando 2 A de corrente estão fluindo no terminal A O objeto está na verdade perdendo energia com uma taxa de 10 Js Em outras palavras são fornecidos 10 Js ou 10 W para outro objeto qualquer não mostrado na figura Então potência negativa absorvida é o mesmo que potência positiva fornecida Vamos recapitular A Figura 212 mostra que se um terminal de um elemento é v volts positivo em relação a outro terminal e se uma corrente i está entrando no elemento por meio daquele terminal então a potência p υi está sendo absorvida pelo elemento é também correto dizermos que a potência p υi está sendo entregue ao elemento Quando a seta da corrente está apontando para o terminal marcado com o sinal de mais então estamos satisfazendo a convenção de sinal passivo Essa convenção deve ser estudada com cuidado entendida e memorizada Em outras palavras ela diz que se a seta da corrente e os sinais de polaridade da tensão são colocados de maneira tal que a corrente entre no terminal do elemento marcado com o sinal positi vo então a potência absorvida pelo elemento pode ser expressa pelo produto das variáveis de corrente e tensão especificadas Se o valor numérico do produto for negativo então dizemos que o elemento está absorvendo potência negativa ou que na realidade está gerando potência e fornecendoa pra algum elemento externo Por exemplo na Figura 212 com υ 5 V e i 4 A tanto faz dizer que o elemento está absorvendo 20 W ou gerando 20 W Se a seta da corrente aponta para o terminal de um elemento marcado com então p vi resulta em uma potência absorvida Um valor negativo indica que a potência na realidade está sendo gerada pelo elemento Se a seta da corrente aponta para fora do terminal de um elemento marcado com então p υi resulta em uma potência fornecida Um valor negativo neste caso indica que a potência está sendo absorvida 17 Seção 22 u Carga corrente tensão e potência As convenções só são necessárias quando há mais de uma maneira de se fazer alguma coisa o que pode resultar em erros de interpretação quando dois grupos diferentes tentam se comunicar Por exemplo é um tanto arbitrário colocar sempre o norte na parte superior do mapa na verdade as agulhas das bússolas não apontam para cima Imagine a confusão que enfrentarí amos se tivéssemos que falar com uma pessoa que escolheu secretamente a convenção oposta colocando o sul na parte superior de seus mapas Da mesma maneira por uma convenção geral sempre se desenha as setas de corrente apontadas para o terminal positivo de tensão independentemente de o elemento fornecer ou absorver potência Essa convenção não está incorreta mas às vezes resulta em correntes não intuitivas marcadas em diagramas de circuitos A razão para isso é que simplesmente nos parece mais natural pen sar em uma corrente positiva saindo de uma fonte de tensão ou correte que fornece potência positiva para um ou mais elementos de circuito Calcular a potência absorvida por cada objeto mostrado na Figura 213 c 5 A 4 V b 3 A 2 V a 3 A 2 V FIGURA 213 abc Três exemplos de elementos com dois terminais Na Figura 213a podemos ver que a corrente de referência é definida de forma consistente com a convenção de sinal passivo que assume que o elemento esteja absorvendo potência Com 3 A entrando no terminal de referência positivo calculamos P 2 V3 A 6 W de potência absorvida pelo elemento A Figura 213b mostra um quadro ligeiramente diferente Agora temos uma corrente de 3 A entrando no terminal de referência positivo No entanto a tensão da forma como está definida é negativa Isso nos dá uma potência absorvida P 2 V3 A 6 W Assim vemos que os dois casos são na realidade equivalente uma corrente de 3 A entrando no terminal superior é o mesmo que uma corrente de 3 A saindo do terminal inferior ou de forma equivalente uma corrente de 3 A entrando no terminal inferior Em relação à figura 213c aplicamos novamente as regras da convenção de sinal passivo e calculamos a potência absorvida P 4 V5 A 20 W Como calculamos uma potência absorvida negativa isto nos diz que o ele mento na Figura 213c está na realidade fornecendo 20 W isto é ele é uma fonte de energia u EXEMPLO 21 18 Capítulo 2 u Componentes Básicos e Circuitos Elétricos u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 26 Calcule a potência absorvida pelo elemento de circuito mostrado na Figura 214a 32 A 8e 100t V c 38 V 175 A b 220 mV 4 A a FIGURA 214 27 Calcule a potência gerada pelo elemento de circuito na Figura 214b 28 Calcule a potência fornecida ao elemento de circuito na Figura 214c em t 5 ms Respostas 1012 W 665 W e 1553 W 23 FONTES DE TENSÃO E CORRENTE Usando os conceitos de corrente e tensão é possível neste instante ser mos mais específicos ao definirmos um elemento de circuito No entanto é importante que saibamos diferenciar o dispositivo físico de seu modelo matemático que é usado para analisar o seu comportamento em um circuito O modelo é apenas uma aproximação como já vimos Vamos combinar que a expressão elemento de circuito será usada para se referir ao modelo matemático e não ao dispositivo físico em si A esco lha por um modelo em particular para um dispositivo real deve ser feito a partir de dados experimentais ou por meio da experiência do profissional envolvido na escolha iremos assumir que as escolhas já foram feitas Para simplificar iremos considerar inicialmente que os componentes de circui tos serão representados por modelos simples Todos os elementos simples de circuito que iremos considerar serão classificados de acordo com a relação entre as correntes que fluem no e pela corrente sobre o elemento Por exemplo se a tensão sobre o elemento é linearmente proporcional à corrente que flui por ele iremos chamar esse elemento de um resistor Outro tipo de elementos simples de circuitos têm as tensões sobre os seus terminais proporcionais à derivada da corrente em relação ao tempo um indutor ou proporcional à integral da corrente em relação ao tempo um capacitor Existem também elementos em que a tensão é completamente independente da corrente ou a corrente é comple tamente independente da tensão Esses elementos são chamados de fontes independentes Além disso precisaremos definir tipos especiais de fontes nas quais a tensão ou a corrente fornecida dependem de correntes ou ten sões geradas em outras partes de circuitos Essas fontes são chamadas de fontes dependentes As fontes dependentes são muito utilizadas na eletrôni ca para modelar o comportamento CC e CA de transistores especialmente em circuitos amplificadores Por definição um elemento de circuito simples é o modelo matemático de um dispositivo elétrico de dois terminais que pode ser completamente caracterizado por sua relação tensãocorrente ele não pode ser subdividido em outros dispositivos de dois terminais 19 Seção 23 u Fontes de tensão e corrente Fontes Independentes de Tensão O primeiro elemento que consideraremos é a fonte de tensão independente O símbolo utilizado nos circuitos é mostrado na Figura 215a o subscrito s indica meramente que se trata de uma fonte de tensão s no caso se refere à palavra inglesa source que significa fonte embora comum não é necessária Uma fonte independente de tensão é caracterizada pela tensão em seus terminais que é completamente independente da corrente que a per corre Então se dissermos que temos uma fonte de tensão independente de 12 V então estamos assumindo que temos sempre essa tensão disponível independente da corrente que está fluindo pelo circuito Uma fonte de tensão independente é uma fonte ideal e não representa exatamente um dispositivo físico real porque uma fonte ideal deveria entregar uma quantidade infinita de energia em seus terminais No entanto essa fonte idealizada tornase uma aproximação razoável para muitas fontes de tensão práticas Por exemplo uma bateria automotiva de 12 V apresenta tensão essencialmente constante desde que a corrente não exceda alguns ampères Uma pequena corrente pode fluir em qualquer direção através da bateria Se a corrente for positiva e estiver saindo do terminal positivo então a bateria está fornecendo potência aos faróis por exemplo se a cor rente for positiva e estiver entrando no terminal marcado como positivo então a bateria está sendo carregada ou seja absorvendo energia do alter nador4 Uma tomada elétrica doméstica também se aproxima de uma fonte de tensão independente fornecendo uma tensão de υs 1152 cos 2π60t V Essa representação é válida para correntes menores do que 20 A Um ponto que merece ser repetido aqui é que o sinal positivo presente no terminal superior do símbolo de uma fonte independente de tensão como mos trado na Figura 215a não significa necessariamente que o terminal superior é numericamente positivo em relação ao terminal inferior Em vez disso isso sig nifica que o terminal positivo é υs volts positivo em relação ao terminal inferior Se em um dado instante υs for negativo então o terminal superior é atualmente negativo em relação ao terminal inferior naquele instante Considere a seta da corrente rotulada i colocada adjacente ao terminal superior do condutor da fonte ilustrada na Figura 215b A corrente i está entrando no terminal com o sinal positivo satisfazendo a convenção do sinal passivo significando que a fonte está absorvendo a potência p υsi Frequen temente esperamos que uma fonte de tensão forneça potência para uma rede e não que a absorva Consequentemente devemos trocar a direção da seta como na Figura 215c significando então que a grandeza υsi irá representar que a fonte que estará entregando potência à rede Tecnicamente qualquer direção para a seta pode ser escolhida Mas sempre que possível adotaremos a convenção mostrada na Figura 215c para as fontes de tensões e corrente deste texto pois não são em geral considerados elementos passivos Uma fonte de tensão independente com tensão constante em seus termi nais é chamada de fonte independente de tensão CC e pode ser representada como mostrada nas Figuras 216a e b Note que na Figura 216b é utilizada 4 Ou da bateria do carro de um amigo caso você tenha esquecido os faróis ligados Você pode ter notado que as luzes de sua casa enfraquecem quando o ar condicionado é ligado Isso ocorre porque a repentina demanda de uma corrente de valor elevado leva a uma queda de tensão temporária Depois que o motor do compressor atinge a rotação normal a demanda de corrente é reduzida a tensão retorna ao seu valor original e as tomadas de sua casa voltam a se comportar como fontes de tensão aproximadamente ideais FIGURA 215 Símbolos de circuitos utilizados para representar a fonte de tensão independente υs a b υs i c υs i 20 Capítulo 2 u Componentes Básicos e Circuitos Elétricos uma representação física que lembra as placas de uma bateria em que a placa maior simboliza o terminal positivo e a placa menor o terminal nega tivo Neste caso a utilização do sinal de mais e menos se torna redundante embora geralmente sejam utilizados Para completar a informação o sím bolo de uma fonte independente de tensão CA é mostrada na Figura 216c Fontes Independentes de Corrente Outra fonte ideal de que necessitaremos é a fonte independente de corrente Aqui a corrente através do elemento é completamente independente da ten são sobre ele O símbolo para uma fonte independente de corrente é mostrada na Figura 217 Se iS é constante chamaremos a mesma de fonte de corrente CC Uma fonte de tensão CA é geralmente desenhada acrescentando um til através da seta similar à fonte de tensão CA mostrada na Figura 216c Assim como as fontes independentes de tensão as fontes independentes de corrente são no melhor dos casos uma aproximação razoável para o elemento físico Teoricamente ela pode fornecer potência infinita em seus terminais por produzir a mesma corrente finita independente da tensão apli cada não importando o quão grande seja a tensão Ela é no entanto uma boa aproximação para muitas fontes reais particularmente em circuitos eletrônicos Embora muitos estudantes pareçam satisfeitos com a ideia de uma fonte independente de tensão manter uma tensão fixa enquanto fornece um valor qualquer de corrente é um engano muito frequente visualizar uma fonte de corrente independente tendo tensão nula em seus terminais enquanto forne ce uma corrente fixa Na realidade não conhecemos a priori a tensão nos terminais de uma fonte de corrente uma vez que isso depende inteiramente do circuito ao qual ela está conectada Fontes Dependentes Os dois tipos de fontes ideais que discutimos até agora são chamados de fontes independentes porque os valores fornecidos não são afetados sob quaisquer circunstâncias pelas atividades realizadas no restante do circuito Em contraste com essas fontes as fontes dependentes ou controladas são aquelas em que as grandezas fornecidas são determinadas por tensões e cor rentes existentes em outra parte do sistema que está sendo analisado Fontes como estas aparecem em modelos elétricos equivalentes para diversos dis positivos eletrônicos como os transistores amplificadores operacionais e circuitos integrados Para distinguirmos entre as fontes dependentes e inde pendentes introduzimos o símbolo no formato de diamante ou losango como mostrado na Figura 218 Na Figura 218a e c K é uma constante adimensional Na Figura 218b g é um fator de escala com unidade AV na Figura 218d r é um fator de escala com unidade VA A corrente de controle ix e a tensão de controle vx devem ser definidas no circuito Parece estranho a princípio uma fonte de corrente cujo valor dependa de uma tensão ou uma fonte de tensão que seja controlada pela corrente fluindo FIGURA 217 Símbolo de circuito para a fonte de corrente independente is Vs a b V υs c FIGURA 216 a Símbolo da fonte de tensão CC b símbolo da bateria c símbolo da fonte de tensão CA FIGURA 218 Os quatro diferentes tipos de fontes dependentes a fonte de corrente controlada por corrente b fonte de corrente controlada por tensão c fonte de tensão controlada por tensão d fonte de tensão controlada por corrente Kix a gυx b Kυx c rix d Kix a gυx b Kυx c rix d 21 Seção 23 u Fontes de tensão e corrente FIGURA 219 a Exemplo de um circuito contendo uma fonte de tensão controlada por tensão b A informação adicional fornecida foi incluída no diagrama υ L υ 2 5υ 2 a υ L υ 2 3 V 5υ2 b em algum outro elemento Mesmo uma fonte de tensão dependente da tensão em um ponto remoto do circuito pode parecer estranha No entanto essas fontes são inestimáveis para se modelar sistemas complexos tornando as análises algébricas mais simples Exemplos incluem a corrente de dreno de um transistor de efeito de campo em função da tensão de porta ou a tensão de saída de um circuito integrado analógico como função da tensão diferencial da entrada Quando fontes dependentes estão presentes na análise de um cir cuito devemos escrever as equações que descrevem totalmente o controle da mesma forma que faríamos se só tivessem fontes independentes No entanto isso frequentemente exigirá que equações adicionais sejam consideradas para complementar a análise a menos que a tensão ou corrente de controle já sejam uma das incógnitas especificadas no sistema de equações No circuito mostrado na Figura 219a se υ2 for conhecido e igual a 3 V calcule υL Temos disponível o diagrama de um circuito parcialmente identificado e a informação adicional de que υ2 3 V É bom incluirmos esta informação no nosso diagrama conforme ilustrado na Figura 219b Em seguida voltamos a examinar as informações coletadas Examinando o diagrama do circuito notamos que a tensão υL que desejamos conhecer é igual à tensão que aparece nos terminais da fonte dependente Assim υL 5v2 Neste caso nosso problema estará resolvido se conhecermos apenas υ2 Voltando ao nosso diagrama vemos que na verdade já conhecemos a tensão υ2 que foi especificada como 3 V Escrevemos então υ2 3 V Temos agora duas equações com duas incógnitas Resolvendoas encontra mos υL 15 V A importante lição que aprendemos neste estágio inicial do jogo é que o tempo que gastamos para identificar completamente o diagrama de um circuito é sempre um bom investimento Como passo final devemos voltar e verificar nosso trabalho para garantir que o resultado esteja correto u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 29 Ache a potência absorvida em cada elemento do circuito apresentado na Figura 220 025υx υx 8 A 2 A 5 A 20 V 8 V 20 V 8 V 7 A 12 V Respostas Da esquerda para a direita 56 W 16 W 60 W 160 W 60 W u EXEMPLO 22 FIGURA 220 22 Capítulo 2 u Componentes Básicos e Circuitos Elétricos Fontes dependentes ou independentes de tensão ou corrente são elemen tos ativos uma vez que são capazes de entregar potência para um dispositivo externo Por enquanto podemos pensar que um elemento passivo é aquele que é apenas capaz de receber potência No entanto mais tarde veremos que elementos passivos são capazes de armazenar uma quantidade finita de ener gia e depois devolvêla para vários dispositivos externos Por isso no futuro teremos que aperfeiçoar um pouco mais nossas duas definições Redes e Circuitos A interconexão de dois ou mais elementos simples de circuito formam uma rede elétrica Se a rede contiver pelo menos um caminho fechado ela tam bém será considerada um circuito elétrico Nota Todo circuito é uma rede mas nem todas as redes são circuitos ver Figura 221 FIGURA 221 a Uma rede que não é um circuito b Uma rede que é um circuito a υs b υs Uma rede que contem pelo menos um elemento ativo como uma fonte independente de corrente ou tensão é uma rede ativa Uma rede que não contem elementos ativos é uma rede passiva Temos agora definidos o que entendemos pelo o termo elemento de circuito e apresentamos as definições de alguns elementos de circuitos espe cíficos assim como fontes dependentes e independentes de tensão e corrente Em todo o restante deste livro apenas iremos definir cinco elementos de circuito adicionais o resistor indutor capacitor transformadores e o amplifi cador operacional ideal AOP como é geralmente abreviado Todos esses elementos serão considerados ideais Eles são importantes porque podemos combinálos dentro de redes e circuitos que representam dispositivos reais com a precisão que desejarmos Então o transistor mostrado na Figura 222a e b pode ser modelado pelos terminais de tensão vgs e uma fonte de tensão dependente como mostrado na Figura 222c Note que a fonte de corrente dependente produz uma corrente que depende de uma tensão em outro lugar no circuito O parâmetro gm comumente chamado de transcondutância é calculado usando detalhes específicos do transistor e também o ponto de operação determinado pelo circuito conectado ao dispositivo Ele geralmente corresponde a um valor pequeno talvez da ordem de 102 a 10 AV Este 23 Seção 24 u Lei de Ohm modelo funciona muito bem desde que a frequência de qualquer fonte senoi dal não seja muito alta nem muito baixa De forma a levar em conta efeitos dependentes da frequência o modelo pode ser modificado com a inclusão de elementos de circuito ideais como resistores e capacitores FIGURA 222 O Transistor de Efeito de Campo MetalÓxidoSemicondutor MOSFET Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor a Um transistor de potência MOSFET IRF540 de canal n em um encapsulamento TO220 com especificação de 100 V e 22 A b vista da seção transversal de um MOSFET básico R Jaeger Microeletronic Design McGrawHill 1997 c modelo do circuito equivalente para uso em análise de circuitos CA a L n n D G S Metal ou polissilício Dióxido de silício SiO2 W B b υgs c g s d s gmυgs Substrato tipo p corpo Região do dreno Região da fonte Região do canal Transistores similares mas muito menores são utilizados em circuitos integrados que podem ser menores do que um quadrado de 2 mm 2 mm com uma espessura de 200 µm que podem conter ainda milhares de outros elementos de circuitos como resistores e capacitores Assim podemos ter um dispositivo físico que possui aproximadamente o tamanho de uma letra desta página mas que requer um modelo composto por dez mil elementos ideais de circuito Usamos o conceito de modelagem de circuitos em mui tos tópicos de engenharia elétrica apresentados em outros cursos incluindo eletrônica conversão de energia e antenas 24 LEI DE OHM Até este momento foram introduzidas as fontes dependentes e independen te de tensão e corrente e alertamos que as mesmas são elementos ativos ide alizados que são apenas aproximações dos dispositivos reais encontrados nos circuitos Estamos prontos agora para conhecermos outro elemento idealizado chamado resistor linear O resistor é o mais simples elemento passivo Começaremos nossas discussões considerando o trabalho do obs curo físico alemão Georg Simon Ohm que publicou um panfleto em 1827 em que ele descrevia os resultados de um dos primeiros esforços para medir corrente e tensão e descrever as relações matemáticas existentes entre as duas grandezas Um dos resultados mais importantes foi a formulação da relação fundamental que conhecemos como lei de Ohm embora saibamos hoje que resultado semelhante fora descoberto 46 anos antes pelo brilhante e recluso físico inglês Henry Cavendish A lei de Ohm diz que a tensão sobre um material condutor é diretamente proporcional à corrente que flui sobre o material ou v Ri 4 24 Capítulo 2 u Componentes Básicos e Circuitos Elétricos em que a constante de proporcionalidade R é chamada de resistência A unidade de resistência é o ohm equivalente a 1 VA e é representada pela letra grega ômega maiúsculo Ω Quando a Equação 4 é traçada em um gráfico i v o gráfico resultante é uma reta que passa na origem como mostra a Figura 223 A Equação 4 é linear e por isso consideraremos o resistor como um resistor linear Resistência é geralmente considerada uma grandeza positiva embora resis tências negativas possam ser simuladas em circuitos especiais Novamente é importante enfatizarmos que o resistor linear é um ele mento de circuito idealizado Ele é apenas um modelo matemático de um dispositivo físico real Resistores podem ser facilmente comprados ou produzidos no entanto rapidamente descobriremos que as relações de ten são e corrente só serão constantes em certo intervalo de corrente tensão e potência e que também existem fatores ambientais como temperatura por exemplo que influenciam diretamente esta relação Geralmente chamamos um resistor linear simplesmente de resistor Resistores não lineares serão assim denominados quando necessário No entanto resistores não linea res não devem ser necessariamente considerados elementos indesejáveis Embora seja verdade que sua presença torne a análise do circuito mais complicada o desempenho de um dispositivo pode depender ou ser muito melhorado em função dessa característica não linear Por exemplo fusíveis de proteção contra sobrecorrente e diodos Zener usados na regulação de tensão são por natureza elementos não lineares um fato que é explorado quando são utilizados no projeto de circuitos Absorção de Potência A Figura 224 mostra alguns tipos de resistores assim como o símbolo de circuito mais usado para representar um resistor De acordo com as con venções já adotadas para a corrente tensão e potência o produto v e i nos fornece a potência absorvida pelo resistor Ou seja υ e i são selecionados para satisfazerem a convenção do sinal passivo A absorção de potência FIGURA 223 Relação correntetensão para um resistor linear de 2 Ω Note que a inclinação da linha equivale a 05 AV ou 500 m Ω1 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 V volts I ampères p FIGURA 224 a Vários resistores comuns b Um resistor de potência com resistência de 560 Ω capaz de dissipar até 50 W c Um resistor de 10 teraohms 10000000000000 Ω com 5 de tolerância fabricado pela Ohmcraft d Símbolo de circuitos para o resistor aplicável a todos os dispositivos de a até c a c d i R υ b 25 Seção 24 u Lei de Ohm aparece fisicamente por meio do seu aquecimento ou pela emissão de luz e é sempre positiva Um resistor positivo é um elemento passivo que não pode entregar potência ou armazenar energia Expressões alternativas para a absorção de potência são p υi i2R υ2 R 5 Um dos autores que prefere não ser identificado teve a infeliz experi ência de ligar inadvertidamente um resistor de carbono de 100 Ω e potência de 2 W a uma fonte de 110 V A fumaça o fogo e a fragmentação que se sucederam foram bastante desconcertantes demonstrando que a capacidade de um resistor de verdade se comportar como seu modelo linear ideal tem limites definidos Neste caso foi exigido que o infeliz resistor absorvesse 121 W Como ele foi projetado para suportar apenas 2 W podese entender o porquê de sua reação ter sido tão violenta O resistor de 560 Ω mostrado na Figura 224b é conectado a um circuito causando a circulação de uma corrente de 424 mA sobre o mesmo Cal cule a tensão sobre o resistor e a potência por ele dissipada A tensão sobre o resistor pode ser calculada usandose a lei de Ohm υ Ri 56000424 237 V A potência dissipada pode ser calculada de diversas maneiras Por exemplo p υi 23700424 1005W Alternativamente p υ2 R 2372 560 1003 W ou p i2R 004242 560 1007 W Notamos algumas coisas Primeiro calculamos a potência de três maneiras diferentes e obtivemos três respostas diferentes Na realidade entretanto arredondamos nossa tensão para três dígitos signi ficativos o que impacta diretamente na precisão dos cálculos subjacentes Tendo isso em mente podemos observar que a reposta é razoável com menos de 1 de incerteza para os três casos Outro ponto digno de nota é que o resistor é avaliado para 50 W sendo que ele dissipou aproximadamente 2 desse valor Sendo assim o resistor não corre o risco de sobreaquecimento u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO Tomando como referência a Figura 225 calcule o que se pede 210 R se i 2 µA e v 44 V 211 A potência absorvida pelo resistor se υ 1 V e R 2 kΩ 212 A potência absorvida pelo resistor se i 3 nA e R 47 MΩ Respostas 22 MΩ 500 µW 423 pW u EXEMPLO 23 FIGURA 225 i R υ APLICAÇÃO BITOLA DE FIOS Tecnicamente falando todo material exceto para um supercondutor irá proporcionar certa resistência ao fluxo de corrente Como em todos os textos introdutórios em circuitos no entanto de maneira implícita assumimos que o cabo que aparece nos diagramas de circuitos apresenta resistência zero Isso implica que não existe diferença de potencial entre os terminais do cabo e também não há potência absorvida ou calor gerado Embora em geral esse consideração não seja absurda ela não leva em conta considerações práticas para a escolha do diâmetro apropriado do cabo para uma aplicação específica A resistência é determinada 1 pela resistividade inerente ao material e 2 pela geometria do dispositivo A resistividade representada pelo símbolo ρ é uma medida da facilidade com a qual elétrons podem se deslocar em certo material Como ela é a relação entre o campo elétrico aplicado Vm e a densidade de corrente no material Am2 a unidade geral de ρ é Ω m embora prefixos sejam frequentemente empregados Cada material tem inerentemente uma diferente resistividade que depende da temperatura A Tabela 23 mostra alguns exemplos Como pode ser visto há pequenas variações entre tipos diferentes de cobre menos de 1 mas uma grande diferença entre diferentes metais Em particular embora seja mais resistente do que o cobre o fio de aço apresenta uma resistividade várias vezes maior Em algumas discussões técnicas é mais comum ver citada a condutividade de um material simbolizada por σ que é simplesmente o inverso da resistividade A resistência de um objeto em particular é obtida multiplicandose sua resistividade pelo comprimento l dividindo o resultado pela seção transversal A como na Equação 6 Estes parâmetros são ilustrados na Figura 226 R ρ A 6 FIGURA 226 Definição dos parâmetros geométricos usados para calcular a resistência de um cabo Assumese a resistividade do material como uniformemente distribuída B cm Direção do fluxo de corrente Área da seção transversal A cm2 Resistividade ρ Ω cm Determinamos a resistividade quando selecionamos o material com o qual fabricaremos o cabo e medimos a temperatura do ambiente de aplicação Como uma potência finita é absorvida pelo cabo devido à sua resistência o fluxo de corrente resulta em produção de calor Cabos mais grossos têm menor resistência e também dissipam calor mais facilmente porém são mais pesados ocupam um maior volume e são mais caros Assim somos levados por considerações práticas a escolher o melhor cabo que possa exercer sua função com segurança em lugar de simplesmente escolher o maior diâmetro de cabo disponível num esforça para minimizar perdas resistivas Tabela 23 f Materiais e Resistividade de Cabos Elétricos Comuns Especificação ASTM Têmpera e forma Resistividade a 20C µΩ cm B33 Cobre estanhado flexível seção circular 17654 B75 Tubo de cobre flexível seção circular 17241 B188 Tubo de cobre rígido seção retangular ou quadrada 17521 B189 Cobre revestido de chumbo flexível seção circular 17654 B230 Alumínio duro seção circular 28625 B227 Aço revestido de cobre duro 43971 B355 Cobre niquelado flexível seção circular Classe 10 19592 B415 Aço revestido de alumínio duro seção circular 84805 C B Rawlins Conductor Materials Standard Handbook for Electrical Engineering 13th ed DG Fink and HW Beaty eds New York McGrawHill 1993 p 44 a 48 American Society of Testing Materials Tabela 24 u Algumas Bitolas Comuns de Cabos de Cobre Maciços Flexíveis e suas Resistências Tamanho do Condutor AWG Área da Seção Transversal mm2 Ωkm a 20C 28 00804 653 24 0205 257 22 0324 162 18 0823 639 14 208 252 12 331 159 6 133 03952 4 211 02485 2 336 01563 C B Rawlins Conductor Materials Standard Handbook for Electrical Engineering 13th ed DG Fink and HW Beaty eds New York McGrawHill 1993 p 4 47 O AWG American Wire Gauge é um sistema padrão para especificação das dimensões de um cabo Na seleção da bitola de um cabo menores valores de AWG significam maiores diâmetros para o cabo Uma tabela abreviada das bitolas mais comuns é dada na Tabela 24 As normas regionais de segurança contra incêndio e segurança elétrica determinam a bitola necessária para aplicações específicas com base na máxima corrente esperada e no local onde os cabos serão instalados Uma linha de transmissão CC está para ser construída entre duas ilhas separadas por uma distância de 24 milhas A tensão de operação é de 500 kV e a capacidade do sistema é de 600 MW Calcule a máxima corrente CC que deve circular pelo sistema e estime a resistividade do cabo assu mindo que o diâmetro do mesmo é 25 cm e o mesmo é sólido e não está engastalhado Dividindo a máxima potência 600 Mw ou 600 106 W pela tensão de operação 500 kV ou 500 103 V teremos uma corrente máxima de 600 106 500 103 1200 A R 500 103 1200 417 Ω i v 1 R G p vi v2G i2 G 24 milhas 5280 ft 1 milha 12 in 1 ft 254 cm 1 in 3862426 cm ρ R A 417 49 39 106 520 cm Ω A resistência do cabo é simplesmente a relação entre a tensão e a corrente ou 600 106 500 103 1200 A R 500 103 1200 417 Ω i v 1 R G p vi v2G i2 G 24 milhas 5280 ft 1 milha 12 in 1 ft 254 cm 1 in 3862426 cm ρ R A 417 49 39 106 520 cm Ω Para que as unidades sejam coerentes devemos escrever o comprimento em centímetros Então podemos proceder como a seguir 600 106 500 103 1200 A R 500 103 1200 417 Ω i v 1 R G p vi v2G i2 G 24 milhas 5280 ft 1 milha 12 in 1 ft 254 cm 1 in 3862426 cm ρ R A 417 49 39 106 520 cm Ω u EXEMPLO 24 28 Capítulo 2 u Componentes Básicos e Circuitos Elétricos Dado que a maior parte da informação está nos dois algarismos significa tivos arredondaremos o comprimento para ℓ 39 106 cm Como o diâmetro do cabo foi especificado em 25 cm e sabemos que a sua seção transversal tem área igual a 49 cm2 então 600 106 500 103 1200 A R 500 103 1200 417 Ω i v 1 R G p vi v2G i2 G 24 milhas 5280 ft 1 milha 12 in 1 ft 254 cm 1 in 3862426 cm ρ R A 417 49 39 106 520 cm Ω u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 213 Um cabo de cobre flexível com 500 ft de comprimento e 24 AWG é submetido a uma corrente de 100 mA Qual é a queda de tensão sobre o cabo Resposta 326 V Condutância Para uma resistência linear a relação entre a corrente e a tensão também é uma constante 600 106 500 103 1200 A R 500 103 1200 417 Ω i v 1 R G p vi v2G i2 G 24 milhas 5280 ft 1 milha 12 in 1 ft 254 cm 1 in 3862426 cm ρ R A 417 49 39 106 520 cm Ω 7 em que G é camada de condutância A unidade SI de condutância é o sie mens S 1 AV Uma antiga e não oficial unidade para condutância é o mho em que seu símbolo é Ʊ e ocasionalmente é escrito como Ω1 Você ocasionalmente encontrará esses símbolos em diagramas de circuitos assim como em alguns catálogos e textos O mesmo símbolo de circuito Figura 224d é usado tanto para a resistência quanto para a condutância A potên cia absorvida é novamente necessariamente positiva e deve ser expressa em termos de sua condutância como 600 106 500 103 1200 A R 500 103 1200 417 Ω i v 1 R G p vi v2G i2 G 24 milhas 5280 ft 1 milha 12 in 1 ft 254 cm 1 in 3862426 cm ρ R A 417 49 39 106 520 cm Ω 8 Então um resistor de 2 Ω tem uma condutância de 1 2 S e se uma corrente de 5 A esta fluindo sobre ele então uma tensão de 10 V estará presente sobre os seus terminais e uma potência de 50 W será absorvida Todas as expressões apresentadas nesta seção até agora foram escritas em termos de corrente tensão e potência instantâneas como por exemplo v iR e p vi Devemos lembrar que esta é uma notação abreviada para vt Rit e pt vtit A corrente que passa por um resistor e a tensão através de seus terminais devem variar no tempo da mesma maneira Assim se R 10 Ω e v 2 sen100t V então i 02 sen100t A Note que a potência é dada por 04 sen2 100t W e um simples desenho pode ilustrar a diferente natureza de sua variação com o tempo Embora a corrente e a tensão sejam negativas durante certos intervalos de tempo a potência absorvida nunca é negativa A resistência pode ser usada como base para definir dois termos muito usados o curtocircuito e o circuito aberto Definimos o curtocircuito como uma resistência de zero ohms Então como υ iR a tensão sobre um curtocircuito deve ser zero embora a corrente possa ter qualquer valor De 29 Resumo e revisão forma análoga definimos um circuito aberto como uma resistência infinita Segue da lei de Ohm que a corrente deve ser zero independente da tensão através do circuito aberto Embora fios de verdade possuam uma pequena resistência sempre assumimos que eles tenham resistência nula a menos que especificada Assim em todos os diagramas esquemáticos cabos devem ser tratados como curtoscircuitos perfeitos RESUMO E REVISÃO Neste capítulo introduzimos um tópico sobre unidades especificamente aquelas relevantes para os circuitos elétricos além de suas relações com as unidades fundamentais do SI Discutimos também corrente e fontes de corrente tensão e fontes de tensão e o fato de que o produto entre tensão e corrente produz potência a razão do consumo ou geração de energia A potência pode assumir valores negativos ou positivos dependendo da direção da corrente e da polaridade da tensão A convenção do sinal passivo foi des crita para nos ajudar a saber se um elemento está absorvendo ou fornecendo energia para o resto do circuito Quatro fontes adicionais foram introduzidas formando uma classe geral de fontes conhecidas como fontes dependentes Tais fontes são usadas para modelar sistemas complexos e componentes eletrônicos No entanto os valores reais das fontes dependentes de corrente ou tensão só serão conhecidos se todo o circuito for analisado Concluímos o capítulo com o resistor o mais simples e comum elemento de circuito em que a tensão e a corrente são relações lineares descritas pela lei de Ohm Visto que a resistividade de um material é uma de suas propriedades mais fundamentais medidas em Ω cm a resistência descreve uma propriedade do dispositivo medida em Ω e não só depende da resistividade mas tam bém da geometria do dispositivo isto é comprimento e área Concluímos com pontoschave deste capítulo para analisar juntamente com exemplos apropriados f O sistema de unidades mais utilizado em engenharia elétrica é o SI f A direção em que as cargas positivas estão se movendo é a direção do fluxo positivo de corrente Alternativamente fluxo positivo de corrente tem direção contrária ao fluxo positivo de elétrons f Para definir uma corrente devemos fornecer o seu valor e a sua dire ção Correntes são tipicamente denotadas pela letra maiúscula I para valores constantes CC e it ou simplesmente i caso contrário f Para definir a tensão sobre um elemento é necessário rotular os ter minais com os sinais de e assim como o seu valor que pode ser um símbolo algébrico ou valor numérico f Dizemos que um elemento fornece potência positiva se a corrente sai do terminal positivo de tensão Qualquer elemento absorve potência positiva se uma corrente positiva entra no terminal positivo de ten são Exemplo 21 f Existem seis tipo de fontes fontes de tensão independente fonte de corrente independente fonte de corrente dependente controlada por corrente fonte de corrente dependente controlada por tensão fonte de tensão dependente controlada por tensão e fonte de tensão depen dente controlada por corrente Exemplo 22 Observe que uma corrente denotada por i ou it pode ser constante CC ou variável no tempo porém correntes denotadas por I sempre são não variáveis no tempo 30 Capítulo 2 u Componentes Básicos e Circuitos Elétricos f A lei de Ohm descreve que a tensão sobre um resistor linear é dire tamente proporcional à corrente que flui pelo mesmo Isto é v Ri Exemplo 23 f A potência dissipada por um resistor que leva à produção de calor é dada por Exemplo 23 f Na análise de circuitos a resistência dos cabos é geralmente conside rada nula No entanto para aplicações específicas devemos consultar as normas elétricas e de segurança adotadas na localidade Concluí mos com pontoschave deste capítulo para analisar juntamente com exemplos apropriados Exemplo 24 LEITURA COMPLEMENTAR Um bom livro que discute as propriedades e construção dos resistores com considerável profundidade Felix Zandman PaulRené Simon e Joseph Szwarc Resistor Theory and Technology Raleigh NC SciTech Publishing 2002 Um bom livro de uso geral em engenharia elétrica Donald G Fink e H Wayne Beaty Standard Handbook for Electrical Engineers 13th ed New York McGrawHill 1993 Em particular as páginas 11 até 151 28 até 210 e 42 até 4207 apresentam um tratamento mais detalhado dos tópicos discutidos neste capítulo Uma referência detalhada do SI está disponível na Web pelo National Ins titute of Standards Ambler Thompson e Barry N Taylor Guide for the Use of the Inter national System of Units SI NIST Special Publication 811 edição de 2008 wwwnistgov EXERCÍCIOS 21 Unidades e escalas 1 Converter os valores a seguir para notação de engenharia a 0045 W b 2000 pJ c 01 ns d 39212 as e 3Ω f 18000 m g 2500000000000 bits h 1015 atomscm3 2 Converter os valores a seguir para notação de engenharia a 1230 fs b 00001 decímetros c 1400 mK d 32 nm e 13560 kHz f 2021 micromoles g 13 decilitros h 1 hectômetro Exercícios 31 3 Expressar as quantidades a seguir em unidades de engenharia a 1212 mV b 1011 pA c 1000 yoctosecundos d 339997 zeptosegundos e 13100 attosegundos f 1014 zettasegundos g 105 segundos h 109 Gs 4 Expandir as distâncias a seguir em metros simples a 1 Zm b 1 Em c 1 Pm d 1 Tm e 1 Gm f 1 Mm 5 Converter as unidades a seguir para unidades SI tomando cuidado de utilizar de forma apropriada a notação de engenharia a 212 oF b 0 oF c 0 K d 200 hp e 1 jardas f 1 milhas 6 Converter as unidades a seguir para unidades SI tomando cuidado de utilizar de forma apropriada a notação de engenharia a 100 oC b 0 oC c 42 K d 150 hp e 500 Btu f 100 Js 7 Certo laser de fluoreto de criptônio gera pulsos longos de 15 ns e cada pulso contém 550 mJ de energia a Calcule o pico instantâneo da potência de saída do laser b Se até 100 pulsos podem ser gerados por segundo calcule a potên cia média máxima na saída do laser 8 Quando operando com um comprimento de onda de 750 nm certo laser Tisafira é capaz de produzir pulsos tão curtos quanto 50 fs em que cada pulso tem 500 µJ a Calcule a potência instantânea de saída do laser b Se o laser for capaz de gerar pulsos a uma taxa de 80 MHz calcule a potência média máxima na saída do laser 9 Um veículo elétrico contém um único motor de 40 hp Se o motor funcionar continuamente por 3 h em sua potência máxima calcule a energia elétrica con sumida Expresse a sua reposta em unidades SI usado notação de engenharia 10 Sobre condição de isolamento de 500 Wm2 luz solar direta e com 10 de eficiência para cada célula solar definida como a relação entre a potência elé trica de saída e a potência solar incidente calcule a área requerida para que um painel fotovoltaico seja capaz de fazer o veículo do Exercício 9 funcionar com a metade de sua potência máxima 11 Um gerador piezoelétrico de nano fios de óxido metálico é capaz de produzir 100 pW de eletricidade utilizável quando uma pessoa caminha moderadamente a Quantos dispositivos de nano fios são necessários para operar um apare lho de MP3 pessoal sendo que cada um drena uma potência de 1 W b se cada dispositivo pode ser produzido com uma densidade de 5 dispositivos por micrometros diretamente em um pedaço de tecido qual é a área requerida para possibilitar o acionamento do MP3 Essa solução é viável 12 Uma concessionária de energia elétrica tarifa seus clientes em uma escala que depende do consumo diário de energia R 005 kWh para um consumo de até 20 kWh e R 010 kWh para um consumo superior a 20 kWh em um período de 24 horas a Calcule quantas lâmpadas incandescentes de 100 W podem ser mantidas acesas continuamente pagando menos do que R 1000 reais por semana b Calcule o custo diário de energia se 2000 kW de potência forem utilizados continuamente 32 Capítulo 2 u Componentes Básicos e Circuitos Elétricos 13 A empresa Tilting Windmill Electrical Cooperative LLC Inc instituiu um esquema de tarifação diferenciada para encorajar os consumidores a economizar energia durante os dias com luz natural quando a demanda local das empresas é maior Se o preço por quilowatthora é R 0033 entre 9 horas da noite e 6 horas da manhã e R 0057 para o restante qual é o custo para se manter um aquecedor portátil de 25 kW continuamente ligado por 30 dias 14 Assumindo que a população global é de 9 bilhões de pessoas e que cada um usa aproximadamente 100 W de potência continuamente em um dia calcule a área total que um gerador fotovoltaico de potência deve ocupar assumindo que a potência gerada pela incidência solar é de 800 Wm2 com uma eficiência de conversão luz solar para eletricidade de 10 22 Carga corrente tensão e potência 15 Carga total fluindo dos terminais de um pequeno fio de cobre para um disposi tivo desconhecido é determinado pela relação qt 5e t 2 C sendo t expresso em segundos Calcule a corrente que flui para o dispositivo tomando nota do sinal 16 A corrente que flui para o coletor de certo transistor bipolar de junção TBJ é medida como 1 nA Se nenhuma carga foi transferida para ou do coletor antes do tempo t 0 e se a corrente fluir por 1 minuto calcule a carga total que atra vessa o coletor 17 A carga total armazenada em uma placa isolante de 1 cm de diâmetro é 1013 C a Quantos elétrons estão na placa b Qual é a densidade de elétrons número de elétrons por metro quadrado c Se elétrons adicionais forem somados à placa por meio de uma fonte externa a uma taxa de 106 elétrons por segundo qual é a magnitude da corrente que flui entre a fonte e a placa 18 Um misterioso dispositivo achado em laboratório perdido acumula carga em uma taxa especificada por meio da expressão qt 9 10t C no momento em que é ligado a Calcule a carga total contida no dispositivo em t 0 b Calcule a carga total contida no dispositivo em t 1 s c Determine a corrente que flui para o dispositivo em t 1 s 3 s e 10 s 19 Um novo tipo de dispositivo foi projetado para acumular cargas de acordo com a expressão qt 10t2 22t mC t em segundos a No intervalo 0 t 5 s em que momento a corrente fluindo pelo dispositivo é igual a zero b Esboce qt e it no intervalo 0 t 5 s 20 A corrente que flui por uma lâmpada incandescente com filamento de tungs tênio é determinada por it 114 sen110πt A a Quantas vezes a corrente é igual a zero ampère no intervalo entre t 0 até t 2 s b Quanta carga é transportada através da lâmpada no primeiro segundo 21 A forma de onda de corrente ilustrada na Figura 227 é caracterizada por um período de 8 s a Qual é o valor médio da corrente em um período b Se q0 0 esboce qt no intervalo 0 t 20s FIGURA 227 Um exemplo de corrente variante no tempo 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 14 1 3 5 7 9 11 13 15 it t s Exercícios 33 22 A forma de onda de corrente ilustrada na Figura 228 é caracterizada por um período de 4 s a Qual é o valor médio da corrente em um período b Calcule a corrente média no intervalo 1 t 3 s c Se q0 1 C esboce qt no intervalo 0 t 4 s p FIGURA 228 Um exemplo de corrente variante no tempo 1 1 2 3 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 it t s 23 Um caminho em torno de um circuito elétrico tem certos pontos discretos rotu lados A B C e D Para mover um elétron do ponto A até C são necessários 5 pJ Para mover um elétron do ponto B até o ponto C são necessários 3 pJ Para mover um elétron do ponto A até D são requeridos 8 pJ a Qual é a diferença de potencial em volts entre os pontos B e C assumindo que a referência está em C b Qual é a diferença de potencial em volts entre os pontos B e D assumindo que a referência está em D c Qual é a diferença de potencial em volts entre os pontos A e B assumindo que a referência está em B 24 Dois terminais metálicos projetamse para for de um dispositivo O terminal da esquerda é a referência positiva para a tensão chamado de Vx o outro terminal é a referência negativa de tensão O terminal da direita é a referência positiva para a tensão chamada Vy o outro terminal sendo a referência negativa Se for necessário 1 mJ de energia para empurrar um único elétron para o terminal da esquerda determine as tensões Vx e Vy 25 Por convenção voltímetros utilizam cabos pretos para os terminais negativos e cabos vermelhos para os terminais positivos a Explique porque são necessários dois cabos para se medir tensão b Se os terminais forem trocados por acidente dentro do voltímetro o que acontecerá durante a próxima medição de tensão 26 Determine a potência absorvida em cada um dos elementos mostrados na Figura 229 a b c 1 V 10 mA 1 pA 6 V 2 A 2 A 10 V FIGURA 229 Elementos para o Exercício 26 27 Determine a potência absorvida em cada um dos elementos mostrados na Figura 230 34 Capítulo 2 u Componentes Básicos e Circuitos Elétricos FIGURA 230 Elementos para o Exercício 27 a 2 V 2 V 1 A b c 16et V t 500 ms 8et mA 103 i1 i1 100 mA 28 Uma corrente constante de 1 A é medida fluindo para o terminal de referência positiva de um par de sondas cuja tensão chamaremos de vp Calcule a potên cia absorvida em t 1 s se vp t for igual a 1 V b 1 V c 2 5 cos5t V d 4e2t V e Faça uma explanação a respeito do significado dos valores negativos da tensão para a absorção de potência 29 Determine a potência fornecida pelo elemento mais à esquerda no circuito da Figura 231 2 V 2 A 5 A 3 A 10 V 8 V 10 V 4 A t FIGURA 231 30 A característica tensãocorrente de uma célula solar de silício exposta à luz solar do meiodia na Flórida em pleno verão é ilustrada na Figura 232 O gráfico foi obtido colocandose resistores de diferentes valores sobre os terminais do dispositivo e medindose as tensões e corrente resultantes a Qual é o valor da corrente de curtocircuito b Qual é o valor da tensão no circuito aberto c Estime a máxima potência que pode ser obtida pelo dispositivo 05 10 15 20 25 30 0125 0250 0375 0500 Tensão V Corrente A t FIGURA 232 23 Fontes de tensão e corrente 31 Algumas das fontes ideais no circuito da Figura 231 estão fornecendo potência positiva e outras estão absorvendo potência positiva Determine quem é quem e mostre que a soma algébrica da potência absorvida por cada elemento é igual a zero tome cuidado em preservar o sinal 32 Por meio de medidas cuidadosas foi determinado que uma bancada de laser de íons de argônio está consumindo absorvendo 15 kW de potência elétrica de uma tomada de parede mas está produzindo apenas 5 W de potência ótica Para onde a energia restante está indo O princípio da conservação da energia não diz que as duas quantidades devem ser iguais Exercícios 35 33 Este exercício referese ao circuito representado na Figura 233 É bom salien tarmos que a mesma corrente flui através de cada elemento A fonte dependente controlada por tensão disponibiliza uma corrente que é 5 vezes maior do que a tensão Vx a para VR 10 V e Vx 2 V determine a potência absorvida por cada elemento b O elemento A pode ser considerado uma fonte ativa ou passiva Explique 34 Este exercício referese ao circuito representado na Figura 233 É bom salien tarmos que a mesma corrente flui através de cada elemento A fonte depen dente controlada por tensão disponibiliza uma corrente que é 5 vezes maior do que a tensão Vx a para VR 100 V e Vx 92 V determine a potência absorvida por cada elemento b Verifique que a soma algébrica das fontes de potência é igual a zero 35 O circuito ilustrado na Figura 234 contém uma conte dependente de corrente a magnitude e a direção da corrente são fornecidas diretamente pela tensão rotulada por V1 Note que portanto i2 3v1 Determine a tensão v1 se v2 33i2 e i2 100 mA υS υ1 3υ1 i2 υ2 t FIGURA 234 36 Para proteger um componente de circuito muito caro que poderá receber muita potência você decide incorporar um fusível de ação rápida no projeto Sabendo que o componente de circuito está conectado a uma fonte de 12 V sua mínima potência consumida é 12 W e a máxima potência que o dispositivo pode dissi par de modo seguro é 100 W Qual dos três fusíveis disponíveis você seleciona ria o de 1 A 4 A ou 10 A Explique a sua resposta 37 A fonte dependente no circuito da Figura 235 fornece uma tensão cujo valor depende da corrente ix Qual valor de ix é necessário para que a fonte dependente seja capaz de fornecer 1 W 24 Lei de Ohm 38 Determine a magnitude da corrente que flui através de um resistor de 47 kΩ se a tensão sobre o mesmo é a 1 mV b 10 V c 4et V d 100 cos5t V e 7 V 39 Resistores reais só podem ser construídos dentro de uma tolerância espe cífica uma vez que de fato o valor da resistência é incerto Por exemplo um resistor de 1 Ω especificado com uma tolerância de 5 pode assumir qualquer valor entre 095 até 105 Ω Calcule a tensão sobre um resistor de 22 kΩ com 10 de tolerância se a corrente que flui sobre o mesmo é a 1 mA b 4 sen 44t mA 40 a Esboce a relação correntetensão corrente no eixo y de um resistor de 2 kΩ submetido a uma tensão avaliada no intervalo 10 V VR 10 V Tenha certeza de que rotulou cada um dos eixos apropriadamente b Qual é o valor numérico da inclinação expresse sua resposta em siemens 41 Esboce a tensão sobre um resistor de 33 Ω no intervalo 0 t 2π s se a corrente é dada por 28 cost A Assuma que a corrente e a tensão estão definidas de acordo com a convenção do sinal passivo 42 A Figura 236 apresenta as características de correntetensão de três elementos resistivos diferentes Determine a resistência de cada um dos elementos assu mindo que a tensão e a corrente são definidas de acordo com a convenção do sinal passivo υ2 ix 2ix FIGURA 235 8 V Vx 5Vx VR A FIGURA 233 36 Capítulo 2 u Componentes Básicos e Circuitos Elétricos 005 004 003 002 001 000 Corrente mA Tensão V 001 002 003 004 0055 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 005 004 003 002 001 000 Corrente mA Tensão V a b 001 002 003 004 0055 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 005 004 003 002 001 000 Corrente mA Tensão V c 001 002 003 004 0055 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 t FIGURA 236 43 Determine a condutância em siemens dos valores que se seguem a 0 Ω b 100 MΩ c 200 mΩ 44 Determine a magnitude da corrente que flui através de uma condutância de 10 mS se a tensão sobre a mesma é a 2 mV b 1 V c 100e2t V d 5 sen5t V e 0 V 45 Um resistor de 1 kΩ com tolerância de 1 pode assumir qualquer valor no intervalo de 990 até 1010 Ω Assumindo que uma tensão de 9 V é aplicada sobre o mesmo determine a o intervalo de corrente correspondente e b o intervalo de potência absorvida correspondente c se o resistor for trocado por outro de 10 de tolerância repita os itens a e b 46 Os dados experimentais a seguir foram adquiridos sobre um resistor qualquer usando uma fonte de tensão variável e um medidor de corrente A leitura do medidor de corrente se mostrou instável infelizmente o que introduziu erro na medição Voltagem V Corrente mA 20 089 12 047 00 001 10 044 15 070 a Trace a característica correntetensão medida b Usando uma linha que melhor se ajuste aos dados estime o valor da resistência 47 Utilize o fato de que no circuito da Figura 237 a potência total fornecida pela fonte de tensão deve ser igual ao total de potência absorvida pelos dois resistores para mostrar que VR2 VS R2 R1 R2 Você deve assumir que a mesma corrente flui por cada elemento uma necessidade da conservação da carga 48 Para cada um dos circuitos mostrados na Figura 238 ache a corrente I e calcule a potência absorvida pelo resistor 49 Esboce a potência absorvida por um resistor de 100 Ω como função da tensão avaliada no intervalo 2V VR 2 V Exercícios de integração do capítulo 50 O silício conhecido como tipon resistividade dada por p qNDµn1 em que ND é a densidade volumétrica dos átomos de fósforo átomoscm3 µn é mobilidade elétrica cm2V s e q 1602 x 1019 C é a carga de cada elétron Convenientemente existe uma relação entre a mobilidade e ND como mostrado na Figura 239 Assuma que um disco wafer de silício tenha um diâmetro de 8 polegadas com uma espessura de 300 µm Projete um resistor de 10 Ω por meio da especificação da concentração de fósforo em um intervalo de 2 x 1015 cm3 ND 2 x 1017 cm3 juntamente com uma geometria adequada o disco pode ser cortado mas não diluído 51 A Figura 239 ilustra a relação entre mobilidade elétrica µn e densidade dopante ND para o silício tipo n Com o conhecimento de que a resistividade nesse material é dada por p qµnND1 esboce a resistividade em função da densidade no intervalo 1014 cm3 ND 1019 cm3 52 Referindose aos dados da Tabela 24 projete um resistor cujo valor possa variar matematicamente no intervalo de 100 até 500 Ω assumindo a operação em 20C 53 Uma fonte CC de potência está a uma distância de 250 ft de uma lâmpada que necessita drenar uma corrente de 25 A Se for usado um cabo 14 AWG note que dois cabos são necessários para cobrir a distância de 500 ft ou seja 250 ft para cada cabo calcule a potência total desperdiçada no cabo 54 Os valores de resistência contidos na Tabela 24 são calibrados para operações em 20 C É possível corrigir tais valores para operarem em outras temperaturas usando a relação R2R1 2345 T2 2345 T1 5 D G Fink and H W Beaty Standard Handbook for Electrical Engineers 13th ed New York McGrawHill 1993 p 29 Capítulo 2 u Componentes Básicos e Circuitos Elétricos 38 em que T1 é a temperatura de referência 20C neste caso T2 é a nova tempe ratura de operação R1 é o valor da resistência na temperatura T1 e R2 é o valor da resistência na temperatura T2 Um equipamento conta com um fio externo feito de cobre flexível 28 AWG que tem uma resistência de 500 Ω em 20C Infelizmente o ambiente de operação foi mudado e agora o mesmo operará em 1105 F a Calcule o comprimento do cabo original b Determine quanto do cabo deve ser cortado para que o cabo tenha novamente 500 Ω 55 Seu medidor favorito contém um resistor de precisão de 10 Ω 1 de tolerân cia Infelizmente a última pessoa para quem você o emprestou de alguma forma explodiu o resistor Projete um substituto adequado assumindo que existem pelo menos 1000 ft de cada cabo para medidores listados na Tabela 24 disponíveis para você 56 Em uma nova instalação você especificou que todos os cabos deveriam seguir as especificações ASTM B33 ver a Tabela 23 Infelizmente o operário con tratado utilizou um cabo de aço revestido B415 de mesma bitola Assumindo que a tensão de operação não se modificará a de quanto a corrente deve ser reduzida e b quanto de potência será perdida nas linhas Expresse os resul tados em termos percentuais 57 Se uma corrente de 1 mA é forçada através de um cabo de aço revestido B415 com 1 mm de diâmetro e 23 metros de comprimento quanto de potência será desperdiçada pelo seu efeito resistivo Se um cabo com as mesmas dimensões mas em conformidade com as especificações B75 for usado as perdas de potên cia serão reduzidas 58 A rede mostrada na Figura 240 pode ser usada para modelar o comportamento de um transistor bipolar de junção operando na região ativa O parâmetro β é conhecido como ganho de corrente Se para o dispositivo β 100 e IB for igual a 100 µA calcule a IC a corrente fluindo para o coletor e b a potência dissi pada pela região baseemissor 59 Uma lâmpada de filamento de tungstênio de 100 W aproveitandose das perdas resistivas de seu filamento absorve 100 joules de energia a cada segundo quan do está ligada em uma tomada Quanto de energia luminosa por segundo você espera que seja produzida sendo que o princípio da conservação da energia deve ser preservado 60 Baterias estão disponíveis em uma grande variedade de tipos e tamanhos Duas das mais comuns encontradas são as chamadas pilhas AA e AAA Cada uma dessas pilhas é projetada para disponibilizar 15 V em seus terminais quan do estão totalmente carregadas Então quais são as diferenças entre as duas além do tamanho Dica Pense em termos de energia 07 V Base Emissor Coletor IB IC βIB p FIGURA 240 Modelo CC para o transistor de junção bipolar operando em modo direto INTRODUÇÃO No Capítulo 2 fomos apresentados às fontes independentes de tensão e correntes fon tes dependentes e resistores Também descobrimos que existem quatro tipos de fontes dependentes e que elas podem ser controladas por tensões e correntes remotas Até este momento também sabemos que tensão sobre um resistor gera corrente e vice versa No entanto este fenômeno não é o caso das fontes De modo geral os circuitos devem ser analisados por completo para que seja determinado um conjunto de tensões e correntes que os caracterizem Não será difícil fazêlo uma vez que apenas duas novas leis simples serão necessárias além da já conhecida lei de Ohm as conhecidas leis de Kirchhoff da Corrente LKC e de Kirchhoff da Tensão LKT e são simples mente uma reformulação das leis da conservação das cargas e da energia respectiva mente Essas leis são aplicáveis a quaisquer circuitos no entanto em capítulos futuros aprenderemos técnicas mais eficientes para tipos específicos de situações 31 NÓS CAMINHOS LAÇOS E RAMOS Agora focaremos a nossa atenção nas relações correntetensão em redes simples de dois ou mais elementos Os elementos dessas redes serão conectados por fios às vezes referenciados como condutores eou cabos com resistência nula Uma vez que as redes apresentam um conjunto de elementos simples interligados por condutores essas serão chamadas de redes com parâmetros concentrados Um problema de análise mais difícil surge quando nos deparamos com redes com parâmetros distri buídos que contêm um número essencialmente infinito de elementos extremamente pequenos Neste texto nos concentraremos nas redes com parâmetros concentrados Um ponto em que um ou mais elementos têm uma conexão em comum é chamado de nó Por exemplo a Figura 31a mostra um circuito que contém três nós Às vezes as redes são desenhadas de maneira a levar estudantes descuidados a acreditarem que existem mais nós do que na realidade Isso ocorre quando um nó como o nó número 1 mostrado na Figura 31a é mostrado como duas junções separadas por um condutor de resistência nula como na Figura 31b No entanto tudo que foi feito foi espalhar o ponto comum em uma linha de resistência zero Desta maneira devemos sempre considerar um fio ou parte de um fio conectado a um nó como parte do mesmo Note também que cada elemento de circuito possui um nó em seus terminais Leis de Tensão e Corrente 3 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Novos Termos em Circuitos Nó Caminho Laço e Ramo Lei de Kirchhoff das Correntes LKC Lei de Kirchhoff das Tensões LKT Análises de Circuitos em Série e em Paralelo Básicos Combinação de Fontes em Série e Paralelo Redução de Combinações em Série e em Paralelo de Resistores Divisão de Tensão e Corrente Conexões de Terra Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 40 Suponha que começamos em um nó em uma rede e que nos movemos através de um elemento simples até o seu terminal de saída Então continu amos deste nó passando por outro elemento diferente até o próximo nó e continuamos assim até que tenhamos passado por todos os elementos que desejamos Se nenhum nó foi considerado mais de uma vez então o conjun to de nós e elementos que passamos define um caminho Se o nó em que terminamos um caminho coincidir com o nó que utilizamos para iniciálo então este caminho é por definição um caminho fechado ou laço Por exemplo na Figura 31a se nos movemos do nó 2 até o nó 1 através da fonte de corrente e depois até o nó 3 através do resistor superior direito estabelecemos um caminho como não continuamos até o nó 2 novamente não completamos um laço Se passamos do nó 2 para o nó 1 através da fonte de corrente descendo pelo resistor esquerdo para o nó 2 e depois subindo novamente pelo resistor central para o nó 1 não temos um caminho pois um nó foi encontrado mais de uma vez na verdade tampouco temos um laço porque um laço tem de ser um caminho Outro termo que seu uso é conveniente é o chamado ramo Definimos um ramo como um caminho único em uma rede composto por um elemento simples e os nós presentes em seus terminais Então um caminho é uma coleção particular de ramos O circuito mostrado nas Figuras 31a e b contém cinco ramos 32 LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES Estamos prontos neste momento para considerarmos a primeira das duas leis de Kirchhoff que recebe este nome em homenagem ao Professor Universitário alemão Robert Kirchhoff com dois hs e dois fs que nasceu mais ou menos na mesma época em que Ohm fazia seu trabalho experimental Esta lei axiomática é chamada de Lei de Kirchhoff das Correntes abreviada por LKC e simplesmente define que A soma algébrica das correntes que entram em um nó é igual a zero Essa lei representa matematicamente o fato de que cargas não podem se acumular em um nó Um nó não é um elemento de circuito e certamente ele não poderá gerar absorver ou destruir carga Por isso a soma das correntes deve ser zero Uma analogia hidráulica pode ser interessante aqui imagine três canos hidráulicos unidos na forma de um Y Podemos definir três corren tes fluindo em cada um dos três canos Se insistirmos que a água está sempre fluindo então obviamente não podemos ter três correntes positivas de água ou os canos iriam se arrebentar Esse é um resultado de que nossas correntes foram escolhidas independentemente da direção em que a água está realmente fluindo Portanto o valor de uma ou mais correntes deve ser negativo Considerando o nó mostrado na Figura 32 a soma algébrica das quatro correntes que entram no nó deve ser igual a zero iA iB iC iD 0 Entretanto a lei poderia ser igualmente bem aplicada se a soma algébrica fosse aplicada às correntes que saem do nó iA iB iC iD 0 Nos circuitos montados na vida real os fios sempre terão uma resistência finita No entanto esta resistência é tipicamente tão pequena que podemos desprezála sem introduzir um erro significativo Portanto em nossos circuitos idealizados faremos referência aos fios como tendo resistência zero de agora em diante a 1 2 3 b 1 2 3 p FIGURA 31 a Circuito que contém três nós e cinco ramos b O nó 1 é redesenhado para parecer dois nós ainda assim ele continua sendo apenas um nó iC iB iA iD p FIGURA 32 Exemplo de um nó para ilustrar a aplicação da lei de Kirchhoff das correntes Seção 32 u Lei de Kirchhoff das correntes 41 a R2 R3 R1 5 A 10 V i 2 A c R2 R3 R1 5 A 5 A i 2 A iR1 iR1 2 A b R2 R3 R1 5 A 10 V i 2 A iR1 p FIGURA 33 a Circuito simples no qual se deseja encontrar a corrente através do resistor R3 b A corrente através do resistor R1 é identificada de forma que seja possível escrever uma equação LKC c As correntes no nó superior de R3 são redesenhadas para maior clareza Outra maneira de equacionarmos a soma das correntes é considerar que a soma das correntes cujas setas apontam para dentro do nó é igual à soma das correntes cujas setas apontam para fora do nó ou seja iA iB iC iD ou simplesmente podemos dizer que a soma das correntes que entram no nó é igual à soma das correntes que saem do nó Para o circuito da Figura 33a calcule a corrente através do resistor R3 se é sabido que a fonte de tensão fornece uma corrente de 3 A f Identifique o objetivo do problema A corrente através do resistor R3 rotulada como i no diagrama de circuito f Reúna as informações disponíveis O no superior de R3 está conectado a quatro ramos Duas dessas correntes estão claramente identificadas 2 A saindo do nó superior para R2 e 5 A fluindo para o nó originandose da fonte de corrente Sabemos também que a corrente total que saí da fonte de 10 V é de 3 A f Trace um Plano Uma vez identificada a corrente através de R1 Figura 33b podemos escrever uma equação usado a LKC para nós superiores aos resistores R2 e R3 f Construa um conjunto apropriado de equações A soma das correntes entrando no par de nós é iR1 2 i 5 0 As correntes fluindo para esse nó são mostradas no diagrama expandido da Figura 33c para maior clareza f Determine se são necessárias informações adicionais Temos uma equação mas duas variáveis ou seja precisamos obter uma equação adicional Neste ponto o fato de sabermos que a fonte de 10 V está fornecendo 3 A vem a calhar A LKC nos mostra que esta corrente é a mesma corrente iR1 f Busque uma solução Substutuindo encontramos i 3 2 5 6 A f Verifique a solução Ela é razoável ou esperada É sempre recompensador o esforço de verificar nosso trabalho Podemos tentar avaliar se a ordem de grandeza da solução parece ser ao menos razoável Neste caso temos duas fontes uma fornece 5 A e a outra fornece 3 A Não há outras fontes independentes ou dependen tes Assim não esperaríamos encontrar no circuito nenhuma corrente ultrapassando 8 A u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 31 Conte o número de ramos e nós no circuito da Figura 34 Se ix 3 e a fonte de 18 V entrega 8 A de corrente qual é o valor de RA Dica Você precisa da lei de Ohm assim como LKC Resposta 5 ramos 3 nós 1 Ω u EXEMPLO 31 υx RA 13 A ix 5 Ω 6 Ω 18 V p FIGURA 34 Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 42 Uma expressão compacta para a Lei de Kirchhoff das Correntes é N n 1 in 0 1 que é uma maneira compacta de se escrever i1 i2 i3 iN 0 2 Quando a Equação 1 ou 2 é usada entendese que as N setas das cor rentes estão todas apontando para dentro do nó ou todas estão apontando para fora do nó em questão 33 LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES A corrente está relacionada à carga que flui através de um elemento de circuito enquanto a tensão é a medida da diferença da energia potencial sobre entre seus terminais o elemento Existe um único e exclusivo valor para uma dada tensão na teoria de circuitos Então a energia requerida para mover uma única carga de um ponto A até um ponto B em um circuito deve ser um valor independente do caminho escolhido para ir de A até B frequentemente existe mais de um caminho possível Podemos afirmar este fato por meio da Lei de Kirchhoff das Tensões abreviado por LKT A soma algébrica das tensões ao longo de qualquer caminho fechado é igual a zero Na Figura 35 se movermos uma carga de 1 C do ponto A até o ponto B através do elemento 1 os sinas de polaridade referentes a υ1 mostram que produzimos υ1 joules de trabalho1 Agora se escolhemos continuar do ponto A até o ponto B via nó C então gastamos υ2 υ3 joules de energia O trabalho realizado no entanto é independente do caminho no circuito e qualquer rota deve levar ao mesmo valor de tensão Em outras palavras υ1 υ2 υ3 3 Isso significa que se percorremos um caminho fechado a soma algé brica das tensões sobre cada elemento individual ao longo deste caminho deve ser zero Então podemos escrever que υ1 υ2 υ3 υ υ3 0 ou de maneira mais compacta N n 1 υn 0 4 Podemos aplicar a LKT a um circuito de várias maneiras diferentes Um método que conduz a menos erros no levantamento das equações consiste em percorrer mentalmente o caminho fechado na direção horária e escrever diretamente a tensão como positiva para cada elemento cujo terminal posi tivo aparecer primeiro e escrever tensão como negativa para aquela associada a cada elemento cujo sinal negativo aparecer primeiro Apli cando esse método ao laço simples apresentado na Figura 35 temos que 1 Observe que escolhemos carga de 1C por uma questão de conveniência numérica portanto 1 Cυ1 JC υ1 joules de trabalho υ1 υ3 υ2 A C B 1 2 3 p FIGURA 35 A diferença de potencial entre os pontos A e B é independente do caminho escolhido Seção 33 u Lei de Kirchhoff das tensões 43 υ1 υ2 υ3 0 o que concorda com nosso resultado anterior a Equação 3 No circuito da Figura 36 encontre υx e ix Conhecemos a tensão sobre dois dos três elementos no circuito Então a LKT pode ser aplicada imediatamente para a obtenção de υx Começando pelo nó abaixo da fonte de 5 V aplicamos LKT no sentido horá rio ao longo do laço 5 7 υx 0 então υx 12 V A LKC se aplica a esse circuito mas somente para nos informar que a mesma corrente ix flui através dos três elementos No entanto conhecemos agora a tensão através do resistor de 100 Ω Invocando a lei de Ohm ix υx 100 12 100 A 120 mA u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 32 Determine ix e υx no circuito da Figura 37 Resposta ix 400 mA υx 4 V No circuito da Figura 38 existem oito elementos de circuito Encontre υR2 tensão sobre R2 e a tensão υx A melhor abordagem para determinar υR2 nesta situação é procurar um laço no qual possamos aplicar a LKT Há várias opções mas após examinar o cir cuito cuidadosamente vemos que o laço da esquerda oferece uma rota direta visto que duas das três tensões estão claramente especificadas Assim encontramos υR2 escrevendo uma equação LKT ao longo do laço à esquerda começando no ponto c 4 36 υR2 0 que resulta em υR2 32 V p FIGURA 38 Um circuito com oito elementos no qual desejamos determinar υR2 e υx 4 V υx υR2 υR1 υ2 12 V 14 V R1 R2 υs1 b c a 36 V u EXEMPLO 32 u EXEMPLO 33 p FIGURA 36 Um circuito simples com duas fontes de tensão e um único resistor 5 V 7 V 100 Ω υx ix p FIGURA 37 3 V 1 V 10 Ω υx ix Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 44 Para determinar υx poderíamos pensar nesta variável como a soma algébrica das tensões nos três elementos à direita No entanto como não temos valores para essas grandezas tal abordagem não levaria a uma resposta numérica Em vez disso aplicamos a LKT começando no ponto c indo para a através e por meio da parte de cima do circuito descendo para b através de υx e retornando ao ponto inicial pelo condutor 4 36 12 14 υx 0 de modo que υx 6 V Uma abordagem alternativa Conhecendo υR2 poderíamos ter tomado um atalho por R2 32 12 14 υx 0 novamente resultando em υx 6 V u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 33 Para o circuito da Figura 39 determine a υR2 e b υ2 se υR1 1 V t FIGURA 39 8 V υx υR2 υR1 υ2 7 V 9 V 12 V R1 R2 3 V b c a Resposta a 20 V b 24 V Como já vimos a chave para analisarmos corretamente um circuito é primeiramente identificarmos metodicamente todas as tensões e correntes no diagrama Desta maneira as equações das LKT e LKC podem ser escri tas de maneira a garantir que as relações entre as correntes e tensões sejam cuidadosamente descritas No caso em que existam mais incógnitas do que equações disponíveis a lei de Ohm poderá ser usada para relacionar as incógnitas desconsideradas inicialmente Ilustraremos esses princípios com um exemplo mais detalhado Determine υx no circuito da Figura 310a Começamos identificado as tensões e as correntes nos elementos do circuito Figura 310b Note que υx aparece tanto no resistor de 2 Ω quanto na fonte ix Se pudermos obter a corrente através do resistor de 2 Ω a lei de Ohm nos dará υx Escrevendo a equação LKC apropriada vemos que i2 i4 ix Infelizmente não conhecemos os valores de nenhuma destas três grandezas Nossa solução está temporariamente impedida Os pontos b e c assim como o cabo entre eles são todos parte do mesmo nó u EXEMPLO 34 Seção 34 u Circuito com um laço 45 Como nos foi fornecida a corrente que flui pela fonte de 60 V talvez fosse melhor começar a partir daquele lado do circuito Em vez de procurar υx usando i2 talvez seja possível encontrar υx diretamente usando a LKT Trabalhando a partir dessa perspectiva podemos escrever as seguintes equações LKT 60 υ8 υ10 0 e υ10 υ4 υx 0 5 Temos um progresso aqui possuímos agora duas equações com quatro incógnitas uma leve melhora comparando com uma equação na qual todos os termos eram desconhecidos Na verdade sabemos da lei de Ohm que υ8 40 V pois nos foi informado que uma corrente de 5 A atravessa o resistor de 8 Ω Assim υ10 0 60 40 20 V de forma que a Equação 5 se reduz a υx 20 υ4 Se pudermos determinar υ4 o problema estará resolvido O melhor caminho para obter o valor numérico da tensão υ4 neste caso é usar a lei de Ohm o que requer um valor para i4 Pela LKC vemos que i4 5 i10 5 υ10 10 5 20 10 3 de forma que υ4 43 12 V portanto υx 20 12 8 V u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 34 Determine υx no circuito da Figura 311 t FIGURA 311 υx 2 Ω 8 Ω 2 Ω 10 Ω 30 V ix 2 A Resposta υx 128 V 34 CIRCUITO COM UM LAÇO Já vimos que o uso repetido das LKT e LKC associadas com a lei de Ohm podem ser aplicadas em circuitos não triviais contendo vários laços e inú meros elementos diferentes Antes de prosseguirmos é uma boa hora para focarmos no conceito de circuito série e na próxima seção paralelo que forma a base para as redes que encontraremos no futuro Se todos os elementos de um circuito conduzem a mesma corrente então podemos dizer que estes estão conectados em série Como exemplo conside re o circuito da Figura 310 A fonte de 60 V está em série com o resistor de 8 Ω eles conduzem a mesma corrente de 5 A Entretanto o resistor de 8 Ω não está em série com o resisto de 4 Ω uma vez que ambos conduzem correntes diferentes Observe que elementos podem conduzir correntes de magnitudes iguais e não estarem em série duas lâmpadas de 100 W em casas vizinhas υx a 4 Ω 8 Ω 2 Ω 10 Ω 60 V ix 5 A υx b 4 Ω 8 Ω 2 Ω 10 Ω 60 V ix 5 A υ10 υ4 υ8 i4 i10 i2 p FIGURA 310 a Circuito no qual υx deve ser determinada usando a LKT b Circuito com tensões e correntes identificadas Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 46 podem conduzir duas correntes de magnitudes iguais mas certamente não conduzem a mesma corrente e não estão em série A Figura 312a mostra um circuito simples que consiste em suas bate rias e dois resistores Cada terminal condutor e ponto de solda são conside rados como tendo resistência zero juntos eles constituem um nó individual do diagrama de circuito na Figura 312b Cada bateria é modelada como uma fonte ideal de tensão considerando que suas resistências internas pos suem valores tão pequenos que podem ser desprezadas Os dois resistores são assumidos como ideais lineares Procuramos a corrente através de cada elemento a tensão sobre cada elemento e a potência absorvida por cada elemento O primeiro passo na análise é a suposição das direções de referência das correntes desconhe cidas Arbitrariamente selecionaremos o sentido horário para a corrente i que flui do terminal superior da fonte de tensão da esquerda Essa escolha está indicada por uma seta rotulada com i naquele ponto do circuito como mostra a Figura 312c Uma aplicação trivial da LKC nos assegura que a mesma corrente está fluindo através de todos os elementos do circuito enfatizaremos esse fato essa única vez colocando vários outros símbolos de corrente ao longo do circuito Nosso segundo passo em nossa análise é a escolha da tensão de referên cia para cada um dos dois resistores A convenção do sinal passivo requer que as variáveis tensão e corrente no resistor sejam definidas de maneira que a corrente entre no terminal em que a referência positiva da tensão está localizada Uma vez que já definimos arbitrariamente a direção da corrente υR1 e υR2 são definidas como na Figura 312c O terceiro passo é a aplicação da lei de Kirchhoff das tensões ao único caminho fechado do circuito Decidimos percorrer o circuito na direção horária começando pelo canto inferior esquerdo ao encontrarmos um ter minal de referência de tensão atribuiremos o mesmo sinal à tensão ou seja ao encontrarmos um terminal de referência positivo será atribuído o sinal positivo e ao encontrarmos um terminal de referência negativo atribuire mos sinal negativo à tensão Assim υS1 υR1 υS2 υR2 0 6 Aplicando a lei de Ohm aos elementos resistivos υR1 R1i e υR2 R2i Substituindo na Equação 6 obtemos υR1 R1i υR2 R2i 0 Como i é a única incógnita obtemos i υs1 υs2 R1 R2 A tensão ou potência associada com cada elemento pode ser agora obti da pela aplicação de υ Ri p υi ou p i2R No exemplo e problema prático anteriores nos era requerido calcular a potência absorvida de cada um dos elementos do circuito Entretanto é difícil imaginar uma situação em que todas as quantidades de potência p FIGURA 312 a Circuito com apenas um laço e quatro elementos b O modelo do circuito com fontes de tensão e valores de resistência fornecidos c Foram acrescentados ao circuito sinais de referência de corrente e tensão a υs1 υs2 b R1 R2 i υR2 υR1 i i i υs1 vs2 c R1 R2 Seção 34 u Circuito com um laço 47 absorvidas no circuito são positivas pelo simples fato de que a energia deve vir de algum lugar Então pelo princípio da conservação da energia esperamos que a soma das potências absorvidas por cada elemento de um circuito seja igual a zero Em outras palavras pelo menos um dos valores deve ser negativo descartando o caso trivial em que o circuito não está operando Escrito de outra maneira a soma das potências geradas forne cidas por cada elemento deve ser zero Mais pragmaticamente a soma das potências absorvidas é igual à soma das potências fornecidas u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 35 No circuito da Figura 312b υs1 120 V υs2 30 V R1 30 Ω e R2 15 Ω Calcule a potência absorvida por cada elemento Resposta p120V 240 W p30V 60 W p30 Ω 120 W e p15 Ω 60 W Calcule a potência absorvida em cada elemento para o circuito mostrado na Figura 313a p FIGURA 313 a Circuito com um laço contendo uma fonte dependente b A corrente i e a tensão υ30 são assinaladas 2υA 30 Ω 15 Ω 120 V υA a b i 2υA 30 Ω 15 Ω υ30 120 V vA Primeiro atribuímos uma direção de referência à corrente i e uma polaridade de referencia à tensão υ30 como mostrado na Figura 313b Não há necessi dade de se atribuir uma tensão ao resistor de 15 Ω pois a tensão de controle υA para a fonte dependente já está disponível É importante notar no entanto que os sinais de referência de υA estão invertidos em relação àqueles que terí amos atribuindo com base na convenção de sinal passivo Este circuito contém uma fonte de tensão dependente cujo valor permanece desconhecido até determinarmos υA Entretanto seu valor algébrico 2υA pode ser usado do mesmo modo como se um valor numérico estivesse disponível Com isso aplicandose a LKT ao laço 120 υ30 2 υA υA 0 7 Usando a lei de Ohm para introduzir os valores conhecidos de resistência υ30 30i e υA 15i Note que o sinal negativo é necessário pois i entra no terminal negativo de υA Substituindo na Equação 7 temos 120 30i 30i 15i 0 e encontramos i 8 A u EXEMPLO 35 Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 48 Calculamos a potência absorvida por cada elemento p120V 1208 960W p30 Ω 8230 192 kW pdep 2υA8 21588 192 kW p15 Ω 8215 960 W u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 36 No circuito da Figura 314 ache a potência absorvida por cada um dos cinco elementos no circuito Resposta sentido horário a partir da esquerda 0768 W 192 W 02048 W 01792 W 3072 W Vamos testar isso com o circuito da Figura 313 do Exemplo 35 em que consiste em duas fontes uma dependente e uma independente e dois resistores Somando a potência absorvida por cada elemento achamos todos os elementos pabsorvida 960 1920 1920 960 0 Na realidade nossa indicação é o sinal associado à potência absorvida a fonte de 120 V fornece 960 W e a fonte dependente fornece 1920 W Assim as fontes fornecem um total de 960 1920 2880 W Esperase que os resistores absorvam potência positiva que neste caso dá um total de 1920 960 2880 W Assim se levarmos em consideração cada ele mento do circuito pabsorvida pfornecida como esperávamos Voltando a nossa atenção para o Problema 36 cuja solução o leitor pode querer verificar vemos que as potências absorvidas totalizam 0768 192 02048 01792 3072 0 É interessante notar que a fonte de tensão independente de 12 V está observando 192 W ou seja ela está dissipando potência e não fornecendo Por outro lado a fonte de tensão dependente parece fornecer toda a potência neste circuito em particular É possível uma coisa assim Em geral esperamos que uma fonte forneça potência positiva porém como estamos empregando fontes ideais em nossos circuitos é possível ter um fluxo de potência entrando em qualquer fonte Se o circuito for alterado de alguma forma a mesma fonte fornecerá potência positiva No entanto o resultado só será conhecido quando a aná lise do circuito tiver sido finalizada 35 CIRCUITOS COM UM PAR DE NÓS O circuito em que um número qualquer de elementos simples está conec tado ao mesmo par de nós se assemelha ao circuito com um único laço p FIGURA 314 Circuito com um único laço 12 V 30 Ω 8 Ω 7 Ω υx 4υx Seção 35 u Circuitos com um par de nós 49 discutido na Seção 34 Um exemplo desse tipo de circuito é mostrado na Figura 315a A LKT nos força a considerar que a tensão sobre cada um dos ramos é a mesma sobre qualquer outro ramo Dizemos que elementos de circuito que têm a mesma tensão sobre eles estão ligados em paralelo Calcule a tensão a corrente e a potência associadas a cada um dos ele mentos no circuito da Figura 315a Primeiro definimos um tensão υ e selecionamos arbitrariamente a sua polari dade como mostrado na Figura 315b Duas correntes fluindo nos resistores são selecionadas em conformidade com a convenção do sinal passivo como mostrado na Figura 315b p FIGURA 315 a Circuito com um par de nós b A tensão e duas correntes são assinaladas a Ω 120 A 30 A R1 R2 b 120 A R1 30 A R2 v i1 i2 1 15 1 Ω 30 1 Ω 15 1 Ω 30 a Ω 120 A 30 A R1 R2 b 120 A R1 30 A R2 v i1 i2 1 15 1 Ω 30 1 Ω 15 1 Ω 30 Determinando a corrente i1 ou i2 poderemos obter um valor para υ Então nosso próximo passo é aplicar a LKC em qualquer um dos nós do circuito Equacionando a soma algébrica das correntes que saem do nó superior e igualando a zero 120 i1 30 i2 0 Escrevendo as duas correntes em termos da tensão υ usando a lei de Ohm i1 30 υ e i2 15 υ obtemos 120 30 υ 30 15 υ 0 Resolvendo a equação para υ temos que υ 2V e utilizando a lei de Ohm nos temos i1 60 A e i2 30 A A potência absorvida em cada elemento pode ser calculada agora Nos dois resistores pR1 3022 120 W e pR2 302 60 W u EXEMPLO 36 Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 50 e para as duas fontes p120A 1202 240 W e p30A 302 60 W Uma vez que a fonte de 120 A absorve 240 W negativos ela está na verdade fornecendo potência para os outros elementos do circuito De forma similar concluímos que a fonte de 30 A está na realidade absorvendo potência no lugar de fornecêla u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 37 Determine υ no circuito da Figura 316 t FIGURA 316 5 A 6 A 1 A 10 Ω 10 Ω υ Resposta 50 V Determine o valor de υ e a potência fornecida pela fonte de corrente de pendente na Figura 317 p FIGURA 317 A tensão υ e a corrente i6 são assinaladas no circuito com um par de nós contendo a fonte dependente 2 kΩ 2ix 6 kΩ 24 mA υ ix i6 Pela LKC a soma das correntes que saem no nó superior deve ser zero de modo que i6 2ix 0024 ix 0 Novamente note que o valor da fonte dependente 2ix é tratado de maneira semelhante a qualquer outra corrente embora seu valor numérico não seja conhecido até que o circuito tenha sido analisado Seguimos aplicando a lei de Ohm para cada resistor i6 υ 6000 e ix υ 2000 Portanto υ 6000 2 υ 2000 0024 υ 2000 0 e então υ 6000024 144 V Qualquer outra informação que seja necessária para este circuito é fácil de ser obtida agora em um único passo Por exemplo a potência fornecida pela fonte independente é p24 1440024 03456 W 3456 mW u EXEMPLO 37 Seção 36 u Fontes conectadas em série e em paralelo 51 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 38 Para o circuito contendo um único par de nós mostrado na Figura 318 achar iA iB e iC t FIGURA 318 2 A 01υx 9 Ω 18 Ω 56 A υx iB iA iC Resposta 3 A 54 A 6 A 36 FONTES CONECTADAS EM SÉRIE E EM PARALELO Algumas das manipulações matemáticas feitas sobre o equacionamento de circuitos em série e paralelo podem ser evitadas por meio da combinação de fontes Note entretanto que doas as tensões correntes e potência relaciona das no restante do circuito não serão mudadas Por exemplo várias fontes de tensão em série podem ser substituídas por uma fonte de tensão equivalente em que o seu valor é igual à soma algébrica das fontes individuais Figura 319a Fontes de corrente ligadas em paralelo podem também ser combina das pela soma algébrica de suas correntes individuais e a ordem de elementos em paralelo pode ser rearranjada como desejado Figura 319b t FIGURA 319 a Fontes de tensão conectadas em série podem ser substituídas por uma única fonte b Fontes de corrente em paralelo podem ser substituídas por uma única fonte a v1 v2 v1 v2 v3 v3 b i1 i2 i3 i1 i2 i3 Determine a corrente i no circuito da Figura 320a combinando primeira mente as fontes em uma única fonte de tensão equivalente p FIGURA 320 a 9 V 5 V 1 V 3 V 100 Ω 220 V b 16 V 100 Ω i i c 16 V 100 Ω 220 Ω 220 Ω i u EXEMPLO 38 Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 52 Para que seja possível combinar as fontes de tensão é necessário que elas estejam em série Uma vez que a mesma corrente i flui por todos os elemen tos do circuito essa condição está satisfeita Iniciando a análise pelo canto esquerdo baixo e procedendo a análise no sentido horário temos que 3 9 5 1 16 V Então vamos trocar as quatro fontes de tensão por uma única fonte de 16 V tendo sua referência negativa como mostrado na Figura 320b Usando a lei de Ohm combinado com a LKT temos que 16 100i 220i 0 ou i 16 320 50 mA Podemos notar que o circuito na Figura 320c é também equivalente um fato que é facilmente verificado por meio do cálculo de i u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 39 Determine a corrente i no circuito da Figura 321 após substituir as quatro fontes por uma única fonte equivalente p FIGURA 321 4 V 3 Ω 5 V 1 V 47 Ω 7 Ω i Resposta 54 A Determine a tensão υ no circuito da Figura 322a combinando primeira mente as fontes em uma única fonte de corrente equivalente As fontes podem ser combinadas se a mesma tensão aparece sobre cada uma delas o que neste caso é facilmente verificado Então podemos criar uma nova fonte em que a seta aponta para cima entrando no nó superior Pela adição das fontes de corrente que fluem para aquele nó temos 25 25 3 3 A Um circuito equivalente é mostrado na Figura 322b Então a LKC nos permite escrever 3 υ 5 υ 5 0 Resolvendo achamos υ 75 V u EXEMPLO 39 Seção 36 u Fontes conectadas em série e em paralelo 53 Outro circuito equivalente pode ser visto na Figura 322c t FIGURA 322 5 Ω 5 Ω υ 25 A 25 A 3 A a 5 Ω 5 Ω υ 3 A c 5 Ω 5 Ω υ 3 A b u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 310 Determine a corrente υ no circuito da Figura 323 após substituir as três fontes por uma única fonte equivalente t FIGURA 323 10 Ω 10 Ω υ 5 A 6 A 1 A Resposta 50 V Para concluir a discussão a respeito da combinação série e paralelo de fontes podemos considerar a combinação de duas fontes de tensão em para lelo e a combinação de duas fontes de corrente em série Por exemplo qual é o equivalente entre o paralelo de uma fonte de 5 V e outra de 10 V Pela definição de fonte de tensão a tensão sobre as mesmas não pode mudar pela lei de Kirchhoff das tensões as tensões deveriam ser iguais ou seja 5 igual a 10 o que é uma hipótese fisicamente impossível Sendo assim fontes ideais de tensão em paralelo só são permitidas quando as tensões em seus terminais forem exatamente iguais em todo instante de tempo De maneira similar duas fontes de corrente não pode ser colocadas em série a menos que tenham a mesma corrente incluindo o sinal para todo instante de tempo Determine quais dos circuitos da Figura 324 são válidos O circuito da Figura 324a consiste em duas fontes de tensão em paralelo O valor de cada fonte é diferente então esse circuito viola a LKT Por exemplo se um resistor for colocado em paralelo com a fonte de 5 V este também estará em paralelo com a fonte de 10 V A tensão que atua sobre o resistor é ambígua e claramente o circuito não pode ser construído como indicado Se tentarmos construir um circuito como este na prática veremos que é impos sível encontrarmos fontes ideais de tensão todas as fontes reais possuem uma resistência interna u EXEMPLO 310 Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 54 A presença desta resistência interna permite que haja diferença entre duas fontes reais Seguindo essa linha o circuito da Figura 324b é perfeitamente válido p FIGURA 324 Exemplos de circuito com múltiplas fontes alguns dos quais violam as leis de Kirchhoff 5 V 10 V a R 2 V 14 V b R 1 A 1 A c O circuito da Figura 324c viola a LKC uma vez que não é claro qual é a corrente que realmente flui através de R u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 311 Determine se o circuito da Figura 325 viola alguma das leis de Kirchhoff t FIGURA 325 R 5 A 3 A Resposta Não Porém se o resistor fosse removido o circuito resultante violaria 37 RESISTORES EM SÉRIE E EM PARALELO É possível frequentemente substituirmos combinações relativamente complicadas de resistores por um resistor simples equivalente Isso é útil quando não estamos interessados especificamente em uma corrente tensão ou potência associada com algum resistor individual naquela combinação Todas as relações de corrente tensão e potência no restante do circuito devem se manter inalteradas Considere uma combinação em série de N resistores como mostrado na Figura 326a Desejamos simplificar o circuito substituindo os N resistores por um resistor Req equivalente de modo que o restante do circuito neste caso apenas a fonte de tensão não perceba que alguma mudança foi feita A corrente tensão e potência da fonte deve ser a mesma antes e depois da substituição Primeiro aplicamos LKT υs υ1 υ2 υN e então a lei de Ohm υs R1i R2i RNi R1 R2 RNi Compare agora esse resultado com a equação simples aplicando ao circuito simplificado mostrado na Figura 326b υs Reqi Seção 37 u Resistores em série e em paralelo 55 Então o valor da resistência equivalente para N resistores em série é Req R1 R2 RN 8 Agora estamos preparados para substituirmos uma rede de dois termi nais constituída de N resistores em série por um único elemento Req de dois terminais com a mesma relação υ i É importante enfatizarmos novamente que pode ser de nosso interesse sabermos o valor de corrente tensão ou potência de um dos elementos originais Por exemplo a tensão de uma fonte dependente de tensão pode depender de um valor de tensão sobre R3 Se R3 está combinado com outros resistores em série para formar um resistor equivalente então a tensão sobre este não poderá ser determinada e consequentemente a tensão nos terminais da fonte controlada também não poderá ser determinada Neste caso seria melhor voltar atrás e não colocar R3 como parte da combinação inicial t FIGURA 326 a Combinação de N resistores em série b Circuito elétrico equivalente υ1 υ2 υN a R1 R2 RN υs i b Req υs i Use a combinação de resistências e fontes para determinar a corrente i na Figura 327a e a potência entregue pela fonte de 80 V t FIGURA 327 a Um circuito em série com várias fontes e resistores b Os elementos foram rearranjados para tornar o circuito mais claro c Circuito equivalente mais simples 30 V a 80 V i 8 Ω 10 Ω 7 Ω 20 V 5 Ω i 80 V 10 Ω 30 V 20 V 8 Ω 7 Ω 5 Ω b c 90 V i 30 Ω Dica útil Em circuitos série a ordem em que os elementos aparecem no circuito não faz diferença Isso pode ser facilmente verificado inspecionando o circuito por meio da LKT u EXEMPLO 311 Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 56 Primeiros trocamos os elementos de posição no circuito tomando o cuidado para preservar as propriedades das fontes como mostra a Figura 327b O próximo passo é combinar as três fontes de tensão em uma fonte equivalente de 90 V e os quatro resistores em um equivalente de 30 Ω como na Figura 327c Então em vez de escrevermos 80 10i 30 7i 5i 20 8i 0 temos simplesmente 90 30i 0 e então achamos i 3 A Para calcular a potência entregue para o circuito pela fonte de 80 V que aparece no circuito original é necessário que retornemos para a Figura 327a com o conhecimento de que a corrente é 3 A A potência desejada é então 80 V 3 A 240 W É interessante notarmos que nenhum elemento do circuito original permanece no circuito equivalente u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 312 Determine i no circuito da Figura 328 t FIGURA 328 i 5 V 5 V 15 Ω 5 V 5 Ω 25 Ω Resposta 333 mA Simplificação similar pode ser aplicada a circuitos em paralelo Um circuito contendo N resistores em paralelo como mostrado na Figura 329a conduz a seguinte equação LKC is i1 i2 iN ou is υ R1 υ R2 υ RN υ Req Então 1 Req 1 R1 1 R2 1 RN 9 A Equação 9 pode ser também escrita como R 1 eq R 1 1 R 1 2 R 1 N ou em termos de condutância como p FIGURA 329 a Um circuito com N resistores em paralelo b Circuito equivalente R2 R1 is RN υ i2 i1 iN a is Req υ b Seção 37 u Resistores em série e em paralelo 57 Geq G1 G2 G N O circuito simplificado equivalente é mostrado na Figura 329b Uma combinação em paralelo é rotineiramente indicada pela notação simplificada Req R1 R2 R3 Um caso especial muito encontrado é a combinação de apenas dois resistores em paralelo que pode ser escrita como Req R1 R2 1 1 R1 1 R2 Ou de maneira mais simples Req R1R2 R1 R2 10 É recomendável que se memorize essa forma embora seja um erro comum tentar generalizar a Equação 10 para mais de dois resistores como por exemplo Req R1R2R3 R1 R2 R3 Uma rápida olhada nas unidades desta equação mostrará imediatamente que ela não pode estar correta u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 313 Determine υ no circuito da Figura 330 após combinar as três fontes de corrente e também as duas resistências de 10 Ω t FIGURA 330 10 Ω 10 Ω υ 5 A 6 A 1 A Resposta 50 V Calcule a potência e a tensão da fonte independente da Figura 331a Procuraremos simplificar o circuito antes de analisálo mas tendo cuidado para incluirmos a fonte dependente uma vez que a sua característica de ten são e potência são de nosso interesse Apesar de não estarem desenhadas lado a lado as duas fontes de corrente independentes estão na verdade em paralelo e com isso podemos substituí las por uma fonte equivalente de 2 A u EXEMPLO 312 Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 58 p FIGURA 331 a Circuito com múltiplos nós b As duas fontes de corrente independentes são combinadas em uma fonte de 2 A e o resistor de 15 Ω em série com dois resistores de 6 Ω em paralelo são substituídos por um único resistor de 18 Ω c Circuito equivalente simplificado 4 A 09i3 15 Ω 6 Ω 6 Ω 3 Ω 6 A υx i3 9 Ω a 09i3 3 Ω 9 Ω 18 Ω b 2 A υ i3 09i3 3 Ω 2 A 6 Ω υ i3 c Os dois resistores de 6 Ω estão em paralelo e podem ser substituídos por um único resistor de 15 Ω e este em série com o resistor de 3 Ω Assim os dois resistores de 6 Ω e o resistor de 15 Ω são substituídos por um resistor equi valente de 18 Ω Figura 331b Não importa o quão tentador seja não devemos combinar os três resistores restantes A variável controlada i3 depende do resistor de 3 Ω e então este resistor deve permanecer intocado Uma única simplificação adicional então é 9 Ω18 Ω 6 Ω como mostrado na Figura 331c Aplicando a LKC no nó superior da Figura 331c temos que 09i3 2 i3 υ 6 0 Empregando a lei de Ohm υ 3i3 o que nos permite calcular i3 10 3 A Então a tensão sobre a fonte dependente que é a mesma sobre a resistência de 3 Ω é υ 3i3 10 V Então a fonte dependente fornece υ 09i3 1009 10 Q 3 R 30W para o resto do circuito Seção 37 u Resistores em série e em paralelo 59 Agora se quisermos saber a potência dissipada no resistor de 15 Ω temos que voltar ao circuito original Este resistor está em série com um resistor equi valente de 3 Ω há uma tensão de 10 V nos terminais do resistor equivalente de 18 Ω portanto uma corrente de 59 A flui através do resistor de 15 Ω e a potência absorvida por esse elemento é 5 9 Q R 2 15 463W u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 314 Para o exercício da Figura 332 calcule a tensão υx t FIGURA 332 5 Ω 5 Ω 6 Ω 9 Ω 3 Ω 3 Ω 3 Ω 3 Ω 1 A υx i3 Resposta 2819 V p FIGURA 333 a Os dois elementos de circuito estão em série e em paralelo b R2 e R3 estão em paralelo e R1 e R8 estão em série c Não existem elementos de circuitos em série ou paralelo com qualquer outro elemento a υs R b υs R3 R2 R1 R7 R5 R4 R6 R8 c υs RC RB RA RD RE iB iA is Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 60 Três comentários finais a respeito das combinações em série e em para lelo podem ser úteis O primeiro está ilustrado na Figura 333a e nos leva a perguntar υs e R então em série ou em paralelo A resposta é ambos Os dois elementos transportam a mesma corrente e por isso estão em série eles também compartilham da mesma tensão e consequentemente estão em paralelo O segundo comentário é na verdade uma palavra de advertência Circuitos podem ser desenhados de tal maneira que as combinações série e paralelo podem se tornar de difícil visualização Na Figura 333b por exemplo apenas os resistores R2 e R3 estão em paralelo enquanto apenas os resistores R1 e R8 estão em série O comentário final é de que um elemento de circuito não necessita estar em série ou paralelo com outro elemento do mesmo circuito Por exemplo R4 e R5 na Figura 333b não estão em série ou em paralelo com nenhum outro elemento de circuito e não existem elementos na Figura 333c que estão em série ou paralelo com os outros elementos de circuito Em outras palavras não podemos simplificar mais aquele circuito por meio das técni cas discutidas neste capítulo 38 DIVISÃO DE TENSÃO E CORRENTE Pela combinação de fontes e resistências encontramos um método para diminuir o nosso trabalho ao analisar um circuito Outro atalho útil é a aplicação das ideias de divisão de tensão e divisão de corrente A divisão de tensão é usada para expressar a tensão sobre um das vários resistores em série em termos da tensão sobre a combinação Na Figura 334 a tensão sobre R2 pode ser achada pela LKT e para lei de Ohm como segue υ υ1 υ2 iR1 iR2 iR1 R2 então i υ R1 R2 Sendo assim υ2 iR2 υ R1 R2 R2 ou υ2 R2 R1 R2 υ e a tensão sobre R1 é de forma similar υ1 R1 R1 R2 υ Se na rede da Figura 334 é generalizada pela remoção de R2 e substitui ção pela combinação série de R1 R2 RN então temos um resultado geral para a divisão de tensão sobre a cadeia de N resistores em série p FIGURA 334 Uma ilustração da divisão de tensão i υ2 υ1 υ R1 R2 Seção 38 u Divisão de tensão e corrente 61 υk Rk R1 R2 RN υ 11 o que nos permite calcular a tensão υk que aparece sobre um resistor arbi trário Rk da série Determine υx no circuito da Figura 335a p FIGURA 335 a Um exemplo numérico que ilustra a combinação de resistências e divisão de tensão b circuito simplificado i3 υx 4 Ω 6 Ω 12 sen t V 3 Ω 4 Ω 2 Ω b a 12 sen t V υx Primeiro vamos combinar os resistores de 6 Ω e 3 Ω substituindo os mesmos pela resistência equivalente 63 63 2Ω Uma vez que υx aparece sobre a combinação em paralelo nossa simplifica ção não perdeu esta grandeza No entanto uma simplificação ainda maior no circuito com a substituição dos resistores de 4 Ω e 2 Ω por uma resistência equivalente faria υx desaparecer Então prosseguimos simplesmente aplicando o divisor de tensão na Figura 335b υx 12 sent 2 4 2 4 sent volts u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 315 Use a divisão de tensão para determinar υx no circuito da Figura 336 p FIGURA 336 10 V 2 Ω 3 Ω 10 Ω 10 Ω υx Resposta 2 V u EXEMPLO 313 Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 62 O dual2 da divisão de tensão é a divisão de corrente Temos agora a corrente total fornecida para vários resistores em paralelo como mostrado no circuito da Figura 337 p FIGURA 337 Uma ilustração de divisão de corrente i υ R2 R1 i1 i2 A corrente que flui através de R2 é i2 υ R2 iR1 R2 R2 i R2 R1R2 R1 R2 ou i2 i R1 R1 R2 12 ou de forma similar i1 i R2 R1 R2 13 A natureza não sorriu para nós aqui pois as duas últimas equações têm um fator que difere sutilmente daquele utilizado na divisão de tensão e certo esforço será necessário para que evitemos erros Muitos estudantes encaram a expressão da divisão de tensão como óbvia e o divisor de cor rente como diferente Isto ajuda a entender que o maior de dois resistores em paralelo carrega a menor corrente Para a combinação de N resistores em paralelo a corrente através do resistor Rk é ik i 1 Rk 1 R1 1 R2 1 RN 14 Escrevendo em termos de condutâncias ik i Gk G1 G2 G N que tem estreita relação com a Equação 11 para a divisão de tensão 2 O princípio da dualidade é encontrado com frequência em engenharia Nós consi deraremos o tópico brevemente no Capítulo 7 quando compararemos indutores e capacitores Seção 38 u Divisão de tensão e corrente 63 Escreva uma expressão para a corrente através do resistor de 3 Ω da Figura 338 p FIGURA 338 Circuito usado como exemplo de divisão de corrente A linha ondulada no símbolo da fonte de tensão significa que a fonte varia senoidalmente com o tempo i3 υx 4 Ω 6 Ω 12 sen t V 3 Ω A corrente total fluindo para combinação 3 Ω 6 Ω é it 12 sent 4 3 6 12 sent 4 2 2 sent A então a corrente desejada é dada pelo divisor de corrente i3t 2 sent 6 6 3 4 3 sent A Infelizmente a divisão de corrente é muitas vezes aplicada quando a mesma não poderia ser aplicada Como exemplo vamos considerar novamente o circuito mostrado na Figura 333c circuito em que já aceitamos o fato de seus elementos não estarem em série e nem em paralelo Sem resistores em paralelo não é possível que apliquemos a divisão de corrente Apesar disso existem alunos que dão uma olhada rápida para os resistores RA e RB e tentam aplicar uma divisão de corrente escrevendo uma equação incorreta como iA iS RB RA RB Lembrese resistores em paralelo devem ser ramos conectados entre o mesmo par de nós u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 31 No circuito da Figura 339 use o método da combinação das resistências e a divisão de corrente para achar i1 i2 e υ3 p FIGURA 339 i1 i2 υ3 125 Ω 50 Ω 240 Ω 20 Ω 2 Ω 40 Ω 120 mA Resposta 100 mA 50 mA 08 V u EXEMPLO 314 APLICAÇÃO NÃO É A TERRA DA GEOLOGIA Até agora temos desenhado diagramas esquemáticos de circuitos de maneira similar àquele mostrado na Figura 340 em que as tensões são definidas entre dois terminais claramente definidos Tomamos um cuidado especial ao se destacar o fato de que a tensão não pode ser definida em um único ponto ela é por definição a diferença de potencial entre dois pontos No entanto muitos diagra mas esquemáticos utilizam a convenção segundo a qual o terra é definido como o potencial nulo de forma que todas as tensões em um circuito estejam implicitamente referenciadas a este potencial Este conceito geralmente é conhecido como terra e está fundamentalmente ligado às normas de segurança para evitar incêndios choques elé tricos fatais e outros problemas relacionados O símbolo do terra está mostrado na Figura 341a p FIGURA 340 Circuito simples com uma tensão υa definida entre dois terminais 9 V 47 kΩ 47 kΩ υa Uma vez que o terra é definido como tendo zero volts é geralmente conveniente usálo como um termi nal comum nos diagramas esquemáticos O circuito da Figura 340 foi redesenhado dessa maneira na Figura 342 em que o símbolo de terra representa um nó comum É importante notar que os dois circuitos são equivalente em termos do valor υa 45 V em qualquer um dos casos mas não são mais exatamente os mesmos Dizemos que o circuito da Figura 340 está flutuando pelo fato de que ele para todas as finalidades práticas poderia ser instalado na placa de circuito impresso de um satélite em órbita ou em seu caminho para Plutão No entanto o circuito da Figura 342 está de certa forma fisicamente conectado ao terra através de um caminho condutor Por essa razão há dois outros símbolos que são ocasionalmente usados para representar um terminal comum A Figura 341b mostra o que é comumente chamado de terra de sinal pode haver e geralmente há uma elevada diferença de potencial entre o terra e qualquer terminal ligado ao terra de sinal p FIGURA 341 Três símbolos diferentes usados para representar um ponto de terra ou um terminal comum a Terra b terra de sinal c terra de chassi a b c O fato de que o terminal comum de um circuito pode estar ou não conectado ao terra por meio de algum cami nho de baixa resistência pode legar a situações potencial mente perigosas Considere o diagrama da Figura 343a que mostra um pobre inocente prestes a tocar em um equipamento alimentado por uma tomada Foram usados apenas dois terminais da tomada o pino de aterramento foi deixado desconectado Os terminais comuns de todos os circuitos o equipamento foram interligados e conecta dos à sua carcaça este terminal é geralmente representado pelo símbolo de terra de chassi da Figura 341c Infeliz mente há uma falha na fiação devido a algum defeito de fabricação ou desgaste Como a carcaça do equipamento não está aterrada há uma alta resistência entre este ponto e o aterramento Um pseudoesquema foi tomada certa liberdade em relação ao símbolo que representa a resistência equivalente do indivíduo dessa situação é mostrado na Figura 343b O caminho elétrico entre a carcaça condutora e a terra poderia ser de fato a mesa que seria representada por uma resistência de centenas de megaohms ou mais A resistência da pessoa no entanto é várias ordens de grandeza menor Quando esta pessoa der um tapinha no equipamento para ver por que ele não está funcionado corretamente bem podemos dizer que várias histórias como essa não tiveram um final feliz p FIGURA 342 O circuito da Figura 340 redesenhado usando o símbolo de terra O símbolo mais à direita é redundante Ele só é necessário para marcar o terminal positivo de υa a referência negativa é implicitamente o terra ou zero volts 9 V 47 kΩ 47 kΩ υa O fato de que o terra nem sempre é um ponto fisica mente conectado à terra pode causar muitos problemas de segurança e ruído elétrico Um exemplo é encontrado ocasionalmente em prédios antigos onde o encanamento era originalmente feito de canos de cobre que são bons condutores elétricos Em prédios assim qualquer cano era geralmente considerado um caminho de baixa resis tência para a terra e portanto usado em muitas conexões elétricas No entanto quando tubos corroídos são substi tuídos por canos de PVC mais modernos baratos e não condutores o caminho de baixa resistência para a terra deixa de existir Um problema relacionado ocorre quando a composição do solo varia muito de um lugar para outro em uma região Nessas situações é possível ter dois pré dios vizinhos nos quais os aterramentos não são iguais o que pode levar à circulação de correntes indesejáveis Neste texto o símbolo de terra será usado de forma exclusiva Vale lembrar no entanto que não existem ater ramentos iguais em situações práticas p FIGURA 343 a Um esboço mostrando uma pessoa inocente prestes a tocar um equipamento que não está corretamente aterrado isso não será muito bonito b Esboço de um circuito equivalente para o que ocorrerá a pessoa foi representada por uma resistência equivalente assim como o equipamento Um resistor foi usado para representar o caminho para a terra que não passa pela pessoa a Tomada Requipamento Rpara o terra b 115 V RESUMO E REVISÃO Começamos este capítulo discutindo as combinações entre elementos de circuito e introduzimos os termos nó caminho laço e ramo Os dois tópicos seguintes podemos ser considerados os mais importantes deste livrotexto chamados de Lei de Kirchhoff da corrente LKC e Lei de Kir chhoff da Tensão LKT A primeira é baseada no princípio da conservação das cargas e pode ser expressa em termos de o que entra corrente tem de sair A segunda é baseada na conservação da energia e pode ser visto como o que sobe potencial tem de descer Essas duas leis nos permite analisar qualquer circuito seja linear ou não fornecendonos um caminho para relacionar tensões e correntes com elementos passivos como a lei de Ohm para resistores No caso de circuitos com um único laço os elemen tos são conectados em série desde que cada um carregue a mesma corrente O circuito com apenas um par de nós é aquele em que os elementos estão conectados em paralelo e se caracteriza por apresentarem uma mesma tensão comum a cada um dos seus elementos Estendendo esses conceitos nos foi permitido desenvolver uma maneira de simplificar fontes de tensão em série ou fontes de corrente em paralelo subsequentemente obtivemos as expressões clássicas para resistores conectados em série e em paralela Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 66 No tópico final o de divisão de tensão e corrente encontra considerável uso na síntese de circuitos em que uma tensão ou corrente específicas são requeridas mas a nossa escolha é limitada Concluímos a nossa revisão com os pontoschave deste capítulo desta cando exemplos apropriados f A lei de Kirchhoff da corrente afirma que a soma algébrica das correntes que entram em um nó é igual a zero Exemplos 31 34 f A lei de Kirchhoff da tensão afirma que a soma algébrica das tensões ao longo de um caminho fechado é igual a zero Exemplos 32 33 f Dizemos que todos os elementos de um circuito que transportam a mesma corrente estão conectados em série Exemplo 35 f Dizemos que todos os elementos que apresentam a mesma tensão sobre os seus terminais estão conectados em paralelo Exemplo 36 37 f Fontes de tensão em série podem ser substituídas por uma única fonte desde que se tome cuidado com a polaridade individual de cada fonte Exemplo 38 310 f Fontes de corrente em paralelo podem ser substituídas por uma única fonte desde que se tome cuidado com a direção de cada cor rente Exemplo 39 310 f Uma combinação de N resistores em série pode ser substituída por um único resistor tendo o valor Req R1 Ra RN Exemplo 311 f Uma combinação de N resistores em paralelo pode ser substituída por um único resistor tendo o valor 1 Req 1 R1 1 R2 1 RN Exemplo 312 f A divisão de tensão nos permite calcular que fração da tensão total aplicada em um grupo de resistores em série aparecerá nos terminais de qualquer um dos resistores ou grupo de resistores Exemplo 313 f A divisão de corrente nos permite calcular qual fração da corrente total em um conjunto de resistores em paralelo flui através de qual quer um dos resistores Exemplo 314 LEITURA COMPLEMENTAR Uma discussão a respeito dos princípios de conservação da energia e da carga bem como sobre as leis de Kirchhoff pode ser encontrada em R Feynman R B Leighton and M L Sands The Feynman Lectures on Physics Reading Mass AddisonWesley 1989 pp 41 47 and 259 Uma discussão bastante detalhada a respeito de práticas de aterramento con sistentes com o National Electrical Code de 1996 pode ser encontrada em J E McPartland B J McPartland and F P Hartwell McGraw Hills National Electrical Code 2008 Handbook 26th ed New York McGrawHill 2008 Exercícios 67 EXERCÍCIOS 31 Nós Caminhos Laços e Ramos 1 Referente ao circuito ilustrado na Figura 344 conte o número de a nós b elementos c ramos 2 Referente ao circuito ilustrado na Figura 345 conte o número de a nós b elementos c ramos 3 Para o circuito da Figura 346 a conte o número de nós b no movimento de A até B formamos um caminho Formamos um laço c no movimento de C passando por F até G formamos um caminho Forma mos um laço 4 Para o circuito da Figura 346 a conte o número de elementos de circuito b se movemos de B passando por C até D formamos um caminho Forma mos um laço c se movemos de E passando por D e C até B formamos um caminho For mamos um laço 5 Com referência ao circuito da Figura 347 responda as seguintes questões a quantos nós distintos são contados no circuito b quantos elementos são contados no circuito c quantos ramos existem no circuito d determine se os itens a seguir representam caminhos laços ambos ou nenhum i de A até B ii de B passando por D C até E iii de C passando por E D B A até C iv de C passando por D B A C até E 32 Lei de Kirchhoff das Correntes 6 Um restaurante local tem um anúncio de néon formado por 12 lâmpadas sepa radas Quando uma lâmpada queima ela aparece como uma resistência infinita e não pode conduzir corrente Ao fazer a ligação das lâmpadas o fabricante oferece duas opções Figura 348 A partir do que você aprendeu a respeito da LKC que método de conexão o dono do restaurante deveria escolher Explique t FIGURA 348 p FIGURA 346 A B C F G E D p FIGURA 347 C A B E D p FIGURA 344 4 Ω 2 A 5 A 14 Ω 15 Ω 2 Ω 5 Ω p FIGURA 345 4 Ω 5 A 2 A 4 Ω 15 Ω 2 Ω 5 Ω Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 68 7 Com referência ao diagrama com um único nó mostrado na Figura 349 calcule a iB se iA 1 A iD 2 A iC 3 A iE 0 A b iE se iA 1 A iB 1 A iC 1 A iD 1 A 8 Determine as correntes I em cada um dos circuitos da Figura 350 p FIGURA 350 6 A 15 V 7 A I I 3 A 3 A I 9 A 9 A a b c 1 V 1 V 5 V 9 No circuito mostrado na Figura 351 os valores dos resistores são desconheci dos mas uma fonte de tensão de 2 V é conhecida e supre uma corrente de 7 A para o resto do circuito Calcule a corrente i2 10 Uma fonte de tensão no circuito da Figura 352 tem uma corrente de 1 A saindo do terminal positivo do resistor R1 Calcule a corrente i2 11 No circuito ilustrado na Figura 353 ix é tal que seu valor é 15 A e a fonte de 9 V fornece uma corrente de 76 A isso é a corrente de 76 A sai do terminal de referência positiva da fonte de 9 V Determine o valor do resistor RA 12 Para o circuito da Figura 354 que é um modelo para a operação CC de um transistor bipolar de junção polarizado para na região ativa IB é medido como tendo 100 µA Determine IC e IE 13 Determine a corrente Ia no circuito da Figura 355 p FIGURA 355 2 mA 47 kΩ 3 Ω 1 Ω 5Vx Vx I3 14 Estude o circuito ilustrado na Figura 356 e explique em termos da LKC por que a tensão Vx deve ser zero 15 Em muitas residências muitas tomadas em um dado quarto fazem parte de um mesmo circuito Desenhe o circuito para um quarto de quatro paredes com ape nas uma tomada por parede com uma lâmpada representada por um resistor de 1 Ω conectada a cada tomada p FIGURA 351 R2 R3 R1 3 A 2 V 1 A i2 p FIGURA 352 R2 R3 R1 7 A 2 V 3 A i2 p FIGURA 356 Vs R R R Vx p FIGURA 349 iC iB iA iD iE p FIGURA 353 RA 6 Ω 5 Ω ix 16 A 9 V υx p FIGURA 354 V1 V2 R1 R2 1 kΩ 1 kΩ 150IB IB IE IC Exercícios 69 33 Lei de Kirchhoff das Tensões 16 Para o circuito da Figura 357 a Determine a tensão υ1 se υ2 0 e υ3 17 V b Determine a tensão υ1 se υ2 2 V e υ3 2 V c Determine a tensão υ2 se υ1 7 V e υ3 9 V d Determine a tensão υ3 se υ1 233 V e υ2 170 V t FIGURA 357 υ1 υ3 υ2 A C B 1 2 3 17 Para cada um dos circuitos da Figura 358 determine a tensão υx e a corrente ix t FIGURA 358 9 V 4 V 7 Ω υx ix 2 V 7 V 8 Ω υx ix a b 18 Use a LKT para obter numericamente o valor para a corrente i em cada circuito ilustrado na Figura 359 p FIGURA 359 1 V 2 V 5 V 2 Ω 10 Ω a i 10 V 15 V 15 V 2 V 2 Ω 2 Ω 1 V 2 Ω 2 Ω b i 19 No circuito da Figura 360 é determinado que υ1 3 V e υ3 15 V Calcule υR e υ2 4 V υx υR υ1 υ2 12 V υ3 R1 R2 15 Ω b c a 23 V t FIGURA 360 Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 70 20 No circuito da Figura 360 um multímetro é usado para medir o seguinte υ1 2 V e υ3 15 V Calcule υx 21 Determine o valor de υx como marcado no circuito da Figura 361 t FIGURA 361 υx 2 Ω 73 Ω 2 Ω 1 Ω 23 V ix 500 mA 22 Considere o circuito simples mostrado na Figura 362 Usando a LKT derive as expressões υ1 υs R1 R1 R2 e υ2 υs R2 R1 R2 23 a Determine o valor numérico para cada corrente e tensão i1 υ1 etc no circuito da Figura 363 b Calcule a potência absorvida por cada elemento do circuito e verifique se a soma das mesmas é igual a zero 5i2 5υ1 5 Ω 6 Ω 2 V υ1 υ2 υ4 υ5 υ3 i4 i2 i5 i1 i3 t FIGURA 363 24 O circuito mostrado na Figura 364 inclui um dispositivo conhecido como amplificador operacional AOP Este dispositivo possui duas propriedades incomuns no circuito mostrado 1 Vd 0 V e 2 nenhuma corrente pode fluir em qualquer terminal de entrada marcados com ou dentro do símbolo mas pode fluir através do terminal de saída marcado como saída Essa situação aparentemente impossível em conflito direto com a LKC é o resultado de cabos de energia para o dispositivo que não estão incluídos no símbolo Baseado nestas informações calcule Vsaída Dica duas equações LKT são necessárias ambas envolvendo a fonte e 5 V 5 V Vd Vsaída 100 V 470 V amp op Saída t FIGURA 364 34 Circuito com um Laço 25 O circuito da Figura 312b é construído com o seguinte vs1 8 V R1 1Ω vs2 16 V e R2 47 Ω Calcule a potência absorvida por cada elemento Verifique que a soma das potências absorvidas é igual a zero p FIGURA 362 R2 R1 υs υ2 υ1 Exercícios 71 26 Obtenha o valor numérico para a potência absorvida por cada elemento no cir cuito mostrado na Figura 365 8υA 2 Ω 5 Ω 45 V υA t FIGURA 365 27 Calcule a potência absorvida por cada elemento do circuito da Figura 366 28 Calcule a potência absorvida para cada elemento no circuito da Figura 367 se o misterioso elemento X é a um resistor de 13 Ω b uma tensão de tensão dependente identificada por 4υ1 referente ao terminal superior c uma fonte de tensão dependente identificada por 4ix referente ao terminal superior 29 As leis de Kirchhoff podem ser aplicadas a um elemento de circuito em parti cular mesmo quando a lei de Ohm não se aplica Por exemplo a característica I V de um diodo é dada por ID IS eVD VT 1 em que VT 27 mV na temperatura ambiente e IS pode variar de 1012 até 1013 A No circuito da Figura 368 use a LKTLKC para obter VD se IS 29 pA Nota este exercício resulta em uma equação transcendental requerendo uma abordagem iterativa para que uma solução numérica seja obtida A maioria das calculadoras científicas pode executar tal função 35 Circuitos com um Par de Nós 30 Referindose ao circuito da Figura 369 a determine as duas correntes i1 e i2 b calcule a potência absorvida por cada elemento 3 A 7 A 2 Ω R1 R2 υ i1 i2 4 Ω t FIGURA 369 31 Determine o valor para a tensão υ como identificada no circuito da Figura 370 e calcule a potência fornecida pelas duas fontes de corrente 2 A 3 A 6 Ω R1 R2 υ i1 i2 10 Ω t FIGURA 370 32 Referindose ao circuito da Figura 371 determine o calor da tensão υ t FIGURA 371 1 A 2 A 5 Ω 5 A υ 5 Ω ix X 27 Ω 33 Ω 19 Ω 2 V 12 V υ1 p FIGURA 367 100 Ω 3 V ID VD p FIGURA 368 1 kΩ 22 kΩ 500 Ω 2 V 3υx υx p FIGURA 366 Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 72 33 Determine a tensão υ como marcada na Figura 372 e calcule a potência forne cida por cada fonte de corrente t FIGURA 372 3 Ω 3ix 1 Ω 2 A υ ix 34 Apesar de não parecer óbvio a primeira vista o circuito da Figura 373 é de fato um circuito com um único par de nós a Determine a potência absorvida por cada resistor b Determine a potência fornecida por cada fonte de corrente c Mostre que a soma das potências absorvidas calculadas em a é igual à soma das potências fornecidas calculada em b 36 Fontes Conectadas em Série e em Paralelo 35 Determine o calor numérico de υeq na Figura 374a se a υ1 0 V υ2 3 V e υ3 3 V b υ1 υ2 υ3 1 V c υ3 9 V υ2 45 V e υ3 1 V 36 Determine o calor numérico de ieq na Figura 374b se a i1 0 A i2 3 A e i3 3 A b i1 i2 i3 1 A c i3 9 A i2 45 A e 13 1 A 37 Para o circuito apresentado na Figura 375 determine a corrente i após combi nar as quatro fontes de tensão em uma única fonte de tensão equivalente 38 Determine o valor de υ1 necessário para se obter valor zero para a corrente identificada por i no circuito da Figura 376 39 a Para o circuito da Figura 377 determine o valor da tensão υ depois de simplificar o circuito de forma que o mesmo contenha apenas uma fonte de corrente em paralelo com dois resistores b Verificar que a potência fornecida pela fonte equivalente é igual à soma das potências fornecidas pelas fontes do circuito original t FIGURA 377 7 A 8 A 2 Ω 5 A υ 3 Ω 40 Qual valor de IS no circuito da Figura 378 resultará no valor zero para a tensão υ t FIGURA 378 128 A 257 A 1 Ω IS υ 1 Ω p FIGURA 374 p FIGURA 373 28 kΩ 47 kΩ 1 kΩ 5 mA 3 mA a υ1 υ2 υ3 υeq b i1 i2 i3 ieq p FIGURA 376 p FIGURA 375 6 V 2 V 12 V 2 V 1 kΩ i 4 V υ1 2 V 1 V 7 Ω 7 Ω i Exercícios 73 41 a Determine os valores de IX e VY no circuito mostrado na Figura 379 b Esses valores são necessariamente únicos para aquele circuito Explique c Simplifique o máximo possível o circuito da Figura 379 de modo a manter os valores de υ e i Seu circuito deve conter o resistor de 1 Ω t FIGURA 379 3 A 3 A IX 3 V 4 A 1 Ω υ i 4 V VY 37 Resistores em Série e em Paralelo 42 Determine a resistência equivalente para cada uma das redes mostradas na Figu ra 380 t FIGURA 380 2 Ω 2 Ω 3 Ω 1 Ω 1 Ω 2 Ω 4 Ω a b 43 Para cada rede ilustrada na Figura 381 determine uma resistência equivalente simples 44 a Simplifique o circuito da Figura 382 usado a combinação apropriada para as fontes e resistências b Determine o valor da tensão identificada por υ usando um circuito simplificado c Para qual valor a tensão de 1 V deve ser mudada para que a corrente i seja igual a zero d Calcule a potência absorvida pelo resistor de 5 Ω t FIGURA 382 2 Ω 7 Ω 1 Ω 5 Ω 1 V 3 V i 45 a Simplifique o circuito da Figura 383 usando a combinação apropriada para as fontes e resistências b Determine a tensão identificada por υ usando um circuito simplificado c Calcule a potência fornecida pela fonte de 2 A para o resto do circuito t FIGURA 383 2 A 1 A 5 Ω 5 A υ 5 Ω p FIGURA 381 2 Ω 1 Ω 4 Ω a 1 Ω 4 Ω 3 Ω b 2 Ω 1 Ω 4 Ω a 1 Ω 4 Ω 3 Ω b Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 74 p FIGURA 388 i υ2 υ1 υ R1 R2 46 Fazendo o uso apropriado das técnicas de combinação de resistores calcule ia no circuito da Figura 384 e a potência fornecida pela fonte de corrente 47 Calcule a tensão υx no circuito da Figura 385 após simplificar o circuito usando as técnicas apropriadas para a combinação de fontes e resistores t FIGURA 385 3 Ω 15 Ω 6 Ω 6 Ω 2 A 4i 9 Ω υx i 48 Determine a potência absorvida pelo resistor de 15 Ω no circuito da Figura 386 p FIGURA 386 4 A 2i 6 Ω 15 Ω 3Ω 6 Ω 9 A 6 Ω 3 A i 49 Calcule a resistência equivalente Req da rede mostrada na Figura 387 se R1 2R2 3R3 4R4 etc e R11 3 Ω t FIGURA 387 Req R2 R5 R8 R3 R1 R4 R7 R10 R11 R6 R9 50 Mostre como combinar quatro resistores de 100 Ω para se obter uma resistência equivalente de a 25 Ω b 60 Ω e c 40 Ω 38 Divisão de Tensão e Corrente 51 No divisor de tensão da rede mostrada na Figura 388 calcule a υ2 se υ 92 V e υ1 3 V b υ1 se υ2 1 V e υ 2 V c υ se υ1 3 V e υ2 6 V d R1 R2 se υ1 υ2 e υ2 se υ 35 V e R1 2 R2 f υ1 se υ 18 V R1 1 kΩ e R2 47 kΩ 52 No divisor de corrente da rede mostrada na Figura 389 calcule a i1 se i 8 A e i2 1 A b υ se R1 100 kΩ R2 100 kΩ e i 1 mA c i2 se i 20 mA R1 1 Ω e R2 4 Ω p FIGURA 384 3 Ω 5 Ω 6 Ω 3 Ω 1 A 9 Ω 3 Ω 5 Ω 3 Ω υx i3 p FIGURA 389 i υ R2 R1 i1 i2 Exercícios 75 d i1 se i 10 A R1 R2 9 Ω e i2 se i 10 A R1 100 MΩ e R2 1 Ω 53 Escolha uma tensão υ 25 V e valores para os resistores R1 R2 R3 e R4 do circuito da Figura 390 sabendo que i1 1 A i2 12 A i3 8 A e i4 31A 54 Empregar a divisão de tensão para ajudar no cálculo da tensão υx no circuito da Figura 391 55 Uma rede é constituída por uma conexão em série de cinco resistores tendo valores 1 Ω 3 Ω 5 Ω 7 Ω e 9 Ω Se uma fonte de tensão de 9 V for conectada aos terminais desta rede empregue um divisor de tensão para calcular a tensão sobre o resistor de 3 Ω e a tensão sobre o resistor de 7 Ω 56 Empregando uma combinação de resistores e divisão de corrente apropriadas determine o valor de i1 i2 e υ3 no circuito da Figura 392 t FIGURA 392 υ3 1 Ω 2 Ω 5 Ω 4 Ω 4 Ω 4 Ω 25 A i1 i2 57 No circuito da Figura 393 apenas a tensão υx é de interesse Simplifique o cir cuito usando a combinação de resistores apropriada e iterativamente empregue divisão de tensão para determinar υx t FIGURA 393 2 kVΩ 4 kΩ 3 kΩ 7 kΩ 4 kΩ 3 kΩ 3 V 1 kΩ υx Exercícios de integração do capítulo 58 O circuito mostrado na Figura 394 é um modelo linear de um transistor bipolar de unção trabalhando na sua região ativa de operação Explique por que o divi sor de tensão não é válido para a determinação da tensão sobre o resistor de 10 kΩ t FIGURA 394 10 V 20 V 07 V 10 kΩ 10 kΩ 1 kΩ 10i1 i1 p FIGURA 390 υ R4 R1 i1 i4 R2 i2 R3 i3 p FIGURA 391 3 V 2 Ω 3 Ω 2 Ω 10 Ω υx Capítulo 3 u Leis de Tensão e Corrente 76 59 Um modelo comum em médias frequências para um amplificador baseado no efeito de campo é mostrado na Figura 395 Se o parâmetro de controle 9m conhecido como transcondutância é 12 mS empregue divisão de corrente para obter a corrente através do resistor de 1 kΩ e também calcule a tensão υsaída de saída do amplificador t FIGURA 395 12 cos 1000t mV 30 Ω 15 kΩ 1 kΩ 10 kΩ gmυϖ υϖ υsaída 60 O circuito ilustrado na Figura 396 é rotineiramente empregado como modelo em médias frequências para um amplificador baseado no transistor bipolar de junção Calcule a tensão υsaída de saída do amplificador se a transcondutância 9m é igual a 322 mS t FIGURA 396 6 cos 2300t µV 1 kΩ 3 kΩ 33 kΩ 15 kΩ gmυϖ υϖ υsaída 61 Com respeito ao circuito mostrado na Figura 397 calcule a a tensão sobre os dois resistores de 10 Ω assumindo como referência positiva o terminal superior b a potência dissipada pelo resistor de 4 Ω t FIGURA 397 10 Ω 10 Ω 50 Ω 4 Ω 40 Ω 20 Ω 20 Ω 2 V 62 Apague o resistor de 10 Ω mais a esquerda no circuito da Figura 397 e calcule a a corrente que flui para o terminal esquerdo do resistor de 40 Ω b o potên cia fornecida pela fonte de 2 V c a potência dissipada pelo resistor de 4 Ω 63 Considere o circuito de sete elementos ilustrado na Figura 398 a Quantos nós laços e ramos o circuito tem b Calcule a corrente que flui através de cada resistor c Determine a tensão sobre a fonte de corrente assumindo o terminal superior como o terminal positivo de referência t FIGURA 398 1 Ω 2 Ω 2 Ω 5 Ω 5 Ω 2 A 2 Ω INTRODUÇÃO Munidos com o trio de leis de Kirchhoff e Ohm a análise de um circuito line ar simples com o objetivo de se obter informações úteis como corrente tensão ou potência associadas a um elemento em particular talvez já pareça uma tarefa relativamente fácil Ainda assim pelo menos até o momento cada circuito parece ter características únicas requerendo até certo grau um pouco de criatividade na abordagem a ser adotada na análise Neste capítulo aprenderemos duas técnicas básicas da análise de circuitos a análise nodal e a análise de malha e ambas nos permitirão investigar muitos circuitos diferentes com uma abordagem consistente e metódica O resultado é uma análise simplificada um nível de complexidade mais uniforme em nossas equações menos erros e talvez o que é mais importante uma menor ocorrência de situações do tipo Não sei sequer como começar A maioria dos circuitos que vimos até agora têm sido razoavelmente simples e para ser honesto de pouca utilidade prática No entanto tais circuitos são valiosos para nos ajudar a aprender como aplicar técnicas fundamentais Embora os circuitos mais complexos que aparecem neste capítulo possam representar uma variedade de sistemas elétricos incluindo circuitos de controle redes de comunicação motores ou circuitos integrados bem como equivalentes elétricos de sistemas não elétricos acre ditamos que não vale a pena entrar em tamanho nível de detalhamento neste estágio inicial Em vez disso é importante mantermos o foco na metodologia de solução de problemas que continuaremos a desenvolver ao longo deste livro Análise Nodal e Análise de Malha 4 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Análise Nodal A Técnica do Supernó Análise de Malha A Técnica da Supermalha Escolha entre Análise Nodal e Análise de Malha Análise Auxiliada por Computador Incluindo PSpice e MATLAB Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 78 41 ANÁLISE NODAL Comecemos o nosso estudo de métodos gerais para a análise de circuitos considerando um poderoso método fundamental na LKC a análise nodal No Capítulo 3 analisamos um circuito simples contendo apenas dois nós Vimos que a etapa mais importante da análise era obter uma única equação em termos de uma única grandeza desconhecida a tensão entre o par de nós Agora deixaremos crescer o número de nós e de forma correspondente obteremos uma incógnita adicional e uma equação adicional para cada novo nó Assim um circuito com três nós terá duas tensões desconhecidas e duas equações um circuito com dez nós terá nove tensões desconhecidas e nove equações um circuito com N nós precisará de N 1 tensões e N 1 equações Cada equação é uma simples equação LKC Para ilustrar o funcionamento básico da técnica considere o circuito com três nós ilustrado na Figura 41a redesenhado na Figura 41b para destacar o fato de que há somente três nós numerado de forma convenien te Nosso objetivo será determinar a tensão em cada elemento e o próximo passo na análise é crucial Escolhemos um nó como sendo o nó de referên cia Ele será o terminal negativo de nossa N 1 2 tensões nodais como mostra a Figura 41c Podese obter uma pequena simplificação nas equações resultantes se o nó conectado ao maior número de ramos for identificado como nó de refe rência Se houver um nó de terra é mais conveniente selecionálo como nó de referência embora muitas pessoas prefiram selecionar como referência o nó inferior de um circuito especialmente se não houver um terra expli citamente indicado A tensão do nó 1 em relação ao nó de referência é definida como υ1 e υ2 é definida como a tensão do nó 2 em relação ao nó de referência p FIGURA 41 a Um circuito simples de três nós b Circuito redesenhado para destacar os nós c Nó de referência selecionado e tensões assinaladas d Referências de tensão abreviadas Se desejado no lugar de Ref Podese colocar um símbolo de terra apropriado 31 A 14 A 2 Ω 5 Ω a 1 Ω 1 2 3 5 Ω b 2 Ω 1 Ω 31 A 14 A 1 2 5 Ω 1 Ω 2 Ω c Nó de referência 31 A 14 A υ1 υ2 υ1 υ2 31 A 14 A 5 Ω 1 Ω 2 Ω d Ref Seção 41 u Análise nodal 79 Essas duas tensões são suficientes visto que a tensão entre qualquer outro par de nós pode ser determinada em função delas Por exemplo a tensão do nó 1 em relação ao nó 2 é υ1 υ2 As tensões υ1 e υ2 e seus sinais de referência são mostrados na Figura 41c Para melhor clareza é prática comum omitir os sinais de referência assim que o nó de referência tiver sido identificado assumese o nó marcado com a tensão seja o terminal positivo Figura 41d Entendese isso como uma espécie de simplifica ção na notação da tensão Aplicamos agora a LKC aos nós 1 e 2 Fazemos isso igualando a corren te total que sai do nó através dos vários resistores com a corrente total que entra no nó proveniente de fontes de corrente Desta forma υ1 2 υ1 υ2 5 31 1 ou 07υ1 02υ2 31 2 No nó 2 obtemos υ2 1 υ2 υ1 5 14 3 ou 02υ1 12υ2 14 4 As Equações 2 e 4 são as duas equações desejadas com duas incóg nitas e elas podem ser resolvidas facilmente Os resultados são υ1 5 V e υ2 2 V A partir disso é fácil determinar a tensão sobre o resistor de 5 Ω υ5Ω υ1 υ2 3 V As correntes e potências absorvidas também podem ser calcu ladas em apenas um passo Devemos notar neste ponto que há mais de uma maneira de se escrever as equações LKC para a análise nodal Por exemplo o leitor pode preferir somar todas as correntes que entram em um dado nó e fazer esse valor ser igual a zero Desta maneira para o nó 1 poderíamos ter escrito 31 υ1 2 υ1 υ2 5 0 ou 31 υ1 2 υ2 υ1 5 0 que são equivalentes à Equação 1 Uma maneira é melhor do que a outra Cada professor e cada estu dante desenvolvem uma preferência pessoal e no final das contas o que interessa é ser consistente Os autores preferem formular equações LKC para a análise nodal de maneira que resulte em todos os termos de fontes de corrente em um lado e todos os termos referentes a resistores do outro lado Especificamente das correntes que entram no nó provenientes de fontes de corrente das correntes que saem do nó através de resistores O nó de referência em um diagrama esquemático é definido implicitamente como zero volts No entanto é importante lembrar que qualquer terminal pode ser designado como terminal de referência Assim o nó de referência funciona como m ponto com potencial zero para as demais tensões nodais do circuito embora não necessariamente tenha potencial igual ao potencial de terra Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 80 Há várias vantagens nesta abordagem Em primeiro lugar nunca haverá confusão com relação à escrita de um termo como υ1 υ2 ou υ2 υ1 a primeira tensão na expressão de cada resistor corresponde ao nó para o qual está sendo escrita a equação LKC como pode ser visto nas Equações 1 e 3 Em segundo lugar ela nos permite verificar rapidamente se algum termo foi omitido por acidente Basta contar as fontes de corrente conecta das a um nó e depois os resistores com seu agrupamento feito dessa forma fica mais fácil fazer a comparação Determine a corrente que flui da esquerda para a direita através do re sistor de 15 Ω da Figura 42a p FIGURA 42 a Circuito de quatro nós contendo duas fontes de corrente independentes b Os dois resistores em série são substituídos por um único resistor de 10 reduzindo a três nós 3 Ω 5 Ω 15 Ω 7 Ω 2 A 4 A Ref υ1 υ2 a 2 A 4 A 10 Ω 15 Ω 5 Ω υ1 υ2 i Ref b A análise nodal gera diretamente valores numéricos para as tensões nodais υ1 e υ2 e a corrente desejada é dada por υ υ i 15 1 2 No entanto antes de iniciarmos a análise nodal observamos que nenhum detalhe relativo ao resistor de 7 Ω ou ao resistor de 3 Ω nos interessa Portanto podemos substituílos por um resistor de 10 Ω como mostra a Figura 42b O resultado é uma redução no número de equações que serão resolvidas Escrevendo uma equação LKC apropriada para o nó 1 2 υ1 10 υ1 υ2 15 5 e para o nó 2 4 υ2 5 υ2 υ1 15 6 Rearranjando obtemos 5υ1 2υ2 60 e υ1 4υ2 60 Resolvendo encontramos υ1 20 V e υ2 20 V de forma que υ1 υ2 0 Em outras palavras flui uma corrente nula através do resistor de 15 Ω neste circuito u EXEMPLO 41 Seção 41 u Análise nodal 81 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 41 No circuito da Figura 43 determine as tensões nodais υ1 e υ2 t FIGURA 43 3 Ω 4 Ω 15 Ω 2 Ω 5 A 2 A υ1 υ2 Resposta υ 145 8 1 V e υ 5 2 2 V Vamos agora aumentar o número de nós de forma que possamos usar essa técnica para trabalhar com um problema ligeiramente mais difícil Determine as tensões nodais no circuito da Figura 44a f Identifique o objetivo do problema Há quatro nós neste circuito Selecionando o nó inferior como nossa refe rência identificamos os três nós restantes como mostra a Figura 44b O circuito também oi redesenhado para maior conveniência f Reúna as informações conhecidas Temos três tensões desconhecidas υ1 υ2 e υ3 Todas as fontes de corrente e resistores têm calores conhecidos marcados no diagrama esquemático f Trace um plano Este problema é bem adequado à técnica de análise nodal que acabamos de introduzir pois três equações LKC independentes podem ser escritas em termos das fontes de corrente e da corrente através de cada resistor f Construa um conjunto apropriado de equações Começamos escrevendo uma equação LKC para o nó 1 8 3 υ1 υ2 3 υ1 υ3 4 ou 05833υ1 03333υ2 025υ3 11 7 No nó 2 3 υ2 υ1 3 υ2 1 υ2 υ3 7 ou 03333υ1 14762υ2 01429υ3 3 8 u EXEMPLO 42 p FIGURA 44 a Circuito com quatro nós b circuito redesenhado com nó de referência escolhido e tensões identificadas 3 A 8 A a 3 Ω 7 Ω 4 Ω 5 Ω 1 Ω 25 A 3 Ω 7 Ω 4 Ω b 3 A 1 Ω 8 A 25 A Nó de referência 5 Ω υ1 υ2 υ3 Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 82 E no nó 3 25 υ3 5 υ3 υ2 7 υ3 υ1 4 ou de forma mais simples 025υ1 01429υ2 05929υ3 25 9 f Determine se são necessárias informações adicionais Temos três equações e três incógnitas Desde que elas sejam independen tes isto basta para que determinemos as três tensões f Tente uma solução As Equações 7 a 9 podem ser resolvidas usandose uma calculadora científica Apêndice 5 pacotes computacionais como o MATLAB ou técnicas mais tradicionais como eliminação de variáveis métodos matriciais ou a regra de Cramer Usando este último método descrito no Apêndice 2 temos υ1 11 03333 02500 3 14762 01429 25 01429 05929 05833 03333 02500 03333 14762 01429 02500 01429 05929 1714 03167 5412 V Similarmente υ2 05833 11 02500 03333 3 01429 02500 25 05929 03167 2450 03167 7736 V e υ3 05833 03333 11 03333 14762 3 02500 01429 25 03167 1467 03167 4632 V f Verifique a solução Ela é razoável ou esperada Substituir as tensões nodais em cada uma das equações nodais é sufi ciente para termos certeza de que cometemos algum erro matemático A despeito disso é possível determinar se os valores das tensões são razo áveis Temos uma máxima corrente possível no circuito dada por 3 8 25 36 A O maior resistor é 7 Ω então não esperamos que existam tensões com magnitudes maiores que 7 36 252 V Existem é claro numerosos métodos disponíveis para a solução de sistemas de equações lineares vários desses métodos são descritos em detalhes no Apêndice 2 Antes do advento das calculadoras científicas a regra de Cramer conforme apresentada no Exemplo 42 era muito comum na análise de circuitos embora sua implementação fosse ocasionalmente tediosa No entanto ela pode ser facilmente utilizada em uma calculadora simples de quatro operações e com isso o conhecimento desta técnica pode ser de grade valia O MATLAB por outro lado é um poderoso pacote Seção 41 u Análise nodal 83 computacional que pode simplificar sobremaneira o processo de solução embora geralmente não esteja disponível durante as provas um breve tuto rial a respeito do MATLAB pode ser encontrado no Apêndice 6 Para situação encontrada no Exemplo 42 há várias opções disponíveis por meio do MATLAB Em primeiro lugar podemos representar as Equa ções 7 a 9 na forma matricial 05833 03333 025 03333 14762 01429 025 01429 05929 υ1 υ2 υ3 11 3 25 de forma que υ1 υ2 υ3 05833 03333 025 03333 14762 01429 025 01429 05929 1 11 3 25 No MATLAB escrevemos a 05833 03333 025 03333 14762 01429 025 01429 05929 c 11 3 25 b a1 c b 54124 77375 463127 onde espaços separam elementos ao longo de uma linha e um ponto e vír gula separa as linhas A matriz b também chamada de vetor porque tem apenas uma coluna é nossa solução Assim υ1 5412 V υ2 7738 V e υ3 4631 V houve algum erro de arredondamento Poderíamos também usar as equações LKC da forma que as escrevemos inicialmente se empregarmos o processador simbólico do MATLAB eqn1 8 3 v1 v2 3 v1 v3 4 eqn2 3 v2 v1 3 v2 1 v2 v3 7 eqn3 25 v3 5 v3 v2 7 v3 v1 4 answer solveeqn1 eqn2 eqn3 v1 v2 v3 answerv1 ans 720133 answerv2 ans 14719 answerv3 ans 88019 que resulta em respostas exatas sem erros de arredondamento A função solve é chamada com a lista de equações simbólicas que denominamos eqn1 eqn2 e eqn3 mas as variáveis v1 v2 e v3 também precisam ser Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 84 especificadas Se solve for chamada com menos variáveis do que equa ções é retornada uma solução algébrica literal A forma da solução merece um breve comentário ela é retornada naquilo que em linguagem de pro gramação se chama de estrutura nesse caso chamamos nossa estrutura de answer Cada componente da estrutura é acessada separadamente por nome como mostramos u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 42 No circuito da Figura 45 calcule a tensão através de cada fonte de corrente p FIGURA 45 3 A 7 A Nó de referência 3 Ω 5 Ω 4 Ω 1 Ω 2 Ω Resposta υ3A 5235 V e υ7A 1147 V Os exemplos anteriores demonstraram a abordagem básica empregada na análise nodal mas vale considerar o que acontece se houver também fontes dependentes Determine a potência fornecida pela fonte dependente da Figura 46a υx 15 A 1 Ω 3i1 2 Ω 3 Ω i1 υx 15 A 1 Ω 3i1 2 Ω 3 Ω i1 υ2 v1 a Ref b p FIGURA 46 a Circuito de quatro nós contendo uma fonte de corrente dependente b O circuito identificado para análise nodal Escolhemos o nó inferior como referência uma vez que ele possui o maior número de ramos conectados e realizamos a identificação das tensões nodais υ1 e υ2 como mostra a Figura 46b A grandeza υx é na realidade igual a υ2 u EXEMPLO 43 Seção 41 u Análise nodal 85 No nó 1 escrevemos 15 υ1 υ2 1 υ1 2 10 e no nó 2 3i1 υ2 υ1 1 υ2 3 11 Infelizmente temos três incógnitas e apenas duas equações isto é resultado direto da presença da fonte dependente de corrente pois ela não é con trolada por uma tensão nodal Assim devemos desenvolver uma equação adicional que relacione i1 como uma ou mais tensões nodais Neste caso encontramos i1 υ1 2 12 que após substituição na Equação 11 resulta em com algum arranjo 3υ1 2υ2 30 13 e a Equação 10 é simplificada para 15υ1 8υ2 0 14 Resolvendo encontramos υ1 40 V υ2 75 V e i1 05 υ1 20 A Assim a potência fornecida pela fonte dependente é igual a 3i1υ2 6075 45kW Vemos que a presença de uma fonte dependente criará a necessidade de uma equação adicional em nossa análise se a variável de controle não for uma tensão nodal Vamos agora olhar o mesmo circuito mas com a variável de controle da controle da fonte de corrente dependente alterada para uma grandeza diferente a tensão nos terminais do resistor 3 Ω que é na verdade uma tensão nodal Veremos que apenas duas equações são necessárias para completar a análise Determine a potência fornecida pela fonte dependente da Figura 47a p FIGURA 47 a Circuito de quatro nós contendo uma fonte de corrente dependente b O circuito identificado para análise nodal υx 15 A 3υx 3 Ω 1 Ω 2 Ω i1 υx 15 A 3υx 3 Ω 1 Ω 2 Ω i1 υx υ1 a Ref b u EXEMPLO 44 Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 86 Selecionamos o nó inferior como referência e identificamos as tensões nodais como mostrado na Figura 47b Fizemos a identificação explícita da tensão nodal υx por clareza mas esta redundância é naturalmente desnecessária Note que a escolha que fizemos para o nó de referência é importante neste caso pois ela fez da grandeza υx uma tensão nodal Nossa equação LKC para o nó 1 é 15 υ1 υx 1 v1 2 15 e para o nó x é 3vx υx υ1 1 υ2 3 16 Agrupando os termos e resolvendo encontraremos υ1 50 7 V υx 30 7 V Por tato a fonte dependente neste circuito gera 3υxυx 551W u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 43 No circuito da Figura 48 determine a tensão nodal υ1 se A for a 2i1 e b 2υ1 t FIGURA 48 5 A A 2 Ω 1 Ω 2 Ω i1 υ2 υ1 Ref Resposta a 709 V e b 10 V Resumo do Procedimento Básico de Análise Nodal 1 Conte o número de nós N 2 Escolha de um nó de referência O número de termos nas equações nodais pode ser minimizado com a escolha do nó conectado ao maior número de ramos 3 Identifique as tensões nodais há N 1 4 Escreva uma equação LKC para cada um dos nós não utilizados como referência Some em um lado da equação as correntes que entram em um nó proveniente de fontes de corrente No outro lado some as correntes saindo do nó através de resistores Preste muita atenção nos sinais 5 Expresse quaisquer incógnitas adicionais isto é corrente ou tensões que não sejam tensões nodais em termos das tensões nodais apropria das Esta situação pode ocorrer se aparecerem no circuito fontes de tensão ou fontes dependentes 6 Organize as equações Agrupe os termos de acordo com as tensões nodais 7 Resolva o sistema de equações para as N 1 tensões nodais Seção 42 u O supernó 87 Estes sete passos básicos funcionarão em qualquer circuito que encon tramos embora a presença de fontes de tensão requeira um cuidado adicio nal Tais situações serão discutidas a seguir 42 O SUPERNÓ Como um exemplo de como fontes de tensão afetam o desempenho na aná lise nodal considere o circuito mostrado na Figura 49a O circuito original com quatro nós da Figura 44 foi alterado substituindose o resistor de 7 Ω entre os nós 2 e 3 por uma fonte de tensão de 22 V Ainda atribuímos o mesmo nó de referência das tensões υ1 υ2 e υ3 O próximo passo seria a aplicação da LKC a cada um dos três nós não utilizados como referência Se tentarmos fazer isso novamente vemos que teremos algumas dificuldades nos nós 2 e 3 pois não sabemos qual é a corrente que passa pelo ramo que inclui a fonte de tensão Não há uma maneira pela qual possamos expressar a corrente em função da tensão pois a definição de uma fonte de tensão diz exatamente que a tensão é independente da corrente Há duas saídas para este dilema A abordagem mais difícil é atribuir uma corrente desconhecida ao ramo que contém a fonte de tensão aplicar a LKC três vezes e depois aplicar a LKT uma vez entre os nós 2 e 3 υ3 υ2 22 Como resultado temos quatro equações com quatro incógnitas neste exemplo O método mais fácil é tratar o nó 2 o nó 3 e a fonte de tensão como uma espécie de supernó e aplicar a LKC a ambos os nós ao mesmo tempo o supernó é indicado pela região circundada por uma linha pontilhada na Figura 49a Isso está correto porque se a corrente total que sai do nó 2 for zero e a corrente total que sai do nó 3 for zero então a corrente sai da combinação dos dois nós é igual a zero Esse conceito está ilustrado grafi camente na vista detalhada da Figura 49b Determine o valor da tensão nodal υ1 desconhecida no circuito da Figura 49a A equação LKC no nó 1 do Exemplo 42 permanece inalterada 8 3 υ1 υ2 3 υ1 υ3 4 ou 05833υ1 03333υ2 02500υ3 11 17 Em seguida consideramos o supernó 23 onde duas fontes de corrente e quatro resistores estão conectados Portanto 3 25 υ2 υ1 3 υ3 υ1 4 υ3 5 υ2 1 ou 05833υ1 13333υ2 045υ3 28 18 Como temos três incógnitas precisamos de uma equação adicional Ela deve levar em conta o fato de que há uma fonte de tensão de 22 V entre os nós 2 e 3 υ2 υ3 22 19 Resolvendo as Equações 17 a 19 a solução para υ1 é 1071 V u EXEMPLO 45 p FIGURA 49 a O circuito do Exemplo 42 com uma fonte de 22 V no lugar do resistor de 7 Ω b Vista detalhada da região definida como supernó a LKC requer que a soma de todas as correntes entrando nesta região seja nula do contrário acumularíamos ou esgotaríamos elétrons 3 Ω 22 V 4 Ω 3 A 1 Ω 8 A 25 A 5 Ω υ1 υ2 υ3 Nó de referência 22 V b a Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 88 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 44 No circuito da Figura 410 calcule a tensão através de cada fonte de corrente Resposta 5375 V e 375 mV A presença de uma fonte de tensão portanto reduz em um o número de nós não utilizados como referência nos quais devemos aplica a LKC inde pendentemente do fato da fonte de tensão estar conectada entre dois nós que não sejam de referência ou entre um nó qualquer e a referência Devemos ter cuidado ao analisar circuitos como aquele do Exercício de Fixação 44 Como ambos os terminais do resistor são parte do supernó tecnicamente haverá duas parcelas de corrente correspondentes na equação LKC mas elas se cancelam Podemos resumir o método do supernó da seguinte maneira Resumo do Procedimento Básico de Análise por Supernó 1 Conte o número de nós N 2 Escolha de um nó de referência O número de termos nas equações nodais pode ser minimizado com a escolha do nó conectado ao maior número de ramos 3 Identifique as tensões nodais há N 1 4 Se o circuito contém fontes de tensão forme um supernó envolvendo cada uma delas Isto é feito colocando a fonte seus dois terminais e quais quer outros elementos conectados entre estes dois terminais dentro de uma linha de contorno tracejada 5 Escreva uma equação LKC para cada nó não utilizado como referên cia e para cada supernó que não contenha o nó de referência Em um lado da equação some as correntes que entram no nó ou no supernó provenientes de fontes de corrente No outro lado some as correntes saindo do nó ou do supernó através de resistores Preste muita atenção no sinal 6 Relacione a tensão nos terminais de cada fonte de tensão às tensões nodais Isto é conseguido com a simples aplicação da LKT É necessária uma equação dessas para cada supernó 7 Expresse quaisquer incógnitas adicionais isto é correntes ou tensões que não sejam tensões nodais em termos das tensões nodais apropriadas Esta situação pode ocorrer se aparecerem fontes dependentes em nosso circuito 8 Organize as equações Agrupe os termos de acordo com as correntes de malha 9 Resolva o sistema de equações para as N 1 tensões nodais Como vemos adicionamos duas etapas ao nosso procedimento geral de análise nodal Na realidade a aplicação da técnica do supernó a um circui to contendo fontes de tensão não conectadas ao nó de referência resultará em uma redução no número de equações LKC necessárias Tendo isso em mente vamos considerar o circuito da Figura 411 que contém todos os quatro tipos de fontes e tem cinco nós p FIGURA 410 4 A 5 V 9 A Nó de referência 1Ω 2 1Ω 6 1Ω 3 Seção 43 u Análise de malha 89 Determine as tensões nodais no circuito da Figura 411 Após estabelecer um supernó envolvendo cada fonte de tensão precisamos escrever equações LKC somente para o nó 2 e no supernó que contém a fonte dependente de tensão Por inspeção fica claro que υ1 12 V No nó 2 υ2 υ1 05 υ2 υ3 2 14 20 enquanto no supernó 34 05vx υ3 υ2 2 υ4 1 υ4 υ1 25 21 Em seguida relacionamos as tensões nas fontes às tensões nodais υ3 υ4 02vy 22 e 02υy 02υ4 υ1 23 Finalmente expressamos a fonte de corrente dependente em termos das variáveis atribuídas 05vx 05υ2 υ1 24 Cinco nós requerem quatro equações LKC na análise nodal geral mas agora foram necessárias somente duas equações porque formamos dois supernós separados Cada supernó demandou uma equação LKT Equação 22 e υ1 12 V esta última escrita por inspeção Nenhuma fonte dependente era controlada por uma tensão nodal assim foram necessárias duas equações adicionais Com isso podemos agora eliminar υx e υy para obter uma série de quatro equações referentes às quatro tensões nodais 2υ1 25υ2 05υ3 14 01υ1 υ2 05υ3 14υ4 0 υ1 12 02υ1 υ3 12υ4 0 Resolvendo υ1 12 V υ2 4 V υ3 0 V e υ4 2 V u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 45 Determine as tensões nodais do circuito da Figura 412 Resposta υ1 3 V υ2 2529 V υ3 2654 V υ4 1990 V 43 ANÁLISE DE MALHA Como vimos a análise nodal é uma poderosa técnica de análise quando apenas fontes de correntes estão presentes e fontes de tensão são facilmente acomodadas com o conceito de supernó Continuando a análise nodal é baseada na LKC e o leitor ficaria surpreso se não existisse uma abordagem semelhante baseada na LKT Existe e é conhecida como análise de malha u EXEMPLO 46 p FIGURA 411 Circuito com cinco nós e quatro diferentes tipos de fontes 05υx 2 Ω 1 Ω 25 Ω Ref 05 Ω 14 A 12 V υ3 υ1 υ4 υ2 υy υx 02υy p FIGURA 412 015υx 4 Ω 2 Ω 3 Ω Ref 4 A 3 V υ3 υ1 υ4 υ2 1 Ω 2 Ω υx Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 90 e só se aplica estritamente falando aos circuitos planares que definiremos rapidamente Em muitos casos a análise de malha poderá ser mais simples de se aplicar do que a análise nodal Se for possível desenhar o diagrama de um circuito em uma superfície plana de tal maneira que nenhum ramo passe por cima ou por baixo de outro ramo então dizemos que este circuito é um circuito planar Assim a Figura 413a ilustra uma rede planar a Figura 413b ilustra uma rede não planar e a Figura 413c também mostra uma rede planar embora ela seja desenhada de tal forma que à primeira vista pareça ser uma rede não planar p FIGURA 413 Exemplos de redes planares e não planares fios cruzados sem que haja um ponto no cruzamento não estão fisicamente conectados a b c Na Seção 31 foram definidos os termos caminho caminho fechado e laço Antes de definirmos o que é uma malha vamos considerar o conjunto de ramos desenhados com linhas fortes na Figura 414 O primeiro conjunto de ramos não é um caminho porque os quatro ramos estão conectados ao nó central e obviamente também não é um laço O segundo conjunto de ramos não constitui um caminho pois ele só pode ser percorrido se pas sarmos pelo nó central duas vezes Todos os quatro caminhos restantes são laços O circuito contém 11 ramos A malha é uma propriedade de um circuito planar e é indefinida para um circuito não planar Definimos malha como um laço que não contém quaisquer outros laços dentro de si Assim os laços indicados nas Figuras 414c e d não são malhas enquanto aqueles presentes nas partes e e f são malhas Uma vez desenhado na forma planar de forma organizada um circuito geralmente se parece com uma janela com múltiplas divisões e os limites de cada uma de suas divisões podem ser considerados uma malha Se uma rede é planar a análise de malha pode ser empregada Esta técnica envolve o conceito de corrente de malha que introduziremos con siderando a análise do circuito com duas malhas da Figura 415a Da mesma maneira como fizemos no circuito com apenas um laço começaremos definindo corrente a partir de um dos ramos Vamos chamar de i1 a corrente que flui para a direita através do resistor de 6 Ω Aplicare mos a LKT ao redor de cada uma das duas malhas e as duas equações resul tantes serão suficientes para determinarmos duas correntes desconhecidas Em seguida definiremos uma segunda corrente i2 fluindo para a direita pelo resistor de 4 Ω Devemos mencionar que a análise tipo malha pode ser aplicada a circuitos não planares mas como não é possível definir um conjunto completo de malhas únicas para esse circuito não é possível atribuir correntes de malha únicas Seção 43 u Análise de malha 91 p FIGURA 414 a O conjunto de ramos identificado pelas linhas fortes em destaque não é um caminho nem um laço b O conjunto de ramos aqui não é um caminho pois ele só pode ser percorrido se passarmos pelo nó central duas vezes c Este caminho é um laço mas não uma malha pois ele envolve outros laços d Este caminho também é um laço mas não uma malha e f Cada um destes caminhos é um laço e uma malha a b c d e f Também poderíamos ter escolhido chamar de i3 a corrente descendo o ramo central mas é evidente pela LKC que i3 pode ser expressa em termos das duas correntes anteriormente assumidas i1 i2 As correntes assumi das são mostradas na Figura 415b Seguindo o método de solução para o circuito com apenas um laço aplicamos agora a LKT à malha da esquerda 42 6i1 3i1 i2 0 ou 9i1 3i2 42 25 Aplicando a LKT à malha da direita 3i1 i2 4i2 10 0 ou 3i1 7i2 10 26 As Equações 25 e 26 são independentes uma não pode ser deduzida a partir da outra Há duas equações e duas incógnitas e a solução é facil mente obtida i1 6 A i2 4 A e i1 i2 2 A Se o nosso circuito contém M malhas então esperamos encontrar M corren tes de malha e portanto será necessário escrever M equações independentes Vamos agora considerar o mesmo problema de maneira ligeiramente diferente usando corrente de malha Definimos uma corrente de malha como a corrente que flui no perímetro de uma malha Uma das grandes vantagens de seu uso é o fato de que a lei de Kirchhoff das correntes é automaticamente satisfeita Se uma corrente de malha entra em um dado nó ela também sai dele p FIGURA 415 a b Circuito no qual se deseja calcular as correntes 42 V 10 V 3 Ω 6 Ω 4 Ω a b i1 i2 i1 i2 42 V 10 V 3 Ω 6 Ω 4 Ω Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 92 Se chamarmos de malha 1 a malha da esquerda do nosso problema então podemos estabelecer uma corrente de malha i1 fluindo nesta malha no sentido horário A corrente de malha é indicada por uma seta curva quase fechada sobre si mesma desenhada dentro da própria malha como mostra a Figura 416 A corrente de malha i2 é estabelecida na malha que sobrou mais uma vez no sentido horário Embora o sentido seja arbitrário sempre escolheremos correntes de malha no sentido horário porque a simetria tende a minimizar erros nas equações Não temos mais uma corrente ou uma seta de corrente mostrada dire tamente em cada ramo do circuito A corrente em qualquer ramo deve ser determinada considerando as correntes de malha fluindo em cada malha na qual aquele ramos aparece Isto não é fácil porque nenhum ramo pode aparecer em mais de duas malhas Por exemplo o resistor de 3 Ω aparece em ambas as malhas e a corrente que percorre de cima para baixo é i1 i2 O resistor de 6 Ω aparece somente na malha 1 e a corrente que flui para a direita naquele ramo é igual à corrente de malha i1 Na malha da esquerda 42 6i1 3i1 i2 0 enquanto na malha da direita 3i2 i1 4i2 10 0 e essas duas equações são equivalentes às Equações 25 e 26 Determine a potência fornecida pela fonte de 2 V da Figura 417a p FIGURA 417 a Circuito com duas malhas contendo três fontes b Circuito identificado para a análise de malha 5 V 1 V 4 Ω 5 Ω 2 V 2 Ω i1 i2 5 V 1 V 4 Ω 5 Ω 2 V 2 Ω a b Primeiro definimos duas correntes de malha no sentido horário conforme ilustra a Figura 417b Começamos no nó inferior da malha 1 escrevemos as seguintes equações LKT enquanto percorremos os ramos no sentido horário 5 4i1 2i1 i2 2 0 Fazendo o mesmo na malha 2 escrevemos 2 2i2 i1 5i2 1 0 Rearranjando e agrupando os termos 6i1 2i2 7 u EXEMPLO 47 p FIGURA 416 O mesmo circuito da Figura 415b mas visto de forma ligeiramente diferente i1 i2 42 V 10 V 3 Ω 6 Ω 4 Ω Uma corrente de malha pode ser frequentemente identificada como uma corrente de ramo como fizemos com i1 e i2 neste exemplo No entanto isto nem sempre é verdade como mostrará uma rede quadrada com nove malhas que consideraremos em breve Nesta rede não é possível identificar a corrente na malha central como sendo alguma corrente de ramo Seção 43 u Análise de malha 93 e 2i1 7i2 3 Resolvendo i1 43 38 1132 A e i2 2 19 01053 A A corrente que sai do terminal positivo da fonte de 2 V é i1 i2 Portanto a fonte de 2 V fornece 212372474 W u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 46 Determine i1 e i2 no circuito da Figura 418 Resposta 1842 mA 1579 mA Vamos agora considerar o circuito com cinco nós sete ramos e três malhas mostrado na Figura 419 Este é um problema ligeiramente mais complicado devido à malha adicional Use a análise de malha para determinar as três correntes de malha no circuito da Figura 419 As três correntes de malha requeridas são assinaladas conforme indicado na Figura 419 e aplicamos a LKT metodicamente em torno de cada malha 7 1i1 i2 6 2i1 i3 0 1i2 i1 2i2 3i2 i3 0 2i3 i1 6 3i3 i2 1i3 0 Simplificando 3i1 i2 2i3 1 i1 6i2 3i3 0 2i1 3i2 6i3 6 Resolvendo obtemos i1 3 A i2 2 A e i3 3 A u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 47 Determine i1 e i2 no circuito da Figura 420 Resposta 2220 A 4700 mA Os exemplos anteriores tratavam de circuitos alimentados exclusiva mente por fontes de tensão independentes Se uma finte de corrente for incluída no circuito ela pode simplificar ou complicar a análise conforme veremos na Seção 44 Como já vimos em nosso estudo da técnica de análise nodal fontes dependentes requerem uma equação adicional além das M equações de malhas a menos que a variável de controle seja uma corrente de malha ou a soma de corrente de malha Vamos explorar isso no próximo exemplo u EXEMPLO 48 p FIGURA 418 6 V 5 V 14 Ω 10 Ω 5 Ω 5 Ω i1 i2 p FIGURA 419 Circuito com cinco nós sete ramos e três malhas i2 i3 i1 7 V 6 V 1 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω 3 Ω p FIGURA 420 10 V 3 V 5 Ω 7 Ω 4 Ω 1 Ω 9 Ω i1 i2 10 Ω Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 94 Determine a corrente i1 no circuito da Figura 421a A corrente i1 é na realidade uma corrente de malha Portanto em vez de redefinila identificamos como i1 a correte de malha mais à direita e defini mos uma corrente de malha i2 no sentido horário como ilustra a Figura 421b Na malha da esquerda a LKT nos dá 5 4i1 4i2 i1 4i2 0 27 e na malha da direita encontramos 4i1 i2 2i1 3 0 28 Agrupando os termos essas equações podem ser escritas de forma mais compacta como 8i1 8i2 5 e 6i1 4i2 3 Resolvendo i1 250 mA i2 375 mA Como a fonte dependente da Figura 421 é controlada por uma corrente de malha i1 são necessárias apenas duas equações Equações 27 e 28 para analisar o circuito com duas malhas No próximo exemplo explorare mos a situação em que a variável de controle não é uma corrente de malha Determine a corrente i1 no circuito da Figura 422a p FIGURA 422 a Circuito com uma fonte dependente controlada por tensão b Circuito identificado para a análise de malha 2 Ω 4 Ω 5 V 3 V i1 4 Ω 2υx 2 Ω 4 Ω 5 V 3 V 4 Ω 2υx a b υx υx i2 i1 Para fazer comparações com o Exemplo 49 usamos as mesmas definições de corrente de malha conforme ilustrado na Figura 422b Na malha da esquerda a LKT agora fornece 5 2υx 4i2 i1 4i2 0 29 e na malha da direita encontramos o mesmo de antes ou seja 4i1 i2 2i1 3 0 30 Como a fonte dependente é controlada pela tensão desconhecida υx Estamos diante de duas equações com três incógnitas A solução para nosso dilema é simplesmente criar uma equação para υx em termos de correntes de malha como u EXEMPLO 49 u EXEMPLO 410 p FIGURA 421 a Circuito de duas malhas contendo uma fonte dependente b Circuito identificado para a análise de malha 2 Ω 4 Ω 5 V 3 V i1 4 Ω 4i1 a 2 Ω 4 Ω 5 V 3 V 4 Ω 4i1 b i1 i2 Seção 44 u A supermalha 95 Como a fonte dependente é controlada pela tensão desconhecida υx Estamos diante de duas equações com três incógnitas A solução para nosso dilema é simplesmente criar uma equação para υx em termos de correntes de malha como υx 4i2 i1 31 Simplificamos esse sistema de equações substituindo a Equação 31 na Equação 29 o que resulta em 4i1 5 Resolvendo encontramos i1 125 A Neste exemplo em particular a Equação 30 não é necessária a menos que se deseje um valor para i2 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 48 Determine i1 no circuito da Figura 423 se a variável de controle A for igual a a 2i2 e b 2υx Resposta a 135 A b 546 mA O procedimento de análise de malhas pode ser resumido nos sete passos básicos descritos a seguir Ele funcionará em qualquer circuito planar que encontrarmos embora a presença de fontes de corrente requeira um cuida do adicional Essas situações são discutidas na Seção 44 Resumo do Procedimento Básico de Análise de Malha 1 Verifique se o circuito é planar Se não for execute a análise nodal 2 Conte o número de malhas M Redesenhe o circuito se necessário 3 Identifique cada uma das M correntes de malha Geralmente a definição de todas as correntes de malhar fluindo no sentido horário resulta em uma análise mais simples 4 Escreva uma equação LKT ao redor de cada malha Comece com um nó conveniente e siga a direção da corrente da malha Preste muita atenção nos sinais Se houver uma fonte de corrente na periferia de uma malha não é necessária nenhuma equação LKT e a corrente de malha é determinada por inspeção 5 Expresse quaisquer incógnitas adicionais isto é tensões ou correntes que não sejam correntes de malha em termos das correntes de malha apropriadas Esta situação pode ocorrer se fontes de corrente ou fontes dependentes aparecerem no circuito 6 Organize as equações Agrupe os termos de acordo com as correntes de malha 7 Resolve o sistema de equações para as correntes de malha existirão M delas 44 A SUPERMALHA Como devemos modificar esse procedimento simples quando houver uma fonte de corrente na rede Usando nossos conhecimentos de análise nodal imaginamos que há dois métodos possíveis Primeiro poderíamos atribuir aos terminais da fonte de corrente uma tensão desconhecida aplicar a LKT p FIGURA 423 3 Ω 2 V 6 V 4 Ω 2 Ω 5 Ω A υx i1 i2 Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 96 ao redor de cada malha como antes e depois relacionar a corrente de fonte às correntes de malha Esta é geralmente a abordagem mais difícil A melhor técnica é uma muito similar à abordagem do supernó na análi se nodal Lá formávamos um supernó envolvendo por completo a fonte de tensão para cada fonte de tensão presente reduzíamos em 1 o número de nós não utilizados como referência Agora criamos uma espécie de super malha a partir de duas malhas que têm uma fonte de corrente como elemen to comum a fonte de corrente está no interior da supermalha Reduzimos então o número de malhas em 1 para cada fonte de corrente presente Se a fonte de corrente estiver no perímetro do circuito então a malha na qual ela for encontrada dever ignorada A lei de Kirchhoff da tensão é então apli cada somente às malhas ou supermalhas presentes na rede reinterpretada Use a técnica de análise de malha para avaliar as três correntes de malha na Figura 424a Notamos que há uma corrente independente de 7 A compartilhada por duas malhas As correntes de malha i1 i2 e i3 já foram assinaladas e a fonte de corrente nos leva a criar uma supermalha cujo interior é aquela das malhas 1 e 3 como ilustra a Figura 424b Aplicando a LKT nesse laço 7 1i1 i2 3i3 i2 1i3 0 ou i1 4i2 4i3 7 32 e ao redor da malha 2 1i2 i1 2i2 3i2 i3 0 ou i1 6i2 3i3 0 33 Finalmente a corrente da fonte independente está relacionada às correntes de malha assumidas i1 i3 7 34 Resolvendo as Equações 32 a 34 encontramos i1 9 A i2 25 A e i3 2 A u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 49 Determine a corrente i1 no circuito da Figura 425 Resposta 193 A A presença de uma ou mais fontes dependentes simplesmente requer que cada uma das grandezas de fonte e suas respectivas variáveis de contro le sejam expressas em termos das correntes de malha atribuídas Na Figura 426 por exemplo notamos que uma fonte de corrente dependente e uma fonte de corrente independente foram incluídas na rede Vejamos como sua presença afeta a análise do circuito e na realidade a simplifica u EXEMPLO 411 p FIGURA 424 a Circuito com três malhas e uma fonte de corrente independente b Uma supermalha é definida pela linha colorida i2 i3 i1 7 V 7 A 1 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω 3 Ω i2 i3 i1 7 V 7 A 1 Ω 2 Ω b a 1 Ω 2 Ω 3 Ω p FIGURA 425 10 V 3 A 5 Ω 7 Ω 4 Ω 1 Ω 9 Ω i1 10 Ω Seção 44 u A supermalha 97 Use a análise de malha para avaliar as três correntes desconhecidas no circuito da Figura 426 As fontes de corrente aparecem nas malhas 1 e 3 Uma vez que a fonte de 15 A está localizada no perímetro do circuito podemos desconsiderar a malha 1 está claro que i1 15 A Concluímos que conhecendo agora uma das duas correntes de malha relevan tes para a fonte de corrente dependente não há necessidade de escrever uma equação de supermalha para as malhas 1 e 3 Em lugar disso simplesmente relacionamos i1 e i3 com a corrente da fonte independente usando a LKC υx 9 i3 i1 3i3 i2 9 que pode ser escrita na forma mais compacta como i1 1 3i2 2 3i3 0 ou 1 3i2 2 3i3 15 35 Como temos uma equação e duas incógnitas só falta escrevermos uma equa ção LKT em torno da malha 2 1i2 i1 2i2 3i2 i3 0 ou 6i2 3i3 15 36 Resolvendo as Equações 35 e 36 encontramos i2 11 A e i3 17 A Por inspeção já havíamos determinado que i1 15 A u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 410 Use a análise de malha para encontrar υ3 no circuito da Figura 427 p FIGURA 427 i1 80 V 30 Ω 10 Ω 20 Ω 40 Ω 30 V υ3 15i1 Resposta 1042 V Podemos agora resumir a abordagem geral para a escrita das equações de malha estejam presentes ou não fontes dependentes fontes de tensão e ou fontes de corrente desde que o circuito possa ser desenhado como um circuito planar u EXEMPLO 412 p FIGURA 426 Circuito com três malhas uma fonte de corrente dependente e uma fonte de corrente independente i2 i3 υx υx i1 15 A 1 Ω 2 Ω 1 9 1 Ω 2 Ω 3 Ω Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 98 Resumo do Procedimento Básico de Análise por Supermalha 1 Determine se o circuito é um circuito planar Se não for execute a análise nodal 2 Conte o número de malhas M Redesenhe o circuito se necessário 3 Identifique cada uma das M correntes de malha Geralmente a defini ção de todas as correntes de malha fluindo no sentido horário resulta em uma análise mais simples 4 Se o circuito contém fonte de corrente compartilhadas por duas malhas forme uma supermalha para incluir ambas as malhas Um con torno destacado ajuda ao escrever as equações LKT 5 Escreva uma equação LKT ao redor de cada malhasupermalha Comece com um nó conveniente e siga a direção da corrente da malha Preste muita atenção nos sinais Se houver uma fonte de corrente na periferia de uma malha não é necessária nenhuma equação LKT e a corrente de malha é determinada por inspeção 6 Relacione a corrente de flui em cada fonte de corrente às correntes de malha Isto é conseguido pela simples aplicação da LKC É necessária uma equação como esta para cada supermalha definida 7 Expresse quaisquer incógnitas adicionais isto é tensões ou corrente que não sejam correntes de malha em termos das correntes de malha apropriadas Esta situação pode ocorrer se aparecerem fontes dependentes em nosso circuito 8 Organize as equações Agrupe os termos de acordo com as correntes de malha 9 Resolve o sistema de equações para as correntes de malha serão M delas 45 COMPARAÇÃO ENTRE ANÁLISE NODAL E ANÁLISE DE MALHA Agora que já examinamos duas abordagens bastante diferentes para a aná lise de circuitos parece lógico perguntar se há alguma vantagem no uso de uma ou de outra Se o circuito não for planar não há alternativa somente a análise nodal pode ser aplicada No entanto se estivermos considerando a análise de um circuito pla nar há situações nas quais uma técnica tem uma pequena vantagem sobre a outra Se planejarmos usar a análise nodal então um circuito com N nós resultará em no máximo N 1 equações LKC Cada supernó que for definido reduzirá em 1 este número Se o mesmo circuito tiver M malhas distintas então obteremos no máximo M equações LKT cada super malha reduzirá este número em 1 Com base nestes fatos devemos escolher a abordagem que resultar no menor número de equações simultâneas Se uma ou mais fontes dependentes forem incluídas no circuito então cada variável de controle pode incluir em nossa escolha entre a análise nodal e a análise de malha Por exemplo uma fonte de tensão dependente contro lada por uma tensão nodal não requer uma equação adicional quando execu tamos a análise nodal De forma similar uma fonte de corrente dependente controlada por um acorrente de malha não requer uma equação adicional Seção 45 u Comparação entre análise nodal e análise de malha 99 quando executamos a análise de malha E o que acontece quando uma fonte de tensão dependente é controlada por uma corrente Ou o contrário quan do uma fonte de corrente dependente é controlada por uma tensão Desde que a grandeza controlada possa ser facilmente relacionada às correntes de malha podemos esperar que a análise de malha seja a opção mais simples Da mesma forma se a grandeza controlada puder ser facilmente relacionada às tensões nodais a análise nodal pode ser preferível Uma consideração final nessa discussão é ter em mente a localização da fonte fontes de corrente localizadas na periferia da malha sejam elas dependentes ou não são facil mente tratadas na análise de malha fontes de tensão conectadas ao terminal de referência são facilmente tratadas na análise nodal Quando qualquer um dos métodos resultar essencialmente no mesmo número de equações pode ser conveniente considerar também quais gran dezas estão sendo procuradas A análise nodal resulta no cálculo direto de tensões nodais enquanto a análise de malha fornece correntes Por exem plo se precisamos calcular correntes através de um conjunto de resistores após executar a análise nodal deveremos ainda usar a lei de Ohm em cada resistor para determinar a corrente Como exemplo considere o circuito da Figura 428 Queremos determi nar a corrente ix Escolhemos o nó inferior como nó de referência e notamos que há quatro nós remanescentes Embora isto signifique que podemos escrever quatro equações distintas não há necessidade de se identificar o nó entre a fonte de 100 V e o resistor de 8 Ω pois está claro que a tensão naquele nó é igual a 100 V Então identificamos as demais tensões nodais υ1 υ2 e υ3 como na Figura 429 p FIGURA 429 O circuito da Figura 428 com as tensões nodais identificadas Note que foi escolhido um símbolo de terra para designar o terminal de referência 100 V 8 A 4 Ω 3 Ω 5 Ω 8 Ω 2 Ω 10 Ω υ2 υ1 υ3 ix Escrevemos as três equações a seguir υ1 100 8 υ1 4 v1 υ2 2 0 ou 0875υ1 05υ2 125 37 υ2 υ1 2 υ2 3 υ2 υ3 10 8 0 ou 05υ1 09333v2 01υ3 8 38 υ3 υ2 10 υ3 5 8 0 ou 01υ2 03υ3 8 39 p FIGURA 428 Circuito planar com cinco nós e quatro malhas 100 V 8 A 4 Ω 3 Ω 5 Ω 8 Ω 2 Ω 10 Ω ix Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 100 Resolvendo encontramos υ1 2589 V e υ2 2031 V Determinamos a corrente ix aplicando a lei de Ohm ix υ1 υ2 2 279 A 40 p FIGURA 430 O circuito da Figura 428 com as correntes de malha identificadas 100 V 8 A 4 Ω 3 Ω 5 Ω 8 Ω 2 Ω 10 Ω ix i3 i4 i2 i1 Em seguida consideraremos o mesmo circuito usando a análise de malha Vemos na Figura 430 que temos quatro malhas distintas embora seja óbvio que i4 8 A necessitamos portanto escrever três equações distintas Escrevendo equações LKT para as malhas 1 2 e 3 100 8i1 4i1 i2 0 ou 12i1 4i2 100 41 4i2 i1 2i2 3i2 i3 0 ou 4i1 9i2 3i3 0 42 3i3 i2 10i3 8 5i3 0 ou 3i2 18i3 80 43 Resolvendo encontramos i2 ix 279 A Neste problema em particular a análise de malha demonstrou ser a solução mais simples Porém como cada um dos métodos é válido a utilização de ambos na solução de um mesmo problema pode servir como uma maneira de verificar nossas respostas 46 ANÁLISE DE CIRCUITOS AUXILIADA POR COMPUTADOR Vimos que não são necessários muitos componentes pra se criar um circuito de complexidade razoável Como continuaremos a examinar circuitos cada vez mais complexos logo se tornará óbvio que é fácil cometermos erros durante a análise e que a verificação manual das soluções pode ser muito demorada Um poderoso programa computacional conhecido como PSpice é comumente utilizado na análise rápida de circuitos e as ferramentas de dese nho de diagramas esquemáticos são geralmente integradas às ferramentas de desenho de circuitos impressos e de circuitos integrados Originalmente desenvolvido na década de 1970 na Universidade da Califórnia em Berke ley o Spice Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis é agora um padrão na indústria A MicroSim Corporation introduziu o PSpice em 1984 construindo interfaces gráficas intuitivas em torno do núcleo do pro grama Spice Dependendo do tipo de aplicação de circuitos sendo conside rada há agora várias empresas oferecendo variações do pacote Spice básico Seção 46 u Análise de circuitos auxiliada por computador 101 Embora a análise auxiliada por computador seja uma maneira relativa mente simples de determinar tensões e corrente em um circuito devemos ter cuidado para não deixar que programas de simulação substituam com pletamente a análise baseada no lápis e papel Há várias razões para isso Primeiro para projetar precisamos ser capazes de analisar O uso indis criminado de ferramentas computacionais pode inibir o desenvolvimento das habilidades analíticas necessárias é quase o mesmo que introduzir o uso de calculadora na escola primária Segundo é quase impossível usar um pacote computacional complicado durante muito tempo sem cometer algum tipo de erro na entrada de dados Se não tivermos nenhuma intuição básica a respeito do tipo de resposta que esperamos da simulação não há como determinar se o resultado é válido ou não Portanto o nome genérico a seguir é uma descrição razoavelmente exata análise auxiliada por com putador Cérebros humanos não são obsoletos Pelo menos não até agora t FIGURA 431 a Circuito da Figura 415a desenhado na interface gráfica Orcad b Botões para mostrar corrente tensão e potência c Circuito após rodar a simulação habilitada a mostra das correntes a b c Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 102 Como exemplo considere o circuito da Figura 415b que inclui duas fon tes de tensão CC e três resistores Queremos simular esse circuito usando o PSpice para determinar as correntes i1 e i2 A Figura 431a mostra o diagrama esquemático do circuito desenhado na interface gráfica do programa1 Para determinar as correntes de malha precisamos apenas rodar uma simulação de ponto de polarização bias point simulation No menu PSpi ce selecione New Simulation Profile Digite Primeiro Exemplo ou outro nome de sua preferência e clique em Create Selecione Bias Point no menu Analysis Type e depois clique em OK Retornando à janela original contendo o diagrama esquemático selecione Run em PSpice ou use um dos dois atalhos pressione a tecla F11 ou o clique no ícone azul play Para ver as correntes calculadas pelo PSpice certifiquese de que o botão de corrente esteja selecionado Figura 431b Os resultados da nossa simulação são mostrados na Figura 431c Vemos que as duas correntes i1 e i2 são 6 A e 4 A respectivamente conforme havíamos encontrado anteriormente Em outro exemplo considere o circuito ilustrado na Figura 432a Ele cotém uma fonte de tensão CC uma fonte de corrente CC e uma fonte de cor rente controlada por tensão Estamos interessados nas três tensões nodais que podem ser determinadas através da análise nodal ou de malha e são 8291 V 699 V e 599 V respectivamente à medida que nos movemos da esquerda para a direita na parte de cima do circuito A Figura 432b mostra este circuito após a simulação desenhado na interface gráfica As três tensões nodais estão indicadas diretamente no diagrama esquemático Note que ao desenhar uma fonte dependente usando a interface gráfica devemos ligar explicitamente os dois terminais da fonte à tensão ou corrente de controle 18 Ω 33 Ω 20 Ω 5 A 02 V2 10 V b a V2 1 Veja o Apêndice 4 para um breve tutorial sobre PSpice e a captura de diagramas esquemáticos u FIGURA 432 a Circuito com fonte dependente de corrente b Circuito desenhado usando a ferramenta esquema de captura com o resultado da simulação apresentado diretamente no esquema APLICAÇÃO CRIAÇÃO DE ESQUEMÁTICO PSPICE BASEADO NA ANÁLISE NODAL O método mais comum de descrever um circuito em um programa computacional de análise de circuitos envolve o uso de algum tipo de interface gráfica como aquela ilustrada no exemplo da Figura 432 Porém o Spice foi escrito antes do aparecimento de programas como esse e portanto requer que os circuitos sejam descritos em formato de texto específico Este formato tem raízes na sintaxe utilizada em cartões perfurados o que lhe dá uma aparência diferenciada A base para a descrição de circuitos é a definição de elementos onde a cada terminal é atribuído um número de nó Assim apesar de termos estudado dois diferentes métodos generalizados para a análise de circuitos a técnica nodal e a técnica de malhas é interessante que o Spice e o PSpice foram escritos usando uma abordagem de análise nodal claramente definida Apesar da análise de circuitos moderna ser feita primeiramente usando programas interativos com interface gráfica quando erros são gerados geralmente por causa de um engano na criação do diagrama esquemático ou na seleção de alguma opção de análise a habilidade para ler o arquivotexto de entrada input deck pode ser extremamente valiosa no rastreamento do problema A maneira mais fácil de desenvolver esta habilidade é aprender como rodar o PSpice diretamente a partir de um arquivotexto de entrada escrito pelo usuário Considere por exemplo o arquivo de entrada abaixo linhas começando com um asterisco são comentários e são puladas pelo Spice OP R1 1 2 1k R2 2 0 1k V1 1 0 DC 5 Exemplo de convés de entrada input deck para um divisor de tensão simples requer o ponto de operação CC aloca R1 entre os nós 1 e 2 com valor 1 kΩ aloca R2 entre os nós 2 e 0 também com 1 k Ω aloca uma fonte de 5 V entre os nós 1 e 0 Final do convés de entrada Podemos criar um arquivo de entrada usando o Bloco de Notas do Windows ou nosso editor de texto favorito Salvando o arquivo com o nome exemplocir e em segui da chamamos o PSpice AD ver Apêndice 4 No menu File escolhemos Open localizamos o diretório no qual salvamos nosso arquivo exemplocir e em File of Type selecionamos Circuit File dir Após selecionar nosso arquivo e clicar Open vemos a janela do PSpice AD com o arquivo do nosso circuito carregado Figura 433a Uma lista como essa contendo instruções para a simula ção a ser feita pode ser criada pela interface gráfica ou escrita manualmente como nesse exemplo Rodamos a simulação por clicado o símbolo play em cima à direita ou selecionamos Run no menu Simulation Para ver o resultado selecionamos a opção Output File no menu View que fornece uma janela como mos trada na Figura 433b Aqui é importante notar que a saída fornece a tensão nodal esperada 5 V no nó 1 e 25 V sobre o resistor R2 mas a corrente é fornecida usando a convenção do sinal passivo isto é 25 mA A entrada de um esquemático baseado em um arquivo de texto é razoavelmente simples mas para circuitos com plexos grande número de elementos ela pode facilmen te se tornar pesado Também é fácil de perder o número dos nós um erro que pode se tornar difícil de evitar Entretanto ler os arquivos de entrada e saída é frequen temente útil quando rodamos uma simulação no entanto alguma experiência com este formato é necessária a b p FIGURA 433 a Janela do PSpice AD depois de carregado o arquivo de entrada em que se descreve o nosso divisor de tensão b Janela de saída mostrando as tensões nodais e corrente da fonte mas marcada usando a convenção do sinal passivo Note que a tensão sobre o resistor R1 necessita uma subtração pós simulação Neste ponto começa a aparecer o verdadeiro poder da análise auxiliada por computador assim que o diagrama esquemático do circuito estiver desenhado no programa fica fácil variar os valores dos componentes observando o efeito resultante nas correntes e tensões Para ganhar um pouco mais de experiência neste ponto tente simular qualquer um dos cir cuitos mostrados nos exemplos anteriores e nos exercícios práticos 105 Resumo e revisão RESUMO E REVISÃO Ao longo do Capítulo 3 introduzimos as LKT e LKC e embora ambas sejam suficientes para nos permitir analisar qualquer circuito uma abordagem mais metódica se mostra útil em situações diárias Então neste capítulo desen volvemos as técnicas de análise nodal baseada na LKC que resulta em uma tensão para cada nó em relação em nó de referência Geralmente neces sitamos de resolver um sistema de equações simultâneas a menos que fontes de tensão estejam conectadas uma vez que essas fornecem automaticamente uma tensão nodal A grandeza que controla uma fonte dependente é escrita como escrevemos o valor numérico de uma fonte independente Geralmen te uma equação adicional é requerida a menos que uma fonte dependente seja controlada por uma tensão nodal Quando uma fonte de tensão liga dois nós a técnica básica pode ser estendida pela criação do supernó a LKC decreta que a soma das correntes fluindo para o grupo de conexões assim definido é igual à soma das tensões que saem do mesmo Como uma alternativa à análise nodal a técnica de análise de malha foi desenvolvida baseada na LKT Ela produz o conjunto completo de correntes de malha que nem sempre representam a corrente líquida que flui através de um elemento em particular por exemplo se um elemento é compartilhado por duas malhas A presença de uma fonte de corrente simplificará a análise se esta estiver na periferia da malha se a fonte é compartilhada então a técnica de supermalha é melhor Neste caso escre vemos as equações LKT em torno de um caminho que evite a fonte de corrente compartilhada em seguida ligar algebricamente as duas correntes de malha correspondentes utilizando a fonte Uma questão comum é Qual das técnicas de análise eu deverei uti lizar Discutimos algumas das questões que podem ser utilizadas para a escolha de uma técnica para um determinado circuito Isso inclui o fato de um circuito ser ou não planar quais os tipos de fontes estão presentes e como estão conectadas e também qual informação específica é requerida isto é uma tensão uma corrente ou potência específicas Para circuitos complexos ser necessário um esforço muito maior do que vale a pena para determinar a abordagem ótima caso no qual a maioria das pessoas opta rá pelo método com que se sinta mais confortável Concluímos o capítulo pela introdução do PSpice uma ferramenta computacional comum que é muito útil para a verificação de nossos resultados Neste ponto fechamos o pacote identificando os pontoschave deste capítulo para revisão juntamente com exemplos relevantes f Comesse cada análise com um diagrama esquemático claro simples Indique todos os elementos e valores das fontes Exemplo 41 f Para análise nodal f Escolha um nó para ser o nó de referência Então nomeie as tensões de nó υ1 υ2 υN1 Entendendo que cada um está refe renciado ao nó de referência Exemplos 41 e 42 f Se o circuito contém apenas fontes de corrente aplicar LKC para cada nó diferente do nó de referência Exemplos 41 e 42 Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 106 f Se o circuito contém fontes de tensão forme um supernó com cada um e então aplique a LKC em todos os nós e supernós fora o nó de referência Exemplos 45 e 46 f Para análise de malha primeiro tenha certeza de que o circuito é uma rede planar f Atribua uma corrente de malha no sentido horário para cada malha i1 i2 iM Exemplo 47 f Se o circuito contém apenas fontes de tensão aplicar a LKT em torno de cada malha Exemplos 47 48 e 49 f Se o circuito contém fontes de corrente crie uma supermalha para cada uma das fontes comuns a duas malhas e então aplique a LKT em torno de cada malha e supermalha Exemplos 411 e 412 f Fontes dependentes irão introduzir equações adicionais na análise nodal se as vaiáveis controláveis são correntes mas não se as vari áveis de controle são tensões nodais Reciprocamente uma fonte dependente irá introduzir uma equação adicional à análise de malha se a variável de controle é uma tensão mas não se a variável de controle é uma corrente de malha Exemplos 43 44 46 49 410 e 412 f Ao decidir entre o uso da análise nodal ou de malha em um circuito planar um circuito com menos nóssupernós do que malhassuper malhas resultará em menos equações usando a análise nodal f A análise auxiliada por computador é útil para verificar resultados e analisar circuitos com muitos elementos No entanto deve ser usado bomsenso ao verificar resultados de simulações LEITURA COMPLEMENTAR Um tratamento detalhado das análises nodal e de malha pode ser encon trado em R A DeCarlo and P M Lin Linear Circuit Analysis 2nd ed New York Oxford University Press 2001 Um guia sólido sobre o Spice é P Tuinenga SPICE A Guide to Circuit Simulation and Analysis Using PSPICE 3rd ed Upper Saddle River NJ PrenticeHall 1995 EXERCÍCIOS 41 Análise Nodal 1 Resolva os sistemas de equação a seguir a 2υ2 4υ1 9 e υ1 5υ2 4 b υ1 2υ3 8 2υ1 υ2 5υ3 7 4υ1 5υ2 8υ3 6 Exercícios 107 2 Calcule os determinantes a seguir a 2 1 4 3 b 0 2 11 6 4 1 3 1 5 3 Para cada um dos itens do Exercício 1 use a regra de Cramer para determinar υ2 4 a Resolva os sistemas de equações a seguir 3 υ1 5 υ2 υ1 22 υ1 υ3 3 2 1 υ2 υ1 22 υ2 υ3 14 0 υ3 10 υ3 υ1 3 υ3 υ2 14 b Verifique as suas soluções usando o MATLAB 5 a Resolva o sistema de equações a seguir 7 υ1 2 υ2 υ1 12 υ1 υ3 19 15 υ2 υ1 12 υ2 υ3 2 4 υ3 7 υ3 υ1 19 υ3 υ2 2 b Verifique suas soluções usando MATLAB 6 Corrigir e verificar programaticamente o código MATLAB a seguir e1 3 v7 v2 v12 v1 v33 e2 2 v2 v12 v2 v314 e 0 v310 v3 v13 v3 v214 a sovee e2 e3 v1 v2 v3 7 Identifique os erros óbvios no conjunto de equações nodais a seguir sabendo que a última equação é sabidamente correta 7 υ1 4 υ2 υ 1 υ1 υ3 9 0 υ2 υ1 2 υ2 υ3 2 4 υ3 7 υ3 υ1 19 υ3 υ2 2 8 No circuito da Figura 434 determine a corrente i com o auxílio da técnica de análise nodal t FIGURA 434 5 A 4 A 1 Ω 5 Ω 2 Ω υ1 i υ2 9 Calcule a potência dissipada no resistor de 1 Ω na Figura 435 p FIGURA 435 2 Ω 3 Ω 2 A 3 A 1 Ω Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 108 10 Com a ajuda da análise nodal determine υ1 υ2 no circuito mostrado na Figura 436 11 Para o circuito da Figura 437 determine o valor da tensão υ1 e a corrente i1 t FIGURA 437 3 Ω 1 Ω 2 A 6 Ω 2 Ω 4 A 6 Ω i1 υ1 12 Use a análise nodal para achar υP no circuito mostrado na Figura 438 p FIGURA 438 υP 50 Ω 10 Ω 40 Ω 20 Ω 100 Ω 200 Ω 5 A 10 A 25 A 2 A 13 Usando o nó inferior como referência determine a tensão sobre o resistor de 5 Ω no circuito da Figura 439 e calcule a potência dissipada pelo resistor de 7 Ω t FIGURA 439 1 Ω 7 Ω 5 Ω 3 Ω 3 Ω 5 A 8 A 4 A 14 Para o circuito da Figura 440 use a análise nodal para determinar a corrente i5 t FIGURA 440 6 Ω 7 Ω 2 A 3 A 5 Ω 2 Ω 1 Ω 4 Ω 3 Ω i5 p FIGURA 436 4 Ω 2 Ω 1 Ω 5 Ω 2 A 15 A υ1 υ2 Exercícios 109 15 Determine o valor numérico para cada tensão nodal no circuito da Figura 441 t FIGURA 441 5 Ω 10 Ω 1 A 2 A 5 Ω 2 Ω 6 Ω 5 Ω 2 Ω 1 Ω 4 Ω 6 A 2 A 4 Ω 1 Ω 4 Ω 10 Ω 2 Ω υ1 υ3 υ7 υ2 υ6 υ4 υ5 υ8 16 Determine a corrente i2 como mostrado na Figura 442 com o auxílio da análise nodal t FIGURA 442 3 Ω 10 V 2 Ω 5 Ω υ1 υ3 7 Ω 002υ1 i2 17 Usando a análise nodal de maneira apropriada para determinar a corrente i1 no circuito da Figura 443 t FIGURA 443 υx υx 1 A 5 Ω 2 Ω 3 Ω i1 42 O Supernó 18 Determine a tensão nodal como mostrado na Figura 444 fazendo uso da técni ca de supernó de maneira apropriada t FIGURA 444 5 Ω 4 V 1 Ω 5 A 3 Ω 3 A 8 A 2 Ω υ1 υ2 υ3 Ref Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 110 19 Para o circuito mostrado na Figura 445 determine um valor numérico para a tensão υ1 t FIGURA 445 3 A 9 V 5 A 1 Ω 9 Ω 5 Ω υ1 20 Para o circuito da Figura 446 determine todas as quatro tensões nodais 21 Determine a potência dissipada no resistor de 1 Ω no circuito da Figura 447 utilizando a técnica de análise nodalsupernó de maneira apropriada 22 Referente ao circuito da Figura 448 obtenha o valor numérico para a potência fornecida pela a fonte de 1 V t FIGURA 448 1 V 4 V 4 A 6 A 14 Ω 3 V 7 Ω 7 Ω 2 Ω 3 Ω 2 Ω 23 Determine a tensão υ no circuito da Figura 449 t FIGURA 449 5 A 10 V 10 Ω 20 Ω 12 Ω 2 Ω 1 A 5 V υ 24 Determine a tensão υx no circuito da Figura 450 e a potência fornecida pela fonte de 1 A 25 Considere o circuito da Figura 451 Determine a corrente i1 26 Determine o valor de k que resulta em υx igual a zero no circuito da Figura 452 p FIGURA 446 5 V 6 V 2 A 1 Ω 2 Ω 4 Ω 10 Ω p FIGURA 447 7 V 3 A 2 A 4 V 1 Ω 4 V 3 Ω 2 Ω p FIGURA 450 2υx 8 Ω 2 Ω 5 Ω 1 A 8 A υx p FIGURA 451 2 Ω 4 Ω 3 V 4 V i1 2 A 05i1 Exercícios 111 t FIGURA 452 1 Ω 4 Ω 1 Ω 1 A 2 V Ref 3 Ω kυy υx υy 27 Para o circuito representado na Figura 453 determine a tensão υ1 sobre o resis tor de 3 Ω 28 Para o circuito da Figura 454 determine todas as quatro tensões nodais t FIGURA 454 2υx 1 Ω 2 Ω 3 Ω Ref 3 A 1 V υ2 υ4 υ3 υ1 4 Ω 1 Ω υx 43 Análise de Malha 29 Determine as correntes que saem do terminal positivo de cada fonte de tensão no circuito da Figura 455 30 Obtenha o valor numérico para as duas correntes de malha no circuito mostrado na Figura 456 31 Use a análise de malha de forma apropriada para determinar as duas correntes de malha da Figura 457 32 Determine o valor numérico para cada uma das três correntes de malha do dia grama de circuito da Figura 458 33 Calcule a potência dissipada por cada resistor no circuito da Figura 458 34 Utilizando a análise de malha da forma apropriada obtenha a o valor da cor rente iy e b a potência dissipada pelo resistor de 220 Ω no circuito da Figura 459 t FIGURA 459 47 kΩ 220 Ω 57 kΩ 47 kΩ 1 kΩ 1 kΩ 22 kΩ 5 V iy p FIGURA 453 2 Ω 2 A 5 Ω 3 Ω υ1 υ1 4υ1 p FIGURA 455 1 V 2 V 1 Ω 4 Ω 5 Ω p FIGURA 456 i2 i1 5 V 12 V 14 Ω 7 Ω 3 Ω p FIGURA 457 15 V 21 V 9 Ω 9 Ω 11 V 1 Ω i1 i2 p FIGURA 458 i2 i3 i1 2 V 3 V 1 Ω 5 Ω 7 Ω 6 Ω 9 Ω Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 112 35 Ache valores diferentes de zero para as três fontes de tensão no circuito da Figura 460 de maneira que nenhuma corrente flua sobre qualquer resistor no circuito 36 Calcule a corrente ix no circuito da Figura 461 t FIGURA 461 3 V 10 A 4 Ω 8 Ω 5 Ω 8 Ω 12 Ω 20 Ω ix 37 Utilizando procedimentos da análise de malha obtenha o valor da corrente i no circuito apresentado pela Figura 462 38 Determine a potência dissipada no resistor de 4 Ω no circuito mostrado na Figu ra 463 t FIGURA 463 5 Ω 4 Ω 4 V 1 V i1 3 Ω 2i1 39 a Utilize a análise de malha para determinar a potência dissipada pelo resistor de 1 Ω no circuito representado esquematicamente pela Figura 464 b Verifi que sua resposta usando análise nodal t FIGURA 464 4 A 5ix 1 A 2 Ω 1 Ω 5 Ω 2 Ω ix 40 Defina três correntes de malha no sentido horário para o circuito da Figura 465 e utilize a análise de malha para obter o valor para cada corrente t FIGURA 465 2 V 1 V 2 Ω 9 Ω 10 Ω 3 Ω 10 Ω 5 V υx 05υx 41 Utilize análise de malha para obter os valores de ix e υa no circuito da Figura 466 p FIGURA 460 3 Ω 2 Ω 7 Ω 5 Ω p FIGURA 462 2 V 1 Ω 4 Ω 3 Ω 4 Ω 1 Ω i p FIGURA 466 4 Ω 4 Ω 02ix 9 V 1 Ω 7 Ω 7 Ω υa 01υa ix Exercícios 113 44 A Supermalha 42 Determine os valores para cada uma das três correntes de malha da Figura 467 43 Por meio da aplicação apropriada da técnica de supermalha obtenha um valor numérico para a corrente de malha i3 no circuito da Figura 468 e calcule a potência dissipada pelo resistor de 1 Ω 44 Para o circuito da Figura 469 determine a corrente de malha i1 e a potência dissipada pelo resistor de 1 Ω t FIGURA 469 i1 7 V 5 Ω 9 A 1 Ω 3 A 10 Ω 11 Ω 3 Ω 5 Ω 45 Calcule as três correntes de malha no diagrama de circuito da Figura 470 46 Utilizando a técnica de supermalha obtenha o valor numérico para cada uma das correntes de malha identificadas no circuito representado na Figura 471 t FIGURA 471 3 A 8 V 3 Ω 6 Ω 3 V 1 A 2 A 3 Ω 2 V 5 Ω 1 Ω 4 Ω 2 Ω i2 i3 i1 47 Utilizando de forma cuidadosa a técnica de supermalha obtenha o valor de todas as três correntes de malha como mostrado na Figura 472 48 Determine a potência fornecida pela tensão de 1 V na Figura 473 t FIGURA 473 i1 1 V 1 Ω 4 Ω 3 Ω 2 Ω 8 V 5i1 p FIGURA 467 i2 i3 i1 1 V 2 A 7 Ω 3 Ω 2 Ω 1 Ω 3 Ω p FIGURA 468 i3 i1 3 V 10 Ω 5 A 4 Ω 5 Ω 1 Ω 17 Ω p FIGURA 470 i3 i2 i1 47 kΩ 35 kΩ 22 kΩ 17 kΩ 62 kΩ 3 A 7 V 81 kΩ 31 kΩ 1 A 2 A 57 kΩ p FIGURA 472 i2 i1 i3 5 A 11 Ω 12 Ω 12 Ω 13 Ω 13 Ω υx 13υx Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 114 49 Define três correntes de malha no sentido horário para o circuito da Figura 474 e utilize a técnica de supermalha para obter o valor numérico de cada corrente 50 Determine a potência absorvida pelo resistor de 10 Ω na Figura 475 t FIGURA 475 5 Ω 2ia 3 Ω 5 A 4 Ω 10 Ω 6 A 4 V ia 45 Comparação entre Análise Nodal e Análise de Malha 51 Para o circuito representado esquematicamente na Figura 476 a Quantas equações nodais serão necessárias para determinar i5 b Alternativamente quantas equações de malha serão requeridas c Qual método de análise você escolheria se apenas a tensão sobre o resistor de 7 Ω fosse necessária Explique t FIGURA 476 6 Ω 7 Ω 2 A 3 A 5 Ω 2 Ω 1 Ω 4 Ω 3 Ω i5 52 O circuito da Figura 476 é modificado de maneira que a fonte de corrente de 3 A é trocada por uma fonte de tensão de 3 V com terminal positivo de referência está conectado ao resistor de 7 Ω a Determine o número de equações nodais necessárias para determinar i5 b Alternativamente quantas equações de malha são necessárias c Qual método de análise você escolheria se apenas a tensão sobre o resistor de 7 Ω fosse necessária Explique 53 O circuito da Figura 477 contém três fontes a Como desenhado atualmente qual análise nodal ou de malha resulta em um numero menor de equações para determinar a tensão υ1 e υ2 Explique b Se as fontes de tensão forem trocadas por fontes de corrente e as fontes de corrente trocadas por fontes de tensão em que a sua resposta para a item a é mudada Explique t FIGURA 477 30 Ω 6 Ω 3 Ω 240 V 60 V 10 A 12 Ω υ1 υ2 p FIGURA 474 3 V 2 Ω 1 Ω 4 Ω 1 Ω 5 V υ3 18υ3 Exercícios 115 54 Resolva o circuito da Figura 478 para a tensão υx usando a análise de malha b Repita usando a análise nodal c Qual abordagem foi mais fácil e por quê 55 Considere o circuito com cinco fontes da Figura 479 Determine o número de equações simultâneas que deve ser resolvida para determinar υ1 usando a aná lise nodal b análise de malha c Qual método é o preferido e isso depende de qual lado do resistor de 40 Ω é escolhido como nó de referência Explique 56 Troque a fonte de tensão dependente no circuito da Figura 479 por uma fonte dependente de corrente orientada de maneira que a sua seta aponte para cima A expressão de controle 01 υ1 permanecesse inalterada O valor de V2 é zero a Determine o número total de equações simultâneas necessárias para se obter a potência dissipada pelo resistor de 40 Ω se uma análise nodal for utilizada b A análise de malha é preferível Explique 57 Após estudar o circuito da Figura 480 determine o número total de equações simultâneas que devem ser resolvidas para determinar as tensões υ1 e υx usando a análise nodal b análise de malha t FIGURA 480 30 Ω 45 Ω 100 V 20 Ω 50 Ω υ1 υ3 02υ3 002υ1 5i2 i2 58 Com a expectativa de se determinar todas as tensões e correntes associadas com todos os componentes a desenvolva um circuito com cinco nós quatro malhas que é mais fácil ser analisado usando técnicas nodais b modifique seu circuito pela troca de apenas um dos seus componentes de maneira de que agora seja mais fácil analisar por meio das técnicas de malha 46 Análise de circuitos auxiliada por computador 59 Utilize o PSpice ou ferramenta similar para verificar a solução do Exercício 8 Enviar uma cópia impressa do esquemático devidamente identificado com a resposta em destaque juntamente com os seus cálculos feitos à mão 60 Utilize o PSpice ou ferramenta similar para verificar a solução do Exercício 10 Entregar uma cópia impressa do esquema devidamente identificado com as duas tensões nodais em destaque juntamente com os seus cálculos feitos à mão usados para resolver as mesmas grandezas 61 Utilize o PSpice ou ferramenta similar para verificar a tensão sobre o resistor de 5 Ω no circuito do Exercício 13 Entregar uma cópia impressa do esquemá tico devidamente identificado com a resposta em destaque juntamente com os seus cálculos feitos à mão 62 Verifique numericamente os valores de cada tensão nodal no Exercício 15 pela utilização de PSpice ou ferramenta simular Envie uma cópia impressa com o esquemático devidamente identificado com as tensões nodais juntamente com os seus cálculos feitos à mão 63 Verifique os valores numéricos para i1 e υx como indicado no circuito que acom panha o Exercício 17 usando PSpice ou ferramenta similar Entregar uma cópia impressa do esquemático devidamente identificado com a resposta em destaque juntamente com os seus cálculos feitos à mão p FIGURA 478 11 A 22 V 2 Ω 9 Ω υx p FIGURA 479 υ1 10 Ω 40 Ω 20 Ω 96 V 4 A 6 A 01υ1 V2 Capítulo 4 u Análise Nodal e Análise de Malha 116 64 a Gere um arquivo de entrada para SPICE para determinar a tensão υ9 como mostrado na Figura 481 Entregar uma cópia impressa do esquema devidamente identificado com a resposta em destaque b Verifique a resposta manualmente t FIGURA 481 10 Ω 5 Ω 4 Ω 6 Ω 9 Ω 40 V 7 Ω 11 Ω 8 Ω υ9 2 Ω 3 Ω Exercícios de integração do capítulo 65 a Projete um circuito empregando apenas baterias de 9 V e resistores com tolerância padrão de 5 que forneça tensões de 15 V 45 V e 5 V e tendo a menor corrente de malha igual a 1 mA b Verifique seu projeto usando PSpice ou ferramenta similar 66 Um letreiro com uma frase decorativa usando luzes multicoloridas é instalado em uma casa em um bairro residencial Depois de ligar uma fonte de 12 VCA aos terminais da placa o dono da casa imediatamente observa que duas lâmpadas estão queimadas a As luzes individuais estão ligadas em série ou em paralelo Explique b Simule a palavra usando um arquivo texto escrito para SPICE considerando 44 lâmpadas usando uma fonte de potência de 12 VCC um cabo de cobre leve 24 AWG e bulbos individuais de 10 mW cada Envie uma cópia impressa do arquivo de saída com a fonte de tensão de 12 V destacada c Verifique sua simulação com cálculos feitos à mão 67 Considere o circuito mostrado na Figura 482 Utilizando as análises nodal e de malha como ferramentas de projeto para obter o valor de 200 mA para i1 se os elementos A B C D E e F devem ser cada um uma fonte de tensão ou corrente com valores diferentes de zero t FIGURA 482 2 Ω i1 A B 2 Ω C D F E 68 a Em que circunstâncias a presença de uma fonte de tensão independente sim plifica a análise nodal Explique b Em que circunstâncias a presença de uma fonte de corrente independente simplifica a análise de malha Explique c Em que princípio físico fundamental a análise nodal se baseia d Em que princípio físico fundamental a análise de malha se baseia 69 Referindose à Figura 483 a determine qual método de análise é mais apro priado para determinar i2 se o elemento A for trocado com um curto circuito e então execute a análise b Verifique sua resposta utilizando uma simulação em PSpice apropriada Entregue um esquema apropriadamente identificado com as respostas destacadas 70 O elemento A marcado no circuito da Figura 483 é substituído por uma fonte inde pendente de tensão de 25 V com o terminal positivo de referência ao nó comum dos resistores de 20 Ω e 30 Ω a Determine se a análise de malha ou nodal é a mais fácil para determinar a tensão υ3 b Verifique sua resposta usando PSpice c Será que a sua conclusão para o item a mudaria se a corrente i2 também fosse necessária p FIGURA 483 i1 i2 A 80 V 30 Ω 10 Ω 20 Ω 40 Ω 30 V υ3 INTRODUÇÃO As técnicas de análise nodal e de malha descritas no Capítulo 4 são métodos con fiáveis e extremamente poderosos No entanto como regra geral ambos requerem que desenvolvamos um conjunto completo de equações para descrever um circuito em particular mesmo quando queremos conhecer apenas uma corrente tensão ou potência Neste capítulo investigamos várias técnicas diferentes para isolar partes específicas de um circuito de modo a simplificar a análise Após examinar cada uma dessas técnicas veremos como fazer a seleção entre um método ou outro 51 LINEARIDADE E SUPERPOSIÇÃO Todos os circuitos que pretendemos analisar podem ser classificados como circui tos lineares portanto esta é uma boa hora para sermos mais específicos definindo exatamente o que queremos dizer com isso Feito isso poderemos então considerar a consequência mais importante da linearidade o princípio da superposição Este princípio é muito básico e aparecerá repetidas vezes em nosso estudo da análise de circuitos lineares Na realidade a não aplicabilidade da superposição aos circuitos não lineares é a razão principal pela qual eles são tão difíceis de analisar O princípio da superposição diz que a resposta uma corrente ou uma tensão desejada em um circuito linear com mais de uma fonte independente pode ser obtida somandose as respostas causadas por cada uma das fontes independentes agindo isoladamente Elementos Lineares e Circuitos Lineares Definimos um elemento linear como um elemento passivo que tem uma relação tensãocorrente linear Quando dizemos relação tensãocorrente linear queremos dizer simplesmente que a multiplicação da corrente que passa pelo elemento por uma constante K resulta na multiplicação da tensão no elemento pela mesma constante K Até agora apenas um elemento passivo foi definido o resistor e sua relação tensãocorrente υt Rit Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 5 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Superposição como um Meio de Determinar as Contribuições Individuais de Diferentes Fontes para qualquer Corrente ou Tensão Transformação de Fontes como um Meio de Simplificar Circuitos Teorema de Thévenin Teorema de Norton Redes Equivalentes de Thévenin e Norton Máxima Transferência de Potência Transformações Δ Y para Redes Resistivas Selecionando uma Combinação Particular de Técnicas de Análise Execução de Simulações de Varredura CC Usando o PSpice Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 118 é claramente linear Na verdade se υt for traçada em função de it o resultado é uma linha reta Definimos uma fonte dependente linear como uma fonte de corrente ou tensão dependente cuja corrente ou tensão de saída é proporcional somente à primeira potência de uma variável de corrente ou tensão especificada no circuito ou à soma dessas grandezas Definimos agora um circuito linear como um circuito composto intei ramente por fontes independentes fontes dependentes lineares e elementos lineares A partir desta definição é possível mostrar1 que a resposta é pro porcional à fonte ou que a multiplicação de todas as tensões e correntes geradas por fontes independentes por uma constante K aumenta todas as respostas de corrente e tensão pelo mesmo fator K incluindo as variáveis de saída das fontes de tensão e de corrente dependentes O Princípio da Superposição A consequência mais importante da linearidade é a superposição Vamos desenvolver o princípio da superposição considerando primeiro o circuito da Figura 51 que contém duas fontes independentes os gera dores de corrente que forçam a circulação das correntes ia e ib no circuito Por essa razão fontes são frequentemente chamadas de funções forçantes e as tensões nodais que elas produzem podem ser chamadas de funções resposta ou simplesmente respostas Tanto as funções forçantes quanto as respostas podem ser funções do tempo As duas equações nodais para esse circuito são 07υ1 02υ2 ia 1 02υ1 12υ2 ib 2 Vamos agora realizar o experimento x Mudamos as duas funções for çantes para iax e ibx as duas tensões desconhecidas serão agora diferentes portanto vamos chamálas de v1x e v2x Logo 07υ1x 02υ2x iax 3 02υ1x 12υ2x ibx 4 Em seguida executamos o experimento y mudando as fontes de corren te para iay e iby e medindo as respostas v1y e v2y 07υ1y 02υ2y iay 5 02υ1y 12υ2y iby 6 1 A prova envolve primeiro mostrar que o uso da análise nodal em um circuito linear pode produzir somente equações lineares da forma a1υ1 a2υ2 aN υN b onde ai são constantes combinações de valores de resistência ou condutância constantes que aparecem nas expressões de fontes dependentes 0 ou 1 υi são tensões nodais des conhecidas respostas e b é um valor de fonte independente ou uma soma de valores de fontes independentes Dado um conjunto de equações como essa se multiplicarmos todos os bs por K então é evidente que a solução deste novo conjunto de equações serão as tensões nodais Kυ1 Kυ2 KυN A fonte de tensão dependente vs 06i1 14v2 é linear mas as fontes vs 06i1 2 e vs 06i1v2 não são p FIGURA 51 Um circuito com duas fontes de corrente independentes ia υ1 υ2 ib 2 Ω 5 Ω Ref 1 Ω Seção 51 u Linearidade e superposição 119 Esses três conjuntos de equações descrevem o mesmo circuito com três conjuntos diferentes de fontes de corrente Vamos somar ou sobrepor os dois últimos conjuntos de equações Somando as Equações 3 e 5 07υ1x 07υ1y 02υ2x 02υ2y iax iay 7 07υ1 02υ2 ia 1 e somando as Equações 4 e 6 02υ1x 02υ1y 12υ2x 12υ2y ibx iby 8 02υ1 12υ2 ib 2 onde a Equação 1 foi escrita imediatamente abaixo da Equação 7 e a Equação 2 abaixo da Equação 8 para facilitar a comparação A linearidade de todas essas equações nos permite comparar a Equação 7 com a Equação 1 e a Equação 8 com a Equação 2 e tirar uma con clusão interessante Se selecionarmos iax e iay de forma que sua soma seja ia e selecionar ibx e iby de forma que sua soma seja ib então as respostas desejadas υ1 e υ2 podem ser encontradas somando υ1x com υ1y e υ2x com υ2y respectivamente Em outras palavras podemos realizar o experimento x e anotar as respostas realizar o experimento y e anotar as respostas e finalmente somar os dois conjuntos de respostas Isto leva ao conceito fun damental envolvido no princípio da superposição olhar individualmente para cada fonte independente e para a resposta que ela gera com as demais fontes independentes desligadas ou zeradas Se reduzirmos uma fonte de tensão a zero volts efetivamente criamos um curtocircuito Figura 52a Se reduzirmos uma fonte de corrente a zero ampères criamos efetivamente um circuito aberto Figura 52b Assim o teorema da superposição pode ser enunciado da seguinte forma Em qualquer rede resistiva linear a tensão nos terminais ou a corrente através de qualquer resistor ou fonte pode ser calculada pela soma algébrica de todas as tensões ou correntes individuais causadas pela ação isolada de cada uma das fontes independentes com todas as demais fontes de tensão indepen dentes substituídas por curtoscircuitos e todas as demais fontes de corrente independentes substituídas por circuitos abertos Assim se houver N fontes independentes devemos executar N experi mentos cada um tendo somente uma das fontes independentes ativa e as outras inativasdesligadaszeradas Note que em geral fontes dependentes permanecem ativas durante todos os experimentos Também não há nenhuma razão pela qual uma fonte independente deva assumir somente seu valor dado ou um valor nulo nos vários experimentos é necessário somente que a soma dos vários valores seja igual ao valor original No entanto uma fonte inativa quase sempre leva ao circuito mais simples No entanto o circuito que acabamos de usar como exemplo deve indi car que podemos enunciar um teorema muito mais poderoso um grupo de fontes independentes pode ser tornado ativo e inativo coletivamente se assim desejarmos Por exemplo suponha que haja três fontes independen tes O teorema diz que podemos encontrar uma dada resposta considerando p FIGURA 52 a Uma fonte de tensão fornecendo zero volts atua como um curtocircuito b Uma fonte de corrente fornecendo zero ampères atua como um circuito aberto 0 V Não há queda de tensão entre os terminais mas pode fluir corrente i i a υ υ 0 A Não há fluxo de corrente mas pode aparecer uma tensão entre os terminais b Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 120 cada uma das três fontes agindo isoladamente e somando os três resultados Alternativamente podemos encontrar a resposta causada pela primeira e segunda fontes operando com a terceira inativa e então somar a isso a resposta produzida pela terceira fonte agindo isoladamente Isso nos leva a tratar várias fontes coletivamente como uma espécie de superfonte No circuito da Figura 53a use a superposição para escrever uma expres são para a corrente de ramo desconhecida ix ix υs 3 V is 2 A 6 Ω 9 Ω a 3 V 6 Ω 9 Ω ix b 2 A 6 Ω 9 Ω ix c p FIGURA 53 a Exemplo de um circuito com duas fontes independentes no qual se deseja determinar a corrente de ramo ix b o mesmo circuito com a fonte de corrente aberta c circuito original com a fonte de tensão em curtocircuito Primeiramente desativamos a fonte de corrente e redesenhamos o circuito conforme ilustrado na Figura 53b A parcela de ix causada pela fonte de tensão foi denominada ix para evitar confusão e pode ser facilmente calculada como 02 A Em seguida desativamos a fonte de tensão na Figura 53a e redesenhamos o circuito novamente conforme ilustrado na Figura 53c A divisão de corrente nos permite determinar que ix a parte de ix causada pela fonte de corrente é 08 A Calculamos a corrente completa ix adicionando as duas componentes indi viduais ix ix3 V ix2 A ix ix ou ix 3 6 9 2 6 6 9 02 08 10 A Outra maneira de olhar o Exemplo 51 nos sugere que a fonte de 3 V e a fonte de 2 A estão cada uma delas executando trabalho no circuito resul tando em uma corrente total ix fluindo através do resistor de 9 Ω No entanto a contribuição da fonte de 3 V para ix não depende da contribuição da fonte u EXEMPLO 51 Seção 51 u Linearidade e superposição 121 de 2 A e vice versa Por exemplo se dobrarmos a saída da fonte de 2 A para 4 A ela contribuirá agora com 16 A para a corrente total ix que flui através do resistor de 9 Ω No entanto a fonte de 3 V ainda contribuirá somente com 02 A para ix levando a uma nova corrente total de 02 16 18 A u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 51 No circuito da Figura 54 use a superposição para calcular a corrente ix Resposta 660 mA Conforme veremos a superposição geralmente não reduz nossa carga de trabalho ao considerar um circuito em particular já que ela leva à análise de vários novos circuitos para obter a resposta desejada No entanto ela é particularmente útil na identificação do significado das várias partes de um circuito mais complexo Ela também constitui a base da análise fasorial que será introduzida no Capítulo 10 Tendo como referência o circuito da Figura 55a determine a máxima corrente positiva para a qual pode ser ajustada a fonte Ix sem que qual quer resistor exceda sua potência especificada e superaqueça Ix 6 V 100 Ω 64 Ω a 1 W 4 1 W 4 6 V 64 Ω 100 Ω i100 Ω i64 Ω b Ix 100 Ω 64 Ω c i100 V i64 V p FIGURA 55 a Um circuito com dois resistores de 14 W cada b Circuito com apenas a fonte de 6 V ativa c Circuito com a fonte Ix ativa f Identifique o objetivo do problema Cada resistor é especificado para dissipar uma potência máxima de 250 mW Se o circuito permitir que este valor seja ultrapassado forçando a passagem de uma corrente muito elevada através de cada resistor haverá uma geração excessiva de calor possivelmente causando um acidente A fonte de 6 V não pode ser alterada assim estamos procurando uma equação envolvendo Ix e a corrente máxima através de cada resistor u EXEMPLO 52 35 V 2 A 15 Ω 7 Ω 3 Ω 5 Ω ix p FIGURA 54 Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 122 f Reúna as informações conhecidas Com base na potência especificada de 250 mW a máxima corrente que o resistor de 100 Ω pode tolerar é Pmax R 0250 100 50 mA e de maneira semelhante a corrente através do resistor de 64 Ω tem que ser menor que 625 mA f Trace um plano Podese usar a análise nodal ou a análise de malha na solução desse pro blema mas a superposição pode nos dar certa vantagem já que estamos interessados primariamente no efeito da fonte de corrente f Construa um conjunto apropriado de equações Usando a superposição redesenhamos o circuito como na Figura 55b e vemos que a fonte de 6 V contribui com uma corrente de i100 6 100 64 3659 mA no resistor de 100 Ω e como o resistor de 64 Ω está em série i64Ω 3659 mA também Reconhecendo o divisor de corrente na Figura 55c notamos que i64Ω será somada a i64Ω mas i100Ω está na direção oposta a i100Ω IX pode portanto contribuir seguramente com 625 3659 2591 mA para a corrente no resistor de 64 Ω e 50 3659 8659 mA para a corrente no resistor de 100 Ω O resistor de 100 Ω coloca portanto a seguinte restrição sobre Ix Ix 8659 10 3 100 64 64 e o resistor de 64 Ω requer que Ix 2591 10 3 100 64 100 f Tente uma solução Considerando primeiro o resistor de 100 Ω vemos que Ix está limitado a Ix 2219 mA O resistor de 64 Ω limita Ix de maneira que Ix 4249 mA Para satisfazer a ambas as restrições Ix deve ser menor do que 4249 mA Se o valor for aumentado o resistor de 64 Ω superaquecerá muito antes do resistor de 100 Ω f Verifique a solução Ela é razoável ou esperada Uma maneira particularmente útil de avaliar nossa solução é executar uma análise de varredura CC no PSpice conforme descrito após o próxi mo exemplo Uma questão interessante no entanto é se esperávamos que o resistor de 64 Ω se aquecesse primeiro Originalmente vimos que o resistor de 100 Ω apresenta uma menor corrente máxima portanto seria razoável esperar que ele limitasse Ix Contudo como Ix se opõe à corrente enviada pela fonte de 6 V através do resistor de 100 Ω e se superpõe à contribuição da fonte de 6 V para a corrente através do resistor de 64 Ω acaba ocorrendo o contrário é o resistor de 64 Ω que limita Ix Seção 51 u Linearidade e superposição 123 No circuito da Figura 56a use o princípio da superposição para deter minar o valor de ix 10 V 2ix 2 Ω 1 Ω 3 A ix υ a 10 V 2 Ω 1 Ω 2ix ix b 3 A υ 2 Ω 1 Ω 2ix ix c p FIGURA 56 a Exemplo de um circuito com duas fontes independentes e uma fonte dependente no qual se deseja determinar a corrente de ramo ix b Circuito com a fonte de 3 A em aberto c Circuito original com a fonte de 10 V em curtocircuito Primeiramente abrimos a fonte de 3 A Figura 56b A equação da única malha remanescente é 10 2ix ix 2ix 0 de modo que ix 2 A Em seguida colocamos a fonte de 10 V em curtocircuito Figura 56c escrevemos a equação para o único nó remanescente υ 2 υ 2ix 1 3 e relacionamos a variável de controle da fonte dependente com υ υ 2 ix Resolvendo encontramos ix 06 A e então ix ix ix 2 06 14 A Note que ao redesenhar cada subcircuito temos sempre tido o cuidado de usar algum tipo de notação para indicar que não estamos trabalhando com as variáveis originais Isso evita a possibilidade de erros um tanto desastrosos quando somamos os resultados individuais u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 52 No circuito da Figura 57 use a superposição para obter a tensão através de cada fonte de corrente Resposta υ12A 9180 V υ22A 1148 V υ13V 1967 V υ23V 0246 V υ1 11147 V υ2 1394 V u EXEMPLO 53 3 V 2 A 7 Ω 15 Ω 5 Ω 4i υ1 υ2 i p FIGURA 57 Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 124 Resumo do Procedimento Básico de Superposição 1 Selecione uma das fontes independentes Anule todas as fontes inde pendentes restantes Isto significa que as fontes de tensão são substituídas por curtoscircuitos e as fontes de corrente são substituídas por circuitos abertos Não mexa nas fontes dependentes 2 Identifique novamente tensões e correntes usando uma notação ade quada por exemplo υ i2 Não se esqueça de identificar as variáveis de controle das fontes dependentes para evitar confusão 3 Analise o circuito simplificado para encontrar as correntes eou ten sões desejadas 4 Repita os passos 1 a 3 até que cada fonte independente tenha sido considerada 5 Some as correntes eou tensões parciais obtidas nas análises separa das Preste muita atenção nos sinais de tensão e nas direções das correntes ao fazer a soma 6 Não some grandezas de potência Se for necessário obter potências calculeas somente após terem sido somadas as tensões eou correntes parciais Note que o passo 1 pode ser alterado de várias maneiras Primeiro fontes independentes podem ser consideradas em grupos e não individual mente se isso simplificar a análise desde que nenhuma fonte independente seja incluída em mais de um subcircuito Segundo não é tecnicamente necessário anular as fontes embora este seja quase sempre o melhor cami nho Por exemplo uma fonte de 3 V pode aparecer em dois subcircuitos como uma fonte de 15 V já que 15 15 3 V da mesma forma que 0 3 3 V Porém como isso provavelmente não simplificará nossa analise não faz muito sentido utilizar este artifício Embora o PSpice seja extremamente útil para verificar se analisamos um circuito corretamente ele também pode nos ajudar a determinar a contribui ção de cada fonte para uma determinada resposta Para isso usamos aquilo que é conhecido como varredura de parâmetros CC dc parameter sweep Considere o circuito apresentado no Exemplo 52 quando precisá vamos determinar a máxima corrente positiva que poderia ser fornecida pela fonte de corrente sem que se excedesse a potência de qualquer resistor no circuito O circuito é mostrado na Figura 58 redesenhado na ferramenta Orcad Capture CIS dedicada à construção de diagramas esquemáticos Note que nenhum valor foi atribuído à fonte de corrente Após desenhar e salvar o diagrama esquemático o próximo passo é especificar os parâmetros de varredura CC Esta opção nos permite espe cificar um intervalo de valores para uma fonte de tensão ou corrente no caso atual a fonte de corrente Ix ao invés de um valor específico Sele cionando New Simulation Profile no menu PSpice fornecemos um nome para nosso perfil e então temos a caixa de diálogo ilustrada na Figura 59 u ANÁLISE AUXILIADA POR COMPUTADOR Seção 51 u Linearidade e superposição 125 p FIGURA 58 O circuito do exemplo 52 p FIGURA 59 Caixa de diálogo DC Sweep com Ix selecionada como variável de varredura Em Analysis Type escolhemos a opção de menu DC Sweep especi ficamos Current Source como sweep variable variável de varredura e digitamos Ix na caixa Name Há vários tipos de varredura possível descritos abaixo de Sweep Type Linear Logarithmic e Value List A última opção nos permite especificar cada valor a ser atribuído a Ix No entanto para gerar um gráfico contínuo escolhemos uma varredura Linear com um valor inicial de 0 mA Start Value um valor final de 50 mA End Value e um incremento de 001 mA Increment Após executada a simulação o pacote gráfico Probe é chama do automaticamente Quando a janela aparece é mostrado o eixo horizontal correspondendo à nossa variável Ix mas o eixo vertical deve ser selecionado Selecionamos Add Trace adicionar curva no menu Trace clicamos em IR1 digitamos um asterisco na caixa Trace Expression clicamos em IR1 novamente inserimos um outro asterisco e finalmente digitamos 100 Assim fazemos o Probe mostrar no gráfico a potência absorvida pelo resistor de 100 Ω Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 126 a b De modo similar repetimos o processo para acrescentar a potência absorvida pelo resistor de 64 Ω resultando em um gráfico similar àquele ilustrado na Figura 510a Foi acrescentada ao gráfico uma linha de refe rência horizontal em 250 mW digitando 0250 na caixa Trace Expres sion após selecionar Add Trace do menu Trace pela terceira vez Vemos através do gráfico que o resistor de 64 Ω excede sua potência especificada de 250 mW na vizinhança de Ix 43 mA Em contraste no entanto vemos que independentemente do valor atribuído à fonte de corrente Ix desde que este esteja entre 0 e 50 mA o resistor de 100 Ω nunca dissipará 250 mW na verdade a potência absorvida diminui com o aumento da corrente fornecida pela fonte de corrente Se desejarmos uma resposta mais precisa podemos usar a ferramenta cursor que é chamada selecionando Trace Cursor e Display na barra de menu A Figura 510b mostra o resultado quando se arrasta o cursor 1 para 4252 mA onde o resistor 64 Ω está se dissipando um pouco mais de sua máxima potência nominal de 250 mW Podese obter uma maior precisão diminuindo o valor do incremento usado na varredura Essa técnica é muito útil para analisar circuitos eletrônicos onde pode ser necessário determinar por exemplo que tensão de entrada anu laria a tensão de saída de um circuito amplificador complicado Notamos também que podemos executar diferentes tipos de varredura incluindo uma varredura de tensão CC A possibilidade de variar a temperatura é útil somente quando se lida com modelos de componentes que incluem um parâmetro de temperatura como os diodos e os transistores u FIGURA 510 a Resultado do Probe com legendas identificando a potência absorvida individualmente pelos dois resistores Para maior clareza também foram incluídos uma linha horizontal indicando 250 mW e rótulos de texto b Caixa de diálogo do cursor Seção 52 u Transformação de fontes 127 Infelizmente no final das contas se economiza pouco ou nenhum tempo na análise de um circuito contendo uma ou mais fontes dependentes pelo uso do princípio da superposição porque deve sempre haver pelo menos duas fontes em operação uma fonte independente e todas as fontes dependentes Devemos estar constantemente alertas sobre as limitações da superpo sição Ela é aplicável somente a respostas lineares e a resposta não linear mais comum a potência não está sujeita à superposição Por exemplo considere duas baterias de 1 V em série com um resistor de 1 Ω A potência fornecida ao resistor é obviamente 4 W mas se erroneamente tentássemos aplicar a superposição poderíamos dizer que cada bateria forneceria 1 W isoladamente e portanto a potência total seria de 2 W Isto está incorreto mas é um erro muito fácil de cometer 52 TRANSFORMAÇÃO DE FONTES Fontes de Tensão Reais Até agora só trabalhamos com fontes ideais elementos cuja tensão entre os terminais é independente da corrente que flui através deles Para ver a relevância desse fato considere uma simples fonte independente de 9 V ideal conectado a um resistor de 1 Ω A fonte de 9 volts forçará uma corrente de 9 ampères através do resistor 1 Ω o que parece bastante razoá vel mas a mesma fonte aparentemente forçará 9000000 ampères através de um resistor de 1 µΩ o que se espera não parecer razoável No papel não há nada que nos impeça de reduzir o valor da resistência até 0 Ω mas isso levaria a uma contradição pois a fonte estaria tentando manter 9 V sobre um curtocircuito que a lei de Ohm não nos permite fazer V 9 RI 0 O que acontece na vida real quando fazemos este tipo de experiência Por exemplo se tentarmos dar a partida em um carro com os faróis ligados provavelmente notaremos os faróis enfraquecerem pois a bateria se obriga a fornecer uma grande 100 A ou mais corrente de arranque em paralelo com a corrente que circula para os faróis Se modelarmos a bateria de 12 V com uma fonte ideal de 12 V conforme a Figura 511a a nossa observação não poderá ser explicada Outra forma de dizer isto é que o nosso modelo não funciona quando a carga drena uma grande corrente da fonte Para se aproximar melhor do comportamento de um dispositivo real a fonte de tensão ideal deve ser modificada para levar em conta a redução na tensão em seus terminais quando altas correntes são exigidas pelo circuito Vamos supor que tenhamos observado experimentalmente que a bateria do nosso carro apresenta 12 V em seus terminais quando não há cargas conectadas e uma tensão reduzida de 11 V ao fornecer 100 A Como pode ríamos modelar o comportamento dessa bateria Bem um modelo mais adequado poderia ser uma fonte de tensão ideal de 12 V em série com um resistor em cujos terminais aparece 1 V quando da circulação de 100 A Um cálculo rápido mostra que o resistor deve ter o valor de 1 V100 A 001 Ω e a fonte de tensão ideal e este resistor em série formam uma fonte de tensão real Figura 511b Portanto estamos usando a combinação de dois 12 V a 12 V 001 Ω b p FIGURA 511 a Uma fonte de tensão ideal de 12 V usada para modelar uma bateria de automóvel b Um modelo mais adequado que leva em conta a redução observada na tensão nos terminais sob altas correntes Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 128 elementos de circuito ideais em série uma fonte de tensão independente e um resistor para modelar um dispositivo real É claro que não esperamos encontrar um conjunto de elementos ideais como esse na bateria do nosso carro Qualquer dispositivo real é caracteri zado por certa relação correntetensão em seus terminais e nosso problema é desenvolver uma determinada combinação de elementos ideais que possa fornecer uma característica correntetensão similar pelo menos em um determinado intervalo útil de corrente tensão ou potência Na Figura 512a mostramos nosso modelo de dois componentes dedi cado a representar uma bateria de carro real conectado agora a um resistor de carga RL A tensão nos terminais da fonte real é a mesma aplicada em RL e está identificada como VL A Figura 512b mostra um gráfico da ten são VL na carga em função da corrente de carga IL para essa fonte real A equação LKT para o circuito da Figura 512a pode ser escrita em termos de IL e VL 12 001IL VL e portanto VL 001IL 12 Esta é uma equação linear envolvendo IL e VL e o gráfico da Figura 512b é uma linha reta Cada ponto na linha corresponde a um diferente valor de RL Por exemplo o ponto médio da linha reta é obtido quando a resistência de carga é igual à resistência interna da fonte real ou RL 001 Ω Aqui a tensão na carga é exatamente a metade da tensão da fonte ideal Quando RL e nenhuma corrente é drenada pela carga a fonte real está em aberto e a tensão em seus terminais ou tensão de circuito aberto é VLca 12 V Por outro lado se os terminais da bateria são postos em curtocircuito ao se fazer RL 0 circula uma corrente de carga ou de curto circuito ILcc 1200 A na prática um experimento como esse provavel mente resultaria na destruição do curtocircuito da bateria e de quaisquer instrumentos de medição incorporados ao circuito Como o gráfico VL versus IL é uma linha reta para essa fonte de tensão real devemos notar que os valores de VLca e ILcc determinam de forma única toda a curva VL IL A linha horizontal tracejada da Figura 512b representa o gráfico VL IL para uma fonte de tensão ideal a tensão em seus terminais permanece constante para qualquer valor da corrente de carga Na fonte de tensão real a tensão tem um valor próximo àquele da fonte ideal somente quando a corrente de carga é relativamente pequena Vamos agora considerar uma fonte de tensão real genérica como aquela mostrada na Figura 513a Ela possui uma fonte de tensão ideal vs em série com uma resistência Rs chamada de resistência interna ou resis tência de saída Novamente devemos notar que o resistor não está de fato presente no circuito como um componente separado ele serve apenas para incorporar ao modelo a queda de tensão que ocorre nos terminais da fonte VL IL 001 Ω 12 V a RL b 0 4 8 6 2 10 12 0 200 400 600 800 Corrente de carga IL A Tensão da fonte VL V 1000 1200 Fonte real Fonte ideal p FIGURA 512 a Uma fonte real que se aproxima do comportamento de uma bateria de automóvel de 12 V é conectada a um resistor de carga RL b A relação entre IL e VL é linear υL iL Rs υs a RL Fonte real Fonte ideal υLcc υs υL 0 b iLca υsRs 0 iL p FIGURA 513 a Uma fonte de tensão real genérica conectada a um resistor de carga RL b A tensão nos terminais de uma fonte de tensão real diminui à medida que iL aumenta e RL vLiL diminui A tensão nos terminais de uma fonte de tensão ideal também mostrada no gráfico permanece constante para qualquer corrente fornecida à carga Seção 52 u Transformação de fontes 129 quando a corrente de carga aumenta Sua presença nos permite modelar o comportamento de uma fonte de tensão real de forma mais adequada A relação linear entre υL e iL é υL υs RsiL 9 e esse resultado está mostrado no gráfico da Figura 513b A tensão de circuito aberto RL de forma que iL 0 é υLca υs 10 e a corrente de curtocircuito RL 0 portanto υL 0 é iLcc υs Rs 11 Uma vez mais esses valores são os pontos em que a linha reta cruza os eixos na Figura 513b e eles servem para definila completamente Fontes de Corrente Reais Uma fonte de corrente ideal é também algo que não existe no mundo real não há nenhum dispositivo físico que possa fornecer uma corrente constante independente da resistência de carga conectada ou da tensão em seus terminais Certos circuitos com transistores podem fornecer uma corrente constante a uma ampla faixa de resistências de carga mas a resistência de carga sempre poderá ser suficientemente grande de forma a tornar a corrente se muito pequena Potência infinita nunca está disponível infelizmente Uma fonte de corrente real é definida como uma fonte de corrente ideal em paralelo com uma resistência interna Rp Uma fonte como essa está ilus trada na Figura 514a e a corrente iL e a tensão υL associadas à resistência de carga RL estão indicadas Aplicando a LKC obtemos iL is υL Rp 12 que é mais uma vez uma relação linear A tensão de circuito aberto e a corrente de curtocircuito são υLca Rpis 13 e iLcc is 14 A variação da corrente de carga com a mudança da tensão aplicada pode ser investigada mudando o valor de RL conforme ilustrado na Figura 514b A linha reta é percorrida desde o ponto de curtocircuito a noroeste até à extremidade da terminação em aberto a sudeste aumentandose RL desde zero até infinito ohms O ponto médio ocorre quando RL Rp A corrente de carga iL e a fonte de corrente ideal são aproximadamente iguais somente para pequenos valores da tensão de carga que são obtidos com valores de RL comparativamente menores que Rp iL Rp a RL is υL Fonte real Fonte ideal υLca Rpis υL b iLcc is iL p FIGURA 514 a Uma fonte de corrente real genérica conectada a um resistor de carga RL b A corrente de carga fornecida pela fonte de corrente real é mostrada em função da tensão de carga Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 130 Fontes Reais Equivalentes Pode não ser surpresa que podemos aperfeiçoar os modelos para aumentar sua precisão neste ponto agora temos um modelo de fonte de tensão real e também um modelo de fonte de corrente real Antes de prosseguir no entanto vamos tirar um momento para comparar a Figura 513b e Figura 514b Uma é para um circuito com uma fonte de tensão e a outra com uma fonte de corrente mas os gráficos são indistinguíveis Acontece que isso não é coincidência Na verdade estamos prestes a mostrar que uma fonte de tensão real pode ser eletricamente equivalente a uma corrente de fonte real significa que uma resistência de carga RL ligada em ambas as fontes terá a mesma υL e iL Isto significa que podemos substituir uma fonte real por outra e o restante do circuito não vai saber a diferença Considere a fonte de tensão real e o resistor RL mostrados na Figura 515a e o circuito composto por uma fonte de corrente real e o resistor RL mostrados na Figura 515b Um cálculo simples mostra que a tensão na resistência de carga RL da Figura 515a é υL υs RL Rs RL 15 Um cálculo igualmente simples mostra que a tensão na resistência de carga RL na Figura 515b é υL is Rp Rp RL RL Então as duas fontes práticas são eletricamente equivalentes se Rs Rp 16 e υs Rpis Rsis 17 onde agora representamos com Rs a resistência interna de qualquer uma das fontes reais o que é a notação convencional Vamos experimentar isso com a fonte de corrente real mostrada na Figura 516a Como a resistência interna é 2 Ω a resistência interna da fonte de tensão real equivalente é também 2 Ω a tensão da fonte de tensão ideal contida dentro da fonte de tensão real é 23 6 V A fonte de tensão real equivalente é mostrada na Figura 516b Para verificar a equivalência imaginemos um resistor de 4 Ω conecta do a cada uma das fontes Em ambos os casos uma corrente de 1 A uma tensão de 4 V e uma potência de 4 W estão associados à carga de 4 Ω No entanto devemos notar cuidadosamente que a fonte de corrente ideal está fornecendo uma potência total de 12 W enquanto a fonte de tensão ideal está fornecendo somente 6 W Além disso a resistência interna da fonte de corrente real está absorvendo 8 W enquanto a resistência interna da fonte de tensão real está absorvendo somente 2 W Vemos então que as duas fon tes reais são equivalentes apenas com relação ao que aparece nos terminais da carga elas não são equivalentes internamente υs Rs RL υL iL a RL Rp is υL iL b p FIGURA 515 a Fonte de tensão real conectada a uma carga RL b Fonte de corrente real equivalente conectada à mesma carga 3 A 2 Ω a 6 V 2 Ω b p FIGURA 516 a Fonte de corrente real b Fonte de tensão real equivalente Seção 52 u Transformação de fontes 131 Calcule a corrente através do resistor de 47 kΩ na Figura 517a após transformar a fonte de 9 mA em uma fonte de tensão equivalente Não é apenas a fonte de 9 mA em questão mas também o resistor em paralelo com ela 5 kΩ Removemos estes componentes deixando dois terminais pendentes Em seguida substituímos por uma fonte de tensão em série com um resistor de 5 kΩ O valor da fonte de tensão deve ser 0009 5000 45 V Redesenhando o circuito como na Figura 517b podemos escrever uma simples equação LKT 45 5000I 4700I 3000I 3 0 que é facilmente resolvida para se obter I 3307 mA Podemos verificar a nossa resposta evidentemente analisando o circuito da Figura 517a usando as técnicas de análise nodal ou de malha I 9 mA 3 V 47 kΩ 5 kΩ 3 kΩ a I 3 V 45 V 47 kΩ 5 kΩ 3 kΩ b p FIGURA 517 a Circuito com uma fonte de tensão e uma fonte de corrente b O mesmo circuito após a transformação da fonte de 9 mA em uma fonte de tensão equivalente u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 53 No circuito da Figura 518 calcule a corrente IX através do resistor de 47 kΩ após fazer uma transformação na fonte de tensão Resposta 192 mA Calcule a corrente através do resistor de 2 Ω na Figura 519a usando a transformação de fontes para primeiro simplificar o circuito Começamos transformando cada fonte de corrente em uma fonte de tensão Figura 519b tendo como estratégia converter o circuito em um simples laço Devemos ter o cuidado de conservar o resistor de 2 Ω por duas razões primeiro a variável de controle da fonte dependente aparece através dele segundo desejamos calcular a corrente que o percorre No entanto podemos combinar os resistores de 17 Ω e 9 Ω pois eles aparecem em série Vemos também que os resistores de 3 Ω e 4 Ω podem ser combinados em um único resistor de 7 Ω que pode então ser usado para transformar a fonte de 15 V em uma fonte de 157 A como ilustra a Figura 519c Finalmente notamos que os dois resistores de 7 Ω podem ser combinados em um único resistor de 35 Ω que pode ser usado para transformar a fonte de corrente de 157 A em uma fonte de tensão de 75 V O resultado é um circuito com um único laço ilustrado na Figura 519d u EXEMPLO 54 u EXEMPLO 55 5 V 1 mA 5 kΩ 47 kΩ IX p FIGURA 518 Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 132 I Vx 3 Ω 7 Ω 9 Ω 17 Ω 4 Ω 2 Ω 5 A 1 A 3Vx a I Vx 7 Ω 17 Ω 2 Ω 9 Ω 4 Ω 3 Ω 15 V 9 V 51Vx b I Vx 7 Ω 7 Ω 26 Ω 2 Ω 9 V 51Vx 15 A 7 c I Vx 26 Ω 2 Ω 35 Ω 9 V 75 V 51Vx d p FIGURA 519 a Circuito com duas fontes de corrente independentes e uma fonte dependente b O mesmo circuito após cada fonte ser transformada em uma fonte de tensão c O mesmo circuito após combinações adicionais d Circuito final A corrente I pode agora ser calculada usando a LKT 75 35I 51Vx 28I 9 0 onde Vx 2I Logo I 2128 mA u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 54 No circuito da Figura 520 calcule a tensão V nos terminais do resistor de 1 MΩ usando repetidas transformações de fontes Resposta 2723 V p FIGURA 520 V 4 MΩ 6 MΩ 1 MΩ 200 kΩ 75 µA 40 µA 3 V Seção 52 u Transformação de fontes 133 Vários Pontos Importantes Concluímos nossa discussão sobre fontes reais e transformação de fontes com algumas observações particulares Primeiro quando transformamos uma fonte de tensão devemos ter certeza de que a fonte está realmente em série com o resistor em consideração Por exemplo no circuito mostrado na Figura 521 é perfeitamente válido executar uma transformação de fontes na fonte de tensão usando o resistor de 10 Ω pois eles estão em série No entanto seria incorreto tentar uma transformação de fontes envolvendo a fonte de 60 V e o resistor de 30 Ω um tipo de erro muito comum p FIGURA 521 Circuito exemplo para ilustrar como determinar se uma transformação de fontes pode ser executada 20 Ω 4 A 10 Ω 60 V 30 Ω 04i1 i1 De forma similar quando transformamos a combinação de uma fonte de corrente e um resistor devemos ter certeza de que eles estejam de fato em paralelo Considere a fonte de corrente mostrada na Figura 522a Podemos executar uma transformação de fontes incluindo o resistor de 3 Ω pois eles estão em paralelo mas após a transformação pode haver certa ambiguidade sobre onde colocar o resistor Em circunstâncias como esta é bom primeiro redesenhar os componentes a serem transformados como na Figura 522b Então a transformação para uma fonte de tensão em série com um resistor pode ser desenhada corretamente conforme ilustrado na Figura 522c na realidade o resistor pode ser desenhado acima ou abaixo da fonte de tensão p FIGURA 522 a Circuito com fonte de corrente a ser transformada em fonte de tensão b Circuito redesenhado de forma a evitar erros c Combinação fonteresistor após a transformação 1 A 2 Ω 3 Ω 5 V 7 Ω 3 V a 2 Ω 3 Ω 5 V 7 Ω 3 V 1 A b 2 Ω 3 Ω 5 V 7 Ω 3 V 3 V c Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 134 Vale também considerar o caso não comum de uma fonte de corrente em série com um resistor e seu dual o caso de uma fonte de tensão em paralelo com um resistor Vamos começar com o circuito simples da Figura 523a onde estamos interessados apenas na tensão nos terminais do resistor marcado como R2 Notamos que independentemente do valor do resistor R1 VR2 IxR2 Embora possamos ser tentados a executar uma transforma ção de fontes inadequada em um circuito como esse podemos na verdade simplesmente omitir o resistor R1 desde que ele não nos interesse Uma situação similar ocorre com uma fonte de tensão em paralelo com um resistor conforme ilustrado na Figura 523b Novamente se estivermos interessados apenas em uma grandeza referente ao resistor R2 podemos ser tentados a executar alguma transformação de fontes estranha e incorreta envolvendo a fonte de tensão e o resistor R1 Na realidade poderíamos omi tir o resistor R1 sua presença não altera a tensão nos terminais do resistor R2 tampouco a corrente que o percorre e a potência por ele dissipada Vx R1 R2 Ix R1 R2 VR2 a b Resumo da Transformação de Fontes 1 Um objetivo comum na transformação de fontes é a obtenção de circuitos contendo apenas fontes de corrente ou fontes de tensão Isso é especialmente verdadeiro se a análise nodal ou de malha se tornar mais fácil 2 Repetidas transformações de fontes podem ser usadas para simplifi car um circuito permitindo que resistores e fontes sejam eventualmente combinados 3 O valor do resistor não muda durante uma transformação de fonte mas ele não é mais o mesmo resistor Isso significa que as correntes ou ten sões associadas ao resistor original se perdem de forma irrecuperável quando executamos uma transformação de fontes 4 Se a tensão ou a corrente associada a um determinado resistor for usada como variável de controle de uma fonte dependente ele não deve rá ser incluído em qualquer transformação de fontes O resistor original deve ser mantido no circuito final 5 Se nos interessa a tensão ou a corrente associada a um elemento em particular este elemento não deve ser incluído em qualquer transforma ção de fontes O elemento original deve ser mantido no circuito final 6 Em uma transformação de fontes a ponta da seta da fonte de corren te corresponde ao terminal da fonte de tensão 7 Uma transformação de fontes envolvendo uma fonte de corrente e um resistor requer que os dois elementos estejam em paralelo 8 Uma transformação de fontes envolvendo uma fonte de tensão e um resistor requer que os dois elementos estejam em série u FIGURA 523 a Circuito com um resistor R1 em série com uma fonte de corrente b Fonte de tensão em paralelo com dois resistores Seção 53 u Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton 135 53 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON Agora que já conhecemos a transformação de fontes e o princípio da super posição é possível desenvolver duas outras técnicas que simplificarão bastante a análise de muitos circuitos lineares O primeiro desses teoremas recebeu seu nome em homenagem a L C Thévenin um engenheiro francês que trabalhava em telegrafia e publicou seu teorema em 1883 o segundo teorema pode ser considerado um corolário do primeiro e é creditado a E L Norton um cientista da Bell Telephone Laboratories Vamos supor que precisamos fazer apenas uma análise parcial de um circuito Por exemplo talvez precisemos determinar corrente tensão e potência entregues a um único resistor de carga pelo restante do circuito que pode consistir de um número razoável de fontes e resistores Figura 524a Ou talvez desejemos encontrar a resposta para diferentes valores de resistência de carga O teorema de Thévenin nos diz que é possível substi tuir tudo exceto o resistor de carga por uma fonte de tensão independente em série com um resistor Figura 524b a resposta do resistor de carga permanecerá inalterada Usando o teorema de Norton obtemos um circuito equivalente composto por uma fonte de corrente independente em paralelo com um resistor Figura 524c RL Rede complexa a RTH VTH RL b IN RL RN c Portanto uma das principais utilidades dos teoremas de Thévenin e de Norton é a substituição de grande parte de um circuito geralmente uma parte complicada e pouco interessante por um equivalente muito simples O novo circuito nos permite fazer cálculos rápidos de tensão corrente e potência que podem ser entregues à carga pelo circuito original Ele tam bém nos ajuda a escolher o melhor valor para esta resistência de carga Por exemplo em um amplificador de potência transistorizado os equivalentes de Thévenin e de Norton nos permitem determinar a potência máxima que pode ser transferida do amplificador para os altofalantes Considere o circuito ilustrado na Figura 525a Determine o equivalente de Thévenin da rede A e calcule a potência fornecida ao resistor de carga RL As regiões tracejadas dividem o circuito nas redes A e B nosso principal interesse está na rede B que consiste apenas do resistor de carga RL A rede A pode ser simplificada através de repetidas transformações de fontes u EXEMPLO 56 t FIGURA 524 a Rede complexa incluindo um resistor de carga RL b Rede equivalente de Thévenin conectada ao resistor de carga RL c Rede equivalente de Norton conectada ao resistor de carga RL Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 136 p FIGURA 525 a Um circuito dividido em duas redes bd Passos intermediários para simplificar a rede A e Circuito equivalente de Thévenin 8 V RL 9 Ω Rede A e 12 V Rede A Rede B 3 Ω 7 Ω 6 Ω RL a 4 A 3 Ω 6 Ω RL 7 Ω Rede A b 4 A 2 Ω RL 7 Ω Rede A c 8 V RL 2 Ω 7 Ω Rede A d Primeiro tratamos a fonte de 12 V e o resistor de 3 Ω como uma fonte de tensão real e a substituímos por uma fonte de corrente real formada por uma fonte de 4 A em paralelo com um resistor de 3 Ω Figura 525b As resis tências em paralelo são então combinadas em 2 Ω Figura 525c e a fonte de corrente real resultante é novamente transformada em uma fonte de tensão real Figura 525d O resultado final é mostrado na Figura 525e Do ponto de vista do resistor de carga RL essa rede A o equivalente Thévenin é equivalente à rede original A do nosso ponto de vista o circuito é muito mais simples e agora podemos calcular facilmente a potência forne cida à carga PL 8 9 RL 2 RL Além disso podemos ver pelo circuito equivalente que a máxima tensão que pode ser obtida nos terminais de RL é 8 V e corresponde a RL Uma rápi da transformação da rede A em uma fonte de corrente real o equivalente de Norton indica que a máxima corrente que pode ser entregue à carga é de 89 A o que ocorre quando RL 0 Nenhum desses fatos é diretamente percebido no circuito original u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 55 Usando repetidas transformações de fontes determine o equivalente de Norton da rede em destaque no circuito da Figura 526 Resposta 1 A 5 Ω p FIGURA 526 2 Ω 10 Ω 8 Ω RL 5 A Seção 53 u Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton 137 O Teorema de Thévenin O uso da técnica de transformação de fontes para encontrar uma rede equi valente de Thévenin ou de Norton funcionou suficientemente bem no Exem plo 56 mas pode se tornar rapidamente impraticável em situações nas quais estão presentes fontes dependentes ou em que o circuito é composto por muitos elementos Uma alternativa é empregar o teorema de Thévenin ou o teorema de Norton Vamos enunciar o teorema2 como um procedimento de certo modo formal e em seguida passaremos a considerar várias maneiras de tornar a abordagem mais prática dependendo da situação que enfrentarmos Um Enunciado para o Teorema de Thévenin 1 Dado um circuito linear rearranjeo na forma de duas redes A e B conectadas por dois fios A é a rede a ser simplificada B permanecerá inalterada 2 Desconecte a rede B Defina a tensão υca como a tensão que agora apa rece nos terminais da rede A 3 Desligue ou zere cada fonte independente da rede A para formar uma rede inativa Deixe as fontes dependentes inalteradas 4 Conecte uma fonte de tensão independente com valor υcc em série com a rede inativa Não complete o circuito deixe os dois terminais desco nectados 5 Conecte a rede B aos terminais da nova rede A Todas as correntes e tensões em B permanecerão inalteradas Note que se qualquer rede contém uma fonte dependente sua variável de controle deve estar na mesma rede Vejamos se podemos aplicar com sucesso o teorema de Thévenin no circuito que consideramos na Figura 525 Já encontramos o equivalente de Thévenin do circuito à esquerda de RL no Exemplo 56 mas queremos ver se há uma maneira mais fácil de obter o mesmo resultado Use o teorema de Thévenin para determinar o equivalente de Thévenin da parte do circuito à esquerda de RL na Figura 525a Começamos desconectando RL e notamos que nenhuma corrente flui através do resistor de 7 Ω no circuito parcial resultante mostrado na Figura 527a Portanto Vca aparece nos terminais do resistor de 6 Ω se não há corrente no resistor de 7 Ω não há queda de tensão através dele e a divisão de tensão nos permite determinar que Vca 12 6 3 6 8 V 2 Uma prova do teorema de Thévenin na forma em que ele foi enunciado é um pouco longa e portanto foi colocada no Apêndice 3 onde os leitores mais curiosos poderão encontrála u EXEMPLO 57 Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 138 p FIGURA 527 a Circuito da Figura 525a com a rede B o resistor RL desconectada e a tensão através dos terminais de conexão identificada como Vca b A fonte independente da Figura 525a foi eliminada e olhamos os terminais onde a rede B estava conectada para determinar a resistência efetiva da rede A Vca 6 Ω 3 Ω 12 V 7 Ω a 6 Ω 3 Ω 7 Ω b RTH Tornando a rede A inativa isto é substituindo a fonte de 12 V por um curto circuito observando a rede remanescente vemos um resistor de 7 Ω conec tado em série com a combinação de 6 Ω e 3 Ω em paralelo Figura 527b Assim a rede inativa pode ser aqui representada por um resistor de 9 Ω chamado de resistência equivalente de Thévenin da rede A O equivalente de Thévenin é então Vca em série com um resistor de 9 Ω o que concorda com nosso resultado anterior u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 56 Use o teorema de Thévenin para calcular a corrente através do resistor de 2 Ω no circuito da Figura 528 Dica Chame de rede B o resistor de 2 Ω Resposta VTH 2571 V RTH 7857 Ω I2Ω 2608 mA Alguns Pontos Importantes O circuito equivalente que aprendemos como obter é completamente inde pendente da rede B fomos instruídos a remover inicialmente esta rede e em seguida medir a tensão de circuito aberto produzida pela rede A uma operação que certamente não depende da rede B de forma alguma A rede B é mencionada somente para indicar que uma rede equivalente pode ser obtida para a rede A independentemente do arranjo de elementos que estiver conectado à rede A a rede B representa essa rede genérica Há vários pontos sobre o teorema que merecem destaque f A única restrição que devemos impor sobre A ou B é que todas as fontes dependentes em A tenham suas variáveis de controle em A e de forma similar para B f Não são impostas restrições sobre a complexidade de A ou B cada uma destas redes pode conter qualquer combinação de fontes de tensão ou corrente independentes fontes de tensão ou corrente dependentes lineares resistores ou quaisquer outros elementos de circuito que sejam lineares f A rede inativa A pode ser representada por uma única resistência equi valente RTH que chamaremos de resistência equivalente de Thévenin p FIGURA 528 9 V 4 Ω 2 Ω 4 Ω 6 Ω 5 Ω I2Ω Seção 53 u Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton 139 Isso vale independentemente da existência ou não de fontes depen dentes na rede A uma ideia que exploraremos brevemente f Um equivalente de Thévenin consiste em dois componentes uma fonte de tensão em série com uma resistência Qualquer um deles pode ser zero embora geralmente não seja este o caso Teorema de Norton O teorema de Norton é bastante semelhante ao teorema de Thévenin e pode ser enunciado da seguinte forma Um Enunciado para o Teorema de Norton 1 Dado um circuito linear rearranjeo na forma de duas redes A e B conectadas por dois fios A rede A é a rede a ser simplificada B permane cerá inalterada Como antes se qualquer uma das redes contiver uma fonte dependente sua variável de controle deverá permanecer na mesma rede 2 Desconecte a rede B e coloque os terminais de A em curtocircuito Defina a corrente icc como a corrente que agora flui através dos terminais em curto da rede A 3 Desligue ou zere cada fonte independente da rede A para formar uma rede inativa Deixe as fontes dependentes inalteradas 4 Conecte uma fonte de corrente independente com valor icc em para lelo com a rede inativa Não complete o circuito deixe os dois terminais desconectados 5 Conecte a rede B aos terminais da nova rede A Todas as correntes e tensões em B permanecerão inalteradas O equivalente de Norton de uma rede linear é a fonte de corrente Norton icc em paralelo com a resistência de Thévenin RTH Portanto vemos que de fato é possível obter o equivalente de Norton de uma rede executando uma transformação de fontes sobre o equivalente de Thévenin Isto resulta em uma relação direta entre υca icc e RTH υca RTHicc 18 Em circuitos contendo fontes dependentes geralmente acharemos mais conveniente determinar o equivalente de Thévenin ou de Norton calcu lando a tensão de circuito aberto e a corrente de curtocircuito para então determinar o valor de RTH como o quociente destas grandezas É portanto aconselhável tornarse adepto do cálculo de tensões de circuito aberto e de correntes de curtocircuito mesmo nos problemas mais simples que veremos em seguida Se os equivalentes de Thévenin e de Norton forem determinados de forma independente a Equação 18 pode servir como uma útil verificação Vamos considerar três diferentes exemplos da determinação de um cir cuito equivalente de Thévenin ou de Norton Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 140 Determine os circuitos equivalentes de Thévenin e de Norton para a rede vista pelo resistor de 1 kΩ na Figura 529a 4 V 2 mA a 1 kΩ 3 kΩ 2 kΩ 2 kΩ 3 kΩ RTH b 4 V 2 mA 2 kΩ 3 kΩ Icc e 8 V c 1 kΩ 5 kΩ 16 mA d 1 kΩ 5 kΩ p FIGURA 529 a Circuito no qual o resistor de 1 kΩ é identificado como a rede B b A rede A com todas as fontes independentes desativadas c O equivalente de Thévenin para a rede A é mostrado d O equivalente de Norton para a rede A é mostrado e Circuito para determinar Icc Pela maneira do enunciado do problema a rede B é o resistor de 1 kW então a rede A é todo o resto Optando por encontrar o equivalente de Thévenin da rede A primeiro aplicamos a superposição observando que nenhuma corrente flui através do resistor de 3 kΩ uma vez que a rede B está desconectada Com a fonte de corrente ajustado em zero Vca4V 4 V Com a fonte de tensão ajustada em zero Vca2 mA 00022000 4 V Assim Vca 4 4 8 V Para encontrar RTH ajuste as duas fontes em zero como na Figura 529b Por inspeção RTH 2 kΩ 3 kΩ 5 kΩ O equivalente de Thévenin completo com a rede B reconectada é mostrado na Figura 529c O equivalente de Norton é encontrado com uma simples transformação de fontes do equivalente de Thévenin resultando em uma fonte de cor rente de 85000 16 mA em paralelo com um resistor de 5 kΩ Figura 529d Verifique Encontre o equivalente de Norton diretamente da Figura 529a u EXEMPLO 58 Seção 53 u Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton 141 Removendo o resistor de 1 kΩ e curtocircuitando os terminais de rede A encontramos Icc por superposição e divisão de corrente conforme mostrado na Figura 529e Icc Icc4 V Icc2 mA 4 2 3 2 2 2 3 08 08 16 mA o que completa a verificação u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 57 Determine os equivalentes de Thévenin e de Norton do circuito da Figura 530 3 V 7 mA 2 kΩ 1 kΩ 5 kΩ p FIGURA 530 Resposta 7857 V 3235 mA 2429 kΩ Quando Fontes Dependentes Estão Presentes Tecnicamente falando não é sempre necessário haver uma rede B para que possamos usar os teoremas de Thévenin ou de Norton poderíamos em vez disso ter que encontrar o equivalente de uma rede com dois terminais ainda não conectados a uma outra rede No entanto se houver uma rede B que não queremos envolver no processo de simplificação devemos ter um pouco de cuidado caso ela contenha fontes dependentes Nessas situações a variável de controle e os elementos associados devem ser incluídos na rede B e excluídos da rede A Caso contrário não haverá como analisar o circuito final porque a variável de controle será perdida Se a rede A contém uma fonte dependente então novamente devemos garantir que a variável de controle e seus elementos associados não estejam na rede B Até agora consideramos apenas circuitos com resistores e fon tes independentes Embora tecnicamente falando seja correto deixar uma fonte dependente na rede morta ou inativa ao criar um equivalente de Thévenin ou de Norton na prática isso não resulta em qualquer tipo de sim plificação O que realmente queremos é uma fonte de tensão independente em série com um único resistor ou uma fonte de corrente independente em paralelo com um único resistor em outras palavras um equivalente com dois componentes Nos exemplos a seguir consideramos vários meios de reduzir redes com fontes dependentes e resistores em uma única resistência Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 142 Determine o equivalente Thévenin do circuito da Figura 531a p FIGURA 531 a Uma rede da qual se deseja o equivalente de Thévenin b Uma forma possível mas de certa forma inútil do equivalente de Thévenin c A melhor forma do equivalente de Thévenin para essa rede resistiva linear υx υx 4000 a 2 kΩ 4 V 3 kΩ υx υx 4000 b 2 kΩ 3 kΩ 8 V c 10 kΩ 8 V Para determinar Vca notamos que υx Vca e que a corrente da fonte depen dente deve passar pelo resistor de 2 kΩ já que não é possível a circulação de correntes no resistor de 3 kΩ Usando a LKT ao redor do laço externo 4 2 103 υx 4000 3 1030 υx 0 e υx 8 V Vca Pelo teorema de Thévenin então o circuito equivalente poderia ser formado pela rede A inativa em série com uma fonte de 8 V como mostra a Figura 531b Isto está correto mas não é muito simples nem ajuda tanto no caso de redes resistivas lineares queremos realmente um equivalente mais simples para a rede A inativa ou seja RTH A fonte dependente nos impede de determinar RTH diretamente para a rede inativa através da combinação de resistências procuramos então determinar Icc Após colocar em curtocircuito os terminais de saída na Figura 531a fica claro que Vx 0 e que a fonte de corrente dependente se torna inativa Assim Icc 45 103 08 mA Logo RTH Vca Icc 8 08 10 3 10 kΩ e assim obtemos o equivalente de Thévenin mais aceitável ilustrado na Figura 531c u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 58 Determine o equivalente de Thévenin para a rede da Figura 532 Dica uma rápida transformação de fontes na fonte dependente pode ajudar Resposta 5025 mV 1005 Ω Nota a resistência negativa pode parecer estranha e é Fisicamente isso é possível apenas se por exemplo projetarmos um circuito eletrônico inteligente para criar algo que se comporta como a fonte de corrente dependente representada na Figura 532 u EXEMPLO 59 p FIGURA 532 20 kΩ 001V1 100 V V1 Seção 53 u Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton 143 Como outro exemplo vamos considerar uma rede com uma fonte dependente mas nenhuma fonte independente Determine o equivalente de Thévenin do circuito mostrado na Figura 533a a 3 Ω 2 Ω 15i i υteste b 3 Ω 2 Ω 1 A 15i i 06 Ω c p FIGURA 533 a Uma rede sem fontes independentes b Uma medição hipotética para obter RTH c O equivalente de Thévenin do circuito original Como os terminais da direita já estão em circuito aberto i 0 Em consequên cia a fonte independente está inativa assim υca 0 Em seguida procuramos o valor de RTH representado por esta rede de dois terminais Entretanto não podemos determinar υca e icc e calcular seu quo ciente pois não há fontes independentes na rede e tanto υca quanto icc são iguais a zero Usemos então um pequeno artifício Aplicamos uma fonte de 1 A externamente medindo a tensão vteste resultante e então fazemos RTH υteste1 Olhando a Figura 533b vemos que i 1 A Aplicando a análise nodal υteste 15 1 3 υteste 2 1 de modo que υteste 06 V e portanto RTH 06 Ω O equivalente de Thévenin é mostrado na Figura 533c Uma Rápida Recapitulação dos Procedimentos Examinamos até agora três exemplos nos quais determinamos circuitos equivalentes de Thévenin ou de Norton O primeiro exemplo Figura 529 continha apenas fontes independentes e resistores e pudemos aplicar vários métodos diferentes em sua solução Um método envolvia o cálculo de RTH para a rede inativa e depois Vca para a rede ativa Também poderíamos ter determinado RTH e Icc ou Vca e Icc u EXEMPLO 510 APLICAÇÃO O MULTÍMETRO DIGITAL Um dos equipamentos de teste elétrico mais comuns é o multímetro digital ou DMM Digital Multimeter Figu ra 534 que serve para medir valores de tensão corrente e resistência p FIGURA 534 Um multímetro digital portátil Para a medição de tensão as duas pontas de prova do multímetro são conectadas ao elemento de circuito apropriado conforme mostra a Figura 535 O terminal de referência positiva do multímetro geralmente vem marcado como VΩ e o terminal de referência nega tiva frequentemente chamado de terminal comum é normalmente chamado de COM A convenção é usar uma ponta de prova vermelha para o terminal de referência positiva e uma ponta de prova preta para o terminal comum p FIGURA 535 Multímetro digital conectado para medir tensão 1 kΩ 9 V 1 kΩ VΩ COM DMM 4500 VDC De nossa discussão a respeito dos equivalentes de Thévenin e de Norton fica claro agora que o multímetro digital também tem sua própria resistência equivalente de Thévenin Esta resistência aparecerá em paralelo com nosso circuito e seu valor pode afetar a medição Figura 536 O multímetro digital não fornece potência ao cir cuito onde a tensão será medida assim seu equivalente de Thévenin consiste em apenas uma resistência que chamaremos de RDMM p FIGURA 536 O multímetro da Figura 535 mostrado como sua resistência equivalente de Thévenin RDMM 9 V 1 kΩ RDMM V 1 kΩ A resistência de entrada de um bom multímetro digital é geralmente 10 MΩ ou mais A tensão V medida apare ce então através de 1 kΩ10 MΩ 9999 Ω Usando a divisão de tensão vemos que V 44998 volts um valor ligeiramente menor do que o valor esperado de 45 volts Assim a resistência de entrada finita do voltímetro intro duz um pequeno erro no valor medido Para medir correntes o multímetro deve ser colocado em série com um elemento de circuito o que geralmente requer que cortemos um fio Figura 537 Uma ponta de prova é conectada ao terminal comum do multímetro e a outra ponta de prova é ligada a um terminal geralmente marcado com a letra A para simbolizar a medição de corrente Uma vez mais o multímetro não fornece potên cia ao circuito neste tipo de medição p FIGURA 537 Multímetro conectado para medir corrente 1 kΩ 9 V 1 kΩ A COM DMM 4500 mA I Vemos por esta figura que a resistência equivalente de Thévenin do multímetro RDMM está em série com o circuito e portanto seu valor pode afetar a medição Escrevendo uma simples equação LKT para o laço 9 1000I RDMMI 1000I 0 Como o multímetro foi configurado para fazer uma medição de corrente sua resistência equivalente de Thévenin é diferente daquela obtida quando de sua utilização na medição de tensões Na realidade o ideal seria que RDMM fosse igual a 0 Ω na medição de corren tes e na medição de tensões Se RDMM é igual a 01 Ω vemos que a corrente medida I é 44998 mA que é apenas ligeiramente diferente do valor esperado de 45 mA Dependendo do número de dígitos que podem ser mostrados pelo multímetro podemos nem mesmo notar o efeito de sua resistência não nula na medição O mesmo multímetro pode ser usado para medir resis tências desde que não haja nenhuma fonte independente ativa durante a medição Internamente uma corrente de valor conhecido é injetada no resistor que está sendo medido e o circuito do voltímetro é usado para medir a tensão resultante Substituindo o voltímetro por seu equi valente de Norton que agora inclui uma fonte de corrente independente ativa para gerar a corrente predeterminada vemos que RDMM aparece em paralelo com nosso resistor desconhecido R Figura 538 p FIGURA 538 Um multímetro configurado para medir resistências substituído por seu equivalente de Norton que mostra RDMM em paralelo com o resistor desconhecido R a ser medido V IN RDMM R Como resultado o multímetro mede na realidade RRDMM Se RDMM 10 MΩ e R 10 Ω Rmedida 999999 Ω que é uma medida suficientemente precisa para a maioria das finalidades No entanto se R 10 MΩ Rmedida 5 MΩ A resistência de entrada do multímetro coloca portanto um limite superior prático nos valores de resistência que podem ser medidos e devem ser usadas técnicas especiais para medir grandes valores de resistên cia Devemos observar que se um multímetro digital for programado com o conhecimento de RDMM é possível fazer uma compensação de forma a permitir a medição de maiores valores de resistência No segundo exemplo Figura 531 havia fontes independentes e dependentes e o método que usamos demandou o cálculo de Vca e Icc Não pudemos determinar facilmente RTH para a rede inativa porque não foi pos sível desativar a fonte dependente O último exemplo não continha quaisquer fontes independentes e por tanto os equivalentes de Thévenin e de Norton não contêm uma fonte inde pendente Obtivemos RTH aplicando 1 A e fazendo υteste 1 RTH Também poderíamos aplicar 1 V e determinar i 1RTH Essas duas técnicas rela cionadas podem ser aplicadas a qualquer circuito com fontes dependentes desde que todas as fontes independentes sejam zeradas primeiro Dois outros métodos apresentam certo charme porque podem ser aplica dos em qualquer um dos três tipos de rede considerados No primeiro sim plesmente substitua a rede B por uma fonte de tensão υs defina a corrente que sai pelo terminal positivo como i depois analise a rede A para obter i e coloque a equação na forma υs ai b Então a RTH e b υca Poderíamos também aplicar uma fonte de corrente is fazer sua tensão igual a v e então determinar is cυ d onde c 1RTH e d icc o sinal de menos é consequência de assumir que as setas de ambas as fontes de corrente apontem para o mesmo nó Esses dois últimos procedimentos são universalmente aplicáveis mas algum outro método mais fácil e mais rápido pode ser geralmente encontrado Embora estejamos dedicando nossa atenção quase inteiramente à aná lise de circuitos lineares é bom saber que os teoremas de Thévenin e de Norton continuam válidos se a rede B for não linear somente a rede A deve ser linear Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 146 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 59 Determine o equivalente de Thévenin para a rede da Figura 539 Dica Tente uma fonte de teste de 1 V Resposta Iteste 50 mA portanto RTH 20 Ω 54 MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA Um teorema de potência muito útil pode ser desenvolvido tendose como referência fontes de tensão ou corrente reais Para a fonte de tensão real Figura 540 a potência entregue à carga RL é pL i2 L RL υ2 s RL Rs RL2 19 Para encontrar o valor de RL que absorve a máxima potência fornecida pela fonte em questão calculamos a derivada com relação a RL dpL d RL Rs RL2υ2 s υ2 s RL2 Rs RL Rs RL4 e fazemos o resultado igual a zero obtendo 2RLRs RL Rs RL2 ou Rs RL Como os valores RL 0 e RL levam a um valor mínimo pL 0 e como já desenvolvemos a equivalência entre fontes de tensão e corrente reais provamos portanto o seguinte teorema da máxima transferência de potência Uma fonte de tensão independente em série com uma resistência Rs ou uma fonte de corrente independente em paralelo com uma resistência Rs fornecem máxima potência para a resistência de carga RL quando RL Rs Uma maneira alternativa de visualizar o teorema da máxima potência inclui a resistência equivalente de Thévenin de uma rede Uma rede fornece a máxima potência a uma resistência de carga RL quando RL é igual à resistência equivalente de Thévenin da rede Logo o teorema da máxima transferência de potência nos diz que um resistor de 2 Ω dissipa a máxima potência fornecida por cada uma das fon tes reais da Figura 516 45 W enquanto uma resistência de 001 Ω recebe a máxima potência 36 kW na Figura 511 Há uma clara diferença entre drenar a máxima potência de uma fonte e fornecer a máxima potência a uma carga Se a carga for dimensionada de forma que sua resistência de Thévenin seja igual à resistência de Thévenin da rede à qual ela está conectada ela receberá a máxima potência daquela rede Qualquer alteração na resistência da carga reduzirá a potência for necida à carga No entanto considere apenas o equivalente de Thévenin da rede Puxamos a máxima potência possível da fonte de tensão ao drenar 10 Ω 5 Ω 30 Ω 20i1 i1 p FIGURA 539 Veja o Exercício de Fixação 59 p FIGURA 540 Fonte de tensão real conectada a um resistor RL υs Rs RL υL iL Seção 54 u Máxima transferência de potência 147 a máxima corrente possível o que é conseguido colocando os terminais da fonte em curtocircuito No entanto neste exemplo extremo fornecemos uma potência nula à carga um curtocircuito neste caso já que p i2R e R 0 pois acabamos de colocar em curto os terminais da fonte Um pouco de álgebra aplicada à Equação 19 juntamente com o requi sito de máxima transferência de potência RL Rs RTH fornecerá pmáxfornecida à carga υ2 s 4Rs υ2 TH 4RTH onde υTH e RTH reconhecem que a fonte de tensão real da Figura 540 pode também ser vista como um equivalente Thévenin de alguma fonte específica É comum interpretar o teorema da máxima transferência de potência de forma incorreta A finalidade deste teorema é nos ajudar na seleção de uma carga otimizada para maximizar a absorção de potência Porém se a resistência da carga já está especificada o teorema da potência máxima não ajuda em nada Se por qualquer razão pudermos mudar o valor da resistência equivalente de Thévenin da rede conectada à nossa carga o fato de tornála igual à carga não garante a máxima transferência de potência Uma rápida consideração da potência perdida na resistência de Thévenin esclarecerá esse ponto O circuito mostrado na Figura 541 é um modelo de amplificador com transistor de junção bipolar na configuração emissor comum Escolha uma resistência de carga de forma que a máxima potência seja transferi da pelo amplificador e calcule a potência real absorvida p FIGURA 541 Modelo de amplificador emissor comum para pequenos sinais com resistência de carga não especificada υp 300 Ω 5 kΩ 17 kΩ 1 kΩ RL 25 sen 440t mV 003υp Como o problema nos pede que determinemos a resistência da carga pode mos aplicar o teorema da potência máxima O primeiro passo é obter o equi valente de Thévenin do resto do circuito Primeiro determinamos a resistência equivalente de Thévenin o que requer a remoção de RL e a colocação de um curtocircuito na fonte independente como mostra a Figura 542a Como υπ 0 a fonte de corrente dependente é um circuito aberto portanto RTH 1 kΩ Isso pode ser verificado com a conexão de uma fonte de corrente independente de 1 A em paralelo com o resistor de 1 kΩ υπ ainda será igual a zero de forma que a fonte dependente permanece inativa e portanto não contribui para RTH u EXEMPLO 511 Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 148 υp voc 300 Ω 5 kΩ 17 kΩ 1 kΩ 25 sen 440t mV 003υp RTH υp 300 Ω 5 kΩ 17 kΩ 1 kΩ 003υp a b p FIGURA 542 a Circuito com RL removida e a fonte independente em curtocircuito b Circuito para determinar VTH Para obter a máxima potência fornecida à carga RL deve ser igual a RTH 1 kΩ Para encontrar υTH consideramos o circuito mostrado na Figura 542b que é a Figura 541 com RL removida Podemos escrever vca 003υπ 1000 30υπ onde a tensão υπ pode ser encontrada através de uma simples divisão de tensão υπ 25 10 3 sen 440t 3864 300 3864 de modo que nosso equivalente de Thévenin é uma tensão 696 sen 440t mV em série com 1 kΩ A potência máxima é dada por pmáx υ2 TH 4RTH 1211 sen2440t μW u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 510 Considere o circuito da Figura 543 Rsaída 30 V 20 V 40 V 2 kΩ 2 kΩ t FIGURA 543 a Se Rsaída 3 kΩ calcule a potência fornecida para esta resistência b Qual é a máxima potência que pode ser fornecida para Rsaída c Quais são os dois diferentes valores de Rsaída em que a potência for necida será exatamente 20 mW Resposta 230 mW 306 mW 592 kΩ e 1688 Ω Seção 55 u Conversão triânguloestrela 149 55 CONVERSÃO TRIÂNGULOESTRELA Vimos anteriormente que a identificação de combinações série e parale lo de resistores pode muitas vezes levar a uma redução significativa na complexidade de um circuito Em situações nas quais tais combinações não existem podemos frequentemente usar a transformação de fontes para viabilizálas Há outra técnica útil chamada de conversão ΔY triângulo estrela que resulta da teoria das redes Considere os circuitos na Figura 544 Não há combinações série ou paralelo que possam ser feitas para simplificálos ainda mais note que as Figuras 544a e 544b são idênticas assim como as Figuras 544c e 544d e sem quaisquer fontes presentes nenhuma transformação pode ser feita No entanto é possível fazer uma conversão entre esses dois tipos de redes a c b d RB RA RC a RB a c b d RA RC b R1 R2 R3 a c b d c R1 R2 R3 a c b d d p FIGURA 544 a Uma rede Π formada por três resistores e três conexões b A mesma rede desenhada como uma rede Δ c Uma rede T formada por três resistores d A mesma rede desenhada como uma rede Y Primeiro definimos duas tensões υac e υbc e três correntes i1 i2 e i3 con forme ilustra a Figura 545 Se as duas redes são equivalentes então tensões e correntes nos terminais de ambas devem ser iguais não há corrente i2 na rede conectada em T Relações entre RA RB RC e R1 R2 e R3 podem agora ser definidas simplesmente executando a análise de malha Por exemplo podemos escrever para a rede da Figura 545a RAi1 RAi2 υac 20 RAi1 RA RB RCi2 RCi3 0 21 RCi2 RCi3 υbc 22 e para a rede da Figura 545b temos R1 R3i1 R3i3 υac 23 R3i1 R2 R3i3 υbc 24 Em seguida removemos i2 das Equações 20 e 22 usando a Equação 21 resultando em RA R2 A RA RB RC i1 RARC RA RB RC i3 υac 25 e RARC RA RB RC i1 RC R2 C RA RB RC i3 υbc 26 RB RA RC a υbc υac i3 i2 i1 R1 R2 R3 b i1 i3 υbc υac p FIGURA 545 a Rede Π b rede T Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 150 Comparando os termos das Equações 25 e 23 vemos que R3 RARC RA RB RC De forma similar podemos encontrar expressões para R1 e R2 em termos de RA RB e RC bem como expressões para RA RB e RC em termos de R1 R2 e R3 deixamos o restante das deduções como exercício para o leitor Assim para converter uma rede Y em uma rede D os novos valores dos resistores são RA R1R2 R2R3 R3R1 R2 RB R1R2 R2R3 R3R1 R3 RC R1R2 R2R3 R3R1 R1 e para converter uma rede D em uma rede Y R1 RARB RA RB RC R2 RB RC RA RB RC R3 RC RA RA RB RC A aplicação dessas equações é imediata embora a identificação das redes na prática às vezes requeira um pouco de concentração Use a técnica de conversão ΔY para encontrar a resistência equivalente de Thévenin do circuito na Figura 546a Vemos que o circuito da Figura 546a é composto por duas redes conecta das em D que compartilham o resistor de 3 Ω Devemos ter cuidado neste ponto não podendo ser muito afoitos ao tentar converter ambas as redes D em duas redes Y A razão para isso ficará mais óbvia após a conversão da rede formada pelos resistores de 1 4 e 3 Ω em uma rede conectada em Y Figura 546b Note que ao converter a rede superior do circuito em uma rede Y remove mos o resistor de 3 Ω Como resultado não há como converter de D para Y a rede original formada pelos resistores de 2 5 e 3 Ω Prosseguimos combinando os resistores de 3 8 Ω e 2 Ω e os resistores de 3 2 Ω e 5 Ω Figura 546c Temos agora um resistor de 19 8 Ω em paralelo com um resistor de 13 2 Ω e esta combinação em paralelo está em série com o resistor de 1 2 Ω Logo podemos substituir a rede original da Figura 546a por um único resistor de 159 71 Ω Figura 546d u EXEMPLO 512 a 3 Ω 1 Ω 4 Ω 2 Ω 5 Ω 1 Ω 2 3 Ω 8 3 Ω 2 b 2 Ω 5 Ω 1 Ω 2 13 Ω 2 19 Ω 8 c 159 Ω 71 d R2 R1 R3 p FIGURA 546 a Uma rede resistiva na qual se deseja estimar a resistência de entrada b A rede Δ na parte de cima do circuito é substituída por uma rede Y equivalente c d Combinações em série e em paralelo resultam em um único valor de resistência Seção 56 u Selecionando uma abordagem um resumo de várias técnicas 151 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 511 Use a técnica de conversão YD para encontrar a resistência equivalente de Thévenin do circuito da Figura 547 Resposta 1143 Ω 56 SELECIONANDO UMA ABORDAGEM UM RESUMO DE VÁRIAS TÉCNICAS No Capítulo 3 fomos apresentados à lei de Kirchhoff das correntes LKC e à lei de Kirchhoff das tensões LKT Estas duas leis se aplicam a todo e qual quer circuito que encontrarmos desde que tenhamos o cuidado de considerar todo o sistema que o circuito representa A razão para isso é que a LKC e a LKT implicam a conservação da carga e da energia respectivamente que são princípios muito fundamentais Baseados na LKC desenvolvemos o método da análise nodal que é muito poderoso Uma técnica similar baseada na LKT conhecida como análise de malha também é uma abordagem muito útil para a análise de circuitos infelizmente só aplicável a circuitos planares Na maior parte das vezes este livro está voltado ao desenvolvimento de habilidades analíticas que se aplicam a circuitos lineares Se souber mos que um circuito é formado apenas por componentes lineares em outras palavras todas as tensões e correntes se relacionam por meio de funções lineares então com frequência poderemos simplificálos antes de empregar a análise de malha ou a análise nodal Talvez o resultado mais importante vindo do conhecimento de que estamos lidando com um sistema completamente linear é o fato de que o princípio da superposição pode ser aplicado Dado um conjunto de fontes independentes atuando em nosso circuito podemos somar a contribuição individual de cada uma delas independentemente das demais Esta técnica é extremamente difundida em todo o campo da engenharia e a encontraremos com frequência Em muitas situações reais veremos que embora várias fontes estejam agindo simul taneamente em nosso sistema geralmente uma delas domina a resposta total A superposição nos permite identificar rapidamente esta fonte desde que tenhamos um modelo linear razoavelmente preciso para o sistema No entanto do ponto de vista da análise de circuitos a menos que necessite mos encontrar qual fonte independente contribui mais para uma dada resposta é em geral mais simples arregaçar as mangas e partir diretamente para a análise nodal ou de malha A razão para isso é que a aplicação da superposição em um circuito com 12 fontes independentes irá requerer que redesenhemos o circuito original 12 vezes e de qualquer forma frequentemente teremos que aplicar a análise nodal ou a análise de malha a cada circuito parcial Por outro lado a técnica da transformação de fontes é frequentemente uma ferramenta muito útil na análise de circuitos A transformação de fontes pode nos permitir consolidar resistores ou fontes que não estão em série ou em paralelo no circuito original A transformação de fontes também pode nos permitir converter todas ou pelo menos a maior parte das fontes do circuito original em um mesmo tipo de fonte todas como fontes de tensão ou fontes de corrente de forma que a análise nodal ou de malha se torne mais simples Cada R é de 10 Ω Rent p FIGURA 547 Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 152 O teorema de Thévenin é extremamente importante por diversas razões No trabalho com circuitos eletrônicos sempre sabemos a resistência equi valente de Thévenin de diversas partes de nosso circuito especialmente as resistências de entrada e de saída de estágios amplificadores A razão para isso é que o casamento de resistências é frequentemente o melhor caminho para otimizar o desempenho de um dado circuito Tivemos uma pequena prévia disso em nossa discussão sobre a máxima transferência de potência onde devese escolher a resistência de carga de forma que ela corresponda à resistência equivalente de Thévenin da rede à qual está conectada No entanto em termos da análise de circuitos no dia a dia percebemos que a conversão de parte de um circuito em seu equivalente de Thévenin ou de Norton dá quase o mesmo trabalho que analisar o circuito completo Portanto como no caso da superposição os teoremas de Thévenin e Nor ton geralmente são aplicados somente quando precisamos de informações especializadas sobre parte do nosso circuito RESUMO E REVISÃO Embora tenhamos afirmado no Capítulo 4 que a análise nodal e de malha são suficientes para analisar qualquer circuito que podemos encontrar desde que tenhamos os meios para relacionar a tensão e a corrente para qualquer ele mento passivo tal como a lei de Ohm para resistores a verdade é que muitas vezes não precisamos realmente de todas as tensões ou todas as correntes Às vezes é simplesmente um único elemento ou uma pequena parte de um grande circuito que tem a nossa atenção Possivelmente há alguma incerteza no valor final de um dado elemento em particular mas é desejável como o circuito se comporta ao longo de uma faixa de valores esperados Em tais casos podemos explorar o fato de que estamos limitados a circuitos lineares Isso permite o desenvolvimento de outras ferramentas superposição onde contribuições individuais de fontes podem ser identificadas transformações de fonte onde uma fonte de tensão em série com uma resistência pode ser substituída por uma fonte de corrente em paralelo com um resistor e os mais poderosos de todos os equivalentes de Thévenin e de Norton Um desdobramento interessante desses temas é a ideia de máxima trans ferência de potência Assumindo que podemos representar o nosso circuito arbitrariamente complexo por duas redes uma passiva e uma ativa a máxi ma transferência de potência para a rede passiva é alcançada quando a sua resistência de Thévenin é igual à resistência de Thévenin da rede ativa Final mente introduzimos o conceito de conversão triânguloestrela um processo que nos permite simplificar algumas redes resistivas que a princípio não são redutíveis usando as técnicaspadrão de combinação sérieparalelo Ainda estamos diante da eterna pergunta Que ferramenta devo usar para analisar este circuito A resposta geralmente está no tipo de infor mação requerida sobre o nosso circuito A experiência eventualmente poderá nos guiar um pouco mas nem sempre é verdade que há um método melhor Certamente uma questão para focar é se um ou mais componentes 153 Leitura complementar podem ser alterados isso pode sugerir a sobreposição um equivalente de Thévenin ou uma simplificação parcial tal como pode ser obtida com a transformação de fontes ou triânguloestrela é o caminho mais prático f O princípio da superposição diz que a resposta de um circuito linear pode ser obtida somandose as respostas individuais produzidas por cada uma das fontes independentes agindo isoladamente Exemplos 51 52 53 f A superposição é frequentemente usada quando é necessário deter minar a contribuição individual de cada fonte para uma determinada resposta Exemplos 52 53 f Uma fonte de tensão real pode ser modelada como um resistor em série com uma fonte de tensão independente Uma fonte de corrente real pode ser modelada como um resistor em paralelo com uma fonte de corrente independente f A transformação de fontes nos permite converter uma fonte de ten são real em uma fonte de corrente real e viceversa Exemplo 54 f Repetidas transformações de fontes podem simplificar bastante a análise de um circuito proporcionando uma maneira de se combinar resistores e fontes Exemplo 55 f O equivalente de Thévenin de uma rede é um resistor em série com uma fonte de tensão independente O equivalente de Norton é o mesmo resistor em paralelo com uma fonte de corrente independen te Exemplo 56 f Há várias maneiras de se obter a resistência equivalente de Théve nin dependendo da presença ou não de fontes dependentes na rede Exemplos 57 58 59 510 f A máxima transferência de potência ocorre quando a resistência da carga está casada com a resistência equivalente de Thévenin da rede à qual está conectada Exemplo 511 f Quando encontramos uma rede de resistores conectados em D pode mos imediatamente convertêla em uma rede conectada em Y Isto pode ser útil na simplificação da rede antes da análise De forma correspondente uma rede de resistores conectados em Y pode ser convertida em uma rede conectada em D para ajudar na simplifica ção do circuito Exemplo 512 LEITURA COMPLEMENTAR Um livro sobre tecnologia de baterias incluindo características da resistên cia interna D Linden Handbook of Batteries 2nd ed New York McGrawHill 1995 Uma excelente discussão sobre casos patológicos e vários teoremas de análise de circuitos pode ser encontrada em R A DeCarlo and P M Lin Linear Circuit Analysis 2nd ed New York Oxford University Press 2001 Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 154 EXERCÍCIOS 51 Linearidade e Superposição 1 Sistemas lineares são tão fáceis de trabalhar com que os engenheiros muitas vezes constroem modelos lineares de sistemas reais não lineares para auxiliar na análise e projeto Tais modelos muitas vezes são surpreendentemente preci sos sobre um intervalo limitado Por exemplo considere a função exponencial simples ex A representação dessa função pela série de Taylor é ex 1 x x2 2 x3 6 a Construa um modelo linear para esta função truncando a expansão da série de Taylor após o termo linear b Calcule a sua função modelo em x 0000001 00001 001 01 e 10 c Para quais valores de x seu modelo linear pode ser considerado uma aproximação razoável para ex Explique seu raciocínio 2 Construa uma aproximação linear para a função yt 4 sen 2t a Calcule a sua aproximação em t 0 0001 001 01 e 10 b Para quais valores de t seu modelo proporciona uma aproximação razoável para a função real não linear yt Explique seu raciocínio 3 Considerando o circuito da Figura 548 empregue a superposição para determi nar as duas componentes de i8 resultantes da ação das duas fontes independen tes respectivamente 4 a Use a superposição para determinar a corrente i indicada no circuito de Figura 549 b Expresse a contribuição da fonte de 1 V para a corrente total i em porcen tagem c Altere apenas o valor da fonte de 10 A ajustando o circuito da Figura 549 de modo que as duas fontes contribuem igualmente para a corrente i 5 a Use a superposição para obter as contribuições individuais de cada uma das duas fontes na Figura 550 para a corrente indicada por ix b Ajuste apenas o valor da fonte de corrente à direita altere o circuito de modo a que as duas fontes contribuem igualmente para a ix 6 a Determine as contribuições individuais de cada uma das duas fontes de corrente no circuito da Figura 551 para a tensão nodal υ1 b Determine a contribuição per centual de cada uma das duas fontes para a potência dissipada pelo resistor de 2 Ω t FIGURA 551 υ1 υ2 1 Ω 5 Ω 5 Ω 2 Ω 7 A 4 A 7 a Determine as contribuições individuais de cada uma das duas fontes de cor rente mostradas na Figura 552 para a tensão nodal υ2 b Em vez de executar duas simulações separadas no PSpice verifique sua resposta usando uma única varredura CCApresente um diagrama esquemático devidamente identificado variáveis de saída relevantes e um breve resumo dos resultados p FIGURA 548 6 A 2 V 8 Ω 3 Ω i8 p FIGURA 549 10 A 1 V 4 Ω 9 Ω i p FIGURA 550 5 A 3 A 5 Ω 12 Ω 2 Ω 5 Ω ix p FIGURA 552 υ1 υ2 7 Ω 1 Ω 4 Ω 5 Ω 2 Ω 7 A 2 A Exercícios 155 8 Depois de estudar o circuito da Figura 553 altere os dois valores das fontes de tensão tais que a i1 duplica b o sentido de um i1 inverte mas a seu módulo é inalterado c ambas as fontes contribuem igualmente para a energia dissipada pelo resistor de 6 Ω 9 Considere os três circuitos representados na Figura 554 Analise cada circuito e demonstre que Vx Vx Vx isto é a superposição é mais útil quando as fontes são zeradas mas o princípio é de fato muito mais geral do que isso t FIGURA 554 Vx 12 V 15 V 3 kΩ 1 kΩ 2 kΩ Vx 6 V 10 V 3 kΩ 1 kΩ 2 kΩ Vx 6 V 5 V 3 kΩ 1 kΩ 2 kΩ 10 a Utilizando a superposição determine a tensão υx no circuito representado na Figura 555 b Para que o valor seja de 2 A a fonte deve ser alterada para reduzir υx em 10 c Verifique suas respostas através da realização de simula ções apropriadas no PSpice Apresente um diagrama esquemático devidamente identificado variáveis de saída relevantes e uma breve descrição dos resultados t FIGURA 555 5 Ω 1 Ω 3 Ω 2 A 4 V 4 V 2 Ω υx 11 Use o princípio da superposição para obter um valor para a corrente Ix indicada na Figura 556 t FIGURA 556 7 kΩ 2 kΩ 2 A 5 kΩ 1 V 02Ix Ix 12 a Use a superposição para determinar a contribuição individual de cada fonte independente para a tensão v indicada no circuito mostrado na Figura 557 b Calcule a potência absorvida pelo resistor 2 Ω t FIGURA 557 2 Ω 3 Ω 4 V i1 υ 04i1 1 Ω 7 Ω 6 A p FIGURA 553 4 V 10 V 6 Ω 4 Ω 3 Ω i1 Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 156 52 Transformações de Fontes 13 Executar uma transformação de fonte apropriada em cada um dos circuitos representados na Figura 558 tendo o cuidado de manter o resistor 4 Ω em cada circuito final t FIGURA 558 ix 4 Ω 1 Ω 5 Ω 1 Ω 2ix 6 V 4 Ω 10 Ω 6 A 4 Ω 10 Ω 14 Para o circuito da Figura 559 faça o gráfico de iL versus υL correspondente ao intervalo de 0 R 15 Determine a corrente I indicada no circuito da Figura 560 primeiro fazendo a transformação das fontes e as combinações paralelosérie necessárias para reduzir o circuito o máximo possível 16 Verifique que a potência absorvida pelo resistor de 7 Ω na Figura 522a conti nua sendo a mesma após a transformação de fonte ilustrada na Figura 522c 17 a Determine a corrente i no circuito da Figura 561 depois da primeira transfor mação que faz que o circuito passe a conter apenas resistores e fontes de tensão b Simule cada circuito para verificar a mesma corrente em ambos os casos t FIGURA 561 2 MΩ 12 V 3 MΩ 13 MΩ 7 V 5 µA i 18 a Usando repetidas transformações de fonte reduza o circuito da Figura 562 para uma fonte de tensão em série com um resistor ambos em série com o resis tor de 6 MΩ b Calcule a potência dissipada pelo resistor de 6 MΩ usando o circuito simplificado t FIGURA 562 15 V 12 MΩ 750 kΩ 7 MΩ 6 MΩ 35 MΩ 27 µA 19 a Utilizando muitas transformações de fontes e técnicas de combinação de elementos conforme necessário simplifique o circuito da Figura 563 de modo p FIGURA 559 υL iL 5 kΩ R 3 V p FIGURA 560 I 3 A 9 V 7 Ω 5 Ω 4 Ω Exercícios 157 a conter apenas a fonte de 7 V um único resistor e outra fonte de tensão b Verifique se a fonte de 7 V fornece a mesma quantidade de energia nos dois circuitos t FIGURA 563 5 A 7 V 2 A 3 Ω 1 Ω 3 Ω 20 a Usando repetidas transformações de fonte reduza o circuito da Figura 564 de tal modo que contenha uma única fonte de tensão o resistor de 17 Ω e outro resistor b Calcule a potência dissipada pelo resistor de 17 Ω c Verifique os resultados simulando os dois circuitos com PSpice ou outra ferramenta de CAD apropriada t FIGURA 564 47 Ω 10 Ω 7 Ω 22 Ω 7 Ω 9 Ω 17 Ω 12 V IX 2 Ω 21 Utilize transformações de fontes para primeiro converter todas as três fontes da Figura 565 para fontes de tensão em seguida simplifique o circuito o máximo possível e calcule a tensão Vx que aparece sobre o resistor de 4 Ω Certifiquese de desenhar e identificar os elementos do circuito simplificado t FIGURA 565 Vx 1 Ω 7 Ω 9 Ω 10 Ω 2 Ω 4 Ω 3 A 9 A 5Vx 10 Ω 22 a Com o auxílio de transformações de fonte altere o circuito da Figura 566 de tal forma que ele contenha apenas fontes de corrente b Simplifique o seu novo circuito o máximo possível e calcule a potência dissipada no resistor de 7 Ω c Verifique a sua solução por simulação dos dois circuitos com PSpice ou outra ferramenta de CAD apropriada t FIGURA 566 7 Ω 11 Ω 10 Ω 9 V 4I1 2 A I1 Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 158 23 Transforme a fonte dependente na Figura 567 em uma fonte de tensão em seguida calcular V0 t FIGURA 567 V0 V1 07 V 6 Ω 6 Ω 7 Ω 2 Ω 12V1 24 Em relação ao circuito representado na Figura 568 transforme primeiro as fon tes de tensão para fontes de corrente reduza o número de elementos o máximo possível e determine a tensão v3 t FIGURA 568 υ3 2 V 4υ3 6 Ω 2υ3 3 Ω 2 Ω 53 Circuitos equivalentes de Thévenin e de Norton 25 Referindose à Figura 569 determine o equivalente de Thévenin da rede conec tada em RL b determine vL para RL 1 Ω 35 Ω 6257 Ω e 98 Ω 26 a Em relação ao circuito representado na Figura 569 obtenha o equivalente de Norton da rede conectado em RL b Faça o gráfico da potência dissipada no resistor RL em função de iL no intervalo de 0 LR 5 Ω c Usando seu gráfico estime em qual valor de RL potência dissipada alcança seu valor máximo 27 a Obtenha o equivalente de Norton da rede conectada a RL na Figura 570 b Obtenha o equivalente Thévenin da mesma rede c Useo para calcular iL para RL 0 Ω 14 Ω 923 Ω e 8107 Ω 28 a Determine o equivalente de Thévenin do circuito representado na Figura 571 primeiro encontrando Vca e Icc definida como fluindo para o terminal de referência positiva de Vca b Conecte um resistor de 47 kΩ entre terminais abertos de sua nova rede e calcule a sua potência dissipada 29 Referindose ao circuito da Figura 571 a Determine o equivalente de Norton do circuito primeiramente encontrando Vca e Icc definida como fluindo para o terminal de referência positiva de Vca b Conecte um resistor de 17 kΩ entre os terminais abertos de sua nova rede e calcule a energia fornecida para esse resistor 30 a Empregue o teorema de Thévenin para obter um equivalente simples de dois componentes do circuito mostrado na Figura 572 b Use o seu circuito equivalente para determinar a potência fornecida a um resistor de 100 Ω ligado aos terminais abertos c Verifique sua solução analisando o circuito original com o mesmo do resistor de 100 Ω ligado entre os terminais abertos t FIGURA 572 75 Ω 220 Ω 122 Ω 45 Ω 07 V 03 A p FIGURA 569 υL RL 9 V 3 Ω 1 Ω 2 Ω p FIGURA 570 08 Ω 2 Ω 5 Ω RL 1 A 5 Ω iL p FIGURA 571 Vca 25 kΩ 25 kΩ 23 kΩ 18 kΩ 42 V 11 kΩ Exercícios 159 31 a Use o teorema de Thévenin para obter um equivalente de dois componentes para a rede mostrada na Figura 573 b Determine a potência fornecida a um resistor de 1 MΩ ligado à rede se i1 19 μA R1 R2 16 MΩ R3 3 MΩ e R4 R5 12 MΩ c Verifique a sua solução através de uma simulação dos circuitos com PSpice ou outra ferramenta de CAD apropriada 32 Determine o equivalente de Thévenin do circuito mostrado na Figura 574 visto a partir dos dois terminais de abertos t FIGURA 574 2 A 1 Ω 5 Ω 3 Ω 2 Ω 2 V 4 V υx 33 a Determine o equivalente de Norton do circuito representado na Figura 574 visto a partir dos dois terminais abertos b Calcule a potência dissipada em um resistor de 5 Ω ligado em paralelo com a resistor existente de 5 Ω c Calcule a corrente que circula através de um curtocircuito que liga os dois terminais 34 Para o circuito da Figura 575 a Use o teorema de Norton para reduzir a rede ligada a RL para somente dois componentes b Calcule a corrente contínua que desce através de RL se RL for um resistor de 33 kΩ c Verifique sua resposta simulando ambos os circuitos com PSpice ou uma ferramenta de CAD comparável t FIGURA 575 25 V 1 kΩ 7 kΩ 6 kΩ RL 5 kΩ 300 mA 35 a Obtenha um valor para a resistência equivalente de Thévenin vista a partir dos terminais abertos do circuito na Figura 576 primeiramente encontrando Vca e Icc b Conecte uma fonte de teste de 1 A aos terminais abertos do circuito original depois de colocar os terminais da fonte de tensão em curtocircuito e use este circuito para obter RTH c Conecte uma fonte de teste de 1 V nos ter minais abertos do circuito original zerando novamente a fonte de 2 V e use este circuito para obter RTH t FIGURA 576 10 Ω 20 Ω 30 Ω 7 Ω 7 Ω 2 V 36 Consulte o circuito representado na Figura 577 a Obtenha um valor para a resistência equivalente de Thévenin vista a partir dos terminais abertos primei ramente encontrando Vca e Icc b Conecte uma fonte de teste de 1 A nos termi nais abertos do circuito original depois de desativar a outra fonte de corrente p FIGURA 573 R3 R5 R4 R2 R1 i1 Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 160 e use este circuito para obter RTH c Conecte uma fonte de teste de 1 V nos terminais abertos do circuito original novamente zerando a fonte original e use esse circuito agora para obter RTH 37 Obtenha um valor para a resistência equivalente de Thévenin vista a partir dos terminais abertos no circuito da Figura 578 a Encontre Vca e Icc e em seguida obtenha a razão entre eles b ajuste todas as fontes independentes em zero e use técnicas de combinação de resistores c conecte uma fonte de cor rente desconhecida nos terminais desativando zerando todas as outras fontes encontre uma expressão algébrica para a tensão que se desenvolve na fonte e obtenha a razão entre as duas grandezas t FIGURA 578 17 Ω 9 Ω 6 Ω 4 Ω 2 Ω 222 A 20 V 33 A 38 Com relação à rede mostrada na Figura 579 determine o equivalente de Thé venin visto por um elemento conectado nos terminais a a e b b a e c c b e c d Verifique suas respostas usando PSpice ou outra ferramenta de CAD apropriada Dica Conecte uma fonte de teste nos terminais de interesse 39 Determine os equivalentes de Thévenin e de Norton do circuito representado na Figura 580 do ponto de vista dos terminais abertos Não deve haver fontes dependentes em sua resposta 40 Determine o equivalente de Norton do circuito desenhado na Figura 581 visto a partir dos terminais a e b Não deve haver fontes dependentes em sua resposta t FIGURA 581 ix 700 mA 500 Ω 15 kΩ a b 2ix 2500 Ω 41 Com relação ao circuito da Figura 582 determine a potência dissipada por a um resistor de 1 kΩ conectado entre a e b b um resistor de 47 kΩ conectado entre a e b c um resistor de 1054 kΩ conectado entre a e b 42 Determine os equivalentes de Thévenin e Norton do circuito mostrado na Figura 583 visto por um elemento não especificado conectado entre os terminais a e b 43 Referindose ao circuito da Figura 584 determine a resistência equivalente de Thé venin do circuito à direita da linha tracejada Esse circuito é amplificador a transistor em configuração fonte comum e você está calculando sua resistência de entrada t FIGURA 584 1 MΩ 3 kΩ RL 012υgs υs 300 Ω υgs p FIGURA 577 1 Ω 3 Ω 2 Ω 4 Ω 1 A p FIGURA 579 a b c 11 Ω 4 Ω 10 Ω 21 Ω 2 Ω 12 Ω p FIGURA 580 Vx 21 Ω 10Vx p FIGURA 582 1 V 10 kΩ 20 kΩ 002υ1 a b υ1 t FIGURA 583 11 Ω 15 Ω 20 Ω υab 05υab 011υab a b Exercícios 161 44 Referindose ao circuito da Figura 585 determine a resistência equivalente de Thévenin do circuito à direita da linha tracejada Este circuito é amplificador a transistor em configuração coletor comum e você está calculando sua entrada resistência t FIGURA 585 2 MΩ 1 kΩ 2 kΩ 002Vp 300 Ω rp υs υp 45 O circuito representado na Figura 586 é um modelo razoavelmente preciso de um AOP Nos casos em que Ri e A são muito grandes e Ro 0 uma carga resistiva por exemplo um altofalante conectado entre o terra e o terminal identificado como υsaída verá uma tensão RfR1 vezes maior do que o sinal de entrada υent Encontre o equivalente de Thévenin do circuito tendo o cuidado de identificar υsaída t FIGURA 586 υd Aυd Rf υsaída Ro Ri R1 υent 54 Máxima Transferência de Potência 46 a Para o circuito simples da Figura 587 faça o gráfico da potência dissipada pelo resistor R em função do RRS se 0 R 3000 Ω b Faça o gráfico da primeira derivada da potência versus RRS e verifique que a máxima potência é transferida para R quando R é igual a RS 47 Para o circuito desenhado na Figura 588 a determine o equivalente Thévenin conectado em Rsaída b Escolha Rsaída tal que seja entregue a ele a potência máxima 48 Estude o circuito da Figura 589 a Determine o equivalente de Norton conec tado ao resistor Rsaída b Selecione um valor para Rsaída tal que a potência máxima será entregue a ele t FIGURA 589 2 V 4 A 1 kΩ 2 kΩ 3 V Rsaída p FIGURA 587 R RS 12 V 1 kΩ p FIGURA 588 Rsaída 2 V 4 V 3 Ω 2 Ω Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 162 49 Assumindo que podemos determinar a resistência equivalente de Thévenin de uma tomada por que os fabricantes de torradeiras fornos de microondas e televisores não fazem o casamento da resistência de Thévenin de cada um des ses aparelhos tendo esse valor como referência Isso não permitiria obter uma máxima transferência de potência da concessionária de energia elétrica para nossos aparelhos eletrodomésticos 50 Para o circuito da Figura 590 qual valor de RL irá garantir que ele absorverá a máxima quantidade de potência possível t FIGURA 590 1 A 3 V 3 Ω 2 Ω 5 Ω RL 51 Com referência ao circuito da Figura 591 a calcule a potência absorvida pelo o resistor de 9 Ω b ajuste o tamanho do resistor de 5 Ω de modo que a nova rede entregue a máxima potência para o resistor de 9 Ω 52 Referindose ao circuito da Figura 592 a determine a potência absorvida pelo resistor de 33 Ω b substitua o resistor de 33 Ω por uma outra resistência que absorva a máxima potência a partir do restante do circuito 53 Selecione um valor para RL na Figura 593 de tal modo que se garanta a absor ção da máxima potência do circuito t FIGURA 593 10 Ω 8 Ω RL 5 Ω 02υ1 4 V υ1 54 Determine o valor da resistência que absorveria a máxima potência do circuito da Figura 594 quando conectada entre os terminais a e b t FIGURA 594 a b 20 Ω 50 Ω 10 Ω 100 Ω 900 mA 01υab υab 2υab 55 Conversão TriânguloEstrela 55 Derive as equações necessárias para converter de uma rede conectada em Y para a uma rede conectada em Δ 56 Converta as redes conectadas em Δ ou Π na Figura 595 para redes conec tadas em Y p FIGURA 591 9 A 2 A 9 Ω 5 Ω 3 Ω p FIGURA 592 V2 5 V 33 Ω 7 Ω 2 Ω 01V2 Exercícios 163 t FIGURA 595 a c b d a c b d 33 Ω 21 Ω 17 Ω 11 kΩ 21 kΩ 47 kΩ 57 Converta as redes conectadas em Y ou T na Figura 596 para redes conec tadas em Δ t FIGURA 596 33 Ω 21 Ω 17 Ω a c b d 13 kΩ 21 kΩ 47 kΩ a c b d 58 Para a rede da Figura 597 selecione um valor de R para que a rede tenha uma resistência equivalente de 9 Ω Arredonde sua resposta para dois algarismos significativos 59 Para a rede da Figura 598 selecione um valor de R para que a rede tenha uma resistência equivalente de 706 Ω 60 Determine a efetiva resistência Rent da rede apresentada na Figura 599 t FIGURA 599 Cada R é de 22 kΩ Rent 61 Calcule Rent conforme indicado na Figura 5100 t FIGURA 5100 61 Ω 25 Ω 55 Ω 46 Ω 23 Ω 11 Ω 31 Ω 31 Ω 110 Ω 63 Ω Rent 62 Empregue as técnicas de conversão ΔY apropriadas para determinar Rent indi cado na Figura 5101 p FIGURA 597 R 30 Ω 10 Ω 2 Ω 3 Ω p FIGURA 598 200 Ω 100 Ω R 42 Ω 68 Ω Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 164 t FIGURA 5101 6 Ω 7 Ω 6 Ω 3 Ω 9 Ω 20 Ω 12 Ω 10 Ω 4 Ω 5 Ω Rent 63 a Determine o equivalente de Thévenin de dois componentes da rede na Figura 5102 b Calcule a potência dissipada por um resistor de 1 Ω conectado entre os terminais abertos t FIGURA 5102 9 V 2 Ω 1 Ω 11 Ω 12 Ω 22 Ω 10 Ω 64 a Use técnicas apropriadas para obter os equivalentes de Thévenin e de Norton da rede desenhada na Figura 5103 b Verifique suas respostas pela simulação de cada um dos três circuitos conectados ao resistor de 1 Ω t FIGURA 5103 8 A 2 Ω 3 Ω 6 Ω 4 Ω 65 a Substitua a rede da Figura 5104 por uma rede Δ equivalente com três resis tores b Faça uma análise no PSpice para verificar se sua resposta é de fato equivalente Dica Experimente acrescentar um resistor de carga t FIGURA 5104 2 Ω 2 Ω 3 Ω 1 Ω 1 Ω 1 Ω 1 Ω 2 Ω 2 Ω 56 Selecionando uma Abordagem um resumo de várias técnicas 66 Determine a potência absorvida por um resistor conectado entre os terminais abertos do circuito mostrado na Figura 5105 se ele tiver um valor igual a a 1 Ω b 100 Ω c 265 kΩ d 113 MΩ Exercícios 165 t FIGURA 5105 4 mA 7 kΩ 1 kΩ 22 kΩ 10 kΩ 10 kΩ 4 kΩ 5 kΩ 67 Sabese que uma resistência de carga de algum tipo será conectada entre os termi nais a e b da rede da Figura 5106 a Altere o valor da fonte de 25 V de tal forma que as fontes de tensão contribuam igualmente para a potência fornecida para a resistência de carga assumindo ainda que o seu valor é escolhido de tal forma que ela absorva a máxima potência b Calcule o valor da resistência de carga 68 Uma carga de 257 Ω é conectada entre os terminais a e b da rede desenhada na Figura 5106 Infelizmente a energia fornecida à carga é de apenas 50 da quantidade necessária Alterando apenas as fontes de tensão modifique o cir cuito para que a potência necessária seja entregue e as duas fontes contribuam igualmente 69 Uma resistência de carga é conectada entre os terminais abertos do circuito mostrado na Figura 5107 e seu valor foi escolhido cuidadosamente para garan tir a máxima transferência de potência a partir do restante do circuito a Qual é o valor da resistência b Se a potência absorvida pela resistência de carga é três vezes maior do que necessário modifique o circuito de modo que ele tenha a performance desejada sem perder a condição de máxima transferência de potência que ele já possuía p FIGURA 5107 54 Ω 18 Ω 3 Ω 5 Ω 08 A 01 A 12 A 70 Uma cópia de segurança é necessário para o circuito apresentado na Figura 5107 Não se sabe o que será conectado aos terminais abertos ou se será puramente linear Se uma simples bateria for utilizada qual deverá ser a tensão sem carga circuito aberto do arranjo e qual a resistência interna máxima tolerável Exercícios de integração do capítulo 71 Três lâmpadas de 45 W originalmente ligadas em Y com uma fonte de 127 V CA em cada entrada são reaproveitadas para montar uma rede em Δ A conexão neutra ou central não é utilizada Se a luminosidade de cada lâmpada é proporcional à potência que ela consome desenhe um novo circuito para a fonte de 127 V CA de modo que as três lâmpadas apresentem na configuração Δ a mesma luminosidade que apresentavam quando conectadas em Y Verifique seu projeto usando o PSpice comparando a potência consumida por cada lâm pada em seu circuito modelada como um valor de resistência apropriado com a potência que cada lâmpada consumia no circuito Y original p FIGURA 5106 10 Ω 15 Ω 5 V 10 V 25 V a b Capítulo 5 u Técnicas Úteis de Análise de Circuitos 166 72 a Explique em termos gerais como uma transformação de fonte pode ser usada para simplificar um circuito antes da análise b Embora as transforma ções de fontes possam simplificar muito um circuito particular quando pode não valer a pena o esforço c Multiplicandose todas as fontes independentes num circuito por um mesmo fator de escala todas as outras tensões e correntes são alteradas de forma proporcional Explique por que não isso não pode ser realizado também em fontes dependentes d Em um circuito comum se ajus tarmos uma fonte de tensão independente em zero qual a corrente que poderá circular pelo mesmo e Num circuito comum se ajustarmos uma fonte de corrente independente em zero qual tensão existente entre seus terminais 73 A resistência de carga na Figura 5108 pode seguramente dissipar até 1 W sem apresentar superaquecimento nem se incendiar A lâmpada pode ser tratada como um resistor de 106 Ω para correntes abaixo de 1 A e como um resistor de 15 Ω para correntes acima de 1 A Qual é o máximo valor permitido para Is Verifique sua resposta com o PSpice t FIGURA 5108 Vx Lâmpada indicadora 200 Ω 200 Ω 1 kΩ Is RL Resistor de carga 5Vx 74 Um LED vermelho tem uma corrente máxima especificada de 35 mA Se este valor for excedido superaquecimento e falha catastrófica serão observados A resistência do LED é uma função não linear da corrente aplicada mas o fabri cante garante uma resistência mínima de 47 Ω e uma resistência máxima de 117 Ω Somente baterias de 9 V encontramse disponíveis para ligar o LED Projete um circuito adequado para fornecer a máxima potência disponível ao LED sem danificálo Use somente combinações de resistores com valorespadrão confor me a tabela no final do livro 75 Como parte de um sistema de segurança um fio muito fino de 100 Ω é ligado a uma janela usando uma massa epóxi não condutora De posse de apenas uma caixa com 12 pilhas AAA recarregáveis de 15 V mil resistores de 1 Ω e uma campainha de 2900 Hz que consome 15 mA a 6 V projete um circuito sem partes móveis que faça disparar a campainha se a janela for quebrada neste caso o fio também se parte Note que a campainha requer uma tensão CC de pelo menos 6 V máximo de 28 V para operar INTRODUÇÃO Neste ponto temos um bom conjunto de ferramentas de análise de circuito à nossa disposição mas têmse focado principalmente em alguns circuitos mais gerais compostos unicamente de fontes e resistores Neste capítulo introduzimos um novo componente que embora tecnicamente não linear pode ser tratado de forma eficaz com modelos lineares Este elemento conhecido como o amplificador operacional ou AOP encontra o uso diário em uma grande variedade de aplicações eletrônicas Ele também nos oferece um novo elemento para utilização na construção de circuitos e uma outra oportunidade de testar nosso desenvolvimento em habilidades analíticas 61 FUNDAMENTOS A origem dos amplificadores operacionais remonta à década de 40 quando circui tos valvulados básicos foram construídos para executar operações matemáticas como adição subtração multiplicação divisão diferenciação e integração Isso possibilitou a construção de computadores analógicos e não digitais que se destinavam à solução de equações diferenciais complicadas Considerase o K2W fabricado de 1952 até o início dos anos 70 pela Philbrick Researches Inc de Boston o primeiro dispositivo amplifica dor operacional disponível comercialmente Figura 61a Esses primeiros dispositivos O Amplificador Operacional 6 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Características dos AOPs Ideais Amplificadores Inversores e Não Inversores Circuitos Amplificadores de Soma e Diferença Estágios de AOPs em Cascata Uso AOPs para Construir Fontes de Tensão e Corrente Características Não Ideais de AOPs Ganho de Tensão e Realimentação Circuitos do Comparador Básico e do Amplificador de Instrumentação b a c p FIGURA 61 a AOP Philbrick K2W baseado em um par casado de válvulas 12AX7A b AOP LMV321 usado em uma variedade de aplicações telefônicas e de jogos c AOP LMC6035 que contém 114 transistores em um encapsulamento tão pequeno que cabe na cabeça de um alfinete bc Copyright 2011 National Semiconductor Corporation wwwnationalcom Todos os direitos reservados Uso com permissão Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 168 valvulados pesavam aproximadamente 85 g mediam 38 cm 54 cm 104 cm e custavam aproximadamente US 2200 Em contraste AOPs encapsula dos em circuitos integrados CI como o Fairchild KA741 pesam menos de 500 mg medem 57 mm 49 mm 18 mm e custam aproximadamente US 022 Comparados com amplificadores operacionais valvulados os AOPs modernos são construídos em CIs que usam 25 ou mais transistores em uma mesma pastilha de silício bem como os resistores e capacitores necessários para se obter as características de desempenho desejadas Como resultado eles operam com tensões de alimentação muito menores por exemplo 18 V em vez de 300 V no caso do K2W são mais confiá veis e consideravelmente menores ver Figura 61b c Em alguns casos o CI pode conter vários amplificadores operacionais Além do pino de saída e dos dois pinos de entrada outros pinos permitem a alimentação dos tran sistores e a realização de ajustes externos de forma a balancear e compensar o AOP O símbolo comumente usado para representar um AOP é mostrado na Figura 62a Neste ponto não estamos preocupados com o circuito inter no do amplificador operacional ou do CI mas somente com as relações de tensão e corrente que existem entre os terminais de entrada e saída Assim por enquanto vamos usar o símbolo elétrico mais simples mostrado na Figura 62b Dois terminais de entrada são vistos no lado esquerdo e um único terminal de saída aparece no lado direito O terminal marcado com um sinal é chamado de entrada não inversora e o terminal marcado com o sinal é chamado de entrada inversora 62 O AOP IDEAL UMA INTRODUÇÃO CORDIAL Na prática constatamos que a maioria dos amplificadores operacionais funciona tão bem que frequentemente podemos supor que estamos lidando com um AOP ideal As características de um AOP ideal formam a base de duas leis fundamentais que à primeira vista podem parecer um pouco estranhas Leis do AOP Ideal 1 Nenhuma corrente flui através dos terminais de entrada 2 Não há queda de tensão entre os dois terminais de entrada Em um AOP real uma corrente de fuga muito pequena fluirá pelo ter minal de entrada às vezes da ordem de 40 femtoampères Também é pos sível manter uma tensão muito pequena entre os dois terminais de entrada Entretanto se comparados com as demais tensões e correntes na maioria dos circuitos esses valores são tão pequenos que sua inclusão normalmente não afeta nossos cálculos Ao analisar circuitos com AOPs devemos ter em mente um outro ponto Ao contrário dos circuitos que analisamos até agora o circuito de um AOP sempre tem uma saída que depende de algum tipo de entrada Portan to analisaremos circuitos contendo AOPs com o objetivo de escrever uma expressão para a saída em termos dos valores de entrada Descobriremos p FIGURA 62 a Símbolo elétrico do AOP b Menor número possível de conexões que podem aparecer em um diagrama esquemático Ajuste de offset V V Ajuste de offset Entrada a Saída b Seção 62 u O AOP ideal uma introdução cordial 169 que em geral é uma boa ideia começar a análise de um circuito AOP pela entrada e proceder a partir dali O circuito mostrado na Figura 63 é conhecido como um amplificador inversor Decidimos analisar esse circuito usando a LKT começando com a fonte de tensão na entrada A corrente i passa apenas pelos dois resistores R1 e Rf a lei número 1 do AOP ideal estabelece que nenhuma corrente flui através da entrada inversora Assim podemos escrever υent R1i Rf i υsaída 0 que pode ser rearranjada para obter uma equação que relaciona a saída à entrada υsaída υent R1 Rf i 1 Dado υent 5 sen 3t mV R1 47 kΩ e Rf 47 kΩ precisamos de uma equação adicional que expresse i somente em termos de υsaída υent R1 eou Rf Esta é uma boa hora para dizer que ainda não fizemos uso da lei número 2 do AOP ideal Como a entrada não inversora está aterrada ela está em zero volts Pela lei número 2 do AOP ideal portanto a entrada inversora também está em zero volts Isto não quer dizer que as duas entradas estão em curto e devemos ter o cuidado de não fazer esta suposição Em vez disso as duas ten sões de entrada simplesmente acompanham uma à outra se tentamos mudar a tensão em um dos terminais o outro terminal é conduzido ao mesmo valor pelo circuito interno Assim podemos escrever uma equação LKT a mais υent R1i 0 0 ou i υent R1 2 Combinando a Equação 2 com a Equação 1 obtemos uma expressão para υsaída em termos de υent υsaída Rf R1 υent 3 Substituindo υent 5 sen 3t mV R1 47 kΩ e Rf 47 kΩ υsaída 50 sen 3t mV Já que Rf R1 este circuito amplifica a tensão de entrada υent Se esco lhermos Rf R1 o sinal será atenuado Notamos também que a tensão de saída tem o sinal oposto à tensão de entrada1 daí o nome amplificador inversor A saída está ilustrada na Figura 64 juntamente com a forma de onda de entrada para comparação Neste ponto vale mencionar que o AOP ideal parece violar a LKC Espe cificamente no circuito acima nenhuma corrente entra nos terminais de entrada mas de alguma forma é possível a circulação de correntes no terminal de saída Isso implicaria a possibilidade de o AOP criar elétrons do nada ou armazená los indefinidamente dependendo da direção da corrente Obviamente isso não é possível O conflito aparece porque temos tratado o AOP da mesma 1 Ou a saída está 180 defasada em relação à entrada o que impressiona bem mais p FIGURA 63 Um AOP usado para construir um circuito amplificador inversor A corrente i flui para o terra pelo pino de saída do AOP i i υsaída R1 Rf υent p FIGURA 64 Formas de onda de entrada e saída do circuito amplificador inversor 60 40 20 0 20 40 60 υent υsaída Tensão mV 1 2 3 4 5 6 7 t s O fato de a entrada inversora apresentar tensão nula nesse tipo de configuração leva àquilo que frequentemente chamamos de terra virtual Isto não significa que o terminal esteja realmente aterrado o que às vezes causa confusão nos estudantes O AOP faz os ajustes internos necessários para evitar que haja uma queda de tensão entre os terminais de entrada Os terminais de entrada não estão em curto Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 170 forma que tratamos elementos passivos como por exemplo um resistor No entanto um AOP não pode funcionar na prática a menos que esteja conectado a fontes externas de potência É através destas fontes de potência que podemos fazer fluir uma corrente através do terminal de saída Embora tenhamos mostrado que o circuito amplificador inversor da Figura 63 pode amplificar um sinal CA neste caso uma onda senoidal com frequência de 3 rads e amplitude de 5 mV ele funciona igualmente bem com sinais CC Consideramos esse tipo de situação na Figura 65 onde R1 e Rf devem ser selecionados para que se obtenha uma tensão de saída de 10 V Este é o mesmo circuito mostrado na Figura 63 porém com uma entra da de 25 V Como nenhuma alteração adicional foi feita a expressão que apresentamos na Equação 3 permanece válida para esse circuito Para obter a saída desejada procuramos uma relação entre Rf e R1 igual a 1025 ou 4 Como somente a relação é importante aqui precisamos simples mente escolher um valor conveniente para um dos resistores e o valor do outro resistor será imediatamente determinado Por exemplo poderíamos escolher R1 100 Ω logo Rf 400 Ω ou mesmo Rf 8 MΩ logo R1 2 MΩ Na prática outras limitações por exemplo a corrente de polarização podem limitar nossas escolhas Essa configuração de circuito funciona portanto como um tipo conve niente de amplificador de tensão ou atenuador se a razão entre Rf e R1 for menor que 1 embora apresente a propriedade às vezes inconveniente de inverter o sinal de entrada Porém há uma alternativa que é analisada com a mesma facilidade o amplificador não inversor mostrado na Figura 66 Examinamos tal circuito no exemplo a seguir Desenhe a forma de onda de saída do amplificador não inversor na Figu ra 66a Use υent 5 sen 3t mV R1 47 kΩ e Rf 47 kΩ f Identifique o objetivo do problema Precisamos de uma expressão para υsaída que dependa somente das grandezas conhecidas υent R1 e Rf f Reúna as informações conhecidas Já que foram especificados os valores dos resistores e a forma de onda de entrada começamos identificando a corrente i e as duas tensões de entrada como mostra a Figura 66b Assumiremos que o AOP é ideal f Trace um plano Embora a análise de malha seja a técnica favorita dos estudantes acaba sendo mais prático na maioria dos circuitos contendo AOPs aplicar a análise nodal já que não há uma maneira direta de se determinar a corrente que flui no terminal de saída de um AOP f Construa um conjunto apropriado de equações Note que estamos implicitamente usando a lei número 1 do AOP ideal ao definir que a mesma corrente passe por ambos os resistores nenhuma cor rente flui através da entrada não inversora Empregando a análise nodal para obter nossa expressão para υsaída em termos de υent vemos então que u EXEMPLO 61 p FIGURA 66 a Um AOP usado para construir um circuito amplificador não inversor b Circuito com a corrente através de R1 e Rf definida e com as duas tensões de entrada identificadas p FIGURA 65 Um circuito amplificador inversor com uma entrada de 25 V υsaída 25 V R1 Rf υsaída R1 Rf υent a i i υsaída R1 Rf υent υa υb b Seção 62 u O AOP ideal uma introdução cordial 171 No nó a 0 υa R1 υa vsaída Rf 4 No nó b υb υent 5 f Determine se são necessárias informações adicionais Nosso objetivo é obter uma única expressão que relacione as tensões de entrada e saída embora nem a Equação 4 nem a Equação 5 pareçam servir para isso Porém ainda não usamos a lei número 2 do AOP ideal e veremos que em quase todos os circuitos com AOPs ambas as leis precisam ser usadas para se obter tal expressão Assim reconhecemos que υa υb υent e a Equação 4 se torna 0 υent R1 υent υsaída Rf f Tente uma solução Rearranjando obtemos uma expressão para a tensão de saída em termos da tensão de entrada υent υsaída 1 Rf R1 υent 11υent 55 sen 3t mV f Verifique a solução Ela é razoável ou esperada A forma de onda de saída está desenhada na Figura 67 juntamente com a forma de onda de entrada para comparação Em contraste com a forma de onda de saída do circuito amplificador inversor notamos que a entrada e a saída estão em fase no amplificador não inversor Este não é um fato inespe rado está implícito no nome amplificador não inversor u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 61 Deduza uma expressão para υsaída em termos de υent no circuito mostrado na Figura 68 Resposta υsaída υent O circuito é conhecido como seguidor de tensão pois a tensão de saída acompanha ou segue a tensão de entrada Assim como o amplificador inversor o amplificador não inversor fun ciona com entradas CA ou CC mas tem um ganho de tensão de υsaídaυent 1 Rf R1 Assim se fizermos Rf 9 Ω e R1 1 Ω obtemos uma saída υsaída 10 vezes maior do que a tensão de entrada υent Em contraste com o amplificador inversor a saída e a entrada do amplificador não inversor têm sempre a mesma polaridade e a tensão de saída não pode ser menor do que a tensão de entrada o ganho mínimo é 1 Que amplificador devemos esco lher depende do tipo de aplicação em questão No caso especial do circuito seguidor de tensão mostrado na Figura 68 que representa um amplificador não inversor com R1 igual a e Rf igual a zero a saída é igual à entrada tanto em polaridade quanto em magnitude Esta característica pode parecer sem sentido em um circuito genérico mas devemos ter em mente que o seguidor de tensão não drena corrente alguma da entrada no caso ideal p FIGURA 67 Formas de onda de entrada e saída para o circuito amplificador não inversor 60 40 20 0 20 40 60 υent υsaída Tensão mV 1 2 3 4 5 6 7 t s p FIGURA 68 υsaída υent RL Rent Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 172 ele portanto atua como um buffer entre a tensão υent e alguma carga resis tiva RL conectada na saída do AOP Mencionamos anteriormente que o nome amplificador operacional se originou do uso desses dispositivos para executar operações aritméticas com sinais analógicos isto é sinais reais em tempo real no mundo real não digitalizados Conforme veremos nos dois circuitos a seguir isto inclui a adição e a subtração de sinais de tensão de entrada Obtenha uma expressão para υsaída em termos de υ1 υ2 e υ3 para o circui to AOP da Figura 69 também conhecido como amplificador somador i υsaída R R RL R υ1 υa υb Rf i3 i2 i1 υ2 υ3 Observamos em primeiro lugar que esse circuito é similar ao circuito amplifi cador inversor da Figura 63 Aqui novamente devemos obter uma expressão para υsaída que nesse caso aparece através do resistor de carga RL em termos das entradas υ1 υ2 e υv3 Como nenhuma corrente pode fluir através da entrada inversora sabemos que i i1 i2 i3 Portanto podemos escrever a seguinte equação para o nó υa 0 υa υsaída Rf υa υ1 R υa υ2 R υa υ3 R Esta equação contém υsaída e as tensões de entrada mas infelizmente contém também a tensão nodal υa Para remover esta incógnita de nossa expressão precisamos escrever uma equação adicional que relacione υa com υsaída as tensões de entrada Rf eou R Nesse ponto lembramos que ainda não usamos a lei número 2 do AOP ideal e certamente precisaremos usar ambas as leis ao analisar um circuito AOP Portanto como υa υb 0 podemos escrever a seguinte equação 0 υsaída Rf υ1 R υ2 R υ3 R Rearranjando obtemos a seguinte expressão para υsaída υsaída Rf R υ1 υ2 υ3 6 No caso especial em que υ2 υ3 0 vemos que nosso resultado concorda com a Equação 3 que foi deduzida essencialmente para o mesmo circuito u EXEMPLO 62 u FIGURA 69 Circuito amplificador somador básico com três entradas Seção 62 u O AOP ideal uma introdução cordial 173 Há várias características interessantes no resultado que acabamos de obter Primeiro se selecionarmos o resistor Rf de forma que ele seja igual a R então a saída será a soma negativa dos três sinais de entrada υ1 υ2 e υ3 Além disso podemos selecionar a relação entre Rf e R para multiplicar esta soma por uma constante fixa Assim por exemplo se as três tensões repre sentassem sinais de três diferentes balanças calibradas de forma que 1 V 1 lb poderíamos ajustar Rf R2205 para obter um sinal de tensão que representasse o peso combinado em quilogramas com aproximadamente 1 de precisão devido ao nosso fator de conversão Notamos também que RL não apareceu em nossa expressão final Desde que seu valor não seja muito baixo a operação do circuito não será afetada até o presente momento não consideramos ainda um modelo de AOP sufi cientemente detalhado para prever essa ocorrência Esse resistor representa o equivalente de Thévenin de qualquer circuito que colocarmos na saída do amplificador Se nosso dispositivo de saída for um simples voltímetro então RL representa a resistência equivalente de Thévenin vista dos termi nais do voltímetro 10 MΩ ou mais Por outro lado nosso dispositivo de saída poderia ser um altofalante 8 Ω e nesse caso ouviríamos a soma de três fontes sonoras independentes υ1 υ2 e υ3 poderiam representar micro fones neste caso Uma palavra de advertência é sempre tentador assumir que a corrente i na Figura 69 flui não apenas através de Rf mas também de RL Falso É bem possível que uma corrente também flua através do terminal de saída do AOP e com isso as correntes nos dois resistores não são as mesmas É por essa razão que quase sempre evitamos escrever equações LKC no pino de saída de um AOP o que leva à preferência pela análise nodal em detri mento da análise de malha quando trabalhamos com a maioria dos circuitos envolvendo AOPs Por conveniência resumimos os circuitos com AOP mais comuns na Tabela 1 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 62 Deduza uma expressão para υsaída em termos de υ1 e υ2 no circuito mostra do na Figura 610 também conhecido como amplificador de diferença t FIGURA 610 i υsaída R RL R R υ1 υa υb R i2 i1 υ2 Resposta υsaída υ2 υ1 Dica Use a divisão de tensão para obter υb Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 174 TABELA 61 u Resumo de Circuitos Básicos com AOPs Nome Diagrama esquemático Relação entradasaída Amplificador Inversor Rf R1 i i υent υsaída υsaída Rf R1 υent Amplificador Não Inversor Rf R1 υent υsaída υsaída 1 Rf R1 υent Seguidor de Tensão também conhecido como Amplificador de Ganho Unitário υent υsaída υsaída υent Amplificador Somador i υsaída R R RL R υ1 υa υb Rf i3 i2 i1 υ2 υ3 υsaída Rf R υ1 υ2 υ3 Amplificador de Diferença i υsaída R RL R R υ1 υa υb R i2 i1 υ2 υsaída υ2 υ1 APLICAÇÃO UM INTERCOMUNICADOR USANDO FIBRA ÓPTICA Um sistema intercomunicador ponto a ponto pode ser construído de várias formas dependendo do ambiente de aplicação Sistemas de rádio de baixa potência funcionam muito bem e apresentam boa relação custobenefício mas estão sujeitos a bisbilhoteiros e a interferências de outras fontes de radiofrequência RF O uso de um simples fio para interligar os dois intercomunicadores pode eli minar uma grande parte da interferência de RF além de aumentar a privacidade No entanto fios estão sujeitos a corrosão e curtoscircuitos com a deterioração de seu isolamento plástico e seu peso pode ser um problema em aviões e aplicações similares Figura 611 p FIGURA 611 O ambiente de aplicação geralmente define as restrições de projeto Michael MelfordRiserGetty Images Um projeto alternativo seria converter o sinal elétrico de um microfone em um sinal óptico que poderia então ser transmitido através de uma fibra óptica de pequeno diâmetro 50 μm O sinal óptico é então convertido novamente em sinal elétrico que é amplificado e entre gue a um altofalante O diagrama esquemático de um sistema como esse é ilustrado na Figura 612 seriam necessários dois sistemas para um sistema de comunica ção bidirecional p FIGURA 612 Diagrama esquemático de metade de um simples intercomunicador com fibra óptica Altofalante Fotocélula Fonte de Luz Microfone Amplificador Fibra óptica Amplificador Podemos considerar o projeto dos circuitos de trans missão e recepção separadamente pois os dois circuitos são de fato eletricamente independentes A Figura 613 mostra um circuito gerador de sinais simplificado for mado por um microfone um diodo emissor de luz LED LightEmitting Diode e um AOP na configuração não inversora usado para acionar o LED não estão represen tadas as conexões de alimentação necessárias para o AOP A luz emitida pelo LED é aproximadamente proporcional à corrente que o percorre desde que esta corrente não seja muito pequena ou muito elevada p FIGURA 613 Circuito usado para converter o sinal elétrico do microfone em um sinal óptico para transmissão através de uma fibra LED R1 Rf Microfone Sabemos que o ganho do amplificador é dado por υsaída υent 1 Rf R1 que é independente da resistência do LED Para selecionar os valores de Rf e R1 precisamos conhecer a tensão produ zida pelo microfone e a tensão necessária para alimentar o LED Uma rápida medição indica que a tensão de saída típica de um microfone atinge 40 mV quando alguém fala com a voz normal O fabricante do LED recomenda sua p FIGURA 614 Circuito receptor usado para converter o sinal óptico em sinal de áudio R2 R3 Altofalante Fotocélula operação com aproximadamente 16 V assim projetamos um ganho de 16004 40 Escolhendo arbitrariamente R1 1 kΩ temos Rf 39 kΩ O circuito da Figura 614 é a parte receptora de nosso sistema intercomunicador unidirecional Ele converte o sinal óptico da fibra em sinal elétrico amplificandoo de forma a fazer o altofalante emanar um sinal audível Após acoplar a saída luminosa do LED presente no circuito transmissor à fibra óptica podese medir um sinal de aproximadamente 10 mV na fotocélula O altofalante é especificado para dissipar no máximo 100 mW e tem uma resistência equivalente de 8 Ω Isso corresponde a uma tensão máxima de 894 mV e assim precisamos selecionar R2 e R3 para obter um ganho de 89410 894 Com a seleção arbitrária de R2 10 kΩ encontramos o valor de 884 kΩ que completa nosso projeto Esse circuito funcionará na prática embora as carac terísticas não lineares do LED resultem em uma notável distorção no sinal de áudio Melhores projetos podem ser encontrados em textos mais avançados 63 ESTÁGIOS EM CASCATA Embora o AOP seja um dispositivo extremamente versátil há muitas apli cações nas quais um único AOP não será suficiente Em situações assim é geralmente possível atender aos requisitos da aplicação realizando a cone xão de vários AOPs em cascata Um exemplo disso é mostrado na Figura 615 que consiste do circuito amplificador somador da Figura 69 com ape nas duas entradas e saída alimentando um simples amplificador inversor O resultado é um circuito AOP de dois estágios p FIGURA 615 Um circuito AOP de dois estágios formado por um amplificador somador em cascata com um circuito amplificador inversor i υsaída R R R1 R2 υ1 υa υb υx υc Rf i2 i1 υ2 Já analisamos cada um desses circuitos AOP separadamente Com base em nossa experiência anterior se os dois circuitos fossem desconectados esperaríamos encontrar vx Rf R v1 v2 7 e υsaída R2 R1 υx 8 De fato como os dois circuitos estão conectados em um único ponto e a tensão υx não é influenciada pela conexão podemos combinar as Equações 7 e 8 para obter υsaída R2 R1 Rf R υ1 υ2 9 Seção 63 u Estágios em cascata 177 que descreve as características de entrada e saída do circuito mostrado na Figura 615 No entanto podemos nem sempre ser capazes de reduzir um circuito como esse a estágios que nos sejam familiares Assim vale a pena ver como o circuito de dois estágios da Figura 615 pode ser analisado como um todo Ao analisar circuitos em cascata às vezes é melhor começar do último estágio e caminhar para trás em direção ao estágio de entrada Tendo como referência a lei número 1 do AOP ideal a mesma corrente flui através de R1 e R2 Escrevendo a equação nodal apropriada para o nó υc obtemos 0 υc υx R1 υc υsaída R2 10 Aplicando a lei número 2 do AOP ideal podemos fazer υc 0 na Equa ção 10 resultando em 0 υx R1 υsaída R2 11 Como nosso objetivo é uma expressão para υsaída em termos de υ1 e υ2 analisamos o primeiro AOP de forma a obter uma expressão para υx em termos das duas grandezas de entrada Aplicando a lei número 1 do AOP ideal na entrada inversora do pri meiro AOP 0 υa υx Rf υa υ1 R υa υ2 R 12 A lei número 2 do AOP ideal nos permite substituir υa na Equação 12 por zero já que υa υb 0 Assim a Equação 12 se torna 0 υx Rf υ1 R υ2 R 13 Agora temos uma equação para υsaída em termos de υx Equação 11 e uma equação para υx em termos de υ1 e υ2 Equação 13 Estas equa ções são idênticas às Equações 7 e 8 respectivamente o que significa que a ligação em cascata dos dois circuitos como na Figura 615 não afeta a relação entradasaída de nenhum dos estágios Combinando as Equa ções 11 e 13 concluímos que a relação entradasaída para o circuito em cascata é υsaída R2 R1 Rf R υ1 υ2 14 que é idêntica à Equação 9 Portanto o circuito em cascata atua como um amplificador somador porém sem uma inversão de fase entre a entrada e a saída Escolhendo cuidadosamente os valores dos resistores podemos amplificar ou atenuar a soma das duas tensões de entrada Se selecionarmos R2 R1 e Rf R podemos também obter um circuito amplificador onde υsaída υ1 υ2 se desejarmos Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 178 Um sistema de combustível usando múltiplos tanques contendo gás pro pelente é instalado em um pequeno veículo na órbita lunar A quantidade de combustível em qualquer tanque é monitorada medindose a pressão no tanque em kPa Os detalhes técnicos da capacidade dos tanques do sensor de pressão e da faixa de variação de tensão são dados na Tabela 62 Projete um circuito que forneça um sinal de tensão CC positivo pro porcional ao combustível total restante de forma que 1 V 100 TABELA 62 u Dados Técnicos para o Sistema de Monitoração da Pressão nos Tanques Capacidade do Tanque 1 68950 kPa Capacidade do Tanque 2 68950 kPa Capacidade do Tanque 3 13790 kPa Intervalo de Pressão do Sensor 0 a 86187 kPa Tensão de Saída do Sensor 0 a 5 Vcc Vemos pela Tabela 62 que o sistema possui três tanques de gás separados sendo necessários três sensores independentes Cada sensor é especificado para detectar até 86187 kPa que corresponde a uma saída de 5 V Então quando o tanque 1 estiver cheio seu sensor fornecerá um sinal de tensão igual a 5 6895086187 4 V o mesmo vale para o sensor que monitora o tanque 2 Porém o sensor ligado ao tanque 3 fornecerá uma tensão máxima de 5 1379086187 800 mV Uma solução possível é o circuito mostrado na Figura 616a que usa um estágio amplificador somador com υ1 υ2 e υ3 representando os três sinais dos sensores seguido por um amplificador inversor para ajustar a polaridade e o valor da tensão de saída Como não nos foi fornecida a resistência de saída dos sensores empregamos um buffer em cada um deles como mostra a Figura 616b isto faz que nenhuma corrente flua dos sensores para o somador no caso ideal υsaída R2 R1 R3 R5 R6 υ1 υx R4 υ2 υ3 a v1 Sensor 1 b u EXEMPLO 63 u FIGURA 616 a Circuito proposto para fornecer uma leitura do total de combustível restante b Projeto do buffer para evitar erros associados à resistência interna do sensor e a limitações em sua capacidade de fornecer corrente Um buffer como esses é usado para cada sensor fornecendo as tensões de entrada v1 v2 e v3 para o estágio amplificador somador Corbis 179 Seção 64 u Circuitos para fontes de tensão e corrente Para manter o projeto o mais simples possível começamos atribuindo o valor de 1 kΩ a R1 R2 R3 e R4 qualquer valor servirá desde que os quatro resisto res sejam iguais Logo a saída do estágio somador é υx υ1 υ2 υ3 O estágio final deve inverter esta tensão e ajustála de forma que a tensão de saída seja 1 V quando os três tanques estiverem cheios A condição de tanques cheios resulta em υx 4 4 08 88 V Assim o estágio final precisa de uma relação de tensão de R6R5 188 Escolhendo arbitra riamente R6 1 kΩ encontramos o valor de 88 kΩ para R5 o que completa nosso projeto u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 63 Uma ponte histórica está apresentando sinais de deterioração Até que os trabalhos de recuperação possam ser realizados decidese que somente carros pesando menos de 1600 kg poderão cruzar a ponte Para monito rar a travessia da ponte projetase um sistema de balanças com quatro células de carga que serão posicionadas sob as rodas dos veículos Há quatro sinais de tensão independentes cada um gerado por uma célula com 1 mV 1 kg Projete um circuito para fornecer um sinal de tensão positivo a ser lido por um multímetro digital Este sinal deve representar o peso total de um veículo de forma que 1 mV 1 kg Você pode assu mir que não são necessários circuitos buffer no projeto p FIGURA 617 Uma possível solução para o Exercício de Fixação 63 todos os resistores são de 10 kΩ embora qualquer valor sirva desde que todos sejam iguais As tensões de entrada v1 v2 v3 e v4 representam as tensões de saída das quatro células de carga e vsaída é o sinal a ser lido pelo multímetro digital Todas as cinco tensões têm como referência a terra e o terminal comum do multímetro também deverá ser aterrado υsaída υ1 υ2 υ3 υ4 Resposta Ver Figura 617 64 CIRCUITOS PARA FONTES DE TENSÃO E CORRENTE Neste capítulo e nos anteriores temos feito uso frequente de fontes ideais de corrente e tensão supondo que estas fontes forneçam o mesmo valor de corrente ou tensão independentemente de como estejam conectadas ao circuito É claro que nossa suposição de independência tem seus limites conforme mencionamos na Seção 52 quando discutimos as fontes reais Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 180 que incluíam uma resistência interna ou inerente O efeito desta resistên cia era uma redução na tensão de saída de uma fonte de tensão em função da necessidade de uma maior corrente de carga ou uma diminuição na corrente de saída de uma fonte de corrente em função da necessidade de uma maior tensão na carga Conforme discutiremos nesta seção é possível construir circuitos com características mais confiáveis usando AOPs Uma Fonte de Tensão Confiável Um dos meios mais comuns de se obter uma tensão de referência estável e consistente é usar um dispositivo não linear conhecido como diodo Zener Seu símbolo é um triângulo com uma linha semelhante a um Z em sua ponta conforme mostrado no circuito da Figura 618a para um 1N750 Diodos são caracterizados por uma forte relação assimetria de correntetensão Para pequenas tensões eles basicamente não conduzem corrente ou sofrem um aumento exponencial de corrente dependendo da polaridade da tensão Desta forma eles distinguemse do resistor sim ples onde a magnitude da corrente é a mesma para qualquer polaridade de tensão e portanto a relação entre a tensão e corrente no resistor é simétrica u FIGURA 618 a Diagrama esquemático do PSpice para um circuito de tensão de referência simples baseado no diodo Zener 1N750 b Simulação do circuito mostrando a tensão Vref do diodo em função da tensão V1 aplicada c Simulação da corrente no diodo mostrando que seu valor máximo especificado é excedido quando V1 ultrapassa 123 V observe que a execução deste cálculo supondo um diodo Zener ideal resulta em 122 V a R1 100 0 0 D1 D1N750 V1 DC 0 Vref b c Seção 64 u Circuitos para fontes de tensão e corrente 181 Consequentemente os terminais de um diodo têm nomes exclusivos e não podem ser trocados anodo a parte reta do triângulo e catodo o vértice do triângulo O diodo Zener é um tipo especial de diodo projetado para ser usado com uma tensão positiva no catodo em relação ao anodo quando conectado dessa maneira dizemos que o diodo está reversamente polarizado Em bai xas tensões o diodo atua como um resistor sendo observado um pequeno aumento linear na corrente à medida que a tensão aumenta No entanto uma vez atingida certa tensão VBR chamada de tensão de ruptura reversa ou tensão Zener do diodo a tensão não apresenta nenhum aumento adi cional significativo embora essencialmente qualquer corrente possa fluir até que se atinja a corrente máxima do diodo 75 mA para o 1N750 cuja tensão Zener é 47 V Vamos considerar o resultado de simulação apresentado na Figura 618b que mostra a tensão Vref nos terminais do diodo à medida que a ten são da fonte V1 varia de 0 a 20 V Se a tensão V1 permanece acima de 5 V a tensão no diodo mantémse essencialmente constante Assim poderíamos substituir V1 por uma bateria de 9 V e não ficar preocupados com altera ções na tensão de referência à medida que a bateria se descarregasse A finalidade de R1 nesse circuito é simplesmente fornecer a queda de tensão necessária entre a bateria e o diodo seu valor deve ser escolhido de forma a garantir que o diodo esteja operando em sua tensão Zener mas abaixo da corrente máxima especificada Por exemplo a Figura 618c mostra que a corrente de 75 mA é excedida em nosso circuito se a tensão V1 da fonte for muito maior do que 12 V Assim o resistor R1 deve ser dimensionado conforme a tensão disponível na fonte como veremos no Exemplo 64 Projete um circuito baseado no diodo Zener 1N750 que funcione com uma bateria de 9 V e forneça uma tensão de referência de 47 V O diodo Zener 1N750 tem uma corrente máxima de 75 mA e uma tensão Zener de 47 V A tensão de uma bateria de 9 V pode variar ligeiramente dependendo do estado de carga mas vamos desprezar este efeito neste projeto Um circuito simples como aquele mostrado na Figura 619a é adequado à nossa finalidade o único problema é determinar um valor adequado para o resistor Rref Se uma queda de tensão de 47 V ocorre nos terminais do diodo então 9 47 43 V deve ser a queda de tensão nos terminais de Rref Logo Rref 9 Vref Iref 43 Iref Determinamos Rref especificando um valor de corrente Sabemos que Iref não deve exceder 75 mA neste diodo e que correntes maiores farão a bateria se descarregar mais rapidamente Entretanto como visto na Figura 619b não podemos simplesmente escolher Iref de forma arbitrária correntes muito bai xas não permitem que o diodo opere na região de ruptura Zener u EXEMPLO 64 Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 182 Na falta de uma equação detalhada para a relação correntetensão do diodo que é claramente não linear usamos como regra prática em nosso projeto um valor de 50 da corrente máxima Assim Rref 43 00375 115 Um ajuste detalhado pode ser obtido executando uma simulação do cir cuito final no PSpice embora possamos ver pela Figura 619c que nossa primeira tentativa está razoavelmente próxima do nosso valor desejado dentro de 1 O circuito básico de tensão de referência com diodo Zener da Figu ra 618a funciona muito bem em muitas situações mas de certa forma estamos limitados quanto à escolha dos valores de tensão com os quais podemos trabalhar dependendo dos diodos Zener disponíveis Além disso descobrimos com frequência que o circuito ilustrado não é o mais indicado para aplicações que requeiram mais do que alguns miliampères de corrente Em tais situações podemos usar o circuito de referência com diodo Zener em conjunto com um estágio amplificador simples como mostra a Figura 620 O resultado é uma tensão estável que pode ser controlada através do ajuste de R1 ou Rf sem que seja necessária a troca do diodo υsaída Vbat R1 Rref Rf t FIGURA 620 Uma fonte de tensão com AOP baseada em uma tensão de referência Zener u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 64 Projete um circuito para fornecer uma tensão de referência de 6 V usan do um diodo Zener 1N750 e um amplificador não inversor Resposta Usando a topologia mostrada na Figura 620 escolha Vbat 9V Rref 115 Ω R1 1 kΩ e Rf 268 Ω Uma Fonte de Corrente Confiável Considere o circuito da Figura 621a onde Vref é fornecida por uma fonte de tensão regulada como aquela mostrada na Figura 619a O leitor pode reconhecer nesse circuito um simples amplificador inversor desde que façamos uso externo da tensão no pino de saída do AOP Podemos também usar esse circuito como uma fonte de corrente onde RL representa uma carga resistiva b a 1N750 Vref Iref 9 V Rref 0V c DC 9 D1 D1N750 3710mA 3710mA 4733V 3710mA R1 115 V1 0 p FIGURA 619 a Circuito de tensão de referência baseado no diodo Zener 1N750 b Relação IV do diodo c Simulação do projeto final no PSpice Seção 64 u Circuitos para fontes de tensão e corrente 183 A tensão de entrada Vref aparece no resistor Rref porque a entrada não inversora do AOP está aterrada Sem corrente fluindo para a entrada inver sora a corrente que passa pelo resistor de carga RL é simplesmente Is Vref Rref Em outras palavras a corrente fornecida a RL não depende de sua resistência o atributo primário de uma fonte de corrente ideal Vale notar também que não estamos usando a tensão de saída do AOP como uma gran deza de interesse Em vez disso podemos enxergar a resistência de carga RL como o equivalente de Norton ou de Thévenin de algum circuito de carga passivo desconhecido alimentado pelo AOP Redesenhando ligeira mente o circuito como mostra a Figura 621b vemos que ele tem muito em comum com o circuito mais familiar da Figura 621c Em outras palavras podemos usar este circuito como uma fonte de corrente independente com características essencialmente ideais desde que se respeite a especificação de corrente máxima do AOP selecionado Projete uma fonte de corrente que forneça 1 mA a uma carga resistiva qualquer Baseando nosso projeto nos circuitos da Figura 620 e Figura 621a sabemos que a corrente na carga RL será dada por Is Vref Rref onde devem ser selecionados valores para Vref e Rref um circuito para for necer Vref também deve ser projetado Se usarmos o diodo Zener 1N750 em série com uma bateria de 9 V e um resistor de 100 Ω sabemos da Figura 618b que haverá uma tensão de 49 V nos terminais do diodo u EXEMPLO 65 t FIGURA 621 a Uma fonte de corrente com AOP controlada pela tensão de referência Vref b Circuito redesenhado para destacar a carga c Modelo do circuito O resistor RL representa o equivalente de Norton de um circuito de carga passivo desconhecido RL IS RL SAÍDA IS Vref Rref RL SAÍDA IS Vref Rref a b c Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 184 Portanto Vref 49 V fixando um valor de 49103 49 kΩ para Rref O circuito completo é mostrado na Figura 622 Note que se em vez disso tivéssemos assumido uma tensão de 47 V no diodo o erro na corrente projetada seria muito pequeno menor do que aquele embu tido na tolerância de 5 a 10 dos resistores A única questão pendente é se 1 mA pode de fato ser entregue a qualquer valor de RL No caso RL 0 a tensão de saída do AOP será igual a 49 V o que não é inaceitável À medida que o resistor de carga cresce no entanto a tensão de saída do AOP aumenta Eventualmente deveremos atingir algum tipo de limite o que é discutido na Seção 65 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 65 Projete uma fonte de corrente capaz de fornecer 500 µA a uma carga resistiva t FIGURA 623 Uma possível solução para o Exercício de Fixação 65 9 V 98 kΩ 100 Ω RL 1N750 Resposta Veja uma possível solução na Figura 623 65 CONSIDERAÇÕES PRÁTICAS Um Modelo de AOP Mais Detalhado Reduzido a seus aspectos essenciais o AOP pode ser visto como uma fonte de tensão dependente controlada por tensão A fonte de tensão forne ce a saída do AOP e a tensão da qual ela depende é aplicada nos terminais de entrada A Figura 624 mostra o diagrama esquemático de um modelo razoável para um AOP real ela inclui uma fonte de tensão dependente com um ganho de tensão A uma resistência de saída Ro e uma resistência de entrada Ri A Tabela 63 fornece valores típicos para estes parâmetros para vários tipos de AOPs disponíveis comercialmente O parâmetro A é chamado de ganho de tensão em malha aberta do AOP e varia geralmente entre 105 e 106 Notamos que todos os AOPs lista dos na Tabela 63 possuem ganhos de tensão em malha aberta extremamen te altos em comparação com o ganho de tensão de 11 que caracterizava o circuito amplificador não inversor do Exemplo 61 É importante lembrar a diferença entre o ganho de tensão em malha aberta que é próprio do AOP e o ganho de tensão em malha fechada que é uma característica do circuito do qual o AOP faz parte A malha neste caso referese a um caminho p FIGURA 622 Um projeto possível para a fonte de corrente desejada Note a mudança na direção da corrente em relação à Figura 621b 9 V 49 kΩ 100 Ω RL 1N750 IS p FIGURA 624 Um modelo mais detalhado para o AOP Ro Ri Avd υd isaída ient υsaída Seção 65 u Considerações práticas 185 externo entre o pino de saída e o pino da entrada inversora ele pode ser um fio um resistor ou qualquer outro tipo de elemento dependendo da aplicação TABELA 63 u Valores Típicos de Parâmetros para Vários Tipos de AOPs Tipo µA741 LM324 LF411 AD549K OPA690 Descrição Uso geral Baixa potência Baixo offset entrada JFET de baixa flutuação Corrente de polarização de entrada ultrabaixa Amplificador de vídeo em banda larga Ganho em malha aberta A 2 105 VV 105 VV 2 105 VV 106 VV 2800 VV Resistência de entrada 2 MΩ 1 TΩ 10 TΩ 190 kΩ Resistência de saída 75 Ω 1 Ω 15 Ω Corrente de polarização de entrada 80 nA 45 nA 50 pA 75 fA 3 µA Tensão de offset de entrada 10 mV 20 mV 08 mV 0150 mV 10 mV CMRR 90 dB 85 dB 100 dB 100 dB 65 dB Taxa de Subida 05 Vµs 15 Vµs 3 Vµs 1800 Vµs Modelo do PSpice Não fornecido pelo fabricante Indica que um modelo PSpice está incluído no Orcad Capture CIS versão 100 O µA741 é um AOP muito comum produzido originalmente pela Fairchild Corporation em 1968 Ele é caracterizado por um ganho de tensão em malha aberta da ordem de 200000 uma resistência de entra da de 2 MΩ e uma resistência de saída de 75 Ω De forma a avaliar quão bem o modelo do AOP ideal se aproxima do comportamento deste dis positivo em particular vamos revisitar o circuito amplificador inversor da Figura 63 Usando os valores apropriados para o AOP µA741 no modelo da Figura 624 analise novamente o circuito amplificador inversor da Figura 63 Começamos substituindo o símbolo do AOP ideal da Figura 63 pelo modelo detalhado resultando no circuito da Figura 625 Note que não podemos mais usar as leis do AOP ideal pois não estamos usando o modelo do AOP ideal Então escrevemos duas equações nodais 0 υd υent R1 υd υsaída Rf υd Ri 0 υsaídaυd Rf υsaídaAυd Ro u EXEMPLO 66 Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 186 p FIGURA 625 Circuito amplificador inversor desenhado usando o modelo detalhado do AOP Ro R1 Ri Rf Aυd υd υent vsaída Com um pouco de álgebra simples mas demorada eliminamos υd e combinamos as duas equações para obter a seguinte expressão para υsaída em termos de υent υsaída Ro Rf Ro ARf 1 R1 1 Rf 1 Ri 1 Rf 1 υent R1 15 Substituindo υent 5 sen 3t mV R1 47 kΩ Rf 47 kΩ Ro 75 Ω Ri 2 MΩ e A 2 105 obtemos υsaída 9999448υent 4999724 sen 3t mV Após comparar este resultado com a expressão encontrada assumindo um AOP ideal υsaída 10 υent 50 sen 3t mV vemos que o AOP ideal é de fato um modelo razoavelmente preciso Além disso assumir o AOP como um elemento ideal leva a uma redução significativa na álgebra necessária para executar a análise do circuito Note que se fizermos A Ro 0 e Ri a Equação 15 se reduz a υsaída Rf R1 υent que é o que deduzimos anteriormente para o amplificador inversor quando assumimos um AOP ideal u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 66 Assumindo um ganho em malha aberta A finito uma resistência de entrada finita Ri e uma resistência de saída nula Ro deduza uma expressão para υsaída em termos de υent no circuito da Figura 63 Resposta υsaídaυent ARf Ri1 A R1Ri R1Rf RfRi Dedução das Leis do AOP Ideal Vimos que o AOP ideal pode ser um modelo razoavelmente preciso para representar o comportamento de dispositivos reais No entanto com o uso de nosso modelo mais detalhado que inclui um ganho finito em malha aberta uma resistência de entrada finita e uma resistência de saída diferente de zero é possível deduzir de forma imediata as duas leis do AOP ideal Seção 65 u Considerações práticas 187 Referindonos à Figura 624 vemos que a tensão de saída em circuito aberto de um AOP real pode ser expressa como υsaída Aυd 16 Rearranjando esta equação vemos que υd às vezes chamada de tensão diferencial de entrada pode ser escrita como υd υsaída A 17 Como poderíamos esperar há limites práticos para a tensão de saída υsaída que pode ser obtida a partir de um AOP real Conforme descrito mais adiante devemos conectar nosso AOP a fontes de tensão externas para alimentar os circuitos internos Estas fontes de tensão representam o valor máximo de υsaída e estão no intervalo de 5 a 24 V Se dividirmos 24 V pelo ganho em malha aberta do µA741 2 105 obtemos υd 120 µV Embora não seja o mesmo que zero volts um valor pequeno como este é praticamente zero se comparado com 24 V Um AOP ideal teria um ganho em malha aberta infinito resultando em υd 0 independentemente de υsaída isto leva à lei número 2 do AOP ideal A lei número 1 do AOP ideal diz que nenhuma corrente flui nos ter minais de entrada Referindonos à Figura 624 a corrente de entrada de um AOP é simplesmente ient υd Ri Acabamos de determinar que υd é uma tensão muito pequena Como podemos ver pela Tabela 63 a resistência de entrada de um AOP típico é muito alta variando de megaohms a até teraohms Usando o valor υd 120 µV obtido acima e Ri 2 MΩ calculamos uma corrente de entrada de 60 pA Esta é uma corrente extremamente pequena e precisaríamos de um amperímetro muito especial conhecido como picoamperímetro para medi la Vemos pela Tabela 63 que a corrente de entrada típica chamada mais precisamente de corrente de polarização de entrada de um µA741 é 80 nA um valor três ordens de grandeza maior do que nossa estimativa Esta é uma restrição do modelo de AOP que estamos usando que não se presta a fornecer valores precisos para a corrente de polarização de entrada No entanto em comparação com as demais correntes que fluem em um típico circuito com AOPs qualquer um desses valores é essencialmente zero AOPs mais modernos como o AD549 apresentam correntes de polariza ção de entrada ainda menores Portanto concluímos que a lei número 1 do AOP ideal é uma hipótese bastante razoável Pela nossa discussão está claro que um AOP ideal tem um ganho de tensão em malha aberta infinito e uma resistência de entrada infinita No entanto ainda não consideramos a resistência de saída de um AOP e seus possíveis efeitos em nosso circuito Olhando a Figura 624 vemos que υsaída Aυd Roisaída onde isaída flui no pino de saída do AOP Assim um valor de Ro diferente de zero atua no sentido de reduzir a tensão de saída um efeito que se torna mais Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 188 pronunciado à medida que a corrente de saída aumenta Por essa razão um AOP ideal tem uma resistência de saída de zero ohms O µA741 tem uma resistência de saída máxima de 75 Ω Dispositivos mais modernos como o AD549 apresentam resistência de saída ainda mais baixa Rejeição de Modo Comum O AOP é às vezes chamado de amplificador de diferença porque a saída é proporcional à diferença de tensão entre os dois terminais de entrada Isto significa que se aplicarmos tensões idênticas a ambos os terminais de entra da esperaremos que a tensão de saída seja nula Esta propriedade do AOP é uma de suas qualidades mais interessantes e é conhecida como rejeição de modo comum O circuito mostrado na Figura 626 está ligado de forma a fornecer uma tensão de saída υsaída υ2 υ1 Se υ1 2 3 sen 3t volts e υ2 2 volts esperamos que a saída seja 3 sen 3t volts a componente de 2 V comum a υ1 e υ2 não seria amplificada nem apareceria na saída Na realidade em AOPs reais encontramos um pequeno sinal de saída em resposta a sinais de modo comum Para comparar um tipo de AOP com outro é geralmente útil expressar a habilidade de um AOP rejeitar sinais de modo comum por meio de um parâmetro conhecido como taxa de rejeição de modo comum ou CMRR commom mode rejection ratio Definindo υoCM como a saída obtida quando ambas as entradas são iguais υ1 υ2 υCM podemos determinar ACM o ganho em modo comum do AOP ACM υoCM υCM Definimos então o CMRR em termos da razão entre o ganho em modo diferencial A e o ganho em modo comum ACM ou CMRR A ACM 18 embora esta razão seja expressa frequentemente em decibéis dB uma escala logarítmica CMRRdB 20 log10 A ACM dB 19 A Tabela 63 mostra valores típicos para vários AOPs diferentes um valor de 100 dB corresponde a uma relação absoluta de 105 de A para ACM Realimentação Negativa Já vimos que o ganho em malha aberta de um AOP é muito grande idealmente infinito No entanto em situações práticas seu valor exato pode variar em relação ao valor especificado pelo fabricante como valor típico A temperatura por exemplo pode ter muitos efeitos significativos p FIGURA 626 AOP conectado como um amplificador de diferença υsaída R R R υ1 υa υb R υ2 Seção 65 u Considerações práticas 189 no desempenho de um AOP de forma que seu comportamento sob uma temperatura de 20C pode ser muito diferente daquele observado em um dia quente e ensolarado Além disso também há pequenas variações entre dispositivos fabricados em momentos diferentes Assim se projetamos um circuito no qual a tensão de saída é o ganho em malha aberta multiplicado pela tensão em um dos terminais de entrada fica difícil prever a tensão de saída com um nível de precisão razoável Uma solução para tais problemas em potencial é o uso da técnica da rea limentação negativa que é o processo de subtrair da entrada uma pequena parcela do sinal de saída Se algum evento muda as características do ampli ficador de forma que a saída tende a aumentar o sinal de entrada é diminuído ao mesmo tempo Realimentação negativa em excesso torna o sinal de saída inútil devido à sua baixa amplificação mas uma pequena realimentação negativa proporciona estabilidade Um exemplo de realimentação negativa é a sensação desagradável que sentimos quando nossa mão se aproxima de uma chama Quanto mais nos aproximamos da chama maior é o sinal nega tivo enviado por nossa mão No entanto se exagerarmos na realimentação negativa podemos abominar o calor e ao final morrer congelados Realimen tação positiva é o processo em que uma pequena fração do sinal de saída é acrescentada ao sinal de entrada Um exemplo comum disso ocorre quando um microfone é direcionado para um altofalante um som muito fraco é rapidamente amplificado várias vezes até que a caixa comece a apitar A realimentação positiva geralmente leva o sistema a uma condição instável Todos os circuitos apresentados neste capítulo incorporam realimen tação negativa através da presença de um resistor entre o pino de saída e a entrada inversora O circuito fechado resultante reduz a dependência existente entre a tensão de saída e o valor real do ganho em malha aberta conforme visto no Exemplo 66 Isto dispensa a necessidade de medir o ganho em malha aberta exato de cada AOP que utilizarmos pois pequenas variações em A não afetarão significativamente a operação do circuito A realimentação negativa também proporciona maior estabilidade em situa ções nas quais A é sensível ao ambiente que envolve o AOP Por exemplo se A aumenta subitamente em resposta a uma mudança na temperatura ambiente uma maior tensão de realimentação é adicionada à entrada inver sora Isso promove uma redução na tensão diferencial de entrada υd e com isso a mudança na tensão de saída Aυd é menor Devemos notar que o ganho em malha fechada do circuito é sempre menor do que o ganho em malha aberta do dispositivo este é o preço que pagamos por estabilidade e por uma redução na sensibilidade à variação de parâmetros Saturação Até aqui estivemos tratando o AOP como um dispositivo puramente linear assumindo que suas características são independentes da maneira como ele é conectado a um circuito Na realidade é necessário fornecer potên cia a um AOP para fazer funcionar seus circuitos internos como mostra a Figura 627 Uma tensão positiva geralmente da ordem de 5 a 24 V CC p FIGURA 627 AOP com tensões de alimentação positiva e negativa Duas fontes de 18 V são usadas como exemplo observe a polaridade de cada uma Ajuste de offset V V Ajuste de offset 18 V 18 V Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 190 é conectada ao terminal V e uma tensão negativa de mesmo valor é conectada ao terminal V Há também muitas aplicações nas quais se pode usar apenas uma tensão de alimentação e aquelas nas quais os valores das duas tensões de alimentação podem ser diferentes O fabricante do AOP geralmente especifica uma tensão de alimentação máxima acima da qual ocorrerão danos aos transistores internos do dispositivo As tensões de alimentação são uma escolha crítica quando se projeta um circuito AOP porque elas representam a máxima tensão de saída possível para o dispositivo2 Por exemplo considere o circuito mostrado na Figura 626 agora conectado como um amplificador não inversor com ganho 10 Como mostra a simulação realizada no PSpice ilustrada na Figura 628 observamos de fato um comportamento linear no AOP mas somente para tensões de entrada no intervalo de 171 V Fora deste intervalo a tensão de saída deixa de ser proporcional à entrada alcançando um valor de pico de 176 V Este importante efeito não linear é conhecido como saturação e se refere ao fato de que um aumento adicional na tensão de entrada não resulta em qualquer mudança na tensão de saída Isto ocorre porque o valor de saída de um AOP real não pode superar a tensão de alimentação Por exemplo se alimentarmos nosso AOP com uma fonte de 9 V e outra de 5 V então a tensão de saída estará limitada ao intervalo de 5 a 9 V A saída do AOP é uma resposta linear limitada pelas regiões de saturação positiva e negati va Como regra geral procuramos projetar nossos circuitos com AOPs de maneira a não entrar acidentalmente na região de saturação Isso requer uma escolha cuidadosa da tensão de alimentação com base no ganho em malha aberta e na máxima tensão de entrada esperada p FIGURA 628 Simulação das características entradasaída de um µA741 conectado como amplificador não inversor com ganho 10 alimentado por fontes de 18 V Região de Saturação Positiva Região de Saturação Negativa Região Linear 2 Na prática constatamos que a máxima tensão de saída é ligeiramente menor do que a tensão de alimentação e esta diferença é aproximadamente 1 V Seção 65 u Considerações práticas 191 Tensão de Offset de Entrada Conforme vamos descobrindo há muitas considerações práticas que deve mos ter em mente quando trabalhamos com AOPs Um desvio particular mente importante da situação ideal que vale a pena mencionar é a tendência dos AOPs reais a apresentar uma saída diferente de zero mesmo quando os dois terminais de entrada estão em curtocircuito O valor da saída sob essas condições é conhecido como tensão de offset e a tensão de entrada necessária para reduzir a saída a zero é chamada de tensão de offset de entrada Tendo como referência a Tabela 63 vemos que os valores típicos da tensão de offset de entrada são da ordem de alguns milivolts ou menos A maioria dos AOPs possui dois pinos marcados com ajuste de offset offset null ou balanceamento balance Estes terminais podem ser usa dos para ajustar a tensão de saída através da conexão de um potenciômetro O potenciômetro é um resistor variável comumente usado em aplicações como o controle de volume em rádios Tal dispositivo vem com um botão que pode ser girado para selecionar o valor real da resistência possuindo três terminais Medida entre os dois terminais externos a resistência obtida será fixa e independente da posição do botão Usandose o terminal cen tral e um dos terminais das pontas criase um resistor cujo valor depende da posição do botão A Figura 629 mostra um circuito típico usado para ajustar a tensão de saída de um AOP fabricantes podem sugerir circuitos alternativos para dispositivos em particular Taxa de Subida Slew Rate Até agora assumimos tacitamente que o AOP fosse capaz de responder igualmente bem a sinais em qualquer frequência embora talvez não nos surpreendamos ao descobrir que na prática há algum tipo de limitação nesse sentido Como sabemos que circuitos com AOPs funcionam bem em CC que é essencialmente a frequência zero devemos considerar seu desempe nho à medida que a frequência do sinal aumenta Uma medida do desempe nho em frequência de um AOP é sua taxa de subida slew rate que indica a taxa na qual a tensão de saída pode responder a mudanças na entrada ela é frequentemente expressa em Vµs A Tabela 63 traz a especificação típica da taxa de subida para vários dispositivos comerciais mostrando valores da ordem de alguns volts por microssegundo Uma exceção notável é o OPA690 que é projetado como um AOP para aplicações em vídeo que requerem operação em várias centenas de MHz Como podemos ver uma respeitável taxa de subida de 1800 Vµs não é irreal para este dispositivo embora os demais parâmetros particularmente a corrente de polarização de entrada e o CMRR sejam prejudicados em decorrência disso As simulações mostradas na Figura 630 realizadas no PSpice ilustram a degradação no desempenho de um AOP devido às limitações de taxa de subida O circuito simulado é um LF411 configurado como amplificador não inversor com ganho de 2 alimentado por fontes de 15 V A forma de onda da entrada é mostrada em verde e tem uma tensão de pico de 1 V p FIGURA 629 Circuito externo sugerido para obter uma tensão de saída zero As fontes de alimentação de 10 V são mostradas como exemplo as verdadeiras tensões de alimentação no circuito final seriam escolhidas na prática Ajuste de offset V V Ajuste de offset Saída 10 V 10 V Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 192 a tensão de saída é mostrada em vermelho A simulação da Figura 630a corresponde a tempos de subida e descida de 1 µs Embora este seja um intervalo de tempo muito curto para os seres humanos o LF411 o trata com facilidade À medida que os tempos de subida e descida diminuem 10 vezes atingindo 100 ns Figura 630b vemos que o LF411 começa a ter uma pequena dificuldade em acompanhar a entrada No caso de tempos de subida e descida de 50 ns Figura 630c observamos não apenas um significativo atraso entre a entrada e a saída mas também uma perceptí vel distorção o que não é uma boa característica para um amplificador Este comportamento é consistente com a taxa de subida típica de 15 Vµs especificada na Tabela 63 que indica que a saída precisaria de aproxima damente 130 ns para mudar de 0 a 2 V ou de 2 V para 0 Encapsulamento AOPs modernos estão disponíveis em vários tipos diferentes de encapsula mento Alguns tipos são mais adequados à operação em altas temperaturas e há muitas maneiras de se montar CIs em placas de circuito impresso A Figura 631 mostra vários estilos diferentes do LM741 fabricado pela p FIGURA 630 Desempenho simulado de um AOP LF411 como amplificador não inversor com ganho de 2 fontes de alimentação de 15 V e uma forma de onda de entrada pulsada a Tempos de subida e descida 1 µs largura de pulso 5 µs b Tempos de subida e descida 100 ns largura de pulso 500 ns c Tempos de subida e descida 50 ns largura de pulso 250 ns a b c Seção 65 u Considerações práticas 193 National Semiconductor A legenda NC junto a um pino significa no connection sem conexão Os estilos de encapsulamento mostrados na figura são configuraçõespadrão e são usados em muitos circuitos integra dos ocasionalmente há mais pinos disponíveis em um encapsulamento do que o necessário p FIGURA 631 Vários estilos de encapsulamento para o AOP LM741 a encapsulamento metálico b encapsulamento dual em linha c encapsulamento cerâmico achatado Copyright 2011 National Semiconductor Corporation wwwnationalcom Todos os direitos reservados Uso com permissão c a b Encapsulamento Metálico AJUSTE DE OFFSET AJUSTE DE OFFSET AJUSTE DE OFFSET AJUSTE DE OFFSET ENTRADA INVERSORA ENTRADA INVERSORA SAÍDA SAÍDA ENTRADA NÃO INVERSORA ENTRADA NÃO INVERSORA Encapsulamento Dual em Linha Encapsulamento cerâmico Achatado ENTRADA OFFSET NULL OFFSET NULL ENTRADA SAÍDA Conforme vimos a pouco o PSpice pode ser extremamente útil na previsão da saída de um circuito AOP especialmente no caso de entradas variáveis no tempo Veremos porém que nosso modelo ideal de AOP concorda razoavelmente bem com as simulações realizadas no PSpice de uma forma geral Quando executamos a simulação de um circuito AOP no PSpice devemos ter o cuidado de lembrar que as fontes de alimentação positiva e negativa CC devem estar conectadas ao dispositivo com exceção do LM324 projetado para ser um AOP com uma única fonte Embora o modelo mostre os pinos de ajuste de offset usados para anular a tensão de saída o PSpice não cria nenhum offset internamente Por este moti vo normalmente deixamos estes pinos flutuando não conectados A Tabela 63 mostra os diversos tipos de AOPs disponíveis na ver são de avaliação do PSpice outros modelos estão disponíveis na versão comercial do programa e também diretamente com alguns fabricantes Simule o circuito da Figura 63 usando o PSpice Determine os pontos nos qualis a saturação começa se forem usadas fontes de alimentação de 15 VCC Compare o ganho calculado pelo PSpice com o que foi pre visto usando o modelo ideal do AOP Começamos desenhando o circuito amplificador inversor da Figura 63 usando a interface gráfica mostrada na Figura 632 Note que duas fontes de alimentação de 15 VCC separadas são necessárias para alimentar o AOP u ANÁLISE AUXILIADA POR COMPUTADOR u EXEMPLO 67 Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 194 p FIGURA 632 O amplificador inversor da Figura 63 desenhado usando o AOP µA741 Nossa análise anterior usando um modelo de AOP ideal previu um ganho de 10 Com uma entrada de 5 sen 3t mV tínhamos como resultado uma tensão de saída de 50 sen 3t mV No entanto algo implícito na análise era a hipó tese de que qualquer tensão de entrada seria amplificada por um fator de 10 Com base em considerações práticas esperamos que isso seja verdade para pequenas tensões de entrada mas ao final a saída irá saturar com um valor comparável à tensão de alimentação Executamos uma varredura CC de 2 a 2 volts como mostra a Figura 633 este intervalo é ligeiramente maior do que o valor da tensão de alimentação dividido pelo ganho portanto esperamos que nossos resultados incluam as regiões de saturação positiva e negativa p FIGURA 633 Janela de especificação da varredura CC DC Sweep Usando a ferramenta cursor nos resultados de simulação mostrados na Figura 634a a característica entradasaída do amplificador é sem dúvida linear dentro de um amplo intervalo correspondendo aproximadamente a 145 Vs 145 V Seção 65 u Considerações práticas 195 p FIGURA 634 a Tensão de saída do circuito amplificador inversor com o ponto de saturação identificado com a ferramenta cursor b Vista ampliada da janela do cursor a b Este intervalo é ligeiramente menor do que aquele definido dividindose as tensões de alimentação positiva e negativa pelo ganho Fora desse intervalo a saída do AOP satura havendo apenas uma pequena dependência com relação à tensão de entrada Nas duas regiões de saturação portanto o circuito não se comporta como um amplificador linear Aumentando o número de dígitos do cursor para 10 Tools Options Number of Cursor Digits vemos que com uma tensão de entrada Vs 10 V a tensão de saída é 999548340 um valor ligeiramente menor do que aquele de 10 predito pelo modelo ideal do AOP e ligeiramente diferente do valor de 9999448 obtido no Exemplo 66 usando um mode lo analítico Ainda assim os resultados preditos pelo modelo do µA741 implementado no PSpice são apenas alguns centésimos percentuais dife rentes das predições de ambos os modelos analíticos demonstrando que o modelo do AOP ideal é sem dúvida uma aproximação muito precisa para os modernos amplificadores operacionais instalados em circuitos integrados u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 67 Simule os demais circuitos com AOPs descritos neste capítulo e compare os resultados com aqueles obtidos com o modelo do AOP ideal Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 196 66 COMPARADORES E O AMPLIFICADOR DE INSTRUMENTAÇÃO O Comparador Todos os circuitos AOPs discutidos até agora continham uma conexão elé trica entre o pino de saída e o pino da entrada inversora Isto é conhecido como operação em malha fechada e é usado para fornecer realimentação negativa conforme discutimos anteriormente A malha fechada é o método preferido quando se utiliza um AOP como amplificador pois serve para isolar o desempenho do circuito de variações no ganho em malha aberta causadas por mudanças na temperatura ou diferenças de fabricação No entanto há várias aplicações nas quais é vantajoso usar um AOP em malha aberta Dispositivos destinados a este tipo de aplicação são frequente mente chamados de comparadores por serem projetados de uma forma ligeiramente diferente de AOPs normais para melhorar sua velocidade em operação em malha aberta A Figura 635a mostra um simples circuito comparador onde uma referência de 25 V é conectada à entrada não inversora e a tensão que está sendo comparada υent é conectada à entrada inversora Como o AOP tem um ganho em malha aberta A muito grande 105 ou mais geralmente como mostra a Tabela 63 não é necessária uma grande diferença de tensão entre os terminais de entrada para leválo à saturação Na verdade esta diferença de tensão é dada pela tensão de alimentação dividida por A aproximada mente 120 µV no caso do circuito da Figura 635a com A 105 A bem conhecida saída do circuito comparador é mostrada na Figura 635b onde a resposta varia entre a saturação positiva e negativa sem apresentar uma região de amplificação linear Assim 12 V positivos na saída do com parador indicam que a tensão de entrada é menor do que a tensão de refe rência e 12 V negativos na saída do comparador indicam que a tensão de entrada é maior do que a tensão de referência Um comportamento oposto é obtido se conectarmos a tensão de referência à entrada inversora υsaída υent 25 V 12 V 12 V V V Ajuste de offset Ajuste de offset a b υent V υsaída V p FIGURA 635 a Exemplo de um circuito comparador com uma tensão de referência de 25 V b Gráfico da característica entradasaída Seção 66 u Comparadores e o amplificador de instrumentação 197 Projete um circuito que forneça um nível lógico 1 de 5 V na saída se um certo sinal de tensão cair abaixo de 3 V e zero volts caso contrário Como queremos que a saída de nosso comparador varie entre 0 e 5 V usare mos um AOP com uma única fonte de alimentação de 5 V conectada como mostra a Figura 636 Conectamos uma tensão de referência de 3 V à entrada não inversora que pode ser fornecida por duas pilhas de 15 V em série ou um circuito adequado com um diodo Zener de referência O sinal de entrada designado como υsinal é ligado à entrada inversora Na realidade a tensão de saturação em um circuito comparador varia em um intervalo ligeiramente menor do que aquele determinado pelas fontes de alimentação e com isso alguns ajus tes podem ser necessários em conjunto com a simulação ou o teste do circuito u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 68 Projete um circuito que forneça uma saída de 12 V caso uma certa ten são υsinal exceda 0 V e uma saída de 2 V caso contrário t FIGURA 637 Uma possível solução para o Exercício de Fixação 68 υsaída υsinal 12 V 2 V V V Resposta Uma solução possível é mostrada na Figura 637 O Amplificador de Instrumentação O circuito comparador básico atua sobre a diferença de tensão entre os dois terminais de entrada do dispositivo embora tecnicamente não amplifique sinais pois sua saída não é proporcional à entrada O amplificador de diferen ça da Figura 610 também atua sobre a diferença de tensão entre as entradas inversora e não inversora e desde que seja tomado cuidado para se evitar a saturação ele fornece uma saída proporcional a essa diferença Porém quando se lida com tensões de entrada muito baixas uma melhor alternativa é um dispositivo conhecido como amplificador de instrumentação que cor responde na realidade a três AOPs montados em um único encapsulamento A Figura 638a mostra um exemplo da configuração comum de um amplificador de instrumentação seu símbolo é mostrado na Figura 638b Cada entrada alimenta diretamente um estágio seguidor de tensão e as saí das de ambos os seguidores de tensão alimentam um estágio amplificador de diferença Esta configuração é particularmente adequada a aplicações nas quais o sinal de entrada é muito pequeno por exemplo da ordem de milivolts como aquele produzido por termopares ou piezoresistores e onde há um ruído de modo comum que pode ser da ordem de vários volts u EXEMPLO 68 p FIGURA 636 Um possível projeto para o circuito υsaída υsinal 3 V 5 V V V Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 198 Se todos os componentes do amplificador de instrumentação forem fabricados na mesma pastilha de silício então é possível obter caracte rísticas bem casadas para o dispositivo e também relações precisas para os dois conjuntos de resistores Para maximizar o CMRR do amplificador de instrumentação esperamos que R4R3 R2R1 de forma a fazer as compo nentes de modo comum dos sinais de entrada serem igualmente amplifi cadas Para explorar melhor este conceito identificamos a tensão na saída do seguidor de tensão superior como υ e a tensão na saída do seguidor de tensão inferior como υ Assumindo que os três AOPs sejam ideais e chamando de υx a tensão em cada uma das entradas do estágio diferença podemos escrever as seguintes equações nodais υx υ R1 υx υsaída R2 0 20 e υx υ R3 υx R4 0 21 Resolvendo a Equação 21 para υx obtemos υx υ 1 R3 R4 22 e após substituir na Equação 20 obtemos uma expressão para υsaída em termos da entrada υsaída R4 R3 1 R2 R1 1 R4 R3 υ R2 R1 υ 23 Da Equação 23 fica claro que o caso geral permite a amplificação das componentes de modo comum das duas entradas No entanto no caso espe cífico em que R4R3 R2R1 K a Equação 23 se reduz a Kυ υ Kυd de forma que supondo AOPs ideais somente a diferença seja amplificada e o ganho seja definido pela relação entre os resistores Como estes resistores são internos ao amplificador de instrumentação e inacessíveis ao usuário dispositivos empregados na prática como o AD622 permitem que o ganho seja ajustado em um intervalo de 1 a 1000 através da conexão de um resistor externo entre dois pinos mostrado como RG na Figura 638b p FIGURA 638 a O amplificador de instrumentação básico b Símbolo comumente usado υsaída υx υx R1 R3 R4 R2 υ υ υd RG a b 199 Resumo e revisão RESUMO E REVISÃO Neste capítulo introduzimos um novo elemento de circuito um dispositivo de três terminais chamado de amplificador operacional ou de modo geral o AOP Em muitos casos de análise de circuitos ele é aproximado a um dispositivo ideal o resulta em duas regras que são aplicadas Estudamos diversos circuitos com AOP detalhadamente incluindo o amplificador inversor com ganho RfR1 o amplificador não inversor com o ganho 1 Rf R1 e o amplificador somador Também introduzimos o seguidor de tensão do amplificador de diferenças embora a análise desses dois circuitos tenha sido deixada para o leitor O conceito de estágios em cascata foi considera do bastante útil uma vez que permite que um projeto seja decomposto em unidades distintas cada uma delas com uma função específica Fizemos pequeno desvio e apresentamos rapidamente um elemento de circuito não linear de dois terminais o diodo Zener uma vez que fornece uma tensão de referência direta e simples Utilizamos então este elemento para construir fontes de tensão e de correntes práticas usando amplificadores operacio nais desmistificando a sua origem Amplificadores operacionais modernos têm características quase ideais conforme encontramos quando optamos por um modelo mais detalhado baseado em uma fonte dependente Ainda assim não idealidades são encontradas ocasionalmente portanto consideramos a regra da realimen tação negativa para reduzir o efeito da temperatura e variações em vários parâmetros relacionados à fabricação rejeição de modo comum e satura ção Uma das características não ideais mais interessantes de qualquer AOP é a taxa de subida slew rate Ao simular três casos diferentes fomos capa zes de ver como a tensão de saída pode ter dificuldades em seguir a forma do sinal de tensão de entrada quando sua frequência tornase elevada o suficiente Concluímos o capítulo com dois casos especiais o comparador que intencionalmente faz uso de nossa capacidade para saturar um AOP real não ideal e o amplificador de instrumentação que são rotineiramente utilizados para amplificar tensões muito pequenas Este é um bom momento para fazer uma pausa tomar um fôlego e recapitular alguns dos principais pontos Ao mesmo tempo destacaremos exemplos relevantes como uma ajuda para o leitor f Há duas leis fundamentais que devem ser aplicadas quando circuitos com AOPs ideais são analisados 1 Nenhuma corrente flui através dos terminais de entrada Exem plo 61 2 Não há queda de tensão entre os dois terminais de entrada f Circuitos com AOPs são geralmente analisados de forma a se des crever a tensão de saída em termos de alguma grandeza ou grande zas de entrada Exemplos 61 62 f A análise nodal é em geral a melhor escolha para a análise de cir cuitos com AOPs e geralmente é melhor começar na entrada e partir daí para a saída Exemplos 61 62 Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 200 f A corrente na saída de um AOP não deve ser assumida ela deve ser calculada após a determinação da tensão de saída de forma indepen dente Exemplo 62 f O ganho de um circuito AOP inversor é dado pela equação υsaída Rf R1 υent f O ganho de um circuito AOP não inversor é dado pela equação υsaída 1 Rf R1 υent Exemplo 61 f Estágios em cascata podem ser analisados com uma fase de cada vez para relacionar a saída com a entrada Exemplo 63 f Diodos Zener fornecem uma tensão de referência conveniente Eles são assimétricos significando no entanto que seus dois terminais não podem ser trocados Exemplo 64 f AOPs podem ser utilizados para construir fontes de corrente que são independentes da resistência de carga ao longo de um intervalo específico de valores de corrente Exemplo 65 f Um resistor é quase sempre ligado entre o pino de saída e o pino da entrada inversora de um AOP Este resistor incorpora realimentação negativa ao circuito para melhorar sua estabilidade f O modelo do AOP ideal baseiase na aproximação de um ganho em malha aberta A infinito de uma resistência de entrada Ri infinita e de uma resistência de saída Ro nula Exemplo 66 f Na prática a variação na tensão de saída de um AOP é limitada pelas tensões de alimentação usadas para energizálo Exemplo 67 f Comparadores são AOP projetados para ser levados à saturação Estes circuitos operam em malha aberta e portanto não têm resis tência de realimentação externa Exemplo 68 LEITURA COMPLEMENTAR Dois livros muito fáceis de ler e que tratam de uma variedade de aplicações de AOPs são R Mancini ed Op Amps Are For Everyone 2nd ed Amsterdam Newnes 2003 Also available on the Texas Instruments website wwwticom W G Jung Op Amp Cookbook 3rd ed Upper Saddle River NJ PrenticeHall 1997 Características de diodos Zener e de outros tipos de diodos são encontradas no Capítulo 1 do livro W H Hayt Jr and G W Neudeck Electronic Circuit Analysis and Design 2nd ed New York Wiley 1995 Exercícios 201 Um dos primeiros relatos da implementação de um amplificador operacio nal pode ser encontrado no artigo J R Ragazzini R M Randall and F A Russell Analysis of pro blems in dynamics by electronic circuits Proceedings of the IRE 355 1947 pp 444452 E um dos primeiros guias de aplicações para AOPs pode ser encontrado na página da Analog Devices Inc wwwanalogcom George A Philbrick Researches Inc Applications Manual for Com puting Amplifiers for Modelling Measuring Manipulating Much Else Norwood Mass Analog Devices 1998 EXERCÍCIOS 62 O AOP Ideal Uma introdução Cordial 1 Para o circuito AOP representado na Figura 639 calcule υsaída se a R1 R2 100 Ω e υent 5 V b R2 200 R1 e υent 1 V c R1 47 kΩ R2 47 kΩ e υent 20 sen 5t V 2 Determine a potência dissipada por um resistor de 100 Ω conectado entre o terra e o pino de saída do AOP da Figura 639 se υent 4 a R1 2R2 b R1 1 kΩ e R2 22 kΩ c R1 100 Ω e R2 101 Ω 3 Conecte um resistor de 1 Ω entre o terra e o terminal de saída do AOP da Figura 639 e faça o gráfico de υsaídat se a R1 R2 10 Ω υent 5 sen 10t V b R1 02 R2 1 kΩ e υent 5 cos 10t V c R1 10 Ω R2 200 Ω e υent 15 5 et V 4 Para o circuito da Figura 640 calcule υsaída se a R1 R2 100 kΩ RL 100 Ω e υent 5 V b R1 01R2 RL e υent 2 V c R1 1 kΩ R2 0 RL 1 Ω e υent 435 V 5 a Projete um circuito que converta uma tensão υ1t 9 cos 5t V em 4 cos 5t V b Verifique seu projeto analisando o circuito final 6 Um resistor de carga requer uma fonte de tensão CC constante de 5 V Infeliz mente o valor de sua resistência muda com a temperatura Projete um circuito que forneça a tensão necessária se são disponibilizados apenas baterias de 9 V e resistores com 10 de tolerância 7 Para o circuito da Figura 640 R1 RL 50 Ω Calcule o valor de R2 necessário para fornecer 5 W para RL se Vent é igual a a 5 V b 15 V c Repita os itens a e b se RL é reduzido para 22 Ω 8 Calcule υsaída indicado no diagrama esquemático da Figura 641 se a ient 1 mA Rp 22 kΩ e R3 1 kΩ b ient 2 A Rp 11 Ω e R3 85 Ω c Para cada caso indique se o circuito é ligado como um amplificador inversor ou não inversor Explique seu raciocínio 9 a Projete um circuito usando apenas um AOP simples que soma duas tensões υ1 e υ2 e fornece uma tensão de saída com o dobro de sua soma isto é υsaída 2υ1 2υ2 b Verifique seu projeto analisando o circuito final 10 a Projete um circuito que forneça uma corrente i que seja igual em módulo à soma de três tensões de entrada υ1 υ2 e υ3 Compare volts com ampères b Verifique seu projeto analisando o circuito final p FIGURA 639 R1 R2 υsaída υent p FIGURA 640 R1 R2 RL υsaída υent p FIGURA 641 υsaída R3 Rp ient Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 202 11 a Projete um circuito que forneça uma tensão de saída υsaída que é igual à diferença entre duas tensões υ2 e υ1 ou seja υsaída υ2 υ1 se você tem apenas os seguintes resistores para escolher dois resistores de 15 kΩ quatro resistores de 6 kΩ ou três resistores de 500 Ω b Verifique seu projeto analisando o circuito final 12 Analise o circuito da Figura 642 e determine um valor para V1 com referência ao terra 13 Derive uma expressão para υsaída como função de υ1 e υ2 para o circuito repre sentado na Figura 643 t FIGURA 643 R1 R2 R3 υ1 Rf υ2 υsaída 14 Explique o que está errado com cada diagrama na Figura 644 se os dois AOPs são conhecido por ser perfeitamente ideal t FIGURA 644 υsaída 1 mA 10 kΩ υsaída 1 kΩ 5 V 10 V a b 15 Para o circuito ilustrado na Figura 645 calcule υsaída se Is 2 mA RY 47 kΩ RX 1 kΩ e Rf 500 Ω 16 Considere o circuito amplificador mostrado na Figura 645 Qual valor de Rf produzirá υsaída 2 V quando Is 10 mA e RY 2 RX 500 Ω 17 Com respeito ao circuito mostrado na Figura 646 calcule υsaída se υs é igual a 2 cos 100t mV b 2 sen 4 t 19o V t FIGURA 646 υs υsaída 1 kΩ 100 Ω 3 kΩ 1 kΩ 103υp υp 63 Estágios em Cascata 18 Calcule υsaída indicado no circuito da Figura 647 se Rx 1 kΩ p FIGURA 642 850 Ω 1 MΩ 100 Ω 250 Ω 10 kΩ 850 Ω 9 V V1 1 mA p FIGURA 645 Rf RY RX IS υsaída Exercícios 203 t FIGURA 647 υsaída 10 Ω 2 V 10 Ω 5 Ω 2 kΩ Rx 19 Para o circuito da Figura 647 determine o valor de Rx que irá resultar num valor de υsaída 10 V 20 Referindose à Figura 648 faça o gráfico de υsaída em função de a υent no intervalo de 2 V υent 2 V se R4 2 kΩ b R4 no intervalo de 1 kΩ R4 10 kΩ se υent 300 mV t FIGURA 648 υsaída 10 Ω 15 Ω 5 kΩ υent R4 21 Obtenha uma expressão para υsaída indicada no circuito da Figura 649 se υ1 é igual a 0 V b 1 V c 5 V d 2 sen 100t V t FIGURA 649 υsaída 500 Ω 15 V 5 kΩ 15 kΩ 5 kΩ 5 kΩ 5 kΩ υ1 22 A fonte de 15 V da Figura 649 é desconectada e a saída do circuito mostrado na Figura 648 é ligada ao terminal do resistor de 500 Ω substituindo a fonte de 15 volts Calcule υsaída se R4 2 kΩ e a em υent 2 V υ1 1 V b υent 1 V υ1 0 c υent 1 V υ1 1 V 23 Para o circuito mostrado na Figura 650 calcule υsaída se a υ1 2υ2 05 υ3 22 V e R1 R2 R3 50 kΩ b υ1 0 υ2 8 V υ3 9 V e R1 05R2 04R3 100 kΩ t FIGURA 650 R1 R2 R3 200 kΩ υsaída υ3 υ2 υ1 Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 204 24 a Projete um circuito que irá somar as tensões geradas por três diferentes sensores de pressão cada um no intervalo de 0 υsensor 5 V e produzir uma tensão positiva υsaída correlacionada linearmente com a soma de tensão tal que υsaída 0 quando as três tensões são zero e υsaída 2 V quando as três tensões estão no seu máximo b Verifique seu projeto analisando o circuito final 25 a Projete um circuito que forneça uma tensão de saída υsaída proporcional à diferença de duas tensões positivas υ1 e υ2 tal que υsaída 0 quando as tensões são iguais e υsaída 10 V quando υ1 υ2 1 V b Verifique seu projeto ana lisando o circuito final 26 a Três sensores sensíveis à pressão são usados para checar as leituras de peso obtido a partir dos sistemas de suspensão de um avião a jato de longa distância Cada sensor é calibrado tal que 10 μ V corresponde a 1 kg Pro jete um circuito que some os três sinais de tensão para produzir uma tensão de saída calibrada de tal modo que 10 V corresponde a 400000 kg o peso máximo de decolagem da aeronave b Verifique seu projeto analisando o circuito final 27 a O fornecimento de oxigênio para uma determinada batisfera3 consiste em quatro tanques separados cada um equipado com um sensor de pressão capaz de medir entre 0 correspondente 0 V de saída e 500 bar correspondente a 5 V de saída Projete um circuito que gera uma tensão proporcional à pressão total em todos os tanques de tal modo que 15 V corresponde a 0 bar e 3 V corres ponde a 2000 bar b Verifique seu projeto analisando o circuito final 28 Para o circuito mostrado na Figura 651 seja υent 8 V e selecione os valores para R1 R2 e R3 para garantir uma tensão de saída υsaída 4 V t FIGURA 651 υsaída R1 R2 R3 υent 50 kΩ 200 kΩ 29 Para o circuito da Figura 652 derive uma expressão para υsaída em termos de υent t FIGURA 652 R1 1 V R2 R3 R4 R5 R6 υsaída υent 64 Circuitos para Fontes de Tensão e Corrente 30 Construa um circuito com base no diodo 1N4740 que forneça uma tensão de referência de 10 V se estão disponíveis apenas baterias de 9 V Note que a ten são de ruptura deste diodo é igual a 10 V com uma corrente de 25 mA 3 N de T Batisfera é uma esfera oca que suspensa por um cabo permite ao homem dentro dela descer às grandes profundidades do mar Exercícios 205 p FIGURA 653 V1 Vbatt 890 Ω 11 kΩ 400 Ω 1N750 p FIGURA 654 R1 V2 R3 RL R4 V1 R2 υsaída IL p FIGURA 655 250 Ω υsaída 450 mV 14 kΩ 31 Use um diodo Zener 1N4733 para construir um circuito que forneça uma tensão de referência de 4 V para uma carga de 1 kΩ se estão disponíveis como fontes apenas baterias de 9 V Note que a tensão de ruptura Zener desse diodo é de 51 V com uma corrente de 76 mA 32 a Projete um circuito que forneça uma tensão de referência CC de 5 V para uma carga desconhecida resistência não nula se apenas uma bateria de 9 V pode ser usada como fonte b Verifique seu projeto com uma simulação apropriada Como parte dessa tarefa determine o intervalo aceitável para a resistência de carga 33 Uma rede passiva em particular pode ser representada por uma resistência equivalente de Thévenin entre 10 Ω e 125 Ω dependendo da temperatura de funcionamento a Projete um circuito que forneça constantemente 22 V a esta rede independentemente da temperatura b Verifique seu projeto com uma simulação apropriada a resistência pode ser variada na simulação simples como descrito no Capítulo 8 34 Calcule a tensão V1 conforme indicado no circuito da Figura 653 se a bateria tem tensão Vbat igual a a 9 V b 12 V c Verifique suas soluções com simulações adequadas comentando sobre a possível origem de eventuais discrepâncias 35 a Projete uma fonte de corrente baseada no diodo 1N750 que seja capaz de fornecer uma corrente CC de 750 μA para uma carga RL de tal forma que 1 kΩ RL 50 kΩ b Verifique seu projeto com uma simulação apropriada note que a resistência pode ser variada dentro de uma simulação simples como des crito no Capítulo 8 36 a Projete uma fonte de corrente capaz de fornecer uma corrente CC de 50 mA para uma carga não especificada Use um diodo 1N4733 Vbr 51 V em 76 mA b Utilize uma simulação apropriada para determinar o intervalo admis sível de resistência de carga para o seu projeto 37 a Projete uma fonte de corrente capaz de fornecer uma corrente CC de 10 mA para uma carga não especificada Use um diodo 1N4733 Vbr 20 V em 125 mA b Utilize uma simulação apropriada para determinar o intervalo admis sível de resistência de carga para o seu projeto 38 O circuito representado na Figura 654 é conhecido como uma fonte de cor rente Howland Derive expressões para υsaída e IL como uma função de V1 e V2 respectivamente 39 Para o circuito ilustrado na Figura 654 conhecida como fonte de corrente Howland defina V2 0 R1 R3 e R2 R4 em seguida obtenha a corrente IL quando R1 2R2 1 kΩ e RL 100 Ω 65 Considerações Práticas 40 a Use os parâmetros listados na Tabela 63 do AOP μA741 para analisar o cir cuito da Figura 655 e calcule um valor para υsaída b Compare o seu resultado com o previsto usando o modelo ideal do AOP 41 a Use os parâmetros listados na Tabela 63 para o AOP μA741 para analisar o circuito da Figura 610 se R 15 kΩ υ1 2 V e υ2 5 V b Compare o seu resultado com o previsto usando o modelo ideal do AOP 42 Defina os seguintes termos e explique quando e como cada um pode ter impacto no desempenho de um circuito AOP a taxa de rejeição de modo comum b taxa de subida c saturação d realimentação 43 Para o circuito da Figura 656 substitua o resistor de 470 Ω por um curto circuito e calcule υsaída usando a o modelo ideal do AOP b os parâmetros listados na Tabela 63 para o AOP μA741 c uma simulação apropriada no Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 206 p FIGURA 656 47 kΩ υsaída 2 V 470 Ω p FIGURA 657 υsaída υativa υref 18 V V V p FIGURA 658 υsaída υ1 υ2 5 V 5 V V V p FIGURA 659 υsaída υativa 12 V 12 V V V PSpice d Compare os valores obtidos nos itens de a a c e comente sobre a possível origem de qualquer discrepância 44 Se o circuito da Figura 655 é analisado usando o modelo detalhado de um AOP ao contrário do modelo ideal do AOP calcule o valor do ganho em malha aberta A necessário para se obter um ganho em malha fechada dentro de 2 de seu valor ideal 45 Substitua a fonte de 2 V na Figura 656 por uma fonte de tensão senoidal com uma magnitude de 3 V e frequência ω 2 πf a Qual componente um AOP μA741 ou um AOP LF411 irá acompanhar melhor a frequência da fonte no intervalo de 1 Hz f 10 MHz Explique b Compare o desempenho de frequência do circuito no intervalo de 1 Hz f 10 MHz utilizando simulações apropriadas no PSpice e compare os resultados com sua previsão no item a 46 a Para o circuito da Figura 656 se o AOP assumir LF411 é alimentado por fontes correspondentes a 9 V estime o valor máximo que o resistor de 470 Ω pode ser aumentado antes que os efeitos da saturação se tornem aparentes b Verifique sua previsão com uma simulação adequada 47 Para o circuito da Figura 655 calcule a tensão diferencial de entrada e a corren te de polarização de entrada se o AOP é um a μA741 b LF411 c AD549K d OPA690 48 Calcule o ganho em modo comum para cada dispositivo listado na Tabela 63 Expresse sua resposta em unidades de VV e não em dB 66 Comparadores e o Amplificador de Instrumentação 49 A pele humana especialmente quando úmida é um condutor razoável de eletri cidade Se assumirmos uma resistência inferior a 10 MΩ para a ponta do dedo pressionada entre dois terminais projete um circuito que forneça uma saída 1 V se este interruptor não mecânico está fechado e 1 V se ele estiver aberto 50 Projete um circuito que forneça uma tensão de saída υsaída com base no compor tamento de outra tensão υent de tal forma que υsaída 25 V υent 1 V 12 V caso contrário 51 Para o amplificador de instrumentação mostrado na Figura 638a considere que os três AOPs internos são ideais e determine o CMRR do circuito se a R1 R3 e R2 R4 b todos os quatro resistores têm valores diferentes 52 Para o circuito ilustrado na Figura 657 faça o gráfico da tensão de saída υsaída esperada em função de υativa para 5 V υativa 5 V se υref for igual a a 3 V b 3 V 53 Para o circuito ilustrado na Figura 658 a represente a tensão de saída espera da υsaída como uma função de υ1 para 5 V υ1 5 V se υ2 2 V esboço b faça o gráfico da tensão de saída υsaída esperada em função de υ2 para 5 V υ2 5 V se υ1 2 V 54 Para o circuito ilustrado na Figura 659 faça o gráfico da tensão de saída espe rada υsaída em função de υativa se 2 V υativa 2 V Verifique sua solução usando um μA741 embora seja lento comparado com AOPs especificamente projetados para uso como comparadores o seu modelo PSpice funciona bem e como esta é uma aplicação CC a velocidade não é problema Apresente seus resultados juntamente com um diagrama esquemático identificado 55 Em aplicações de lógica digital um sinal de 5 V representa o estado lógico 1 e um 0 V representa o estado lógico 0 Para processar informações do mundo real usando um computador é necessário algum tipo de interface o que geralmente inclui o uso de um conversor análogicodigital AD um Exercícios 207 dispositivo que converte sinais analógicos em sinais digitais Projete um circui to que funcione como um simples conversor AD de 1bit onde qualquer sinal abaixo de 15 V representa o estado lógico 0 e qualquer sinal acima de 15 V representa o estado lógico 1 56 Uma aplicação comum para amplificadores de instrumentação é a medição de tensões em circuitos com piezoresistores Tais sensores de deformação funcio nam explorando mudanças de resistência que resultam de distorções geomé tricas como sugere a Equação 6 do Capítulo 2 Eles geralmente fazem parte de um circuito em ponte como mostra a Figura 660a onde o piezoresistor é identificado como RPiezo a Mostre que Vsaída Vent R2 R1 R2 R3 R3 RPiezo b Verifique que Vsaída 0 quando os três resistores fixos R1 R2 e R3 são escolhidos de modo que fiquem iguais à resistência RPiezo do piezoresistor na condição de deformação nula c Na aplicação pretendida o piezoresistor selecionado tem uma resistência de 5 kΩ na condição de deformação nula e esperase um aumento máximo de resistência de 50 mΩ Apenas fontes de 112 V estão disponíveis Usando o amplificador de instrumentação da Figura 660b projete um circuito que forneça um sinal de tensão de 1 V quando o piezoresistor estiver em sua carga máxima p FIGURA 660 Vref RPiezo R2 R1 R3 Vsaída a 1 2 3 4 RG ENT ENT VS RG VS SAÍDA REF 8 7 6 5 AD622 b Analog Devices Especificações do AD622 O ganho G do amplificador pode variar de 2 até 1000 pela conexão de um resistor entre os pinos 1 e 8 com um valor calculado de R 505 G 1 k Exercícios de integração do capítulo 57 a Você possui um interruptor eletrônico que requer 5 V e 1 mA para fechar sendo que este permanece aberto quando não há tensão na sua entrada Se o único microfone disponível produz um pico de tensão de 250 mV projete um circuito que energizará o interruptor quando alguém falar ao microfone Note que o nível de áudio de voz pode não corresponder à tensão de pico do micro fone b Discuta as questões que devem ser resolvidas se o seu circuito for implementado 58 Você formou uma banda apesar de terem lhe aconselhado o contrário Na ver dade a banda é boa exceto pelo fato de que o vocalista que possui a bateria os Capítulo 6 u O Amplificador Operacional 208 microfones e a garagem onde ensaiam é um pouco surdo Projete um circuito que recebe a saída de cada um dos cinco microfones que sua banda usa e soma as tensões para criar um único sinal de tensão que é fornecido ao amplificador Porém as tensões não devem ser todas amplificadas igualmente A saída de um microfone deve ser atenuada tal que a sua tensão de pico é de 10 da tensão de pico de qualquer outro microfone 59 O sulfeto de cádmio CdS é geralmente usado para fabricar resistores cujo valor depende da intensidade da luz que incide sobre sua superfície Na Figura 661 uma fotocélula de CdS é usada como resistor de realimentação Rf Na escuridão total ele tem uma resistência de 100 kΩ e uma resistência de 10 kΩ sob uma luz com intensidade de seis candelas RL representa um circuito que é ativado quando uma tensão de 15 V ou menos é aplicada em seus terminais Escolha R1 e VS de modo que o circuito representado por RL seja ativado por uma luz com intensidade igual ou superior a duas candelas t FIGURA 661 CdS R1 RL Vs 60 Um chafariz fora de certo edifício de escritórios é projetado para alcançar uma altura máxima de 5 metros a uma vazão de 100 ls Uma válvula de posição variável entre a bombadágua e o chafariz pode ser controlada eletricamente de tal modo que aplicado 0 V resulta na válvula completamente aberta e com 5 V a válvula tornase fechada Em condições adversas de vento a altura máxima do chafariz precisa ser ajustada se a velocidade do vento exceder 50 kmh a altura não poderá exceder a 2 metros Dispõese de um sensor de velocidade do vento que fornece uma tensão calibrada de tal forma que 1 V corresponde a uma velocidade do vento de 25 kmh Projete um circuito que utiliza o sensor de velocidade para controlar o chafariz de acordo com as especificações 61 Para o circuito da Figura 643 todos os resistores têm valores iguais a 5 kΩ Faça o gráfico de υsaída em função do tempo se a υ1 5 sen 5t V e υ2 5 cos 5t V b υ1 4 et V e υ2 5 e2t V c υ1 2 V e υ2 et V INTRODUÇÃO Neste capítulo introduzimos dois novos elementos passivos de circuitos o capa citor e o indutor ambos com a habilidade de armazenar e fornecer quantidades finitas de energia Nesse aspecto eles diferem das fontes ideais pois não podem manter um fluxo de potência finito durante um intervalo de tempo infinito Embora sejam elementos lineares as relações tensãocorrente desses novos elementos dependem do tempo o que resulta em muitos circuitos interessantes A faixa de valores de capacitância e indutância que podemos encontrar é muito grande portanto tais com ponentes podem às vezes dominar o comportamento de um circuito e outras vezes ser essencialmente insignificantes Tais questões continuam a ser relevantes em apli cações de circuitos modernos especialmente à medida que sistemas de computadores e de comunicação passam a operar em frequências cada vez mais altas e apresentam uma densidade de componentes cada vez maior 71 O CAPACITOR Modelo do Capacitor Ideal Já definimos anteriormente que as fontes independentes e dependentes são elementos ativos e que o resistor linear é um elemento passivo embora nossas definições de ativo e passivo ainda estejam um pouco confusas e precisem ser mais bem focali zadas Definimos agora elemento ativo como um elemento capaz de fornecer uma potência média maior do que zero a um dispositivo externo sendo a média calculada em um intervalo de tempo infinito As fontes ideais e o amplificador operacional são elementos ativos O elemento passivo no entanto é definido como um elemento que não pode fornecer uma potência média maior do que zero durante um intervalo de tempo infinito O resistor pertence a esta última categoria a energia que ele recebe é geralmente transformada em calor e ele nunca fornece energia Capacitores e Indutores 7 CONCEITOS FUNDAMENTAIS A Relação TensãoCorrente de um Capacitor Ideal A Relação TensãoCorrente de um Indutor Ideal Cálculo da Energia Armazenada em Capacitores e Indutores Análise da Resposta de Capacitores e Indutores a Formas de Onda Variáveis no Tempo Combinações em Série e Paralelo Circuitos AOP Usando Capacitores Modelagem de Elementos Armazenadores de Energia no PSpice Circuitos do Comparador Básico e do Amplificador de Instrumentação Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 210 Introduzimos agora um novo elemento passivo de circuito o capacitor Definimos a capacitância C pela relação tensãocorrente 1 i C dv dt onde υ e i satisfazem as convenções para um elemento passivo como mostra a Figura 71 Devemos ter em mente que υ e i são funções do tempo se neces sário podemos enfatizar esse fato escrevendo υt e it Da Equação 1 podemos determinar a unidade de capacitância como o ampèresegundo por volt ou o Coulomb por volt Definiremos agora farad1 F como um Coulomb por volt e vamos usálo como nossa unidade de capacitância O capacitor ideal definido pela Equação 1 é somente um modelo mate mático para um dispositivo real Um capacitor consiste em duas superfícies condutoras nas quais pode ser armazenada carga elétrica separadas por uma fina camada isolante com resistência muito elevada Supondo que essa resistên cia seja suficientemente alta para ser considerada infinita então cargas iguais e opostas colocadas nas placas do capacitor nunca podem se recombinar pelo menos não por um caminho interno ao elemento A construção física de um capacitor real é sugerida pelo símbolo de circuito mostrado na Figura 71 Vamos visualizar um dispositivo externo conectado a esse capacitor causando um fluxo de corrente positiva que entre em uma de suas placas e saia da outra Correntes iguais entram e saem dos dois terminais e isso não é nada mais do que aquilo que esperamos para qualquer elemento de circuito Agora examinaremos o interior do capacitor A corrente positiva que entra em uma das placas representa a carga positiva movendose para aquela placa através do fio que a conecta ao restante do circuito essa carga não pode pas sar por dentro do capacitor e portanto acumulase na placa Na realidade a corrente e o aumento da carga estão relacionados pela equação familiar i dq dt Vamos agora considerar essa placa como um nó à parte e aplicar a lei de Kirchhoff das correntes Aparentemente essa lei não vale a corrente se apro xima da placa pelo circuito externo mas não sai dela pelo circuito interno Esse dilema preocupou um famoso cientista escocês James Clerk Maxwell há mais de um século A teoria eletromagnética unificada que ele desenvolveu em seguida supõe a existência de uma corrente de deslocamento que estará pre sente sempre que um campo elétrico ou uma tensão variar no tempo A corrente de deslocamento que flui internamente entre as placas do capacitor é exatamen te igual à corrente de condução que flui externamente em seus terminais a lei de Kirchhoff das correntes é portanto satisfeita se incluirmos as correntes de condução e de deslocamento Porém a análise de circuitos não está preocupada com essa corrente de deslocamento interna e como ela é felizmente igual à corrente de condução podemos considerar a hipótese de Maxwell ao relacionar a corrente de condução à variação da tensão nos terminais do capacitor Um capacitor formado por duas placas condutoras paralelas com área A separadas por uma distancia d tem uma capacitância C εAd onde ε é a 1 Nome dado em homenagem a Michael Faraday i υ C p FIGURA 71 Símbolo elétrico e convenções correntetensão para um capacitor Seção 71 u O capacitor 211 permissividade uma constante do material isolante entre as placas Assume se aqui que as dimensões lineares das placas condutoras sejam muito maiores do que a distância d No ar ou no vácuo ε ε0 8854pFm Muitos capacitores usam uma fina camada dielétrica com uma permissividade maior do que a do ar para diminuir o tamanho do componente A Figura 72 mostra vários exemplos de capacitores disponíveis comercialmente embo ra devamos lembrar que qualquer par de superfícies condutoras que não estejam em contato direto possa ser caracterizado por uma capacitância não nula embora provavelmente pequena Devemos notar também que uma capacitância de várias centenas de microfarads µF é considerada grande Várias características importantes do nosso novo modelo matemático podem ser descobertas a partir da equação que o define a Equação 1 Uma tensão constante nos terminais de um capacitor resulta em uma cor rente nula através dele o capacitor é portanto um circuito aberto para CC Esse fato é ilustrativamente representado pelo símbolo do capacitor Fica claro também que um salto brusco na tensão requer uma corrente infinita Como isso é fisicamente impossível proibimos portanto que a tensão no capacitor varie em um intervalo de tempo igual a zero Determine a corrente i que flui através do capacitor da Figura 71 para as duas formas de onda de tensão da Figura 73 se C 2 F b υ V 6 4 2 0 2 4 6 1 0 1 t s 2 3 4 5 a 2 1 0 1 t s υ V 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 u EXEMPLO 71 a b c p FIGURA 72 Vários exemplos de capacitores disponíveis comercialmente a Da esquerda para a direita 270 pF cerâmico 20 µF de tântalo 15 nF de poliéster 150 nF de poliéster b Esquerda 2000 µF 40 VCC eletrolítico 25000 µF 35 VCC eletrolítico c No sentido horário a partir do menor 100 µF 63 VCC eletrolítico 2200 µF 50 VCC eletrolítico 55 F 25 VCC eletrolítico e 4800 µF 50 VCC eletrolítico Note que de forma geral grandes valores de capacitância requerem maiores invólucros com uma notável exceção acima O que se perde nesse caso específico t FIGURA 73 a Tensão CC aplicada nos terminais do capacitor b Forma de onda da tensão senoidal aplicada nos terminais do capacitor Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 212 A corrente i está relacionada à tensão υ nos terminais do capacitor pela Equação 1 i C dυ dt Para a forma de onda ilustrada na Figura 73a dυdt 0 e portanto i 0 o resultado está traçado no gráfico da Figura 74a No caso da forma de onda senoidal da Figura 73b esperamos que uma corrente com forma de onda cos senoidal flua em resposta tendo a mesma frequência e uma intensidade duas vezes maior pois C 2F O resultado é mostrado no gráfico da Figura 74b p FIGURA 74 a i 0 porque a tensão aplicada é CC b A corrente tem forma cossenoidal em resposta a uma tensão senoidal a 2 1 0 1 t s i A 2 3 4 5 15 1 05 0 05 1 15 2 b i A 10 5 0 5 10 1 0 1 t s 2 3 4 5 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 71 Determine a corrente que flui através de um capacitor de 5 mF em res posta a uma tensão υ a 20 V b 2e5t V Resposta a 0 A b 50e5t mA Relações TensãoCorrente na Forma Integral Integrando a Equação 1 a tensão no capacitor pode ser expressa em ter mos da corrente Primeiro obtemos dυ 1 C it dt e depois integramos2 entre os instantes t0 e t e entre as tensões υt0 e υt correspondentes 2 υt 1 C t t0 it dt υt0 A Equação 2 também pode ser escrita como uma integral indefinida mais uma constante de integração υt 1 C i dt k 2 Note que estamos empregando o procedimento matematicamente correto de definir uma variável auxiliar t em situações nas quais a variável de integração t também é um limite Seção 71 u O capacitor 213 Por fim veremos em muitos problemas reais que não é possível definir υt0 a tensão inicial no capacitor Em tais circunstâncias será matematica mente conveniente definir t0 e υ 0 de forma que υt 1 C t i dt Como a integral da corrente durante qualquer intervalo de tempo é a carga acumulada correspondente na placa do capacitor durante aquele mesmo período também podemos definir a capacitância como qt Cυt onde qt e υt representam os valores instantâneos da carga acumulada e da tensão entre as placas respectivamente Determine a tensão nos terminais de um capacitor associada à corrente ilustrada na Figura 75a O valor da capacitância é 5 μF 20 1 0 2 3 4 1 a it mA t ms 8 1 0 2 3 4 1 b υt V t ms p FIGURA 75 a Forma de onda de corrente aplicada a um capacitor de 5 µF b Forma de onda de tensão resultante obtida por integração gráfica A Equação 2 é a expressão apropriada aqui υt 1 C t t0 it dt υt0 mas agora ela precisa ser interpretada graficamente Para fazer isso observa mos que a diferença entre as tensões em t e t0 é proporcional à área abaixo da curva da corrente entre esses dois instantes de tempo A constante de proporcionalidade é 1C A partir da Figura 75a vemos três intervalos diferentes t 0 0 t 2 ms e t 2 ms Definindo o primeiro intervalo mais especificamente entre e 0 de modo que t0 notamos duas coisas ambas uma consequência do fato de a corrente ter sido sempre zero até t 0 Primeiro υt0 υ 0 Segundo a integral da corrente entre e 0 é simplesmente zero já que i 0 no intervalo Assim υt 0 υ t 0 ou υt 0 t 0 u EXEMPLO 72 Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 214 Se agora considerarmos o intervalo de tempo representado pelo pulso retan gular obtemos υt 1 5 10 6 t 0 20 10 3 dt υ0 Como v0 0 υt 4000t 0 t 2 ms Ao longo do intervalo semiinfinito que sucede o pulso a integral de it é novamente zero de forma que υt 8 t 2 ms Os resultados são expressos de forma muito mais simples por meio de um desenho do que pelas expressões analíticas como mostra a Figura 75b u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 72 Determine a corrente através de um capacitor de 100 pF sendo a tensão em seus terminais em função do tempo dada pela Figura 76 Resposta 0 A t 1 ms 200 nA 1 ms t 2 ms 0 A t 2 ms Armazenamento de Energia Para determinar a potência armazenada em um capacitor começamos com a potência entregue a ele p υi Cυ dυ dt A mudança na energia armazenada em seu campo elétrico é simplesmente t t0 p dt C t t0 υ dυ dt dt C υt υt0 υ dυ 1 2C υt2 υt02 Assim Ct Ct0 1 2C υt2 υt02 3 onde a energia armazenada é Ct0 em joules J e a tensão em t0 é υt0 Se escolhermos uma referência zero de energia em t0 implicando que a tensão no capacitor também seja zero naquele instante então 4 Ct 1 2Cυ2 Vamos considerar um exemplo numérico Conforme representado na Figura 77 temos uma fonte de tensão senoidal em paralelo com um resis tor de 1 MΩ e um capacitor de 20 μF Podese assumir que o resistor em paralelo represente a resistência finita do dielétrico entre as placas de um capacitor real um capacitor ideal tem resistência infinita 2 1 0 2 3 4 1 vt V t ms p FIGURA 76 Seção 71 u O capacitor 215 Determine a máxima energia armazenada no capacitor da Figura 77 e a energia dissipada no resistor no intervalo 0 t 05 s f Identifique o objetivo do problema A energia armazenada no capacitor varia com o tempo o problema nos pede o valor máximo durante um intervalo de tempo específico Também temos que encontrar a quantidade total de energia dissipada no resistor durante esse intervalo de tempo Há na realidade duas questões comple tamente diferentes f Colete as informações conhecidas A única fonte de energia no circuito é a fonte de tensão independente que tem um valor de 100 sen 2πt V Estamos interessados apenas no intervalo de tempo 0 t 05 s O circuito está devidamente identificado f Trace um plano Determine a energia no capacitor calculando a tensão Para calcular a energia dissipada no resistor durante o mesmo intervalo de tempo integre a potência dissipada PR iR 2 R f Construa um conjunto apropriado de equações A energia armazenada no capacitor é simplesmente Ct 1 2Cv2 01 sen2 2πt J Obtemos uma expressão para a potência dissipada no resistor em termos da corrente iR iR υ R 10 4 sen 2πt A assim pR i2 R R 10 4106 sen2 2πt de forma que a energia dissipada no resistor entre 0 e 05 s é R 05 0 pR dt 05 0 10 2 sen2 2πt dt J f Determine se são necessárias informações adicionais Temos uma expressão para a energia armazenada no capacitor a Figura 78 mostra o gráfico correspondente A expressão deduzida para a energia dissipada no resistor não envolve quaisquer grandezas desconhecidas e portanto pode ser facilmente calculada f Tente uma solução De nosso gráfico que mostra a energia armazenada no capacitor vemos um aumento de zero em t 0 até um máximo de 100 mJ em t 14 s e depois uma queda até zero também em 14 s Logo Cmáx 100mJ Avaliando nossa expressão integral para a energia dissipada no resistor encontramos R 25 mJ u EXEMPLO 73 iC iR 20 mF 1 MV 100 sen 2pt V υ p FIGURA 77 Uma fonte de tensão senoidal é aplicada em uma rede RC paralela O resistor de 1 MΩ poderia representar a resistência finita da camada dielétrica de um capacitor real 0 002 004 006 008 010 01 02 03 04 05 0 wCt 01 sen2 2pt J t s p FIGURA 78 Gráfico da energia armazenada no capacitor em função do tempo Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 216 f Verifique a solução Ela é razoável ou esperada Não esperaríamos obter como resultado uma energia armazenada nega tiva o que não seria confirmado por nosso gráfico Além disso como o valor máximo de sen 2πt é 1 a máxima energia esperada seria de 12 20 1061002 O resistor dissipou 25 mJ no período de 0 a 500 ms embora o capacitor tenha armazenado um máximo de 100 mJ em um ponto durante aquele intervalo O que aconteceu com os outros 975 mJ Para responder a essa questão calculamos a corrente no capacitor iC 20 10 6 dυ dt 0004π cos 2πt e a corrente is entrando no terminal positivo da fonte de tensão is iC iR ambas traçadas no gráfico da Figura 79 Observamos que a corrente no resistor é uma pequena fração da corrente na fonte isso não é inteira mente surpreendente pois 1 MΩ é um valor de resistência relativamente alto À medida que a corrente flui a partir da fonte uma pequena porção é desviada para o resistor e o restante vai para o capacitor enquanto ele se carrega Após t 250 ms o sinal da corrente na fonte se inverte a corrente flui agora do capacitor para a fonte A maior parte da energia armazenada no capacitor volta para a fonte de tensão ideal exceto a pequena fração dissipada no resistor p FIGURA 79 Gráfico das correntes no resistor no capacitor e na fonte durante o intervalo de 0 a 500 ms 0015 0010 0005 0 0005 0010 0015 010 008 Corrente mA Corrente A 006 004 002 0 0 005 01 015 02 025 t s 03 035 04 045 05 iCiC iSiS iRiR u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 73 Calcule a energia armazenada em um capacitor de 1000 μF em t 50 μs se a tensão em seus terminais for de 15 cos 105 t volts Resposta 9052 μJ Seção 72 u O indutor 217 Características Importantes de um Capacitor Ideal 1 Não há fluxo de corrente através de um capacitor se a tensão em seus terminais não variar no tempo Um capacitor é portanto um circuito aberto para CC 2 Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada em um capacitor mesmo que a corrente através dele seja zero como no caso em que a tensão em seus terminais é constante 3 É impossível promover uma mudança finita na tensão nos terminais de um capacitor em um intervalo de tempo nulo pois isso demandaria uma cor rente infinita Um capacitor resiste a mudanças abruptas na tensão em seus terminais da mesma forma que uma mola se opõe a mudanças abruptas em seu alongamento 4 Um capacitor nunca dissipa energia somente a armazena Isto é verdade para o modelo matemático desse dispositivo mas deixa de ser para um capa citor real devido à resistência finita associada ao dielétrico e ao encapsula mento 72 O INDUTOR Modelo do Indutor Ideal No início do século XIX o cientista dinamarquês Oersted mostrou que um condutor conduzindo uma corrente produzia um campo magnético a agulha de uma bússola era afetada pela presença de um fio quando este era percorrido por uma corrente Pouco tempo depois Ampère fez algu mas medições cuidadosas que demonstraram uma relação linear entre o campo magnético e a corrente que o produzia O próximo passo ocorreu praticamente 20 anos depois quando o cientista inglês Michael Faraday e o inventor americano Joseph Henry descobriram quase simultaneamente3 que um campo magnético variável podia induzir uma tensão em um circuito próximo Eles mostraram que essa tensão era proporcional à taxa de varia ção temporal da corrente que produzia o campo magnético A constante de proporcionalidade é aquilo que agora chamamos de indutância cujo símbolo é L portanto 5 υ L di dt onde devemos notar que υ e i são funções do tempo Quando quisermos enfatizar esse aspecto poderemos fazêlo usando os símbolos υt e it O símbolo do indutor é mostrado na Figura 710 e devese notar que foi usada a convenção de sinal passivo assim como no caso do resistor e do capacitor A unidade de medida da indutância é o henry H e a equação que a define mostra que o henry é apenas uma expressão abreviada para voltsegundo por ampère 3 Faraday venceu p FIGURA 710 Símbolo elétrico e convenções correntetensão para um indutor iL L υL Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 218 O indutor cuja indutância é definida pela Equação 5 é um modelo matemático ele é um elemento ideal que podemos usar para representar de forma aproximada o comportamento de um dispositivo real Um indu tor de verdade pode ser construído ao se enrolar um fio na forma de uma bobina Isso serve efetivamente para aumentar tanto a corrente que causa o campo magnético quanto o número de circuitos vizinhos nos quais a tensão de Faraday pode ser induzida O resultado desse efeito simultâneo é o fato de a indutância de uma bobina ser aproximadamente proporcional ao quadrado do número de voltas completas feitas pelo condutor com o qual ela é formada Por exemplo sabese que um indutor ou bobina na forma de um longo solenoide com raio pequeno tem uma indutância μN2As onde A é a área da seção transversal s é o comprimento axial do solenoide N é o número de voltas completas do fio e μ mi é uma constante do material interno ao solenoide chamada de permeabilidade No vácuo e de forma muito próxima para o ar μ μ0 4π 107 Hm 4π nHcm A Figura 711 mostra vários exemplos de indutores disponíveis comercialmente Vamos agora analisar a Equação 5 para determinar algumas das carac terísticas elétricas do modelo matemático Essa equação mostra que a ten são nos terminais de um indutor é proporcional à taxa de variação temporal da corrente que passa por ele Em especial ela mostra que não há tensão em um indutor pelo qual passa uma corrente constante independentemente da amplitude dessa corrente consequentemente podemos enxergar o indutor como um curtocircuito para CC Outra constatação que pode ser obtida a partir da Equação 5 é que uma mudança abrupta ou descontínua na corrente deve estar associada a uma tensão infinita nos terminais do indutor Em outras palavras se quisermos a b p FIGURA 711 a Vários tipos de indutores disponíveis comercialmente às vezes também são chamados de choques No sentido horário começando da esquerda indutor toroidal de 287 µH com núcleo de ferrite indutor cilíndrico de 266 µH com núcleo de ferrite indutor de 215 µH com núcleo de ferrite projetado para frequência de VHF indutor toroidal de 85 µH com núcleo de pó de ferro indutor de 10 µH em forma de bobina indutor de 100 µH com terminais de conexão axiais e indutor de 7 µH com perdas no núcleo para supressão de RF b Um indutor de 11 H medindo 10 cm altura 8 cm largura 8 cm profundidade Seção 72 u O indutor 219 produzir uma mudança abrupta na corrente de um indutor deveremos aplicar uma tensão infinita Embora uma função forçante com tensão infinita possa ser aceitável teoricamente ela não existe na prática Conforme veremos em breve uma alteração abrupta na corrente de um indutor também requer uma mudança abrupta na energia nele armazenada o que faz com que a potência infinita seja necessária naquele instante a potência infinita tampouco faz parte do mundo real Para evitar tensão e potência infinitas a corrente em um indutor não pode saltar instantaneamente de um valor para outro A interrupção do fluxo de corrente em um circuito real contendo um indu tor pode levar ao aparecimento temporário de um arco elétrico entre os contatos da chave Isso é útil no sistema de ignição de alguns automóveis onde a cor rente que passa através da bobina de ignição é interrompida pelo distribuidor levando ao aparecimento de um arco nos eletrodos da vela Isso ocorre em um intervalo de tempo muito pequeno embora não instantâneo causando o aparecimento de uma alta tensão A presença de uma alta tensão em um espaça mento tão pequeno significa um campo elétrico de intensidade muito elevada a energia armazenada é dissipada com a ionização do ar no caminho do arco A Equação 5 também pode ser interpretada e resolvida se necessário por métodos gráficos como veremos no Exemplo 74 Dada a forma de onda da corrente em um indutor de 3 H conforme mos tra a Figura 712a determine a tensão no indutor e desenhe um gráfico a 1 1 1 0 2 3 it A t s b 3 3 1 1 0 2 3 υt V t s p FIGURA 712 a Forma de onda da corrente em um indutor de 3 H b Forma de onda de tensão correspondente v 3 didt Desde que a tensão υ e a corrente i sejam definidas para satisfazer a conven ção de sinal passivo podemos obter υ da Figura 712a usando a Equação 5 υ 3 di dt Como a corrente é zero para t 1s a tensão é zero nesse intervalo A corrente começa então a crescer linearmente a uma taxa de 1As portanto é produzida uma tensão constante de L didt 3V Durante os 2 segundos seguintes a corrente é constante e portanto a tensão é zero O decréscimo final na corrente resulta em didt 1As levando a υ 3V Para t 3 segun dos it é uma constante zero de modo que υt 0 para aquele intervalo A forma de onda completa da tensão esta desenhada na Figura 712b u EXEMPLO 74 Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 220 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 74 A Corrente através de um indutor de 200 mH é mostrada na Figura 713 Use a convenção de sinal passivo e determine υL em t igual a a 0 b 2 ms c 6 ms 4 2 2 4 6 1 2 3 4 3 2 1 5 6 7 iL mA t ms t FIGURA 713 Resposta 04V 02V 0267V Vamos investigar agora o efeito de uma subida e uma descida mais rápida da corrente entre os valores zero e 1 A Determine a tensão resultante no indutor quando se aplica uma corrente com a forma de onda da Figura 714a no indutor do Exemplo 74 1 1 1 0 2 21 01 3 a it A t s υt V 30 30 1 1 0 2 21 01 3 b t s p FIGURA 714 a O tempo necessário para que a corrente da Figura 712a mude de 0 a 1 e de 1 a 0 é reduzido em um fator de 10 b Forma de onda da tensão resultante As larguras de pulso foram aumentadas para maior clareza Observe que os intervalos de tempo de subida e descida foram reduzidos a 01 s Logo a intensidade de cada derivada será dez vezes maior essa condi ção é mostrada nos gráficos de corrente e tensão das Figuras 714a e b Nas formas de onda de tensão das Figuras 713b e 714b é interessante notar que a área sob cada pulso de tensão é 3 V s Apenas por curiosidade vamos continuar nessa mesma linha de racio cínio por um momento Uma diminuição ainda maior nos tempos de subida e descida da corrente produzirá uma tensão de intensidade proporcional mente maior mas somente dentro do intervalo no qual a corrente está u EXEMPLO 75 Seção 72 u O indutor 221 aumentando ou diminuindo Uma mudança abrupta na corrente causará os picos de tensão infinita cada um com uma área de 3 V s sugeridos pelas formas de onda da Figura 715 ou do ponto de vista igualmente váli do mas oposto tais picos de tensão infinita são necessários para produzir uma mudança abrupta na corrente u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 75 A forma de onda da corrente da Figura 714a possui tempos de subida e descida iguais com duração de 01 s 100 ms Calcule as tensões máxi mas positiva e negativa sobre o mesmo indutor se os tempos de subida e descida forem alterados respectivamente para a 1 ms 1 ms b 12 μs 64 μs c 1 s 1 ns Resposta 3 kV 3 kV 250 kV 4688 kV 3 V 3 GV Relações TensãoCorrente na Forma Integral Definimos a indutância com uma simples equação diferencial υ L di dt e a partir dessa relação obtemos várias conclusões a respeito das carac terísticas de um indutor Por exemplo consideramos o indutor um curto circuito para a corrente contínua e concordamos que não é possível mudar a corrente em um indutor de um valor para outro de forma abrupta porque para isso seriam necessárias tensão e potência infinitas No entanto a simples equação que define a indutância contém ainda mais informações Reescrita em uma forma ligeiramente diferente di 1 L υdt ela é um convite à integração Vamos considerar primeiro os limites a serem colocados nas duas integrais Queremos a corrente i no instante t e esse par de grandezas fornece portanto os limites superiores das integrais aparecendo nos lados esquerdo e direito da equação respectivamente os limites inferiores também podem ser mantidos gerais assumindo simples mente que a corrente tenha o valor it0 no instante t0 Assim it it0 di 1 L t t0 υt dt que leva à equação it it0 1 L t t0 υdt ou 6 it 1 L t t0 υdt it0 1 1 1 0 2 3 a it A t s para 1 1 0 2 para 3 b υt V t s p FIGURA 715 a O tempo necessário para a corrente da Figura 714a mudar de 0 a l e de 1 a 0 é reduzido a zero a subida e a descida são abruptas b A tensão resultante no indutor de 3 H consiste em um pico infinito positivo e um pico infinito negativo Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 222 A Equação 5 expressa a tensão no indutor em termos da corrente enquanto a Equação 6 fornece a corrente em termos da tensão Outras for mas também são possíveis para a última equação Podemos escrever a inte gral como uma integral indefinida e incluir uma constante de integração k it 1 L υdt k 7 Podemos assumir também que estamos resolvendo um problema real no qual a escolha de t0 como garante que não há nenhuma corrente ou energia no indutor Assim se it0 i 0 então it 1 L t υdt 8 Vamos estudar o uso dessas várias integrais usando um exemplo sim ples onde é especificada a tensão nos terminais de um indutor A tensão nos terminais de um indutor de 2 H é 6 cos 5t V Determine a corrente resultante no indutor se it π2 1 A Da Equação 6 it 1 2 t t0 6 cos 5t dt it0 ou it 1 2 6 5 sen 5t 1 2 6 5 sen 5t0 it0 06 sen 5t 06 sen 5t0 it0 O primeiro termo indica que a corrente no indutor apresenta variação senoi dal o segundo e o terceiro termos juntos representam uma constante que se torna conhecida quando a corrente é especificada numericamente em algum instante de tempo Usando o fato de que a corrente é 1 A em t π2 s identificamos t0 como π2 com it0 e obtemos it 06 sen 5t 06 sen 25π 1 ou it 06 sen 5t 16 Podemos obter o mesmo resultado pela Equação 6 Temos it 06 sen 5t k e estabelecemos o valor numérico de k forçando a corrente a ser 1 A em t π2 1 06 sen 25π k ou k 1 06 16 assim como antes it 06 sen 5t 16 u EXEMPLO 76 Seção 72 u O indutor 223 A Equação 8 vai nos causar problemas por causa dessa tensão em particular Baseamos a equação na hipótese de que a corrente era zero quando t De fato isso tem que ser verdade no mundo real mas estamos trabalhando no terreno dos modelos matemáticos nossos elementos e funções forçantes são todos idealizados A dificuldade surge após a integração onde obtemos it 06sen 5t t e tentamos avaliar a integral no limite inferior it 06 sen 5t 06 sen O seno de é indeterminado portanto não podemos avaliar nossa expres são A Equação 8 só é útil se estivermos avaliando funções que se aproxi mam de zero quando t u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 76 Um indutor de 100 mH tem uma tensão υL 2e3t V em seus terminais Determine a corrente resultante no indutor se iL 05 1A Resposta 20 3 e 3t 309 A Entretanto não devemos fazer nenhum julgamento antecipado sobre qual forma das Equações 6 7 e 8 vamos usar de agora em diante cada uma tem suas vantagens dependendo do problema e da aplicação A Equa ção 6 representa um método longo e geral mas ela mostra claramente que a constante de integração é uma corrente A Equação 7 é uma expressão um pouco mais resumida da Equação 6 mas a natureza da constante de integração é suprimida Por fim a Equação 8 é uma excelente expressão pois nenhuma constante é necessária no entanto ela se aplica somente quando a corrente é zero em t e quando a expressão analítica que descreve a corrente não é indeterminada nesse limite Armazenamento de Energia Agora voltaremos nossa atenção para a potência e a energia A potência absorvida é dada pelo produto correntetensão p υi Li di dt A energia L aceita pelo indutor é armazenada no campo magnético ao redor da bobina A mudança nessa energia é expressa pela integral da potência ao longo do intervalo de tempo desejado t t0 p dt L t t0 i di dt dt L it it0 i di 1 2 L it2 it02 Assim Lt Lt0 1 2 L it2 it02 9 Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 224 onde assumimos novamente uma corrente it0 no instante t0 Ao usar a expressão da energia é comum supor que t0 corresponda ao instante de tempo em que a corrente é zero também é comum supor energia zero nesse mesmo instante Temos então simplesmente 10 Lt 1 2 Li2 e agora entendemos que nossa referência para energia zero é qualquer instante de tempo no qual a corrente no indutor é zero Em qualquer tempo subsequente no qual a corrente for zero também não encontrare mos nenhuma energia armazenada no indutor Sempre que a corrente for diferente de zero independentemente de sua direção e de seu sinal haverá energia armazenada no indutor Concluise portanto que a energia pode ser entregue ao indutor durante determinado intervalo de tempo e depois recuperada Toda energia armazenada em um indutor ideal pode ser recu perada no modelo matemático não são pagas taxas de armazenamento tampouco comissões a agentes Uma bobina de verdade no entanto deve ser construída com fios de verdade e portanto sempre terá uma resistência associada Nesse caso não será possível armazenar e recuperar energia sem que ocorram perdas Essas ideias podem ser ilustradas com um simples exemplo Na Figura 716 um indutor de 3 H está em série com um resistor de 01 Ω e com uma fonte de corrente senoidal is 12 sen πt 6 A O resistor pode ser interpretado como a resistência do fio usado na construção de uma bobina de verdade Calcule a máxima energia armazenada no indutor da Figura 716 e quan ta energia é dissipada no resistor durante o tempo em que a energia está sendo armazenada no indutor e depois recuperada A energia armazenada no indutor é L 1 2 Li2 216 sen2 πt 6 J e essa energia aumenta de zero em t 0 a 216 J em t 3 s Logo a máxima energia armazenada no indutor é 216 J Após alcançar seu valor de pico em t 3 s a energia deixa completamente o indutor 3 s depois Vamos ver qual preço pagamos pelo privilégio de armazenar e remover 216 J em 6 segundos A potência dissipada no resistor é facilmente calculada como pR i2R 144 sen2 πt 6 W e a energia convertida em calor no resistor nesse intervalo de 6 s é portanto R 6 0 pR dt 6 0 144 sen2 π 6 t dt u EXEMPLO 77 i υL υR 01 Ω 3 H 12 sen A pt 6 p FIGURA 716 Uma corrente senoidal é aplicada como função forçante em um circuito RL série O resistor de 01 Ω representa a resistência inerente ao fio com o qual o indutor é fabricado Seção 72 u O indutor 225 ou R 6 0 144 1 2 1 cos π 3 t dt 432 J Então gastamos 432 J no processo de armazenar e depois recuperar 216 J em um intervalo de 6 segundos Isso representa 20 da máxima energia armazenada mas é um valor razoável para muitas bobinas com uma indutân cia assim tão grande Em bobinas com uma indutância de aproximadamente 100 μH podemos esperar um valor próximo a 2 ou 3 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 77 Seja L 25 mH para o indutor da Figura 710 a Encontre υL em t 12 ms se iL 10te100t A b Calcule iL em t 01 s se υL 6e12t V e iL0 10 A Se iL 81 e40t mA encontre c a potência que está sendo fornecida ao indutor em t 50 ms e d a energia armazenada no indutor em t 40 ms Resposta 1506 mV 240 A 749 μW 0510 μJ Vamos agora recapitular listando quatro características importantes que resultam da equação υ L didt que define um indutor Características Importantes de um Indutor Ideal 1 Não há tensão nos terminais de um indutor se a corrente através dele não varia no tempo Um indutor é portanto um curtocircuito para CC 2 Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada em um indutor mesmo que a tensão em seus terminais seja zero como no caso em que a corrente através dele é constante 3 É impossível promover uma mudança finita na corrente através do indu tor em um intervalo de tempo nulo pois isso demandaria uma tensão infinita O indutor resiste a mudanças abruptas de corrente da mesma forma que uma massa se opõe a mudanças abruptas de velocidade 4 O indutor nunca dissipa energia somente a armazena Isso é verdade para o modelo matemático mas deixa de ser para um indutor real devido às resistências em série É interessante antecipar nossa discussão sobre dualidade na Seção 76 relendo as quatro afirmações anteriores com certas palavras sendo substitu ídas por suas correspondentes duais Se as palavras capacitor e indutor capacitância e indutância tensão e corrente nos terminais e através deles circuito aberto e curtocircuito mola e massa deslocamento e velocidade forem intercambiadas em qualquer direção obtemos as quatro afirmações feitas anteriormente para os capacitores APLICAÇÃO EM BUSCA DO ELEMENTO PERDIDO Até agora foram introduzidos três diferentes elemen tos passivos com dois terminais o resistor o capacitor e o indutor Cada um foi definido em termos da sua relação de correntetensão υ Ri i C dvdt e υ L didt res pectivamente Em uma perspectiva mais fundamental no entanto podemos observar esses três elementos como parte de um quadro maior relacionando quatro grandezas básicas denominadas carga q corrente i tensão υ e fluxo concatenado φ A carga a corrente e a tensão são discu tidas no Capítulo 2 O fluxo concatenado é o produto do fluxo magnético e o número de voltas do fio condutor concatenado pelo fluxo e pode ser expresso em termos da tensão υ em toda a bobina como φ υ dt ou dφdt Capacitor dq Cdυ Resistor dυ Rdi Memristor dw Mdq Indutor dw Ldi υ w i q dw υdt dq idt p FIGURA 717 Representação gráfica dos quatro elementos passivos básicos de dois terminais resistor capacitor indutor e memristor e suas interrelações Note que o fluxo concatenado é de modo geral representado pela letra grega λ para distinguilo do fluxo então λ Nφ em que N é o número de voltas e φ é o fluxo Reimpresso com permissão de Macmillan Publishers Ltd Nature Publishing Group Electronics The fourth Element Volume 453 pg 42 2008 A Figura 717 representa graficamente como essas quatro grandezas estão interligadas Em primeiro lugar indepen dentemente de quaisquer elementos do circuito e suas carac terísticas temos dq i dt Capítulo 2 e agora dφ υ dt A carga está relacionada com a tensão ao se tratar de um capacitor uma vez que C dqdυ ou dq C dυ O ele mento que chamamos de resistor fornece uma relação dire ta entre tensão e corrente que pode ser expressa como dv Rdi Continuando a nossa viagem no sentido antihorário em torno do perímetro da Figura 717 observamos que nossa expressão original conectando a tensão e a corrente associada a um indutor pode ser escrita em termos de corrente i e fluxo de concatenado φ considerando que um rearranjo dessa equa ção produz υ dt L di e também sabemos que dφ υ dt Assim para o indutor podemos escrever dφ L di Até agora percorremos de q para υ com o auxílio de um capacitor de υ para i usando o resistor e de i a φ usando o indutor No entanto ainda não utilizamos nenhum ele mento para conectar φ e q apesar de a simetria sugerir que tal coisa deve ser possível No início da década de 1970 Leon Chua pensou a respeito do assunto e postulou um novo componente um elemento de circuito de dois termi nais perdido e o chamou de memristor1 Ele passou a demonstrar que as características elétricas de um memristor devem ser não lineares e dependem de seu histórico em outras palavras um memristor pode ser caracterizado por ter uma memória daí o seu nome À parte de seu trabalho outros haviam proposto um componente semelhante nem tanto para utilização prática em circuitos reais mas pelo seu potencial em dispositivos em modelagem de e proces samento de sinais Não muito se ouviu desse elemento hipotético poste riormente pelo menos até que Dmitri Strukov e colegas de trabalho no laboratório da HP em Palo Alto publicaram um breve artigo em 2008 alegando ter encontrado o memristor2 Eles dão vários motivos por ter levado quase quatro décadas para desenvolver um modelo genérico do componente hipotetizado por Chua em 1971 mas um dos mais interessantes tem a ver com o tamanho Ao fabricar seu protótipo de memristor a nanotecnologia a arte de fabricar dispositivos com uma dimensão inferior a 1000 nm que é aproximadamente 1 do diâmetro do cabelo humano desempenhou um papel fundamental Uma camada de óxido de 5 nm de espessura entre dois eletrodos de platina compre ende todo o dispositivo As características elétricas não lineares do protótipo geraram de imediato grande entusiasmo principalmente por suas potenciais aplicações em circuitos integrados onde os componentes já estão se aproximando de seu menor tamanho realístico e muitos acreditam que novos tipos de dispositivos serão necessários para aumentar ainda mais a densidade e a funcionalidade de circuitos integrados Se o memristor é o elemento de circuito que permitirá isso ainda não se sabe apesar do relato de um protótipo resta ainda muito trabalho a ser feito antes que ele se torne prático 1 L 0 Chua MemristorThe missing circuit element IEEE Transactions on Circuit Theory CT18 5 1971 p 507 2 D B Strukov G S Snider D R Stewart and R S Williams The missing memristor found Nature 453 2008 p 80 Seção 73 u Combinações de indutâncias e capacitâncias 227 73 COMBINAÇÕES DE INDUTÂNCIAS E CAPACITÂNCIAS Agora que acrescentamos o indutor e o capacitor à nossa lista de elementos de circuito passivos precisamos decidir se os métodos que desenvolve mos para a análise de circuitos resistivos ainda são válidos Também será conveniente aprender como substituir combinações em série e paralelo de qualquer um desses elementos por equivalentes mais simples assim como fizemos com os resistores no Capítulo 3 Primeiro olhamos as duas leis de Kirchhoff ambas axiomáticas Entretanto quando formulamos essas duas leis fizemos isso sem qualquer restrição quanto aos elementos que constituíam a rede Ambas portanto permanecem válidas Indutores em Série Agora podemos estender os procedimentos que deduzimos para reduzir várias combinações de resistores em um resistor equivalente aos casos aná logos de indutores e capacitores Vamos considerar primeiro uma fonte de tensão ideal aplicada em uma combinação de N indutores em série como mostra a Figura 718a Desejamos um único indutor equivalente com indutância Leq que possa substituir a combinação em série de maneira que a corrente da fonte it fique inalterada O circuito equivalente está desenhado na Figura 718b Aplicando a LKT no circuito original υs υ1 υ2 υN L1 di dt L2 di dt L N di dt L1 L2 L N di dt ou escrevendo de forma mais concisa υs N n 1 υn N n 1 Ln di dt di dt N n 1 Ln Mas no circuito equivalente temos υs Leq di dt portanto a indutância equivalente é Leq L1 L2 L N i vN LN υs a υ2 υ1 L1 L2 i b Leq υs t FIGURA 718 a Circuito contendo N indutores em série b O circuito equivalente desejado no qual Leq L1 L2 LN Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 228 ou Leq N n 1 Ln 11 O indutor equivalente aos vários indutores conectados em série possui uma indutância que é a soma das indutâncias no circuito original Esse é exatamente o mesmo resultado que obtivemos para resistores em série Indutores em Paralelo A combinação de um conjunto de indutores em paralelo é obtida escrevendose uma única equação nodal para o circuito original mostrado na Figura 719a is N n 1 in N n 1 1 Ln t t0 υdt int0 N n 1 1 Ln t t0 υdt N n 1 int0 Comparandoa com o resultado para o circuito equivalente da Figura 719b is 1 Leq t t0 υdt ist0 Como a lei de Kirchhoff das correntes exige que is t0 seja igual à soma das correntes dos ramos em t0 os dois termos integrais também devem ser iguais daí Leq 1 1 L1 1 L2 1 L N 12 Para o caso especial de dois indutores em paralelo Leq L1L2 L1 L2 13 e notamos que indutores em paralelo combinamse exatamente como resis tores em paralelo Capacitores em Série Para encontrar um capacitor que seja equivalente a N capacitores em série usa mos o circuito da Figura 720a e seu equivalente na Figura 720b para escrever υs N n 1 υn N n 1 1 Cn t t0 i dt υnt0 N n 1 1 Cn t t0 i dt N n 1 υnt0 e υs 1 Ceq t t0 i dt υst0 Porém a lei de Kirchhoff das tensões estabelece a igualdade entre υst0 e a soma das tensões nos capacitores em t0 logo a is LN L1 L2 iN i2 i1 υ b Leq is υ p FIGURA 719 a Combinação de N indutores em paralelo b circuito equivalente onde Leq 1L1 1L2 1LN1 p FIGURA 720 a Circuito contendo N capacitores em série b O circuito equivalente desejado onde Ceq 1C1 1C2 1CN1 i υN υs CN a υ2 υ1 C2 C1 i b Ceq υs Seção 73 u Combinações de indutâncias e capacitâncias 229 Ceq 1 1C1 1C2 1CN 14 e capacitores em série combinamse como condutâncias em série ou resistores em paralelo O caso especial de dois capacitores em série é claro resulta em Ceq C1C2 C1 C2 15 Capacitores em Paralelo Por fim os circuitos da Figura 721 nos permitem estabelecer o valor do capacitor que é equivalente a N capacitores em paralelo como Ceq C1 C2 CN 16 e não causa admiração perceber que capacitores em paralelo combinamse da mesma maneira que resistores em série bastando simplesmente somar todas as capacitâncias individuais Vale a pena memorizar essas fórmulas As fórmulas que se aplicam às combinações em série e paralelo de indutores são idênticas àquelas para resistores com isso elas parecem óbvias No entanto é preciso ter cui dado no caso das expressões correspondentes às combinações em série e paralelo de capacitores pois elas são opostas àquelas de resistores e induto res levando frequentemente a erros quando os cálculos são feitos de forma apressada Simplifique a rede da Figura 722a usando combinações em sérieparalelo Os capacitores de 6 µF e 3 µF em série são primeiro combinados em um equi valente de 2 µF e esse capacitor é então combinado com o elemento de 1 µF em paralelo para produzir uma capacitância equivalente de 3 μF Além disso os indutores de 3 H e 2 H são substituídos por um equivalente de 12 H que depois é somado ao elemento de 08 H para dar uma indutância equivalente total de 2 H A rede equivalente muito mais simples e provavelmente mais barata é mostrada na Figura 722b u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 78 Calcule Ceq na rede da Figura 723 04 µF 2 µF 1 µF 08 µF 7 µF 5 µF 12 µF 5 µF Ceq t FIGURA 723 Resposta 318 μF u EXEMPLO 78 p FIGURA 721 a Combinação de N capacitores em paralelo b circuito equivalente onde Ceq C1 C2 CN a is CN C1 C2 iN i2 i1 υ b Ceq is υ p FIGURA 722 a Uma rede LC b Circuito equivalente mais simples a 2 H 3 H 08 H 1 µF 6 µF 3 µF b 2 H 3 µF Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 230 A rede mostrada na Figura 724 contém três indutores e três capacito res mas não é possível obter combinações em série ou paralelo de indu tores nem de capacitores Não é possível simplificar essa rede usando as técnicas aqui apresentadas 3 H 5 H 4 µF 6 µF 1 H 2 µF 74 CONSEQUÊNCIAS DA LINEARIDADE Vamos em seguida passar às análises nodal e de malha Como já sabemos aplicar as leis de Kirchhoff com segurança podemos aplicálas ao escre ver um conjunto de equações que sejam suficientes e independentes No entanto elas serão equações íntegrodiferenciais lineares com coeficientes constantes que se já são difíceis de pronunciar imagine resolvêlas Por conta disso vamos escrevêlas agora para ganhar familiaridade com o uso das leis de Kirchhoff em circuitos RLC mas deixaremos para discutir sua solução ao longo dos próximos capítulos em casos mais simples Escreva equações nodais apropriadas para o circuito da Figura 725 As tensões nodais já estão escolhidas então somamos as correntes que saem do nó central 1 L t t0 υ1 υs dt iLt0 υ1 υ2 R C2 dυ1 dt 0 onde iLt0 é o valor da corrente no indutor no instante em que começa a integração No nó da direita C1 dυ2 υs dt υ2 υ1 R is 0 Reescrevendo essas duas equações temos υ1 R C2 dυ1 dt 1 L t t0 υ1 dt υ2 R 1 L t t0 υs dt iLt0 υ1 R υ2 R C1 dυ2 dt C1 dυs dt is Essas são as equações íntegrodiferenciais que prometemos nas quais observa mos vários pontos interessantes Em primeiro lugar a tensão υs da fonte entra nas equações como uma integral e uma derivada e não simplesmente como υs Visto que ambas as fontes são especificadas em todo o tempo somos capazes de avaliar sua derivada ou sua integral Em segundo lugar o valor inicial da corren te no indutor iLt0 atua como uma fonte de corrente constante no nó central u EXEMPLO 79 p FIGURA 725 Circuito RLC com quatro nós e tensões nodais assinaladas R L C1 υs υs υ2 υ1 is iL C2 u FIGURA 724 Rede LC na qual não é possível obter combinações em série ou paralelo de indutores e de capacitores Seção 74 u Consequências da linearidade 231 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 79 Se υct 4 cos 105t no circuito da Figura 726 calcule υst Resposta 24 cos 105t V Não tentaremos resolver aqui as equações íntegrodiferenciais Vale notar no entanto que quando as fontes de tensão apresentarem uma variação senoidal no tempo será possível definir uma relação tensãocorrente chama da de impedância ou uma relação correntetensão chamada de admitância para cada um dos três elementos passivos Os fatores que operam nas duas tensões nodais nas equações anteriores se tornarão simples fatores multi plicativos e as equações voltarão a ser equações lineares algébricas Essas poderão ser resolvidas por determinantes ou por uma simples eliminação de variáveis como antes Podemos também mostrar que os benefícios da linearidade também se aplicam aos circuitos RLC De acordo com nossa definição anterior esses circuitos também são lineares porque as relações tensãocorrente para o indutor e o capacitor são relações lineares Para o indutor temos υ L di dt e a multiplicação da corrente por uma constante K nos dá uma tensão tam bém multiplicada por um fator K Na formulação integral it 1 L t t0 υdt it0 podese ver que se cada termo cresce de acordo com um fator K o valor inicial da corrente também deve crescer de acordo com esse mesmo fator Uma investigação correspondente mostra que o capacitor também é linear Assim um circuito composto de fontes independentes fontes lineares dependentes resistores indutores e capacitores lineares é um circuito linear Nesse circuito linear a resposta é novamente proporcional à função forçante A prova dessa afirmação é obtida primeiro escrevendo um sistema geral de equações íntegrodiferenciais Vamos colocar todos os termos que tenham a forma Ri L didt e 1C 1 i dt no lado esquerdo de cada equação e manter as fontes de tensão independentes no lado direito Como um simples exemplo uma das equações poderia ter a forma Ri L di dt 1 C t t0 i dt υCt0 υs Se cada fonte independente aumenta K vezes então o lado direito de cada equação aumenta K vezes Note que cada termo no lado esquerdo é um termo linear envolvendo uma corrente de laço ou a tensão inicial em um capacitor de forma a fazer que as correntes de laço cresçam K vezes fica claro que devemos também aumentar as tensões iniciais nos capacitores por um fator K Ou seja devemos tratar a tensão inicial no capacitor como uma fonte de tensão independente e multiplicála também por um fator K p FIGURA 726 υst υC 2 mH 80 nF Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 232 De forma similar correntes iniciais em indutores aparecem como fontes de corrente independentes na análise nodal O princípio da proporcionalidade entre fonte e resposta pode portanto ser estendido ao circuito RLC geral e consequentemente o princípio da superposição também é aplicável Devese enfatizar que correntes iniciais em indutores e tensões iniciais em capacitores devem ser tratadas como fontes independentes na aplicação do princípio da superposição cada valor inicial tem sua hora de ser desativado No Capítulo 5 aprendemos que o princípio da superposição é uma consequência natural da natureza linear dos circuitos resistivos Circuitos resistivos são lineares porque a relação tensãocorrente para o resistor é linear e as leis de Kirchhoff são lineares Contudo antes que possamos aplicar o princípio da superposição em circuitos RLC é necessário desenvolver métodos para resolver as equações que descrevem tais circuitos na presença de apenas uma fonte indepen dente Nesse momento deveremos estar convencidos de que um circuito linear terá uma resposta cuja amplitude é proporcional à amplitude da fonte Deveremos estar preparados para aplicar a superposição mais tarde considerando a corrente inicial em um indutor ou a tensão inicial em um capacitor em t t0 como uma fonte que deverá ser desativada no momento oportuno Os teoremas de Thévenin e Norton baseiamse na linearidade do circuito inicial na aplicabilidade das leis de Kirchhoff e no princípio da superpo sição O circuito RLC geral enquadrase perfeitamente nesses requisitos e segue daí portanto que todos os circuitos lineares que contiverem quaisquer combinações de fontes de tensão e corrente independentes fontes de tensão e corrente dependentes lineares resistores indutores e capacitores lineares poderão ser analisados usandose esses dois teoremas se quisermos 75 CIRCUITOS AOP SIMPLES COM CAPACITORES No Capítulo 6 fomos apresentados a vários tipos diferentes de circuitos amplificadores baseados no AOP ideal Em quase todos os casos vimos que a tensão de saída se relacionava à tensão de entrada por meio de alguma combinação de valores de resistência Se substituímos um ou mais resistores como esses por um capacitor é possível obter circuitos interessantes nos quais a saída é proporcional à derivada ou à integral da tensão de entrada Tais circuitos são amplamente utilizados na prática Por exemplo um sensor de velocidade pode ser conectado a um circuito AOP que fornece um sinal proporcional à aceleração um sinal de saída que represente a carga total depositada em um eletrodo metálico durante um período de tempo específico pode ser obtido por meio da simples integração da corrente medida Para criar um integrador usando um AOP ideal aterramos a entrada não inversora instalamos um capacitor ideal como elemento de realimentação da saída para a entrada inversora e ligamos uma fonte de sinal υs à entrada inversora através de um resistor ideal como mostra a Figura 727 Fazendo a análise nodal na entrada inversora 0 υa υs R1 i p FIGURA 727 AOP ideal ligado como um integrador υsaída υs υa υb R1 Cf i i υCf Seção 75 u Circuitos AOP simples com capacitores 233 Podemos relacionar a corrente i à tensão nos terminais do capacitor i Cf dυCf dt resultando em 0 υa υs R1 Cf dυCf dt Usando a lei número 2 do AOP ideal sabemos que υa υb 0 assim 0 υs R1 Cf dυCf dt Integrando e resolvendo para υsaída obtemos υCf υa υsaída 0 υsaída 1 R1Cf t 0 υs dt υCf 0 ou υsaída 1 R1Cf t 0 υs dt υCf 0 17 Assim acabamos de combinar um resistor um capacitor e um AOP para formar um integrador Note que o primeiro termo da saída é 1RC vezes o negativo da integral da entrada de tʹ 0 a t e o segundo termo é o negativo do valor inicial de υCf O valor de RC1 pode ser feito igual à unidade se quisermos escolhendo R 1 MΩ e C 1 µF por exemplo outros valores podem ser selecionados de modo a fazer a tensão de saída aumentar ou diminuir Antes de deixarmos o circuito integrador vamos antecipar a pergunta de um leitor questionador Poderíamos usar um indutor no lugar do capa citor e obter um diferenciador Sem dúvida poderíamos mas projetistas de circuitos costumam evitar o uso de indutores sempre que possível devido a seus tamanho peso e custo bem como à resistência e à capacitância asso ciadas Em vez disso é possível trocar as posições do resistor e do capacitor na Figura 727 e obter um diferenciador Deduza uma expressão para a tensão de saída do circuito AOP mostrado na Figura 728 Começamos escrevendo uma equação nodal na entrada inversora com υC1 υa υs 0 C1 dυC1 dt υa υsaída Rf Usando a lei número 2 do AOP ideal υa υb 0 Logo C1 dυC1 dt υsaída Rf u EXEMPLO 710 p FIGURA 728 AOP ideal conectado como diferenciador υsaída υs υa υb Rf C1 i υRf Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 234 Resolvendo para υsaída υsaída Rf C1 dυC1 dt Como υC1 υa υs υs υsaída Rf C1 dυs dt Assim simplesmente trocando as posições do resistor e do capacitor no circuito da Figura 727 obtemos um diferenciador em vez de um integrador u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 710 Deduza uma expressão para υsaída em termos de υentrada no circuito mos trado na Figura 729 Resposta υsaída Lf R1 dυsdt 76 DUALIDADE A dualidade se aplica a muitos conceitos fundamentais de engenharia Nesta seção vamos definir dualidade em termos de equações de circuitos Dois circuitos são duais se as equações de malha que caracterizam um deles têm a mesma forma matemática das equações nodais que caracteri zam o outro Dizemos que eles são duais exatos se cada equação de malha de um circuito for numericamente idêntica à equação nodal correspondente ao outro circuito naturalmente as variáveis de corrente e tensão não podem ser elas mesmas idênticas A dualidade referese meramente a qualquer uma das propriedades exibidas por circuitos duais Vamos usar a definição para construir um circuito dual exato escre vendo as duas equações de malha para o circuito mostrado na Figura 730 Existem duas correntes de malha i1 e i2 e as equações de malha são 3i1 4 di1 dt 4 di2 dt 2 cos 6t 18 4 di1 dt 4 di2 dt 1 8 t 0 i2 dt 5i2 10 19 Podemos agora construir as duas equações que descrevem o dual exato de nosso circuito Queremos que elas sejam equações nodais portanto começamos substituindo as correntes de malha i1 e i2 nas Equações 18 e 19 pelas duas tensões nodais υ1 e υ2 respectivamente Obtemos 3υ1 4 dυ1 dt 4 dυ2 dt 2 cos 6t 20 4 dυ1 dt 4 dυ2 dt 1 8 t 0 υ2 dt 5υ2 10 21 e agora procuramos o circuito representado por essas duas equações nodais υsaída υs υa υb Lf R1 i i υLf p FIGURA 729 p FIGURA 730 Circuito no qual pode ser aplicada a definição de dualidade para determinar o circuito dual Note que vc0 10 V υC 5 Ω 3 Ω 2 cos 6t V 4 H 8 F i1 i2 Seção 76 u Dualidade 235 Vamos primeiro traçar uma linha para representar o nó de referência em seguida podemos estabelecer dois nós nos quais estão localizadas as referências positivas para υ1 e υ2 A Equação 20 indica que uma fonte de corrente de 2 cos 6t A está conectada entre o nó 1 e o nó de referência orientada de modo a fornecer uma corrente entrando no nó 1 Essa equação também mostra que uma condutância de 3 S aparece entre o nó 1 e o nó de referência Voltando à Equação 21 consideramos primeiro os termos que não são mútuos isto é aqueles que não aparecem na Equação 20 e eles nos instruem a conectar um indutor de 8 H e uma condutância de 5 S em paralelo entre o nó 2 e a referência Os dois termos similares nas Equa ções 20 e 21 representam um capacitor de 4 F presente mutuamente nos nós 1 e 2 o circuito é completado com a conexão desse capacitor entre os dois nós O termo constante no lado direito da Equação 21 é o valor da corrente no indutor em t 0 em outras palavras iL0 10 A O circuito dual é mostrado na Figura 731 visto que os dois conjuntos de equações são numericamente idênticos os circuitos são duais exatos Circuitos duais podem ser obtidos mais facilmente do que por esse método pois as equações não precisam ser escritas Para construir o dual pensamos no circuito em termos de suas equações de malha A cada malha devemos associar um nó não usado como referência fornecendo adicional mente o nó de referência Portanto no diagrama de um dado circuito coloca mos um nó no centro de cada malha e representamos o nó de referência como uma linha próxima ao diagrama ou um caminho fechado o envolvendo Cada elemento compartilhado por duas malhas é mútuo e dá origem a termos idên ticos nas duas equações de malha correspondentes porém com sinais contrá rios Ele deve ser substituído por um elemento que fornece o termo dual nas duas equações nodais correspondentes Esse elemento dual deve portanto ser conectado diretamente entre os dois nós não usados como referência localizados no interior das malhas nas quais aparecem os elementos mútuos A natureza do elemento dual é facilmente determinada a forma mate mática das equações será a mesma somente se a indutância for substituída por capacitância capacitância por indutância condutância por resistência e resistência por condutância Logo o indutor de 4 H que é comum às malhas l e 2 no circuito da Figura 730 aparece como um capacitor de 4 F conectado diretamente entre os nós l e 2 no circuito dual Elementos que aparecem somente em uma malha devem ter duais apa recendo entre o nó correspondente e o nó de referência Tendo novamente a Figura 730 como referência a fonte de tensão de 2 cos 6t V aparece somente na malha l seu dual é uma fonte de corrente de 2 cos 6t A que está conectada apenas ao nó l e ao nó de referência Como a fonte de tensão está orientada no sentido horário a seta da fonte de corrente deve apontar para o nó não usado como referência Por fim deve ser fornecido o dual da ten são inicial presente no capacitor de 8 F conectado ao circuito As equações mostraramnos que o dual da tensão inicial no capacitor é uma corrente inicial que flui através do indutor no circuito dual os valores numéricos são os mesmos e o sinal correto da corrente inicial pode ser determinado mais facilmente tratando a tensão inicial no circuito original e a corrente inicial no circuito dual como fontes Portanto se a tensão υc no circuito original p FIGURA 731 Dual exato do circuito da Figura 730 iL 3 S 5 S Ref 8 H 4 F υ2 υ1 2 cos 6t A Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 236 fosse tratada como uma fonte ela apareceria como υC no lado direito da equação de malha no circuito dual o tratamento da corrente iL como uma fonte resultaria em um termo iL no lado direito da equação nodal Assim como ambos têm o mesmo sinal quando tratados como fontes se υC0 10 V iL0 deve ser 10 A O circuito da Figura 730 é repetido na Figura 732 Seu dual exato é construído no próprio diagrama do circuito simplesmente traçando o dual de cada elemento original entre os dois nós criados no interior das duas malhas que compartilham o elemento original Um nó de referência envolvendo o circuito original pode ser útil Depois que o circuito dual é redesenhado em uma forma mais usual ele se parece com o mostrado a Figura 731 Nas Figuras 733a e b é mostrado um exemplo adicional da construção de um circuito dual Como não são especificados valores de um elemento em par ticular esses dois circuitos são duais mas não necessariamente duais exatos O circuito original pode ser recuperado a partir do dual colocando um nó no cen tro de cada uma das cinco malhas da Figura 733b e procedendo como antes p FIGURA 733 a O dual em cinza de um circuito em preto é construído no circuito dado b O circuito dual é desenhado em uma forma mais convencional para ser comparado com o original a b O conceito de dualidade também pode ser estendido à linguagem que usamos para descrever a análise ou a operação de um circuito Por exemplo se temos uma fonte de tensão em série com um capacitor podemos dizer A fonte de tensão causa um fluxo de corrente através do capacitor seu correspondente dual é A fonte de corrente faz aparecer uma tensão entre os terminais do indutor O dual de uma definição dita com menos cuidado como A corrente vai circulando em tomo do circuito série pode requerer um pouco mais de criatividade4 Um treinamento no uso da linguagem dual pode ser feito com a leitura do teorema de Thévenin seguindo a orientação anterior o resultado será o teorema de Norton Temos falado sobre elementos duais linguagem dual e circuitos duais Que tal uma rede dual Considere um resistor R e um indutor L em série O 4 Alguém já sugeriu A tensão está aplicada nos terminais de todo o circuito em paralelo p FIGURA 732 O dual do circuito da Figura 730 é construído diretamente a partir do diagrama do circuito 5 Ω Ω Ω 5 8 H 4 F 3 Ω 3 2 cos 6t V 2 cos 6t A 4 H Ref 8 F Seção 77 u Modelando capacitores e indutores com o Pspice 237 dual dessa rede de dois terminais existe e é mais facilmente obtida com a sua conexão a alguma fonte ideal O circuito dual corresponde então à fonte dual em paralelo com uma condutância G com o mesmo valor numérico de R e uma capacitância C com o mesmo valor numérico de L Chamamos de rede dual a rede de dois terminais conectada à fonte dual ela corresponde portan to a um par de terminais entre os quais G e C estão conectadas em paralelo Antes de deixar a definição de dualidade devemos destacar que a dua lidade é definida com base nas equações nodais e de malha Como circui tos não planares não podem ser descritos por um sistema de equações de malha um circuito que não pode ser desenhado na forma planar não possui um correspondente dual Usaremos a dualidade principalmente para reduzir o trabalho que tere mos na análise de circuitos convencionais Após termos analisado o circuito RL série o circuito RC paralelo requererá menos atenção não por ser menos importante mas por já conhecermos a análise da rede dual Como a análise de um circuito complicado não é em geral tão bem conhecida a dualidade geralmente não nos fornecerá uma solução imediata u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 711 Escreva a única equação nodal para o circuito da Figura 734a e mostre por substituição direta que υ 80e106t mV é uma solução Sabendo isso calcule a υ1 b υ2 e c i no circuito da Figura 734b Resposta 8e106t mV 16e106t mV 80e106t mA 77 MODELANDO CAPACITORES E INDUTORES COM O PSPICE Ao usar o PSpice para analisar circuitos contendo indutores e capacitores fre quentemente é necessário especificar a condição inicial de cada elemento ou seja υC0 e iL0 Isso é feito dando um clique duplo no símbolo do elemen to o que resulta na abertura da caixa de diálogo mostrada na Figura 735a Na extrema direita não mostrado encontramos o valor da capacitância cujo p FIGURA 734 a 8e106t mA 10 Ω 02 µF υ b υ2 i 01 Ω 02 µH 8e106t mV υ1 p FIGURA 735 a Janela do editor de propriedades do capacitor b Caixa de diálogo para seleção de propriedades de exibição Display Properties a b Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 238 valor padronizado é l nF Podemos também especificar a condição inicial IC definida como 2 V na Figura 735a Clicando com o botão direito do mouse e selecionando Display abrese a caixa de diálogo mostrada na Figura 735b que permite a exibição da condição inicial no diagrama esquemático O procedimento para definir a condição inicial de um indutor é essencialmen te o mesmo Também devemos notar que quando um capacitor é colocado no diagrama esquemático ele aparece na horizontal o terminal de referência positiva para a tensão inicial é o terminal à esquerda Simule a forma de onda da tensão de saída do circuito da Figura 736 se υs 15 sen 100t V R1 10kΩ Cf 47 μF e υc0 2 V Começamos desenhando o diagrama esquemático do circuito não nos esquecendo de definir a tensão inicial do capacitor Figura 737 Note que precisamos converter a frequência de 100 rads para 1002π 1592 Hz p FIGURA 737 Representação esquemática do circuito da Figura 736 com a tensão inicial do capacitor definida como 2 V Para obter tensões e correntes variáveis no tempo precisamos fazer aquilo que chamamos de análise transitória transient analysis No menu PSpice criamos um New Simulation Profile denominado op amp integrator o que leva à abertura da caixa de diálogo reproduzida na Figura 738 Run to time representa o instante de tempo no qual a simu lação é terminada o PSpice selecionará por conta própria os passos de tempo discretos nos quais as várias tensões e correntes serão calculadas Ocasionalmente obteremos uma mensagem de erro avisando que a solu ção transitória não convergiu ou notaremos que a forma de onda de saída não é tão suave quanto gostaríamos que fosse Nessas situações é bom definir um valor para o parâmetro Maximum step size máxima largura de passo que foi ajustado para 05 ms neste exemplo u EXEMPLO 711 υsaída υs R1 Cf υC p FIGURA 736 Circuito AOP integrador Seção 77 u Modelando capacitores e indutores com o Pspice 239 p FIGURA 738 Caixa de diálogo para ajuste da análise transitória Escolhemos um instante final de 05 s para obter vários períodos da forma de onda de saída 11592 006 s De nossa análise anterior e da Equação 17 esperamos que a saída seja proporcional à integral negativa da forma de onda na entrada ou seja υsaída 0319 cos 100t 2219 V como mostra a Figura 739 A condição inicial de 2 V no capacitor foi combinada com um termo constante prove niente da integração para resultar em uma saída com valor médio não nulo diferentemente da entrada que tem valor médio igual a zero p FIGURA 739 Tensão de saída simulada no circuito integrador juntamente com a forma de onda de entrada para comparação Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 240 RESUMO E REVISÃO Muitos circuitos práticos podem ser modelados de maneira eficaz uti lizando apenas resistências e fontes de tensãocorrente No entanto as ocorrências cotidianas mais interessantes de alguma forma envolvem algo mudando com o tempo e em tais casos capacitâncias eou indutâncias intrínsecas podem tornarse importantes Empregamos tais elementos de armazenamento de energia de forma intencional como por exemplo no projeto de filtros de frequência seletiva bancos de capacitores e motores de veículos elétricos Um capacitor ideal é modelado com uma resistência shunt infinita e uma corrente que depende da taxa de variação da tensão entre os terminais no tempo A capacitância é medida em unidades de farads F Por outro lado um indutor ideal é modelado com resistência em série nula e a tensão nos terminais dependente da taxa de variação da corrente no tempo A indutância é medida em unidades de henrys H Tanto um quanto outro elemento pode armazenar energia a quantidade de energia presente em um capacitor armazenado no seu campo elétrico é proporcional ao quadrado da tensão em seus terminais e a quantidade de energia presente em um indutor armazenada no seu campo magnético é proporcional ao quadrado de sua corrente Assim como para resistores podemos simplificar algumas conexões de capacitores ou indutores usando combinações sérieparalelo A validade de tais equivalentes surge da LKC e da LKT Uma vez que tenhamos simplificado um circuito tanto quanto possível tendo o cuidado de não combinar até um componente que é utilizado para definir uma corrente ou tensão de nosso interesse as análises de malha e nodal podem ser apli cadas aos circuitos com capacitores e indutores No entanto as equações íntegrodiferenciais resultantes têm soluções muitas vezes não triviais e por isso iremos considerar algumas abordagens práticas nos próximos dois capítulos Circuitos simples no entanto tais como aqueles que envolvem um único amplificador operacional podem ser analisados facilmente Descobrimos para nossa surpresa que tais circuitos podem ser utilizados como integradores ou diferenciadores de sinal Consequentemente eles fornecem um sinal de saída que nos diz como determinada grandeza de entrada p ex o acúmulo de carga durante a implantação de íons em uma placa de silício varia com o tempo Como observação final capacitores e indutores dão um exemplo parti cularmente forte do conceito conhecido como dualidade A LKC e a LKT bem como as análises nodal e de malhas são outros exemplos Os circuitos raramente são analisados usando essa ideia mas isso é muito importante já que a implicação é que nós só precisamos aprender cerca de metade do conjunto completo de conceitos e então determinar como traduzir o restante Algumas pessoas consideram isso útil outras não Independente mente disso capacitores e indutores são fáceis de modelar no PSpice e em outras ferramentas de simulação de circuitos o que nos permite conferir nossas respostas A diferença entre esses elementos e os resistores em tais software é que devemos ter o cuidado de definir a condição inicial corretamente 241 A título de revisão adicional listamos aqui alguns pontos fundamentais do capítulo identificando exemplos relevantes f A corrente em um capacitor é dada por i C dυdt Exemplo 71 f A tensão nos terminais de um capacitor está relacionada à corrente por υt 1 C t t0 it dt υt0 Exemplo 72 f O capacitor é um circuito aberto para correntes CC Exemplo 71 f A tensão nos terminais de um indutor é dada por υ L didt Exem plos 74 e 75 f A corrente em um indutor está relacionada à tensão em seus termi nais por it 1 L t t0 υdt it0 Exemplo 76 f O indutor é um curtocircuito para correntes CC Exemplo 74 e 75 f A energia armazenada em um capacitor é dada por 1 2Cυ2 enquanto a energia armazenada em um indutor é dada por 1 2Li2 ambas têm como referência um instante de tempo no qual não havia nenhuma energia armazenada Exemplo 73 e 77 f Indutores em série e em paralelo podem ser combinados da mesma maneira que resistores Exemplo 78 f Capacitores em série e em paralelo são combinados de maneira oposta à combinação de resistores Exemplo 78 f Como capacitores e indutores são elementos lineares a LKT a LKC a superposição os teoremas de Thévenin e Norton e a análise nodal e de malha também se aplicam aos seus circuitos Exemplo 79 f O uso do capacitor como elemento de realimentação em um AOP inversor leva a uma tensão de saída proporcional à integral da ten são de entrada Uma troca entre o resistor de entrada e o capacitor de realimentação leva a uma tensão de saída proporcional à derivada da tensão de entrada Exemplo 710 f O conceito de dualidade proporciona outra perspectiva sobre a rela ção entre circuitos com indutores e circuitos com capacitores f O PSpice nos permite definir a tensão inicial em um capacitor e a corrente inicial em um indutor Uma análise transitória fornece detalhes da resposta variável no tempo de circuitos contendo esses tipos de elementos Exemplo 711 LEITURA COMPLEMENTAR Um guia detalhado sobre as características e a seleção de vários tipos de capacitores e indutores pode ser encontrado nos livros H B Drexler Passive Electronic Component Handbook 2nd ed C A Harper ed New York McGrawHill 2003 pp 69203 Leitura complementar Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 242 C J Kaiser The Inductor Handbook 2nd ed Olathe Kans CJ Publishing 1996 Dois livros que descrevem circuitos AOPs com base em capacitores são R Mancini ed Op Amps Are For Everyone 2nd ed Amsterdam Newnes 2003 W G Jung Op Amp Cookbook 3rd ed Upper Saddle River NJ PrenticeHall 1997 EXERCÍCIOS 71 O Capacitor 1 Fazendo uso da convenção de sinal passivo determine a corrente que flui atra vés de um capacitor de 220 nF para t 0 se a tensão υCt é dada por a 335 V b 162e9t V c 8 cos 001t mV d 5 9 sen 008t V 2 Esboce a corrente que flui através de um capacitor de 13 pF para t 0 em res posta à forma de onda de tensão ilustrada na Figura 740 Assuma a convenção de sinal passivo u FIGURA 740 b υ V 4 2 0 2 4 1 0 1 t s 2 3 4 5 a 1 0 1 t s υ V 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 3 a Se a forma de onda de tensão representada na Figura 741 é aplicada nos terminais de um capacitor eletrolítico de 1 µF esboce o gráfico da corrente resultante assumindo a convenção de sinal passivo b Repita a parte a se o capacitor é substituído por um capacitor 175 pF 4 Um capacitor é construído a partir de duas placas de cobre cada uma medindo 1 mm 25 mm e com 155 µm de espessura As duas placas são colocadas de forma paralela e separadas por uma distancia de 1µm Calcule a capacitância resultante se a o dielétrico entre as placas tem uma permissividade de 135ε0 b o dielétrico entre as placas tem uma permissividade de 35ε0 c a separação das placas é aumentada em 35 µm e o espaço entre as mesmas é preenchido com ar d a superfície das placas é dobrada e a distância de 1 µm é preenchida com ar 6 Projete um capacitor de 100 nF construído a partir de uma folha de ouro de 1 µm de espessura e que se encaixa inteiramente dentro de um volume igual ao de uma pilha modelo AAA se o único dielétrico disponível tem uma permis sividade de 31ε0 7 Projete um capacitor cuja capacitância possa ser variada mecanicamente em um simples movimento vertical entre os valores de 100 pF e 300 pF 8 Projete um capacitor cuja capacitância possa ser variada mecanicamente ao longo de uma escala de 50 nF a 100 nF girando um botão em 90º p FIGURA 741 1 2 1 2 3 4 3 4 5 6 υ V t s Exercícios 243 9 Um diodo de junção pn de silício é caracterizado por uma capacitância de jun ção definida como Cj Ksε0 A W onde KS 118 para o silício ε0 é a permissividade do vácuo A área da seção transversal da junção e W é conhecido como a largura da camada de depleção da junção W não depende apenas de como o diodo é fabricado mas também da tensão aplicada em seus dois terminais Esse parâmetro pode ser calculado com W 2Ksε0 qN Vbi VA Assim diodos são frequentemente usados em circuito eletrônicos pois se com portam como capacitores controlados por tensão Assumindo N 1018 cm3 Vbi 057 V e usando q 16 1019 C calcule a capacitância de um diodo com área de seção transversal A 1 µm 1 µm quando submetido a tensões VA 1 5 e 10 volts 10 Assumindo a convenção de sinal passivo esboce a tensão nos terminais de um capacitor de 25 F em resposta à forma de onda de corrente mostrada na Figura 742 t FIGURA 742 c 3 1 1 0 2 3 it A t s a b 2 2 1 1 0 2 3 it A t s 2 2 1 1 0 2 3 it A t s 11 A corrente que flui através de um capacitor de 33 mF é mostrada no gráfico da Figura 743 a Assumindo a convenção de sinal passivo esboce o resultado da forma de onda da tensão nos terminais do componente b Calcule a tensão em 300 ms 600 ms e 11 s t FIGURA 743 4 8 0 04 02 08 06 12 10 14 i A t s Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 244 12 Calcule a energia armazenada em um capacitor no instante t 1 s se a C 14 F e υC 8 V t 0 b C 235 pF e υC 08 V t 0 c C 17 nF υC1 12 V υC0 2 V e C 295 nJ 13 Um capacitor de 137 pF é ligado a uma fonte de tensão tal que υCt 12e2t V e t 0 e υCt 12 V t 0 Calcule a energia armazenada no capacitor em t igual a a 0 b 200 ms c 500 ms d 1 s 14 Calcule a potência dissipada no resistor de 40 Ω e a tensão representada por υC em cada um dos circuitos mostrados na Figura 744 u FIGURA 744 12 V 22 Ω 40 Ω 98 mF 98 mF υC 12 V 22 Ω 40 Ω υC a b 15 Para cada circuito mostrado na Figura 745 calcule a tensão representada por vC u FIGURA 745 3 mF 45 nA 7 Ω 5 Ω 10 Ω 13 Ω υC 3 mF 45 nA 13 Ω 7 Ω 5 Ω 10 Ω υC a b 72 O Indutor 16 Projete um indutor de 30 nH usando um fio de cobre AWG 29 Inclua um esbo ço de seu projeto e os parâmetros de identificação geométrica necessários para maior clareza Assuma que a bobina seja preenchida apenas com ar 17 Se a corrente que flui através de um indutor de 75 mH tem a forma de onda mostrada na Figura 746 a esboce a tensão nos terminais do indutor para t 0 assumindo a convenção de sinal passivo e b calcule a tensão em t 1 s 29 s e 31 s t FIGURA 746 2 1 1 1 0 2 3 it A t s 18 A corrente através de um indutor de alumínio de 17 nH é mostrada na Figura 747 Esboce a forma de onda de tensão resultante para t 0 assumindo a con venção de sinal passivo 19 Determine a tensão para t 0 que se desenvolve nos terminais de um indutor de 42 mH se a corrente definida de forma consistente com a convenção de sinal passi vo é p FIGURA 747 2 2 3 4 5 3 4 5 6 7 it A t ms Exercícios 245 a 10 mA b 3 sen 6t A c 11 1152 cos 100πt 9º A d 13et nA e 3 te14t A 20 Determine a tensão para t 0 que se desenvolve nos terminais de um indutor de 8 pH se a corrente definida de forma consistente com a convenção de sinal passivo é a 8 mA b 800 mA c 8 A d 4et A e 3 tet A 21 Calcule υL e iL para cada um dos circuitos mostrados na Figura 748 se iS 1 mA e υS 21 V t FIGURA 748 a 47 kΩ 12 nH 14 kΩ υL υL υL υL is c 47 kΩ 12 nH iL iL υs b is d 12 nH iL υs 47 kΩ 47 kΩ 14 kΩ 12 nH iL 22 A forma de onda da corrente mostrada na Figura 714 tem um tempo de subida de 01 100 ms e um tempo de descida de mesma duração Se a corrente é apli cada ao terminal de referência de tensão de um indutor de 200 nH esboce a forma de onda de tensão esperada se os tempos de subida e decida forem alterados respectivamente para a 200 ms 200 ms b 10 ms 50 ms c 10 ns 20 ns 23 Determine a tensão no indutor que resulta da forma de onda de corrente mostra da na Figura 749 assumindo a convenção de sinal passivo no instante t igual a a 1 s b 0 s c 15 s d 25 s e 4 s f 5 s t FIGURA 749 3 2 1 1 2 1 2 3 4 3 2 1 5 6 7 iL mA t s 24 Determine a corrente que flui através de um indutor de 6 mH se a tensão defi nida de tal forma que seja consistente com a convenção de sinal passivo é dada por a 5 V b 100 sen 120πt t 0 e 0 t 0 25 A tensão em um indutor 2 H é dada por υL 43t 0 t 50 ms Sabendo que iL 01 100 μA calcule a corrente assumindo que é definida de acordo com a convenção de sinal passivo em t igual a a 0 b 15 ms c 45 ms Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 246 26 Calcule a energia armazenada no indutor 1 nH se a corrente que flui através dele é a 0 mA b 1 mA c 20 A d 5 sen 6t mA t 0 27 Determine a quantidade de energia armazenada em um indutor de 33 mH em t 1 ms como resultado de uma corrente iL dada por a 7 A b 3 9e103t mA 28 Supondo que os circuitos da Figura 750 foram ligados por um tempo muito longo determine o valor de cada corrente ix u FIGURA 750 47 kΩ 16 kΩ 7 kΩ 10 V 47 kΩ ix 2 µH 6 µH 8 µH 2 kΩ 4 kΩ 5 kΩ 2 A 1 kΩ ix 10 A 4 nH 3 µF a b 29 Calcule a tensão representada por υx na Figura 751 assumindo que o circuito já estava funcionando por um longo tempo se a um resistor de 10 Ω é conectado entre os terminais x e y b um indutor de 1 H é conectado entre os terminais x e y c um capacitor de 1 F é conectado entre os terminais de x e y d um indutor de 4 H em paralelo com um resistor de 1 Ω é conectado entre os terminais x e y u FIGURA 751 υx 20 Ω 15 Ω 12 Ω 20 Ω 1 V 5 F 5 A x y 2 H 3 H 20 F 5 H 30 Para o circuito mostrado na Figura 752 a calcule o equivalente de Thévenin visto pelo indutor b determine a potência dissipada pelos dois resistores c calcule a energia armazenada no indutor u FIGURA 752 50 mH 4 V 10 kΩ 47 kΩ Exercícios 247 73 Combinações de Indutâncias e Capacitâncias 31 Se cada capacitor tem um valor de 1 F determine a capacitância equivalente da rede mostrada na Figura 753 32 Determine a indutância equivalente para a rede mostrada na Figura 754 se cada indutor tem valor L t FIGURA 754 33 Usando quantos indutores de 1 nH você quiser projete dois circuitos tendo cada um deles uma indutância equivalente de 125 nH 34 Calcule a capacitância equivalente representada por Ceq na Figura 755 t FIGURA 755 4 F 2 F 2 F 1 F 5 F 12 F Ceq 8 F 5 F 7 F 35 Determine a capacitância equivalente Ceq do circuito mostrado na Figura 756 t FIGURA 756 a b 5 F 1 F 2 F 12 F 4 F 10 F 12 F 7 F Ceq 36 Aplique técnicas de associação de forma apropriada para obter o valor da indu tância equivalente Leq no circuito da Figura 757 t FIGURA 757 a b 5 H 1 H 2 H 12 H 4 H 10 H 12 H 7 H Leq p FIGURA 753 Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 248 37 Reduza o circuito ilustrado na Figura 758 para o menor número de componen tes possível 2 V R R R R υx R L L C C C u FIGURA 758 38 Veja a rede da Figura 759 e encontre a Req se cada elemento é um resistor de 10 Ω b Leq se cada elemento é um indutor de 10 H e c Ceq cada elemento é um capacitor de 10 F 39 Determine a indutância equivalente vista olhando para os terminais a e b da rede representada na Figura 760 40 Reduza o circuito representado na Figura 761 para o menor número de compo nentes possível u FIGURA 761 is R L L L L R C C C L C 41 Reduza a rede da Figura 762 para o menor número de componentes possível se cada indutor é de 1 nH e cada capacitor é de 1 mF u FIGURA 762 42 Para a rede da Figura 763 L1 1 H L2 L3 2 H L4 L5 L6 3 H a Encontre a indutância equivalente b Deduza uma expressão para uma rede geral deste tipo contendo N estágios supondo que o estágio N seja composto de N indutores cada um com uma indutância de N henrys u FIGURA 763 L4 L5 L6 L2 L1 L3 p FIGURA 759 p FIGURA 760 b a 1 nH 2 nH 2 nH 4 nH 1 nH 7 nH Exercícios 249 43 Simplifique a rede da Figura 764 se cada elemento é um capacitor de 2 pF 44 Simplifique a rede da Figura 764 se cada elemento é um indutor de 1 nH 74 Consequências da Linearidade 45 Em relação ao circuito representado na Figura 765 a escreva um conjunto completo de equações nodais e b escreva um conjunto completo de equações de malha t FIGURA 765 R R L C1 υs υs υ2 υ1 is iL C2 i1 i2 46 a Escreva equações nodais para o circuito da Figura 766 b Escreva equa ções de malha para o mesmo circuito 47 No circuito da Figura 767 seja iS 60e200t mA com i10 20 mA a Calcule υt para todo t b Calcule i1t para t 0 c Calcule i2t para t 0 48 Considere υS 100e80t V e υ10 20 V no circuito da Figura 768 a Calcule it para todo t b Calcule υ1t para t 0 c Calcule υ2t para t 0 49 Supondo que todas as fontes no circuito da Figura 769 estejam conectadas e operando por um tempo muito longo use o princípio da superposição para encontrar υCt e υLt t FIGURA 769 υL 20 Ω 60 mH 9 V 5 µF 30 mA 20 mA 40 cos 103t mA υC 50 Para o circuito da Figura 770 suponha que não haja energia armazenada em t 0 e escreva um conjunto completo de equações nodais t FIGURA 770 50 mH 50 Ω 100 Ω 02υx 1 µF υx 40e20t V 20e20t mA p FIGURA 764 p FIGURA 766 8 mH iL υL υC υs υC 0 12 V iL0 2 A 20 Ω 10 Ω 5 µF i20 p FIGURA 767 6 H 4 H i1 i2 is υt 3 H p FIGURA 768 υs it 2 µF 1 µF 4 µF υ1 υ2 Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 250 75 Circuitos AOP Simples com Capacitores 51 Troque as posições de R1 e Cf no circuito da Figura 727 e assuma Ri R0 0 e A para o AOP a Calcule υsaídat em função de υst b Obtenha uma equação relacionando υot e υst se A não for considerado infinito 52 Para o circuito amplificador integrador da Figura 727 R1 100 kΩ Cf 500 μF e υS 20 sen 540t mV Calcule υsaída se a A Ri e R0 0 b A 5000 Ri 1 MΩ e R0 3 Ω 53 Deduza uma expressão para υsaída em termos de υs para o circuito amplificador mostrado na Figura 771 54 Na prática circuitos tais como o da Figura 727 podem não funcionar correta mente a menos que haja um caminho de condução entre os terminais de entrada e saída do AOP a Analise o circuito amplificador integrador modificado mostrado na Figura 772 para obter uma expressão de υsaída em termos de υs e b compare essa expressão com a Equação 17 55 Um novo equipamento projetado para fazer cristais a partir de componentes fundidos está tendo muitas falhas produtos rachados O gerente de produção pretende acompanhar o ritmo de resfriamento para ver se isso está relacionado ao problema O sistema dispõe de dois terminais de saída onde a tensão entre eles é linearmente proporcional à temperatura do cadinho tal que 30 mV correspon dem a 30 C e 1 V corresponde a 1000 C Projete um circuito cuja tensão de saída represente a taxa de resfriamento calibrado de tal forma que 1 V 1 Cs 56 Uma empresa de confeitaria decidiu aumentar a taxa de produção de suas barras de chocolate ao leite para compensar um aumento recente do custo das maté riasprimas No entanto a embalagem não pode receber mais que 1 barra por segundo senão ela deixa cair as barras Um sinal de tensão senoidal de 200 mV pico a pico está disponível no sistema que produz as barras que alimenta a embalagem de modo que sua frequência corresponde à frequência de produção de barras ou seja 1 Hz 1 barras Projete um circuito que forneça uma tensão de saída suficiente para alimentar um alarme audível de 12 V quando a taxa de produção exceder a capacidade da embalagem 57 Um problema enfrentado pelos satélites é a exposição a partículas de alta energia que podem causar danos aos componentes eletrônicos sensíveis assim como aos painéis solares utilizados para fornecer energia Um novo satélite de comunicações é equipado com um detector de prótons de alta energia medindo 1 cm x 1 cm Ele fornece uma corrente diretamente proporcional ao número de prótons que incidem na superfície por segundo Projete um circuito cuja tensão de saída forneça o total do número de choques de prótons calibrado de tal forma que um 1 V 1 milhão de partículas incidentes 58 A saída de um sensor de velocidade conectado a uma peça sensível de um equi pamento móvel é calibrada para fornecer um sinal de forma que 10 mV corres pondam a uma velocidade linear de 1 ms Se o equipamento for submetido a um choque súbito ele pode ser danificado Uma vez que força massa aceleração o monitoramento da variação de velocidade pode ser utilizado para determinar se o equipamento é transportado de forma inadequada a Projete um circuito para fornecer uma tensão proporcional à aceleração linear tal que 10 mV 1 ms2 b De quantas combinações de circuitosensor essa aplicação necessita 59 Um sensor de nível em um certo tanque de combustível está ligado a uma resis tência variável geralmente chamada de potenciômetro tal que com tanque cheio 100 litros equivale a 1 Ω e com o tanque vazio equivale a 10 Ω a Projete um circuito que forneça uma tensão de saída que indica a quantidade de combustível restante de modo que 1 V vazio e 5 V cheio b Projete um circuito para indicar a taxa de consumo de combustível proporcionando uma tensão de saída calibrada para se obter 1 V 1 ls p FIGURA 771 υsaída υs Rf L1 p FIGURA 772 υsaída υs Rf Cf R1 Exercícios 251 76 Dualidade 60 a Desenhe o dual exato do circuito representado na Figura 773 b Indique as novas variáveis duais c Escreva as equações nodais para ambos os circuitos 61 a Desenhe o dual exato do circuito simples mostrado na Figura 774 b Indique as novas variáveis duais c Escreva as equações de malha para ambos os circuitos 62 a Desenhe o dual exato do circuito simples mostrado na Figura 775 b Indique as novas variáveis duais c Escreva as equações de malha para ambos os circuitos t FIGURA 775 10 H 100 Ω 10 µF iL υs 63 a Desenhe o dual exato do circuito simples mostrado na Figura 776 b Indique as novas variáveis duais c Escreva as equações de malha para ambos os circuitos t FIGURA 776 20 Ω 2 Ω 80 Ω 100 V 16 Ω ix 1 H 2 H 3 H 64 a Desenhe o dual exato do circuito representado na Figura 777 Mantenhao organizado t FIGURA 777 2 H 3 Ω 4 Ω 5 Ω 8 F 7 F 6 F 10e2t V 1 H 77 Modelando Capacitores e Indutores com o PSpice 65 Tomando o nó inferior no circuito da Figura 778 como o terminal de referência calcule a a corrente através do indutor e b a potência dissipada pelo resistor de 7 Ω c Verifique as suas respostas com uma simulação apropriada no PSpice 66 Para o circuito de quatro elementos mostrado na Figura 779 a calcule a potência dissipada em cada resistor b determine a tensão sobre o capacitor c calcule a energia armazenada no capacitor e d verifique suas respostas com uma simulação apropriada no PSpice Recordese de que os cálculos podem ser executados no Probe p FIGURA 773 6 H 4 H i1 i2 is υt 3 H p FIGURA 774 4 H 2 V 10 Ω 7 Ω p FIGURA 778 80 kΩ 46 kΩ 6 mH 7 V 80 kΩ 46 kΩ 10 µF 7 V p FIGURA 779 Capítulo 7 u Capacitores e Indutores 252 67 a Calcule iL e υx conforme indicado no circuito da Figura 780 b Determine a energia armazenada no indutor e no capacitor c Verifique suas respostas com uma simulação apropriada no PSpice u FIGURA 780 810 Ω 1 mF iL 120 Ω 440 kΩ 6 mA 2 H υx 68 Para o circuito descrito na Figura 781 o valor de iL 0 1 mA a Calcule a energia armazenada no elemento em t 0 b Faça uma simulação do transitó rio do circuito na faixa de 0 t 500 ns Determine o valor de iL em t 0130 ns 260 ns e 500 ns c Qual é a fração da energia inicial que permanece no indutor em t 130 ns Em t 500 ns 69 Considerese uma tensão inicial de 9 V nos terminais do capacitor de 10 pF mos trado na Figura 782 ie υ0 9 V a Calcule a energia inicial armazenada no capacitor b Para t 0 que energia você espera permanecer no capacitor Expli que c Simule o transitório do circuito no intervalo de 0 t 25 s e determine υ t no instante t 460 ms 920 ms e 23 s c Qual é a fração da energia inicial que permanece armazenada no capacitor em t 460 ms Em t 23 s 70 Referindose ao circuito da Figura 783 a calcule a energia armazenada em cada elemento de armazenamento de energia b verifique as suas respostas com uma simulação apropriada no PSpice Exercícios de integração do capítulo 71 Para o circuito da Figura 728 a esboce υsaída no intervalo de 0 t 5 ms se Rf 1 kΩ C1 100 mF e υs é uma fonte senoidal de 1 kHz com tensão de pico de 2 V b Verifique sua resposta com a simulação do transitório adequada tra çando ambos υs e υsaída no Probe Dica Entre as curvas plotadas adicione um segundo eixo y usando o comando Plot Add Y Axis Isso permite que ambos os sinais possam ser vistos claramente 72 a Esboce a função de saída υsaída do circuito amplificador na Figura 729 no intervalo de 0 t 100 ms se υs é uma fonte senoidal de 60 Hz com tensão de pico de 400 mV o R1 é 1 kΩ e Lf é 80 nH b Verifique sua resposta com a simulação do transitório adequada traçando ambos υs e υsaída no Probe Dica Entre as curvas plotadas adicione um segundo eixo y usando o comando Plot Add Y Axis Isso permite que ambos os sinais possam ser vistos claramente 73 Para o circuito da Figura 771 a esboce υsaída no intervalo de 0 t 25 ms se Rf 100 kΩ L1 100 mH e υs é uma fonte senoidal de 2 kHz com tensão de pico de 5 V b Verifique sua resposta com a simulação do transitório ade quada traçando ambos υs e υsaída no Probe Dica Entre as curvas plotadas adicione um segundo eixo y usando o comando Plot Add Y Axis Isso permite que ambos os sinais possam ser vistos claramente 74 Considere o integrador modificado na Figura 772 Adote R1 100 Ω Rf 10 MΩ e C1 10 mF A fonte υs fornece uma tensão senoidal de 10 Hz com amplitude de 05 V de pico Esboce υsaída no intervalo de 0 t 500 ms b Verifique sua resposta com a simulação do transitório adequada traçando ambos υs e υsaída no Probe Dica Entre as curvas plotadas adicione um segundo eixo y usando o comando Plot Add Y Axis Isso permite que ambos os sinais possam ser vistos claramente p FIGURA 781 iL 46 kΩ 6 mH p FIGURA 782 46 kΩ 10 µF υt p FIGURA 783 1 Ω 2 Ω 2 mH 4 V 2 mA 1 µF υx 5υx INTRODUÇÃO No Capítulo 7 escrevemos equações para a resposta de muitos circuitos contendo indutância e capacitância mas não resolvemos nenhuma delas Agora estamos pron tos para passar à solução dos circuitos mais simples restringindo nossa atenção àque les que contêm somente resistores e indutores ou somente resistores e capacitores Embora os circuitos que vamos considerar tenham uma aparência muito elemen tar eles também são importantes na prática Redes desse tipo são usadas em ampli ficadores eletrônicos sistemas de controle automático amplificadores operacionais equipamentos de comunicação e muitas outras aplicações Uma familiaridade com esses dispositivos simples nos permitirá prever com que precisão a saída de um amplificador pode seguir a entrada que está mudando rapidamente com o tempo ou prever com que rapidez a velocidade de um motor mudará em resposta a uma alte ração em sua corrente de campo Nossa compreensão dos circuitos RL e RC simples também nos permitirá sugerir modificações em amplificadores ou motores para obter uma melhor resposta 81 O CIRCUITO RL SEM FONTES A análise de circuitos contendo indutores eou capacitores depende da formulação e da solução das equações íntegrodiferenciais que caracterizam os circuitos O tipo especial de equação que obtemos se chama equação diferencial linear homogênea que é simplesmente uma equação diferencial na qual todos os termos têm uma relação de primeiro grau com a variável dependente ou uma de suas derivadas Uma solução é obtida quando encontramos uma expressão para a variável dependente que satisfaça a equação diferencial e também a distribuição de energia prescrita nos indutores ou capacitores em um instante preestabelecido geralmente t 0 A solução da equação diferencial representa uma resposta do circuito e ela é conhecida por muitos nomes Como essa resposta depende da natureza geral do circuito os tipos de elementos suas dimensões a interconexão dos elementos ela é geralmente chamada de resposta natural No entanto qualquer circuito real que construímos não pode armazenar energia para sempre as resistências intrinseca mente associadas aos indutores e capacitores acabarão convertendo toda a energia armazenada em calor A resposta deve chegar a um fim e por essa razão ela é Circuitos Básicos RL e RC 8 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Constantes de Tempo RL e RC Respostas Natural e Forçada Cálculo da Resposta no Tempo para uma Excitação CC Como Determinar as Condições Iniciais e seus Efeitos na Resposta do Circuito Análise de Circuitos com a Aplicação da Função Degrau e com Chaves Construção de Formas de Onda Pulsadas Usando Funções Degrau Unitário A Resposta de Circuitos Chaveados Sequencialmente Circuitos do Comparador Básico e do Amplificador de Instrumentação Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 254 frequentemente chamada de resposta transitória Por fim devemos tam bém nos familiarizar com a contribuição dos matemáticos à nomenclatura eles chamam de função complementar a solução de uma equação diferen cial linear homogênea Quando consideramos fontes independentes agindo sobre um circuito parte da resposta se parecerá com a natureza da fonte ou função forçante utilizada essa parte da resposta chamada de solução particular resposta em regime permanente ou resposta forçada será complementada pela resposta complementar produzida pelo circuito sem fontes A resposta completa do circuito será dada então pela soma da função complementar com a solução particular Em outras palavras a resposta completa é a soma da resposta natural e da resposta forçada A resposta sem fontes pode ser chamada de resposta natural resposta transitória resposta livre ou função complementar mas devido à sua natureza mais descritiva nós a chamare mos mais frequentemente de resposta natural Veremos vários métodos diferentes para solucionar essas equações diferenciais Manipulação matemática no entanto não é análise de circuito Nosso maior interesse está nas soluções em si seu significado e sua inter pretação e tentaremos nos tornar tão familiarizados com a forma da respos ta que seremos capazes de escrever respostas para novos circuitos apenas raciocinando Embora métodos analíticos complicados sejam necessários quando os métodos mais simples falham uma intuição bem desenvolvida é algo muito valioso nessas situações Começamos nosso estudo da análise transitória considerando o simples circuito RL série da Figura 81 Vamos chamar a corrente variável no tempo de it representaremos o valor de it em t 0 como I0 em outras palavras i0 I0 Temos então Ri υL Ri L di dt 0 ou di dt R L i 0 1 Nosso objetivo é uma expressão para it que satisfaça essa equação e que tenha também o valor de I0 em t 0 A solução pode ser obtida por vários métodos diferentes Abordagem Direta Um método muito direto de resolver uma equação diferencial consiste em escrever a equação de maneira tal que as variáveis fiquem separadas inte grando então cada lado da equação As variáveis na Equação 1 são i e t e está claro que a equação pode ser multiplicada por dt dividida por i e arranjada com as variáveis separadas di i R L dt 2 Pode parecer muito estranho discutir uma corrente variável no tempo fluindo em um circuito sem fontes Tenha em mente que conhecemos apenas a corrente no instante especificado como t 0 não conhecemos a corrente antes desse instante Na mesma linha de raciocínio também não sabemos como era o circuito antes de t 0 Para que esteja fluindo uma corrente uma fonte deve ter estado presente no circuito em algum momento mas não temos essa informação Felizmente ela não é necessária para analisar o circuito que temos em mãos p FIGURA 81 Circuito RL série para o qual it deve ser determinado sujeito à condição inicial i0 I0 it υR υL R L 255 Seção 81 u O circuito RL sem fontes Como a corrente é I0 em t 0 e it no instante t podemos igualar as duas integrais definidas que são obtidas integrando cada lado entre os limi tes correspondentes it I0 di i t 0 R L dt Realizando a integração indicada ln i i I0 R L t t 0 que resulta em ln i ln I0 R L t 0 Após algumas manipulações vemos que a corrente it é dada por it I0e Rt L 3 Verificamos nossa solução mostrando primeiro que a substituição da Equação 3 na Equação 1 resulta na identidade 0 0 e mostrando que a substituição de t 0 na Equação 3 produz i0 I0 Ambos os passos são necessários a solução deve satisfazer a equação diferencial que caracteriza o circuito e deve também satisfazer a condição inicial Se o indutor da Figura 82 tiver uma corrente iL 2 A em t 0 obtenha uma expressão para iLt válida para t 0 e seu valor em t 200 μs Este circuito é idêntico ao que já consideramos portanto esperamos uma corrente no indutor da forma iL I0eRtL onde R 200 Ω L 50 mH e I0 é a corrente inicial no indutor em t 0 Portanto iLt 2e 4000t Substituindo t 200 106 s encontramos iLt 8987 mA menos da metade do valor inicial u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 81 Determine a corrente iR através do resistor da Figura 83 em t 1 ns se iR 0 6 A t FIGURA 83 Circuito para o Exercício de Fixação 81 1 kV 500 nH iR Resposta 812 mA u EXEMPLO 81 p FIGURA 82 Circuito RL simples no qual a energia é armazenada no indutor em t 0 200 V 50 mH Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 256 Uma Abordagem Alternativa A solução também pode ser obtida com uma leve alteração no método que acabamos de descrever Após separar as variáveis incluímos agora também uma constante de integração Assim di i R L dt K e a integração nos dá ln i R L t K 4 A constante K não pode ser avaliada com a substituição da Equação 4 na equação diferencial original 1 isso resultará na identidade 0 0 pois a Equação 4 é uma solução da Equação 1 para qualquer valor de K experimente você mesmo A constante de integração deve ser selecionada para satisfazer a condição inicial i0 I0 Portanto em t 0 a Equação 4 se torna ln I0 K e usamos esse valor de K na Equação 4 para obter a resposta desejada ln i R L t ln I0 ou it I0e Rt L como antes Abordagem de Solução Mais Geral Qualquer um desses métodos pode ser usado quando as variáveis são separáveis mas nem sempre isso é possível Nos demais casos usare mos um método muito eficaz cujo sucesso dependerá de nossa intuição ou experiência Nesse método simplesmente imaginamos ou assumimos uma forma para a solução e então testamos nossas hipóteses primeiro por substituição na equação diferencial e depois aplicando as condições iniciais dadas Como não se pode esperar que adivinhemos a expressão numérica exata para a solução vamos assumir uma solução que contém várias constantes desconhecidas e selecionar os valores dessas constantes para satisfazer a equação diferencial e as condições iniciais Muitas das equações diferenciais encontradas na análise de circuitos têm uma solução que pode ser representada pela função exponencial ou pela soma de várias funções exponenciais Vamos assumir uma solução da Equação 1 na forma exponencial it Aes1t 5 onde A e s1 são constantes a ser determinadas Após substituir essa solução assumida na Equação 1 temos 257 As1es1t A R L es1t 0 ou s1 R L Aes1t 0 6 Para satisfazer essa equação para todos os valores de tempo é necessá rio que A 0 ou s1 ou s1 RL Mas se A 0 ou s1 então toda resposta é zero nenhuma delas pode ser a solução de nosso problema Portanto devemos escolher s1 R L 7 e nossa solução assumida toma a forma it Ae Rt L As demais constantes devem ser avaliadas aplicandose a condição inicial i0 I0 Assim A I0 e a forma final da solução adotada é novamente it I0e Rt L Um resumo da abordagem básica é apresentado na Figura 84 Um Caminho Direto A Equação Característica Na realidade podemos tomar um caminho mais direto Com a obtenção da Equação 7 resolvemos s1 R L 0 8 que é conhecida como equação característica Podemos obter a equação característica diretamente da equação diferencial sem a necessidade de substituição de nossa solução tentativa Considere a equação diferencial de primeira ordem genérica a d f dt bf 0 onde a e b são constantes Substituímos dfdt por s1 e f por s0 resultando em a d f dt bf as b f 0 Daqui podemos obter diretamente a equação característica as b 0 que tem uma única raiz s ba A solução para nossa equação diferencial é então f Ae bt a Esse procedimento básico é facilmente estendido às equações diferen ciais de segunda ordem conforme veremos no Capítulo 9 p FIGURA 84 Fluxograma contendo a abordagem geral para a solução de equações diferenciais de primeira ordem onde com base na experiência podemos imaginar a forma da solução Assuma uma solução geral com constantes apropriadas Substitua a solução tentativa na equação diferencial e simplifique o resultado Determine o valor de uma constante que não resulte em uma solução trivial Use as condições iniciais para determinar valores para as demais constantes Fim Seção 81 u O circuito RL sem fontes Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 258 No circuito da Figura 85a calcule a tensão v em t 200 ms f Identifique o objetivo do problema O esquema da Figura 85a representa na realidade dois circuitos diferen tes um com a chave fechada Fig 85b e um com a chave aberta Fig 85c O problema nos pede υ02 para o circuito mostrado na Figura 85c f Reúna as informações conhecidas Os novos circuitos estão desenhados e legendados corretamente Em seguida assumimos que o circuito da Figura 85b esteja conectado por um tempo longo o suficiente para que quaisquer transitórios já tenham se dissipado Podemos adotar tal suposição como regra geral salvo indica ção contrária Esse circuito determina iL0 f Trace um plano O circuito da Figura 85c pode ser analisado escrevendose uma equação LKT No fim queremos uma equação diferencial tendo somente υ e t como variáveis Resolveremos assim a equação diferencial para υt f Construa um conjunto apropriado de equações Referindonos à Figura 85c escrevemos υ 10iL 5 diL dt 0 Substituindo iL υ40 temos 5 40 dυ dt 10 40 1 υ 0 ou de forma mais simples dυ dt 10υ 0 9 f Determine se são necessárias equações adicionais Da experiência anterior sabemos que uma expressão completa para υ requererá o conhecimento de υ em um instante de tempo específico sendo t 0 o mais conveniente Poderíamos ser tentados a olhar a Figura 85b e escrever υ0 24 V mas isso só é verdade imediatamente antes de se abrir a chave A tensão no resistor pode mudar para qualquer valor no instante em que a chave t é acionada somente a corrente do indutor deve permanecer inalterada No circuito da Figura 85b iL 2410 24 A pois o indutor age como um curtocircuito para a corrente CC Portanto iL0 24 A também no circuito da Figura 85c um ponto fundamental na análise desse tipo de circuito Logo no circuito da Figura 85c υ0 4024 96 V f Tente uma solução Qualquer uma das três técnicas básicas de solução pode ser utilizada Com base em nossa experiência vamos começar escrevendo a equação característica correspondente à Equação 9 s 10 0 u EXEMPLO 82 p FIGURA 85 a Circuito RL simples com uma chave acionada no instante t 0 b O circuito antes de t 0 c 0 circuito após o acionamento da chave com a fonte de 24 V removida 24 V υ 5 H 40 V 10 V t 0 iL 24 V υ 5 H b a c t 0 40 V 10 V iL υ 5 H t 0 40 V 10 V iL 259 Resolvendo encontramos s 10 assim υt Ae 10t 10 que após substituição no lado esquerdo da Equação 9 resulta em 10Ae 10t 10Ae 10t 0 conforme esperado Determinamos A fazendo t 0 na Equação 10 e usando o fato de que υ0 96 V Logo υt 96e 10t 11 e assim υ02 1299 V caindo de um máximo de 96 V f Verifique a solução Ela é razoável ou esperada Em vez de escrever uma equação diferencial em v poderíamos ter escrito nossa equação diferencial em termos de iL 40iL 10iL 5 diL dt 0 ou diL dt 10iL 0 que tem a solução iL Be10t Com iL0 24 descobrimos que iLt 24e10t Como v 40iL voltamos a obter a Equação 11 Devemos observar não é por coincidência que a corrente no indutor e a tensão no resistor têm a mesma dependência exponencial u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 82 Determine a tensão υ no indutor do circuito da Figura 86 para t 0 Resposta 25e2t V Levando em Conta a Energia Antes de voltar nossa atenção para a interpretação da resposta vamos retor nar ao circuito da Figura 81 e verificar as relações de potência e energia A potência que está sendo dissipada no resistor é pR i2R I 2 0 Re 2Rt L e a energia total transformada em calor no resistor é encontrada integrando se a potência instantânea desde o instante zero até o instante infinito R 0 pR dt I 2 0 R 0 e 2RtL dt I 2 0 R L 2R e 2RtL 0 1 2 L I 2 0 Esse é o resultado que esperamos porque a energia total inicialmente armazenada no indutor é R 0 pR dt I 2 0 R 0 e 2RtL dt I 2 0 R L 2R e 2RtL 0 1 2 L I 2 0 LI0 2 e não há nenhuma energia armazenada no indutor no tempo infinito porque sua corrente já caiu para zero Portanto toda a energia inicial já foi dissipada no resistor p FIGURA 86 Circuito para o Exercício de Fixação 82 10 V υ 5 H 6 V 4 V t 0 iL Seção 81 u O circuito RL sem fontes Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 260 82 PROPRIEDADES DA RESPOSTA EXPONENCIAL Vamos agora considerar a natureza da resposta em um circuito RL série Já sabemos que a corrente no indutor é representada por it I0e Rt L Em t 0 a corrente tem valor I0 mas à medida que o tempo aumenta a corrente diminui e se aproxima de zero A forma desse decaimento expo nencial é vista no gráfico itI0 versus t mostrado na Figura 87 Como a função que estamos traçando é eRtL a curva não mudará se RL permane cer inalterada Assim a mesma curva deve ser obtida para qualquer circuito RL em série que tenha a mesma relação RL Vamos ver como essa relação afeta a forma da curva t FIGURA 87 Gráfico de eRtL versus t 0 1 t i I0 Se dobrarmos a relação LR o expoente ficará inalterado somente se t também dobrar Em outras palavras a resposta original ocorrerá em um tempo posterior e a nova curva é obtida movendose cada ponto da curva original duas vezes mais distante à direita Com essa relação LR maior a corrente leva mais tempo para cair para uma dada fração de seu valor original Temos a tendência a dizer que a largura da curva dobrou ou que a largura é proporcional a LR No entanto fica difícil definir nosso termo largura porque cada curva se estende desde t 0 até Em vez disso vamos considerar o tempo que seria necessário para a corrente cair a zero se ela continuasse a cair com sua taxa inicial A taxa de decaimento inicial é obtida calculandose a derivada no ins tante zero d dt i I0 t 0 R L e Rt L t 0 R L Designamos o tempo necessário para que iI0 caia da unidade até zero assumindo uma taxa de decaimento constante pela letra grega τ tau Logo R L τ 1 ou 12 τ L R A relação LR tem como unidade os segundos pois o expoente RtL deve ser adimensional O valor de tempo τ é chamado de constante de tempo e está ilustrado na Figura 88 A constante de tempo de um circuito RL em série pode ser determinada graficamente a partir da curva de resposta só é necessário traçar a tangente à curva em t 0 e determinar o ponto de interseção dessa tangente com o eixo do tempo Essa é geralmente uma maneira conveniente de se obter de forma aproximada a constante de tempo a partir da tela de um osciloscópio Uma interpretação igualmente importante da constante de tempo τ é obtida determinandose o valor de itI0 em t τ Temos iτI0 e103679 ou iτ 03679I0 Assim em uma constante de tempo a resposta cai para 368 de seu valor inicial o valor de τ também pode ser determinado graficamente a partir desse fato como indica a Figura 89 É conveniente medir o decaimento da corrente em intervalos de uma constante de tempo e recorrendo a uma Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 262 calculadora mostramos que itI0 é 03679 em t τ 01353 em t 2τ 004979 em t 3τ 001832 em t 4τ e 0006738 em t 5τ Em algum ponto três a cinco constantes de tempo após o tempo zero podemos dizer que a corrente atinge uma fração desprezível de seu valor inicial Portanto se nos perguntarem Quanto tempo é necessário para a corrente cair para zero nossa resposta pode ser Aproximadamente cinco constantes de tempo Nesse ponto a corrente é menos de 1 de seu valor inicial u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 83 Em um circuito RL série sem fontes encontre o valor numérico da rela ção a i2τiτ b i05τi0 c tτ se iti0 02 d tτ se i0 it i0 ln 2 Resposta 0368 0607 1609 1181 A capacidade de análise transitória do PSpice e muito útil quando se considera a resposta de circuitos sem fontes Neste exemplo usamos uma característica especial que nos permite variar um parâmetro de um componente de forma similar à maneira como variamos a tensão CC em outras simulações Fazemos isso adicionando o componente PARAM ao nosso diagrama esquemático ele pode ser colocado em qualquer lugar pois não vamos conectálo diretamente ao circuito Nosso circuito RL completo é mostrado na Figura 810 que inclui uma corrente inicial no indutor de 1 mA p FIGURA 810 Circuito RL simples desenhado usando a ferramenta de interface gráfica u ANÁLISE AUXILIADA POR COMPUTADOR Seção 82 u Propriedades da resposta exponencial 263 Para relacionar o valor de nosso resistor ao parâmetro de varredura proposto temos de executar três tarefas Primeiro fornecemos um nome para o nosso parâmetro que resolvemos chamar de Resistance para maior simplicidade Isso é feito dandose um duplo clique onde se lê PARAMETERS no diagrama esquemático o que abre o Editor de Propriedades Property Editor desse pseudocomponente Clicando em New Column abrese a caixa de diálogo mostrada na Figura 811a na qual digitamos Resistance abaixo de Name e o valor aleatoriamente escolhido de 1 abaixo de Value Nossa segunda tarefa consiste em vincular o valor de R1 ao nosso parâmetro de varredura o que é feito dandose um duplo clique no valor padrão de R1 no esquema resul tando na caixa de diálogo da Figura 811b Em Value simplesmente escrevemos Resistance Note que são necessárias as chaves a b p FIGURA 811 a Caixa de dialogo Add New Column Adicionar Nova Coluna do Editor de Propriedades de PARAM b Caixa de diálogo onde se atribui o valor do resistor Nossa terceira tarefa consiste em preparar a simulação o que inclui definir os parâmetros de análise transitória e os valores que deseja mos para R1 Em PSpice selecionamos New Simulation Profile Fig 812a no qua1 selecionamos Time Domain Transient para Analysis type 300 ns para Run to time tempo final de simulação e marcamos a caixa Parametric Sweep varredura paramétrica em Options Essa ultima ação resulta na caixa de diálogo mostrada na Figura 812b na qual selecionamos Global parameter para Sweep variable variável de varredura e escolhemos Resistance para Para meter name O passo final necessário é a seleção de Logarithmic em Sweep type tipo de varredura um Start value valor inicial de 10 um End value valor final de 1000 e 1 PointsDecade 1 ponto por década alternativamente poderíamos listar os valores de resistor desejados usando Value list Após a simulação aparece a caixa de notificação ilustrada na Figu ra 813 listando os conjuntos de dados que podem ser mostrados em forma gráfica Resistance 10 100 e 1000 neste caso Um conjunto de dados específico é selecionado se estiver destacado selecionamos todos os três para este exemplo a b p FIGURA 812 a Caixa de diálogo de simulação b Caixa de diálogo de varredura paramétrica Parametric Sweep Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 264 Selecionandose a corrente no indutor marcada no diagrama esque mático Probe a partir dos sinais exibidos no menu Trace obtêmse três gráficos plotados simultaneamente após a identificação manual de cada um dos mesmos de acordo com a Figura 814 Por que uma maior constante de tempo LR produz uma curva de res posta que cai mais lentamente Vamos considerar o efeito de cada elemento Em termos da constante de tempo z a resposta do circuito RL em série pode ser escrita simplesmente como it I0e tτ Um aumento em L permite que mais energia seja armazenada para uma dada corrente inicial e essa maior energia requer um tempo maior para ser dissipada no resistor Podemos também aumentar LR redu zindo R Nesse caso a potência instantânea no resistor é menor para a mesma corrente inicial novamente é necessário um tempo maior para dissipar a energia armazenada Esse efeito é visto claramente no resultado da simulação apresentado na Figura 814 u FIGURA 814 Saída do Probe para as três resistências u FIGURA 813 Caixa de diálogo Available Data Sections Seções de dados disponíveis 265 Seção 83 u O circuito RC sem fontes 83 O CIRCUITO RC SEM FONTES Circuitos baseados em combinações resistorcapacitor são mais comuns do que seus análogos resistorindutor As principais razões para isso são as menores perdas em capacitores reais o menor custo a melhor concordância entre o modelo matemático simples e o comportamento do dispositivo real o menor tamanho e o menor peso sendo estas duas últimas características especialmente importantes para aplicações em circuitos integrados Vamos ver quão próxima é a análise do circuito RC paralelo ou seria em série mostrado na Figura 815 em relação àquela feita para o circuito RL Vamos assumir uma energia inicial armazenada no capacitor selecionando υ0 V0 A corrente total deixando o nó no topo do diagrama do circuito deve ser zero assim podemos escrever C dυ dt υ R 0 Dividindo por C temos dυ dt υ RC 0 13 A Equação 13 tem uma forma familiar uma comparação com a Equa ção 1 di dt R L i 0 1 mostra que a substituição de i por υ e LR por RC produz uma equação idêntica à que vimos anteriormente E realmente deveria pois o circuito RC que estamos analisando agora é o dual do circuito RL que consideramos pri meiro Essa dualidade força υt no circuito RC e it no circuito RL a terem expressões idênticas se a resistência em um circuito for igual ao inverso da resistência do outro circuito e se L for numericamente igual a C Assim a resposta do circuito RL it i0e RtL I0e RtL permitenos escrever imediatamente υt υ0e tRC V0e tRC 14 para o circuito RC Por outro lado suponha que tivéssemos selecionado a corrente i como nossa variável no circuito RC em vez da tensão υ Aplicando a lei de Kirchhoff da tensão 1 C t t0 i dt υ0t0 Ri 0 obtemos uma equação integral em vez de uma equação diferencial No entanto derivando ambos os lados dessa equação em relação ao tempo i υ C R p FIGURA 815 Circuito RC paralelo no qual vt deve ser determinado sujeito à condição inicial de que v0 V0 Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 266 i C R di dt 0 15 e substituindo i por υR obtemos a Equação 13 novamente υ RC dυ dt 0 A Equação 15 poderia ter sido usada como nosso ponto de partida mas a aplicação dos princípios de dualidade não teria sido assim tão natural Vamos discutir a natureza física da resposta em tensão do circuito RC expressa pela Equação 14 Em t 0 obtemos a condição inicial correta e à medida que t se torna infinito a tensão se aproxima de zero Este últi mo resultado concorda com nosso pensamento de que enquanto houver qualquer tensão remanescente no capacitor energia continua a fluir para o resistor sendo dissipada em calor Portanto é necessária uma tensão final igual a zero A constante de tempo do circuito RC pode ser encontrada usandose as relações de dualidade na expressão para a constante de tempo do circuito RL Alternativamente ela pode ser determinada simplesmente observandose o tempo no qual a resposta cai para 37 de seu valor inicial τ RC 1 de modo que 16 τ RC Nossa familiaridade com a exponencial negativa e o significado da constante de tempo τ nos permite desenhar facilmente a curva de resposta Fig 816 Valores maiores de R ou de C fornecem constantes de tempo maiores e uma dissipação mais lenta da energia armazenada Uma resis tência maior dissipará uma menor potência para uma dada tensão aplicada requerendo assim um tempo maior para converter a energia armazenada em calor uma capacitância maior armazena uma maior quantidade de ener gia para uma dada tensão aplicada requerendo também um tempo maior para perder sua energia inicial 0 t 0368V0 V0 t υ p FIGURA 816 A tensão vt no capacitor do circuito RC paralelo é traçada em função do tempo O valor inicial de vt é V0 Seção 84 u Uma perspectiva mais geral 267 No circuito da Figura 817a calcule a tensão υ em t 200 µs Para encontrar a tensão solicitada precisaremos desenhar e analisar dois circuitos separados um antes de se acionar a chave Figura 817b e o outro depois de se acionar a chave Figura 817c A única finalidade de se analisar o circuito da Figura 817b é obter a tensão inicial no capacitor para isso supomos que todos os transitórios nesse cir cuito já tenham desaparecido há muito tempo deixandoo puramente CC Não havendo nenhuma corrente no capacitor nem no resistor de 4 Ω então υ0 9 V 17 Em seguida voltamos nossa atenção para o circuito da Figura 817c reco nhecendo que τ RC 2 410 10 6 60 10 6 s Logo da Equação 14 υt υ0e tRC υ0e t60 10 6 18 A tensão no capacitor deve ser a mesma em ambos os circuitos em t 0 nenhuma restrição como essa é feita às demais tensões ou correntes Substituindo a Equação 17 na Equação 18 υt 9e t60 10 6 V de forma que υ200 106 3211 mV menos de 4 de seu valor máximo u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 84 Observando atentamente as mudanças do circuito uma vez que a chave no circuito da Figura 818 é acionada determine υt em t 0 e em t 160 µs Resposta 50 V 1839 V 84 UMA PERSPECTIVA MAIS GERAL Conforme visto indiretamente a partir dos Exemplos 82 e 83 inde pendentemente da quantidade de resistores que temos no circuito obtemos uma única constante de tempo τ LR ou τ RC quando apenas um dos elementos armazenadores de energia está presente Podemos formalizar isso observando que o valor necessário para R é de fato a resistência equi valente de Thévenin vista pelo elemento armazenador de energia Por mais estranho que possa parecer é possível calcular uma constante de tempo para um circuito contendo fontes dependentes Circuitos RL Gerais Como exemplo considere o circuito mostrado na Figura 819 A resis tência equivalente vista pelo indutor é Req R3 R4 R1R2 R1 R2 e a constante de tempo é portanto u EXEMPLO 83 iL i1 i2 R1 R2 R4 R3 L p FIGURA 819 Circuitos em fontes contendo um indutor e vários resistores é analisado determinandose a constante τ LReq υ 2 mF t 0 70 V 50 V 80 V p FIGURA 818 9 V 9 V υ υ 10 mF 10 mF 10 mF 2 V 4 V t 0 b a c t 0 2 V 4 V υ t 0 2 V 4 V p FIGURA 817 a Circuito RC simples com uma chave acionada no instante t 0 b O circuito antes de t 0 c O circuito após se acionar a chave com a fonte de 9 V removida 9 V 9 V υ υ 10 mF 10 mF 10 mF 2 V 4 V t 0 b a c t 0 2 V 4 V υ t 0 2 V 4 V 9 V 9 V υ υ 10 mF 10 mF 10 mF 2 V 4 V t 0 b a c t 0 2 V 4 V υ t 0 2 V 4 V Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 268 τ L Req 19 Se vários indutores estiverem presentes em um circuito e puderem ser combinados usando associações em série eou paralelo então a Equação 19 pode ser generalizada ainda mais ficando τ Leq Req 20 onde Leq representa a indutância equivalente Em Fatias Bem Finas A Distinção entre 0 e 0 Vamos voltar ao circuito da Figura 819 e supor que uma quantidade finita de energia esteja armazenada no indutor no instante t 0 de forma que iL0 0 A corrente iL no indutor é iL iL0e tτ e isso representa o que podemos chamar de solução básica do problema É bem possível que seja preciso encontrar alguma tensão ou corrente além de iL como a corrente i2 em R2 Podemos sempre aplicar as leis de Kirchhoff e a lei de Ohm à parte resistiva do circuito sem qualquer dificuldade mas a divisão de corrente proporciona a resposta mais rápida neste circuito i2 R1 R1 R2 iL0e tτ Também pode acontecer de sabermos o valor inicial de alguma corrente que não seja a corrente no indutor Como a corrente em um resistor pode mudar instantaneamente indicaremos o instante após qualquer alteração que possa ter ocorrido em t 0 usando o símbolo 0 em uma linguagem mais matemática i10 é o limite à direita de i1t à medida que t se aproxima de zero1 Logo se nos for dado o valor inicial de i1 como i10 então o valor inicial de i2 é i20 i10 R1 R2 A partir desses valores obtemos o valor inicial iL0 necessário iL0 i10 i20 R1 R2 R2 i10 e a expressão para i2 se torna i2 i10 R1 R2 e tτ Vamos ver se podemos obter esta última expressão de forma mais direta Como a corrente no indutor decai exponencialmente com etτ todas as corren tes no circuito devem seguir o mesmo comportamento funcional Isso fica claro ao considerar a corrente do indutor a fonte de corrente que está sendo aplicada a uma rede resistiva Toda corrente e toda tensão na rede resistiva deve apresentar a mesma variação temporal Usando essas ideias expressamos i2 como 1 Note que isso é apenas uma conveniência de notação Quando encontramos t 0 ou seu com panheiro t 0 em uma equação simplesmente usamos o valor zero Essa notação permitenos diferenciar claramente entre o tempo antes e depois de um evento por exemplo o abrir ou fechar de uma chave ou uma fonte de alimentação que está sendo ligada ou desligada Note que iL0 é sempre igual a iL0 Isso não é necessariamente verdade para a tensão no indutor ou qualquer tensão ou corrente em um resistor pois elas podem mudar em tempo zero Também poderíamos escrever τ L RTH onde RTH é a resistência equivalente de Thévenin vista pelo indutor L Seção 84 u Uma perspectiva mais geral 269 i2 Ae tτ onde τ L Req e A deve ser determinado a partir do conhecimento do valor inicial de i2 Como i20 é conhecido a tensão em R1 e R2 é conhecida e R2i20 R1i10 leva a i20 i10 R1 R2 Portanto i2t i10 R1 R2 e tτ Uma sequência similar de passos fornecerá uma solução rápida para inú meros problemas Primeiro reconhecemos a dependência temporal da resposta como um decaimento exponencial determinamos a constante de tempo apro priada combinando resistências escrevemos a solução com uma amplitude desconhecida e determinamos a amplitude a partir de uma condição inicial Essa mesma técnica pode ser aplicada a qualquer circuito com um indutor e qualquer número de resistores bem como a circuitos especiais contendo dois ou mais indutores e também dois ou mais resistores que possam ser simplificados por combinação de resistências ou indutâncias em um indutor e um resistor Determine i1 e iL no circuito da Figura 820a para t 0 iL i1 18 V t 0 90 V 3 mH 2 mH 1 mH 50 V 60 V 120 V a iL i1 90 V 3 mH 2 mH 1 mH b 50 V 60 V 120 V iL i1 18 V t 0 90 V 3 mH 2 mH 1 mH 50 V 60 V 120 V a iL i1 90 V 3 mH 2 mH 1 mH b 50 V 60 V 120 V u EXEMPLO 84 t FIGURA 820 a Circuito com múltiplos resistores e indutores b Após t 0 o circuito o reduz a uma resistência equivalente de 110 Ω em série com Leq 22 mH Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 270 Após t 0 quando a fonte de tensão é desconectada como mostra a Figura 820b calculamos facilmente uma indutância equivalente Leq 2 3 2 3 1 22 mH uma resistência equivalente em série com a indutância equivalente Req 9060 120 90 180 50 110 e a constante de tempo τ Leq Req 22 10 3 110 20 μs Assim a forma da resposta natural é Ke50000t onde K é uma constante des conhecida Considerando o circuito imediatamente antes de se abrir a chave t 0 iL 1850 A Como iL 0 iL 0 sabemos que iL 1850 A ou 360 mA em t 0 assim iL 360 mA t 0 360e 50000t mA t 0 Não há nenhuma restrição sobre i1 mudando instantaneamente em t 0 assim seu valor em t 0 1890 A ou 200 mA não é relevante para encon trar i1 em t 0 Ao contrário devemos encontrar i1 0 pelo nosso conheci mento de iL 0 Usando a divisão de corrente i10 iL0 120 60 120 60 90 240 mA Daí i1 200 mA t 0 240e 50000t mA t 0 Podemos verificar nossa análise usando o PSpice e o modelo de chave SwtOpen embora devase lembrar que esse componente nada mais é que dois valores de resistência um correspondendo ao momento anterior à abertura da chave em um tempo especificado o valor padrão é 10 mΩ e o outro correspondendo ao instante após a abertura da chave o valor padrão é 1 MΩ Se a resistência equivalente do restante do circuito for comparável a um desses valores eles deverão ser editados dandose um clique duplo no símbolo da chave no diagrama esquemático Note que também há um modelo de chave que se fecha em um instante de tempo especificado SwtClose u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 85 Em t 015 s no circuito da Figura 821 calcule o valor de a iL b i1 c i2 Resposta 0756 A 0 1244 A Consideramos até agora a tarefa de encontrar a resposta natural de qualquer circuito que possa ser representado por um indutor equivalente em série com um resistor equivalente Um circuito contendo vários resistores 2 A 2 V 8 V t 0 04 H i2 i1 iL p FIGURA 821 Seção 84 u Uma perspectiva mais geral 271 e vários indutores nem sempre possui uma forma que permite combinar os resistores ou indutores em elementos equivalentes simples Em situações assim não há apenas um único termo exponencial negativo associado ao circuito tampouco uma única constante de tempo Em vez disso haverá geralmente vários termos exponenciais negativos sendo o número de ter mos igual ao numero de indutores que permanecem após a realização de todas as combinações possíveis entre indutores Circuitos RC Gerais Muitos dos circuitos RC para os quais gostaríamos de encontrar a resposta natural contêm mais de um resistor e capacitor Assim como fizemos para os circuitos RL primeiro consideramos aqueles casos nos quais o circuito dado pode ser reduzido a um circuito equivalente formado por apenas um resistor e um capacitor Vamos supor inicialmente que tenhamos nos deparado com um circuito contendo um único capacitor mas vários resistores É possível substituir a rede resistiva de dois terminais que está ligada nos terminais do capacitor por um resistor equivalente e com isso poderemos escrever de forma imediata a expressão para a tensão no capacitor Em tais circunstâncias o circuito tem uma constante de tempo efetiva dada por τ ReqC onde Req é a resistência equivalente da rede Uma perspectiva alternativa é que Req é na verdade a resistência equivalente de Thévenin vista pelo capacitor Se o circuito tiver mais de um capacitor e eles puderem ser substituí dos de alguma forma usando combinações em série eou paralelo por uma capacitância equivalente Ceq então o circuito tem uma constante de tempo efetiva dada por τ ReqC com o caso geral expresso como τ ReqCeq Vale notar no entanto que capacitores em paralelo substituídos por uma capacitância equivalente deverão ter condições iniciais idênticas Calcule υ0 e i10 para o circuito da Figura 822a se υ0 V0 Primeiro simplificamos o circuito da Figura 822a para aquele da Figura 822b o que nos permite escrever υ V0e tReqC onde υ0 υ0 V0 e Req R2 R1R3 R1 R3 u EXEMPLO 85 Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 272 Toda corrente e tensão na parte resistiva da rede deve ter a forma AetReqC onde A é o valor inicial daquela corrente ou tensão Logo a corrente em R1 por exemplo pode ser expressa como i1 i10e tτ onde τ R2 R1R3 R1 R3 C e i10 ainda precisa ser determinada a partir da condição inicial Qualquer corrente fluindo no circuito em t 0 deve vir do capacitor Portanto como υ não pode mudar instantaneamente υ0 υ0 V0 e i10 V0 R2 R1R3 R1 R3 R3 R1 R3 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 86 Encontre valores de υC e υ0 no circuito da Figura 823 em t igual a a 0 b 0 c 13 ms 120 V 4 mF 250 V 600 V 100 V 2 kV 400 V 1250 V υo υC t 0 t FIGURA 823 Resposta 100 V 384 V 100 V 256 V 595 V 1522 V Nosso método também pode ser aplicado em circuitos com um elemento de armazenamento de energia e uma ou mais fontes dependentes Nesses casos podemos escrever uma equação LKC ou LKT apropriada junto com quaisquer equações auxiliares necessárias simplificar isso tudo para uma única equação diferencial e extrair a equação característica para encontrar a constante de tempo Alternativamente podemos começar encontrando a resistência equivalente de Thévenin da rede conectada ao capacitor ou indu tor e usar isso para calcular a constante de tempo RL ou RC apropriada a menos que a fonte dependente seja controlada por uma tensão ou corrente associada ao elemento armazenador de energia caso em que a abordagem de Thévenin não pode ser usada Exploramos isso no exemplo a seguir No circuito da Figura 824a encontre a tensão υC para t 0 se υC 0 2 V A fonte dependente não é controlada pela tensão ou pela corrente no capaci tor assim podemos começar procurando o equivalente de Thévenin da rede à esquerda do capacitor Conectando uma fonte de referência de 1 A como na Figura 824b u EXEMPLO 86 R1 R2 R3 C a υ i1 Req C b υ R1 R2 R3 C a υ i1 Req C b υ p FIGURA 822 a Circuito contendo um capacitor e vários resistores b Os resistores foram substituídos por um único resistor equivalente a constante de tempo é simplesmente t ReqC Seção 84 u Uma perspectiva mais geral 273 p FIGURA 824 a Circuito RC simples contendo uma fonte dependente não controlada pela tensão ou pela corrente no capacitor b Circuito para encontrar o equivalente de Thévenin da rede conectada ao capacitor 20 V 20 V 15i1 15i1 1 A i1 υC 1 mF 10 V 10 V i1 Vx a b Vx 1 15i130 onde i1 1 20 20 10 20Vx Vx 30 Com um pouco de álgebra obtemos Vx 60 V logo a rede tem uma resistência equivalente de Thévenin de 60 Ω o que é estranho porém não impossível quando se lida com uma fonte dependente Nosso circuito por tanto tem uma constante de tempo negativa τ 60 1 10 6 60 μs A tensão no capacitor é portanto υCt Aet60 10 6 V onde A υC0 υC0 2 V Logo υCt 2et 60 10 6 V 21 que curiosamente é instável ela cresce exponencialmente com o tempo Isso não pode continuar indefinidamente um ou mais elementos do circuito vão acabar falhando Alternativamente poderíamos escrever uma equação LKC simples para o nó superior da Figura 824a υC 30 15i1 10 6 dυC dt 22 onde i1 υC 30 23 Substituindo a Equação 23 na Equação 22 e usando um pouco de álgebra obtemos dυC dt 1 60 10 6 υC 0 que tem a equação característica s 1 60 10 6 0 Logo s 1 60 10 6 Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 274 e assim υCt Aet60 10 6 V como encontramos antes A substituição de A υC0 2 resulta na Equação 21 nossa expressão para a tensão no capacitor para t 0 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 87 a Com base no circuito da Figura 825 determine a tensão υCt para t 0 se υC0 11 V b O circuito é estável Resposta a υCt 11e2000t3 V t 0 b Sim ele decai exponencialmente em vez de crescer com o tempo Alguns circuitos contendo resistores e capacitores podem ser subs tituídos por um circuito equivalente contendo apenas um resistor e um capacitor é necessário que o circuito original seja do tipo que pode ser des membrado em duas partes uma contendo todos os resistores e a outra con tendo todos os capacitores de forma que as duas partes sejam conectadas somente por dois condutores ideais Caso contrário serão necessárias múl tiplas constantes de tempo e múltiplos termos exponenciais para descrever o comportamento do circuito uma constante de tempo para cada elemento de armazenamento de energia no circuito resultante mesmo depois de ser reduzido tanto quanto possível Como um último comentário devemos estar cientes de certas situações envolvendo somente elementos ideais que são subitamente interconectados Por exemplo podemos imaginar a conexão de dois capacitores ideais em série tendo tensões desiguais antes de t 0 Isso impõe um problema quanto ao uso de nosso modelo matemático do capacitor ideal no entanto capaci tores reais têm resistências associadas através das quais a energia pode ser dissipada 85 A FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO Estivemos estudando a resposta de circuitos RL e RC na ausência de fontes ou funções forçantes Chamamos essa resposta de resposta natural porque sua forma depende somente da natureza do circuito A razão pela qual se obtém uma resposta mesmo na ausência de fontes vem da presença de energia inicial armazenada nos elementos indutivos ou capacitivos no circuito Em alguns casos encontramos circuitos contendo fontes e chaves fomos informados de que certas operações de comutação eram executadas em t 0 para que pudéssemos remover todas as fontes do circuito deixando ainda quantidades conhecidas de energia armazenada aqui e ali Em outras palavras temos resolvido problemas nos quais as fontes de energia são subitamente remo vidas do circuito devemos agora considerar o tipo de resposta que resulta quando as fontes de energia são subitamente aplicadas a um circuito Focalizaremos nossa atenção na resposta que ocorre quando as fontes de energia subitamente aplicadas são fontes CC Como todo dispositivo p FIGURA 825 Circuito para o Exercício de Fixação 87 2 V 15υ1 2 mF 1 V υ1 υC Seção 85 u A função degrau unitário 275 elétrico se destina a ser energizado pelo menos uma vez e muitos dispo sitivos são ligados e desligados muitas vezes no decorrer de sua vida útil nosso estudo se aplica a muitos casos práticos Embora nos restrinjamos agora às fontes CC há muitos casos nos quais esses exemplos simples correspondem à operação de dispositivos reais Por exemplo o primeiro circuito que analisaremos poderia representar o crescimento da corrente quando um motor CC é ligado A geração e o uso de pulsos retangulares de tensão necessários para representar um número ou um comando em um microprocessador proporcionam muitos exemplos no campo da eletrônica e dos circuitos transistorizados Circuitos similares são encontrados nos circuitos de sincronismo e varredura de televisores nos sistemas de comu nicação que usam modulação por pulso e em sistemas de radar apenas para citar alguns exemplos Estivemos falando sobre a aplicação súbita de uma fonte de energia e com essa frase queremos dizer sua aplicação no tempo zero2 A operação de uma chave em série com uma bateria é portanto equivalente a uma função forçante que é nula até o instante em que a chave é fechada e igual à tensão da bateria daí em diante A função forçante tem uma quebra ou descontinuidade no instante em que o interruptor é fechado Certas funções forçantes especiais que são descontínuas ou têm derivadas descontínuas são chamadas de funções de singularidade sendo que as duas funções de singularidade mais importantes são a função degrau unitário e a função impulso unitário Definimos a função degrau unitário como uma função temporal que é zero para todos os valores de seu argumento menores que zero e uni tária para todos os valores positivos de seu argumento Se assumirmos um argumento t t0 e representarmos a função degrau unitário por u então ut t0 deve ser zero para todos os valores de t menores que t0 e unitária para todos os valores de t maiores que t0 Em t t0 ut t0 muda abruptamente de 0 para 1 Seu valor em t t0 é indefinido mas seu valor é conhecido em todos os instantes de tempo arbitrariamente próximos a t t0 Frequentemente indicamos isso escrevendo ut0 0 e ut0 1 A defini ção matemática concisa da função degrau unitário é ut t0 0 t t0 1 t t0 e a função é mostrada graficamente na Figura 826 Note que uma linha vertical de comprimento unitário é mostrada em t t0 Embora essa subi da não seja rigorosamente parte da função degrau unitário ela geralmente é mostrada nos desenhos Notamos também que a função degrau unitário não precisa ser uma função do tempo Por exemplo ux x0 poderia ser usada para representar uma função degrau unitário onde x pode ser uma distância em metros ou uma frequência 2 Naturalmente isso não é fisicamente possível No entanto se a escala de tempo na qual esse evento ocorre é muito curta em comparação com as demais escalas de tempo que descrevem a operação de um circuito isso é aproximadamente verdade e matematicamente conveniente p FIGURA 826 A função degrau unitário ut t0 0 t t0 1 ut t0 Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 276 Frequentemente na análise de circuitos uma descontinuidade ou uma ação de chaveamento ocorre em um instante que é definido como t 0 Nesse caso t0 0 e com isso representamos a função degrau unitário corresponden te como ut 0 ou simplesmente ut Isso é mostrado na Figura 827 Então ut 0 t 0 1 t 0 A função degrau unitário é adimensional Se queremos que ela represen te uma tensão é necessário multiplicar ut t0 por alguma tensão constante como 5 V Então υt 5ut 02 V é uma fonte de tensão ideal que é zero antes de t 02 s e uma constante igual a 5 V após t 02 s A conexão dessa função forçante a uma rede geral é mostrada na Figura 828a Fontes Reais e a Função Degrau Unitário Talvez devamos perguntar agora que tipo de fonte real é equivalente a essa fun ção forçante descontínua Por equivalente queremos dizer simplesmente que as características tensãocorrente das duas redes são idênticas Para a fonte degrau de tensão da Figura 828a a característica tensãocorrente é simples a tensão é zero antes de t 02 s e 5 V após t 02 s e a corrente pode ter qualquer valor finito em qualquer intervalo de tempo Nosso primeiro raciocínio pode levar ao equivalente mostrado na Figura 828b uma fonte de 5 V em série com uma chave que se fecha em t 02 s No entanto essa rede não é equivalente em t 02 s porque a tensão no conjunto bateriachave não é especificada nesse intervalo de tempo A fonte equivalente é um circuito aberto e a tensão em seus terminais pode ter qualquer valor Após t 02 s as redes são equivalen tes e se esse é o único intervalo de tempo no qual estamos interessados e se as correntes iniciais que fluem das duas redes são idênticas em t 02 s então a Figura 828b se torna um equivalente útil da Figura 828a De forma a obter um equivalente exato para a função degrau de tensão podemos usar uma chave de um polo e duas posições Antes de t 02 s a chave serve para garantir uma tensão igual a zero nos terminais de entrada da rede geral Após t 02 s a chave é acionada para fornecer uma tensão de entrada constante igual a 5 V Em t 02 s a tensão é indeterminada assim como a função degrau e a bateria é colocada momentaneamente em curtocircuito felizmente estamos lidando com modelos matemáticos Esse equivalente exato da Figura 828a é mostrado na Figura 828c Rede geral a 5ut 02 V 5 V t 02 s Rede geral b 5 V Rede geral c t 02 s p FIGURA 828 a Uma função degrau de tensão é mostrada como a fonte que alimenta uma rede geral b Circuito simples que embora não seja o equivalente exato da parte a pode ser usado como seu equivalente em muitos casos c Um equivalente exato da parte a ut 0 t 1 p FIGURA 827 Função degrau unitário ut é mostrada como uma função de t Seção 85 u A função degrau unitário 277 A Figura 829a mostra uma função degrau de corrente alimentando uma rede geral Se tentarmos substituir esse circuito por uma fonte CC em paralelo com um interruptor que abre em t 0 vamos perceber que os circuitos são equivalentes após t t0 mas que as respostas após t t0 são similares somente se as condições iniciais forem as mesmas O circuito da Figura 829b implica a inexistência de tensão nos terminais da fonte de corrente em t t0 Esse não é o caso para o circuito da Figura 829a Porém podemos frequentemente usar os circuitos da Figura 829a e b de forma intercambiável O equivalente exato da Figura 829a é o dual do circuito da Figura 828c o equivalente exato da Figura 829b não pode ser construído apenas com funções degrau de corrente e degrau de tensão3 A Função Pulso Retangular Algumas funções forçantes muito úteis podem ser obtidas manipulandose a função forçante degrau unitário Vamos definir um pulso de tensão retan gular pelas seguintes condições υt 0 t t0 V0 t0 t t1 0 t t1 O pulso está desenhado na Figura 830 Esse pulso pode ser representado em termos da função degrau unitário Vamos considerar a diferença dos dois degraus unitários ut t0 ut t1 As duas funções são mostradas na Figu ra 831a e a diferença entre elas é um pulso retangular A fonte V0ut t0 V0ut t1 que nos fornece a tensão desejada está indicada na Figura 831b p FIGURA 831 a Os degraus unitários ut t0 e ut t1 b Uma fonte que produz o pulso de tensão retangular da Figura 830 0 1 1 t0 t1 ut t0 ut t1 a t b V0ut t1 V0ut t0 υt Se tivermos uma fonte de tensão senoidal Vm sen ωt que é subitamente conectada a uma rede em t t0 uma função forçante de tensão apropriada seria υt Vmut t0 sen ωt Se quisermos representar o envio de um pulso de energia de um transmissor para um carrinho de controle remoto com rádio operando em 47 MHz 295 Mrads podemos desligar a fonte senoi dal 70 ns mais tarde por meio de uma segunda função degrau unitário4 O pulso de tensão será υt Vmut t0 ut t0 7 10 8 sen295 106t 3 O equivalente pode ser desenhado se a corrente na chave antes de t t0 for conhecida 4 Aparentemente estamos muito bem no controle desse carro Um tempo de reação de 70 ns Rede geral a I0ut t0 I0 Rede geral b t t0 p FIGURA 829 a Uma função degrau de corrente é aplicada a uma rede geral b Circuito simples que embora não seja o equivalente exato da parte a pode ser usado como um equivalente em muitos casos p FIGURA 830 Uma função útil a função pulso de tensão retangular V0 0 υt t0 t1 t Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 278 Essa função forçante está representada na Figura 832 p FIGURA 832 Pulso de radiofrequência de 47 MHz descrito por vt Vm ut t0 ut t0 7108 sen295 106t 0 t0 7 3 108 t s υ t Vm Vm t0 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 88 Calcule cada uma das funções em t 08 a 3ut 2ut 08ul t b 4utut c 2ut sen πt Resposta 38 1176 86 CIRCUITOS RL COM FONTES Estamos prontos agora para submeter uma rede simples à aplicação súbita de uma fonte CC O circuito consiste em uma bateria cuja tensão é V0 em série com uma chave um resistor R e um indutor L A chave é fechada em t 0 conforme indica o diagrama da Figura 833a É evidente que a cor rente it é zero antes de t 0 e portanto podemos substituir a bateria e a chave por uma função forçante degrau de tensão V0ut que também não produz nenhuma resposta antes de t 0 Após t 0 os dois circuitos são claramente idênticos Portanto podemos calcular a corrente it tanto no circuito original da Figura 833a quanto no circuito equivalente da Figura 833b Acharemos it desta vez escrevendo a equação de circuito apropriada e a resolvendo em seguida por separação de variáveis e integração Após obter a resposta e investigar os dois termos que a compõem veremos que há um significado físico para eles Com um entendimento mais intuitivo sobre a origem de cada um desses termos poderemos produzir soluções mais rápidas e mais significativas para cada problema que envolva a apli cação de qualquer fonte Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões no circuito da Figura 833b temos Ri L di dt V0ut Como a função degrau unitário é descontínua em t 0 primeiro con sideraremos a solução para t 0 e depois para t 0 A aplicação de uma tensão nula desde t força uma resposta zero de modo que p FIGURA 833 a Circuito dado b Circuito equivalente apresentando a mesma resposta it durante todo o tempo V0 L R a it t 0 V0 ut L b R it 279 Seção 86 u Circuitos RL com fontes it 0 t 0 No entanto para um tempo positivo ut é a unidade e devemos resolver a equação Ri L di dt V0 t 0 As variáveis podem ser separadas em vários passos algébricos resultando em L di V0 Ri dt e cada lado pode ser integrado diretamente L R lnV0 Ri t k Para avaliar k deve ser usada uma condição inicial Antes de t 0 it é zero e portanto i0 0 Como a corrente em um indutor não pode apresentar uma variação finita instantânea sem que se aplique uma tensão infinita temos então i0 0 Fazendo i 0 em t 0 obtemos L R ln V0 k portanto L R lnV0 Ri ln V0 t Reorganizando V0 Ri V0 e RtL ou i V0 R V0 R e RtL t 0 24 Assim uma expressão descrevendo a resposta do circuito válida para todo t seria i V0 R V0 R e RtL ut 25 Procedimento Mais Direto Esta é a solução desejada que no entanto não foi obtida da maneira mais simples De forma a estabelecer um procedimento mais direto vamos tentar interpretar os dois termos que aparecem na Equação 25 O termo expo nencial tem a forma funcional da resposta natural do circuito RL tratase de uma exponencial negativa que se aproxima de zero à medida que o tempo aumenta e é caracterizada pela constante de tempo LR A forma funcional dessa parte da resposta é portanto idêntica àquela obtida para o circuito sem fontes No entanto a amplitude desse termo exponencial depende da tensão V0 da fonte Podemos então dizer de forma mais genérica que a resposta será a soma de dois termos onde um desses termos tem forma funcional idêntica àquela da resposta sem fontes mas uma amplitude que depende da função forçante Mas e o outro termo Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 280 A Equação 25 também possui um termo constante V0R Por que ele está presente A resposta é simples a resposta natural se aproxima de zero à medida que a energia é gradualmente dissipada mas a resposta total não deve se aproximar de zero No final o circuito comportase como um resistor e um indutor em série com uma bateria Como o indutor comporta se como um curtocircuito para CC a única corrente que flui agora é V0R Essa corrente é a parte da resposta que pode ser diretamente atribuída à função forçante e a chamaremos de resposta forçada Ela é a resposta que está presente um longo tempo após o fechamento da chave A resposta completa é composta de duas partes a resposta natural e a resposta forçada A resposta natural é uma característica do circuito e não das fontes Sua forma pode ser encontrada considerandose o circuito sem fontes e ela tem uma amplitude que depende da amplitude inicial da fonte e da energia inicial armazenada A resposta forçada tem as características da função forçante ela é encontrada supondose que todas as chaves tenham sido acionadas muito tempo atrás Como no momento estamos preocupados apenas com interruptores e fontes CC a resposta forçada é meramente a solução de um simples problema de circuito CC No circuito da Figura 834 encontre it em t 3 3 e 100 μs após a mudança de valor da fonte Um longo tempo após o desaparecimento de quaisquer efeitos transitórios t o circuito se torna um simples circuito CC alimentado por uma fonte de 12 V O indutor aparece como um curtocircuito assim i 12 1000 12 mA O que significa i3 Isto é simplesmente uma conveniência de notação para indicar o instante de tempo imediatamente anterior à mudança de valor da fonte Para t 3 ut 3 0 Logo i3 0 também Em t 3 a função forçante 12ut 3 12 V No entanto como a corrente do indutor não pode mudar em um tempo zero i3 i3 0 A abordagem mais direta para analisar o circuito em t 3 s é reescrever a Equação 25 como it V0 R V0 R e Rt L ut note que essa equação também se aplica ao nosso circuito se deslocarmos o eixo do tempo de maneira que t t 3 Portanto com V0R 12 mA e RL 20000 s1 it 3 12 12e 20000t 3 ut 3 mA 26 que pode ser reescrita mais simplesmente como it 12 12e 20000t 3 ut 3 mA 27 u EXEMPLO 87 p FIGURA 834 Circuito RL simples alimentado por um degrau de tensão it 1 kV 50 mH 12ut 3 V Seção 87 u Respostas natural e forçada 281 pois a função degrau unitário força um valor zero para t 3 conforme requeri do Substituindo t 30001 s na Equação 26 ou 27 obtemos i 1038 mA em um tempo 100 µs após a mudança do valor da fonte u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 89 A fonte de tensão 60 40ut V está em série com um resistor de 10 Ω e um indutor de 50 mH Calcule a corrente e a tensão no indutor em t igual a a 0 b 0 c d 3 ms Resposta 6 A 0 V 6 A 40 V 2 A 0 V 420 A 220 V Desenvolvendo um Raciocínio Intuitivo A razão para as duas respostas a forçada e a natural pode ser entendida com base em argumentos físicos Sabemos que nosso circuito vai acabar assumindo a resposta forçada No entanto no instante em que as chaves são acionadas as correntes iniciais nos indutores ou em circuitos RC as tensões nos capacitores terão valores que dependem somente da energia armazenada nesses elementos Não podemos esperar que essas correntes ou tensões sejam as mesmas correntes e tensões demandadas pela resposta forçada Portanto deve haver um período transitório durante o qual as cor rentes e tensões mudam de seus valores iniciais para seus valores finais A porção da resposta que fornece a transição entre os valores iniciais e finais é a resposta natural frequentemente chamada de resposta transitória como já vimos antes Se descrevermos a resposta de um simples circuito RL sem fontes nesses termos então diremos que a resposta forçada é zero e que a resposta natural serve para conectar a resposta inicial ditada pela energia armazenada no indutor com o valor zero da resposta forçada Essa descrição é apropriada somente para os circuitos nos quais a res posta natural acaba se extinguindo Isso sempre ocorre em circuitos reais nos quais há uma resistência associada a cada elemento mas há alguns cir cuitos patológicos nos quais a resposta natural não se extingue à medida que o tempo tende para o infinito Exemplos disso são os circuitos nos quais correntes aprisionadas circulam em laços indutivos ou tensões são aprisio nadas em capacitores em série 87 RESPOSTAS NATURAL E FORÇADA Há também uma excelente razão matemática para considerar que a resposta completa é composta de duas partes a resposta forçada e a resposta natural A razão se baseia no fato de que a solução de qualquer equação diferencial linear pode ser expressa como a soma de duas partes a solução comple mentar resposta natural e a solução particular resposta forçada Sem nos aprofundar na teoria geral das equações diferenciais vamos considerar uma equação geral do tipo encontrado na seção anterior di dt Pi Q Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 282 ou di Pi dt Q dt 28 Podemos identificar Q como uma função forçante e expressála como Qt para enfatizar sua dependência temporal geral Vamos simplificar a discussão assumindo que P é uma constante positiva Mais tarde também assumiremos que Q é constante restringindonos portanto às funções forçantes CC Em qualquer textopadrão sobre equações diferenciais elementares mostrase que se ambos os lados da Equação 28 forem multiplicados por um fator de integração adequado então cada lado se torna uma diferen cial exata que pode ser integrada diretamente para se obter a solução Não estamos separando as variáveis estamos simplesmente organizandoas de forma a viabilizar a integração Para esta equação o fator de integração é ePdt ou simplesmente ePt pois P é uma constante Multiplicamos cada lado da equação por esse fator de integração e obtemos ePt di iPePt dt QePt dt 29 A forma do lado esquerdo pode ser simplificada reconhecendoa como a diferencial exata de iePt diePt ePt di iPePt dt de modo que a Equação 29 se torna diePt QePt dt Integrando cada lado iePt QePt dt A onde A é uma constante de integração A multiplicação por ePt produz a solução para it i e Pt QePt dt Ae Pt 30 Se nossa função forçante Qt é conhecida então podemos obter a forma funcional de it calculando a integral No entanto não vamos calcu lar uma integral dessas para cada problema em vez disso estamos interes sados em usar a Equação 30 para tirar várias conclusões bastante gerais A Resposta Natural Observamos em primeiro lugar que para um circuito sem fontes Q deve ser zero e a solução é a resposta natural in Ae Pt 31 Veremos que a constante P nunca é negativa para um circuito contendo apenas resistores indutores e capacitores seu valor depende somente dos elementos passivos do circuito5 e da forma como eles estão interconec tados A resposta natural portanto aproximase de zero à medida que o 5 Se o circuito contém uma fonte dependente ou uma resistência negativa P pode ser negativo Seção 87 u Respostas natural e forçada 283 tempo cresce sem limite Esse deve ser o caso para o circuito RL simples porque a energia inicial é gradualmente dissipada no resistor deixando o circuito na forma de calor Há também circuitos idealizados nos quais P é zero nesses circuitos a resposta natural não se extingue Vemos então que um dos dois termos que compõem a resposta com pleta tem a forma da resposta natural ele tem uma amplitude que dependerá do mas nem sempre será igual ao valor inicial da resposta completa e portanto do valor inicial da função forçante A Resposta Forçada Em seguida observamos que o primeiro termo da Equação 30 depende da forma funcional de Qt a função forçante Sempre que tivermos um cir cuito no qual a resposta natural se extingue à medida que t se torna infinito este primeiro termo deve descrever completamente a forma da resposta após o desaparecimento da resposta natural Esse termo é chamado de res posta forçada ele também é chamado de resposta em regime permanente solução particular ou integral particular Por ora optamos por considerar somente os problemas envolvendo a aplicação repentina de fontes CC e Qt será portanto uma constante para todos os valores do tempo Se quisermos podemos agora avaliar a integral na Equação 30 obtendo a resposta forçada i f Q P 32 e a resposta completa it Q P Ae Pt 33 Para o circuito RL série QP é a corrente constante V0R e 1P é a cons tante de tempo τ Veremos que a resposta forçada poderia ter sido obtida sem que calculássemos a integral porque ela deve ser a resposta completa no tempo infinito ela é meramente a tensão da fonte dividida pela resistência em série A resposta forçada é obtida portanto pela inspeção do circuito final Determinação da Resposta Completa Vamos usar um simples circuito RL série para ilustrar como determinar a res posta completa por meio da soma das respostas natural e forçada O circuito mostrado na Figura 835 foi analisado anteriormente mas por um método mais demorado A resposta desejada é a corrente it e primeiro expres samos essa corrente como a soma da corrente natural e da corrente forçada i in i f A forma funcional da resposta natural deve ser idêntica à obtida sem quaisquer fontes Substituímos então a fonte degrau de tensão por um curtocircuito e reconhecemos o velho laço RL série Logo in Ae Rt L p FIGURA 835 Circuito RL série usado para ilustrar o método pelo qual se obtém a resposta completa como a soma das respostas natural e forçada V0 ut L R it Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 284 onde a amplitude A ainda deve ser determinada como a condição inicial se aplica à resposta completa não podemos simplesmente assumir A i0 Em seguida consideramos a resposta forçada Neste problema particu lar a resposta forçada deve ser constante porque a fonte é uma constante V0 para todos os valores positivos de tempo Após a extinção da resposta natural não pode haver tensão no indutor assim uma tensão V0 aparece em R e a resposta forçada é simplesmente i f V0 R Note que a resposta forçada foi completamente determinada não há qualquer amplitude desconhecida Em seguida combinamos as duas res postas para obter i Ae Rt L V0 R e aplicamos a condição inicial para avaliar A A corrente é zero antes de t 0 e não pode mudar seu valor instantaneamente pois flui através de um indutor Logo a corrente também é zero imediatamente após t 0 e 0 A V0 R assim i V0 R 1 e RtL 34 Observe cuidadosamente que A não é o valor inicial de i pois A V0R enquanto i0 0 Ao considerar circuitos sem fontes descobrimos que A era o valor inicial da resposta No entanto quando funções forçantes estão presentes precisamos primeiro encontrar o valor inicial da resposta e substituílo na equação da resposta completa para encontrar A Essa resposta está desenhada no gráfico da Figura 836 e podemos ver de que forma a corrente cresce de seu valor nulo inicial até seu valor final V0R A transição é efetivamente concluída em um tempo 3τ Se o nosso circuito representasse a bobina de campo de um grande motor CC pode ríamos ter L 10 H e R 20 Ω obtendo τ 05 s A corrente de campo se estabelece portanto em aproximadamente 15 s Em uma constante de tempo a corrente atinge 632 de seu valor final Determine it para todos os valores de tempo no circuito da Figura 837 p FIGURA 837 O circuito do Exemplo 88 50 V 2 V 50ut V 6 V 3 H it u EXEMPLO 88 p FIGURA 836 Gráfico da corrente fluindo através do indutor da Figura 835 Uma linha de prolongamento da inclinação inicial cruza a resposta forçada constante em t τ 0 0632V0 R V0 R t 2t 3t i t Seção 87 u Respostas natural e forçada 285 O circuito contém uma fonte de tensão CC bem como uma fonte degrau de tensão Poderíamos ter escolhido trocar tudo o que está à esquerda do indutor pelo seu equivalente de Thévenin mas vamos simplesmente reconhecer a forma daquele equivalente como um resistor em série com alguma fonte de tensão O circuito contém somente um elemento armazenador de energia o indutor Primeiro observamos que τ L Req 3 15 2 s e lembramos que i i f in A resposta natural é portanto uma exponencial negativa como antes in Ke t 2 A t 0 Como a função forçante é uma fonte CC a resposta forçada será uma corren te constante O indutor atua como um curtocircuito para CC de modo que i f 100 2 50 A Logo i 50 Ke 05t A t 0 Para avaliar K devemos estabelecer o valor inicial da corrente no indutor Antes de t 0 essa corrente é 25 A e ela não pode mudar instantaneamente Assim 25 50 K ou K 25 Daí i 50 25e 05t A t 0 Completamos a solução afirmando também que i 25 A t 0 ou escrevendo uma única expressão válida para todo t i 25 251 e 05tut A A resposta completa está desenhada no gráfico da Figura 838 Observe como a resposta natural serve para conectar a resposta para t 0 com a resposta forçada constante u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 810 Uma fonte de tensão υS 20ut V está em série com um resistor de 200 Ω e um indutor de 4 H Determine a intensidade da corrente no indutor em t igual a a 0 b 0 c 8 ms d 15 ms Resposta 0 0 330 mA 528 mA Como exemplo final deste método por meio do qual a resposta completa de qualquer circuito submetido a um transitório pode ser escrita quase por inspeção vamos considerar novamente o circuito RL série sujeito agora a um pulso de tensão p FIGURA 838 A resposta it do circuito mostrado na Figura 837 é representada para valores de tempo menores e maiores do que zero 25 50 0 2 2 4 6 Resposta forçada começa em torno de t 3t it A t s Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 286 Determine a resposta de um circuito RL série simples quando a função forçante é um pulso de tensão retangular de amplitude V0 e duração t0 Representamos a função forçante como a soma de duas fontes degrau de tensão V0ut e V0ut t0 conforme está indicado nas Figuras 839a e b e planejamos obter a resposta usando o princípio da superposição Vamos assumir i1t como a parte de it devida à fonte V0ut agindo isoladamente e i2t como a parte devida a V0ut t0 também agindo isoladamente Então it i1t i2t Nosso objetivo agora é escrever cada uma das respostas parciais i1 e i2 como a soma de uma resposta natural e uma resposta forçada A resposta i1t já é familiar esse problema foi resolvido na Equação 34 i1t V0 R 1 e Rt L t 0 Note que essa solução só é válida para t 0 conforme indicado i1 0 para t 0 Voltamos nossa atenção agora para a outra fonte e sua resposta i2t Somente a polaridade da fonte e o instante de sua aplicação são diferentes Não há necessidade portanto de determinar a forma da resposta natural e da resposta forçada a solução para i1t nos permite escrever i2t V0 R 1 e Rt t0 L t t0 onde o intervalo aplicável de t t t0 deve novamente ser indicado e i2 0 para t t0 Agora juntamos as duas soluções mas fazemos isso cuidadosamente porque cada uma delas é válida em um intervalo de tempo diferente Logo it 0 t 0 35 it V0 R 1 e Rt L 0 t t0 36 e it V0 R 1 e Rt L V0 R 1 e Rt t0 L t t0 ou em uma forma mais compacta it V0 R e Rt LeRt0 L 1 t t0 37 Embora as Equações 35 a 37 descrevam completamente a resposta do circuito da Figura 839b para a forma de onda de pulso da Figura 839a a forma de onda da corrente é sensível à constante de tempo τ do circuito e à duração t0 do pulso de tensão A Figura 840 mostra duas curvas possíveis A curva de cima é desenhada para o caso em que a constante de tempo é somente a metade da largura do pulso aplicado a parte crescente da u EXEMPLO 89 0 υt a t t0 V0 V0ut t0 V0ut b R L υt it p FIGURA 839 a Pulso de tensão retangular usado como função forçante em um circuito RL em série simples b O circuito RL em série mostrando a representação da função forçante pela combinação em série de duas fontes degrau de tensão independentes Desejase obter a corrente it p FIGURA 840 Duas curvas de resposta possíveis para o circuito da Figura 839b são mostradas a τ é selecionado como t02 b τ é selecionado como 2t0 1 t0 2 0 t0 2t0 t it a V0R 0 t0 2t0 3t0 t it b V0R 287 Seção 88 u Circuitos RC com fontes exponencial alcançou quase V0R antes que a exponencial decrescente começasse A situação oposta é mostrada na curva de baixo lá a constante de tempo é o dobro de t0 e a resposta nunca tem a chance de alcançar uma maior amplitude O procedimento que estivemos usando para encontrar a resposta de um circuito RL após a energização ou a desenergização de fontes CC fontes entrando ou saindo do circuito em um instante de tempo determinado está resumido no quadro abaixo Assumimos que o circuito possa ser reduzido a uma única resistência equivalente Req em série com uma única indutância equivalente Leq quando todas as fontes independentes forem zeradas A resposta que procuramos é representada por ft 1 Com todas as fontes independentes zeradas simplifique o circuito para determinar Req Leq e a constante de tempo τ LeqReq 2 Considerando Leq um curtocircuito use os métodos de análise CC para encontrar iL0 a corrente no indutor imediatamente antes da descontinuidade 3 Novamente vendo Leq como um curtocircuito use os métodos de análise CC para encontrar a resposta forçada Esse é o valor do qual ft se aproxima quando t representado por f 4 Escreva a resposta total como a soma das respostas forçada e natural ft f Aetτ 5 Calcule f0 usando a condição iL0 iL0 Se desejado Leq pode ser substituída por uma fonte de corrente iL0 um circuito aberto se iL0 0 para esse cálculo À exceção das correntes em indutores e tensões em capa citores outras correntes e tensões no circuito podem mudar subitamente 6 f0 f A e f f0 fetτ ou resposta total valor final valor inicial valor final etτ u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 811 O circuito ilustrado na Figura 841 está na forma mostrada por um tempo muito longo A chave abre em t 0 Calcule iR em t igual a a 0 b 0 c d 15 ms Resposta 0 10 mA 4 mA 534 mA 88 CIRCUITOS RC COM FONTES A resposta completa de qualquer circuito RC também pode ser obtida como a soma das respostas natural e forçada Como o procedimento é pratica mente idêntico àquele que já discutimos em detalhes para os circuitos RL a melhor abordagem neste estágio é ilustrar a aplicação desse procedimento com a solução completa de um exemplo importante cujo objetivo é não somente uma grandeza relacionada a um capacitor mas também a corrente associada a um resistor p FIGURA 841 iR 01 H t 0 60 V 40 V 10 mA Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 288 Calcule a tensão υCt no capacitor e a corrente it no resistor de 200 Ω da Figura 842 para todo o tempo p FIGURA 842 a Circuito RC no qual as respostas completas vC e i são obtidas somandose uma resposta forçada e uma resposta natural b Circuito para t 0 c Circuito para t 0 a b 10 V 60 V 200 V 50 V 120 V 50 V 50 mF υCt it t 0 t 0 50 V 120 V 200 V 50 V 10 V 60 V 50 mF υC it b a t 0 50 V 50 V 200 V 60 V 50 mF υC it c Começamos considerando o estado do circuito em t 0 que corresponde à posição a da chave conforme representado na Figura 842b Como de cos tume assumimos que não há transitórios presentes de modo que somente a resposta forçada associada à fonte de 120 V é relevante para se encontrar υC0 Uma simples divisão de tensão nos dá a tensão inicial υC0 50 50 10120 100 V Como a tensão no capacitor não pode mudar instantaneamente esse valor é igualmente válido em t 0 e t 0 A chave muda agora para a posição b e a resposta correspondente é υC υC f υCn u EXEMPLO 810 O circuito correspondente foi redesenhado na Figura 842c por conveniência A forma da resposta natural é obtida substituindose a fonte de 50 V por um curtocircuito e avaliandose a resistência equivalente para calcular a constante de tempo em outras palavras estamos procurando a resistência equivalente de Thévenin vista pelo capacitor Req 1150 1200 160 24 Ω Logo vCn AetReqC Aet12 Para avaliar a resposta forçada com a chave em b esperamos até que todas as tensões e correntes tenham parado de mudar de valor tratando assim o capacitor como um circuito aberto e usamos a divisão de tensão mais uma vez vCf 50 200 5060 200 50 50 5020025060 50200250 20 V Consequentemente vC 20 Aet12 V e pela condição inicial já obtida 100 20 A ou vC 20 80et12 V t 0 e vC 100 V t 0 Esta resposta está representada na Figura 843a mais uma vez vemos que a resposta natural faz a transição da resposta inicial para a resposta final Agora abordamos it Sua resposta não precisa permanecer constante durante o chaveamento Com o contato em a é evidente que i 50260 1923 mA Quando a chave é movida para a posição b a resposta forçada para essa corrente fica iƒ 5060 5020050 200 5050 200 01 ampère A forma da resposta natural é a mesma que já havíamos determinado para a tensão no capacitor in Aet12 Combinando as respostas forçada e natural obtemos i 01 Aet12 ampères Para avaliar A precisamos conhecer i0 Isso é obtido fixando nossa atenção no elemento armazenador de energia o capacitor O fato de que vC deve permanecer igual a 100 V durante o chaveamento é a condição determinante que estabelece as demais correntes e tensões em t 0 Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 290 Como υC 0 100 V e o capacitor está em paralelo com o resistor de 200 Ω obtemos i0 05 A A 04 A e portanto it 01923 ampère t 0 i t 01 04et12 ampères t 0 ou it 01923 00923 04e t 12ut ampères sendo a última expressão correta para todo t A resposta completa para todo t também pode ser escrita de forma concisa usando ut que é igual a 1 para t 0 e 0 para t 0 Logo it 01923u t 01 04e t 12ut ampères Essa resposta está representada na Figura 843b Note que são necessários apenas quatro números para escrever a forma funcional da resposta desse cir cuito contendo um único elemento armazenador de energia ou para preparar o gráfico o valor constante antes do chaveamento 01923 A o valor instan tâneo logo após o chaveamento 05 A a resposta forçada constante 01 A e a constante de tempo 12 s A função exponencial negativa apropriada é então facilmente escrita ou desenhada u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 812 No circuito da Figura 844 calcule υCt em t igual a a 0 b 0 c d 008 s 20 kV 25 kV 80 kV 1 mA 5 mF υCt 10ut V iR t FIGURA 844 Resposta 20 V 20 V 28 V 244 V Concluímos esta seção listando os duais das definições dadas no final da Seção 87 O procedimento que usamos para encontrar a resposta de um circuito RC após a energização ou a desenergização de fontes CC fontes entrando ou saindo do circuito em um instante de tempo determinado por exemplo em t 0 está resumido no quadro a seguir Assumimos que o circuito possa ser reduzido a uma única resistência equivalente Req em paralelo com uma única capacitância equivalente Ceq quando todas as fontes independentes forem zeradas A resposta que procuramos é representada por ft 1 Com todas as fontes independentes zeradas simplifique o circuito para determinar Req Ceq e a constante de tempo τ Req Ceq 2 Vendo Ceq como um circuito aberto use os métodos de análise CC para encontrar υC 0 a tensão no capacitor imediatamente antes da descontinuidade 291 3 Vendo novamente Ceq como um circuito aberto use os métodos de análise CC para encontrar a resposta forçada Esse é o valor do qual f t se aproxima quando t representado por f 4 Escreva a resposta total como a soma das respostas forçada e natural f t f Aetτ 5 Calcule f 0 usando a condição υC0 υC0 Se desejado Ceq pode ser substituída por uma fonte de tensão υC0 um curtocircuito se υC0 0 para esse cálculo À exceção das tensões em capacitores e correntes em indu tores as demais tensões e correntes no circuito podem mudar subitamente 6 f0 f A e ft f f0 fetτ ou resposta total valor final valor inicial valor final etτ Conforme acabamos de ver os mesmos passos básicos que se aplicam à análise de circuitos RL podem ser aplicados a circuitos RC Até agora temos nos limitado à análise de circuitos contendo apenas funções forçantes CC apesar de a Equação 30 valer para funções mais gerais por exemplo Qt 9 cos5t 7º ou Qt 2e5t Antes de concluir esta seção vamos explorar um desses cenários envolvendo fontes que não sejam CC Determine uma expressão para υt no circuito da Figura 845 que seja válida para t 0 Com base em nossa experiência esperamos uma resposta completa na forma υt υf υn onde υf provavelmente se assemelhará à função forçante e υn terá a forma Aetτ Qual é a constante de tempo τ do circuito Substituímos nossa fonte por um circuito aberto e encontramos a resistência equivalente de Thévenin em paralelo com o capacitor Req 47 10 147 Logo nossa constante de tempo é τ ReqC 3234 µs ou de forma equiva lente lτ 3092 103 s1 Há várias maneiras de se proceder embora possivelmente a maneira mais fácil seja executar uma transformação de fontes o que resulta em uma fonte de tensão 235e2000t ut V em série com 147 Ω e 22 µF Note que isso não muda a constante de tempo Escrevendo uma equação LKT simples para t 0 obtemos 235e 2000t 14722 10 6 dυ dt υ Um pequeno rearranjo resulta em dυ dt 3092 103υ 7267 103 e 2000t que após comparação com as Equações 28 e 30 permitenos escrever a resposta completa como u EXEMPLO 811 10 V 22 mF 47 V υ 5e2000t ut A p FIGURA 845 Circuito RC simples alimentado por uma função forçante que decai exponencialmente Seção 88 u Circuitos RC com fontes Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 292 υt e Pt QePtdt Ae Pt e em nosso caso P 1τ 3092 103 e Qt 7267 103e2000t Vemos então que υt e 3092t 7267 103e 2000te3092tdt Ae 3092t V Executando a integração indicada υt 6655e 2000t Ae 3092t V 38 Nossa única fonte é controlada por uma função degrau com valor zero para t 0 assim sabemos que υ0 0 Como υ é a tensão no capacitor υ0 υ0 portanto obtemos nossa condição inicial υ0 0 facilmente Substituindo na Equação 38 obtemos A 6655 V assim υt 6655e 2000t e 3092t V t 0 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 813 Determine a tensão υ no capacitor do circuito da Figura 846 para t 0 Resposta 235 cos 3t 228 103 sen 3t 235e3092t V 89 PREVENDO A RESPOSTA DE CIRCUITOS CHAVEADOS SEQUENCIALMENTE No Exemplo 89 consideramos rapidamente a resposta de um circuito RL a uma onda em forma de pulso obtida com a efetiva conexão e desconexão de uma fonte ao circuito Esse tipo de situação é muito comum na prática pois alguns circuitos são projetados para serem acionados apenas uma vez p ex o circuito de disparo do airbag de um veículo Ao prever a resposta de circuitos RL e RC simples submetidos a pulsos e séries de pulsos às vezes chamados de circuitos chaveados sequencialmente o aspecto fundamental é o tamanho relativo da constante de tempo do circuito em relação aos vários tempos que definem a sequência de pulsos O princípio mais importante por trás dessa análise será se o elemento armazenador de energia tem tempo para se carregar totalmente antes do fim do pulso e se ele tem tempo para se descarregar totalmente antes do início do próximo pulso Considere o circuito mostrado na Figura 847a que está conectado a uma fonte de tensão pulsada descrita por sete diferentes parâmetros definidos na Figura 847b A forma de onda é limitada por dois valores V1 e V2 O tempo tr necessário para mudar de V1 para V2 é chamado de tempo de subida TR e o tempo tf necessário para mudar de V2 para V1 é chamado de tempo de descida TF A duração Wp do pulso é conhecida como largura de pulso PW e o período t da forma de onda PER é o tempo necessário para o pulso se repetir Note também que o SPICE permite um tempo de atraso TD antes que o trem de pulsos comece o que pode ser útil em configurações de circuito que requeiram o decaimento das respostas transitórias iniciais Para os propósitos desta discussão definimos um tempo de atraso nulo V1 0 e V2 9 V A constante de tempo do circuito é τ RC 1 ms assim definimos os tempos de subida e de descida como 1 ns Embora o 10 V 22 mF 47 V υ 5 cos 3t ut A p FIGURA 846 Circuito RC simples alimentado por uma função forçante senoidal Seção 89 u Prevendo a resposta de circuitos chaveados sequencialmente 293 SPICE não permita que uma tensão mude instantaneamente visto que ele resolve as equações diferenciais usando intervalos de tempo discretos o tempo de 1 ns é uma aproximação razoável para instantâneo se compara do com a constante de tempo de nosso circuito Consideraremos quatro casos básicos resumidos na Tabela 81 Nos dois primeiros casos a largura de pulso Wp é muito maior do que a constan te de tempo τ do circuito portanto esperamos que os transitórios resultantes do início do pulso desapareçam antes que o pulso termine Nos dois últimos casos vale o oposto o pulso é tão curto que o capacitor não tem tempo de se carregar completamente antes que o pulso termine Um problema similar ocorre quando consideramos a resposta do circuito para os casos em que o tempo entre pulsos T Wp é curto Caso II ou longo Caso III em com paração com a constante de tempo do circuito Tabela 81 u Quatro casos separados de largura de pulso e período relativos à constante de tempo de 1 ms do circuito Caso Largura de pulso Wp Período T 1 0 m s I τ Wp 20 ms τ T Wp II 10 ms τ Wp 101 ms τ T Wp III 01 ms τ Wp 101 ms τ T Wp IV 01 ms τ Wp 02 ms τ T Wp A Figura 848 é uma representação qualitativa da resposta do circuito para cada um dos quatro casos selecionando arbitrariamente a tensão no capacitor como a grandeza de interesse pois se espera que qualquer tensão ou corrente tenha a mesma dependência no tempo No Caso I o capacitor tem tempo para se carregar e se descarregar total mente Figura 848a enquanto no Caso II Figura 848b quando o tempo entre pulsos é reduzido ele não tem tempo suficiente para se descarregar totalmente Por outro lado o capacitor não tem tempo suficiente para se carregar totalmente no Caso III Figura 848c ou no Caso IV Figura 848d V2 V1 t TD PER PW TR TF a b p FIGURA 847 a Diagrama esquemático de um circuito RC simples conectado a uma tensão com forma de onda pulsada b Diagrama das definições do parâmetro VPULSE do SPICE Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 294 Caso I Há Tempo Suficiente para se Carregar e Descarregar Totalmente Podemos obter valores exatos para a resposta em cada caso executando naturalmente uma série de análises Consideramos primeiro o Caso I Como o capacitor tem tempo para se carregar totalmente a resposta forçada corresponderá à tensão de alimentação de 9 V CC A resposta completa do primeiro pulso é portanto υCt 9 Ae 1000t V Com υC0 0 A 9 V assim υCt 91 e 1000t V 39 no intervalo de 0 t 10 ms Em t 10 ms a tensão da fonte cai subita mente para 0 V e o capacitor começa a se descarregar através do resistor Nesse intervalo de tempo estamos diante de um simples circuito RC sem fontes e podemos escrever a resposta como υCt Be 1000t 001 10 t 20 ms 40 onde B 899959 V e é calculado substituindose t 10 ms na Equação 39 seremos pragmáticos aqui e arredondaremos esse valor para 9 V observando que o valor calculado é consistente com a nossa hipótese de que o transitório inicial se dissipa antes que o pulso termine Em t 20 ms a fonte de tensão salta imediatamente de volta a 9 V A tensão no capacitor imediatamente antes desse evento é obtida substituin dose t 20 ms na Equação 40 o que resulta em υC20 ms 4086 µV essencialmente zero em comparação com o valor de pico de 9 V Se mantivermos nossa convenção de arredondar para quatro algarismos significativos a tensão no capacitor no início do segundo pulso é zero que é a mesma do nosso ponto de partida Assim as Equações 39 e 40 formam a base da resposta para todos os pulsos subsequentes e podemos escrever a b c d p FIGURA 848 Tensão no capacitor para o circuito RC com a largura de pulso e período como em a Caso I b Caso II c Caso III e d Caso IV Seção 89 u Prevendo a resposta de circuitos chaveados sequencialmente 295 υCt 91 e 1000t V 0 t 10 ms 9e 1000t 001 V 10 t 20 ms 91 e 1000t 002 V 20 t 30 ms 9e 1000t 003 V 30 t 40 ms e assim por diante Caso II Há Tempo Suficiente para se Carregar Totalmente mas Não para se Descarregar Totalmente Em seguida consideramos o que acontece se o capacitor não conseguir se descarregar completamente Caso II A Equação 39 ainda descreve a situação no intervalo 0 t 10 ms e a Equação 40 descreve a tensão no capacitor no intervalo entre pulsos que foi reduzido para 10 t 101 ms Imediatamente antes do início do segundo pulso em t 101 ms υC é 8144 V o capacitor teve apenas 01 ms para se descarregar e portan to ainda retém 82 de sua energia máxima no início do pulso seguinte Assim no próximo intervalo υCt 9 Ce 1000t 101 10 3 V 101 t 201 ms onde υC101 ms 9 C 8144 V então C 0856 V e υCt 9 0856e 1000t 101 10 3 V 101 t 201 ms que alcança o valor de pico de 9 V muito mais rapidamente do que no pulso anterior Caso III Não Há Tempo para se Carregar Totalmente mas Há Tempo para se Descarregar Totalmente E o que acontece se o transitório não se dissipar antes do final do pulso de tensão De fato essa situação ocorre no Caso III Da mesma forma que escrevemos para o Caso I υCt 9 Ae 1000t V 41 ainda se aplica a esta situação mas agora somente no intervalo 0 t 01 ms Nossa condição inicial não mudou assim A 9 V como antes Agora no entanto logo antes do término desse pulso em t 01 ms obtemos υC 08565 V Esse valor está longe do valor máximo de 9 V que pode ser obtido se dermos tempo para que o capacitor se carregue totalmente e é o resultado direto de um pulso que dura somente um décimo da constante de tempo do circuito O capacitor começa agora a se descarregar de forma que υCt Be 1000t 1 10 4 V 01 t 101 ms 42 Já determinamos que υC01 ms 08565 V assim υC01 ms 08565 V e a substituição na Equação 42 resulta em B 08565 V Ime diatamente antes do início do segundo pulso em t 101 ms a tensão no capacitor já caiu para essencialmente 0 V essa é a condição inicial no início do segundo pulso e assim a Equação 41 pode ser reescrita como Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 296 υCt 9 9e 1000t 101 10 3 V 101 t 102 ms 43 para descrever a resposta correspondente Caso IV Não Há Tempo para se Carregar Totalmente nem para se Descarregar Totalmente No último caso consideramos a situação na qual a largura do pulso e o período são tão curtos que o capacitor não tem tempo para se carregar totalmente nem para se descarregar totalmente em qualquer um dos perío dos Com base em nossa experiência podemos escrever υCt 9 9e 1000t V 0 t 01 ms 44 υCt 08565e 1000t 1 10 4 V 01 t 02 ms 45 υCt 9 Ce 1000t 2 10 4 V 02 t 03 ms 46 υCt De 1000t 3 10 4 V 03 t 04 ms 47 Imediatamente antes do início do segundo pulso em t 02 ms a tensão no capacitor é υC 07750 V com tempo insuficiente para se descarregar totalmente ele retém uma grande parte da pequena energia que teve tempo de armazenar inicialmente Para o intervalo 02 ms t 03 ms a substituição de υC 02 υC 02 07750 V na Equação 46 resulta em C 8225 V a b c d p FIGURA 849 Resultados de simulação no PSpice correspondendo a a Caso I b Caso II c Caso III d Caso IV Seção 89 u Prevendo a resposta de circuitos chaveados sequencialmente 297 Continuando avaliamos a Equação 46 em t 03 ms e calculamos υC 1558 V imediatamente antes do final do segundo pulso Logo D 1558 V e nosso capacitor está carregando lentamente atingindo níveis de tensão cada vez maiores Nesse estágio pode ser útil colocarmos em gráfico as respostas detalhadas por isso mostramos na Figura 849 os resultados da simulação dos Casos I a IV no PSpice Observe em especial que na Figura 849d a pequena resposta transitória cargadescarga similar àquela mostrada na Figura 849ac está sobreposta a uma resposta de carga na forma 1 etτ Logo são necessá rias aproximadamente três a cinco constantes de tempo para que o capacitor se carregue até seu valor máximo em situações nas quais um único período não é suficiente para que ele se carregue ou se descarregue totalmente O que ainda não fizemos é prever o comportamento da resposta para t 5τ embora estivéssemos interessados em fazêlo especialmente se não fosse necessário considerar uma sequência muito longa de pulsos um de cada vez Notamos que a resposta da Figura 849d tem um valor médio de 450 V a partir de aproximadamente 4 ms Isso é exatamente a metade do valor que esperaríamos obter se a largura do pulso da fonte de tensão permi tisse que o capacitor se carregasse totalmente Na verdade esse valor médio de longo prazo pode ser calculado multiplicandose a tensão no capacitor pela relação entre a largura do pulso e o período u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 814 Desenhe o gráfico de iLt no intervalo de 0 t 6 s para a υSt 3ut 3ut 2 3ut 4 3ut 6 b υSt 3 ut 3 ut 2 3ut 2l 3ut 4l Resposta Ver Figura 850b Ver Figura 850c p FIGURA 850 a Circuito para o Exercício de Fixação 814 b Solução da parte a c Solução da parte b iL 100 mH υS t 1 V a 0 0 2 4 1 2 3 4 5 6 iL A t s b 0 0 2 4 1 2 3 4 5 6 iL A t s c APLICAÇÃO LIMITES DE FREQUÊNCIA EM CIRCUITOS INTEGRADOS DIGITAIS Os circuitos integrados digitais modernos como os arran jos lógicos programáveis PALs e os microprocessadores Fig 851 são compostos de circuitos transistorizados interligados conhecidos como portas gates p FIGURA 851 Um wafer de silício com múltiplos circuitos integrados idênticos Cada um é menor do que uma moeda de 001 Reimpresso com permissão de Intel Corporation Sinais digitais são representados simbolicamente por combinações de uns e zeros que podem ser dados ou instruções p ex somar ou subtrair Eletricamente representamos um nível lógico 1 como uma tensão alta e um nível lógico 0 como uma tensão baixa Na prática há uma faixa de tensões que correspondem a cada um desses níveis por exemplo na série 7400 de circuitos integrados digitais de lógica TTL qualquer tensão entre 2 V e 5 V será interpretada como um nível lógico l e qualquer tensão entre 0 V e 08 V será interpretada como um nível lógico 0 Tensões entre 08 V e 2 V não correspondem a nenhum nível lógico como mostra a Figura 852 Um parâmetro fundamental em circuitos digitais é a velocidade na qual podemos efetivamente utilizálos Nesse sentido velocidade significa a rapidez com a qual podemos mudar uma porta de um estado lógico para outro de 0 para 1 ou viceversa e o tempo de atraso neces sário para transferir a saída de uma porta para a entrada da próxima porta Embora a velocidade de chaveamento dos transistores seja afetada por capacitâncias internas são as suas conexões que limitam hoje a velocidade dos circui tos integrados digitais mais rápidos Podemos modelar a conexão entre duas portas lógicas usando um circuito RC simples embora com a contínua redução das dimensões em projetos mais recentes sejam necessários modelos mais detalhados para descrever o desempenho do circui to Por exemplo considere uma conexão de 2000 µm de comprimento e 2 µm de largura Podemos modelar essa conexão em um circuito integrado de silício típico com uma capacitância de 05 pF e uma resistência de 100 Ω conforme ilustra esquematicamente a Figura 853 100 V 05 pF υsaída υent p FIGURA 853 Modelo de circuito para uma conexão em circuito integrado Vamos assumir que υsaída represente a tensão de saída de uma porta que está mudando de um estado lógico 0 para um estado lógico 1 A tensão υent aparece na entra da de uma segunda porta e queremos saber quanto tempo levará até que υent alcance o mesmo valor de υsaída Supondo que a capacitância de 05 pF que caracte riza a conexão esteja inicialmente descarregada isto 0 0 1 2 3 4 5 6 100 400 300 200 500 600 700 900 1000 800 υent V Tempo s Nível lógico 0 Nível lógico 1 p FIGURA 852 Característica cargadescarga de uma capacitância de interconexão identificando as faixas de tensão TTL para os níveis lógicos 1 e 0 respectivamente RESUMO E REVISÃO Neste capítulo aprendemos que os circuitos que contêm um único elemento de armazenamento de energia seja um indutor ou um capacitor podem ser descritos por uma escala de tempo característica chamada de constante de tempo do circuito τ LR ou τ RC respectivamente Se tentarmos alterar a quantidade de energia armazenada no elemento seja carregando ou descarregando toda tensão e corrente no circuito incluirá um termo exponencial da forma etτ Após aproximadamente cinco cons tantes de tempo a partir do momento em que se tentou alterar a quantidade de energia armazenada a resposta transitória essencialmente desaparece e ficamos simplesmente com uma resposta forçada que surge a partir das fontes independentes do circuito no instante t 0 Ao determinar a resposta forçada em um circuito puramente CC podemos tratar indutores como curtoscircuitos e capacitores como circuitos abertos Começamos nossa análise com os chamados circuitos sem fontes para introduzir a ideia de constantes de tempo de forma objetiva tais circuitos têm resposta forçada nula e uma resposta transitória resultante da energia armazenada em t 0 É racional pensarmos que um capacitor não pode mudar sua tensão subitamente ou isso resultaria em uma corrente infini ta e isso foi indicado introduzindo a notação υC0 υC0 Da mesma forma a corrente através de um indutor não pode mudar em um tempo nulo ou iL0 iL0 A resposta completa é sempre a soma da resposta transitória e a resposta forçada Aplicar a condição inicial para a resposta completa nos permite determinar a constante desconhecida que multiplica o termo transitório Passamos algum tempo discutindo modelagem de chaves tanto anali ticamente quanto no contexto do PSpice Uma representação matemática comum utiliza a função degrau unitário ut t0 que tem o valor nulo para é υent0 0 calculando a constante de tempo RC para nossa conexão como τ RC 50 ps e definindo t 0 como o instante no qual υsaída muda obtemos a expressão υentt Ae tτ υsaída0 Fazendo υent0 0 obtemos A υsaída0 de forma que υentt υsaída01 etτ Após examinar essa equação vemos que υent alcançará o valor υsaída0 após aproximadamente 5τ ou 250 ps Se a tensão υsaída mudar novamente antes que esse período transitório esteja terminado então a capacitância não terá tempo suficiente para se carregar totalmente Em situações como essa υent será menor que υsaída Supondo que υsaída0 seja igual à tensão mínima correspondente ao nível lógico 1 isso significa que υent não corresponderá a um nível lógico 1 Se υsaída mudar agora subitamente para 0 V nível lógico 0 a capacitância começará a se descarregar o que resultará em υent ainda menor Assim alternando nossos estados lógicos muito rapidamente não conseguiremos transferir as informações de uma porta para outra A maior velocidade com a qual podemos mudar os estados lógicos é portanto 5τ1 Isso pode ser expresso em termos da frequência máxima de operação fmáx 1 25τ 2 GHz onde o fator 2 representa um período de cargadescarga Se desejarmos utilizar nosso circuito integrado em uma frequência mais elevada para que os cálculos possam ser feitos mais rapidamente precisaremos reduzir a capaci tância de conexão eou a resistência de conexão Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 300 t t0 e valor unitário para t t0 e é indeterminado para t t0 A função degrau unitário pode ativar um circuito conectando fontes de modo que a corrente possa fluir para valores de t que antecedam ou sucedam um tempo específico Combinações de funções degrau podem ser usadas para criar pul sos e formas de onda mais complexas No caso de circuitos chaveados sequencialmente em que as fontes são ligadas e desligadas repetidamente descobriuse que o comportamento dos circuitos depende fortemente do período e da largura do pulso que se ajustam em função da constante de tempo do circuito Este é um bom momento para destacar alguns pontos fundamentais que vale a pena rever juntamente com exemplos relevantes f A resposta de um circuito contendo capacitores e indutores a fontes que são subitamente conectadas ou desconectadas é composta de duas partes uma resposta natural e uma resposta forçada f A forma da resposta natural também chamada de resposta transi tória depende apenas dos valores dos componentes e da maneira como eles estão conectados Exemplos 81 e 82 f Um circuito reduzido a uma única capacitância equivalente C e a uma única resistência equivalente R terá uma resposta natural dada por υt V0etτ onde τ RC é a constante de tempo do circuito Exemplos 83 e 85 f Um circuito reduzido a uma única indutância equivalente L e a uma única resistência equivalente R terá uma resposta natural dada por it I0etτ onde τ LR é a constante de tempo do circuito Exemplo 84 f Circuitos com fontes dependentes podem ser representados por uma resistência utilizando os procedimentos de Thévenin f A função degrau unitário é uma boa maneira de modelar o fecha mento ou a abertura de uma chave desde que tenhamos o cuidado de observar as condições iniciais Exemplos 87 e 89 f A forma da resposta forçada espelha a forma da função forçante Portanto uma função forçante CC sempre leva a uma resposta for çada constante Exemplos 87 e 88 f A resposta completa de um circuito RL ou RC excitado por uma fonte CC terá a forma f 0 f A e ft f f0 fetτ ou resposta total valor final valor inicial valor final etτ Exemplos 89 810 e 811 f A resposta completa de um circuito RL ou RC também pode ser determinada escrevendose uma única equação diferencial para a grandeza de interesse e a resolvendo Exemplos 82 e 811 f Ao tratar com circuitos chaveados sequencialmente ou circuitos conectados a formas de onda pulsadas é importante saber se o ele mento armazenador de energia terá tempo suficiente para se carregar totalmente e se descarregar totalmente sendo as medidas feitas em relação à constante de tempo de circuito 301 Leitura complementar LEITURA COMPLEMENTAR Um guia para técnicas de solução para equações diferenciais pode ser encontrado em W E Boyce and R C DiPrima Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 7th ed New York Wiley 2002 Uma descrição detalhada de transitórios em circuitos elétricos é dada em E Weber Linear Transient Analysis Volume I New York Wiley 1954 Edição esgotada porém pode ser encontrada na biblioteca de muitas universidades EXERCÍCIOS 81 O Circuito RL sem Fontes 1 Definindo R 1 kΩ e L 1 nH para o circuito representado na Figura 81 e sabendo que i0 3 mA a escreva uma expressão para it válida para todo t 0 b calcule it em t 0 t 1 ps 2 ps e 5 ps c calcule a energia arma zenada no indutor em t 0 t 1 ps e t 5 ps 2 Se i0 1 A e R 100 Ω para o circuito da Figura 81 a escolha L tal que i50 ms 368 mA b calcule a energia armazenada no indutor em t 0 ms 50 ms 100 ms e 150 ms 3 Com base no circuito mostrado na Figura 81 escolha os valores para os dois elementos tal que LR 1 e a calcule υRt em t 0 1 2 3 4 e 5 s b cal cule a potência dissipada no resistor em t 0 1 s e 5 s c Em t 5 s qual é a porcentagem da energia inicial que continua armazenada no indutor 4 O circuito representado na Figura 81 é construído a partir de componentes cujos valores são desconhecidos Se uma corrente i0 de 6 µA inicialmente flui através do indutor e determinase que i1 ms 2207 µA calcule a razão de R para L 5 Determine a equação característica de cada uma das seguintes equações diferenciais a 5υ 14 dυ dt 0 b 9 di dt 18i 0 c di dt 18i R B i 0 d d2f dt2 8 d f dt 2 f 0 6 Para as seguintes equações características escreva as equações diferenciais cor respondentes e encontre todas as raízes sejam reais imaginárias ou complexas a 4s 9 0 b 2s 4 0 c s2 7s 1 0 d 5s2 8s 18 0 7 Supondo que a chave do circuito da Figura 854 tenha estado fechada por um longo longo longo tempo calcule iLt em a o instante imediatamente antes de a chave abrir b o instante imediatamente depois de a chave abrir c t 158 µs d t 315 µs e t 788 µs t FIGURA 854 300 V 4 mA 2 mH t 0 220 V iL υ Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 302 8 A chave na Figura 854 está fechada desde que Pelé marcou seu último gol em uma Copa do Mundo Calcule a tensão υ bem como a energia armazenada no indutor a no instante imediatamente anterior à abertura da chave b no instan te imediatamente após a chave estar aberta c t 8 µs d t 80 μs 9 A chave no circuito da Figura 855 foi fechada por um tempo absurdamente longo antes de ser aberta subitamente em t 0 a Obtenha as expressões para iL e υ no circuito da Figura 855 que são válidas para todo t 0 b Calcule iLt e υt no instante imediatamente antes da abertura da chave no instante logo após a abertura da chave e em t 470 μs 10 Supondo que a chave inicialmente estivesse aberta por um tempo muito muito longo a obtenha uma expressão para iW no circuito da Figura 856 que seja válida para todo t 0 b calcule iW em t 0 e t 13 ns 82 Propriedades da Resposta Exponencial 11 a Plote um gráfico da função ft 10e2t no intervalo de 0 t 25 s utili zando escalas lineares para os eixos x e y b Refaça o gráfico com uma escala logarítmica para o eixo y Dica a função monolog pode ser útil aqui c Quais são as unidades de 2 no argumento da exponencial d Em que tempos a função chega aos valores 9 8 e 1 12 A corrente it que flui através de um resistor de 1 Ω é dada por it 5e10t mA t 0 a Determine os valores de t para os quais a amplitude da tensão do resistor sejam iguais a 5 V 25 V 05 V e 5 mV b Plote o gráfico da função no intervalo de 0 t 1 s utilizando escalas lineares em ambos os eixos c Desenhe uma tangente à sua curva em t 100 ms e determine onde a tangente intercepta o eixo do tempo 13 A espessura de uma célula solar deve ser escolhida cuidadosamente para garan tir que os fótons sejam absorvidos adequadamente até mesmo os metais podem ser parcialmente transparentes quando produzidos em películas muito finas Se o fluxo de luz incidente número de fótons por unidade de área por unidade de tempo na superfície da célula solar x 0 é dado por Φ0 e a intensidade da luz a uma distância x dentro da célula solar é dada por Φx o comportamento de Φx é descrito pela equação de dΦdx αΦ 0 Aqui α conhecido como o coeficiente de absorção é uma constante específica para um dado material semicondutor a Qual é a unidade no SI para α b Obtenha uma expressão para Φx em termos de Φ0 α e x c Com qual espessura a célula solar deve ser feita para absorver pelo menos 38 da luz incidente Expresse sua resposta em termos de α d O que acontece com a luz que entra na célula solar em x 0 mas não é absorvida 14 Para o circuito da Figura 85 calcule a constante de tempo se o resistor de 10 Ω é substituído por a um curtocircuito b um resistor de 1 Ω c uma ligação em série de dois resistores de 5 Ω d um resistor de 100 Ω e Verifique suas respostas com uma simulação de varredura paramétrica apropriada Dica a ferramenta de cursor pode vir a ser útil e a resposta não depende da corrente inicial que você escolher para o indutor 15 Projete um circuito que forneça uma tensão de 1 V em algum momento inicial e uma tensão de 368 mV depois de 5 segundos Você pode especificar uma corrente inicial no indutor sem demonstrar como ela surge 83 O Circuito RC sem Fontes 16 O resistor no circuito da Figura 857 foi incluído para modelar a camada dielé trica que separa as placas do capacitor de 31 nF e tem um valor de 55 MΩ O capacitor está armazenando 200 mJ de energia pouco antes de t 0 a Escreva uma expressão para υt válida para t 0 b Calcule a energia restante no capacitor em t 170 ms c Desenhe o gráfico υt no intervalo de 0 t 850 ms e identifique o valor de vt quando t 2τ p FIGURA 855 10 V υ 40 mH 25 V 10 V t 0 iL 50 V p FIGURA 856 15 V 20 mH 5 kV 10 kV iL iW t 0 p FIGURA 857 R C i υ Exercícios 303 17 O resistor no circuito da Figura 857 tem um valor de 1 Ω e é ligado a um capa citor de 22 mF O dielétrico do capacitor tem resistência infinita e o dispositivo está armazenando 891 mJ de energia imediatamente antes de t 0 a Escreva uma expressão para υt válida para t 0 b Calcule a energia restante no capacitor em t 11 ms e 33 ms c Repita os itens a e b considerando que o dielétrico do capacitor possui muito mais perdas do que o esperado com uma resistência da ordem de 100 kΩ 18 Calcule a constante de tempo do circuito representado na Figura 857 se C 10 mF e R é igual a a 1 Ω b 10 Ω c 100 Ω d Verifique as suas respostas com uma simulação com parâmetro de varredura apropriado Dica a ferramenta cursor pode ser útil e a constante de tempo não depende da tensão inicial sobre o capacitor 19 Projete um circuito baseado em capacitor que irá fornecer a uma tensão de 9 V em algum instante t 0 e uma tensão de 12 V em um instante 4 ms depois b uma corrente de 1 mA em algum instante t 0 e uma corrente reduzida de 50 µA em um instante depois de 100 ns Você pode optar por projetar dois circuitos separados se desejar e não precisa mostrar como a tensão inicial do capacitor é definida 20 Podemos assumir que a chave ilustrada no circuito da Figura 858 esteve fechada por um tempo tão longo que qualquer transitório que pode ter surgido da primeira ligação da fonte de tensão desapareceu a Determine a constante tempo do circuito b Calcule a tensão υt no instante t τ 2τ e 5τ 21 Podemos assumir seguramente que a chave no circuito da Figura 859 foi fecha da muito tempo antes de ser aberta em t 0 a Determine a constante tempo do circuito b Obtenha uma expressão para i1t que é válida para t 0 c Determine a potência dissipada pelo resistor de 12 Ω em t 500 ms 22 A chave acima da fonte de 12 V no circuito da Figura 860 foi fechada logo após a roda ser inventada Ela é finalmente aberta em t 0 a Calcule a constante tempo do circuito b Obtenha uma expressão para vt válida para t 0 c Calcule a energia armazenada no capacitor 170 ms após a chave ser aberta 23 Para o circuito representado esquematicamente na Figura 861 a calcule υt em t 0 t 984 s e t 1236 s b determine a energia ainda armazenada no capacitor em t 100 s 24 Para o circuito ilustrado na Figura 862 a calcule a constante tempo do circui to b determine υ no instante imediatamente antes de a chave ser fechada c obtenha uma expressão para υt válida para t 0 d calcule υ 3 ms 25 A chave desenhada na Figura 862 esteve aberta por um longo tempo a Determine o valor da corrente i imediatamente antes de a chave ser fechada b Obtenha o valor de i imediatamente depois de a chave ser fechada c Calcule a potência dissipada em cada resistor no intervalo de 0 t 15 ms d Faça o gráfico de sua resposta ao item c 84 Uma Perspectiva Mais Geral 26 a Obtenha uma expressão para a tensão υt que aparece sobre o resistor R3 no circuito da Figura 863 que é válida para t 0 b Se R1 2R2 3R3 4R4 12 kΩ L 1 mH calcule υt 500 ns t FIGURA 863 i4 R4 R3 R1 L R2 iL υ 8 V υ 50 mF 12 V 9 V t 0 i1 p FIGURA 859 10 kV 5 kV 1 kV 3 kV 20 kV t 0 12 V 5 mF υ p FIGURA 860 υ 12 mF t 0 21 kV 20 V 82 kV p FIGURA 861 t 0 10 kV 150 nF 2 mA 10 kV υ i p FIGURA 862 4 V υ 2 nF 200 V 100 V 150 V t 0 p FIGURA 858 Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 304 27 Para o circuito da Figura 864 determine iX iL e υL em t igual a a 0 b 0 t FIGURA 864 5 V 10 V 3 V iL 6 nH t 0 ix υL 4 V 28 A chave mostrada na Figura 865 esteve fechada por 6 anos antes de ser aberta em t 0 Determine iL υL e υR para t igual a a 0 b 0 c 1 µs d 10 µs t FIGURA 865 12 V 1 kV υR t 0 1 kV 2 kV 30 mH iL υL 29 Obtenha as expressões para ambos i1t e iLt conforme indicado na Figura 866 que são válidos para t 0 t FIGURA 866 iL i1 5 A t 0 3 V 2 H 1 H 3 H 2 V 8 V 30 A tensão sobre o resistor de um simples circuito RL sem fonte é dado por 5e90t V para t 0 O valor do indutor não é conhecido a Em que instante a tensão do indutor será exatamente a metade do seu valor máximo b Em que instante a corrente do indutor chegará a 10 do seu valor máximo 31 Com base na Figura 867 calcule as correntes i1 e i2 em t igual a a de 1 ms b 3 ms t FIGURA 867 9 mA 4 V 1 V t 0 5 mH i2 i1 iL 32 a Obtenha uma expressão para υx indicado no circuito da Figura 868 b Cal cule υx em t 5 ms c Verifique sua resposta com uma simulação apropriada no PSpice Dica empregue o componente denominado SwtClose t FIGURA 868 2 V 10 mH 3 V 1 V 5 V υx t 0 Exercícios 305 33 Projete um circuito completo que forneça uma tensão υab sobre os dois terminais a e b de tal modo que υab 5 V em t 0 2 V em t 1 s e menos que 60 mV em t 5 Verifique o funcionamento do seu circuito usando uma simulação apropriada no PSpice Dica empregue o componente denominado SwtOpen ou SwtClose conforme o caso 34 Para o componente SwtOpen o PSpice na verdade emprega uma sequência de simulações onde inicialmente o componente é substituído por um resistor de 1 MΩ e então substituído por um resistor com valor correspondendo a 10 mΩ quando a chave abre a Avalie a confiabilidade desses valores padrão simu lando o circuito da Figura 855 e calculando iL em t 1 ns b Repita o item a com RCLOSED alterado para 1 Ω Isso altera sua resposta c Repita o item a com ROPEN alterado para 100 kΩ e redefina RCLOSED para seu valor padrão Isso altera sua resposta Dica dê um clique duplo sobre o componente para acessar seus atributos 35 Escolha valores para os resistores R0 e R1 no circuito da Figura 869 tal que υC 065 522 V e υC 221 1 V t FIGURA 869 R1 R0 10 mF 60 V 10 V υC 125 V t 2 s t 0 36 Uma rápida medição determina que a tensão υC no capacitor do circuito da Figu ra 870 é de 25 V em t 0 a Determine υC0 i10 e v0 b Escolha um valor de C de modo que a constante de tempo do circuito seja igual a 14 s 37 Determine υCt e υot conforme indicado no circuito representado na Figura 871 para t igual a a 0 b 0 c 10 ms d 12 ms t FIGURA 871 1 V 1 mF 6 kV 2 kV 2 kV 4 kV 1 kV 5 kV υo υC t 0 38 Para o circuito mostrado na Figura 872 determine a υC 0 b υC 0 c constante de tempo do circuito d υC 3 ms t FIGURA 872 15i1 i1 υC 1 mF 3 kV 6 kV 5 kV t 0 10 V 39 A chave na Figura 873 é movida de A para B em t 0 após estar em A por um longo tempo Isso coloca os dois capacitores em série permitindo assim p FIGURA 870 C υC υ i1 10 V 8 V 20 V p FIGURA 873 100 V 5 mF 20 mF 5 kV 20 kV B A υR υ2 υ1 it t 0 Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 306 tensões CC iguais e opostas em módulo serem confinadas nos capacitores a Determine υ10 υ20 e υR0 b Encontre υ10 υ20 e υR0 c Deter mine a constante de tempo de υRt d Encontre υRt t 0 e Encontre it f Encontre υ1t e υ2t a partir de it e os valores iniciais g Mostre que a energia armazenada em t mais a energia total dissipada no resistor de 20 kΩ é igual à energia armazenada nos capacitores em t 0 40 O indutor na Figura 874 está armazenando 54 nJ em t 0 Calcule a energia restante em t igual a a 0 b 1 ms c 5 ms 85 A Função Degrau Unitário 41 Avalie as seguintes funções em t 2 0 e 2 a ft 3ut b gt 5ut 3 c ht 5ut 3 d zt 7u1 t 4ut 3 42 Avalie as seguintes funções em t 1 0 e 3 a ft tu1 t b gt 8 2u2 t c ht ut 1 ut 1 ut 2 ut 4 d zt 1 u3 t ut 2 43 Faça o gráfico das seguintes funções ao longo do intervalo 3 t 3 a υt 3 u2 t 2ut V b it ut ut 05 ut 1 ut 15 ut 2 ut 25 A c qt 8ut C 44 Use funções degrau para construir uma equação que descreva a forma de onda esboçada na Figura 875 t FIGURA 875 0 1 2 3 t 1 2 f t 45 Empregando funções degrau apropriadas descreva a forma de onda de tensão representada graficamente na Figura 876 t FIGURA 876 1 2 3 2 4 4 4 5 t s υt V 2 86 Circuitos RL com Fontes 46 Com relação ao circuito simples ilustrado na Figura 877 calcule it para a t 0 b t 0 c t 1 d t 1 e t 2 ms p FIGURA 874 48 mH 10 V 40 V iL iL 5 p FIGURA 877 it 1 H 3 kV 9ut 1 V Exercícios 307 47 Para o circuito dado na Figura 878 a determine υL0 υL0 iL0 e iL0 b calcule iL150 ns c Verifique sua resposta ao item b com uma simulação apropriada no PSpice t FIGURA 878 3 mH 100 V 25 V υL iL 2ut mA 48 O circuito representado na Figura 879 contém duas fontes independentes sendo que uma delas está ativa apenas para t 0 a Obtenha uma expressão para iLt válida para todo t b calcule iLt em t 10 μs 20 μs e 50 μs t FIGURA 879 12 V 1 kV 1 kV 2 kV 10 mH 50ut mA iL 49 O circuito mostrado na Figura 880 é alimentado por uma fonte que é inativa para t 0 a Obtenha uma expressão para it válida para todo t b Faça o gráfico de sua resposta durante o intervalo de 1 ms t 10 ms 50 Para o circuito mostrado na Figura 881 a obtenha uma expressão para it válida para todo o tempo b obtenha uma expressão para υRt válida para todo o tempo e c faça os gráficos de it e υRt ambos no intervalo de 1 s t 6 s t FIGURA 881 30 V 5 V 5 H υR 12ut V it 87 Respostas Natural e Forçada 51 Para o circuito de duas fontes da Figura 882 observe que uma fonte está sem pre ligada a Obtenha uma expressão para it válida para todo t b determi ne em que instante a energia armazenada no indutor atinge 99 de seu valor máximo 52 a Obtenha uma expressão para iL conforme indicado na Figura 883 que seja válida para todos os valores de t b Faça o gráfico do seu resultado durante o intervalo de 1 ms t 3 ms t FIGURA 883 50 mH 20 V 60 V 45 V iL t 0 45 V p FIGURA 880 45 mH 20 V it 2ut V p FIGURA 882 5 H 100 V 400 V 5 V 6ut V it Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 308 53 Obtenha uma expressão para iLt indicado no diagrama do circuito da Figura 884 e determine a potência dissipada no resistor de 40 Ω em t 25 ms t FIGURA 884 40 V 30 mV 30 V it t 0 100 mA 200 mA 54 Obtenha uma expressão para i1 conforme indicado na Figura 885 que é válida para todos os valores de t t FIGURA 885 50 nH 5 V 5 V 3i1 i1 2ut V 55 Faça o gráfico da corrente it na Figura 886 se a R 10 Ω b R 1 Ω Em que caso o indutor armazena temporariamente mais energia Explique 88 Circuitos RC com Fontes 56 a Obtenha uma expressão para υC no circuito da Figura 887 válida para todos os valores de t b Faça o gráfico de υCt no intervalo de 0 t 4 μs 57 Obtenha uma equação que descreva o comportamento de iA indicado na Figura 888 no intervalo de 1 ms t 5 ms t FIGURA 888 300 nF 10 V 1 kV 3 kV iA t 0 58 A chave do circuito da Figura 889 esteve fechada por um tempo extremamente longo antes de ser aberta em t 0 a Calcule a corrente indicada por ix em t 70 ms b Verifique a sua resposta com uma simulação apropriada no PSpice t FIGURA 889 2 mF 1 mA 10 V 20 V 15 V 30 V ix t 0 p FIGURA 886 9ut V 9ut 1 V R it 4 H p FIGURA 887 1 nF 2 kV 1 kV 3ut V υC Exercícios 309 59 A chave do circuito da Figura 889 ficou aberta por um tempo incrivelmente muito muito longo antes de ser fechada em t 0 a Calcule a corrente indicada por ix em t 70 ms b Verifique a sua resposta com uma simulação apropriada no PSpice 60 A chave makebeforebreak mostrada na Figura 890 esteve na posição a desde que o primeiro episódio de Jonny Quest foi ao ar na televisão Final mente ela é movida para a posição b no tempo t 0 a Obtenha as expressões para it e υCt válida para todos os valores de t b Determine a energia res tante no capacitor em t 33 μs t FIGURA 890 a b 5 kV 20 kV 10 V 50 V 10 V 2 mF υCt it t 0 6 V 61 A chave no circuito da Figura 891 geralmente chamada de chave makebefore break durante a comutação ela faz um breve contato entre os dois circuitos ligados a ela garantindo uma transição elétrica suave movese para posição b em t 0 somente depois de estar na posição a tempo suficiente para garantir que todos os transitórios iniciais decorrentes do ligamento das fontes tenham sido deteriorados a Determine a potência dissipada pelo resistor de 5 Ω em t 0 b Determine a potência dissipada no resistor de 3 Ω em t 2 ms t FIGURA 891 a b 5 V 3 V 1 V 1 V 2 V 10 mA 1 mF υCt it t 0 4 V 62 Com base no circuito representado na Figura 892 a obtenha uma equação que descreva υC válido para todos os valores de t b determine a energia restante no capacitor em t 0 t 25 µs e t 150 µs t FIGURA 892 20 mF 3 V 10 V 5 V 05υx υC υx t 0 63 A fonte dependente mostrada na Figura 892 infelizmente é instalada ao contrá rio durante a fabricação de modo que o terminal correspondente à ponta de seta Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 310 é na verdade ligado ao terminal de referência negativo da fonte de tensão O capacitor está inicialmente descarregado Se o resistor de 5 Ω for dimensionado somente para 2 W depois de quanto tempo t o circuito provavelmente irá falhar 64 Para o circuito representado na Figura 893 a obtenha uma expressão para v que é válida para todos os valores de t b faça o gráfico do seu resultado para 0 t 3 s t FIGURA 893 1 V 1 F 1 V υ 12e2t ut V 65 Obtenha uma expressão para a tensão υx indicada no circuito amplificador ope racional da Figura 894 t FIGURA 894 8 mF 50 V 2 V υx 9ut V 89 Prevendo a Resposta de Circuitos Chaveados Sequencialmente 66 Faça o gráfico da corrente iL no circuito da Figura 850a se o indutor de 100 mH é substituído por um indutor de 1 nH e submetido à forma de onda υst igual a a 5ut 5ut 109 5ut 2 109 V 0 t 4 ns b 9ut 5ut 108 5ut 2 108 V 0 t 40 ns 67 O indutor de 100 mH no circuito da Figura 850a é substituído por um indutor de 1 H Faça o gráfico da corrente iL se a fonte υst é igual a a 5ut 5ut 001 5ut 2 002 V 0 t 40 ms b 5ut 5ut 10 5ut 101 V 0 t 11 ns 68 Faça o gráfico da tensão υC sobre o capacitor da Figura 895 para pelo menos três períodos se R 1 Ω C 1 F e υst é uma forma de onda pulsada tendo a mínimo de 0 V máximo de 2 V tempos de subida e descida de 1 ms largura de pulso de 10 s e período de 10 s b mínimo de 0 V máximo de 2 V tempos de subida e descida de 1 ms largura de pulso de 10 ms e período de 10 ms c Verifique as suas respostas com simulações apropriadas no PSpice t FIGURA 895 R C υS υC Exercícios 311 69 Faça o gráfico da tensão υC sobre o capacitor da Figura 895 para pelo menos três períodos se R 1 Ω C 1 F e υst é uma forma de onda pulsada tendo a mínimo de 0 V máximo de 2 V tempos de subida e descida de 1 ms largura de pulso de 10 s e período de 10 ms b mínimo de 0 V máximo de 2 V tempos de subida e descida de 1 ms largura de pulso de 10 ms e período de 10 s c Verifique as suas respostas com simulações apropriadas no PSpice Exercícios de integração do capítulo 70 O circuito da Figura 896 contém duas chaves que sempre se movem em per feito sincronismo No entanto quando a chave A abre a chave B fecha e vice versa A Chave A inicialmente está aberta enquanto a chave B está inicialmente fechada elas mudam de posição a cada 40 ms Usando o nó de baixo como o nó de referência determine a tensão sobre o capacitor em t igual a a 0 b 0 c 40 ms d 40 ms e 50 ms t FIGURA 896 10 V 7 V 3 A 9 A 10 mF A B 71 No circuito da Figura 896 quando a chave A abre fechase a chave B e vice versa A chave A está inicialmente aberta enquanto a chave B inicialmente está fechada elas mudam de posição a cada 400 ms Determine a energia no capaci tor em t igual a a 0 b 0 c 200 ms d 400 ms e 400 ms f 700 ms 72 Para o circuito da Figura 897 o qual contém uma fonte de tensão controlada dependente além de dois resistores a Calcule a constante tempo de circuito b Obtenha uma expressão para υx válida para todo t c Faça o gráfico da potência dissipada no resistor durante o intervalo de 6 constantes de tempo d Repita os itens a a c considerando a fonte dependente instalada no circuito de cabeça para baixo e As configurações dos circuitos são estáveis Explique t FIGURA 897 3 mH 10 V 4 V 01υx υx 2ut mA 73 No circuito da Figura 897 um capacitor de 3 mF é acidentalmente instalado em vez de um indutor Infelizmente isso não é o fim dos problemas já que posteriormente é determinado que o capacitor real não é muito bem modelado por um capacitor ideal e o dielétrico tem uma resistência de 10 kΩ que deve ser vista em paralelo com o capacitor ideal a Calcule a constante tempo de circuito com e sem levar a resistência dielétrica em consideração Em quanto o dielétrico muda a sua resposta b Calcule υx em t 200 ms A resistência dielétrica afeta significativamente sua resposta Explique Capítulo 8 u Ciircuitos Básicos RL e RC 312 74 Para o circuito da Figura 898 considerando que o amplificador operacional é ideal deduza uma expressão para υot se υs é igual a a 4ut V b 4e130000t ut V t FIGURA 898 υo υC υs 300 nF 10 V 15 V INTRODUÇÃO No Capítulo 8 estudamos circuitos que continham apenas um elemento de armaze namento de energia combinado com uma rede passiva que em parte determinou o tempo decorrido para cargadescarga do capacitor ou do indutor As equações dife renciais que resultaram da análise foram sempre de primeira ordem Neste capítulo consideramos circuitos mais complexos que contêm tanto um indutor como um capa citor O resultado é uma equação diferencial de segunda ordem para qualquer tensão ou corrente de interesse O que aprendemos no Capítulo 8 é facilmente estendido para o estudo desses circuitos chamados de circuitos RLC embora agora precisemos de duas condições iniciais para resolver cada equação diferencial Tais circuitos apare cem rotineiramente em uma ampla variedade de aplicações incluindo osciladores e filtros de frequência Eles também são muito úteis na modelagem de uma série de situações práticas tais como sistemas de suspensão de automóvel controladores de temperatura e até mesmo a resposta de um avião a alterações nas posições do aileron e do leme de profundidade 91 O CIRCUITO PARALELO SEM FONTES Existem dois tipos básicos de circuitos RLC conectados em paralelo e conectados em série Poderíamos começar com qualquer um mas arbitrariamente escolhemos começar analisando circuitos RLC em paralelo Essa combinação particular de ele mentos ideais é um modelo razoável para uma parcela de muitas redes de comu nicações Ela representa por exemplo uma parte importante dos amplificadores eletrônicos encontrados em qualquer receptor de rádio e permite que produzam uma grande amplificação de tensão em uma faixa estreita de frequências com amplifica ção praticamente nula fora dessa faixa Assim como fizemos com circuitos RL e RC consideremos primeiro a resposta natural de um circuito RLC em paralelo em que um ou ambos os elementos de arma zenamento de energia tem uma energia inicial diferente de zero a origem dela por enquanto não é importante Essa é representada pela corrente no indutor e a tensão no capacitor ambas especificadas em t 0 Uma vez que estamos confortáveis com esta parte da análise de circuitos RLC podemos facilmente incluir fontes CC O Circuito RLC 9 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Frequência de Ressonância e Fator de Amortecimento de Circuitos RLC Série e Paralelo Resposta Sobreamortecida Resposta Criticamente Amortecida Resposta Subamortecida Uso das Duas Condições Iniciais Resposta Completa Natural Forçada de Circuitos RLC Representação de Equações Diferenciais Usando Circuitos com AOPs Circuitos do Comparador Básico e do Amplificador de Instrumentação Capítulo 9 u O Circuito RLC 314 interruptores ou fontes degrau no circuito Então encontramos a resposta total que será a soma da resposta natural e da resposta forçada Uma seletividade em frequência como essa nos possibilita ouvir a trans missão de uma estação ao mesmo tempo em que rejeitamos a transmissão de qualquer outra estação Outras aplicações incluem o uso de circuitos RLC em paralelo na multiplexação de frequências e em filtros de supressão harmônica No entanto mesmo uma simples discussão a respeito desses princípios requer um entendimento de termos como ressonância resposta em frequência e impedância que ainda não foram discutidos Podemos dizer portanto que o entendimento do comportamento natural do circuito RLC paralelo é de importância fundamental para estudos futuros de redes de comunicação e projetos de filtros bem como muitas outras aplicações Quando um capacitor real e um indutor são conectados em paralelo e esse capacitor tem associada a ele uma resistência finita podemos mostrar que a rede resultante tem um circuito equivalente àquele mostrado na Figu ra 91 A presença dessa resistência pode ser usada para modelar a perda de energia no capacitor com o tempo todos os capacitores reais acabam se descarregando mesmo estando desconectados de um circuito As perdas de energia no indutor real também podem ser levadas em conta acrescentando um resistor ideal em série com o indutor ideal No entanto para simplifi car restringimos a nossa discussão ao caso de um indutor essencialmente ideal em paralelo com um capacitor com perdas Obtendo a Equação Diferencial para um Circuito RLC em Paralelo Na análise a seguir assumimos que a energia pode ser armazenada inicial mente tanto no indutor quanto no capacitor em outras palavras podem estar presentes correntes no indutor e tensões no capacitor com valores ini ciais diferentes de zero Com referência ao circuito da Figura 91 podemos então escrever a equação nodal υ R 1 L t t0 υ dt it0 C dυ dt 0 1 Note que o sinal de menos é uma consequência da direção que assumimos para a corrente i Temos de resolver a Equação l sujeita às condições iniciais i0 I0 2 e υ0 V0 3 Quando ambos os lados da Equação 1 são diferenciados uma vez com relação ao tempo o resultado é a equação diferencial homogênea linear de segunda ordem C d2υ dt2 1 R dυ dt 1 L υ 0 4 cuja solução vt é a resposta natural desejada p FIGURA 91 O circuito RLC em paralelo sem fontes R L C υ Ref i Seção 91 u O circuito paralelo sem fontes 315 Solução da Equação Diferencial Há muitas maneiras interessantes de se resolver a Equação 4 Deixaremos a maioria desses métodos para uma disciplina de equações diferenciais selecionando somente o método mais rápido e mais simples de usar neste momento Vamos supor uma solução confiando em nossa intuição e modesta experiência para selecionar uma das várias formas que podem ser adequadas Nossa experiência com equações de primeira ordem nos sugere que ao menos tentemos a forma exponencial uma vez mais Assim assumimos υ Aest 5 da forma mais geral possível o que é feito permitindo que A e s sejam números complexos se necessário Substituindo a Equação 5 na Equação 4 obtemos CAs2est 1 R Asest 1 L Aest 0 ou Aest Cs2 1 R s 1 L 0 Para que essa equação seja satisfeita em todo o tempo pelo menos um dos três fatores deve ser zero Se qualquer um dos dois primeiros fatores for igual a zero então vt 0 Essa é uma solução trivial da equação diferen cial o que não satisfaz nossas condições iniciais Fazemos então o fator restante ser igual a zero Cs2 1 R s 1 L 0 6 Essa equação é chamada de equação auxiliar ou equação característica como discutido na Seção 81 Se ela puder ser satisfeita a solução que assumimos estará correta Como a Equação 6 é uma equação quadrática há duas soluções identificadas como s1 e s2 s1 1 2RC 1 2RC 2 1 LC 7 e s2 1 2RC 1 2RC 2 1 LC 8 Se qualquer um desses dois valores for usado para s na solução que assumimos então essa solução satisfaz a equação diferencial dada ela se torna uma solução válida para a equação diferencial Vamos supor que substituímos s por s1 na Equação 5 obtendo υ1 A1es1t e de forma similar υ2 A2es2t Capítulo 9 u O Circuito RLC 316 A primeira satisfaz a equação diferencial C d2υ1 dt2 1 R dυ1 dt 1 L υ1 0 e a última satisfaz a C d2υ2 dt2 1 R dυ2 dt 1 L υ2 0 Somandose essas duas equações diferenciais e combinando os termos similares temos C d2υ1 υ2 dt2 1 R dυ1 υ2 dt 1 L υ1 υ2 0 Aqui impera a linearidade e vêse que a soma das duas soluções também é uma solução Temos portanto a forma geral da resposta natural υt A1es1t A2es2t 9 onde s1 e s2 são dados pelas Equações 7 e 8 A1 e A2 são duas constantes arbitrárias que devem satisfazer as duas condições iniciais especificadas Definição de Termos Relacionados à Frequência A forma da resposta natural como dada pela Equação 9 oferece poucas informações sobre a natureza da curva que podemos obter se vt for desenhada em um gráfico em função do tempo As amplitudes relativas de A1 e A2 por exemplo serão certamente importantes na determinação da forma da curva de resposta Além disso as constantes s1 e s2 podem ser números reais ou comple xos conjugados dependendo dos valores de R L e C na rede em questão Esses dois casos produzirão respostas com formas fundamentalmente diferentes Portanto será bom fazer algumas simplificações na Equação 9 Como os expoentes s1t e s2t devem ser adimensionais s1 e s2 devem ter a unidade de alguma grandeza adimensional por segundo Pelas Equa ções 7 e 8 vemos que as unidades de 12RC e 1LC também devem ser s1 ie segundos1 Unidades desse tipo são chamadas de frequências Vamos definir um novo termo ω0 ômegazero ω0 1 LC 10 e chamálo de frequência de ressonância Por outro lado chamaremos 12RC de frequência neperiana ou coeficiente de amortecimento expo nencial e o representaremos pelo símbolo α alfa α 1 2RC 11 Esta última expressão descritiva é usada porque α é uma medida de quão rapidamente a resposta natural decai ou amortece até o seu valor final geralmente zero Por fim s s1 e s2 grandezas que formarão a base para nossos trabalhos futuros são chamadas de frequências complexas Seção 91 u O circuito paralelo sem fontes 317 Devemos notar que s1 s2 α e ω0 são meramente símbolos usados para simplificar a discussão de circuitos RLC eles não são novas e misteriosas propriedades de qualquer tipo Por exemplo é mais fácil dizer alfa do que dizer o inverso de 2RC Vamos reunir esses resultados A resposta natural do circuito RLC paralelo é υt A1es1t A2es2t 9 onde s1 α α2 ω2 0 12 s2 α α2 ω2 0 13 α 1 2RC 11 ω0 1 LC 10 e A1 e A2 devem ser determinados aplicandose as condições iniciais dadas Notamos dois cenários básicos possíveis para as Equações 12 e 13 dependendo dos tamanhos relativos de α e ω0 o que é ditado pelos valores de R L e C Se α ω0 s1 e s2 serão ambos números reais levando ao que conhecemos como resposta sobreamortecida No caso oposto onde α ω0 tanto s1 quanto s2 terão componentes imaginários diferentes de zero o que leva à resposta subamortecida Ambas as situações são consideradas sepa radamente nas próximas seções juntamente com o caso especial em que α ω0 que leva à resposta criticamente amortecida Devemos também notar que a resposta geral composta pelas Equações 9 a 13 descreve não somen te a tensão mas também as três correntes de ramo no circuito RLC paralelo as constantes A1 e A2 serão diferentes para cada uma delas naturalmente Considere um circuito RLC paralelo tendo uma indutância de 10 mH e uma capacitância de 100 μF Determine os valores do resistor que causa riam respostas sobreamortecidas e subamortecidas Primeiro calculamos a frequência de ressonância do circuito ω0 1 LC 1 10 10 3100 10 6 103 rads Uma resposta sobreamortecida será obtida se α ω0 uma resposta subamor tecida será obtida se α ω0 Então 1 2RC 103 e assim R 1 2000100 10 6 u EXEMPLO 91 A relação entre α e ω0 é chamada de taxa de amortecimento por engenheiros que trabalham com sistemas de controle sendo designada por ζ zeta Sobreamortecido α ω0 Criticamente amortecido α ω0 Subamortecido α ω0 Capítulo 9 u O Circuito RLC 318 ou R 5 leva a uma resposta sobreamortecida R 5 Ω leva a uma resposta subamortecida u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 91 O circuito RLC paralelo contém um resistor de 100 Ω e tem como parâ metros os valores α 1000 s1 e ω0 800 rads Determine a C b L c s1 d s2 Resposta 5 μF 3125 mH 400 s1 1600 s1 92 O CIRCUITO RLC PARALELO SOBREAMORTECIDO Uma comparação entre as Equações 10 e 11 mostra que α será maior do que ω0 se LC 4R2C2 Nesse caso o radical usado para calcular s1 e s2 será real e tanto s1 quanto s2 serão números reais Além disso as seguintes inequações α2 ω2 0 α α α2 ω2 0 α α2 ω2 0 0 podem ser aplicadas às Equações 12 e 13 para mostrar que tanto s1 quan to s2 são números reais negativos Assim a resposta vt pode ser expressa como a soma algébrica de dois termos exponenciais decrescentes ambos se aproximando de zero à medida que o tempo aumenta De fato como o valor absoluto de s2 é maior do que o valor absoluto de s1 o termo contendo s2 tem uma taxa de decaimento mais rápida e para valores de tempo maio res podemos escrever a expressão limite υt S A1es1t S 0 como t S O próximo passo é determinar as constantes arbitrárias A1 e A2 de acor do com as condições iniciais Selecionamos um circuito RLC paralelo com R 6 Ω L 7 H e para facilitar os cálculos C 1 42 F O armazenamento inicial de energia é especificado escolhendose uma tensão inicial no cir cuito v0 0 e uma corrente inicial no indutor de i0 10 A onde v e i são definidas na Figura 92 Podemos facilmente determinar os valores dos vários parâmetros α 35 s1 1 ω0 6 s2 6 todos em s 1 e imediatamente escrever a forma geral da resposta natural υt A1e t A2e 6t 14 p FIGURA 92 Circuito RLC em paralelo usado como exemplo numérico O circuito é sobreamortecido υ i iC iR 7 H 1 F 42 6 V 319 Seção 92 u O circuito RLC paralelo sobreamortecido Determinando os Valores de A1 e A2 Falta apenas avaliar as duas constantes A1 e A2 Se conhecêssemos a respos ta vt em dois instantes diferentes de tempo esses dois valores poderiam ser substituídos na Equação 14 e facilmente encontraríamos A1 e A2 No entanto conhecemos apenas um valor instantâneo de vt υ0 0 portanto 0 A1 A2 15 Podemos obter uma segunda equação que relacione A1 e A2 calculando a derivada de vt em relação ao tempo na Equação 14 determinando o valor inicial dessa derivada com o uso da outra condição inicial i0 10 e depois igualando os resultados Assim derivando ambos os lados da Equação 14 dυ dt A1e t 6A2e 6t e calculando a derivada em t 0 dυ dt t 0 A1 6A2 obtemos uma segunda equação Embora isso pareça útil não dispomos de um valor numérico para o valor inicial da derivada assim ainda não temos duas equações com duas incógnitas Ou será que temos A expressão dvdt sugere uma corrente no capacitor pois iC C dυ dt A lei de Kirchhoff das correntes deve valer em qualquer instante de tempo pois ela é baseada na conservação de elétrons Logo podemos escrever iC0 i0 iR0 0 Substituindo nossa expressão para a corrente no capacitor e dividindo por C dυ dt t 0 iC0 C i0 iR0 C i0 C 420 Vs pois uma tensão inicial nula no resistor requer uma corrente inicial nula através dele Temos então nossa segunda equação 420 A1 6A2 16 e a solução simultânea das Equações 15 e 16 fornece as duas amplitudes A1 84 e A2 84 Portanto a solução numérica final para resposta natural de circuito é υt 84e t e 6t V 17 No restante de nossas discussões referentes aos circuitos RLC sempre precisaremos de duas condições iniciais para especificar completamente a resposta Uma condição será muito fácil de aplicar a tensão ou a corrente em t 0 É a segunda condição que geralmente requer um pouco de esforço Embora muitas vezes tenhamos uma corrente inicial e uma tensão inicial à nossa disposição uma dessas deverá ser aplicada indiretamente por meio da derivada da nossa solução assumida Capítulo 9 u O Circuito RLC 320 Determine uma expressão para vCt válida para t 0 no circuito da Fi gura 93a p FIGURA 93 a Circuito RLC que se torna sem fontes em t 0 b O circuito para t 0 no qual a fonte de 150 V e o resistor de 300 Ω foram colocados em curtocircuito por uma chave e portanto não têm mais importância para vC 200 V 300 V 20 nF 5 mH 150 V υC iL iR iC iC t 0 200 V 20 nF 5 mH iL iR iC a b f Identifique o objetivo do problema Temos de encontrar a tensão no capacitor após o acionamento da chave Essa ação faz com que nenhuma fonte permaneça conectada ao indutor ou ao capacitor f Reúna as informações conhecidas Após o acionamento da chave o capacitor fica em paralelo com o resistor de 200 Ω e um indutor de 5 mH Fig 93b Assim α 12RC 125000 s1 ω0 1LC 100000 rads s1 α α2 ω0 2 50000 s1 e s2 α α2 ω0 200000 s1 f Trace um plano Como α ω0 o circuito é sobreamortecido assim esperamos encontrar uma tensão no capacitor com a forma υCt A1es1t A2es2t Já conhecemos s1 e s2 precisamos obter e usar duas condições iniciais para determinar A1 e A2 Para fazer isso analisaremos o circuito em t 0 Fig 94a para encontrar iL0 e vC0 Analisaremos o circuito em t 0 supondo que nenhum desses valores se altera f Construa um conjunto apropriado de equações Na Figura 94a onde o indutor foi substituído por um curtocircuito e o capacitor foi substituído por um circuito aberto vemos que iL0 150 200 300 300 mA e υC0 150 200 200 300 60 V Na Figura 94b desenhamos o circuito em t 0 representando a corrente no indutor e a tensão no capacitor como fontes ideais para simplificar Como nenhuma delas pode mudar em um tempo zero sabemos que vC0 60 V u EXEMPLO 92 321 p FIGURA 9 4 a O circuito equivalente em t 0 b O circuito equivalente em t 0 desenhado usando fontes ideais para representar a corrente inicial no indutor e a tensão inicial no capacitor 200 V 300 V 150 V iL0 a υC0 200 V iR0 iC0 υC0 υC0 60 V iL0 iL0 03 A b f Determine se são necessárias informações adicionais Temos uma equação para a tensão no capacitor vCt A1e50000t A2e200000t Sabemos agora que vC0 60 V mas uma terceira equação ainda é necessária Derivando a equação da tensão no capacitor dυC dt 50000A1e 50000t 200000A2e 200000t que pode ser relacionada à corrente no capacitor pois iC CdvCdt Retomando a Figura 94b a LKC determina iC0 iL0 iR0 03 vC0 200 0 f Tente uma solução A aplicação de nossa primeira condição inicial resulta em υC0 A1 A2 60 e a aplicação de nossa segunda condição inicial resulta em iC0 20 10 950000A1 200000A2 0 Resolvendo A1 80 V e A2 20 V de modo que υCt 80e 50000t 20e 200000t V t 0 f Verifique a solução Ela é esperada ou razoável No mínimo podemos testar nossa solução em t 0 verificando que vC0 60 V Diferenciando e multiplicando por 20 109 podemos tam bém verificar que iC0 0 Além disso uma vez que temos um circuito sem fontes para t 0 esperamos que vCt deva finalmente cair a zero ao passo que t aproximase de que representa nossa solução Seção 92 u O circuito RLC paralelo sobreamortecido Capítulo 9 u O Circuito RLC 322 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 92 Após permanecer aberta por um longo tempo a chave na Figura 95 se fecha no instante t 0 Determine a iL0 b vC0 c iR0 d iC0 e vC02 t FIGURA 95 10 H 24 V 48 V υC iC iR iL t 0 3ut A F 1 240 Resposta 1 A 48 V 2 A 3 A 1754 V Conforme foi indicado anteriormente a forma da resposta sobrea mortecida se aplica a qualquer tensão ou corrente como mostraremos no exemplo a seguir O circuito da Figura 96a se reduz a um simples circuito RLC paralelo após t 0 Determine uma expressão para a corrente iR no resistor válida para todo o tempo c 30 kV iR0 iC0 υC0 375 V iL0 125 mA b 2 kV 4 V υC0 iR0 iL0 30 kV a 2 pF iR 4 V 2 kV 12 mH 30 kV t 0 u EXEMPLO 93 u FIGURA 96 a Circuito no qual se deseja conhecer iR b Circuito equivalente para t 0 c Circuito equivalente para t 0 Seção 92 u O circuito rlc paralelo sobreamortecido 323 Para t 0 temos um circuito RLC paralelo com R 30 kΩ L 12 mH e C 2 pF Logo α 8333 106 s1 e ω0 6455 106 rads Esperamos portanto uma resposta sobreamortecida com s1 3063 106 s1 e s2 1360 106 s1 de modo que iRt A1es1t A2es2t t 0 18 Para determinar valores numéricos para A1 e A2 primeiro analisamos o cir cuito em t 0 conforme indica o desenho da Figura 96b Vemos que iL0 iR0 432 103 125 μA e vC0 4 3032 375 V Ao desenhar o circuito em t 0 Fig 96c só sabemos que iL0 125 μA e vC0 375 V Entretanto pela Lei de Ohm podemos calcular iR0 37530 103 125 μA nossa primeira condição inicial Assim iR0 A1 A2 125 10 6 19 Como podemos obter uma segunda condição inicial Se multiplicarmos a Equação 18 por 30 103 obtemos uma expressão para vCt Derivandoa e multiplicandoa por 2 pF obtemos uma expressão para iCt iC C dυC dt 2 10 1230 103 A1s1es1t A2s2es2t Pela LKC iC0 iL0 iR0 0 Logo 2 10 1230 1033063 106A1 1360 106A2 0 20 20 Resolvendo as Equações 19 e 20 obtemos A1 1613 μA e A2 3624 μA Portanto iR 125 μA t 0 1613e 3063 106t 3634e 136 106t μA t 0 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 93 Determine a corrente iR que circula pelo resistor da Figura 97 para t 0 se iL0 6 A e vC0 0 V A configuração do circuito antes de t 0 não é conhecida Resposta iRt 6838e7823 1010t e0511 1010t A Representação Gráfica da Resposta Sobreamortecida Vamos agora retornar à Equação 17 e ver quais informações adicionais podemos obter sobre esse circuito Podemos interpretar o primeiro termo exponencial tendo uma constante de tempo de 1 s e a outra exponencial tendo uma constante de tempo de 1 6 s Cada uma começa com a amplitude unitária mas a última decai mais rapidamente vt nunca é negativa À medida que o tempo se aproxima do infinito cada um dos termos se aproxima de zero e a resposta se anula conforme é esperado Temos portanto uma curva de resposta que é zero em t 0 zero em t e nunca é negativa como ela não é totalmente nula deve possuir pelo menos um valor máximo e isso não é difícil de determinar de forma exata Diferenciamos a resposta p FIGURA 97 Circuito para o Exercício de Fixação 93 625 pH iR iL 3 V 4 pF Capítulo 9 u O Circuito RLC 324 dυ dt 84 e t 6e 6t igualamos a zero a derivada para determinar o tempo tm no qual a tensão atinge o máximo 0 e tm 6e 6tm manipulamos uma vez e5tm 6 e obtemos tm 0358 s e vtm 489 V Uma representação razoável da resposta pode ser obtida colocandose em um gráfico os dois termos exponenciais 84et e 84e6t e calculandose a dife rença entre eles Essa técnica é ilustrada pelas curvas da Figura 98 as duas exponenciais são mostradas em linhas claras e a sua diferença a resposta total vt é traçada como uma linha colorida As curvas também confirmam nossa previsão anterior de que o comportamento funcional de vt para valores de t muito grandes é 84et e o termo exponencial contém o menor valor de s1 e s2 20 40 60 80 0 20 1 2 3 4 i0 10 A υ0 0 a 35 v0 6 Sobreamortecido υt V t s 7 H 1 F 42 6 V υ i Uma pergunta que se faz frequentemente referese ao tempo realmente necessário para que a parte transitória da resposta desapareça ou se amor teça Na prática geralmente é desejável que essa resposta transitória se aproxime de zero o mais rapidamente possível ou seja que o tempo de acomodação ts seja mínimo Teoricamente é claro ts é infinito porque vt nunca chega a zero em um tempo finito No entanto temse uma resposta desprezível após vt atingir valores abaixo de 1 de seu valor máximo absoluto vm O tempo necessário para que isso ocorra é definido como o tempo de acomodação Como vm vm 489 V no nosso exemplo o tempo de acomodação é o tempo necessário para que a resposta caia a 0489 V Substituindo esse valor para vt na Equação 17 e desprezando o segundo termo exponencial que sabemos ser desprezível aqui encontramos um tempo de acomodação igual a 515 s u FIGURA 98 A resposta vt 84et e6t da rede mostrada na Figura 92 325 Para t 0 a corrente no capacitor de certo circuito RLC paralelo sem fon tes é dada pela função iCt 2e2t 4et A Desenhe o gráfico da corrente no intervalo 0 t 5 s e determine o tempo de acomodação Primeiro desenhamos os dois termos como mostra a Figura 99 depois sub traímolos para determinar iCt Está claro que o valor máximo é 2 2 A Precisamos portanto determinar o tempo no qual iC cai para 20 mA ou 2e 2ts 4e ts 002 21 1 0 2 4 3 1 2 1 iCt A t s 5 4 4et 2e2t iCt 2 3 Essa equação pode ser resolvida usandose uma rotina de solução iterativa em uma calculadora científica o que retoma ts 5296 s No entanto se não houver uma opção como essa disponível podemos aproximar a Equação 21 para t ts como 4e ts 002 22 Resolvendo ts ln 002 4 5298 s 23 que é razoavelmente próxima da solução exata com precisão melhor que 01 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 94 a Desenhe o gráfico da tensão vRt 2et 4e3t V no intervalo 0 t 5 s b Estime o tempo de acomodação c Calcule o valor positivo máximo e o instante de sua ocorrência 05 10 0 10 05 15 20 υRt V t s 50 05 10 15 20 25 30 35 40 45 Resposta a Ver Figura 910 b 4605 s c 544 mV 896 ms u EXEMPLO 94 t FIGURA 99 Resposta de corrente iCt 2e2t 4et A desenhada juntamente com suas duas componentes t FIGURA 910 Resposta para o Exercício de Fixação 94a Seção 92 u O circuito RLC paralelo sobreamortecido Capítulo 9 u O Circuito RLC 326 93 AMORTECIMENTO CRÍTICO O caso sobreamortecido é caracterizado por α ω 0 ou LC 4R2C2 e nos leva a valores reais negativos para s1 e s2 e a uma resposta expressa como a soma algébrica de duas exponenciais negativas Vamos agora ajustar os valores dos elementos até que α e ω0 se igualem Esse é um caso muito especial conhecido como amortecimen to crítico Se tentássemos construir um circuito RLC paralelo que fosse criticamente amortecido estaríamos tentando executar uma tarefa essen cialmente impossível pois nunca poderíamos fazer α exatamente igual a ω0 No entanto para completar discutiremos aqui o circuito criticamente amortecido porque ele apresenta uma transição interessante entre o sobre amortecimento e o subamortecimento O amortecimento crítico é conseguido quando ou α ω0 LC 4R2C2 L 4R2C amortecimento crítico Podemos produzir o amortecimento crítico mudando o valor de qual quer um dos três elementos no exemplo numérico discutido no final da Seção 91 Vamos ajustar R aumentando seu valor até que seja obtido um amortecimento crítico o que mantém ω0 inalterado O valor necessário de R é 762 Ω L ainda é 7 H e C permanece como 142 F Obtemos então α ω0 6 s 1 s1 s2 6 s 1 e lembramos as condições iniciais que foram especificadas v0 0 e i0 10 A Forma de uma Resposta Criticamente Amortecida Tentamos a seguir construir uma resposta como a soma de duas exponenciais υt A1e 6t A2e 6t que pode ser escrita como υt A3e 6t Neste ponto poderíamos ter a sensação de estarmos perdidos Temos uma resposta que contém apenas uma constante arbitrária e duas condições ini ciais v0 0 e i0 10 A e ambas devem ser satisfeitas por essa constante única Se selecionarmos A3 0 então vt 0 o que é coerente com nossa tensão inicial do capacitor No entanto embora não haja energia armazenada no capacitor em t 0 temos 350 J de energia inicialmente armazenada no indutor Essa energia produzirá uma corrente transitória saindo do indutor Impossível é um termo muito forte Fazemos essa afirmação porque na prática não é comum obter componentes que fiquem dentro da margem de 1 de seus valores especificados Portanto obter L precisamente igual a 4R2C é teoricamente possível mas não muito provável mesmo que estejamos dispostos a mexer em uma gaveta cheia de componentes até achar aqueles que tenham o valor correto Seção 93 u Amortecimento crítico 327 dando origem a uma tensão diferente de zero nos terminais dos três elemen tos Isso parece estar em conflito direto com a nossa solução proposta Nossa matemática e nossa eletricidade têm sido impecáveis portan to se um engano não foi a origem de nossas dificuldades devemos ter começado com uma hipótese incorreta e somente uma hipótese foi feita Originalmente supusemos que a equação diferencial pudesse ser resolvida assumindose uma solução exponencial e isso se mostra incorreto neste caso especial de amortecimento crítico Quando α ω0 a equação diferen cial descrita na Equação 4 se torna d2υ dt2 2α dυ dt α2υ 0 A solução dessa equação não é um processo muito difícil mas vamos evitar fazer isso aqui pois essa equação é um tipo padrão geralmente encontrado nos textos de equações diferenciais A solução é υ e αtA1t A2 24 Devese observar que a solução ainda é expressa como a soma de dois termos onde um é a exponencial negativa com a qual estamos familiariza dos e o segundo é t vezes a exponencial negativa Também devemos notar que a solução contém as duas constantes arbitrárias esperadas Determinando Valores para A1 e A2 Vamos agora completar o nosso exemplo numérico Após substituir o valor conhecido de a na Equação 24 obtendo υ A1te 6t A2e 6t estabelecemos os valores de A1 e A2 impondo primeiramente a condição inicial sobre a própria vt v0 0 Assim A2 0 Esse resultado simples ocorre porque o valor inicial da resposta vt foi escolhido como zero o caso mais geral requererá a solução de duas equações simultaneamente A segunda condição inicial deve ser aplicada à derivada dvdt exatamente como no caso da resposta sobreamortecida Diferenciamos então lembrando que A2 0 dυ dt A1t 6e 6t A1e 6t calculamos em t 0 dυ dt t 0 A1 e expressamos a derivada em termos da corrente inicial no capacitor dυ dt t 0 iC0 C iR0 C i0 C onde os sentidos de referência de iC iR e i estão definidos na Figura 92 Logo A1 420 V Capítulo 9 u O Circuito RLC 328 A resposta é portanto υt 420te 245t V 25 Representação Gráfica da Resposta Criticamente Amortecida Antes de representar graficamente essa resposta de forma detalhada vamos novamente tentar prever a sua forma utilizando um raciocínio qualitativo O valor inicial especificado é zero e a Equação 25 confirma isso Não está imediatamente claro que a resposta também se aproxima de zero à medida que t se torna infinitamente grande porque te245t é uma forma indetermi nada No entanto esse obstáculo é facilmente vencido usandose a regra de LHôpital o que resulta em lim tS υt 420 lim tS t e245t 420 lim tS 1 245e245t 0 e uma vez mais temos uma resposta que começa e termina em zero e tem valores positivos em todos os outros instantes Ocorre novamente um valor máximo vm em um instante tm para nosso exemplo tm 0408 s e υm 631 V Esse máximo é maior do que aquele obtido no caso sobreamortecido e é um resultado das pequenas perdas que ocorrem no maior resistor o instante de resposta máxima ocorre ligeiramente mais tarde do que ocorria com o circuito sobreamortecido O tempo de acomodação também pode ser determinado resolvendose a equação υm 100 420tse 245ts para ts por métodos tentativa e erro ou pela rotina SOLVE de uma calculadora ts 312 s que é um valor consideravelmente menor do que aquele obtido no caso sobreamortecido 515 s Na verdade podese mostrar que para certos valores de L e C a seleção do valor de R que proporciona amortecimento crítico sempre leva a um tempo de acomodação menor do que qualquer escolha de R que produza uma resposta sobreamortecida No entanto uma leve melhoria redução pode ser obtida no tempo de acomodação com um ligeiro aumento na resistência neste caso temse uma resposta ligeiramen te subamortecida que oscilará no eixo zero antes de desaparecer resultando no menor tempo de acomodação A curva de resposta para o amortecimento crítico é mostrada na Figura 911 ela pode ser comparada com os casos sobreamortecido e subamorte cido tomando como referência a Figura 916 mais adiante Seção 93 u Amortecimento crítico 329 p FIGURA 911 A resposta vt 420te245t da rede mostrada na Figura 92 com R alterado para proporcionar o amortecimento crítico 20 40 60 80 0 20 1 2 3 4 υt V t s 7 H 1 F 42 857 V υ i Selecione um valor para R1 de maneira que o circuito da Figura 912 seja caracterizado por uma resposta criticamente amortecida para t 0 e um valor para R2 de maneira que v0 2 V p FIGURA 912 Um circuito que se reduz a um circuito RLC paralelo após o acionamento da chave R2 υ t 0 5ut A 1 nF 4 H R1 Notamos que em t 0 a fonte de corrente está ligada e o indutor pode ser tratado como um curtocircuito Assim v0 aparece nos terminais de R2 e é dada por v0 5R2 e um valor de 400 mΩ deve ser selecionado para R2 para se obter v0 2 V Após o acionamento da chave a fonte de corrente é desligada e R2 é curto circuitado Ficamos com um circuito RLC paralelo composto por R1 um indutor de 4 H e um capacitor de 1 nF Podemos agora calcular para t 0 α 1 2RC 1 2 10 9R1 u EXEMPLO 95 Capítulo 9 u O Circuito RLC 330 e ω0 1 LC 1 4 10 9 15810 rads Portanto para estabelecer uma resposta criticamente amortecida no circuito para t 0 precisamos fazer R1 3163 kΩ Nota como arredondamos os valores para quatro algarismos significativos alguém pode argumentar com certa razão que esta ainda não é exatamente uma resposta criticamente amortecida uma situação difícil de criar u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 95 a Escolha R1 no circuito da Figura 913 de forma que a resposta após t 0 seja criticamente amortecida b Agora selecione R2 para obter v0 100 V c Calcule vt em t 1 ms t FIGURA 913 4 H R2 R1 υ t 0 05ut A 1 mF Resposta 1 kΩ 250 Ω 212 V 94 O CIRCUITO RLC PARALELO SUBAMORTECIDO Vamos continuar o processo iniciado na Seção 93 aumentando R mais uma vez para obter aquilo que chamamos de resposta subamortecida Assim o coeficiente de amortecimento α decresce enquanto ω0 permanece constante α2 tornase menor do que ω0 2 e o radicando que aparece nas expressões de s1 e s2 se torna negativo Isso faz a resposta assumir um caráter muito diferente mas felizmente não é necessário retornar à equação diferencial básica Usando números complexos a resposta exponencial se transforma em uma resposta senoidal amortecida essa é composta inteiramente por grandezas reais sendo as grandezas complexas necessárias somente para a sua dedução1 A Forma da Resposta Subamortecida Começamos com a forma exponencial υt A1es1t A2es2t 1 Uma revisão sobre números complexos pode ser encontrada no Apêndice 5 331 Seção 94 u O circuito RLC paralelo subamortecido onde s12 α α2 ω2 0 então seja α2 ω2 0 1 ω2 0 α2 j ω2 0 α2 onde j 1 Tomamos agora o novo radical que é um número real para o caso suba mortecido e o chamamos de ωd a frequência amortecida ωd ω2 0 α2 A resposta agora pode ser escrita como υt e αtA1e jωdt A2ejωdt 26 ou em uma forma mais extensa porém equivalente υt e αt A1 A2 e jωdt e jωdt 2 jA1 A2 e jωdt ejωdt j2 Aplicando as identidades descritas no Apêndice 5 o termo no primeiro col chete na equação anterior é igual a cos ωd t e o segundo é igual a sen ωd t Portanto υt e αtA1 A2 cos ωdt j A1 A2 senωdt e os fatores multiplicativos podem receber novos símbolos υt e αtB1 cos ωdt B2 senωdt 27 onde as Equações 26 e 27 são idênticas Pode parecer um pouco estranho que nossa expressão tivesse original mente um componente complexo e agora ser inteiramente real No entanto devemos lembrar que originalmente permitimos que A1 e A2 fossem com plexos bem como s1 e s2 De qualquer forma se estivermos lidando com o caso subamortecido estamos deixando de lado os números complexos Isso deve ser verdade pois α ωd e t são grandezas reais de modo que o próprio vt deve ser uma grandeza real que pode ser vista em um osciloscópio um voltímetro ou um gráfico A Equação 27 é a forma funcional desejada para a resposta subamortecida e sua validade pode ser verificada por substi tuição direta na equação diferencial original esse exercício fica para aqueles que duvidam disso As duas constantes reais B1 e B2 são novamente sele cionadas para que se levem em consideração as condições iniciais dadas Retornamos ao nosso circuito RLC paralelo simples da Figura 92 com R 6 Ω C 142 F e L 7 H mas agora aumentamos a resistência ainda mais para 105 Ω Assim α 1 2RC 2 s 1 ω0 1 LC 6 s 1 Os engenheiros eletricistas usam j em vez de i para representar a raiz quadrada de 1 de forma a evitar confusão com correntes Capítulo 9 u O Circuito RLC 332 e ωd ω2 0 α2 2 rads Exceto pela avaliação das constantes arbitrárias a resposta agora é conhecida υt e 2tB1 cos 2t B2 sen 2t Calculando os Valores de B1 e B2 A determinação das duas constantes é feita como antes Se novamente assu mimos que v0 0 e i0 10 então B1 deve ser zero Daí υt B2e 2t sen 2t A derivada é dυ dt 2B2e 2t cos 2t 2B2e 2t sin 2t e em t 0 ela se torna dυ dt t 0 2B2 iC0 C 420 onde iC está definida na Figura 92 Portanto υt 210 2e 2t sen 2t Representação Gráfica da Resposta Subamortecida Note que como antes essa função resposta tem um valor inicial nulo devido à tensão inicial que impusemos e um valor final nulo porque o termo expo nencial tende a zero para valores crescentes de t À medida que t aumenta partindo de zero até pequenos valores positivos vt aumenta como 2102 sen2t porque o termo exponencial permanece essencialmente igual a 1 Mas em algum instante tm a função exponencial começa a decrescer mais rapidamente do que o crescimento de sen2t assim vt alcança um valor máximo vm e começa a decrescer Devemos notar que tm não é o valor de t para o qual sen2t é máximo devendo ocorrer em algum ponto anterior ao máximo de sen2t Quando t π2 vt é zero Logo no intervalo π2 t 2π a res posta é negativa tornandose zero novamente em t 2π Portanto vt é uma função oscilatória do tempo que cruza o eixo dos tempos um número infinito de vezes em t nπ2 onde n é qualquer inteiro positivo Em nosso exemplo no entanto a resposta é apenas levemente subamortecida e o termo exponencial faz a função se extinguir tão rapidamente que a maior parte dos cruzamentos por zero não ficará evidente em um gráfico A natureza oscilatória da resposta se torna mais notável à medida que α diminui Se α for zero o que corresponde a uma resistência infinitamente grande então vt é uma senoide subamortecida que oscila com amplitude constante Nunca haverá um momento no qual vt cairá e permanecerá 333 abaixo de 1 de seu valor máximo o tempo de acomodação é portanto infinito Isso não é um moto perpétuo meramente assumimos que havia uma energia inicial no circuito e não providenciamos nenhum meio para dissipar essa energia Ela é transferida de sua localização inicial no indutor para o capacitor depois retorna ao indutor e assim por diante para sempre O Papel da Resistência Finita Uma resistência R finita no circuito RLC paralelo funciona como uma espécie de agente de transferência elétrica Todas as vezes que a energia é transferida de L para C ou de C para L o agente cobra uma comissão Depois de certo tempo o agente acaba tomando toda a energia dissipando a desenfreadamente até o último joule L e C ficam sem nenhum joule de energia para si sem tensão e sem corrente Circuitos RLC paralelos reais podem ter valores efetivos de R tão grandes que uma resposta senoidal subamortecida pode ser mantida por anos sem que se forneça nenhuma energia adicional Retomando o nosso problema numérico específico a diferenciação localiza o primeiro máximo de vt υm1 718 V em tm1 0435 s o próximo mínimo vm2 0845 V em tm2 266 s e assim por diante A curva de resposta é mostrada na Figura 914 Curvas de resposta adicionais para circuitos cada vez mais subamortecidos são mostradas na Figura 915 O tempo de acomodação pode ser obtido por uma solução do tipo tentativa e erro e para R 105 Ω ele acaba sendo 292 s um valor um pouco menor do que aquele obtido para o amortecimento crítico Note que ts é maior que tm2 Tempo p FIGURA 915 Resposta de tensão subamortecida da rede para três diferentes valores de resistência mostrando um aumento no comportamento oscilatório à medida que R aumenta 20 40 60 80 0 20 1 2 3 4 υt V t s 7 H 1 F 42 105 V υ i υm1 υm2 p FIGURA 914 A resposta vt 2102e2t sen 2t da rede mostrada na Figura 92 com R aumentado para produzir uma resposta subamortecida Seção 94 u O circuito RLC paralelo subamortecido Capítulo 9 u O Circuito RLC 334 porque vm2 é maior que o percentual de 1 da amplitude de vm1 Isso sugere que um pequeno decréscimo em R poderia reduzir a amplitude da primeira oscilação negativa e permitir que ts fosse menor do que tm2 As respostas sobre amortecidas criticamente amortecidas e subamortecidas para essa rede simu ladas no PSpice são mostradas em um mesmo gráfico na Figura 916 Uma comparação das três curvas torna plausíveis as seguintes conclusões f Quando o amortecimento é alterado com o aumento do valor da resistência em paralelo a amplitude máxima da resposta aumenta e o amortecimento diminui f A resposta se torna oscilatória na presença de subamortecimento e o menor tempo de acomodação é obtido na condição de leve subamortecimento Determine iLt no circuito da Figura 917a e trace um gráfico de sua forma de onda Em t 0 tanto a fonte de 3 A quanto o resistor de 48 Ω são removidos deixan do o circuito mostrado na Figura 917b Logo α 12 s1 e ω0 4899 rads Como α ω0 o circuito é subamortecido e portanto esperamos uma res posta da forma iLt e αtB1 cos ωdt B2 senωdt 28 onde ωd ω0 2 α2 4750 rads A única etapa restante é determinar B1 e B2 A Figura 917c mostra o circuito em t 0 Podemos substituir o indutor por um curtocircuito e o capacitor por um circuito aberto o resultado é vC0 9730 V e iL0 2027 A Como nenhuma dessas grandezas pode mudar instantaneamente v0 9730 V e iL 0 2027 A A substituição de iL0 2027 na Equação 28 resulta em B1 2027 A Para determinar a outra constante primeiro diferenciamos a Equação 28 u EXEMPLO 96 u FIGURA 916 Respostas simuladas de tensão sobreamortecida criticamente amortecida e subamortecida para a rede de exemplo obtidas pela variação do valor da resistência R em paralelo Tempo SubamortecidaR 105 ohms Criticamente amortecidda Sobreamortecida R 857 ohms R 6 ohms 335 a 10 H 100 V 48 V υC iC iR iL t 0 3ut A F 1 240 b c 100 V 10 H iC iL iR F 1 240 υC 3 A 100 V 48 V 10 H υC iL iC iR F 1 240 p FIGURA 917 a Circuito RLC paralelo do qual se deseja saber a corrente iLt b Circuito para t 0 c Circuito para determinar as condições iniciais diL dt e αt B1ωd senωdt B2ωd cos ωdt αe atB1 cos ωdt B2 senωdt 29 e notamos que vLt LdiLdt Olhando o circuito da Figura 917b vemos que vL0 vC0 973 V Logo multiplicando a Equação 29 por L 10 H e fazendo t 0 obtemos υL0 10B2ωd 10αB1 973 Resolvendo B2 2561 A de modo que iL e12t2027 cos 475t 2561 sen 475t A que traçamos no gráfico da Figura 918 0 02 04 06 08 10 12 14 16 18 20 15 10 05 0 05 10 15 20 25 30 t s iLt A p FIGURA 918 Gráfico de iLt mostrando óbvios indícios de que se trata de uma resposta subamortecida Seção 94 u O circuito RLC paralelo subamortecido Capítulo 9 u O Circuito RLC 336 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 96 A chave no circuito da Figura 919 está na posição à esquerda por um longo tempo ela é movida para a direita em t 0 Determine a dvdt em t 0 b v em t 1 ms c t0 o primeiro valor de t maior do que zero no qual v 0 3 V 2 H 10 mF 50 kV 100 kV 500 V υ t 0 5ut V t FIGURA 919 Resposta 1400 Vs 0695 V 1609 ms Uma característica útil do Probe é a sua capacidade de executar ope rações matemáticas com tensões e correntes que resultam de uma simulação Neste exemplo usaremos esse recurso para mostrar a trans ferência de energia em um circuito RLC paralelo de um capacitor que inicialmente armazena uma quantidade específica de energia 125 μJ para um indutor que inicialmente não armazena nenhuma energia Escolhemos um capacitor de 100 nF e um indutor de 7 μH o que nos possibilita imediatamente calcular ω0 1195 106 s1 Para considerar os casos sobreamortecido criticamente amortecido e suba mortecido precisamos selecionar a resistência em paralelo de forma a obter α ω0 sobreamortecido α ω0 criticamente amortecido e α ω0 subamortecido De nossas discussões anteriores sabemos que α 2RC1 para um circuito RLC em paralelo Selecionamos R 41833 Ω como uma boa aproximação para o caso criticamente amortecido a obtenção de α precisamente igual a ω0 é efetivamente impossível Se aumentarmos a resistência a energia armazenada nos outros dois elementos será dissipada mais lentamente resultando em uma resposta subamortecida Selecionamos R 100 Ω para caracteri zar bem um regime subamortecido e usamos R 1 Ω uma resistência muito pequena para obter uma resposta sobreamortecida Planejamos portanto executar três simulações separadas variando somente a resistência R em cada caso A energia de 125 μJ inicialmen te armazenada no capacitor corresponde a uma tensão inicial de 5 V e assim definimos corretamente a condição inicial de nosso capacitor Uma vez iniciado o Probe selecionamos Add no menu Trace Queremos fazer um gráfico da energia armazenada tanto no indutor quanto no capacitor em função do tempo Para o capacitor 1 2Cυ2 assim clicamos na janela Trace Expression digitamos 05100E9 sem as aspas clicamos em VC11 voltamos à janela Trace Expres sion e digitamos Em seguida clicamos novamente em VC11 u ANÁLISE AUXILIADA POR COMPUTADOR 337 e selecionamos Ok Repetimos a mesma sequência para obter a energia armazenada no indutor usando 7E6 em vez de 100E9 e clicando em IL11 em vez de VC11 As respostas das três simulações realizadas no Probe estão ilus tradas na Figura 920 Na Figura 920a vemos que a energia restante no circuito é continuamente transferida de um lado para outro entre o capacitor e o indutor até que seja completamente dissipada pelo resistor A redução da resistência para 41833 Ω leva a um circuito criticamente amortecido resultando no gráfico de energia da Figura 920b A transferência oscilatória de energia entre o capacitor e o indutor é drasticamente reduzida neste caso Vemos que a energia transferida para o indutor atinge um pico em aproximadamente 08 μs e em seguida cai a zero A resposta sobreamortecida é apresentada no gráfico da Figura 920c Notamos que a energia é dissipada muito mais rapidamente no caso da resposta sobreamortecida e que muito pouca energia é transferida para o indutor pois a sua maior parte agora é rapidamente dissipada no resistor p FIGURA 920 Transferência de energia em um circuito RLC paralelo com a R 100 Ω subamortecido b R 41833 Ω criticamente amortecido e c R 1 Ω sobreamortecido a b c Tempo Indutor Capacitor Tempo Tempo Indutor Indutor Capacitor Capacitor Seção 94 u O circuito RLC paralelo subamortecido Capítulo 9 u O Circuito RLC 338 95 O CIRCUITO RLC SÉRIE SEM FONTES Queremos agora determinar a resposta natural de um modelo de circuito composto de um resistor ideal um indutor ideal e um capacitor ideal conec tados em série O resistor ideal pode representar um resistor real conectado a um circuito LC em série ou RLC em série ele representa as perdas ôhmi cas e as perdas no núcleo ferromagnético do indutor da mesma forma ele é usado para representar todas essas perdas e a presença dos demais dispo sitivos que absorvem energia no circuito O circuito RLC série é o dual do circuito RLC paralelo e esse simples fato é suficiente para tornar a sua análise uma tarefa trivial A Figura 921a mostra o circuito série A equação íntegrodiferencial fundamental é L di dt Ri 1 C t t0 i dt υCt0 0 que por sua vez deve ser comparada com a equação análoga para o circuito RLC paralelo novamente desenhado na Figura 921b C dυ dt 1 R υ 1 L t t0 υdt iLt0 0 As respectivas equações de segunda ordem obtidas com a diferenciação dessas duas equações com relação ao tempo também são duais L d2i dt2 R di dt 1 C i 0 30 C d2υ dt2 1 R dυ dt 1 L υ 0 31 Toda nossa discussão a respeito do circuito RLC paralelo é diretamente aplicável a um circuito RLC série as condições iniciais de tensão no capaci tor e corrente no indutor são equivalentes às condições iniciais de corrente no indutor e tensão no capacitor a resposta de tensão se torna uma resposta de corrente Portanto é possível reler as quatro seções anteriores usando a linguagem dual e obter assim uma descrição completa do circuito RLC série Esse processo no entanto tende a nos induzir a uma leve neurose após os primeiros parágrafos e não parece ser realmente necessário Um Breve Resumo da Resposta do Circuito Série Em termos do circuito mostrado na Figura 921a a resposta sobreamortecida é it A1es1t A2es2t onde s12 R 2L R 2L 2 1 LC α α2 ω2 0 assim α R 2L ω0 1 LC p FIGURA 921 a O circuito RLC série que é o dual de b um circuito RLC paralelo Os valores dos elementos naturalmente não são idênticos nos dois circuitos i L C R a υL υC L R C b υ iC iL 339 Seção 95 u O circuito RLC série sem fontes A forma da resposta criticamente amortecida é it e αtA1t A2 e a resposta subamortecida pode ser escrita como it e αtB1 cos ωdt B2 senωdt ωd ω2 0 α2 É evidente que se trabalharmos em termos dos parâmetros α ω0 e ωd as formas matemáticas das respostas para as situações duais são idênticas Um aumento em α nos circuitos série ou paralelo leva a uma resposta sobreamortecida ao mesmo tempo em que mantém ω0 constante O único cuidado que precisamos ter se refere ao cálculo de α que é igual a 12RC no circuito paralelo e igual a R2L no circuito em série assim α aumenta com o aumento da resistência em série ou com a diminuição da resistência em paralelo Para maior conveniência as principais equações para circuitos RLC em paralelo e série estão resumidas na Tabela 91 Dado o circuito RLC em série da Figura 922 em que L 1 H R 2 kΩ C 1401 µF i0 2 mA e vC0 2 V calcule it e trace um gráfico para t 0 Calculamos α R2L 1000 s1 e ω0 1 LC 20025 rads Isso indica uma resposta subamortecida calculamos portanto o valor de ωd e obtemos 20000 rads Exceto pela avaliação das duas constantes arbitrárias a resposta já é conhecida it e1000tB1 cos 20000t B2 sen 20000t Como sabemos que i0 2 mA podemos substituir esse valor em nossa equação por it para obter B1 0002 A u EXEMPLO 97 Tabela 91 u Resumo das Equações Importantes para Circuitos RLC sem Fontes Tipo Condição Critério α ω0 Resposta Paralelo Série Paralelo Série Paralelo Série Sobreamortecido Criticamente amortecido Subamortecido α ω 0 α ω0 α ω 0 1 LC 1 LC 1 LC A1es1t A2es2t onde s12 α α2 ω2 e αt A1t A2 e αtB1 cos ωdt B2 senωdt onde ωd ω2 0 α2 1 2RC R 2L 1 2RC R 2L 1 2RC R 2L p FIGURA 922 Um simples circuito RLC sem fontes com energia armazenada no indutor e no capacitor em t 0 i L C R υL υC Capítulo 9 u O Circuito RLC 340 portanto it e1000t0002 cos 20000t B2 sen 20000t A A condição inicial restante deve ser aplicada à derivada assim di dt e1000t 40 sen 20000t 20000B2 cos 20000t 2 cos 20000t 1000B2 sen 20000t e di dt t 0 20000B2 2 vL0 L vC0 Ri0 L 2 20000002 1 2 As de modo que B2 0 A resposta desejada é portanto it 2e1000t cos 20000t mA Um bom gráfico pode ser feito traçandose primeiro as duas partes do envelope exponencial 2e1000t e 2e1000t mA como mostram as linhas tracejadas na Figura 923 A localização dos quartos de ciclo na onda cos senoidal em 20000t 0 π2 π etc ou t 007854k ms k 0 1 2 por meio de pequenas marcas no eixo dos tempos permite o rápido traçado da curva oscilatória 0 1 2 1 2 02 04 06 08 10 it mA t ms p FIGURA 923 A resposta de corrente de um circuito RLC série subamortecido no qual α 1000 s1 ω0 20000 s1 i0 2 mA e vC0 2 V A construção do gráfico é simplificada com o traçado do envelope mostrado como um par de linhas tracejadas O tempo de acomodação pode ser facilmente determinado usandose a parte de cima do envelope isto é fazemos 2e1000ts mA igual a 1 do seu valor máximo 2 mA Assim e1000ts 001 e ts 461 ms é o valor aproximado que normalmente se utiliza 341 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 97 Com referência ao circuito mostrado na Figura 924 calcule a α b ω0 c i0 d didtt0 e i12 ms Resposta 100 s1 224 rads 1 A 0 01204 A Como exemplo final vamos fazer uma pausa para considerar situações em que o circuito inclui uma fonte dependente Se não nos interessa nenhu ma corrente ou tensão de controle associada à fonte dependente podemos simplesmente determinar o equivalente de Thévenin conectado ao indutor e ao capacitor Caso contrário deparamonos com a necessidade de escrever uma equação íntegrodiferencial apropriada calcular a derivada indicada e resolver a equação diferencial resultante da melhor forma que pudermos Obtenha uma expressão para vCt no circuito da Figura 925a válida para t 0 10 V 2 V 9 V t 0 5 H 2 mF i 3i υC a 2 V 1 A 9 V i 3i b υteste p FIGURA 925 a Circuito RLC contendo uma fonte dependente b Circuito para encontrar Req Como estamos interessados somente em vCt é perfeitamente aceitável começar com a determinação da resistência equivalente de Thévenin conectada em série com o indutor e o capacitor em t 0 Fazemos isso conectando uma fonte de 1 A como mostra a Figura 925b de onde pode mos deduzir que υteste 11i 3i 8i 81 8 V Logo Req 8 Ω então α R2L 08 sl e ω0 1LC 10 rads o que significa que esperamos ter uma resposta subamortecida com ωd 9968 rads e a forma υCt e 08tB1 cos 9968t B2 sen 9968t 32 u EXEMPLO 98 05 H 40 mF 100 V i ut A p FIGURA 924 Seção 95 u O circuito RLC série sem fontes Capítulo 9 u O Circuito RLC 342 Considerando o circuito em t 0 notamos que iL0 0 devido à presença do capacitor Pela lei de Ohm i0 5 A assim υC0 υC0 10 3i 10 15 5 V Esta última condição substituída na Equação 32 resulta em B1 5 V Calculando a derivada da Equação 32 e a avaliando em t 0 temos dυC dt t 0 08B1 9968B2 4 9968B2 33 Vemos a partir da Figura 925a que i C dυC dt Logo fazendo uso do fato de que i0 iL0 0 na Equação 33 obtemos B1 04013 V e podemos escrever vCt e 08t5 cos 9968t 04013 sen 9968t V t 0 A simulação desse circuito no PSpice mostrada na Figura 926 confirma nossa análise Tempo T e n s ã o n o C a p a c i t o r sen p FIGURA 926 Simulação do circuito mostrado na Figura 925a no PSpice u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 98 Determine uma expressão para iLt no circuito da Figura 927 válida para t 0 se vC0 10 V e iL0 0 Note que neste caso embora a aplicação das técnicas de Thévenin não seja muito útil a ação da fonte dependente liga vC e iL de maneira que resulta em uma equação diferen cial linear de primeira ordem t FIGURA 927 Circuito para o Exercício de Fixação 98 2 V 5 H 2 V iL 3υC 10 mF υC Resposta iL t 30e300t A t 0 343 Seção 96 u A resposta completa do circuito RLC 96 A RESPOSTA COMPLETA DO CIRCUITO RLC Consideremos agora os circuitos RLC nos quais fontes CC são chaveadas produzindo respostas forçadas que não necessariamente desaparecem à medida que o tempo tende a infinito A solução geral é obtida pelo mesmo procedimento que seguimos para os circuitos RL e RC Os passos básicos não necessariamente nesta ordem são os seguintes 1 Determinar as condições iniciais 2 Obter um valor numérico para a resposta forçada 3 Escrever a forma adequada da resposta natural com o número neces sário de constantes arbitrárias 4 Adicionar a resposta forçada e a resposta natural para formar a res posta completa 5 Avaliar a resposta e sua derivada em t 0 e empregar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes desconhecidas Notamos que em geral esta última etapa causa mais problemas para os estudantes pois o circuito deve ser cuidadosamente analisado em t 0 para usar plenamente as condições iniciais Consequentemente embora a determinação das condições iniciais seja basicamente a mesma para os circuitos contendo fontes CC e os circuitos sem fontes que já discuti mos em detalhe esse tópico receberá uma ênfase especial nos próximos exemplos Grande parte da confusão encontrada na determinação e na aplicação das condições iniciais resulta do simples fato de não termos um conjunto rigoroso de regras para seguir Em algum ponto específico de cada análise deparamonos com uma situação que requer um raciocínio mais ou menos singular para aquele problema em específico Isso é quase sempre a origem da dificuldade A Parte Fácil A resposta completa assumida arbitrariamente como a resposta de tensão de um sistema de segunda ordem consiste em uma resposta forçada υf t Vf que é uma constante para uma excitação CC e uma resposta natural υnt Aes1t Bes2t Logo υt Vf Aes1t Bes2t Supomos que s1 s2 e vf já tenham sido determinados a partir do circuito e das funções forçantes fornecidas A e B ainda precisam ser determinados A última equação mostra a interdependência funcional de A B v e t e a substituição do valor conhecido de v em t 0 nos proporciona uma única equação relacionando A e B v0 vf A B Esta é a parte fácil Capítulo 9 u O Circuito RLC 344 A Outra Parte Infelizmente outra relação entre A e B é necessária ela é normalmente obtida tomandose a derivada da resposta dυ dt 0 s1Aes1t s2Bes2t e inserindo o valor conhecido de dvdt em t 0 Temos assim duas equa ções relacionando A e B e essas podem ser resolvidas simultaneamente para avaliar as duas constantes O único problema remanescente consiste em determinar os valores de v e dvdt em t 0 Vamos supor que v seja a tensão no capacitor vC Como iL C dvdt podemos identificar a relação entre o valor inicial de dvdt e o valor inicial da corrente no capacitor Se pudermos estabelecer um valor para essa corrente inicial então automaticamente determinaremos o valor de dvdt Normalmente os estudantes obtêm v0 muito facilmente mas costumam ter dificuldades para encontrar o valor inicial de dvdt Se tivés semos selecionado a corrente iL no indutor como nossa resposta então o valor inicial de diLdt estaria intimamente relacionado ao valor inicial da tensão no indutor Variáveis que não sejam tensões em capacitores ou cor rentes em indutores são determinadas expressandose seus valores iniciais e os valores iniciais de suas derivadas em termos dos valores de vC e iL correspondentes Ilustraremos esse procedimento e determinaremos todos esses valo res analisando cuidadosamente o circuito mostrado na Figura 928 Para simplificar a análise uma capacitância de valor incomum será usada novamente p FIGURA 928 a Circuito RLC usado para ilustrar vários procedimentos pelos quais podem ser obtidas as condições iniciais Normalmente desejase determinar vCt b t 0 e c t 0 3 H 5 A 30 V υC υL υR iR iL iC 4ut A 1 F 27 a υR iC iL υL υC iR 5 A 3 H 30 V b 1 F 27 υR iC iL υL υC iR 5 A 4 A 3 H 30 V c 1 F 27 345 Há três elementos passivos no circuito mostrado na Figura 928a cada um com uma tensão e uma corrente definidas Determine o valor dessas seis grandezas em t 0 e t 0 Nosso objetivo é encontrar o valor de cada corrente e tensão em t 0 e t 0 Uma vez conhecidas essas grandezas os valores iniciais das derivadas podem ser facilmente encontrados 1 t 0 Em t 0 somente a fonte de corrente da direita está ativa como mostra a Figura 928b Assumese que o circuito esteja nesse estado desde sempre assim todas as correntes e tensões são constantes Logo uma cor rente CC percorrendo o indutor requer uma tensão nula em seus terminais υL0 0 e uma tensão CC no capacitor vR requer uma corrente zero através dele iC0 0 Em seguida aplicamos a lei de Kirchhoff das correntes no nó da direita para obter iR0 5 A o que também resulta em υR0 150 V Podemos agora usar a lei de Kirchhoff das tensões na malha da esquerda encontrando υC0 150 V enquanto a LKC nos permite determinar a corrente no indutor iL0 5 A 2 t 0 No intervalo entre t 0 e t 0 a fonte de corrente da esquerda tornase ativa e muitos dos valores de tensão e corrente em t 0 mudarão subitamente O circuito correspondente é mostrado na Figura 928 No entan to devemos começar fixando nossa atenção nas grandezas que não mudam ou seja a corrente no indutor e a tensão no capacitor Ambas as grandezas devem permanecer constantes durante o intervalo de chaveamento Portanto iL0 5 A e υC0 150 V Como agora conhecemos duas correntes no nó da esquerda obtemos em seguida iR0 1 A e υR0 30 V de modo que iC0 4 A e υL0 120 V assim temos seis valores iniciais em t 0 e mais seis em t 0 Entre esses seis valores somente a tensão no capacitor e a corrente no indutor mantêmse inalteradas a partir de seus valores em t 0 u EXEMPLO 99 Seção 96 u A resposta completa do circuito RLC Capítulo 9 u O Circuito RLC 346 Poderíamos ter empregado um método ligeiramente diferente para avaliar essas correntes e tensões em t 0 e t 0 Antes da operação de chavea mento existem somente correntes e tensões CC no circuito O indutor pode portanto ser substituído por um curtocircuito seu equivalente CC enquanto o capacitor é substituído por um circuito aberto Redesenhado dessa maneira o circuito da Figura 928a parece com o ilustrado na Figura 929a Somente a fonte de corrente da direita está ativa e seus 5 A fluem através do resistor e do indutor Temos portanto iR0 5 A e vR0 150 V iL0 5 A e vL0 0 e iC0 0 e vC0 150 V como antes 5 A 30 V a υC υL υR iR iL iC 0 A 5 A 5 A 30 V b υC υL υR iR iL iC 4 A 150 V p FIGURA 929 a Um equivalente simples do circuito da Figura 928a para t 0 b Circuito equivalente com tensões e correntes identificadas válidas no instante t 0 Passamos agora ao problema de desenhar um circuito equivalente que nos ajudará na determinação das várias tensões e correntes em t 0 Tensões em capacitores e correntes em indutores devem permanecer cons tantes durante o intervalo de chaveamento Essas condições são garantidas substituindose o indutor por uma fonte de corrente e o capacitor por uma fonte de tensão Cada fonte serve para manter uma resposta constante durante a descontinuidade Como resultado temse o circuito equivalente da Figura 929b Devemos notar que o circuito mostrado na Figura 929b é válido somente para o intervalo entre 0 e 0 As tensões e correntes em t 0 são obtidas analisandose esse circuito CC A solução não é difícil mas o número relativamente grande de fontes presentes na rede produz uma visão um pouco estranha No entanto proble mas desse tipo foram resolvidos no Capítulo 3 e nada de novo está envol vido aqui Abordando primeiro as correntes começamos no nó superior esquerdo e vemos que iL0 4 5 1 A Movendo para o nó superior direito vemos que iC0 1 5 4 A E naturalmente iL0 5 A Vamos agora considerar as tensões Usando a lei de Ohm vemos que vR0 301 30 V Para o indutor a LKT nos dá vL0 30 150 120 V Por fim incluindo vC0 150 V temos todos os valores em t 0 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 99 Considere is 10ut 20ut A na Figura 930 Encontre a iL0 b vC0 c vR0 d iL e iL01 ms Resposta 10 A 200 V 200 V 20 A 207 A 10 mF 1 mH 20 V is υR υC iL p FIGURA 9 30 347 Complete a determinação das condições iniciais no circuito da Figura 928 repetido na Figura 931 obtendo valores em t 0 para as primeiras derivadas das três tensões e das três variáveis de corrente definidas no diagrama do circuito 3 H 5 A 30 V υC υL υR iR iL iC 4ut A 1 F 27 p FIGURA 931 Circuito da Figura 928 repetido para o Exemplo 910 Começamos com os dois elementos armazenadores de energia Para o indutor υL L diL dt e especificamente υL0 L diL dt t 0 Então diL dt t 0 υL0 L 120 3 40 As De forma similar dυC dt t 0 iC0 C 4 1 27 108 Vs As outras quatro derivadas podem ser determinadas observando que a LKC e a LKT também são satisfeitas pelas derivadas Por exemplo no nó da esquer da na Figura 931 4 iL iR 0 t 0 então 0 diL dt diR dt 0 t 0 portanto diR dt t 0 40 As Os três valores iniciais que restam definir para as derivadas são determinados como dυR dt t 0 1200 Vs dυL dt t 0 1092 Vs e diC dt t 0 40 As u EXEMPLO 910 Seção 96 u A resposta completa do circuito RLC Capítulo 9 u O Circuito RLC 348 Antes de encerrarmos o problema de determinar os valores iniciais necessários devemos destacar que pelo menos um método eficaz foi omitido poderíamos ter escrito equações gerais nodais ou de laços para o circuito original Então a substituição dos valores nulos de tensão no indu tor e corrente no capacitor em t 0 traria à tona várias respostas em t 0 e permitiria a fácil determinação das restantes Deve ser feita portanto uma análise similar em t 0 Esse é um método importante que se torna necessário em circuitos mais complicados que não podem ser analisados pelos nossos simples procedimentos passo a passo Vamos agora completar a determinação da resposta vCt para o circui to original da Figura 931 Com ambas as fontes desligadas o circuito se parece com um circuito RLC série e s1 e s2 são facilmente determinados correspondendo a 1 e 9 respectivamente A resposta forçada pode ser encontrada por inspeção ou se necessário desenhandose o equivalente CC que é similar à Figura 929a com a adição de uma fonte de corrente de 4 A A resposta forçada é 150 V Logo υCt 150 Ae t Be 9t e υC0 150 150 A B ou A B 0 Então dυC dt Ae t 9Be 9t e dυC dt t 0 108 A 9B Por fim A 135 B 135 e υCt 150 135e t e 9t V Um Rápido Resumo do Processo de Solução Resumindo então sempre que desejarmos determinar o comportamento transitório de um circuito RLC simples de três elementos devemos pri meiro decidir se estamos diante de um circuito série ou paralelo para que possamos usar a relação correta para α As duas equações são α 1 2RC RLC paralelo α R 2L RLC série 349 Nossa segunda decisão é tomada após comparar α com ω0 que é dado para cada circuito por ω0 1 LC Se α ω0 o circuito é sobreamortecido e a resposta natural tem a forma fnt A1es1t A2es2t onde s12 α α2 ω2 0 Se α ω0 então o circuito é criticamente amortecido e fnt e αtA1t A2 E por fim se α ω0 estamos diante de uma resposta subamortecida fnt e αtA1 cos ωdt A2 senωdt onde ωd ω2 0 α2 Nossa última decisão depende das fontes independentes Se não houver nenhuma delas atuando no circuito após o chaveamento a resposta natural fornecerá a resposta completa Se fontes independentes ainda estiverem presentes então uma resposta forçada deve ser determinada A resposta completa é portanto a soma f t f f t fnt Isso é aplicável a qualquer corrente ou tensão no circuito Nossa etapa final é resolver as constantes desconhecidas dadas nas condições iniciais u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 910 Seja vs 10 20ut no circuito da Figura 933 Determine a iL0 b vC0 c iL f d iL01 s p FIGURA 933 1 mF 15625 H 50 V υC iL υs Resposta 02 A 10 V 06 A 0319 A Seção 96 u A resposta completa do circuito RLC APLICAÇÃO MODELANDO UM SISTEMA DE SUSPENSÃO AUTOMOTIVA No parágrafo introdutório fizemos uma alusão ao fato de que os conceitos investigados neste capítulo na realidade estendemse além da análise de circuitos elétricos De fato a forma geral das equações diferenciais com as quais temos trabalhado aparece em muitos campos precisamos apenas aprender como traduzir os novos parâmetros à nossa terminologia Por exemplo considere uma simples suspen são automotiva como mostra a Figura 932 O pistão não está conectado ao cilindro mas à mola e à roda As partes móveis são portanto a mola o pistão e a roda Vamos modelar esse sistema físico determinando pri meiro as forças que estão em ação Definindo uma função posição pt que descreve o deslocamento do pistão dentro do cilindro podemos escrever FS a força sobre a mola como FS K pt onde K é a constante elástica da mola em Nm A força FW na roda é igual à massa da roda vezes a sua aceleração ou FW m d2 pt dt2 onde m é medida em kg Por último mas não menos impor tante temse a força de fricção Ff agindo sobre o pistão Ff μ f dpt dt onde μf é o coeficiente de amortecimento dado em N sm De nossas disciplinas de física básica sabemos que a soma de todas as forças agindo no sistema deve ser igual a zero de modo que m d2 pt dt2 μ f dpt dt Kpt 0 34 Essa equação muito possivelmente nos causou pesa delos em algum ponto de nossa carreira acadêmica mas não agora Comparamos a Equação 32 com as Equações 30 e 31 e imediatamente vemos uma semelhança dis tinta pelo menos na forma geral Escolhendo a Equação 30 a equação diferencial que descreve a corrente no indutor de um circuito RLC conectado em série observa mos as seguintes correspondências Massa m indutância L Coeficiente de amortecimento μ f resistência R Constante da mola K inverso da capacitância C1 Variável da posição pt variável de corrente it Assim se quisermos falar em metros em vez de ampè res kg em vez de H mN em vez de F e N sm em vez de Ω poderemos aplicar nossas recémadquiridas habili dades de modelagem de circuitos RLC à tarefa de avaliar amortecedores automotivos Considere uma típica roda de carro que pesa 31136 N A massa é encontrada dividindose o peso pela aceleração da gravidade 98 ms2 o que resulta em m 3174 kg O peso de nosso carro é de 8829 N e o deslocamento estático da mola é de 102 cm carro sem passageiros A constante da mola é obtida dividindose o peso em cada amortecedor pelo deslocamento estático com isso K 1 4 88299804 m1 21640 Nm Sabemos também que o coeficiente de amortecimento de nosso conjunto pistão cilindro é de 9486 N sm Assim podemos simular nosso amortecedor modelandoo como um circuito RLC em série tendo R 9486 Ω L 3174 H e C K1 462 µF A frequência de ressonância de nosso amortecedor é ω0 LC12 2611 rads e o coeficiente de amor tecimento é α R2L 1494 s1 Como α ω0 nosso amortecedor representa um sistema subamortecido isso significa que esperamos ter um ou dois solavancos ao passar sobre um buraco Um amortecedor mais duro um maior coeficiente de amortecimento ou uma maior resistência em nosso modelo de circuito geralmente é desejado quando são feitas curvas em alta velocidade isso corresponde a uma resposta sobreamortecida No entanto se dirigimos a maior parte do tempo em ruas não pavimentadas é melhor ter uma resposta ligeira mente subamortecida p FIGURA 932 Sistema típico de suspensão automotiva Transtock IncAlamy 351 Seção 97 u O circuito LC sem perdas 97 O CIRCUITO LC SEM PERDAS Ao considerarmos o circuito RLC sem fontes tornouse evidente que o resistor serviu para dissipar a energia inicial armazenada no circuito Em algum momento podemos perguntarnos o que aconteceria se pudéssemos remover o resistor Se o valor da resistência em um circuito RLC paralelo se torna infinito ou zero no caso de um circuito RLC série temos um laço LC simples no qual uma resposta oscilatória pode ser mantida para sempre Vamos examinar brevemente o exemplo de um circuito como esse e depois discutiremos outros meios de se obter uma resposta idêntica sem a necessidade de usar qualquer indutância Considere o circuito sem fontes da Figura 934 no qual os valores elevados L 4 H e C 1 36 F são usados com a finalidade de simplificar os cálculos Fazemos i0 1 6 A e v0 0 Encontramos α 0 e ω2 0 9 s2 de modo que ωd 3 rads Na ausência de amortecimento exponencial a tensão v é simplesmente υ A cos 3t B sen 3t Como v0 0 vemos que A 0 Em seguida dυ dt t 0 3B i0 1 36 Mas i0 1 6 A e portanto dvdt 6 Vs em t 0 Devemos ter B 2 V assim v 2 sen 3t V que é uma resposta senoidal não amortecida em outras palavras nossa resposta de tensão não decai Vejamos como podemos obter essa tensão sem usar um circuito LC Nossa intenção é escrever a equação diferencial satisfeita por v e depois desenvolver uma configuração de AOPs que forneça a sua solução Embora estejamos trabalhando com um exemplo específico a técnica é geral e pode ser usada para resolver qualquer equação diferencial linear homogênea No circuito LC da Figura 934 selecionamos v como nossa variável e fazemos a soma das correntes no indutor e no capacitor igual a zero 1 4 t t0 υ dt 1 6 1 36 dυ dt 0 Diferenciando uma vez temos 1 4υ 1 36 d2υ dt2 0 ou d2υ dt2 9υ Para resolver essa equação pretendemos usar um amplificador opera cional como integrador Assumimos que a derivada de ordem mais alta que aparece na equação diferencial d2vdt2 esteja disponível em algum ponto p FIGURA 934 Este circuito não tem perdas e fornece a resposta não amortecida v 2 sen 3t V se v0 0 e i0 1 6 A 4 H υ i 1 F 36 Capítulo 9 u O Circuito RLC 352 arbitrário A de nossa configuração de AOPs Fazemos agora uso do integra dor com RC 1 conforme discutimos na Seção 75 A entrada é d2vdt2 e a saída deve ser dvdt onde a mudança de sinal resulta da utilização do AOP em sua configuração inversora para modelar o integrador O valor inicial de dvdt é 6 Vs como mostramos quando analisamos inicialmente o circuito portanto um valor inicial de 6 V deve aparecer no integrador O valor negativo da primeira derivada agora forma a entrada de um segundo integrador Sua saída é portanto vt e o valor inicial é v0 0 Resta agora apenas multiplicar v por 9 para obter a segunda derivada que assu mimos no ponto A Isso é uma amplificação por 9 com uma mudança de sinal o que é facilmente conseguido usando o AOP como um amplificador inversor A Figura 935 mostra o circuito de um amplificador inversor Em um AOP ideal tanto a corrente de entrada quanto a tensão de entrada são nulas Logo a corrente que vai a leste através de R1 é vsR1 enquanto aquela que vai a oeste através de Rf é voRf Como sua soma é zero temos υo υs Rf R1 Assim podemos projetar um ganho de 9 fazendo Rf 90 kΩ e R1 10 kΩ por exemplo Fazendo R 1 MΩ e C 1 μF em cada um dos inte gradores então υo t 0 υs dt υo0 em cada caso A saída do amplificador inversor agora forma a entrada no ponto A que havíamos assumido levando à configuração de AOPs mostrada na Figura 936 Se a chave à esquerda for fechada em t 0 simultaneamente à abertura das duas chaves responsáveis pelas condições iniciais a saída do segundo integrador será a onda senoidal não amortecida v 2 sen 3t V p FIGURA 935 O amplificador operacional inversor fornece um ganho v0vs Rf R1 supondo um AOP ideal R1 Rf υo υs p FIGURA 936 Dois integradores e um amplificador inversor são conectados para proporcionar a solução da equação diferencial d2vdt2 9 v 6 V 1 mF 1 mF 1 MV 1 MV 10 kV Rf 90 kV A d2υ dt2 9υ υ 2 sen 3t V t 0 t 0 t 0 dυ dt 353 Resumo e revisão Note que o circuito LC da Figura 934 e o circuito AOP da Figura 936 têm a mesma saída mas o circuito AOP não contém nenhum indutor Ele simplesmente atua como se tivesse um indutor fornecendo a tensão senoi dal apropriada entre seu terminal de saída e o terra Isso pode ser uma van tagem prática ou econômica considerável no projeto de um circuito pois indutores costumam ser volumosos custam mais caro que os capacitores e têm mais perdas associadas portanto seu comportamento não é bem apro ximado do modelo ideal u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 911 Dê novos valores para Rf e para as duas tensões iniciais no circuito da Figura 936 considerando que a saída representa a tensão vt no circuito da Figura 937 t FIGURA 937 8 H 12 V 5 mF 1 V 5 V υt t 0 Resposta 250 kΩ 400 V 10 V RESUMO E REVISÃO Os circuitos RL e RC simples analisados no Capítulo 8 essencialmente tiveram uma de duas coisas como resultado do acionamento de uma chave carga ou descarga O estado inicial de carga do elemento de armazena mento de energia foi o que determinou qual delas ocorreu Neste capítulo consideramos que os circuitos tiveram dois elementos armazenadores de energia um capacitor e um indutor e descobrimos que as coisas poderiam ficar muito interessantes Existem duas configurações básicas de circuitos RLC ligados em paralelo e ligados em série A análise de tal circuito for nece uma equação diferencial de segunda ordem parcial de acordo com o número de elementos armazenadores de energia distintos se construirmos um circuito usando apenas resistores e capacitores de tal forma que os capacitores não possam ser combinados utilizando técnicas sérieparalelo obtemos também por fim uma equação diferencial de segunda ordem parcial Dependendo do valor da resistência ligada aos nossos elementos armaze nadores de energia podemos encontrar a resposta transitória de um circuito RLC como superamortecida decaindo exponencialmente ou subamortecida decaindo mas oscilatória com um caso especial criticamente amortecido que é difícil de alcançar na prática Oscilações podem ser úteis p ex em Capítulo 9 u O Circuito RLC 354 transmissão de informações através de uma rede sem fio ou não tão úteis p ex em situações acidentais de microfonia entre o amplificador e o microfone em um concerto Embora as oscilações não sejam mantidas nos circuitos que examinamos vimos pelo menos uma maneira de criálas como quisermos e projetar para uma frequência específica de operação se assim o desejarmos Nós não gastamos muito tempo com o circuito RLC série porque com exce ção de α as equações são as mesmas é necessário apenas uma pequena ade quação na utilização das condições iniciais para encontrar as duas constantes desconhecidas que caracterizam a resposta transitória Seguindo essa linha encontramos dois truques um deles é que para empregar a segunda condi ção inicial precisamos tomar a derivada da nossa equação resposta o outro é que se nós estamos empregando LKC ou LKT para usar essa condição inicial estamos fazendo isso no instante em que t 0 reconhecer esse fato pode simplificar drasticamente as equações ao definir t 0 logo no início Encerramos o capítulo considerando a resposta completa e a nossa aborda gem para isso não diferiu muito do que fizemos no Capítulo 8 Fechamos com uma breve seção sobre um tema que pode ter ocorrido para nós em algum momento o que acontece quando removemos comple tamente as perdas resistivas configurando como a resistência paralela ou como 0 a resistência em série Terminamos com um circuito LC e vimos que podemos comparar um animal com um circuito amplificador operacional Agora o leitor provavelmente está pronto para terminar de revisar os conceitos fundamentais do capítulo então vamos parar por aqui e incluí los juntamente com exemplos correspondentes no texto f Circuitos contendo dois dispositivos armazenadores de energia que não possam ser combinados usando técnicas de combinação em sérieparalelo são descritos por uma equação diferencial de segunda ordem f Circuitos RLC série e paralelo são classificados de acordo com uma das três categorias dependendo dos valores relativos de R L e C Sobreamortecido α ω0 Criticamente amortecido α ω0 Subamortecido α ω0 Exemplo 91 f Para os circuitos RLC série α R2L e ω0 1LC Exemplo 97 f Para os circuitos RLC paralelo α 12RC e ω0 1LC Exemplo 91 f A forma típica de uma resposta sobreamortecida é a soma de dois termos exponenciais um dos quais decai mais rapidamente do que o outro por exemplo A1et A2e6t Exemplos 92 93 e 94 f A forma típica de uma resposta criticamente amortecida é eαt A1t A2 Exemplo 95 f A forma típica de uma resposta subamortecida é uma senoide expo nencialmente amortecida eαt B1 cos ωdt B2 sen ωdt Exemplos 96 97 e 98 f Durante a resposta transitória de um circuito RLC a energia é trans ferida entre os elementos armazenadores de energia de acordo com Exercícios 355 o que permite o componente resistivo do circuito que atua de forma a dissipar a energia inicialmente armazenada Veja a seção Análise auxiliada por computador f A resposta completa é a soma das respostas forçada e natural Nesse caso a resposta total deve ser determinada antes da obtenção das constantes Exemplos 99 e 910 LEITURA COMPLEMENTAR Uma excelente discussão sobre o uso do PSpice na modelagem de sistemas de suspensão automotiva pode ser encontrada em RW Goody MicroSim PSpice for Windows vol I 2nd ed Englewood Cliffs NJ PrenticeHall 1998 Muitas descrições detalhadas de redes analógicas podem ser encontradas no Capítulo 3 do livro E Weber Linear Transient Analysis Volume I New York Wiley 1954 Edição esgotada mas pode ser encontrada nas bibliotecas de muitas universidades EXERCÍCIOS 91 O Circuito Paralelo sem Fontes 1 Para um determinado circuito RLC paralelo sem fonte R 1 kΩ C 3 µF e L é tal que a resposta do circuito é sobreamortecida a Determine o valor de L b Escreva a equação para a tensão v sobre o resistor sabendose que v0 9 V e dvdtt0 2 Vs 2 10 mF e 2 nH são valores de elementos empregados na construção de um sim ples circuito RLC paralelo sem fonte a Selecione R de modo que o circuito seja levemente sobreamortecido b Escreva a equação para a corrente no resis tor se o seu valor inicial é iR0 13 e diEdtt0 1 nAs 3 Se um circuito RLC em paralelo é construído a partir de componentes com valo res de C 16 mF e L 1 mH escolha R tal que o circuito seja a levemente sobreamortecido b levemente subamortecido c criticamente amortecido d Qual é a sua resposta para o item a se a tolerância do resistor alterouse para 1 e para 10 e Aumente o coeficiente exponencial de amortecimento para o item c em 20 O circuito agora é subamortecido sobreamortecido ou ainda é criticamente amortecido Explique 4 Calcule α ω0 s1 e s2 para um circuito RLC paralelo sem fonte se a R 4 Ω L 222 H e C 125 mF b L 1 nH C 1 pF e R é 1 do valor requerido para tornar o circuito subamortecido c Calcule a taxa de amortecimento para os circuitos dos itens a e b 5 Você deve construir o circuito do Exercício 1 mas descobre que não há resisto res de 1 kΩ disponíveis Na verdade o único componente que você encontrou além do capacitor e do indutor é um pedaço de fio de cobre sólido flexível de 24 AWG com 1 metro de comprimento Conectandoo em paralelo com os dois outros componentes anteriormente encontrados determine os valores de α ω0 s1 e s2 e verifique se o circuito ainda é sobreamortecido Capítulo 9 u O Circuito RLC 356 6 Considere um circuito RLC paralelo sem fonte com α 108 s1 ω0 103 rads e ω0L 5Ω a Mostre que as unidades atribuídas a ω0L estão corretas b Calcule s1 e s2 c Escreva a forma geral da resposta natural para a tensão no capacitor d Por substituição apropriada verifique se a sua resposta para o item c é de fato uma solução para a Equação 1 se o indutor e o capacitor armazenam inicialmente 1 mJ de energia cada respectivamente 7 Um circuito RLC paralelo é construído com R 500 Ω C 10 μF e L tal que seja criticamente amortecido a Determine L Esse valor é grande ou pequeno para um componente montado em uma placa de circuito impresso b Adicione um resistor em paralelo com os componentes existentes tal que a taxa de amortecimento seja igual a 10 c Aumentar ainda mais a taxa de amortecimento levará a um circuito sobreamortecido criticamente amortecido ou subamortecido Explique 92 O Circuito RLC Paralelo Sobreamortecido 8 O circuito da Figura 92 é modificado significativamente sendo o resistor substituído por outro componente de 1 kΩ o indutor trocado para uma versão menor de 7 mH o capacitor substituído por um alternativo de 1 nF e o indutor inicialmente descarregado enquanto o capacitor armazena 72 mJ a Calcule α ω0 s1 e s2 e verifique se o circuito ainda é sobreamortecido b Obtenha uma expressão para a corrente que circula através do resistor que é válida para t 0 c Calcule o valor da corrente no resistor em t 10 µs 9 A tensão sobre um capacitor é encontrada por vCt 10e10t 5e4t V a Faça o gráfico para cada um dos dois componentes no intervalo de 0 t 15 s b Faça o gráfico de tensão no capacitor ao longo do mesmo intervalo de tempo 10 A corrente que circula através de um certo indutor é encontrada através de iLt 020e2t 06e3t V a Faça o gráfico para cada um dos dois componen tes durante o intervalo de 0 t 15 s b Faça o gráfico da corrente no indutor durante o mesmo intervalo de tempo c Faça o gráfico da energia restante no indutor para 0 t 15 s 11 A corrente que circula por um resistor de 5 Ω em um circuito RLC paralelo sem fonte é determinada por iRt 2et 3e8t V t 0 Determine a a corrente máxima e o momento em que ela ocorre b o tempo de acomodação c o tempo t correspondente ao resistor dissipando 25 W de potência 12 Para o circuito da Figura 938 obtenha uma expressão para vCt válida para todo t 0 13 Considere o circuito mostrado na Figura 938 a Obtenha uma expressão para iLt válida para todo t 0 b Obtenha uma expressão para iRt válida para todo t 0 c Determine o tempo de acomodação para o iL e iR 14 Em relação ao circuito representado na Figura 939 determine a iC0 b iL0 c iR0 d vC0 e iC0 f iL0 g iR0 h vC0 t FIGURA 939 250 mH 1 V 48 V υC iC iR iL t 0 10ut mA 2 mF p FIGURA 938 250 mF 20 kV 01 V H 6 V υC iL iC iR t 0 2 13 Exercícios 357 15 a Assumindo a convenção de sinal passivo obtenha uma expressão para a tensão sobre o resistor de 1 Ω no circuito da Figura 939 que é válida para todo t 0 b Determine o tempo de acomodação da tensão no resistor 16 Em relação ao circuito apresentado na Figura 940 a obtenha uma expressão para vt que é válida para todo t 0 b calcule a corrente máxima no indutor e identifique o momento em que ela ocorre c determine o tempo de acomodação t FIGURA 940 02 V 4 mF υ 5ut mA iC t 0 1 mH 17 Obtenha expressões para a corrente it e a tensão vt indicadas no circuito da Figura 941 que são válidas para todo t 0 t FIGURA 941 1 H 310 mA 14 V υt it t 0 360 mF 18 Substitua o resistor de 14 Ω no circuito da Figura 941 por um resistor de 1 Ω a Obtenha uma expressão para a energia armazenada no capacitor em função do tempo válida para t 0 b Determine em que instante a energia no capacitor terá sido reduzida à metade do seu valor máximo c Verifique sua resposta com uma simulação apropriada no PSpice 19 Projete um circuito completo RLC em paralelo sem fonte que apresente uma resposta sobreamortecida tenha um tempo de acomodação de 1 s e uma taxa de amortecimento de 15 20 Para o circuito representado na Figura 942 os dois valores dos resistores são R1 0752 Ω e R2 1268 Ω respectivamente a Obtenha uma expressão para a energia armazenada no capacitor válida para todo t 0 b determine o tempo de acomodação da corrente iA t FIGURA 942 υC iA 15 V R1 5 F R2 2iA t 0 2 H 93 Amortecimento Crítico 21 A bobina de um motor com uma indutância de 8 H está em paralelo com um capa citor de 2 μF e um resistor de valor desconhecido A resposta dessa combinação em paralelo é determinada como criticamente amortecida a Determine o valor do resistor b Calcule α c Escreva a equação para a corrente que flui para o resistor se o nó superior é denominado v o nó de baixo está aterrado e v Rir d Verifique que a sua equação é a solução da equação diferencial do circuito Capítulo 9 u O Circuito RLC 358 dir dt 2α dir dt α2ir 0 22 A condição para o amortecimento crítico em um circuito RLC é que a frequência de ressonância ω0 e o fator de amortecimento exponencial α são iguais Isso leva à relação L 4R2C que implica 1 H 1 Ω2 F Verifique essa equivalência decompondo cada uma das três unidades de fundamentais na forma de unidades SI ver Capítulo 2 23 Um circuito RLC paralelo criticamente amortecido é construído a partir de componentes com valores de 40 Ω 8 nF e 512 μH respectivamente a Veri fique se o circuito é de fato criticamente amortecido b Explique por que na prática esse circuito uma vez fabricado dificilmente se comportará como um circuito que efetivamente possui amortecimento crítico c O indutor armazena inicialmente 1 mJ de energia enquanto o capacitor encontrase inicialmente descarregado Determine o valor da tensão no capacitor para t 500 ns a tensão máxima absoluta no capacitor e o tempo de acomodação 24 Projete um circuito completo RLC em paralelo ou seja com todas as chaves necessárias ou fontes de função degrau que tenha uma resposta criticamente amortecida tal que a tensão no capacitor em t 1 s seja igual a 9 V e o circuito seja sem fonte para todo t 0 25 Um circuito RLC paralelo criticamente amortecido é construído a partir de componentes com valores de 40 Ω e 2 pF Determine o valor de L tendo o cuidado de não arredondar o resultado para um valor maior b Explique por que na prática esse circuito uma vez fabricado dificilmente se comportará como um circuito que efetivamente possui amortecimento crítico c O indutor inicialmente não armazena energia enquanto o capacitor armazena inicialmen te 10 pJ Determine a potência absorvida pelo resistor em t 2 ns a corrente máxima absoluta no indutor iL e o tempo de acomodação 26 Para o circuito da Figura 943 considere ist 30ut mA a Selecione R1 para que v0 6 V b Calcule v2 ms c Determine o tempo de acomoda ção da tensão no capacitor d O tempo de acomodação da corrente no indutor é o mesmo da sua resposta para o item c 27 A fonte de corrente na Figura 943 é ist 10u1 t µA a Selecione R1 tal que iL0 2 µA Calcule iL em t 500 ms e t 1002 ms 28 O indutor no circuito da Figura 941 é alterado de tal forma que a resposta do circuito tornase criticamente amortecida a Determine o valor do novo indu tor b Calcule a energia armazenada no indutor e no capacitor em t 10 ms 29 O circuito da Figura 942 é reconstruído de modo que a grandeza controlada da fonte dependente é agora 100iA o capacitor de 5 μF é substituído por um de 2 μF e R1 R2 10 Ω a Calcule o valor do indutor necessário para obter uma resposta criticamente amortecida b Determine a potência absorvida por R2 em t 300 µs 94 O Circuito RLC Paralelo Subamortecido 30 a Com respeito ao circuito RLC paralelo derive uma expressão para R em termos de C e L para garantir que a resposta seja subamortecida b Se C 1 nF e L 10 mH selecione R tal que uma resposta levemente subamortecida seja alcançada c Se a taxa de amortecimento é aumentada o circuito irá tornarse mais ou menos subamortecido Explique d Calcule α e ωd para o valor de R selecionado no item b 31 O circuito da Figura 91 é construído utilizando os seguintes valores de com ponentes 10 kΩ 72 μH e 18 pF a Calcule α ωd e ω0 O circuito é sobre amortecido criticamente amortecido ou subamortecido b Escreva a forma da resposta natural da tensão no capacitor vt c Se o capacitor armazena inicialmente 1 nJ de energia calcule v em t 300 ns p FIGURA 943 R1 υ t 0 is 200 mF 20 mH 5 V iL Exercícios 359 32 O circuito sem fonte representado na Figura 91 é construído utilizando um indutor de 10 mH um capacitor de 1 mF e um resistor de 15 kΩ a Calcule α ωd e ω0 b Escreva a equação que descreve a corrente i para t 0 c Deter mine o valor máximo de i e o tempo em que ele ocorre se o indutor inicialmente não armazena energia e v0 9 V 33 a Para o circuito descrito no Exercício 32 faça os gráficos da corrente i com os respectivos valores de resistores 15 kΩ 15 kΩ e 150 kΩ Faça três gráficos separadamente e certifiquese de estender o eixo correspondente ao tempo até 6πωd em cada caso b Determine os tempos de acomodação correspondentes 34 No circuito descrito no Exercício 32 encontre vt para t 0 se R é igual a a 2 kΩ b 2 Ω c Faça o gráfico das respostas no intervalo de 0 t 60 ms d Verifique as suas respostas com simulações apropriadas no PSpice 35 Para o circuito da Figura 944 determine a iC0 b iL0 c iR0 d vC0 e iC0 f iL0 g iR0 h vC0 t FIGURA 944 20 mH 50 V 2 V υC υL iC iR iL t 0 3ut A 25 mF 36 Obtenha uma expressão para vLt t 0 para o circuito mostrado na Figura 944 Faça o gráfico da forma de onda para pelo menos dois períodos de oscilação 37 Para o circuito da Figura 945 determine a a primeira vez que t 0 quando vt 0 b o tempo de acomodação t FIGURA 945 2 V 20 mH 2 mF 5 V 5 V 2 V υ t 0 5ut V 38 a Projete um circuito RLC em paralelo que forneça uma tensão no capacitor que oscila com uma frequência de 100 rads com um valor máximo de 10 V que ocorre em t 0 e cuja segunda e terceira máximas excedem 6 V b Veri fique o seu projeto com uma simulação apropriada PSpice 39 O circuito representado na Figura 946 é levemente subamortecido a Calcule α e ωd b Obtenha uma expressão para iLt válida para t 0 c Determine a quantidade de energia armazenada no capacitor e no indutor em t 200 ms t FIGURA 946 500 mV υC iL 25ut A 250 mF 160 mH Capítulo 9 u O Circuito RLC 360 40 Ao construir o circuito da Figura 946 você instala inadvertidamente um resis tor de 500 MΩ por engano a Calcule α e ωd b Obtenha uma expressão para iLt válida para t 0 c Determine o tempo que a energia armazenada no indutor leva para atingir 10 do seu valor máximo 95 Os Circuitos RLC Série sem Fontes 41 O circuito da Figura 921a é construído com um capacitor de 160 mF e um indutor de 250 mH Determine o valor de R necessário para obter a uma resposta criti camente amortecida b uma resposta levemente subamortecida c Compare suas respostas para os itens a e b se o circuito for um circuito RLC paralelo 42 Os componentes do circuito representado na Figura 921a possuem os seguintes valores R 2 Ω C 1 mF e L 2 mH Se vC0 1 V e inicialmente não circula corrente através do indutor calcule it nos instantes t 1 ms 2 ms e 3 ms 43 O circuito RLC série descrito no Exercício 42 é ligeiramente modificado ao se inserir um resistor de 2 Ω em paralelo com o resistor existente A tensão inicial no capacitor continua sendo 1 V e ainda não circula corrente no indutor antes de t 0 a Calcule vCt em 4 ms b Faça o gráfico de vCt no intervalo 0 t 10 s 44 O circuito simples com três elementos RLC em série do Exercício 42 é cons truído tendo os componentes os mesmos valores mas com a tensão inicial do capacitor sendo vC0 2 V e a corrente inicial no indutor de i0 1 mA a Obtenha uma expressão para it válida para todo t 0 b Verifique sua solução com uma simulação apropriada 45 O circuito RLC série da Figura 922 é construído utilizando R 1 kΩ C 2 mF e L 1 mH A tensão inicial do capacitor vC é de 4 V em t 0 Inicialmente não circula corrente através do indutor a Obtenha uma expressão para vCt válida para t 0 b Faça o gráfico para 0 t 6 us 46 Com relação ao circuito representado na Figura 947 calcule a α b ω0 c i0 d didt0 e it em t 6 s 47 Obtenha uma equação para vC no circuito da Figura 948 válida para todo t 0 t FIGURA 948 9 V 30 V 100 V t 0 90 mH i 2i 40 mF υC 48 Com relação ao circuito RLC série da Figura 948 a obtenha uma expressão para i válida para t 0 b calcule i08 ms e i4 ms c verifique suas res postas para o item b com uma simulação apropriada no PSpice 49 Obtenha uma expressão para i1 indicado na Figura 949 que seja válida para todo t 0 t FIGURA 949 5 V 500 mH 1 mF iL i1 80 V 20i1 5ut mA υC p FIGURA 947 12 H 05 F 140 V i 05ut A Exercícios 361 96 A Resposta Completa do Circuito RLC 50 No circuito em série da Figura 950 defina R 1 Ω a Calcule α e ω0 b Se is 3ut 2ut mA determine vR0 iL0 vC0 vR0 iL0 vC0 iL e vC 51 Calcule a derivada de cada uma das variáveis de tensão e corrente indicadas na Figura 951 em t 0 t FIGURA 951 06 H 10 mA 20 kV υC υL υR iR iL iC 15ut mA 5 nF 52 Considere o circuito ilustrado na Figura 952 Se vst 8 2ut V determine a vC0 b iL0 c vC d vCt 150 ms 53 O resistor de 15 Ω no circuito da Figura 952 é substituído por um resistor de 500 mΩ Se a fonte de tensão é dada por vs 1 2ut V determine a iL0 b vC0 c iL d vC4 ms 54 No circuito mostrado na Figura 953 obtenha uma expressão para iL válida para todo t 0 se i1 8 10ut mA 55 O resistor de 10 Ω no circuito RLC série da Figura 953 é substituído por um resistor de 1 kΩ A corrente da fonte é dada por i1 5ut 4 mA Obtenha uma expressão para iL válida para todo t 0 56 Para o circuito representado na Figura 954 a obtenha uma expressão para vCt válida para todo t 0 b Determine vC em t 10 ms e t 600 ms c Verifique suas respostas para o item b com uma simulação apropriada no PSpice p FIGURA 953 2 mH 20 nF 10 V iL i1 p FIGURA 954 001 H 05 F 6 V 1 V 5 V υC t 0 57 Substitua o resistor de 1 Ω na Figura 954 por um resistor de 100 mΩ e o resistor de 5 Ω por um resistor de 200 mΩ Assumindo a convenção de sinal passivo obtenha uma expressão para a corrente no capacitor que é válida para t 0 58 Em relação ao circuito da Figura 955 obtenha uma expressão para vC válida para t 0 se iSt 3ut 5ut mA 59 a Ajuste o valor do resistor de 3 Ω no circuito representado na Figura 955 para obter uma resposta levemente sobreamortecida b determine o primeiro instante t 0 em que capacitor e o indutor armazenam uma quantidade igual de energia e diferente de zero se iSt 2ut A c Calcule a energia corres pondente d Depois de quanto tempo a energia armazenada no indutor será o dobro da armazenada no capacitor ao mesmo tempo p FIGURA 950 20 mF 10 mH R is υR υC iL p FIGURA 952 5 mF 6 mH 15 V υC iL υs p FIGURA 955 3 V 2 mH 4 mF 10 V υC is Capítulo 9 u O Circuito RLC 362 97 O Circuito LC sem Perdas 60 Projete um circuito AOP para modelar a resposta de tensão do circuito LC mos trado na Figura 956 Verifique seu projeto por meio da simulação do circuito da Figura 956 e o seu circuito usando um AOP LF411 supondo v0 0 e i0 1 mA 61 Referindose à Figura 957 projete um circuito AOP cuja saída seja it para t 0 62 Substitua o capacitor do circuito da Figura 956 por um indutor de 20 H em paralelo com um capacitor de 5 µF Projete um circuito AOP cuja saída seja it para t 0 Verifique o seu projeto simulando o circuito capacitorindutor e o seu circuito AOP Use um AOP LM111 na simulação no PSpice 63 Um circuito RC sem fontes é construído usando um resistor de 1 kΩ e um capa citor de 33 mF A tensão inicial no capacitor é de 12 V a Escreva a equação diferencial para v a tensão no capacitor para t 0 b Projete um circuito AOP que forneça vt como saída 64 Um circuito RL sem fontes contém um resistor de 20 Ω e um indutor de 5 H Se o valor inicial da corrente no indutor for 2 A a escreva a equação diferencial para i para t 0 e b projete um integrador com AOP para fornecer it como saída usando R1 1 MΩ e Cf 1 µF Exercícios de integração do capítulo 65 O capacitor no circuito da Figura 958 é definido como 1 F Determine vCt em a t 1 s b t 0 c t 20 s 66 a Qual valor de C para o circuito da Figura 959 resultará numa resposta sobre amortecida b Defina C 1 F e obtenha uma expressão para iLt válida para t 0 t FIGURA 959 10 H i1 1 V 2i1 3ut A iL C υC 67 Obtenha uma expressão para a corrente i1 indicada no circuito da Figura 958 que é válida para t 0 se a fonte de corrente é substituída por uma fonte de 5ut 1 A 68 Projete um circuito RLC em paralelo que produza um pulso senoidal amortecido exponencialmente com um pico de tensão de 15 V e pelo menos dois picos adicionais com valor de tensão superior a 08 V Verifique seu projeto com uma simulação apropriada no PSpice 69 Projete um circuito RLC em série que produza um pulso senoidal amortecido exponencialmente com um pico de tensão de 15 V e pelo menos dois picos adicionais com valor de tensão superior a 08 V Verifique seu projeto por meio de uma simulação apropriada no PSpice p FIGURA 956 10 pH 2 nF υ i p FIGURA 957 20 H 1 mF it 2ut A p FIGURA 958 10 H 1 V 1 V i1 iL C υC 2i1 3ut A INTRODUÇÃO A resposta completa de um circuito elétrico linear é composta por duas partes a res posta natural e a resposta forçada A resposta natural corresponde ao transitório de curta duração que ocorre em um circuito em decorrência de uma súbita mudança em sua condição A resposta forçada corresponde ao comportamento em regime perma nente de um circuito na presença de quaisquer fontes independentes Até o presente momento consideramos apenas respostas forçadas causadas por fontes cc Outra resposta forçada muito comum é a forma de onda senoidal Esta função descreve a tensão disponível nas tomadas das residências bem como a tensão nas linhas de transmissão de energia que alimentam áreas residenciais e industriais Neste capítulo assumimos que a resposta transitória seja de pouco interesse e que a resposta de um circuito em regime permanente um aparelho de TV uma torradeira ou uma linha de distribuição de energia frente a uma tensão ou corrente senoidal seja necessária Analisaremos tais circuitos utilizando uma técnica poderosa que transforma equações integrodiferenciais em equações algébricas Antes de ver como isso funciona é interessante rever rapidamente alguns atributos importantes gerais das senoides que descrevem praticamente todas as correntes e tensões ao longo do capítulo 101 CARACTERÍSTICAS DAS SENOIDES Considere a tensão que varia senoidalmente υt Vm senωt mostrada graficamente nas Figuras 101a e b A amplitude da senoide é Vm e seu argumento é ωt A frequência radiana ou frequência angular é ω Na Figura 101a Vm sen ωt é traçada em função do argumento ωt e a natureza periódica da senoide fica evidente A função se repete a cada 2π radianos e seu período é portanto igual a 2π radianos Na Figura 101b Vm sen ωt é traçada em função de t e seu período é agora T Uma senoide com período T deve executar 1T períodos em cada segundo sua frequência f é igual a 1T hertz abreviada por Hz Logo f 1 T Análise em Regime Permanente Senoidal 10 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Características de Funções Senoidais Representação Fasorial de Senoides Converção entre o Domínio do Tempo e o Domínio da Frequência Impedância e Admitância Reatância e Susceptância Combinações Série e Paralelo no Domínio da Frequência Determinação da Resposta Forçada Utilizando Fasores Aplicação de Técnicas de Análise de Circuitos no Domínio da Frequência Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 364 e já que ωT 2π obtemos a relação comum entre a frequência e a frequência angular ω 2π f Atraso e Avanço Uma forma mais geral da senoide υt Vm senωt θ 1 inclui um ângulo de fase θ em seu argumento A Equação 1 está traça da na Figura 102 em função de ωt e o ângulo de fase aparece como o número de radianos que a senoide original mostrada em verde na figura é deslocada para a esquerda ou adiantada no tempo Como pontos cor respondentes na senoide Vm senωt θ ocorrem θ rad ou θω segundos mais cedo dizemos que Vm senωt θ está adiantada de Vm sen ωt em θ rad Portanto é correto dizer que sen ωt está θ rad atrasada de senωt θ ou θ rad adiantada de senωt θ ou θ rad adiantada de senωt θ Atrasadas ou adiantadas dizemos nesse caso que as senoides estão defasadas Se os ângulos de fase forem iguais dizemos que as senoides estão em fase Vm Vm 0 p 2p υt vt rad a p 2 3p 2 p 2 Vm Vm 0 T υt t s b T 4 T 2 3T 4 T 4 p FIGURA 101 A função senoidal vt Vm sen ωt é traçada a versus ωt e b versus t Vm Vm Vm sen vt u Vm sen vt p 2p υ vt u p FIGURA 102 A senoide Vm senωt θ está θ rad adiantada de sen ωt Seção 101 u Características das senoides 365 Em engenharia elétrica o ângulo de fase é comumente dado em graus em vez de radianos para evitar confusão devemos sempre usar o símbolo de graus Logo em vez de escrever υ 100 sen 2π1000t π 6 usaremos de forma mais frequente υ 100 sen2π1000t 30 Ao avaliarse esta expressão em um instante de tempo específico como por exemplo em t 104 s 2π 1000t vira 02π radianos e isso deve ser convertido em 36o antes de subtrairmos 30o Não confunda laranjas com maçãs Duas ondas senoidais cujas fases são comparadas devem satisfazer às seguin tes condições 1 Ambas devem ser escritas como funções seno ou como funções cosseno 2 Ambas devem ser escritas com amplitudes positivas 3 Ambas devem ter a mesma frequência Convertendo Senos em Cossenos O seno e o cosseno são essencialmente a mesma função mas com uma diferença de fase de 90o Logo sen ωt cosωt 90o Múltiplos de 360o podem ser adicionados ou subtraídos do argumento de qualquer função senoidal sem que o valor da função seja alterado Portanto podemos dizer que υ1 Vm1 cos5t 10 Vm1 sen5t 90 10 Vm1 sen5t 100 está adiantado de υ2 Vm2 sen5t 30 em 130o Também é correto dizer que υ1 está 230o atrasado de υ2 pois υ1 pode ser escrita como υ1 Vm1 sen5t 260 Assumimos que Vm1 e Vm2 sejam ambas grandezas positivas Uma representação gráfica é fornecida na Figura 103 note que a frequência de ambas as senoides 5 rads neste caso deve ser a mesma ou a comparação não faz sentido Normalmente a diferença de fase entre duas senoides é expressa por ângulos menores ou iguais a 180o O conceito das relações de atraso ou avanço entre duas senoides será usado extensivamente e estas relações devem ser reconhecidas tanto mate mática quanto graficamente Lembrese que para converter de radianos para graus simplesmente multiplicamos o ângulo por 180π Note que senωt senωt 180o cosωt cosωt 180o 7senωt cosωt 90o cosωt senωt 90o u FIGURA 103 Representação gráfica das duas senoides v1 e v2 O módulo de cada função seno é representado pelo comprimento da seta correspondente e o ângulo de fase pela orientação com respeito ao eixo x positivo Neste diagrama v1 está 100o 30o 130o adiantado de v2 embora seja possível dizer que v2 está 230o adiantado de v1 É usual no entanto expressar a diferença de fase por meio de ângulos menores ou iguais a 180o 1008 308 08 2608 υ1 υ2 Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 366 u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 101 Determine o ângulo de atraso de i1 em relação a υ1 se υ1 120cos120πt 40o V e i1 é igual a a 25cos120πt 20o A b 14sen120πt 70o A c 08cos120πt 110o A 102 Determine A B C e ϕ se 40cos100t 40o 20sen100t 170o A cos100t B sen100t C cos100t ϕ Resposta 101 60o 120o 110o 102 272 454 529 591o 102 RESPOSTA FORÇADA A FUNÇÕES SENOIDAIS Agora que já estamos familiarizados com as características matemáticas das senoides estamos prontos para aplicar uma função forçante senoidal em um circuito simples e obter a resposta forçada Primeiro escrevemos a equação diferencial que se aplica ao circuito dado A solução completa para esta equação é composta por duas partes a solução complementar a qual chamamos de resposta natural e a solução particular ou resposta forçada Os métodos que planejamos desenvolver ao longo deste capítulo assumem que não estejamos interessados no transitório de curta duração ou resposta natural de nosso circuito mas apenas na resposta em regime permanente A Resposta em Regime Permanente O termo resposta em regime permanente é utilizado de forma equivalente ao termo resposta forçada e é comum dizer que os circuitos que anali saremos ao longo deste capítulo estão operando em regime permanente senoidal Infelizmente regime permanente traz à mente dos estudantes a conotação de algo que não varia com o tempo Isso é verdade para funções forçantes CC mas a resposta em regime permanente senoidal está definitivamente variando com o tempo O termo regime permanente simplesmente se refere à condição que é alcançada após a extinção dos transitórios resposta natural no circuito A resposta forçada tem a forma matemática da função forçante além de todas as suas derivadas e de sua primeira integral Sabendo disso uma das maneiras de se obter a resposta forçada é assumir uma solução com posta pela soma de funções com tais características onde cada uma dessas funções possui uma amplitude desconhecida a ser determinada por meio de substituição direta na equação diferencial Como veremos em breve este pode ser um processo demorado Com isso nos sentiremos suficientemente motivados para buscar uma alternativa mais simples Considere o circuito RL série mostrado na Figura 104 A fonte de tensão senoidal υs Vm cos ωt foi conectada ao circuito em algum tempo remoto no passado e a resposta natural já se extinguiu completamente Buscamos a reposta forçada ou em regime permanente a qual deve satisfazer à equação diferencial i L R υs t Vm cos vt p FIGURA 104 Circuito RL série para o qual desejamos obter a resposta forçada Seção 102 u Resposta forçada a funções senoidais 367 L di dt Ri Vm cos ωt obtida com a aplicação da LKT no circuito Em qualquer instante em que a derivada é nula vemos que a corrente deve ter a forma i µ cos ωt De manei ra similar em um instante em que a corrente é igual a zero a derivada deve ser proporcional a cos ωt o que implica uma corrente na forma de sen ωt Podemos esperar portanto que a resposta forçada tenha a forma it I1 cos ωt I2 senωt onde I1 e I2 são constantes reais cujos valores dependem de Vm R L e ω Nenhuma constante ou função exponencial pode estar presente Substituin do a forma assumida para a solução na equação diferencial temos L I1ωsenωt I2ωcos ωt RI1 cos ωt I2 senωt Vm cos ωt Se agruparmos os termos em senos e cossenos obtemos LI1ω RI2 senωt LI2ω RI1 Vm cos ωt 0 Esta equação deve ser verdadeira para todos os valores de t o que só pode acontecer se os fatores multiplicando cosωt e senωt forem iguais a zero Logo ωLI1 RI2 0 e ωLI2 RI1 Vm 0 e a solução simultânea para I1 e I2 leva a I1 RVm R2 ω2L2 I2 ωLVm R2 ω2L2 Com isso obtémse a resposta forçada it RVm R2 ω2L2 cos ωt ωLVm R2 ω2L2 senωt 2 Uma Forma mais Compacta e Amigável Embora precisa esta expressão é um pouco complicada uma visão mais nítida da resposta pode ser obtida se a expressarmos como apenas uma senoide ou cossenoide com um ângulo de fase Escolhemos expressar a resposta como uma função cosseno it A cosωt θ 3 Pelo menos dois métodos para que obtenhamos os valores de A e θ sal tam aos olhos Podemos substituir a Equação 3 diretamente na equação diferencial original ou simplesmente igualar as duas soluções dadas pelas Equações 2 e 3 Escolhendo o último método e expandindo a função cosωt θ A cos θcos ωt A sen θsen ωt RVm R2 ω2L2 cos ωt ωLVm R2 ω2L2 senωt Tudo o que resta é reunir os termos e fazer um pouco de álgebra um exercício deixado para o leitor O resultado é Muitas identidades trigonométricas úteis podem ser encontradas na contracapa no final do livro Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 368 θ tan 1 ωL R e A Vm R2 ω2L2 e assim a forma alternativa da resposta forçada se torna portanto it Vm R2 ω2L2 cos ωt tan 1 ωL R 4 Com esta forma é fácil observar que a amplitude da resposta é propor cional à amplitude da função forçante se não fosse o conceito da linea ridade deveria ser jogado no lixo Percebese que a corrente apresenta um atraso igual a tan1 ωLR com relação à tensão aplicada um ângulo entre 0 e 90o Quando ω 0 ou L 0 a corrente fica em fase com a tensão já que a primeira situação corresponde à corrente cc e a última reduz o circuito a apenas um resistor o resultado está de acordo com a nossa experiência prévia Se R 0 a corrente está atrasada da tensão em 90o Em um indutor então se a convenção de sinal passivo é satisfeita a corrente está exata mente 90o atrasada da tensão De forma similar podemos mostrar que a corrente em um capacitor está 90o adiantada da tensão A diferença de fase entre a corrente e a tensão depende da razão entre as grandezas ωL e R Chamamos ωL de reatância indutiva do indutor ela é medida em ohms e se refere à oposição oferecida pelo indutor à passagem de uma corrente senoidal Determine a corrente iL no circuito mostrado na Figura 105a se os tran sitórios já desapareceram iL a 100 V 30 mH 25 V 10 cos 103t V b b a 100 V 25 V 10 cos 103t V υoc 20 V c 8 cos 103t V 30 mH iL p FIGURA 105 a O circuito do Exemplo 101 no qual a corrente iL é desejada b Desejase o equivalente de Thévenin a partir dos terminais a e b c O circuito simplificado u EXEMPLO 101 Seção 102 u Resposta forçada a funções senoidais 369 Embora este circuito possua uma fonte senoidal e apenas um indutor ele contém dois resistores e não corresponde a um único laço Para aplicar os resultados obtidos na análise anterior precisamos calcular o equivalente de Thévenin visto a partir dos terminais a e b na Figura 105b A tensão de circuito aberto voc é υoc 10 cos 103t 100 100 25 8 cos 103t V Como não há fontes dependentes à vista determinamos Rth curtocircuitando a fonte independente e calculando a resistência da rede passiva e com isso Rth 25 10025 100 20 Ω Agora temos um circuito RL série com L 30 mH Rth 20 Ω e uma fonte de tensão de 8 cos 103t V conforme mostrado na Figura 105c Logo apli cando a Equação 4 que foi deduzida para um circuito RL série genérico iL 8 202 103 30 10 32 cos 103t tan 1 30 20 222 cos103t 563 mA As formas de onda de tensão e corrente são mostradas na Figura 106 p FIGURA 106 Formas de onda de tensão e corrente apresentadas em um gráfico com dois eixos verticais independentes gerado no MATLAB EDU t linspace08e31000 EDU v 8cos1000t EDU 0222cos1000t 563pi180 EDU plotyytvti EDU xlabeltime s Note no gráfico que não há uma diferença de fase de 90o entre as formas de onda de corrente e tensão Isto ocorre porque não estamos mostrando a tensão no indutor o que é deixado como exercício para o leitor Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 370 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 103 Faça υs 40 cos 8000t no circuito da Figura 107 Aplique o teorema de Thévenin onde ele for mais útil e determine em t 0 os valores de a iL b υL c iR d is Resposta 1871 mA 1597 V 532 mA 240 mA 103 A FUNÇÃO FORÇANTE COMPLEXA O método que acabamos de empregar funciona a resposta correta é obtida de uma maneira direta Porém ele não é muito elegante e após ter sido aplicado a alguns circuitos ele continua desajeitado e complicado quando se utiliza pela primeira vez O verdadeiro problema não é a fonte variável no tempo é o indutor ou capacitor já que um circuito puramente resis tivo não é mais difícil de analisar com fontes senoidais do que com fontes CC que tem como resultado apenas equações algébricas Acontece que se a resposta transitória não tem interesse para nós há um método alternativo para a obtenção da resposta em regime permanente senoidal de qualquer circuito linear A vantagem desta alternativa é que nos permite relacionar a corrente e a tensão associados a qualquer elemento usando uma simples expressão algébrica A ideia básica é que senoides e exponenciais são relacionadas por meio de números complexos A identidade de Euler por exemplo nos diz que e jθ cos θ j senθ Ainda que calculando a derivada de uma função cosseno obtémse uma função seno negativa a derivada de uma exponencial é sim plesmente uma versão proporcional da mesma exponencial Se neste momento o leitor está pensando Tudo isso é ótimo mas não há núme ros imaginários em qualquer circuito que pretendo construir Isso pode ser verdade O que estamos prestes a ver no entanto é que adicionando fontes imaginárias em nossos circuitos leva a fontes complexas que surpreendentemente simplifica o processo de análise Pode parecer uma ideia estranha num primeiro momento mas uma rápida reflexão deve nos lembrar que a superposição exige que qualquer fonte imaginária que acrescentarmos provocará respostas somente imaginárias e fontes reais só pode levar a respostas reais Assim a qualquer momento devemos ser capazes de separar as duas simplesmente tomando a parte real de qualquer tensão ou corrente complexa Na Figura 108 uma fonte senoidal Vm cosωt θ 5 está conectada a uma rede genérica a qual assumimos conter apenas ele mentos passivos isto é não há fontes independentes para simplificar as coisas A resposta de corrente em algum ramo da rede deve ser determina da e todos os parâmetros que aparecem na Equação 5 são reais iR 3 kV 100 mH 1 kV υs is iL υL p FIGURA 107 O Apêndice 5 define os números complexos e os termos relacionados apresenta uma revisão de aritmética complexa e desenvolve a identidade de Euler e a relação entre as formas exponencial e polar Seção 103 u A função forçante complexa 371 Im cos vt f Vm cos vt u N p FIGURA 108 A função forçante senoidal Vm cosωt θ produz a resposta Im cosωt ϕ no regime permanente senoidal Já mostramos que podemos representar a resposta por meio de uma função cosseno geral Im cosωt φ 6 Uma função forçante senoidal sempre produz uma resposta forçada senoidal de mesma frequência em um circuito linear Vamos agora mudar nossa referência de tempo deslocando a fase da função forçante em 90o ou mudando o instante que chamamos t 0 Com isso a função forçante Vm cosωt θ 90 Vm senωt θ 7 quando aplicada à mesma rede produz uma resposta dada por Im cosωt φ 90 Im senωt φ 8 Vamos agora deixar nossa realidade física de lado para aplicar uma função forçante imaginária que não existe no laboratório mas que pode ser aplicada matematicamente Fontes Imaginárias Levam a Respostas Imaginárias Podemos construir uma fonte imaginária de forma muito simples para isso basta multiplicar a Equação 7 por j o operador imaginário Assim aplicamos jVm senωt θ 9 Qual é a resposta Se tivéssemos dobrado o valor da fonte então o princípio da linearidade requereria que a resposta fosse dobrada a multi plicação da função forçante por uma constante k resultaria na multiplicação da resposta pela mesma constante k O fato de nossa constante ser igual a 1 não invalida essa relação A resposta à fonte imaginária da Equação 9 é portanto jIm senωt φ 10 As partes imaginárias da fonte e da resposta estão indicadas na Figura 109 jIm sen vt f jVm sen vt u N p FIGURA 109 A função forçante senoidal imaginária jVm senωt θ produz a resposta senoidal imaginária jIm senωt ϕ na rede da Figura 108 Engenheiros eletricistas usam j em vez de i na representação de 1 para evitar qualquer confusão com as correntes Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 372 Aplicando uma Função Forçante Complexa Aplicamos uma fonte real e obtivemos uma resposta real também aplica mos uma fonte imaginária e obtivemos uma resposta imaginária Como estamos lidando com um circuito linear podemos usar o teorema da superposição para obter a resposta de uma rede à aplicação de uma função forçante complexa dada pela soma das funções forçantes real e imaginária Portanto a soma das funções forçantes das Equações 5 e 9 Vm cosωt θ jVm senωt θ 11 deve produzir uma resposta que é a soma das Equações 6 e 10 Im cosωt φ jIm senωt φ 12 A fonte complexa e a resposta podem ser representadas mais simplesmen te com a aplicação da identidade de Euler que diz que cosωt θ j sen ωt θ e j ωt θ Logo a fonte da Equação 11 pode ser escrita como Vme jωt θ 13 e a resposta da Equação 12 é Ime jωt φ 14 A fonte complexa e a resposta estão ilustradas na Figura 1010 Ime j vt f Vme j vt u N p FIGURA 1010 A função forçante complexa Vme jωt θ produz a resposta complexa Ime jωt ϕ na rede da Figura 108 Novamente a linearidade nos assegura que a parte real da respos ta complexa é produzida pela parte real da função forçante complexa enquanto a parte imaginária da resposta é causada pela parte imaginária da função forçante complexa Nosso plano é em vez de aplicarmos uma função forçante real para obter a resposta real desejada utilizaremos em seu lugar uma função forçante complexa cuja parte real corresponde à função forçante real dada esperamos obter uma resposta complexa cuja parte real é a resposta real desejada A vantagem deste procedimento é a redução das equações íntegrodiferenciais que descrevem a resposta em regime perma nente senoidal de um circuito em simples equações algébricas Uma Alternativa Algébrica para as Equações Diferenciais Vamos testar esta ideia no circuito RL simples mostrado na Figura 1011 Aplicase a fonte real Vm cos ωt e desejase a resposta real it Como Vm cos ωt ReVm cos ωt jVm sen ωt ReVme jωt Seção 103 u A função forçante complexa 373 a fonte complexa necessária é Vme jωt Expressamos a resposta complexa resultante em termos de uma ampli tude Im desconhecida e de um ângulo de fase ϕ desconhecido Ime jωt φ Escrevendo a equação diferencial para esse circuito particular Ri L di dt υs inserimos nossas expressões complexas para υs e i RIme jωt φ L d dt Ime jωt φ Vme jωt calculamos a derivada indicada RIme jωt φ jωLIme jωt φ Vme jωt e obtemos uma equação algébrica Para determinar os valores de Im e ϕ dividimos tudo pelo termo comum ejωt RIme jφ jωLIme jφ Vm fatoramos o lado esquerdo Ime jφR jωL Vm rearranjamos Ime jφ Vm R jωL e identificamos Im e ϕ expressando o lado direito da equação na forma exponencial ou polar Ime jφ Vm R2 ω2L2 e j tan 1ωL R 15 Logo Im Vm R2 ω2L2 e φ tan 1 ωL R Em notação polar isto pode ser escrito como Im φ ou Vm R2 ω2L2 tan 1ωL R p FIGURA 1011 Um circuito simples em regime permanente senoidal é analisado pela aplicação de uma função forçante complexa i L R υs Vm cos vt Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 374 A resposta complexa é dada pela Equação 15 Como Im e ϕ são facil mente identificáveis podemos imediatamente escrever a expressão para it Entretanto se quisermos usar uma abordagem mais rigorosa podere mos obter a resposta real it reinserindo o fator ejωt em ambos os lados da Equação 15 e tirando a parte real De qualquer jeito obtemos it Im cosωt φ Vm R2 ω2L2 cos ωt tan 1 ωL R que concorda com a resposta obtida na Equação 4 para o mesmo circuito Para o circuito RC simples da Figura 1012a substitua por uma fonte complexa apropriada e usea para determinar a tensão no capacitor em regime permanente Como a fonte real é 3 cos 5t substituímos por uma fonte complexa 3e j5tV Vamos chamar a nova tensão no capacitor de vC2 e definir uma corrente no capacitor iC2 de acordo com a convenção de sinal passivo Figura 1012b A equação diferencial pode ser obtida agora por uma simples aplicação da LKT 3e j5t 1iC2 υC2 0 ou 3e j5t 2 dυC2 dt vC2 0 Prevemos uma resposta em regime permanente da mesma forma que a nossa fonte em outras palavras υC2 Vme j5t Substituindo vC2 em nossa equação diferencial e reorganizando os termos obtémse j10Vme j5t Vme j5t 3e j5t Cancelando o termo exponencial vemos que Vm 3 1 j10 3 1 102 tan 110 1 V e a tensão no capacitor em regime permanente é dada por ReυC2 Re2985e j843e j5t mV 2985 cos5t 843 mV u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 104 Avalie e expresse o resultado na forma retangular a 230o 5110o 1 j2 b 5200o 420o Avalie e expresse o resultado na forma polar c 2 j73 j d 8 j4 580o220o 105 Assumindo o uso da convenção de sinal passivo determine a a tensão que resulta da aplicação da corrente complexa 4ej800t A na combinação de um capacitor de 1 mF em série com um resistor de 2 Ω b a corrente que resulta da aplicação da tensão complexa 100ej2000t V na combina ção de um indutor de 10 mH em paralelo com um resistor de 50 Ω Resposta 104 214 j638 0940 j308 230556o 9431122o 105 943ej800t 320 V 539ej2000t 682 A u EXEMPLO 102 p FIGURA 1012 a Um circuito RC para o qual é pedido a tensão no capacitor em regime permanente senoidal b Circuito modificado com a fonte real substituída por uma fonte complexa υC 1 V 2 F 3 cos 5t V a υC2 1 V 2 F 3ej5t V b iC2 Se você tiver problemas ao trabalhar com estes exercícios de fixação dê uma olhada no Apêndice 5 Seção 104 u O fasor 375 104 O FASOR Na última seção vimos que a inclusão de uma fonte senoidal imaginária levou a equações algébricas que descrevem a resposta em regime permanen te senoidal de um circuito Uma etapa intermediária de nossa análise foi o cancelamento do termo complexo exponencial uma vez que sua derivada foi obtida aparentemente não havia mais utilidade para ela até o ponto em que se desejou obter a verdadeira forma da resposta Mesmo assim foi pos sível obter o módulo e o ângulo de fase diretamente a partir nossa análise e portanto ignorar a etapa onde seria calculada de forma evidente a parte real Outra maneira de enxergar isso consiste no fato de que cada tensão e corrente em nosso circuito contêm o mesmo fator ejωt e a frequência embora rele vante para a nossa análise não se altera à medida que percorremos o circuito Assim não é preciso perder tempo representando este parâmetro Observando novamente o Exemplo 102 poderíamos representar nossa fonte como 3e j0 V ou mesmo somente 3 V e nossa tensão no capacitor como Vm e jϕ que finalmente encontrada foi 002985ej843º V O conhecimento da frequência da fonte está implícito aqui sem ele somos incapazes de reconstruir qualquer tensão ou corrente Para que se consiga uma pequena redução de tempo e esforço estas grandezas complexas são normalmenteescritas na forma polar em vez da forma exponencial Por exemplo a fonte de tensão υt Vm cos ωt Vm cosωt 0 é representada agora na forma complexa como Vm 0 e a resposta de corrente it Im cosωt φ tornase Im φ Esta notação complexa abreviada é chamada de fasor1 Vamos agora revisar os passos que seguimos para transformar uma tensão ou corrente senoidal real em um fasor e então estaremos aptos a definir um fasor de forma mais consistente e a atribuir um símbolo para representálo Uma corrente senoidal real it Im cosωt φ é expressa como a parte real de uma grandeza complexa ao evocarmos a identidade de Euler it Re Ime jωt φ 1 Não confundilo com um phaser um dispositivo bastante interessante que aparece em uma popular série de televisão ej0 cos 0 j sen 0 1 Lembrese que nenhum dos circuitos em regime permanente que estamos considerando opera em uma frequência que não seja aquela da fonte de alimentação de forma que o valor de ω é sempre conhecido Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 376 Representamos então a corrente como uma grandeza complexa retiran do o operador Re e com isso adicionando uma componente de corrente imaginária sem afetar a sua parte real uma simplificação ainda maior é obtida suprimindose o fator ejωt I Ime jφ e escrevendose o resultado na forma polar I Im φ Esta representação complexa abreviada é a representação fasorial fasores são grandezas complexas e portanto são impressas em negrito Letras maiús culas são usadas na representação fasorial de uma grandeza elétrica porque o fasor não é uma função do tempo ele contém apenas informações a respeito da amplitude e da fase Reconhecemos este diferente ponto de vista ao chamar it de representação no domínio do tempo e o fasor I de representação no domínio da frequência Deve ser notado que a expressão de uma corrente ou tensão no domínio da frequência não contém a frequência de forma explícita O processo de retorno do domínio da frequência para o domínio do tempo é exatamente o inverso da sequência anterior Logo dada a tensão fasorial V 115 45 volts e sabendo que ω 500 rads podemos escrever diretamente o equivalente no domínio do tempo υt 115 cos500t 45 volts Se quisermos também podemos escrever vt como uma senoide υt 115 sen500t 45 volts u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 106 Assuma ω 2000 rads e t 1 ms Determine o valor instantâneo de cada uma das correntes aqui dadas na forma fasorial a j10 A b 20 j10 A c 20 j1020o A Resposta 909 A 1742 A 1544 A Transforme a tensão υt 100 cos400t 30o V do domínio do tempo para o domínio da frequência A expressão no domínio do tempo já está na forma de um cosseno com um ângulo de fase Com isso suprimindo ω 400 rads V 100 30 volts Note que pulamos vários passos ao escrever esta representação diretamente Ocasionalmente isto será uma fonte de confusão para os estudantes pois eles podem se esquecer de que a representação fasorial não é igual à tensão υt no domínio do tempo Em vez disso ela corresponde à representação sim plificada de uma função complexa formada pela adição de uma componente imaginária à função real υt O processo de transformação de it para I é chamado de transformação fasorial do domínio do tempo para o domínio da frequência it Im cos vt f it ReImejvt f I Ime jf I Im f u EXEMPLO 103 Seção 104 u O fasor 377 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 107 Transforme em fasores as seguintes funções do tempo a 5 sen580t 110o b 3 cos600t 5 sen600t 110o c 8 cos4t 30o 4 sen 4t 100o Dica Primeiro converta cada uma delas em uma única função cosseno com amplitude positiva Resposta 520o 2411348o 446479o O real poder da análise fasorial está no fato de ser possível definir relações algébricas entre a tensão e a corrente em indutores e capacitores do mesmo modo que sempre fizemos no caso dos resistores Agora que estamos aptos a fazer transformações entre o domínio do tempo e o domínio da frequência podemos seguir com a nossa simplificação da análise em regime permanente senoidal ao estabelecer a relação entre a tensão fasorial e a corrente fasorial para cada um dos três elementos passivos O Resistor O resistor corresponde ao caso mais simples No domínio do tempo con forme indicado na Figura 1013a temos a equação υt Rit Vamos agora aplicar a tensão complexa vt Vme jωt θ Vm cosωt θ jVm senωt θ 16 e assumir a resposta de corrente complexa it Ime jωt φ Im cosωt φ jIm senωt φ 17 de forma que Vme jωt θ Rit RIme jωt φ Dividindo tudo por ejωt obtemos Vme jθ RIme jφ ou na forma polar Vm RIm φ θ Mas Vm θ e Im ϕ representam tão somente a tensão fasorial V e a cor rente fasorial I Assim V RI 18 A relação tensãocorrente na forma fasorial para um resistor tem a mesma forma da relação entre a tensão e a corrente no domínio do tempo A equação do resistor na forma fasorial está ilustrada na Figura 1013b Os ângulos θ e ϕ são iguais pois tensão e corrente estão sempre em fase Como um exemplo do uso das relações no domínio do tempo e no domí nio da frequência vamos assumir que a tensão 8 cos100t 50o V esteja Por conveniência muitas identidades trigonométricas são fornecidas no final do livro na parte interna da capa p FIGURA 1013 Tensão e corrente associadas a um resistor a no domínio do tempo v Ri e b no domínio da frequência V RI i υ Ri a R I V RI b R A lei de Ohm é válida tanto no domínio do tempo quanto no domínio da frequência Em outras palavras a tensão em um resistor sempre é dada pela resistência vezes a corrente fluindo no elemento Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 378 aplicada nos terminais de um resistor de 4 Ω Trabalhando no domínio do tempo obtemos a corrente it υt R 2 cos100t 50 A A forma fasorial da mesma tensão é 850o V e portanto I V R 2 50 A Se transformarmos esta resposta de volta para o domínio do tempo é evidente que obteremos a mesma expressão para a corrente Concluímos portanto que não há economia de tempo ou esforço quando um circuito resistivo é analisado no domínio da frequência O Indutor Vamos agora voltar a nossa atenção para o indutor A sua representação no domínio do tempo é mostrada na Figura 1014a e a equação que a define uma expressão no domínio do tempo é υt L dit dt 19 Após substituir na Equação 19 a tensão complexa dada pela equação 16 e a corrente complexa da Equação 17 temos Vme jωt θ L d dt Ime jωt φ Calculando a derivada indicada Vme jωt θ jωLIme jωt φ e dividindo por ejωt Vme jθ jωLIme jφ obtemos a relação fasorial desejada V jωLI 20 A Equação diferencial no domínio do tempo 19 tornouse a Equação algébrica 20 no domínio da frequência A relação fasorial está indicada na Figura 1014b Note que o ângulo do fator jωL é exatamente 90o e que I deve portanto estar 90o atrasada da tensão V no indutor Aplique a tensão 850o V na frequência ω 100 rads no indutor de 4 H e determine a corrente fasorial e a corrente no domínio do tempo Fazemos uso da expressão que acabamos de obter para o indutor I V jωL 8 50 j1004 j002 50 1 90002 50 u EXEMPLO 104 p FIGURA 1014 Tensão e corrente associadas a um indutor a no domínio do tempo v L didt e b no domínio da frequência V jωLI di dt i υ L a L I V jvLI b L Seção 104 u O fasor 379 ou I 002 140 A Se expressarmos esta corrente no domínio do tempo ela se torna it 002 cos100t 140 A 20 cos100t 140 mA O Capacitor O último elemento a ser considerado é o capacitor A sua relação tensão corrente no domínio do tempo é it C dυt dt A expressão equivalente no domínio da frequência é novamente obtida fazendo com que vt e it sejam as grandezas complexas representadas nas Equações 16 e 17 calculando a derivada omitindo ejωt e reconhecendo os fasores V e I Fazendo isso obtemos I jωCV 21 Portanto I está 90o adiantada de V em um capacitor Isto é claro não quer dizer que a resposta de corrente apareça no circuito um quarto de perí odo mais cedo do que tensão que a causou Estamos estudando a resposta em regime permanente e vemos que o máximo da corrente é causado pela tensão crescente que antecede o máximo da tensão em 90o As representações nos domínios do tempo e da frequência são com paradas na Figura 1015a e b Agora temos as relações VI para os três elementos passivos Estas relações estão resumidas na Tabela 101 onde as expressões υi no domínio do tempo e as relações VI no domínio da frequência são mostradas em colunas adjacentes para os três elementos de circuito Todas as equações fasoriais são algébricas Elas também são lineares e as equações relacionadas à indutância e à capacitância são muito similares à lei de Ohm De fato elas serão utilizadas da mesma forma que usamos a lei de Ohm TABELA 101 u Comparação das Relações TensãoCorrente no Domínio do Tempo e no Domínio da Frequência R i υ L i υ C i υ R I V V V I I j L 1j C Domínio do Tempo Domínio da Frequência υ Ri V RI υ L di dt V jωLI υ 1 C i dt V 1 jωC I p FIGURA 1015 Relações entre a tensão e a corrente em um capacitor a no domínio do tempo e b no domínio da frequência i C υ a C dυ dt I jvCV V b C Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 380 Leis de Kirchhoff Usando Fasores A lei de Kirchhoff das tensões no domínio do tempo é υ1t υ2t υNt 0 Usamos agora a identidade de Euler para substituir cada tensão real υi por uma tensão complexa possuindo a mesma parte real dividimos tudo por ejωt e obtemos V1 V2 VN 0 Com isso vemos que a lei de Kirchhoff das tensões pode ser aplicada às tensões fasoriais da mesma forma que fizemos no domínio do tempo Com um argumento similar podese mostrar que a lei de Kirchhoff das correntes continua válida para as correntes fasoriais Vamos agora olhar rapidamente para o circuito RL série que já analisa mos várias vezes anteriormente O circuito está ilustrado na Figura 1016 e uma corrente fasorial e várias tensões fasoriais estão indicadas Podemos obter a resposta desejada uma corrente no domínio do tempo determinan do primeiramente a corrente fasorial Da lei de Kirchhoff das tensões VR VL Vs e usando as recém obtidas relações VI para os elementos temos RI jωLI Vs A corrente fasorial é então obtida em termos da tensão da fonte Vs I Vs R jωL Vamos atribuir à fonte uma amplitude Vm e um ângulo de fase de 0o Assim I Vm 0 R jωL Para transformar a corrente para o domínio do tempo primeiro a escre vemos na forma polar I Vm R2 ω2L2 tan1ωL R e então seguimos a sequência de passos que já conhecemos para obter de uma maneira muito simples o mesmo resultado que já havíamos obtido neste capítulo só que do jeito difícil Para o circuito RLC da Figura 1017 determine Is e ist se as fontes ope ram em ω 2 rads e IC 228o A O fato de que nos é dado IC e perguntado por Is é tudo o que levou a neces sidade de considerarmos a aplicação da LKC Se identificarmos a tensão no capacitor como VC de acordo com a convenção de sinal passivo então p FIGURA 1016 Circuito RL série com uma tensão fasorial aplicada VL VR Vs L R I u EXEMPLO 105 Seção 105 u Impedância e admitância 381 VC 1 jωC IC j 2 IC j 2 2 28 05 902 28 1 62 V Esta tensão também aparece sobre o resistor de 2 Ω de modo que a corrente IR2 que flui para baixo através desse ramo seja IR2 1 2VC 1 2 62 A então a LKC fornece Is IR2 IC 162o 1262o 3262o A Devemos notar que a soma dessas grandezas na forma polar era trivial uma vez que a corrente no resistor capacitor têm o mesmo ângulo ou seja estão em fase Assim com o valor de Is e sabendo o valor de ω nos permitem escrever ist diretamente ist 15 cos 2t 62 A u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 108 No circuito da Figura 1017 as fontes operam em ω 1 rads Se IC 228o A e IL 353o A Determine a Is b Vs c iRt Resposta a 22414o A b 611971o V 473 cost 312o A 105 IMPEDÂNCIA E ADMITÂNCIA As relações tensãocorrente para os três elementos passivos no domínio da frequência são assumindo que a convenção de sinal passivo seja satisfeita V RI V jωLI V I jωC Se estas equações forem escritas como relações entre as tensões e as correntes fasoriais V I R V I jωL V I 1 jωC vemos que estas relações são simples grandezas que dependem dos valores dos elementos e também da frequência no caso da indutância e da capaci tância Tratamos estas relações da mesma maneira que tratamos resistên cias desde que não esqueçamos que são grandezas complexas Vamos definir a razão entre a tensão fasorial e a corrente fasorial como uma impedância simbolizada pela letra Z A impedância é uma grandeza complexa medida em ohms A impedância não é um fasor e portanto não pode ser transformada para o domínio do tempo com a multiplicação por ejωt e a subsequente extração da parte real Ao invés disso pensamos no indutor como sendo representado por sua indutância L no domínio do tempo e no domínio da frequência por sua impedância jωL Um capacitor tem no domínio do tempo uma capacitância C no domínio da frequência ele possui uma impedância 1jωC A impedância faz parte do domínio da frequência não sendo um conceito que se estenda ao domínio do tempo u FIGURA 1017 Um circuito de três malhas As fontes operam com a mesma frequência ω IC IR2 IL 2 V 2 H 1 F 1 V Vs Is IR1 ZR R ZL j ωL ZC 1 j ωC Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 382 Combinações de Impedâncias em Série A validade das leis de Kirchhoff no domínio da frequência implica o fato de as impedâncias poderem ser combinadas em série e em paralelo de acordo com as mesmas regras que estabelecemos para as resistências Por exem plo se ω 10 103 rads um indutor de 5 mH em série com um capacitor de 100 µF pode ser trocado por uma única impedância que corresponde à soma das impedâncias individuais A impedância do indutor é ZL jωL j50 e a impedância do capacitor é ZC 1 jωC j ωC j1 A impedância da combinação de ambos em série é portanto Zeq ZL ZC j50 j1 j49 A impedância dos indutores e dos capacitores é uma função da frequên cia e esta impedância equivalente é portanto aplicável apenas na frequên cia específica na qual ela foi calculada ω 10000 rads Se mudarmos a frequência para ω 5000 rads por exemplo Zeq j23 Ω Combinação de Impedâncias em Paralelo A combinação do indutor de 5 mH e do capacitor de 100 µF em paralelo para ω 10000 rads é calculada exatamente da mesma maneira que fize mos para calcular resistências em paralelo Zeq j50 j1 j50 j1 50 j49 j1020 Em ω 5000 rads o equivalente do circuito em paralelo é j217 Ω Reatância É claro que podemos optar em expressar a impedância na forma retangular Z R jX ou na forma polar Z Zθ Na forma retangular podemos ver claramente a parte real que resulta apenas de resistências reais e uma componente imaginária chamada de reatância que surge a partir dos ele mentos armazenadores de energia Tanto a resistência quanto a reatância tem unidades em ohms mas a reatância sempre dependerá da frequência Um resistor ideal tem reatância zero um indutor ou capacitor ideal é puramente reativo ou seja caracterizados por resistência zero Pode uma combinação série ou paralelo incluir um capacitor e um indutor e ainda ter reatância nula Claro Considere a ligação em série de um resistor de 1 Ω um capacitor de 1 F um indutor de 1 H alimentados em ω 1 rads Z 1 j11 j11 1 Ω Nessa frequência em particular o equivalente é um simples resistor de 1Ω No entanto qualquer mudança no valor de ω 1 rads levará a uma reatância não nula Observe que Note that 1 j j Seção 105 u Impedância e admitância 383 Determine a impedância equivalente da rede mostrada na Figura 1018a que opera na frequência de 5 rads t FIGURA 1018 a Rede que deve ser substituída por uma única impedância equivalente b Os elementos são trocados por suas impedâncias em ω 5 rads 10 V 6 V a 500 mF 2 H 200 mF 10 V 6 V b j04 V j10 V j V Começamos convertendo os resistores os capacitores e o indutor em suas impedâncias equivalentes conforme ilustra a Figura 1018b Ao examinar a rede resultante observamos que a impedância de 6 Ω está em paralelo com j04 Ω Esta combinação é equivalente a 6 j04 6 j04 002655 j03982 que está em série com as impedâncias de j e j10 Ω de forma que temos 00265 j03982 j j10 002655 j8602 Esta nova impedância está em paralelo com 10 Ω e com isso a impedância equivalente da rede é 10 002655 j8602 10002655 j8602 10 002655 j8602 4255 j4929 Alternativamente podemos expressar a impedância na forma polar como 65114920o Ω u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 109 Com referência à rede mostrada na Figura 1019 determine a impedância Zent que seria medida entre os terminais a a e g b b e g c a e b t FIGURA 1019 10 V 20 mH 5 mH v 1000 rads 100 mF 200 mF a b g g Resposta 281 j449 Ω 1798 j1124 Ω 01124 j382 Ω u EXEMPLO 106 Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 384 É importante notar que a componente resistiva da impedância não é necessariamente igual à resistência do resistor que está presente na rede Por exemplo um resistor de 10 Ω e um indutor de 5 H em série com ω 4 rads possuem uma impedância equivalente Z 10 j20 Ω ou na forma polar 224 634o Ω Neste caso a componente resistiva da impedância é igual à resistência do resistor em série pelo fato de esta rede ser uma sim ples rede série Entretanto se os mesmos elementos forem conectados em paralelo a impedância equivalente é igual a 10j2010 j20 Ω ou 8 j4 Ω A componente resistiva da impedância é agora 8 Ω Determine a corrente it no circuito mostrado na Figura 1020a 15 kV 1 kV H a υst 40 sen 3000t V it 1 3 mF 1 6 15 kV 1 kV j1 kV j2 kV b I Vs 40 908 V p FIGURA 1020 a Circuito RLC no qual desejase obter a resposta forçada senoidal b O equivalente do circuito dado no domínio da frequência com ω 3000 rads f Identifique o objetivo do problema Precisamos determinar a corrente em regime permanente senoidal fluindo no resistor de 15 kΩ graças à fonte de tensão operando em 3000 rads f Reúna as informações conhecidas Começamos desenhando o circuito no domínio da frequência A fonte é transformada em uma representação no domínio da frequência igual a 4090o V a resposta no domínio da frequência é representada como I e as impedâncias do indutor e do capacitor determinadas em ω 3000 rads são j kΩ e j2 kΩ respectivamente O circuito correspondente no domínio da frequência está ilustrado na Figura 1020b f Trace um plano Analisaremos o circuito da Figura 1020b para obter I a combinação de impedâncias e o uso da lei de Ohm são uma abordagem possível Usaremos então o fato de sabermos que ω 3000 rads para converter I em uma expressão no domínio do tempo f Construa um conjunto apropriado de equações u EXEMPLO 107 Seção 105 u Impedância e admitância 385 Zeq 15 j1 2 j j 1 2 j 15 2 j 1 j 15 2 j 1 j 1 j 1 j 15 1 j3 2 2 j15 25 3687 k A corrente fasorial é então simplesmente I Vs Zeq f Determine se são necessárias informações adicionais Substituindo os valores conhecidos obtemos I 40 90 25 3687 mA que com o conhecimento de que ω 3000 rads é suficiente para se determinar it f Tente uma solução Esta expressão complexa é facilmente simplificada para um único núme ro complexo na forma polar I 40 25 90 3687 mA 1600 1269 mA Com a transformação da corrente para o domínio do tempo obtémse a resposta desejada it 16 cos3000t 1269 mA f Verifique a solução Ela é razoável ou esperada A impedância efetivamente conectada à rede tem um ângulo de 3687o o que indica um caráter indutivo global para o circuito ou em outras palavras que a corrente está atrasada da tensão Como a fonte de tensão tem um ângulo de fase de 90o assim que convertida para uma fonte em cosseno vemos que a nossa resposta é consistente u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1010 No circuito no domínio da frequência da Figura 1021 determine a I1 b I2 c I3 p FIGURA 1021 I2 I3 5 V 100 08 V j5 V j5 V I1 Resposta 21 Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 386 Antes de começarmos a escrever um diversas equações no domínio do tempo ou no domínio da frequência é muito importante que evitemos a construção de equações que estejam parcialmente no domínio do tempo parcialmente no domínio da frequência e completamente incorretas Uma pista de que um passo em falso desse tipo foi dado é a aparição de um número complexo e de t em uma mesma equação exceto pelo fator ejωt E como ejωt aparece muito mais em deduções do que em aplicações é bas tante seguro dizer que estudantes que pensam ter inventado uma equação contendo j e t ou e t criaram um monstro que seria melhor para o mundo se não existisse Por exemplo algumas equações atrás vimos que I Vs Zeq 40 90 25 369 16 1269 mA Por favor não tente nada do tipo it 40 sen 3000t 25 369 ou it 40 sen 3000t 2 j15 Admitância Embora o conceito de impedância seja muito útil e familiar levando em consideração nossa experiência com resistores existe uma grandeza também bastante usual porém pouco abordada Definimos esta grandeza como a admitância Y de um elemento de circuito ou rede passiva e ela é simplesmente a razão entre a corrente e a tensão A parte real da admitância é a condutância G e a parte imaginária da admitância é a susceptância B As três grandezas Y G e B são medidas em siemens A parte real da admitância é a condutância G e a parte imaginária da admitância é a susceptância B Então Y G jB 1 Z 1 R jX 22 A Equação 22 deve ser analisada com cuidado ela não diz que a parte real da admitância é igual ao inverso da parte real da impedância ou que a parte imaginária da admitância é igual ao inverso da parte imaginária da impedância u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1011 Determine a admitância na forma retangular de a uma impedância Z 1000 j400 Ω b uma rede consistindo na combinação em paralelo de um resistor de 800 Ω um indutor de 1 mH e um capacitor de 2 nF se ω 1 Mrads c uma rede consistindo na combinação em série de um resistor de 800 Ω um indutor de 1 mH e um capacitor de 2 nF se ω 1 Mrads Resposta 0862 j0345 mS 125 j1 mS 0899 j0562 mS YR 1 R YL 1 j ωL YC j ωC Existe um termo geral sem unidade para representar impedância e admitância imitância que é usado às vezes mas não com muita frequência Seção 106 u Análise nodal e de malha 387 106 ANÁLISE NODAL E DE MALHA Tivemos anteriormente um grande sucesso com a aplicação das técnicas de análise nodal e de malha e é portanto razoável perguntar se um pro cedimento similar seria válido em termos de fasores e impedâncias para o regime permanente senoidal Já sabemos que ambas as leis de Kirchhoff são válidas para os fasores também temos uma lei similar à lei de Ohm para os elementos passivos V ZI Em outras palavras as leis nas quais a análise nodal se baseia são válidas para os fasores e podemos portanto analisar circuitos em regime permanente senoidal empregando as técnicas nodais Usando argumentos similares podemos afirmar que as técnicas de análise de malha também são válidas e frequentemente úteis Determine as tensões υ1t e υ2t no domínio do tempo para o circuito mostrado na Figura 1022 05 908 A 10 V j5 V 5 V 08 A 1 j5 V V1 V2 j10 V j10 V p FIGURA 1022 Circuito no domínio da frequência no qual as tensões nodais V1 e V2 estão identificadas Duas fontes de corrente são dadas como fasores e as tensões fasoriais nodais V1 e V2 são indicadas No nó da esquerda aplicamos a LKC o que leva a V1 5 V1 j10 V1 V2 j5 V1 V2 j10 1 0 1 j0 No nó da direita V2 V1 j5 V2 V1 j10 V2 j5 V2 10 05 90 j05 Combinando termos em comum temos 02 j02V1 j01V2 1 e j01V1 01 j01V2 j05 Estas equações são resolvidas com muita facilidade pela maioria das calcula dores científicas resultando em V1 1 j2 V e V2 2 j4 V As soluções no domínio do tempo são obtidas a partir da representação de V1 e V2 na forma polar V1 224 634 V2 447 1166 u EXEMPLO 108 Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 388 Passando para o domínio do tempo υ1t 224 cosωt 634 V υ2t 447 cosωt 1166 V Note que o valor de ω deveria ser conhecido para que os valores de impedân cia indicados no diagrama do circuito pudessem ser computados Além disso ambas as fontes devem estar operando na mesma frequência u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1012 Use a análise nodal no circuito da Figura 1023 para determinar V1 e V2 t FIGURA 1023 V2 V1 50 908 mA 20 08 mA j50 mS j25 mS 40 mS Resposta 1062233o V 1593500o V Vamos agora ver um exemplo de análise de malha tendo em mente novamente que todas as fontes devem estar operando na mesma frequência Do contrário tornase impossível definir um valor numérico para qualquer reatância no circuito Conforme veremos na próxima seção a única manei ra de se resolver esse dilema é a aplicação da superposição Obtenha expressões para as correntes i1 e i2 no domínio do tempo para o circuito dado na Figura 1024a 3 V a 10 cos 103t V 2i1 4 mH 500 mF i2 i1 3 V I1 I2 b 10 08 V 2I1 j4 V j2 V u EXEMPLO 109 u FIGURA 1024 a Circuito no domínio do tempo contendo uma fonte dependente b Circuito correspondente no domínio da frequência Seção 107 u Superposição transformação de fontes e o teorema de Thévenin 389 Notando a partir da fonte da esquerda que ω 103 rads desenhamos o cir cuito no domínio da frequência ilustrado na Figura 1024b e assinalamos as correntes de malha I1 e I2 Em torno da malha 1 3I1 j4I1 I2 10 0 ou 3 j4I1 j4I2 10 enquanto a malha 2 leva a j4I2 I1 j2I2 2I1 0 ou 2 j4I1 j2I2 0 Resolvendo I1 14 j8 13 124 297 A I2 20 j30 13 277 563 A Portanto i1t 124 cos103t 297 A i2t 277 cos103t 563 A u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1013 Use a análise de malha no circuito da Figura 1025 para obter I1 e I2 Resposta 4871646o A 7171449o A 107 SUPERPOSIÇÃO TRANSFORMAÇÃO DE FONTES E O TEOREMA DE THÉVENIN Após a introdução dos indutores e dos capacitores no Capítulo 7 vimos que os circuitos contendo esses elementos ainda eram lineares e que os benefícios da linearidade continuavam disponíveis Incluídos nestes benefícios estavam o princípio da superposição os teoremas de Théve nin e de Norton e a transformação de fontes Com isso sabemos que estes métodos podem ser usados nos circuitos que estamos analisando agora tanto faz o fato de estarmos aplicando fontes senoidais e buscando apenas a resposta forçada Também tanto faz o fato de estarmos anali sando os circuitos em termos de fasores eles continuam sendo circuitos lineares Podemos também lembrar que linearidade e superposição foram usadas quando combinamos fontes reais e imaginárias para obter uma fonte complexa p FIGURA 1025 10 08 V I1 I2 15 908 V 20 08 V j5 V j4 V 3 V APLICAÇÃO FREQUÊNCIA DE CORTE DE UM AMPLIFICADOR TRANSISTORIZADO Amplificadores transistorizados fazem parte de mui tos equipamentos eletrônicos modernos Uma aplicação comum são os telefones celulares Figura 1026 onde sinais de áudio são superpostos a ondas portadoras de alta frequência Infelizmente transistores possuem capaci tâncias parasitas que levam a limitações nas frequências nas quais eles podem ser usados e este fato deve ser considerado quando da escolha de um transistor para uma aplicação em particular p FIGURA 1026 Amplificadores transistorizados são utilizados em muitos dispositivos incluindo telefones celulares Modelos lineares de circuito são frequentemente usados para analisar o seu desempenho em função da frequência PNCGetty ImagesRF A Figura 1027a mostra o que é comumente chamado de modelo π para altas frequências de um transistor de junção bipolar Na prática embora transistores sejam dispositivos não lineares este simples circuito linear consegue representar de forma bastante satisfatória o com portamento do dispositivo real Os dois capacitores Cπ e Cµ são usados para representar as capacitâncias internas que caracterizam o transistor específico que está sendo utilizado capacitores e resistores externos também podem ser adicionados para aumentar a precisão do modelo se necessário A Figura 1027b mostra o modelo de transis tor inserido em um circuito amplificador conhecido como amplificador emissor comum Assumindo um sinal em regime permanente senoidal representado por seu equivalente de Thévenin Vs e Rs estamos interessados na relação entre a tensão de saída Vsaída e a tensão de entrada Vent A presença das capa citâncias internas do transistor leva a uma redução na amplificação à medida que se aumenta a frequência de Vs isto acaba limitando as frequências nas quais o circuito opera corretamente Escrevendo uma única equação nodal na saída temos gmVπ Vsaída Vent 1 jωCμ Vsaída RC RL Resolvendo para Vsaída em termos de Vent e notando que Vπ Vent obtemos uma expressão para o ganho do amplificador Vsaída Vent gmRC RL1 jωCμ RC RL RC RL 1 jωCμ gmRC RL jωRC RLCμ 1 jωRC RLCμ Dados os valores típicos gm 30 mS RC RL 2 kΩ e Cµ 5 pF podemos traçar o módulo do ganho em fun ção da frequência lembrando que ω 2π f O gráfico semilogaritmo que traçamos está ilustrado na Figura 1028a e o código usado no MATLAB para gerar a figura é dado na Figura 1028b É interessante embora talvez não totalmente surpreendente ver que uma característica p FIGURA 1027 a Modelo πhíbrido de um transistor em alta frequência b Circuito amplificador emissor comum usando o modelo de transistor πhíbrido rp Cp a gmVp Cm Coletor Emissor Base Vp rp Cp b gmVp Cm Rs Vent Vsaída RB RC RL Vp Vs como o ganho do amplificador dependa da frequência De fato poderíamos pensar em usar tal circuito como um mecanismo para filtrar frequências nas quais não estamos interessados Entretanto pelo menos em frequências rela tivamente baixas vemos que o ganho é essencialmente independente da frequência de nossa fonte de entrada Na caracterização de amplificadores é comum fazer se referência à frequência na qual o ganho é reduzido para 12 vezes o seu valor máximo A partir da Figura 1028a vemos que o módulo do ganho máximo é igual a 30 e que este valor é reduzido para 302 21 em uma frequência de aproximadamente 30 MHz Esta fre quência é comumente chamada de frequência de corte do amplificador Se a sua operação em altas frequências for requerida devemos reduzir o efeito das capacitâncias internas isto é usar um diferente transistor ou fazer um novo projeto para o circuito Devemos notar neste ponto que a definição do ganho em relação a Vent não apresenta um quadro completo a respeito do comportamento dependente da frequência do amplificador Isto pode ficar mais claro se analisarmos rapidamente a capacitância Cπ à medi da que ω ZCπ 0 então Vent 0 Este efeito não se manifesta na equação simples que deduzimos Uma abordagem mais detalhada envolveria a dedução de uma equação para Vsaída em termos de Vs na qual ambas as capacitâncias aparecessem isto requereria um pouco mais de álgebra p FIGURA 1028 a Ganho do amplificador em função da frequência b Código usado no MATLAB para criar o gráfico Não mais amplificando efetivamente a EDU frequency logspace39100 EDU numerator 30e31000 ifrequency10005e12 EDU denominator 1 ifrequency10005e12 EDU for k 1100 gaink absnumeratorkdenominatork end EDU semilogxfrequency2pigain EDU xlabelFrequency Hz EDU ylabelGain EDU axis100 1e8 0 35 b Um comentário final deve ser feito Até este ponto restringimonos à consideração de circuitos com apenas uma fonte ou de circuitos com múlti plas fontes nos quais cada fonte operava exatamente na mesma frequência Isto é necessário para que a definição de valores específicos de impedân cia possa ser feita para os elementos indutivos e capacitivos Entretanto o conceito de análise fasorial pode ser facilmente estendido a circuitos com múltiplas fontes operando em frequências diferentes Em tais casos simplesmente empregamos a superposição para determinar as tensões e correntes associadas a cada uma das fontes e então somamos os resultados no domínio do tempo Se várias fontes operam em uma mesma frequên cia a superposição também nos permite considerálas simultaneamente somando a resposta resultante às respostas de fontes operando em uma frequência diferente Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 392 Use a superposição para determinar V1 no circuito da Figura 1022 que é reproduzido na Figura 1029a por conveniência p FIGURA 1029 a Circuito da Figura 1022 no qual desejase determinar V1 b a tensão V1 pode ser obtida com a superposição de duas diferentes respostas fasoriais 05 908 A 10 V j5 V 5 V 08 A 1 j5 V V1 V2 j10 V j10 V a Ref b 05 908 A 1 08 A 2 j4 V 4 j2 V V1 V2 j10 V Primeiro redesenhamos o circuito como indicado na Figura 1029b onde cada par de impedâncias em paralelo foi substituído por uma única impedância equivalente Isto é 5 j10 Ω é igual a 4 j2 Ω j10 j5 Ω é igual a j10 Ω e 10 j5 Ω é igual a 2 j4 Ω Para determinar V1 ativamos primeiramente apenas a fonte da esquerda e obtemos a resposta parcial V1L A fonte de 10o está em paralelo com uma impedância de 4 j2 j10 2 j4 de forma que V1L 1 0 4 j2 j10 2 j4 4 j2 j10 2 j4 4 j28 6 j8 2 j2 V Com apenas a fonte da direita ativa a divisão de corrente e a lei de Ohm fornecem V1R 05 90 2 j4 4 j2 j10 2 j4 4 j2 1 V Somando então V1 V1L V1R 2 j2 1 1 j2 V que concorda com nosso resultado prévio obtido no Exemplo 108 Conforme veremos a superposição também é extremamente útil quando lidamos com circuitos no quais nem todas as fontes operam na mesma frequência u EXEMPLO 1010 Seção 107 u Superposição transformação de fontes e o teorema de Thévenin 393 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1014 Se a superposição for utilizada no circuito da Figura 1030 determine V1 com a apenas a fonte de 200o mA operando b apenas a fonte de 5090o mA operando t FIGURA 1030 V2 V1 50 908 mA 20 08 mA j50 mS j25 mS 40 mS Resposta 01951 j0556 V 0780 j0976 V Determine o equivalente de Thévenin visto pela impedância de j10 Ω da Figura 1031a e useo para calcular V1 p FIGURA 1031 a Circuito da Figura 1029b Desejase obter o equivalente de Thévenin visto pela impedância de j10 Ω b Definese Voc c Definese Zth d O circuito é redesenhado usando o equivalente de Thévenin Ref a 05 908 A 1 08 A 2 j4 V 4 j2 V V1 V2 j10 V 1 08 A 05 908 A 4 j2 V 2 j4 V b Voc 4 j2 V 2 j4 V Zth c 6 j2 V 1 2 j10 V d Vth I1 A tensão em circuito aberto definida na Figura 1031b é Voc 1 04 j2 05 902 j4 4 j2 2 j1 6 j3 V u EXEMPLO 1011 Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 394 A impedância do circuito inativo da Figura 1031c vista a partir dos terminais da carga é simplesmente a soma das duas impedâncias restantes Portanto Zth 6 j2 Assim quando reconectamos o circuito na forma indicada na Figura 1031d a corrente circulando do nó 1 para o nó 2 através da carga de j10 Ω é I12 6 j3 6 j2 j10 06 j03 A Agora conhecemos a corrente fluindo através da impedância de j10 Ω da Figura 1031a Note que não podemos calcular V1 usando o circuito da Figura 1031d pois o nó de referência não existe mais Voltando ao circuito original então e subtraindo da fonte da esquerda a corrente 06 j03 A determinamos a corrente descendo o ramo de 4 j2 Ω I1 1 06 j03 04 j03 A e assim V1 04 j034 j2 1 j2 V como antes Poderíamos ter sido espertos e usado o teorema de Norton nos três elemen tos da direita na Figura 1031a assumindo que nosso interesse principal está em V1 Repetidas transformações de fontes também poderiam ter sido usadas para simplificar o circuito Assim todos os atalhos e truques que aprendemos nos Capítulos 4 e 5 também são válidos na análise de circuitos no domínio da frequência Está claro agora que a ligeira complexidade adicional que enfrentamos na análise de tais circuitos surge da necessida de de uso dos números complexos e não de considerações teóricas mais envolventes u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1015 No circuito da Figura 1032 determine a a tensão de circuito aberto Vab b a corrente de curtocircuito entre os terminais a e b c a impedância equivalente de Thévenin Zab em paralelo com a fonte de corrente p FIGURA 1032 10 V 3 308 A j5 V j5 V a b Resposta 1677334o V 260 j1500 A 25 j5 Ω Seção 107 u Superposição transformação de fontes e o teorema de Thévenin 395 Determine a potência dissipada pelo resistor de 10 Ω no circuito da Fi gura 1033a p FIGURA 1033 a Circuito simples com fontes operando em diferentes frequências b Circuito com a fonte da esquerda desativada c Circuito com a fonte da direita desativada a 10 V 5 cos 3t A 2 cos 5t A 02 F 05 F b 10 V j V j04 V 08 A 2 I9 j06667 V j1667 V c 10 V 08 A 5 I0 Após dar uma olhada no circuito podemos ficar tentados a escrever duas rápidas equações nodais ou talvez realizar duas transformações de fontes para em seguida obter a tensão no resistor de 10 Ω Infelizmente isto é impossível pois temos duas fontes operando em fre quências diferentes Em uma situação como essa não há como calcular a impedância de qualquer capacitor ou indutor no circuito que ω devería mos usar O emprego da superposição é a única maneira de se resolver este dilema e para isso devemos agrupar em um mesmo subcircuito todas as fontes operan do em uma mesma frequência como mostram as Figuras 1033b e c No subcircuito da Figura 1033b rapidamente calculamos a corrente I usan do a divisão de corrente I 2 0 j04 10 j j04 7923 8203 mA de forma que i 7923 cos5t 8203 mA u EXEMPLO 1012 Em estudos futuros de processamento de sinais também seremos apresentados ao método de JeanBatiste Joseph Fourier um matemático francês que desenvolveu uma técnica que permite a representação de praticamente qualquer função arbitrária por meio de uma combinação de senoides Ao trabalhar com circuitos lineares se conhecermos a resposta de um circuito particular frente a uma função forçante senoidal geral poderemos prever a resposta do circuito frente a uma forma de onda arbitrária representada por uma série de Fourier simplesmente usando a superposição Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 396 Da mesma forma vemos que I 5 0 j1667 10 j06667 j1667 8117 7686 mA e com isso i 8117 cos3t 7686 mA Deve ser frisado neste ponto que independentemente de quão tentados pos samos estar a somar as duas correntes fasoriais I e I nas Figuras 1033b e c isso estaria incorreto Nosso próximo passo é somar as duas correntes no domínio do tempo elevar o resultado ao quadrado e multiplicálo por 10 para obter a potência absorvida pelo resistor de 10 Ω no circuito da Figura 1033a p10 i i 2 10 107923 cos5t 8203 8117 cos3t 76862 μW u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1016 Determine a corrente i no resistor de 4 Ω da Figura 1034 t FIGURA 1034 3 H 1 H 4 V 4 cos 5t V 3 cos 2t V i Resposta i 1756 cos2t 2055o 5471 cos5t 4316o mA Dispomos de várias opções no PSpice para analisar circuitos no regime per manente senoidal Talvez a abordagem mais direta seja a utilização de duas fontes especialmente projetadas VAC e IAC A amplitude e a fase de cada uma dessas fontes é selecionada com um clique duplo sobre o símbolo do elemento Vamos simular o circuito da Figura 1020a redesenhado na Figura 1035 p FIGURA 1035 O circuito da Figura 1020a operando em ω 3000 rads Desejase a corrente no resistor de 15 kΩ u ANÁLISE AUXILIADA POR COMPUTADOR Seção 108 u Diagramas fasoriais 397 A frequência da fonte não é selecionada no editor de propriedades do ele mento mas sim na caixa de diálogo de análise de varredura ca Isto é feito escolhendose AC SweepNoise em Analysis quando estivermos na janela Simulation Settings Selecionamos uma varredura Linear e ajustamos Total Points para 1 Como estamos interessados na frequência de 3000 rads 4775 Hz entramos com o valor 4775 nos campos Start Frequency e End Frequency como mostra a Figura 1036 p FIGURA 1036 Caixa de diálogo para o ajuste da frequência da fonte Note que um componente adicional aparece no diagrama esquemático Este componente é chamado de IPRINT e permite que uma variedade de parâme tros correntes sejam impressos Nesta simulação estamos interessados nos atributos AC MAG e PHASE Para que o PSpice imprima estas variáveis dê um clique duplo no símbolo IPRINT no diagrama esquemático e entre yes nos campos apropriados Os resultados da simulação são obtidos com a seleção de View Output File no menu PSpice na janela de interface gráfica FREQ IMVPRINT1 IPVPRINT1 4775E02 1600E02 1269E02 Portanto a amplitude da corrente é 16 mA e o ângulo de fase é 1269o de forma que a corrente no resistor de 15 kΩ é i 16 cos3000t 1269 mA 16 sen 3000t 369 mA 108 DIAGRAMAS FASORIAIS Diagrama fasorial é o nome dado para um desenho no plano complexo que mostra as relações entre as tensões e as correntes fasoriais em um circuito específico Já estamos familiarizados com o uso do plano complexo na identificação gráfica dos números complexos e em sua adição e subtração Como tensões e correntes fasoriais são números complexos elas também podem ser representadas como pontos no plano complexo Por exemplo a Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 398 tensão fasorial V1 6 8j 1053o V é identificada no plano das tensões complexas mostrado na Figura 1037 O eixo x é o eixo das tensões reais e o eixo y é o eixo das tensões imaginárias a tensão V1 é definida por uma seta traçada a partir da origem Como a adição e a subtração são particularmen te fáceis de se fazer e mostrar em um plano complexo fasores podem ser facilmente somados e subtraídos em um diagrama fasorial Multiplicação e divisão resultam na adição e na subtração dos ângulos e em uma mudança na amplitude A Figura 1038a mostra a soma de V1 com uma segunda ten são fasorial V2 3 j4 5531o V e a Figura 1038b mostra a corrente I1 que corresponde à multiplicação de V1 pela admitância Y 1 j1S Este último diagrama fasorial mostra a corrente e a tensão fasorial no mesmo plano complexo subentendese que cada um desses fasores tem a sua própria escala de amplitudes mas uma escala de ângulos comum Por exemplo um fasor de tensão com 1 cm de comprimento pode representar uma tensão de 100 V enquanto um fasor de corrente com 1 cm de com primento poderia indicar 3 mA O desenho de ambos os fasores no mesmo diagrama permite que determinemos com facilidade qual forma de onda está adiantada e qual está atrasada O diagrama fasorial também oferece uma interpretação interessante para a transformação do domínio do tempo para o domínio da frequência pois ele pode ser interpretado tanto do ponto de vista do domínio do tempo quanto do domínio da frequência Até agora estivemos usando a interpre tação no domínio da frequência pois temos mostrado fasores diretamente no diagrama fasorial Entretanto vamos fazer uma análise do ponto de vista do domínio do tempo primeiramente mostrando a tensão fasorial V Vmα ilustrada na Figura 1039a Para transformar o fasor V para o domínio do tempo o próximo passo necessário é multiplicálo por ejωt com isso temos a tensão complexa Vmejαejωt Vmωt α esta tensão também pode ser interpretada como um fasor que nesse caso possui um ângulo crescendo linearmente com o tempo Em um diagrama fasorial isso representa um segmento de reta giratório com posição instantânea ωt radianos à frente de Vmα no sentido antihorário Tanto Vmα quanto Vmωt α são mos trados no diagrama fasorial da Figura 1039b A passagem para o domínio do tempo é então completada com a extração da parte real de Vmωt α A parte real desta grandeza complexa é a projeção de Vmωt α no eixo real Vm cosωt α p FIGURA 1038 a Diagrama fasorial mostrando a soma de V1 6 j8V com V2 3 j4 V V1 V2 9 j4 V 98524o V b O diagrama fasorial mostra V1 e I1 onde I1 YV1 e Y 1 j1S 245o S As escalas de amplitude da tensão e da corrente são diferentes p FIGURA 1037 Um simples diagrama fasorial mostrando o fasor de tensão V1 6 j8 10531o V Eixo imaginário V 6 j8 Eixo real V 10 5318 V1 I1 1 j1V1 2 458V1 V1 V2 V1 V2 a V1 b 458 p FIGURA 1039 a O fasor de tensão Vm α b A tensão complexa Vm ωt α é mostrada como um fasor em um instante de tempo específico Esse fasor está ωt radianos adiantado de Vm α a a Vm Vm a b a a Vm vt a vt a Vm vt Seção 108 u Diagramas fasoriais 399 Em resumo então o fasor no domínio da frequência aparece no dia grama fasorial e a sua transformação para o domínio do tempo é feita ao permitirse que o fasor gire no sentido antihorário com uma velocidade de ω rads e ao visualizarse a sua projeção no eixo real É útil pensar na seta que representa o fasor V no diagrama fasorial como uma fotografia tirada em ωt 0 de uma seta giratória cuja projeção no eixo real é a tensão instantânea vt Vamos agora construir o diagrama fasorial de vários circuitos simples O circuito RLC mostrado na Figura 1040a tem várias tensões associadas mas apenas uma corrente O diagrama fasorial é desenhado mais facilmen te empregandose o único fasor de corrente como o fasor de referência Vamos selecionar arbitrariamente I Im0o e colocálo no eixo real do dia grama fasorial conforme ilustrado na Figura 1040b As tensões no indutor no capacitor e no indutor podem então ser calculadas e colocadas no diagra ma onde as relações de fase de 90o aparecem claramente A soma das três tensões é a tensão da fonte e neste circuito que está em uma condição que definiremos em um capítulo subsequente como condição ressonante por que ZC ZL a tensão da fonte e a tensão no resistor são iguais Obtémse a tensão total nos conjuntos resistorindutor e resistorcapacitor no diagrama com a adição dos fasores apropriados conforme ilustrado A Figura 1041a é um simples circuito RC paralelo no qual é lógico usar a tensão entre os dois nós como referência Suponha V 10o V A corrente no resistor IR 020o A está em fase com a tensão e a corrente no capacitor IC j01 A está 90o adiantada da tensão de referência Com a representação destas duas correntes no diagrama fasorial o que é mostrado na Figura 1041b podese somálas para que se obtenha a corrente na fonte O resultado é Is 02 j01 A IR IC 5 V 50 mF Is V v 2000 rads a b Is 02 j01 A IC j01 A IR 02 A V 1 08 V p FIGURA 1041 a Circuito RC paralelo b O diagrama fasorial para esse circuito a tensão nodal V é utilizada como um fasor de referência conveniente Se a corrente na fonte for convenientemente especificada como 10o A e a tensão nodal não for conhecida inicialmente ainda assim é conveniente iniciar a construção do diagrama fasorial adotando como fasor de referên cia uma tensão nodal por exemplo V 10o de novo Completase então o diagrama como antes e a corrente que flui na fonte como resultado da tensão nodal assumida é novamente 02 j01 A A corrente real na fonte é igual a 10o A no entanto e com isso a tensão nodal real é obtida com a multiplicação da tensão nodal assumida por 10o02 j01 a tensão nodal real é portanto 4 j2 V 20266o V A tensão assumida leva a 10 V VC VL VR Vs j50 V j50 V a I VL VC VR Vs VR VL VR VC b I p FIGURA 1040 a Circuito RLC em série b O diagrama fasorial para este circuito a corrente I é usada como um fasor de referência conveniente Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 400 um diagrama fasorial que difere do fasor real apenas por um fator de escala o diagrama assumido é 120 vezes menor e de uma rotação angular o diagrama assumido está 266o deslocado no sentido antihorário A construção de diagramas fasoriais é normalmente muito simples e muitas análises em regime permanente senoidal farão mais sentido se diagramas como estes forem incluídos Exemplos adicionais do uso de diagramas fasoriais aparecerão com frequência no restante de nosso estudo Construa um diagrama fasorial mostrando IR IL e IC no circuito da Fi gura 1042 Combinando estas correntes determine o ângulo de avanço entre Is e os fasores IR IC e Ix Começamos escolhendo um fasor de referência apropriado Ao examinar o circuito e as variáveis a serem determinadas vemos que assim que V for conhecida IR IL e IC podem ser calculadas com a simples aplicação da lei de Ohm Com isso selecionamos V 10o V por uma questão de simplicidade e em seguida computamos IR 021 0 02 0 A IL j011 0 01 90 A IC j031 0 03 90 A O diagrama fasorial correspondente está mostrado na Figura 1043aTambém precisamos determinar as correntes fasoriais Is e Ix A Figura 1043b mostra a determinação de Ix IL IR 02 j01 0224266o A e a Figura 1043c mostra a determinação de Is IC Ix 028345o A A partir da Figura 1043c vemos que Is está 45o 45o e 45o 266 716o adiantada de IR IC e Ix respectivamente Estes ângulos são apenas relativos no entanto os valores numéricos exatos dependerão de Is0o V por conveniência também depende IL IC IR a IL IC IR Ix IL IR b IL Ix IC IR Is IC Ix c p FIGURA 1043 a Diagrama fasorial construído com a utilização do valor de referência V 10o b Determinação gráfica de Ix IL IR c Determinação gráfica de Is IC Ix u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1017 Selecione algum valor de referência conveniente para IC no circuito da Figura 1044 desenhe um diagrama fasorial mostrando VR V2 V1 e Vs e calcule a relação entre os comprimentos de a Vs e V1 b V1 e V2 c Vs e VR Resposta 190 100 212 u EXEMPLO 1013 V j03 S j01 S IL IC 02 S Is Ix IR p FIGURA 1042 Circuito simples em que várias correntes são requeridas 2 V 2 V VR V2 V1 IC Vs j2 V j1 V p FIGURA 1044 401 Resumo e revisão RESUMO E REVISÃO Este capítulo tratou da resposta de circuitos em regime permanente para excitação senoidal Esta é uma análise limitada de um circuito em alguns aspectos já que o comportamento transitório é completamente ignorado Em muitas situações uma abordagem deste tipo é mais que suficiente e ao redu zir a quantidade de informações que procuramos sobre um circuito agiliza a análise consideravelmente A ideia fundamental por trás do que fizemos foi que uma fonte imaginária foi adicionada a cada fonte senoidal real então a identidade de Euler converteu a fonte para uma exponencial complexa Como a derivada de uma função exponencial resulta simplesmente em outra exponencial as eventuais equações integrais e diferenciais provenientes das análises de malhas e nodal se tornariam equações algébricas Alguns novos termos foram introduzidos atrasado adiantado impe dância admitância e um particularmente importante o fasor As relações fasoriais entre a corrente e a tensão deu origem ao conceito de impedância onde resistores são representados por um número real resistência como anteriormente e indutores são representados por Z jωL enquanto os capacitores são representados por jω C sendo ω a frequência de opera ção de nossas fontes A partir de agora podemos aplicar todas as técnicas de análise de circuitos aprendidas entre os Capítulos 3 a 5 Pode parecer estranho ter um número imaginário como parte da nossa solução mas descobrimos que a recuperação da solução no domínio do tempo para nossa análise é direta uma vez que a tensão ou corrente é expressa na forma polar O módulo de nossa grandeza de interesse é módu lo da função cosseno o ângulo de fase é a fase do cosseno e a frequência é obtida a partir do circuito original ele desaparece de vista durante a análise mas os circuitos que estamos analisando não muda de qualquer maneira Concluímos o capítulo com uma introdução ao conceito de diagramas fasoriais Quando não era tão comum o uso das calculadoras científicas tais ferramentas eram indispensáveis na análise de muitos circuitos senoidais Eles ainda são bastante utilizados na análise de sistemas de potência em CA como veremos nos próximos capítulos Uma lista sucinta de conceitos chave do capítulo é apresentada a seguir para a conveniência do leitor juntamente com os números do exemplo correspondente f Se duas senoides ou duas cossenoides possuem amplitudes positivas e frequências iguais é possível determinar qual delas está adiantada e qual delas está atrasada com a comparação de seus ângulos de fase f A resposta forçada de um circuito linear a fontes de corrente ou tensão senoidais sempre pode ser escrita em termos de uma única senoide com a mesma frequência da fonte senoidal Exemplo 101 f Um fasor é composto por um módulo e um ângulo de fase a sua frequência é idêntica à frequência da fonte senoidal que alimenta o circuito Exemplo 102 f Uma transformação fasorial pode ser feita em qualquer função senoidal e viceversa Vm cosωt ϕ Vmϕ Exemplo 103 Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 402 f Ao transformarse um circuito no domínio do tempo para o seu correspondente no domínio da frequência resistores capacitores e indutores são substituídos por impedâncias ou ocasionalmente por admitâncias Exemplos 104 106 A impedância de um resistor é simplesmente a sua resistência A impedância de um capacitor é 1jωC Ω A impedância de um indutor é jωL Ω f Impedâncias são combinadas em série e em paralelo da mesma forma que resistores Exemplo 106 f Com a substituição dos elementos por seus equivalentes no domínio da frequência todas as técnicas de análise previamente utilizadas em circuitos resistivos podem ser aplicadas em circuitos com capacito res eou indutores Exemplos 105 107 108 109 1010 1011 f A análise fasorial só pode ser aplicada em circuitos operando em uma frequência única Do contrário a superposição deve ser utiliza da e as respostas parciais no domínio do tempo podem ser somadas para que se obtenha a resposta completa Exemplo 1012 f A força dos diagramas fasoriais fica evidente quando se utiliza uma função forçante conveniente no início da análise e o resultado final pode ser obtido com um ajuste de escala apropriado Exemplo 1013 LEITURA COMPLEMENTAR Uma boa referência para técnicas de análise baseadas em fasores pode ser encontrada em R A DeCarlo e P M Lin Linear Circuit Analysis 2a ed New York Oxford University Press 2001 Modelos de transistores dependentes da frequência são discutidos em uma perspectiva de fasores no Capítulo 7 de W H Hayt Jr e G W Neudeck Electronic Circuit Analysis and Design 2a ed New York Wiley 1995 EXERCÍCIOS 101 Características das Senoides 1 Avalie a 5 sen 5t 9º em t 0 001 e 01 s b 4 cos 2t e 4 sen 2t 90º em t 0 1 e 15 s c 32 cos 6t 15º e 32 sen 6t 105º em t 0 001 e 01 s 2 a Expresse cada uma das seguintes funções como uma única função cosseno 5 sen 300t 195 sen πt 92º 27 sen 50t 5º 10 cos 50t b Expresse cada uma das seguintes funções como uma única função seno 66 cos 9t 10º 415 cos 10t 10 cos 100t 9º 10 sen 100t 19º Exercícios 403 3 Determine o ângulo pelo qual υ1 está adiantado de i1 se υ1 10 cos 10t 45º e i1 é igual a a 5 cos 10t b 5 cos 10t 80º c 5 cos 10t 40º d 5 cos 10t 40º e 5 sen 10t 19º 4 Determine o ângulo no qual v1 está defasado de i1 se υ1 34 cos 10t 125º e i1 é igual a a 5 cos 10t b 5 cos 10t 80º c 5 cos 10t 40º d 5 cos 10t 40º e 5 sen 10t 19º 5 Determine qual forma de onda está atrasada em cada um dos seguintes pares a cos 4t sen 4t b cos 4t 80º cos 4t c cos 4t 80º cos 4t d sen 5t cos 5t 2º e sen 5t cos 5t cos 5t 45º 6 Calcule os três primeiros instantes no tempo t 0 para que as seguintes fun ções sejam zero convertendo primeiro a uma única senoide a cos 3t 7 sen 3t b cos 10t 45º c cos 5t sen 5t d cos 2t sen 2t cos 5t sen 5t 7 a determine os dois primeiros instantes no tempo t 0 para o qual cada uma das funções do Exercício 6 são iguais a 1 convertendo primeiro a uma única senoide b Verifique suas respostas traçando cada forma de onda usando um aplicativo computacional adequado para esta finalidade 8 O conceito da série de Fourier é um meio poderoso de analisar formas de ondas periódicas em termos de senoides Por exemplo a onda triangular na Figura 1045 pode ser representada pela soma infinita υt 8 π 2 senπt 1 32 sen 3πt 1 52 sen 5πt 1 72 sen 7πt onde na prática os primeiros termos podem proporcionar uma aproximação bastante precisa a Calcule o valor exato de υt no instante t 025 s primeiro obtendo uma equação para o segmento correspondente da forma de onda b Calcule o valor aproximado em t 025 s utilizando apenas o primeiro termo da série de Fourier c Repita o item b usando os três primeiros termos d Faça o gráfico de υt usando apenas o primeiro termo e Faça o gráfico de υt usando apenas os dois primeiros termos f Faça o gráfico de υt usando apenas os três primeiros termos 1 1 1 2 3 υt V t s t FIGURA 1045 9 A tensão elétrica fornecida nas tomadas de nossas casas é tipicamente especifi cada como 127 V e 220 V No entanto estes valores não representam a tensão de pico CA mas representam o que é conhecido como valor eficaz rms da tensão definido como Vrms 1 T T 0 V 2m cos2ωt dt onde T período da forma de onda Vm é a tensão de pico e o ω frequência da forma de onda f 60 Hz no Brasil a Calcule a integral indicada e mostre que para uma tensão senoidal Vrms Vm 2 b Calcule as tensões de pico correspondentes às tensões eficazes de 127 V e 220 V Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 404 102 Resposta Forçada a Funções Senoidais 10 Se a fonte υs na Figura 1046 é igual a 453 cos 0333 103t 30º V a obtenha is iL e iR em t 0 assumindo que não há mais transitórios existentes b obtenha uma expressão para vLt em termos de uma única senoide válida para t 0 novamente assumindo que não há presença de transitórios 11 Considerando que não há mais quaisquer transitórios existentes determine a corren te iL no circuito da Figura 1047 Expresse sua resposta como uma única senoide iL 1 V 2 V 10 mH 1 V 25 cos 100t A t FIGURA 1047 12 Calcule a potência dissipada no resistor de 2 Ω da Figura 1047 assumindo que não há presença de transitórios Expresse sua resposta em termos de uma única função senoidal 13 Obtenha uma expressão para vC na Figura 1048 em termos de uma única fun ção senoidal Você pode assumir que todos os transitórios extinguiramse muito antes de t 0 14 Calcule a energia armazenada no capacitor do circuito representado na Figura 1048 em t 10 ms e t 40 ms 15 Obtenha uma expressão para a energia dissipada no resistor de 10 Ω da Figura 1049 assumindo que não há presença de transitórios iL 10 V cos 6t A 05 H 02iL t FIGURA 1049 103 A Função Forçante Complexa 16 Expresse os números complexos na forma retangular a 5075o b 19ej30º 2530o 0545o Converta para a forma polar c 2 j2 2 j2 d 2 j2 522o 17 Expresse na forma polar a 2 ej35º b jjj c 1 Expresse na forma retangular d 2 ej35º e j9 555o 18 Obtenha os valores das expressões a seguir e expresse a sua resposta na forma polar a 48 j8 b 4 5 2 15 c 2 j9 5 0 d j 10 5 j 3 40 2 e 10 j5 10 j5 3 40 2 19 Obtenha os valores das expressões a seguir e expresse a sua resposta na forma retangular a 3 3 30 b 2 25 5 10 c 12 j90 5 30 d 10 5 j 8 j 2 60 1 e 10 5 j 10 5 j 3 40 2 iR 1 V 3 mH 10 V υs is iL υL p FIGURA 1046 υC 15 V 2 mF 3 cos 40t V p FIGURA 1048 Exercícios 405 20 Realize as operações indicadas e expresse as respostas nas formas retangular e polar a 2 j3 1 8 90 4 b 10 25 5 10 3 15 3 j5 j2 c 1 j1 j 1 0 j 3 90 j 5 45 21 Insira uma fonte complexa adequada no circuito representado na Figura 1050 e utilizea para determinar as expressões em regime permanente para iCt e υCt 22 Para o circuito da Figura 1051 se is 5 cos 10t A utilize a substituição por uma fonte complexa para obter uma expressão em regime permanente para iLt t FIGURA 1051 iL 04 H is 2 V 23 No circuito representado na Figura 1051 o resistor de 2 Ω é substituído por um resistor de 20 Ω fazendo com que is seja modificado Se iLt 625 313º mA determine is 24 Empregue uma fonte complexa apropriada para determinar a corrente iL em regime permanente no circuito da Figura 1052 t FIGURA 1052 iL 6 V 001 F 04 H 5 sen 35t 108 V 104 O Fasor 25 Transforme para a forma fasorial a 75928 cos 1101t b 5 cos 55t 42º c sen 8000t 14º d 3 cos 10t 8 cos10t 80º 26 Transforme para a forma fasorial a 11 sen 100t b 11 cos 100t c 11 cos100t 90º d 3 cos 100t 3 sen 100t 27 Assumindo uma frequência de operação de 1 kHz transforme as expressões fasoriais para uma única função cosseno no domínio do tempo a 965o V b 2 31 4 25 A c 22 14 8 33 V 28 As seguintes tensões complexas são escritas em uma combinação da forma retangular e polar Reescrever cada uma usando a notação convencional de fasor isto é módulo e ângulo a 2 j 5 45 V b 6 20 1000 jV c j525 90 V 29 Assumindo uma frequência de operação de 50 Hz calcule a tensão instantânea em t 10 ms e t 25 ms para cada uma das grandezas representadas no Exer cício 26 p FIGURA 1050 υC 5 V 130 mF 5 sen 20t V iC Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 406 30 Assumindo uma frequência de operação de 50 Hz calcule a tensão instantânea em t 10 ms e t 25 ms para cada uma das grandezas representadas no Exer cício 27 31 Assumindo a convenção de sinal passivo e uma frequência de operação de 5 rads calcule tensão fasorial nos terminais dos seguintes componentes quando alimentados por uma corrente fasorial I 20o mA a um resistor de 1 kΩ b um capacitor de 1 mF c um indutor de 1 nH 32 a Uma ligação em série é formada entre um resistor de 1 Ω um capacitor de 1 F e um indutor de 1 H nessa ordem Supondo a operação em ω 1 rads quais são o módulo e ângulo de fase da corrente fasorial que produz uma tensão de 130o V nos terminais do resistor assumir a convenção de sinal passivo b Calcule a relação entre a tensão fasorial no resistor a tensão fasorial que aparece na combinação capacitor indutor c A frequência é dobrada Calcule a nova relação entre a tensão fasorial no resistor a tensão fasorial que aparece na combinação capacitor indutor 33 Assumindo a convenção de sinal passivo e uma frequência de operação de 314 rads calcule a tensão fasorial V que surge em cada um dos seguintes elementos quando supridos pela corrente fasorial I 100o mA a um resistor de 2 Ω b um capacitor de 1 F c um indutor de 1 H d um resistor de 2 Ω em série com um capacitor de 1 F e um resistor de 2 Ω em série com um indutor 1 H f Calcule o valor instantâneo de cada tensão encontrada nos itens de a a e em t 0 34 No circuito da Figura 1053 o qual é mostrado no domínio fasorial frequên cia I10 é igual a 242o mA Se V 40132o mV a qual é o provável tipo de elemento conectado à direita do resistor de 10 Ω e b que é seu valor conside rando que a fonte de tensão opera numa frequência de 1000 rads I 25 V 10 V Vs V I10 t FIGURA 1053 35 O circuito da Figura 1053 é mostrado no domínio fasorial frequência Se I10 435º A V 1035º e I 235º A a em qual tipo de elemento surge a tensão V e qual é o seu valor b Determine o valor de Vs 105 Impedância e Admitância 36 a obtenha uma expressão para a impedância equivalente Zeq de um resistor de 1 Ω em série com uma indutância de 10 mH como função de ω b Faça o gráfico do módulo de Zeq em função de ω no intervalo de 1 ω 100 krads use uma escala logarítmica para o eixo da frequência c Faça o gráfico do ângulo em graus de Zeq em função de ω no intervalo de 1 ω 100 krads usar uma escala logarítmica para eixo da frequência Dica No MATLAB semilogx é uma função útil para traçar o gráfico de funções 37 Considerando uma frequência de operação de 20 rads determine a impedância equivalente para a 1 kΩ em série com 1 mF b 1 kΩ em paralelo com 1 mH c 1 kΩ em paralelo com a combinação em série de 1 F e 1 H 38 a obtenha uma expressão para a impedância equivalente Zeq de um resistor de 1 Ω em série com um capacitor de 10 mF em função de ω b Faça o gráfico do módulo do Zeq como função de ω no intervalo de 1 ω 100 krads use uma escala logarítmica para o eixo de frequência c Faça o gráfico do ângulo Exercícios 407 em graus de Zeq em função de ω no intervalo de 1 ω 100 krads use uma escala logarítmica para o eixo da frequência Dica No MATLAB semilogx é para traçar o gráfico de funções 39 Considerando uma frequência de operação de 1000 rads determine a admitân cia equivalente para a 25 Ω em série com 20 mH b 25 Ω em paralelo com 20 mH c 25 Ω em paralelo com 20 mH em paralelo com 20 mF d 1 Ω em série com 1 F em série com 1 H e 1 Ω em paralelo com 1 F em paralelo com 1 H 40 Considere o circuito da Figura 1054 e determine a impedância equivalente vista a partir dos terminais abertos se a ω 1 rads b ω 10 rads c ω 100 rads 41 Troque o capacitor e o indutor no circuito mostrado na Figura 1054 e calcule a impedância equivalente vista a partir dos terminais abertos se ω 25 rads 42 Determine V na Figura 1055 se a caixa contiver a 3 Ω em série com 2 mH b 3 Ω em série com 125 μF c 3 Ω 2 mH e 125 μF em série d 3 Ω 2 mH e 125 μF em série mas ω 4 krads 43 Calcule a impedância equivalente vista nos terminais abertos da rede mostrado na Figura 1056 se f é igual a a 1 Hz b 1 kHz c 1 MHz d 1 GHz e 1 THz 60 V 60 V 60 V 10 mH 30 mF a b t FIGURA 1056 44 Empregue a análise fasorial para obter uma expressão para it no circuito da Figura 1057 1 mF 20 mH 4 cos 100t 208 A it 5 V 2 V p FIGURA 1057 45 Projete uma combinação adequada de resistores capacitores eou indutores que tem uma impedância equivalente em ω 100 rads de a 1 Ω usando pelo menos um indutor b 710º Ω c 3 j4 Ω 46 Projete uma combinação adequada de resistores capacitores eou indutores que tem uma admitância equivalente em ω 10 rads de a 1 S usando pelo menos um capacitor b 1218º S c 2 j mS 106 Análise Nodal e de Malha 47 Para o circuito ilustrado na Figura 1058 a represente todos os elementos existentes no circuito na forma fasorial b empregue a análise nodal para determinar as duas tensões nodais v1t e v2t 25 V 55 V 20 mH 20 V 10 mF p FIGURA 1054 3 208 A v 2 krads V p FIGURA 1055 Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 408 2 V 10 mH 5 V 3 V 22 mF 47 mF υ1t υ2t 3 cos 100t 628 A 2 cos 80t A u FIGURA 1058 48 Para o circuito da Figura 1059 a represente todos os elementos existentes no circuito e as impedâncias na forma fasorial b determine as expressões para as três correntes de malha no domínio do tempo 15 cos 10t 428 mA 25 cos 10t mA 100 mH 220 mF 2 V υ1t υ2t t FIGURA 1059 49 Referindose ao circuito da Figura 1059 empregue as técnicas de análise com base em fasores para determinar as duas tensões nodais 50 No circuito no domínio fasorial representado pela Figura 1060 assuma V1 1080º V V2 40º V e V3 223º V Calcule I1 e I2 51 Em relação ao circuito no domínio fasorial de duas malhas representado na Figura 1060 calcule relação entre I1 e I2 se V1 30º V V2 55130º V e V3 1517º V 52 Empregue as técnicas de análise fasorial para obter as expressões para as duas correntes de malha i1 e i2 mostradas na Figura 1061 t FIGURA 1061 2 V 25 cos 10t 98 V 5i1 1 H 330 mF i2 i1 53 Determine IB no circuito da Figura 1062 se I1 518º A e I2 25º A t FIGURA 1062 j2 V j38 V j4 V 2 V 1 V V2 I2 I1 IB 54 Determine V2 no circuito da Figura 1062 se I1 150º A e I2 25131º A 55 Empregue a análise fasorial para obter uma expressão para υx no circuito da Figura 1063 p FIGURA 1060 I1 V1 I2 V2 V3 j30 V 55 V j20 V p FIGURA 1063 υx ix 2 V 47 V 2 V 1 V 4 cos 20t V 100 mH 890 mF Exercícios 409 56 Determine a corrente ix no circuito da Figura 1063 57 Obtenha uma expressão para cada uma das quatro correntes de malha no senti do horário para o circuito da Figura 1064 se υ1 133 cos 14t 77º V e υ2 55 cos 14t 22º V 28 mH 32 mH 100 mF Ref 04 V 08 V 06 V υ1 υ2 t FIGURA 1064 58 Determine as tensões nodais para o circuito da Figura 1064 utilizando o nó inferior como o nó de referência se υ1 0009 cos 500t 05 V e υ2 0004 cos 500t 15ºV 59 O amplificador operacional mostrado na Figura 1065 possui uma impedância de entrada infinita impedância de saída nula e o ganho A VoVi elevado porém finito real positivo a Construa um diferenciador básico fazendo Zf Rf determine VoVs e em seguida mostre que VoVs jωC1Rf à medida que A b Assuma que Zf represente Cf e Rf em paralelo encontre VoVs e então mostre que VoVs jωC1Rf 1 jωCf Rf a medida que A 60 Obtenha uma expressão para cada uma das quatro correntes de malha indicadas no circuito da Figura 1066 t FIGURA 1066 0005i1 70 mH 250 mF 250 mF 9 cos 20t V 9 sen 20t V 3 V 5 V i1 i2 i3 i4 107 Superposição Transformação de Fontes e Teorema de Thévenin 61 Determine a contribuição que cada fonte de corrente faz para as duas tensões nodais V1 e V2 conforme representado na Figura 1067 p FIGURA 1067 3 kV j2 kV j8 kV j5 kV j3 kV 3 kV V1 V2 3 418 mA 5 138 mA p FIGURA 1065 Vo Vi C1 Zf Vs Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 410 62 Determine V1 e V2 na Figura 1068 se I1 333º mA e I2 5191º mA 63 O circuito no domínio fasorial da Figura 1068 foi elaborado considerando uma frequência de operação de 25 rads Infelizmente o fabricante instalou as fon tes erradas cada uma operando em uma frequência diferente Se i1t 4 cos 40t mA e i2t 4 sen 30t mA calcule υ1t e υ2t 64 Obtenha o equivalente de Thévenin visto pela impedância 2 j Ω da Figura 1069 e utilizeo para determinar a corrente I1 Ref j2 V V1 V2 2 j V 15 248 A 2 388 A 4 V 108 I1 t FIGURA 1069 65 A impedância de 2 j Ω no circuito da Figura 1069 é substituída por uma impedância de 1 j Ω Faça uma transformação de fonte em cada fonte sim plificando o circuito o tanto quanto possível e calcule a corrente que circula pela impedância de 1 j Ω 66 Em relação ao circuito mostrado na Figura 1070 a calcule do equivalente de Thévenin visto a partir dos terminais a e b b determine o equivalente de Norton visto a partir dos terminais a e b c calcule a corrente que flui de a para b se uma impedância de 7 j2 Ω é colocada entre eles t FIGURA 1070 12 V 22 308 A j10 V j34 V a b 67 No circuito da Figura 1071 is1 8 cos 4t 9º mA is2 5 cos 4t e υs3 2 sen 4t a Redesenhe o circuito no domínio fasorial b reduzir o circuito para uma fonte de corrente única com o auxílio de transformações de fonte c calcule vLt d Verifique sua solução com uma simulação apropriada no PSpice 68 Determine a contribuição individual de cada fonte na Figura 1072 para a tensão v1 t t FIGURA 1072 i1 1 V 2 V 50 mF 50 mH 21 cos 20t V 3 sen 20t A υ1 69 Determine a potência dissipada pelo resistor de 1 Ω no circuito da Figura 1073 Verifique sua solução com uma apropriada simulação no PSpice V2 I2 I1 V1 j3 V j5 V 2 V p FIGURA 1068 p FIGURA 1071 υL 1 V 5 mH υs3 is2 is1 Exercícios 411 t FIGURA 1073 15 mF 25 mF 1 V 5 V 5 cos 20t A 110 cos 20t V 70 Use ω 1 rads e encontre o equivalente de Norton da rede mostrada na Figura 1074 Construa o equivalente de Norton como uma fonte de corrente em para lelo com um resistor RN e uma indutância LN ou a capacitância CN 108 Diagramas fasoriais 71 A fonte Is no circuito da Figura 1075 é escolhida de tal modo que V 5120º V a Construa um diagrama fasorial mostrando IR IL e IC b Use o diagrama para determinar o ângulo pelo qual Is está adiantado de IR IC e Is t FIGURA 1075 j10 S j2 S 1 S IC IL Is V Ix IR 72 Seja V1 1000º V V2 140 V e V1 V2 120 V Use o método gráfico para encontrar dois possíveis valores para o ângulo de V2 73 a Calcule os valores de IL IR IC VL VR e VC para o circuito mostrado na Figura 1076 b Usando as escalas de 50 V por cm e de 25 A por cm mostre as sete grandezas indicadas no circuito num diagrama fasorial e mostre que IL IR IC e VS VL VR t FIGURA 1076 IC IR 2 V VR VC Vs 100 08 V IL j25 V j1 V VL 74 No circuito da Figura 1077 a encontre os valores para I1 I2 e I3 b mostre Vs I1 I2 e I3 em um diagrama fasorial escalas de 50 Vcm e 2 Acm ficarão ótimas c Encontre Is graficamente e indique seu módulo e ângulo de fase p FIGURA 1077 I1 I2 Is I3 30 V 50 V j40 V j30 V 40 308 V Vs 120 08 V p FIGURA 1074 a b VL 2 H 1 F 025VL 1 08 V Capítulo 10 u Análise em Regime Permanente Senoidal 412 75 A fonte de tensão Vs na Figura 1078 é dimensionada tal que IC 10º A a Desenhe um diagrama fasorial mostrando V1 V2 VS e VR b Use o diagrama para determinar a relação de V2 por V1 Exercícios de integração do capítulo 76 Para o circuito mostrado na Figura 1079 a desenhe a representação fasorial do circuito b determine o equivalente de Thévenin visto pelo capacitor e useo para calcular υCt c Determine a corrente que sai do terminal de refe rência positivo da fonte de tensão d Verifique se a sua solução com uma simulação apropriada no PSpice p FIGURA 1079 100 mH 15 mF 150 mH 2 V 1 V 2 sen 20t 458 A 5 sen 20t 128 V υC 77 O circuito da Figura 1079 infelizmente opera de forma diferente da especifi cada a frequência da fonte de corrente é de apenas 19 rads Calcule a tensão atual no capacitor e comparea com a tensão esperada se o circuito estivesse operando corretamente 78 Para o circuito mostrado na Figura 1080 a desenhe a representação fasorial correspondente b obtenha uma expressão para Vo Vs c Faça o gráfico de Vo Vs a relação do valor da tensão fasorial em função da frequência ω no intervalo de 001 100 rads use o eixo x logaritmo d O circuito transfere melhor as altas frequências ou as baixas frequências para a saída 79 a Substitua o indutor no circuito da Figura 1080 por um capacitor de 1 F e Repita o exercício 78 b Se projetarmos a frequência de corte do circuito sendo a frequência em que a saída é reduzida a 12 vezes o seu valor máximo refaça o circuito para conseguir uma frequência de corte de 2 kHz 80 Projete uma rede puramente passiva contendo apenas resistores capacitores e indutores que tem uma impedância de 22 j758º Ω em uma frequência de f 100 MHz p FIGURA 1078 5 V 3 V V2 VR V1 IC Vs j2 V j4 V p FIGURA 1080 υot υst 1 V 1 H INTRODUÇÃO Parte da análise de um circuito é frequentemente dedicada à determinação da potência fornecida ou absorvida ou ambos No contexto da potência CA descobrimos que a abordagem relativamente simples que utilizamos até agora não ilustra de forma conveniente a operação de um determinado sistema e com isso introduzimos várias grandezas relacionadas à potência neste capítulo Começaremos considerando a potência instantânea que é o produto da tensão e da corrente associadas ao elemento ou rede de interesse no domínio do tempo A potência instantânea é muitas vezes de grande utilidade pois seu valor máximo deve ser limitado para que a operação de um determinado dispositivo dentro de limites de segurança ou de uso seja garantida Por exemplo quando a potência instantânea excede um certo valor limite amplificadores transistorizados e valvulados produzem uma saída distorcida que resulta em um som distorcido nos altofalantes Entretanto estamos interessados na potência instantânea principalmente por ela nos possibili tar o cálculo de uma grandeza mais importante a potência média Sabemos que o andamento de uma viagem é mais bem descrito pela velocidade média desenvolvida pelo veículo nosso interesse na velocidade instantânea restringese a evitar que ela supere determinados limites e coloque nossa segurança em risco ou perturbe a polícia rodoviária Em problemas práticos lidamos com valores de potência média que variam de uma pequena fração de picowatts presente em um sinal de telemetria vindo do espaço sideral a até alguns watts quando pensamos na potência fornecida aos altofalantes em um sistema de áudio de altafidelidade ou várias centenas de watts necessários para fazer uma cafeteira funcionar ou até mesmo os vários bilhões de watts gerados na usina hidroelétrica de Itaipu Ainda assim veremos que o conceito de potência média tem suas limitações especialmente quando se lida com a troca de energia entre cargas e fontes Isto é facilmente resolvido com a introdução dos conceitos de potência reativa potência complexa e fator de potência todos eles termos muito comuns na indústria Análise de Potência em Circuitos CA 11 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Cálculo da Potência Instantânea Potência Média Fornecida por uma Fonte Senoidal Valores Eficazes RMS Valores Eficazes RMS A Relação entre as Potências Complexa Média e Reativa Fator de Potência de Uma Carga Capítulo 11 u Análise de Potência em Circuitos CA 414 111 POTÊNCIA INSTANTÂNEA A potência instantânea fornecida a qualquer dispositivo é dada pelo produ to da tensão instantânea nos terminais deste dispositivo pela corrente que o percorre assumese a convenção de sinal passivo Logo1 pt υtit 1 Se o dispositivo em questão for um resistor com resistência R então a potência pode ser expressa somente em termos da corrente ou da tensão pt υtit i2tR υ2t R 2 Se a tensão e a corrente estiverem associadas a um elemento inteira mente indutivo então pt υtit Lit dit dt 1 L υt t υt dt 3 onde assumimos arbitrariamente que a tensão seja nula em t No caso do capacitor pt υtit Cυt dυt dt 1 C it t it dt 4 onde se faz uma hipótese similar a respeito da corrente Por exemplo considere o circuito RL série excitado por um degrau de tensão ilustrado na Figura 111 Sabemos que a resposta de corrente desse circuito é it V0 R 1 e Rt Lut e portanto a potência fornecida pela fonte ou absorvida pela rede passiva é pt υtit V 2 0 R 1 e Rt Lut uma vez que o quadrado da função degrau é simplesmente a própria função degrau A potência fornecida ao resistor é pRt i2tR V 2 0 R 1 e Rt L2ut Para determinar a potência absorvida pelo indutor obtemos primeiro a tensão no indutor 1 Combinamos anteriormente que variáveis expressas por meio de letras minúsculas devem ser interpretadas como funções do tempo e temos seguido este espírito até agora Entretanto de forma a enfatizar o fato de que estas grandezas devem ser avaliadas em um instante de tempo específico optamos por indicar a sua dependência temporal de forma explícita ao longo deste capítulo i υL V0ut L R p FIGURA 111 A potência instantânea fornecida a R é pRt i2tR V0 2R1 eRtL2ut Seção 111 u Potência instantânea 415 υLt L dit dt V0e Rt Lut LV0 R 1 e Rt L dut dt V0e Rt Lut já que dutdt é zero para t 0 e 1 eRtL é zero em t 0 A potência absorvida pelo indutor é portanto pLt υLtit V 2 0 R e Rt L1 e Rt Lut Apenas algumas manipulações algébricas são necessárias para mostrar que pt pRt pLt que serve para avaliar a exatidão de nosso trabalho os resultados estão representados na Figura 112 Potência Associada à Excitação Senoidal Vamos agora substituir a fonte de tensão no circuito da Figura 111 pela fonte senoidal Vm cos ωt Sabemos que a resposta em regime permanente no domínio do tempo é it Im cosωt φ onde Im Vm R2 ω2L2 e φ tan 1 ωL R A potência instantânea fornecida a todo o circuito em regime perma nente é portanto pt vtit Vm Im cosωt φcos ωt que é conveniente reescrever usando a identidade trigonométrica do produ to de dois cossenos Assim pt Vm Im 2 cos2ωt φ cos φ Vm Im 2 cos φ Vm Im 2 cos2ωt φ A última equação possui características que são válidas em muitos circuitos operando em regime permanente senoidal Um termo o primei ro não é uma função do tempo o segundo termo apresenta uma variação cíclica que é o dobro da frequência aplicada Como este termo representa uma onda cossenoidal e como senos e cossenos têm média nula quando calculadas em períodos inteiros este exemplo sugere que a potência média é 12VmIm cos ϕ em breve veremos que isto é de fato verdade 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Potência fornecida pela fonte Potência absorvida pelo resistor Potência absorvida pelo indutor t Potência p FIGURA 112 Gráfico de pt pRt e pLt Assim que o transitório se extingue o circuito retorna à operação em regime permanente Como a única fonte de tensão restante no circuito é CC o indutor acaba atuando como um curtocircuito absorvendo potência nula Capítulo 11 u Análise de Potência em Circuitos CA 416 Uma fonte de tensão de 40 60ut V um capacitor de 5 µF e um resistor de 200 Ω estão conectados em série Calcule a potência absorvida pelo capacitor e pelo resistor em t 12 ms Em t 0 não há corrente fluindo no circuito e com isso uma tensão de 40 V aparece nos terminais do capacitor Em t 0 a tensão nos terminais da com binação série capacitorresistor salta para 100 V Já que vC não pode mudar instantaneamente a tensão no resistor em t 0 é igual a 60 V A corrente fluindo nos três elementos em t 0 é portanto 60200 300 mA que para t 0 é dada por it 300e tτ mA onde τ RC 1 ms Logo a corrente em t 12 ms é igual a 9036 mA e a potência absorvida pelo resistor neste instante é simplesmente i2tR 1633 W A potência instantânea absorvida pelo capacitor é itvCtSabendo que a tensão total em ambos os elementos em t 0 será sempre 100 V e que a tensão no resistor é dada por 60etτ vCt 100 60etτ e com isso obtemos vC 12 ms 100 60e12 8193 V Logo a potência absorvida pelo capacitor em t 12 ms é 9036 mA8193 7403 W u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 111 Uma fonte de corrente de 12 cos 2000t A um resistor de 200 Ω e um indutor de 02 H estão conectados em paralelo Assuma que o circuito esteja em regime permanente Em t 1 ms obtenha a potência absor vida a pelo resistor b pelo indutor c pela fonte senoidal Resposta 1398 kW 563 kW 835 kW 112 POTÊNCIA MÉDIA Quando falamos de um valor médio para a potência instantânea o intervalo de tempo no qual tiramos a média deve estar claramente definido Vamos primeiro selecionar um intervalo de tempo genérico de t1 a t2 Podemos então obter a potência média integrando pt de t1 a t2 e dividindo o resul tado pelo intervalo t2 t1 Logo P 1 t2 t1 t2 t1 pt dt 5 A potência média é expressa pela letra maiúscula P já que ela não é uma função do tempo e em geral não utilizamos nenhum subscrito para identificála como um valor médio Embora P não seja função do tempo ela depende de t1 e t2 os dois instantes de tempo que definem o intervalo de integração Esta dependência de P com relação a um intervalo de tempo específico pode ser expressa de uma maneira mais simples se pt for uma função periódica Consideraremos primeiro este importante caso particular u EXEMPLO 111 Seção 112 u Potência média 417 Potência Média de Formas de Onda Periódicas Assumamos que nossa função forçante e que todas as respostas de nosso circuito sejam periódicas um regime permanente já foi atingido embora não necessariamente senoidal Podemos definir uma função periódica ft em notação matemática ao requerer que f t f t T 6 onde T é o período Mostraremos agora que o valor médio da potência ins tantânea expressa pela Equação 5 pode ser computado no intervalo de um período com início arbitrário Uma forma de onda periódica genérica é mostrada na Figura 113 e identificada como pt Primeiro computamos a potência média integrando de t1 até um tempo t2 que ocorre um período mais tarde t2 t1 T P1 1 T t1 T t1 pt dt e então integramos a partir de algum outro tempo tx até tx T Px 1 T tx T tx pt dt A igualdade de P1 e Px é evidente a partir da interpretação gráfica das integrais a natureza periódica da curva requer que as duas áreas sejam iguais Logo a potência média pode ser computada a partir da integração da potência instantânea em qualquer intervalo de tempo que constitua um período dividindose o resultado pelo período P 1 T tx T tx pt dt 7 É importante notar que também podemos integrar ao longo de qualquer número de períodos desde que dividamos o resultado por este mesmo número de períodos Assim P 1 nT tx nT tx pt dt n 1 2 3 8 Se estendermos este conceito ao extremo realizando uma integração em todo o tempo outro resultado útil pode ser obtido Primeiramente assumi mos limites simétricos para a integral P 1 nT nT 2 nT 2 pt dt e então tiramos o limite com n tendendo a infinito P lim n 1 nT nT 2 nT 2 pt dt Desde que pt seja uma função matemática bem comportada como são todas as funções forçantes e respostas reais é claro que se um número intei ro n muito grande for trocado por um outro número não inteiro ligeiramente t1 t1 T tx T tx pt t p FIGURA 113 O valor médio P de uma função periódica pt é o mesmo ao longo de qualquer período T Capítulo 11 u Análise de Potência em Circuitos CA 418 maior o valor da integral e P sofrerão uma alteração muito pequena além disso o erro decresce com o aumento de n Sem justificar este passo de forma rigorosa trocamos a variável discreta nT pela variável contínua τ P lim τ 1 τ τ 2 τ 2 pt dt 9 Em várias ocasiões será mais conveniente integrar funções periódicas ao longo deste período infinito Potência Média no Regime Permanente Senoidal Vamos agora obter o resultado geral para o regime permanente senoidal Assumamos a tensão senoidal geral υt Vm cosωt θ e a corrente it Im cosωt φ associadas a um dado dispositivo A potência instantânea é pt Vm Im cosωt θcosωt φ Expressando o produto de dois cossenos novamente como a metade da soma do cosseno da diferença dos ângulos mais a metade do cosseno da soma dos ângulos pt 1 2Vm Im cosθ φ 1 2Vm Im cos2ωt θ φ 10 podemos evitar alguma integração simplesmente inspecionando o resultado O primeiro termo é uma constante independente de t O termo restante é uma função cosseno sendo assim pt é periódica e seu período é 12 T Note que o período T está associado à corrente e tensão assumidas e não à potência a função da potência possui um período 1 2T Entretanto podemos integrar ao longo de um intervalo T para determinar o valor médio se assim desejarmos é necessário somente dividir o resultado por T Nossa familiaridade com as ondas senoidais e cossenoidais no entanto mostra que o valor médio ao longo de um período é zero Não há portanto necessidade de se integrar a Equação 10 formalmente por inspeção o valor médio do segundo termo é zero ao longo de um período T ou T2 e o valor médio do primeiro termo uma constante deve ser a própria constante Assim 11 P 1 2Vm Im cosθ φ Este importante resultado introduzido na seção anterior para um circui to específico é portanto bem geral para o regime harmônico senoidal A potência média é a metade do produto do valor de pico da tensão do valor de pico da corrente e do cosseno do ângulo que representa o defasamento entre a tensão e a corrente Vale a pena analisar dois casos especiais em separado a potência média fornecida a um resistor ideal e a potência média fornecida a um reator ideal qualquer combinação de apenas indutores e capacitores Lembrese que T 1 f 2π ω Seção 112 u Potência média 419 Dada a tensão υ 4 cos πt6 V no domínio do tempo obtenha a potên cia média e uma expressão para a potência instantânea que resulte da aplicação do fasor de tensão V 40o V correspondente na impedância Z 260o Ω O fasor de corrente é VZ 260o A e então a potência média é P 1 242 cos 60 2 W Podemos escrever a tensão no domínio do tempo υt 4 cos πt 6 V e a corrente no domínio do tempo it 2 cos πt 6 60 A A potência instantânea portanto é dada por seu produto pt 8 cos πt 6 cos πt 6 60 2 4 cos πt 3 60 W As três grandezas estão apresentadas no gráfico da Figura 114 em uma mesma escala de tempo Tanto o valor médio de 2 W da potência e o seu período de 6 s que corresponde à metade do período da corrente e da tensão são evidentes O valor nulo da potência instantânea nos instantes em que a tensão ou a corrente são nulas também fica claro 6 p υ i 4 2 4 1 1 6 4 3 2 3 5 8 12 p υ i W V A ts p FIGURA 114 Curvas de vt it e pt são apresentadas como funções do tempo em um circuito simples no qual um fasor de tensão V 40o V com frequência angular ω π6 rads é aplicado em uma impedância Z 260o Ω u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 112 Dada a tensão fasorial V 115245o V verificada nos terminais de uma impedância Z 1626193o Ω obtenha uma expressão para a potência instantânea e calcule a potência média se Ω 50 rads Resposta 7675 8132 cos 100t 707o W 7675 W u EXEMPLO 112 Capítulo 11 u Análise de Potência em Circuitos CA 420 Potência Média Absorvida por um Resistor Ideal O ângulo de fase entre a corrente em um resistor e a tensão em seus termi nais é nulo Logo PR 1 2Vm Im cos 0 1 2Vm Im ou PR 1 2 I 2 m R 12 ou PR V 2 m 2R 13 As duas últimas fórmulas que nos permitem determinar a potência média fornecida a uma resistência pura a partir do conhecimento de uma corrente ou tensão senoidal são simples e importantes Mas infelizmente elas são frequentemente mal utilizadas O erro mais comum está na tentati va de aplicálas em casos em que a tensão que aparece na Equação 13 não é a tensão nos terminais do resistor Se for tomado o cuidado necessário para se utilizar a corrente através do resistor na Equação 12 ou a tensão em seus terminais na Equação 13 garantese uma operação satisfatória E não se esqueça do fator de 1 2 Potência Média Absorvida por Elementos Reativos Puros A potência média fornecida a qualquer dispositivo puramente reativo isto é que não contém resistores deve ser nula Este é um resultado direto do ângulo de fase de 90o existente entre a tensão e a corrente portanto cos θ ϕ cos 90o 0 e PX 0 A potência média fornecida à qualquer rede inteiramente composta por indutores e capacitores é nula a potência instantânea é zero somente em instantes específicos Logo potência é fornecida à rede em parte do ciclo e é retornada na porção restante do ciclo sem que ocorram perdas Determine a potência média fornecida a uma impedância ZL 8 j11 Ω por uma corrente I 520o A Podemos encontrar a solução rapidamente utilizando a Equação 12 Apenas a resistência de 8 Ω entra no cálculo da potência média já que o termo j11 Ω não absorve qualquer potência média Logo P 1 2528 100 W u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 113 Calcule a potência média fornecida a uma impedância de 625o Ω pela corrente I 2 j5 A Resposta 7885 W Não se esqueça de que estamos calculando a potência média fornecida a um resistor por uma fonte senoidal tome cuidado para não confundir esta grandeza com a potência instantânea que tem uma forma similar u EXEMPLO 113 Seção 112 u Potência média 421 Determine a potência média absorvida por cada um dos três elementos passivos ilustrados na Figura 115 bem como a potência média fornecida por cada fonte I1 I2 2 V j2 V j2 V 10 0 V 20 0 V Sem nem mesmo analisar o circuito já sabemos que a potência média absor vida pelos dois elementos reativos é nula Os valores de I1 e I2 podem ser obtidos por qualquer método ou seja pela análise de malha pela análise nodal ou pela superposição Eles são I1 5 j10 1118 6343 A I2 5 j5 7071 45 A A corrente descendo através do resistor de 2 Ω é I1 I2 j5 5 90 A de forma que Im 5 A e a potência média absorvida pelo resistor é obtida mais facilmente pela Equação 12 PR 1 2 I 2 m R 1 2522 25 W Este resultado pode ser verificado usando a Equação 11 ou a Equação 13 Direcionamos agora a nossa análise para a fonte da esquerda A tensão 200o V e a corrente I1 11186343o A associada satisfazem à convenção de sinal ativo e com isso a potência fornecida por esta fonte é Pesq 1 2201118 cos0 6343 50 W De forma similar obtemos a potência absorvida pela fonte da direita usando a convenção de sinal passivo Pdir 1 2107071 cos0 45 25 W Como 50 25 25 as relações de potência conferem u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 114 Para o circuito da Figura 116 calcule a potência média fornecida a cada um dos elementos passivos Verifique a sua resposta calculando a potência fornecida pelas duas fontes j100 V 2 V j45 V I1 I2 5 0 V 10 50 V t FIGURA 116 Resposta 0 376 mW 0 420 mW 44 mW u EXEMPLO 114 t FIGURA 115 A potência média fornecida a cada elemento reativo é nula no regime permanente senoidal Capítulo 11 u Análise de Potência em Circuitos CA 422 Máxima Transferência de Potência Já consideramos anteriormente o teorema da máxima transferência de potência quando aplicado a cargas resistivas e fontes com impedância resistiva Para uma fonte de Thévenin Vth com impedância Zth Rth jXth conectada a uma carga ZL RL jXL podese mostrar que a potência média fornecida à carga é máxima quando RL Rth e XL Xth isto é quando ZL Zth Este resultado é frequentemente chamado de teorema da máxima transferência de potência para o regime permanente senoidal Uma fonte de tensão independente em série com uma impedância Zth ou uma fonte de corrente independente em paralelo com uma impedância Zth fornecem potência média máxima à carga cuja impedância é o conjugado de Zth ou ZL Zth Os detalhes da prova deste teorema são deixados como exercício para o leitor mas a abordagem básica pode ser entendida com a análise do circuito simples ilustrado na Figura 117 A impedância equivalente de Thévenin Zth pode ser escrita como a soma de duas componentes Rth jXth e de forma similar a impedância de carga ZL pode ser escrita como RL jXL A corrente circulando no laço é IL Vth Zth ZL Vth Rth jXth RL j X L Vth Rth RL jXth X L e VL Vth ZL Zth ZL Vth RL jX L Rth jXth RL jX L Vth RL jX L Rth RL jXth X L O módulo de IL é Vth Rth RL2 Xth X L2 e o ângulo de fase é Vth tan 1 Xth X L Rth RL De forma similar o módulo de VL é Vth R2 L X2 L Rth RL2 Xth X L2 e o seu ângulo de fase é Vth tan 1 X L RL tan 1 Xth X L Rth RL A notação Z denota o complexo conjugado do número complexo Z Ele é formado com a troca de todas as letras j por j Ver o Apêndice 5 para mais detalhes VL Vth IL Zth ZL p FIGURA 117 Circuito simples usado para ilustrar a dedução do teorema da máxima transferência de potência quando aplicado a circuitos operando em regime permanente senoidal Seção 112 u Potência média 423 Tendo como referência a Equação 11 então obtemos uma expressão para a potência média P fornecida à impedância de carga ZL P 1 2Vth2 R2 L X2 L Rth RL2 Xth X L2 cos tan 1 X L RL 14 Para provar que a potência média máxima é de fato fornecida à carga quando ZL Zth devemos dar dois passos distintos Primeiramente a derivada da Equação 14 com relação a RL deve ser igualada a zero Em segundo lugar a derivada da Equação 14 com relação a XL deve ser igua lada a zero Os detalhes remanescentes ficam como um exercício para o leitor mais interessado Um determinado circuito é composto pela associação em série de uma fonte de tensão 3 cos 100t 3o V um resistor de 500 Ω um indutor de 30 mH e uma impedância desconhecida Se temos certeza de que a fonte está fornecendo uma potência média máxima à carga desconhecida qual é o valor desta carga A representação fasorial do circuito está desenhada na Figura 118 O circuito é facilmente visto como uma impedância desconhecida Z em série com um equivalente de Thévenin composto por uma fonte de 33o V e uma impe dância de 500 j3 Ω Como o circuito da Figura 118 já está na forma necessária para se empregar o teorema da máxima transferência de potência sabemos que a potência média máxima será transferida a uma carga com impedância igual ao complexo conjugado de Zth ou Z Z th 500 j3 Esta impedância pode ser construída de diversas maneiras sendo a mais simples aquela formada por um resistor de 500 Ω em série com um capacitor com impedância de j3 Ω Como a frequência de operação do circuito é 100 rads este valor de impedância corresponde a uma capacitância de 3333 mF u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 115 Se o indutor de 30 mH do Exemplo 115 for trocado por um capacitor de 10 µF qual é o valor da componente indutiva da impedância desco nhecida Z se é sabido que Z está absorvendo potência máxima Resposta 10 H Potência Média para Funções Não Periódicas Voltamos agora nossa atenção às funções não periódicas Um exemplo prático de uma função não periódica da qual se deseja saber o valor da potência média é o sinal de saída de um radiotelescópio Outro exemplo é a soma de funções periódicas em que cada função possui um diferente período de tal forma que não seja possível encontrar um período comum para a combinação de ambas Por exemplo a corrente u EXEMPLO 115 500 V j3 V 3 3 V Z p FIGURA 118 A Representação fasorial de um simples circuito série composto por uma fonte de tensão senoidal um resistor um indutor e uma impedância desconhecida Capítulo 11 u Análise de Potência em Circuitos CA 424 it sent senπt 15 é não periódica porque a relação entre os períodos das duas funções seno é um número irracional Em t 0 ambos os termos são nulos e começam a crescer No entanto o primeiro termo é nulo e crescente apenas quando t 2π n onde n é um inteiro e a periodicidade demandaria que πt ou π2π n fossem iguais a 2π m onde m também é um inteiro Não existe solução possível para esta equação valores inteiros para m e n simultaneamente Isto fica mais claro se compararmos a Equação 15 com a função periódica it sent sen 314t 16 onde 314 é uma expressão decimal exata que não deve ser interpretada como 3141592 Com um pouco de esforço2 podese demonstrar que o período desta onda de corrente é 100π s A potência média fornecida a um resistor de 1 Ω por uma função peri ódica como a da Equação 16 ou por uma corrente não periódica como a da Equação 15 pode ser obtida por meio de uma integração ao longo de um intervalo infinito Boa parte da integração pode ser evitada graças ao conhecimento detalhado que temos a respeito dos valores médios de fun ções simples Portanto obtemos a potência média fornecida pela corrente na Equação 15 aplicando a Equação 9 P lim τ 1 τ τ 2 τ 2 sen2 t sen2 πt 2 sent senπt dt Consideramos agora P como a soma de três valores médios O valor médio de sen2 t ao longo de um intervalo infinito é obtido ao trocarmos sen2 t por 12 12cos2t o valor médio é simplesmente 12 De forma similar o valor médio de sen2 πt também é 12 Finalmente o último termo pode ser expresso como a soma de duas funções cosseno que pos suem média zero Assim P 1 2 1 2 1 W Um resultado idêntico é obtido para a corrente periódica da Equação 16 Aplicando o mesmo método para uma corrente cuja função é a soma de muitas senoides com diferentes períodos e amplitudes arbitrárias it Im1 cos ω1t Im2 cos ω2t ImN cos ωNt 17 obtemos a potência média fornecida a uma resistência R P 1 2 I 2 m1 I 2 m2 I 2 mN R 18 O resultado não é alterado se um ângulo de fase arbitrário for atribuído a cada componente da corrente Este importante resultado é surpreendente mente simples se pensarmos nos passos necessários para se obtêlo tirar o quadrado da corrente integrálo e fazer o limite O resultado também é sur preendente porque ele mostra que no caso especial de uma corrente como 2 T1 2π e T2 2π314 Portanto buscamos valores inteiros de m e n de tal forma que 2πn 2πm314 ou 314n m ou 314 100n m ou 157n 50m Logo os menores valores inteiros de n e m são n 50 e m 157 O período é portanto T 2πn 100π ou T 2π157314 100π s Seção 113 u Valores eficazes de tensão e corrente 425 aquela expressa pela Equação 17 onde cada termo possui uma diferente frequência o teorema da superposição é aplicável ao cálculo da potência A superposição não é aplicável à soma de correntes CC tampouco a uma corrente cujo valor é a soma de duas senoides com a mesma frequência Determine a potência média fornecida a um resistor de 4 Ω pela corrente i1 2 cos 10t 3 cos 20t A Como os dois cossenos possuem diferentes frequências as duas potências médias podem ser calculadas separadamente e somadas Logo esta corrente fornece 12224 12324 8 18 26W a um resistor de 4 Ω Determine a potência média fornecida a um resistor de 4 Ω pela corrente i2 2 cos 10t 3 cos 10t A Aqui os dois componentes da corrente estão na mesma frequência e eles devem portanto ser combinados em uma única senoide naquela frequência Logo i2 2 cos 10t 3 cos 10t cos 10t fornece apenas 12124 2 W de potência média a um resistor de 4 Ω u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 116 Uma fonte de tensão υs é conectada aos terminais de um resistor de 4 Ω Determine a potência média absorvida pelo resistor se υs é igual a a 8 sen 200t V b 8 sen 200t 6 cos 200t 45o V c 8 sen 200t 4 sen 100t V d 8 sen 200t 6 cos 200t 45o 5 sen 100t 4 V Resposta 800 W 401 W 1000 W 1114 W 113 VALORES EFICAZES DE TENSÃO E CORRENTE No Brasil a maioria das tomadas fornece uma tensão senoidal de 127 V com frequência de 60 Hz em outros países é possível encontrar outras especificações de tensão e uma frequência de 50 Hz Mas o que significa 127 volts Este certamente não é o valor instantâneo da tensão pois a tensão não é constante O valor de 127 V também não é a amplitude que temos simbolizado como Vm se analisarmos a sua forma de onda em um osciloscópio calibrado veremos que o valor de pico da tensão que encon tramos nas tomadas de nossa casa é igual a 1272 V ou 1796 V Também não podemos empregar o conceito de valor médio ao valor de 127 V por que o valor médio de uma forma de onda senoidal é nulo Poderíamos chegar um pouco mais perto dizendo que este valor corresponde ao valor médio da tensão ao longo de um semiciclo negativo ou positivo no entanto ao usar um voltímetro com um retificador na tomada obteríamos 1143 V Acontece no entanto que 127 V corresponde ao valor eficaz de uma senoide Este valor é uma medida de quão efetiva é uma fonte de tensão ao fornecer potência a uma carga resistiva u EXEMPLO 116 u EXEMPLO 117 Capítulo 11 u Análise de Potência em Circuitos CA 426 Valor Eficaz de uma Forma de Onda Periódica Vamos de forma arbitrária definir o valor eficaz em termos de uma onda de corrente embora uma onda de tensão pudesse ser igualmente seleciona da O valor eficaz de qualquer corrente periódica é igual à corrente contínua que fluindo em um resistor com resistência R forneceria a mesma potência média fornecida por esta corrente periódica Em outras palavras deixamos a corrente periódica fluir no resistor determinamos a potência instantânea i2R e então obtemos o valor médio de i2R ao longo de um período esta é a potência média Em seguida fazemos com que uma corrente contínua flua neste mesmo resistor e ajustamos o seu valor até que a mesma potência média seja obtida O valor resultante desta corrente contínua é igual ao valor eficaz da função periódica assumida Essas ideias estão ilustradas na Figura 119 A expressão matemática geral para o valor eficaz de it é agora facil mente obtida A potência média fornecida ao resistor por uma corrente periódica it é P 1 T T 0 i2R dt R T T 0 i2 dt onde o período de it é T A potência fornecida por uma corrente contínua é P I 2 efR Igualando as expressões das potências e resolvendo para Ief obtemos 19 Ief 1 T T 0 i2 dt O resultado é independente da resistência R como de fato deveria ser para que tivéssemos um conceito que valesse a pena usar Uma expressão similar pode ser obtida para o valor eficaz de uma tensão periódica simples mente com a substituição de i e Ief por v e Vef respectivamente Perceba que o valor eficaz é obtido primeiro com a elevação da função variável no tempo ao quadrado em seguida com o cálculo da média da função elevada ao quadrado ao longo de um período e finalmente com o cálculo da raiz quadrada do valor resultante Em resumo a sequência de operações envolvida no cálculo do valor eficaz corresponde à raiz quadra da da média do quadrado por essa razão o valor eficaz é frequentemente chamado de raiz do valor médio quadrático ou valor rms a abreviação do termo em inglês rootmeansquare Valor Eficaz RMS de uma Forma de Onda Senoidal O caso especial mais importante é aquele da forma de onda senoidal Vamos selecionar a função cosseno it Im cosωt φ it R υt a R Ief Vef b p FIGURA 119 Se um resistor receber a mesma potência média nas letras a e b então o valor eficaz de it é igual a Ief e o valor eficaz de vt é igual a Vef Seção 113 u Valores eficazes de tensão e corrente 427 que tem um período T 2π ω e substituíla na Equação 19 para obter o valor eficaz Ief 1 T T 0 I 2m cos2ωt φdt Im ω 2π 2πω 0 1 2 1 2 cos2ωt 2φ dt Im ω 4π t2πω 0 Im 2 Logo o valor eficaz de uma corrente senoidal é uma grandeza real que independe do ângulo de fase e que é numericamente igual a 12 0707 vezes o valor de pico da corrente Uma corrente 2 cos ωt ϕ A tem portanto um valor eficaz de 1 A e fornece a qualquer resistor a mesma potência média que seria fornecida por uma corrente CC de 1 A Deve ficar claro que o fator de 2 que obtemos como sendo a relação entre o valor máximo da corrente periódica e o seu valor eficaz só é aplicá vel quando a função periódica for senoidal Para a onda dente de serra por exemplo o valor eficaz é igual ao valor de pico dividido por 3 O valor pelo qual o valor de pico deve ser dividido para se obter o valor eficaz depende da forma matemática da função periódica fornecida ele pode ser racional ou irracional dependendo da natureza da função Uso de Valores RMS no Cálculo da Potência Média O uso do valor eficaz também simplifica ligeiramente a expressão da potência média fornecida por correntes ou tensões senoidais pois com isso evitase o uso do fator 12 Por exemplo a potência média fornecida por uma corrente senoidal a um resistor com resistência R é P 1 2 I 2 m R Como Ief Im 2 a potência média pode ser escrita como P I 2 efR 20 As outras expressões para a potência também podem ser escritas em termos dos valores eficazes P VefIefcosθ φ 21 P V 2 ef R 22 Embora tenhamos conseguido eliminar o fator de 12 das relações que descrevem a potência média devemos agora ter cuidado ao determinar se O fato de o valor eficaz ser definido em termos de uma grandeza CC equivalente nos fornece fórmulas para o cálculo da potência média em circuitos resistivos que são idênticas àquelas utilizadas na análise de circuitos CC Capítulo 11 u Análise de Potência em Circuitos CA 428 uma grandeza senoidal está expressa em termos de seu valor máximo ou de seu valor eficaz Na prática valores eficazes são utilizados nas áreas de transmissão e distribuição de energia bem como no campo de máquinas elétricas nas áreas de eletrônica e de telecomunicações o valor máximo é utilizado de forma mais frequente Assumiremos aqui que o valor máximo seja utilizado a menos que o termo rms apareça de forma explícita ou que sejamos instruídos a fazer o contrário No regime permanente senoidal tensões e correntes fasoriais podem ser dadas tanto em termos de seus valores eficazes quanto de seus valores máximos as duas expressões diferem apenas de 2 Se a tensão 5030o V for expressa em termos do valor máximo uma representação equivalente em rms seria obtida com uso de 35430o V rms Valor Eficaz em Circuitos com Múltiplas Frequências Para determinar o valor eficaz de formas de onda periódicas ou não peri ódicas que sejam compostas pela soma de certo número de senoides com diferentes frequências podemos utilizar a relação de potência média dada pela Equação 18 desenvolvida na Seção 112 e rescrita em termos dos valores eficazes dos diversos componentes P I 2 1ef I 2 2ef I 2 Nef R 23 A partir desta equação vemos que o valor eficaz de uma corrente que é composta por qualquer número de correntes senoidais com diferentes frequências pode ser expresso como Ief I 2 1ef I 2 2ef I 2 Nef 24 Estes resultados indicam que se uma corrente senoidal de 5 A rms e frequência de 60 Hz fluir através de um resistor de 2 Ω uma potência média de 522 50 W será absorvida pelo resistor se uma segunda cor rente também estiver presente talvez 3 A rms em 120 Hz por exemplo a potência absorvida será dada por 322 50 68 W Se em vez disso usar mos a Equação 24 veremos que o valor eficaz da soma das correntes em 60 Hz e 120 Hz é 5831 A Com isso P 583122 68 W como antes Entretanto se a segunda corrente também tiver uma frequência de 60 Hz o valor eficaz da soma das duas correntes em 60 Hz poderá ter qualquer valor entre 2 e 8 A Logo a potência absorvida pode ter qualquer valor entre 8 W e 128 W dependendo do ângulo de fase entre as duas correntes u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 117 Calcule o valor eficaz de cada uma das tensões periódicas a seguir a 6 cos 25t b 6 cos 25t 4 sen25t 30o c 6 cos 25t 5 cos225t d 6 cos 25t 5 sen 30t 4 V Resposta 424 V 616 V 523 V 682 V Note que o valor eficaz de uma grandeza CC K é simplesmente K e não K 2 Seção 113 u Valores eficazes de tensão e corrente 429 Muitas técnicas úteis para o cálculo de potências encontramse disponíveis no PSpice Em particular as funções presentes no Probe permitem tanto a repre sentação gráfica da potência instantânea quanto o cálculo de seu valor médio Por exemplo considere o simples divisor de tensão da Figura 1110 que está sendo alimentado por uma onda de tensão em 60 Hz com uma amplitude de 115 2 V Começamos realizando a simulação do transitório ao longo de um período da onda de tensão 1 60 s p FIGURA 1110 Divisor de tensão simples alimentado por uma fonte de tensão de 115 V rms operando em 60 Hz A corrente e a potência instantânea dissipada no resistor R1 estão representa das graficamente na Figura 1111 após o uso da opção Add Plot to Window no menu Plot A potência instantânea é periódica com um valor não nulo e um pico de 661 W p FIGURA 1111 Corrente e potência instantânea associadas ao resistor R1 da Figura 1110 u ANÁLISE AUXILIADA POR COMPUTADOR Capítulo 11 u Análise de Potência em Circuitos CA 430 O jeito mais fácil de se utilizar o Probe no cálculo da potência média a qual esperamos ser 1 2 1626 1000 1000 1000 813 10 3 3305 W é fazer uso da fun ção embutida que permite avaliar a média de um sinal em tempo real Assim que a caixa de diálogo Add Traces aparecer Trace 0 1 Add Trace digite AVGIR1 IR1 1000 na janela Trace Expression Como se pode ver na Figura 1112 o valor médio da potência em qualquer um dos dois períodos é 3305 W o que concorda com o nosso cálculo manual Observe que uma vez que o PSpice calcula apenas em instantes específicos o circuito não foi simulado precisamente em 8333 ms e portanto o Cursor 1 indica uma potência média um pouco maior O Probe também nos permite calcular a média ao longo de um intervalo de tempo específico com o uso da função avgx Por exemplo para usar esta função no cálculo da potência média ao longo de um único período que no caso é de 1 120 833 ms entraríamos com AVGXIR1 IR1 1000 833 m Qualquer uma das abordagens resulta no valor de 3305 W no ponto final do gráfico p FIGURA 1112 Média em tempo real da potência dissipada pelo resistor R1 114 POTÊNCIA APARENTE E FATOR DE POTÊNCIA Historicamente a introdução dos conceitos de potência aparente e fator de potência pode ser atribuída à operação dos sistemas elétricos de potência onde quantidades enormes de energia devem ser transferidas de um ponto a outro a eficiência com a qual a transferência é efetivada está diretamente Seção 114 u Potência aparente e fator de potência 431 relacionada ao custo da energia elétrica que no final é pago pelo consu midor Clientes que instalam cargas que resultam em uma eficiência de transmissão relativamente baixa devem pagar um preço maior por cada quilowatthora kWh de energia elétrica que recebem e consomem De forma similar clientes que requerem da concessionária de energia elétrica um maior investimento em equipamentos de transmissão e distribuição também pagam mais por cada quilowatthora a menos que a concessionária seja benevolente e goste de perder dinheiro Vamos primeiro definir a potência aparente e o fator de potência e então mostrar brevemente como estes termos estão relacionados ao problema eco nômico citado no parágrafo anterior Vamos assumir que a tensão senoidal υ Vm cosωt θ seja aplicada a uma rede e que a corrente senoidal resultante seja i Im cosωt φ O ângulo de fase que representa o quão adiantada está a tensão em relação à corrente é portanto θ ϕ A potência média fornecida à rede assumindo a convenção de sinal passivo em seus terminais de entrada pode ser expressa em termos de valores máximos P 1 2Vm Im cosθ φ ou em termos de valores eficazes P VefIef cosθ φ Se a tensão aplicada e a resposta de corrente fossem grandezas CC a potência média fornecida à rede seria dada simplesmente pelo produto da ten são e da corrente Com a aplicação dessa técnica CC ao problema senoidal obteríamos um valor de potência absorvida que seria aparentemente dado pelo familiar produto VefIef Entretanto o produto dos valores eficazes de ten são e corrente não corresponde à potência média definimos esse valor como a potência aparente Dimensionalmente a potência aparente deveria ter as mesmas unidades de uma potência real já que cos θ ϕ é adimensional no entanto para evitar confusão o termo voltampères ou VA é aplicado para representar a potência aparente Como cos θ ϕ nunca supera a unidade é evidente que a potência real nunca pode ser maior que a potência aparente A razão entre a potência real ou média e a potência aparente é chamada de fator de potência simbolizado por FP Portanto FP potência média potência aparente P Vef Ief No caso senoidal o fator de potência é simplesmente cos θ ϕ onde θ ϕ é o ângulo no qual a tensão está adiantada da corrente Esta relação é a razão pela qual o ângulo θ ϕ é frequentemente chamado de ângulo do FP Em uma carga puramente resistiva tensão e corrente estão em fase θ ϕ é igual a zero e o FP é igual a 1 Em outras palavras a potência aparente e a potência média são iguais Um FP unitário pode ser obtido em cargas que contenham indutância e capacitância no entanto se os valores dos elementos e a frequência de operação forem cuidadosamente selecionados de forma a A potência aparente não é um conceito limitado a funções forçantes e respostas senoidais Ela pode ser determinada para quaisquer formas de onda de corrente e tensão simplesmente calculandose o produto dos valores eficazes de tensão e corrente Capítulo 11 u Análise de Potência em Circuitos CA 432 oferecer uma impedância de entrada com ângulo de fase nulo Uma carga pura mente reativa isto é uma carga que não contenha resistência causa um defasa mento entre a tensão e a corrente de mais ou menos 90o e com isso o FP é nulo Entre esses dois casos extremos são encontradas as redes gerais nas quais o FP pode variar de zero à unidade Um FP de 05 por exemplo indica uma carga cuja impedância de entrada apresenta um ângulo de fase de 60o ou 60o o primeiro descreve uma carga indutiva já que a tensão está adiantada da corrente em 60o enquanto o último se refere a uma carga capacitiva A ambiguidade com relação à natureza exata da carga é resolvida ao referirse a um FP adiantado ou atrasado com os termos adiantado e atrasado represen tando a fase da corrente em relação à tensão Logo uma carga indutiva terá um FP atrasado e uma carga capacitiva terá um FP adiantado Calcule a potência média entregue a cada uma das cargas mostradas na Figura 1113 a potência aparente fornecida pela fonte e o fator de potên cia da combinação das cargas f Identifique o objetivo do problema A potência média se refere à potência drenada pelos componentes resis tivos das cargas a potência aparente é o produto da tensão eficaz e da corrente eficaz da combinação das cargas f Reúna as informações conhecidas A tensão eficaz é igual a 60 V rms que aparecem nos terminais de uma carga total de 2 j 1 j5 3 j4 Ω f Trace um plano O simples uso da análise fasorial nos fornece a corrente Conhecendo a ten são e a corrente podemos calcular a potência média e a potência aparente estas duas grandezas podem ser usadas na obtenção do fator de potência f Construa um conjunto apropriado de equações A potência média P fornecida a uma carga é dada por P I 2 efR onde R é a parte real da impedância de carga A potência aparente forne cida pela fonte é VefIef onde Vef 60 V rms O fator de potência é calculado como a razão destas duas grandezas FP potência média potência aparente P Vef Ief f Determine se são necessárias informações adicionais Precisamos determinar Ief I 60 0 3 j4 12 5313 A rms de forma que Ief 12 A rms e âng Is 5313o f Tente uma solução A potência média fornecida à carga de cima é dada por P1 I 2 ef Rtopo 1222 288 W u EXEMPLO 118 I 2 j1 V 1 j5 V 0 V rms 60 p FIGURA 1113 Circuito no qual buscamos a potência média entregue a cada elemento a potência aparente fornecida pela fonte e o fator de potência da carga Seção 115 u Potência complexa 433 e a potência média fornecida à carga da direita é dada por P2 I 2 ef Rdir 1221 144 W A fonte fornece uma potência aparente VefIef 6012 720 VA Finalmente o fator de potência da carga é obtido com a consideração da ten são e da corrente associadas à combinação das duas cargas do circuito Este fator de potência é naturalmente idêntico ao fator de potência da fonte Logo FP P Vef Ief 432 6012 06 atrasado pois a carga combinada é indutiva f Verifique a solução Ela é razoável ou esperada A potência média total fornecida à fonte é igual a 288 144 432 W A potência média fornecida pela fonte é P VefIef cosâng V âng I 6012 cos 0 5313o 432 W e com isso vemos que o balanço das potências está correto Também poderíamos descrever a combinação das cargas como uma impedância de 5531o Ω identificar 531o como o ângulo do FP e ter com isso um FP de cos 531o 06 atrasado u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 118 No circuito da Figura 1114 determine o fator de potência da combina ção das cargas se ZL 10 Ω Resposta 09966 adiantado 115 POTÊNCIA COMPLEXA Como vimos no Capítulo 10 números complexos na verdade não com plicam a análise Ao nos permitir transportar duas partes de informação juntas durante uma série de cálculos por meio das componentes real e imaginária eles muitas vezes simplificam muito o que poderiam ser cálculos tediosos Isto realmente acontece com a potência uma vez que temos uma carga composta de elementos resistivos e elementos indutivos e capacitivos Nesta seção definimos potência complexa para permitir o cálculo das várias contribuições para a potência total de uma forma clara e eficiente O módulo da potência complexa é simplesmente a potência aparente A parte real corresponde à potência média como estamos prestes a ver e a parte imaginária da potência complexa é a nova grandeza chamada de potência reativa que descreve a taxa de transferência de energia entrando e saindo dos componentes de carga reativos por exemplo indutores e capacitores Definimos a potência complexa tendo como referência uma tensão senoidal geral Vef Vef θ aplicada em um certo par de terminais e uma corrente senoidal genérica Ief Ief ϕ entrando em um desses terminais de forma a satisfazer a convenção de sinal passivo A potência média absorvi da pela rede de dois terminais é portanto P Vef Ief cosθ φ Is 60 0 V rms 2 j1 V ZL p FIGURA 1114 Capítulo 11 u Análise de Potência em Circuitos CA 434 A notação complexa é introduzida agora utilizando a fórmula de Euler assim como fizemos ao introduzir os fasores Expressamos P como P Vef IefRee jθ φ ou P ReVefe jθIefe jφ A tensão fasorial pode agora ser reconhecida nos dois primeiros fatores dentro das chaves na equação anterior No entanto os dois fatores restantes não correspondem à corrente fasorial porque o seu ângulo inclui um sinal negativo que não aparece na expressão do fasor de corrente Isto é a cor rente fasorial é Ief Ief e jφ e portanto devemos utilizar a notação do conjugado I ef Ief e jφ Portanto P ReVef I ef e agora permitimos a potência se tornar uma grandeza complexa ao definir a potência complexa S como S Vef I ef 25 Se inspecionarmos primeiro a forma polar ou exponencial da potência complexa S VefIef e jθ φ vimos que o módulo de S VefIef é a potência aparente O ângulo de S θ ϕ é o ângulo do FP isto é o ângulo no qual a tensão está adiantada da corrente Na forma retangular temos S P jQ 26 onde P é a potência média como antes A parte imaginária da potência complexa é simbolizada por Q e denominada potência reativa A dimensão de Q é a mesma da potência real P da potência complexa S e da potência aparente S Para evitar que seja feita confusão entre estas grandezas defi nese a unidade de Q como o voltampèrerreativo abreviado por VAR Das Equações 25 e 26 podese ver que Q VefIef senθ φ 27 A potência reativa pode ser interpretada fisicamente como a taxa de troca de energia entre a fonte isto é a concessionária de energia e os componentes reativos da carga isto é as indutâncias e as capacitâncias Estes componentes carregamse e descarregamse de forma alternada o que resulta no fluxo de corrente ora da fonte para a carga ora da carga para a fonte respectivamente As mais relevantes grandezas de potência exploradas até agora neste capítulo são resumidas na Tabela 111 por conveniência O sinal da potência reativa caracteriza a natureza da carga passiva à qual os fasores Vef e Ief estão associados Se a carga for indutiva então θ ϕ é um ângulo entre 0 e 90o o seno deste ângulo é positivo e a potência reativa é positiva Uma carga capacitiva resulta em uma potência reativa negativa Seção 115 u Potência complexa 435 TABELA 111 u Resumo das Grandezas Associadas à Potência Complexa Unidades Fórmula Símbolo Grandeza Potência Média P VefIef cosθ φ watt W Potência Reativa Q VefIef senθ φ voltampèrerreativo VAR Potência Complexa S P jQ VefIef θ φ voltampère VA Vef I ef Potência Aparente S VefIef voltampère VA O Triângulo de Potência Uma representação gráfica comumente utilizada para ilustrar a potência complexa é conhecida como o triângulo de potência mostrado na Figura 1115 O diagrama mostra que apenas duas das três potências são necessá rias pois a terceira pode ser obtida por meio de relações trigonométricas Se o triângulo de potência se encontra no primeiro quadrante θ ϕ 0 o fator de potência está atrasado o que corresponde a uma carga indutiva Se ele se encontra no quarto quadrante θ ϕ 0 o fator de potência está adiantado o que corresponde a uma carga capacitiva Portanto um grande número de informações a respeito de nossa carga pode ser diretamente obtido por meio do triângulo de potência Outra interpretação da potência reativa pode ser obtida com a construção de um diagrama contendo Vef e Ief como mostra a Figura 1116 Se a repre sentação fasorial da corrente for separada em dois componentes um em fase com a tensão com módulo Ief cos cos θ ϕ e outro defasado da tensão em 90o com módulo Ief sen θ ϕ então fica claro que a potência real é dada pelo produto do módulo da tensão fasorial pelo componente da corrente fasorial em fase com a tensão Além disso o produto do módulo da tensão fasorial pelo componente da corrente fasorial que está 90o fora de fase em relação à tensão é a potência reativa Q É comum falar que o componente de um fasor que está defasado em 90o em relação a outro fasor é um componente em qua dratura Logo Q é simplesmente Vef vezes o com ponente em quadratura de Ief Q também é conhecida como potência em quadratura Medição de Potência Estritamente falando um wattímetro mede a potên cia real média P drenada por uma carga e um varímetro fornece uma leitura da potência reativa média Q Entretanto é comum encontrar ambas as características em um mesmo medidor que muitas vezes também pode medir a potência aparente e o fator de potência Figura 1117 t FIGURA 1117 Medidor de potência em forma de alicate produzido pela Amprobe capaz de medir correntes de até 400 A e tensões de até 600 V AMPROBE Real Ief cos θ φ Ief sen θ φ Imaginário Ief Vef θ φ p FIGURA 1116 O fasor Ief é decomposto em dois componentes um em fase com o fasor Vef e o outro 90o defasado Este último componente é chamado de componente em quadratura S P Q θ φ Re Im p FIGURA 1115 Representação da potência complexa por meio do triângulo de potência APLICAÇÃO CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA Quando potência elétrica é fornecida a grandes consu midores industriais a empresa concessionária de energia frequentemente inclui uma cláusula a respeito do FP em sua tarifação De acordo com essa cláusula um preço adicional é cobrado do consumidor sempre que o FP cair abaixo de um determinado valor em geral em torno de 085 atrasado Não é muito comum encontrar cargas industriais consumindo potência com FP adiantado graças à natureza típica destas cargas Várias razões forçam as empresas concessionárias a cobrar mais por FPs baixos Em geral uma maior corrente está associada à operação com um FP baixo em potência e tensão constantes o que demanda uma maior capacidade de geração Além disso a circulação de maiores correntes leva a maiores perdas nos sistemas de transmissão e distribuição Em uma tentativa de cortar as perdas e encorajar os consumidores a operarem com um FP elevado uma deter minada empresa concessionária de energia aplica uma multa de R 022kVAR para cada kVAR acima de um valor de referência calculado como 062 vezes a demanda de potência média S P j Q P j062P P1 j062 P1177 318 Este valor corresponde a um FP de 085 atrasado já que cos 318o 085 e Q é positiva isto está representado graficamente na Figura 1118 Clientes com um FP abaixo da meta estão sujeitos a multas FP maior que 085 FP abaixo de 085 Corresponde a um FP de 085 atrasado 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 Potência Média kW 6000 7000 8000 900010000 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 Potência Reativa kVAR p FIGURA 1118 Gráfico mostrando uma relação aceitável para as potências reativa e média em função do fator de potência de 085 atrasado adotado como meta A potência reativa é comumente ajustada por meio da instalação de capacitores de compensação em paralelo com a carga tipicamente na subestação presente na parte externa da indústria Podese mostrar que o valor neces sário de capacitância é C Ptan θvelho tan θnovo ωV 2rms 28 onde Ω é a frequência angular θvelho é o FP atual e θnovo é o FP que se deseja obter Por conveniência bancos de capacitores são fabricados para suprir determinados valo res de kVAR Um exemplo de instalação como essa está mostrado na Figura 1119 p FIGURA 1119 Uma instalação com capacitores de compensação Cortesia de Nokian Capacitors Ltd Vamos agora considerar um exemplo específico Uma determinada planta industrial tem uma demanda mensal de pico de 5000 kW e uma demanda de reativo de 6000 kVAR Usando a tarifação acima qual é o gasto anual que este cliente tem com as multas referentes ao FP Se a concessionária de energia disponibilizar uma compen sação capacitiva ao custo de R 239000 por incremento de 1000 kVAR e R 313000 por incremento de 2000 kVAR qual é a melhor relação custobenefício para o consumidor O FP da instalação é o ângulo da potência complexa S que neste caso é dada por 5000 j6000 kVA Logo o ângulo é tan1 60005000 5019o e o FP é de 064 atrasado A meta para a potência reativa calculada como 062 vezes a demanda de pico é igual a 0625000 3100 kVAR Assim a planta está drenando 6000 3100 2900 kVAR a mais do que o valor limite estipulado pela concessionária a partir do qual multas são aplicadas Isto representa um gasto adicional de 122900022 R 765600 por ano em decorrência de multas Se o cliente optar por instalar apenas um banco de capacitores de 1000 kVAR a um custo de R 239000 o excesso de potência reativa é reduzido para 2900 1000 1900 kVAR de forma que a multa anual é agora de 121900022 R 501600 Temse portanto um custo anual de R 501600 R 239000 R 740600 o que representa uma economia de R 25000 Se o cliente optar por instalar apenas um banco de capacitores de 2000 kVAR a um custo de R 313000 o excesso de potência reativa é reduzido para 2900 2000 900 kVAR de forma que o valor total da multa ao longo de um ano é agora de 12900022 R237600 Com isso temse um custo total anual de R 237600 R 313000 R 550600 o que representa uma economia de R 215000 por ano Se no entanto o consumidor resolver instalar um banco de capacitores de 3000 kVAR de forma a não pagar nenhuma multa isto lhe custará R 1400 a mais por ano em comparação com a instalação de apenas 2000 kVAR É fácil mostrar que a potência complexa fornecida a várias cargas interconectadas é igual à soma das potências complexas fornecidas separa damente a cada uma das cargas não importando como estas cargas estejam interconectadas Por exemplo considere as duas cargas em paralelo mostra das na Figura 1120 Se valores rms forem assumidos a potência complexa total drenada por elas é dada por S VI VI1 I2 VI 1 I 2 e portanto S VI 1 VI 2 conforme afirmamos Um consumidor industrial está operando um motor de indução de 50 kW 671 hp com um FP atrasado de 08 A tensão da fonte é de 230 V rms Para obter uma menor tarifação o consumidor deseja elevar o FP para 095 atrasado Especifique uma solução adequada Embora o FP possa ser elevado com o aumento da potência real mantendose uma potência reativa constante isso não resultaria em uma conta mais baixa e portanto não resolve os problemas do consumidor Uma carga puramente reativa deve ser adicionada ao sistema e está claro que ela deve ser inserida em paralelo já que a tensão de alimentação do motor de indução não deve ser alterada O circuito da Figura 1121 é portanto aplicável se interpretarmos S1 como a potência complexa do motor e S2 como a potência complexa drenada pelo dispositivo de correção A potência complexa fornecida ao motor de indução deve ter uma parte real de 50 kW e um ângulo de cos108 ou 369o Portanto S1 50 369 08 50 j375 kVA Para se obter um FP de 095 a potência complexa total deve se tornar S S1 S2 50 095 cos 1095 50 j1643 kVA u EXEMPLO 119 p FIGURA 1121 V I2 I1 I S2 S1 motor dispositivo de correção p FIGURA 1120 Circuito utilizado para mostrar que a potência complexa drenada por duas cargas em paralelo é igual à soma das potências complexas drenadas pelas cargas individualmente V I2 I1 I S2 S1 Capítulo 11 u Análise de Potência em Circuitos CA 438 Logo a potência complexa drenada pela carga corretiva é S2 j2107 kVA A impedância de carga Z2 necessária pode ser obtida a partir de vários passos simplificados Selecionamos um ângulo de fase de 0o para a fonte de tensão e portanto a corrente drenada por Z2 é I 2 S2 V j21070 230 j916 A ou I2 j916 A Portanto Z2 V I2 230 j916 j251 Se a frequência de operação for igual a 60 Hz esta carga pode ser obtida com a instalação de um capacitor de 1056 mF em paralelo com o motor Entretanto seu custo inicial manutenção e depreciação devem ser cobertos pela redução na conta de energia u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 119 Para o circuito mostrado na Figura 1122 obtenha a potência complexa absorvida a pelo resistor de 1 Ω b pelo capacitor de j10 Ω c pela impedância de 5 j10 Ω d pela fonte p FIGURA 1122 0 V rms 120 5 V 1 V j10 V j10 V Resposta 266 j0 VA 0 j1331 VA 532 j1065 VA 559 j266 VA u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1110 Uma fonte de tensão de 440 V rms fornece potência a uma carga ZL 10 j2 Ω por meio de uma linha de transmissão com resistência total de 15 Ω Determine a a potência média e a potência aparente forne cidas à carga b as potências média e aparente perdidas na linha de transmissão c as potências média e aparente fornecidas pela fonte d o fator de potência com o qual a fonte opera Resposta 1421 kW 1449 kVA 2131 kW 2131 kVA 1634 kW 1659 kVA 0985 atrasado 439 Resumo e revisão RESUMO E REVISÃO Neste capítulo foi introduzido um número adequado de termos referentes à potência resumidos na Tabela 112 que podem parecer bastante distintos da unidade watt empregada até então A nova terminologia é em grande parte relevante para sistemas de potência CA onde tensões e correntes são de regra considerados senoidal o predomínio no uso de fontes chaveadas na maioria dos computadores pode alterar esta situação um tema para textos mais avançados em Sistemas de Potência Depois de esclarecer o que se entende por potência instantânea discutimos o conceito de potência média P Esta grandeza não está em função do tempo mas é uma forte fun ção da diferença de fase entre as formas de onda de tensão e corrente senoi dais Elementos puramente reativos tais como indutores e capacitores ideais não consomem potência média Uma vez que tais elementos aumentam a magnitude da corrente que flui entre a fonte e a carga no entanto dois novos termos são de uso comum potência aparente e fator de potência A potência média e a potência aparente são exatamente iguais quando a tensão e a corrente estão em fase ou seja relacionadas a uma carga puramente resistiva O fator de potência nos dá um indicador numérico de quanto uma carga particular é reativa um fator de potência FP unitário corresponde a uma carga puramente resistiva se há indutores presentes eles estão sendo cancelados por uma capacitância apropriada um FP zero indica uma carga puramente reativa e o sinal do ângulo indica se a carga é capacitiva ou indutiva Colocando todos estes conceitos juntos permitiunos criar uma representação mais compacta conhecida como potência complexa S O módulo de S é a potência aparente P é a parte real de S e Q a potência reativa zero para cargas resistivas é a parte imaginária de S TABELA 112 u Um Resumo de Termos Relevantes Descrição Unidade Símbolo Grandeza Potência instantânea pt W W pt υtit É o valor da potência em um instante de tempo Potência Média P No regime permanente senoidal P 1 2 Vm Im cosθ φ onde θ é o ângulo da tensão e φ é ângulo da corrente Reatâncias Valor eficaz ou rms Vrms ou Irms V ou A Definido como Ief 1 T T 0 i2 dt seit for senoidal então Ief Im 2 Potência aparente S VA S Vef Ief e corresponde ao máximo valor que a potência Fator de potência FP Nenhuma Relação entre a potência média e a potência aparente O FP é Potência reativa Q VAR É uma maneira de se medir a taxa de troca de energia entre Potência complexa S VA Uma grandeza complexa conveniente que contém tanto a específico Não é o produto dos fasores de tensão e corrente não contribuem para P média pode atingir P S apenas para cargas resistivas puras igual a unidade para uma carga puramente resistiva e zero para uma carga puramente reativa cargas reativas potência média P quanto a potência reativa Q S P jQ Capítulo 11 u Análise de Potência em Circuitos CA 440 Ao longo do caminho fizemos uma pausa para introduzir a noção de valo res eficazes de corrente e tensão muitas vezes referidos como valores rms Deve se tomar cuidado deste ponto em diante ao estabelecer se um valor de tensão ou corrente em particular está sendo referido como o módulo ou o seu valor rms correspondente pois 40 de erro pode ser introduzido Curiosamente também descobrimos uma extensão do teorema da máxima potência encontrado no Capítulo 5 ou seja que a máxima potência média é entregue a uma carga cuja impedância ZL é o complexo conjugado da impedância equivalente de Thévenin da rede à qual ele está conectado Por conveniência estão resumidos a seguir os pontos fundamentais do capítulo juntamente com os números de exemplo correspondentes f A potência instantânea absorvida por um elemento é dada pela expressão pt vtit Exemplos 111 112 f A potência média fornecida a uma impedância por uma fonte senoi dal é dada por 12VmImcos θ ϕ onde θ ângulo de fase da tensão e ϕ ângulo de fase da corrente Exemplo 112 f Apenas o componente resistivo de uma carga drena potência média diferente de zero A potência média entregue ao componente reativo de uma carga é nula Exemplos 113 114 f Máxima transferência de potência ocorre quando a condição ZL Zth é satisfeita Exemplo 115 f Quando estão presentes múltiplas fontes cada uma operando em uma frequência diferente as contribuições individuais para a potên cia média pode ser somadas Isso não é verdadeiro para fontes ope rando na mesma frequência Exemplos 116 117 f O valor eficaz ou rms de um sinal senoidal é obtido com a divisão de seu valor máximo por 2 f O fator de potência FP de uma carga é a relação entre a potência média dissipada e a potência aparente Exemplo 118 f Uma carga puramente resistiva tem fator de potência unitário Uma carga puramente reativa tem fator de potência nulo Exemplo 118 f A potência complexa é definida como S P jQ ou S VefIef Sua unidade é o voltampère VA Exemplo 119 f A potência reativa é a parte imaginária da potência complexa e é uma medida da taxa de troca de energia entre os componentes reativos de uma carga Sua unidade é o voltampèrerreativo VAR Exemplo 119 f Bancos de capacitores são comumente usados para melhorar o FP de cargas industriais de forma a minimizar a demanda de potência reativa Exemplo 119 LEITURA COMPLEMENTAR Uma boa revisão a respeito de conceitos sobre a potência CA pode ser encontrada no Capítulo 2 de B M Weedy Electric Power Systems 3rd ed Chichester England Wiley 1984 Exercícios 441 Assuntos contemporâneos referentes aos sistemas elétricos de potência podem ser encontrados em International Journal of Electrical Power Energy Systems Guil dford England IPC Science and Technology Press 1979 ISSN 01420615 EXERCÍCIOS 111 Potência Instantânea 1 Determine a potência instantânea entregue ao resistor de 1 Ω da Figura 1123 em t 0 t 1 s e t 2 s se υs é igual a 9 V b 9 sen 2t V d 9 sen 2t 13 V d 9 et V 2 Determine a potência absorvida em t 15 ms por cada um dos três elementos do circuito mostrado na Figura 1124 se υs é igual a a 30u t V b 10 20 ut V 3 Calcule a potência absorvida em t 0 t 0 e t 200 ms por cada um dos elementos do circuito da Figura 1125 se υs é igual a a 10u t V b 20 5ut V t FIGURA 1125 250 mH 1 V it υs 4 Três elementos estão ligados em paralelo um resistor de 1 kΩ um indutor de 15 mH e uma fonte senoidal de 100 cos 2 105 t mA Todos os transitórios já desapareceram há algum tempo de modo que o circuito está operando em regime permanente determine a potência absorvida por cada um dos elementos em t 10 μs 5 Seja is 4u t A no circuito da Figura 1126 a Mostre que para todo t 0 a potência instantânea absorvida pelo resistor é igual em valor mas com sinal oposto da potência instantânea absorvida pelo capacitor b determine a potên cia absorvida pelo resistor em t 60 ms 6 A fonte de corrente no circuito da Figura 1126 é dada por is 8 7ut A Calcule a potência absorvida por todos os três elementos em t 0 t 0 e t 75 ms 7 Assumindo que não há transitórios presentes calcule a potência absorvida por cada elemento mostrado no circuito da Figura 1127 em t 0 10 e 20 ms t FIGURA 1127 25 cos 10t A 1 V 4 V 4 mF 8 Na Figura 1128 calcule a potência absorvida pelo indutor em t 0 e t 1 s se υs 10 ut V p FIGURA 1123 i υs 4 V 1 V p FIGURA 1124 i υC υs 500 V 4 μF p FIGURA 1126 6 V 10 mF is p FIGURA 1128 1 V 10 V 2 F 05 H υs Capítulo 11 u Análise de Potência em Circuitos CA 442 9 Um capacitor de 100 mF está armazenando 100 mJ de energia até o momento em que um condutor de resistência de 12 Ω cai sobre seus terminais Qual é a potência instantânea dissipada no condutor em t 120 ms Se o calor especí fico3 do condutor é de 09 kJkg K e a sua massa é de 1 g estime o aumento na temperatura do condutor no primeiro segundo de descarga do capacitor assumindo que a temperatura inicial de ambos os elementos seja de 23 C 10 Se considerarmos uma descarga atmosférica nuvemsolo típica para representar uma corrente de 30 kA num intervalo de 150 μs calcule a a potência ins tantânea entregue a uma haste de cobre com resistência de 12 mΩ durante a descarga b calcule a energia total entregue à haste 112 Potência Média 11 A corrente fasorial I 915o mA a senoide operando em 45 rads é aplicada à uma associação em série de um resistor de 18 kΩ e um capacitor de 1 μF Obtenha uma expressão para a a potência instantânea e b a potência média absorvida pela carga combinada 12 Uma tensão fasorial V 10045o V a senoide operando em 155 rads é apli cada na associação paralela de um resistor de 1 Ω e um indutor de 1 mH a Obtenha uma expressão para a energia média absorvida por cada elemento passivo b faça o gráfico da potência instantânea fornecida à associação em paralelo juntamente com a potência instantânea absorvida por cada elemento separadamente Utilize um único gráfico 13 Calcule a potência média fornecida pela corrente 4 j2 A para a Z 9 Ω b Z j1000 c Z 1 j2 j3 d Z 6 32 e Z 15 19 2 j k 14 Com relação ao circuito de duas malhas da Figura 1129 determine a potência média absorvida por cada elemento passivo e a potência média fornecida por cada fonte e verifique se a potência média total fornecida potência média total absorvida t FIGURA 1129 j31 V j7 V 5 V I1 I2 152 0 V 79 40 V 15 a Calcule a potência média absorvida por cada elemento passivo no circuito da Figura 1130 e verifique se ela é igual a potência média fornecida pela fonte b verifique sua solução com uma simulação apropriada no PSpice t FIGURA 1130 j15 V 3 V 1 V j28 V 3 V 194 16 a Qual impedância de carga ZL vai extrair a máxima potência média da fonte mostrada na Figura 1131 b Calcule a máxima potência média fornecida à carga 17 A indutância da Figura 1131 é substituída pela impedância de 9 j8 kΩ Repita o Exercício 16 3 Assuma que o calor específico c seja dado por cQm T onde Q energia entregue ao condutor m é sua massa e T é o aumento na temperatura p FIGURA 1131 j700 V 225 V 60 V 15 ZL Exercícios 443 18 Determine a potência média fornecida pela fonte dependente no circuito da Figura 1132 19 a Calcule a potência média fornecida a cada elemento passivo no circuito da Figura 1133 b determine a potência fornecida por cada fonte c substitua a carga resistiva de 8 Ω com uma impedância capaz de drenar a máxima potência média do circuito remanescente d Verifique sua solução com uma simulação no PSpice t FIGURA 1133 Ix j192 V j2 A 48 V 8 V 16Ix 20 a Calcule o valor médio de cada forma de onda mostrada na Figura 1134 b eleve ao quadrado cada forma de onda e determine o valor médio de cada nova forma de onda periódica t FIGURA 1134 1 2 0 2 4 8 6 10 2 a i A t s 5 0 1 2 1 2 3 4 5 6 3 b i A t ms 21 Calcule a potência média entregue a uma carga de 22 Ω pela tensão vs igual a a 5 V b 4 cos 80t 8 sen 80t V c 10 cos 100t 125 cos 100t 19º V 113 Valores Eficazes de Tensão e Corrente 22 Calcule o valor eficaz das seguintes formas de onda a 7 sen 30t V b 100 cos 80t mA c 120 2 cos 5000t 45o V d 100 2 sen 2t 72o A 23 Determine o valor eficaz das seguintes formas de onda a 625 cos 100 t mV b 195 cos 2t A c 280 2 cos 100πt 29o V d 400 2 sen 2000 t 14 A 24 Calcule o valor eficaz de a it 3 sen 4t vt 4 sen 20t cos 10t b it 2 sen 10t mA c a forma de onda da Figura 1135 t FIGURA 1135 282 1 2 3 4 5 6 7 it mA t s p FIGURA 1132 VC 2 V j2 V 3 V 20 0 V 2VC Capítulo 11 u Análise de Potência em Circuitos CA 444 25 Para cada forma de onda representada na Figura 1134 determine sua frequên cia período e valor eficaz 26 Determine os valores médio e eficaz de cada forma de onda representada na Figura 1136 u FIGURA 1136 9 1 2 3 4 5 6 7 it mA t s 1 1 01 01 02 03 04 05 f t t ms a b 27 Uma associação em série de um resistor de 1 kΩ e um indutor de 2 H não deve dissipar mais de 250 mW de potência instantânea Supondo uma corrente senoidal cuja frequência é ω500 rads qual a maior corrente eficaz que pode circular por esta associação em série 28 Para cada uma das seguintes formas de onda determine o seu período sua frequência e seu valor eficaz a 5 V b 2 sen 80t 7 cos 20t 5 V c 5 cos 50t 3 sen 50t V d 8 cos2 90t mA e Verifique suas respostas com uma simulação apropriada 29 Em relação ao circuito da Figura 1137 determine se um valor puramente real de R pode resultar na mesma tensão eficaz sobre o indutor de 14 mH e o resistor R Em caso afirmativo calcule o valor de R e a tensão eficaz neste elemento caso contrário explique por que isto não é possível t FIGURA 1137 208 cos 40t V R 14 mH 28 mH 30 a Calcule os valores médio e eficaz da forma de onda da Figura 1138 b verifique suas soluções com simulações apropriadas no PSpice Dica você pode empregar duas formas de onda de pulso somadas p FIGURA 1138 1 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 υt t s Exercícios 445 114 Potência Aparente e Fator de Potência 31 Para o circuito da Figura 1139 calcule a potência média entregue para cada carga a potência aparente fornecida pela fonte e o fator de potência da carga total se a Z1 1432o Ω e Z2 22 Ω b Z1 20o Ω e Z2 6 jΩ c Z1 10070o Ω e Z2 7590o Ω 32 Calcule o fator de potência da carga total do circuito representado na Figura 1139 se a as cargas são puramente resistivas b ambas as cargas são pura mente indutivas e ω 100 rad s c ambas as cargas são puramente capacitivas e ω 200 rads d Z1 2Z2 5 j8 Ω 33 Uma determinada carga está ligada em um sistema de alimentação CA Saben do que a carga é caracterizada por perdas resistivas associadas a outras perdas existentes em capacitores indutores ou nenhum desses elementos observação as perdas podem existir em apenas um tipo de elemento mas nunca em ambos simultaneamente qual o tipo de elemento reativo é parte da carga se o fator de potência medido é a unitário b 085 atrasado c 0221 adiantado d cos 90 34 Uma carga desconhecida está conectada a uma tomada elétrica padrão europeu 240 V rms 50 Hz Determine a diferença do ângulo de fase entre a tensão e a corrente e se a tensão está adiantada ou atrasada em relação à corrente se a V 24043o V rms e I 39o A rms b o fator de potência da carga é de 055 atrasado c o fator de potência da carga é 0685 adiantado d a carga capacitiva drena uma potência média de 100 W e 500 voltampéres de potência aparente 35 a Projete uma carga que drene uma potência média de 25 W com um FP adiantado de 088 de uma tomada elétrica padrão norteamericano 120 V rms 60 Hz b projete uma carga sem capacitor que drene uma potência média de 150 W e potência aparente de 25 VA de uma tomada elétrica padrão leste do Japão 110 V rms 50 Hz 36 Assumindo uma frequência de operação de 40 rads para o circuito mostrado na Figura 1140 e uma impedância de carga de 50100o Ω calcule a a potência instantânea entregue separadamente para a carga e para o resistor shunt 1 kΩ em t 20 ms b a potência média entregue aos dois elementos passivos c a potência aparente fornecida à carga d o fator de potência de operação da fonte 37 Calcule o fator de potência em que a fonte na Figura 1140 está operando se a carga é a puramente resistiva b 1000 j900 Ω c 5005o Ω 38 Determine a impedância de carga para o circuito ilustrado na Figura 1140 se a fonte está operando com um PF de a 095 adiantado b unitário c 045 atrasado 39 Para o circuito da Figura 1141 encontre a potência aparente entregue a cada carga e o fator de potência em que a fonte opera se a ZA 5 j2 Ω ZB 3 Ω ZC 8 j4 Ω e ZD 1530o Ω b ZA 215o Ω ZB 1 Ω ZC 2 jΩ e ZD 445o Ω t FIGURA 1141 200 0 V rms ZA ZB ZD ZC p FIGURA 1139 I 119 3 V rms Z1 Z2 p FIGURA 1140 I 1 kV 275 20 mA Carga Capítulo 11 u Análise de Potência em Circuitos CA 446 115 Potência Complexa 40 Calcule a potência complexa S na forma polar drenada por uma determinada carga se é sabido que a ela dissipa 100 W de potência média com FP de 075 atrasado b ela drena uma corrente I 9 j5 A rms quando é submetida a uma tensão de 12032o V rms c ela drena uma potência média de 1000 W e uma potência reativa de 10 VAR com FP adiantado d ele drena uma potência aparente de 450 W com um FP de 065 atrasado 41 Calcule a potência aparente o fator de potência e a potência reativa associados uma carga se ela dissipa uma potência complexa S igual a a 1 j05 kVA b 400 VA c 15021o VA d 7525o VA 42 Para cada triângulo de potência representado na Figura 1142 determine S na forma polar e o FP p FIGURA 1142 15 S S 10 05 1 a 2 3 Re W Re kW 1 2 3 4 1 b 2 Im VAR Im kVAR 43 Referindose à rede representada na Figura 1121 se o motor drena uma potên cia complexa de 15024o VA a determine o FP em que a fonte opera b determine a impedância do dispositivo de correção necessária para alterar o FP da fonte para 098 atrasado c é fisicamente possível obter um FP adiantado para a fonte Explique 44 Determine a potência complexa absorvida por cada componente passivo no circuito da Figura 1143 e o fator de potência em que a fonte está operando t FIGURA 1143 45 V rms 240 18 V 18 V j10 V 1000 V j5 V 45 Qual valor de capacitância deve ser adicionado em paralelo com o resistor de 10 Ω da Figura 1144 para aumentar a FP da fonte para 095 a 50 Hz t FIGURA 1144 j20 V j10 V 20 V 10 V 100 0 V rms Exercícios 447 46 A operação do forno de uma madeireira local tem uma demanda mensal de potência média de 175 kW mas associado a um consumo médio mensal de energia reativa de 205 kVAR Se a concessionária que fornece energia para a madeireira cobra 015 por kVAR para cada kVAR acima do valor de referên cia 07 vezes o pico da demanda de potência média a estime o custo anual para a madeireira de multas devido à violação do Fator de Potência b calcule a quantia economizada nos primeiro e segundo anos respectivamente se 100 kVAR de capacitores para compensação podem ser comprados por 75 cada com valor da instalação incluso 47 Calcule a potência complexa entregue a cada componente passivo do circuito mostrado na Figura 1145 e determine o fator de potência da fonte t FIGURA 1145 10 V 15 V 17 V rms 50 j25 V j30 V 48 Substitua o resistor de10 Ω no circuito da Figura 1145 por um indutor de 200 mH adote uma frequência de operação de 10 rads e calcule a o FP da fonte b a potência aparente fornecida pela fonte c a energia reativa entregue pela fonte 49 Em vez de incluir um capacitor conforme indicado na Figura 1145 o circuito é erroneamente construído usando dois indutores idênticos cada um com uma impedância j30 operando numa frequência de 50 Hz a Calcule a potência complexa entregue a cada componente passivo b verifique sua solução pelo cálculo da potência complexa fornecida pela fonte c em que o fator de potên cia a fonte está operando 50 Utilizando a mesma estratégia empregada no Exemplo 119 deduza a Equação 28 a qual permite calcular o valor da capacitância para a correção do FP para uma frequência de operação qualquer Exercícios de integração do capítulo 51 Uma carga drena 10 A rms quando ligada a uma fonte de alimentação de 1200 V rms operando em 50 Hz Se a fonte trabalha com um FP de 09 atrasado calcule a o valor da tensão de pico b a potência instantânea absorvida pela carga em t 1 ms c a potência aparente fornecida pela fonte d a potência reativa fornecida para a carga e a impedância da carga e f a potência complexa fornecida pela fonte na forma polar 52 Para o circuito da Figura 1146 assuma que a fonte opera em uma frequência de 100 rads a determine o FP em que a fonte está operando b Calcule a potência aparente absorvida por cada um dos três elementos passivos c Calcule a potência média fornecida pela fonte d determine o equivalente de Thévenin visto a partir dos terminais indicados por a e b e calcule a potência média entregue a um resistor de 100 Ω ligado entre os mesmos terminais t FIGURA 1146 50 V a b 0 A 5 j60 V 80 V Capítulo 11 u Análise de Potência em Circuitos CA 448 53 Retire o resistor de 50 Ω da Figura 1146 assuma uma frequência de operação de 50 Hz e a determine o fator de potência da carga b calcule a potência média entregue pela fonte c calcule o potência instantânea absorvida pela indutância em t 2 ms d determine a capacitância que deve ser ligada entre os terminais a e b para aumentar o FP da fonte para 095 54 Uma fonte 45 sen 32t V é ligada em série com um resistor de 5 Ω e um indutor de 20 mH Calcule a a potência reativa entregue pela fonte b o potência aparente absorvida por cada um dos três elementos c a potência complexa S absorvida por cada um dos elementos d o fator de potência em que a fonte está operando 55 Para o circuito da Figura 1137 a deduza uma expressão para a potência complexa entregue pela fonte em termos da uma resistência R desconhecida b calcule a capacitância necessária que deve ser adicionada em paralelo ao indutor de 28 mH para alcançar um FP unitário INTRODUÇÃO A grande maioria da energia elétrica é fornecida aos consumidores na forma de tensões e correntes senoidais normalmente chamadas de corrente alternada ou sim plesmente CA Embora haja exceções como por exemplo alguns tipos de motores de trem a maioria dos equipamentos são projetados para funcionar em 50 ou 60 Hz A maioria dos sistemas em 60 Hz são agora padronizados para funcionarem em 120 V ou 220 V enquanto os sistemas de 50 Hz tipicamente utilizam a tensão de 240 V sendo que em ambos os casos esses valores são em RMS1 A tensão real entregue a um aparelho pode ser um pouco diferente destes valores e sistemas de distribuição utilizam tensões significativamente mais elevadas para minimizar o valor da corrente e consequentemente o diâmetro do cabo Originalmente Thomas Edison defendeu uma rede de distribuição de energia puramente CC supostamente devido à sua preferência pela álgebra simples necessária para analisar tais circuitos Nikola Tesla e George Westinghouse outros dois pioneiros no campo da eletricidade propuseram sistemas de distribuição em CA visto que as perdas alcançadas foram significativamente menores No final eles foram mais persuasivos apesar de algumas manifestações bastante teatrais feitas por Edison A resposta transitória de sistemas de potência CA é de interesse quando da deter minação do pico de demanda de potência pois a maioria dos equipamentos requer uma corrente maior na partida do que durante sua operação contínua Geralmente no entanto temse maior interesse na operação do sistema em regime permanente e com isso nossa experiência com a análise fasorial se mostrará bastante oportuna Neste capítulo apresentaremos um novo tipo de fonte de tensão a fonte trifásica que pode ser conectada em uma configuração Y a três ou quatro fios ou em uma configuração em a três fios Cargas também podem ser conectadas em Y ou em dependendo da aplicação 1 N de T Esses valores de tensão e frequência são referentes a padrões americanos e europeus Em outros países os valores são diferentes como por exemplo no Brasil onde se utiliza 127 V 220 V em 60 Hz Circuitos Polifásicos 12 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Sistemas de Potência Monofásicos Sistemas de Potência Trifásicos Fontes Trifásicas Tensão de Linha versus Tensão de Fase Corrente de Linha versus Corrente de Linha Redes Conectadas em Estrela Redes Conectadas em Triângulo Cargas Balanceadas Análise por Fase Medição de Potência em Sistemas Trifásicos Capítulo 12 u Circuitos Polifásicos 450 121 SISTEMAS POLIFÁSICOS Até agora sempre que usamos o termo fonte senoidal imaginamos uma única tensão ou corrente senoidal com amplitude frequência e fase específicas Neste capítulo apresentamos o conceito de fontes polifásicas mantendo o foco em sistemas trifásicos Há distintas vantagens no uso de máquinas elétricas para gerar potência trifásica em vez de potência monofá sica e além disso há vantagens econômicas que favorecem a transmissão de energia via sistemas trifásicos Embora a maioria dos equipamentos que tenhamos visto até agora seja monofásica equipamentos trifásicos não são incomuns especialmente em ambientes industriais Em particular motores usados em grandes sistemas de refrigeração e em maquinários frequente mente consomem potência trifásica Nas demais aplicações uma vez que estivermos familiarizados com os fundamentos dos sistemas polifásicos veremos que é simples obter potência monofásica por meio da conexão de apenas uma perna do sistema polifásico Vamos olhar rapidamente para o mais comum dos sistemas polifásicos o sistema trifásico balanceado A fonte possui três terminais sem contar com uma conexão de neutro ou de terra e medições feitas com um voltí metro mostram que tensões senoidais com amplitudes iguais estão presen tes entre quaisquer dois terminais Entretanto essas tensões não estão em fase cada uma das três tensões está 120o defasada das outras duas com o sinal do ângulo de fase dependendo da sequência das tensões Um conjunto possível de tensões está mostrado na Figura 121 Uma carga balanceada drena uma potência igual a partir de cada uma das três fases Em nenhum momento a potência instantânea drenada pela carga se anula na realida de a potência instantânea total é constante Isto é vantajoso na operação de máquinas elétricas pois mantémse o torque no motor de forma muito mais constante do que se obteria com o emprego de uma fonte monofásica Como resultado há menos vibração 04 06 02 02 0 04 06 08 10 08 10 Volts t s 0005 001 0015 002 0025 003 0035 004 0 p FIGURA 121 Exemplo de conjunto de três tensões cada uma 120o defasada das outras duas Como pode ser visto apenas uma das tensões se anula em um dado momento Seção 121 u Sistemas polifásicos 451 O uso de um maior número de fases como em sistemas com 6 ou 12 fases é limitado quase inteiramente à alimentação de grandes retificadores Retificadores convertem corrente alternada em corrente contínua simplesmente fazendo com que a corrente flua sempre em uma única direção de forma que a polaridade da tensão na carga seja sempre a mesma A saída de um retificador é dada por uma corrente contínua somada a uma parcela pulsante de pequena amplitude ou ripple que cai à medida que o número de fases aumenta Quase sem exceção sistemas polifásicos reais contêm fontes que podem ser bem aproximadas com o uso de fontes ideais ou de fontes ideais em série com pequenas impedâncias internas Fontes de corrente trifásicas são extremamente raras Notação com Subscrito Duplo É conveniente descrever tensões e correntes polifásicas usando a notação com subscrito duplo Com esta notação uma tensão ou corrente como por exemplo Vab ou IaA tem mais significado do que se fosse indicada simples mente como V3 ou Ix Por definição a tensão no ponto a em relação ao ponto b é Vab Com isso o sinal positivo está localizado em a conforme indicado na Figura 122a Consideramos portanto os subscritos duplos como uma representação equivalente a um par de sinais mais e menos o uso de ambos seria redundante Com referência à Figura 122b por exemplo vemos que Vad Vab Vcd A vantagem da notação com subscrito duplo reside no fato de a lei de Kirchhoff das tensões requerer que a tensão entre dois pontos seja a mesma independentemente do caminho escolhido entre os pontos logo Vad Vab Vbd Vac Vcd Vab Vbc Vcd e assim por diante O benefício disso é que a LKT pode ser satisfeita sem que se faça referência ao diagrama do circuito equações corretas podem ser escritas mesmo que um ponto ou subscrito não esteja diretamente marcado no diagrama Por exem plo poderíamos ter escrito Vad Vax Vxd onde x identifica a localização de qualquer ponto interessante que porventura venhamos a escolher Uma representação possível para um sistema trifásico2 é mostrada na Figura 123 Vamos assumir que as tensões Van Vbn e Vcn sejam conhecidas Van 100 0 V Vbn 100 120 V Vcn 100 240 V A tensão Vab pode ser encontrada simplesmente observandose os subscritos Vab Van Vnb Van Vbn 100 0 100 120 V 100 50 j866 V 1732 30 V As três tensões dadas e a construção do fasor Vab estão ilustradas no diagrama fasorial da Figura 124 2 Mantendo a convenção adotada na indústria de potência valores de tensão e corrente rms serão usados implicitamente ao longo deste capítulo Vcn Vbn Van Vnb Vab Van Vnb 30 120 120 p FIGURA 124 Este diagrama fasorial ilustra o uso gráfico da convenção de tensão com subscrito duplo para se obter Vab na rede da Figura 123 120 V c b a n 100 100 120 V 0 V 100 p FIGURA 123 Rede usada como exemplo numérico da notação com subscrito duplo Vab a b a b a c b d p FIGURA 122 a definição da tensão Vab b Vad Vab Vbc Vcd Vab Vcd Capítulo 12 u Circuitos Polifásicos 452 A notação com subscrito duplo também pode ser aplicada às correntes Definimos a corrente Iab como a corrente que flui de a para b passando pelo caminho mais direto Em cada circuito completo que considerarmos é claro que deve haver pelo menos dois caminhos possíveis entre os pon tos a e b e concordamos aqui que não usaremos a notação com subscrito duplo a menos que seja óbvio que um dos caminhos seja muito mais curto ou muito mais direto Normalmente este caminho passa por um único elemento Logo a corrente Iab está corretamente indicada na Figura 125 Na realidade nem mesmo precisaríamos de uma seta de direção para falar desta corrente os subscritos nos dizem a direção Entretanto a identificação de uma corrente Icd no circuito da Figura 125 causaria confusão u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 121 Assuma Vab 1000o V Vbd 4080o V e Vca 70200o V Determine a Vad b Vbc c Vcd 122 Refirase ao circuito da Figura 126 e assuma If j 3 A Ide 2 A e Ihd 6 A Determine a Icd b Ief c Iij 5 A 2 A 8 A 4 A 10 A c g k h i d e l a b j f t FIGURA 126 Resposta 121 1140202o V 4181450o V 440206o V 122 3 A 7 A 7 A 122 SISTEMAS MONOFÁSICOS A TRÊS FIOS Antes de estudar os sistemas polifásicos em detalhes pode ser útil começar visualizando um simples sistema monofásico a três fios Uma fonte monofá sica a três fios é definida como uma fonte com três terminais de saída tais quais os terminais a n e b na Figura 127a onde as tensões fasoriais Van e Vnb são iguais A fonte pode ser portanto representada pela combinação de duas fontes de tensão idênticas na Figura 127b Van Vnb V1 Está claro que Vab 2Van 2 Vnb e temos portanto uma fonte à qual cargas operando em qualquer uma das duas tensões podem ser conectadas No Brasil é comum encontrar a configuração monofásica a três fios em áreas rurais onde é possí vel conectar eletrodomésticos que trabalham tanto em 110 V quanto em 220 V Cargas que trabalham com uma tensão mais alta são normalmente aquelas Icd Icd Iab a c d b p FIGURA 125 Ilustração do uso e do mau uso da convenção de subscrito duplo na notação de correntes Fonte monofásica a três fios a n b a V1 V1 a n b b p FIGURA 127 a Fonte monofásica a três fios b Representação de uma fonte monofásica a três fios por meio de duas fontes idênticas Seção 122 u Sistemas monofásicos a três fios 453 que drenam grandes quantidades de potência a operação em uma tensão mais alta resulta portanto em uma menor corrente para uma mesma potência Consequentemente fios com menores diâmetros podem ser usados de forma segura nos aparelhos na fiação da residência e no sistema de distribuição da empresa concessionária fios com maiores diâmetros devem ser usados quando se opera com correntes elevadas para que se reduza o aquecimento produzido em decorrência da resistência do fio O nome monofásico é usado porque as tensões Van e Vnb sendo iguais devem ter o mesmo ângulo de fase Analisando de um outro ponto de vista no entanto as tensões entre os fios externos e o fio interno que é normal mente chamado de neutro estão defasadas de exatamente 180o Isto é Van Vbn e Van Vbn 0 Mais tarde veremos que sistemas polifásicos balanceados são caracterizados por um conjunto de tensões com amplitudes iguais cuja soma fasorial é zero Analisando deste ponto de vista então o sistema monofásico a três fios é na realidade um sistema bifásico balance ado Bifásico no entanto é um termo tradicionalmente reservado ao caso relativamente pouco importante de sistemas desbalanceados que utilizam duas fontes de tensão defasadas em 90o Vamos agora considerar um sistema monofásico a três fios que conte nha cargas Zp idênticas entre cada um dos fios externos e o neutro Figura 128 Vamos primeiro assumir que os fios conectando a fonte às cargas sejam condutores perfeitos Como Van Vnb então IaA Van Zp IBb Vnb Zp e portanto InN IBb IAa IBb IaA 0 Logo não há corrente no condutor neutro ele poderia ser removido sem que qualquer corrente ou tensão fosse alterada no sistema Esse resultado é obtido graças à igualdade existente entre as duas cargas e entre as duas fontes Efeito da Impedância Finita dos Condutores Vamos agora considerar o efeito da impedância finita de cada um dos con dutores Se as linhas aA e bB tiverem cada uma delas a mesma impedância esta impedância deve ser adicionada a Zp o que resulta novamente em cargas idênticas e em uma corrente de neutro nula Vamos agora assumir que o neutro possua uma impedância Zn Sem que realizemos uma análise detalhada a superposição nos mostra que a simetria do circuito ainda leva à circulação de uma corrente nula no neutro Além disso a inclusão de qualquer impedância conectando diretamente as linhas externas também resulta em um circuito simétrico e em uma corrente de neutro nula Portan to corrente de neutro nula é uma consequência da operação do sistema com cargas balanceadas ou simétricas a presença de uma impedância de neutro não nula não destrói a simetria a A N B b Vnb Van Zp Zp n p FIGURA 128 Um simples sistema monofásico a três fios As duas cargas são idênticas e a corrente no neutro é nula Capítulo 12 u Circuitos Polifásicos 454 Um sistema monofásico a três fios mais geral contém cargas desiguais conectadas entre as linhas externas e o neutro e uma terceira carga diretamente conectada entre as linhas podese esperar que as impedâncias das duas linhas externas sejam aproximadamente iguais mas a impedância do neutro costuma ser ligeiramente maior Vamos considerar um exemplo de um sistema como esse com interesse particular na corrente que pode fluir no neutro bem como na eficiência com a qual potência é transmitida à carga desbalanceada Analise o sistema mostrado na Figura 129 e determine a potência fornecida a cada uma das três cargas bem como a potência perdida no condutor neutro e nas duas linhas t FIGURA 129 Um típico sistema monofásico a três fios I1 I3 I2 0 V rms 115 0 V rms 115 a b n 1 V 50 V 20 V j10 V 100 V 3 V 1 V A B N f Identifique o objetivo do problema As três cargas no circuito são o resistor de 50 Ω o resistor de 100 Ω e uma impedância de 20 j10 Ω Cada uma das duas linhas tem uma resis tência de 1 Ω e o condutor neutro tem uma resistência de 3 Ω Precisamos das correntes em todos eles para determinar a potência f Reuna as informações conhecidas Temos um circuito monofásico a três fios o diagrama do circuito ilustra do na Figura 129 está completamente identificado As correntes calcula das estarão em unidades rms f Trace um plano O circuito conduz naturalmente à análise de malha por possuir três malhas claramente definidas O resultado da análise será um conjunto de correntes de malha que poderão então ser usadas no cálculo da potência absorvida f Construa um conjunto apropriado de equações As três equações de malha são 115 0 I1 50I1 I2 3I1 I3 0 20 j10I2 100I2 I3 50I2 I1 0 115 0 3I3 I1 100I3 I2 I3 0 podem ser rearranjadas levando às três equações a seguir 54I1 50I2 3I3 115 0 50I1 170 j10I2 100I3 0 3I1 100I2 104I3 115 0 u EXEMPLO 121 Seção 122 u Sistemas monofásicos a três fios 455 f Determine se informações adicionais são necessárias Temos um conjunto com três equações e três incógnitas e é possível portanto tentar uma solução f Tente uma solução Resolvendo para as correntes fasoriais I1 I2 e I3 usando uma calculadora científica obtemos I1 1124 1983 A I2 9389 2447 A I3 1037 2180 A As correntes nas linhas externas são portanto IaA I1 1124 1983 A e IbB I3 1037 15820 A e a corrente no neutro que possui uma amplitude menor é InN I3 I1 09459 1777 A Com isso a potência média drenada por cada carga pode ser determinada P50 I1 I22 50 206 W P100 I3 I22 100 117 W P20 j10 I22 20 1763 W A potência total na carga é igual a 2086 W As perdas em cada um dos condutores é determinada a seguir PaA I12 1 126 W PbB I32 1 108 W PnN InN2 3 3 W o que dá uma perda total de 237 W na linha Os fios são evidentemente bem longos do contrário as perdas relativamente elevadas nas linhas externas causariam um perigoso aumento na temperatura f Verifique a solução Ela é razoável ou esperada A potência total absorvida é igual a 206 117 1763 237 ou 2323 W o que pode ser verificado com a determinação da potência fornecida por cada fonte de tensão Pan 1151124 cos 1983 1216 W Pbn 1151037 cos 2180 1107 W ou um total de 2323 W A eficiência de transmissão do sistema é potência total fornecida à carga potência total gerada 2086 2086 237 898 Este valor seria inacreditável para uma máquina a vapor ou um motor de combustão interna mas é muito baixo para um sistema de distribuição bem projetado Condutores com maiores diâmetros devem ser utilizados se a distância entre a fonte e a carga não puder ser reduzida Note que não precisamos incluir o fator de 12 pois estamos trabalhando com valores rms Imagine o calor produzido por duas lâmpadas incandescentes de 100 W Os condutores externos devem dissipar a mesma quantidade de energia Para que uma baixa temperatura seja mantida nesses condutores é necessária uma grande área de superfície Capítulo 12 u Circuitos Polifásicos 456 IbB IaA IbB InN IaA Vbn Van p FIGURA 1210 As fontes de tensão e três das correntes do circuito da Figura 129 são mostradas em um diagrama fasorial Note que IaA IbB InN 0 Um diagrama fasorial mostrando as duas fontes de tensão as correntes nas linhas externas e a corrente no neutro é construído na Figura 1210 O fato de IaA IbB InN 0 está indicado no diagrama u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 123 Modifique a Figura 129 adicionando uma resistência de 15 Ω em cada um dos condutores externos e uma resistência de 25 Ω no condutor neutro Determine a potência média fornecida a cada uma das três cargas Resposta 1531 W 958 W 1374 W 123 CONEXÃO TRIFÁSICA YY Fontes trifásicas possuem três terminais chamados de terminais de linha e um quarto terminal que pode estar presente ou não a conexão de neutro Come çaremos discutindo uma fonte trifásica que possui uma conexão de neutro Ela pode ser representada por três fontes de tensão ideais conectadas em Y como mostra a Figura 1211 os terminais a b c e n estão disponíveis Considera remos apenas fontes trifásicas balanceadas que podem ser definidas fazendo Van Vbn Vcn e Van Vbn Vcn 0 Essas três tensões cada uma delas existindo entre um terminal de linha e o neutro são chamadas de tensões de fase Se arbitrariamente escolher mos Van como a referência definindo Van Vp 0 onde sempre usaremos Vp na representação da amplitude rms de qualquer uma das tensões de fase então a definição da fonte trifásica indica que Vbn Vp 120 e Vcn Vp 240 ou Vbn Vp 120 e Vcn Vp 240 A primeira é chamada de sequência de fases positiva ou sequência de fases abc e está ilustrada na Figura 1212a a última é denominada sequência de fases negativa ou sequência de fases cba e está indicada no diagrama fasorial da Figura 1212b A B N C a n c b Van Vbn Vcn p FIGURA 1211 Uma fonte trifásica a quatro fios conectada em Y Seção 123 u Conexão trifásica YY 457 A sequência de fases verdadeira de uma fonte trifásica real depende da escolha arbitrária dos três terminais denominados a b e c Eles podem ser sempre escolhidos de forma a fornecer uma sequência de fases positiva e assumiremos que isso tenha sido feito em todos os sistemas que considerarmos Tensões de Linha Vamos agora analisar as tensões entre duas linhas frequentemente chama das de tensões de linha quando as tensões de fase forem aquelas da Figura 1212a É mais fácil fazer isso com a ajuda de um diagrama fasorial já que todos os ângulos são múltiplos de 30o A construção necessária está mos trada na Figura 1213 os resultados são Vab 3Vp 30 1 Vbc 3Vp 90 2 Vca 3Vp 210 3 A lei de Kirchhoff das tensões requer que a soma destas três tensões seja igual a zero o leitor é encorajado a verificar isso como um exercício Se o valor rms de cada uma das tensões de linha for chamado de VL então uma das importantes características de uma fonte trifásica conectada em Y pode ser expressa como VL 3Vp Note que com a sequência de fases positiva Van está adiantada de Vbn e Vbn está adiantada de Vcn neste caso em 120o Da mesma forma Vab está adiantada de Vbc e Vbc está adiantada de Vca em 120o Esta afirmação é válida para a sequência de fases negativa se adiantada for substituída por atrasada p FIGURA 1213 Diagrama fasorial usado para determinar as tensões de linha a partir das tensões de fase fornecidas Algebricamente Vab Van Vbn Vp 0o Vp 120o Vp Vp cos 120o jVp sen 120o Vp 1 12 j 32 3Vp 30o Vcn Vca Vbn Vbc Van Vab 30 p FIGURA 1212 a Sequência de fases positiva ou abc b Sequência de fases negativa ou cba 0 Van Vp 120 Vbn Vp 240 V Vcn Vp sequência a 0 Van Vp 240 Vcn Vp 120 Vbn Vp sequência b a c n N C A B b Zp Zp Zp t FIGURA 1214 Sistema trifásico balanceado conectado em YY com neutro Capítulo 12 u Circuitos Polifásicos 458 Vamos agora conectar uma carga balanceada trifásica em Y à nossa fonte usando três linhas e um neutro como mostra o desenho da Figura 1214 A carga está representada por uma impedância Zp entre cada linha e o neutro As três correntes de linha são determinadas muito facilmente pois temos na realidade três circuitos monofásicos que possuem um terminal compartilhado3 IaA Van Zp IbB Vbn Zp Van 120 Zp IaA 120 IcC IaA 240 e portanto INn IaA IbB IcC 0 Logo o neutro não conduz corrente se a fonte e a carga forem balanceadas e se os quatro fios que as conectam possuírem impedância zero Como isso muda ria se inseríssemos uma impedância ZL em série com cada uma das três linhas e uma impedância Zn no neutro As impedâncias de linha podem ser combinadas com as três impedâncias da carga esta carga efetiva ainda está balanceada e o neutro representado como um condutor perfeito poderia ser removido Logo se nenhuma mudança for promovida no sistema em decorrência de um curto circuito ou de um circuito aberto entre n e N qualquer impedância pode ser inserida no neutro pois a corrente neste condutor permanecerá nula Concluímos então que se tivermos fontes balanceadas cargas balancea das e impedâncias de linha balanceadas um condutor neutro com qualquer impedância pode ser trocado por uma outra impedância incluindo um curtocircuito ou um circuito aberto a troca não afeta as tensões e correntes no circuito É frequentemente útil visualizar um curtocircuito entre os dois terminais de neutro esteja um condutor neutro presente ou não o problema é então reduzido a três problemas monofásicos todos idênticos exceto pela diferença presente no ângulo de fase Dizemos portanto que podemos traba lhar com este problema pensando em um equivalente por fase No circuito da Figura 1215 determine as tensões de fase e de linha e as correntes de fase e de linha no circuito então calcule a potência dissipada na carga 100 60 V 0 V rms 200 Sequência balanceada B C A N n b c a 3 Podese ver que isto é verdade aplicando a superposição e analisando cada fase separadamente u EXEMPLO 122 u FIGURA 1215 Sistema trifásico YY a três fios balanceado Seção 123 u Conexão trifásica YY 459 Como nos foi dada uma das tensões de fase da fonte e nos disseram para usar a sequência de fases positiva as três tensões de fase são Van 200 0 V Vbn 200 120 V Vcn 200 240 V A tensão de linha é 2003 346 V o ângulo de fase de cada tensão de linha pode ser determinado a partir da construção de um diagrama fasorial como fizemos na Figura 1213 na realidade podese aplicar o diagrama fasorial da Figura 1213 subtraindo as tensões de fase usando uma calculadora cientí fica ou evocando as Equações 1 a 3 Vemos que Vab 34630o V Vbc 34690o V e Vca 346210o V A corrente de linha da fase A é IaA Van Zp 200 0 100 60 2 60 A Como sabemos que este é um sistema trifásico balanceado podemos escrever as correntes restantes com base em IaA PAN 2002 cos0 60 200 W Finalmente a potência média absorvida pela fase A é ReVanI aA ou PAN 2002 cos0 60 200 W Logo a potência média total drenada pela carga trifásica é igual a 600 W t FIGURA 1216 O diagrama fasorial que se aplica ao circuito da Figura 1215 Vca Vcn Vab Van Vbc Vbn IbB IaA IcC 30 60 O diagrama fasorial para esse circuito está ilustrado na Figura 1216 Uma vez que soubermos qualquer uma das tensões de linha e qualquer uma das correntes de linha os ângulos das três tensões e das três correntes podem ser facilmente obtidos a partir do diagrama u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 124 Um sistema trifásico a três fios balanceado alimenta uma carga conectada em Y Cada uma das fases contém três cargas em paralelo j100 Ω 100 Ω e 50 j50 Ω Assuma uma sequência de fases positiva com Vab 4000o V Determine a Van b IaA c a potência total drenada pela carga Resposta 23130o V 46230o A 3200 W Antes de trabalhar com outro exemplo esta seria uma boa oportunidade para explorarmos rapidamente algo que falamos na Seção 121 isto é que mesmo que as tensões e correntes de linha possuam valor nulo em instantes Capítulo 12 u Circuitos Polifásicos 460 de tempo específicos a cada 1120 s no Brasil a potência instantânea for necida à carga total nunca é zero Considere novamente a fase A do Exem plo 122 com a tensão e a corrente de linha escritas no domínio do tempo υAN 200 2 cos120πt 0 V e iAN 2 2 cos120πt 60 A Logo a potência instantânea absorvida pela fase A é pAt υANiAN 800 cos120πt cos120πt 60 400cos 60 cos240πt 60 200 400 cos240πt 60 W de forma similar pBt 200 400 cos240πt 300 W e pCt 200 400 cos240πt 180 W A potência instantânea absorvida pela carga total é portanto pt pAt pBt pCt 600 W que independe do tempo e tem o mesmo valor da potência média compu tada no Exemplo 122 Um sistema trifásico balanceado com uma tensão de linha de 300 V alimenta uma carga balanceada conectada em Y com 1200 W e um FP de 08 adiantado Determine a corrente de linha e a impedância por fase da carga A tensão de fase é igual a 3003 V e a potência por fase é 12003 400 W Logo a corrente de linha pode ser obtida a partir da relação de potência 400 300 3 IL08 e a corrente de linha é portanto 289 A O módulo da impedância de fase é dada por Zp Vp IL 300 3 289 60 Como o FP é de 08 adiantado o ângulo de fase da impedância é de 369o logo Zp 60369o Ω u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 125 Um sistema trifásico a três fios balanceado tem uma tensão de linha de 500 V Duas cargas balanceadas conectadas em Y estão presentes Uma delas é uma carga capacitiva com 7 j2 Ω por fase e a outra é uma carga indutiva com 4 j2 Ω por fase Determine a a tensão de fase b a corrente de linha c a potência total drenada pela carga d o fator de potência com o qual a carga está operando Resposta 289 V 975 A 830 kW 0983 atrasado O fator de 2 é necessário para que se faça a conversão a partir de unidades rms u EXEMPLO 123 Seção 123 u Conexão trifásica YY 461 Uma carga de iluminação de 600 W balanceada é adicionada em para lelo ao sistema do Exemplo 123 Determine a nova corrente de linha Primeiro desenhamos um circuito por fase adequado como mostra a Figura 1217 Assumese que a carga de 600 W seja balanceada e igualmente distribu ída entre as três fases resultando em um consumo adicional de 200 W por fase A amplitude da corrente do sistema de iluminação indicada por I1 é determinada por 200 300 3 I1 cos 0 de forma que I1 1155 A De forma similar verificase que a amplitude da corrente na carga capa citiva indicada por I2 não muda em relação ao seu valor prévio já que a tensão em seus terminais permaneceu a mesma I2 289 A Se assumirmos que a fase com a qual estamos trabalhando tenha uma tensão de fase com um ângulo de 0o então uma vez que cos108 369º I1 1155 0 A I2 289 369 A e a corrente de linha é IL I1 I2 387 266 A Podemos verificar nossos resultados calculando a potência gerada por esta fase da fonte Pp 300 3 387 cos 266 600 W o que concorda com o fato de que cada uma das fases fornece agora 200 W à nova carga de iluminação além dos 400 W entregues à carga original u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 126 Três cargas balanceadas conectadas em Y são instaladas em um sistema trifásico balanceado a quatro fios A carga 1 drena uma potência total de 6 kW com FP unitário a carga 2 consome 10 kVA com FP 096 atrasado e a carga 3 demanda 7 kW com FP de 085 atrasado Se a tensão de fase nas cargas é igual a 135 V se cada fase tem uma resis tência de 01 Ω e se o neutro tem uma resistência de 1 Ω determine a a potência total drenada pelas cargas b o FP combinado das cargas c a potência total perdida nos quatro condutores d a tensão de fase na fonte e o fator de potência com o qual a fonte está operando Resposta 226 kW 0954 atrasado 1027 W 1406 V 0957 atrasado Se uma carga em Y desbalanceada for conectada a um sistema trifásico até então balanceado o circuito ainda poderá ser analisado em termos de equivalentes por fase se o condutor neutro estiver presente e se ele tiver u EXEMPLO 124 I2 IL I1 300 3 V rms 200 W 400 W FP 08 adiantado p FIGURA 1217 Circuito equivalente por fase usado para analisar o exemplo de um sistema trifásico com cargas balanceadas Capítulo 12 u Circuitos Polifásicos 462 impedância zero Se qualquer uma destas condições não for satisfeita outros métodos deverão ser usados como a análise de malha ou a análise nodal Entretanto engenheiros que passam a maior parte de seu tempo tra balhando com sistemas trifásicos desbalanceados encontrarão no uso das componentes simétricas uma grande economia de tempo Deixamos este tópico para textos mais avançado 124 A CONEXÃO EM TRIÂNGULO Uma configuração alternativa à conexão de cargas em Y é a conexão de cargas em como mostra a Figura 1218 Esse tipo de configuração é muito comum e não possui uma conexão de neutro a b c A C B n Zp Zp Zp Consideremos uma carga conectada em balanceada que consiste em uma impedância Zp inserida entre cada par de linhas Com referência à Figura 1218 vamos assumir tensões de linha conhecidas VL Vab Vbc Vca ou tensões de fase conhecidas Vp Van Vbn Vcn onde VL 3Vp e Vab 3Vp 30 como vimos anteriormente Pelo fato de a tensão aplicada em cada ramo do ser conhecida as correntes de fase são facilmente obtidas IAB Vab Zp IBC Vbc Zp IC A Vca Zp e suas diferenças nos fornecem as correntes de linha de forma que IaA IAB IC A Como estamos trabalhando com um sistema balanceado as três corren tes de fase possuem amplitudes iguais Ip IAB IBC IC A As correntes de linha também são iguais em amplitude a simetria fica clara a partir do diagrama fasorial da Figura 1219 Temos portanto IL IaA IbB IcC e IL 3Ip u FIGURA 1218 Uma carga balanceada conectada em está presente em um sistema trifásico a três fios Por acaso a fonte está conectada em Y VCA ICA IAB IaA IcC Vcn VAB Van VBC Vbn IBC IbB p FIGURA 1219 Diagrama fasorial que se aplica ao circuito da Figura 1218 se Zp for uma impedância indutiva Seção 124 u A conexão em triângulo 463 Vamos por um momento deixar a fonte de lado e considerar apenas a carga balanceada Se a carga for conectada em então as tensões de fase e de linha são indistinguíveis mas a corrente de linha é 3 vezes maior do que a corrente de fase em uma carga conectada em Y no entanto os termos corrente de fase e corrente de linha se referem à mesma corrente e a tensão de linha é 3 vezes maior do que a tensão de fase Determine a amplitude da corrente de linha em um sistema trifásico que possui tensão de linha de 300 V e fornece 1200 W a uma carga conectada em com um FP de 08 atrasado e em seguida obtenha a impedância de fase Vamos novamente considerar apenas uma fase Ela drena 400 W com FP de 08 atrasado em uma tensão de linha de 300 V Logo 400 300Ip08 e Ip 1667 A e a relação entre as correntes de fase e de linha leva a IL 31667 289 A Sabendo que o ângulo de fase da carga é cos108 369o a impedância em cada fase deve ser portanto Zp 300 1667 369 180 369 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 127 Cada fase de uma carga trifásica balanceada conectada em consiste em um indutor de 200 mH em série com a combinação em paralelo de um capacitor de 5 mF e uma resistência de 200 Ω Assuma uma resis tência nula nos condutores e uma tensão de fase de 200 V com Ω 400 rads Obtenha a a corrente de fase b a corrente de linha c a potência total absorvida pela carga Resposta 1158 A 201 A 693 W Determine a amplitude da corrente de linha em um sistema trifásico que possui uma tensão de linha de 300 V e fornece 1200 W a uma carga conectada em Y com um FP de 08 atrasado este é o mesmo circuito do Exemplo 125 porém com uma carga conectada em Y não Pensando em apenas uma fase temos agora uma tensão de fase de 3003V uma potência de 400 W e um FP de 08 atrasado Logo 400 300 3 Ip08 e Ip 289 portanto IL 289 A u EXEMPLO 125 Mais uma vez tenha em mente que estamos assumindo que todas as tensões e correntes sejam dadas em valores rms u EXEMPLO 126 Capítulo 12 u Circuitos Polifásicos 464 O ângulo de fase da carga é novamente 369o e com isso a impedância em cada fase do Y é Zp 300 3 289 369 60 369 O fator de 3 relaciona não apenas as grandezas de fase e de linha mas também aparece em uma útil expressão que dá a potência total drenada por qualquer carga trifásica balanceada Se assumirmos uma carga conectada em Y com ângulo do fator de potência θ a potência consumida por cada fase é Pp VpIp cos θ VpIL cos θ VL 3 IL cos θ e a potência total é P 3Pp 3VL IL cos θ De forma similar a potência fornecida a cada fase de uma carga conec tada em é Pp VpIp cos θ VL Ip cos θ VL IL 3 cos θ dando uma potência total P 3Pp 3VL IL cos θ 4 Logo a Equação 4 nos permite calcular a potência total fornecida a uma carga balanceada a partir do conhecimento da tensão de linha da cor rente de linha e do ângulo da impedância ou admitância da carga esteja a carga conectada em Y ou em A corrente de linha nos Exemplos 125 e 126 pode agora ser obtida em dois passos simples 1200 3300IL08 Portanto IL 5 3 289 A Uma breve comparação entre as tensões de fase e de linha bem como entre as correntes de fase e de linha é apresentada na Tabela 121 para cargas conectadas em Y e alimentadas por uma fonte trifásica conectada em Y u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 128 Um sistema trifásico a três fios é terminado em duas cargas em parale lo conectadas em A carga 1 drena 40 kVA com um FP de 08 atra sado enquanto a carga 2 absorve 24 kW com um FP de 09 adiantado Assuma perdas nulas nos condutores e Vab 44030o V Determine a a potência total drenada pelas cargas b a corrente de fase IAB1 para a carga em atraso c IAB2 d IaA Resposta 560 kW 303687o A 202558o A 7531246o A Seção 124 u A conexão em triângulo 465 Fontes Conectadas em A fonte também pode estar conectada em Isto não é típico no entanto pois qualquer desbalanceamento sutil nas fases da fonte leva à circulação de correntes elevadas no interior do Por exemplo chamemos as três fontes monofásicas de Vab Vbc e Vcd Antes de fecharmos o por meio da cone xão de d com a vamos determinar o desbalanceamento ao medir a soma Vab Vbc Vca Suponha que a amplitude do resultado seja apenas 1 da tensão de linha A corrente de circulação corresponde portanto à divisão de 1 3 da tensão de linha pela impedância interna de cada fonte Quão larga pode ser essa impedância interna Ela depende da corrente que se espera que a fonte entregue com uma queda de tensão desprezível no terminal de tensão Se assumirmos que esta corrente máxima causa uma queda de tensão de 1 no terminal de tensão então a corrente de circulação corres ponde a um terço da corrente máxima Isto reduz a capacidade de corrente útil da fonte e também aumenta as perdas no sistema Devemos também notar que fontes trifásicas balanceadas podem ser transformadas de Y para ou viceversa sem que as correntes e tensões nas cargas sejam afetadas As relações necessárias entre as tensões de linha e de fase são mostradas na Figura 1213 para o caso onde Van tem um ângulo de fase de referência de 0o Esta transformação nos permite usar a configuração de fonte que preferirmos e todas as relações de carga estarão corretas Natu ralmente não podemos especificar tensões ou correntes dentro da fonte até que saibamos como ela está de fato conectada Cargas trifásicas balanceadas podem ser transformadas entre as configurações Y e usando a relação ZY Z 3 a qual provavelmente vale a pena ser lembrada TABELA 121 u Comparação de Cargas Trifásicas Conectadas em Y e Vp é o Modulo da Tensão de Fase de Cada uma das Fontes Conectadas em Y VAN Vp 0 VBN Vp 120 VC N Vp 240 VAB Vab 3Vp 30 VBC Vbc 3Vp 90 VC A Vca 3Vp 210 Y VAB Vab 3 30VAN 3Vp 30 VBC Vbc 3 30VBN 3Vp 90 VC A Vca 3 30VC N 3Vp 210 VAB Vab 3Vp 30 VBC Vbc 3Vp 90 VC A Vca 3Vp 210 IaA IAN VAN Zp IbB IBN VBN Zp IcC IC N VC N Zp IAB VAB Zp IBC VBC Zp IC A VC A Zp IaA IAN VAN Zp IbB IBN VBN Zp IcC IC N VC N Zp IaA 3 30 VAB Zp IbB 3 30 VBC Zp IcC 3 30 VC A Zp cos θ onde cos θ fator de potência da carga cos θ onde cos θ fator de potência da carga Carga Tensão de fase Tensão de linha Corrente de fase Corrente de linha Potência por fase VL IL 3 VL IL 3 APLICAÇÃO SISTEMAS DE GERAÇÃO DE ENERGIA Hoje a energia elétrica é gerada por uma ampla varie dade de técnicas Por exemplo a conversão direta de energia solar em eletricidade usando células fotovoltaicas painéis solares resulta na produção de potência CC Embora seja uma tecnologia ambientalmente amigável no entanto instalações baseadas em células fotovoltaicas são atualmente mais caras do que qualquer outro meio de produção de eletricidade e requerem o uso de inversores para converter a potência CC em ca Outras tecnologias como a eólica geotérmica nuclear e a geração baseada em combustíveis fósseis são comparativamente mais eco nômicas Em sistemas como esses um eixo gira por meio da ação de uma força propulsora como o vento em uma hélice ou a água ou o vapor nas lâminas de uma turbina Figura 1220 Uma vez que uma força propulsora tenha sido apro veitada para gerar movimento de rotação em um eixo há várias formas de se converter esta energia mecânica em energia elétrica Um exemplo é o gerador síncrono Figura 1221 Estas máquinas são compostas por duas seções principais uma parte estacionária chamada de estator e uma parte giratória denominada rotor Corrente CC é fornecida a bobinas enroladas em torno do rotor para gerar um campo magnético que é girado por meio da ação da força propulsora Um conjunto de tensões trifásicas é então induzido em um segundo grupo de enrolamentos existente em torno do estator Geradores síncronos têm este nome porque a frequência da potência CA que eles produzem é sincronizada com a rotação mecânica do rotor A demanda real em um único gerador pode variar bastante em função da adição ou remoção de cargas como quando um aparelho de ar condicionado é ligado luzes são ligadas ou desligadas etc A tensão de saída de um gerador deve ser idealmente independente da carga mas isto não ocorre na prática A tensão EA induzida em uma fase qualquer do estator geralmente chamada de tensão gerada tem módulo dado por E A Kφω onde K é uma constante dependente das características construtivas da máquina ϕ é o fluxo magnético produzido pelos enrolamentos de campo no rotor que é portanto independente da carga e Ω é a velocidade de rotação que depende apenas da força propulsora e não da carga conec tada ao gerador Logo a mudança da carga não altera o valor de EA A tensão gerada pode ser relacionada à tensão de fase Vϕ e à corrente de fase IA por EA Vφ j XSIA onde XS é a reatância síncrona do gerador Se a carga aumentar então uma maior corrente IʹA será drenada a partir do gerador Se o fator de potência não mudar isto é o ângulo entre Vϕ e IA permanecer constan te Vϕ será reduzido pois EA não pode variar p FIGURA 1220 Parque eólico em Altamont Pass Califórnia que consiste em mais de 7000 aerogeradores Digital VisionPunchStock Por exemplo considere o diagrama fasorial da Figura 1222a que mostra a tensão e a corrente de saída de uma das fases de um gerador conectado a uma carga com fator de potência de cos θ A tensão gerada EA também é mostrada Se uma carga for adicionada sem que o fator de potência seja alterado conforme ilustra a Figura 1222b a corrente fornecida IA aumenta para IʹA Entretanto o módulo da tensão gerada formado pela soma dos fasores j XSIʹA e Vʹϕ deve permanecer inalterado Logo EʹA EA e com isso a tensão de saída Vʹϕ do gerador será levemente reduzida como mostra a Figura 1222b A regulação de tensão do gerador é definida como regulação Vvazio Vcarga plena Vcarga plena 100 Idealmente a regulação deve ser tão próxima de zero quanto possível mas isso só é conseguido se a corrente CC usada para controlar o fluxo ϕ no enrolamento de campo variar de forma a compensar as mudanças nas con dições de carga isso pode se tornar rapidamente compli cado Deste modo no projeto de uma unidade de geração é normalmente preferível usar vários geradores pequenos conectados em paralelo em vez de se instalar apenas um grande gerador capaz de lidar com a carga máxima Cada gerador pode ser operado em plena carga ou em uma con dição próxima a esta de forma que a tensão de saída seja essencialmente constante geradores individuais podem ser adicionados ao sistema ou dele removidos dependendo da demanda p FIGURA 1221 O rotor de 24 polos de um gerador síncrono no momento de sua instalação Fotografia Cortesia de Dr Wade Enright Te Kura Pukaha Vira O Te Whare Wananga O Waitaha Aotearoa p FIGURA 1222 Diagramas fasoriais descrevendo o efeito de carga em um gerador síncrono a Gerador conectado a uma carga com fator de potência atrasado dado por cos θ b Uma carga adicional é incluída sem que se altere o fator de potência O módulo da tensão gerada EA permanece o mesmo enquanto a corrente de saída aumenta Consequentemente reduzse a tensão de saída Vϕ u Vf jXSIA EA IA a EA u Vf jXSIA IA IA EA jXSIA IA Vf b Capítulo 12 u Circuitos Polifásicos 468 125 MEDIÇÃO DE POTÊNCIA EM SISTEMAS TRIFÁSICOS Uso do Wattímetro Em sistemas elétricos de grande porte não basta conhecer apenas a tensão e a corrente mas a potência é citada com tanta frequência que medila diretamente é de grande valia Isso normalmente é realizado utilizando um dispositivo conhecido como wattímetro que deve ter a capacidade de estabelecer a relação entre a tensão e a corrente da fonte da carga ou de ambas Os dispositivos modernos são muito semelhantes ao multímetro digital sendo capazes de fornecer uma indicação numérica da grandeza a ser medida Estes equipamentos geralmente utilizam o campo magnético gerado pela corrente permitindo a medição dessa grandeza sem inter romper o circuito No entanto ainda encontramos versões analógicas do multímetro no mercado os quais ainda possuem algumas vantagens em relação às versões digitais tais como a capacidade de funcionar sem fonte de alimentação separada p ex bateria e a observação direta da infor mação por meio do movimento de uma agulha ao longo de uma escala numérica em vez de números aparentemente que variam aleatoriamente em um display Assim nesta seção vamos nos concentrar na medição de potência usando um medidor analógico tradicional pois obter a leitura a partir de um aparelho digital é muito mais fácil Antes de embarcarmos em uma discussão a respeito das técnicas especializadas usadas na medição de potência em sistemas trifásicos é melhor que consideremos brevemente como um wattímetro é usado em um circuito monofásico A medição de potência em frequências abaixo de algumas centenas de Hz é normalmente realizada por meio de um wattímetro que contém duas bobinas separadas Uma dessas bobinas é feita com um condutor grosso de resistência muito baixa e é chamada de bobina de corrente a segunda bobina é composta por um número muito maior de enrolamentos realizados com um condutor fino com resistência relativamente alta e é denominada bobina de potencial ou bobina de tensão Uma resistência adicional tam bém pode ser inserida em série com a bobina de potencial internamente ou externamente O torque aplicado no sistema móvel e no ponteiro é pro porcional ao produto instantâneo das correntes fluindo nas duas bobinas A inércia mecânica do sistema móvel no entanto causa uma deflexão que é proporcional ao valor médio desse torque A conexão do wattímetro a uma rede deve ser tal que a corrente que flui em sua bobina de corrente seja a corrente que flui na rede enquanto a ten são aplicada em sua bobina de potencial seja a tensão entre dois terminais da rede A corrente na bobina de potencial é portanto a tensão de entrada dividida pela resistência da bobina Está claro que o wattímetro possui quatro terminais disponíveis e estes terminais devem ser corretamente conectados para que se obtenha uma leitura adequada no medidor Para sermos específicos vamos assumir que estejamos medindo a potência absorvida por uma rede passiva A bobina de corrente é inserida em série com um dos condutores conectados à carga Seção 125 u Medição de potência em sistemas trifásicos 469 e a bobina de potencial é instalada entre os dois condutores normalmente no lado da carga da bobina de corrente Os terminais da bobina de poten cial são frequentemente indicados por setas como mostra a Figura 1223a Cada bobina tem dois terminais e a relação apropriada entre o sentido da corrente e a tensão deve ser observada Um dos terminais da bobina é nor malmente marcado com um obtémse uma leitura na escala positiva se uma corrente positiva entrar na extremidade da bobina de corrente enquanto a tensão no terminal da bobina de tensão for positiva em rela ção ao terminal não identificado O wattímetro mostrado na rede da Figura 1223a fornece portanto uma deflexão positiva quando a rede à direita estiver consumindo potência A conexão invertida de uma das bobinas mas não de ambas faz o ponteiro do medidor tentar se defletir no sentido negativo da escala a inversão de ambas as bobinas não afeta a leitura Como um exemplo do uso de um wattímetro como esse na medição de potência média vamos considerar o circuito mostrado na Figura 1223b A conexão do wattímetro é tal que uma leitura na escala positiva corresponde à potência absorvida pela rede à direita do medidor isto é a fonte da direita A potência absorvida por esta fonte é dada por P V2 I cosâng V2 âng I Usando a superposição ou a análise de malha vemos que a corrente é I 1118 1534 A e portanto a potência absorvida é P 1001118 cos0 1534 1000 W Logo o ponteiro descansa no fundo de escala negativo Na prática a bobina de potencial pode ser invertida mais rapidamente do que a bobina de corrente e esta inversão fornece uma leitura de 1000 W na escala positiva t FIGURA 1223 a Wattímetro conectado de forma a assegurar que uma leitura na escala positiva corresponda à potência absorvida pela rede passiva b Exemplo no qual se instala o wattímetro de forma que ele indique a potência absorvida pela fonte da direita na escala positiva a Bobina de potencial Bobina de corrente Rede passiva 10 V V1 10 V j5 V I b 90 100 V V2 100 0 V Capítulo 12 u Circuitos Polifásicos 470 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 129 Determine a leitura do wattímetro da Figura 1224 diga se a bobina de potencial deve ser invertida ou não para se obter uma leitura na escala positiva e identifique o dispositivo ou os dispositivos absorvendo ou gerando a potência medida O terminal do wattímetro está conecta do a a x b y c z p FIGURA 1224 4 V 150 j130 V 6 V j12 V j2 V z y x 100 0 V Resposta 1200 W do jeito que está P6Ω absorvida 2200 W do jeito que está P4Ω P6Ω absorvida 500 W invertida absorvida pela fonte de 100 V O Wattímetro em um Sistema Trifásico Analisando rapidamente a medição da potência drenada por uma carga trifásica parece ser um problema simples Precisamos apenas colocar um wattímetro em cada uma das três fases e somar os resultados Por exemplo as ligações apropriadas para uma carga conectada em Y são mostradas na Figura 1225a Cada wattímetro tem a sua bobina de corrente inserida em uma das fases da carga e a sua bobina de potencial conectada entre o lado p FIGURA 1225 Os wattímetros são conectados de tal forma que cada um deles leia a potência consumida por uma das fases da carga trifásica e a soma forneça a potência total a Carga conectada em Y b Carga conectada em Nem as cargas nem as fontes precisam ser balanceadas a n C B A C A B b Seção 125 u Medição de potência em sistemas trifásicos 471 de linha da carga e o neutro De forma similar três wattímetros podem ser ligados como mostra a Figura 1225b para se medir a potência total consu mida por uma carga conectada em Ambos os métodos são teoricamente corretos mas eles podem ser inúteis na prática porque o neutro do Y nem sempre está acessível e as fases do não estão disponíveis Um motor trifásico por exemplo tem apenas três terminais acessíveis aqueles que temos chamado de A B e C Claramente precisamos de um método para medir a potência drenada por uma carga trifásica com apenas três terminais acessíveis medições podem ser feitas no lado de linha destes terminais mas não no lado da carga Tal método existe e consegue medir a potência consumida por uma carga desbalanceada alimentada por uma fonte desbalanceada Vamos conectar três wattímetros de tal forma que cada um deles tenha a sua bobina de corrente inserida em uma das linhas e a sua bobina de tensão instalada entre aquela linha e algum ponto comum x como mostra a Figura 1226 Embora um sistema conectado em Y tenha sido ilustrado os argumentos que vamos apresentar são igualmente válidos para uma carga conectada em O ponto x pode ser um ponto qualquer no sistema trifásico ou meramente um ponto no espaço onde as três bobinas de potencial formam um nó em comum A potência média indicada pelo wattímetro A deve ser PA 1 T T 0 υAxiaA dt onde T é o período de todas as fontes de tensão As leituras dos outros dois wattímetros são dadas por expressões similares e a potência total drenada pela carga é portanto P PA PB PC 1 T T 0 υAxiaA υBxibB υCxicC dt Cada uma das três tensões na expressão anterior pode ser escrita em termos de uma tensão de fase e da tensão entre o ponto x e o neutro p FIGURA 1226 Um método de conexão de três wattímetros para medir a potência total consumida por uma carga trifásica Apenas três terminais da carga estão acessíveis A A B x C N C B a b c ZC ZB ZA Capítulo 12 u Circuitos Polifásicos 472 υAx υAN υNx υBx υBN υNx υCx υC N υNx e portanto P 1 T T 0 υANiaA υBNibB υC NicC dt 1 T T 0 υNxiaA ibB icC dt Entretanto a carga trifásica completa pode ser tratada como se fosse um supernó e a lei de Kirchhoff das correntes requer que iaA ibB icC 0 Logo P 1 T T 0 υANiaA υBNibB υC NicC dt Uma olhada no diagrama do circuito mostra que esta soma é na reali dade a soma das potências médias consumidas por cada fase da carga e a soma das leituras dos três wattímetros representa portanto a potência média total drenada pela carga completa Vamos ilustrar este procedimento com um exemplo numérico antes de descobrir que um destes três wattímetros é na realidade supérfluo Vamos assumir uma fonte balanceada Vab 100 0 V Vbc 100 120 V Vca 100 240 V ou Van 100 3 30 V Vbn 100 3 150 V Vcn 100 3 270 V e uma carga desbalanceada ZA j10 ZB j10 ZC 10 Vamos assumir wattímetros ideais conectados conforme ilustrado na Figura 1226 com o ponto x localizado no neutro da fonte n As três correntes de linha podem ser obtidas com a aplicação da análise de malha IaA 1932 15 A IbB 1932 165 A IcC 10 90 A Seção 125 u Medição de potência em sistemas trifásicos 473 A tensão entre os neutros é VnN Vnb VBN Vnb IbB j10 1577 90 A potência média indicada por cada wattímetro pode ser calculada PA VpIaA cosângVan âng IaA 100 3 1932 cos 30 15 7887 W PB 100 3 1932 cos 150 165 7887 W PC 100 3 10 cos 270 90 5774 W ou uma potência total de 1 kW Como uma corrente rms de 10 A flui na carga resistiva a potência total drenada pela carga é P 10210 1 kW e os dois métodos estão de acordo O Método dos Dois Wattímetros Já provamos que o ponto x a conexão comum das três bobinas de potencial pode ser colocado em qualquer lugar que desejarmos sem que a soma algé brica da leitura dos três wattímetros seja afetada Vamos agora considerar o efeito de se colocar o ponto x diretamente em uma das linhas Se por exemplo um dos terminais de cada bobina de potencial for conectado ao ponto B então não há queda de tensão nos terminais da bobina de poten cial do wattímetro B e a leitura deste medidor deve ser zero Ele pode portanto ser removido e a soma algébrica das leituras dos dois wattímetros remanescentes ainda fornece a potência total drenada pela carga Quando a seleção do ponto x é feita dessa maneira descrevemos o método de medi ção de potência como o método dos dois wattímetros A soma das leituras indica a potência total independentemente 1 do desbalanceamento da carga 2 do desbalanceamento da fonte 3 de diferenças entre os dois wattímetros e 4 da forma de onda da fonte periódica A única hipótese que fizemos é que as perdas no wattímetro sejam suficientemente pequenas para que possamos desprezálas Na Figura 1226 por exemplo a bobina de Note que a leitura de um dos wattímetros é negativa Nossa discussão anterior a respeito do uso básico do wattímetro indica que uma leitura na escala positiva neste tipo de medidor só poderia ser obtida após a inversão da bobina de potencial ou da bobina de corrente t FIGURA 1227 Dois wattímetros conectados para a leitura da potência real drenada por uma carga trifásica balanceada A B C 1 a 2 c b Zp u Zp u Zp u Capítulo 12 u Circuitos Polifásicos 474 corrente de cada medidor é percorrida pela corrente de linha drenada pela carga mais a corrente consumida pela bobina de potencial Como a última corrente é normalmente bem pequena seu efeito pode ser estimado a partir do conhecimento da resistência da bobina de potencial e da tensão em seus terminais Estas duas grandezas permitem uma estimativa aproximada da potência dissipada na bobina de potencial No exemplo numérico descrito anteriormente vamos assumir que dois wattímetros sejam usados um com bobina de corrente conectada no ter minal A e bobina de tensão entre os terminais A e B e o outro com bobina de corrente conectada no terminal C e bobina de potencial entre C e B O primeiro medidor lê P1 VAB IaA cosâng VAB âng IaA 1001932 cos0 15 1866 W e o segundo P2 VCB IcC cosâng VCB âng IcC 10010 cos60 90 866 W e portanto P P1 P2 1866 866 1000 W conforme esperávamos com base em nossa experiência recente com esse circuito No caso de uma carga balanceada o método dos dois wattímetros per mite a determinação do ângulo do FP bem como a potência total drenada pela carga Assumamos uma impedância de carga com ângulo de fase θ uma conexão em Y ou em pode ser usada nesse caso e vamos assumir a conexão em mostrada na Figura 1227 A construção de um diagrama fasorial padrão como aquele da Figura 1219 permitenos determinar o ângulo de fase apropriado entre as várias tensões e correntes de linha Determinamos portanto as leituras P1 VAB IaA cosâng VAB âng IaA VL IL cos30 θ e P2 VC B IcC cosâng VC B âng IcC VL IL cos30 θ A relação entre as duas leituras é P1 P2 cos30 θ cos30 θ 5 Se expandirmos os cossenos esta equação pode ser facilmente resolvida para tgθ tan θ 3 P2 P1 P2 P1 6 Seção 125 u Medição de potência em sistemas trifásicos 475 Logo leituras iguais nos wattímetros indicam um FP unitário na carga leituras iguais e opostas indicam uma carga puramente reativa uma leitura com P2 algebricamente maior que P1 indica uma impedância indutiva e uma leitura com P2 menor que P1 significa uma carga capacitiva Mas como podemos dizer qual wattímetro lê P1 e qual lê P2 É verdade que P1 está na linha A e P2 na linha C e nosso sistema com sequência de fases positiva força Van a estar atrasada em relação a Vcn Esta informação é suficiente para que diferenciemos os dois wattímetros mas pode ser confusa de se aplicar na prática Mesmo que não estejamos aptos a distinguir o que mede cada wattímetro conhecemos o módulo do ângulo de fase mas não seu sinal Esta informação é frequentemente suficiente se a carga for um motor de indução o ângulo deve ser positivo e não precisamos fazer quaisquer testes para determinar qual leitura é qual Se nenhum conhecimento prévio a respeito da carga for assumido há então diferentes métodos para se resol ver a ambiguidade Talvez o método mais simples seja aquele que envolve a adição de uma carga reativa com impedância elevada como por exemplo um capacitor trifásico nos terminais da carga desconhecida A carga deve se tornar mais capacitiva Logo se o módulo de tg θ ou o módulo de θ decrescer então a carga original era indutiva enquanto um aumento no módulo de tg θ significa uma impedância capacitiva na carga original A carga balanceada da Figura 1228 é alimentada por um sistema trifási co balanceado com Vab 2300o V rms e uma sequência de fases positiva Obtenha a leitura de cada wattímetro e a potência total drenada pela carga p FIGURA 1228 Um sistema trifásico balanceado conectado a uma carga trifásica balanceada cuja potência está sendo medida usandose a técnica dos dois wattímetros A 4 V j15 V 1 a B N C 2 b c Conectase a bobina de potencial do wattímetro 1 para medir a tensão Vac e sua bobina de corrente para medir a corrente de fase IaA Como sabemos ter a sequência de fases positiva as tensões de linha são Vab 230 0 V Vbc 230 120 V Vca 230 120 V u EXEMPLO 127 Capítulo 12 u Circuitos Polifásicos 476 Note que Vac Vca 23060o V A corrente de fase IaA é dada pela tensão de fase Van dividida pela impedância de fase 4 j15 Ω IaA Van 4 j15 230 3 30 4 j15 A 8554 1051 A Podemos agora computar a potência medida pelo wattímetro 1 como P1 Vac IaA cosâng Vac âng IaA 2308554 cos 60 1051 W 1389 W De forma similar determinamos que P2 Vbc IbB cosâng Vbc âng IbB 2308554 cos 120 1349 W 5125 W Logo a potência média total absorvida pela carga é P P1 P2 8765 W u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1210 No circuito da Figura 1226 assuma ZA 2560o Ω ZB 5060o Ω ZC 5060o Ω VAB 6000o V rms com sequência de fases e posicione o ponto x em C Determine a PA b PB c PC Resposta 0 7200 W 0 RESUMO E REVISÃO Circuitos polifásicos não são encontrados em todas as instalações mas integram praticamente quase todas prediais de grande porte Neste capí tulo estudamos como três tensões defasadas em 120º entre si podem ser fornecidas por um único gerador e portanto tem a mesma frequência e ligada a uma carga de três componentes Por uma questão de comodidade introduzimos a notação com subscrito duplo que é comumente utilizada Um Sistema trifásicos terá pelo menos três terminais uma conexão ao con dutor neutro não é obrigatória mas é comum pelo menos para a fonte Se é utilizada uma carga conectada em Δ então não existe ligação do neutro para a carga Quando um fio neutro está presente podemos definir como tensão de fase Van Vbn e Vcn entre cada uma das fases a b ou c e o neu tro A lei de Kirchhoff para tensão exige que a soma destas três tensões de fase seja zero independentemente se a sequência de fase for positiva ou negativa Tensões de linha ou seja entre as fases podem ser relacionadas diretamente com as tensões de fase para uma carga conectada em Δ as tensões de fase e linha são iguais De modo semelhante correntes de linha e correntes de fase podem ser relacionadas diretamente para uma carga conectada em Y as corrente de fase e linha são iguais À primeira vista Como a medição resultaria no ponteiro colado no fundo de escala negativo uma das bobinas precisaria ser invertida para que a leitura fosse feita 477 Resumo e revisão estes sistemas podem parecer um pouco complicado mas a simetria muitas vezes nos permite realizar a análise por fase simplificando nossos cálculos consideravelmente Uma lista sucinta de conceitos chave do capítulo é apresentada a seguir para a conveniência do leitor juntamente com os números do exemplo correspondente f A maioria da produção de energia elétrica se dá na forma de potên cia trifásica f A maior parte da eletricidade fornecida a residências no Brasil tem a forma de uma senoide com frequência de 60 Hz e tensões rms de 110 V 127 V ou 220 V Em outros lugares frequências de 50 Hz e diferentes tensões podem ser encontradas f Notação com subscrito duplo é geralmente empregada em sistemas de potência para tensões e correntes Exemplo 121 f Fontes trifásicas podem ser conectadas em Y ou em Ambos os tipos de fonte possuem três terminais um para cada fase fontes conectadas em Y também possuem uma conexão de neutro Exem plo 122 f Em um sistema trifásico balanceado cada tensão de fase possui o mesmo módulo mas está 120o defasada das outras duas Exemplo 122 f Cargas em um sistema trifásico podem ser conectadas em Y ou em f Em uma fonte balanceada conectada em Y com sequência de fases positiva abc as tensões de linha são Vab 3Vp 30 Vbc 3Vp 90 Vca 3Vp 210 onde as tensões de fase são Van Vp 0 Vbn Vp 120 Vcn Vp 240 Exemplo 122 f Em um sistema com uma carga conectada em Y as correntes de linha são iguais às correntes de fase Exemplos 123 124 e 126 f Em uma carga conectada em as tensões de linha são iguais às tensões de fase Exemplo 125 f Em um sistema balanceado com sequência de fases positiva e uma carga conectada em as correntes de linha são Ia IAB 3 30 Ib IBC 3 150 Ic IC A 3 90 onde as correntes de fase são IAB VAB Z Vab Z IBC VBC Z Vbc Z IC A VC A Z Vca Z Exemplo 125 f A maioria dos cálculos de potência é realizada por fase assumindose um sistema balanceado do contrário a análise de malha e a análise nodal são sempre abordagens válidas Exemplos 123 124 e 125 Capítulo 12 u Circuitos Polifásicos 478 f A potência em um sistema trifásico balanceado ou desbalanceado pode ser medida com apenas dois wattímetros Exemplo 127 f A potência instantânea em qualquer sistema trifásico balanceado é constante LEITURA COMPLEMENTAR Uma boa revisão de conceitos de potência CA pode ser encontrada no Capítulo 2 de B M Weedy Electric Power Systems 3rd ed Chichester England Wiley 1984 Um livro detalhado sobre a geração de energia eólica é T Burton D Sharpe N Jenkins and E Bossanyi Wind Energy Handbook Chichester England Wiley 2001 EXERCÍCIOS 121 Sistemas Polifásicos 1 Um dispositivo desconhecido de três terminais leva os nomes de b c e Quando instalados em um circuito particular as medições indicam que Vec 9 V e Veb 0 65 V a Calcule Vcb b determine a potência dissipada na junção be se a corrente Ib que flui para o terminal b é igual a 1 μ A 2 Um tipo comum de transistor é conhecido como o MESFET que é um acrônimo de metalsemiconductor field effect transistor Ele tem três terminais deno minados a porta g a fonte s e o dreno d Como exemplo considere um MESFET específico operando num circuito tal que Vsg 02 V e Vds 3 V a Calcule Vgs e Vdg b se uma corrente de gatilho Ig 100 pA estiver circulando no terminal de gatilho calcule a potência dissipada na junção portafonte 3 Para um determinada fonte trifásica conectada em Y Van 40033o V Vbn 400153o V e Vcx 160208o V Determine a Vcn b Van Vbn c Vax d Vbx 4 Descreva o que se entende por uma fonte polifásica cite uma possível vanta gem dessas fontes que podem superar sua complexidade adicional em relação às fontes monofásicas de potência e explique a diferença entre fontes equili brada e desequilibrada 5 Várias das tensões associadas a um determinado circuito são dadas por V12 930o V V32 3130o V e V14 210o V Determine V21 V13 V34 e V24 6 As tensões nodais que descrevem um circuito particular podem ser expressas como V14 9 j V V24 3 j 3 V e V34 8 V Calcule V12 V32 e V13 Expres se suas respostas na forma fasorial 7 No circuito da Figura 1229 marcações nos resistores infelizmente foram omi tidas mas várias das correntes são conhecidas Especificamente Iad 1 A a Calcule Iab Icd Ide Ife e Ibe b se Vba 125 V determine o valor do resistor que liga os nós a e b 8 Para o circuito mostrado na Figura 1230 a determine Igh Icd e Idh b calcule Ied Iei e Ijf c se todos os resistores no circuito tem valor igual a 1 Ω determine as três correntes de malha que circulam no sentido horário p FIGURA 1229 8 A 10 A c d e a b f Exercícios 479 t FIGURA 1230 5 A 4 A c g h i d e j f 9 Resistores adicionais são colocados em paralelo com os resistores entre os terminais d e e e os terminais f e j respectivamente no circuito da Figura 1230 a Quais tensões podem ser descritas usando a notação com subscri to duplo b Quais correntes de linha podem ser descritas usando a notação com subscrito duplo 122 Sistemas Monofásicos a Três Fios 10 A maioria dos produtos eletrônicos são alimentados por tomadas de 110 V mas vários tipos de aparelhos tais como secadores de roupa são alimentados por tomadas de 220V Baixas tensões são geralmente mais seguras O que então motiva fabricantes de alguns equipamento em projetálos para funcio nar em 220 V 11 O sistema monofásico a três fios da Figura 1231 tem três impedâncias de carga separadas Se a fonte é equilibrada e Van 110 j 0 Vrms a expresse Van e Vbn em notação fasorial b determine a tensão fasorial que aparece na impedância Z3 c Determine a potência média entregue pelas duas fontes se Z1 50 j0 Ω Z2 100 j45 Ω e Z3 100 j90 Ω c Represente a carga Z3 por uma ligação em série de dois elementos e indique seus respectivos valores se as fontes operam em 60 Hz 12 Para o sistema representado na Figura 1232 as perdas ôhmicas no condutor neutro são tão pequenas que podem ser desprezadas e ele pode ser adequada mente modelado como um curto circuito a Calcule a potência perdida nas duas linhas como resultado de sua resistência não nula b calcule a potência média fornecida para a carga c determine o fator de potência da carga total t FIGURA 1232 I1 I3 I2 0 V rms 115 0 V rms 115 a b n 1 V 200 V j500 V 10 V 50 V 1 V A B N 13 Referindose à carga equilibrada representada na Figura 1233 se ela está ligada em uma fonte equilibrada a três fios operando em 50 Hz tal que VAN 115 V a determine o fator de potência da carga se o capacitor é omitido b determine o valor da capacitância C que permita atingir um fator de potência unitário para a carga total 14 No sistema a três fios da Figura 1232 a substitua o resistor de 50 Ω por um resistor de 200 Ω e calcule a corrente que flui através do condutor neutro b determine um novo valor para o resistor de 50 Ω tal que o módulo da corrente no condutor neutro seja 25 da corrente de linha IaA p FIGURA 1231 a A N B b Vnb Van Z1 Z3 Z2 n p FIGURA 1233 10 j2 V A N C B 10 j2 V Capítulo 12 u Circuitos Polifásicos 480 123 Conexão Trifásica YY 15 a Mostre que se Van 40033o V Vbn 40087o V e Vbn 400 207o V então Van Vbn Vcn 0 b As tensões na parte a representam sequência de fase positiva ou negativa Explique 16 Considere uma sequência de fase positiva simples trifásica sistema a três fios operando em 50 Hz e com uma carga equilibrada Cada tensão de fase de 240 V é ligada sobre uma carga constituída por uma combinação série de 50 Ω e 500 mH Calcule a cada corrente de linha b o fator de potência da carga c a potência total fornecida pela fonte trifásica 17 Assuma que o sistema mostrado na Figura 1234 é equilibrado Rw 0 Van 2080º V e uma sequência de fase positiva se aplica Calcule todas as correntes de fase e de linha e todas as tensões de fase e de linha se Zp é igual a a 1 kΩ b 100 j48 Ω c 100 j48 Ω t FIGURA 1234 c b a B A n N C Zp Vcn Vbn Van Rw Rw Rw Zp Zp 18 Repita o Exercício 17 com Rw 10 Ω e confira suas respostas com as devidas simulações no PSPICE se a frequência de operação é 60 Hz 19 Cada impedância Zp no sistema trifásico equilibrado da Figura 1234 é cons truído utilizando a combinação em paralelo de uma capacitância de 1 mF uma indutância de 100 mH e uma resistência de 10 Ω As fontes têm sequência de fase positiva e operam em 50 Hz Se Vab 2080º V Rw 0 calcule a todas as tensões de fase b todas as tensões de linha c as três correntes de linha d o total da potência consumida pela carga 20 Supondo que o sistema trifásico representado na Figura 1234 é equilibrado com uma tensão de linha de 100 V calcule a corrente de linha e impedância por fase da carga se Rw 0 e a carga drena a 1 kW em um FP de 085 em atraso b 300 W por fase em um FP de 092 adiantado 21 O sistema trifásico equilibrado da Figura 1234 é caracterizado por uma sequên cia de fases positiva e uma tensão de linha de 300 V E Zp é dada pela combina ção em paralelo de uma carga capacitiva 5 j3 Ω e uma carga indutiva 9 j2 Ω Se Rw 0 calcule a o fator de potência da fonte b a potência total fornecida pela fonte c Repita as partes a e b se Rw 1 Ω 22 Uma carga equilibrada conectada em Y de 100 j50 Ω é ligada em uma fonte trifásica equilibrada Se a corrente de linha é 42 A e a fonte fornece 12 kW determine a a tensão de linha b a tensão de fase 23 Um sistema trifásico é construído a partir de uma fonte balanceada conectada em Y operando em 50 Hz e com uma tensão de linha de 210 V e cada uma das fases da carga balanceada consome 130 W com um fator de potência adiantado de 075 a Calcule acorrente de linha e a potência total fornecida para a carga b se uma carga puramente resistiva de 1 Ω é ligada em paralelo com cada carga existente calcule a nova corrente de linha e a potência total fornecida à carga c Verifique suas respostas com simulações apropriadas no PSpice Exercícios 481 24 Voltando ao sistema trifásico equilibrado descrito no Exercício 21 determine a potência complexa entregue à carga para Rw 0 e Rw 1 Ω 25 Cada carga no circuito da Figura 1234 é composta por um indutor de 15 H em paralelo com um capacitor de 100 μF e um resistor de 1 kΩ A resistência Rw 0 Ω Utilizando a sequência de fase positiva com Vab 1150o V em f 60 Hz determine a corrente de linha rms e a potência total fornecida para a carga Verificar suas respostas com uma simulação apropriada no PSpice 124 A Conexão em Triângulo Δ 26 Um determinado sistema trifásico equilibrado está fornecendo uma carga conectado em Δ com 10 kW e um fator de potência de 07 adiantado Se a tensão de fase é de 208 V e a fonte opera em 50 V a calcule a corrente de linha b determine a impedância de fase c calcule o novo fator de potência e a nova potência total entregue à carga se um indutor 25 H é ligado em paralelo com cada uma das fases da carga 27 Se cada uma das três fases na carga equilibrada conectada em Δ é composta de um capacitor de 10 mF em paralelo com uma combinação série de um resistor 470Ω e um indutor de 4 mH assuma uma tensão de fase de 400 V em 50 Hz a Calcule a corrente de fase b a corrente de linha c a tensão de linha d o fator de potência em que a fonte opera e a potência total fornecida à carga 28 Uma carga trifásica é alimentada por uma fonte trifásica a três fios concec tada em Y cuja tensão de fase é de 400 V e a frequência de operação é de 50 Hz Cada fase da carga é constituída por uma combinação em paralelo de um resistor de 500 Ω um indutor de 10 mH e um capacitor de 1 mF a Calcule a corrente de linha a tensão de linha a corrente de fase e fator de potência da carga se a carga está conectada em Y também b refaça a ligação da carga de modo que seja conectada em Δ e encontre as mesmas grandezas pedidas no item a 29 Para as duas situações descritas no Exercício 28 calcule a potência total entre gue a cada uma das duas cargas 30 Duas cargas conectadas em Δ são ligadas em paralelo e alimentadas por um sistema equilibrado conectado em Y A menor das duas cargas consome 10 kVA com um FP de 075 atrasado e a maior consome 25 kVA com um FP de 080 adiantado A tensão de linha é de 400 V Calcule a o fator de potência de operação da fonte b a potência total consumida pelas duas cargas c a corrente de fase de cada carga 31 Para o sistema trifásico equilibrado mostrado na Figura 1235 é determinado que 100 W está perdido em cada fio Se a tensão de fase da fonte é de 400 V e a carga consome 12 kW com um FP de 083 atrasado determine a resistência do fio Rw t FIGURA 1235 c b a B A n C Vcn Vbn Van Rw Rw Rw Zp Zp Zp Capítulo 12 u Circuitos Polifásicos 482 32 A carga balanceada conectada em Δ na Figura 1235 está exigindo 10 kVA com um FP de 091 atrasado Se as perdas na linha são desprezíveis calcule I bB e Van se Vca 16030o V e as tensões da fonte são descritas usando uma sequência de fase positiva 33 Repita o Exercício 32 se Rw 1 Ω Verifique sua solução usando uma simulação apropriada no PSpice 34 Calcule IaA IAB e um Van se a carga conectada em Δ da Figura 1235 drena uma potência complexa total de 1800 j700 W Rw 12 Ω e a fonte gera um potência complexa de 1850 j700 W 35 Um sistema trifásico balanceado tendo uma tensão de linha de 240 V rms con tém uma carga conectada em com 12 j kΩ por fase e também uma carga conectada em Y com 5 j3 kΩ por fase Determine a corrente de linha a potên cia consumida pela carga combinada e o fator de potência da carga 125 Medição de Potência em Sistemas Trifásicos 36 Determine a leitura do wattímetro dizendo se os terminais devem ser inverti dos ou não para se obtêla no circuito da Figura 1236 se os terminais A e B respectivamente são conectados a a x e y b x e z c y e z t FIGURA 1236 A x y z B 200 V rms 37 Um wattímetro está conectado ao circuito da Figura 1237 de forma que I1 entre no terminal da bobina de corrente enquanto V2 é a tensão nos terminais da bobina de tensão Determine a leitura do wattímetro e verifique a sua solução com uma simulação apropriada no PSpice t FIGURA 1237 V2 I1 440 V rms 60 Hz 1 H 38 Determine a leitura do wattímetro conectado ao circuito da Figura 1238 t FIGURA 1238 200 cos 500t V 20iC 25 sen 500t A iC Exercícios 483 39 a Determine as leituras dos wattímetros na Figura 1239 se VA 1000o V rms VB 5090o V rms ZA 10 j10 Ω ZB 8 j6 Ω e ZC 30 j10 Ω b A soma das leituras é igual à potência consumida pelas três cargas Verifique a sua resposta com uma simulação apropriada no PSpice p FIGURA 1239 A B ZC VB VA ZB ZA 40 Valores de circuito para a Figura 1240 são Vab 2000o Vbc 200120o Vca 200240o V rms Z4 Z5 Z6 2530o Ω Z1 Z2 Z3 5060o Ω Obtenha a leitura de cada wattímetro p FIGURA 1240 A a b c Z6 Z4 B C Z2 Z1 Z3 Z5 Exercícios de integração do capítulo 41 Explique em que circunstâncias uma carga conectada em Δ pode ser preferível a uma carga conectado em Y que drena as mesmas potências média e complexa 42 Uma certa fonte trifásica 208 V 60 Hz está conectada em Y e apresenta sequência de fase positiva Cada fase da carga equilibrada consiste em uma bobina melhor modelada como um resistência de 02 Ω em série com uma indutância de 580mH a Determine as tensões de linha e as correntes de fase se a carga está conectada em Δ b Repita o item a considerando a carga conectada em Y 43 a A carga representada na Figura 1241 é considerada uma carga trifásica Explique b se ZAN 1 j7 Ω ZBN 322º Ω e ZAB 2 j Ω calcule todas as correntes e tensões de fase e linha considerando uma tensão entre fase e neutro de 120 VAC as duas fases são defasadas em 180º c Em que circunstâncias a corrente circula pelo condutor neutro Capítulo 12 u Circuitos Polifásicos 484 t FIGURA 1241 a n b A N B ZAN ZBN ZAB 44 Todos os equipamentos de informática em uma pequena fábrica funcionam no padrão de 120 VAC mas há apenas uma fonte trifásica de 208 VCA disponível Explique como esses equipamentos podem ser conectados à fonte existente INTRODUÇÃO Sempre que uma corrente flui através de um condutor seja ela CA ou CC um campo magnético é gerado em torno deste condutor No contexto dos circuitos frequente mente fazemos referência ao fluxo magnético penetrando em um circuito fechado formado por um fio Esse fluxo é a componente normal da densidade de fluxo magné tico média emanada a partir do circuito fechado multiplicada pela área da superfície formada pelo circuito Quando um campo magnético variável com o tempo gerado por um circuito fechado penetra em um segundo circuito fechado uma tensão é indu zida entre os terminais do segundo fio Para distinguir esse fenômeno da indutância que definimos mais cedo mais apropriadamente denominada indutância própria definiremos um novo termo a impedância mútua Não existe um dispositivo que possa ser chamado de indutor mútuo mas tal princípio forma a base de um dispositivo extremamente importante o transforma dor Um transformador consiste em duas bobinas de fio separadas por uma pequena distância Esse dispositivo é comumente usado para elevar ou reduzir tensões CA dependendo da aplicação Todo aparelho elétrico que requer correntes CC para operar mas é conectado a uma tomada CA faz uso de um transformador para ajustar os níveis de tensão antes que a retificação seja feita a retificação é uma função tipicamente realizada por diodos e descrita em qualquer texto introdutório de eletrônica 131 INDUTÂNCIA MÚTUA Quando definimos a indutância no Capítulo 7 fizemos isso especificando a relação entre a tensão e a corrente nos terminais de um elemento υt L dit dt onde se assume a convenção de sinal passivo A base física para tal característica correntetensão se apóia em dois fatos 1 A produção de um fluxo magnético por uma corrente sendo este fluxo pro porcional à corrente em indutores lineares 2 A produção de uma tensão pelo campo magnético variável com o tempo sendo essa tensão proporcional à taxa de variação do campo ou fluxo magnético Circuitos Acoplados Magneticamente 13 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Indutância Mútua Indutância Própria A Convenção do Ponto Impedância Refletida Redes T e Π Equivalentes O Transformador Ideal Relação de Transformação de um Transformador Ideal Casamento de Impedâncias Ajuste de Nível de Tensão Análise de Circuitos com Transformadores no PSpice Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 486 Coeficiente de Indutância Mútua A indutância mútua resulta de uma leve extensão desse mesmo argumento O fluxo de corrente em uma bobina estabelece um campo magnético em torno dessa bobina e também em torno de uma segunda bobina próxima O fluxo variável com o tempo envolvendo a segunda bobina produz uma tensão em seus terminais essa tensão é proporcional à taxa de variação temporal da corrente fluindo na primeira bobina A Figura 131a mostra um modelo simples com duas bobinas L1 e L2 suficientemente próximas para que o fluxo produzido pela corrente i1t fluindo em L1 estabeleça uma tensão de circuito aberto υ2t nos terminais de L2 Sem considerar o sinal algébrico apropriado para a relação neste momento definimos o coeficiente de indutância mútua ou simplesmente a indutância mútua M21 υ2t M21 di1t dt 1 a L2 M υ2 L1 i1 b L2 υ1 L1 i2 M A ordem dos subscritos de M21 indica que uma resposta de tensão é pro duzida em L2 por uma corrente em L1 Se o sistema for invertido conforme indicado na Figura 131b temos então υ1t M12 di2t dt 2 Dois coeficientes de indutância mútua não são necessários no entanto um pouco mais tarde usaremos relações de energia para provar que M12 e M21 são iguais Logo M12 M21 M A existência de acoplamento mútuo entre as duas bobinas é indicada por uma flecha com duas pontas conforme mostrado na Figura 131a e b A indutância mútua é medida em henrys e como a resistência e a capaci tância ela é uma grandeza positiva1 A tensão M didt no entanto pode apa recer como uma grandeza positiva ou negativa dependendo do crescimento ou do decrescimento da corrente em um determinado instante de tempo A Convenção do Ponto O indutor é um elemento com dois terminais e podemos usar a conven ção de sinal passivo para selecionar o sinal correto para a tensão L didt ou jωLI Se a corrente entra no terminal no qual a referência positiva de tensão está localizada então o sinal positivo é usado A indutância mútua 1 A indutância mútua não é universalmente assumida como uma grandeza positiva É particularmente conveniente deixála carregar o seu próprio sinal quando três ou mais bobinas estão envolvidas e cada uma dessas bobinas interage com cada uma das demais Restringimos nossa atenção ao caso mais importante de duas bobinas u FIGURA 131 a Uma corrente i1 em L1 produz uma tensão de circuito aberto v2 em L2 b Uma corrente i2 em L2 produz uma tensão de circuito aberto v1 em L1 Seção 131 u Indutância mútua 487 no entanto não pode ser tratada exatamente da mesma forma porque qua tro terminais estão envolvidos A escolha do sinal correto é estabelecida pelo uso de uma das várias possibilidades que incluem a convenção do ponto ou pela análise da maneira particular na qual cada uma das bobinas está enrolada Vamos usar a convenção do ponto e dar uma mera olhada na construção física das bobinas o uso de outros símbolos especiais não é necessário quando apenas duas bobinas estão acopladas A convenção do ponto utiliza um grande ponto colocado em uma das terminações de cada uma de duas bobinas magneticamente acopladas Determinamos o sinal da tensão mútua conforme indicado Uma corrente entrando no terminal pontuado de uma bobina produz uma tensão de circuito aberto com referência positiva no terminal pontuado da segunda bobina Logo na Figura 132a i1 entra no terminal pontuado de L1 υ2 é tem sinal positivo no terminal pontuado de L2 e υ2 M di1 dt Vimos anterior mente que é muitas vezes impossível selecionar tensões ou correntes em um circuito de forma que a convenção de sinal passivo seja satisfeita em todos os lugares o mesmo problema ocorre em circuitos com acoplamento mútuo Por exemplo pode ser mais conveniente representar υ2 como uma tensão com sinal positivo no terminal não pontuado conforme mostrado na Figura 132b então υ2 M di1 dt Nem sempre temos correntes que entram no terminal pontuado conforme indica a Figura 132c e d Notamos então que Uma corrente entrando no terminal não pontuado de uma bobina fornece uma tensão com sinal positivo no terminal não pontuado da segunda bobina Note que a discussão anterior não inclui nenhuma contribuição de ten são oriunda de autoindução o que ocorreria se i2 fosse não nula Vamos considerar essa importante situação em detalhe mas é apropriado dar um rápido exemplo antes No circuito mostrado na Figura 133 a determine υ1 se i2 5 sen 45t A e i1 0 b determine υ2 se i1 8et A e i2 0 a Como a corrente i2 está entrando no terminal não pontuado da bobina da direita o sinal positivo da tensão induzida nos terminais da bobina da esquerda está localizado no terminal não pontuado Logo temos uma tensão de circuito aberto υ1 2455 cos 45t 450 cos 45t V aparecendo nos terminais da bobina da esquerda como resultado do fluxo mag nético variável com o tempo gerado pela circulação de i2 na bobina da direita Como nenhuma corrente flui na bobina da esquerda não há contribuição para υ1 oriunda de autoindução u EXEMPLO 131 i1 di1 dt a L2 υ2 M L1 M i1 di1 dt d L2 υ2 M L1 M i1 di1 dt b L2 υ2 M L1 M i1 di1 dt c L2 υ2 M L1 M p FIGURA 132 Uma corrente entrando no terminal pontuado de uma bobina produz uma tensão com sinal positivo no terminal pontuado da segunda bobina Uma corrente entrando no terminal não pontuado de uma bobina produz uma tensão com sinal positivo no terminal não pontuado da segunda bobina υ2 υ1 i1 i2 L2 L1 M 2 H p FIGURA 133 A convenção do ponto fornece uma relação entre o terminal no qual uma corrente entra em uma bobina e a referência de tensão positiva na outra bobina Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 488 b Temos agora uma corrente entrando em um terminal pontuado mas υ2 tem sinal positivo no terminal não pontuado Logo υ2 2 1 8e t 16e t V u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 131 Assumindo M 10 H a bobina L2 em curtocircuito e i1 2e5t A obtenha a tensão υ2 na a Figura 132a b Figura 132b Resposta 100e5t V 100e5t V Tensão Induzida Considerando a Combinação de Efeitos Mútuos e Próprios Até agora consideramos apenas a tensão mútua presente em uma bobina em aberto Em geral uma corrente diferente de zero circula em cada uma das duas bobinas e com isso uma tensão mútua é produzida em cada bobina em decorrência da corrente que flui na outra bobina Essa tensão mútua está presente independentemente de qualquer tensão de autoindução e se super põe à tensão de autoindução Em outras palavras a tensão nos terminais de L1 será composta por dois termos L1 di1dt e M di2dt cada qual carregando um sinal dependente da direção das correntes da orientação assumida para a tensão e da localização dos dois pontos No trecho de circuito desenhado na Figura 134 mostramse as correntes i1 e i2 cada uma delas entrando no terminal pontuado A tensão em L1 é portanto composta por duas partes υ1 L1 di1 dt M di2 dt assim como a tensão em L2 υ2 L2 di2 dt M di1 dt Na Figura 135 as correntes e tensões não foram selecionadas tendo em vista a obtenção de apenas termos positivos para υ1 e υ2 Inspecionando apenas os símbolos usados como referência para i1 e υ1 fica claro que a convenção de sinal passivo não é satisfeita e que o sinal de L1 di1 dt deve ser portanto negativo Concluise o mesmo para o termo L2 di2 dt O termo mútuo de υ2 é assinalado pela inspeção da direção de i1 e υ2 como i1 entra no terminal com o ponto e υ2 tem sinal positivo no terminal pontuado o sinal de M di1 dt deve ser positivo Finalmente i2 entra no terminal não pontuado de L2 e o sinal positivo de υ1 aparece no terminal não pontuado de L1 portanto a parcela mútua de υ1 M di2 dt também deve ser positiva Logo temos υ1 L1 di1 dt M di2 dt υ2 L2 di2 dt M di1 dt As mesmas considerações levam a escolhas de sinais idênticas no caso da excitação por uma fonte senoidal operando na frequência ω V1 jωL1I1 jωMI2 V2 jωL2I2 jωMI1 i1 i2 L2 υ2 L1 υ1 M p FIGURA 134 Como os pares v1 i1 e v2 i2 satisfazem individualmente à convenção de sinal passivo ambas as tensões de autoindução são positivas como i1 e i2 entram nos terminais pontuados e v1 e v2 têm sinal positivo nos terminais pontuados as tensões de indução mútua também são positivas i1 i2 L2 υ2 L1 υ1 M p FIGURA 135 Como os pares v1 i1 e v2 i2 não estão orientados de acordo com a convenção de sinal passivo as tensões de indução própria são negativas como i1 entra no terminal pontuado e v2 tem a sua referência positiva no terminal pontuado o termo mútuo de v2 é positivo e como i2 entra no terminal não pontuado e v 1 tem a sua referência positiva no terminal não pontuado o termo mútuo de v1 também é positivo Seção 131 u Indutância mútua 489 Base Física da Convenção do Ponto Podemos entender melhor o sinal do ponto dando uma olhada no sentido físico dessa convenção o significado dos pontos deve ser agora interpreta do em termos do fluxo magnético Duas bobinas enroladas em um cilindro são mostradas na Figura 136 e a direção de cada enrolamento é evidente Vamos assumir que a corrente i1 seja positiva e crescente com o tempo O fluxo magnético que i1 produz no interior do cilindro tem uma direção que pode ser encontrada com o emprego da regra da mão direita quando os dedos da mão direita que envolve a bobina apontam na direção do fluxo da corrente o polegar indica a direção do fluxo magnético dentro da bobina Logo i1 produz um fluxo que está direcionado para baixo como i1 cresce com o tempo o fluxo que é proporcional a i1 também cresce com o tempo Analisando agora a segunda bobina vamos também imaginar que i2 seja positiva e crescente a aplicação da regra da mão direita mostra que i2 tam bém produz um fluxo magnético direcionado para baixo e crescente Em outras palavras as correntes i1 e i2 que assumimos produzem fluxos aditivos A tensão nos terminais de qualquer bobina resulta da taxa de variação temporal do fluxo no interior dessa bobina A tensão nos terminais da pri meira bobina é portanto maior com i2 fluindo do que com i2 igual a zero Logo i2 induz uma tensão na primeira bobina que tem o mesmo sentido da tensão própria induzida naquela bobina O sinal da tensão de autoindução é conhecido a partir da convenção de sinal passivo e com isso se obtém o sinal da tensão mútua A convenção do ponto nos permite suprimir a construção física das bobi nas por meio da colocação de um ponto em um de seus terminais de forma que as correntes entrando nos terminais marcados com este ponto produzam fluxos aditivos Está claro que sempre há duas localizações possíveis para os pontos pois eles sempre podem ser movidos para os terminais opostos das bobinas de forma que fluxos aditivos ainda sejam formados No circuito da Figura 137a descubra a relação entre a tensão de saída no resistor de 400 Ω e a tensão da fonte expressa em notação fasorial I1 I2 0 V 1 V j90 V j10 V 400 V j kV V1 10 v 10 rads V2 b v1 10 cos 10t V M 9 H v2 400 V 1 V 100 H a 1 H i2 i1 I1 I2 0 V 1 V j90 V j10 V 400 V j kV V1 10 v 10 rads V2 b v1 10 cos 10t V M 9 H v2 400 V 1 V 100 H a 1 H i2 i1 u EXEMPLO 132 t FIGURA 137 a Circuito contendo indutância mútua no qual a relação V2V1 é desejada b Indutâncias próprias e mútuas são trocadas pelas impedâncias correspondentes i1 i2 p FIGURA 136 A construção física de duas bobinas mutuamente acopladas A partir da consideração da direção do fluxo magnético produzido por cada bobina mostrase que os pontos podem ser colocados no terminal superior ou inferior de cada bobina Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 490 f Identifique o objetivo do problema Precisamos do valor numérico de V2 Dividiremos então esse valor por 100o V f Reúna as informações conhecidas Começamos trocando os indutores de 1 H e 100 H por suas impedâncias correspondentes j10 Ω e j kΩ respectivamente Figura 137b Também trocamos a indutância mútua de 9 H por jωM j90 Ω f Trace um plano A análise de malha parece ser uma boa abordagem pois temos um cir cuito com duas malhas claramente definidas Uma vez que encontrarmos I2 V2 é simplesmente 400 I2 f Construa um conjunto apropriado de equações Na malha da esquerda o sinal do termo mútuo é determinado com a aplicação da convenção do ponto Como I2 entra no terminal não pontua do de L2 a tensão mútua em L1 deve ter sinal positivo no terminal não pontuado Logo 1 j10I1 j90I2 10 0 Como a corrente I1 entra no terminal marcado com o ponto o termo mútuo na malha da direita tem seu sinal no terminal pontuado do indutor de 100 H Portanto podemos escrever 400 j1000I2 j90I1 0 f Determine se são necessárias informações adicionais Temos duas equações e duas incógnitas I1 e I2 Assim que resolvermos para as duas correntes a tensão de saída V2 pode ser obtida multiplican dose I2 por 400 Ω f Tente uma solução Resolvendo essas duas equações com uma calculadora científica vemos que I2 0172 1670 A Logo V2 V1 4000172 1670 10 0 6880 1670 f Verifique a solução Ela é razoável ou esperada Notamos que a tensão de saída é na realidade maior em módulo do que a tensão de entrada V1 Devemos sempre esperar este resultado A resposta é não Como veremos em seções posteriores transformadores podem ser construídos para se obter uma redução ou um aumento na tensão Podemos realizar uma rápida estimativa no entanto e ao menos des cobrir limites superiores e inferiores para a nossa resposta Se o resistor de 400 Ω for trocado por um curtocircuito V2 0 Se em vez disso o trocarmos por um circuito aberto I2 0 e portanto V1 1 jωL1I1 e Seção 131 u Indutância mútua 491 V2 jωMI1 Resolvendo vemos que o valor máximo que poderíamos esperar para V2 V1 é 89555711o Portanto nossa resposta parece ser ao menos razoável A tensão de saída no circuito da Figura 137a é maior em módulo do que a tensão de entrada de forma que é possível ter um ganho de tensão nesse tipo de circuito Também é interessante considerar essa relação entre as tensões em função de ω Para determinar I2 neste circuito em particular escrevemos as equações de malha em termos de uma frequência angular ω não especificada 1 jωI1 jω9I2 10 0 e jω9I1 400 jω100I2 0 Resolvendo por substituição vemos que I2 j90ω 400 j500ω 19ω2 Logo obtemos a relação entre a tensão de saída e a tensão de entrada em função da frequência ω V2 V1 400I2 10 jω3600 400 j500ω 19ω2 O módulo dessa relação às vezes chamado de função de transferência do circuito é mostrado na Figura 138 e tem um valor de pico de aproxi madamente 7 em um ponto próximo à frequência de 46 rads Entretanto para frequências muito pequenas ou muito elevadas o módulo da função de transferência é menor que a unidade t FIGURA 138 O ganho de tensão V2V1 do circuito mostrado na Figura 137a é traçado em função de ω usandose o seguinte código no MATLAB w linspace0301000 num jw3600 for indx 11000 den 400 j500windx 19windxwindx gainindx numindxden end plotw absgain xlabelFrequency rads ylabelMagnitude of voltage Gain Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 492 O circuito ainda é passivo exceto pela fonte de tensão e o ganho de tensão não deve ser incorretamente interpretado como um ganho de potên cia Em ω 10 rads o ganho de tensão é de 688 mas a fonte de tensão ideal tendo uma tensão terminal de 10 V fornece uma potência total de 807 W dos quais apenas 594 W atingem o resistor de 400 Ω A relação entre a potência de saída e a potência da fonte que podemos definir como o ganho de potência é portanto de 0736 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 132 Para o circuito da Figura 139 escreva equações de malha apropriadas para as malhas da esquerda e da direita se υs 20e1000t V 3 mH 10 V 5 mH 2 mH i2 i1 3 V υs p FIGURA 139 Resposta 20e1000t 3i1 0002 di1 dt 0003 di2 dt 10i2 0005 di2 dt 0003 di1 dt 0 Escreva um conjunto completo de equações fasoriais para o circuito da Figura 1310a Novamente nosso primeiro passo é trocar a indutância mútua e as duas indu tâncias próprias por suas impedâncias correspondentes como mostra a Figura 1310b Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões na primeira malha um sinal positivo para o termo mútuo é assegurado com a seleção de I3 I2 como a corrente através da segunda bobina Logo 5I1 7 jωI1 I2 2 jωI3 I2 V1 ou 5 7 jωI1 9 jωI2 2 jωI3 V1 3 A segunda malha requer dois termos envolvendo indutâncias próprias e dois termos envolvendo indutâncias mútuas a equação não pode ser escrita sem que tenhamos cuidado Obtemos 7 jωI2 I1 2 jωI2 I3 1 jωI2 6 jωI2 I3 2 jωI2 I1 0 ou 9 jωI1 17 jω 1 jω I2 8 jωI3 0 4 Finalmente para a terceira malha u EXEMPLO 133 p FIGURA 1310 a Um circuito com três malhas e acoplamento mútuo b A capacitância de 1 F e as indutâncias próprias e mútuas são trocadas pelas impedâncias correspondentes 3 V 6 H 7 H υ1 i2 i3 i1 M 2 H 5 V 1 F 5 V b a j2v V j6v V j v 1 V j7v V 3 V V1 I1 I2 I3 Seção 132 u Considerações sobre energia 493 6 jωI3 I2 2 jωI1 I2 3I3 0 ou 2 jωI1 8 jωI2 3 6 jωI3 0 5 As Equações 3 a 5 podem ser resolvidas por qualquer um dos métodos convencionais u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 133 Para o circuito da Figura 1311 escreva uma equação de malha apro priada em termos das correntes fasoriais I1 e I2 para a a malha da esquerda b malha da direita 3 mH 10 V 5 mH 2 mH i2 i1 3 V υs p FIGURA 1311 Resposta Vs 3 j10I1 j15I2 0 j15I1 10 j25I2 132 CONSIDERAÇÕES SOBRE ENERGIA Vamos agora considerar a energia armazenada em um par de indutores mutuamente acoplados Os resultados nos serão úteis de várias maneiras diferentes Primeiro justificaremos nossa hipótese de que M12 M21 e então poderemos determinar o máximo valor possível para a indutância mútua entre dois condutores Igualdade de M12 e M21 O par de bobinas acopladas mostrado na Figura 1312 tem correntes tensões e pontos de polaridade indicados Para mostrar que M12 M21 começamos fazendo todas as correntes e tensões iguais a zero e com isso estabelecemos uma energia inicial nula armazenada na rede Abrimos então o par de terminais da direita e aumentamos i1 de zero até algum valor constante CC I1 no tempo t t1 A potência entrando na rede a partir da esquerda é em qualquer instante υ1i1 L1 di1 dt i1 e a potência entrando a partir da direita é υ2i2 0 já que i2 0 A energia armazenada na rede quando i1 I1 é portanto t1 0 υ1i1 dt I1 0 L1i1 di1 1 2 L1I 2 1 i1 i2 L2 υ2 L1 υ1 M p FIGURA 1312 Um par de bobinas acopladas com uma indutância mútua M12 M21 M Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 494 Agora mantemos i1 constante i1 I1 e fazemos i2 mudar de zero em t t1 para algum valor constante I2 em t t2 A energia fornecida pela fonte da direita é portanto t2 t1 υ2i2 dt I2 0 L2i2 di2 1 2 L2I 2 2 Contudo embora o valor de i1 permaneça constante a fonte da esquerda também fornece energia à rede durante esse intervalo de tempo t2 t1 υ1i1 dt t2 t1 M12 di2 dt i1 dt M12I1 I2 0 di2 M12I1I2 A energia total armazenada na rede quando i1 e i2 atingem valores constantes é Wtotal 1 2 L1I 2 1 1 2 L2I 2 2 M12I1I2 Note que poderíamos estabelecer as mesmas correntes finais nessa rede ao fazer que elas atinjam esses valores na ordem inversa isto é primeiro aumentando i2 de zero a I2 e depois mantendo i2 constante à medida que i1 aumentasse de zero a I1 Se a energia total fosse calculada para este expe rimento o resultado seria Wtotal 1 2 L1I 2 1 1 2 L2I 2 2 M21I1I2 A única diferença é a mudança das indutâncias mútuas M21 e M12 As condições iniciais e finais na rede são as mesmas contudo e portanto os dois valores de energia armazenada devem ser idênticos Logo M12 M21 M e W 1 2 L1I 2 1 1 2 L2I 2 2 M I 1I2 6 Se uma corrente entra em um terminal marcado com o ponto enquanto a outra deixa um terminal marcado com o ponto invertese o sinal do termo da energia mútua W 1 2 L1I 2 1 1 2 L2I 2 2 MI1I2 7 Embora as Equações 6 e 7 tenham sido deduzidas assumindose valores finais constantes para as duas correntes essas constantes podem ter qualquer valor e as expressões de energia representam de forma correta a energia armazenada quando os valores instantâneos de i1 e i2 são I1 e I2 respectivamente Em outras palavras símbolos com letras minúsculas tam bém poderiam ter sido igualmente usados t 1 2 L1 i1t2 1 2 L2 i2t2 M i1t i2t 8 A única hipótese na qual a Equação 8 se baseia é o estabelecimento lógico de um nível de energia nulo como referência quando ambas as cor rentes são iguais a zero Seção 132 u Considerações sobre energia 495 Estabelecendo um Limite Superior para M A Equação 8 pode agora ser usada para se estabelecer um limite superior para o valor de M Como t representa a energia armazenada em uma rede passiva seu valor não pode ser negativo para quaisquer valores de i1 i2 L1 L2 ou M Vamos assumir primeiro que i1 e i2 sejam ambos positivos ou ambos negativos seu produto é portanto positivo Da Equação 8 o único caso em que a energia poderia ser negativa é 1 2 L1i2 1 1 2 L2i2 2 Mi1i2 que podemos escrever completando os quadrados como 1 2 L1i1 L2i2 2 L1L2i1i2 Mi1i2 Como na realidade a energia não pode ser negativa o lado direito dessa equação não pode ser negativo O primeiro termo no entanto pode se anu lar e com isso temos a restrição de que a soma dos últimos dois termos não pode ser negativa Portanto L1L2 M ou M L1L2 9 Há portanto um limite superior para o valor da indutância mútua ele não pode ser maior do que a média geométrica das indutâncias das duas bobinas entre as quais existe a indutância mútua Embora tenhamos deduzido essa desigualdade assumindo que i1 e i2 tivessem o mesmo sinal algébrico é possível fazer um desenvolvimento similar se os sinais forem opostos seria necessário apenas selecionar o sinal positivo na Equação 8 Também poderíamos ter demonstrado a validade da desigualdade da Equação 9 a partir de uma consideração física a respeito do acoplamento magnético se pensarmos em i2 como zero e na corrente i1 como a fonte do fluxo magnético enlaçando tanto L1 quanto L2 fica claro que o fluxo dentro de L2 não pode ser maior do que o fluxo dentro de L1 que representa o fluxo total Qualitativamente então há um limite superior para o maior valor possível de indutância mútua entre dois condutores O Coeficiente de Acoplamento O grau com qual M se aproxima de seu valor máximo é descrito pelo coe ficiente de acoplamento definido como k M L1L2 10 Como M L1L2 0 k 1 Os maiores valores de coeficiente de acoplamento são obtidos com bobinas fisicamente próximas que são enroladas ou orientadas de forma a Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 496 oferecer um maior fluxo magnético comum ou que contem com um cami nho comum passando por um material que concentre e localize o fluxo mag nético um material com alta permeabilidade Bobinas com um coeficiente de acoplamento próximo à unidade são chamadas de fortemente acopladas Na Figura 1313 sejam L1 04 H L2 25 H k 06 e i1 4i2 20 cos500t 20o mA Determine υ10 e a energia total armazenada no sistema em t 0 Para determinar o valor de υ1 precisamos incluir as contribuições da indu tância própria da bobina 1 e da indutância mútua Logo prestando atenção na convenção do ponto υ1t L1 di1 dt M di2 dt Para avaliar essa equação precisamos de um valor para M Ele é obtido a partir da Equação 10 M k L1L2 06 0425 06 H Logo υ10 0410sen20o 0625sen20o 1881 V A energia total é obtida somandose a energia armazenada em cada indutor e com isso temos três componentes distintos pois sabemos que as duas bobinas estão magneticamente acopladas Como ambas as correntes entram em um terminal pontuado t 1 2 L1i1t2 1 2 L2i2t2 Mi1t i2t Uma vez que i10 20 cos20º 1879 mA e i20 025 i10 vemos que a energia total armazenada nas duas bobinas em t 0 é igual a 1512 μJ u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 134 Faça is 2 cos 10t A no circuito da Figura 1314 e obtenha a energia total armazenada na rede passiva em t 0 se k 06 e os terminais x e y estiverem em a circuito aberto b curtocircuito Resposta 08 J 0512 J 133 O TRANSFORMADOR LINEAR Estamos agora prontos para aplicar nosso conhecimento sobre acoplamento magnético na descrição de dois dispositivos práticos específicos que podem ser representados por modelos contendo indutâncias mútuas Eles são os transformadores que definimos como uma rede contendo duas ou mais bobinas magneticamente acopladas em que esse acoplamento é realizado de forma deliberada Figura 1315 Nesta seção consideraremos o trans formador linear que é por acaso um excelente modelo para o transformador real utilizado em frequências de rádio ou em frequências mais elevadas Na Seção 134 consideramos o transformador ideal que é um modelo idealiza do de um transformador real que possui núcleo feito de material magnético normalmente uma liga de ferro u EXEMPLO 134 i1 i2 L2 υ2 L1 υ1 M p FIGURA 1313 Duas bobinas com um coeficiente de acoplamento de 06 L1 04 H e L2 25 H 25 H 04 H 3 V is x M y p FIGURA 1314 Seção 133 u O transformador linear 497 p FIGURA 1315 Seleção de pequenos transformadores para uso em aplicações eletrônicas a pilha AA é mostrada apenas para dar uma referência de escala Na Figura 1316 mostrase um transformador com duas correntes de malha identificadas A primeira malha normalmente contendo a fonte é chamada de primário enquanto a segunda malha normalmente contendo a carga é conhecida como secundário Os indutores identificados como L1 e L2 também são chamados de primário e secundário do transformador res pectivamente Assumimos que o transformador seja linear Isso implica que nenhum material magnético é empregado em sua construção o que poderia causar uma relação fluxo versus corrente não linear Sem um material como esse no entanto é difícil obterse um coeficiente de acoplamento maior do que alguns décimos Os dois resistores servem para incorporar a resistência do fio com o qual as bobinas de primário e secundário são enroladas e quaisquer outras perdas Impedância Refletida Considere a impedância de entrada oferecida pelos terminais do circuito primário As duas equações de malha são Vs R1 jωL1I1 jωMI2 11 e 0 jωMI1 R2 jωL2 ZLI2 12 Podemos simplificálas definindo Z11 R1 jωL1 e Z22 R2 jωL2 ZL de forma que Vs Z11I1 jωMI2 13 0 jωMI1 Z22I2 14 Resolvendo a segunda equação para I2 e inserindo o resultado na pri meira equação podemos obter a impedância de entrada M VL Vs I2 I1 R1 R2 L2 L1 ZL p FIGURA 1316 Transformador linear contendo uma fonte no circuito primário e uma carga no circuito secundário Resistências também são incluídas no primário e no secundário Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 498 Zent Vs I1 Z11 jω2M2 Z22 15 Antes de manipular essa expressão ainda mais podemos tirar várias conclusões interessantes Em primeiro lugar esse resultado independe da localização dos pontos nos enrolamentos pois se cada ponto for movido para o terminal oposto da bobina temse como resultado uma mudança no sinal de cada termo envolvendo M nas Equações 11 a 14 Esse mesmo efeito poderia ser obtido com a troca de M por M e tal mudança não afe taria a impedância de entrada como demonstra a Equação 15 Também podemos notar na Equação 15 que a impedância de entrada é simplesmen te Z11 se o acoplamento for reduzido a zero À medida que o acoplamento cresce a partir de zero a impedância de entrada difere de Z11 de ω2M2Z22 que é chamada de impedância refletida A natureza dessa mudança fica mais evidente se expandirmos esta expressão Zent Z11 ω2M2 R22 j X22 e racionalizarmos a impedância refletida Zent Z11 ω2M2R22 R2 22 X2 22 jω2M2X22 R2 22 X2 22 Como o termo ω2M2R22R2 22 X2 22 deve ser positivo é evidente que a presença do secundário aumenta as perdas no circuito primário Em outras palavras a presença do secundário pode ser contabilizada no circuito primário por meio de um aumento no valor de R1 Além disso a reatância que o secun dário reflete para o circuito primário tem um sinal que é oposto àquele de X22 a reatância total do circuito secundário A reatância X22 é a soma de ωL2 e XL ela é necessariamente positiva para cargas indutivas podendo ser positiva ou negativa para cargas capacitivas dependendo do módulo da reatância da carga u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 135 Os elementos que compõem um determinado transformador linear têm valores R1 3 Ω R2 6 Ω L1 2 mH L2 10 mH e M 4 mH Se ω 5000 rads determine Zent para ZL igual a a 10 Ω b j20 Ω c 10 j20 Ω d j20 Ω Resposta 532 j274 Ω 349 j433 Ω 424 j457 Ω 556 j282 Ω Redes T e Π Equivalentes É muitas vezes conveniente substituir um transformador por uma rede equivalente na forma de um T ou de um Π Se separarmos as resistências de primário e secundário do transformador apenas o par de indutores mutuamente acoplados permanece no circuito conforme ilustrado na Figura 1317 Note que os dois terminais inferiores do transformador são conectados para formar uma rede com três terminais Fazemos isso porque nossas redes equivalentes também são redes com três terminais As equa ções diferenciais descrevendo o circuito são novamente Zent é a impedância vista a partir da bobina de primário do transformador i1 i2 L2 υ2 L1 υ1 M p FIGURA 1317 Transformador que está prestes a ser substituído por uma rede T ou Π equivalente Seção 133 u O transformador linear 499 υ1 L1 di1 dt M di2 dt 16 e υ2 M di1 dt L2 di2 dt 17 A forma dessas duas equações nos é familiar e pode ser facilmente inter pretada em termos da análise de malha Vamos selecionar uma corrente i1 no sentido horário e uma corrente i2 no sentido antihorário de forma que elas possam ser exatamente identificadas como as correntes na Figura 1317 Os termos M di2dt na Equação 16 e M di1dt na Equação 17 indicam que as duas malhas devem ter uma indutância própria M em comum Como a indu tância total da malha da esquerda é L1 uma indutância L1 M deve ser inseri da na primeira malha mas não na segunda De forma similar uma indutância própria L2 M é requerida na segunda malha mas não na primeira A rede equivalente resultante é mostrada na Figura 1318 A equivalência é garantida pelos pares idênticos de equações relacionando υ1 i1 υ2 e i2 nas duas redes Se qualquer um dos pontos nos enrolamentos do transformador dado for colocado na terminação oposta de sua bobina os termos mútuos nas Equa ções 16 e 17 terão sinal negativo Isso é análogo à troca de M por M e tal troca na rede da Figura 1318 leva ao equivalente correto neste caso Os três valores de indutância própria seriam então L1 M M e L2 M Todas as indutâncias presentes no equivalente T são indutâncias próprias nenhuma indutância mútua está presente É possível que valores negativos de indutância sejam obtidos no circuito equivalente mas isso não importa se nosso único desejo for uma análise matemática Os procedimentos de síntese de redes que fornecem uma função de transferência desejada às vezes levam a circuitos contendo uma rede T com uma indutância negativa essa rede pode então ser realizada com a aplicação de um transformador linear apropriado Obtenha o equivalente T do transformador linear mostrado na Figura 1319a Identificamos L1 30 mH L2 60 mH e M 40 mH e notamos que ambos os pontos estão nos terminais superiores da mesma forma que no circuito básico da Figura 1317 Portanto L1 M 10 mH no braço esquerdo superior do T L2 M 20 mH no braço direito superior e o centro contém M 40 mH O equivalente T completo está ilustrado na Figura 1319b Para demonstrar a equivalência deixemos os terminais C e D em curtocir cuito e apliquemos vAB 10 cos 100t V na entrada da Figura 1319a Logo i1 1 30 10 3 10 cos100t dt 333 sen 100t A e υCD M di1 dt 40 10 3 333 100 cos 100t 1333 cos 100t V u EXEMPLO 135 i1 i2 υ2 υ1 M L1 M L2 M p FIGURA 1318 O circuito T equivalente do transformador mostrado na Figura 1317 i1 i2 a 40 mH 60 mH 30 mH A C B D i2 i1 b C D A B 40 mH 20 mH 10 mH p FIGURA 1319 a Transformador linear usado como exemplo b A rede T equivalente do transformador Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 500 Aplicando a mesma tensão no equivalente T vemos que i1 1 10 40 10 3 10 cos100t dt 333 sen 100t A novamente Da mesma forma a tensão em C e D é igual à tensão nos termi nais do indutor de 40 mH Logo υCD 40 10 3 333 100 cos 100t 1333 cos 100t V e as duas redes levam a resultados iguais u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 136 a Se as duas redes mostradas na Figura 1320 são equivalentes espe cifique valores para Lx Ly e Lz b repita se o ponto no secundário da Figura 1320b estiver localizado na base da bobina a C D A B Lz Ly Lx b 35 H 6 H 2 H A C B D p FIGURA 1320 Resposta 15 25 35 H 55 95 35 H A rede Π equivalente não é obtida tão facilmente Ela é mais compli cada e não tão usada Desenvolvemola resolvendo a Equação 17 para di2dt e substituindo o resultado na Equação 16 υ1 L1 di1 dt M L2 υ2 M2 L2 di1 dt ou di1 dt L2 L1L2 M2 υ1 M L1L2 M2 υ2 Se agora integrarmos de 0 a t obtemos i1 i10ut L2 L1L2 M2 t 0 υ1 dt M L1L2 M2 t 0 υ2 dt 18 De forma similar também temos i2 i20ut M L1L2 M2 t 0 υ1 dt L1 L1L2 M2 t 0 υ2 dt 19 As Equações 18 e 19 podem ser interpretadas como um par de equações nodais uma fonte degrau de corrente deve ser instalada em cada nó para fornecer as condições iniciais apropriadas Os fatores que multi plicam cada integral têm a forma geral do inverso de certas indutâncias Seção 133 u O transformador linear 501 equivalentes Assim o segundo coeficiente da Equação 18 M L1L2 M2 é igual a 1LB ou o inverso da indutância que se estende entre os nós 1 e 2 conforme mostrado na rede Π equivalente da Figura 1321 Assim L B L1L2 M2 M i1 L1L2 M2 L2 M L1L2 M2 L1 M L1L2 M2 M i10ut i20ut LA LC LB υ1 υ2 i2 p FIGURA 1321 A rede Π equivalente ao transformador mostrado na Figura 1317 O primeiro coeficiente da Equação 18 L2 L1L2 M 2 é igual a 1LA 1LB Logo 1 L A L2 L1L2 M2 M L1L2 M2 ou L A L1L2 M2 L2 M Finalmente LC L1L2 M2 L1 M Nenhum campo magnético está presente entre os indutores do equiva lente Π e as correntes iniciais nas três indutâncias próprias são nulas Podemos compensar a inversão de qualquer um dos pontos do transfor mador com uma mera mudança no sinal de M na rede equivalente Além disso da mesma forma que vimos no equivalente T indutâncias próprias negativas podem aparecer na rede Π equivalente Obtenha a rede Π equivalente do transformador da Figura 1319a assu mindo correntes iniciais nulas Como o termo L1L2 M 2 é comum a LA LB e LC começamos avaliando essa grandeza obtendo 30 10 3 60 10 3 40 10 32 2 10 4 H2 Logo L A L1L2 M2 L2 M 2 10 4 20 10 3 10 mH LC L1L2 M2 L1 M 20 mH u EXEMPLO 136 i2 i1 C D A B 20 mH 5 mH 10 mH p FIGURA 1322 O equivalente Π do transformador linear mostrado na Figura 1319a Assumese que i10 0 e i20 0 Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 502 e L B L1L2 M2 M 5 mH A rede Π equivalente está mostrada na Figura 1322 Se verificarmos o nosso resultado novamente fazendo υAB 10cos 100t V com os terminais CD em aberto a tensão de saída é rapidamente obtida com a divisão de tensão υCD 20 10 3 5 10 3 20 10 3 10 cos 100t 1333 cos 100t V como antes Logo a rede da Figura 1322 é eletricamente equivalente às redes apresentadas na Figura 1319a e b u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 137 Se as redes da Figura 1323 são equivalentes especifique valores em mH para LA LB e LC Resposta LA 1692 mH LB 1294 mH LC 3143 mH A habilidade de simular circuitos que contêm indutâncias magneti camente acopladas é útil especialmente com a contínua redução de tamanho verificada em circuitos modernos Como o afastamento entre caminhos condutores têm diminuído cada vez mais vários circuitos e subcircuitos que deveriam se manter isolados se tornam inadvertida mente acoplados por meio de campos magnéticos parasitas interagin do entre si O PSpice nos permite incorporar esse efeito com o uso do componente KLinear que une um par de indutores em um diagrama esquemático por meio de um coeficiente de acoplamento k no intervalo 0 k 1 Por exemplo vamos simular o circuito da Figura 1319a que con siste em duas bobinas cujo acoplamento é descrito por uma indutância mútua M 40 mH correspondente a um coeficiente de acoplamento k 09428 O diagrama esquemático básico do circuito está mostrado na Figura 1324a Note que quando colocado inicialmente na posição horizontal no diagrama esquemático o terminal pontuado aparece na esquerda e esse é o pino em torno do qual o símbolo é girado Note também que o componente KLinear não está conectado ao diagrama esquemático através de fios sua localização é arbitrária A especifi cação dos dois indutores acoplados L1 e L2 é feita juntamente com o coeficiente de acoplamento por meio do Property Editor Editor de Propriedades Figura 1324b u ANÁLISE AUXILIADA POR COMPUTADOR b 34 H 6 H 2 H A C B D a i2 i1 C D A B LA LC LB p FIGURA 1323 Seção 133 u O transformador linear 503 a b p FIGURA 1324 a O circuito da Figura 1319a modificado para atender aos requisitos de simulação b caixa de diálogo Property Editor mostrando como diferentes indutores a serem ligados são nomeados O circuito está conectado a uma fonte de tensão senoidal operando em 100 rads 1592 Hz fato que é levado em consideração com a realização de uma varredura ca de apenas uma frequência Também é necessário adicionar dois resistores ao diagrama esquemático para que o PSpice realize a simulação sem gerar uma mensagem de erro Primei ramente uma pequena resistência foi inserida em série entre a fonte de tensão e L1 um valor de 1 pΩ foi selecionado para que seu efeito fosse mínimo Em segundo lugar um resistor de 1000 MΩ essencialmente infinito foi conectado a L2 A saída da simulação é uma tensão com módulo de 1333 V e ângulo de fase de 3819 108 graus essencial mente zero o que está em concordância com os valores calculados manualmente para o Exemplo 135 O PSpice também fornece dois diferentes modelos de transforma dores um transformador linear XFRMLINEAR e um transformador ideal XFRMNONLINEAR que é um elemento de circuito a ser estudado da próxima seção O transformador linear requer que valores sejam especificados para o coeficiente de acoplamento e para ambas Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 504 as indutâncias das bobinas O transformador ideal também requer um coeficiente de acoplamento mas conforme veremos um transforma dor ideal tem valores de indutância infinitos ou aproximadamente infi nitos Portanto o parâmetro remanescente requerido pelo componente XFRMNONLINEAR é o número de voltas do fio que compõe cada bobina 134 O TRANSFORMADOR IDEAL O transformador ideal é uma aproximação útil para descreverse um trans formador muito fortemente acoplado no qual o coeficiente de acoplamento é essencialmente unitário e onde as reatâncias indutivas do primário e do secundário são extremamente grandes em comparação com as impedâncias terminais Essas características são seguidas de forma bastante próxima pela maioria dos transformadores com núcleo de ferro bem projetado para um intervalo de frequências razoável e para uma faixa razoável de impedâncias terminais A análise aproximada de um circuito contendo um transformador com núcleo de ferro pode ser feita de forma muito simples com a substituição desse transformador por um transformador ideal o transformador ideal pode ser pensado como um modelo de primeira ordem do transformador com núcleo de ferro A Relação entre o Número de Espiras de um Transformador Ideal Um novo conceito surge com o transformador ideal a relação entre o número de espiras a A indutância própria de uma bobina é proporcional ao quadrado do número de voltas de fio que formam a bobina Essa relação é válida apenas se todo o fluxo estabelecido pela corrente fluindo na bobina enlaçar todas as espiras Para desenvolver esse resultado quantitativamente seria necessário utilizar conceitos de campo magnético um assunto que não está incluído em nossa discussão sobre a análise de circuitos Entretanto um argumento qualitativo pode ser suficiente Se uma corrente i fluir atra vés de uma bobina formada por N espiras então o fluxo magnético de uma bobina formada por apenas uma espira será produzido N vezes Se pensar mos nas N espiras como coincidentes então todas elas serão certamente enlaçadas pelo fluxo total Como a corrente e o fluxo variam com o tempo uma tensão N vezes maior do que a que seria causada por uma bobina de apenas uma espira é então induzida em cada uma das espiras Logo a tensão induzida em uma bobina com N espiras deve ser N2 vezes maior do que a tensão induzida em uma bobina com apenas uma espira A partir daí surge a proporcionalidade entre a indutância e o quadrado do número de espiras Segue que Seção 134 u O transformador ideal 505 L2 L1 N 2 2 N 2 1 a2 20 ou 21 a N2 N1 A Figura 1325 mostra um transformador ideal ao qual se conecta uma carga no secundário A natureza ideal do transformador é estabelecida por meio de diversas convenções o uso de linhas verticais entre as duas bobi nas para indicar as lâminas de ferro presentes em muitos transformadores com núcleo de ferro o valor unitário do coeficiente de acoplamento e a presença do símbolo 1a sugerindo uma relação entre o número de espiras dada por N1 sobre N2 Vamos analisar esse transformador no regime permanente senoidal As duas equações de malha são V1 jωL1I1 jωMI2 22 e 0 jωMI1 ZL jωL2I2 23 Primeiro considerar a impedância de entrada de um transformador ideal Resolvendo a Equação 23 para I2 e substituindo na Equação 22 obtemos V1 I1 jωL1 I1 ω2M2 ZL jωL2 e Zent V1 I1 jωL1 ω2M2 ZL jωL2 Como k 1 M 2 L1L2 então Zent jωL1 ω2L1L2 ZL jωL2 Além do coeficiente de acoplamento unitário a impedância extrema mente elevada das bobinas de primário e secundário é uma característica a mais do transformador ideal característica esta que independe da frequên cia de operação Isto sugere que no caso ideal tanto L1 quanto L2 devem tender a infinito Sua relação contudo deve permanecer finita o que é especificado pela relação entre o número de espiras Assim L2 a2L1 leva a Zent jωL1 ω2a2L2 1 ZL jωa2L1 I2 I1 L2 L1 V1 V2 1 a k 1 ZL p FIGURA 1325 Um transformador ideal é conectado a uma impedância de carga genérica Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 506 Se fizermos agora L1 tender a infinito os dois termos no lado direito da equação anterior tendem a infinito e o resultado é indeterminado Portanto é necessário primeiro combinar esses dois termos Zent jωL1ZL ω2a2L2 1 ω2a2L2 1 ZL jωa2L1 24 ou Zent jωL1ZL ZL jωa2L1 ZL ZL jωL1 a2 25 Como agora L1 vemos que Zent se torna Zin ZL a2 26 para um ZL finito Esse resultado tem algumas implicações interessantes e pelo menos uma delas parece contradizer uma das características do transformador linear A impedância de entrada de um transformador ideal é proporcional à impedân cia da carga sendo a constante de proporcionalidade o inverso do quadrado da relação entre o número de espiras Em outras palavras se a impedância da carga for capacitiva então a impedância de entrada é uma impedância capacitiva No transformador linear contudo a impedância refletida sofria uma mudança de sinal em sua parte reativa uma carga capacitiva leva va a uma contribuição indutiva para a impedância de entrada Obtémse uma explicação para isso primeiramente percebendose que ZLa2 não é a impedância refletida embora seja frequentemente chamada por este nome de forma pouco cuidadosa A verdadeira impedância refletida é infinita no transformador ideal do contrário ela não poderia cancelar a impedância infinita da indutância do primário Esse cancelamento ocorre no numerador da Equação 24 A impedância ZLa2 é um termo pequeno que contabiliza a não ocorrência exata deste cancelamento A verdadeira impedância refletida no transformador ideal não muda de sinal em sua parte reativa como as impedâncias de primário e secundário tendem a infinito no entanto o efeito da reatância infinita da bobina do primário e da reatância refletida da bobina do secundário que é infinita porém negativa é de cancelamento A primeira característica importante do transformador ideal é portan to a sua habilidade em mudar o módulo ou o nível de uma impedância Um transformador ideal com 100 espiras no primário e 10000 espiras no secundário tem uma relação entre espiras de 10000100 ou 100 Qual quer impedância colocada no secundário aparece então nos terminais do primário com seu módulo reduzido por um fator de 1002 ou 10000 Um resistor de 20000 parece ter 2 Ω um indutor de 200 mH parece ter 20 μH e um capacitor de 100 pF parece ter 1 μF Se os enrolamentos de primário e secundário forem trocados então a 001 e a impedância da carga tem o seu valor aparentemente elevado Na prática essa mudança exata de valor nem sempre ocorre devemos lembrar que quando demos o último passo na nossa dedução permitindo que L1 tendesse a infinito na Equação 25 foi necessário desprezar ZL em comparação com jωL2 Como L2 nunca pode ser infinito fica evidente que o modelo do transformador ideal se torna inválido se as impedâncias das cargas forem muito elevadas Seção 134 u O transformador ideal 507 Uso de Transformadores para Casamento de Impedâncias Um exemplo prático do uso de um transformador com núcleo de ferro como um dispositivo modificador de níveis de impedância pode ser encontrado no acoplamento entre um amplificador e um sistema de altofalantes Para se obter uma máxima transferência de potência sabemos que a resistência da carga deve ser igual à resistência interna da fonte o altofalante tem normalmente um módulo de impedância que frequentemente se assume como uma resistência de apenas alguns ohms enquanto o amplificador de potência pode possuir uma resistência interna de vários milhares de ohms Logo é necessário usar um transformador ideal com N2 N1 Por exemplo se a impedância interna do amplificador for de 4000 Ω e a impedância do altofalante for de 8 Ω desejamos então que Zg 4000 ZL a2 8 a2 ou a 1 224 e com isso N1 N2 224 Uso de Transformadores para Ajuste de Corrente Há uma relação simples entre as correntes de primário e secundário I1 e I2 em um transformador ideal Da Equação 23 I2 I1 jωM ZL jωL2 Novamente fazemos com que L2 tenda a infinito e segue que I2 I1 jωM jωL2 L1 L2 ou 27 I2 I1 1 a Logo a relação entre as correntes de primário e secundário é igual à relação entre o número de espiras Se tivermos N2 N1 então a 1 e fica claro que a maior corrente flui no enrolamento com o menor número de espiras Em outras palavras N1I1 N2I2 Também deve ser notado que a relação entre as correntes é o negativo da relação entre o número de espiras se alguma corrente for invertida ou se a localização de algum dos pontos for trocada Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 508 Em nosso exemplo no qual um transformador ideal foi usado para casar de forma eficiente um altofalante com um amplificador de potência uma corrente rms de 50 mA com frequência de 1000 Hz no primário causa uma corrente rms de 112 A com frequência de 1000 Hz no secundário A potên cia fornecida ao altofalante é de 11228 ou 10 W e a potência fornecida ao transformador pelo amplificador de potência é de 00524000 ou 10 W Este resultado é confortador já que o transformador ideal não contém nenhum dispositivo ativo que possa gerar potência tampouco um resistor que possa absorver potência Uso de Transformadores para Ajuste do Nível de Tensão Como a potência fornecida ao transformador ideal é idêntica àquela forne cida à carga e as correntes de primário e secundário dependem da relação entre o número de espiras parece razoável que as tensões de primário e secundário também sejam relacionadas pela relação entre o número de espiras Se definirmos a tensão no secundário ou a tensão na carga como V2 I2ZL e a tensão no primário como a queda de tensão em L1 então V1 I1Zent I1 ZL a2 A relação entre as duas tensões tornase então V2 V1 a2 I2 I1 ou 28 V2 V1 a N2 N1 A relação entre as tensões de secundário e primário é igual à relação entre o número de espiras Devemos ter cuidado ao notar que essa equação é oposta àquela da Equação 27 essa é uma fonte de erros muito comum para os estudantes Essa relação também pode ser negativa se uma das ten sões for invertida ou se a localização dos pontos for mudada Simplesmente escolhendo a relação entre o número de espiras portanto temos agora a habilidade de converter qualquer tensão ca em uma outra ten são ca Se a 1 a tensão no secundário é maior do que a tensão no primá rio e temos o que é comumente chamado de transformador elevador Se a 1 a tensão no secundário é menor do que a tensão no primário e temos neste caso um transformador abaixador Empresas concessionárias de energia tipicamente geram potência em uma faixa de tensões de 12 a 25 kV Embora essas tensões sejam bastante elevadas as perdas de transmissão que ocorrem em longas distâncias podem ser reduzidas com o aumento do nível de tensão para várias centenas de milhares de volts utilizandose um transformador elevador Figura 1326a Essa tensão é então reduzida a a b c p FIGURA 1326 a Transformador elevador usado para aumentar a saída de tensão do gerador para a transmissão b Transformador de subestação usado para reduzir a tensão do nível de transmissão de 220 kV para várias dezenas de quilovolts usados na distribuição local c Transformador abaixador usado para reduzir o nível de tensão de distribuição para 240 V para o consumo de potência Fotos Cortesia do Dr Wade Enright Te Kura Pukaha Vira O Te Whare Wananga O Waitaha Aotearoa a b c Seção 134 u O transformador ideal 509 várias dezenas de quilovolts em subestações para a distribuição de potência local por meio de transformadores abaixadores Figura 1326b Transfor madores abaixadores adicionais são colocados em pontos próximos aos edifícios para que a tensão de transmissão seja reduzida aos níveis de 127 e 220 V necessários à operação dos aparelhos elétricos Figura 1326c Combinando a relação entre as correntes e tensões Equações 27 e 28 V2I2 V1I1 e vemos com isso que os voltampères complexos de primário e secundário são iguais O módulo desse produto é normalmente especificado como o máximo valor permitido em transformadores de potência Se a carga tiver um ângulo de fase θ ou ZL ZL θ então V2 está adiantada de I2 em um ângulo θ Além disso a impedância de entrada é ZLa2 e portanto V1 também está adiantada de I1 no mesmo ângulo Se as tensões e correntes forem representadas por valores rms então V2 I2 cos θ deve ser igual a V1 I1 cos θ e toda a potência forneci da aos terminais de primário alcança a carga nenhuma potência é absorvida pelo transformador ideal As características que obtivemos para o transformador ideal foram determinadas com a aplicação da análise fasorial Elas são certamente váli das no regime permanente senoidal mas não temos por que acreditar que elas estejam corretas para a resposta completa Na realidade a aplicabilida de delas é geral e a demonstração de que isto é verdade é muito mais sim ples do que a análise que acabamos de completar baseada na teoria fasorial Nossa análise no entanto serviu para apontar as aproximações específicas que devem ser feitas em um modelo mais exato de um transformador real para se obter um transformador ideal Por exemplo vimos que a reatância do enrolamento de secundário deve ser muito maior em módulo do que a impedância de qualquer carga conectada no secundário Algum sentimento quanto às condições de operação nas quais o transformador deixa de se comportar como um transformador ideal também foi adquirido No circuito dado na Figura 1327 determine a potência média dissipada no resistor de 10 kΩ V2 V1 1 10 I1 I2 100 V 10 kV 50 V rms p FIGURA 1327 Circuito simples com um transformador ideal u EXEMPLO 137 Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 510 A potência média dissipada pelo resistor de 10 kΩ é simplesmente P 10000I22 A fonte de 50 V rms vê uma impedância de entrada no transformador de ZLa2 ou 100 Ω Logo obtemos I1 50 100 100 250 mA rms A partir da Equação 27 I2 1aI1 25 mA rms então vemos que o resis tor de 10 kΩ dissipa 625 W u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 138 Repita o Exemplo 137 usando tensões para computar a potência dissipada Resposta 625 W Relação entre as Tensões no Domínio do Tempo Vamos agora determinar como as grandezas υ1 e υ2 no domínio do tempo estão relacionadas no transformador ideal Retornando ao circuito mostra do na Figura 1317 e às Equações 16 e 17 que o descrevem podemos resolver a segunda equação para di2 dt e substituíla na primeira equação υ1 L1 di1 dt M L2 υ2 M2 L2 di1 dt Entretanto para um acoplamento unitário M2 L1L2 e então υ1 M L2 υ2 L1 L2 υ2 1 a υ2 Notase portanto que a relação entre as tensões no primário e no secun dário é aplicável à resposta completa no domínio do tempo Uma expressão relacionando as correntes de primário e secundário no domínio do tempo é obtida mais rapidamente dividindose toda a Equação 16 por L1 υ1 L1 di1 dt M L1 di2 dt di1 dt a di2 dt e aplicandose então uma das hipóteses fundamentais do transformador ideal L1 deve ser infinita Se assumirmos que v1 não seja infinita então di1 dt a di2 dt Integrando i1 ai2 A onde A é a constante de integração que não varia com o tempo Logo se desprezarmos quaisquer correntes contínuas nos dois enrolamentos e fixar mos nossa atenção apenas na parte da resposta que varia com o tempo então i1 ai2 Os ângulos de fase podem ser ignorados neste exemplo por não terem impacto no cálculo da potência média dissipada por uma carga puramente resistiva APLICAÇÃO TRANSFORMADORES SUPERCONDUTORES Na maioria das vezes desprezamos os vários tipos de perdas que podem estar presentes em um transformador Ao lidar com grandes transformadores de potência no entanto devemos prestar muita atenção em suas caracte rísticas não ideais a despeito de uma eficiência geral típica em torno de 97 ou mais Embora uma eficiência elevada como essa possa parecer aproximadamente ideal ela pode representar uma grande quantidade de energia desperdi çada quando o transformador lida com muitos milhares de ampères As perdas com i2R também chamadas de perdas ôhmicas representam potência dissipada na forma de calor o que pode aumentar a temperatura das bobinas do transformador A resistência dos fios aumenta com a temperatura de forma que o aquecimento implica perdas maiores Temperaturas elevadas também podem levar à degradação do isolamento dos fios reduzindo a vida útil do transformador Como resultado muitos transformado res de potência modernos operam mergulhados em óleo líquido para que o excesso de calor seja removido das bobinas Tal técnica tem suas desvantagens no entanto incluindo o impacto ambiental e o risco de incêndio como resultado da corrosão ao longo do tempo Figura 1328 p FIGURA 1328 Incêndio que ocorreu em 2004 em uma subestação de 340000 V próxima a Mishawaka Indiana APWide World Photos Uma maneira possível para se melhorar o desempenho de tais transformadores é a utilização de fios supercondu tores em substituição às bobinas resistivas normalmente empregadas em seu projeto Supercondutores são mate riais resistivos em altas temperaturas mas que subitamen te deixam de apresentar resistência ao fluxo de corrente abaixo de uma temperatura crítica Muitos elementos são supercondutores apenas em temperaturas próximas ao zero absoluto o que requer o emprego de caros sistemas de refrigeração criogênica à base de hélio líquido Com a descoberta de supercondutores cerâmicos com tempe raturas críticas de 90 K 183oC ou mais na década de oitenta tornouse possível a substituição de equipamentos baseados no emprego de hélio por sistemas de nitrogênio líquido significativamente mais baratos A Figura 1329 mostra o protótipo de um transforma dor supercondutor que está sendo desenvolvido na Uni versidade de Canterbury Esse projeto emprega nitrogênio líquido ambientalmente benigno em vez de óleo e além disso se comparado com um transformador convencional com especificação similar seu tamanho é significativa mente menor O resultado é uma mensurável melhoria na eficiência global do transformador que se traduz em uma economia nos custos operacionais para o proprietário p FIGURA 1329 Protótipo de um transformador supercondutor com núcleo parcial de 15 kVA Foto Cortesia do Departamento de Engenharias Elétrica e de Computação Universidade de Canterbury Ainda assim todos os projetos têm desvantagens que devem ser colocadas na balança com suas potenciais van tagens e transformadores supercondutores não são uma exceção Atualmente o obstáculo mais significativo é o custo relativamente elevado envolvido na fabricação de muitos quilômetros de fios supercondutores em com paração com a fabricação de fios de cobre Parte disso se deve ao desafio presente na fabricação de fios longos a partir de material cerâmico mas o emprego de prata envolvendo os fios supercondutores também contribui para encarecer o processo A prata é utilizada para promo ver um caminho de baixa resistência no caso de falha no sistema de refrigeração embora mais barato que a prata o cobre reage com a cerâmica e por essa razão deixa de ser uma alternativa viável O resultado final mostra que embora um transformador supercondutor seja capaz de economizar o dinheiro de uma empresa concessionária em longo prazo muitos transformadores operam por mais de 30 anos em serviço o custo inicial é muito maior do que aquele associado a um transformador resistivo tradicional No momento muitas companhias incluindo as concessio nárias são guiadas por considerações de custo em curto prazo e nem sempre querem fazer investimentos de capi tal elevados visando apenas benefícios em longo prazo O sinal de menos surge do posicionamento dos pontos e da seleção da direção das correntes na Figura 1317 Portanto desde que as componentes CC sejam ignoradas as relações que obtivemos para as correntes e as tensões no domínio do tempo são iguais às relações previamente obtidas no domínio da frequência Os resul tados no domínio do tempo são mais gerais mas foram obtidos por meio de um processo menos informativo Circuitos Equivalentes As características que estabelecemos para o transformador ideal podem ser utilizadas para simplificar circuitos nos quais aparecem transformadores ideais Vamos assumir para fins de ilustração que toda a rede à esquerda dos terminais de primário tenha sido substituída por seu equivalente de Thévenin da mesma forma que a rede à direita dos terminais de secundá rio Temos portanto o circuito mostrado na Figura 1330 Assumese uma excitação na frequência ω V2 V1 I2 I1 Vs2 Vs1 1 a k 1 Zg1 Zg2 p FIGURA 1330 As redes conectadas aos terminais primário e secundário de um transformador ideal são representadas por seus equivalentes de Thévenin Os teoremas de Thévenin e de Norton podem agora ser usados na obten ção de um circuito equivalente que não contenha um transformador Como exemplo vamos determinar o equivalente de Thévenin da rede à esquerda dos terminais de secundário Colocando o secundário em circuito aberto Seção 134 u O transformador ideal 513 temos I2 0 e portanto I1 0 lembrese que L1 é infinita Nenhuma tensão aparece nos terminais de Zg1 e portanto V1 Vs1 e V2ca aVs1 A impedância de Thévenin é obtida definindo a fonte Vs1 como zero e utilizandose o quadrado da relação entre espiras tomandose o cuidado de usar o inverso desta relação uma vez que estamos olhando a partir dos terminais de secundário Assim Zth2 Zg1a2 Para verificar o nosso equivalente vamos também determinar a corrente de curtocircuito I2cc no secundário Com o secundário curtocircuitado o gerador do primário se depara com uma impedância Zg1 e com isso I1 Vs1Zg1 Portanto I2cc Vs1aZg1 A relação entre a tensão de circuito aberto e a corrente de curtocircuito é igual a a2Zg1 como deveria ser O equivalente de Thévenin do transformador e do circuito primário está mos trado no circuito da Figura 1331 V2 I2 Vs2 aVs1 a2Zg1 Zg2 p FIGURA 1331 O equivalente de Thévenin da rede à esquerda dos terminais de secundário da Figura 1330 é usado para simplificar aquele circuito Cada tensão no primário deve ser portanto multiplicada pela relação entre o número de espiras cada corrente no primário deve ser dividida por essa relação e cada impedância no primário deve ser multiplicada pelo quadrado da relação entre o número de espiras então essas tensões cor rentes e impedâncias modificadas substituem o transformador e as tensões correntes e impedâncias originais Se qualquer um dos pontos for trocado podese obter o equivalente usando o negativo da relação entre o número de espiras Note que essa equivalência conforme ilustrado na Figura 1331 é possível apenas se as redes que estiverem conectadas aos terminais de primário e secundário puderem ser substituídas por seus equivalentes de Thévenin Isto é cada uma delas deve ser uma rede com dois terminais Por exemplo se cortarmos os dois fios de conexão no primário do trans formador o circuito resultante deve ser dividido em duas redes separadas não pode haver qualquer elemento ou rede fazendo uma ponte através do transformador e conectando de alguma forma os terminais de primário e secundário Uma análise similar para o transformador e para a rede secundária mostra que toda a rede à direita dos terminais de primário pode ser subs tituída por uma rede idêntica sem a presença do transformador com cada tensão sendo dividida por a cada corrente sendo multiplicada por a e cada impedância sendo dividida por a2 Uma inversão em qualquer um dos enro lamentos requer o uso de uma relação entre espiras de a Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 514 Para o circuito fornecido n Figura 1332 determine o circuito equivalente pelo qual o transformador e o circuito de secundário são substituídos e também pelo qual o transformador e o circuito primário são substituídos V2 V1 1 10 I1 I2 100 V 10 kV 50 V rms p FIGURA 1332 Circuito simples no qual uma carga resistiva é casada com a fonte por meio de um transformador ideal Esse é o mesmo circuito que analisamos no Exemplo 137 Como antes a impedância de entrada é 10000102 ou 100 Ω e com isso I1 250 mA rms Podemos computar a tensão na bobina do primário V1 50 100I1 25 V rms e com isso ver que a fonte fornece 25 10350 125 W dos quais 25 1032100 625 W são dissipados na resistência interna da fonte e 125 625 625 W são entregues à carga Essa é a condição de máxima transfe rência de potência para a carga Se o circuito secundário e o transformador ideal forem removidos com o uso do equivalente de Thévenin a fonte de 50 V e o resistor de 100 Ω passam a ver simplesmente uma impedância de 100 Ω e obtémse o circuito sim plificado da Figura 1333a A corrente e a tensão no primário ficam agora imediatamente evidentes Se em vez disso a rede à esquerda dos terminais de secundário for trocada por seu equivalente de Thévenin obtemos tendo em mente a localização dos pontos Vth 1050 500 V rms e Zth 102100 10 kΩ o circuito resultante está mostrado na Figura 1333b u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 139 Sejam N1 1000 espiras e N2 5000 espiras no transformador ideal mos trado na Figura 1334 Se ZL 500 j400 Ω obtenha a potência média fornecida à ZL para a I2 1420o A rms b V2 90040o V rms c V1 80100o V rms d I1 645o A rms e Vs 2000o V rms V2 V1 N1 N2 10 V Vs I1 I2 ZL p FIGURA 1334 Resposta 980 W 988 W 1951 W 720 W 692 W u EXEMPLO 138 I1 100 V 100 V 50 V rms V1 a I2 10 kV 500 V rms V2 b 10 kV p FIGURA 1333 O circuito da Figura 1332 é simplificado substituindose a o transformador e o circuito secundário por seu equivalente de Thévenin ou b o transformador e o circuito primário por seu equivalente de Thévenin 515 Resumo e revisão RESUMO E REVISÃO Os transformadores desempenham um papel fundamental na indústria de energia permitindo que as tensões sejam elevadas para a transmissão e reduzidas para nível compatível com os diversos equipamentos individu ais Neste capítulo estudamos transformadores no contexto mais amplo de circuitos magneticamente acoplados onde o fluxo magnético associado à corrente pode ligar dois ou mais elementos em um circuito ou até mesmo circuitos vizinhos Isto é mais facilmente compreendido por meio da extensão do conceito de indutância estudado no Capítulo 7 para introduzir a ideia de indutância mútua que também tem unidade em Henry Vimos que o coeficiente de indutância mútua M tem limite inferior à média geo métrica das duas indutâncias acopladas isto é M L1L2 e foi utilizada a convenção do ponto para determinar a polaridade da tensão induzida sobre uma indutância resultante da corrente que circula através da outra Quan do as duas indutâncias não estão particularmente próximas M pode ser muito pequena No entanto no caso de um transformador bem projetado M pode aproximarse do seu valor máximo Para descrever tais situações introduzimos o conceito de coeficiente de acoplamento k Ao lidar com um transformador linear a análise pode ser auxiliada representando o elemento com uma rede equivalente T ou menos comumente Π mas uma grande parte da análise de circuitos é realizada assumindo um transformador ideal Nestes casos já não nos preocupamos com M ou k mas sim com a relação de espiras a Vimos que as tensões sobre as bobinas primária e secundária assim como as suas correntes individuais estão relacionados por este parâ metro Essa aproximação é muito útil para análise e projeto Concluímos o capítulo com uma breve discussão de como o teorema de Thévenin pode ser aplicado a circuitos com transformadores ideais Poderíamos continuar pois o estudo de circuitos indutivamente acopla dos é um tema interessante e importante Porém no momento é mais con veniente citar alguns conceitos chave que discutimos até então juntamente com os números dos exemplos correspondentes f A indutância mútua descreve a tensão induzida nos terminais de uma bobina pelo campo magnético gerado por uma segunda bobina Exemplo 131 f A convenção do ponto permite a determinação de um sinal para o termo de indutância mútua Exemplo 131 f De acordo com a convenção do ponto uma corrente entrando no terminal pontuado de uma bobina produz uma tensão de circuito aberto com sinal positivo no terminal pontuado da segunda bobina Exemplos 131 132 e 133 f A energia total armazenada em um par de bobinas acopladas possui três termos separados a energia armazenada em cada indutância própria 1 2Li2 e a energia armazenada na indutância mútua Mi1i2 Exemplo 134 f O coeficiente de acoplamento é dado por M L1L2 e se restringe a valores entre 0 e 1 Exemplo 134 Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 516 f Um transformador linear consiste em duas bobinas acopladas o enrolamento de primário e o enrolamento de secundário Exemplos 135 e 136 f Um transformador ideal é uma útil aproximação para transforma dores reais com núcleo de ferro Assumese que o coeficiente de acoplamento seja unitário e que os valores das indutâncias sejam infinitos Exemplos 137 e 138 f A relação entre o número de espiras a N2N1 de um transformador ideal relaciona as tensões nas bobinas de primário e secundário V2 aV1 Exemplo 138 f A relação a entre o número de espiras também relaciona as corren tes nas bobinas de primário e secundário I1 aI2 Exemplos 137 e 138 LEITURA COMPLEMENTAR Quase tudo o que você sempre quis saber sobre transformadores pode ser encontrado em M Heathcote JP Transformer Book 12a ed Oxford Reed Educa tional and Professional Publishing Ltd 1998 Outro título completo sobre transformadores é W T McLyman Transformer and Inductor Design Handbook 3a ed New York Marcel Dekker 2004 Um bom livro sobre transformadores com um forte foco na parte econô mica é B K Kennedy Energy Efficient Transformers New York McGraw Hill 1998 EXERCÍCIOS 131 Indutância Mútua 1 Considere as duas indutâncias representadas na Figura 1335 Estabeleça L1 10 mH L2 5 mH e M 1 mH Determine a expressão em regime permanente para a υ1 se i1 0 e i2 5 cos 8t A b υ2 se i1 3 sen 100t A e i2 0 c υ2 se i1 5 cos 8t 40º A e i2 4 sen 8t A t FIGURA 1335 i1 i2 L2 L1 M υ2 υ1 Exercícios 517 2 Com referência à Figura 1336 assuma L1 400 mH L2 230 mH e M 10 mH Determine a expressão em regime permanente de a υ1 se i1 0 e i2 2 cos 40t A b υ2 se i1 5 cos 40t 15º A e i2 0 c repita as partes a e b se M é aumentado para 300 mH 3 Na Figura 1337 considere L1 1 μH L2 2 μH e M 150 nH Obtenha uma expressão em regime permanente para a υ1 se i2 cos 70t mA e i1 0 b υ2 se i1 55 cos 5t 30º A c υ2 se i1 6 sen 5t A e i2 3 sen 5t i1 i2 L2 L1 M υ2 υ1 t FIGURA 1337 4 Para a configuração da Figura 1338 L1 05 L2 1 mH e M 085 L1L2 Calcule υ2 t se a i2 0 e i1 5et mA b i2 0 e i1 5 cos 10t mA c i2 5 cos 70t mA e i1 05i2 5 A construção física de três pares de bobinas acopladas é mostrada na Figura 1339 Mostre as duas localizações possíveis para os pontos em cada par de bobinas 1 2 3 4 a 1 2 3 4 b 2 1 3 4 c t FIGURA 1339 6 No circuito da Figura 1340 i1 5 sen 100t 80º mA L1 1 H e L2 2 H Se υ2 250 sen 100t 80º mV calcule M υ2 M L1 L2 i1 p FIGURA 1340 7 No circuito representado na Figura 1340 determine i1 se υ2t 4 cos 5t V L1 1 mH L2 4 mH e M 15 mH i1 i2 L2 L1 M υ2 υ1 p FIGURA 1336 i1 i2 L2 L1 M υ2 υ1 p FIGURA 1338 Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 518 8 Calcule υ1 e υ2 se i1 5 sen 40t mA e i2 5 cos 40t mA L1 1 mH L2 3 mH e M 05 mH para as indutâncias acopladas mostrada em a Figura 1337 b Figura 1338 9 Calcule υ1 e υ2 se i1 3 cos 2000t 13º mA e i2 5 sen 400t mA L1 1 mH L2 3 mH e M 200 nH para as indutâncias acopladas mostrada em a Figura 1335 b Figura 1336 10 Para o circuito da Figura 1341 calcule I1 I2 V2V1 e I2I1 I1 I2 47 kV 500 V j750 V j2 kV 870 V j18 kV V1 40 0 V V2 t FIGURA 1341 11 Para o circuito da Figura 1342 faça o gráfico do módulo de V2V1 em função da frequência ω durante o intervalo de 0 ω 2 rads I1 I2 1 V 1 V j2v V j4v 1 V j6v V1 40 0 V V2 t FIGURA 1342 12 Para o circuito da Figura 1343 a desenhe a representação fasorial b escreva um conjunto completo de equações de malha c calcule i2t se υ1t 8 sen 720t V 2 V 2 mH 1 mH υ1 i2 i3 i1 M 500 nH 18 V 1 mF t FIGURA 1343 13 No circuito da Figura 1343 o parâmetro M é reduzido por uma ordem de gran deza Calcule i3 se υ1 10 cos 800t 20º V 14 No circuito mostrado na Figura 1344 encontre a potência média absorvida por a a fonte b cada um dos dois resistores c cada uma das duas indutâncias d a indutância mútua 1 H 5 V 10 V 3 H 5 H 2 cos 10t V t FIGURA 1344 Exercícios 519 15 O circuito da Figura 1345 é projetado para alimentar um altofalante comum de 8 Ω Qual o valor de M quando há uma potência média de 1 W entregue para o altofalante 15 mH 3 mH 8 V altofalante M 15 cos 200t V t FIGURA 1345 16 Considere o circuito da Figura 1346 As duas fontes são is1 2 cos t mA e is2 15 sen t mA Se M1 2 H M2 0 H e M3 10 H calcule υAGt A B C G 3 H 5 H M3 M2 20 H is1 is2 M1 t FIGURA 1346 17 Para o circuito da Figura 1346 M1 1 H M2 15 H e M3 2 H Se is1 8 cos 2t A e is2 7 sen 2t A calcule a VAB b VAG c VCG 18 Para o circuito da Figura 1347 encontre as correntes i1t i2t e i3t se f 60 Hz I3 I1 3 H 2 sen 3t V I2 5 V 4 H 12 V 2 V 10 H t FIGURA 1347 19 Determine uma expressão para iCt válido para t 0 no circuito da Figura 1348 se υst 10t2utt2 001 V υs υx iC 100vx 1 mF 15 mH 10 mH 40 mH t FIGURA 1348 Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 520 20 Para a rede de indutor acoplado da Figura 1349a considere L1 20 mH L2 30 mH M 10 mH e obtenha as equações de υA e υB se a i1 0 e i2 5 sen 10t b i1 5 cos 20t e i2 2 cos 20t 100º mA c expresse V1 e V2 como funções do IA e IB para a rede mostrada na Figura 1349b 21 Note que não há acoplamento mútuo entre os indutores de 5 H e 6 H no circuito da Figura 1350 a Escreva um conjunto de equações em termos de I1jω I2jω e I3jω b encontre I3jω se ω 2 rads I1 100 0 V 4 V 5 V 6 H 0 H 3 H 4 H 5 H 2 H 6 V I3 I2 t FIGURA 1350 22 Encontre V1jω e V2jω em termos de I1jω e I2jω para cada circuito da Figura 1351 V2 V1 a L1 L2 R1 R2 M I1 I2 V2 V1 b L1 L2 R1 R2 M I1 I2 V2 V1 a L1 L2 R1 R2 M I1 I2 V2 V1 b L1 L2 R1 R2 M I1 I2 p FIGURA 1351 23 a Encontre Zentjω para a rede da Figura 1352 b faça o gráfico de Zent no intervalo de frequência entre 0 ω 1000 rads c encontre Zentjω para ω 50 rads 132 Considerações sobre Energia 24 Para as bobinas acopladas da Figura 1353 L1 L2 10 H e M é igual ao seu valor máximo possível a Calcule o coeficiente de acoplamento K b calcule a energia armazenada no campo magnético que liga as duas bobinas em t 200 ms se i1 10 cos 4t mA e i2 2 cos 4t mA 25 Com relação aos indutores acoplados mostrados na Figura 1353 L1 10 mH L2 5 mH e k 075 a Calcule M b se i1 100 sen 40t mA e i2 0 calcule a energia armazenada em cada bobina e no campo magnético de acoplamento dos dois indutores em t 2 ms c repita o item b se i2 está definido em 75 cos 40t mA 26 Para o circuito da Figura 1354 L1 2 mH L2 8 mH e υ1 cos 8t V a Obtenha uma equação para υ2t b faça o gráfico de V2 em função de k c faça o gráfico do ângulo de fase em graus de V2 em função de k V1 V2 IA IB M L1 L2 υA L2 L1 a M i2 υB i1 b p FIGURA 1349 Zent 5 V 02 H 05 H 01 H 2 V p FIGURA 1352 i1 i2 L2 υ2 L1 υ1 M p FIGURA 1353 27 Conecte uma carga ZL 533 Ω aos terminais à direita da Figura 1353 Deduza uma expressão para a impedância de entrada em f 100 Hz vista a partir dos terminais esquerdo se L1 15 mH L2 3 mH e k 055 28 Considere o circuito representado na Figura 1355 O coeficiente de acoplamento K 075 Se is 5 cos 200t mA calcule a energia total armazenada em t 0 e t 5 ms se a ab está em circuito aberto conforme mostrado b ab está curtocircuitado 29 Calcule v1 v2 e a potência média entregue a cada resistor no circuito da Figura 1356 133 O Transformador Linear 30 Assuma os seguintes valores para o circuito representado esquematicamente na Figura 1316 R1 10 Ω R2 1 Ω L1 2 μH L2 1 μH e M 500 nH Calcule a impedância de entrada para ω 10 rads se ZL é igual a a 1 Ω b j Ω b j Ω c 533 Ω 31 Determine o equivalente T do transformador linear representado na Figura 1357 desenhe e identifique um diagrama apropriado Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 522 32 a Desenhe e identifique um diagrama apropriado de uma rede equivalente T para o transformador linear mostrado na Figura 1358 b verifique se os dois são equivalentes conectando uma tensão υAB 5 sen 45t V e calculando a ten são υCD do circuito aberto 33 Represente a rede T mostrada na Figura 1359 como um transformador linear equivalente se a LX 1 H Ly 2 H e Lz 4 H b Lx 10 mH Ly 50 mH e Lz 22 mH i2 i1 C D A B Lz Ly Lx t FIGURA 1359 34 Assumindo as correntes iniciais nulas obtenha uma rede Π equivalente do transformador representado na Figura 1357 35 a Desenhe e identifique uma rede Π equivalente adequada do transformador linear mostrado na Figura 1358 considerando correntes iniciais nulas b verifique sua equivalência com uma simulação apropriada 36 Represente a rede Π da Figura 1360 como um transformador linear equivalente com correntes iniciais nulas se a LA 1 H LB 2 H LC 4 H b LA 10 mH LB 50 mH LC 22 mH i2 i1 C D A B LA LC LB t FIGURA 1360 37 Para o circuito da Figura 1361 determine uma expressão para a ILVs b V1Vs 2 V 15 V 2 H 8 H 4 H υs iL υ1 t FIGURA 1361 38 a Para o circuito da Figura 1362 se υs 8 cos 1000t V calcule υo b veri fique sua solução com uma simulação apropriada no PSpice k 1 k 09 50 mH 5 mH 25 mH 10 mH 10 V υo 2 V υs t FIGURA 1362 i1 i2 1 H 2 H 25 H A C B D p FIGURA 1358 Exercícios 523 39 Com respeito à rede mostrada na Figura 1363 derive uma expressão para Zjω se M1 e M2 são definidos como seus respectivos valores máximos 134 O Transformador Ideal 40 Calcule I2 e V2 para o circuito do transformador ideal da Figura 1364 se a V1 432o V e ZL 1 jΩ b V1 432o V e ZL 0 c V1 2 118o V e ZL 1510o Ω I2 I1 V1 V2 1 6 ZL t FIGURA 1364 41 Com respeito ao circuito do transformador ideal ilustrado na Figura 1364 cal cule I2 e V2 se a I1 2440o mA e ZL 5 j2 Ω b I1 10010o 10º mA e ZL j2 Ω 42 Calcule a potência média entregue aos resistores de 400 mΩ e 21 Ω respectiva mente no circuito da Figura 1365 υ2 υ1 1 100 i1 i2 3 V 400 mV 21 V 2 cos 280t V t FIGURA 1365 43 Com relação ao circuito do transformador ideal representado na Figura 1365 determine um circuito equivalente no qual a o transformador e o circuito pri mário são substituídos de modo que V2 e I2 são inalterados b o transformador e o circuito secundário são substituídos de modo que V1 e I1 estão inalterados 44 Calcule a potência média entregue a cada resistor mostrado na Figura 1366 50 V 38 V 15 V 14 19 5 cos 120pt A 9 V t FIGURA 1366 45 Com respeito ao circuito mostrado na Figura 1367 calcule a as tensões υ1 e υ2 b a potência média entregue a cada resistor 2 V 4 V 27 kV 215 51 25 cos 120pt mA υ1 υ2 100 V t FIGURA 1367 5 H M1 M2 500 mH 1 H 250 mH 1 V 3 H Z jv p FIGURA 1363 Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 524 46 Calcule Ix e V2 indicados na Figura 1368 4 V 3 V 10 V 140 V 15 188 30 V V2 Ix t FIGURA 1368 47 O transformador ideal do circuito da Figura 1368 é removido virado através do seu eixo vertical e reconectado de tal forma que os mesmos terminais permanecem ligados ao terminal negativo da fonte a Calcule Ix e V2 b repita a parte a se ambos os pontos são colocados nos terminais inferiores do transformador 48 Para o circuito da Figura 1369 υs 117 sen 500t V Calcule υ2 se os terminais a e b são a deixados em circuito aberto b curtocircuitados c ligados por um resistor de 2 Ω 49 A relação de espiras do transformador ideal na Figura 1369 é alterada de 301 para 13 Adote υs 720 cos 120π t V e calcule υ2 se os terminais a e b são a curtocircuitados b ligados por um resistor de 10 Ω c ligados por um resistor de 1 MΩ 50 Para o circuito da Figura 1370 R1 1 Ω R2 4 Ω e RL 1 Ω Escolha a e b para alcançar uma tensão de pico com amplitude de 200 V sobre RL 2 cos 10t V 11 ab 185 V R1 R2 iL RL υx p FIGURA 1370 51 Calcule υx para o circuito da Figura 1370 se a 001b 1 R1 300 Ω R2 14 Ω e RL 1 kΩ 52 a Referindose ao circuito do transformador ideal na Figura 1370 determine a corrente de carga iL se b 025a 1 R1 22 Ω R2 31 Ω e RL 200 Ω b verifique a sua solução com uma simulação apropriada no PSpice 53 Determine o equivalente Thévenin do circuito da Figura 1371 visto a partir dos terminais a e b 3 V 1 V 32 10Ix Ix a b t FIGURA 1371 υ2 1 V 4 V υs 301 a b p FIGURA 1369 Exercícios 525 54 Calcule V2 e a potência média entregue ao resistor de 8 Ω da Figura 1372 se Vs 1015o V e o parâmetro de controle c é igual a a 0 b 1 mS 2 V 8 V Vs ab V2 cV2 t FIGURA 1372 55 a para o circuito da Figura 1372 adote c 25 mS e escolha os valores de a e b tal que 100 W de potência média é entregue à carga de 8 Ω quando Vs 5 35o V b verifique a sua solução com uma simulação apropriada no PSpice Exercícios de integração do capítulo 56 Um transformador em cuja placa de identificação se lê 2300230 V 25kVA opera com tensões de primário e secundário de 2300 V e 230 V rms respectiva mente e pode fornecer 25 kVA a partir de seus enrolamentos de secundário Se esse transformador for alimentado com 2300 V rms e estiver conectado a cargas secundárias requerendo 8 kW com FP unitário e 15 kVA com FP de 08 atrasa do a qual será a corrente no primário b Quantos quilowatts o transformador ainda poderia fornecer a uma carga operando com um FP de 095 atrasado c Verifique as suas respostas com o PSpice 57 Um amigo trouxe um sistema de som stereo υintage na volta de uma viagem recente a Warnemünde sem saber que ele foi projetado para operar com o dobro da tensão de alimentação 240 VAC disponível nas tomadas de uso doméstico no Brasil Projete um circuito que permita o seu amigo ouvir o som no Brasil assumindo que a diferença na frequência de operação 50 Hz na Alemanha 60 Hz no Brasil pode ser ignorada 58 O amigo do Exercício 57 tentou justificar a suposição errônea feita sobre o aparelho de som afirmando que a tomada no WC banheiro tinha um soquete para o seu barbeador elétrico americano claramente identificada com 120 VAC Ele não percebeu que a pequena placa abaixo da tomada afirmava claramente somente barbeadores Sabendo que toda a instalação elétrica no quarto opera em 240 VAC desenhe o circuito provavelmente construído na tomada de pare de do banheiro e explique por que ela se limita a somente barbeadores 59 Obtenha uma expressão para V2Vs no circuito da Figura 1373 se a L1 100 mH L2 500 mH e M é o seu máximo valor possível b L1 5L2 14 H e K 87 do seu valor máximo possível c as duas bobinas podem ser tratadas como um transformador ideal a bobina do lado esquerdo tendo 500 voltas e a bobina do lado direito com 10000 voltas 5 V Vs V2 40 V L2 L1 t FIGURA 1373 Capítulo 13 u Circuitos Acoplados Magneticamente 526 60 Você percebe que seu vizinho instalou uma grande bobina de fio bem próxima à linha de energia que alimenta sua casa cabos subterrâneos não estão dis poníveis no seu bairro a Qual é a provável intenção de seu vizinho b É provável que o plano tenha sucesso Explique c quando confrontado o seu vizinho simplesmente encolhe os ombros e alega que de forma alguma isso lhe terá custo de qualquer maneira pois nada está em contato direto com sua pro priedade Isso é verdade ou não Explique INTRODUÇÃO Quando se trabalha com fontes variantes no tempo ou um circuito com chaves temos várias opções no que diz respeito à abordagem de análise Os Capítulos 7 a 9 deta lharam a análise baseada diretamente em equação diferencial que é particularmente útil quando se examina os transitórios oriundos das comutações durante a entrada em condução e o bloqueio das chaves De outro modo os Capítulos 10 a 13 descrevem análise de situações onde se supõe a excitação senoidal sendo que os transitórios são de pouco ou nenhum interesse Infelizmente nem todas as fontes são senoidais havendo ocasiões em que são necessárias tanto as respostas transitórias como em regime permanente Em tais casos a transformada de Laplace demonstra ser uma ferramenta extremamente valiosa Muitos livros simplesmente iniciam os estudos diretamente com a transformada integral de Laplace mas esta abordagem não permite uma compreensão intuitiva Por esta razão optouse por introduzir primeiro o que pode impressionar o leitor no início com um conceito um tanto estranho a noção de frequência complexa Embora seja simplesmente uma convenção matemática a frequência complexa permite a manipulação de grandezas variantes no tempo periódicas ou não perió dicas paralelamente o que simplifica muito a análise Após a familiarização com a técnica básica desenvolveremos uma ferramenta de análise específica de circuitos no Capítulo 15 141 FREQUÊNCIA COMPLEXA Apresentamos a noção de frequência complexa considerando uma função senoidal puramente real exponencialmente amortecida como a tensão υt Vmeσt cosωt θ 1 onde σ sigma é uma grandeza real normalmente negativa Embora nos refiramos a essa função como amortecida é concebível que a amplitude da senoide cresça Isto ocorre se σ 0 o caso mais prático no entanto é aquele da função amortecida Nosso trabalho com a resposta natural do circuito RLC Capítulo 9 também indica que σ é o negativo do coeficiente de amortecimento exponencial Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 14 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Frequência Complexa Transformada de Laplace Transformada Inversa Uso de Tabelas de Transformadas Método dos Resíduos Usando o MATLAB para Manipular Polinômios Teorema do Valor Inicial Teorema do Valor Final Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 528 Note que podemos construir uma tensão constante a partir da Equação 1 fazendo σ ω 0 υt Vm cos θ V0 2 Se fizermos σ 0 obtemos então uma tensão senoidal geral υt Vm cosωt θ 3 e se ω 0 temos a tensão exponencial υt Vm cos θ eσt V0eσt 4 Assim a senoide amortecida da Equação 1 inclui como casos espe ciais funções cc Equação 2 senoidais Equação 3 e exponenciais Equação 4 Um melhor entendimento sobre o significado de σ pode ser obtido ao se comparar a função exponencial da Equação 4 com a representação com plexa de uma função senoidal com ângulo de fase nulo υt V0e jωt 5 Está claro que as duas funções as Equações 4 e 5 têm muito em comum A única diferença é que o exponente da Equação 4 é real e aquele da Equação 5 é imaginário A similaridade entre as duas funções é enfatiza da se descrevermos σ como uma frequência Essa escolha de terminologia é discutida em detalhe nas seções seguintes mas por agora precisamos mera mente notar que σ é chamado especificamente de parte real da frequência complexa Ele não deve ser chamado de frequência real no entanto porque esse termo é mais apropriado para f ou de certa forma para ω Também chamaremos σ de frequência neperiana um nome que surge da unidade adimensional do expoente de e Assim dado e7t a dimensão de 7t é o neper Np e 7 é a frequência neperiana em nepers por segundo A Forma Geral A resposta forçada de uma rede a uma função forçante geral na forma da Equação 1 pode ser obtida muito facilmente com o emprego de um método quase idêntico ao método que usamos na análise fasorial Uma vez que estivermos aptos a obter a resposta forçada associada à essa senoide amortecida também teremos encontrado as respostas forçadas associadas a uma tensão CC a uma tensão exponencial e a uma tensão senoidal Pri meiramente consideramos σ e ω como as partes real e imaginária de uma frequência complexa Sugerimos que qualquer função que possa ser escrita na forma f t Kest 6 onde K e s são constantes complexas independentes do tempo seja carac terizada pela frequência complexa s A frequência complexa s é portanto simplesmente um fator que multiplica t nessa representação exponencial complexa Até que estejamos aptos a determinar a frequência complexa de uma dada função por inspeção será necessário escrever essa função na forma da Equação 6 O termo neper surgiu em homenagem ao filósofo e matemático escocês John Napier 15501617 e a seu sistema logaritmo napieriano a escrita de seu nome é incerta em termos históricos ver por exemplo H A Wheeler IRE Transactions on Circuit Theory 2 1955 p 219 Seção 141 u Frequência Complexa 529 O Caso CC Podemos aplicar essa definição primeiro nas funções forçantes mais fami liares Por exemplo uma tensão constante υt V0 pode ser escrita na forma υt V0e0t Portanto concluímos que a frequência complexa de uma tensão ou corrente CC é zero isto é s 0 O Caso Exponencial O próximo caso simples é a função exponencial υt V0eσt que já está na forma requerida A frequência complexa dessa tensão é por tanto σ isto é s σ j0 O Caso Senoidal Vamos agora considerar uma tensão senoidal que pode nos surpreender um pouco Dada υt Vm cosωt θ desejamos obter uma expressão equivalente em termos da exponencial complexa De nossa experiência anterior usamos a fórmula que deduzimos a partir da identidade de Euler cosωt θ 1 2e jωt θ e jωt θ e obtemos υt 1 2Vme jωt θ e jωt θ 1 2Vme jθ e jωt 1 2Vme jθ e jωt ou υt K1es1t K2es2t Temos a soma de duas exponenciais complexas e duas frequência s complexas estão portanto presentes uma para cada termo A frequên cia complexa do primeiro termo é s s1 jω e a do segundo termo é s s2 jω Esses dois valores de s são conjugados ou s2 s1 assim como os dois valores de K K1 1 2Vme jθ e K2 K1 12 Vmejθ Todo o primeiro termo e todo o segundo termo são portanto complexos conjugados o que deveríamos esperar já que sua soma deve ser uma grandeza real υt O complexo conjugado de qualquer número pode ser obtido simplesmente trocandose todos os j por j Esse conceito surge de nossa escolha arbitrária para j 1 Entretanto a escolha do negativo dessa raiz seria igualmente válida o que nos leva à definição de um complexo conjugado Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 530 O Caso da Senoide Exponencialmente Amortecida Finalmente determinemos a frequência complexa ou frequência s comple xas associadas à função senoidal exponencialmente amortecida a Equação 1 Usamos novamente a fórmula de Euler para obter uma representação exponencial complexa υt Vmeσt cosωt θ 1 2Vmeσte jωt θ e jωt θ e assim υt 1 2Vme jθe σ jωt 1 2Vme jθe jσ jωt Vemos que um par de frequência s complexas conjugadas s1 σ jω e s2 s1 σ jω também é requerido para se descrever a senoide expo nencialmente amortecida Em geral σ e ω são diferentes de zero e a forma de onda senoidal variando exponencialmente corresponde ao caso geral as formas de onda constantes senoidais e exponenciais são casos particulares A Relação de s com a Realidade Um valor positivo real de s como por exemplo s 5 j0 identifica uma função Ke5t exponencialmente crescente onde K deve ser real se a função existir fisicamente Um valor negativo de s tal qual s 5 j0 referese a uma função Ke5t exponencialmente decrescente Um valor de s puramente imaginário como j10 nunca poderia ser associado a uma grandeza puramente real A sua forma funcional é Kej10t que também pode ser escrita como Kcos10t jsen10t ela obviamente possui uma parte real e uma parte imaginária cada uma delas senoidal Para construir uma função real é necessário considerar valores conjugados de s como s12 j10 aos quais devem ser associados valores conjugados de K Sem muito rigor no entanto podemos identificar cada uma das fre quências complexas s1 j10 ou s2 j10 como uma tensão senoidal osci lando na frequência radiana de 10 rads a presença da frequência complexa conjugada é entendida A amplitude e o ângulo de fase da tensão senoidal dependem da escolha de K para cada uma das duas frequências Assim selecionando s1 j10 e K1 6 j8 onde υt K1es1t K2es2t s2 s 1 e K2 K 1 obtemos a senoide real 20 cos10t 531o De forma similar um valor geral para s como 3 j5 pode ser associado a uma grandeza real apenas se estiver acompanhado de seu conjugado 3 j5 Mais uma vez sem muito rigor podemos pensar que cada uma dessas duas frequência s conjugadas descreve uma senoide que cresce exponen cialmente e3t cos 5t a amplitude e o ângulo de fase específicos dependerão novamente dos valores específicos dos Ks complexos conjugados Agora já devemos ter alguma sensibilidade quanto à natureza física da frequência complexa s em geral ela descreve uma senoide que varia Note que 6 j8 10 de forma que Vm 2K 20 Também âng6 j8 5313o Seção 142 u A função forçante senoidal amortecida 531 exponencialmente A parte real de s está associada à variação exponencial se ela for negativa a função cai com o aumento de t se ela for positiva a função cresce se ela for nula a amplitude da senoide é constante Quanto maior for o módulo da parte real de s maior é a taxa de crescimento ou decrescimento exponencial A parte imaginária de s descreve a variação senoidal ela é espe cificamente a frequência radiana Um maior módulo da parte imaginária de s indica uma função que varia mais rapidamente com o tempo É comum usar a letra σ para designar a parte real de s e ω não jω para designar a parte imaginária s σ jω 7 A frequência radiana é ocasionalmente chamada de frequência real mas essa terminologia pode ser muito confusa quando vemos que devemos então dizer que a frequência real é a parte imaginária da frequência com plexa Quando precisarmos ser específicos chamaremos s de frequência complexa σ de frequência neperiana ω de frequência radiana e f ω2p de frequência cíclica quando qualquer confusão for improvável os uso de fre quência para se referir a qualquer uma dessas grandezas será permitido A frequência neperiana é medida em nepers por segundo a frequência radiana é medida em radianos por segundo e a frequência complexa s é medida em nepers complexos por segundo ou radianos complexos por segundo u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 141 Identifique todas as frequência s complexas presentes nas funções reais no domínio do tempo a 2e100t e200tsen 2000t b 2 e10t cos4t ϕ c e10t cos 10t sen40t 142 Use constantes reais A B C ϕ e assim por diante para construir a forma geral da função real no domínio do tempo de uma corrente com compo nentes nestas frequência s a 0 10 10 s1 b 5 j8 5 j8 s1 c 20 20 20 j20 20 j20 s1 Resposta 141 100 j2000 100 j2000 200 j2000 200 j2000 s1 j4 j4 10 j4 10 j4 s1 10 j30 10 j30 10 j50 10 j50 s1 142 A Be10t Ce10t Ae5t B cos8t ϕ1 Ce5t cos8t ϕ2 Ae20t Be20t C e20t cos20t ϕ1 D e20t cos20t ϕ2 142 A FUNÇÃO FORÇANTE SENOIDAL AMORTECIDA É hora de colocar esse conceito de frequência complexa para funcionar A exponencial variando exponencialmente que podemos representar com a função de tensão υt Vmeσt cosωt θ 8 pode ser expressa em termos da frequência complexa s se usarmos a iden tidade de Euler como antes υt ReVmeσte jωt θ 9 Valores elevados para o módulo da parte real de s da parte imaginária de s ou de s indicam uma função que varia rapidamente Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 532 ou υt ReVmeσte j ωt θ 10 Cada uma das duas representações acima é adequada e elas nos lem bram de que um par de frequência s complexas conjugadas está associado a uma senoide ou a uma senoide exponencialmente amortecida A Equação 9 está mais diretamente relacionada à senoide amortecida original e por isso daremos mais atenção a ela Agrupando os termos podemos agora substituir s σ jω em υt ReVme jθeσ jωt e obter υt ReVmejθ est 11 Antes de aplicar uma função forçante desse tipo em qualquer circuito notamos a semelhança entre essa última representação da senoide amor tecida e a correspondente representação da senoide não amortecida no Capítulo 10 ReVme jθe jωt A única diferença é que agora temos s onde anteriormente tínhamos jω Em vez de nos restringir a funções forçantes senoidais e suas frequência s radianas estendemos agora nossa notação para incluir a função forçan te senoidal amortecida em uma frequência complexa Não será surpresa alguma ver mais tarde nesta seção que desenvolveremos uma descrição no domínio da frequência para a senoide exponencialmente amortecida exatamente do mesmo jeito que fizemos para a senoide simplesmente omitiremos a notação Re e suprimiremos est Estamos agora prontos a aplicar a senoide exponencialmente amorteci da como dada nas Equações 8 9 10 ou 11 em uma rede elétrica onde a resposta forçada talvez uma corrente em algum ramo da rede seja desejada Como a resposta forçada tem a forma da função forçante de suas integrais e de suas derivadas podese assumir a resposta como it Imeσt cosωt φ ou it ReIme jφest onde as frequência s complexas da fonte e da resposta devem ser idênticas Se agora lembrarmos que a parte real de uma função forçante complexa produz a parte real da resposta enquanto a parte imaginária da função for çante causa a parte imaginária da resposta então somos novamente levados à aplicação de uma função forçante complexa em nossa rede Obteremos uma resposta complexa cuja parte real é a resposta desejada Na realidade trabalharemos com a notação Re omitida mas devemos perceber que ela pode ser reinserida a qualquer momento e que ela deve ser reinserida sem pre que quisermos a resposta no domínio do tempo Assim dada a função forçante real Seção 142 u A função forçante senoidal amortecida 533 υt ReVme jθest aplicamos a função forçante complexa Vmejθest a resposta forçada resul tante Imejϕest é complexa e deve ter em sua parte real a resposta forçada desejada no domínio do tempo it ReIme jφest A solução de nosso problema de análise de circuitos consiste na deter minação da amplitude Im da resposta e de seu ângulo de fase ϕ ambos desconhecidos Antes de entrar nos detalhes de um problema de análise e ver como o procedimento se assemelha àquele que usamos na análise senoidal vale a pena resumir os passos do método básico 1 Primeiro caracterizamos o circuito com um conjunto de equações integrodiferenciais nodais ou de malha 2 As funções forçantes fornecidas na forma complexa e as respostas forçadas assumidas também na forma complexa são então substitu ídas nas equações e as integrais e derivadas indicadas são realizadas 3 Cada termo em cada equação conterá então o mesmo fator est Divi diremos tudo por esse fator suprimindo est entendendo que ele deverá ser reinserido se a descrição de qualquer função de resposta no domínio do tempo for desejada Se omitirmos a notação Re e o fator est teremos convertido todas as tensões e correntes do domínio do tempo para o domínio da frequência As equações integrodiferenciais se tornarão equações algébricas e sua solução será obtida tão facilmente quanto no caso do regime permanente senoidal Ilustremos o método básico com um exemplo numérico Aplique a função forçante υt 60e2t cos4t 10o V no circuito RLC série mostrado na Figura 141 e especifique a resposta forçada obtendo os valores de Im e ϕ na expressão no domínio do tempo it Ime2t cos4t ϕ Primeiro expressamos a função forçante com a notação Re υt 60e 2t cos4t 10 Re60e 2te j4t 10 Re60e j10e 2 j4t ou υt ReVest onde V 60 10 e s 2 j4 após suprimir o símbolo Re ficamos com a função forçante complexa 60 10est De forma similar representamos a resposta desconhecida como a grandeza complexa Iest onde I Im ϕ u EXEMPLO 141 u FIGURA 141 Circuito RLC série no qual se aplica uma função forçante senoidal amortecida Desejase obter uma solução para it no domínio da frequência it υt 2 V 3 H 01 F Se a notação aqui parece ser estranha o leitor pode talvez fazer uma pausa e ler o Apêndice 5 especialmente a Seção 4 que lida com a representação do número complexo na forma polar Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 534 Nosso próximo passo é a obtenção da equação integrodiferencial do circuito Da lei de Kirchhoff das tensões obtemos υt Ri L di dt 1 C i dt 2i 3 di dt 10 i dt e substituímos a função complexa fornecida e a resposta forçada assumida na equação anterior 60 10est 2Iest 3sIest 10 s Iest O fator comum est é suprimido em seguida 60 10 2I 3sI 10 s I e assim I 60 10o 2 3s 10 s Fazemos agora s 2 j4 e resolvemos para a corrente complexa I I 60 10o 2 3 2 j4 10 2 j4 Após manipular os números complexos obtemos I 537 1066o Assim Im 537 A ϕ 1066o e a resposta forçada pode ser escrita direta mente lembrando que s 2 j4 como it 537e 2t cos4t 1066o A Resolvemos portanto o problema ao reduzir uma expressão baseada em cálculo diferencial e integral a uma expressão algébrica Isto é apenas um pequeno indicativo do poder da técnica que estamos prestes a estudar u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 143 Forneça a corrente fasorial equivalente à corrente no domínio do tempo a 24 sen90t 60o A b 24e10t cos90t 60o A c 24e10t cos 60o cos 90t A Se V 1235o V determine υt para s igual a d 0 e 20 s1 f 20 j5 s1 Resposta 2430o A 2460o A 120o A 983 V 983e20t V 12e20t cos5t 35o V 143 DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE Nosso constante objetivo tem sido a seguinte análise dada uma função forçante em algum ponto de um circuito linear determine a resposta em algum outro ponto Nos primeiros capítulos brincamos apenas com funções forçantes cc e respostas na forma V0e0 Entretanto após a inclusão da indu tância e da capacitância a excitação repentina de circuitos RL e RC simples produziu respostas variando exponencialmente com o tempo V0eσt Quando Seção 143 u Definição da transformada de Laplace 535 consideramos o circuito RLC as respostas ganharam a forma de uma senoide variando exponencialmente V0eσt cosωt θ Todo esse trabalho foi feito no domínio do tempo e a função forçante CC foi a única que consideramos À medida que avançamos no uso da função forçante senoidal o tédio e a complexidade que enfrentamos na resolução das equações integro diferenciais nos fizeram começar a procurar um jeito mais fácil de resolver problemas O resultado foi a transformação fasorial e devemos lembrar que fomos levados a ela com a consideração de uma função forçante complexa na forma V0e jθe jωt Assim que concluímos que não precisávamos do fator contendo t ficamos com o fasor V0e jθ chegamos assim ao domínio da frequência Um pouco de atividade em nosso córtex cerebral nos levou agora à aplicação de uma função forçante na forma V0ejθeσ jωt e à criação da fre quência complexa s que relegaram todas as nossas formas funcionais ante riores a casos especiais CC s 0 exponencial s σ senoidal s jω e senoide exponencial s σ jω Por analogia com a nossa experiência prévia com fasores vimos que nesses casos podemos omitir o fator conten do t e obter novamente uma solução trabalhando no domínio da frequência A Transformada de Laplace Bilateral Sabemos que funções forçantes senoidais levam a respostas senoidais e também que funções forçantes exponenciais levam a respostas exponenciais Entretanto como engenheiros encontraremos na prática muitas formas de onda que não são nem senoidais nem exponenciais como as ondas quadradas as ondas dente de serra e pulsos começando em instantes de tempo arbitrários Quando funções forçantes como essas forem aplicadas em um circuito linear veremos que a resposta não será similar nem à forma de onda da excitação nem a uma exponencial Como resultado não estaremos aptos a eliminar os termos contendo t para formar uma resposta no domínio da frequência Isto é muito ruim pois trabalhar no domínio da frequência já se mostrou bastante útil Há uma solução no entanto que utiliza uma técnica que nos permite expandir qualquer função em uma soma de formas de onda exponenciais cada uma delas com sua própria frequência complexa Como estamos considerando circuitos lineares sabemos que a resposta total de nosso circuito pode ser obtida simplesmente somando a resposta individual associada a cada forma de onda exponencial Então lidando com cada forma de onda exponencial podemos uma vez mais omitir os termos contendo t e trabalhar no domínio da frequência Infelizmente um infinito número de termos exponenciais é necessário na repre sentação de uma função temporal geral e com isso o uso de uma abordagem do tipo força bruta com a aplicação da superposição na série exponencial parece ser algo de certo modo insano Em vez disso somaremos esses termos fazendo uma integração levando a uma função no domínio da frequência Formalizamos essa abordagem usando o que é conhecido como a trans formada de Laplace definida para uma função geral ft como Fs e st ft dt 12 Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 536 A dedução matemática dessa operação integral requer o entendimento da série de Fourier e da transformada de Fourier que são discutidas no Capítulo 18 O conceito fundamental por trás da transformada de Laplace no entanto pode ser entendido com base em nossa discussão sobre a frequência complexa e em nossa experiência prévia com fasores e com a conversão do domínio do tempo para o domínio da frequência e viceversa Na realidade isso é precisa mente o que a transformada de Laplace faz ela converte a função ft genérica no domínio do tempo em uma representação Fs no domínio da frequência A Transformada Inversa de Laplace Bilateral A Equação 12 define a transformada de Laplace bilateral de ft O termo bilateral é usado para enfatizar o fato de que valores positivos e negativos de t são incluídos no intervalo de integração A operação inversa frequen temente chamada de transformada inversa de Laplace também é definida como uma expressão integral1 f t 1 2π j σ0 j σ0 j estFs ds 13 onde a constante real σ0 é incluída nos limites para se assegurar a conver gência dessa integral imprópria as Equações 12 e 13 constituem o par de transformadas de Laplace bilaterais A boa notícia é que a Equação 13 nunca será utilizada no estudo da análise de circuitos há uma alternativa mais rápida e mais fácil que esperamos aprender A Transformada de Laplace Unilateral Em muitos dos problemas que enfrentamos na análise de circuitos a função forçante e a resposta não existem no tempo durante todo o tempo Em vez disso elas são iniciadas em algum instante específico que normalmentente selecionamos como t 0 Logo funções temporais que não existem em t 0 ou cujo comportamento em t 0 não é de interesse podem ser descritas no domínio do tempo como υtut A integral que define a transformada de Laplace é calculada com o limite inferior em t 0 para que o efeito de qualquer descontinuidade em t 0 seja incluído como aquele causado por um impulso ou por uma singularidade de ordem elevada A transformada de Laplace correspondente é então Fs e st f tut dt 0 e st f t dt Essa equação define a transformada de Laplace unilateral de ft ou simplesmente a transformada de Laplace de ft ficando subentendido o termo unilateral A expressão da transformada inversa permanece inalte rada mas quando for avaliada devese presumir que ela seja válida apenas em t 0 Então aqui está a definição do par de transformadas de Laplace que usaremos daqui em diante 1 Se ignorarmos o fator 12πj que nos distrai e vermos a integral como a soma de todas as frequência s de forma que ft ΣFsdsest reforçamos a noção de que ft é de fato a soma de termos na frequência complexa com módulo proporcional a Fs Seção 144 u Transformada de Laplace de funções temporais simples 537 14 15 f t 1 2π j σ0 j σ0 j estFs ds f t 3 Fs Fs 0 e st f t dt O símbolo também pode ser usado para indicar a operação da trans formada direta ou inversa de Laplace Fs f t e f t 1Fs Determine a transformada de Laplace da função ft 2ut 3 Para obter a transformada de Laplace unilateral de ft 2ut 3 devemos avaliar a integral Fs 0 e st ft dt 0 e st2ut 3 dt 2 3 e st dt Simplificando temos Fs 2 s e st 3 2 s 0 e 3s 2 s e 3s u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 144 Assuma ft 6e2tut 3 ut 2 Obtenha a a transformada de Laplace bilateral Fs b transformada de Laplace unilateral Fs Resposta Ans 6 2 se 4 2s e6 3s 6 2 se 4 2s 1 144 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNÇÕES TEMPORAIS SIMPLES Nesta seção começamos a formar um catálogo de transformadas de Laplace para as funções encontradas na análise de circuitos de forma mais frequen te assumimos agora que a função de interesse seja a tensão embora tal escolha seja estritamente arbitrária Vamos criar esse catálogo pelo menos inicialmente utilizando a função Vs 0 e stυt dt υt que juntamente com a expressão para a transformada inversa u EXEMPLO 142 Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 538 υt 1 2π j σ0 j σ0 j estVs ds 1Vs estabelece uma relação única entre υt e Vs Isto é para cada υt cuja transformada Vs existe há uma única função Vs Neste ponto podemos estar olhando com algum receio para a forma um tanto repugnante da trans formada inversa Não tema Como veremos em breve um estudo introdu tório sobre a transformada de Laplace não requer a real avaliação dessa integral Indo do domínio do tempo para o domínio da frequência e tirando vantagem da unicidade que acabamos de mencionar podemos gerar um catálogo de pares de transformadas que já contenha a função temporal cor respondente a praticamente todas as transformadas que quisermos inverter Antes de continuar no entanto devemos fazer uma pausa para consi derar se existe alguma chance de a transformada não existir para algum υt que nos seja importante Um conjunto de condições suficientes para assegurar a convergência absoluta da integral de Laplace para Res σ0 é o seguinte 1 A função υt deve ser integrável em todo o intervalo finito t1 t t2 onde 0 t1 t2 2 lim t eσ0t υtdeve existir para algum valor de σ0 Funções temporais que não satisfazem a essas condições são raramente encontradas pelo analista de circuitos2 A Função Degrau ut Vamos agora olhar para algumas transformadas específicas Primeiro examinamos a transformada de Laplace da função degrau ut A partir da definição podemos escrever ut 0 e stut dt 0 e st dt 1 s e st 0 1 s para Res 0 para satisfazer a condição 2 Assim ut 3 1 s 16 e nosso primeiro par de transformadas de Laplace foi estabelecido com grande facilidade A Função Impulso Unitário δt t0 Uma função de singularidade que é de considerável interesse é a função impulso unitário δt t0 Essa função traçada na Figura 142 parece ser 2 Exemplos de tais funções são et2 e eet mas não tn ou nt Para uma discussão um pouco mais detalhada sobre a transformada de Laplace e suas aplicações dê uma olhada em Clare D McGillem e George R Cooper Continuous and Discrete Signal and System Analysis 3a ed Oxford University Press North Carolina 1991 Capítulo 5 A notação da seta dupla é comumente usada para indicar pares de transformadas de Laplace Seção 144 u Transformada de Laplace de funções temporais simples 539 um pouco estranha no início mas é enormemente útil na prática Por defi nição a função impulso unitário tem área unitária de forma que δt t0 0 t t0 t0 ε t0 ε δt t0 dt 1 onde ε é uma constante com valor pequeno Logo essa função uma nomenclatura que faz muitos matemáticos puristas se encolherem de pavor tem um valor diferente de zero apenas no ponto t0 Em t0 0 vemos portanto que a transformada de Laplace é δt t0 0 e stδt t0 dt e st0 δt t0 3 e st0 17 Em particular note que obtemos δt 3 1 18 para t0 0 Uma interessante característica da função impulso unitário é conheci da como a propriedade de peneiramento Considere a integral da função impulso multiplicada por uma função ft arbitrária f tδt t0 dt Como a função δt t0 é nula em todos os pontos exceto em t t0 o valor dessa integral é simplesmente ft0 Essa propriedade acaba sendo muito útil na simplificação de expressões integrais contendo a função impulso unitário A Função Exponencial eαt Lembrando nosso interesse antigo na função exponencial examinamos sua transformada e αtut 0 e αte st dt 1 s αe s αt 0 1 s α e portanto e αtut B1 1 s α 19 Subentendese que Res α A Função Rampa tut Como um exemplo final por agora consideremos a função rampa tut Obtemos u FIGURA 142 A função impulso unitário δt t0 Essa função é frequentemente usada para aproximar um sinal pulsado cuja duração é muito curta em comparação com as constantes de tempo do circuito t0 t Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 540 tut 0 te st dt 1 s2 tut 3 1 s2 20 ou por uma integração por partes elementar ou a partir de uma tabela de integrais E a função teαtut Deixamos para o leitor provar que te αtut 3 1 s α2 21 Há naturalmente um número bem maior de funções no domínio do tempo que mereçam ser consideradas mas seria melhor se fizéssemos uma pequena pausa agora para considerar o processo inverso a transformada inversa de Laplace antes de voltarmos a aumentar a nossa lista u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 145 Determine Vs se υt é igual a a 4δt 3ut b 4δ t 2 3tut c utut 2 146 Determine υt se Vs é igual a a 10 b 10s c 10s2 d 10ss 10 e 10ss 10 Resposta 145 4s 3s 4e2s 3s2 e2ss 146 10δt 10ut 10tut ut e10t ut 10δt 100e10t ut 145 TÉCNICAS PARA TRANSFORMADAS INVERSAS O Teorema da Linearidade Embora mencionado que a Equação 13 pode ser aplicada para converter uma expressão no domínio s em uma expressão no domínio do tempo também fizemos alusão ao fato de que isto dá mais trabalho do que o necessário se estamos dispostos a explorar a unicidade do par de transfor madas de Laplace Para capitalizar ao máximo esse fato devemos primeiro introduzir um de vários úteis e extremamente bem conhecidos teoremas da transformada de Laplace o teorema da linearidade Esse teorema diz que a transformada de Laplace da soma de duas ou mais funções temporais é igual à soma das transformadas individuais das duas funções temporais Para duas funções temporais temos f1t f2t 0 e st f1t f2t dt 0 e st f1t dt 0 e st f2t dt F1s F2s Esta é conhecida como a propriedade aditiva da transformada de Laplace 4 Indique a frequência complexa ou as frequências associadas a cada função a ft sen 100t b ft 10 c gt 5e7t cos 80t d ft 5e8t e gt 4e2t et cos 4t 95 5 Para cada uma das seguintes funções determine a frequência complexa s e s para a 7e9t sen 100t 9 b cos 9t c 2 sen 45t d e7t cos 7t 6 Use as constantes reais A B θ ϕ etc para construir a forma geral de uma função real no domínio do tempo caracterizada pelas seguintes componentes de frequência a 10 j3 s1 b 025 s1 c 0 1 j 1 j todos s1 7 As seguintes fontes de tensão Aebt cos Ct θ são ligados uma de cada vez a um resistor de 280 Ω Calcule a corrente resultante em t 0 01 e 05 s assumindo a convenção de sinal passivo a A 1 V B 02 Hz C 0 θ 45 b A 285 mV B 1 Hz C 2 rads θ 45 8 O telefone celular do seu vizinho interfere com o altofalante de seu notebook sempre que o telefone está se conectando à rede local Conectando um osciloscópio à tomada de saída do seu computador você observa uma forma de onda de tensão que pode ser descrita por uma frequência complexa s 1 j200π s1 a O que pode você deduzir sobre os movimentos do seu vizinho b A parte imaginária da frequência complexa começa a diminuir repentinamente Altere sua dedução conforme o caso 9 Calcule a parte real de cada uma das seguintes funções complexas a vt 9ej4t V b vt 12 j9 V c 5 cos 100t j43 sen 100t V d 2 j e3t V 10 Seu novo assistente mediu o sinal vindo de um equipamento escrevendo vt Vx e2 j60t onde Vx 8 j100 V a Há um termo faltando Qual é ele e como você percebeu a sua falta b Qual é a frequência complexa do sinal c O que significa o fato de ImVx ReVx O que significa o fato de Res Ims 142 A Função Forçante Senoidal Amortecida 11 Indique a tensão no domínio do tempo vt que corresponde à tensão V 1984 V se s for igual a a 5 s1 b 0 c 4 j s1 12 Para o circuito da Figura 1410 a fonte de tensão é escolhida de tal forma que ele pode ser representado pela função complexa no domínio da frequência V est com V 2520 V e s 1 j100 s1 Calcule a s b vt a representação da fonte de tensão no domínio do tempo c a corrente it 13 Com relação ao circuito mostrado na Figura 1410 determine a tensão vt no domínio do tempo que corresponde a uma corrente it 530 no domínio da frequência para uma frequência de complexa de a s 2 j2 s1 b s 3 j s1 14 Para o circuito ilustrado na Figura 1411 use s 200 j150 s1 Determine a relação das tensões no domínio da frequência V2 e V1 que corresponde a v2t e v1t respectivamente 15 Se a frequência complexa que descreve o circuito da Figura 1411 é s 150 j100 s1 determine a tensão no domínio do tempo que corresponde à tensão no domínio da frequência V2 525 V 16 Calcule a tensão v no domínio do tempo no circuito da Figura 1412 se a representação da fonte de corrente no domínio da frequência é de 235 A em uma frequência complexa de s 1 j2 s1 17 O circuito da Figura 1412 funciona por um longo período de tempo sem interrupção A tensão no domínio da frequência que se desenvolve entre os três elementos pode ser representada como 1875 V com uma frequência complexa de s 2 j15 s1 Determine a corrente is no domínio do tempo Seção 145 u Técnicas para transformadas inversas 541 Como um exemplo do uso desse teorema suponha que tenhamos a transformada de Laplace Vs e que queiramos conhecer a função υt cor respondente no domínio do tempo Será sempre possível decompor Vs na soma de duas ou mais funções digamos V1s e V2s cujas transformadas inversas υ1t e υ2t já sejam tabuladas Tornase então uma questão sim ples aplicar o teorema da linearidade e escrever υt 1Vs 1V1s V2s 1V1s 1V2s υ1t υ2t Outra importante consequência do teorema da linearidade fica evidente ao estudarmos a definição da transformada de Laplace Como estamos simplesmente trabalhando com uma integral a transformada de Laplace de uma constante vezes uma função é igual à constante vezes a transformada de Laplace da função Em outras palavras kυt k υt ou kυt 3 kVs 22 onde k é uma constante de proporcionalidade Esse resultado é extrema mente conveniente em muitas situações que surgem da análise de circuitos como estamos prestes a ver Dada a função Gs 7s 31s 17 determine gt Essa é uma função no domínio s composta por dois termos 7s e 31s 17 Pelo teorema da linearidade sabemos que gt também é composta por dois termos cada um correspondendo à transformada inversa de um dos dois termos no domínio s gt 1 7 s 1 31 s 17 Comecemos com o primeiro termo A propriedade da homogeneidade da transformada de Laplace nos permite escrever 1 7 s 7 1 1 s 7ut Logo fizemos uso do par de transformadas conhecido ut 3 1s e da pro priedade da homogeneidade para obter o primeiro componente de gt De forma similar vemos que 1 31 s 17 31e 17tut Juntando esses dois termos gt 7 31e 17tut u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 147 Dado Hs 2 s 4 s2 35 s 10s 10 obtenha ht Resposta ht 2 4t 35t e10tut Esta é conhecida como a propriedade da homogeneidade da transformada de Laplace u EXEMPLO 143 Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 542 Técnicas para Transformadas Inversas Envolvendo Funções Racionais Ao analisar circuitos com múltiplos elementos armazenadores de energia frequentemente encontraremos expressões no domínio s que são razões de polinômios em s Esperamos portanto encontrar rotineiramente expressões na forma Vs Ns Ds onde Ns e Ds são polinômios em s Os valores de s que levam a Ns 0 são chamados de zeros de Vs e os valores de s que levam a Ds 0 são chamados de polos de Vs Em vez de arregaçar as mangas e evocar a Equação 13 cada vez que precisarmos obter uma transformada inversa é frequentemente possível decompor essas expressões em termos mais simples cujas transformadas inversas já são conhecidas Os critérios para isto requerem que Vs seja uma função racional na qual o grau do numerador Ns deve ser menor do que o grau do denominador Ds Se não o for devemos primeiro realizar uma simples divisão conforme mostrado no próximo exemplo O resultado deve incluir uma função impulso assumindo que o grau do numerador seja o mesmo do numerador e uma função racional A transformada inversa da primeira é simples o método simples dos resíduos se aplica à função racional se a sua transformada inversa ainda não for conhecida Obtenha a transformada inversa de Fs 2s 2 s Uma vez que o grau do numerador é igual ao grau do denominador Fs não é uma função racional portanto começamos realizando a divisão 2 Fs s 2s 4 2s 4 de forma que Fs 2 4s Pelo teorema da linearidade 1Fs 12 1 4 s 2δt 4ut Devese levar em conta que essa função particular pode ser simplificada sem o processo de divisão tal caminho foi escolhido para exemplificar o processo básico u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 148 Dada a função Qs 3s2 4 s2 obtenha qt Resposta qt 3δt 4tut Na prática raramente é necessário aplicar a Equação 13 em funções encontradas na análise de circuitos desde que sejamos espertos ao usar as várias técnicas apresentadas neste capítulo u EXEMPLO 144 Seção 145 u Técnicas para transformadas inversas 543 Ao empregar o método dos resíduos que corresponde essencialmente à realização da expansão de Vs em frações parciais focamos nossa atenção nas raízes do denominador Logo primeiro é necessário fatorar o polinômio em s que descreve Ds em um produto de termos binomiais As raízes de Ds podem ser qualquer combinação de raízes distintas ou repetidas reais ou complexas Vale notar no entanto que raízes complexas sempre ocor rem em pares conjugados desde que os coeficientes de Ds sejam reais Polos Distintos e o Método dos Resíduos Como um exemplo específico vamos determinar a transformada de Lapla ce de Vs 1 s αs β O denominador foi fatorado em duas raízes distintas α e β Embora seja possível substituir essa expressão na equação que define a transforma da inversa é muito mais fácil utilizar o teorema da linearidade Usando a expansão em frações parciais podemos decompor a transformada dada na soma de duas transformadas mais simples Vs A s α B s β onde A e B podem ser obtidas por meio qualquer método Talvez a solução mais rápida seja obtida reconhecendose que A lim sS α s αVs s α s β B lim sS α 1 s β 0 1 β α Reconhecendo que o segundo termo é sempre nulo na prática sempre escrevemos A s αVss α De forma similar B s βVss β 1 α β e portanto Vs 1β α s α 1α β s β Já avaliamos transformadas inversas desse tipo e então υt 1 β αe αtut 1 α β e βtut 1 β αe αt e βtut Nesta equação usamos a versão de Vs com uma única fração isto é a versão não expandida Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 544 Se quiséssemos poderíamos agora incluir essa transformada como um novo item em nosso catálogo de pares de transformadas 1 β αe αt e βtut 3 1 s αs β Essa abordagem pode ser facilmente estendida a funções cujos deno minadores são polinômios em s de ordem elevada embora as operações possam se tornar um pouco tediosas Também deve ser notado o fato de não termos especificado que as constantes A e B devem ser reais Contudo em situações onde α e β forem números complexos veremos que α e β também serão complexos conjugados isso não é necessário matematica mente mas é requerido por circuitos reais Em tais casos também veremos que A B em outras palavras os coeficientes também serão complexos conjugados Determine a transformada inversa de Ps 7s 5 s2 s Vemos que Ps é uma função racional o grau do numerador é um enquanto o grau do denominador é dois então começamos fatorando o denominador e escrevendo Ps 7s 5 ss 1 a s b s 1 onde nosso próximo passo é a determinação de valores para a e b Aplicando o método dos resíduos a 7s 5 s 1 s 0 5 e b 7s 5 s s 1 2 Podemos então escrever Ps como Ps 5 s 2 s 1 cuja transformada inversa é simplesmente pt 5 2etut u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 149 Dada a função Qs 11s 30 s2 3s determine qt Resposta qt 10 e3tut Polos Repetidos O problema que ainda precisa ser avaliado é aquele que envolve polos repetidos Considere a função Vs Ns s pn u EXEMPLO 145 Seção 145 u Técnicas para transformadas inversas 545 que expandimos em Vs an s pn an 1 s pn 1 a1 s p Para determinar cada constante primeiro multiplicamos a versão não expandida de Vs por s pn A constante an é obtida avaliandose a expressão resultante em s p As constantes remanescentes são obtidas com o cálculo da derivada da expressão s pnVs o número apropriado de vezes antes de avaliála em s p dividindoa por um termo fatorial O procedimento de derivação remove as constantes obtidas anteriormente e a avaliação em s p remove as demais constantes Por exemplo o termo an2 é obtido avaliandose 1 2 d2 ds2 s pnVss p e o termo an k é obtido avaliandose 1 k dk dsk s pnVss p Para ilustrar o procedimento básico vamos obter a transformada inversa de Laplace de uma função contendo uma combinação de ambas as situa ções um polo em s 0 e dois polos em s 6 Obtenha a transformada inversa da função Vs 2 s3 12s2 36s Notamos que o denominador pode ser facilmente fatorado levando a Vs 2 ss 6s 6 2 ss 62 Como prometido vemos que há de fato três polos um em s 0 e dois em s 6 A seguir expandimos a função em Vs a1 s 62 a2 s 6 a3 s e aplicamos nosso novo procedimento para obter as constantes desconhecidas a1 e a2 obteremos a3 usando o procedimento anterior Assim a1 s 62 2 ss 62 s 6 2 s s 6 1 3 e a2 d ds s 62 2 ss 62 s 6 d ds 2 s s 6 2 s2 s 6 1 18 A constante restante a3 é obtida usandose o procedimento para polos distintos a3 s 2 ss 62 s 0 2 62 1 18 u EXEMPLO 146 Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 546 Assim podemos agora escrever Vs como Vs 1 3 s 62 1 18 s 6 1 18 s Usando o teorema da linearidade a transformada inversa de Vs pode agora ser obtida simplesmente determinandose a transformada inversa de cada dos termos Vemos que o primeiro termo à direita tem a forma K s α2 e fazendo uso da Equação 21 obtemos a sua transformada inversa como 1 3te 6tut De forma similar vemos que a transformada inversa do segun do termo é 1 18e 6t e6t ut e que a transformada do terceiro termo é simples mente 1 18ut Logo υt 1 3te 6tut 1 18e 6tut 1 18ut ou de forma mais compacta υt 1 181 1 6te 6tut u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1410 Determine gt se Gs 3 s3 5s2 8s 4 Resposta gt 3et te2t e2t ut O MATLAB um pacote computacional de análise numérica pode ser usado de muitas maneiras diferentes no auxílio da solução de equações que surjam da análise de circuitos com excitação variável no tempo A técnica mais simples utiliza rotinas de solução de equações diferenciais ordinárias ODE ordinary differential equation denominadas ode23 e ode45 Essas duas rotinas se baseiam em métodos numéricos de solução de equações diferen ciais tendo a rotina ode45 uma maior exatidão A solução é determinada apenas em pontos discretos contudo e por isso ela não é conhecida em todos os valores de tempo Em muitas aplicações isso é adequado desde que seja usada uma densidade de pontos suficiente A técnica da transformada de Laplace permite a obtenção de uma expres são exata para a solução de equações diferenciais possuindo tantas vanta gens quanto aquelas presentes no uso das técnicas numéricas de solução de equações diferenciais ordinárias Outra vantagem significativa da técnica da transformada de Laplace fica mais clara em capítulos subsequentes quando estudamos o significado das expressões no domínio s particularmente após a fatoração dos polinômios no denominador Como já vimos tabelas de consulta são convenientes quando trabalhamos com transformadas de Laplace embora o método dos resíduos possa se tornar um tanto tedioso para funções com polinômios de ordem elevada em seus denominadores u ANÁLISE AUXILIADA POR COMPUTADOR Seção 145 u Técnicas para transformadas inversas 547 Nesses casos o MATLAB também pode nos dar uma assistência por conter muitas funções úteis para a manipulação de expressões polinomiais No MATLAB o polinômio px anxn an 1xn 1 a1x a0 é armazenado como o vetor an an1 a1 a0 Logo para definir os polinô mios Ns 2 e Ds s3 12s2 36s escrevemos EDU N 2 EDU D 1 12 36 0 As raízes de ambos os polinômios podem ser obtidas ao chamarmos as funções rootsp onde p é um vetor contendo os coeficientes do polinômio Por exemplo EDU q 1 8 16 EDU rootsq leva a ans 4 4 O MATLAB também nos permite determinar os resíduos da função racional NsDs usando a função residue Por exemplo EDU r p y residueN D retorna três vetores r p e y tais que Ns Ds r1 x p1 r2 x p2 rn x pn ys no caso de nenhum polo múltiplo e no caso de n polos múltiplos Ns Ds r1 x p r2 x p2 rn x pn ys Note que sempre que a ordem do polinômio do numerador for menor que a ordem do polinômio do denominador o vetor ys fica vazio A execução do comando sem o ponto e vírgula resulta na saída r 00556 03333 00556 p 6 6 0 y que concorda com a resposta que obtivemos no Exemplo 146 Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 548 146 TEOREMAS BÁSICOS PARA A TRANSFORMADA DE LAPLACE Estamos aptos agora a considerar dois teoremas que podem ser conside rados coletivamente como a razão de ser da transformada de Laplace na análise de circuitos os teoremas da derivada e da integral Eles nos aju darão a transformar as derivadas e integrais que aparecem nas equações de circuitos no domínio do tempo O Teorema da Diferenciação no Tempo Vamos analisar primeiro a derivada temporal de uma função υt cuja transformada de Laplace Vs sabemos existir Queremos a transformada da primeira derivada de υt dυ dt 0 e st dυ dt dt que pode ser integrada por partes U e st dV dυ dt dt com o resultado dυ dt υte st 0 s 0 e stυt dt O primeiro termo à direita deve tender a zero quando t crescer ilimita damente do contrário Vs não existiria Portanto dυ dt 0 υ0 sVs e dυ dt 3 sVs v0 23 Relações similares podem ser desenvolvidas para derivadas de maior ordem d2υ dt2 3 s2Vs sυ0 υ 0 24 d3υ dt3 3 s3Vs s2υ0 sυ 0 υ 0 25 onde υ0 é o valor da derivada primeira de υt avaliada em t 0 υ0 é o valor inicial da derivada segunda de υt e assim por diante Quando todas as condições iniciais são nulas o cálculo de uma derivada primeira no domínio do tempo corresponde à multiplicação por s no domínio da frequência uma derivada segunda no domínio do tempo corresponde à multiplicação por s2 no domínio da frequência e assim por diante Assim uma derivação no domínio do tempo é equivalente a uma multiplicação no Seção 146 u Teoremas básicos para a transformada de Laplace 549 domínio da frequência Essa é uma simplificação substancial Observamos também que a presença das condições iniciais continua a ser levada em consideração mesmo que elas sejam nulas Dado o circuito RL série mostrado na Figura 143 determine a corrente no resistor de 4 Ω f Identifique o objetivo do problema Precisamos obter uma expressão para a corrente it f Reuna as informações necessárias A rede é alimentada por um degrau de tensão e temos um valor inicial de corrente de 5 A em t 0 f Trace um plano A aplicação da LKT no circuito resulta em uma equação diferencial tendo it como incógnita A aplicação da transformada de Laplace em ambos os lados dessa equação a converte para o domínio s Com a solução da equação algébrica resultante para Is a transformada inversa de Laplace forncerá it f Construa um conjunto apropriado de equações Usando a LKT para escrever a equação de laço único no domínio do tempo obtemos 2 di dt 4i 3ut Agora obtemos a transformada de Laplace de cada termo de forma que 2sIs i0 4Is 3 s f Determine se informações adicionais são necessárias Temos uma equação que pode ser resolvida para a representação Is no domínio da frequência de nosso objetivo it f Tente uma solução Em seguida resolvemos para Is substituindo i0 5 2s 4Is 3 s 10 e Is 15 ss 2 5 s 2 Aplicando o método dos resíduos no primeiro termo 15 s 2 s 0 075 e 15 s s 2 075 de forma que Is 075 s 425 s 2 u EXEMPLO 147 u FIGURA 143 Circuito analisado com a transformação da equação diferencial 2 didt 4i 3ut em 2sIs i0 4Is 3s it 2 H 4 V i0 5 A 3ut V Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 550 Usamos então nossos pares conhecidos de transformadas para inverter it 075ut 425e 2tut 075 425e 2tut A f Verifique a solução Ela é razoável ou esperada Com base em nossa experiência prévia com esse tipo de circuito espe rávamos uma resposta forçada CC somada a uma resposta natural com decaimento exponencial Em t 0 obtivemos i0 5 A conforme reque rido e em t it 34 A como deveríamos esperar Nossa solução para it é portanto completa Tanto a resposta forçada 075ut quanto a resposta natural 425e2t ut estão presentes e a condição inicial foi automaticamente incorporada à solução O método ilustra um cami nho indolor para se obter a solução de muitas equações diferenciais u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1411 Use métodos da transformada de Laplace para obter it no circuito da Figura 144 Resposta 025 475e20tut A O Teorema da Integração no Tempo O mesmo tipo de simplificação pode ser conseguido quando encontramos a operação de integração temporal em nossas equações de circuito Vamos determinar a transformada de Laplace da função temporal descrita por Ñ t 0 υxdx t 0 υx dx 0 e st t 0 υx dx dt Integrando por partes fazemos u t 0 υx dx dυ e st dt du υt dt υ 1 s e st Então t 0 υx dx t 0 υx dx 1 s e st t t 0 0 1 s e stυt dt 1 s e st t 0 υx dx 0 1 s Vs Mas como est 0 à medida que t o primeiro termo à direita desaparece no limite superior quando t 0 a integral desse termo tam bém desaparece Isso deixa apenas o termo Vss de forma que t 0 υx dx 3 Vs s 26 p FIGURA 144 i 4 V dt ut V 02 H Seção 146 u Teoremas básicos para a transformada de Laplace 551 e com isso a integração no domínio do tempo corresponde à divisão por s no domínio da frequência Novamente uma operação de cálculo relati vamente complicada no domínio do tempo se torna uma simples operação algébrica no domínio da frequência Determine it em t 0 para o circuito RC série mostrado na Figura 145 Primeiro escrevemos a única equação de laço ut 4it 16 t it dt Para aplicar o teorema da integração no tempo devemos arranjar o limite inferior dessa equação para que ele seja igual a 0 Logo fazemos 16 t it dt 16 0 it dt 16 t 0 it dt υ0 16 t 0 it dt Portanto ut 4it υ0 16 t 0 it dt A seguir aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados dessa equação Como estamos utilizando a transformada unilateral a transformada de υ0 é simplesmente a transformada de υ0ut e com isso 1 s 4Is 9 s 16 s Is e resolvendo para Is Is 2 s 4 o resultado desejado é imediatamente obtido it 2e 4tut A Obtenha υt para o mesmo circuito repetido na Figura 146 por conveniência Esta vez escrevemos uma única equação nodal υt ut 4 1 16 dυ dt 0 Aplicando a transformada de Laplace obtemos Vs 4 1 4s 1 16sVs υ0 16 0 u EXEMPLO 148 u EXEMPLO 149 p FIGURA 145 Circuito ilustrando o uso do par de transformadas de Laplace t 0 i t dt 1 s Is it 4 V υ0 9 V ut 1 F 16 υt p FIGURA 146 Circuito da Figura 145 repetido no qual buscamos a tensão υt it 4 V 1 F 16 υ0 9 V ut υt Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 552 ou Vs 1 s 4 1 s 9 4 Logo Vs 4 ss 4 9 s 4 1 s 1 s 4 9 s 4 1 s 8 s 4 e aplicando a transformada inversa de Laplace υt 1 8e 4tut V Para verificar esse resultado notamos que 1 16dυdt deve levar à expressão anterior para it Para t 0 1 16 dυ dt 1 16 32e 4t 2e 4t que está em concordância com o que obtivemos no Exemplo 148 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1412 Obtenha υt em t 800 ms para o circuito da Figura 147 Resposta 802 mV Transformada de Laplace de Senoides Para ilustrar o uso do teorema da linearidade e da derivada no domínio do tempo sem mencionar a adição de um par de transformadas muito importante à nossa tabela de transformadas de Laplace vamos estabelecer a transformada de Laplace de sen ωt ut Poderíamos usar a expressão integral que define a transformada e fazer a integração por partes mas isso é desnecessariamente difícil Em vez disso usamos a relação sen ωt 1 2 j e jωt e jωt A transformada da soma desses dois termos é justamente a soma das transformadas e cada termo é uma função exponencial para a qual já temos a transformada Podemos escrever imediatamente senωt ut 1 2 j 1 s jω 1 s jω ω s2 ω2 senωt ut 3 ω s2 ω2 27 A seguir usamos o teorema da derivada no domínio do tempo para determinar a transformada de cos ωt ut que é proporcional à derivada de sen ωt Isto é p FIGURA 147 5 V 2tut V 01 F υt Seção 146 u Teoremas básicos para a transformada de Laplace 553 cos ωt ut 1 ω d dt senωt ut 1 ωs ω s2 ω2 cos ωt ut 3 s s2 ω2 28 O Teorema do Deslocamento no Tempo Como vimos em alguns de nossos problemas iniciais nem todas as fun ções forçantes começam em t 0 O que acontece à transformada de uma função temporal se essa função for simplesmente deslocada no tempo Em particular se a transformada de f tut for a função Fs conhecida então qual é a transformada de f t aut a a função original deslocada em a segundos e que não existe em t a Trabalhando diretamente a partir da definição da transformada de Laplace temos f t aut a 0 e stf t aut a dt a e stf t a dt para t a Escolhendo uma nova variável de integração τ t a obtemos f t aut a 0 e sτ a f τ dτ e asFs Portanto f t aut a 3 e asFs a 0 29 Esse resultado é conhecido como o teorema do deslocamento no tempo e ele simplesmente diz que se uma função temporal tiver um deslocamento a no domínio do tempo o resultado no domínio da frequência é uma mul tiplicação por eas Determine a transformada do pulso retangular υt ut 2 ut 5 t FIGURA 148 Gráfico de ut 2 ut 5 1 2 3 4 6 5 ut 2 ut 5 t Esse pulso cujo gráfico está mostrado na Figura 148 tem valor unitário no intervalo de tempo 2 t 5 e valor nulo nos demais pontos Sabemos que a transformada de ut é simplesmente 1s e como ut 2 é simplesmente ut atrasado em 2 s a transformada dessa função atrasada é e2ss De forma similar a transformada de ut 5 é e5ss Segue então que a transformada desejada é Note que usamos o fato de que sen ωt t 0 0 u EXEMPLO 1410 Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 554 Vs e 2s s e 5s s e 2s e 5s s Não foi necessário recorrer à definição da transformada de Laplace para determinar Vs u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1413 Obtenha a transformada de Laplace da função temporal mostrada na Figura 149 t FIGURA 149 10 5 0 1 2 3 4 5 6 f t t s Resposta 5s2e2s e4s e5s Neste ponto já obtivemos muitas entradas para o catálogo de pares de transformadas de Laplace que concordamos em construir mais cedo Aí se incluem as transformadas das funções impulso degrau exponencial rampa seno e cosseno e a soma de duas exponenciais Além disso nota mos as consequências no domínio s das operações de adição multiplicação por uma constante derivação e integração no domínio do tempo Esses resultados são reunidos nas Tabelas 141 e 142 muitos resultados deduzi dos no Apêndice 7 também foram incluídos TABELA 141 u Pares de Transformadas de Laplace ft 1 Fs Fs ft ft 1 Fs Fs ft δt 1 1 β αe αt e βtut 1 s αs β ut 1 s sen ωt ut ω s2 ω2 tut 1 s2 cos ωt ut s s2 ω2 tn 1 n 1ut n 1 2 1 sn senωt θut s senθ ωcos θ s2 ω2 e αtut 1 s α cosωt θut s cos θ ωsenθ s2 ω2 te αtut 1 s α2 e αt sen ωt ut ω s α2 ω2 tn 1 n 1e αtut n 1 2 1 s αn e αt cos ωt ut s α s α2 ω2 APLICAÇÃO ESTABILIDADE DE UM SISTEMA Muitos anos atrás pelo menos parece um dos autores dirigia em uma estrada no interior tentando utilizar o siste ma de controle de velocidade do automóvel piloto auto mático Após ligar o sistema e fazer o ajuste manual da velocidade do carro para que ela fosse exatamente igual ao limite de velocidade permitido na estrada3 o botão de ajuste foi solto e o pé foi tirado do acelerador neste momento esperavase que o sistema mantivesse a velocidade ajustada por meio do controle do fluxo de combustível Donovan ReeseGetty Images Infelizmente algo diferente aconteceu A velocidade do veículo apresentou uma queda imediata de aproxima damente 10 à qual o sistema eletrônico que controlava o piloto automático respondeu com um acréscimo no fluxo de combustível Os dois eventos não estavam bem casa dos de forma que alguns instantes mais tarde a velocidade do veículo ultrapassou o ponto de ajuste resultando em uma repentina e significativa queda no fluxo de combus tível o que levou a uma redução na velocidade do veícu lo Para a consternação do motorista esse ciclo continuou até que ele desistisse e desligasse o sistema Claramente a resposta do sistema não estava otimiza da de fato da forma como foi construído o sistema era instável A estabilidade de sistemas é uma grande preocu pação de engenharia em uma ampla variedade de proble mas controle de velocidade reguladores de temperatura sistemas de rastreamento só para mencionar alguns e as técnicas desenvolvidas neste capítulo são incalculáveis na avaliação da estabilidade de um sistema específico Um dos aspectos poderosos associados ao trabalho no domínio s viabilizado pela transformada de Laplace é que em vez de descrevermos a resposta de um sistema específico por meio de uma equação integrodiferencial podemos obter uma simples função de transferência repre sentada pela razão de dois polinômios em s A questão da estabilidade pode então ser facilmente analisada com o estudo do denominador da função de transferência nenhum polo pode ter parte real positiva Há muitas técnicas que podem ser aplicadas no problema da determinação da estabilidade de um sistema específico Uma técnica simples é conhecida como o teste de Routh Considere a seguinte função de um sistema no domínio s um conceito desenvolvido em mais detalhes no Capítulo 15 Hs Ns Ds O polinômio em s representado por Ds pode ser escrito como ansn an1sn1 a1s a0 Sem que fatoremos o polinômio não podemos dizer muito a res peito dos polos Se todos os coeficientes forem positivos e diferentes de zero o procedimento de Routh nos diz que devemos arranjálos de acordo com o seguinte padrão an an 2 an 4 an 1 an 3 an 5 Em seguida criamos uma terceira linha fazendo a multiplicação cruzada das duas linhas an 1an 2 anan 3 an 1 an 1an 4 anan 5 an 1 e uma quarta linha fazendo a multiplicação cruzada da segunda e terceira linhas Esse processo continua até que tenhamos n 1 linhas contendo valores numéricos Tudo o que precisamos fazer é procurar por qualquer mudança de sinal na coluna mais à esquerda O número de mudanças de sinal indica o número de polos com parte real positiva qualquer mudança de sinal indica um sistema instável Por exemplo vamos assumir que o sistema de controle de velocidade do automóvel responsável pelo vexame do autor tenha uma função de transferência com denominador Ds 7s4 4s3 s2 13s 2 Todos os coeficientes desse polinômio de quarta ordem em s são positivos e diferentes de zero assim cons truímos a tabela de Routh correspondente 7 1 2 4 13 0 2175 2 1337 2 onde observamos duas mudanças de sinal na coluna mais à esquerda Logo o sistema é de fato instável o que explica a sua falha operacional já que dois de seus polos possuem partes reais positivas 3 Como não havia câmeras presentes ninguém pode provar o contrário Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 556 147 OS TEOREMAS DO VALOR INICIAL E DO VALOR FINAL Os dois últimos teoremas fundamentais que vamos discutir são conhecidos como os teoremas do valor inicial e do valor final Eles nos permitem avaliar f0 e f simplesmente examinando os valores limite de sFs Tal habili dade pode ser incalculável se apenas os valores inicial e final são necessários para uma função de interesse específica não há necessidade de se perder tempo com a realização de uma operação de transformada inversa O Teorema do Valor Inicial Para deduzir o teorema do valor inicial consideramos novamente a trans formada de Laplace da derivada d f dt sFs f 0 0 e st d f dt dt Agora fazemos s tender a infinito Dividindo a integral em duas partes TABELA 142 u Operações com a Transformada de Laplace Operação ft Fs Adição f1t f2t F1s F2s Multiplicação escalar k f t kFs Diferenciação no tempo d f dt sFs f 0 d2f dt2 s2Fs s f 0 f 0 d3f dt3 s3Fs s2 f 0 s f 0 f 0 Integração no tempo t 0 f t dt 1 s Fs t f t dt 1 s Fs 1 s 0 f t dt Convolução f1t f2t F1sF2s Deslocamento no tempo f t aut a a 0 e asFs Deslocamento na frequência f te at Fs a Diferenciação na frequência t f t dFs ds Integração na frequência f t t s Fs ds Mudança de Escala f at a 0 1 a F s a Valor Inicial f 0 lim sS sFs Valor Final f lim sS 0 sFs todos os polos de sFs no SPE Periodicidade no tempo f t f t nT 1 1 e Ts F1s n 1 2 onde F1s T 0 f te st dt Seção 147 u Os teoremas do valor inicial e do valor final 557 lim sS sFs f 0 lim sS 0 0 e0 d f dt dt 0 e st d f dt dt vemos que a segunda integral deve tender a zero no limite pois o inte grando tende a zero Além disso f0 não é uma função de s e pode ser removida do limite da esquerda f 0 lim sS sFs lim sS 0 0 d f lim sS f 0 f 0 f 0 f 0 e finalmente f 0 lim sS sFs ou lim tS 0 f t lim sS sFs 30 Este é o enunciado matemático do teorema do valor inicial Ele diz que o valor inicial da função temporal ft pode ser obtido a partir de sua transformada de Laplace Fs primeiro multiplicandose essa função por s e então fazendo s tender a infinito Note que o valor inicial de ft que obtemos é o limite à direita O teorema do valor inicial juntamente com o teorema do valor final que consideraremos em um momento é útil na verificação dos resultados de uma transformação ou de uma transformação inversa Por exemplo quando calculamos a transformada de cosω0tut pela primeira vez obtivemos s s2 ω0 2 Após notar que f0 1 podemos verificar parcialmente a vali dade desse resultado com a aplicação do teorema do valor inicial lim sS s s s2 ω2 0 1 e a verificação está completa O Teorema do Valor Final O teorema do valor final não é tão útil quanto o teorema do valor inicial porque ele pode ser usado apenas em uma classe específica de transfor madas Para determinar se uma transformada se enquadra nessa classe o denominador de Fs deve ser avaliado para que todos os valores que o anulam sejam obtidos isto é os polos de Fs Apenas as transformadas Fs com todos os polos localizados na metade esquerda do plano s isto é σ 0 exceto no caso de um polo simples em s 0 são adequadas ao uso do teorema do valor final Novamente consideramos a transformada de Laplace de dfdt 0 e st df dt dt sFs f 0 dessa vez no limite à medida que s tende a zero Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 558 lim sS 0 0 e st df dt dt lim sS 0sFs f 0 0 d f dt dt Assumimos que ft e sua derivada primeira sejam transformáveis Agora o último termo dessa equação é facilmente expresso como um limite 0 df dt dt lim tS t 0 d f dt dt lim tS f t f 0 Reconhecendo que f0 é uma constante uma comparação entre as duas últimas equações nos mostra que lim tS f t lim sS 0sFs 31 que é o teorema do valor final Ao aplicar esse teorema é necessário saber que f o limite de ft com t tendendo a infinito existe ou o que quer dizer a mesma coisa que todos os polos de Fs estejam localizados no semiplano esquerdo de s exceto no caso possível de um polo simples na origem O produto sFs tem portanto todos os seus polos localizados no semiplano esquerdo Use o teorema do valor final para determinar f para a função 1 eat ut onde a 0 Sem nem mesmo usar o teorema do valor final vemos imediatamente que f 1 A transformada de ft é Fs 1 s 1 s a a ss a Os polos de Fs são s 0 e s a Portanto o polo não nulo de Fs está localizado no semiplano esquerdo de s pois garantimos que a 0 vemos que podemos de fato aplicar o teorema do valor final nesta função Multiplicandoa por s e fazendo s tender a zero obtemos lim sS 0sFs lim sS 0 a s a 1 que concorda com f Se ft for uma senoide no entanto de forma que Fs tenha polos no eixo jω então o uso cego do teorema do valor final pode nos levar a concluir que o valor final dessa função é nulo Sabemos no entanto que o valor final de sen ω0t ou cos ω0t é indeterminado Assim cuidado com polos no eixo jω u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1414 Sem obter ft primeiro determine f0 e f para cada uma das transformadas a seguir a 4e2ss 50s b s2 6s2 7 c 5s2 102ss2 3s 5 Resposta 0 200 indeterminado polos localizados no eixo jω 25 1 u EXEMPLO 1411 559 Resumo e revisão RESUMO E REVISÃO O tema principal deste capítulo é a transformada de Laplace uma ferra menta matemática para converter funções bemcomportadas no domínio do tempo em expressões no domínio da frequência Antes de introduzir a transformação nós consideramos primeiro a noção de uma frequência complexa a que nos referimos como s Este termo conveniente possui uma componente real σ e uma componente imaginária ω podendo então ser escrito como s σ jω Na verdade esta é uma simplificação para uma senoidal exponencialmente amortecida e notamos que várias funções comuns são na verdade casos especiais de tal função Análise limitada de circuitos pode ser desenvolvida com esta função generalizada mas seu verdadeiro propósito era simplesmente familiarizar o leitor com a ideia da então chamada frequência complexa Uma das coisas mais surpreendentes é que a análise de circuitos no dia a dia não exige implementação direta da transformada integral de Laplace ou sua correspondente integral inversa Em vez disso o uso das tabelas são empregados rotineiramente e o polinômios S que resultam da análise de circuitos no domínio s são fatorados em termos menores facilmente reconhecíveis Isso funciona porque cada par de transformada de Laplace é único Entretanto há vários teoremas associados à transformada de Laplace que são usados frequentemente Estes incluem o teorema da linearidade o teorema da derivada no domínio do tempo e o teorema da integração no domínio do tempo O teorema do deslocamento no tempo bem como os teoremas de valor inicial e valor final também são comumente utilizados A técnica de Laplace não é restrita a análise de circuitos ou mesmo em engenharia elétrica no que tange a este tópico Qualquer sistema que é descrito pelas equações integrodiferenciais podem utilizar os conceitos estudados neste capítulo Nesta etapa no entanto é melhor rever os concei tos chaves já discutidos destacando os exemplos apropriados f O conceito de frequência complexa nos permite considerar simulta neamente as componentes oscilatórias e exponencialmente amorte cidas de uma função Exemplo 141 f A frequência complexa s σ jω é o caso geral as funções CC s 0 exponencial ω 0 e senoidal σ 0 são casos especiais f A análise de circuitos no domínio s resulta na conversão de equa ções integrodiferenciais no domínio do tempo em equações algé bricas no domínio da frequência Exemplo 141 f Em problemas de análise de circuitos convertemos funções do domínio do tempo para o domínio da frequência usando a trans formada de Laplace unilateral Fs 0 est ftdt Exemplo 142 f A transformada inversa de Laplace converte expressões escritas no domínio da frequência em expressões no domínio do tempo Entre tanto ela é raramente necessária graças à existência de tabelas com pares de transformadas de Laplace Exemplo 143 f A função impulso unitário é uma aproximação comum para pulsos com largura muito estreita em comparação com as constantes de Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 560 tempo de um circuito Ela é diferente de zero em apenas um único ponto e tem área unitária f l f1t f2t l f1t l f2t propriedade aditiva f l kf t kl ft k constante propriedade da homogeneidade f Transformadas inversas são tipicamente obtidas para simplificar grandezas do domínio s em expressões tabeladas como na Tabe la 141 o que é feito com o emprego combinado de técnicas de expansão em frações parciais e operações diversas Tabela 142 Exemplos 144 145 146 e 1410 f Os teoremas da diferenciação e da integração nos permitem converter equações integrodiferenciais no domínio do tempo em simples equa ções algébricas no domínio da frequência Exemplos 147 148 e 149 f Os teoremas do valor inicial e do valor final são úteis apenas quando os valores específicos ft 0 ou ft são desejados Exemplo 1411 LEITURA COMPLEMENTAR Um desenvolvimento de fácil leitura da transformada de Laplace e de algu mas de suas propriedades fundamentais pode ser encontrado no Capítulo 4 de A Pinkus e S Zafrany Fourier Series and Integral Transforms Cambridge United Kingdom Cambridge University Press 1997 Um tratamento muito mais detalhado de transformadas integrais e sua aplicação na ciência e em aplicações de engenharia pode ser encontrado em B Davies Integral Transforms and Their Applications 3a ed New York SpringerVerlag 2002 Estabilidade e o teste de Routh são discutidos no Capítulo 5 de K Ogata Modern Control Engineering 4a ed Englewood Cliffs NJ PrenticeHall 2002 EXERCÍCIOS 141 Frequência Complexa 1 Determine o conjugado de cada um dos seguintes a 8 j b 8e9t c 225 d 4e j9 e j2ej11 2 Calcule o conjugado complexo de cada uma das expressões seguintes a 1 b j 5 20 c 5e j5 2e j3 d 2 j8 30 e j2t 3 Várias tensões reais são escritas em um pedaço de papel porem derramouse café em metade de cada uma Complete a expressão de tensão se a parte legível é a 5ej50t b 2 j e j9t c 1 j e j78t dje5t Suponha que as unidades de cada tensão são volts V Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 562 18 O circuito da Figura 1413 é alimentado por vSt 10 cos 5t V a Determine a frequência complexa da fonte b determine a representação da fonte no domí nio da frequência c calcule a representação de ix no domínio da frequência d obtenha a expressão para ix no domínio do tempo 19 A corrente ix no domínio da frequência que flui através do resistor de 22 Ω da Figura 1413 pode ser representada como 210o A com uma frequência comple xa de s 1 j05 s1 Determine a tensão vs no domínio do tempo 20 Seja is1 20e3t cos 4t A e is2 30e3t sen 4t A no circuito da Figura 1414 a Trabalhe no domínio da frequência para encontrar Vx I obtenha vxt 5 V 2 H 01 F υx is1 is2 t FIGURA 1414 143 Definição da Transformada de Laplace 21 Calcule com o auxílio da Equação 14 e mostrando os passos intermediários a transformada de Laplace das funções a seguir I 21ut b 2ut 1 c 5ut 2 2ut d 3ut b onde b 0 22 Empregue a transformada integral de Laplace unilateral com os passos inter mediários explicitamente incluídos para calcular as expressões no domínio s que correspondem às seguintes funções a 5ut 6 b 2et ut c 2et ut 1 d e2t sen 5tut 23 Com o auxílio da Equação 14 e mostrando os passos intermediários adequa dos calcule a transformada de Laplace unilateral das funções a seguir a t 1 ut 1 b t2ut c sen 2tut d cos 100t ut 24 A transformada de Laplace de tft assumindo lft Fs é dada por d ds Fs Teste isso comparando o resultado previsto com o que é encontrado diretamente empregando a Equação 14 para a tut b t2ut c t3ut d tetut 144 Transformada de Laplace de Funções Temporais Simples 25 Para as seguintes funções especifique o intervalo de σ0 para os quais existe a transformada de Laplace unilateral a t 4 b t 1 t 2 c et2ut d sen 10t ut 1 26 Mostre com a ajuda da Equação 14 que lft gt ht lft lgt lht 27 Determine Fs se ft é igual a a 3ut 2 b 3e2tut 5ut c δt ut tut d 5δt 28 Obtenha uma expressão para a Gs se gt é dada por a 5ut2 ut b 2ut 2ut 2 c tu2t d 2etut 3ut 29 Sem recorrer à Equação 15 obtenha uma expressão para ft se Fs é dada por a 1 s b 155 2 s c 1 s 15 d 5 s2 5 s 5 forneça uma breve explicação de como você chegou a sua solução 1 V 400 mF 22 V 15 H υS ix u FIGURA 1413 Exercícios 563 30 Obtenha uma expressão para gt sem empregar a inversa da transformada integral de Laplace se Gs é conhecido como a 15 s 92 b 2 s 0 c π c π d a s 12 a a 0 a 0 forneça uma breve explicação sobre a sua solução para cada caso 31 Avalie a δt no instante t 1 b 5δ t 1 ut 1 em t 0 c 2 1 dt dt d 3 2 1 2dtdt 32 Avalie a δ 2t2 em t 1 b 2δ t 1 ut 1 em t 0 t 0 c 1 3 0003 0001 δt dt d 1 1 2 2 0 δt 1 dt 2 33 Avalie as seguintes expressões em t 0 a 2δt 1 dt b δt 1 dt ut 1 c 3 δt 2 dt u1 t3 ut 2 d δt 1 dt δt 1 dt 2 34 Avalie a e 100δ t 1 5 dt b 4tδt 2 dt c 4t2δt 15 dt d 4 tδt 1 dt 4 tδt 1 dt 145 Técnicas para Transformadas Inversas 35 Determine a transformada inversa de Fs igual a 5 5 s2 5 s 1 b 1 s 5 01s 4 3 c 1 2s 1 05s2 4 s 5s 5 2 d 4 s 5s 5 2 s 1 1 s 3 36 Obtenha uma expressão para gt se Gs é dada por a 3s 1 s 12 2s s2 1 s 22 b 10 s 33 c 19 8 s 32 18 s2 6s 9 37 Reconstrua a função no domínio do tempo se a sua transformada é a s ss 2 b 1 c 3 s 2 s2 2s 4 d 4 s 2s 3 38 Determine a transformada inversa de Vs igual a a s2 2 s 1 b s 8 s 2 s2 c s 1 ss 2 2s2 1 s2 d s2 4s 4 s Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 564 39 Obtenha as expressões no domínio de tempo que correspondem a cada uma das seguintes funções no domínio s a 2 3s 1 2 s2 3s b 7 s 1 s s2 3s 1 c 2 s2 1 s s 2 s 2 2 4s 6 d 2 s 1s 1 e 14 s 12s 4s 5 c 2 s2 1 s s 2 s 2 2 4s 6 d 2 s 1s 1 e 14 s 12s 4s 5 40 Encontre a transformada inversa de Laplace das seguintes funções a 1 s2 9s 20 b 4 s3 18s2 17s 1 s c 025 1 s 2 2 175s 25 d 3 ss 1s 4s 5s 2 b 4 s3 18s2 17s 1 s c 025 1 s 2 2 175s 25 d 3 ss 1s 4s 5s 2 e Verifique as suas respostas com o MATLAB 41 Determine a transformada inversa de Laplace de cada uma das seguintes expres sões no domínio s a 1 s 22s 1 b s s2 4s 4s 2 c 8 s3 8s2 21s 18 d Verifique as suas respostas com o MATLAB 42 Dadas as seguintes expressões no domínio s determine as correspondentes funções no domínio do tempo a 1 3s 1 2s 1 3 s3 8s2 16s 1 b 1 3s 5 3 s3 8 025s2 c 2s s a2 43 Calcule l1 Gs se Gs é dada por a 3s s 2 22s 2 b 3 3 s 2s2 24s 70s 5 c 2 1 s 100 s s2 100 d tu2t 44 Obtenha a expressão no domínio do tempo que corresponde as seguintes fun ções no domínio s a s s 23 b 4 s 14s 12 c 1 s2s 42s 63 2s2 s 9 d Verify your solutions with MATLAB d Verifique as suas soluções com o MATLAB 146 Teoremas Básicos para a Transformada de Laplace 45 Calcule a transformada de Laplace das seguintes equações a 5 di dt 7 d2i dt2 9i 4 b m d2p dt2 μ f dp dt kpt 0 equação que descreve uma resposta livre de forças de um sistema amortece dor simples c d np dt np τ GL com τ constante a qual descreve a taxa de recombinação do excesso de elétrons Δnp no silício tipo p sob ilumi nação ótica GL é uma constante proporcional à intensidade da luz 46 Com respeito ao circuito mostrado na Figura 1415 a tensão inicial no capacitor é v 0 15 V e a fonte de corrente é de is 700ut mA a Escreva a equa ção diferencial a partir da LKC em termos de tensão nodal υt I calcule a Exercícios 565 transformada de Laplace da equação diferencial c determine a representação no domínio da frequência da tensão nodal d resolva para a tensão υt no domínio do tempo 47 Para o circuito da Figura 1415 se Is 2 s 1 mA a escreva equação nodal em termos de υt no domínio do tempo b resolva para Vs c determine tensão υt no domínio do tempo 48 A fonte de tensão no circuito da Figura 144 é substituída por outra cujo equiva lente no domínio s é 2 s 1 s 1V A condição inicial mantémse inalterada a Escreva a equação LKV no domínio s em termos de Is b resolva para it 49 Para o circuito da Figura 1416 vst 2ut V e o capacitor inicialmente encontrase descarregado a Escreva a equação de malha em termos da corren te it no domínio do tempo b obtenha a representação desta equação integral no domínio s c Calcule it 50 A representação da fonte de tensão na Figura 1416 no domínio s é Vss 2 s 1 V A tensão inicial no capacitor definida usando a convenção de sinal passivo em termos da corrente i é 45 V a Escreva a equação integral no domínio do tempo que resulta da aplicação da LKT b primeiramente resol vendo para Is determine a corrente it no domínio do tempo 51 Se a fonte de corrente da Figura 1417 é dada por 450ut mA e ix 0 150 mA trabalhe inicialmente no domínio s para obter uma expressão para a υt válido para t 0 52 Obtenha por meios puramente legítimos uma expressão no domínio s que corresponda à forma de onda no domínio do tempo da Figura 1418 53 Aplique o teste de Routh nas seguintes funções de sistemas e diga se o sistema é estável ou instável a Hs s 500 s3 13s2 47s 35 b Hs s 500 s3 13s2 s 35 54 Aplique o teste de Routh nas seguintes funções e diga se o sistema é estável ou instável então fatore cada denominador de Hs e verifique a exatidão do teste de Routh a Hs 4s s2 3s 8 b Hs s 9 s2 2s 1 147 Os Teoremas do Valor Inicial e do Valor Final 55 Empregue o teorema do valor inicial para determinar o valor inicial de cada uma das seguintes funções no domínio do tempo a 2ut b 2etut c ut 6 d cos 5t ut 56 Empregue o teorema do valor inicial para determinar o valor inicial de cada uma das seguintes funções no domínio do tempo a ut 3 b 2et2 ut 2 c ut 2 ut2 2 d sen 5t e 2tut 57 Utilizando o teorema do valor final se for o caso determine f para a 1 s 2 2 s b 2s s 2s 1 c 1 s 2s 4 2 s d 1 s2 s 6s 9 is 500 mF υ 2 V p FIGURA 1415 it 200 mF υs υt 5 V p FIGURA 1416 ix is 15 H υ 1 V p FIGURA 1417 12 6 0 1 2 3 4 5 6 f t t s p FIGURA 1418 Capítulo 14 u Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 566 58 Sem recorrer a ft determine f0 e f ou mostre que não existe para cada uma das seguintes expressões no domínio s a 1 s 18 b 10 1 s2 3 s c s2 4 s3 8s2 4s d s2 2 s3 3s2 5s 59 Aplique os teoremas do valor inicial ou do valor final conforme o caso para determinar f0 e f para as seguintes funções a s 2 s2 8s 4 b 1 s2s 42s 63 2s2 s 9 c 4s2 1 s 12s 22 60 Determine quais das seguintes funções são apropriadas para o teorema do valor final a 1 s 1 b 10 s2 4s 4 c 13 s3 5s2 8s 6 d 3 2s3 10s2 16s 12 Exercícios de integração do capítulo 61 A tensão υt 8e2tut V é aplicada a um componente desconhecido com dois terminais Seu assistente te compreende mal e registra a corrente resultante ape nas no domínio s Determine qual é o elemento desconhecido se seu valor Is é igual a a 1 s 2 A b 4 ss 2 A 62 a Crie uma função de Fs no domínio s que corresponda a um valor inicial f0 16 e ainda tenha um valor final indeterminado b obtenha uma expres são para ft c se esta forma de onda representa a tensão em um capacitor de 2 F determine a corrente que circula através do componente suponha a con venção sinal passivo 63 Para o circuito da Figura 1419 considere ist 5ut A e vst e4tut 1 V Trabalhando inicialmente no domínio s obtenha uma expressão para iCt válido para t 0 64 Referindose o circuito ilustrado na Figura 1419 e trabalhando no domínio s para desenvolver uma expressão para o ICs Determine iCt para t 0 se ist 2ut 2 A e vst é igual a a 2ut V b tetut V 65 Para o circuito da Figura 1420 Is 5 s 1 s 12 104 A a Determine a valor inicial da corrente no indutor b determine o valor final da tensão no indutor supondo que ele é definido de acordo com a convenção do sinal passivo iC 100 mF 2 V 1 V is υs p FIGURA 1419 5 H i p FIGURA 1420 INTRODUÇÃO Uma vez introduzido o conceito de frequência complexa e a técnica de transformada de Laplace agora estamos prontos para verificar detalhadamente como a análise de circuitos no domínio s realmente funciona Como o leitor pode suspeitar especial mente se já estudou o Capítulo 10 na verdade vários atalhos são frequentemente aplicados O primeiro deles consiste em criar um novo modo de visualização de capacitores e indutores de modo que no domínio s as equações nodais e de malha podem ser escritas diretamente Como parte deste método vamos aprender como proceder de modo a considerar as condições iniciais Outro atalho é o conceito da função de transferência de um circuito Esta função em geral pode ser explorada para prever a resposta de um circuito a várias entradas sua estabilidade e até mesmo sua resposta seletiva em frequência 151 Zs E Ys O conceito fundamental que torna os fasores tão úteis na análise de circuitos em regi me permanente senoidal é a transformação de resistores capacitores e indutores em impedâncias A análise do circuito segue então com a aplicação das técnicas básicas de análise nodal ou de malha superposição e transformação de fontes bem como dos equivalentes de Thévenin ou de Norton Como já podemos suspeitar esse conceito pode ser estendido ao domínio s já que o regime permanente senoidal é um caso especial da análise no domínio s Resistores no Domínio da Frequência Comecemos com a situação mais simples aquela de um resistor conectado a uma fonte de tensão υt A lei de Ohm especifica que υt Rit Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados Vs RIs Análise de Circuitos no Domínio s 15 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Estendendo o Conceito de Impedância ao Domínio s Modelando Condições Iniciais com Fontes Ideais Aplicando Análise Nodal e de Malha Superposição e Transformação de Fontes no Domínio s Teoremas de Thévenin e Norton Aplicados em Circuitos no Domínio s Manipulando Expressões Algébricas no Domínio s com o MATLAB Identificando Polos e Zeros na Função de Transferência de Circuitos Resposta ao Impulso de um Circuito Uso da Convolução para Determinar a Resposta do Sistema A Resposta como uma Função de σ e ω Usando Gráficos de Polos e Zeros para Prever a Resposta Natural de um Circuito Sintetizando Funções de Transferência de Tensão Específicas Usando AOPs Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 568 Assim a relação entre a representação da tensão e da corrente no domí nio da frequência é simplesmente a resistência R Logo Zs K Vs Is R 1 Da mesma forma que vimos ao trabalhar com fasores no regime perma nente senoidal a impedância de um resistor não depende da frequência A admitância Ys de um resistor definida como razão IsVs é simples mente 1 R a unidade da admitância é o siemens S Indutores no Domínio da Frequência Consideramos agora um indutor conectado a uma fonte de tensão υt vari ável no tempo como mostra a Figura 151a Sabemos que υt L di dt Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados dessa equação resulta em Vs LsIs i0 2 Temos agora dois termos sLIs e Li0 Em situações em que tivermos energia inicial nula armazenada no indutor isto é i0 0 então Vs sLIs de forma que Zs K Vs Is sL 3 A Equação 3 pode ser simplificada ainda mais se estivermos interes sados apenas na resposta em regime permanente senoidal As condições iniciais podem ser desprezadas em tais casos pois elas afetam apenas a natureza da resposta transitória Assim substituímos s jω e obtemos Z jω jωL como já havíamos obtido previamente no Capítulo 10 Modelando Indutores no Domínio s Embora nos refiramos à grandeza representada na Equação 3 como a impedância de um indutor devemos lembrar que ela foi obtida usando se uma corrente inicial nula Na situação mais geral em que há energia armazenada no elemento em t 0 essa grandeza não é suficiente para representar o indutor no domínio da frequência Felizmente é possível incluir a condição inicial ao modelarmos o indutor como uma impedância combinada com uma fonte de tensão ou de corrente Para fazer isso come çamos rearranjando a Equação 2 como Vs sLIs Li0 4 υt it a L b Li0 Zs sL Vs Is p FIGURA 151 a Indutor no domínio do tempo b O modelo completo para um indutor no domínio da frequência consistindo em uma impedância sL e uma fonte de tensão Li0 que incorpora no circuito os efeitos de condições iniciais diferentes de zero Seção 151 u Zs e Ys 569 O segundo termo à direita é uma constante a indutância L em henrys multiplicada por sua corrente inicial i0 em ampères O resultado é um termo de tensão constante que é subtraído do termo sLIs dependente da frequência Um pouco de intuição neste ponto nos leva a perceber que podemos modelar um indutor L como um elemento com dois componentes no domínio da frequência como mostra a Figura 151b O modelo de indutor no domínio da frequência mostrado na Figura 151b consiste em uma impedância sL e uma fonte de tensão Li0 A queda de tensão na impedância sL é dada pela lei de Ohm como sLIs Como a combinação de dois elementos mostrada na Figura 151b é linear as técnicas de análise de circuitos exploradas previamente tam bém podem ser aplicadas no domínio da frequência Por exemplo é possível realizar uma transformação de fontes no modelo para se obter uma impedância sL em paralelo com uma fonte de corrente Li0sL i0s Isso pode ser verificado tomando a Equação 4 e resolvendo para Is Is Vs Li0 sL Vs sL i0 s 5 Temos novamente dois termos O primeiro termo à direita é simples mente uma admitância 1sL vezes a tensão Vs O segundo termo à direita é uma corrente embora tenha como unidade o ampères segundos Logo podemos modelar essa equação como dois componentes separados uma admitância 1sL em paralelo com uma fonte de corrente i0s o modelo resultante está mostrado na Figura 152 A opção pelo modelo da Figura 151b ou da Figura 152 é usualmente feita dependendo de qual deles resul tar nas equações mais simples Note que embora a Figura 152 mostre o símbolo do indutor marcado como uma admitância Ys 1sL ele também pode ser visto como uma impedância Zs sL novamente a escolha do que usar é geralmente baseada em critérios que envolvem preferência pes soal e conveniência Um breve comentário a respeito de unidades deve ser feito Quan do aplicamos a transformada de Laplace em uma corrente it estamos integrando no tempo Logo a unidade de Is é tecnicamente o ampère segundos de forma similar a unidade de Vs é o volts segundos Entretanto convencionase retirar os segundos e atribuir a Is a unidade de ampères e medir Vs em volts Essa convenção não nos apresenta nenhum problema quando analisamos uma equação como a Equação 5 e vemos um termo como i0s aparentemente em conflito com as unidades de Is no lado esquerdo Embora continuemos a medir essas grandezas fasoriais em ampères e volts quando verificarmos as unidades da uma equação deveremos nos lembrar dos segundos Vs Is Ys i0 s 1 sL p FIGURA 152 Um modelo alternativo para o indutor no domínio da frequência consistindo em uma admitância 1sL e uma fonte de corrente i0s Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 570 Calcule a tensão υt mostrada na Figura 153a dada a corrente inicial i0 1 A 1 V 2 H 3e8tut volts υt it a b Vs 1 V Is V 2 V 2s V 3 s 8 p FIGURA 153 a Um simples circuito resistorindutor no qual a tensão υt é desejada b O circuito equivalente no domínio da frequência em que a corrente inicial no indutor é incluída por meio do uso de uma fonte de tensão Li0 em série Começamos primeiramente convertendo o circuito da Figura 153a em seu equivalente no domínio da frequência mostrado na Figura 153b o indutor foi trocado por um modelo com dois componentes uma impedância sL 2s Ω e uma fonte de tensão independente Li0 2 V Buscamos a grandeza Vs e a sua transformada inversa resultará em υt Note que Vs aparece nos terminais do modelo completo do indutor e não apenas do componente de impedância Escolhendo um caminho direto escrevemos Is 3 s 8 2 1 2s s 95 s 8s 05 e Vs 2s Is 2 de forma que Vs 2ss 95 s 8s 05 2 Antes de tentarmos aplicar a transformada inversa de Laplace nessa expres são vale a pena um pouco de esforço para simplificála Com isso Vs 2s 8 s 8s 05 Empregando a técnica de expansão em frações parciais no papel ou com a ajuda do MATLAB obtemos Vs 32 s 8 12 s 05 Tendo como referência a Tabela 141 então obtemos a seguinte transforma da inversa υt 32e8t 12e05ut volts u EXEMPLO 151 Seção 151 u Zs e Ys 571 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 151 Determine a corrente it no circuito da Figura 154 Resposta 131 13e4tut A Modelando Capacitores no Domínio s Os mesmos conceitos também podem ser aplicados em capacitores no domínio s Seguindo a convenção de sinal passivo ilustrada na Figura 155a a equação que governa o capacitor é i C dυ dt υt it a C Vs Is b Cυ0 Ys sC Vs Is c υ0 s Zs 1 sC p FIGURA 155 a Capacitor no domínio do tempo com υt e it identificados b Modelo de capacitor no domínio da frequência com tensão inicial υ0 c Modelo equivalente após a realização de uma transformação de fontes A aplicação da transformada de Laplace em ambos os lados resulta em Is CsVs υ0 ou Is sCVs Cυ0 6 que pode ser modelada como uma admitância sC em paralelo com uma fonte de corrente Cυ0 como mostra a Figura 155b A realização de uma transformação de fontes nesse circuito tendo o cuidado de seguir a con venção de sinal passivo resulta em um modelo equivalente para o capacitor consistindo em uma impedância 1sC em série com uma fonte de tensão υ0s como mostra a Figura 155c Ao trabalhar com esses equivalentes no domínio s devemos ter cuidado para não nos confundir com as fontes independentes usadas para incluir as condições iniciais A condição inicial em um indutor é i0 esse termo pode aparecer como parte de uma fonte de tensão ou de corrente depen dendo do modelo escolhido A condição inicial em um capacitor é υ0 esse termo pode portanto aparecer como parte de uma fonte de tensão ou de corrente Um erro muito comum cometido por estudantes trabalhando com a análise no domínio s pela primeira vez é sempre usar υ0 na fonte de tensão que compõe o modelo mesmo lidando com um indutor p FIGURA 154 12 V 4ut V 3 H i0 4 A it Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 572 Determine vCt no circuito da Figura 156a assumindo uma tensão ini cial vC0 2 V f Identifique o objetivo do problema Precisamos de uma expressão para a tensão no capacitor vCt f Reuna as informações conhecidas O problema especifica uma tensão inicial no capacitor de 2 V f Trace um Plano Nosso primeiro passo é desenhar o circuito equivalente no domínio s fazendo isso devemos escolher entre os dois modelos possíveis para o capacitor Não havendo claro benefício de um sobre o outro selecionamos o modelo que se baseia na fonte de corrente como na Figura 156b f Construa um conjunto apropriado de equações Seguimos com a análise escrevendo uma única equação nodal 1 VC 2 s VC 9 s 3 f Determine se informações adicionais são necessárias Temos apenas uma equação e uma incógnita que corresponde à represen tação da tensão no capacitor no domínio da frequência f Tente uma solução Resolvendo para VC obtemos VC 18 s 6 3s 2 2 s 3 ss 2 3 A expansão em frações parciais leva a VC 9 s 11 s 2 3 Obtemos vCt a partir da transformada inversa de Laplace dessa expres são resultando em vCt 9ut 11e2t3ut V ou de forma mais compacta vCt 9 11e2t3ut V f Verifique a solução Ela é razoável ou esperada Uma rápida verificação em t 0 leva a vCt 2 V como deveria ser com base no conhecimento que temos da condição inicial Além disso à medida que t vCt 9 V como poderíamos esperar a partir da Figura 156a após o término do transitório u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 152 Repita o Exemplo 152 usando o modelo de capacitor baseado na fonte de tensão Resposta 9 11e2t3ut V u EXEMPLO 152 3 V 1 A V V VCs b 2 s 9 s 3 V 9ut V 05 F υCt a p FIGURA 156 a Circuito para o qual desejase a tensão vCt b Circuito equivalente no domínio da frequência empregando o modelo baseado em fonte de corrente para incorporar a condição inicial no capacitor Seção 152 u Análise nodal e de malha no domínio s 573 Os resultados desta seção são resumidos na Tabela 151 Note que assu mimos a convenção de sinal passivo em cada caso TABELA 151 u Resumo da Representação de Elementos nos Domínios do Tempo e da Frequência Vs Is Zs R Vs RIs Vs Is Ys Is Vs 1 R 1 R υt it L υt L di dt Vs Is Zs sL Vs sLIs Li0 Li0 Is Vs Is Ys i0 s 1 sL Vs sL i0 s Vs Is Zs Vs Is sC υ0 s υ0 s 1 sC Resistor Indutor Capacitor υt it R υt Rit Is sCVs Cυ0 Vs Is Ys sC Cυ0 υt it it C dv dt C Domínio do tempo Domínio da frequência 152 ANÁLISE NODAL E DE MALHA NO DOMÍNIO s No Capítulo 10 aprendemos como transformar circuitos no domínio do tempo alimentados por fontes senoidais em seus equivalentes no domínio da frequência Os benefícios dessa transformação ficaram imediatamente evidentes pois não mais precisamos resolver equações integrodiferenciais As análises nodal e de malha de tais circuitos restritas apenas à determina ção da resposta em regime permanente resultaram em expressões algébri cas em termos de jω sendo ω a frequência das fontes Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 574 Vimos agora que o conceito de impedância pode ser estendido ao caso mais geral da frequência complexa s σ jω Assim que transformamos circuitos do domínio do tempo para o domínio da frequência a realização da análise nodal ou de malha resultará uma vez mais em expressões pura mente algébricas agora em termos da frequência complexa s A solução das equações resultantes requer o uso da substituição de variáveis da regra de Cramer ou de algum software capaz de lidar com manipulação algé brica simbólica por exemplo o MATLAB Nesta seção apresentamos dois exemplos de razoável complexidade para que possamos examinar essas questões em maior detalhe Primeiro no entanto analisamos como o MATLAB pode ser usado para nos auxiliar em tais desafios No Capítulo 14 vimos que o MATLAB pode ser usado para determinar os resíduos de funções racionais no domínio s tornando o processo da transfor mada inversa de Laplace mais simples Entretanto esse pacote computacional é na realidade muito mais poderoso possuindo numerosas rotinas embutidas para a manipulação de expressões algébricas De fato como veremos neste exemplo o MATLAB é até mesmo capaz de realizar transformadas inversas de Laplace diretamente a partir das funções racionais que obtemos por meio da análise de circuitos Comecemos vendo como o MATLAB pode ser usado para trabalhar com expressões algébricas Essas expressões são armazenadas como cadeias de caracteres sendo usadas apóstrofes na expressão que as define Por exem plo havíamos representado o polinômio ps s3 12s 6 como um vetor EDU p 1 0 12 6 Entretanto também podemos representálo simbolicamente EDU p s3 12s 6 Essas duas representações não são iguais no MATLAB elas envolvem conceitos diferentes Quando desejamos manipular uma expressão algébrica simbolicamente a segunda representação é necessária Essa habilidade é especialmente útil quando estamos trabalhando com equações simultâneas Considere o conjunto de equações 3s 10I1 10I2 4 s 2 10I1 4s 10I2 2 s 1 Usando a notação simbólica do MATLAB definimos duas variáveis do tipo string EDU eqn1 3s10I1 10I2 4s2 EDU eqn2 10I1 4s10I2 2s1 Note que cada string inclui inteiramente uma das equações nosso objetivo é resolver as duas equações para as variáveis I1 e I2 O MATLAB possui uma rotina especial solve que pode manipular as equações para nós Ela é chamada listandose as duas equações separadas definidas como strings seguidas de uma lista de incógnitas também definidas como strings u ANÁLISE AUXILIADA POR COMPUTADOR 575 Seção 152 u Análise nodal e de malha no domínio s EDU solution solveeqn1 eqn2 I1 I2 A resposta é armazenada na variável solution embora de uma forma algo inesperada O MATLAB retorna a resposta naquilo que é chamado de estru tura uma construção que é familiar aos programadores na linguagem C Neste estágio no entanto tudo o que precisamos saber é como extrair a nossa resposta Se digitarmos EDU I1 solutionI1 obtemos a resposta I1 24s9s16s247s70 indicando que uma expressão na forma de um polinômio em s foi carregada na variável I1 uma operação similar é usada para a variável I2 Podemos agora seguir diretamente determinando a transformada inversa de Laplace usando a função ilaplace EDU i1 ilaplaceI1 i1 1029expt172667exp356t223exp2t Dessa maneira podemos rapidamente obter a solução para equações simultâ neas que resultam da análise nodal ou de malha e também obter as transfor madas inversas de Laplace O comando ezploti1 nos permite ver a forma da solução se assim desejarmos Deve ser notado que expressões complicadas podem às vezes confundir o MATLAB em tais situações o comando ilapla ce pode não retornar uma resposta útil Vale a pena mencionar algumas funções correlatas pois elas também podem ser utilizadas na verificação rápida de respostas obtidas manual mente A função numden converte uma função racional em duas variáveis separadas uma contendo o numerador e a outra contendo o denominador Por exemplo EDU ND numdenI1 retorna duas expressões algébricas armazenadas em N e D respectivamente N 8s18 D s16s247s70 Para que usemos nossa experiência prévia com a função residue preci samos converter cada expressão simbólica string em um vetor contendo os coeficientes do polinômio Isso é feito usando o comando sym2poly EDU n sym2polyN e EDU d sym2polyD d 6 53 117 70 Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 576 e após isso podemos determinar os resíduos EDU r p y residuend r p y 02579 58333 00870 20000 03448 10000 o que concorda com o que obtivemos usando o comando ilaplace Com essas novas habilidades no MATLAB ou com um forte desejo de usar uma abordagem alternativa como a regra de Cramer ou a substituição direta estamos prontos para seguir com a análise de alguns circuitos Determine as duas correntes de malha i1 e i2 no circuito da Figura 157a Não há energia inicial armazenada no circuito 4e2t ut V 2et ut V 4 H 10 V a i2t i1t F 1 3 V 3s V 4s V 10 V b I2s I1s 2 s 1 V 4 s 2 p FIGURA 157 a Circuito com duas malhas no qual as correntes de malha individuais são desejadas b Circuito equivalente no domínio da frequência Como sempre nosso primeiro passo é desenhar o circuito equivalente apro priado no domínio da frequência Como temos energia zero armazenada no circuito em t 0 trocamos o capacitor de 1 3 F por uma impedância de 3s Ω e o indutor de 4 H por uma impedância de 4s Ω como mostra a Figura 157b Em seguida escrevemos duas equações de malha como sempre fizemos 4 s 2 3 s I1 10I1 10I2 0 ou 3 s 10 I1 10I2 4 s 2 malha 1 u EXEMPLO 153 577 e 2 s 1 10I2 10I1 4sI2 0 ou 10I1 4s 10I2 2 s 1 malha 2 Resolvendo para I1 e I2 vemos que I1 2s4s2 19s 20 20s4 66s3 73s2 57s 30 A e I2 30s2 43s 6 s 220s3 26s2 21s 15 A Só resta aplicar a transformada inversa de Laplace em cada uma das funções após o que obtemos i1t 9639e2t 3448et 8412e015t cos 08529t 1977e015t sen 08529t mA e i2t 4819e2t 2414et 7233e015t cos 08529t 4728e015t sen 08529t mA u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 153 Obtenha as correntes de malha i1 e i2 no circuito da Figura 158 Você pode assumir que não haja energia armazenada no circuito t 0 3ut V 2ut V F 1 H 3 V i2t i1t 1 4 t FIGURA 158 Resposta i1 e 2t 3 cos 4 3 2t 2 8 e 2t 3 sen 4 3 2t A i2 2 3 2 3e 2t 3 cos 4 3 2t 13 2 24 e 2t 3 sen 4 3 2t A i1 e 2t 3 cos 4 3 2t 2 8 e 2t 3 sen 4 3 2t A i2 2 3 2 3e 2t 3 cos 4 3 2t 13 2 24 e 2t 3 sen 4 3 2t A Calcule a tensão vx no circuito da Figura 159 usando a técnica da análise nodal 4 H 2 5ut V 4ut V 1 V 1 F 2 υx Ref t FIGURA 159 Circuito simples com quatro nós contendo dois elementos armazenadores de energia Foinos dito indiretamente que não havia corrente fluindo no indutor em t 0 Portanto i20 0 e consequentemente i20 também deve ser zero Esse resultado aparece em nossa resposta u EXEMPLO 154 Seção 152 u Análise nodal e de malha no domínio s Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 578 O primeiro passo é desenhar o circuito correspondente no domínio s Vemos que o capacitor de 12 F tem uma tensão inicial de 2 V em seus terminais em t 0 requerendo que empreguemos um dos dois modelos da Figura 155 Como devemos usar a análise nodal talvez o modelo da Figura 155b seja o melhor caminho O circuito resultante está mostrado na Figura 1510 Com duas das três tensões nodais especificadas temos apenas uma equação nodal para escrever 1 Vx 7 s 2 s Vx Vx 4 s 4s de forma que Vx 10s2 4 s2s2 4s 1 5s2 2 s s 1 2 2 s 1 2 2 A tensão nodal vx é obtida com a aplicação da transformada inversa de Laplace de onde vemos que vx 4 6864e1707t 5864e02929t ut ou υx 4 e t 9 2 sinh 2 2 t cosh 2 2 t ut Nossa resposta está correta Uma maneira de verificála é avaliar a tensão no capacitor em t 0 pois sabemos que ela é igual a 2 V Logo VC 7 s Vx 4s2 28s 3 s2s2 4s 1 Multiplicando VC por s e calculando o limite para s vemos que υc0 lim sS 4s2 28s 3 2s2 4s 1 2 V conforme esperado u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 154 Empregue a análise nodal para calcular vxt no circuito da Figura 1511 p FIGURA 1511 Circuito para o Exercício de Fixação 154 1 4ut V 1 4ut V Ref 4 H 1 V 1 F 2 υx Resposta 5 5657e1707t e02929tut p FIGURA 1510 O equivalente no domínio s do circuito da Figura 159 4s V 1 V 1 A Ref 7 V s 2 V s 4 V s Vx 579 Use a análise nodal para determinar as tensões v 1 v2 e v3 no circuito da Figura 1512a Não há energia armazenada no circuito em t 0 100 V 01e3t ut ampères 6 H F 02υ2t υ1t υ2t υ3t a F 1 7 1 2 100 V A 6s V 7s V 2s V 02V2 V1 V2 V3 b 01 s 3 p FIGURA 1512 a Circuito com quatro nós contendo dois capacitores e um indutor nenhum deles armazenando energia em t 0 b Circuito equivalente no domínio da frequência Esse circuito consiste em três elementos armazenadores de energia indepen dentes nenhum deles armazenando energia em t 0 Assim cada um deles pode ser trocado por sua impedância equivalente como mostrado na Figura 1512b Também notamos a presença de uma fonte de corrente dependente controlada pela tensão nodal v2t Começando no nó 1 podemos escrever a seguinte equação 01 s 3 V1 V2 100 ou 10 s 3 V1 V2 nó 1 e no nó 2 0 V2 V1 100 V2 7 s V2 V3 6s ou 42sV1 600s2 42s 700V2 700V3 0 nó 2 e finalmente no nó 3 02V2 V3 V2 6s V3 2 s ou 12s 1V2 3s2 1V3 0 u EXEMPLO 155 Seção 152 u Análise nodal e de malha no domínio s Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 580 Resolvendo esse conjunto de equações para as tensões nodais obtemos V1 3 100s3 7s2 150s 49 s 330s3 45s 14 V2 7 3s2 1 s 330s3 45s 14 V3 14 6s 5 s 330s3 45s 14 O único passo restante é o cálculo da transformada inversa de Laplace de cada tensão de forma que para t 0 υ1t 9789e 3t 006173e 02941t 01488e01471t cos1251t 005172e01471t sen1251t V υ2t 02105e 3t 006173e 02941t 01488e01471t cos1251t 005172e01471t sen1251t V υ3t 003459e 3t 006631e 02941t 003172e01471t cos1251t 006362e01471t sen1251t V Note que a resposta cresce exponencialmente como resultado da fonte de tensão dependente Em essência o circuito está perdendo o controle indi cando que em algum momento um componente derreterá explodirá ou falha rá de forma similar Embora a análise de circuitos como esse possa requerer um grande volume de trabalho as vantagens das técnicas no domínio s ficam claras assim que cogitamos a possibilidade de fazer tal análise no domínio do tempo u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 155 Use a análise nodal para determinar as tensões v1 v2 e v3 no circuito da Figura 1513 Assuma que os indutores armazenem energia nula em t 0 Resposta v1t 30δt 14ut V v2t 14ut V v3t 24δt 14ut V 153 TÉCNICAS ADICIONAIS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS Dependendo do objetivo específico na análise de um circuito particular vemos muitas vezes que podemos simplificar nossa tarefa ao escolher cuidadosamente a técnica de análise Por exemplo é raramente desejável aplicar a superposição em um circuito contendo 215 fontes independentes pois tal abordagem requer a análise de 215 circuitos separados Tratando elementos passivos capacitâncias impedâncias etc como impedâncias no entanto estamos livres para empregar qualquer uma das técnicas de análise de circuitos que estudamos nos Capítulos 3 4 e 5 em circuitos equivalentes no domínio s Assim a superposição a transformação de fontes o teorema de Théve nin e o teorema de Norton podem ser aplicados no domínio s 8 H 10ut A 3ut A 2 V υ1t υ2t υ3t 3 H p FIGURA 1513 Seção 153 u Técnicas adicionais de análise de circuitos 581 Simplifique o circuito da Figura 1514a usando a transformação de fontes e determine uma expressão para a tensão υt Sem que correntes ou tensões iniciais tenham sido especificadas e com ut multiplicando a fonte de tensão concluímos que não há energia inicial armazenada no circuito Com isso desenhamos o circuito no domínio da frequência mostrado na Figura 1514b Nossa estratégia é realizar várias transformações de fontes sucessivas para combinar as duas impedâncias de 2s Ω e o resistor de 10 Ω devemos deixar a impedância de 9s Ω de lado pois a tensão Vs desejada aparece em seus terminais Podemos agora transformar a fonte de tensão e a impedância de 2s mais à esquerda em uma fonte de corrente Is 2s s2 9 s 2 s2 s2 9 A em paralelo com uma impedância de 2s Ω Conforme mostrado na Figura 1515a após essa transformação temos a impedância Z1 2s10 2010s 2 Ω diretamente conectada à fonte de corrente Realizando mais uma transformação de fontes obtemos a fonte de tensão V2s tal que V2s s2 s2 9 20 10s 2 V2 b Z2 Vs 9s V A Vs a 9s V s2 s2 9 Z1 2 V s p FIGURA 1515 a Circuito após a primeira transformação b Circuito final a ser analisado para Vs Essa fonte de tensão está em série com Z1 e também com a impedância de 2s remanescente combinando Z1 e 2s em uma nova impedância Z2 temos Z2 20 10s 2 2 s 40s 4 s10s 2 O circuito resultante é mostrado na Figura 1515b Neste momento estamos prontos para obter uma expressão para a tensão Vs usando uma simples divisão de tensão Vs s2 s2 9 20 10s 2 9s 9s 40s 4 s10s 2 180s4 s2 990s3 18s2 40s 4 u EXEMPLO 156 a 10 V 2 cos 3t ut volts 05 F 05 F υt 9 H b 10 V V 2s V 2s V Vs 9s V 2s s2 9 p FIGURA 1514 a Circuito a ser simplificado usando a transformação de fontes b Representação no domínio da frequência Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 582 Ambos os termos no denominador possuem raízes complexas Empregando o MATLAB para expandir o denominador e então determinar os resíduos EDU d1 s2 9 EDU d2 90s3 18s2 40s 4 EDU d symmuld1d2 EDU denominator expandd EDU den sym2polydenominator EDU num 180 0 0 0 0 EDU r p y residuenumden obtemos Vs 1047 j00716 s j3 1047 j00716 s j3 00471 j00191 s 004885 j06573 00471 j00191 s 004885 j06573 5590 10 5 s 01023 Calculando a transformada inversa de cada termo escrevendo 1047 j00191 como 1049ej3912o e 00471 j00191 como 005083ej1579o obtemos υt 1049e j3912oe j3tut 1049e j3912oe j3tut 005083e j1579oe 004885te j06573tut 005083e j1579oe 004885te j06573tut 5590 10 5e 01023tut A conversão das exponenciais complexas em senoides nos permite então escrever uma expressão um pouco mais simples para a nossa tensão υt 5590 10 5e 01023t 2098 cos3t 3912o 01017e 004885t cos06573t 1579out V u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 156 Usando o método da transformação de fontes reduza o circuito da Figura 1516 em uma única fonte de corrente no domínio s em paralelo com uma única impedância Resposta Ans Is 35 s218s 63 A Zs 72s2 252s 18s3 63s2 12s 28 Obtenha o equivalente de Thévenin no domínio da frequência da rede destacada na Figura 1517a Pedemnos para determinar o equivalente de Thévenin do circuito conectado ao dispositivo de entrada essa grandeza é freqüentemente chamada de impe dância de entrada do circuito amplificador Após converter o circuito em seu equivalente no domínio da frequência trocamos o dispositivo de entrada vs e Rs por uma fonte de teste de 1 A como mostrado na Figura 1517b A impedância de entrada Zent é então Zent Vent 1 Note que cada polo complexo tem um termo companheiro que é seu complexo conjugado Em qualquer sistema físico polos complexos ocorrem em pares conjugados 7 V 5ut V 3 H 6 H 025 F A B p FIGURA 1516 u EXEMPLO 157 Seção 154 u Polos zeros e funções de transferência 583 RE RL RC gυp rp Cp Cm υs Rs υp υo a RE 1 A RL RC gVp rp 1sCp 1sCm Vp Vo b Vent p FIGURA 1517 a Circuito equivalente de um amplificador com transistor na configuração base comum b Circuito equivalente no domínio da frequência com uma fonte de teste de 1 A substituindo a fonte de entrada representada por vs e Rs ou simplesmente Vent Devemos obter uma expressão para essa grandeza em termos da fonte de 1 A de resistores capacitores eou do parâmetro g da fonte dependente Escrevendo uma única equação nodal na entrada obtemos então 1 gVπ Vent Zeq onde Zeq K RE 1 sCπ rπ RErπ rπ RE sRErπCπ como Vπ Vent vemos que Zent Vent RErπ rπ RE sRErπCπ gRErπ u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 157 Trabalhando no domínio s obtenha o equivalente de Norton conectado ao resistor de 1 Ω no circuito da Figura 1518 Resposta Icc 3s 14s A Zth 4s 1 Ω 154 POLOS ZEROS E FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA Nesta seção revisitamos a terminologia que apresentamos pela primeira vez no Cap 14 polos zeros e funções de transferência Considere o circuito simples da Figura 1519a O equivalente no domí nio s é dado na Figura 1519b e a análise nodal fornece 0 Vsaída 1 sC Vsaída Vent R O circuito em questão é conhecido como o modelo πhíbrido de um tipo especial de circuito transistorizado conhecido como amplificador base comum Os dois capacitores Cπ e Cµ representam as capacitâncias internas do transistor e são tipicamente da ordem de alguns pF O resistor RL no circuito representa a resistência equivalente de Thévenin do dispositivo de saída que poderia ser um altofalante ou mesmo um laser semicondutor A fonte de tensão vs e o resistor Rs representam juntos o equivalente de Thévenin do dispositivo de entrada que pode ser um microfone um fotoresistor ou possivelmente uma antena de rádio 1 V 4 V 3ut V 025 F p FIGURA 1518 Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 584 Rearranjando e resolvendo para Vsaída obtemos Vsaída Vent 1 sRC ou Hs K Vsaída Vent 1 1 sRC 7 onde Hs é a função de transferência do circuito definida como a rela ção entre a entrada e saída Poderíamos da mesma forma especificar uma corrente qualquer como a grandeza de entrada ou de saída levando a uma diferente função de transferência para o mesmo circuito Diagramas esque máticos de circuitos são tipicamente lidos da esquerda para a direita então sempre que possível projetistas põem a entrada dos circuitos à esquerda do diagrama e os terminais de saída à direita O conceito de função de transferência é muito importante tanto em termos da análise de circuitos quanto em outras áreas da engenharia Há duas razões para isso Primeiramente uma vez que conheçamos a função de transferência de um circuito específico podemos facilmente encontrar a saída que resulta de qualquer entrada Tudo o que precisamos é multiplicar Hs pela grandeza de entrada e obter a transformada inversa da expressão resultante Em segundo lugar a forma da função de transferência contém muitas informações sobre o comportamento que podemos esperar de um dado circuito ou sistema Conforme mencionado na Aplicação do Capítulo 14 para avaliarse a estabilidade de um sistema é necessário determinar os polos e zeros da fun ção de transferência Hs em breve exploraremos essa questão em maior detalhe A Equação 7 pode ser escrita como Hs 1 RC s 1 RC 8 O módulo dessa função tende a zero quando s Logo dizemos que Hs tem um zero em s A função se aproxima do infinito em s 1 RC dizemos portanto que Hs tem um polo em s 1RC Essas frequên cias são chamadas de frequências críticas e sua identificação antecipada simplifica a construção das curvas de resposta que vamos desenvolver na Seção 157 155 CONVOLUÇÃO As técnicas no domínio s que desenvolvemos até este ponto são muito úteis na determinação das respostas de corrente e tensão de um circuito específi co Entretanto temos que lidar na prática com circuitos conectados a fontes arbitrárias e com isso precisamos de uma maneira eficiente de determinar a nova saída em cada instante de tempo Isso é facilmente realizado se puder mos caracterizar o circuito básico por meio de uma função de transferência chamada de função de sistema Ao calcular o módulo é comum considerarmos e como sendo a mesma frequência No entanto o ângulo de fase da resposta para valores muito grandes de ω positivos e negativos não precisa ser o mesmo υentt υsaídat a R C Vents Vsaídas b R sC 1 p FIGURA 1519 a Circuito resistorcapacitor simples com tensões de entrada e saída especificadas b Circuito equivalente no domínio s Seção 155 u Convolução 585 A análise pode ser feita tanto no domínio do tempo quanto no domínio da frequência embora seja geralmente mais útil trabalhar no domínio da frequência Em tais situações temos um processo simples de quatro passos 1 Determine a função de sistema do circuito se ela ainda não for conhecida 2 Obtenha a transformada de Laplace da função forçante a ser aplicada 3 Multiplique essa transformada e a função de sistema e finalmente 4 Realize uma operação de transformada inversa no produto para obter a saída Dessa forma algumas integrais relativamente complicadas se redu zem a simples funções de s e as operações matemáticas de integração e diferenciação são trocadas por operações algébricas mais simples como a multiplicação e a divisão A Resposta ao Impulso Considere uma rede elétrica linear N sem qualquer energia inicial armaze nada na qual uma função forçante xt é aplicada Em algum ponto nesse circuito uma função resposta yt está presente Mostramos isso no diagra ma de blocos na Figura 1520a juntamente com esboços de funções tempo rais genéricas Mostrase que a função forçante existe apenas no intervalo a t b Logo yt existe apenas para t a A questão que agora desejamos responder é esta Se soubermos a forma de xt então como yt será descrito Para responder a essa questão precisamos saber algo sobre N tal como a sua resposta quando a função forçante é um impulso unitário δ t Isto é estamos assumindo que conheçamos ht a função resposta resultante quando um impulso unitário é utilizado como função forçante em t 0 como mostra a Figura 1520b A função ht é comumente chamada de função resposta ao impulso unitário ou de resposta ao impulso Com base em nosso conhecimento sobre as transformadas de Laplace podemos ver tudo isso de uma perspectiva ligeiramente diferente Trans formando xt em Xs e yt em Ys definimos a função de transferência do sistema Hs como Hs K Ys Xs Se xt δ t então de acordo com a Tabela 141 Xs 1 Logo Hs Ys e então nesse caso ht yt Ao invés de aplicar o impulso unitário em t 0 vamos agora supor que ele seja aplicado em t λ lambda Com isso a saída se torna ht λ quando a entrada é δ t λ como mostra a Figura 1520c Em seguida suponhamos que a função impulso aplicada na entrada tenha uma amplitu de diferente da unidade Especificamente façamos a amplitude do impulso ser numericamente igual ao valor de xt quando t λ Este valor xλ é uma constante sabemos que a multiplicação de uma única função forçante Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 586 por uma constante em um circuito linear causa simplesmente uma mudança proporcional na resposta de saída Logo se a entrada é alterada para xλδ t λ então a resposta se torna xλht λ como mostra a Figura 1520d Vamos agora somar essa última entrada ao longo de todos os valores possíveis de λ e usar o resultado como uma função forçante para N A line aridade decreta que a saída deve ser igual à soma das respostas que resultam do uso de todos os valores possíveis de λ Informalmente podemos dizer que a integral da entrada produz a integral da saída conforme mostrado na Figura 1520e Mas qual é a entrada agora Dada a propriedade de penei ramento1 do impulso unitário vemos que a entrada é simplesmente xt a entrada original Logo a Figura 1520e pode ser representada como na Figura 1520f A Integral de Convolução Se a entrada de nosso sistema N é a função forçante xt sabemos que a saída deve ser a função yt desenhada na Figura 1520a Logo a partir da Figura 1520f concluímos que 1 A propriedade de peneiramento da função impulso descrita na Seção 144 diz que e f tδt t0 dt f t0 p FIGURA 1520 Desenvolvimento conceitual da integral de convolução N yt xt b a t a xt b a t yt N ht dt t b 1 xt dt t yt ht N c ht l dt l N d xl ht l xl dt l N e xl ht l dl xl dt l dl N f xl ht l dl yt xt Seção 155 u Convolução 587 yt xλht λ dλ 9 onde ht é a resposta ao impulso de N Essa importante relação é ampla mente conhecida como a integral de convolução Colocando em palavras essa última equação diz que a saída é igual à convolução da entrada com a resposta ao impulso Ela é freqüentemente abreviada como yt xt ht onde devese ler o asterisco como convolução A Equação 9 aparece às vezes de uma forma levemente diferente porém equivalente Se fizermos z t λ então dλ dz e a expressão para yt se torna yt xt zhz dz xt zhz dz e como o símbolo que usamos para a variável de integração não é impor tante podemos modificar a Equação 9 para escrever yt xt ht xzht z dz xt zhz dz 10 Convolução e Sistemas Realizáveis O resultado que temos na Equação 10 é bem geral ele é aplicável em qualquer sistema linear Entretanto estamos usualmente interessados em sistemas fisicamente realizáveis aqueles que existem ou podem existir e tais sistemas possuem uma propriedade que modifica ligeiramente a inte gral de convolução a resposta do sistema não pode começar antes que a função forçante seja aplicada Em particular ht é a resposta do sistema que resulta da aplicação de um impulso unitário em t 0 Portanto ht não pode existir em t 0 Daí segue que na segunda integral da Equação 10 o integrando é nulo quando z 0 na primeira integral o integrando é nulo quando t z é negativo ou quando z t Portanto os limites de integração presentes nas integrais de convolução são alterados em sistemas realizáveis yt xt ht t xzht z dz 0 xt zhz dz 11 As Equações 10 e 11 são igualmente válidas mas a última é mais específica quando falamos de sistemas lineares realizáveis e vale a pena memorizála Tenha cuidado para não confundir essa nova notação com a multiplicação Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 588 Método Gráfico da Convolução Antes de aprofundar a discussão a respeito do significado da resposta ao impulso de um circuito vamos considerar um exemplo numérico que nos dará um melhor entendimento sobre como avaliar a integral de convolução Embora essa expressão seja por si só simples a sua avaliação é às vezes problemática especialmente com relação aos valores usados como limites de integração Suponha que a entrada seja um pulso de tensão retangular que começa em t 0 dura 1 segundo e tem amplitude de 1 V xt vi t ut ut 1 Também suponha que esse pulso de tensão seja aplicado em um circuito cuja resposta ao impulso é dada por uma função exponencial da forma ht 2et ut Desejamos avaliar a tensão de saída vot e podemos escrever a resposta imediatamente na forma integral yt vot vit ht 0 vit zhz dz 0 ut z ut z 12e zuz dz A obtenção dessa expressão para vot é simples mas a presença de muitas funções degrau tende a tornar a sua avaliação confusa e até mesmo um pouco aborrecida Muito cuidado deve ser tomado na determinação das parcelas do intervalo de integração nas quais o integrando é nulo Vamos nos amparar em gráficos para entender o que diz a integral de convolução Começamos desenhando vários eixos z alinhados um sobre o outro conforme mostrado na Figura 1521 Conhecemos a forma de vit e por isso também sabemos a aparência de viz esta função está desenhada na Figura 1521a A função viz é simplesmente viz espelhada com relação a z ou girada em torno do eixo das ordenadas ela está mostrada na Figura 1521b Desejamos agora representar vit z que é viz deslocada à direita em uma quantidade z t como mostra a Figura 1521c O próximo eixo z na Figura 1521d mostra um gráfico com a resposta ao impulso hz 2ezuz O próximo passo é multiplicar as duas funções vit z e hz o resul tado para um valor arbitrário t 1 é mostrado na Figura 1521e Buscamos um valor para a saída vot que é dado pela área sob o produto das duas funções destacada na figura Primeiro consideramos t 0 Não há superposição entre vit z e hz e com isso vo 0 À medida que aumentamos t deslizamos o pulso mostrado na Figura 1521c para a direita levando à superposição com hz assim que t 0 A área sob a curva correspondente à Figura 1521e continua a crescer enquanto aumentamos o valor de t até alcançarmos t 1 A partir desse valor o crescimento de t leva à abertura de um espaço vazio entre z 0 e a borda do pulso como mostra a Figura 1521f Como resultado a superpo sição com hz passa a decrescer p FIGURA 1521 Conceitos gráficos envolvidos na avaliação de uma integral de convolução 1 1 z a υiz 1 1 z b υiz 1 t 1 t z υit z c 2 1 z d hz 2 1 1 2 3 z e υit zhz t Área υit z hz dz υot 0 t 1 t υit z 0 2 1 1 z f Seção 155 u Convolução 589 Em outras palavras para valores de t entre zero e um devemos integrar de z 0 a z t Para valores de t que excedem a unidade o intervalo de integração é t 1 z t Assim podemos escrever vot e 0 t 0 t 0 2e z dz 21 e t 0 t 1 t t 1 2e z dz 2e 1e t t 1 O gráfico dessa função versus a variável de tempo t está ilustrado na Figura 1522 o que completa a nossa solução u FIGURA 1522 A função de saída vo obtida por meio de uma convolução gráfica 2 1 t υot 1 0 2 3 Aplique uma função degrau unitário xt ut como entrada de um siste ma cuja resposta ao impulso é ht ut 2ut 1 ut 2 e determine a saída yt xt ht correspondente p FIGURA 1523 Esboços a do sinal de entrada xt ut e b da resposta ao impulso ht ut 2ut 1 ut 2 de um sistema linear 1 0 xt t a b 0 1 2 1 ht t 1 Nosso primeiro passo é traçar o gráfico de xt e ht como mostra a Figura 1523 Escolhemos arbitrariamente avaliar a primeira integral da Equação 11 yt t xzht z dz e preparamos uma seqüência de esboços que possam nos ajudar a selecionar os limites de integração corretos A Figura 1524 mostra estas funções na ordem a entrada xz em função de z a resposta ao impulso hz a curva hz que é simplesmente hz girada em torno do eixo vertical e ht z obtida deslocandose hz à direita em t unidades Para esse esboço selecio namos t no intervalo 0 t 1 u EXEMPLO 158 Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 590 p FIGURA 1524 a O sinal de entrada e b a resposta ao impulso apresentados graficamente em função de z c hz é obtida girandose hz em torno do eixo vertical e d ht z resulta do deslocamento de hz à direita em t unidades 1 0 xz z a 1 0 1 2 hz z b 1 1 0 1 2 hz z c 1 1 t 2 t 1 ht z z d 1 t Agora é fácil visualizar o produto do primeiro gráfico xz e do último ht z para os vários intervalos de t Quando t é menor que zero não há superposição e yt 0 t 0 No caso desenhado na Figura 1524d ht z apresenta uma superposição diferente de zero com xz de z 0 a z t e cada uma das funções tem valor unitário Logo yt t 0 1 1 dz t 0 t 1 Quando t está entre 1 e 2 ht z já se deslocou suficientemente para a direita para trazer para baixo da função degrau a parte negativa da onda quadrada que se estende de z 0 a z t 1 Temos então yt t 1 0 1 1 dz t t 1 1 1 dz z z t 1 z 0 z z t z t 1 Portanto yt t 1 t t 1 2 t 1 t 2 Finalmente quando t é maior que 2 ht z já se deslocou o suficiente para ficar inteiramente à direita de z 0 A interseção com o degrau unitário é completa e yt t 1 t 2 1 1 dz t t 1 1 1 dz z z t 1 z t 2 z z t z t 1 ou yt t 1 t 2 t t 1 0 t 2 Esses quatro segmentos de yt são mostrados como uma curva contínua na Figura 1525 1 0 1 2 yt t p FIGURA 1525 O resultado da convolução de xt e ht mostrados na Figura 1523 Seção 155 u Convolução 591 u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 158 Repita o exemplo 158 usando a segunda integral da Equação 11 159 A resposta ao impulso de uma rede é dada por ht 5ut 1 Se for aplicado um sinal de entrada xt 2ut ut 3 determine a saída yt em t igual a a 05 b 05 c 25 d 35 Resposta 159 0 0 15 25 A Convolução e a Transformada de Laplace A convolução tem aplicações em uma ampla variedade de disciplinas além da análise de circuitos lineares incluindo o processamento de sinais as telecomunicações e a teoria de transportes em semicondutores Portanto é freqüentemente útil possuir uma intuição gráfica do processo básico mesmo que as expressões integrais das Equações 10 e 11 nem sempre sejam o melhor caminho para a solução Uma alternativa muito poderosa é fazer uso das propriedades da transformada de Laplace daí a nossa intro dução à convolução neste capítulo Vamos assumir que F1s e F2s sejam as transformadas de Laplace de f1t e f2t respectivamente e consideremos a transformada de Laplace de f1t f2t f1t f2t f1λ f2t λ dλ Uma dessas funções temporais é tipicamente a função forçante que se aplica nos terminais de entrada de um circuito linear e a outra é a resposta ao impulso unitário do circuito Como agora estamos lidando com funções temporais que não existem antes de t 0 a definição da transformada de Laplace nos força a assumir isso o limite inferior da integração pode ser mudado para 0 Então usan do a definição da transformada de Laplace obtemos f1t f2t 0 e st 0 f1λ f2t λ dλ dt Como est não depende de λ podemos mover esse fator para dentro da integral interna Se fizermos isso e também invertermos a ordem da inte gração o resultado é f1t f2t 0 0 e st f1λ f2t λ dt dλ Continuando com o mesmo tipo de artimanha notamos que f1λ não depende de t e assim esse termo pode ser tirado da integral de dentro f1t f2t 0 f1λ 0 e st f2t λ dt dλ Fazemos então a substituição x t λ na integral entre colchetes onde podemos tratar λ como uma constante Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 592 f1t f2t 0 f1λ λ e sx λ f2x dx dλ 0 f1λe sλ λ e sx f2x dx dλ 0 f1λe sλF2s dλ F2s 0 f1λe sλdλ Como a integral remanescente é simplesmente F1s vemos que f1t f2t F1s F2s 12 Dizendo de forma ligeiramente diferente podemos concluir que a transformada inversa do produto de duas transformadas é a convolução das transformadas inversas individuais um resultado que às vezes é útil na obtenção de transformadas inversas Obtenha υt aplicando técnicas de convolução sabendo que Vs 1s αs β Obtivemos a transformada inversa dessa função na Seção 145 usando uma expansão em frações parciais Agora identificamos Vs como o produto de duas transformadas V1s 1 s α e V2s 1 s β onde v1t eαt ut e v2t eβt ut A tensão υt pode ser imediatamente expressa como υt 1V1sV2s v1t υ2t 0 υ1λυ2t λ dλ 0 e αλuλe βt λut λ dλ t 0 e αλe βteβλ dλ e βt t 0 eβ αλ dλ e βt eβ αt 1 β α ut ou de forma mais compacta υt 1 β αe αt e βtut u EXEMPLO 159 Foi mais fácil obter o resultado usando esse método Não a menos que estejamos apaixonados pelas integrais de convolução O método da expansão em frações parciais é usualmente mais simples assumindose que a expansão em si não seja problemática Entretanto a operação da convolução é mais fácil de se realizar no domínio s por requerer apenas uma multiplicação Seção 155 u Convolução 593 que é o mesmo resultado que obtivemos anteriormente utilizando uma expansão em frações parciais Note que é necessário inserir o degrau ut no resultado porque todas as transformadas de Laplace unilaterais são válidas apenas para tempos não negativos u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1510 Repita o Exemplo 158 realizando a convolução no domínio s Comentários Adicionais a Respeito das Funções de Transferência Como já havíamos dito várias vezes anteriormente a saída vot em algum ponto de um circuito linear pode ser obtida por meio da convolução da entrada vit com a resposta ao impulso unitário ht Entretanto devemos lembrar que a resposta ao impulso resulta da aplicação de um impulso uni tário em t 0 com todas as condições iniciais nulas Nessas condições a transformada de Laplace de vot é lvot Vos lvi t ht Vi slht Logo a razão VosVis é igual à transformada da resposta ao impulso que denotamos como Hs ht Hs Vos Vis 13 A partir da Equação 13 vemos que a resposta ao impulso e a função de transferência formam um par de transformadas de Laplace ht 3 Hs Esse é um fato importante que exploramos em maior detalhe na Seção 157 após termos nos familiarizado com o conceito de gráficos de polos e zeros e com o plano das frequências complexas Neste ponto contudo já estamos prontos para explorar esse novo conceito de convolução na análise de circuitos Determine a resposta ao impulso do circuito na Figura 1526a e use isso para computar a resposta forçada vot se ventt 6etut V p FIGURA 1526 a Circuito simples no qual se aplica uma entrada exponencial em t 0 b Circuito usado para determinar ht υent υo a 1 V b 2 V 500 mF υo 1 V 2 V 500 mF dt u EXEMPLO 1510 Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 594 Primeiro conectamos um impulso de tensão δ t V no circuito como mostra a Figura 1526b Embora possamos trabalhar no domínio do tempo com ht ou no domínio s com Hs escolhemos o último assim consideramos a repre sentação da Figura 1526b no domínio s conforme mostrado na Figura 1527 A resposta ao impulso Hs é dada por Hs Vo 1 então nosso objetivo imediato é obter Vo uma tarefa facilmente realizada com uma simples divisão de tensão Vo vent t 2 2 s 2 s s 1 Hs Podemos agora obter vot quando vent 6etut usando uma convolução pois vent l1Vents Hs Como Vents 6s 1 Vo 6s s 12 6 s 1 6 s 12 Aplicando a transformada inversa de Laplace obtemos vot 6et 1 tut V u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1511 Referindose ao circuito da Figura 1526a use a convolução para obter vot se vent tut V Resposta vot 1 etut V 156 O PLANO DAS FREQUÊNCIAS COMPLEXAS Como foi evidenciado nos últimos exemplos mesmo os circuitos com um número relativamente pequeno de elementos permitir a manipulação de expressões relativamente difíceis no domínio s Em tais casos uma representação gráfica de uma resposta do circuito particular ou a função de transferência pode fornecer informações úteis Nesta seção apresentamos uma dessas técnicas com base na ideia de plano de frequência complexa Figura 1528 A frequência complexa tem duas componentes σ e ω de modo que são naturalmente desenhadas para representar nossas funções usando um modelo tridimensional Como ω representa uma função de oscilação não existe uma distinção física entre uma frequência positiva e negativa No caso de σ no entanto o qual pode ser identificado com um termo exponencial os valores positivos aumentam em módulo enquanto que os valores negativos diminuem o módulo A origem do plano s corresponde a CC sem variação no tempo Uma síntese ilustrativa destas ideias é apresentada na Figura 1529 Para construir uma representação tridimensional apropriada de uma dada função Fs podemos considerar primeiramente seu módulo embora p FIGURA 1528 O plano das frequências complexas ou plano s jv plano s s p FIGURA 1527 Circuito usado para obter Hs Vo 1 V 2 V 1 V 2 V s Seção 156 u O plano das frequências complexas 595 a fase terá uma forte dependência da frequência complexa e possa ser representada de modo semelhante Assim vamos começar substituindo σ jω por s em nossa função Fs determinando em seguida uma expressão para Fs Na sequência desenharemos um eixo perpendicular ao plano s o qual será utilizado para obter Fs para cada valor de σ e ω O processo básico é ilustrado no exemplo seguinte Esboce a admitância da combinação série de um indutor de 1 H e um resistor de 3 Ω em função de jω e σ A admitância desses dois elementos conectados em série é dada por Ys 1 s 3 Substituindo s σ jω obtemos o módulo da função Ys 1 σ 32 ω2 Quando s 3 j0 o módulo da resposta é infinito quando a frequência s é infinita o módulo de Ys é nulo Com isso nosso modelo deve ter uma altura infinita sobre o ponto 3 j0 e altura nula em todos os pontos infi nitamente distantes da origem Uma vista de tal modelo está mostrada na Figura 1530a u EXEMPLO 1511 t FIGURA 1529 Uma ilustração do significado físico de valores positivos e negativos para σ e ω como seria representada no plano das frequências complexas Quando ω 0 nenhuma função terá componente oscilatório quando σ 0 a função é puramente senoidal exceto quando ω também é zero jv s t t t t t t t t t Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 596 s jv a Y 3 Y b v Y c s 3 p FIGURA 1530 a Vista de um modelo de argila cuja superfície superior representa Ys para a combinação série de um indutor de 1 H e um resistor de 3 Ω b Ys em função de ω c Ys em função de σ Uma vez construído o modelo fica fácil visualizar a variação de Y em função de ω com σ 0 fazendose um corte com um plano perpendicular contendo o eixo jω O modelo mostrado na Figura 1530a foi cortado ao longo desse plano e podese ver o gráfico de Y versus ω desejado a curva também é desenhada na Figura 1530b De forma similar um plano vertical contendo o eixo σ nos permite obter Y versus σ com ω 0 como mostra a Figura 1530c u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1512 Esboce o módulo da impedância Zs 2 5s em função de σ e jω Resposta Veja Figura 1531 Constelações de Polos e Zeros Essa abordagem funciona bem para funções relativamente simples mas em geral é necessário um método mais prático Vamos visualizar o plano s novamente como se fosse o chão e então imaginar uma grande folha elástica colocada sobre ele Fixamos agora a nossa atenção em todos os polos e zeros da resposta Em cada zero a resposta é zero a altura da folha deve ser zero e com isso pregamos a folha no chão com uma tachinha No valor de s correspondente a cada polo podemos elevar a folha usando uma haste vertical Zeros e polos no infinito devem ser respectivamente tratados usandose uma argola circular com raio bastante grande ou com uma cerca circular com altura elevada Se tivermos usado uma folha infinitamente p FIGURA 1531 Solução para o Exercício de Fixação 1512 gerada com o seguinte código EDU sigma linspace101021 EDU omega linspace101021 EDU X Y meshgridsigmaomega EDU Z abs2 5X j5Y EDU colormaphsv EDU s 5 3 8 EDU surflXYZs EDU view205 Seção 156 u O plano das frequências complexas 597 grande sem peso e perfeitamente elástica pregada com tachinhas muito pequenas e elevada com hastes verticais com comprimento infinitamente longo e raio nulo então a folha elástica assume uma altura que é exatamen te proporcional ao módulo da resposta Esses comentários podem ser ilustrados com a consideração da configu ração de polos e zeros às vezes chamada de constelação de polos e zeros que localiza todas as frequências críticas de uma grandeza no domínio da frequência por exemplo uma impedância Zs Um exemplo de constelação de polos e zeros é mostrado na Figura 1532a para uma dada impedância em tal diagrama os polos são marcados com cruzes e os zeros com círculos Se imaginarmos uma folha elástica pregada no chão em s 2 j0 e elevada em s 1 j5 e s 1 j5 devemos ver um terreno cujas características principais são duas montanhas e uma cratera ou depressão cônica A parte do modelo referente à porção superior do SPE está mostrada na Figura 1532b jv plano s 2 s 1 j5 1 j5 a jv 1 j5 Zjv Zs s b p FIGURA 1532 a Constelação de polos e zeros de uma impedância Zs b Porção do modelo de folha elástica para o módulo de Zs Vamos agora construir a expressão de Zs que leva a essa configuração de polos e zeros O zero requer um fator s 2 no numerador e os dois polos requerem os fatores s 1 j5 e s 1 j5 no denominador Exceto por uma constante multiplicadora k conhecemos agora a forma de Zs Zs k s 2 s 1 j5s 1 j5 ou Zs k s 2 s2 2s 26 14 Para determinar k precisamos de um valor de Zs em algum s que não seja uma frequência crítica Para essa função vamos supor que nos tenham dito que Z0 1 Por substituição direta na Equação 14 vemos que k 13 e portanto Zs 13 s 2 s2 2s 26 15 Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 598 Os gráficos de Zσ versus σ e Zjω versus ω podem ser obtidos de forma exata a partir da Equação 15 mas a forma geral da função fica clara a partir da configuração de polos e zeros e da analogia com a folha elástica Partes dessas duas curvas aparecem nos lados do modelo mostrado na Figura 1532b u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1513 A combinação em paralelo de 025 mH e 5 Ω está em série com a combinação em paralelo de 40 µF e 5 Ω a Obtenha Zents a impe dância de entrada da combinação série b Especifique todos os zeros de Zents c Especifique todos os polos de Zents d Desenhe a configuração de polos e zeros Resposta 5s2 10000s 108s2 25000s 108 Ω 5 j866 krads 5 20 krads 157 A RESPOSTA NATURAL E O PLANO s No começo deste capítulo vimos como a utilização da transformada de Laplace no domínio da frequência pode nos ajudar a considerar uma ampla gama de circuitos variáveis no tempo trabalhandose algebricamente ao invés de se lidar com equações integrodiferenciais Essa abordagem é muito poderosa mas sofre por não ser um processo muito visual Em con traste há uma tremenda quantidade de informações contidas no gráfico de polos e zeros de uma resposta forçada Nesta seção vemos como tais gráficos podem ser usados para se obter a resposta completa de um circui to resposta natural mais forçada desde que as condições iniciais sejam conhecidas A vantagem de tal abordagem é uma ligação mais intuitiva entre a localização das frequências críticas facilmente visualizada por meio de um gráfico de polos e zeros e a resposta desejada Vamos apresentar o método considerando o exemplo mais simples um circuito RL série como o mostrado na Figura 1533 Uma fonte de tensão vst geral força a circulação da corrente it após o fechamento da chave em t 0 A resposta completa de it em t 0 é composta por uma resposta natural e uma resposta forçada it int if t Podemos obter a resposta forçada trabalhando no domínio da frequên cia assumindo naturalmente que vst tenha uma forma funcional que pos samos transformar para o domínio da frequência se vst 11 t2 por exemplo devemos seguir da melhor forma que pudermos a partir da equa ção diferencial básica do circuito Para o circuito da Figura 1533 temos If s Vs R sL ou If s 1 L Vs s R L 16 it υst L R t 0 p FIGURA 1533 Exemplo que ilustra a determinação da resposta completa a partir do conhecimento das frequências críticas da impedância vista pela fonte 599 Seção 157 u A resposta natural e o plano s Vamos considerar agora a resposta natural Com base em nossa expe riência anterior sabemos que a sua forma será uma exponencial decres cente com uma constante de tempo LR mas vamos fingir que a estejamos obtendo pela primeira vez A forma da resposta natural sem fontes é por definição independente da função forçante a função forçante contribui apenas para a magnitude da resposta natural Para obter uma forma apro priada matamos todas as fontes independentes aqui vst é trocada por um curtocircuito Em seguida tentamos obter a resposta natural como o caso limite da resposta forçada Voltando à expressão no domínio da frequência da Equação 16 obedientemente fazemos Vs 0 Analisando rapidamente parece que Is também deve ser zero mas isso não é necessariamente ver dade se estivermos trabalhando em uma frequência complexa que seja um polo simples de Is Isto é o denominador e o numerador devem ser iguais a zero simultaneamente para que Is seja diferente de zero Vamos inspecionar essa nova ideia de um ponto de vista ligeiramente diferente Fixemos nossa atenção na relação entre a resposta forçada deseja da e a função forçante Chamemos essa relação de Hs e a definamos como sendo a função de transferência do circuito Então If s Vs Hs 1 Ls R L Neste exemplo a função de transferência é a admitância de entrada vista por Vs Procuramos a resposta natural sem fontes fazendo Vs 0 Entre tanto If s VsHs e se Vs 0 um valor de corrente diferente de zero só pode ser obtido graças à ação de um polo de Hs Os polos da função de transferência assumem portanto um significado especial Neste exemplo particular vemos que o polo da função de transferência ocorre em s RL j0 como mostrado na Figura 1534 Se escolhermos trabalhar nesta frequência complexa específica a única corrente finita que poderíamos obter deve ser uma constante no domínio s isto é independen te da frequência Obtemos com isso a resposta natural I s R L j0 A onde A é uma constante desconhecida A seguir desejamos transformar essa resposta natural para o domínio do tempo Nossa reação imediata seria tentar aplicar técnicas da transformada inversa de Laplace nesta situação Contudo já especificamos um valor para s de forma que tal abordagem não é válida Ao invés disso olhamos para a parte real de nossa função geral est tal que int ReAest ReAeRtL Neste caso obtemos int AeRtL de forma que a resposta total seja então it AeRtL if t e A pode ser determinada uma vez que as condições iniciais forem espe cificadas para esse circuito A resposta forçada ift é obtida a partir da transformada inversa de Laplace de Ifs O que significa trabalhar em uma frequência complexa Como seria possível fazer isso em um laboratório de verdade Para começo de conversa é importante lembrar como inventamos a frequência complexa ela é uma forma de descrever uma função senoidal na frequência ω multiplicada por uma função exponencial eσt Sinais como esses são facilmente gerados por equipamentos reais isto é não imaginários Com isso só precisamos determinar os valores de σ e ω para que possamos trabalhar em s σ jω RL jv s p FIGURA 1534 Constelação de polos e zeros da função de transferência Hs mostrando o polo único em s RL Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 600 Uma Perspectiva mais Geral As Figuras 1535a e b mostram fontes conectadas a redes que não contêm nenhuma outra fonte independente A resposta desejada que poderia ser alguma corrente I1s ou tensão V2s pode ser expressa por meio de uma função de transferência que mostre todas as frequências críticas Sendo mais específicos selecionamos a resposta V2s na Figura 1535a V2s Vs Hs k s s1s s3 s s2s s4 17 Os polos de Hs ocorrem em s s2 s4 e com isso uma tensão finita V2s em cada uma dessas frequências pode ser uma possível forma funcional para a resposta natural Com isso pensamos em uma fonte de tensão com zero volts que é justamente um curtocircuito aplicada nos terminais de entrada a resposta natural que ocorre quando os terminais de entrada estiverem em curtocircuito deve portanto ter a forma v2nt A2es2t A4es4t onde cada A deve ser avaliado em termos das condições iniciais incluindo o valor inicial de qualquer fonte de tensão aplicada nos terminais de entrada Para obter a forma da resposta natural i1nt na Figura 1535a devemos determinar os polos da função de transferência Hs I1sVs As funções de transferência que se aplicam às situações mostradas na Figura 1535b seriam I1sIs e V2sIs e seus polos determinam então as respostas natu rais i1nt e v2nt respectivamente Se a resposta natural de uma rede que não contém nenhuma fonte inde pendente for desejada então uma fonte Vs ou Is pode ser inserida em qual quer ponto conveniente com a única restrição de que a rede original seja obtida com a desativação da fonte A função de transferência correspondente é então determinada e seus polos especificam as frequências naturais Note que as mesmas frequências devem ser obtidas para qualquer uma das muitas localizações possíveis para a fonte Se a rede já contiver uma fonte essa fonte pode ser desativada e outra fonte inserida em um ponto mais conveniente Um Caso Especial Antes de ilustrar esse método com um exemplo é necessário que conheça mos um caso especial que pode vir a aparecer Ele ocorre quando a rede da Figura 1535a ou b contém duas ou mais partes isoladas entre si Por exem plo poderíamos ter a combinação em paralelo de três redes R1 em série com C R2 em série com L e um curtocircuito Claramente uma fonte de tensão em série com R1 e C não pode produzir qualquer corrente em R2 e L a função de transferência seria zero Para obter a forma da resposta natural da tensão no indutor por exemplo a fonte de tensão deve ser instalada na rede R2L Um caso desse tipo pode ser muitas vezes reconhecido com a inspeção da rede antes da instalação da fonte mas se não for então uma função de trans ferência igual a zero será obtida Quando Hs 0 não obtemos qualquer informação sobre as frequências que caracterizam a resposta natural e um posicionamento mais adequado para a fonte deve ser usado p FIGURA 1535 Os polos de uma resposta I1s ou V2s produzida por a uma fonte de tensão Vs ou b uma fonte de corrente Is Os polos determinam a forma da resposta natural i1nt ou v2nt que ocorre quando a fonte Vs é substituída por um curtocircuito ou quando a fonte Is é substituída por um circuito aberto e alguma energia inicial se encontra disponível V2s I1s Vs Rede sem fontes independentes a V2s I1s Is Rede sem fontes independentes b V2s I1s Vs Rede sem fontes independentes a V2s I1s Is Rede sem fontes independentes b 601 Para o circuito sem fontes da Figura 1536 determine expressões para i1 e i2 em t 0 dadas as condições iniciais i10 i20 11 A Vamos instalar uma fonte de tensão Vs entre os pontos x e y e obter a função de transferência Hs I1sVs que por acaso é a admitância de entrada vista pela fonte de tensão Temos I1s Vs 2s 1 6s 3s 2 3s 2Vs 6s2 13s 2 ou Hs I1s Vs 1 2 s 2 3 s 2 s 1 6 De nossa experiência recente sabemos só de olhar para essa equação que i1 deve ter a forma i1t Ae2t Bet6 A solução é finalizada com o uso das condições iniciais fornecidas estabele cendose então os valores de A e B Como i10 é igual a 11 A 11 A B A equação adicional necessária é obtida com a aplicação da LKT no períme tro de nosso circuito 1i1 2 di1 dt 2i2 0 Resolvendo a derivada di1 dt t 0 1 22i20 1i10 22 11 2 2A 1 6 B Logo A 9 e B 3 e a solução desejada é i1t 8e2t 3et6 A As frequências naturais que constituem i2 são as mesmas de i1 e o uso de um procedimento similar para avaliar as constantes arbitrárias leva a i2t 12e2t et6 A u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1514 Se uma fonte de corrente i1t ut A está presente entre a e b na Figura 1537 com a seta entrando em a obtenha Hs VcdI1 e espe cifique as frequências naturais presentes em vcdt Resposta 120ss 20000 Ω 20000 s1 O processo que devemos seguir para avaliar a amplitude dos coefi cientes da resposta natural é bastante detalhado exceto nos casos em que os valores iniciais da resposta desejada e de suas derivadas sejam óbvios Entretanto não devemos perder de vista a facilidade e a rapidez com as quais a forma da resposta natural pode ser obtida u EXEMPLO 1512 i1 i2 x y 2 H 3 H 1 V 2 V p FIGURA 1536 Circuito para o qual desejase obter as respostas naturais i1 e i2 a b c d 300 V 200 V 01 mF p FIGURA 1537 Seção 157 u A resposta natural e o plano s APLICAÇÃO PROJETO DE CIRCUITOS OSCILADORES Em muitos pontos ao longo deste livro investigamos o comportamento de vários circuitos respondendo a uma excitação senoidal A criação de formas de onda senoi dais no entanto é um tópico interessante por si só É fácil gerar tensões e correntes senoidais com valores elevados usando ímãs e bobinas de fios rotativas por exemplo mas tal abordagem não é tão fácil de se implementar quando estamos interessados na geração de pequenos sinais Aplicações em baixas correntes usam tipicamente o que é conhecido como um oscilador que explora o conceito de realimentação positiva usando um circuito amplificador apropriado Circuitos osciladores integram muitos pro dutos como por exemplo o receptor de um GPS Global Positioning Satellite ilustrado na Figura 1538 p FIGURA 1538 Muitos produtos eletrônicos como esse receptor de GPS usam circuitos osciladores para obter uma frequência de referência Nick KoudisPhotodiscGetty ImagesRF Um circuito oscilador simples porém útil é conhecido como oscilador ponte de Wien mostrado na Figura 1539 O circuito se assemelha a um circuito AOP não inversor com um resistor R1 conectado entre o terminal da entrada inversora e o terra e um resistor Rf conectado entre a saída e o terminal da entrada inversora O resistor Rf fornece o que é chamado de caminho de realimenta ção negativa já que ele conecta a saída do amplificador à entrada inversora Qualquer aumento ΔVo na saída do amplificador leva então a uma redução na entrada que por sua vez leva a uma saída menor esse processo aumenta a estabilidade da tensão de saída Vo O ganho do AOP definido como a razão VoVi é determinado a partir dos valores relativos de R1 e Rf R1 Vi R R 1sC 1sC Vo Rf p FIGURA 1539 Circuito oscilador ponte de Wien A malha de realimentação positiva consiste em duas combinações resistorcapacitor separadas definidas como Zs R 1sC e Zp R1sC Os valores que escolhe mos para R e C nos permitem projetar um oscilador com uma frequência específica as capacitâncias internas do AOP limitam a frequência máxima que pode ser obtida Para determinar a relação entre R C e a frequência de oscilação procuramos uma expressão para o ganho do amplificador VoVi Lembrando as regras dos AOPs ideais discutidas no Cap 6 e examinando de perto o circuito da Figura 1539 reconhecemos que Zp e Zs formam um divisor de tensão tal que Vi Vo Zp Zp Zs 18 Simplificando as expressões para Zp R1sC R1 sRC e Zs R 1sC 1 sRCsC obtemos Vi Vo R 1 sRC 1 sRC sC R 1 sRC sRC 1 3sRC s2R2C2 19 Como estamos interessados na operação do amplifica dor em regime permanente senoidal trocamos s por jω de forma que Vi Vo jωRC 1 3 jωRC jω2R2C2 jωRC 1 ω2R2C2 3 jωRC 20 Essa expressão para o ganho é real apenas quando ω 1RC Logo selecionando valores para R e C podemos projetar um amplificador para operar na frequência parti cular f ω2π 12πRC Como um exemplo vamos projetar um oscilador ponte de Wien para gerar um sinal senoidal na frequência de 20 Hz que corresponde ao limite inferior comumente aceito para as frequências de áudio Requeremos uma frequência ω 2πf 62820 1256 rads Com a especificação do valor de R conhecese o valor de C necessário e viceversa Assumindo que por acaso tenhamos uma capacitor de 1 µF em mãos precisamos portanto de uma resistência R 7962 Ω Como esse não é um valor padrão para resistores teremos que usar vários resistores em série ou em paralelo para obter o valor necessário Voltando à Figura 1539 no entanto visando preparar a simulação do circuito usando o PSpice notamos que ainda não especifi camos valores para Rf e R1 Embora a Equação 18 especifique corretamente a relação entre Vo e Vi podemos escrever uma outra equa ção relacionando essas grandezas 0 Vi R1 Vi Vo Rf que pode ser rearranjada para que obtenhamos Vo Vi 1 Rf R1 21 Fazendo ω 1RC na Equação 20 temos Vi Vo 1 3 Portanto precisamos selecionar valores de R1 e Rf tais que Rf R1 2 Infelizmente se realizarmos no PSpice uma análise transitória do circuito escolhendo Rf 2 kΩ e R1 1 kΩ por exemplo ficaremos desapontados com o resultado Para assegurar que o circuito seja de fato instável uma condição necessária para que as oscilações comecem é preciso ter Rf R1 ligeiramente maior do que 2 A saída simulada de nosso projeto final R 7962 Ω C 1 µF Rf 201 kΩ e R1 1 kΩ está mostrada na Figura 1540 Note que a magnitude das oscilações está crescendo no gráfico na prática elementos de circuito não lineares são necessários para que se estabilize o valor da tensão gerada pelo circuito oscilador p FIGURA 1540 Saída simulada de um oscilador ponte de Wien projetado para operar em 20 Hz 158 UMA TÉCNICA PARA SINTETIZAR A RAZÃO Hs VsaídaVent Muitas das discussões deste capítulo têm sido relacionadas aos polos e zeros de uma função de transferência Já os localizamos no plano das frequ ências complexas usamolos para expressar funções de transferência como razões de polinômios em s calculamos respostas forçadas a partir deles e na Seção 157 usamos polos para estabelecer a forma da resposta natural Vamos ver agora como podemos determinar uma rede que forneça uma função de transferência desejada Consideramos apenas uma pequena parte do problema geral trabalhando com uma função de transferência na forma Hs VsaídasVents conforme indicado na Figura 1541 Por simplicidade Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 604 restringimos Hs a frequências críticas no eixo σ negativo incluindo a ori gem Com isso vamos considerar funções de transferência como H1s 10s 2 s 5 ou H2s 5s s 82 ou H3s 01ss 2 Comecemos determinando o ganho de tensão da rede da Figura 1542 que contém um AOP ideal A tensão entre os dois terminais de entrada do AOP é essencialmente nula e a sua impedância de entrada é essencialmente infinita Podemos portanto igualar a zero a soma das correntes que entram no terminal da entrada inversora Vent Z1 Vsaída Zf 0 ou Vsaída Vent Zf Z1 Se Zf e Z1 forem resistências o circuito atua como um amplificador inversor ou possivelmente como um atenuador se a razão for menor que a unidade Nosso interesse atual contudo está nos casos em que uma dessas impedâncias é uma resistência e a outra é uma rede RC Na Figura 1543a fazemos Z1 R1 enquanto Zf é a combinação em paralelo de Rf e Cf Portanto Zf Rf sCf Rf 1 sCf Rf 1 sCf Rf 1 Cf s 1 Rf Cf e Hs Vsaída Vent Zf Z1 1 R1Cf s 1 Rf Cf Temos uma função de transferência com uma única frequência crítica finita um polo em s 1RfCf Seguindo para a Figura 1543b assumimos agora uma impedância Zf resistiva e representamos Z1 como uma rede RC paralela Z1 1 C1 s 1 R1C1 e Hs Vsaída Vent Zf Z1 Rf C1 s 1 R1C1 A única frequência crítica é um zero em s 1R1C1 Vsaída Rede Vent p FIGURA 1541 Dada Hs VsaídaVent procuramos uma rede com uma função de transferência Hs especificada Vent Vsaída R1 a Rf Cf Vent Vsaída b R1 C1 Rf p FIGURA 1543 a A função de transferência Hs VsaídaVent tem um polo em s 1RfCf b Aqui há um zero em s 1R1C1 Vent Vsaída Z1 Zf p FIGURA 1542 Em um AOP ideal Hs Vsaída Vent Zf Z1 605 Seção 158 u Uma técnica para sintetizar a razão Hs VsaídaVent Em nossos AOPs ideais a impedância de saída ou de Thévenin é nula e portanto Vsaída e VsaídaVent não são funções de nenhuma carga ZL que possa ser colocada entre os terminais de saída Isso também inclui a entrada de outro AOP e podemos portanto conectar circuitos possuindo polos e zeros localizados em pontos específicos em cascata onde a saída de um AOP é diretamente conectada à entrada do próximo gerando com isso qualquer função de transferência desejada Sintetize um circuito que leve à função de transferência Hs VsaídaVent 10s 2s 5 O polo em s 5 pode ser obtido por uma rede na forma da Figura 1543a Chamandoa de rede A temos 1RfACfA 5 Arbitrariamente selecionamos RfA 100 kΩ portanto CfA 2 µF Para esta parte do circuito completo HAs 1 R1ACfA s 1 RfACfA 5 105 R1A s 5 Em seguida consideramos o zero em s 2 Da Figura 1543b 1R1BC1B 2 e com R1B 100 kΩ temos C1B 5 µF Assim HBs RfBC1B s 1 R1BC1B 5 10 6RfBs 2 e Hs HAsHBs 25 RfB R1A s 2 s 5 Completamos o projeto fazendo RfB 100 kΩ e R1A 25 kΩ O resultado é mostrado na Figura 1544 Os capacitores neste circuito são razoavelmente grandes mas isso é conseqüência direta das baixas frequências selecionadas para o polo e o zero de Hs Se Hs fosse mudado para 10s 2000s 5000 poderíamos usar os valores de 2 e 5 nF Vent 25 kV 100 kV 2 mF Vsaída 100 kV 5 mF 100 kV p FIGURA 1544 Essa rede contém dois AOPs ideais e fornece a função de transferência de tensão Hs VsaídaVent 10s 2s 5 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1515 Especifique valores de elementos adequados para Z1 e Zf em cada um de três estágios em cascata para realizar a função de transferência Hs 20s2s 1000 Resposta 1 µF 1 MΩ 1 µF 1 MΩ 100 kΩ 10 nF 5 MΩ u EXEMPLO 1513 Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 606 RESUMO E REVISÃO Depois de conhecer o conceito de frequência complexa no Capítulo 14 aplicamos esse conceito na análise de circuitos neste capítulo O primeiro tema foi impedância talvez familiar para aqueles que já leram o Capítulo 10 O conceito de impedância ou admitância permitenos construir dire tamente as equações no domínio s que descrevem tensões nodais correntes de malha etc sem que seja necessário aplicar transformada de Laplace a cada termo individual de uma equação integrodiferencial Surpreendente mente descobrimos que a impedância de indutores e capacitores inclui a condição inicial desses elementos Desse ponto em diante aplicamse todas as nossas familiares técnicas de análise de circuitos A única dificuldade encontrada está na fatoração dos polinômios de ordem superior a fim de realizar a transformada inversa Introduzimos também a noção de uma função de transferência do sistema que permite que a entrada de uma rede seja mudada com facilidade permitindo que uma nova saída seja prevista Assim trabalhar no domínio s tornouse muito simples e vimos que convolução de duas funções no domínio do tempo é facilmente realizada através da multiplicação de seus termos equivalentes no domínio s O terceiro grande tema do capítulo foi o plano das frequências comple xas que nos permite criar uma representação gráfica de qualquer expressão no domínio s Em particular ele fornece um meio para pronta identificação de polos e zeros Como as fontes ligadas a um circuito apenas determinam o módulo da resposta transitória e não a forma da resposta transitória em si descobrimos que a análise no domínio s pode revelar detalhes sobre a resposta natural bem como a resposta forçada de uma rede Concluímos o capítulo com uma descrição sobre como amplificadores operacionais podem ser utilizados para sintetizar uma função de transferência desejada colocando os polos e zeros onde eles são necessários por meio de estágios em cascata Este tópico será revisitado em futuros estudos de análise de sinais e o conceito de convolução em particular é aplicável a uma ampla gama de casos Nesta fase no entanto talvez devemos fazer uma pausa de modo a per mitir que o leitor se concentre em questões chave e identifique exemplos relevantes para iniciar a revisão do que foi discutido f Resistores podem ser representados no domínio da frequência por uma impedância de mesmo valor Exemplo 151 f Indutores podem ser representados no domínio da frequência por uma impedância sL Se a corrente inicial for diferente de zero então a impe dância deve ser colocada em série com uma fonte de tensão Li0 ou em paralelo com uma fonte de corrente i0s Exemplo 151 f Capacitores podem ser representados no domínio da frequência por uma impedância 1sC Se a tensão inicial for diferente de zero então a impedância deve ser colocada em série com uma fonte de tensão υ0s ou em paralelo com uma fonte de corrente Cυ0 Exemplo 152 f As análises nodal e de malha no domínio s levam a equações simultâneas em termos de polinômios em s O MATLAB é uma Esses modelos estão resumidos na Tabela 151 Exercícios 607 ferramenta particularmente útil para resolver tais sistemas de equa ções Exemplos 153 154 155 f Superposição transformação de fontes e os teoremas de Thévenin e Norton podem ser aplicados no domínio s Exemplos 156 157 f A função de transferência Hs de um circuito é definida como a relação entre a saída e a entrada no domínio s Qualquer uma dessas grandezas pode ser uma tensão ou uma corrente Exemplo 158 f Os zeros de Hs são os valores que resultam em um módulo nulo Os polos de Hs são os valores que resultam em um módulo infinito f A convolução fornece meios analíticos e gráficos para a determi nação da saída de um circuito a partir de sua resposta ao impulso Exemplos 158 159 1510 f Há muitas abordagens gráficas que permitem a representação de expressões no domínio s em termos de polos e zeros Tais gráficos podem ser usados na síntese de circuitos para se obter uma resposta desejada Exemplo 1511 f Um circuito sem fontes pode ser analisado usando técnicas no domí nio s para determinar a sua resposta transitória f O Amplificador operacional de estágio único pode ser usado para sin tetizar as funções de transferência tendo um zero ou um polo Funções mais complexas podem ser sintetizados por vários estágios em cascata LEITURA COMPLEMENTAR Mais detalhes a respeito da análise de sistemas no domínio s do uso das transformadas de Laplace e de propriedades de funções de transferência podem ser encontrados em K Ogata Modern Control Engineering 4a ed Englewood Cliffs VJ PrenticeHall 2002 Uma boa discussão sobre vários tipos de circuitos osciladores pode ser encontrada em R Mancini Op Amps for Everyone 2a ed Amsterdam Newnes 2003 G Clayton and S Winder Operational Amplifiers 5a ed Amster dam Newnes 2003 EXERCÍCIOS 151 Zs e Ys 1 Desenhe um equivalente no domínio s para o circuito descrito na Figura 1545 se a única grandeza de interesse é υt Dica omitir a fonte mas não ignorála 2 Para o circuito da Figura 1546 a única grandeza de interesse é a tensão υt Desenhe um circuito equivalente apropriado no domínio s Dica omitir a fonte mas não ignorála p FIGURA 1545 4 V 15 H 2 A υt t 0 p FIGURA 1546 10 V 500 mF 3 A υt t 0 Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 608 3 Para o circuito representado na Figura 1547 desenhe um equivalente no domí nio s e analiseo para obter um valor de it se i0 é igual a a 0 b 2 A 4 Para o circuito da Figura 1547 desenhe um equivalente no domínio s e analise o para obter um valor de υt se i0 é igual a a 0 b 3A 5 Com relação ao circuito no domínio s desenhado na Figura 1548 a Calcule VCs b determine vCt t 0 c desenhe a representação do circuito no domínio do tempo t FIGURA 1548 5 V 2 A V V VCs 15 s 2 s 6 Desenhar todos os equivalentes possíveis no domínio s t 0 para o circuito representado na Figura 1549 7 Determine a impedância de entrada Zents vista a partir dos terminais da rede representada na Figura 1550 Expresse sua resposta como uma razão de dois polinômios em s t FIGURA 1550 Zent 500 mH 33 V 250 mF 8 Com relação à rede da Figura 1551 obtenha uma expressão para a admitância de entrada Ys indicada na figura Expresse sua resposta como uma razão de dois polinômios em s 9 Para o circuito da Figura 1552 a desenhe o circuitos equivalente no domínio s b escolha um e resolva para V s c determine a υt 10 Determine a impedância de entrada de 1Ys da rede representada na Figura 1551 Se o resistor 15 Ω é substituído pela combinação de um capacitor 100 mF e um resistor de 1 Ω em paralelo e a corrente inicial no indutor definida como fluindo para baixo é de 540 mA 152 Análise Nodal e de Malha no Domínio s 11 Para o circuito dado na Figura 1553 a desenhe o equivalente no domínio s b escreva as três equações de malha no domínio s c determine i1 i2 e i3 t FIGURA 1553 2etut V 4ut V 1 V i3t i2t i1t 500 mF 500 mF 3 V 12 Substitua a fonte de 4 ut no circuito da Figura 1553 por 4 et ut V Calcule i1 i2 e i3 caso se verifique que a corrente inicial no indutor i2 i3 é igual a 50 mA p FIGURA 1551 p FIGURA 1547 27 V 11 H 15etut 2ut V υt it p FIGURA 1549 73 V 1 V 30 mH 2000 mF 72 V υt t 0 Ys 15 V 333 mF 47 V 17 H p FIGURA 1552 200 mH 2e2tut V i0 05 A 1 kV υt it Exercícios 609 13 Para o circuito mostrado na Figura 1554 a escreva uma equação nodal no domínio s para Vxs b resolva para vxt 14 Determine v1 e v2 para o circuito da Figura 1555 utilizando a análise nodal no domínio s t FIGURA 1555 1 V 2 V 2 H 2ut A 5ut A υ1 υ2 200 mF 15 A fonte de 2 ut A na Figura 1555 é substituída por uma fonte de 4et ut A Empregue a análise no domínio s para determinar a potência dissipada pelo resistor de 1 Ω 16 Calcule a potência dissipada no resistor de 3 Ω da Figura 1556 se v10 2 V 3 V 15ut V 2ut A υ1 υ2 5 V 2 V 400 mF t FIGURA 1556 17 Para o circuito mostrado na Figura 1557 seja is1 3 ut A e is2 5 sen 2t A Trabalhando inicialmente no domínio s obtenha uma expressão para vxt 18 Para o circuito da Figura 1558 a desenhe o circuito no domínio s correspon dente b para resolver v1t v2t e v3t c verifique sua solução com uma simulação no PSpice apropriada 2 V 4 V 250 mF 450 mF 01υ2t υ1t υ2t υ3t 2ut A t FIGURA 1558 19 Determine as correntes de malha i1t e i2t na Figura 1559 se a corrente no indutor de 1 mH i2 i4 for 1 A em t 0 Verifique que a sua resposta se aproxima daquela obtida usando a análise fasorial quando a resposta do circuito atinge o regime permanente 2 V 1 mH 0005i1 1000 mF 750 mF 6 cos 2t 13 ut V 6 cos 2t ut V i4 i2 i3 i1 t FIGURA 1559 5 V 2 H 01 F υx is1 is2 p FIGURA 1557 p FIGURA 1554 250 mF 2ut V 3ut V 5 V 800 mH υx Ref Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 610 20 Assumindo que não haja energia inicial armazenada no circuito da Figura 1560 determine o valor de v2 em t igual a a 1 ms b 100 ms c 10 s 3υ2 5υ2 100 V 2 mH 500 mF 600 mF 14tut V υ2 t FIGURA 1560 153 Técnicas Adicionais de Análise de Circuitos 21 Usando repetidas transformações de fonte obtenha uma expressão no domínio s para o equivalente de Thévenin visto pelo elemento chamado Z no circuito da Figura 1561 8s V 20 V 14 V Z 12 V s Is V s 1s 2 s t FIGURA 1561 22 Calcule Is indicada no circuito da Figura 1561 se o elemento Z tem a impe dância de a 2 b 1 2s c s 1 2s 3 23 Para o circuito mostrado na Figura 1562 determine equivalente de Thévenin no domínio s visto pelo a resistor de 2 Ω b resistor de 4 Ω c capacitor de 12 F d fonte de corrente 24 Calcule as duas correntes indicadas no circuito da Figura 1562 25 Para o circuito da Figura 1563 considere ist 5 ut A e determine a a impedância equivalente de Thévenin vista pelo resistor de 10 Ω b a corrente iLt no indutor 35 V is 5 H 3 V 10 V ix iL t FIGURA 1563 26 Se a fonte de corrente da Figura 1563 é de 15 e2t ut A e iL0 1 A deter mine ixt 27 Para o circuito no domínio s da Figura 1564 determine o equivalente de Thé venin visto pelos terminais indicados como a e b 2 V 5 V 5 H I2 5I2 a b t FIGURA 1564 4 V 2 V 3 H iCt i 2ut A 12 F p FIGURA 1562 Exercícios 611 28 a Use a superposição no domínio s para obter uma expressão para V1s refe rente à Figura 1565 b Obtenha v1t 2 V 5 V 3 V 1 V 1 F 3 H 1 H 2 F cos 2t ut V υ1t 4ix 4 cos 4t ut V ix a b d c t FIGURA 1565 29 Se a fonte de tensão no canto superior direito da Figura 1565 é um circuito aberto determine o equivalente de Thévenin visto pelo terminais indicados como a e b 30 Se a fonte de tensão inferior à esquerda da Figura 1565 é um circuito aberto determine o equivalente de Thévenin visto pelos terminais indicados como c e d 154 Polos Zeros e Funções de Transferência 31 Determine os polos e zeros das seguintes funções no domínio s a s s 125 b ss 1 s 5s 3 c s 4 s2 8s 7 d s2 s 2 3s3 24s2 21s 32 Use os meios apropriados para determinar os polos e zeros de a s 4 b 2s s2 8s 16 c 4 s3 8s 7 d s 5 s3 7s 6 33 Considere as seguintes expressões e determine as frequências críticas de cada um a 5 s 1 b ss 1s 4 s 5s 32 c 1 s2 4 d 05s2 18 s2 1 34 Para a rede representada esquematicamente na Figura 1566 a escreva a função de transferência Hs Vsaída s Vent s b determine os polos e zeros de Hs 35 Para cada uma das duas redes representadas esquematicamente na Figura 1567 a escreva a função de transferência Hs VsaídasVents b determine os polos e zeros de Hs t FIGURA 1567 υentt υsaídat a L R υentt υsaídat b R L 36 Determine a frequências críticas de Zent definida na Figura 1550 37 Especifique os polos e zeros de Ys definida na Figura 1551 υentt υsaídat C R p FIGURA 1566 Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 612 38 Se uma rede é projetada para possuir uma função de transferência Hs s s2 8s 7 determine a tensão de saída no domínio s para ventt igual a a 3 ut V b 25e2tut V c 4ut 1 V d 2 sen 5t ut V 39 Uma rede particular é conhecida por ser caracterizada pela função de transfe rência Hs s 1s2 23s 60 Determine as frequências críticas da saída se a entrada é a 2ut 4δt b 5etut c 4te2tut d 5 2e10t cos 5t ut V 40 Para a rede representada na Figura 1568 determine as frequências críticas de Zents 155 Convolução 41 Referindose à Figura 1569 empregue a Equação 11 para se obter xt yt u FIGURA 1569 1 0 xt t 3 1 0 yt t 42 Com relação aos gráficos das funções de xt e yt representados na Figura 1569 use a Equação 11 para se obter a xt xt b yt δt 43 Empregue as técnicas de convolução gráfica para determinar f g se f t 5ut e gt 2ut 2ut 2 2ut 4 2ut 6 44 Seja ht 2e3tut e xt ut δ t Obtenha yt ht xt usando a a convolução no domínio do tempo b obtendo Hs e Xs e então calculando a transformada inversa de Laplace de HsXs 45 a Determine a resposta ao impulso ht da rede mostrada na Figura 1570 b Use a convolução para determinar vst se ventt 8ut V 156 O Plano das Frequências Complexas 46 Um resistor de 2 Ω é colocado em série com um capacitor de 250 mF Esboce o módulo da impedância equivalente em função de a σ b ω c σ e ω utili zando uma abordagem do tipo folha elástica d Verifique suas soluções usando MATLAB 47 Esboce o módulo de Z s s2 s em função de a σ b ω c σ e ω usan do uma abordagem do tipo folha elástica d Verifique suas soluções usando MATLAB 48 Esboce a constelação de polos zeros de cada uma das seguintes a ss 4 s 5s 2 b s 1 s2 8s 7 c s2 1 ss2 10s 16 d 5 s2 2s 5 49 A constelação de polos e zeros parcialmente indicada de uma função de trans ferência especial Hs é mostrada na Figura 1571 Obtenha uma expressão para Hs se H0 é igual a a 1 b 5 c O sistema Hs representado deverá ser estável ou instável Explique p FIGURA 1568 Zents 100 V 75 V 50s V 25 V s p FIGURA 1570 1 H 4 V 5 V υentt υot p FIGURA 1571 j2 2 jv s 1 Exercícios 613 50 A rede composta por três elementos mostrada na Figura 1572 tem uma impe dância de entrada ZAs que possui um zero em s 10 j0 Se um resistor de 20 Ω for colocado em série com a rede o zero da nova impedância se desloca para s 36 j0 Obtenha R e C 51 Seja Hs 100s 2 s2 2s 5 e a mostre o gráfico de polos e zeros para Hs b obtenha Hjω c obtenha Hjω d esboce Hjω versus ω e determine ωmáx a frequência na qual Hjω é máxima 157 A Resposta Natural e o Plano s 52 Determine as expressões para i1t e i2t para o circuito da Figura 1573 assu mindo v10 2 V e v20 0 V t FIGURA 1573 i1 i2 x y 250 mF 500 mF 4 V 2 V υ1 υ1 53 O capacitor de 250 mF no circuito da Figura 1573 é substituído por um indutor de 2 H Se v1t 0 V e i10 i20 1 A obtenha uma expressão para i2t 54 Na rede da Figura 1574 uma fonte de corrente ixt 2 ut A está ligada entre os terminais c e d tal que a seta da fonte aponta para cima Determine as frequ ências naturais presentes na tensão vabt resultante 55 Com relação ao circuito mostrado na Figura 1575 seja i10 1 A e i20 0 a Determine os polos de IentsVent s b use esta informação para obter uma expressão para i1t e i2t t FIGURA 1575 ient i2 i1 500 mH 1 H 15 V 2 V 2ut V 158 Uma Técnica Para Sintetizar a Razão Hs VsaídaVent 56 Projete um circuito que forneça uma função de transferência Hs VsaídaVent igual a a 5s 1 b 5 s 1 c 5s 1 s 2 57 Projete um circuito que forneça uma função de transferência Hs VsaídaVent igual a a 2s 12 b 3 s 500s 100 58 Projete um circuito que forneça a função de transferência Hs Vsaída Vent 5 s 104 s 2 105 p FIGURA 1572 ZA 5 V R C p FIGURA 1574 a b c d C R1 R2 Capítulo 15 u Análise de Circuitos no Domínio s 614 59 Projete um circuito que gera a função de transferência Hs Vsaída Vent 3 s 50 s 752 60 Obtenha Hs VsaídaVent como uma razão de polinômios em s para o circuito AOP da Figura 1542 dados os seguintes valores de impedância em Ω a Z1s 103 108s Zfs 5000 b Z1s 5000 Zfs 103 108s c Z1s 103 108s Zfs 104 108s Exercícios de integração do capítulo 61 Projete um circuito que forneça uma frequência de 16 Hz que está perto do limite inferior da escala de audição humana Verifique o seu projeto com uma simulação apropriada 62 Projete um circuito que forneça um sinal de Tom Duplo de Multifrequência DTMF correspondente ao número 9 que é uma tensão de saída composta de um Sinal de 1477 Hz e um sinal de 852 Hz 63 a Projete um circuito que forneça um sinal a 2616 Hz que é aproximada mente a nota musical Dó médio Utilize apenas os valores de resistores com nível de tolerância de 5 b Obtenha a faixa de frequência provável de seu gerador de sinal com base no intervalo de valores comerciais de componentes que poderiam ser usados na construção 64 a Muitas pessoas com perda auditiva parcial especialmente os idosos têm dificuldade na percepção de detectores de fumaça convencionais Uma alterna tiva consiste em reduzir a frequência a aproximadamente 500 Hz Desenhe um circuito que forneça tal sinal usando apenas valores de resistores e capacitores comerciais com tolerância de 10 b Obtenha a faixa de frequência real esperada para seu projeto considerando que ele é implementado com base na disponibilidade comercial de valores para os componentes 65 Projete um circuito que forneça um sinal de 200 Hz ou um sinal de 400 Hz acionando interruptores apropriados INTRODUÇÃO Já foi introduzido o conceito de resposta em frequência o que significa que o com portamento do nosso circuito pode mudar drasticamente dependendo da frequência ou frequências de operação uma mudança radical em relação às nossas primeiras experiências com circuitos de corrente contínua simples Neste capítulo elevamos o assunto para um nível mais refinado pois mesmo circuitos simples projetados para resposta em frequência específica podem ser extremamente úteis em uma ampla variedade de aplicações cotidianas Na verdade provavelmente utilizamos circuitos de frequência seletiva diariamente mesmo sem perceber Por exemplo a mudança para a nossa estação de rádio favorita consiste de fato em sintonizar o rádio para amplificar seletivamente uma estreita faixa de frequências de sinal é possível aque cer pipoca de microondas enquanto assistimos televisão ou falamos em um telefone celular porque as frequências de cada dispositivo pode ser isoladas Além disso estudar a resposta em frequência e filtros podem ser particularmente agradável pois nos fornece uma metodologia para desenvolver a análise de circuitos existentes permitindo o projeto de circuitos complexos a partir do zero para atender às especi ficações às vezes rigorosas Vamos começar esta jornada com uma breve discussão envolvendo ressonância perdas fator de qualidade e largura de faixa importantes conceitos para filtros bem como qualquer circuito ou sistema para esse assunto que contém elementos de armazenamento de energia 161 RESSONÂNCIA PARALELA Supomos que uma certa função forçante contenha componentes senoidais com fre quências no intervalo de 10 a 100 Hz Agora imaginemos que essa função forçante seja aplicada em uma rede que tenha a propriedade de dobrar a amplitude de todas as tensões senoidais com frequências de zero a 200 Hz que sejam aplicadas em seus terminais de entrada sem mudança no ângulo de fase A função de saída é portanto uma cópia não distorcida da função de entrada porém com o dobro da amplitude Se no entanto a rede tiver uma resposta em fre quência tal que os módulos das senoides entre 10 e 50 Hz aplicadas em sua entrada sejam multiplicados por um fator diferente daquele aplicado nas senoides de 50 a 100 Hz então a saída será em geral distorcida ela deixa de ser uma versão amplificada Resposta em Frequência 16 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Frequência de Ressonância em Circuitos com Indutores e Capacitores Fator de Qualidade Largura de Faixa Mudança de Escala em Frequência e Módulo Técnicas Envolvendo o Diagrama de Bode Filtros PassaBaixas e Passa Altas Projeto de Filtros PassaFaixa Filtros Ativos Capítulo 16 u Resposta em Frequência 616 da entrada Essa saída distorcida pode ser desejável em alguns casos e indesejável em outros Isto é a resposta em frequência da rede poderia ser deliberadamente escolhida para rejeitar alguns componentes de frequência da função forçante ou enfatizar outros Tal comportamento é uma característica de circuitos sintonizados ou ressonantes como veremos neste capítulo Na discussão da ressonância podemos aplicar todos os métodos que discutimos na apresentação da res posta em frequência Ressonância Nesta seção começamos o estudo de um fenômeno muito importante que pode ocorrer em circuitos contendo indutores e capacitores Esse fenôme no é chamado de ressonância e pode ser informalmente descrito como a condição existente em qualquer sistema físico quando uma função forçante senoidal com amplitude fixa produz uma resposta com amplitude máxima Entretanto frequentemente dizemos que a ressonância ocorre mesmo quan do a função forçante não é senoidal O sistema ressonante pode ser elétrico mecânico hidráulico acústico ou de algum outro tipo mas restringiremos nossa atenção na maior parte de nosso estudo aos sistemas elétricos A ressonância é um fenômeno conhecido Pulos intermitentes no pára choques de um automóvel por exemplo podem colocar o veículo em um movimento oscilatório relativamente pronunciado se os saltos forem feitos na frequência apropriada em torno de um salto por segundo e se os amortecedores estiverem um tanto decrépitos Entretanto se a frequência dos saltos for aumentada ou diminuída a resposta do automóvel será con sideravelmente menor do que antes Temos uma outra ilustração no caso de uma cantora de ópera que é capaz de quebrar taças de cristal ao cantar uma nota bem formada na frequência apropriada Em cada um desses exemplos estamos pensando no ajuste da frequência até que ocorra a ressonância também é possível ajustar o tamanho a forma e o material do objeto que fazemos vibrar mas isso pode não ser tão fácil de se fazer na prática A condição de ressonância pode ser desejável ou não dependendo do propósito de aplicação do dispositivo físico No exemplo do automóvel por exemplo uma grande amplitude de vibração pode ajudar a descolar os párachoques o que seria um tanto desagradável a 105 kmh Vamos agora definir a ressonância de forma mais cuidadosa Em uma rede elétrica com dois terminais contendo pelo menos um indutor e um capacitor definimos ressonância como a condição que existe quando a impedância de entrada da rede é puramente resistiva Logo uma rede está em ressonância ou é ressonante quando a tensão e a corrente em seus terminais de entrada estão em fase Também veremos que uma resposta com amplitude máxima é produzi da na rede quando ela está na condição ressonante Seção 161 u Ressonância paralela 617 Primeiro aplicamos a definição de ressonância em uma rede RLC paralela alimentada por uma fonte de corrente senoidal como mostra a Figura 161 Em muitas situações práticas esse circuito é uma aproximação muito boa para o circuito que poderíamos construir no laboratório conectando um indu tor real em paralelo com um capacitor real sendo a combinação em paralelo alimentada por uma fonte de energia com impedância de saída muito elevada A admitância em regime permanente vista pela fonte de corrente ideal é Y 1 R j ωC 1 ωL 1 A ressonância ocorre quando a tensão e a corrente nos terminais de entrada estão em fase Isso corresponde a uma admitância puramente real então a condição necessária é dada por ωC 1 ωL 0 A condição ressonante pode ser conseguida com o ajuste de L C ou ω vamos dedicar a nossa atenção ao caso em que ω é a variável Daí a frequência de ressonância ω0 é ω0 1 LC rads 2 ou f0 1 2π LC Hz 3 Essa frequência de ressonância ω0 é idêntica à frequência de ressonân cia definida na Equação 10 do Capítulo 9 A configuração de polos e zeros da função da admitância também pode ser usada aqui em nosso benefício Dada Ys Ys 1 R 1 sL sC ou Ys C s2 s RC 1 LC s 4 podemos explicitar os zeros de Ys fatorando o numerador Ys C s α jωds α jωd s onde α e ωd representam as mesmas grandezas que representavam quando discutimos a resposta natural do circuito RLC paralelo na Seção 94 Isto é α é o coeficiente de amortecimento exponencial α 1 2RC e ωd é a frequência de ressonância natural não a frequência de ressonância ω0 ωd ω2 0 α2 V ILC IC IL I R L C p FIGURA 161 Combinação em paralelo de um resistor um indutor e um capacitor que é frequentemente chamada de circuito ressonante paralelo Capítulo 16 u Resposta em Frequência 618 A constelação de polos e zeros mostrada na Figura 162a resulta direta mente da forma fatorada da admitância Em vista da relação entre α ωd e ω0 fica claro que a distância da origem do plano s até um dos zeros da admitância é numericamente igual a ω0 Dada a configuração de polos e zeros a frequência ressonante pode ser obtida por métodos puramente gráficos Simplesmente traçamos um arco passando por um dos zeros usando a origem do plano s como centro A interseção desse arco com o eixo jω positivo localiza o ponto s ω0 Está claro que ω0 é ligeiramente maior do que a frequência de ressonância natural ωd mas a razão entre ambas se aproxima da unidade à medida que a relação entre ωd e α aumenta Ressonância e a Resposta de Tensão Vamos a seguir examinar o módulo da resposta a tensão Vs indicada na Figura 161 à medida que a frequência ω da função forçante é variada Se assumimos uma fonte de corrente senoidal com amplitude constante a res posta de tensão é proporcional à impedância de entrada Essa resposta pode ser obtida a partir do gráfico de polos e zeros da impedância Zs s C s α jωds α jωd mostrado na Figura 162b A resposta começa naturalmente em zero atin ge um valor máximo na vizinhança da frequência natural de ressonância e então volta a cair até zero com ω tendendo a infinito A resposta em frequência está desenhada na Figura 163 O valor máximo da resposta é indicado como R vezes a amplitude da fonte de corrente implicando que o módulo máximo da impedância do circuito é igual a R além disso o máximo da resposta ocorre exatamente na frequência de ressonância ω0 Duas frequências adicionais ω1 e ω2 que usaremos mais tarde como uma medida da largura da curva de resposta também são identificadas Vamos primeiro mostrar que o módulo máximo da impedância é R e que esse máximo ocorre na ressonância v1 v0 v2 Vjv IR 0707IR v p FIGURA 163 O módulo da resposta de tensão de um circuito ressonante paralelo é mostrado em função da frequência a plano s Ys jv0 jvd jvd v0 jv a s jvd jv jvd a s b p FIGURA 162 a A constelação de polos e zeros da admitância de entrada de um circuito ressonante paralelo é mostrada no plano s ω0 2 α2 ωd 2 b A constelação de polos e zeros da impedância de entrada Seção 161 u Ressonância paralela 619 A admitância conforme especificada na Equação 1 possui uma con dutância constante e uma susceptância que tem um módulo mínimo zero na condição de ressonância O módulo mínimo da admitância ocorre por tanto na ressonância e é igual a 1R Daí o módulo máximo da impedância é R e ocorre na condição de ressonância Na frequência de ressonância portanto a tensão nos terminais do cir cuito ressonante paralelo da Figura 161 é simplesmente IR e toda a cor rente I da fonte flui através do resistor Entretanto uma corrente também circula em L e C Para o indutor IL0 VL0jω0L IRjω0L e a corrente no capacitor na condição de ressonância é IC0 jω0CVC0 jω0CRI Como 1ω0C ω0L na ressonância vemos que IC0 IL0 jω0CRI 5 e IC0 IL0 ILC 0 Logo o valor líquido da corrente entrando na combinação LC é nulo O valor máximo do módulo da resposta e a frequência na qual ele ocorre nem sempre são obtidos tão facilmente Em circuitos ressonantes menos triviais pode ser necessário expressar o módulo da resposta analiticamente usualmente como a raiz quadrada da soma da parte real ao quadrado e da parte imaginária ao quadrado devemos então derivar essa expressão com relação à frequência igualar a derivada a zero resolver para a frequência da resposta máxima e finalmente substituir essa frequência na expressão do módulo para obter a resposta com módulo máximo Esse procedimento poderia ser feito para esse caso simples meramente como um exercício de fixação mas como vimos isso não foi necessário Fator de Qualidade Deve ser enfatizado que embora a altura da curva de resposta da Figura 163 dependa apenas do valor de R para uma excitação com amplitude constante a largura da curva ou a inclinação de seus lados também depende dos valores de dois outros elementos Vamos em breve relacionar a largura da curva de resposta a uma grandeza cuidadosamente definida a largura de faixa mas é útil expressar essa relação em termos de um parâmetro muito importante o fator de qualidade Q Veremos que a agudeza da curva de resposta de qualquer circuito res sonante é determinada pela quantidade máxima de energia que pode ser armazenada no circuito em comparação com a energia perdida durante um período completo da resposta Definimos Q como 6 Q fator de qualidade K 2π máxima energia armazenada energia total perdida por período A constante de proporcionalidade 2π é incluída na definição para simplificar as expressões mais úteis que vamos obter agora para Q Como energia pode ser armazenada apenas no indutor e no capacitor e perdida Devemos ser muito cuidadosos para não confundir o fator de qualidade com a carga ou a potência reativa todas grandezas infelizmente representadas pela letra Q Capítulo 16 u Resposta em Frequência 620 apenas no resistor podemos expressar Q em termos da energia instantânea associada a cada um dos elementos reativos e da potência média PR dissi pada no resistor Q 2π Lt Ctmáx PRT onde T é o período da frequência senoidal na qual se avalia Q Vamos agora aplicar essa definição no circuito RLC paralelo da Figura 161 e determinar o valor de Q na frequência de ressonância Esse valor de Q é chamado de Q0 Selecionamos a função forçante de corrente it Im cos ω0t e obtemos a resposta de tensão correspondente na ressonância vt Rit RIm cos ω0t A energia armazenada no capacitor é então Ct 1 2Cυ2 I2 m R2C 2 cos2 ω0t e a energia instantânea armazenada no indutor é dada por Lt 1 2 Li2 L 1 2 L 1 L v dt 2 1 2L RIm ω0 sen ω0t 2 de forma que Lt I2 m R2C 2 sen2 ω0t A energia armazenada instantânea total é portanto constante t Lt Ct I2 m R2C 2 e esse valor constante também deve ser o valor máximo Para obter a ener gia perdida no resistor durante um período calculamos a potência média por ele absorvida veja Seção 112 PR 1 2I2 m R e a multiplicamos por um período obtendo PRT 1 2 f0 I2 m R Determinamos portanto o fator de qualidade na ressonância Q0 2π I2 m R2C 2 I2m R 2 f0 ou Q0 2π f0RC ω0RC 7 Essa equação como qualquer uma das expressões na Equação 8 é válida apenas para o circuito RLC paralelo simples da Figura 161 Seção 161 u Ressonância paralela 621 Expressões equivalentes para Q0 que são frequentemente bastante úteis podem ser obtidas por substituição simples Q0 R C L R XC0 R X L0 8 Vemos então que nesse circuito a redução na resistência diminui Q0 quanto mais baixo o valor da resistência maior a quantidade de energia perdida nesse elemento De forma intrigante um aumento na capacitância aumenta Q0 mas um aumento na indutância leva a uma redução em Q0 Esses comentários se aplicam é claro à operação do circuito na frequência de ressonância Outras Interpretações para Q Uma outra interpretação útil para Q é obtida quando inspecionamos as correntes no indutor e no capacitor na condição de ressonância dadas pela Equação 5 IC0 IL0 jω0CRI jQ0I 9 Note que cada uma delas é Q0 vezes a amplitude da corrente da fonte e que elas estão 180o defasadas uma da outra Logo se aplicamos 2 mA na frequência de ressonância em um circuito ressonante paralelo com Q0 50 temos 2 mA no resistor e 100 mA no indutor e no capacitor Um circuito ressonante paralelo pode portanto agir como um amplificador de corrente mas não naturalmente como um amplificador de potência por se tratar de um circuito passivo A ressonância por definição é fundamentalmente associada à respos ta forçada pois ela é definida em termos de uma impedância de entrada puramente resistiva que é um conceito relacionado ao regime permanente senoidal Os dois parâmetros mais importantes de um circuito ressonante talvez sejam a frequência de ressonância ω0 e o fator de qualidade Q0 Tanto o coeficiente de amortecimento exponencial quanto a frequência de ressonância natural podem ser expressos em termos de ω0 e Q0 α 1 2RC 1 2Q0ω 0CC ou α ω0 2Q0 10 e ωd ω2 0 α2 ou ωd ω0 1 1 2Q0 2 11 Capítulo 16 u Resposta em Frequência 622 Fator de Amortecimento Para referência futura pode ser útil notar uma relação adicional envolvendo ω0 e Q0 A equação quadrática que aparece no numerador da Equação 4 s2 1 RC s 1 LC pode ser escrita em termos de α e ω0 s2 2αs ω2 0 Na área da teoria de sistemas ou da teoria de controle automático é tradicional escrever essa equação de uma forma ligeiramente diferen te que utiliza o parâmetro adimensional ζ zeta chamado de fator de amortecimento s2 2ζω0s ω2 0 Uma comparação entre essas expressões nos permite relacionar ζ a outros parâmetros ζ α ω0 1 2Q0 12 Considere um circuito RLC em paralelo tal que a L 2 mH Q0 5 e C 10 nF Determine o valor de R e o módulo da admitância em regime permanente 01ω0 ω0 e 11ω0 Deduzimos várias expressões para Q0 um parâmetro diretamente relacionado com a perda de energia e consequentemente a resistência no nosso circuito Reorganizando a expressão na Equação 8 calculamos R Q0 L C 2236 k Em seguida calculamos ω0 um termo que podemos relembrar do Capítulo 9 ω0 1 LC 2236 krads ou alternativamente podemos explorar a Equação 7 e obter a mesma resposta ω0 Q0 RC 2236 krads A admitância de qualquer rede RLC em paralelo é simplesmente Y 1 R jωC 1 jωL e por conseguinte Y 1 R jωC 1 jωL u EXEMPLO 161 Seção 161 u Ressonância paralela 623 Realizando a análise nas três frequências designadas temse Y09ω0 6504 10 4 S Yω0 4472 10 4 S Y11ω0 6182 10 4 S Obtemos assim uma impedância mínima na frequência de ressonância ou uma resposta em tensão máxima para uma dada corrente de entrada Se nós rapidamente calculamos a reatância nessas três frequências encontramos X09ω0 472 10 4 S X11ω0 472 10 4 S Xω0 136 10 7 Deixamos para o leitor mostrar que o nosso valor para X ω0 é diferente de zero em virtude de um erro de arredondamento u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 161 Um circuito ressonante paralelo é composto pelos elementos R 8 kΩ L 50 mH e C 80 nF Determine a ω0 b Q0 c ωd d α e ζ 162 Determine os valores de R L e C em um circuito ressonante paralelo no qual ω0 1000 rads ωd 998 rads e Yent 1 mS na condição de ressonância Resposta 161 15811 krads 1012 15792 krads 781 Nps 00494 162 1000 Ω 1264 mH 791 µF Vamos agora interpretar Q0 em termos da localização dos polos e zeros da admitância Ys do circuito RLC paralelo Vamos manter ω0 constante isso pode ser feito por exemplo mudando R enquanto L e C se mantêm constan tes Como o aumento de Q0 as relações entre α Q0 e ω0 indicam que os dois zeros devem se aproximar do eixo jω Essas relações também mostram que os dois zeros devem se afastar simultaneamente do eixo σ A natureza exata desse movimento fica mais clara quando nos lembramos do ponto no qual s jω0 foi posicionado no eixo jω com o traçado de um arco centrado na origem passando por um dos zeros e sobre o eixo jω positivo como ω0 deve se manter constante o raio deve ser constante e os zeros devem se mover ao longo desse arco em direção ao eixo jω positivo à medida que Q0 aumenta Os dois zeros estão indicados na Figura 164 e as setas mostram o caminho que eles seguem com o aumento de R Quando R é infinito Q0 também é infinito e os dois zeros são encontrados em s jω0 sobre o eixo jω Com a redução de R os zeros se movem em direção ao eixo σ ao longo de um lugar geométrico circular se juntando para formar um zero duplo no eixo σ em s ω0 quando R 1 2 L C ou Q0 1 2 Essa condição pode ser lembrada como aquela referente ao amortecimento crítico de forma que ωd 0 e α ω0 Valores mais baixos de R e de Q0 fazem com que os zeros se separem e se movam em direções opostas sobre o eixo σ negativo mas esses valores baixos de Q0 não são de fato típicos de circuitos ressonantes e com isso não nos preocuparemos com eles Mais tarde usaremos o critério Q0 5 para descrever um circuito com Q alto Quando Q0 5 os zeros estão localizados em s 01ω0 j0995ω0 e com isso ω0 e ωd diferem em apenas metade de 1 jv0 jvd jv0 v0 v0 v0 a jvd jv s Q0 1 Ys 2 R Q0 R 1 2 L C p FIGURA 164 Os dois zeros da admitância Ys localizados em s α jωd definem um lugar geométrico semicircular à medida que R aumenta de R 1 2 L C ou Q0 1 2 até Capítulo 16 u Resposta em Frequência 624 162 LARGURA DE FAIXA E CIRCUITOS COM Q ALTO Continuamos nossa discussão sobre ressonância paralela definindo frequ ências de meia potência e largura de faixa e faremos então bom uso desses novos conceitos obtendo dados aproximados sobre a resposta de circuitos com Q alto A largura da curva de resposta de um circuito ressonante tal como aquela mostrada na Figura 163 pode agora ser definida de forma mais cuidadosa e relacionada a Q0 Vamos definir as duas frequências de meia potência ω1 e ω2 como as frequências nas quais o módulo da admitân cia de entrada de um circuito ressonante paralelo é 2 vezes maior do que o módulo na ressonância Como a curva de resposta da Figura 163 mostra a tensão produzida nos terminais de um circuito paralelo por uma fonte de corrente senoidal em função da frequência as frequências de meia potência também localizam os pontos nos quais a resposta de tensão é 12 ou 0707 vezes o seu valor máximo Uma relação similar é válida para o módulo da impedância Designamos ω1 como a frequência de meia potência inferior e ω2 como a frequência de meia potência superior Largura de Faixa A largura de faixa de meia potência de um circuito ressonante é definida como a diferença entre as duas frequências de meia potência B ω2 ω1 13 Tendemos a pensar na largura de faixa como a largura da curva de resposta mesmo que de fato a curva se estenda de ω 0 a ω De forma mais exata a largura de faixa de meia potência corresponde à porção da curva de resposta que é maior ou igual a 70 do valor máximo como ilustrado na Figura 165 v1 v0 v2 Vjv IR 0707IR v p FIGURA 165 A largura de faixa da resposta do circuito é destacada em fundo azul ela corresponde à porção da curva maior ou igual a 707 do valor máximo Podemos agora expressar a largura de faixa em termos de Q0 e da fre quência de ressonância Para fazer isso primeiro expressamos a admitância do circuito RLC paralelo Esses nomes decorrem do fato de que uma tensão 12 vezes menor do que a tensão ressonante é na verdade equivalente ao quadrado de uma tensão que é metade do quadrado da tensão na ressonância Logo nas frequências de meia potência o resistor absorve metade da potência que ele absorve na ressonância 625 Seção 162 u Largura de faixa e circuitos com Q alto Y 1 R j ωC 1 ωL em termos de Q0 Y 1 R j 1 R ωω0CR ω0 ω0R ωω0L ou Y 1 R 1 jQ0 ω ω0 ω0 ω 14 Notamos novamente que o módulo da admitância no ponto de ressonân cia é igual a 1R e então percebemos que um módulo de admitância igual a 2R pode ocorrer apenas quando uma frequência é selecionada de forma tal que a parte imaginária do termo entre colchetes tenha módulo igual a 1 Logo Q0 ω2 ω0 ω0 ω2 1 e Q0 ω1 ω0 ω0 ω1 1 Resolvendo temos ω1 ω0 C 1 1 2Q0 2 1 2Q0 S 15 ω2 ω0 C 1 1 2Q0 2 1 2Q0 S 16 Embora essas expressões não sejam muito práticas a sua diferença for nece uma fórmula muito simples para a largura de faixa B ω2 ω1 ω0 Q0 As Equações 15 e 16 podem ser multiplicadas entre si para mostrar que ω0 é exatamente igual à média geométrica das frequências de meia potência ω2 0 ω1ω2 ou ω0 ω1ω2 Circuitos possuindo um Q0 elevado têm uma largura de faixa mais estreita ou uma curva de resposta mais aguda eles têm uma maior seleti vidade de frequências ou um alto fator de qualidade Aproximações para Circuitos com Q Alto Muitos circuitos ressonantes são deliberadamente projetados para ter um Q0 alto tirando vantagem da largura de faixa estreita e da alta seletividade de frequências a eles associadas Quando Q0 é maior que 5 aproximadamente Tenha em mente que ω2 ω0 enquanto ω1 ω0 Capítulo 16 u Resposta em Frequência 626 é possível fazer algumas aproximações muito úteis nas expressões das fre quências de meia potência inferior e superior e nas expressões gerais para a resposta na vizinhança do ponto de ressonância Vamos arbitrariamente nos referir a um circuito com Q alto como um circuito no qual Q0 é maior ou igual a 5 A configuração de polos e zeros de Ys para um circuito RLC paralelo tendo Q0 em torno de 5 é mostrada na Figura 166 Como α ω0 2Q0 então α 1 2B e a localização dos dois zeros s1 e s2 pode ser aproximada s12 α jωd 1 2B jω0 Além disso a localização das duas frequências de meia potência no eixo jω positivo também pode ser determinada de uma forma aproximada e concisa ω12 ω0 C 1 1 2Q0 2 1 2Q0 S ω0 1 1 2Q0 ou ω12 ω0 1 2B 17 Em um circuito com Q alto portanto cada frequência de meia potência está afastada da frequência de ressonância em aproximadamente metade da largura de faixa isso está indicado na Figura 166 As relações aproximadas para ω1 e ω2 na Equação 17 podem ser somadas para mostrar que ω0 é aproximadamente igual à média aritmética de ω1 e ω2 em circuitos com Q alto ω0 1 2ω1 ω2 Vamos agora visualizar um ponto de teste ligeiramente acima de jω0 sobre o eixo jω Para determinar a admitância da rede RLC paralela nessa frequência construímos três vetores conectando as frequências críticas ao ponto de teste Se o ponto de teste estiver próximo de jω0 então o vetor partindo do polo é aproximadamente igual a jω0 e aquele partindo do menor zero é aproximadamente igual a j2ω0 Portanto a admitância é dada de forma aproximada por Ys C j2ω0s s1 jω0 2Cs s1 18 onde C é a capacitância como mostrado na Equação 4 Para determinar uma aproximação útil para o vetor s s1 vamos considerar uma vista ampliada da porção do plano s na vizinhança do zero s1 Figura 167 jv2 jv0 B jvd jv0 jv s 1 2 1 2 jv1 jv0 B plano s s1 Ys 1 2 B 1 2 B s2 p FIGURA 166 A constelação de polos e zeros de Ys para um circuito RLC paralelo Os dois zeros estão exatamente 12B Nps ou rads à esquerda do eixo jω e aproximadamente jω0 rads ou Nps afastados do eixo σ As frequências de meia potência superior e inferior estão separadas em exatamente B rads e cada uma delas está afastada da frequência de ressonância e da frequência natural de ressonância em aproximadamente 12B rads jv0 aprox s s1 B jv s jv 1 2 s1 p FIGURA 167 Vista ampliada da constelação de polos e zeros para Ys referente a um circuito RLC paralelo com Q0 alto 627 Em termos de seus componentes cartesianos vemos que s s1 1 2B jω ω0 onde essa expressão seria exata se ω0 fosse trocada por ωd Agora substitu ímos essa equação na aproximação para Ys a Equação 18 e colocamos em evidência o termo correspondente à s s1 1 2B jω ω0 B Ys 2C 1 2B 1 j ω ω0 1 2B ou Ys 1 R 1 j ω ω0 1 2B A fração ω ω01 2B pode ser interpretada como o número de meias larguras de faixa fora da ressonância e abreviada por N Logo Ys 1 R 1 jN 19 onde N ω ω0 1 2B 20 Na frequência de meia potência superior ω2 ω0 1 2B N 1 e esta mos meia largura de faixa acima da ressonância Na frequência de meia potência inferior temos ω1 ω0 1 2B e N 1 o que nos coloca meia largura de faixa abaixo da ressonância A Equação 19 é muito mais fácil de usar do que as relações exatas que tínhamos até agora Ela mostra que o módulo da admitância é Y jω 1 R 1 N 2 enquanto o ângulo de Yjω é dado pelo arco tangente de N âng Y jω tan 1 N Obtenha a localização das duas frequências de meia potência resposta em tensão de uma rede RLC paralela na qual R 40 kΩ L 1 H e C 164 µF e determine o valor aproximado da admitância para uma frequência de operação é ω 8200 rads f Identifique o objetivo do problema Buscamos as frequências meia potência inferior e superior da resposta em tensão bem como Yω0 Uma vez que pedemnos para estimar e aproximar a implicação é que esse seja um circuitos com Q alto uma suposição que devemos verificar u EXEMPLO 162 Seção 162 u Largura de faixa e circuitos com Q alto Capítulo 16 u Resposta em Frequência 628 f Reuna as informações necessárias Dado R L e C somos capazes de calcular ω0 e Q0 Se Q0 5 Podemos usar expressões aproximadas para as frequências de meia potência e admitância próximo da ressonância mas se fosse necessário poderíamos calcular exatamente estas grandezas independentemente f Trace um plano Para usar expressões aproximadas devemos primeiro determinar Q0 o fator de qualidade no ponto de ressonância bem como a largura de faixa A frequência de ressonância ω0 é dada pela Equação 2 como 1LC 8 krads Logo Q0 ω0RC 5 e a largura de faixa é ω0Q0 16 krads O valor de Q0 para este circuito é suficiente para que empreguemos as aproximações para Q alto f Construa um conjunto apropriado de equações A largura de faixa é simplesmente B ω0 Q0 1600 rads e então ω1 ω0 B 2 7200 rads ω1 ω0 B 2 8800 rads A Equação 19 diz que Ys 1 R 1 jN assim Y jω 1 R 1 N 2 e âng Y jω tan 1 N f Determine se são necessárias informações adicionais Ainda precisamos obter N que nos diz quantas meias larguras de faixa a frequência ω está afastada da frequência de ressonância ω0 N 82 808 025 f Tente uma solução Estamos agora prontos para empregar nossas relações aproximadas para o módulo e o ângulo da admitância da rede âng Y tan 1 025 1404o e Y 25 1 0252 2577 μS f Verifique a solução Ela é razoável ou esperada Um cálculo exato da admitância usando a Equação 1 mostra que Y j8200 2575 1387o μS O método aproximado leva portanto a valores de módulo e ângulo para a admitância que são razoavelmente exatos melhores que 2 para essa frequência Deixamos para o leitor julgar a exatidão da nossa previsão para ω1 e ω2 629 Seção 162 u Largura de faixa e circuitos com Q alto u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 163 Um circuito ressonante paralelo com Q marginalmente alto tem f0 440 Hz com Q0 6 Use as Equações 15 e 16 para obter valores exatos para a f1 b f2 Agora use a Equação 17 para calcular valores aproximados para c f1 d f2 Resposta 4049 Hz 4782 Hz 4033 Hz 4767 Hz Concluímos nosso estudo sobre o circuito ressonante paralelo revisan do algumas conclusões fundamentais a que chegamos f A frequência de ressonância ω0 é a frequência na qual a parte imagi nária da admitância de entrada se anula ou o ângulo da admitância se torna igual a zero Para esse circuito ω0 1LC f A figura de mérito Q0 do circuito é definida como 2π vezes a relação entre a energia máxima armazenada no circuito e a energia perdida em cada período Para esse circuito Q0 ω0RC f Definimos duas frequências de meia potência ω1 e ω2 como as frequências nas quais o módulo da admitância é 2 vezes o módulo mínimo da admitância elas também são as frequências nas quais a resposta de tensão é 707 da resposta máxima f As expressões exatas para ω1 e ω2 são ω12 ω0 C 1 1 2Q0 2 1 2Q0 S f As expressões aproximadas Q0 alto para ω1 e ω2 são ω12 ω0 1 2B f A largura de faixa de meia potência B é dada por B ω2 ω1 ω0 Q0 f A admitância de entrada também pode ser expressa de forma apro ximada para circuitos com Q alto Y 1 R 1 jN 1 R 1 N 2 tan 1 N onde N é definido como o número de meias larguras de faixa fora da ressonância ou N ω ω0 1 2B Essa aproximação é válida para 09ω0 ω 11ω0 Capítulo 16 u Resposta em Frequência 630 163 RESSONÂNCIA SÉRIE Embora provavelmente encontremos menos uso para o circuito RLC série do que para o circuito RLC paralelo ele ainda assim merece a nossa aten ção Consideremos o circuito mostrado na Figura 168 Deve ser notado que por agora aos vários elementos de circuito são atribuídos o subscrito s para série para que evitemos confundilos com os elementos em paralelo quando os circuitos forem comparados Nossa discussão a respeito da ressonância paralela ocupou duas seções com extensão considerável Poderíamos dar agora o mesmo tipo de trata mento ao circuito RLC série mas é muito mais esperto de nossa parte evitar uma repetição desnecessária e usar o conceito de dualidade Por simplicidade vamos nos concentrar nas conclusões apresentadas para a ressonância parale la no último parágrafo da seção precedente Os resultados importantes estão contidos ali e o uso da linguagem dual nos permite transcrever esse parágrafo para apresentar os resultados importantes para o circuito RLC série Concluímos nosso estudo sobre o circuito ressonante série revisando algumas conclusões fundamentais a que chegamos f A frequência de ressonância ω0 é a frequência na qual a parte imagi nária da impedância de entrada se anula ou o ângulo da impedância se torna igual a zero Para esse circuito ω0 1CsLs f A figura de mérito Q0 do circuito é definida como 2π vezes a relação entre a energia máxima armazenada no circuito e a energia perdida em cada período Para esse circuito Q0 ω0LSRS f Definimos duas frequências de meia potência ω1 e ω2 como as frequências nas quais o módulo da impedância é 2 vezes o módulo mínimo da impedância elas também são as frequências nas quais a resposta de corrente é 707 da resposta máxima f As expressões exatas para ω1 e ω2 são ω12 ω0 1 1 2Q0 2 1 2Q0 f As expressões aproximadas Q0 alto para ω1 e ω2 são ω12 ω0 1 2B f A largura de faixa de meia potência B é dada por B ω2 ω1 ω0 Q0 f A admitância de entrada também pode ser expressa de forma apro ximada para circuitos com Q alto Y 1 R 1 jN 1 R 1 N 2 tan 1 N onde N é definido como o número de meias larguras de faixa fora da ressonância ou Novamente este parágrafo é idêntico ao último parágrafo da Seção 162 com a linguagem do circuito RLC paralelo convertida à linguagem do circuito RLC série usando a dualidade daí as aspas Is Vs Cs Ls Rs p FIGURA 168 Um circuito ressonante série Seção 163 u Ressonância série 631 N ω ω0 1 2B Essa aproximação é válida para 09ω0 ω 11ω0 A partir deste ponto não mais identificaremos circuitos ressonantes série usando o subscrito s a menos que isso seja necessário por uma ques tão de clareza A tensão vs 100 cos ωt mV é aplicada em um circuito ressonante série composto por uma resistência de 10 Ω uma capacitância de 200 nF e uma indutância de 2 mH Use os métodos exatos e aproximados para calcular a amplitude da corrente se ω 48 krads A frequência de ressonância é dada por ω0 1 LC 1 2 10 3200 10 9 50 krads Como estamos operando em ω 48 krads que está dentro da faixa de 10 da frequência de ressonância é razoável aplicar as nossas relações aproxima das para estimar a impedância equivalente da rede desde descubramos que estamos trabalhando com um circuito com Q alto Zeq R 1 N 2 tan 1 N onde N pode ser computado assim que tivermos determinado Q0 Este é um circuito série então Q0 ω0L R 50 1032 10 3 10 10 o que o qualifica como um circuito com Q alto Logo B ω0 Q0 50 103 10 5 krads O número de meias larguras de faixa fora da ressonância N é portanto N ω ω0 B 2 48 50 25 08 Logo Zeq R 1 N 2 tan 1 N 1281 3866 O módulo aproximado da corrente é então Vs Zeq 100 1281 7806 mA Usando as expressões exatas obtemos I 77463924o mA e portanto I 7746 mA u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 164 Um circuito ressonante série tem uma largura de faixa de 100 Hz e con tém uma indutância de 20 mH e uma capacitância de 2 µF Determine a f0 b Q0 c Zent na ressonância d f2 Resposta 796 Hz 796 1257 j0 Ω 846 Hz aprox u EXEMPLO 163 Capítulo 16 u Resposta em Frequência 632 O circuito ressonante série é caracterizado por uma impedância mínima no ponto de ressonância enquanto o circuito ressonante paralelo produz uma impedância ressonante máxima Este último fornece correntes no indutor e no capacitor na ressonância que têm amplitudes Q0 maiores que a fonte de corrente o circuito ressonante série fornece tensões no indutor e no capacitor que são Q0s vezes maiores do que a tensão da fonte de tensão O circuito série fornece portanto amplificação de tensão na condição de ressonância Uma comparação de nossos resultados para as ressonâncias série e paralelo aparece na Tabela 161 juntamente com as expressões exatas e aproximadas que desenvolvemos TABELA 161 u Um Breve Resumo da Ressonância Yp I IL IC R L C Zs V R L C VC VL Q0 ω0RC α 1 2RC Q0 ω0L R α R 2L IL jω0 IC jω0 Q0I jω0 VL jω0 VC jω0 Q0V jω0 Yp 1 R 1 jQ0 ω ω0 ω0 ω Zs R 1 jQ0 ω ω0 ω0 ω Expressões exatas ω0 1 LC ω1ω2 ωd ω2 0 α2 ω0 1 1 2Q0 2 ω12 ω0 1 1 2Q0 2 1 2Q0 N ω ω0 1 2B B ω2 ω1 ω0 Q0 2α Expressões aproximadas Q0 5 09ω0 ω 11ω0 ωd ω0 ω12 ω0 1 2B ω0 1 2ω1 ω2 Yp 1 N 2 R tan 1 N Zs R 1 N 2 tan 1 N Seção 164 u Outras formas ressonantes 633 164 OUTRAS FORMAS RESSONANTES Os circuitos RLC série e paralelo das duas seções anteriores são circuitos ressonantes idealizados O grau de exatidão com o qual o modelo idealiza do representa o modelo real depende da faixa de frequências de operação do Q do circuito dos materiais presentes na construção do circuito real das dimensões dos elementos e de muitos outros fatores Não estamos estu dando técnicas para a determinação do melhor modelo para representar um dado circuito real pois isso requer algum conhecimento de teoria de cam pos eletromagnéticos e de propriedades de materiais estamos no entanto preocupados com o problema de reduzir um modelo mais complicado a um dos dois modelos mais simples com os quais estamos mais familiarizados A rede mostrada na Figura 169a é um modelo razoavelmente exato para a combinação em paralelo de um indutor um capacitor e um resistor reais O resistor R1 é um elemento hipotético que é incluído para que as perdas ôhmi cas no núcleo e de radiação que ocorrem no indutor real sejam contabilizadas As perdas no dielétrico no interior do capacitor real bem como a resistência do resistor real presentes no circuito RLC original são levadas em considera ção por meio do resistor R2 Neste modelo não há como combinar elementos e produzir um modelo mais simples que seja equivalente ao modelo original em todas as frequências Mostraremos no entanto que é possível construir um equivalente mais simples que seja válido em uma faixa de frequências suficientemente ampla para incluir todas as frequências de interesse O equi valente tem a forma da rede mostrada na Figura 169b Antes de aprender como desenvolver tal circuito equivalente vamos primeiro considerar o circuito original mostrado na Figura 169a A fre quência de ressonância radiana dessa rede não é 1LC embora possa se aproximar bastante desse valor se R1 for suficientemente pequeno A definição de ressonância é a mesma e podemos determinar a frequência de ressonância igualando a zero a parte imaginária da admitância de entrada ImY jω Im 1 R2 jωC 1 R1 jωL 0 ou Im 1 R2 jωC 1 R1 jωL R1 jωL R1 jωL Im 1 R2 jωC R1 jωL R2 1 ω2L2 0 Logo temos a condição de ressonância que C L R2 1 ω2L2 e então ω0 1 LC R1 L 2 21 a Y R1 L C R2 b Re Le Ce p FIGURA 169 a Um modelo útil para representar uma rede real que consiste em um indutor um capacitor e um resistor reais em paralelo b Uma rede que pode ser equivalente àquela mostrada na letra a em uma faixa estreita de frequências Capítulo 16 u Resposta em Frequência 634 Notamos que ω0 é menor que 1LC mas valores suficientemente pequenos para a relação R1L podem levar a uma diferença desprezível entre ω0 e 1LC O módulo máximo da impedância de entrada também merece ser anali sado Seu valor não é igual a R2 e ele não ocorre em ω0 ou em ω 1LC A prova disso não será mostrada porque as expressões se tornam algebri camente complicadas a teoria no entanto é bastante simples Vamos nos contentar com um exemplo numérico Usando os valores R1 2 Ω L 1 H C 125 mF e R2 3 Ω na Figura 169a determine a frequência de ressonância e o valor da impedância na ressonância Substituindo os valores apropriados na Equação 21 obtemos ω0 8 22 2 rads e isso nos permite calcular a admitância de entrada Y 1 3 j2 1 8 1 2 j21 1 3 1 4 0583 S e então a impedância de entrada na frequência de ressonância Z j2 1 0583 1714 Na frequência que seria a de ressonância se R1 fosse zero 1 LC 283 rads a impedância de entrada seria Z j283 1947 1326 Como pode ser visto na Figura 1610 no entanto a frequência na qual ocorre o módulo máximo da impedância indicada por ωm pode ser determinada como ωm 326 rads e o valor máximo do módulo da impedância é Z j326 1980 214 O módulo da impedância na frequência de ressonância e o módulo máximo diferem em torno de 16 Embora seja verdade que um erro como esse possa ser ocasionalmente desprezado na prática ele é muito grande para ser des prezado em uma prova O último trabalho nesta seção mostrará que o Q da combinação resistorindutor é igual a 1 na frequência de 2 rads esse valor baixo é responsável pela discrepância de 16 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 165 Com referência ao circuito da Figura 169a assuma R1 1 kΩ e C 2533 pF Determine a indutância necessária para que uma frequência de ressonância de 1 MHz seja selecionada Dica Lembrese que ω 2πf Resposta 10 mH u EXEMPLO 164 p FIGURA 1610 Gráfico de Z versus ω gerado usando o seguinte código no MATLAB EDU omega linspace010100 EDU for i 1100 Yi 13 jomegai8 12 jomegai Zi 1Yi end EDU plotomegaabsZ EDU xlabelfrequencyrads EDU ylabelimpedance magnitude ohms Frequência rads Módulo da impedância ohms Seção 164 u Outras formas ressonantes 635 Combinações Série e Paralelo Equivalentes Para transformar o circuito original da Figura 169a em um equivalente com a forma mostrada na Figura 169b devemos discutir o Q de uma sim ples combinação série ou paralelo de um resistor e de um reator indutor ou capacitor Primeiro consideramos o circuito série mostrado na Figura 1611a O Q dessa rede é novamente definido como 2π vezes a relação entre a máxima energia armazenada e a energia perdida em cada período mas Q pode ser avaliado em qualquer frequência que desejarmos Em outras pala vras Q é uma função de ω É verdade que escolheremos avaliálo em uma frequência que é ou que parece ser a frequência de ressonância de alguma rede que inclui o braço série que analisamos Essa frequência contudo não é conhecida até que um circuito mais completo esteja disponível O leitor é encorajado a mostrar que o Q desse braço série é XsRs enquanto o Q da rede paralela da Figura 1611b é RpXp Vamos agora apresentar os detalhes necessários para que obtenhamos valores para Rp e Xp de forma que a rede em paralelo da Figura 1611b seja equivalente à rede em série da Figura 1611a em uma frequência específica Igualamos Ys e Yp Ys 1 Rs jXs Rs jXs R2s X2s Yp 1 Rp j 1 X p e obtemos Rp R2 s X2 s Rs X p R2 s X2 s Xs Dividindo essas duas expressões obtemos Rp X p Xs Rs Daí segue que os Qs das redes série e paralelo devem ser iguais Qp Qs Q As equações de transformação podem portanto ser simplificadas Rp Rs1 Q2 22 X p Xs 1 1 Q2 23 Igualmente Rs e Xs também podem ser obtidas se Rp e Xp forem os valores fornecidos podese fazer a transformação em ambas as direções Se Q 5 o erro introduzido com o uso das seguintes relações aproxi madas é pequeno Rp Q2Rs 24 X p Xs Cp Cs ou L p Ls 25 p FIGURA 1611 a Uma rede série que consiste em uma resistência Rs e uma reatância indutiva ou capacitiva Xs pode ser transformada em b uma rede em paralelo onde Ys Yp em uma frequência específica A transformação inversa é igualmente possível a Ys Rs jXs Rp b Yp jXp Capítulo 16 u Resposta em Frequência 636 Obtenha o equivalente paralelo da combinação série de um indutor de 100 mH e um resistor de 5 Ω na frequência de 1000 rads Detalhes da rede à qual esse circuito série está conectado não estão disponíveis Em ω 1000 rads Xs 1000100 103 100 Ω O Q dessa combinação série é Q Xs Rs 100 5 20 Como o Q é suficientemente alto 20 é muito maior que 5 usamos as Equações 24 e 25 para obter Rp Q2Rs 2000 e Lp Ls 100 mH Afirmamos aqui que um indutor de 100 mH em série com um resistor de 5 Ω fornece essencialmente a mesma impedância que um indutor de 100 mH em paralelo com um resistor de 2000 Ω na frequência de 1000 rads Para verificar a exatidão da equivalência vamos avaliar a impedância de entrada de ambas as redes em 1000 rads Obtemos Zs j1000 5 j100 1001 871o Zp j1000 2000 j100 2000 j100 999 871o e concluímos que a exatidão de nossa aproximação na frequência de trans formação é bem impressionante A exatidão em 900 rads também é razoa velmente boa porque Zs j900 901 868o Zp j900 899 874o u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 166 Em ω 1000 rads obtenha uma rede em paralelo que seja equivalente à combinação série apresentada na Figura 1612a 167 Obtenha um equivalente série para a rede em paralelo mostrada na Figura 1612b assumindo ω 1000 rads Respostas 166 8 H 640 kΩ 167 5 H 250 Ω Como um exemplo adicional da troca de um circuito ressonante mais complicado por um circuito RLC série ou paralelo equivalente vamos con siderar um problema de instrumentação eletrônica O simples circuito RLC série mostrado na Figura 1613a é excitado em sua frequência de ressonân cia por uma fonte de tensão senoidal O valor eficaz rms da fonte é de 05 V e desejamos medir o valor eficaz da tensão nos terminais do capacitor com um voltímetro eletrônico VM possuindo uma resistência interna de 100000 Ω Isto é a representação equivalente do voltímetro é um voltíme tro ideal em paralelo com um resistor de 100 kΩ Antes que o voltímetro seja conectado calculamos uma frequência de ressonância de 105 rads Q0 50 uma corrente de 25 mA e uma tensão no capacitor de 25 V conforme indicado no final da Seção 163 essa tensão é Q0 vezes a tensão aplicada Logo se o voltímetro fosse ideal ele leria 25 V quando conectado aos terminais do capacitor u EXEMPLO 165 p FIGURA 1612 a Uma rede série para a qual necessitase de uma rede equivalente em paralelo em ω 1000 rads b Um rede em paralelo para a qual necessitase de uma rede em série em ω 1000 rads 8 H 100 V a 100 kV 5 H b Um medidor ideal é um instrumento que mede uma determinada grandeza de interesse sem perturbar o circuito testado Embora isso seja impossível instrumentos modernos podem chegar muito perto da condição ideal Seção 164 u Outras formas ressonantes 637 Entretanto quando o voltímetro real é conectado ao circuito temos como resultado o circuito mostrado na Figura 1613b Para obter um cir cuito RLC série é agora necessário substituir a rede RC paralelo por uma rede RC série Vamos assumir que o Q dessa rede RC seja suficientemente alto para que o capacitor equivalente série seja igual ao capacitor original paralelo Fazemos isso para calcular de forma aproximada a frequência de ressonância do circuito RLC série resultante Mas se o circuito RLC série também contém um capacitor de 001 µF a frequência de ressonância permanece igual a 105 rads Essa frequência de ressonância estimada é necessária no cálculo do Q da rede RC paralelo ele é Q Rp X p ωRpCp 10510510 8 100 Como esse valor é maior que 5 nosso círculo vicioso de hipóteses é satis feito e a rede RC equivalente consiste no capacitor Cs 001 µF e no resistor Rs Rp Q2 10 Daí obtémse o circuito equivalente da Figura 1613c O Q desse cir cuito na ressonância é agora apenas 333 e com isso a tensão nos terminais do capacitor no circuito da Figura 1613c é igual a 1623 Mas precisamos determinar VC a queda de tensão na combinação RC obtemos VC 05 30 10 j1000 1667 V A tensão no capacitor e VC são essencialmente iguais já que a queda de tensão no resistor é bem pequena A conclusão final é que um voltímetro aparentemente bom pode ainda assim produzir um efeito severo na resposta de um circuito ressonante com Q alto Um efeito similar pode ocorrer com a inserção de um amperímetro não ideal no circuito Fechamos esta seção com uma fábula técnica p FIGURA 1613 a Um dado circuito ressonante série no qual a tensão nos terminais do capacitor deve ser medida por um voltímetro eletrônico não ideal b O efeito do voltímetro é incluído no circuito o aparelho lê Vc c Obtémse um circuito ressonante série quando a rede RC paralelo da parte b é substituída por uma rede RC série equivalente em 105 rads VC 20 V 001 mF 100 kV 05 V rms v v0 10 mH a VM VC 20 V 001 mF 10 V 05 V rms v v0 105 10 mH c VC 20 V 001 mF 100 kV 05 V rms v v0 105 10 mH b Capítulo 16 u Resposta em Frequência 638 E ra uma vez um estudante chamado Sean que tinha um professor identificado simplesmente como Dr Abel Uma tarde no laboratório Dr Abel deu a Sean três componentes de cir cuito reais um resistor um indutor e um capacitor com valores nominais de 20 Ω 20 mH e 1 µF Foi pedido ao estudante que conectasse uma fonte de tensão com frequência variável à combinação série desses três componentes e que medisse a tensão resultante nos terminais do resistor em função da frequência para que em seguida calculasse os valores numéricos referentes à frequência de ressonância ao Q na condição de ressonância e à largura de faixa de meia potência Também foi pedido ao estudante que fizesse uma previsão dos resultados do experimento antes de fazer as medições Sean primeiro desenhou um circuito equivalente para esse problema parecido com aquele ilustrado na Figura 1614 e então calculou f0 1 2π LC 1 2π 20 10 3 10 6 1125 Hz Q0 ω0L R 707 B f0 Q0 159 Hz Em seguida Sean fez as medições que Dr Abel pedira comparouas com os valores preditos e então sentiu uma forte vontade de pedir transfe rência para a escola de economia Os resultados foram f0 1000 Hz Q0 0625 B 1600 Hz Sean sabia que discrepâncias dessa ordem não estavam dentro dos limites aceitáveis em engenharia ou que poderiam ser atribuídas a erros típicos de medição Infelizmente os resultados foram entregues ao professor Lembrandose de vários erros de julgamento passados alguns dos quais possivelmente feitos consigo mesmo Dr Abel sorriu gentilmente e chamou a atenção de Sean para o medidor de Q ou ponte de impedância que exis tia no laboratório e que costuma existir na maioria dos laboratórios bem equipados e sugeriu que esse dispositivo poderia ser usado para descobrir como os componentes avaliados se comportavam em alguma frequência convenientemente próxima à frequência de ressonância Ao fazer isso Sean descobriu que o resistor tinha um valor medido de 18 Ω e que o indutor apresentava um valor de 214 mH com Q 12 enquanto o capacitor tinha uma capacitância de 141 µF e um fator de dis sipação o inverso de Q igual a 0123 Assim com a esperança eternamente presente nos corações dos estu dantes de engenharia Sean pensou que um melhor modelo para o indutor seria uma indutância de 214 mH em série com ωLQ 112 Ω enquanto um modelo mais apropriado para o capacitor seria uma capacitância de 141 µF em série com 1ωC Q 139 Ω Usando esses dados Sean preparou o modelo de circuito modificado mostrado na Figura 1615 e calculou um novo conjunto de valores preditos p FIGURA 1614 Um primeiro modelo para um indutor de 20 mH um capacitor de 1 µF e um resistor de 20 Ω em série com um gerador de tensão υs υo 1 mF 20 V 20 mH Seção 164 u Outras formas ressonantes 639 p FIGURA 1615 Modelo aperfeiçoado no qual valores mais exatos foram usados e as perdas no indutor e no capacitor foram levadas em consideração υs υo 141 mF 18 V 112 V 139 V 214 mH f0 1 2π 214 10 3 141 10 6 916 Hz Q0 2π 916 214 10 3 1439 0856 B 916 0856 1070 Hz Como esses resultados estavam muito mais próximos dos valores medi dos Sean ficou muito mais contente Dr Abel contudo sendo apegado aos detalhes ponderou a respeito das diferenças verificadas entre os valores medidos e preditos para Q0 e para a largura de faixa Dr Abel perguntou Você levou em consideração a impedância interna da fonte Ainda não disse Sean correndo de volta à bancada do laboratório A impedância em questão tinha afinal um valor de 50 Ω e Sean a adicionou no diagrama do circuito como mostra a Figura 1616 Usando a nova resistência equivalente de 1939 Ω melhores valores foram obtidos para Q0 e B Q0 0635 B 1442 Hz p FIGURA 1616 O modelo final também inclui a resistência de saída da fonte de tensão υo υs 141 mF 18 V 50 V 139 V 214 mH 112 V Como todos os valores teóricos e experimentais apresentavam agora uma concordância dentro de um limite de precisão de 10 Sean voltou a ser um estudante de engenharia confiante e entusiasmado motivado a começar a lição de casa cedo e a ler o livrotexto antes da aula1 Dr Abel simplesmente balançou a cabeça enquanto dava uma lição de moral Quando usar componentes reais Cuidado com os modelos que escolher Pense bem antes de calcular E considere os Zs e os Qs 1 OK isso foi longe demais Desculpeme por isso Capítulo 16 u Resposta em Frequência 640 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 168 A combinação série de 10 Ω e 10 nF está conectada em paralelo com a combinação série de 20 Ω e 10 mH a Obtenha a frequência de ressonância aproximada da rede b Determine o Q do ramo RC c Determine o Q do ramo RL d Obtenha o circuito equivalente com três elementos da rede original Resposta 105 rads 100 50 10 nF 10 mH 333 kΩ 165 MUDANÇA DE ESCALA Alguns dos exemplos e problemas que temos resolvido envolvem circuitos contendo elementos passivos com valores da ordem de alguns ohms alguns henrys e alguns farads e frequências aplicadas da ordem de alguns radianos por segundo Esses valores numéricos foram usados não por serem aqueles comumente encontrados na prática mas porque as manipulações algébricas decorrentes de seu emprego são muito mais fáceis do que as que teríamos caso fosse necessário carregar várias potências de 10 ao longo dos cálculos Os pro cedimentos que discutimos nesta seção nos permitem analisar redes compostas por elementos com especificações normalmente encontradas em aplicações práticas e isso é feito com a mudança de escala dos valores desses elementos para que realizemos cálculos numéricos mais convenientes Consideramos a mudança de escala em módulo e a mudança de escala em frequência Vamos selecionar o circuito ressonante paralelo mostrado na Figura 1617a como nosso exemplo Os valores de elementos utilizados que não são normal mente encontrados na prática levam à curva de resposta atípica desenhada na Figura 1617b a impedância máxima é 25 Ω a frequência de ressonância é 1 rads Q0 é 5 e a largura de faixa é 02 rads Esses valores numéricos caracteri zam melhor equivalentes elétricos de sistemas mecânicos do que qualquer dis positivo elétrico real Temos números que nos são convenientes nos cálculos mas um circuito cuja construção não é possível na prática p FIGURA 1617 a Um circuito ressonante paralelo usado como exemplo para ilustrar a mudança de escala em módulo e frequência b O módulo da impedância de entrada é mostrado em função da frequência Z a 25 V 2 F 1 H 2 b 0 05 1 15 2 05 1 15 2 25 v rads Z V Nosso objetivo é fazer uma mudança de escala nessa rede de forma tal que ela forneça uma impedância máxima de 5000 Ω em uma frequência Lembrese que ordenada se refere ao eixo vertical e que abscissa se refere ao eixo horizontal Seção 165 u Mudança de escala 641 de ressonância de 5 106 rads ou 796 kHz Em outras palavras podemos usar a mesma curva de resposta mostrada na Figura 1617b se todos os valores no eixo das ordenadas forem multiplicados por um fator de 2000 e todos os valores no eixo das abscissas forem multiplicados por um fator de 5 106 Vamos tratar essa questão como dois problemas 1 mudança de escala em módulo com a aplicação de um fator de 2000 e 2 mudança de escala em frequência com a aplicação de um fator de 5 106 A mudança de escala em módulo é definida como o processo pelo qual se aumenta Km vezes a impedância de uma rede com dois terminais ficando a frequência constante O fator Km é real e positivo ele pode ser maior ou menor que um Vamos entender que a frase abreviada a rede sofreu uma mudança de escala em módulo de 2 vezes indica que a impedância da nova rede deve ser o dobro da impedância da rede anterior em todas as frequências Vamos agora determinar como devemos fazer a mudança de escala em cada tipo de elemento passivo Para aumentar a impedância de entrada de uma rede Km vezes basta aumentar o valor da impedância de cada elemento de acordo com esse mesmo fator Logo uma resistência R deve ser trocada por uma resistência KmR Cada indutância também deve exibir uma impedância Km vezes maior em todas as frequências Para aumentar Km vezes a impedân cia sL enquanto s permanece constante a indutância L deve ser substituída por uma indutância KmL De forma similar cada capacitância deve ser subs tituída por uma capacitância CKm Em resumo essas alterações vão produzir uma rede que sofre uma mudança de escala em módulo dada por um fator Km R S Km R L S KmL C S C Km t mudança de escala em módulo Quando cada elemento na rede da Figura 617a sofre uma mudança de escala em módulo com a aplicação de um fator de 2000 temse como resultado a rede da Figura 1618a A curva de resposta mostrada na Figura 1618b indica que nenhuma mudança precisa ser feita na curva de resposta desenhada anteriormente exceto na escala das ordenadas Vamos agora fazer uma mudança de escala em frequência nessa rede Definimos a mudança de escala em frequência como o processo pelo qual a frequência associada a cada impedância aumenta com a aplicação de um fator Kf Novamente utilizamos a expressão abreviada a rede sofreu uma mudança de escala em frequência de 2 vezes para indicar que a mesma impedância pode agora ser obtida em uma frequência duas vezes maior A mudança de escala em frequência deve ser feita em todos os elementos de um circuito É claro que o resistor não é afetado A impedância de qual quer indutor é sL e se essa mesma impedância deve ser obtida em uma frequência Kf vezes maior então a indutância deve ser substituída por uma indutância LKf De forma similar uma capacitância C deve ser substituída por uma capacitância CKf Logo se uma rede sofrer uma mudança de escala em frequência com a aplicação de um fator Kf então as mudanças necessárias em cada elemento passivo são p FIGURA 1618 a A rede da u da Figura 1617a após sofrer uma mudança de escala em módulo com a aplicação de um fator Km 2000 b A curva de resposta correspondente Z a 5 kV 103 F 1000 H b 0 05 1 15 2 1 2 3 4 5 v rads Z kV Capítulo 16 u Resposta em Frequência 642 R S R L S L K f C S C K f u mudança de escala em frequência Quando cada elemento da rede ilustrada na Figura 1618a que sofreu uma mudança de escala em módulo passa por uma mudança de escala em frequência com a aplicação de um fator de 5 106 obtémse a rede da Figura 1619a A curva de resposta correspondente é mostrada na Figura 1619b p FIGURA 1619 a A rede da Figura 1618a após sofrer uma mudança de escala na frequência com a aplicação de um fator Kf 5 106 b A curva de resposta correspondente Z a 5 kV 200 mH 200 pF b 0 25 5 75 10 1 2 3 4 5 v Mrads ZkV Os elementos de circuito presentes nessa última rede possuem valores que são facilmente obtidos em circuitos reais a rede pode ser construída e testada na prática Daí segue que se a rede original da Figura 1617a é de fato um circuito equivalente de algum sistema mecânico ressonante pode mos fazer uma mudança de escala tanto em módulo quanto em frequência para obter uma rede que possa ser construída no laboratório testes caros ou inconvenientes de se fazer em sistemas mecânicos podem portanto ser feitos em sistemas elétricos após uma mudança de escala Para que a análise seja concluída os resultados obtidos devem então ser convertidos de volta para unidades mecânicas por meio de uma nova mudança de escala Uma impedância dada em função de s também pode sofrer uma mudan ça de escala em módulo ou em frequência e isso pode ser feito sem que se tenha qualquer conhecimento sobre os elementos específicos que formam a rede de dois terminais à qual ela está relacionada Para se alterar o módulo de Zs por meio de uma mudança de escala a definição da mudança de escala em módulo mostra que basta multiplicar Zs por Km para que a nova impedância seja obtida Portanto a impedância do circuito Zʹs que sofreu uma mudança de escala em módulo é Zs KmZs Se Zs deve agora sofrer uma mudança de escala em frequência com a aplicação de um fator de 5 106 então Zs e Zs devem fornecer o mesmo valor de impedância se Zs for avaliada em uma frequência Kf vezes aquela na qual se avalia Zs ou Seção 165 u Mudança de escala 643 Z s Z s K f Embora a mudança de escala seja um processo normalmente aplicado em elementos passivos fontes dependentes também podem sofrer mudanças de escala em módulo e em frequência Assumimos que a saída de uma fonte seja dada como kxvx ou kyiy onde kx tem dimensão de admitância para uma fonte dependente de corrente e é adimensional para uma fonte dependente de tensão enquanto ky tem dimensão de ohms para uma fonte dependente de tensão e é adimensional para uma fonte de corrente dependente Se a rede contendo a fonte dependente sofrer uma mudança de escala em módulo com a aplicação de um fator Km então é necessário tratar apenas kx ou ky como se ele fosse o tipo de elemento consistente com as suas dimensões Isto é se kx ou ky for adimensional ele permanece inalterado se for uma admitância deve ser dividido por Km e se for uma impedância deve ser multiplicado por Km A mudança de escala em frequência não afeta as fontes dependentes Faça uma mudança de escala na rede mostrada na Figura 1620 aplican do os fatores Km 20 e Kf 50 e então obtenha Zents para a nova rede A mudança de escala em módulo do capacitor é feita com a divisão de 005 F pelo fator de escala Km 20 e a sua mudança de escala em frequência é feita com a divisão por Kf 50 Realizando ambas as operações simultaneamente Cescala 005 2050 50 μF O indutor também sofre uma mudança de escala Lescala 2005 50 200 mH Ao alterar a escala da fonte dependente apenas uma mudança em módulo deve ser considerada pois a mudança de escala em frequência não afeta fon tes dependentes Como esta é uma fonte de corrente controlada por tensão a constante multiplicativa tem unidades de AV ou S Como o fator tem uni dades de admitância dividimolo por Km e com isso o novo termo é 001V1 A rede resultante após a mudança de escala é mostrada na Figura 1620b Para obter a impedância da nova rede precisamos aplicar uma fonte de teste de 1 A nos terminais de entrada Podemos trabalhar com qualquer circuito entretanto vamos primeiro obter a impedância da rede mostrada na Figura 1620a antes de sofrer a mudança de escala e então realizar uma mudança de escala no resultado Com referência à Figura 1620c Vent V1 05s1 02V1 Também V1 20 s 1 u EXEMPLO 166 05s V 02V1 20s V 1 A Vent V1 c Zent V1 02V1 005 F 05 H a Zent 200 mH 001V1 50 mF V1 b p FIGURA 1620 a Uma rede que deve sofrer uma mudança de escala em módulo de 20 vezes e uma mudança de escala em frequência de 50 vezes b A rede após a mudança de escala c Uma fonte de teste de 1 A é aplicada nos terminais de entrada da rede da parte a antes dela sofrer a mudança de escala para que a sua impedância de entrada seja determinada Capítulo 16 u Resposta em Frequência 644 A realização da substituição indicada seguida de pequenas manipulações algébricas leva a Zent Vent 1 s2 4s 40 2s Para realizar a mudança de escala necessária nessa grandeza para fazer com que ela corresponda ao circuito da Figura 1620b multiplicamola por Km 20 e substituímos s por sKf s50 Logo Zentescala 02s2 40s 20000 s u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 169 Um circuito ressonante paralelo é definido por C 001 F B 25 rads e ω0 20 rads Obtenha os valores de R e L se a rede sofrer uma mudança de escala em a módulo com a aplicação de um fator de 800 b em frequência com a aplicação de um fator de 104 c módulo e frequência com a aplicação de fatores de 800 e 104 respectivamente Reposta 32 kΩ 200 H 40 Ω 25 µH 32 kΩ 20 mH 166 DIAGRAMAS DE BODE Nesta seção vamos descobrir um método rápido para obter um quadro aproximado da variação de amplitude e fase de uma dada função de trans ferência em função de ω Curvas exatas podem ser obtidas é claro com o cálculo dos valores em uma calculadora programável ou em um compu tador curvas também podem ser produzidas diretamente no computador Nosso objetivo aqui no entanto é obter uma visualização melhor do que a que temos em um gráfico de polos e zeros sem que iniciemos contudo uma ofensiva utilizando todos os recursos computacionais de que dispomos A Escala em Decibel dB A resposta aproximada que vamos construir é chamada de gráfico assin tótico gráfico de Bode ou diagrama de Bode em homenagem a quem o desenvolveu Hendrik W Bode um engenheiro eletricista e matemático que trabalhou na Bell Telephone Laboratories As curvas de fase e de módulo são mostradas em função de uma escala logarítmica de frequências na abscissa e o módulo também é mostrado em unidades logarítmicas cha madas de decibéis dB Definimos o valor de Hjω em dB como HdB 20 log Hjω onde se usa a base logarítmica comum base 10 um multiplicador de 10 ao invés de 20 é usado para funções de transferência de potência mas não precisaremos dele aqui A operação inversa é Hjω 10HdB20 O decibel recebeu esse nome em homenagem a Alexander Graham Bell Seção 166 u Diagramas de Bode 645 Antes de começarmos para valer uma discussão detalhada sobre a técnica de traçado de diagramas de Bode é interessante adquirir algum sentimento sobre o decibel aprender alguns de seus valores importantes e lembrar algumas propriedades dos logaritmos Como log 1 0 log 2 030103 e log 10 1 notamos as correspondências H jω 1 3 HdB 0 H jω 2 3 HdB 6 dB H jω 10 3 HdB 20 dB Um aumento de 10 vezes em Hjω corresponde a um aumento de 20 dB em HdB Além disso log 10n n e então 10n 20n dB de forma que 1000 corresponde a 60 dB enquanto 001 é representado como 40 dB Usando apenas os valores já dados podemos também notar que 20 log 5 20 log 102 20 log 10 20 log 2 20 6 14 dB e assim 5 14 dB Também logx 12 log x e portanto 2 3 dB e 12 3 dB2 Vamos escrever nossas funções de transferência em termos de s subs tituindo s jω quando estivermos preparados para encontrar o módulo ou o ângulo de fase Se quisermos o módulo poderá ser escrito em termos de dB naquele ponto u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1610 Calcule HdB em ω 146 rads se Hs é igual a a 20s 100 b 20s 100 c 20s Calcule Hjω se HdB é igual a d 292 dB e 156 dB f 0318 dB Resposta 1894 dB 710 dB 693 dB 288 01660 0964 Determinação das Assíntotas Nosso próximo passo é fatorar Hs para mostrar seus polos e zeros Pri meiro consideramos um zero em s a escrito de forma padronizada como Hs 1 s a 26 O diagrama de Bode dessa função consiste em duas curvas assintóticas aproximadas por HdB em valores muito grandes e muito pequenos de ω Assim começamos obtendo H jω 1 jω a 1 ω2 a2 e assim HdB 20 log 1 jω a 20 log 1 ω2 a2 2 Note que estamos sendo ligeiramente desonestos aqui ao usar 20 log 2 6 dB ao invés de 602 dB É corriqueiro no entanto representar 2 como 3 dB como a escala de dB é inerentemente logarítmica essa pequena inexatidão é raramente significativa Capítulo 16 u Resposta em Frequência 646 Quando ω a HdB 20 log 1 0 ω a Essa assíntota simples está mostrada na Figura 1621 Ela é desenhada como uma linha sólida para ω a e como uma linha verde para ω a 20 20 40 0 01a 001a 10a 100a a HdB vlog p FIGURA 1621 O diagrama de Bode para o módulo de Hs 1 sa consiste nas assíntotas de baixas e altas frequências mostradas como linhas tracejadas Elas interceptam a abscissa na frequência de corte O diagrama de Bode representa a resposta em termos de duas assíntotas ambas linhas retas facilmente traçáveis Quando ω a HdB 20 log ω a ω a Em ω 1 HdB 0 em ω 10a HdB 20 dB e em ω 100a HdB 40 dB Logo o valor de Hdb cresce 20 dB para cada aumento de 10 vezes na frequência A assíntota tem portanto uma inclinação de 20 dBdécada Como HdB cresce 6 dB quando ω dobra um valor alternativo para a inclina ção é 6 dBoitava A assíntota para altas frequências também é mostrada na Figura 1621 uma linha sólida para ω a e tracejada para ω a Notamos que as duas assíntotas se interceptam em ω a a frequência do zero Essa frequência também é chamada de frequência de canto corte ou de meia potência Suavizando Diagramas de Bode Vamos ver que erro está embutido em nossa curva de resposta assintótica Na frequência de canto ω a HdB 20 log 1 a2 a2 3 dB que deve ser comparado com o valor assintótico de 0 dB Em ω 05a temos HdB 20 log 125 1 dB Assim a resposta exata é representada por uma curva suave que passa 3 dB acima da resposta assintótica em ω a e 1 dB acima dela em Uma década se refere a um intervalo de frequências definido por um fator de 10 como de 3 Hz a 30 Hz ou de 125 MHz a 125 MHz Uma oitava se refere a um intervalo de frequências definido por um fator de 2 como de 7 GHz a 14 GHz Note que continuamos a adotar a convenção de assumir que 2 corresponda a 3 dB Seção 166 u Diagramas de Bode 647 ω 05a e também em ω 2a Essa informação pode sempre ser usada para suavizar o diagrama de Bode se um resultado mais exato for desejado Termos Múltiplos A maioria das funções de transferência consiste em mais de um zero sim ples ou polo simples No entanto isso é facilmente considerado pelo método de Bode já que estamos trabalhando com logaritmos Por exemplo considere uma função Hs K 1 s s1 1 s s2 onde K constante e s1 e s2 representam os dois zeros de nossa função Hs Podemos escrever HdB para essa função como HdB 20 log K 1 jω s1 1 jω s2 20 log K 1 ω s1 2 1 ω s2 2 ou HdB 20 log K 20 log 1 ω s1 2 20 log 1 ω s2 2 que é simplesmente a soma de um termo constante independente da frequên cia dado por 20 log K e dois termos referentes a zeros simples na forma que já havíamos considerado anteriormente Em outras palavras podemos esboçar HdB simplesmente fazendo a soma dos gráficos dos ter mos separados Exploramos isso no exemplo seguinte Obtenha o diagrama de Bode da impedância de entrada da rede mostra da na Figura 1622 Hs Zents 02 H 20 V p FIGURA 1622 Se Hs é selecionado como Zents para essa rede então o diagrama de Bode de HdB é como mostrado na Figura 1623b Temos a impedância de entrada Zents Hs 20 02s Colocandoa na forma padronizada obtemos Hs 20 1 s 100 u EXEMPLO 167 Capítulo 16 u Resposta em Frequência 648 Os dois fatores que constituem Hs são um zero em s 100 que leva a uma frequência de quebra em ω 100 rads e uma constante equivalente a 20 log 20 26 dB Cada um desses fatores está traçado na Figura 1623a Como estamos trabalhando com o logaritmo de Hjω somamos em seguida os diagramas correspondentes aos fatores individuais O gráfico de resultante aparece na Figura 1623b Nenhuma tentativa foi feita para suavizar a quebra com uma correção de 3dB em ω 100 rads isso é deixado para o leitor como um exercício rápido u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1611 Construa um diagrama de Bode para o módulo de Hs 50 s Resposta 24 dB ω 50 rads inclinação 20dBdécada ω 50 rads Resposta em Fase Retornando à função de transferência da Equação 26 queremos agora determinar a resposta em fase do zero simples âng H jω âng 1 jω a tan 1 ω a Essa expressão também é representada por assíntotas embora três seg mentos de reta sejam agora necessários Para ω a âng Hjω 0o e usamos isto como nossa assíntota quando ω 01a âng Hjω 0o ω 01a Em altas frequências ω a temos âng Hjω 90o e usamos isto acima de ω 10a âng Hjω 90o ω 10a Como o ângulo é igual a 45o em ω a construímos agora uma assíntota representada por uma linha reta se estendendo de 0o em ω 01a até 90o em ω 10a passando por 45o em ω a Essa linha reta tem uma inclinação de 45odécada Ela é mostrada como uma curva sólida na Figura 1624 enquanto a resposta em ângulo exata é mostrada como uma linha tracejada As diferenças máximas entre as respostas assintóticas reais são iguais a 571o em ω 01a e 10a Erros de 529o ocorrem em ω 0394a e 254a o erro é nulo em ω 0159a a e 631a O gráfico do ângulo de fase é tipi camente feito como uma aproximação de linhas retas embora curvas suaves também possam ser traçadas de maneira similar à mostrada na Figura 1624 Vale a pena fazer uma breve pausa aqui para analisar o que nos diz o gráfico de fase No caso de um zero simples em s a vemos que em frequências muito menores que a frequência de canto a fase da função resposta é 0o Em altas frequências no entanto ω a a fase é 90o Na vizinhança da frequência de canto a fase da função de transferência apre senta uma variação relativamente rápida O ângulo de fase desejado para a resposta pode portanto ser determinado através do projeto do circuito que determina a a 1 10 100 20 dBdéc 20 log 20 26 dB 1000 40 20 vlog rads HdB b 1 10 100 26 dB 1000 40 20 vlog rads HdB 20 dBdéc p FIGURA 1623 a Os diagramas de Bode para os fatores de Hs 201 s100 são desenhados individualmente b O diagrama de Bode composto é mostrado como a soma dos gráficos da parte a Seção 166 u Diagramas de Bode 649 135 90 45 0 01a 001a 10a 100a a âng Hjv vlog p FIGURA 1624 A resposta assintótica do ângulo de Hs 1 sa é mostrada como três segmentos de reta em cor sólida Os pontos finais da rampa são 0o em 01a e 90o em 10a A linha tracejada representa uma resposta mais exata suavizada u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1612 Desenhe o diagrama de Bode para a fase da função de transferência do Exemplo 167 Resposta 0o ω 10 90o ω 1000 45o ω 100 45odéc de inclinação 10 ω 1000 ω em radianos Considerações Adicionais Sobre a Construção de Diagramas de Bode Consideramos a seguir um polo simples Hs 1 1 s a 27 Como essa equação é o inverso de um zero a operação logarítmica leva a um diagrama de Bode que é o negativo daquele obtido anteriormente A amplitude é 0 dB até ω a e então a inclinação é igual a 20 dBdécada para ω a O gráfico do ângulo é igual a 0o para ω 01a 90o para ω 10a e 45o em ω a com uma inclinação de 45odécada quando 01a ω 10a O leitor é encorajado a gerar o diagrama de Bode para essa função trabalhando diretamente com a Equação 27 Um outro termo que pode aparecer em Hs é um fator s no numerador ou no denominador Se Hs s então HdB 20 log ω Logo temos uma linha reta infinita passando por 0 dB em ω 1 com inclinação de 20 dBdécada Isso é mostrado na Figura 1625a Se o fator s aparecer no denominador obtemos uma linha reta com inclinação de 20 dBdécada passando por 0 dB em ω 1 como mostrado na Figura 1625b Um outro termo simples encontrado em Hs é a constante multiplicati va K Ela leva a um diagrama de Bode que é simplesmente uma linha reta horizontal 20log K dB acima da abscissa Se K 1 a linha reta passa na realidade abaixo da abscissa p FIGURA 1625 Os diagramas assintóticos são mostrados para a Hs s e Hs 1s Ambos são linhas retas infinitamente longas passando por 0 dB em ω 1 tendo inclinação de 20 dBdécada 20 20 01 1 10 a 100 Inclinação de 20 dB por década HdB vlog rads 20 20 01 1 10 b 100 HdB vlog rads Inclinação 20 dB por década 20 20 01 1 10 a 100 Inclinação de 20 dB por década HdB vlog rads 20 20 01 1 10 b 100 HdB vlog rads Inclinação 20 dB por década Capítulo 16 u Resposta em Frequência 650 Obtenha o diagrama de Bode para o ganho do circuito mostrado na Fi gura 1626 Vx Vsaída 4 kV 10 nF 5 kV Vent Vx 200 20 mF 1 kV p FIGURA 1626 Se Hs VsVent esse amplificador tem o diagrama de Bode cujo módulo é mostrado na Figura 1627b e cuja fase é mostrada na Figura 1628 Trabalhamos da esquerda para a direita no circuito e escrevemos a expressão para o ganho de tensão Hs Vsaída Vent 4000 5000 106 20s 1 200 5000108 s 5000 108 s que pode ser simplificada ainda bem para Hs 2s 1 s 101 s 20000 28 Temos uma constante 20 log 2 6 dB pontos de quebra em ω 10 rads e ω 20000 rads e um fator linear s Cada um desses termos está desenhado na Figura 1627a e os quatro gráficos são somados para gerar o diagrama de Bode da Figura 1627b 40 20 20 01 1 10 100 6 dB 103 104 105 106 a vlog rads Vsaída Vent dB 40 20 20 01 1 10 100 103 104 105 106 b vlog rads Vsaída Vent dB u EXEMPLO 168 u FIGURA 1627 a Diagramas de Bode individuais feitos para os módulos dos fatores 2 s 1 s101 e 1 s200001 b Os quatro gráficos separados da partea são somados para gerar o diagrama de Bode do módulo do ganho do amplificador da Figura 1626 Seção 166 u Diagramas de Bode 651 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1613 Construa um diagrama de Bode para o módulo de Hs se essa função for igual a a 50s 100 b s 10s 100 c s 10s Resposta a 6 dB ω 100 20 dBdécada ω 100 b 20 dB ω 10 20 dB década 10 ω 100 0 dB ω 100 c 0 dB ω 10 20 dBdécada ω 10 Antes de construir o gráfico de fase para o amplificador da Figura 1626 vamos investigar por um momento vários detalhes presentes no gráfico do módulo Em primeiro lugar é sábio não confiar demais na soma gráfica dos dia gramas de módulo individuais Ao invés disso o valor exato do diagrama combinado pode ser facilmente obtido em pontos selecionados com a con sideração do valor assintótico de cada fator de Hs no ponto em questão Por exemplo na região plana da Figura 1627a entre ω 10 e ω 20000 estamos abaixo da quebra em ω 20000 e então representamos 1 s20000 como 1 mas estamos acima de ω 10 então o termo 1 s10 é representado como ω10 Daí HdB 20 log 2ω ω 101 20 log 20 26 dB 10 ω 20000 Também poderíamos desejar saber a frequência na qual a resposta assintótica cruza a abscissa na região de altas frequências Os dois fatores são expressos aqui como ω10 e ω20000 logo HdB 20 log 2ω ω 10ω 20000 20 log 400000 ω Como HdB 0 no cruzamento com a abscissa 400000ω 1 e portanto ω 400000 rads Muitas vezes não precisamos de um diagrama de Bode exato desenhado em papel semilogarítmico Ao invés disso podemos construir um eixo de frequências logarítmico de forma grosseira em papel comum Após especi ficar o intervalo correspondente a uma década digamos uma distância L se estendendo de ω ω1 até ω 10ω1 onde ω1 é usualmente uma potência inteira de 10 fazemos com que x localize a distância ω à direita de ω1 de forma que xL log ωω1 É particularmente útil saber que x 03L quando ω 2ω1 x 06L em ω 4ω1 e x 07L em ω 5ω1 Desenhe o gráfico de fase da função de transferência dada pela Equação 28 Hs 2s1 s101 s20000 Começamos inspecionando Hjω H jω j2ω 1 jω 101 jω 20000 29 O ângulo do numerador é uma constante 90o u EXEMPLO 169 Capítulo 16 u Resposta em Frequência 652 Os fatores restantes são representados como a soma de ângulos associados aos pontos de quebra em ω 10 e ω 20000 Esses três termos aparecem na Figura 1628 como curvas assintóticas tracejadas e a sua soma é mostrada como a curva contínua Uma representação equivalente é obtida se a curva for deslocada 360o para cima 90 90 180 270 0 1 10 100 103 2 3 105 2 3 103 104 105 106 107 âng H jv vlog rads p FIGURA 1628 A curva sólida mostra a resposta assintótica em fase do amplificador da Figura 1626 Valores exatos também podem ser obtidos para a resposta de fase assintótica Por exemplo em ω 104 rads o ângulo na Figura 1628 é obtido a partir dos termos no numerador e no denominador da Equação 29 O ângulo do numerador é 90o O ângulo do polo em ω 10 é 90o já que ω é maior que 10 vezes a frequência de corte Entre 01 e 10 vezes a frequência de canto lembramos que a inclinação é igual a 45o por década para um polo simples Para o ponto de quebra em 20000 rads calculamos portanto o ângulo 45o logω01a 45o log1000001 20000 315o A soma algébrica dessas três contribuições é 90o 90o 315o 2115o um valor que parece ser moderadamente próximo da curva assintótica de fase da Figura 1628 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1614 Desenhe o diagrama de Bode para a fase de Hs se essa função for igual a a 50s 100 b s 10s 100 c s 10s Resposta a 0o ω 10 45odécada 10 ω 1000 90o ω 1000 b 0o ω 1 45odécada 1 ω 10 45o 10 ω 100 45odécada 100 ω 1000 0o ω 1000 c 90o ω 1 45odécada 1 ω 100 0o ω 100 Termos de Ordem Elevada Os zeros e polos que temos considerado até agora são todos termos de pri meira ordem como s1 1 02s1 e assim por diante Podemos facilmente estender a nossa análise a polos e zeros de ordem mais elevada no entanto Um termo sn leva a uma resposta em módulo que passa por ω 1 com uma inclinação de 20n dBdécada a resposta em fase é um ângulo constante de 90no Da mesma forma um zero múltiplo 1 san deve representar Seção 166 u Diagramas de Bode 653 a soma de n curvas de resposta em módulo ou de n curvas de resposta em fase associadas a um zero simples Obtemos portanto um gráfico assintótico de resposta em módulo que é 0 dB para ω a e tem uma inclinação de 20n dBdécada quando ω a o erro é 3n dB em ω a e n dB em ω 05a e 2a O gráfico de fase é igual a 0o para ω 01a 90no para ω 10a 45no em ω a e uma linha reta com uma inclinação de 45no dBdécada para 01a ω 10a com erros máximos de 571no em duas frequências As curvas assintóticas de resposta em módulo e fase associadas a um fator como 1 s203 podem ser desenhadas rapidamente mas os erros relativamente significativos associados às potências mais elevadas devem ser tidos em mente Pares Complexos Conjugados O último tipo de fator que devemos considerar corresponde a um par complexo conjugado de polos e zeros Adotamos a seguinte forma como a representação padrão para um par de zeros Hs 1 2ζ s ω0 s ω0 2 a grandeza ζ é o fator de amortecimento apresentado na Seção 161 e vamos ver rapidamente que ω0 é a frequência de corte da resposta assintótica Se ζ 1 vemos que Hs 1 2sω0 sω02 1 sω02 um zero de segunda ordem como aquele que acabamos de considerar Se ζ 1 então Hs pode ser fatorado para mostrar dois zeros simples Logo se ζ 125 então Hs 1 25sω0 sω02 1 s2ω01 s05ω0 e temos novamente uma situação familiar Um novo caso surge quando 0 ζ 1 Não é necessário obter valores para o par complexo conjugado de raízes Ao invés disso determinamos os valores assintóticos em altas e baixas frequências para as respostas em módulo e fase e então aplicamos um fator de correção que depende do valor de ζ Para a resposta em módulo temos HdB 20 log H jω 20 log 1 j2ζ ω ω0 ω ω0 2 30 Quando ω ω0 Hdb 20 log 1 0 dB Essa é assíntota para as bai xas frequências Em seguida se ω ω0 apenas o termo ao quadrado é importante e HdB 20 log ωω02 40 logωω0 Temos uma inclinação de 40dBdécada Essa é a assíntota para as altas frequências e as duas assíntotas se interceptam em 0 dB ω ω0 A curva sólida na Fig 1629 mostra essa representação assintótica da resposta em módulo Entretanto uma correção deve ser feita na vizinhança da frequência de corte Fazendo ω ω0 na Equação 30 temos HdB 20 log j2ζ ω ω0 20 log2ζ 31 Capítulo 16 u Resposta em Frequência 654 10 10 20 ζ 1 ζ 05 ζ 025 ζ 01 30 01v0 40 dBdéc v0 10v0 001v0 HdB vlog rads p FIGURA 1629 Diagramas de Bode para o módulo de Hs 1 2ζsω0 sω02 são mostrados para vários valores do fator de amortecimento ζ Se ζ 1 um caso limite o fator de correção é 6 dB para ζ 05 nenhum fator de correção é necessário e se ζ 01 a correção é de 14 dB O conhecimento do valor do fator de correção é frequentemente sufi ciente para se traçar uma resposta assintótica em módulo A Figura 1629 mostra curvas mais exatas para ζ 1 05 025 e 01 calculadas a partir da Equação 30 Por exemplo se ζ 025 então o valor exato de HdB em ω 05ω0 é HdB 20 log 1 j025 025 20 log0752 0252 20 dB Os picos negativos não apresentam um valor mínimo exatamente em ω ω0 como podemos ver na curva para ζ 05 O vale é sempre encon trado em uma frequência ligeiramente inferior Se ζ 0 então Hjω0 0 e HdB Diagramas de Bode não são usualmente traçados para essa situação Nossa última tarefa é desenhar a resposta assintótica em fase para Hjω 1 2ζωω0 ωω02 Abaixo de ω 01ω0 temos âng Hjω 0o acima de ω 10ω0 temos âng Hjω âng ωω02 180o Na frequência de canto âng Hjω ângj2ζ 90o No intervalo 01ω0 ω 10ω0 começamos com a linha reta mostrada como uma curva sólida na Figura 1630 Ela se estende de 01ω0 0o até 10ω0 180o passando por ω0 90o ela tem uma inclinação de 90odécada Devemos agora propor alguma correção para essa curva básica para vários valores de ζ A partir da Equação 30 temos âng H jω tan 1 2ζωω0 1 ωω 02 Seção 166 u Diagramas de Bode 655 30 60 90 90déc ζ 01 ζ 025 ζ 05 ζ 1 120 150 180 01v0 10v0 v0 001v0 âng Hjv vlog rads p FIGURA 1630 A representação aproximada da característica de fase de Hjω 1 2ζω ω0 ωω02 é mostrada como uma linha sólida e a resposta de fase verdadeira é mostrada como linhas tracejadas para ζ 1 05 025 e 01 Um valor exato acima e abaixo de ω ω0 pode ser suficiente para dar à curva uma forma aproximada Se escolhemos ω 05ω0 obtemos âng Hj05ω0 tan14ζ 3 enquanto o ângulo é igual a 180o tan14ζ 3 em ω 2ω0 Curvas de fase são mostradas como linhas tracejadas na Figura 1630 para ζ 1 05 025 e 01 pontos cheios identificam os valores exatos em ω 05ω0 e ω 2ω0 Se o fator quadrático aparecer no denominador tanto a curva de módulo quanto a de fase são o negativo daquelas que acabamos de discutir Conclu ímos o estudo dos diagramas de Bode com um exemplo que contém fatores lineares e quadráticos Construa o diagrama de Bode para a função de transferência Hs 100000ss 110000 20s s2 Vamos considerar primeiro o fator quadrático e arranjálo de um jeito no qual possamos ver o valor de ζ Começamos dividindo o fator de segunda ordem por seu termo constante 10000 Hs 10s 1 s1 0002s 00001s2 Uma inspeção no termo em s2 mostra que ω0 100001 100 Então a parte linear do termo quadrático é escrita de forma a mostrar o fator 2 o fator sω0 e finalmente o fator ζ Hs 10s 1 s1 201s 100 s 1002 Vemos que ζ 01 As assíntotas para a curva de resposta em módulo são traçadas em linhas trace jadas na Figura 1631 20 dB para o fator de 10 uma linha reta infinita passando por ω 1 com uma inclinação de 20 dB por década para o fator s uma quebra em ω 1 para o polo simples e uma quebra em ω 100 com uma inclinação de 40 dBdécada para o termo de segunda ordem presente no denominador u EXEMPLO 1610 Capítulo 16 u Resposta em Frequência 656 Somando essas quatro curvas e aplicando um fator de correção de 14 dB no termo quadrático temos a curva cheia mostrada na Figura 1631 20 20 01 1 10 100 HdB vlog rads p FIGURA 1631 Diagrama de Bode para o módulo da função de transferência Hs 100000s s 110000 20s s2 A resposta em fase contém três componentes 90o para o fator s 0o para ω 01 90o para ω 10 e 45odécada para o polo simples e 0o para ω 10 180o para ω 1000 e 90o por década para o fator quadrático A soma des sas três assíntotas mais a correção para ζ 01 é mostrada na curva sólida na Figura 1632 90 90 180 1 01 10 100 1000 âng Hjv vlog rads p FIGURA 1632 Diagrama de Bode para a fase da função de transferência Hs 100000s s 110000 20s s2 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1615 Se Hs 1000s2s2 5s 100 desenhe o diagrama de Bode e cal cule o valor para a ω quando HdB 0 b HdB em ω 1 c HdB à medida que ω Resposta 0316 rads 20 dB 60 dB Seção 166 u Diagramas de Bode 657 A técnica de geração de diagramas de Bode é valiosa Há muitas situações nas quais precisamos rapidamente de um diagrama aproximado como em pro vas ou quando avaliamos uma determinada topologia de circuito para uma aplicação específica e o simples conhecimento da forma geral da resposta já basta Além disso diagramas de Bode podem ser muito valiosos no projeto de filtros permitindonos selecionar fatores e valores de coeficientes Em situações onde curvas de resposta exatas são necessárias como quando veri ficamos o projeto final de um circuito há muitas ferramentas computacionais disponíveis para os engenheiros A primeira técnica que consideramos aqui é o uso do MATLAB para gerar curvas de resposta em frequência Para fazer isso o circuito deve ser primeiramente analisado para se obter a função de transferência correta Entretanto não é necessário fator ar ou simplificar a expressão obtida Considere o circuito na Figura 1626 Determinamos previamente que a fun ção de transferência desse circuito pode ser expressa como Hs 2s 1 s 101 s 20000 Buscamos um gráfico detalhado para essa função no intervalo de frequências de 100 mrads a 1 Mrads Como o gráfico final deve ser desenhado em uma escala logarítmica não há necessidade de separarmos nossas frequências discretas em intervalos uniformes Ao invés disso usamos no MATLAB a função logspace para gerar um vetor de frequências onde os dois primeiros argumentos representam potências de 10 para as frequências inicial e final respectivamente 1 e 6 neste exemplo e o terceiro argumento é o número total de pontos desejados Assim nosso código no MATLAB é EDU w logspace16100 EDU denom 1jw101jw20000 EDUH 2jw denom EDUHdb 20log10absH EDUsemilogxw HdB EDUxlabelfrequency rads EDU ylabel Hjw dB que resulta no gráfico mostrado na Figura 1633 u ANÁLISE AUXILIADA POR COMPUTADOR t FIGURA 1633 Gráfico de HdB gerado usando o MATLAB Capítulo 16 u Resposta em Frequência 658 Alguns comentários devem ser feitos sobre o código no MATLAB Primeiro note que substituímos s jω em nossa expressão para Hs Além disso o MATLAB trata a variável w como um vetor ou uma matriz unidimensional Como tal essa variável pode causar dificuldades no denominador de uma expressão assim que o MATLAB tentar aplicar as regras de álgebra matricial Assim o denominador de Hjω é computado em uma linha separada e o operador é necessário ao invés de para multiplicar os dois termos Esse novo operador é equivalente ao seguinte código no MATLAB EDU for k 1 100 denom 1 jwk10 1 jwk20000 end De maneira similar o novo operador é usado na linha de código subse quente Queremos os resultados em dB então usamos a função log10 log representa o logaritmo natural no MATLAB Finalmente o novo comando semilogx é usado para gerar um gráfico com uma escala logarítmica no eixo x O leitor é encorajado neste ponto a voltar aos exemplos anteriores e usar essas técnicas para gerar curvas exatas para comparação com os diagramas de Bode correspondentes O PSpice também é comumente usado para gerar curvas de resposta em frequência especialmente na avaliação de um projeto final A Figura 1634a mostra o circuito da Figura 1626 onde a queda de tensão no resistor R3 representa a tensão de saída desejada O componente VAC foi empregado com uma tensão fixa de 1 V por conveniência Uma simulação de varredura ca é necessária para determinarse a resposta em frequência de nosso circui to a Figura 1634b foi gerada usando 10 pontos por década com a opção Decade selecionada no menu Logarithmic AC Sweep Type de 10 mHz a 1 MHz Note que a simulação foi realizada em Hz não em rads e com isso a ferramenta cursor indica uma largura de faixa de 314 kHz a b p FIGURA 1634 a O circuito da Figura 1626 continua Seção 167 u Projeto de filtros básicos 659 a b p FIGURA 1634 continuação b Resposta em frequência do circuito traçada em uma escala em dB Novamente o leitor é encorajado a simular os circuitos exemplo e comparar os resultados com os diagramas de Bode gerados previamente 167 PROJETO DE FILTROS BÁSICOS O projeto de filtros é um assunto muito prático e interessante que vale por si só um livro texto separado Nesta seção apresentamos alguns dos concei tos básicos de filtragem e exploramos circuitos contendo filtros passivos e ativos Esses circuitos podem ser muito simples consistindo em um único capacitor ou indutor cuja inclusão em uma dada rede leva a uma melhoria em seu desempenho Eles também podem ser bem sofisticados consistindo em muitos resistores capacitores indutores e AOPs aplicados para fornecer uma curva de resposta em frequência específica para uma dada aplicação Filtros são usados em eletrônica moderna na obtenção de tensões cc em fontes de alimentação na eliminação de ruído em canais de comunicação na separação de canais de rádio e televisão presentes em sinais multiplexa dos captados por antenas e na amplificação de sinais graves em equipamen tos de som automotivos só para citar alguns poucos exemplos O conceito principal associado a um filtro é a seleção das frequências que podem passar através de uma rede Há vários tipos de filtro que são escolhidos dependendo da necessidade de uma determinada aplicação Um filtro passabaixas cuja resposta está ilustrada na Figura 1635a permite a passagem de frequências abaixo de uma determinada frequência de corte ao mesmo tempo que atenua significativamente frequências acima dessa frequência Um filtro passaaltas por outro lado faz exatamente o oposto como mostrado na Figura 1635b A principal figura de mérito de um filtro é a sua seletividade que é maior tanto maior quanto maior for a inclinação da curva de resposta na vizinhança da frequência de corte Em geral curvas de resposta com maiores inclinações requerem circuitos mais complexos Capítulo 16 u Resposta em Frequência 660 A combinação de um filtro passabaixas com um filtro passaaltas pode levar ao que é conhecido como um filtro passafaixa ilustrado na curva de resposta mostrada na Figura 1635c Nesse tipo de filtro a região entre as duas frequências de corte é chamada de faixa de passagem a região fora da faixa de passagem é chamada de faixa de rejeição Esses termos também podem ser aplicados aos filtros passabaixas e passaaltas conforme indi cado nas Figs 1635a e b Também podemos criar um filtro rejeitafaixa que permita a passagem de frequências altas e baixas mas atenue qualquer sinal com frequências entre as duas frequências de corte Figura 1635d O filtro notch é um filtro rejeitafaixa especializado projetado com uma resposta característica que bloqueia um único componente de frequ ência de um sinal Filtros multifaixas também são possíveis esses são circuitos que possuem múltiplas faixas de passagem e de rejeição O projeto de tais filtros é simples mas além do escopo deste livro Filtros PassaBaixas e PassaAltas Passivos Um filtro pode ser construído com o uso de um simples capacitor e um sim ples resistor como mostrado na Figura 1636a A função de transferência desse filtro passabaixas é HdB Frequência Hz a 101 102 103 Faixa de passagem 104 105 106 107 60 50 40 30 20 10 0 10 Faixa de rejeição HdB Frequência Hz d 100 105 1010 Faixa de rejeição 60 80 100 120 140 40 20 0 Faixa de passagem em altas frequências Faixa de passagem em baixas frequências HdB Frequência Hz c 102 103 Faixa de passagem 104 105 106 107 60 50 40 30 20 10 0 10 Faixa de rejeição em baixas frequências Faixa de rejeição em altas frequências HdB Frequência Hz b 101 102 103 Faixa de passagem 104 105 106 107 60 50 40 30 20 10 0 10 Faixa de rejeição p FIGURA 1635 Curvas de resposta em frequência para filtros a passabaixas b passaaltas c passafaixa d rejeitafaixa Em cada diagrama um ponto cheio corresponde a 3 dB a b Vent Vsaída R C p FIGURA 1636 a Um simples filtro RC passa baixas b Resposta em frequência simulada para R 500 Ω e C 2 nF mostrando a frequência de corte em 159 kHz Seção 167 u Projeto de filtros básicos 661 Hs K Vsaída Vent 1 1 RCs 32 Hs tem uma única frequência de corte que ocorre em ω 1RC e um zero em s o que leva a seu comportamento de filtro passabaixas Baixas frequências s 0 resultam em Hs próximo a seu valor máximo unitário ou 0 dB e altas frequências s resultam em Hs 0 Esse comportamento pode ser entendido qualitativamente com a análise da impedância do capacitor com o aumento da frequência o capacitor passa a agir como um curto circuito para sinais ca levando a uma redução na tensão de saída Uma curva de reposta que exemplifica o comportamento de um filtro passabaixas com R 500 Ω e C 2 nF é mostrado na Figura 1636b a frequência de corte de 159 kHz 1 Mrads pode ser encontrada movendose o cursor para 3 dB A inclinação da curva de resposta na vizi nhança da frequência de corte pode ser aumentada com a implementação de um circuito contendo elementos reativos adicionais isto é mais elementos capacitivos eou indutivos Um filtro passaaltas pode ser construído com a simples troca de posições entre o resistor e o capacitor na Figura 1636a como vemos no próximo exemplo Projete um filtro passaaltas com uma frequência de corte de 3 kHz Começamos com a seleção de uma topologia de circuito Como nenhuma restrição é feita com relação à seletividade da resposta escolhemos o circuito simples da Figura 1637 Vent R C Vsaída t FIGURA 1637 Um simples circuito de um filtro passaaltas para o qual valores de R e C devem ser selecionados para se obter uma frequência de corte de 3 kHz A função de transferência desse circuito é facilmente obtida como Hs K Vsaída Vent RCs 1 RCs que tem um zero em s 0 e um polo em s 1RC o que leva ao comporta mento passaaltas do filtro isto é H 0 à medida que ω A frequência de corte do circuito do filtro é ωc 1RC e buscamos o valor de ωc 2πfc 2π3000 1885 krads Novamente devemos selecionar um valor para R ou C Na prática nossa decisão normalmente se baseia nos valores dos resistores e capacitores que temos à mão mas como essa informação não foi fornecida aqui estamos livres para fazer escolhas arbitrárias Escolhemos portanto o valor padrão de 47 kΩ para R o que leva a C 1129 nF u EXEMPLO 1611 Capítulo 16 u Resposta em Frequência 662 O único passo restante é a verificação de nosso projeto com a realização de uma simulação no PSpice a curva de resposta predita é mostrada na Figura 1638 p FIGURA 1638 Resposta em frequência simulada do projeto final do filtro mostrando uma frequência de corte 3 dB de 3 kHz conforme esperado u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1616 Projete um filtro passaaltas com uma frequência de corte de 1356 MHz que é comumente encontrada em fontes de alimentação usadas em radiofrequência Verifique o seu projeto usando o PSpice Filtros PassaFaixa Já vimos muitos circuitos neste capítulo que poderiam ser classificados como filtros passafaixa por exemplo nas Figs 161 e 168 Conside re o circuito simples da Figura 1639 no qual a tensão nos terminais do resistor corresponde à saída A função de transferência desse circuito é facilmente obtida como AV sRC LCs2 RCs 1 33 O módulo dessa função é após algumas manipulações algébricas AV ωRC 1 ω2LC2 ω2R2C2 34 que no limite para ω 0 tornase AV ωRC 0 Vo Vi R C L p FIGURA 1639 Um filtro passafaixa simples construído usando um circuito RLC série Seção 167 u Projeto de filtros básicos 663 e no limite para ω se torna AV R ωL S 0 Sabemos de nossa experiência com os diagramas de Bode que a Equa ção 33 representa três frequências críticas um zero e dois polos Para obtermos uma resposta de filtro passafaixa com valor de pico unitário 0 dB ambas as frequências dos polos devem ser maiores que 1 rads a frequência de cruzamento em 0 dB do termo zero Essas duas frequências críticas podem ser obtidas com a fatoração da Equação 33 ou com a determinação dos valores de ω nos quais a Equação 34 é igual a 12 A frequência central desse filtro ocorre então em ω 1LC Assim com pou cas manipulações algébricas após igualar a Equação 34 a 12 vemos que 1 LCω2 c 2 ω2 c R2C2 35 Tirando a raiz quadrada de ambos os termos temos LCω2 c RCωc 1 0 Solucionando a equação quadrática vemos que ωc R 2L R2C2 4LC 2LC 36 Frequências negativas são soluções sem sentido físico para nossa equa ção original e com isso apenas o radicando positivo da Equação 36 pode ser aplicado Entretanto podemos ter sido um pouco apressados ao calcular a raiz quadrada positiva de ambos os lados da Equação 35 Se também considerarmos a raiz quadrada negativa que é igualmente válida obtemos ωc R 2L R2C2 4LC 2LC 37 de onde podese mostrar que apenas o radicando positivo tem sentido físico Com isso obtemos ωL a partir da Equação 36 e ωH a partir da Equação 37 como ωH ωL B um pouco de álgebra simples mostra que B RL Projete um filtro passafaixa caracterizado por uma faixa de passagem de 1 MHz e uma frequência de corte superior de 11 MHz Escolhemos um circuito com a topologia mostrada na Figura 1639 e come çamos determinando as frequências de corte necessárias A faixa de passagem é dada por fH fL então fL 11 106 1 106 100 kHz e ωL 2πfL 6283 krads A frequência de corte superior ωH é simplesmente 6912 Mrads Para projetar um circuito com essas características é necessário obter uma expressão para cada frequência em termos das variáveis R L e C u EXEMPLO 1612 Capítulo 16 u Resposta em Frequência 664 Igualando a Equação 37 a 2π 11 106 podemos resolver para 1LC pois já sabemos que B 2π fH fL 6283 106 1 2B 1 4B2 1 LC 1 2 2π11 106 Resolvendo obtemos 1LC 4343 1012 Selecionando arbitrariamente L 50 mH obtemos R 314 kΩ e C 46 pF Deve ser notado que não há solu ção única para esse problema de projeto R L ou C podem ser selecionados como ponto de partida A verificação de nosso projeto no PSpice é mostrada na Figura 1640 p FIGURA 1640 Resposta simulada do projeto do filtro passafaixa mostrando como desejávamos uma faixa de passagem de 1 MHz e uma frequência de corte superior de 11 MHz u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1617 Projete um filtro passafaixa com uma frequência de corte inferior de 100 rads e uma frequência de corte superior de 10 krads Resposta Uma possível resposta entre tantas outras R 990 Ω L 100 mH e C 10 µF O tipo de circuito que temos considerado é conhecido como um filtro passivo por ser construído apenas com elementos passivos isto é sem transistores AOPs ou outros elementos ativos Embora filtros passivos sejam relativamente comuns eles não são totalmente adequados para todas as aplicações O ganho de um filtro passivo definido como a tensão de saída dividida pela tensão de entrada pode ser difícil de se ajustar e a amplificação é uma característica muitas vezes desejável em circuitos de filtros Seção 167 u Projeto de filtros básicos 665 Filtros Ativos O uso de um elemento ativo como o AOP no projeto de filtros pode resolver muitas das limitações encontradas nos filtros passivos Como vimos no Cap 6 circuitos com AOPs podem ser facilmente projetados para fornecer ganho Circuitos com AOPs também podem exibir um comportamento similar ao de um indutor por meio do posicionamento estratégico de capacitores Os circuitos internos dos AOPs contêm capacitâncias muito pequenas tipicamente da ordem de 100 pF e essas capacitâncias limitam a frequ ência máxima na qual o AOP pode funcionar de forma apropriada Logo qualquer circuito com AOPs se comporta como um filtro passabaixas com uma frequência de corte possivelmente em torno de 20 MHz ou mais em dispositivos mais modernos dependendo do ganho do circuito Projete um filtro passabaixas ativo com uma frequência de corte de 10 kHz e um ganho de tensão de 40 dB Para frequências muito menores que 10 kHz precisamos de um circuito amplificador capaz de fornecer um ganho de 40 dB ou 100 VV Isso pode ser conseguido simplesmente com a aplicação de um amplificador não inver sor como aquele mostrado na Figura 1641a com Rf R1 1 100 Vo R1 Rf V1 a Vo R1 C Rf V1 V b R2 p FIGURA 1641 a Circuito amplificador não inversor simples b Um filtro passabaixas formado por um resistor R2 e um capacitor C foi adicionado à entrada Para obter uma frequência de corte em 10 kHz precisamos de um filtro passa baixas na entrada do AOP como na Figura 1641b Para deduzir a função de transferência começamos a partir da entrada não inversora V Vi 1 sC R2 1 sC Vi 1 1 sR2C Na entrada inversora temos Vo V Rf V R1 u EXEMPLO 1613 Capítulo 16 u Resposta em Frequência 666 Combinando essas duas equações e resolvendo para Vo vemos que Vo Vi 1 1 sR2C 1 Rf R1 O valor máximo do ganho AV VoVi é 1 Rf R1 e igualamos essa grandeza a 100 Como nenhum desses resistores aparece na expressão para a frequên cia de corte R2C1 qualquer um deles pode ser selecionado primeiro Escolhemos portanto R1 1 kΩ e com isso Rf 99 kΩ Selecionando C 1 µF de forma arbitrária vemos que R2 1 2π10 103C 159 Neste ponto nosso projeto está completo Está mesmo A resposta em frequên cia simulada desse circuito está mostrada na Figura 1642a Fica imediatamente claro que nosso projeto não satisfaz à especificação de uma frequência de corte em 10 kHz O que fizemos de errado Uma verifica ção cuidadosa em nossas contas não aponta nenhum erro então alguma hipó tese errônea deve ter sido adotada em algum lugar A simulação foi realizada usando um AOP µA741 diferentemente do AOP ideal que assumimos em nossas deduções Essa acaba sendo a fonte de nosso desconforto o mesmo circuito com um AOP LF111 substituindo o µA741 resulta na frequência de corte de 10 kHz que desejávamos a simulação correspondente está mostrada na Figura 1642b a b p FIGURA 1642 a Reposta em frequência do circuito de um filtro usando um AOP µA741 apresentando uma frequência de corte de 64 kHz b Resposta em frequência do mesmo circuito mas agora usando um AOP LF111 A frequência de corte deste circuito é 10 kHz o valor desejado a b Infelizmente o AOP µA741 com um ganho de 40 dB apresenta uma frequên cia de corte na vizinhança de 10 kHz o que não pode ser desprezado neste exemplo O LF111 no entanto não atinge a sua primeira frequência de corte até aproximadamente 75 kHz que está suficientemente afastada de 10 kHz para não afetar nosso projeto u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1618 Projete o circuito de um filtro passabaixas com um ganho de 30 dB e uma frequência de corte de 1 kHz Resposta Uma possível resposta entre tantas outras R 1 100 kΩ Rf 3062 MΩ R2 7958 Ω e C 2 µF APLICAÇÃO AJUSTE DE GRAVES MÉDIOS E AGUDOS O ajuste independente de graves médios e agudos em um sistema de som é uma característica normalmente desejá vel mesmo em equipamentos baratos Aceitase comu mente que a faixa de frequências audíveis pelo menos para o ouvido humano esteja entre 20 Hz e 20 kHz com os graves correspondendo às frequências mais baixas 500 Hz aproximadamente e os agudos corresponden do às frequências mais elevadas 5kHz mais ou menos O projeto de um equalizador gráfico simples é um desafio relativamente fácil embora um sistema como aquele mostrado na Figura 1643 requeira um pouco mais de esforço No equalizador de graves médios e agudos comumente encontrado em rádios portáteis o sinal princi pal fornecido por um receptor de rádio ou talvez um leitor de CD é composto por um amplo espectro de frequências com largura de faixa de aproximadamente 20 kHz p FIGURA 1643 Exemplo de equalizador gráfico Cortesia da Alesis Esse sinal deve ser enviado para três diferentes circui tos AOPs cada qual com um diferente filtro em sua entra da O ajuste dos graves requer um filtro passabaixas o ajuste dos agudos requer um filtro passaaltas e o ajuste de médios requer um filtro passafaixa A saída de cada cir cuito AOP alimenta em seguida um circuito amplificador somador um diagrama de blocos para o circuito completo está mostrado na Figura 1644 Filtro passabaixas Filtro passafaixa Filtro passaaltas Amplificador Amplificador Amplificador Amplificador somador Altofalante Vent p FIGURA 1644 Diagrama de blocos de um equalizador gráfico simples Nosso bloco básico está mostrado na Figura 1645 Esse circuito consiste em um circuito AOP não inversor caracterizado por um ganho de tensão de 1 Rf R1 e um filtro passabaixas simples composto por um resistor R2 e um capacitor C O resistor de realimentação Rf é um resistor variável às vezes chamado de potenciômetro que permite o ajuste do ganho por meio da rotação de um botão um leigo chamaria esse resistor de controle de volume A rede formada pelo filtro passabaixas restringe as frequências que entram no AOP para ser amplificadas a frequência de corte é simplesmente R2C1 Se for necessário para o projetista permitir que o usuário ajuste a frequência de corte do filtro o resistor R2 pode ser substituído por um potenciômetro ou alternativamente o capacitor C pode ser substituído por um capacitor variável Os estágios restantes são construídos essencialmente da mesma maneira mas com uma diferente rede de filtragem na entrada Vo R1 C Rf Vent R2 p FIGURA 1645 A seção de ajuste de graves do circuito amplificador Para identificar os resistores capacitores e AOPs deve mos adicionar um subscrito adequado a cada um deles para indicar o estágio ao qual eles pertencem a m g Começan do com o estágio de agudos como já tivemos problemas ao usar o µA741 na faixa de 10 a 20 kHz com ganho elevado talvez seja melhor trabalhar novamente com o LF111 Sele cionando uma frequência de corte de 5 kHz para os agudos há variações entre os valores selecionados por diferentes projetistas de circuitos de áudio precisamos de 1 R2aCa 2π5 103 3142 104 A seleção arbitrária de Ca 1 µF faz com que um valor de 3183 Ω seja necessário para R2a Também selecio nando Cg 1 µF talvez com isso possamos negociar um desconto pela compra de muitos capacitores com o mesmo valor precisamos de R2g 3183 Ω para obter uma frequ ência de corte de 500 Hz para os graves Deixamos para o leitor o projeto de um filtro passafaixa adequado A próxima parte de nosso projeto é a escolha de valo res adequados para R1a e R1g bem como dos resistores de realimentação correspondentes Como não nos instruíram contrariamente é provavelmente mais simples fazer está gios idênticos Portanto selecionamos R1a e R1g como 1 kΩ de forma arbitrária e Rfa e Rfg como potenciômetros de 10 kΩ o que significa que eles podem variar em uma faixa de 0 a 10 kΩ Isso permite que o volume de um sinal seja até 11 vezes maior do que o do outro Caso precisemos de um projeto portátil selecionamos baterias de 9 V embora isso possa ser facilmente alterado se necessário Agora que o projeto do estágio do filtro está completo estamos prontos para considerar o projeto do estágio soma dor Por uma questão de simplicidade vamos alimentar os AOPs desse estágio com as mesmas fontes de tensão aplicadas nos demais estágios o que limita o módulo da tensão de saída a um máximo de 9 V Usamos um AOP na configuração inversora com a saída de cada um dos estágios de filtragem alimentando diretamente o seu próprio resistor de 1 kΩ O outro terminal de cada um dos resistores de 1 kΩ é então conectado à entrada inversora do estágio amplificador somador O potenciômetro apropriado para o estágio amplificador somador deve ser selecionado para que não ocorra saturação de forma que o conhecimento tanto do intervalo das tensões de entrada quanto da potência de saída do altofalante é necessário Uma simulação limita da do projeto final é mostrada na Figura 1646 p FIGURA 1646 Resposta em frequência simulada para o projeto do equalizador 168 PROJETO DE FILTROS AVANÇADOS Embora os filtros básicos que vimos até aqui funcionem adequadamente para inúmeras aplicações as suas características são muito distantes da resposta em módulo de uma função ideal semelhante a um degrau Felizmente temos alternativas conhecido como filtros de ordem superior com comportamento aperfeiçoado ao custo de maior complexidade e mais componentes Por exemplo a função de transferência geral de um filtro passabaixas de ordem n pode ser escrita como Seção 168 u Projeto de filtros avançados 669 Ns Ka0 sn an 1sn 1 a1s a0 e a função de transferência geral do filtro passaalta de ordem n é sutil mente diferente Ns Ksn sn an 1sn 1 a1s a0 Para representar um filtro passafaixa precisamos apenas alterar o numerador de Ksn2 e o filtro rejeitafaixa representado na Figura 1635d tem a função de transferência Ns K s2 ω2 0 n 2 sn an 1sn 1 a1s a0 O projeto de um filtro específico então exige a seleção da função de transferência adequada e a escolha de uma classe de polinômios que espe cificam os coeficientes a1 a2 etc Nesta seção apresentamos filtros com base em Polinômios de Butterworth e Chebyshev dois dos mais emprega dos em projeto de filtros O filtro Butterworth passabaixas é um dos filtros mais conhecidos É caracterizado por um módulo de amplitude H jω K 1 ωω c2n n 1 2 3 que é representada na Figura 1647a para n 1 2 3 e 5 K é uma constante real e ωc representa a frequência crítica Como pode ser visto o módulo se aproxi ma da forma de uma função degrau a medida que a ordem n aumenta Em con traste o filtro Chebyshev passabaixas é caracterizado por ondulações bastante proeminentes na faixa de passagem cujo número depende da ordem do filtro conforme mostra a Figura 1647b A sua resposta em módulo é descrita por H jω K 1 β2C2nωω c n 1 2 3 b a Frequência rads Frequência rads p FIGURA 1647 Gráfico de H jω para filtros passabaixas de primeira segunda e terceira ordem a filtros Butterworth e b Filtros de Chebyshev Todos os filtros foram normalizados para uma frequência de corte de 1 rads Capítulo 16 u Resposta em Frequência 670 onde β é uma constante real conhecida como o fator de ondulação e Cnωωc indica o polinômio de Chebyshev do primeiro tipo de grau n Por conve niência os coeficientes selecionados de ambos os tipos polinomiais estão listados na Tabela 162 Tabela 162 u Coeficientes para as Funções de Filtros PassaBaixas Butterworth e Chebyshev β 09976 ou 3 dB Normalizados para ωc 1 Butterworth n a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 1 10000 2 10000 14142 3 10000 20000 20000 4 10000 26131 34142 26131 5 10000 32361 52361 52361 32361 Chebyshev β 09976 n a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 1 10024 2 07080 06449 3 02506 09284 05972 4 01770 04048 11691 05816 5 00626 04080 05489 14150 05744 O Amplificador de SallenKey Como visto na Seção 158 podemos criar um filtro baseado em um AOP com polo duplo simplesmente por dois circuitos em cascata tais como o mostrado na Figura 1549a neste caso obtemos uma função de transferência Hs 1 R1Cf 2 s2 2 Rf Cf 1 Rf Cf 2 36 Se quisermos melhorar esta abordagem básica vale a pena considerar um circuito conhecido como amplificador SallenKey mostrado na Figura 1648 configurado como um filtro passabaixas A análise deste circuito pela análise nodal simples Primeiro definimos o ganho G do amplificador não inversor como G K RA RB RB 37 Então a divisão de tensão nos dá Vy Vx 1 1 R2C2s 38 e podemos escrever uma único equação nodal 0 Vx Vi R1 Vx Vy R2 Vx Vo 1 sC1 39 p FIGURA 1648 Filtro SallenKey passabaixas Vx Vy Vi Vo R2 RA RB R1 C2 C1 Seção 168 u Projeto de filtros avançados 671 Substituindo as Equações 37 e 38 na Equação 39 e realizando algumas manobras algébrica chegamos a uma expressão para a função de transferência do amplificador Vo Vi G R1R2C1C2 s2 1 R1C1 1 R2C1 1 G R2C2 s 1 R1R2C1C2 40 Observando que os coeficientes da Tabela 162 representam filtros com uma frequência de corte de 1 rads de modo que ao final devermos usar as técnicas de mudança de escala simples descritas na Seção 165 agora estamos prontos para explorar o projeto de um filtro Butterworth passa baixas de segunda ordem Projete um filtro Butterworth passabaixas de segunda ordem com ganho 4 e uma frequência de corte em 1400 rads Começamos escolhendo o protótipo SallenKey mostrado na Figura 1648 e optamos pela simplificação que surge quando estabelecemos R1 R2 R e C1 C2 C Com um filtro Butterworth de segunda ordem esperamos da Tabela 162 ter um polinômio do denominador s2 14142s 1 e comparando com a equação 42 RC 1 e 2 RC 1 G RC 1414 portanto G RA RB RB 1586 Primeiro definimos valores para os dois resistores em nosso circuito de ganho que não precisa de se submeter a mudança de escala escolhendo arbitraria mente RB 1 kΩ de modo que RA 586 Ω Em seguida notamos que se C 1 F então R 1 Ω nenhum dos quais é particularmente um valor convencional Em vez disso escolhemos C 1 μF isso exige o dimensionamento do resistor em 106 Também precisamos de uma mudança de escala em frequência de 1400 rads Assim 10 6 F 1 F kmkf 1 F 1400km e km 714 Ω Consequentemente Rʹ km R 714 Ω Infelizmente o nosso projeto não está completamente concluído Ficamos restritos a um amplificador com ganho de 1586 ou 4 dB mas a especificação determinou um ganho de 4 ou 12 dB A única opção disponível é conectar na saída do nosso circuito um amplificador não inversor como o da Figura 66a A escolha dos valores 1 kΩ e 152 kΩ para R1 estágio de saída e Rf respectivamente permite concluir o projeto u EXEMPLO 1614 Capítulo 16 u Resposta em Frequência 672 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1619 Projete um filtro passabaixas Butterworth de segunda ordem com ganho de 10 dB e frequência de corte de 1000 Hz Resposta Um circuito de dois estágios composto pela saída do circuito da Figura 1648 alimentado a entrada de um amplificador de não inversor com os valores dos componentes R1 R2 159 Ω RA 586 Ω RB 1 kΩ 1o estágio e R1 1 kΩ Rf 994 Ω 2o estágio O projeto de filtros passaalta baseados no modelo SallenKey é igualmente simples a única modificação necessária é a substituição dos capacitores C1 e C2 por resistores e os resistores R1 e R2 por capacitores O restante do circuito permanece inalterado A análise nodal do circuito resultante com um C1 C2 C e R1 R2 R fornece a0 1 R2C2 41 e a1 3 G RC 42 assim como encontramos para o filtro passabaixas Filtros de ordem superior podem ser realizados por estágios em cascata com AOP apropriados Por exemplo os filtros de Butterworth de ordem impar por exemplo 3 5 necessitam um polo adicional em s 1 Deste modo um filtro Butterworth de terceira ordem é construído usando um estágio SallenKey que fornece um denominador Ds da função de transferência de s 1 s2 s 1 s3 2s2 2s 1 ou Ds s2 s 1 43 com uma estágio amplificador operacional adicional tal como aquele na Figura 1549a para fornecer o termo s 1 Projete um filtro Butterworth passabaixas de terceira ordem com um ganho em tensão com módulo 4 e uma frequência de corte de 2000 rads Começamos novamente selecionando o protótipo SallenKey da Figura 1648 e optando pela simplificação que surge quando colocamos R1 R2 R e C1 C2 C Também adicionaremos um estágio de entrada conforme a Figura 1549a ao adicionar o polo necessário O projeto básico é mostrado na Figura 1649 Comparando as equações 41 42 e 43 determinamos que nosso projeto deve assegurar que 1 1 R2C2 u EXEMPLO 1615 Seção 168 u Projeto de filtros avançados 673 p FIGURA 1649 Estrutura básica do filtro Butterworth passabaixas de terceira ordem proposto com os valores dos componentes ainda por serem escolhido Vx Vy Vo Vi R R R1 RA RB C C Rf Cf e 1 3 G RC Consequentemente RC 1 e G 4 Se escolhermos RA 3 kΩ resultará em RB 1 kΩ Podemos dimensionar esses valores posteriormente se escolher mos o ajuste para operação em 2000 rads mas isso é desnecessário visto que o ganho CC é determinado pela razão dos dois resistores Inicialmente projetamos para R 1 Ω e C 1 F pois isso automaticamente satisfaz o requisito RC 1 Não é fácil localizar o valor no entanto selecio nar um valor para o capacitor mais razoável de 01 μF que combinado com nosso fator de escala em frequência kf 2000 resulta num resistor com fator de escala de km 5000 Assim R 5 kΩ no final do nosso projeto Tudo o que resta é selecionar valores para R1 Rf e Cf em nosso estágio da parte dianteira Lembrese que a transferência de transferência deste estágio é 1 R1Cf s 1 Rf Cf Ajustando inicialmente Rf 1 Ω e Cf 1 F permite que o polo seja devida mente localizado antes das operações de mudança de escala impõe que cons truímos o circuito com Rf 5 kΩ e Cf 01 μF Nossa única opção restante então é a de assegurar que R1 nos permita atender o nosso requisito do ganho que é 4 Como já conseguimos isso com o nosso estágio SallenKey R1 deve ser igual a Rf ou 5 kΩ O projeto de filtros de Chebyshev segue as mesmas diretrizes que os Filtros de Butterworth exceto que temos mais opções agora com o fator de ondulação Além disso para filtros não tendo um fator de ondulação de 3 dB a frequência crítica é onde a ondulação no canal na banda de passagem termina o que é ligeiramente diferente daquilo que você especificou ante riormente Filtros com ordem n 2 são construídos por estágios em cascata sejam múltiplos estágios SallenKey para mesmas ordens ou um estágio simples tal como mostra a Figura 1549a em conjunto com o apropriado Capítulo 16 u Resposta em Frequência 674 número de estágios SallenKey para ordens ímpares Para os filtros com um requisito de ganho específico um estágio com AOP contendo apenas resistores é normalmente necessário na saída RESUMO E REVISÃO Começamos este capítulo com uma breve discussão sobre ressonância Naturalmente é provável que o leitor já possuísse uma compreensão intuitiva desse conceito básico quando se balança uma criança no beço com as pernas assistindo vídeos de copos de cristal se estilhaçando sob o poder da voz de um soprano treinado ou instintivamente desacelerando ao dirigir sobre uma superfície ondulada No contexto de análise de circuitos lineares descobrimos talvez surpreendentemente que podemos escolher uma frequência mesmo para circuitos com capacitores e indutores de tal forma que a tensão e a cor rente premanecem em fase daí a rede se comporta como puramente resistiva naquela frequência em particular A rapidez com a qual nossa resposta do circuito muda à medida que avançamos fora da ressonância está relacio nada a um novo termo o fator de qualidade Q do nosso circuito Depois de definir o que se entende por frequências crítica para a nossa resposta do circuito introduzimos o conceito de largura de banda e descobrimos que nossas expressões podem ser simplificadas drasticamente para circuitos com Q alto Q 5 Nós estendemos brevemente esta discussão para considerar as diferenças entre circuitos série e paralelo próximos da ressonância junta mente com as redes mais práticas que não podem ser classificadas O restante deste capítulo tratou da análise e projeto de circuitos para fil tros Antes de aprofundar nessa discussão o tema mudança de escala no circuito foi tratado como mudança de escala em frequência e módulo como uma conveniente ferramenta de projeto Introduzimos também o método prático do gráfico de Bode que nos permitiu esboçar rapidamente uma aproximação razoável para o resposta de um circuito com filtro em função da frequência A seguir consideramos filtros passivos e ativos começando com projetos simples usando um único capacitor para atingir qualquer com portamento passabaixasou passaalta Na sequência foi estudado o projeto do filtro passabanda Apesar de serem fáceis de trabalhar a resposta de tais circuitos simples não é particularmente abrupta Como alternativa foram examinados os pro jetos de filtro baseado nos polinômios de Butterworth ou Chebyshev com filtros de ordem superior fornecendo resposta em módulo mais acentuada ao custo do aumento na complexidade f Ressonância é a condição na qual uma função forçante senoidal com amplitude fixa produz uma resposta com amplitude máxima Exemplo 161 f Uma rede elétrica está em ressonância quando a tensão e a corrente em seus terminais de entrada estão em fase Exemplo 161 f O fator de qualidade é proporcional à divisão da máxima energia armazenada em uma rede por toda a energia perdida em um período 675 Leitura complementar f A frequência de meia potência é definida como a frequência na qual o módulo da função resposta de um circuito é reduzido a 12 vezes o seu valor máximo f Um circuito com Q alto é um circuito ressonante no qual o fator de qualidade é 5 Exemplo 162 f A largura de faixa de um circuito ressonante é definida como a diferença entre as frequências de meia potência superior e inferior f Em um circuito com Q alto cada frequência de meia potência está afastada em aproximadamente meia largura de faixa da frequência de ressonância Exemplo 162 f Um circuito ressonante série é caracterizado por uma baixa impe dância na condição de ressonância enquanto um circuito ressonante paralelo é caracterizado por uma alta impedância na condição de ressonância Exemplos 161 e 163 f Um circuito ressonante série e um circuito ressonante paralelo são equi valentes se Rp Rs1 Q2 e Xp Xs1 Q2 Exemplos 164 165 f Valores de componentes não encontrados na prática frequentemente facilitam a realização de um projeto A função de transferência de uma rede pode sofrer uma mudança de escala em módulo ou em frequência com a substituição desses componentes por outros com valores apropriados Exemplo 166 f Diagramas de Bode permitem o rápido traçado da forma geral de uma função de transferência a partir dos polos e zeros Exemplos 167 168 169 1610 f Os quatro tipos básicos de filtros são o passabaixas o passaaltas o passafaixa e o rejeitafaixa Exemplos 1611 1612 f Filtros passivos usam apenas resistores capacitores e indutores filtros ativos se baseiam em AOPs ou outros componentes ativos Exemplo 1613 f Filtros Butterworth e Chebyshev podem ser projetados com base no simples amplificador SallenKey O ganho do filtro tipicamente deve ser ajustado pela adição de um circuito puramente baseado em resistores na saída do amplificador LEITURA COMPLEMENTAR Uma boa discussão sobre uma grande variedade de filtros pode ser encon trada em J T Taylor e Q Huang eds CRC Handbook of Electrical Filters Boca Raton Fla CRC Press 1997 Uma compilação abrangente de diversos circuitos com filtros ativos e pro cedimentos de projeto é feita em D Lancaster Lancasters Active Filter Cookbook 2a ed Burlington Mass Newnes 1996 Capítulo 16 u Resposta em Frequência 676 EXERCÍCIOS 161 Ressonância Paralela 1 Calcule Q0 e ζ para uma rede RLC paralela simples se a R 1 k Ω C 10 mF e L 1 H b R 1 Ω C 10 mF e L 1 H c R 1 k Ω C 1 F e L 1 H d R 1 Ω C 1 F e L 1 H 2 Para o circuito mostrado na Figura 161 seja R 1 k Ω C 22 mF e L 12 mH a Calcule α ω0 ζ f0 e ωd para o circuito b Se I 10o A faça o gráfico de V ILC IL e IC em função da frequência e verifique que I e V estão em fase em ω0 c Qual é a relação entre IL e IC em ω0 3 Um determinado circuito RLC paralelo é construído usando valores de compo nentes L 50 mH e C 33 mF Se Q0 10 determine o valor de R e esboce o módulo da impedância em regime permanente no intervalo de 2 ω 40 rads 4 Uma rede RLC em paralelo é construída utilizando R 5 Ω L 100 mH e C 1 mF a Calcule Q0 b Determine em que frequências o módulo da impedância cai para 90 do seu valor máximo 5 Para a rede da Figura 1650 deduza uma expressão para a impedância de entrada em regime permanente e determine em que frequência ela alcança a amplitude máxima 6 Faça o gráfico da admitancia de entrada da rede ilustrada na Figura 1650 uti lizando uma escala logarítmica de frequência no intervalo entre 001ω0 ω0 100ω0 e determine a frequência de ressonância e a largura de faixa da rede 7 Elimine o resistor de 2 Ω na rede da Figura 1650 e determine a o módulo da impedância de entrada em ressonância b a frequência de ressonância c Q0 8 Elimine o resistor de 1 Ω na rede da Figura 1650 e determine a o módulo da impedância de entrada em ressonância b a frequência de ressonância c Q0 9 Um diodo varicap é um dispositivo semicondutor cuja reatância pode ser varia da com a aplicação de uma tensão de polarização O fator de qualidade pode ser expresso3 como Q ωCJ RP 1 ω2C2 J RP RS onde CJ é a capacitância de junção que depende da tensão aplicada no dis positivo RS é a resistência série do dispositivo e RP é um termo referente à resistência em paralelo a Se CJ 377 pF em 15 V RP 15 MΩ e RS 28 Ω faça um gráfico apresentando o fator de qualidade em função da frequência ω d Derive a expressão que descreve Q0 para obter ω0 e Qmáx 162 Largura de Faixa e Circuitos com Q Alto 10 O circuito da Figura 161 é construído usando componentes com os seguintes valores L 1 mH e C 100 μF Se Q0 15 determine a largura de faixa e obtenha o módulo e o ângulo da impedância de entrada para o circuito operando em a 3162 rads b 3000 rads c 3200 rads d 2000 rads e Verifique seus resultados usando uma expressão exata para Yjω 11 Uma rede RLC em paralelo é formada por um indutor de 5 mH e o restante dos componentes são escolhidos de tal modo que Q0 6 ω0 1000 rads Determine o valor aproximado do módulo da impedância de entrada para o circuito ope rando em a 500 rads b 750 rads c 900 rads d 1100 rads e Faça o gráfico de seus resultados juntamente com o resultado exato utilizando um eixo de frequência linear rads 3 S M Sze Physics of Semiconductor Devices 2a ed New York Wiley 1981 p 116 1 V 100 kV 2 V 200 mH 10 mF p FIGURA 1650 Exercícios 677 12 Uma rede RLC em paralelo é formada por um indutor de 200 μH e o restante dos componentes são escolhidos de tal modo que Q0 8 ω0 5000 rads Use expressões aproximadas para obter o ângulo da impedância de entrada para o circuito operando em a 2000 rads b 3000 rads c 4000 rads d 4500 rads e Faça o gráfico de seus resultados juntamente com o resultado exato utilizando um eixo de frequência linear rads 13 Determine a largura de faixa de cada uma das curvas de resposta mostradas na Figura 1651 0 02 04 06 08 1 0 1 2 3 4 5 6 a f kHz 15 10 05 102 103 104 105 106 107 108 b f Hz t FIGURA 1651 14 Um circuito RLC em paralelo é construído de tal modo que a característica do módulo de sua impedância é representado na Figura 1652 a Determine o valor do resistor b Determine o valor do capacitor se um indutor 1 H foi utilizado c Obtenha valores para a largura de faixa Q0 para as frequências de meia potência inferior e superior 0 05 1 15 2 05 10 15 20 25 v rads Z V t FIGURA 1652 163 Ressonância Série 15 Um circuito RLC série é construído utilizando como valores dos componentes R 100 Ω e L 15 mH juntamente com uma fonte de tensão senoidal vs Se Q0 7 determine a o módulo da impedância em 500 Mrads b a corrente que circula em resposta a uma tensão vs 25 cos 425 106t V 16 Com respeito ao circuito série RLC descrito no exercício 15 ajuste o valor do resistor de tal modo que Q0 seja reduzido a 5 e a encontre o ângulo da impe dância em 90 krads 100 krads e 110 krads b Determine o erro percentual para os valores obtidos em comparação com a expressão exata 17 Um circuito RLC é construído utilizando R 5 Ω L 20 mH e C 1 mF Calcu le Q0 a largura de faixa e o módulo da impedância em 095 ω0 se o circuito é a ligado em paralelo b ligado em série c Verificar suas soluções por meio de simulações apropriadas no PSpice Dica um resistor grande em paralelo com o capacitor irá evitar mensagens de erro associadas a ausência de caminho CC ao terra e uma pequena resistência em série com a fonte VCA evitará o curto circuito pelo indutor durante a determinação do ponto de polarização CC Capítulo 16 u Resposta em Frequência 678 18 Inspecione o circuito da Figura 1653 observando a amplitude da fonte de ten são Decida agora se você gostaria ou não de colocar suas mãos desprotegidas nos terminais do capacitor se o circuito fosse de fato construído no laboratório Trace VC versus ω para justificar a sua resposta 125 V 15 V 10 V 0105V1 4 H VC 1 mF 4 V1 t FIGURA 1653 19 Após deduzir Zents na Figura 1654 determine a ω0 b Q0 50 nF 05VR 10 V 1 mH VR Zent t FIGURA 1654 164 Outras Formas Ressonantes 20 Para a rede da Figura 169a R1 100 Ω R2 150 Ω L 30 mH e C é escolhido de modo que ω0 750 rads Calcule o módulo da impedância em a a frequência correspondente à ressonância quando R1 0 b 700 rads c 800 rads 21 Assumindo uma frequência de operação de 200 rads encontre o equivalente série de uma combinação paralela de um resistor de 500 Ω e a um capacitor de 15 μF b um indutor de 200 mH 22 Se a frequência de operação for de 40 rads ou 80 rads encontre um equivalente paralelo da combinação em série de um resistor de 2 Ω e a um capacitor de 100 mF b um indutor de 3 mH 23 Para a rede representada na Figura 1655 determine a frequência de ressonância e o valor correspondente de Zent 22 V 10 V 100 mH 15 V 75 mH 50 mF 100 mH Zent t FIGURA 1655 24 Para o circuito mostrado na Figura 1656 a fonte de tensão tem módulo de 1 V e ângulo de fase 0º Determine a frequência de ressonância ω0 e o valor de Vx em 095 ω0 5 mH 12 mH 18 V 5 V 35 mF Vx t FIGURA 1656 Exercícios 679 165 Mudança de Escala 25 Um circuito RLC em paralelo é construído usando componentes cujo os valo res são R 1 Ω C 3 F e L 13 H Determine os valores dos componentes necessários se a rede tiver a uma frequência de ressonância de 200 kHz b uma impedância de pico de 500 kΩ c uma frequência de ressonância de 750 kHz e um módulo de impedância em ressonância de 25 Ω 26 O circuito RLC série é construído usando componentes cujo os valores são R 1 Ω C 5 F e L 15 H Determine os valores dos componentes necessários se a rede tiver a uma frequência de ressonância de 430 Hz b uma impedância de pico de 100 Ω c um ressonante frequência de 75 kHz e uma amplitude de ressonância impedância de 15 k Ω 27 Faça uma mudança de escala na rede mostrada na Figura 1657 com a aplicação dos fatores Km 200 e Kf 700 e obtenha uma expressão para a nova impe dância Zents 5 V 1 H 500 mF 02I1 I1 Zent s t FIGURA 1657 28 O filtro mostrado na Figura 1658a tem a curva de resposta ilustrada na Figura 1658b a Faça uma mudança de escala no filtro para que ele opere entre uma fonte com impedância de 50 Ω e uma carga de 50 Ω e tenha uma frequência de corte em 20 kHz b Desenhe a nova curva de resposta 318 mH 982 mH 982 mH 100 V 257 nF 257 nF 100 V Vsaída 100 0 V a b 1 2 3 50 f MHz Vsaída V t FIGURA 1658 29 a Desenhe uma nova configuração para a Figura 1659 após fazer nessa rede uma mudança de escala com a aplicação dos fatores Km 250 e Kf 400 b Determine o equivalente de Thévenin da rede obtida após a mudança de escala para ω 1 krads 166 Diagramas de Bode 30 Esboce o diagrama de Bode de amplitude e fase para as seguintes funções a 3 4s b 1 3 4s 01 F 2 H a b 5 V 4Ix Ix p FIGURA 1659 Capítulo 16 u Resposta em Frequência 680 31 Para as seguintes funções esboce os diagramas de Bode de amplitude e fase a 25 1 s 3 5 s b 01 1 5s2 s 32 Utilize a aproximação de Bode para esboçar a amplitude de cada uma das seguintes respostas em seguida verifique as suas soluções com simulações apropriadas no MATLAB a 3 s s2 7s 10 b 4 s3 7s2 12s 33 Se uma determinada rede é descrita pela função de transferência Hs faça o gráfico do módulo de Hs em função da frequência para Hs igual a s 300 s5s 8 b ss2 7s 7 s2s 42 34 Esboce o gráfico de fase de cada uma das seguintes funções de transferência a s 1 ss 22 b 5s2 s s 2 35 Determine o diagrama de Bode para amplitude das seguintes funções de trans ferência comparandoo com o resultado previsto usando o MATLAB a s2 02s 1 b s 4 2 01 s 4 1 36 Determine o gráfico de fase correspondente a cada uma das funções de transfe rência nos Exercícios 33 e 35 e compare os seus esboços com o que é previsto usando o MATLAB 37 Determine o diagrama de Bode para amplitude para cada um dos seguintes a 3 01s s2 3 s2 1 b 2s2 9s 20 s2s 13 38 Para o circuito da Figura 1660 a deduza uma expressão para a função de transferência Hs VsaídaVent b Desenhe o correspondente diagrama de Bode de amplitude e fase Vent Vsaída 50 V 100 V 200 V 250 mF 250 mF t FIGURA 1660 39 a modifique o circuito mostrado na Figura 1660 adicionando um polo duplo em 005 rads e um zero a 001 rads b Desenhe o correspondente diagrama de Bode de amplitude e de fase 167 Projeto de Filtros Básicos 40 a Projete um filtro passaaltas com frequência de corte de 100 rads b Veri fique seu projeto com uma simulação apropriada no PSpice Exercícios 681 41 a Projete um filtro passabaixas com frequência de corte de 1450 rads b Esboce o diagrama Bode de amplitude e de fase para seu projeto c Verifique o desempenho de seu filtro com uma simulação adequada 42 a Projete um filtro passafaixa caracterizado por uma largura de faixa de 1000 rads e uma frequência de corte inferior de 250 Hz b Verifique o seu projeto com uma apropriada simulação PSpice 43 Projete um filtro passa faixa que tenha uma frequência de corte inferior de 500 Hz e uma frequência de corte superior de 1580 Hz 44 Projete um filtro notch que remova ruído em 60 Hz proveniente de influências da rede elétrica em um sinal específico tomando a saída da conexão série entre o capacitor e indutor no circuito da Figura 1639 45 Projete um filtro passabaixas caracterizado por um ganho de tensão de 25 dB e uma frequência de corte de 5000 rads 46 Projete um filtro passa alta caracterizado por um ganho de tensão de 30 dB e uma frequência de corte de 50 rads 47 a Projete um filtro com um circuito AOP de dois estágios com uma largura de faixa de 1000 rads uma frequência de corte inferior de 100 rads e um ganho de tensão de 20 dB b Verifique seu projeto com uma simulação apropriada no PSpice 48 Projete um circuito que remova toda a faixa de frequência de áudio aproxi madamente 20 Hz a 20 kHz para o ouvido humano mas amplifica o sinal de tensão de todas as outras frequências por um fator de 15 49 Dependendo de qual música que você está ouvindo seu MP3 player por vezes fornece um tom muito pouco grave mesmo quando o nível de grave é ajustado no máximo Projete um filtro que permite variar o ganho em tempo real de todos os sinais inferiores a 500 Hz antes de atingir seus fones de ouvido Inclua um diagrama total do sistema 168 Projeto de Filtros Avançados 50 Mostre que o circuito representado pela Equação 36 não pode ser implemen tado como um passabaixas Butterworth ou Chebyshev 51 Projete um filtro passabaixas de segunda ordem com um ganho de tensão de 5 dB e uma frequência de corte de 1700 kHz com base em a polinômio de Butterworth b Polinômio de Chebyshev para um fator de ondulação de 3 dB 52 Se um filtro passaaltas deve ter ganho de 6 dB e frequência de corte de 350 Hz Projete uma solução apropriada baseada em Butterworth de segunda ordem 53 a Projete um filtro passabaixas Butterworth de segunda ordem com frequên cia de corte de 890 rads e um ganho de tensão de 8 dB b Verifique o seu projeto com um simulação apropriada no PSpice 54 a Projete um filtro Butterworth passaaltas de segunda ordem com frequência de corte de 2000 Hz e um ganho de tensão de 45 dB b Verifique o seu pro jeto com uma simulação apropriada no PSpice 55 Um filtro Butterworth passabaixas de terceira ordem tem uma frequência de corte de 1200 Hz e um ganho de tensão de pelo menos 3 dB Projete o circuito que represente este filtro 56 a Projete um filtro passabaixas Butterworth de terceira ordem com ganho de 13 dB e uma frequência de corte de 1800 Hz b Compare a resposta de seu filtro à de um Filtro Chebyshev com as mesmas especificações 57 Projete um filtro Butterworth passaaltas de quarta ordem com ganho mínimo de 15 dB e uma frequência de corte de 1100 rads Capítulo 16 u Resposta em Frequência 682 58 Escolha os parâmetros para o circuito descrito pela Equação 36 de forma que ele tenha uma frequência de corte de 450 rads e compare seu desempenho com um Filtro Butterworth de segunda ordem compatível Exercícios de integração do capítulo 59 Projete um circuito ressonante paralelo para uma rádio AM de modo que um indutor variável possa ajustar a frequência de ressonância sobre a faixa de trans missão do AM de 535 a 1605 kHz com Q0 45 em uma extremidade da faixa e Q0 45 em toda a faixa Considere R 20 k Ω e especifique valores para C Lmin e Lmáx 60 Deduza uma expressão para a função de transferência VsaídaVent que descreve o circuito mostrado na Figura 1661 e esboce sua amplitude em função da frequência Vsaída Vent R3 R1 R2 C2 C1 t FIGURA 1661 61 A rede da Figura 1636 foi implementada como um filtro passabaixas proje tado com a frequência de corte de 1250 rads Seu desempenho é inadequado em dois aspectos 1 é necessário um ganho de tensão de pelo menos 2 dB e 2 a amplitude da tensão de saída não diminui rápido o suficiente na faixa de rejeição Projete uma alternativa melhor utilizando apenas um AOP e apenas dois capacitores de 1 μF 62 Determine o efeito da tolerância dos componentes no circuito projetado no Exemplo 1614 se cada componente possui apenas 10 de tolerância do seu valor nominal 63 Deduza uma expressão para a função de transferência VsaídaVent que descre ve o circuito mostrado na Figura 1662 e esboce seu módulo em função da frequência 64 Para o circuito mostrado na Figura 1662 escolha os valores dos componentes para o projeto para frequências de corte em 500 rads e 1500 rads Verifique o seu projeto C2 RA RB R1 R2 C1 R3 t FIGURA 1662 65 Projete um filtro passa faixa que abrange a parte do espectro de áudio entre 200 Hz e 2 kHz que tenha um ganho mínimo de 5 dB e uma curva característica de módulo mais íngreme no lado de alta frequência que no lado de baixa frequên cia Verifique o seu projeto usando uma simulação adequada INTRODUÇÃO Uma rede genérica com dois pares de terminais sendo um deles geralmente chamado de terminais de entrada e o outro de terminais de saída é um bloco construtivo muito importante em circuitos eletrônicos sistemas de comunicação sistemas de con trole automático sistemas de transmissão e distribuição ou em quaisquer outros siste mas nos quais um sinal elétrico é aplicado nos terminais de entrada é trabalhado pela rede e a deixa via terminais de saída O par de terminais da saída pode muito bem estar conectado ao par de terminais da entrada de outra rede Quando estudamos o conceito de redes equivalentes de Thévenin e de Norton no Capítulo 5 fomos apresentados à ideia de que nem sempre é necessário conhecer em detalhe o que acontece em parte de um circuito Este capítulo estende tais conceitos para redes lineares resultando em parâmetros que nos permite prever a interação de qualquer rede com outras redes 171 BIPOLOS Um par de terminais que permitem a entrada ou a saída de um sinal em uma rede é chamado de porta e uma rede contendo apenas um par de terminais é chamada de rede de uma porta ou simplesmente de bipolo Nenhuma conexão pode ser feita aos nós internos do bipolo e é portanto evidente que ia deve ser igual a ib no bipolo mostrado na Figura 171a Quando mais de um par de terminais está presente a rede é chamada de rede multiportas ou multipolo A rede com duas portas ou quadripolo à qual este capítulo se dedica principalmente está mostrada na Figura 171b As correntes em cada par de terminais devem ser iguais então ia ib e ic id no quadripolo da Figura 171b Fontes e cargas devem ser conectadas diretamente entre os dois terminais de entrada ou de saída se os métodos apresentados neste capítulo forem usados Em outras palavras cada par de terminais pode ser conectado apenas a um bipolo ou a um par de terminais pertencente a outra rede multiportas Por exemplo nenhum dispositivo pode ser conec tado entre os terminais a e c do quadripolo da Figura 171b Para analisar um circuito como esse equações nodais ou de laço genéricas devem ser escritas Parte do estudo introdutório de bipolos e quadripolos é melhor realizado com o uso de uma notação generalizada para as redes e de uma nomenclatura de determi nantes abreviada apresentada no Apêndice 2 Com isso se escrevemos um conjunto de equações de laço para uma rede passiva Quadripolos 17 CONCEITOS FUNDAMENTAIS A Distinção entre Bipolos e Quadripolos Parâmetros Admitância y Parâmetros Impedância z Parâmetros Híbridos h Parâmetros de Transmissão t Métodos de Transformação Entre Parâmetros y z h e t Técnicas de Análise de Circuitos Usando Parâmetros de Rede Capítulo 17 u Quadripolos 684 Z11I1 Z12I2 Z13I3 Z1NIN V1 Z21I1 Z22I2 Z23I3 Z2NIN V2 Z31I1 Z32I2 Z33I3 Z3NIN V3 ZN1I1 ZN2I2 ZN3I3 ZN NIN VN 1 então o coeficiente de cada corrente é uma impedância Zijs e o determi nante do circuito ou o determinante dos coeficientes é Z Z11 Z12 Z13 Z1N Z21 Z22 Z23 Z2N Z31 Z32 Z33 Z3N ZN1 ZN2 ZN3 ZN N 2 Aqui se assumem N laços as correntes aparecem com subscritos ordenados em cada equação e a ordem das equações é a mesma das correntes Também assumimos que a LKT seja aplicada de forma que o sinal de cada termo Zii Z11 Z22 ZNN seja positivo o sinal de cada Zij i j ou termo mútuo pode ser positivo ou negativo dependendo das direções de referência atribuídas a Ii e Ij Se houver fontes dependentes no interior da rede então pode ser que nem todos os coeficientes presentes nas equações de laço sejam resistências ou impedâncias Mesmo assim continuaremos a nos referir ao determinan te do circuito como ΔZ O uso da notação do menor complementar Apêndice 2 permite que a impe dância de entrada ou a impedância vista pela fonte alimentação nos terminais de um bipolo seja expressa de forma bastante concisa Esse resultado também é aplicável a um quadripolo se um de seus pares de terminais estiver conectado a uma impedância passiva incluindo um circuito aberto ou um curto circuito Vamos supor que o bipolo mostrado na Figura 172 seja inteiramente com posto por elementos passivos e fontes dependentes também se assume a linea ridade Uma fonte de tensão ideal V1 é conectada à rede e a corrente da fonte é identificada como a corrente no laço 1 Empregando a regra de Cramer então I1 V1 Z12 Z13 Z1N 0 Z22 Z23 Z2N 0 Z32 Z33 Z3N 0 ZN2 ZN3 ZN N Z11 Z12 Z13 Z1N Z21 Z22 Z23 Z2N Z31 Z32 Z33 Z3N ZN1 ZN2 ZN3 ZN N ou de forma mais concisa I1 V1 11 Z Logo Zent V1 I1 Z 11 3 A regra de Cramer é revisada no Apêndice 2 p FIGURA 171 a Um bipolo b Um quadripolo ia ib a ia ic id ib b a b c d p FIGURA 172 Uma fonte de tensão ideal V1 é conectada aos terminais de um bipolo linear que não contém fontes independentes Zent ΔzΔ11 I1 V1 Rede Linear Seção 171 u Bipolos 685 Calcule a impedância de entrada do bipolo resistivo mostrado na Figura 173 t FIGURA 173 Exemplo de bipolo contendo apenas elementos resistivos 2 V 4 V 10 V 20 V 1 V 5 V V1 I3 I2 I4 I1 Primeiro assinalamos quatro correntes de malha conforme ilustrado e escre vemos por inspeção as equações de malha correspondentes V1 10I1 10I2 0 10I1 17I2 2I3 5I4 0 2I2 7I3 I4 0 5I2 I3 26I4 O determinante do circuito é então dado por Z 10 10 0 0 10 17 2 5 0 2 7 1 0 5 1 26 e tem o valor de 9680 Ω4 Eliminando a primeira linha e a primeira coluna temos 11 17 2 5 2 7 1 5 1 26 2778 3 Com isso a Equação 3 fornece o valor da impedância de entrada Zent 9680 2778 3485 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 171 Determine a impedância de entrada da rede mostrada na Figura 174 se ela formar um bipolo a partir da abertura dos seguintes terminais a a e a b b e b c c e c t FIGURA 174 5 V 6 V 7 V 3 V 4 V 2 V a c c a b b Resposta 947 Ω 1063 Ω 758 Ω u EXEMPLO 171 Capítulo 17 u Quadripolos 686 Determine a impedância de entrada da rede mostrada na Figura 175 t FIGURA 175 Bipolo contendo uma fonte dependente 2 V 4 V 10 V 05Ia 1 V 5 V V1 Ia I3 I2 I4 I1 As quatro equações de malha são escritas em termos das quatro correntes de malha assinaladas 10I1 10I2 V1 10I1 17I2 2I3 5I4 0 2I2 7I3 I4 0 e I4 05Ia 05I4 I3 ou 05I3 15I4 0 Podemos com isso escrever Z 10 10 0 0 10 17 2 5 0 2 7 1 0 0 05 15 590 4 enquanto 11 17 2 5 2 7 1 0 05 15 159 3 dando Zent 590 159 3711 Também podemos selecionar um procedimento similar usando equações nodais levando à admitância de entrada Yent 1 Zent Y 11 4 onde Δ11 se refere agora ao menor complementar de ΔY u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 172 Escreva um conjunto de equações nodais para o circuito da Figura 176 calcule ΔY e então determine a admitância de entrada vista entre a o nó 1 e o nó de referência b o nó 2 e a referência Resposta 1068 S 1316 S u EXEMPLO 172 p FIGURA 176 5 S 10 S 3V2 02V3 V1 V2 V3 20 S 2 S Seção 172 u Parâmetros admitância 687 Use a Equação 4 para determinar novamente a impedância de entrada da rede mostrada na Figura 173 repetida aqui como Figura 177 p FIGURA 177 O circuito do Exemplo 171 repetido por conveniência 2 V 4 V 10 V 20 V 1 V 5 V V1 I3 I2 I4 I1 Primeiro ordenamos as tensões nodais V1 V2 e V3 da esquerda para a direita selecionamos o nó de baixo como referência e então escrevemos a matriz de admitâncias do sistema por inspeção Y 035 02 005 02 17 1 005 1 13 03473 S3 11 17 1 1 13 121 S2 de forma que Yent 03473 121 02870 S que corresponde a Zent 1 0287 3484 que concorda com a nossa resposta anterior a menos de erros de arredonda mento esperados apenas quatro dígitos foram retidos do longo dos cálculos Os Exercícios 8 e 9 no final do capítulo fornecem bipolos que podem ser construídos com o uso de amplificadores operacionais Esses exercícios ilustram que resistências negativas podem ser obtidas em redes cujos úni cos elementos passivos são resistores e que indutores podem ser simulados com apenas resistores e capacitores 172 PARÂMETROS ADMITÂNCIA Vamos agora voltar a nossa atenção para os quadripolos Vamos assumir em todas as discussões a partir daqui que a rede seja composta por elemen tos lineares e que ela não contenha fontes independentes fontes dependen tes são permitidas contudo Condições adicionais também serão impostas nas redes estudadas em alguns casos especiais u EXEMPLO 173 Capítulo 17 u Quadripolos 688 Vamos considerar o quadripolo mostrado na Figura 178 a tensão e a corrente nos terminais de entrada são V1 e I1 e V2 e I2 são especificadas nos terminais de saída Normalmente selecionamse I1 e I2 entrando na rede através dos condutores superiores e saindo nos condutores inferiores Como a rede é linear e não contém fontes independentes em seu interior podese considerar I1 como a superposição de dois componentes um cau sado por V1 e outro por V2 Quando se aplica o mesmo argumento em I2 podemos começar com o conjunto de equações I1 y11V1 y12V2 5 I2 y21V1 y22V2 6 onde os ys são nada mais do que constantes de proporcionalidade ou coe ficientes desconhecidos por agora Entretanto deve estar claro que as suas dimensões devem ser AV ou S Eles são portanto chamados de parâmetros y ou admitância e são definidos pelas Equações 5 e 6 Os parâmetros y bem como outros conjuntos de parâmetros que vamos definir mais adiante neste capítulo são representados de forma concisa como matrizes Aqui definimos a matriz coluna I 2 1 I I1 I2 7 a matriz quadrada 2 2 dos parâmetros y y y11 y12 y21 y22 8 e a matriz coluna V 2 1 V V1 V2 9 Assim podemos escrever a equação matricial I yV ou I1 I2 y11 y12 y21 y22 V1 V2 e a multiplicação matricial no lado direito nos dá a igualdade I1 I2 y11V1 y12V2 y21V1 y22V2 Essas matrizes 2 1 devem ser iguais elemento por elemento e por tanto somos levados às equações usadas na definição 5 e 6 A maneira mais útil e informativa de se atribuir um sentido físico aos parâmetros y passa pela inspeção direta das Equações 5 e 6 Considere a Equação 5 por exemplo se igualamos V2 a zero vemos então que o coefi ciente y11 deve ser dado pela razão entre I1 e V1 Descrevemos portanto y11 como a admitância medida nos terminais de entrada com os terminais de saída em curtocircuito V2 0 Como não há dúvida com relação a que terminais estão em curtocircuito o coeficiente y11 é melhor descrito como admitância de curtocircuito da entrada Alternativamente poderíamos descrever y11 como o inverso da impedância de entrada medida com os terminais de saída A notação adotada neste texto para representar matrizes é padronizada mas pode ser facilmente confundida com a notação usada anteriormente na representação de fasores ou grandezas complexas em geral A natureza de cada símbolo deve ficar clara a partir do contexto no qual ele é usado p FIGURA 178 Um quadripolo genérico com tensões e correntes terminais especificadas O quadripolo é composto por elementos lineares que possivelmente incluem fontes dependentes ele não contém fontes independentes V2 V1 I2 I1 Rede linear Seção 172 u Parâmetros admitância 689 em curtocircuito mas a sua descrição como uma admitância é obviamente mais direta Não é o nome do parâmetro que importa Ao invés disso são as condições aplicadas nas Equações 5 e 6 e portanto na rede que são mais importantes quando as condições são determinadas o parâmetro pode ser obtido diretamente a partir da análise do circuito ou por experimentos em um circuito real Cada um dos parâmetros y pode ser descrito como uma relação correntetensão com V1 0 terminais de entrada em curtocircuito ou V2 0 terminais de saída em curtocircuito 10 11 12 13 y11 I1 V1 V2 0 y12 I1 V2 V1 0 y21 I2 V1 V2 0 y22 I2 V2 V1 0 Como cada parâmetro corresponde a uma admitância obtida com a colo cação dos terminais de saída ou de entrada em curtocircuito os parâmetros y são conhecidos como os parâmetros admitância de curtocircuito O nome específico de y11 é admitância de curtocircuito da entrada y22 é a admitância de curtocircuito da saída e y12 e y21 são as admitâncias de transferência em curtocircuito Determine os parâmetros admitância de curtocircuito para o quadripolo resistivo mostrado na Figura 179 Os valores dos parâmetros podem ser facilmente estabelecidos com a aplicação das Equações 10 a 13 que obtivemos diretamente a partir da definição dada pelas Equações 5 e 6 Para determinar y11 colocamos a saída em curto circui to e obtemos a relação entre I1 e V1 Isso pode ser feito com a aplicação de V1 1 V o que leva a y11 I1 Com a inspeção da Figura 179 é claro que a aplicação de 1 V na entrada causa uma corrente de entrada de 15 110 ou 03 A Daí y11 03 S Para determinar y12 colocamos os terminais de entrada em curto circuito e aplicamos 1 V nos terminais de saída A corrente de entrada flui através do curto circuito e é I1 110 A Logo y12 01 S Por métodos similares y21 01 S y22 015 S As equações que descrevem esse quadripolo em termos dos parâmetros admi tância são portanto I1 03V1 01V2 14 I2 01V1 015V2 15 u EXEMPLO 174 p FIGURA 179 Um quadripolo resistivo 10 V 5 V 20 V V2 V1 I2 I1 Capítulo 17 u Quadripolos 690 e y 03 01 01 015 todos em S Não é necessário determinar esses parâmetros individualmente usando as Equações 10 a 13 no entanto Podemos determinar todos de uma só vez como mostra o exemplo a seguir Assinale tensões nodais V1 e V2 no quadripolo da Figura 179 e escreva as expressões para I1 e I2 em termos dessas tensões Temos I1 V1 5 V1 V2 10 03V1 01V2 e I2 V2 V1 10 V2 20 01V1 015V2 Essas equações são idênticas às Equações 14 e 15 e os quatro parâmetros y podem ser diretamente obtidos a partir delas u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 173 Aplicando as fontes de 1 V e os curtoscircuitos apropriados no circuito mostrado na Figura 1710 determine a y11 b y21 c y22 d y21 20 V 10 V 40 V 5 V V2 V1 I2 I1 t FIGURA 1710 Resposta 01192 S 01115 S 01269 S 01115 S Em geral é mais fácil usar as Equações 10 11 12 ou 13 apenas quando um único parâmetro é desejado Se precisarmos de todos eles no entanto é usualmente mais fácil chamar as tensões nos nós de entrada e saída de V1 e V2 assinalar as demais tensões nodais internas ao circuito e então obter a solução geral Para ver o que podemos fazer com um sistema de equações como esse vamos agora conectar cada par de terminais a um bipolo específico Considere o quadripolo simples do Exemplo 174 mostrado na Figura 1711 com uma fonte de corrente real conectada em seus terminais de entrada e uma carga resistiva conectada em seus terminais de saída Existe agora uma relação entre V1 e I1 que independe do quadripolo Essa relação u EXEMPLO 175 Seção 172 u Parâmetros admitância 691 pode ser determinada a partir do circuito externo Se aplicarmos a LKC ou escrevermos uma única equação nodal na entrada I1 15 01V1 Na saída a lei de Ohm leva a I2 025V2 Substituindo essas expressões para I1 e I2 nas Equações 14 e 15 temos 15 04V1 01V2 0 01V1 04V2 de onde se obtém V1 40 V V2 10 V As correntes na entrada e na saída também são facilmente obtidas I1 11 A I2 25 A e então conhecemos completamente as características terminais desse qua dripolo resistivo As vantagens da análise por quadripolos não aparecem de forma muito clara em um exemplo simples como esse mas deve estar claro que uma vez que os parâmetros y tiverem sido determinados para um quadripolo mais complicado o desempenho desse quadripolo perante diferentes condições terminais pode ser facilmente determinado é necessário apenas relacionar V1 a I1 na entrada e V2 a I2 na saída No exemplo que acabamos de concluir y12 e y21 eram ambos iguais a 01 S Não é difícil mostrar que essa igualdade também é obtida se três impedâncias genéricas ZA ZB e ZC forem conectadas a essa rede Π É um pouco mais difícil determinar as condições específicas que são necessárias para que y12 y21 mas o uso da notação com determinantes é de alguma utilidade Vejamos se as relações das Equações 10 e 13 podem ser expressas em termos do determinante da impedância e de seus menores complementares Como nossa preocupação está voltada ao quadripolo e não à rede específica à qual ele está conectado vamos assumir que as tensões V1 e V2 sejam representadas por duas fontes de tensão ideais A Equação 10 é aplicada assumindose V2 0 colocandose portanto a saída em curtocircuito e obtendose a admitância de entrada Agora a rede é no entanto um simples bipolo e a impedância de entrada de um bipolo foi 10 V 5 V 10 V 15 A 20 V 4 V V2 V1 I2 I1 p FIGURA 1711 O quadripolo resistivo da Figura 179 terminado em bipolos específicos Capítulo 17 u Quadripolos 692 obtida na Seção 171 Selecionamos o laço 1 para incluir os terminais de entrada e fazemos de I1 a corrente nesse laço identificamos I2 como a corrente de laço no laço 2 e nomeamos as correntes de laço restantes de forma conveniente Logo ZentV2 0 Z 11 e portanto y11 11 Z De forma similar y22 22 Z Para obter y12 fazemos V1 0 e escrevemos I1 em função de V2 Vemos que a corrente I1 é dada pela razão I1 0 Z12 Z1N V2 Z22 Z2N 0 Z32 Z3N 0 ZN2 ZN N Z11 Z12 Z1N Z21 Z22 Z2N Z31 Z32 Z3N ZN1 ZN2 ZN N Logo I1 V2 21 Z e y12 21 Z De forma similar podemos mostrar que y21 12 Z A igualdade de y12 e y21 é portanto contingente à igualdade dos dois menores complementares de ΔZ Δ12 e Δ21 Esses dois menores comple mentares são 21 Z12 Z13 Z14 Z1N Z32 Z33 Z34 Z3N Z42 Z43 Z44 Z4N ZN2 ZN3 ZN4 ZN N Seção 172 u Parâmetros admitância 693 e 12 Z21 Z23 Z24 Z2N Z31 Z33 Z34 Z3N Z41 Z43 Z44 Z4N ZN1 ZN3 ZN4 ZN N A sua igualdade é mostrada primeiro com a troca das posições das linhas e das colunas de um menor complementar por exemplo Δ21 uma operação que qualquer livro de álgebra de segundo grau mostra ser válida fazendose em seguida a troca de todas as impedâncias mútuas Zij por Zji Com isso fazemos Z12 Z21 Z23 Z32 etc A igualdade de Zij e Zji é evidente para os três elementos passivos o resistor o capacitor e o indutor e também para a indutância mútua No entanto ela não é válida para todos os tipos de dispositivo que podemos querer incluir no interior de um quadripolo Especificamente ela não é válida para fontes dependentes em geral tampouco para o gyrator que é um modelo útil para simular o efeito Hall e para seções de guias de onda contendo ferrites Em uma faixa estreita de frequências radianas o gyrator promove um deslocamento de fase adicional de 180o em sinais passando da saída para a entrada em relação a sinais passando da entrada para a saída e com isso y12 y21 Elementos não lineares são um tipo comum de ele mento passivo levando à desigualdade entre Zij e Zji Qualquer dispositivo no qual Zij Zji é chamado de elemento bilate ral e um circuito que contém apenas elementos bilaterais é chamado de circuito bilateral Mostramos portanto que uma importante propriedade do quadripolo bilateral é y21 y12 e essa propriedade é glorificada ao ser enunciada na forma do teorema da reciprocidade Em qualquer rede passiva bilateral se uma única fonte de tensão Vx no ramo x produzir a resposta de corrente Iy no ramo y então a retirada da fonte de tensão do ramo x e a sua inserção no ramo y provoca a resposta de corrente Iy no ramo x Se estivéssemos trabalhando com o determinante de admitâncias do circuito e tivéssemos provado que os menores complementares Δ21 e Δ12 do determinante ΔY são iguais então teríamos obtido o teorema da recipro cidade em sua forma dual Em qualquer rede passiva linear e bilateral se uma única fonte de corrente Ix entre os nós x e x produzir a tensão Vy entre os nós y e y então a retirada da fonte de corrente dos nós x e x e a sua inserção entre os nós y e y produz a resposta de tensão Vy entre os nós x e x Uma forma simples de enunciar esse teorema é dizer que a troca de posições entre uma fonte ideal de tensão e um amperímetro em qualquer circuito passivo linear e bilateral não altera a leitura do amperímetro Em outras palavras a troca de posições entre uma fonte de corrente ideal e um voltímetro ideal em qualquer circuito passivo linear e bilateral não altera a leitura do voltímetro Capítulo 17 u Quadripolos 694 u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 174 No circuito da Figura 1710 I1 e I2 representam fontes de corrente ideais Chame de V1 V2 e Vx as tensões nodais na entrada na saída e nó central respectivamente Escreva três equações nodais elimine Vx para obter duas equações e então arranje essas equações na forma das Equações 5 e 6 de forma que todos os quatro parâmetros y possam ser lidos diretamente 175 Determine y para o quadripolo mostrado na Figura 1712 10 V 02V2 05I1 5 V V2 V1 I2 I1 t FIGURA 1712 Respostas 174 174 01192 01115 01115 01269 todos em S 175 06 0 02 02 todos em S 173 ALGUMAS REDES EQUIVALENTES Quando analisamos circuitos eletrônicos é usualmente necessário substituir um dispositivo real e talvez alguns dos circuitos passivos a ele associados por um quadripolo equivalente contendo apenas três ou quatro impedân cias A validade do equivalente pode ser restrita a sinais com pequenas amplitudes e a uma única frequência ou talvez a uma faixa limitada de frequências O equivalente também pode ser uma aproximação linear para um circuito não linear Entretanto se nos depararmos com uma rede linear contendo vários resistores capacitores e indutores mais um transistor com a identificação 2N3823 então não podemos analisar o circuito empregan do as técnicas que já estudamos o transistor deve ser substituído por um modelo linear da mesma forma que fizemos com o AOP no Capítulo 6 Os parâmetros y fornecem um modelo como esse na forma de um quadripolo frequentemente usado em altas frequências Outro modelo linear comum para um transistor aparece na Seção 175 As duas equações que determinam os parâmetros admitância de curtocircuito I1 y11V1 y12V2 16 I2 y21V1 y22V2 17 têm a forma de um par de equações nodais escritas para um circuito con tendo dois nós além do nó de referência Em geral a determinação de um circuito equivalente que leve às Equações 16 e 17 é dificultada pela desigualdade de y12 e y21 vale a pena usar alguns truques para obter um par de equações que possua coeficientes mútuos iguais Vamos somar e subtrair y12V1 o termo que gostaríamos que aparecesse no lado direito da Equação 17 I2 y12V1 y22V2 y21 y12V1 18 Seção 173 u Algumas redes equivalentes 695 ou I2 y21 y12V1 y12V1 y22V2 19 Os lados direitos das Equações 16 e 19 mostram agora uma simetria apropriada para um circuito bilateral o lado esquerdo da Equação 19 pode ser interpretado como a soma algébrica de duas fontes de corrente uma fonte independente I2 entrando no nó 2 e uma outra fonte dependente y21 y12V1 deixando o nó 2 Vamos agora ler a rede equivalente associada às Equações 16 e 19 Primeiro arbitramos um nó de referência e então um nó V1 e outro nó V2 A partir da Equação 16 estabelecemos a corrente I1 entrando no nó 1 fornecemos uma admitância mútua y12 entre os nós 1 e 2 e uma admitância y11 y12 entre o nó 1 e o nó de referência Com V2 0 a relação entre I1 e V1 é então y11 como deveria ser Considere agora a Equação 19 fazemos a corrente I2 entrar no segundo nó determinamos que a corrente y21 y12 V1 deixe esse nó notamos que a admitância correta y12 existe entre os nós e completamos o circuito instalando a admitância y22 y12 entre o nó 2 e o nó de referência O circuito completo é mostrado na Figura 1713a Outra forma para a rede equivalente é obtida com a subtração e a adi ção de y21V1 na Equação 16 esse circuito equivalente é mostrado na Figura 1713b Se o quadripolo é bilateral então y12 y21 e qualquer um dos equivalentes pode ser reduzido a uma simples rede P passiva A fonte dependente desaparece Esse equivalente do quadripolo bilateral é mostra do na Figura 1713c Há várias aplicações possíveis para esses circuitos equivalentes Em primeiro lugar fomos bem sucedidos ao mostrar que existe um equivalente para qualquer quadripolo complicado Não importa quantos nós ou laços estejam contidos na rede o equivalente não é mais complexo do que os cir cuitos da Figura 1713 Um deles pode ser muito mais simples de se usar do que o circuito original se estivermos interessados apenas nas características terminais do circuito original y21 y12 V1 V2 V1 I2 I1 y11 y12 y22 y12 y12 a V2 V1 I2 I1 c y11 y12 y22 y12 y12 y12 y21 V2 V2 V1 I2 I1 b y11 y21 y22 y21 y21 p FIGURA 1713 a b Quadripolos equivalentes a qualquer quadripolo linear geral A fonte dependente que aparece na letra a depende de V1 e a que aparece na letra b depende de V2 c Um equivalente para uma rede bilateral Capítulo 17 u Quadripolos 696 A rede com três terminais mostrada na Figura 1714a é frequentemente chamada de um Δ de impedâncias enquanto aquela da Figura 1714b é chamada de Y Uma rede pode ser substituída pela outra se certas relações específicas entre as impedâncias forem satisfeitas e essas relações podem ser estabelecidas com o uso dos parâmetros y Vemos que y11 1 ZA 1 ZB 1 Z1 Z2Z3 Z2 Z3 y12 y21 1 ZB Z3 Z1Z2 Z2Z3 Z3Z1 y22 1 ZC 1 ZB 1 Z2 Z1Z3 Z1 Z3 As equações anteriores podem ser resolvidas para ZA ZB e ZC em ter mos de Z1 Z2 e Z3 20 21 22 ZA Z1Z2 Z2Z3 Z3Z1 Z2 ZB Z1Z2 Z2Z3 Z3Z1 Z3 ZC Z1Z2 Z2Z3 Z3Z1 Z1 ou para as relações inversas 23 24 25 Z1 ZAZB ZA ZB ZC Z2 ZBZC ZA ZB ZC Z3 ZCZA ZA ZB ZC Essas equações nos permitem realizar facilmente transformações entre redes Y e Δ equivalentes um processo conhecido como transformação YΔ ou transformação TP se as redes forem desenhadas na forma des sas letras Para transformar de Y para Δ Equações 20 a 22 primeiro obtenha o valor do numerador presente em todas as equações como a soma dos produtos dois a dois das impedâncias contidas no Y Cada impedância do Δ é então obtida com a divisão desse numerador pela impedância do elemento no Y que não possui nó em comum com o elemento desejado no Δ Por outro lado dado o Δ primeiro some as três impedâncias presentes no Δ divida então o produto das duas impedâncias que têm um nó em comum com o elemento Y desejado por essa soma Essas transformações são frequentemente úteis na simplificação de redes passivas particularmente de redes resistivas evitandose assim a necessidade de emprego da análise nodal ou de malha O leitor deve se lembrar dessas relações úteis do Capítulo 5 onde a sua dedução foi descrita a ZB ZA ZC b Z3 Z2 Z1 p FIGURA 1714 A rede Δ com três terminais da letra a e a rede Y com três terminais da letra b são equivalentes se as seis impedâncias satisfizerem as condições para a transformação YΔ ou PT dadas nas Equações 20 a 25 Seção 173 u Algumas redes equivalentes 697 Determine a resistência de entrada do circuito mostrado na Figura 1715a a 1 V 4 V 3 V 2 V 5 V 159 71 d V 1 2 c V 13 2 V 19 8 V 1 2 b 2 V 5 V V 3 2 V 3 8 V p FIGURA 1715 a Uma rede resistiva cuja impedância de entrada é desejada Este exemplo é repetido do Capítulo 5 b O Δ de cima é substituído por um Y equivalente c d Combinações série e paralelo fornecem a impedância de entrada 159 71 Primeiro fazemos uma transformação ΔY no Δ que aparece na parte de cima da Figura 1715a A soma das três resistências que formam esse delta é 1 4 3 8 Ω O produto dos dois resistores conectados ao nó superior é 1 4 4 Ω2 Logo o resistor superior do Y é igual a 4 8 ou 1 2 Repetindo esse procedimento para os outros dois resistores obtemos a rede mostrada na Figura 1715b Fazemos em seguida as combinações série e paralelo indicadas obtendo em sucessão as Figuras 1715c e d Assim a impedância de entrada do circuito da Figura 1715a é igual a 159 71 ou 224 Ω Vamos agora trabalhar com um exemplo ligeiramente mais complica do mostrado na Figura 1716 Notamos que o circuito contém uma fonte dependente e com isso a transformação YΔ não é aplicável O circuito mostrado na Figura 1716 é um equivalente linear aproximado de um transistor usado como amplificador no qual o terminal emissor corresponde ao nó inferior o terminal de base corresponde ao nó de entrada superior e o terminal coletor corresponde ao nó de saída superior Um resistor de 2000 Ω está conectado entre a base e o coletor por alguma razão especial e dificulta a análise do circuito Determine os parâmetros y para esse circuito V2 V1 I1 I2 500 V 00395V1 10 kV 2000 V p FIGURA 1716 Circuito equivalente linear de um transistor na configuração emissor comum com realimentação resistiva entre coletor e base u EXEMPLO 176 u EXEMPLO 177 Capítulo 17 u Quadripolos 698 f Identifique o objetivo do problema Usando prontamente o jargão deste problema específico percebemos que fomos apresentados a um quadripolo e que precisamos obter os parâmetros y f Reúna as informações conhecidas A Figura 1716 mostra um quadripolo com as grandezas V1 I1 V2 e I2 já indicadas e um valor para cada componente foi fornecido f Trace um plano Poderíamos analisar esse circuito de várias maneiras Se reconhecermos que ele apresenta a forma do circuito equivalente mostrado na Figura 1713a então podemos determinar imediatamente os valores dos parâ metros y Se essa identificação não for imediata então os parâmetros y podem ser determinados para o quadripolo com a aplicação das relações das Equações 10 a 13 Também poderíamos evitar o uso de métodos de análise de quadripolos e escrever equações diretamente a partir do circuito do jeito que ele está A primeira opção parece ser a melhor neste caso f Construa um conjunto apropriado de equações Por inspeção vemos que y12 corresponde à admitância de nosso resistor de 2 kΩ que y11 y12 corresponde à admitância do resistor de 500 Ω que o ganho da fonte de corrente dependente corresponde a y21 y12 e finalmente que y22 y12 corresponde à admitância do resistor de 10 kΩ Daí podemos escrever y12 1 2000 y11 1 500 y12 y21 00395 y12 y22 1 10000 y12 f Determine se informações adicionais são necessárias Com as equações escritas nessa forma vemos que assim que calcularmos y12 os demais parâmetros y também podem ser obtidos f Tente uma solução Entrando com os números em uma calculadora vemos que y12 1 2000 05 mS y11 1 500 1 2000 25 mS y22 1 10000 1 2000 06 mS e y21 00395 1 2000 39 mS As equações seguintes devem então ser aplicadas I1 25V1 05V2 26 I2 39V1 06V2 27 onde agora usamos unidades em mA V mS ou kΩ f Verifique a solução Ela é razoável ou esperada Escrevendo duas equações nodais diretamente a partir do circuito obtemos I1 V1 V2 2 V1 05 ou I1 25V1 05V2 Seção 173 u Algumas redes equivalentes 699 e 395V1 I2 V2 V1 2 V2 10 ou I2 39V1 06V2 que concordam com as Equações 26 e 27 obtidas diretamente dos parâmetros y Vamos agora usar as Equações 26 e 27 para analisar o desempenho do quadripolo da Figura 1716 em diversas condições de operação distintas Primeiro colocamos uma fonte de corrente de 10o mA na entrada e conec tamos uma carga de 05 kΩ 2 mS à saída As redes instaladas nas termi nações são portanto bipolos e nos dão as seguintes informações específicas relacionando I 1 a V1 e I2 a V2 I1 1 para qualquer V1 I2 2V2 Temos agora quatro equações e quatro variáveis V1 V2 I1 e I2 Subs tituindo as duas relações acima nas Equações 26 e 27 obtemos duas equações relacionando V1 e V2 1 25V1 05V2 0 39V1 26V2 Resolvendo vemos que V1 01 V V2 15 V I1 1 mA I2 3 mA Esses quatro valores se aplicam ao quadripolo operando com uma cor rente prescrita I1 1 mA e uma carga específica RL 05 kΩ O desempenho de um amplificador é frequentemente descrito a partir de alguns valores especiais Calculemos quatro desses valores para esse qua dripolo considerando as terminações assumidas Vamos definir o ganho de tensão o ganho de corrente o ganho de potência e a impedância de entrada O ganho de tensão GV é GV V2 V1 Dos resultados numéricos é fácil ver que GV 15 O ganho de corrente GI é definido como GI I2 I1 e temos GI 3 Vamos definir e calcular o ganho de potência GP para uma excitação senoidal assumida Temos G P Psaída Pent Re 1 2V2I 2 Re 1 2V1I 1 45 Capítulo 17 u Quadripolos 700 O dispositivo poderia ser chamado de amplificador de tensão de cor rente ou de potência já que todos os ganhos são maiores que um Se o resistor de 2 kΩ fosse removido o ganho de potência aumentaria para 354 O conhecimento das impedâncias de entrada e saída do amplificador é muitas vezes desejado para que a máxima transferência de potência seja obtida de ou para um quadripolo adjacente Definimos a impedância de entrada Zent como a relação entre a tensão e a corrente na entrada Zent V1 I1 01 k Essa é a impedância vista pela fonte de corrente quando a carga de 500 Ω está conectada à saída com a saída em curtocircuito a impedância de entrada é necessariamente 1y11 ou 400 Ω Devese levar em conta que a impedância de entrada não pode ser determi nada com a substituição de todas as fontes por suas impedâncias de entrada e então com a combinação de resistências ou condutâncias No circuito dado tal procedimento levaria a um valor de 416 Ω O erro é claro vem do tratamento da fonte dependente como se fosse uma fonte independente Se pensarmos que a impedância de entrada deve ser numericamente igual à tensão de entrada produzida por uma corrente de entrada de 1 A a aplicação da fonte de 1 A pro duz a tensão V1 e o valor da fonte dependente 00395V1 não pode ser zero Devemos lembrar que quando obtemos a impedância equivalente de Thévenin de um circuito contendo uma fonte dependente juntamente com uma ou mais fontes independentes devemos substituir as fontes independentes por curtos circuitos ou circuitos abertos mas a fonte dependente não deve ser eliminada É claro que se a tensão ou a corrente de controle da fonte dependente se anular então a fonte dependente se tornará naturalmente inativa ocasionalmente um circuito pode ser simplificado com a identificação dessa ocorrência Além de GV GI GP e Zent há outro parâmetro de desempenho bastante útil Ele é a impedância de saída Zs que é determinada para uma diferente configuração de circuito A impedância de saída é simplesmente um outro nome para o circuito equivalente de Thévenin da porção da rede vista pela carga Em nosso cir cuito que assumimos ser alimentado por uma fonte de corrente de 1 mA trocamos portanto essa fonte por um circuito aberto deixamos de lado a fonte dependente e buscamos a impedância de entrada vista à esquerda dos terminais de saída sem a carga Logo definimos Zs V2I21 A com todas as fontes independentes eliminadas e o resistor RL removido Removemos portanto o resistor de carga aplicamos 10o mA já que estamos trabalhando em V mA e kΩ nos terminais de saída e determina mos V2 Colocamos essas condições nas Equações 26 e 27 e obtemos 0 25V1 05V2 1 39V1 06V2 Resolvendo V2 91190 V e assim Zs 01190 kΩ Seção 173 u Algumas redes equivalentes 701 Um procedimento alternativo seria o cálculo da tensão de saída em cir cuito aberto e da corrente de saída em curtocircuito Isto é a impedância de Thévenin é igual à impedância de saída Zsaída Zth V2ca I2cc Realizando esse procedimento primeiro religamos a fonte independen te de forma que I1 1 mA e então abrimos a carga de forma que I2 0 Temos 1 25V1 05V2 0 39V1 06V2 e assim V2ca 1857 V Em seguida aplicamos as condições de curtocircuito fazendo V2 0 e novamente aplicando I1 1 mA Vemos que I1 1 25V1 0 I2 39V1 0 e com isso I2cc 156 mA As direções assumidas para V2 e I2 resultam portanto em uma impedân cia de Thévenin ou de saída Zsaída V2ca I2cc 1857 156 01190 k como antes Dispomos agora de informações suficientes para desenhar o diagrama equivalente de Thévenin ou de Norton do quadripolo da Figura 1716 quando ele é alimentado por uma fonte de corrente de 10o mA e terminado em uma carga de 500 Ω Assim o equivalente de Norton visto pela carga deve conter uma fonte de corrente igual à corrente de curtocircuito I2cc em paralelo com a impedância de saída esse equivalente é mostrado na Figura 1717a Da mesma forma o equivalente de Thévenin visto pela fonte de corrente de 10o mA na entrada deve consistir somente na impedância de entrada conforme desenhado na Figura 1717b Antes de deixar os parâmetros y devemos reconhecer a sua utilidade na descrição da conexão em paralelo de quadripolos conforme indicado na Figura 1718 Quando definimos uma porta na Seção 171 frisamos que as correntes entrando e saindo dos dois terminais de uma porta deveriam ser iguais e que não poderia haver conexões externas que fizessem uma ponte entre duas portas Aparentemente a conexão em paralelo mostrada na Figura 1718 viola esta condição Entretanto se cada quadripolo tiver um nó de referência comum às portas de entrada e saída e se os dois qua dripolos estiverem conectados em paralelo de forma a ter o mesmo nó de referência então todas as portas continuam a ser portas após a conexão Logo para a rede A IA yA VA V2 I2 119 V 156 mA a V1 I1 100 V b p FIGURA 1717 a O equivalente de Norton da rede da Figura 1716 vista à esquerda do terminal de saída com I1 10o mA b O equivalente de Thévenin da parte da rede à direita dos terminais de entrada se I2 2V2 mA Capítulo 17 u Quadripolos 702 onde IA IA1 IA2 e VA VA1 VA2 e para a rede B IB yBVB Mas VA VB V e I IA IB Logo I yA yBV e vemos que cada parâmetro y para o paralelo das redes é dado pela soma dos parâmetros correspondentes das redes originais y yA yB 28 Isso pode ser estendido a qualquer número de quadripolos conectados em paralelo u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 176 Determine y e Zsaída para o quadripolo com terminações mostrado na Figura 1719 177 Use transformações ΔY e YΔ para determinar Rent nas redes mostra das na a Figura 1720a b Figura 1720b V1 V2 I1 I2 200 V 1 kV 3 kV 5 kV 20I1 103V2 Vs p FIGURA 1719 VA2 VA1 I1 I2 IA2 IA1 IB1 IB2 Rede A Rede B p FIGURA 1718 A conexão em paralelo de dois quadripolos Se ambas as entradas e saídas tiverem o mesmo nó de referência então a matriz admitância y yA yB Seção 174 u Parâmetros impedância 703 Cada R é 47 V a Rent 4 V 2 V 1 V 18 V 12 V 2 V 6 V 3 V b Rent p FIGURA 1720 Respostas 176 2 10 4 10 3 4 10 3 203 10 3 S 511 177 5371 1311 174 PARÂMETROS IMPEDÂNCIA O conceito de parâmetros de quadripolos foi apresentado em termos dos parâmetros admitância de curtocircuito Há outros conjuntos de parâme tros no entanto e cada um desses conjuntos está associado a uma classe particular de redes para a qual o seu uso possibilita uma análise mais simples Consideraremos três outros tipos de parâmetros os parâmetros impedância de circuito aberto que são assunto desta seção e os parâmetros híbridos e de transmissão que são discutidos nas seções seguintes Comecemos novamente com um quadripolo linear genérico que não con tenha quaisquer fontes independentes as correntes e tensões são assinaladas como antes Figura 178 Consideremos agora a tensão V1 como a resposta produzida por duas fontes de corrente I1 e I2 Assim escrevemos para V1 V1 z11I1 z12I2 29 e para V2 V2 z21I1 z22I2 30 ou V V1 V2 zI z11 z12 z21 z22 I1 I2 31 Naturalmente para que essas equações sejam usadas não é necessário que I1 e I2 sejam fontes de corrente tampouco que V1 e V2 sejam fontes de tensão Em geral podemos ter quaisquer redes conectadas às terminações do quadripolo Na forma em que as equações estão escritas podemos pro vavelmente pensar em V1 e V2 como as grandezas fornecidas ou indepen dentes e I1 e I2 como as incógnitas ou variáveis dependentes As seis maneiras nas quais as duas equações podem ser escritas para relacionar essas quatro variáveis definem diferentes sistemas de parâmetros Estudamos dentre estes os quatro sistemas de parâmetros mais importantes Capítulo 17 u Quadripolos 704 A descrição mais informativa dos parâmetros z definidos nas Equações 29 e 30 é obtida igualandose a zero cada uma das correntes Logo 32 33 34 35 z11 V1 I1 I2 0 z12 V1 I2 I1 0 z21 V2 I1 I2 0 z22 V2 I2 I1 0 Como correntes nulas resultam de uma terminação em circuito aberto os parâmetros z são conhecidos como parâmetros impedância de circuito aberto Eles são facilmente relacionados aos parâmetros admitância de curtocircuito com a solução das Equações 29 e 30 para I1 e I2 I1 V1 z12 V2 z22 z11 z12 z21 z22 ou I1 z22 z11z22 z12z21 V1 z12 z11z22 z12z21 V2 Usando a notação de determinantes e sendo cuidadosos para que o subs crito seja um z minúsculo assumimos Δz 0 e obtemos y11 11 z z22 z y12 21 z z12 z e a partir da resolução para I2 y21 12 z z21 z y22 22 z z11 z De maneira similar os parâmetros z podem ser expressos em termos dos parâmetros admitância Transformações dessa natureza são possíveis entre quaisquer sistemas de parâmetros e um bom conjunto de fórmulas úteis pode ser obtido Transformações entre os parâmetros y e z bem como entre os parâmetros h e t que consideramos nas próximas seções são dadas na Tabela 171 como uma referência útil Se o quadripolo for uma rede bilateral a reciprocidade está presente é fácil mostrar que isso resulta da igualdade entre z12 e z21 Circuitos equivalentes podem ser novamente obtidos com a inspeção das Equações 29 e 30 sua construção é facilitada pela soma e subtra ção de z12I1 na Equação 30 ou z21I2 na Equação 29 Cada um desses circuitos equivalentes contém uma fonte de tensão dependente Seção 174 u Parâmetros impedância 705 Vamos deixar a dedução de tais circuitos equivalentes para um momento de lazer e considerar agora um exemplo de natureza bem geral Podemos cons truir um equivalente de Thévenin geral de um quadripolo visto dos terminais de saída É necessário primeiro assumir uma configuração específica para o circuito de entrada e com isso selecionamos uma fonte de tensão independente Vs sinal positivo no topo em série com uma impedância de gerador Zg Logo Vs V1 I1Zg Combinando esse resultado com as Equações 29 e 30 podemos eliminar V1 e I1 e obter V2 z21 z11 Zg Vs z22 z12z21 z11 Zg I2 O circuito equivalente de Thévenin pode ser desenhado diretamente a partir dessa equação ele é mostrado na Figura 1721 A impedância de saída expressa em termos dos parâmetros z é Zsaída z22 z12z21 z11 Zg Se a impedância do gerador for nula obtémse a expressão mais simples Zsaída z11z22 z12z21 z11 z 22 1 y22 Zg 0 Para esse caso especial a admitância de saída é idêntica a y22 conforme indicado pela relação básica da Equação 13 V2 I2 Vs z21 z11 Zg z22 z12 z21 z11 Zg p FIGURA 1721 O equivalente de Thévenin de um quadripolo genérico visto dos terminais de saída expresso em termos dos parâmetros impedância de curtocircuito TABELA 171 u Transformações entre Parâmetros y z h e t y z h t y y11 y12 z22 z z12 z 1 h11 h12 h11 t22 t12 t t12 y21 y22 z21 z z11 z h21 h11 h h11 1 t12 t11 t12 z y22 y y12 y z11 z12 h h22 h12 h22 t11 t21 t t21 y21 y y11 y z21 z22 h21 h22 1 h22 1 t21 t22 t21 h 1 y11 y12 y11 z z22 z12 z22 h11 h12 t12 t22 t t22 y21 y11 y y11 z21 z22 1 z22 h21 h22 1 t22 t21 t22 t y22 y21 1 y21 z11 z21 z z21 h h21 h11 h21 t11 t12 y y21 y11 y21 1 z21 z22 z21 h22 h21 1 h21 t21 t22 Para todos os conjuntos de parâmetros p p11p22 p12p21 Capítulo 17 u Quadripolos 706 Dado o conjunto de parâmetros impedância z 103 10 106 104 todos em que são representativos de um transistor bipolar de junção operando na configuração emissor comum determine os ganhos de tensão corrente e potência bem como as impedâncias de entrada e de saída O quadripolo é alimentado por uma fonte de tensão senoidal Vs em série com um resistor de 500 Ω e terminado em um resistor de carga de 10 kΩ As duas equações que descrevem o quadripolo são V1 103I1 10I2 36 V2 106I1 104I2 37 e as equações que caracterizam as redes de entrada e saída são Vs 500I1 V1 38 V2 104I2 39 A partir dessas quatro últimas equações podemos facilmente obter expres sões para V1 I1 V2 e I2 em termos de Vs V1 075Vs I1 Vs 2000 V2 250Vs I2 Vs 40 Com essa informação é fácil determinar o ganho de tensão GV V2 V1 333 o ganho de corrente GI I2 I1 50 o ganho de potência G P Re 1 2V2I 2 Re 1 2V1I 1 16670 e a impedância de entrada Zent V1 I1 1500 A impedância de saída pode ser obtida com referência à Figura 1721 Zsaída z22 z12z21 z11 Zg 1667 k De acordo com as predições do teorema da máxima transferência de potência o ganho de potência atinge um valor máximo quando ZL Zsaída 1667 kΩ esse valor máximo é igual a 17045 u EXEMPLO 178 Seção 174 u Parâmetros impedância 707 Os parâmetros y são úteis quando quadripolos são conectados em paralelo e de forma dual os parâmetros z simplificam o problema da conexão em série de redes mostrado na Figura 1722 Note que a conexão em série não é o mesmo que a conexão em cascata que vamos discutir mais tarde juntamente com os parâmetros de transmissão Se cada quadripolo tiver um mesmo nó de referência para a entrada e para a saída e se as referências forem interconec tadas como indicado na Figura 1722 estão I1 flui através das portas de entra da das duas redes em série Algo similar pode ser dito para I2 Logo portas permanecem portas após a interconexão das redes Daí segue que I IA IB e V VA VB zAIA zBIB zA zBI zI onde z zA zB De forma que z11 z11A z11B e daí em diante u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 178 Determine z para o quadripolo mostrado na a Figura 1723a b Figura 1723b 179 Determine z para o quadripolo mostrado na Figura 1723c V2 V1 25 V 20 V 50 V 05V2 c V1 V2 25 V 20 V 50 V a V1 V2 25 V 40 V 20 V 50 V b p FIGURA 1723 Respostas Ans 178 45 25 25 75 212 1176 1176 676 179 70 100 50 150 t FIGURA 1722 A conexão em série de dois quadripolos é feita com a interconexão dos quatro nós de referência então a matriz z zA zB V1 V2A V2B I2 I2A I1 I1B I1 I1A V1A I1 V1B Rede A Rede B Capítulo 17 u Quadripolos 708 175 PARÂMETROS HÍBRIDOS A dificuldade encontrada na medição de grandezas como os parâmetros impedância de circuito aberto surge quando um parâmetro como z21 deve ser medido Uma corrente senoidal conhecida pode ser facilmente aplicada nos terminais de entrada mas em função da impedância de saída extre mamente elevada na saída do circuito transistor é difícil abrir os terminais de saída e mesmo assim suprir as tensões de polarização CC necessárias e medir a tensão de saída senoidal Uma medição da corrente de curto circuito nos terminais de saída é muito mais fácil de se implementar Os parâmetros híbridos são definidos com a escrita do par de equações relacionando V1 I1 V2 e I2 como se V1 e I2 fossem as variáveis independentes V1 h11I1 h12V2 40 I2 h21I1 h22V2 41 ou V1 I2 h I1 V2 42 A natureza dos parâmetros fica mais clara se fizermos primeiro V2 0 Assim h11 V1 I1 V2 0 impedância de entrada com saída em curtocircuito h21 I2 I1 V2 0 ganho de corrente direto com saída em curto circuito Fazendo I1 0 obtemos h12 V1 V2 I1 0 ganho de tensão reverso com entrada em circuito aberto h22 I2 V2 I1 0 admitância de saída com entrada em circuito aberto Como os parâmetros representam uma impedância uma admitância um ganho de tensão e um ganho de corrente eles são chamados de parâmetros híbridos As designações adotadas nos subscritos desses parâmetros são frequen temente simplificadas quando eles são aplicados em transistores Logo h11 h12 h21 e h22 se tornam hi hr hf e ho respectivamente onde esses subscritos denotam entrada input reverso reverse direto forward e saída output Determine h para o circuito resistivo bilateral desenhado na Figura 1724 Com a saída em curtocircuito V2 0 a aplicação de uma fonte de corrente de 1 A na entrada I1 1 A produz uma tensão de entrada de 34 V V1 34 V daí h11 34 Ω Nessas mesmas condições a corrente de saída é facil mente obtida pela divisão de corrente I2 04 A logo h21 04 u EXEMPLO 179 Seção 175 u Parâmetros híbridos 709 Os dois parâmetros restantes são obtidos com a entrada em circuito aberto I1 0 Aplicamos 1 V nos terminais de saída V2 1 V A resposta nos terminais de entrada é 04 V V1 04 V e assim h12 04 A corrente fornecida por essa fonte nos terminais de saída é igual a 01 A I2 01 A e portanto h22 01 S Temos portanto h 34 04 04 01 S É uma consequência do teorema da reciprocidade que h12 h21 em uma rede bilateral u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1710 Determine h para o quadripolo mostrado na a Figura 1725a b Figura 1725b V1 V2 40 V 20 V a V1 V2 40 V 10 V b t FIGURA 1725 1711 Se h 5 2 05 01 S obtenha a y b z Respostas 1710 20 1 1 25 ms 8 08 08 20 ms 1711 02 04 01 03 S 15 20 5 10 O circuito mostrado na Figura 1726 traduz diretamente as duas equa ções usadas na definição as Equações 40 e 41 A primeira representa a aplicação da LKT em torno do laço de entrada enquanto a segunda é obtida com a aplicação da LKC no nó de saída superior Esse circuito também é um popular circuito equivalente empregado na representação de transistores Vamos assumir alguns valores razoáveis para a configuração emissor comum h11 1200 Ω h12 2 104 h21 50 h22 50 106 S um gerador de 10o mV em série com um resistor de 800 Ω e uma carga de 5 kΩ Para a entrada 103 1200 800I1 2 104V2 e na saída I2 2 104V2 50I1 50 106V2 V1 V2 I1 I2 h11 V h12V2 h21I1 h22 V p FIGURA 1726 Os quatro parâmetros h são associados a um quadripolo As equações pertinentes são V1 h11I1 h12V2 e I2 h21I1 h22V2 V1 V2 I1 I2 1 V 6 V 4 V p FIGURA 1724 Uma rede bilateral para a qual os parâmetros h são obtidos h12 h21 APLICAÇÃO CARACTERIZANDO TRANSISTORES Transistores de junção bipolar são comumente espe cificados em termos de parâmetros h Inventado no final dos anos quarenta por pesquisadores da Bell Laboratories Figura 1727 o transistor é um dispositivo semicondutor não linear que forma a base para quase todos os amplifica dores e circuitos lógicos digitais p FIGURA 1727 Fotografia do primeiro transistor de junção bipolar tjb Lucent Technologies IncBell Labs Os três terminais de um transistor são chamados de base b coletor c e emissor e como mostrado na Figura 1728 e seus nomes vêm de seu papel no transporte de cargas no interior do dispositivo Os parâmetros h de um transistor de junção bipolar são tipicamente medidos com o terminal emissor aterrado o que também é conhe cido como configuração emissor comum a base é então chamada de entrada e o coletor de saída Como dissemos antes no entanto o transistor é um dispositivo não linear e com isso a definição de parâmetros h que sejam válidos para todas as tensões e correntes não é possível Portanto é prática comum especificar parâmetros h para valores específicos da corrente de coletor IC e da tensão coletor emissor VCE Há muitos tipos de instrumentos que podem ser empre gados na obtenção dos parâmetros h de um transistor em particular Um exemplo é um analisador de parâmetros de semicondutores mostrado na Figura 1729 O instrumento faz a varredura da corrente desejada traçada no eixo verti cal em função de uma tensão específica traçada no eixo horizontal Uma família de curvas é produzida com a variação de um terceiro parâmetro em passos discretos frequentemente a corrente de base Como um exemplo o fabricante do transistor de silí cio 2N3904 NPN apresenta os parâmetros h indicados na Tabela 172 note que os parâmetros específicos recebem designações alternativas hie hre etc pelos engenheiros que trabalham com transistores As medições foram feitas com IC 10 mA VCE 10 V cc e f 10 kHz p FIGURA 1729 Foto do visor do Analisador de Parâmetros de Semicondutores HP 4155A usado para medir os parâmetros h de um transistor bipolar de junção 2N3904 Somente por diversão um dos autores e um amigo decidiram medir eles mesmos os parâmetros de um tran sistor Tirando um dispositivo barato da gaveta e usando o instrumento da Figura 1729 eles obtiveram hoe 33 μmhos h f e 109 hie 302 k hre 4 10 3 cujos três primeiros valores estão bem dentro dos níveis de tolerância publicados pelo fabricante ainda que muito VCE VCB VBE IC IE IB Coletor Emissor Base p FIGURA 1728 Diagrama esquemático de um t jb mostrando correntes e tensões de acordo com a convenção do IEEE mais próximos de seus valores mínimos do que de seus valores máximos O valor de hre contudo se mostrou uma ordem de magnitude maior do que o valor máximo especifi cado no catálogo do fabricante Isso foi bastante desconcer tante já imaginávamos estar indo bem até aquele momento Com um pouco mais de reflexão percebemos que a montagem experimental permitiu que o dispositivo se aquecesse durante as medições pois estávamos fazendo uma varredura abaixo e acima de IC 1 mA Transistores infelizmente podem mudar suas propriedades dramatica mente em função da temperatura os valores do fabricante eram válidos especificamente para 25oC Assim que a varredura foi alterada para minimizarse o aquecimento do dispositivo obtivemos um valor de 20 104 para hre Tra balhar com circuitos lineares é de longe bem mais fácil mas circuitos não lineares podem ser muito mais interessantes TABELA 172 u Resumo dos Parâmetros CA do 2N3904 Parâmetro Nome Especificação Unidades hie h11 k 01 10 Impedância de entrada hre h12 50 Razão de realimentação de tensão 80 10 4 hfe h21 100400 Ganho de corrente para pequenos sinais hoe h22 01 40 Admitância de saída µmhos Resolvendo I1 0510 μA V1 0592 mV I2 204 μA V2 102 mV Através do transistor temos um ganho de corrente de 40 um ganho de tensão de 172 V e um ganho de potência de 6880 A impedância de entrada do transistor é igual a 1160 Ω e alguns poucos cálculos adicionais mostram que a impedância de saída é igual a 222 kΩ Parâmetros híbridos podem ser diretamente somados quando quadripolos são conectados em série na entrada e em paralelo na saída Esta é chamada de interconexão sérieparalelo e não é usada com frequência 176 PARÂMETROS DE TRANSMISSÃO Os últimos parâmetros de quadripolos que vamos considerar são chama dos de parâmetros t parâmetros ABCD ou simplesmente parâmetros de transmissão Eles são definidos por V1 t11V2 t12I2 43 e I1 t21V2 t22I2 44 ou V1 I1 t V2 I2 45 onde as grandezas V1 V2 I1 e I2 são definidas da forma usual Figura 178 Os sinais negativos que aparecem nas Equações 43 e 44 podem Capítulo 17 u Quadripolos 712 ser associados à corrente de saída como I2 Logo I1 e I2 apontam para a direita a direção da transmissão de energia ou do sinal Outra nomenclatura amplamente usada para esse conjunto de parâme tros é t11 t12 t21 t22 A B C D 46 Note que não há sinais negativos nas matrizes t ou ABCD Olhando de novo para as Equações 43 a 45 vemos que as grandezas da esquerda nas quais muitas vezes pensamos como sendo as variáveis de que dispomos ou independentes são a tensão e a corrente de entrada V1 e I1 as variáveis dependentes V2 e I2 são as grandezas de saída Logo os parâmetros de transmissão fornecem uma relação direta entre a entrada e a saída Seu emprego maior se dá na análise de linhas de transmissão e de redes em cascata Vamos obter os parâmetros t para o quadripolo resistivo da Figura 1730a Para ilustrar um possível procedimento a ser empregado na deter minação de um único parâmetro considere t12 V1 I2 V2 0 Portanto colocamos a saída em curtocircuito V2 0 e fazemos V1 1 V conforme mostrado na Figura 1730b Note que não podemos igua lar a um o denominador colocando uma fonte de corrente de 1 A na saída já temos um curtocircuito ali A resistência equivalente oferecida à fonte de 1 V é Req 2 410 Ω e então usamos a divisão de corrente para obter I2 1 2 4 10 10 10 4 5 34 A Daí t12 1 I2 34 5 68 Se for necessário obter todos os quatro parâmetros escrevemos qualquer par de equações que nos for conveniente usando todas as quatro grandezas terminais V1 V2 I1 e I2 Da Figura 1730a temos duas equações de malha V1 12I1 10I2 47 V2 10I1 14I2 48 Resolvendo a Equação 48 para I1 temos I1 01V2 14I2 se forma que t21 01 S e t22 14 Substituindo a expressão para I1 na Equação 47 obtemos V1 1201V2 14I2 10I2 12V2 68I2 e t11 12 e t12 68 Ω uma vez mais Para redes recíprocas o determinante da matriz t é igual à unidade Δt t11t22 t12t21 1 V1 V2 I1 I2 2 V 4 V 10 V a I2 2 V 1 V 4 V 10 V b p FIGURA 1730 a Um quadripolo resistivo para o qual os parâmetros t devem ser determinados b Para obter t12 faça V1 1 V com V2 0 então t12 1I2 68 Ω Seção 176 u Parâmetros de transmissão 713 No exemplo resistivo da Figura 1730 Δt 12 14 68 01 1 Bom Concluímos a nossa discussão sobre quadripolos com a conexão de dois quadripolos em cascata ilustrada para duas redes na Figura 1731 Tensões e correntes terminais são indicadas para cada quadripolo e a relações entre os parâmetros t correspondentes são para a rede A V1 I1 tA V2 I2 tA V3 I3 V1 V4 V2 V3 I1 I4 I3 I2 Rede A Rede B p FIGURA 1731 Quando dois quadripolos A e B são conectados em cascata a matriz de parâmetros t da rede combinada é dada pelo produto matricial t tAtB e para a rede B V3 I3 tB V4 I4 Combinando esses resultados temos V1 I1 tAtB V4 I4 Portanto os parâmetros t para redes em cascata são obtidos com o produto matricial t tAtB Esse produto não é obtido com a multiplicação dos elementos corres pondentes nas duas matrizes Se necessário revise o procedimento correto para a multiplicação de matrizes no Apêndice 2 Determine os parâmetros t para as redes em cascata mostradas na Figura 1732 2 V 4 V 10 V Rede A 4 V 8 V 20 V Rede B p FIGURA 1732 Uma conexão em cascata A rede A é o quadripolo da Figura 1732 e portanto tA 12 68 01 S 14 u EXEMPLO 1710 Capítulo 17 u Quadripolos 714 enquanto a rede B tem valores de resistência duas vezes maiores de forma que tB 12 136 005 S 14 Para a rede combinada t tAtB 12 68 01 14 12 136 005 14 12 12 68 005 12 136 68 14 01 12 14 005 01 136 14 14 e t 178 2584 019 S 332 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1712 Dado t 32 8 02 S 4 determine a z b t para duas redes idênticas em cascata c z para duas redes idênticas em cascata Resposta Ans 16 56 5 20 1184 576 144 S 176 822 871 0694 1222 A caracterização de quadripolos usando parâmetros t cria a oportunidade de se simplificar vastamente a análise de circuitos com quadripolos Como visto nesta seção por exemplo tA 12 68 01 S 14 e tB 12 136 005 S 14 vimos que os parâmetros t caracterizando a rede em cascata podem ser obti dos simplesmente com a multiplicação de tA e tB t tA tB Tais operações matriciais são facilmente realizadas em calculadoras cien tíficas ou em pacotes computacionais como o MATLAB O código no MATLAB por exemplo seria EDU tA 12 68 01 14 EDU tB 12 136 005 14 EDU t tAtB t 17800 258400 01900 33200 como obtivemos no Exemplo 1710 Em termos da entrada de matrizes no MATLAB cada uma delas recebe um nome que é sensível a letras maiúsculas e minúsculas tA tB e t neste exemplo u ANÁLISE AUXILIADA POR COMPUTADOR 715 Resumo e revisão A entrada dos elementos da matriz se dá de linha em linha começando com a linha de cima linhas são separadas por um pontoevírgula Novamente o leitor deve sempre ser cuidadoso ao lembrar que a ordem das operações é crítica quando se trabalha com álgebra matricial Por exemplo tBtA resulta em uma matriz totalmente diferente daquela que procuramos tB tA 28 272 02 23 Para matrizes simples como as vistas neste exemplo é tão prático ou mais usar uma calculadora científica quanto um computador Entretanto redes em cascata mais extensas são trabalhadas mais facilmente em um computador onde se torna mais conveniente ver todas variáveis na tela simultaneamente RESUMO E REVISÃO Neste capítulo encontramos uma maneira um tanto abstrata para representar redes Esta nova abordagem é especialmente útil se a rede for passiva e também ligada de alguma forma em outras redes em um dado momento ou talvez em casos onde os valores dos componentes sejam alterados fre quêntemente Introduzimos o conceito através da ideia do bipolo onde de fato tudo que fizemos foi determinar a resistência equivalente de Thévenin ou impedância falando de forma mais genérica Nosso primeiro contato com a ideia de quadripolo onde possivelmente um par de terminais seja uma entrada o outro uma saída foi através de parâmetros de admitância também chamados de parâmetros y O resultado é uma matriz que quando multiplicada pelo vetor contendo as tensões nos terminais produz um vetor com as correntes em cada porta Uma pequena manipulação rendeu o que chamamos de equivalentes Y no Capítulo 5 A contraparte direta dos parâmetros y são os parâmetros z onde cada elemento da matriz é a razão de uma tensão por uma corrente Ás vezes os parâmetros y e z não são particularmente convenientes por isso também introduzimos os parâmetros híbridos ou h bem como os parâmetros de transmissão ou t também conhecidos como parâmetros ABCD A Tabela 171 resume o processo de conversão entre os parâmetros y z h e t um conjunto de parâmetros que descreve completamente uma rede é o suficiente independentemente do tipo de matriz que preferimos empregar em uma análise específica Convenientemente para o leitor vamos agora avançar diretamente para uma lista de conceitos fundamentais do capítulo juntamente com exemplos correspondentes f Para empregar os métodos de análise descritos neste capítulo é muito importante lembrar que cada porta só pode ser conectada a um bipolo ou a outro quadripolo f A impedância de entrada de um bipolo passivo linear pode ser obtida usando análise nodal ou de malha em alguns casos o con junto de coeficientes podem ser escritos diretamente por inspeção Exemplos 171 172 173 Capítulo 17 u Quadripolos 716 f As equações que definem a análise de um quadripolo em termos de seus parâmetros admitância y são I1 y11V1 y12V2 e I2 y21V1 y22V2 onde y11 I1 V1 V2 0 y12 I1 V2 V1 0 y21 I2 V1 V2 0 e y22 I2 V2 V1 0 Exemplos 174 175 177 f As equações que definem a análise de um quadripolo em termos de seus parâmetros impedância z são V1 z11I1 z12I2 e V2 z21I1 z22I2 Exemplo 178 f As equações que definem a análise de um quadripolo em termos de seus parâmetros híbridos h são V1 h11I1 h12V2 e I2 h21I1 h22V2 Exemplo 179 f As equações que definem a análise de um quadripolo em termos de seus parâmetros de transmissão t também chamados de parâme tros ABCD são V1 t11V2 t12I2 e I1 t21V2 t22I2 Exemplo 1710 f É simples fazer a conversão entre os parâmetros h z t e y depen dendo da necessidade de análise de um circuito as transformações estão resumidas na Tabela 171 Exemplo 176 LEITURA COMPLEMENTAR Mais detalhes a respeito de métodos matriciais para a análise de circuitos podem ser encontrados em R A DeCarlo e P M Lin Linear Circuit Analysis 2a Ed New York Oxford University Press 2001 A análise de circuitos com transistores usando parâmetros de redes é des crita em W H Hayt Jr e G W Neudeck Electronic Circuit Analysis and Design 2a ed New York Wiley 1995 Exercícios 717 EXERCÍCIOS 171 Bipolos 1 Considere o seguinte conjunto de equações 2I1 4I2 3 5I1 I2 9I3 0 2I1 5I2 4I3 1 a Escreva esse conjunto de equações na forma matricial b Determine ΔZ e Δ11 c Calcule I1 2 Para o seguinte conjunto de equações 100V1 45V2 30V3 02 75V1 80V3 01 48V1 200V2 42V3 05 a Escreva esse conjunto de equações na forma matricial b Use ΔY para calcular V2 apenas 3 Com relação à rede passiva representada na Figura 1733 a obtenha as quatro equações de malha b calcule ΔZ e c calcule a impedância de entrada 10 kV 1 kV 470 V 47 kV 22 kV 22 kV V1 I3 I2 I4 I1 t FIGURA 1733 4 Determine a impedância de entrada da rede mostrada na Figura 1734 calculan do primeiro ΔZ 1 kV 100 V 870 V 220 V 100 V 870 V V1 I3 I2 I4 I5 I1 t FIGURA 1734 5 Para o bipolo representado esquematicamente na Figura 1735 escolha o nó inferior como referência nomeie a junção entre as condutâncias de 3 10 e 20 S como V2 e o nó restante de V3 a Escreva as três equações nodais b Calcule ΔY c Calcule a admitância de entrada V1 3 S 10 S 20 S 5 S 2 S p FIGURA 1735 Capítulo 17 u Quadripolos 718 6 Calcule ΔZ e Zent para a rede da Figura 1736 se ω é igual a a 1 rads b 320 krads 7 Defina ω 100π rads no bipolo da Figura 1736 a Calcule ΔY e a admitância de entrada em ω Yentω b Uma fonte de corrente senoidal com módulo de 100 frequência de 100 π rads e fase em 0º é ligada a rede Calcule a tensão sobre a fonte de corrente resposta expressa como um fasor 8 Com relação ao bipolo da Figura 1737 que contém uma fonte de corrente dependente controlada pela tensão no resistor a calcule ΔZ b calcule Zent V1 4 V 02V1 10 V 5 V 10 V Zent t FIGURA 1737 9 Para o circuito AOP ideal representado na Figura 1738 a resistência de entrada é definida como sendo o valor visto entre o terminal de entrada positivo do AOP e o terra a Escreva as equações nodais apropriadas para o bipolo b Obtenha uma expressão para Rent Sua resposta é de certa forma inesperada Explique 10 a Se os dois AOPs mostrados no circuito da Figura 1739 são ideais Ri Ro 0 e A determine Zent b R1 4 kΩ R2 10 kΩ R3 10 kΩ R4 1 kΩ e C 200 pF mostre que Zent jωLent onde Lent 08 mH Zent R1 R2 R3 C R4 t FIGURA 1739 172 Parâmetros Admitância 11 Obtenha um conjunto completo de parâmetros y que descrevam o quadripolo mostrado na Figura 1740 t FIGURA 1740 10 kV 1 kV 8 kV V2 V1 I2 I1 12 a Determine os parâmetros admitância de curtocircuito que descreve com pletamente o quadripolo da Figura 1741 b Se V1 3 V e V2 2 V use sua resposta do item a para calcular I1 e I2 13 a Determine os parâmetros y para o quadripolo da Figura 1742 b Defina o nó inferior da Figura 1742 como o nó de referência e aplique a análise nodal para obter expressões para I1 e I2 em termos de V1 e V2 Use essas expressões para escrever a matriz de admitância c Se V1 2V2 10 V a calcule potência dissipada na condutância de 100 mS 28 V 28 V Rx Rent p FIGURA 1738 p FIGURA 1741 10 V 8 V 11 V 20 V V2 V1 I2 I1 100 mH 100 mH Zent 50 mH 6 V 20 nF p FIGURA 1736 Exercícios 719 14 Obtenha um conjunto completo de parâmetros y para descrever o quadripolo mostrado na Figura 1743 t FIGURA 1743 540 V 200 V 510 V 400 V V2 V1 I2 I1 15 O circuito da Figura 1744 é simplesmente o quadripolo da Figura 1740 ter minado por um bipolo passivo e um outro bipolo separado composto por uma fonte de tensão em série com um resistor a Determine o conjunto completo de parâmetros de admitância que descreve o quadripolo Dica desenhe o qua dripolo por si só devidamente identificando a tensão e corrente em cada par de terminais b Calcule a potência dissipada no bipolo passivo usando a sua resposta ao item a t FIGURA 1744 10 kV 10 V 1 kV 8 kV 4 V V2 V1 I2 I1 15 V 16 Substitua o resistor de 10 Ω da Figura 1744 por um resistor de 1 KΩ a fonte de 15 V por uma fonte de 9 V e o resistor de 4 Ω por um resistor de 4kΩ a Determine o conjunto completo de parâmetros de admitância que descrevem o quadripolo que consiste em resistores de 1 kΩ 10 kΩ e 8 kΩ Dica desenhe o quadripolo por si só devidamente identificando a tensão e corrente em cada par de terminais b Calcule a potência dissipada no bipolo passivo usando a sua resposta para o item a 17 Determine os parâmetros de admitância que descrevem a quadripolo mostrado na Figura 1745 18 Obtenha o parâmetro y para a rede mostrada na Figura 1746 e utilizeo para determinar I1 e I2 se a V1 0 V2 1 V b V1 8 V V2 3 V c V1 V2 5 V t FIGURA 1746 5 kV 06V2 01I1 10 kV 20 kV V2 V1 I2 I1 19 Utilize um método adequado para obter y para a rede da Figura 1747 20 O transistor de efeito de campo metalóxidosemicondutor MOSFET um elemento não linear com três terminais usado em muitas aplicações eletrônicas é frequentemente especificado em termos de seus parâmetros y Os parâmetros CA são fortemente dependentes das condições de medição e comumente cha mados de yis yrs yfs e yos como em Ig yisVgs yrsVds 49 Id yf sVgs yosVds 50 p FIGURA 1745 1 V 2 V V2 V1 I2 I1 5I1 p FIGURA 1747 V1 V2 I2 I1 5 Ω 1 V 03I1 2 V p FIGURA 1742 005 S 015 S 01 S 025 S V2 V1 I2 I1 Capítulo 17 u Quadripolos 720 onde Ig é a corrente de porta do transistor Id é a corrente de dreno e o terceiro terminal a fonte é comum à entrada e à saída durante as medições Logo Vgs é a tensão entre porta e fonte e Vds é a tensão entre o dreno e a fonte O mode lo típico usado para aproximar o comportamento de um MOSFET em altas frequências é mostrado na Figura 1748 t FIGURA 1748 G S D S Cgd Cgs rd gmυp Cds υp a Na configuração acima qual terminal do transistor é usado como entrada e qual é usado como saída b Deduza expressões para os parâmetros yis yrs yfs e yos definidos nas Equações 49 e 50 em termos dos parâmetros Cgs Cgd gm rd e Cds da Figura 1748 c Calcule yis yrs yfs e yos se gm 47 mS Cgs 34 pF Cgd 14 pF Cds 04 pF e rd 10 kΩ 173 Algumas Redes Equivalentes 21 Para o quadripolo mostrado na Figura 1749 a determine a resistência de entrada b calcule a potência dissipada pela rede se ligada em paralelo com uma fonte de corrente de 2 A c calcule a potência dissipada pela rede se ligada em paralelo com uma fonte de tensão de 9V 22 Com relação às duas redes na Figura 1750 converta a rede conectada em Δ para uma rede de conectada em Y e viceversa p FIGURA 1750 6 V 3 V 2 V a c b d 470 V a c b d 220 V 100 V 23 Determine a impedância de entrada Zent do bipolo mostrado na Figura 1751 se ω é igual a a 50 rads b 1000 rads t FIGURA 1751 5 H 1 H 5 H 3 H 2 H Zent 50 mF 002 F 24 Determine a impedância de entrada Zent do bipolo mostrado na Figura 1752 se ω é igual a a 50 rads b 1000 rads p FIGURA 1749 5 kV 20 kV 12 kV 22 kV 47 kV Exercícios 721 t FIGURA 1752 6 V 2 H 5 H 3 H 5 mF 3 mF 4 V Zent 25 Empregue as técnicas de conversão ΔY apropriadas para determinar a resistên cia de entrada Rent do bipolo representado na Figura 1753 t FIGURA 1753 4 MV 600 kV 2 MV 500 kV 1 MV 3 MV 700 kV 220 kV 400 kV Rent 26 Empregue as técnicas apropriadas para encontrar um valor para a resistência de entrada do bipolo de rede representada pelo esquema da Figura 1754 t FIGURA 1754 5 V 9 V 3 V 6 V 7 Ω 2 V 12 V 10 V 12 V 2 V 4 V 6 V 4 V 27 a Determine os valores dos parâmetros necessários para modelar a rede de Figura 1743 com a rede alternativa mostrada na Figura 1713a b Verifique se as duas redes são de fato equivalentes calculando a potência dissipada no resis tor de 2 Ω conectado à direita de cada rede e conectando uma fonte de corrente de 1 A nos terminais do lado esquerdo 28 A rede da Figura 1713b é equivalente à rede da Figura 1743 assumindo que os valores de parâmetros apropriados sejam escolhidos a Calcule os valores dos parâmetros necessários b Verifique a equivalência das duas redes terminando cada uma com um resistor de 1 Ω entre seus terminais V2 conectando uma fonte de 10 mA nos outros terminais e mostrando que I1 V1 I2 e V2 são iguais para ambas as redes 29 Calcule os três valores de parâmetros necessários para a construção de uma rede equivalente para a Figura 1743 modelada a partir da rede da Figura 1713c Verifique a sua equivalência com uma simulação no PSpice apropriada Dica conecte algum tipo de fontes e de cargas Capítulo 17 u Quadripolos 722 30 É possível construir um quadripolo alternativo ao mostrado na Figura 1747 selecionando os valores dos parâmetros adequados conforme os indicados no diagrama da Figura 1713 a Construa uma rede equivalente com estes parâ metros b Verifique sua equivalência com uma simulação no PSpice apropria da Dica conecte algum tipo de fontes e de cargas 31 Seja y 01 005 05 02 S no quadripolo da Figura 1755 Determine a GV b GI c GP d Zent e Zsaída f Se o ganho reverso de tensão GV rev é definido como V1V2 com Vs 0 e RL removido calcule GV rev g Se o ganho de potência de inserção Gins é definido como a relação entre P5Ω com o qua dripolo no lugar e P5Ω com o quadripolo substituído por fios conectando cada terminal de entrada ao terminal de saída correspondente calcule Gins t FIGURA 1755 V2 y V1 10 V 5 V Vs 1 V 174 Parâmetros Impedância 32 Converta os seguintes parâmetros z para parâmetros y ou viceversa adequadamente z 2 3 5 1 z 1000 470 2500 900 y 0001 0005 0006 003 S y 1 2 1 3 S 33 Com o emprego das equações 32 a 35 obtenha um conjunto completo de parâmetros z para a rede dada na Figura 1756 34 A rede da Figura 1756 é terminada com um resistor de 10 Ω entre os terminais b e d e uma fonte de corrente senoidal de 6 mA operando em 100 Hz em paralelo com um resistor de 50 Ω ligados entre os terminais a e c Calcule os ganhos de tensão corrente e potência respectivamente bem como a impedância de entrada e de saída 35 Os quadripolos da Figura 1750 estão conectadas em série a Determine os parâmetros de impedância para a conexão em série primeiramente encontrando os parâmetros z das redes individuais b Se em vez disso as duas redes estão ligadas em paralelo determine os parâmetros de admitância da combinação primeiro encontrando os parâmetros y das redes individuais c Verifique sua resposta para o item b usando a Tabela 171 em conjunto com sua resposta ao item a 36 a Use um método apropriado para a obtenção dos parâmetros de impedância que descrevem a rede ilustrada na Figura 1757 b Se uma fonte de 1 V em série com um resistor de 1 kΩ é ligado aos terminais do lado esquerdo de modo que o terminal negativo da fonte é conectado ao terminal comum de rede e uma carga de 5 kΩ é conectada entre os terminais à direita calcule os ganhos de corrente tensão e potência 37 Determine os parâmetros de impedância para o bipolo mostrado na Figura 1758 p FIGURA 1758 V1 V2 2 V 5 V 01V1 08V2 p FIGURA 1756 100 V 50 V a c b d 25 V p FIGURA 1757 V2 V1 4 kV 12 kV 10 kV 3 kV 02V2 Exercícios 723 38 Obtenha os parâmetros impedância e admitância para o quadripolo da Figura 1759 t FIGURA 1759 V1 V2 I1 I2 30 V 50 V 100 V 008V1 02V2 39 Encontre os quatro parâmetros z em ω 108 rads para o circuito equivalente em altas frequências do transistor mostrado na Figura 1760 t FIGURA 1760 V1 V2 10 kV 100 kV 001V1 1 pF 5 pF 175 Parâmetros Híbridos 40 Determine os parâmetros h que descrevem a rede puramente resistiva mostrada na Figura 1756 conectando apropriadamente 1 V 1 A e curtocircuitando os terminais conforme necessário 41 Obtenha os parâmetros h do quadripolo da Figura 1761 t FIGURA 1761 V1 V2 25 V 50 V V1 V2 25 V 50 V 42 Se h para certo quadripolo em particular é dado por h 2 k 3 5 001 S calcule a z b y 43 Um certo quadripolo é descrito pelos parâmetros híbridos h 100 2 5 01 S Determine os novos parâmetros h se um resistor de 25 Ω é ligado em paralelo com a a entrada b a saída 44 Um transistor bipolar de junção está ligado na configuração emissor comum e definido para ter parâmetros h como sendo h11 5 kΩ h12 055 104 h21 300 h22 39 μS a Escreva h na forma matricial b Determine o ganho de corrente para pequenos sinais c Determine a resistência de saída em kΩ d Se uma fonte de tensão senoidal com frequência de 100 rads e amplitude de 5 mV em série com um resistor de 100 Ω está ligado aos terminais de entrada calcule a tensão de pico que aparece entre os terminais de saída 45 O quadripolo que desempenha um papel central no circuito da Figura 1762 pode ser caracterizado pelos parâmetros híbridos h 1 1 2 05 S Deter mine I1 I2 V1 e V2 46 As duas redes da Figura 1761 são conectadas em série através da ligação dos terminais conforme ilustrado na Figura 1722 assuma a rede do lado esquerdo da Figura 1761 como a rede A Determine o novo conjunto de parâmetros h que descreve a conexão em série p FIGURA 1762 V2 V1 5 V 2 V 1 V I1 I2 Capítulo 17 u Quadripolos 724 47 As duas redes da Figura 1761 são ligadas em paralelo interligando os terminais de entrada correspondentes e interligando os terminais de saída corresponden tes Determine o novo conjunto de parâmetros h que descrevem a conexão em paralelo 48 Determine y z e h para os quadripolos mostrados na Figura 1763 Se qualquer parâmetro for infinito deixe de lado o conjunto de parâmetros que o contém 49 a Determine h para o quadripolo da Figura 1764 b Determine Zsaída se a entrada contém Vs em série com Rs 200 Ω t FIGURA 1764 V1 V2 10 kV 1 kV 105V2 100V1 176 Parâmetros de Transmissão 50 a Com o auxílio de equações de malha apropriadas determine a matriz ABCD que representa o quadripolo mostrado na Figura 179 b Converta a sua res posta para h 51 a Empregue equações malha devidamente escritas para obter os parâmetros t que caracteriza a rede da Figura 1757 b Se as correntes I1 e I2 são definidas como fluindo para os terminais de referência de V1 e V2 respectivamente calcule as tensões se I1 2I2 3 mA 52 Considere as seguintes matrizes a 5 2 4 1 b 15 1 1 05 c 4 2 Calcule a a b b b a c a c d b c e b a c f a a 53 Duas redes são representadas pelas seguintes matrizes impedância z1 47 05 087 18 k e z2 11 22 089 18 kΩ respectivamente a determine a matriz t que caracteriza a rede em cascata resultante a partir da conexão da rede 2 para a saída de rede 1 b Inverta a ordem das redes e calcule a nova matriz t resultante 54 O quadripolo da Figura 1765 pode ser visto como três quadripolos separados A B e C conectados em cascata a Calcule t para cada rede b Obtenha t para a rede em cascata c Verifique sua resposta nomeando os dois nós do meio Vx e Vy respectivamente escrevendo a equação nodal obtendo os parâmetros de admitância de suas equações nodais e convertendo para os parâmetros t usando Tabela 171 t FIGURA 1765 6 V 4 V 3 V 5 V 1 V 2 V A B C V1 V2 I2 I1 p FIGURA 1763 a R b R Exercícios 725 55 Considere os dois quadripolos separados da Figura 1761 Determine a matriz ABCD que caracteriza a rede em cascata resultante da ligação a a saída da rede do lado esquerdo para a entrada da rede do lado direito b a saída da rede do lado direito para a entrada da rede do lado esquerdo 56 a Determine os parâmetros t que descrevem o quadripolo da Figura 1758 b Calcule Zsaída se uma fonte de tensão real com uma resistência em série de 100 Ω é ligada aos terminais de entrada da rede 57 Três redes idênticas às redes da Figura 1756 são conectadas em cascata Deter mine os parâmetros t que representam o resultado total 58 a Determine ta tb e tc para as redes mostradas na Figura 1766a b e c b Usando as regras de interconexão de quadripolos em cascata determine t para a rede da Figura 1766d t FIGURA 1766 R a V1 V2 2 V 20 V 14 10 V 50 V d 1a c R b Exercícios de integração do capítulo 59 a Obtenha os parâmetros y z h e t para a rede mostrada na Figura 1767 usando as definições de equações ou equações de malhanós b Verifique as suas respostas utilizando as relações da Tabela 171 60 Quatro redes idênticas àquela ilustrada na Figura 1767 estão ligadas em paralelo de modo que todos os terminais identificados como a são conectados Todos os terminais b estão interligados entre si bem como todos os terminais c d Obtenha os parâmetros y z h e t que descrevem a rede conectada em paralelo 61 Uma rede de 12 elementos em cascata é formada usando quatro quadripolos idênticos ao mostrado na Figura 1767 Determine os parâmetros y z h e t que descreve o resultado 62 o conceito de matrizes ABCD estende para além de sistemas de circuitos elétricos Por exemplo elas são comumente empregadas para cálculos de raytracing em sistemas ópticos Nesse caso encaramos paralelamente os planos de entrada e saída em xy atravessados por um eixo óptico z Um raioincidente cruza o plano de entrada um distância x rent a partir do eixo óptico segundo um ângulo em θent Os parâmetros correspondentes rsaída θsaída para o raio que cruza o plano de saída então fornecidos pela matriz ABCD de tal modo que rsaída θsaída A B C D rent θent p FIGURA 1767 10 V 10 V a c b d 5 V Capítulo 17 u Quadripolos 726 Cada tipo de elemento óptico por exemplo espelhos lentes ou mesmo a pro pagação por meio do espaço livre tem a sua própria matriz ABCD Se o raio passa através de diversos elementos o resultado final pode ser previsto pela simples conexão em cascata das matrizes ABCD individuais na ordem correta a Obtenha as expressões para A BC e D de forma semelhante às Equações 32 a 35 b Se a matriz ABCD de um espelho plano com reflexão perfeita é dada por 1 0 0 1 esboçar o sistema juntamente com os raios de entrada e saída tendo o cuidado de observar a orientação do espelho 63 Continuando o Exercício 62 o comportamento de um raio propagando através do espaço livre em uma distância d pode ser modelado com a matriz ABCD 1 d 0 1 a Mostre que o mesmo resultado é obtido rsaída θsaída se uma única matriz ABCD é usada como d ou duas matrizes cascateadas são utilizadas cada uma com d2 b Quais são as unidades A B C e D respectivamente INTRODUÇÃO Neste capítulo continuamos nossa introdução à análise de circuitos estudando funções periódicas no domínio do tempo e da frequência Especificamente con sideramos funções forçantes que são periódicas e que tem formas funcionais que satisfazem a certas restrições matemáticas que são características de qualquer função que podemos gerar no laboratório Tais funções podem ser representadas como a soma de um número infinito de funções seno e cosseno relacionadas harmo nicamente Portanto como a resposta forçada de cada componente senoidal pode ser determinada facilmente pela análise em regime permanente senoidal a resposta de uma rede linear frente a uma função forçante periódica pode ser obtida com a superposição das respostas parciais O tópico da série de Fourier é de vital importância em muitas áreas particular mente nas comunicações O uso de técnicas de Fourier na análise de circuitos no entanto tem lentamente saído de moda nos últimos anos Como agora temos nos deparado com o uso cada vez maior de equipamentos empregando fontes de alimen tação chaveadas por exemplo computadores o tema dos harmônicos nos sistemas elétricos de potência tem se tornado rapidamente um problema sério mesmo em grandes plantas geradoras Apenas com o uso da análise de Fourier os problemas encontrados e as possíveis soluções podem ser entendidos 181 FORMA TRIGONOMÉTRICA DA SÉRIE DE FOURIER Sabemos que a resposta completa de um circuito linear frente à aplicação de uma função forçante arbitrária é composta pela soma de uma resposta forçada e de uma resposta natural A resposta natural foi considerada tanto no domínio do tempo Caps 7 8 e 9 quanto no domínio da frequência Caps 14 e 15 A resposta forçada também foi considerada em diversas perspectivas incluindo as técnicas baseadas em fasores apresentadas no Cap 10 Como vimos em alguns casos precisamos de ambos os componentes da resposta de um circuito particular enquanto em outros casos precisamos apenas da resposta natural ou forçada Nesta seção voltamos a nossa atenção para as funções forçantes que têm natureza senoidal e descobrimos como Análise de Circuitos Usando Fourier 18 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Representando Funções Periódicas como uma Soma de Senos e Cossenos Frequências Harmônicas Simetria Par e Ímpar Simetria de Meia Onda Forma Complexa da Série de Fourier Espectros de Linha Discretos Transformada de Fourier Usando as Técnicas da Série e da Transformada de Fourier na Análise de Circuitos Resposta do Sistema e Convolução no Domínio da Frequência Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 728 escrever uma função periódica geral como uma soma de tais funções o que nos leva a uma discussão sobre um novo conjunto de procedimentos para a análise de circuitos Harmônicos Algum sentimento sobre a validade de se representar uma função periódica genérica por meio de uma soma infinita de funções seno e cosseno pode ser adquirido com a consideração de um exemplo simples Vamos assumir uma função cossenoidal com frequência radiana ω0 v1t 2 cos ω0t onde ω0 2π f0 e o período T é T 1 f0 2π ω0 Embora T usualmente não traga consigo um subscrito zero ele é o período da frequência fundamental Os harmônicos dessa senoide têm frequências nω0 onde ω0 é a frequência fundamental e n 1 2 3 A frequência do primeiro harmônico é a frequência fundamental Vamos agora selecionar uma tensão de terceiro harmônico v3at cos 3ω0t A fundamental v1t o terceiro harmônico v3at e a soma dessas duas ondas são mostradas em função do tempo na Figura 181a Note que a soma é também periódica com período T 2πω0 A forma da função periódica resultante muda à medida que a fase e a amplitude do componente de terceiro harmônico mudam Assim a Figura 181b mostra o efeito de se combinar v1t e um terceiro harmônico com amplitude ligeiramente maior v3bt 15 cos 3ω0t Deslocando a fase do terceiro harmônico em 90 graus para obter v3ct sen 3ω0t a soma ilustrada na Figura 181c assume um caráter ainda mais diferen te Em todos os casos o período da forma de onda resultante é o mesmo da forma de onda fundamental A natureza da forma de onda depende da amplitude e da fase de cada componente harmônico envolvido e veremos que podemos gerar formas de onda com características extremamente não senoidais usando uma combinação apropriada de funções senoidais Após essa familiarização com o uso da soma de um número infinito de funções seno e cosseno para representar uma forma de onda periódica consideraremos a representação no domínio da frequência de uma forma de onda não periódica genérica de forma similar à que fizemos com a trans formada de Laplace Seção 181 u Forma trigonométrica da série de Fourier 729 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 181 Assuma agora a soma de uma tensão de terceiro harmônico à funda mental para se obter v 2 cos ω0t Vm3 sen 3ω0t a forma de onda mostrada na Figura 181c para Vm3 1 a Determine o valor de Vm3 de forma que vt tenha inclinação nula em ω0t 2π3 b Avalie vt em ω0t 2π3 Resposta 0577 1000 A Série de Fourier Consideramos primeiro uma função periódica ft definida na Seção 112 pela relação funcional ft f t T onde T é o período Assumimos ainda que a função ft satisfaça às seguin tes propriedades a c v0t 3 2 1 0 1 2 3 υ1t υt υ3at v0t 3 2 1 0 1 2 3 υ1t υt υ3ct v0t 3 2 1 0 1 2 3 υ1t υt υ3bt b 4 4 785 628 471 314 157 785 628 471 314 157 785 628 471 314 157 p FIGURA 181 Várias dentre o infinito número de formas de onda diferentes que podem ser obtidas com a combinação de uma fundamental e de um terceiro harmônico A fundamental é v1 2 cos ω0t e o terceiro harmônico é a v3a cos 3ω0t b v3b 15 cos ω0t c v3c sen 3ω0t Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 730 1 ft possui um único valor para cada t isto é ft satisfaz à definição matemática de uma função 2 A integral t0 t0T ft dt existe isto é não é infinita para qualquer escolha de t0 3 ft tem um número finito de descontinuidades durante um período 4 ft tem um número finito de máximos e mínimos durante um período Dada tal função periódica ft o teorema de Fourier diz que ft pode ser representada pela série infinita f t a0 a1 cos ω0t a2 cos 2ω0t b1 senω0t b2 sen 2ω0t a0 n 1 an cos nω0t bn sennω0t 1 onde a frequência fundamental ω0 se relaciona com o período T por ω0 2π T e onde a0 an e bn são constantes que dependem de n e de ft A Equação 1 é a forma trigonométrica da série de Fourier de ft e o processo de determinação dos valores das constantes a0 an e bn é chamado de análise de Fourier Nosso objetivo não é a prova desse teorema mas simplesmen te um desenvolvimento dos procedimentos da análise de Fourier e de um sentimento de que esse teorema é plausível Algumas Integrais Trigonométricas Úteis Antes de discutir a avaliação das constantes que aparecem na série de Fou rier vamos formar um conjunto de integrais trigonométricas que nos sejam úteis Façamos com que n e k representem qualquer elemento pertencente ao conjunto dos inteiros 1 2 3 Nas integrais a seguir 0 e T são usa dos como limites de integração mas subentendese que qualquer intervalo de um período seja igualmente correto T 0 sennω0t dt 0 2 T 0 cos nω0t dt 0 3 T 0 senkω0t cos nω0t dt 0 4 T 0 senkω0t sennω0t dt 0 k n 5 T 0 cos kω0t cos nω0t dt 0 k n 6 Faremos com que ft represente uma tensão ou uma corrente e qualquer forma de onda de tensão ou corrente que possamos produzir na prática satisfaz a essas quatro condições talvez deva ser notado contudo que existem certas funções matemáticas que não satisfazem a essas quatro condições Seção 181 u Forma trigonométrica da série de Fourier 731 Os casos que não se incluem naqueles mostrados nas Equações 5 e 6 também são facilmente avaliados obtemos T 0 sen2 nω0t dt T 2 7 T 0 cos2 nω0t dt T 2 8 Avaliação dos Coeficientes de Fourier A avaliação das constantes desconhecidas presentes na série de Fourier pode agora ser feita diretamente Primeiro atacamos a0 Se integrarmos cada lado da Equação 1 ao longo de um período completo obtemos T 0 f t dt T 0 a0 dt T 0 n 1 an cos nω0t bnsennω0t dt Mas em cada termo a soma tem a forma da Equação 2 ou da Equação 3 e assim T 0 f t dt a0T ou a0 1 T T 0 f t dt 9 A constante a0 é simplesmente o valor médio de ft ao longo de um período e portanto a descrevemos como sendo o componente cc de ft Para avaliar um dos coeficientes dos cossenos digamos ak o coefi ciente de cos kω0t primeiro multiplicamos cada lado da Equação 1 por cos kω0t e integramos ambos os lados ao longo de um período completo T 0 f t cos kω0t dt T 0 a0 cos kω0t dt T 0 n 1 an cos kω0t cos nω0t dt T 0 n 1 bn cos kω0t sennω0t dt Das Equações 3 4 e 6 notamos que cada termo no lado direito dessa equação é nulo exceto o único termo an quando k n Avaliamos esse termo usando a Equação 8 e ao fazer isso obtemos ak ou an an 2 T T 0 f t cos nω0t dt 10 Esse resultado é o dobro do valor médio do produto ft cos nω0t ao longo de um período Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 732 De forma similar obtemos bk com a multiplicação por sen kω0t inte grando ao longo de um período e notando que todos os termos no lado direito são iguais a zero exceto um e realizando essa única integral com a ajuda da Equação 7 O resultado é bn 2 T T 0 f tsennω0t dt 11 que é o dobro do valor médio de ft sen nω0t ao longo de um período As equações 9 a 11 nos permitem agora determinar valores para a0 e todos os an e bn presentes na série de Fourier a Equação 1 conforme resumido a seguir f t a0 n 1 an cos nω0t bnsennω0t 1 ω0 2π T 2π f0 a0 1 T T 0 f t dt 9 an 2 T T 0 f t cos nω0t dt 10 bn 2 T T 0 f tsennω0t dt 11 A forma de onda da meia senoide mostrada na Figura 182 representa a resposta de tensão obtida na saída de um retificador de meiaonda que é um circuito não linear cujo propósito é converter uma tensão de entrada senoidal em uma tensão de saída cc pulsante Obtenha a representação dessa forma de onda na série de Fourier f Identifique o objetivo do problema Fomos apresentados a uma função periódica e devemos obter a sua repre sentação na série de Fourier Não fosse pela remoção de todos os valores negativos de tensão o problema seria trivial pois apenas uma senoide seria necessária 0 02 04 04 02 Vm v t t s t FIGURA 182 A saída de um retificador de meia onda no qual se aplica uma entrada senoidal f Reúna as informações conhecidas Para representar essa tensão como uma série de Fourier devemos primei ro determinar o seu período e então expressar a sua forma gráfica como uma função analítica do tempo u EXEMPLO 181 Seção 181 u Forma trigonométrica da série de Fourier 733 A partir do gráfico vêse que o período é T 04 s e com isso f0 25 Hz e ω0 5π rads f Trace um plano A abordagem mais direta é a aplicação das Equações 9 a 11 no cálculo dos coeficientes a0 an e bn Para fazer isso precisamos de uma expressão funcional para vt que é obtida mais diretamente no intervalo de t 0 a t 04 s como υt c Vm cos 5πt 0 t 01 0 01 t 03 Vm cos 5πt 03 t 04 Entretanto a escolha de um período de t 01 s a t 03 s resulta em um menor número de equações e portanto em um menor número de integrais υt Vm cos 5πt 01 t 01 0 01 t 03 12 Essa forma é preferível embora qualquer uma das descrições acima leve aos resultados corretos f Construa um conjunto apropriado de equações O componente de frequência zero é facilmente obtido a0 1 04 03 01 υt dt 1 04 01 01 Vm cos 5πt dt 03 01 0 dt A amplitude de um termo cosseno geral é an 2 04 01 01 Vm cos 5πt cos 5πnt dt e a amplitude de um termo seno geral é bn 2 04 01 01 Vm cos 5πt sen 5πnt dt que na realidade é sempre igual a zero e portanto não será considerado adiante f Determine se informações adicionais são necessárias A forma da função que obtemos a partir da integração com n igual a 1 é diferente se comparada com qualquer outra escolha de n Se n 1 temos a1 5Vm 01 01 cos2 5πt dt Vm 2 13 enquanto para n diferente de 1 obtemos an 5Vm 01 01 cos 5πt cos 5πnt dt f Tente uma solução Resolvendo vemos que a0 Vm π 14 an 5Vm 01 01 1 2cos 5π1 nt cos 5π1 nt dt Note que a integração ao longo de um período completo deve ser dividida em subintervalos do período sendo a forma funcional de vt conhecida em cada um desses subintervalos Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 734 ou an 2Vm π cosπn 2 1 n2 n 1 15 Uma integração similar mostra que bn 0 para qualquer valor de n e que com isso a série de Fourier não contém nenhum termo seno A série de Fourier é portanto obtida a partir das Equações 1 13 14 e 15 υt Vm π Vm 2 cos 5πt 2Vm 3π cos 10πt 2Vm 15π cos 20πt 2Vm 35π cos 30πt 16 f Verifique a solução Ela é razoável ou esperada Nossa solução pode ser verificada com a atribuição de valores à Equação 16 truncandose a expressão obtida após um número específico de termos Uma outra abordagem contudo é desenhar a função mostrada na Figura 183 para n 1 2 e 6 12 10 08 06 υt volts 04 02 0 02 08 1 06 04 02 0 Tempo segundos 02 04 06 08 1 n 1 n 6 n 2 u FIGURA 183 A Equação 16 truncada após n 1 termo n 2 termos e n 6 termos mostrando a convergência para a meia senoide vt O valor Vm 1 foi escolhido por conveniência Como pode ser visto quanto maior o número de termos incluídos mais o gráfico se assemelha àquele da Figura 182 u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 182 Uma forma de onda periódica ft é descrita da seguinte maneira ft 4 0 t 03 ft 6 03 t 04 ft 0 04 t 05 T 05 Avalie a a0 b a3 c b1 183 Escreva a série de Fourier para as três formas de onda de tensão mos tradas na Figura 184 1 0 1 1 1 2 3 4 υ V t s a 1 1 0 1 1 2 3 4 υ V t s c 1 1 0 1 1 2 3 4 υ V t s b p FIGURA 184 continua Devese levar em conta aliás que a expressão para an quando n 1 leva ao resultado correto para n 1 no limite em que n 1 Seção 181 u Forma trigonométrica da série de Fourier 735 1 0 1 1 1 2 3 4 υ V t s a 1 1 0 1 1 2 3 4 υ V t s c 1 1 0 1 1 2 3 4 υ V t s b p FIGURA 184 continuação 1 0 1 1 1 2 3 4 υ V t s a 1 1 0 1 1 2 3 4 υ V t s c 1 1 0 1 1 2 3 4 υ V t s b Respostas 182 12001383 444 1834πsen πt 1 3 sen 3πt 1 5 sen 5πt V 4π cos πt 1 3 cos 3πt 1 5 cos 5πt V 8π 2senπt 1 9 sen 3πt 1 25 sen 5πt Espectros de Linhas e de Fase Descrevemos a função vt do Exemplo 181 graficamente na Figura 182 e analiticamente na Equação 12 ambas são representações no domínio do tempo A representação de vt em série de Fourier da Equação 16 também é uma expressão no domínio do tempo mas também pode ser transformada em uma representação no domínio da frequência Por exem plo a Figura 185 mostra a amplitude de cada componente de frequência de vt em um tipo de gráfico conhecido como espectro de linhas Aqui o módulo de cada componente de frequência isto é a0 a1 etc é indicado pelo comprimento de uma linha vertical na frequência correspondente f0 f1 etc por conveniência escolhemos Vm 1 Se um valor diferente fosse atribuído a Vm simplesmente faríamos uma mudança de escala no eixo y de acordo com o novo valor Tal gráfico às vezes chamado de espectro discreto fornece imediata mente uma grande quantidade de informações Em particular podemos ver quantos termos da série são necessários para se obter uma aproximação razoável para a forma de onda original No espectro de linhas da Figura 185 notamos que o 8o e o 10o harmônicos 20 e 25 Hz respectivamente acrescentam apenas uma pequena correção O truncamento da série após o 6o harmônico deve levar portanto a uma aproximação razoável o leitor pode fazer o seu próprio julgamento ao considerar a Figura 183 Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 736 Devese ter um pouco de cautela O exemplo que consideramos não contém termos seno e a amplitude do nésimo harmônico é portanto an Se bn for diferente de zero então a amplitude do componente na frequência nω0 deve ser a2n b2n Essa é a grandeza geral que devemos mostrar em um espectro de linhas Quando discutirmos a forma com plexa da série de Fourier veremos que essa amplitude pode ser obtida mais diretamente Além do espectro de amplitudes também podemos construir um espec tro de fase Em qualquer frequência nω0 combinamos os termos cosseno e seno para determinar o ângulo de fase ϕn an cos nω0t bn sennω0t a2n b2n cos nω0t tan 1 bn an a2n b2n cosnω0t φn ou φn tan 1 bn an Na Equação 16 ϕn 0o ou 180o para todo n A série de Fourier obtida para este exemplo não inclui termos seno e harmônicos ímpares entre os termos cosseno exceto a fundamental Pela simetria da função temporal fornecida é possível prever a ausência de cer tos termos na série de Fourier antes mesmo de se fazer qualquer integração Investigamos o uso da simetria na seção a seguir 30 25 20 10 15 Frequência Hz 5 0 5 05 04 03 02 01 0 Amplitude Harmônica p FIGURA 185 O espectro de linhas discreto de vt na forma representada na Equação 16 mostrando os primeiros sete componentes Um valor máximo Vm 1 foi escolhido por conveniência Seção 182 u O uso da simetria 737 182 O USO DA SIMETRIA Simetria Par e Ímpar Os dois tipos de simetria que são mais facilmente reconhecidos são a sime tria de funções pares e a simetria de funções ímpares Dizemos que ft possui a propriedade da simetria par se ft f t 17 Funções como t2 cos 3t lncos t sen2 7t e uma constante C possuem simetria par a troca de t por t não muda o valor de nenhuma dessas funções Esse tipo de simetria também pode ser identificado graficamente pois se ft f t a função ft é espelhada no eixo ft A função mostrada na Figura 186a possui simetria par se a figura for girada em torno do eixo ft então as partes do gráfico referentes a tempos positivos e negativos se encaixam exatamente ficando umas sobre as outras Definimos a simetria ímpar dizendo que se esta for uma propriedade de ft então ft f t 18 Em outras palavras se t for trocado por t então o negativo da função fornecida é obtido por exemplo t sen t cos 70t t1t2 e a fun ção desenhada na Figura 186 são funções ímpares e possuem simetria ímpar As características gráficas da simetria ímpar ficam claras se a porção de ft em t 0 for girada em torno do eixo t positivo e a figura resultante for então girada em torno do eixo ft as duas curvas vão se encaixar exatamente uma sobre a outra Isto é temos agora simetria em torno da origem ao invés de em torno do eixo ft como tínhamos para as funções pares De posse das definições das simetrias par e ímpar devemos notar que o produto de duas funções com simetria par ou de duas funções com simetria ímpar leva a uma função com simetria par Além disso o produto de uma função par e uma função ímpar fornece uma função com simetria ímpar Simetria e a Série de Fourier Vamos agora investigar o efeito produzido pela simetria na série de Fourier Se pensarmos em uma expressão que iguala uma função par ft à soma de um número infinito de funções seno e cosseno então é claro que a soma também deve ser uma função par Uma senoide no entanto é uma função ímpar e nenhuma soma de senoides pode produzir qualquer função par que não seja zero que é simultaneamente par e ímpar É portanto plausível que a série de Fourier de qualquer função par seja composta por apenas uma constante e por funções cosseno Vamos agora mostrar cuidadosamente que bn 0 Temos T T f t t a 0 T 0 T f t t b p FIGURA 186 a Forma de onda apresentando simetria par b Forma de onda apresentando simetria ímpar Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 738 bn 2 T T 2 T 2 f t sen nω0t dt 2 T 0 T 2 f t sen nω0t dt T 2 0 f t sen nω0t dt Substituímos a variável t na primeira integral por τ ou τ t e usar o fato de que ft f t f τ bn 2 T 0 T 2 f τ sen nω0τ dτ T 2 0 f t sen nω0t dt 2 T T 2 0 f τ sen nω0τ dτ T 2 0 f t sen nω0t dt Mas o símbolo que usamos para identificar a variável de integração não pode afetar o valor da integral Logo T 2 0 f τ sen nω0τ dτ T 2 0 f t sen nω0t dt e bn 0 sim par 19 Nenhum termo seno está presente Portanto se ft apresenta simetria par então bn 0 por outro lado se bn 0 então ft deve ter simetria par Um exame similar da expressão para an leva a uma integral ao longo do meio período que se estende de t 0 a t 1 2T an 4 T T 2 0 f t cos nω0t dt sim par 20 O fato de an poder ser obtido para uma função par calculandose o dobro da integral ao longo de metade do intervalo deve parecer lógico Uma função com simetria ímpar não pode conter termo constante ou termos cosseno em sua expansão em Fourier Vamos provar a segunda parte desse enunciado Temos an 2 T T 2 T 2 f t cos nω0t dt 2 T 0 T 2 f t cos nω0t dt T 2 0 f t cos nω0t dt e agora fazemos t τ na primeira integral an 2 T 0 T 2 f τ cos nω0τ dτ T 2 0 f t cos nω0t dt 2 T T 2 0 f τ cos nω0τ dτ T 2 0 f t cos nω0t dt Mas f τ f τ e portanto an 0 sim ímpar 21 Uma prova mais simples porém similar mostra que Seção 182 u O uso da simetria 739 a0 0 sim ímpar Com simetria ímpar portanto an 0 e a0 0 por outro lado se an 0 e a0 0 temse simetria ímpar Os valores de bn podem ser obtidos com a integração na metade do intervalo bn 4 T T 2 0 f t sen nω0t dt sim ímpar 22 Simetria de Meia Onda As séries de Fourier de ambas as ondas quadradas citadas acima têm uma outra característica interessante nenhuma delas contém harmônicos pares1 Isto é os únicos componentes de frequência presentes na série têm frequências que são múltiplos ímpares da frequência fundamental an e bn são nulos para valores pares de n Esse resultado é causado por outro tipo de simetria chamada de simetria de meia onda Dizemos que ft possui simetria de meia onda se f t f t 1 2T ou de forma equivalente f t f t 1 2T Exceto por uma mudança de sinal cada meio ciclo é igual aos meio ciclos adjacentes A simetria de meia onda diferentemente da simetria par e ímpar não é uma função da escolha do ponto t 0 Logo podemos dizer que a onda quadrada Figura 184a ou b apresenta simetria de meia onda Nenhuma das duas formas de onda mostradas na Figura 186 apresenta simetria de meia onda ao contrário das duas formas de onda da Figura 187 que são um tanto similares àquelas Pode ser mostrado que a série de Fourier de qualquer função que possui simetria de meia onda possui apenas harmônicos ímpares Consideremos os coeficientes an Temos novamente an 2 T T 2 T 2 f t cos nω0t dt 2 T 0 T 2 f t cos nω0t dt T 2 0 f t cos nω0t dt que podemos representar como an 2 T I1 I2 Substituímos agora a nova variável τ t 1 2T na integral I1 1 É necessário ter vigilância constante para se evitar confusão entre uma função par e um harmônico par ou entre uma função ímpar e um harmônico ímpar Por exemplo b10 é o coeficiente de um harmônico par que é nulo se ft for uma função par T 0 T f t t a T 0 T f t t b p FIGURA 187 a Forma de onda um tanto similar àquela mostrada na Figura 186a mas possuindo simetria de meia onda b Forma de onda um tanto similar àquela mostrada na Figura 186b mas possuindo simetria de meia onda Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 740 I1 T 2 0 f τ 1 2T cos nω0 τ 1 2T dτ T 2 0 f τ cos nω0τ cos nω0T 2 sen nω0τ sen nω0T 2 dτ Mas ω0T é igual a 2π e assim sen nω0T 2 sen nπ 0 Daí I1 cos nπ T 2 0 f τ cos nω0τ dτ Após notar a forma de I2 podemos portanto escrever an 2 T 1 cos nπ T 2 0 f t cos nω0t dt O fator 1 cos nπ indica que an é nulo se n é par Logo an c 4 T T 2 0 f t cos nω0t dt n ímpar 0 n par 1 2 sim onda 23 Uma investigação similar mostra que bn é zero para n par e portanto bn c 4 T T 2 0 f t sen nω0t dt n ímpar 0 n par 24 1 2 sim onda Devese notar que a simetria de meia onda pode estar presente em uma forma de onda que também apresente simetria ímpar ou par A forma de onda esboçada na Figura 187a por exemplo possui tanto simetria par quanto simetria de meia onda Quando uma forma de onda possui sime tria de meia onda juntamente com simetria par ou ímpar então é possível reconstruíla apenas com o conhecimento da função ao longo de qualquer intervalo de quarto de onda Os valores de an ou bn podem ser obtidos com a integração em qualquer quarto de período Assim an 8 T T 4 0 f t cos nω0t dt n ímpar an 0 n par bn todo 0 n t sim par e de onda an 0 todo n bn 8 T T 4 0 f tsenω0t dt n ímpar bn 0 n par t sim ímpar e de onda 25 26 1 2 1 2 A Tabela 181 contém um breve resumo das simplificações decorrentes dos vários tipos de simetria discutidos É sempre válido perder um tempinho investigando a simetria de uma função para a qual a série de Fourier precisa ser determinada Seção 183 u Resposta completa a funções forçantes periódicas 741 u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 184 Esboce cada uma das funções descritas diga se há simetria par ímpar e de meia onda e forneça o período a v 0 2 t 0 e 2 t 4 v 5 0 t 2 v 5 4 t 6 repete b v 10 1 t 3 v 0 3 t 7 v 10 7 t 9 repete c v 8t 1 t 1 v 0 1 t 3 repete 185 Determine a série de Fourier correspondente às formas de onda do Exercício de Fixação 184a e b Respostas 184 Não não sim 8 não não não 8 não sim não 4 185 n 1ímpar 10 nπ sen nπ 2 cos nπt 4 sen nπt 4 n 1 10 nπ sen 3nπ 4 3 sen nπ 4 cos nπt 4 cos nπ 4 cos 3nπ 4 sen nπt 4 183 RESPOSTA COMPLETA A FUNÇÕES FORÇANTES PERIÓDICAS Com o uso da série de Fourier podemos agora expressar uma função for çante periódica arbitrária como a soma de um número infinito de funções TABELA 181 u Resumo de Simplificações Feitas na Série de Fourier com Base em Simetria Tipo de Simetria Característica Simplificação bn 0 an 0 an c 4 T T 2 0 f t cos nω0t dt n ímpar 0 n par bn c 4 T T 2 0 f t sen nω0t dt n ímpar 0 n par an c 8 T T 4 0 f t1 cos nω0t dt n ímpar 0 n par bn 0 todo n an 0 todo n bn c 8 T T 4 0 f t sen nω0t dt n ímpar 0 n par Par Ímpar Meia Onda Meia Onda e Par Meia Onda e Ímpar f t f t f t f t f t f t T 2 ou f t f t T 2 f t f t T 2 e f t f t ou f t f t T 2 e f t f t f t f t T 2 e f t f t ou f t f t T 2 e f t f t Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 742 forçantes senoidais A resposta forçada à cada uma dessas funções pode ser determinada por meio da análise convencional em regime permanente e a forma da resposta natural pode ser determinada a partir dos polos de uma função de transferência apropriada para a rede As condições iniciais existindo ao longo da rede incluindo o valor inicial da resposta forçada permitem a seleção da amplitude da resposta natural a resposta completa é então obtida como a soma das respostas natural e forçada Para o circuito da Figura 188a determine a resposta periódica it cor respondente à função forçante mostrada na Figura 188b se i0 0 A função forçante tem uma frequência fundamental ω0 2 rads e a sua série de Fourier pode ser escrita a partir da comparação com a série de Fourier desenvolvida para a forma de onda da Figura 184b na solução do Exercício de Fixação 183 υst 5 20 π n 1ímpar sen 2nt n Vamos determinar trabalhando no domínio da frequência a resposta forçada para o nésimo harmônico Logo υsnt 20 nπ sen 2nt e Vsn 20 nπ 90 j 20 nπ A impedância oferecida pelo circuito RL nesta frequência é Zn 4 j 2n2 4 j4n e portanto a componente da resposta forçada nesta frequência é Ifn Vsn Zn j5 nπ1 jn Transformando para o domínio do tempo temos i fn 5 nπ 1 1 n2 cos2nt 90 tan 1 n 5 π1 n2 sen 2nt n cos 2nt Como a resposta ao componente cc é simplesmente 5 V 4 Ω 125 A a resposta forçada pode ser expressa como a soma i f t 125 5 π n 1ímpar sen 2nt n1 n2 cos 2nt 1 n2 A resposta natural familiar desse circuito simples é um único termo expo nencial caracterizando o polo único da função de transferência If Vs 1 4 2s u EXEMPLO 182 Lembre que Vm sen ωt é igual a Vm cosωt 90o correspondendo a Vm90o jVm 10 0 p 2p υst V t s p 2 p 2 3p 2 b a 4 V υst t 0 2 H it p FIGURA 188 a Um circuito RL série simples é submetido a uma função forçante periódica vst b A forma da função forçante Seção 183 u Resposta completa a funções forçantes periódicas 743 int Ae2t A resposta completa é portanto a soma i t if t int Fazendo t 0 obtemos A usando i0 0 A 125 5 π n 1ímpar 1 1 n2 Embora esse resultado esteja correto é mais conveniente usar o valor numé rico da soma A soma dos cinco primeiros termos de S 11 n2 é 0671 a soma dos dez primeiros termos é 0695 a soma dos vinte primeiros termos é 0708 e a soma exata é 0720 com três algarismos significativos Logo A 125 5 π 0720 0104 e it 0104e 2t 125 5 π n 1ímpar sen 2nt n1 n2 cos 2nt 1 n2 ampéres Na obtenção dessa solução tivemos que usar muitos dos conceitos mais gerais apresentados neste capítulo e nos 17 capítulos anteriores Não foi necessário usar alguns desses conceitos graças à natureza simples desse circuito particular mas seus lugares na análise geral foram indicados Neste sentido podemos olhar para a solução deste problema como uma conquista significativa em nosso estudo introdutório sobre a análise de circuitos A despeito dessa sensação gloriosa de conquista no entanto deve ser dito que a resposta completa obtida no Exemplo 182 em forma analítica não é de muito valor do jeito que está ela não fornece uma visão clara da natureza da resposta O que realmente precisamos é de um esboço de it em função do tempo Isso pode ser obtido por meio de um cálculo trabalhoso em um número suficiente de instantes de tempo um computador pessoal ou uma calculadora programável podem ser muito úteis aqui O esboço pode ser aproximado pela soma gráfica da resposta natural do termo cc e dos pri meiros harmônicos essa é uma tarefa que árdua Após dizer e fazer tudo isso a solução mais informativa deste problema é provavelmente obtida com a realização de uma análise transitória repeti da Isto é a forma da resposta pode ser certamente calculada no intervalo de t 0 a t π 2 ela é uma exponencial crescente em direção a 25 A Após determinar o valor no final deste intervalo temos uma condição inicial para o próximo intervalo de π 2 segundos O processo é repetido até a resposta assumir uma natureza geralmente periódica Esse método é eminentemente adequado para este exemplo pois há uma mudança desprezível na forma de onda da corrente nos períodos sucessivos π 2 t 3π 2 e 3π 2 t 5π 2 A resposta completa da corrente é mostrada na Figura 189 Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 744 0 p 2p 05 10 15 20 25 t s it A p 2 3p 2 p FIGURA 189 A porção inicial da resposta completa do circuito da Figura 188a à função forçante da Figura 188b u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 186 Use os métodos do Capítulo 8 para determinar o valor da corrente esboçada na Figura 189 em t igual a a π 2 b π c 3π 2 Resposta 2392 A 01034 A 2396 A 184 FORMA COMPLEXA DA SÉRIE DE FOURIER Ao obter um espectro de frequências vimos que a amplitude de cada com ponente depende tanto de an quanto de bn isto é os termos seno e cosseno contribuem conjuntamente para a amplitude A expressão exata para essa amplitude é a2n b2n Também é possível obter a amplitude usando dire tamente uma forma da série de Fourier em que cada termo é uma função cosseno com um ângulo de fase a amplitude e o ângulo de fase são funções de ft e n Uma forma ainda mais conveniente e concisa da série de Fourier é obtida se senos e cossenos são expressos como funções exponenciais com constantes multiplicativas complexas Vamos primeiro pegar a forma trigonométrica da série de Fourier f t a0 n 1 an cos nω0t bn sen nω0t e então substituir as formas exponenciais do seno e do cosseno Após rearranjar f t a0 n 1 e jnω0t an jbn 2 e jnω0t an jbn 2 Identificamos agora uma constante complexa cn cn 1 2an jbn n 1 2 3 27 Os valores de an bn e cn dependem de n e ft Suponha que agora troquemos n por n como os valores das constantes mudam Os coefi cientes an e bn são definidos pelas Equações 10 e 11 e é evidente que an an O leitor deve se lembrar das identidades senα e jα e jα j 2 e cos α e jα e jα 2 Seção 184 u Forma complexa da série de Fourier 745 mas bn bn Da Equação 27 então c n 1 2an jbn n 1 2 3 28 Logo cn cn Também fazemos c0 a0 Podemos portanto expressar ft como f t c0 n 1 cne jnω0t n 1 c ne jnω0t ou f t n 0 cne jnω0t n 1 c ne jnω0t Finalmente ao invés de somar a segunda série ao longo dos inteiros positivos de 1 a vamos somar os inteiros negativos de 1 a f t n 0 cne jnω0t n 1 cne jnω0t ou f t n cne jnω0t 29 Subentendese que a soma de a inclui o termo n 0 A Equação 29 é a forma complexa da série de Fourier de ft a sua concisão é uma das razões mais importantes para seu uso Para obter a expressão que permite a avaliação de um coeficiente complexo cn particu lar substituímos as Equações 10 e 11 na Equação 27 cn 1 T T 2 T 2 f t cos nω0t dt j 1 T T 2 T 2 f t sen nω0t dt e então usamos os equivalentes exponenciais do seno e do cosseno para simplificar cn 1 T T 2 T 2 f te jnω0t dt 30 Logo uma única e concisa equação substitui as duas equações neces sárias para a forma trigonométrica da série de Fourier Ao invés de avaliar duas integrais e obter os coeficientes de Fourier apenas uma integral é necessária além disso esta é quase sempre uma integral simples Deve ser notado que a integral da Equação 30 contém o fator multiplicador 1T enquanto as integrais para an e bn possuem o fator 2T Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 746 Reunindo as duas relações básicas para a forma exponencial da série de Fourier temos f t n cne jnω0t 29 cn 1 T T 2 T 2 f te jnω0t dt 30 onde ω0 2π T como usual A amplitude do componente da série exponencial de Fourier em ω nω0 onde n 0 1 2 é cn Podemos desenhar um espectro de frequências discreto com cn versus nω0 ou nf0 usando uma abscissa que mostra tanto valores positivos quanto negativos quando fazemos isso o gráfico se mostra simétrico em relação à origem já que as Equações 27 e 28 mostram que cn cn Também notamos a partir das Equações 29 e 30 que a amplitude da componente senoidal em ω nω0 onde n 1 2 3 é a2n b2n 2cn 2cn cn cn Para a componente cc a0 c0 Os coeficientes da série exponencial de Fourier dados pela Equação 30 também são afetados pela presença de certas simetrias em ft Logo expressões apropriadas para cn são cn 2 T T 2 0 f t cos nω0t dt sim par 31 cn j2 T T 2 0 f tsennω0t dt sim ímpar 32 cn c 2 T T 2 0 f te jnω0t dt n ímpar sim onda 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n ímpar sim par e de onda n ímpar sim ímpar e de onda 0 n par sim onda n par sim par e de onda n par sim ímpar e de onda 33a 33b cn c 4 T T 4 0 f t cos nω0t dt 0 34a 34b cn c j4 T T 4 0 f tsennω0t dt 0 35a 35b Determine cn para a onda quadrada da Figura 1810 1 0 1 1 1 2 3 4 υ V t s u EXEMPLO 183 u FIGURA 1810 Função de onda quadrada possuindo simetrias par e de meia onda Seção 184 u Forma complexa da série de Fourier 747 Essa onda quadrada possui simetrias par e de meia onda Se ignorarmos a simetria e usarmos a equação geral 30 com T 2 e ω0 2π2 π temos cn 1 T T 2 T 2 f te jnω0t dt 1 2 05 1 e jnπt dt 05 05 e jnπt dt 1 05 e jnπt dt 1 2 1 jnπ e jnπt 05 1 1 jnπ e jnπt 05 05 1 jnπ e jnπt 1 05 1 j2nπ e jnπ 2 e jnπ e jnπ 2 e jnπ 2 e jnπ e jnπ 2 2 e jnπ 2 e jnπ 2 j2nπ e jnπ e jnπ j2nπ 1 nπ 2 sennπ 2 sennπ Obtemos portanto c0 0 c1 2π c2 0 c3 23π c4 0 c5 25π e daí em diante Esses valores concordam com a série trigonométrica de Fourier dada como resposta para o Exercício de Fixação 183 para a mesma forma de onda mostrada na Figura 184b se lembrarmos que an 2cn quando bn 0 Utilizando a simetria da forma de onda par e de meia onda há menos traba lho quando aplicamos as Equações 34a e 34b levando a cn 4 T T 4 0 f t cos nω0t dt 4 2 05 0 cos nπt dt 2 nπ sennπt 05 0 2 nπ sennπ 2 n ímpar 0 n par Esses resultados são os mesmos que acabamos de obter sem que levássemos em consideração a simetria da forma de onda Uma certa função ft é um trem de pulsos retangulares com amplitude V0 e duração τ ocorrendo periodicamente a cada T segundos como mostrado na Figura 1811 Obtenha a série exponencial de Fourier para ft 0 V0 T t t0 2T T υt t p FIGURA 1811 Uma sequência periódica de pulsos retangulares A frequência fundamental é f0 1T Nenhuma simetria está presente e o valor de um coeficiente complexo geral é obtido a partir da Equação 30 u EXEMPLO 184 Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 748 cn 1 T T 2 T 2 f te jnω0t dt V0 T t0 τ t0 e jnω0t dt V0 jnω0T e jnω0t0 τ e jnω0t0 2V0 nω0T e jnω0t0 τ 2 sen 1 2nω0τ V0τ T sen 1 2nω0τ 1 2nω0τ e jnω0t0 τ 2 O módulo de cn é portanto cn V0τ T sen 1 2nω0τ 1 2nω0τ 36 e o ângulo de cn é âng cn nω0 t0 τ 2 possivelmente mais 180 37 As Equações 36 e 37 representam a nossa solução para este problema envolvendo a série exponencial de Fourier A Função de Amostragem O fator trigonométrico da Equação 36 aparece frequentemente na teoria moderna das comunicações e é chamado de função de amostragem O termo amostragem se refere à função temporal da Figura 1811 da qual se deduz a função de amostragem O produto dessa sequência de pulsos e qualquer outra função ft representa amostras de ft a cada T segundos se τ é pequeno e V0 1 Definimos Sax sen x x Dada a sua grande ajuda na determinação da amplitude dos vários componentes de frequência de ft vale a pena desvendar as características importantes dessa função Primeiro notamos que Sax é igual a zero para todo o múltiplo inteiro de π isto é Sanπ 0 n 1 2 3 Quando x se anula a função se torna indeterminada mas é fácil mostrar que seu valor é unitário Sa0 1 O módulo de Sax decresce portanto da unidade em x 0 a zero em x π Com o aumento de x de π a 2π Sax cresce de zero a um valor máximo menor que a unidade e então cai para zero novamente À medida que x con tinua a crescer os máximos sucessivos se tornam continuamente menores porque o numerador de Sax não pode exceder a unidade e o denominador cresce continuamente Além disso Sax apresenta simetria par Vamos agora construir o espectro de linhas Consideramos primeiro cn escrevendo a Equação 36 em termos da frequência cíclica fundamental f0 Seção 184 u Forma complexa da série de Fourier 749 cn V0τ T sennπ f0τ nπ f0τ 38 A amplitude de qualquer cn é obtida a partir da Equação 38 com o uso dos valores conhecidos τ e T 1f0 e a seleção do valor desejado de n n 0 1 2 Ao invés de avaliar a Equação 38 nessas frequências discretas vamos esboçar o envelope de cn considerando a frequência nf0 como uma variável contínua Na realidade f que é nf0 pode adquirir apenas os valores discretos das frequências harmônicas 0 f0 2 f0 3 f0 e daí em diante mas no momento podemos pensar em n como sendo uma variável contínua Quando f é igual a zero cn é evidentemente V0τ T e quando f cresce para 1τ cn se anula O envelope resultante é traçado primeiro na forma mostrada na Figura 1812a O espectro de linhas é então obtido com o simples desenho de uma linha vertical em cada frequência harmônica como mostrado no desenho As amplitudes são aquelas de cn O caso particular traçado se aplica à condição τ T 115π 0212 Neste exemplo por acaso não há harmônicos exatamente nas frequências em que a amplitude do envelope se anula uma outra escolha de τ e T poderia levar a tal ocorrência no entanto 10f0 12f0 14f0 8f0 6f0 4f0 2f0 0 0 f Hz 12f0 10f0 8f0 6f0 4f0 2f0 14f0 V0 t T 1 t 05V0 t T cn a b 10f0 12f0 14f0 8f0 6f0 4f0 2f0 00 f Hz 2V0 t T 1 t V0 t T a2 n b2 n p FIGURA 1812 a O espectro de linhas discreto de cn versus f nf0 n 0 1 2 correspondente ao trem de pulsos mostrado na Figura 1811 b a2 n b2 n versus f nf0 n 0 1 2 para o mesmo trem de pulsos Na Figura 1812b a amplitude do componente senoidal é traçada em função da frequência Note novamente que a0 c0 e a2n b2n cn cn Há muitas observações e conclusões que podemos fazer sobre o espec tro de linhas de uma sequência periódica de pulsos retangulares como Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 750 aquele mostrado na Figura 1812b Com respeito ao envelope do espectro discreto é evidente que a sua largura depende de τ e não de T Na reali dade a forma do envelope não é uma função de T Segue daí que a largura de faixa de um filtro projetado para deixar passar pulsos periódicos é uma função da largura de pulso τ mas não do período T dos pulsos uma ins peção na Figura 1812b indica que a largura de faixa necessária é de apro ximadamente 1τ Hz Se o período dos pulsos aumentar ou a frequência de repetição f0 diminuir a largura de faixa 1τ não muda mas o número de linhas espectrais entre a frequência zero e 1τ Hz aumenta ainda que de forma descontínua a amplitude de cada linha é inversamente proporcional a T Finalmente um deslocamento na origem do eixo dos tempos não altera o espectro de linhas isto é cn não é uma função de t0 As fases relativas dos componentes de frequência mudam com a escolha de t0 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 187 Determine o coeficiente cn geral da série complexa de Fourier para a forma de onda mostrada na Figura a 184a b 184c Resposta j2nπ para n ímpar 0 para n par j4n2π2 sen nπ2 para todo n 185 DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER Agora que estamos familiarizados com os conceitos básicos da representa ção de funções periódicas por meio da série de Fourier vamos seguir com a definição da transformada de Fourier primeiro relembrando o espectro do trem de pulsos retangulares periódicos obtido na seção 184 Aquele era um espectro de linhas discreto que é o tipo que devemos sempre obter para funções temporais periódicas O espectro era discreto no sentido de não ser uma função suave ou contínua da frequência ao invés disso ele tinha valores diferentes de zero apenas em frequências específicas Há muitas funções forçantes importantes no entanto que não são funções periódicas do tempo como o pulso retangular a função degrau a função rampa ou aquela função um pouco estranha chamada de função impulso definida no Capítulo 14 Espectros de frequência podem ser obti dos para tais funções não periódicas mas eles são espectros contínuos nos quais alguma energia em geral pode ser encontrada em qualquer intervalo de frequências não nulo não importa quão pequeno seja esse intervalo Vamos desenvolver esse conceito começando com uma função periódi ca e então fazendo com que o período se torne infinito Nossa experiência com pulsos periódicos retangulares sugere que o envelope deve decrescer em amplitude sem apresentar qualquer outra mudança de forma e que mais e mais componentes de frequência sejam encontrados em qualquer intervalo de frequências dado No limite devemos esperar um envelope com amplitude muito pequena preenchido por um número infinito de com ponentes de frequência separados por intervalos de frequência desprezíveis Seção 185 u Definição da transformada de Fourier 751 O número de componentes de frequência entre 0 e 100 Hz por exemplo se torna infinito mas a amplitude de cada um deles tende a zero Em uma primeira análise um espectro com amplitude nula é um conceito confuso Sabemos que o espectro de linhas de uma função forçante periódica apre senta a amplitude de cada componente de frequência Mas o que significa o espectro contínuo com amplitude zero de uma função forçante não periódica Essa questão é respondida na seção seguinte seguimos agora realizando o procedimento do limite sugerido acima Começamos com a forma exponencial da série de Fourier f t n cne jnω0t 39 onde cn 1 T T 2 T 2 f te jnω0t dt 40 e ω0 2π T 41 Fazemos agora T e assim da Equação 41 ω0 deve tender a zero Representamos esse limite por meio de um diferencial ω0 dω Logo 1 T ω0 2π S dω 2π 42 Finalmente a frequência de qualquer harmônico nω0 deve agora cor responder à variável geral de frequência que descreve o espectro contínuo Em outras palavras n deve tender a infinito à medida que ω 0 se aproxima de zero de forma que o produto seja finito nω0 ω 43 Quando esses quatro limites são aplicados na Equação 40 descobri mos que cn deve tender a zero como havíamos presumido previamente Se multiplicarmos cada lado da Equação 40 pelo período T e então fizermos o limite obtemos um resultado não trivial cnT S f te jωtdt O lado direito dessa expressão é uma função de ω e não de t e o representamos como Fjω F jω f te jωtdt 44 Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 752 Vamos agora obter o limite da Equação 39 Começamos multiplican do e dividindo a soma por T f t n cnTe jnω0t 1 T substituindo em seguida cnT pela nova grandeza Fjω utilizando então as expressões 42 e 43 No limite a soma se torna uma integral e f t 1 2π F jωe jωtdω 45 As Equações 44 e 45 são chamadas coletivamente de par de trans formadas de Fourier A função Fjω é a transformada de Fourier de ft e ft é a transformada inversa de Fourier de Fjω Essa relação entre o par de transformadas é muito importante Devemos memorizála desenhar setas apontando para ela e mantêla em nosso sub consciente Enfatizamos a importância dessas relações repetindoas abaixo e em destaque F jω e jωt ft dt 46a f t 1 2π e jωtF jω dω 46b Os termos exponenciais nas duas equações possuem sinais opostos em seus expoentes Para que não cometamos erros pode ser útil notar que o sinal positivo está associado à expressão para ft da mesma forma que na série complexa de Fourier a Equação 39 É apropriado fazer uma pergunta neste momento Seria possível obter a partir das relações apresentadas na Equação 46 a transformada de Fourier de qualquer função ft arbitrariamente escolhida Por acaso a resposta é afirmativa para praticamente qualquer tensão ou corrente que podemos pro duzir na prática Uma condição suficiente para a existência de Fjω é que f t dt Essa condição não é necessária no entanto porque algumas funções que não a satisfazem ainda assim possuem uma transformada de Fourier a função degrau é um exemplo Além disso veremos mais tarde que ft nem mesmo precisa ser não periódica para ter uma transformada de Fourier a representação de uma função periódica por meio da série de Fourier é ape nas um caso especial da representação mais geral por meio da transformada de Fourier Como indicamos anteriormente a relação entre o par de transformadas de Fourier é única Para uma dada função ft há apenas uma Fjω especí fica e para uma dada Fjω há apenas uma ft específica O leitor pode já ter notado algumas semelhanças entre a transformada de Fourier e a transformada de Laplace Diferenças fundamentais entre as duas incluem o fato de o armazenamento inicial de energia não ser facilmente incorporado na análise de circuitos usando as transformadas de Fourier o que não ocorre no caso das transformadas de Laplace Além disso há várias funções temporais por exemplo a exponencial crescente para as quais não existe uma transformada de Fourier No entanto se estivermos interessados em informação espectral e não em respostas transitórias a transformada de Fourier é a mais indicada Seção 185 u Definição da transformada de Fourier 753 Use a transformada de Fourier para obter o espectro contínuo do único pulso retangular da Figura 183a 15 10 5 0 5 10 15 ff0 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 0 F jv b 0 2T T a T t0 V0 υ t t t O pulso é uma versão truncada da sequência previamente considerada na Figura 1811 e é descrito por f t V0 t0 t t0 τ 0 t t0 e t t0 τ A transformada de Fourier de ft é obtida a partir da Equação 46a F jω t0 τ t0 V0e jωtdt e essa expressão pode ser facilmente integrada e simplificada F jω V0τ sen 1 2ωτ 1 2ωτ e jωt0 τ 2 O módulo de Fjω possui um espectro contínuo de frequências e tem a forma da função de amostragem O valor de F0 é V0τ A forma do espectro é idêntica ao envelope na Figura 1812b Um gráfico de Fjω em função de ω não indica o módulo da tensão presente em cada frequência O que ele indica então A análise da Equação 45 mostra que se ft é uma forma de onda de tensão então Fjω tem a dimensão de volts por unidade de frequência um conceito que foi apresentado na Seção 151 u EXEMPLO 185 t FIGURA 1813 a Um único pulso retangular idêntico àqueles da sequência na Figura 1811 b Gráfico de Fjω correspondente ao pulso com V0 1 τ 1 e t0 0 O eixo das frequências foi normalizado para o valor de f0 115 π correspondendo à Figura 1812a para permitir comparações note que f0 não tem significado ou relevância no contexto de Fjω Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 754 u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 188 Se ft 10 V 02 t 01 s ft 10 V 01 t 02 s e ft 0 para todo t restante avalie Fjω para ω igual a a 0 b 10π rads c 10π rads d 15π rads e 20π rads 189 Se Fjω 10 Vrads para 4 ω 2 rads 10 Vrads para 2 ω 4 rads e 0 para todo ω restante determine o valor numérico de ft em t igual a a 104 s b 102 s c π4 s d π2 s e π s Respostas 188 0 j1273 Vrads j1273 Vrads j0424 Vrads 0 189 j19099 103 V j01910 V j405 V j405 V 0 186 ALGUMAS PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER Nosso objetivo nesta seção é estabelecer várias das propriedades matemá ticas da transformada de Fourier e o que é mais importante entender o seu significado físico Começamos usando a identidade de Euler para substituir ejωt na Equação 46a F jω f t cos ωt dt j f t senωt dt 47 Como ft cos ωt e sen ωt são todas funções do tempo ambas as inte grais na Equação 47 são funções reais de ω Assim fazendo F jω Aω jBω F jωe jφω 48 temos Aω f t cos ωt dt 49 Bω f t senωt dt 50 F jω A2ω B2ω 51 e φω tan 1 Bω Aω 52 A troca de ω por ω mostra que Aω e Fω são funções pares de ω enquanto Bω e ϕ ω são funções ímpares de ω Agora se ft é uma função par de t então o integrando da Equação 50 é uma função ímpar de t e então os limites simétricos forçam Bω a ser igual a zero logo se ft é par a transformada de Fourier Fjω é uma função par real de ω e a função de fase ϕ ω é igual a zero ou π para todo ω Entretanto se ft é uma função ímpar de t então Aω 0 e Fjω é uma função ímpar e imaginária de ω ϕ ω é igual a π2 Em geral no entanto Fjω é uma função complexa de ω Finalmente notamos que a troca de ω por ω na Equação 47 forma o conjugado de Fjω Logo Fjω Aω jBω F jω Seção 186 u Algumas propriedades da transformada de Fourier 755 e temos F jωFjω F jωF jω A2ω B2ω F jω2 Significado Físico da Transformada de Fourier Com essas propriedades matemáticas básicas da transformada de Fourier em mente estamos agora prontos para considerar o seu significado físico Vamos supor que ft seja a tensão ou a corrente em um resistor de 1 Ω de forma que f 2t seja a potência instantânea fornecida a esse resistor de 1 Ω por ft Integrando essa potência ao longo do tempo obtemos a energia total fornecida por ft ao resistor de 1 Ω W1 f 2t dt 53 Vamos agora usar algumas artimanhas Pensando no integrando da Equação 53 como a função ft vezes ela mesma substituímos uma dessas funções pela Equação 46b W1 f t 1 2π e jωtF jω dω dt Como ft não é função da variável de integração ω podemos movêla para dentro da integral entre colchetes e então trocar a ordem de integração W1 1 2π F jωe jωt f t dt dω Em seguida tiramos Fjω da integral de dentro fazendo com que essa integral se torne Fjω W1 1 2π F jωF jω dω 1 2π F jω2 dω Juntando esses resultados f 2t dt 1 2π F jω2 dω 54 A Equação 54 é uma expressão muito útil conhecida como o teorema de Parseval Esse teorema juntamente com a Equação 53 diz que a ener gia associada a ft pode ser obtida por meio de uma integração ao longo de todo o tempo no domínio do tempo ou por 12π vezes uma integração ao longo de toda a frequência radiana no domínio da frequência O teorema de Parseval também nos leva a um melhor entendimento e a uma melhor interpretação do significado da transformada de Fourier Con sidere uma tensão vt com transformada de Fourier Fvjω e energia W1Ω associada a um resistor de 1 Ω W1 1 2π Fυ jω2 dω 1 π 0 Fυ jω2 dω onde a igualdade mais à direita segue do fato de Fvjω ser uma função par de ω Então como ω 2πf podemos escrever Marc Antoine ParsevalDeschenes foi um obscuro matemático geógrafo e poeta esporádico francês que publicou estes resultados em 1805 dezessete anos antes de Fourier publicar os seus resultados Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 756 W1 Fυ jω2 df 2 0 Fυ jω2 df 55 A Figura 1814 ilustra um típico gráfico de Fvjω2 em função de ω e f Se dividirmos a escala de frequências em incrementos df extremamente pequenos a Equação 55 nos mostra que a área da fatia diferencial sob a curva Fvjω2 que tem largura df é igual a Fvjω2df Essa área é agora hachurada A soma de todas essas áreas à medida que f varia de menos infinito a mais infinito é a energia total de 1 Ω contida em vt Logo Fvjω2 é a densidade de energia de 1 Ω ou a energia por unidade de largura de faixa JHz de vt e essa densidade de energia é sempre uma função real par e positiva de ω Com a integração de Fvjω2 ao longo de um intervalo de frequências apropriado estamos aptos a calcular a porção da energia total presente no interior do inter valo escolhido Note que a densidade de energia não é uma função da fase de Fvjω e assim há um número infinito de funções temporais e transformadas de Fourier que possuem funções densidade de energia idênticas O pulso exponencial unilateral isto é vt 0 para t 0 vt 4e3tut V é aplicado na entrada de um filtro passafaixa ideal Se a faixa de passagem do filtro é definida como 1 f 2 Hz calcule a energia de saída total Chamemos de vot a tensão de saída do filtro A energia em vot será portanto igual à energia da parcela de vt que possui componentes de frequência nos inter valos 1 f 2 e 2 f 1 Determinamos a transformada de Fourier de vt Fυ jω 4 e jωte 3tut dt 4 0 e 3 jωtdt 4 3 jω e então podemos calcular a energia de 1 Ω total no sinal de entrada por meio de W1 1 2π Fυ jω2 dω 8 π dω 9 ω2 16 π 0 dω 9 ω2 8 3 J u EXEMPLO 186 0 0 Fυ jv2 v f dv df p FIGURA 1814 A área da fatia Fvjω2 é a energia de 1 Ω associada à parte de vt presente na largura de faixa df Seção 187 u Pares de transformadas de Fourier para algumas funções temporais simples 757 ou W1 υ2t dt 16 0 e 6t dt 8 3 J A energia total em vot no entanto é menor Wo1 1 2π 2π 4π 16 dω 9 ω2 1 2π 4π 2π 16 dω 9 ω2 16 π 4π 2π dω 9 ω2 16 3π tan 1 4π 3 tan 1 2π 3 358 mJ Em geral vemos que um filtro passafaixa ideal nos permite remover energia dos intervalos de frequência prescritos enquanto retemos a energia contida nos demais intervalos A transformada de Fourier nos ajuda a des crever a ação de filtragem quantitativamente sem que de fato precisemos avaliar vot embora vejamos mais tarde que a transformada de Fourier tam bém pode ser usada na obtenção da expressão de vot se assim desejarmos u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1810 Se it 10e20tut 01 ut 01 A determine a Fij0 b Fij10 c Ai10 d Bi10 e ϕi10 1811 Obtenha a energia de 1 Ω associada à corrente it 20e10tut A no intervalo a 01 t 01 s b 10 ω 10 rads c 10 ω rads Respostas 1810 363 Arads 333317o Arads 283 Arads 1749 Arads 317o 1811 1729 J 10 J 5 J 187 PARES DE TRANSFORMADAS DE FOURIER PARA ALGUMAS FUNÇÕES TEMPORAIS SIMPLES A Função Impulso Unitário Procuramos agora a transformada de Fourier do impulso unitário δ t t0 uma função que apresentamos na Seção 144 Isto é estamos interessados nas propriedades espectrais ou na descrição dessa função de singularidade no domínio da frequência Se usarmos a notação F para simbolizar a transformada de Fourier de então δt t0 e jωtδt t0 dt De nossa discussão prévia sobre esse tipo de integral temos δt t0 e jωt0 cos ωt0 j senωt0 Essa função complexa de ω leva à função densidade de energia de 1 Ω δt t02 cos2 ωt0 sen2 ωt0 1 Esse resultado notável diz que a energia de 1 Ω por largura de faixa é unitária em todas as frequências e que a energia total do impulso unitário Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 758 é infinitamente grande Não nos surpreende então que concluamos que o impulso unitário não pode ser realizado na prática no sentido de que ele não pode ser gerado em laboratório Além disso mesmo se dispuséssemos de um impulso unitário ele apareceria distorcido após ser submetido à lar gura de faixa finita de qualquer instrumento de laboratório Como há uma correspondência biunívoca entre uma função temporal e sua transformada de Fourier podemos dizer que a transformada inversa de ejωt0 é δ t t0 Utilizando o símbolo F1 para a transformada inversa temos 1e jωt0 δt t0 Assim sabemos agora que 1 2π e jωte jωt0 dω δt t0 mesmo que falhássemos na tentativa de avaliar diretamente essa integral imprópria Simbolicamente podemos escrever δt t0 3 e jωt0 56 onde 3 indica que as duas funções constituem um par de transformadas de Fourier Continuando com a nossa análise da função impulso unitário vamos considerar uma transformada de Fourier na forma F jω δω ω0 que é um impulso no domínio da frequência localizado em ω ω0 Então ft deve ser f t 1F jω 1 2π e jωtδω ω0 dω 1 2π e jω0t onde usamos a propriedade de peneiramento da função impulso unitário Assim podemos agora escrever 1 2π e jω0t 3 δω ω0 ou e jω0t 3 2πδω ω0 57 Da mesma forma com uma simples mudança de sinal obtemos e jω0t 3 2πδω ω0 58 Claramente a função temporal é complexa nas expressões 57 e 58 e não existe no mundo real do laboratório No entanto sabemos que cos ω0t 1 2e jω0t 1 2e jω0t e é facilmente visto a partir da definição da transformada de Fourier que f1t f2t f1t f2t 59 Portanto Seção 187 u Pares de transformadas de Fourier para algumas funções temporais simples 759 cos ω0t 1 2e jω0t 1 2e jω0t πδω ω0 πδω ω0 o que indica que a descrição de cos ω0t no domínio da frequência corres ponde a um par de impulsos localizados em ω ω0 Isso não deveria ser uma grande surpresa pois em nossa primeira discussão sobre a frequência complexa no Cap 14 notamos que uma função temporal com variação senoidal era sempre representada por um par de frequências imaginárias localizadas em s jω0 Temos portanto cos ω0t 3 πδω ω0 δω ω0 60 A Função Forçante Constante Para obter a transformada de Fourier de uma função constante no tempo ft K nossa primeira reação seria substituir essa constante na equação que define a transformada de Fourier e avaliar a integral resultante Se fizéssemos isso teríamos uma expressão indeterminada em nossas mãos No entanto felizmente já resolvemos esse problema pois da expressão 58 e jω0t 3 2πδω ω0 Vemos que se simplesmente fizermos ω0 0 o par de transformadas resultante é então 1 3 2πδω 61 de onde segue que K 3 2πKδω 62 e nosso problema está resolvido O espectro de frequências de uma função constante consiste apenas em um componente em ω 0 o que já sabíamos desde o início A Função Sinal Como um outro exemplo vamos obter a transformada de Fourier de uma função de singularidade conhecida como a função sinal sgnt definida por sgnt 1 t 0 1 t 0 63 ou sgnt ut ut Novamente se tentássemos substituir essa função temporal na equação que define a transformada de Fourier iríamos nos deparar com uma expres são indeterminada após a substituição dos limites de integração Esse mesmo problema surgirá todas as vezes que tentarmos obter a transformada de Fourier de uma função temporal que não se aproxime de zero à medida que t tenda a infinito Felizmente podemos evitar esse problema utilizando a transformada de Laplace porque ela contém um fator de convergência embutido que cura muitas das doenças associadas à avaliação de certas transformadas de Fourier Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 760 Seguindo essa linha a função sinal que estamos analisando pode ser escrita como sgnt lim aS 0e atut eatu t Perceba que a expressão entre colchetes tende a zero à medida que t fica muito grande Usando a definição da transformada de Fourier obtemos sgnt lim aS 0 0 e jωte atdt 0 e jωteatdt lim aS 0 j2ω ω2 a2 2 jω A parte real é nula pois sgnt é uma função ímpar de t Logo sgnt 3 2 jω 64 A Função Degrau Unitário Como exemplo final nesta seção vamos dar uma olhada na familiar função degrau unitário ut Utilizando o nosso trabalho com a função sinal nos parágrafos anteriores representamos o degrau unitário como ut 1 2 1 2sgnt e obtemos o par de transformadas de Fourier ut 3 πδω 1 jω 65 A Tabela 182 apresenta as conclusões tiradas dos exemplos discutidos nesta seção juntamente com algumas outras que não foram detalhadas aqui Use a Tabela 182 para obter a transformada de Fourier da função tem poral 3et cos 4t ut Da penúltima linha da tabela temos e αt cos ωdt ut 3 α jω α jω2 ω2 d Identificamos portanto α 1 e ωd 4 e temos F jω 3 1 jω 1 jω2 16 u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1812 Avalie a transformada de Fourier em ω 12 da função temporal a 4ut 10δt b 5e8tut c 4 cos 8t ut d 4 sgnt 1813 Determine ft em t 2 se Fjω é a 5ej3ω j4ω b 8δ ω 3 δ ω 3 c 8ω sen 5ω Respostas 1812 10011781o 0347563o j06 j0667 1813 200 245 400 u EXEMPLO 187 Seção 187 u Pares de transformadas de Fourier para algumas funções temporais simples 761 TABELA 182 u Um Resumo de Alguns Pares de Transformadas de Fourier ft ft ft Fjω j F ω 2 T 2 T d d 1 2 0 0 2 0 1 t 1 T 2 T 2 t 1 t 1 t 1 t 1 1 t 1 t 1 Complexo t 1 t0 t δt t0 e jωt0 e jω0t 2πδω ω0 cos ω0t πδω ω0 δω ω0 1 2πδω sgnt 2 jω ut πδω 1 jω e αtut 1 α jω e αt cos ωdtut α jω α jω2 ω2 d ut 1 2 T ut 1 2 T T sen ωT 2 ωT 2 Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 762 188 A TRANSFORMADA DE FOURIER DE UMA FUNÇÃO TEMPORAL PERIÓDICA GENÉRICA Na Seção 185 destacamos que seríamos capazes de mostrar que funções temporais periódicas assim como funções não periódicas possuem trans formadas de Fourier Vamos agora estabelecer esse fato de forma rigorosa Considere uma função temporal periódica ft com período T e expansão em série de Fourier como resumido nas Equações 39 40 e 41 que são repetidas aqui por conveniência f t n cne jnω0t 39 cn 1 T T 2 T 2 f te jnω0tdt 40 e ω0 2π T 41 Tendo em mente que a transformada de Fourier de uma soma é simples mente a soma das transformadas dos termos da soma e que cn não é função do tempo podemos escrever f t n cne jnω0t n cn e jnω0t Após obter a transformada de ejnω0t a partir da expressão 57 temos f t 3 2π n cnδω nω0 66 Isso mostra que ft tem um espectro discreto consistindo em impulsos localizados em pontos no eixo ω dados por ω nω0 n 2 1 0 1 A amplitude de cada impulso é 2π vezes o valor do coeficiente de Fourier que aparece na forma complexa da expansão de ft em série de Fourier Como uma verificação de nosso trabalho vamos ver se a transformada inversa de Fourier do lado direito da expressão 66 é novamente ft Essa transformada inversa pode ser escrita como 1F jω 1 2π e jωt 2π n cnδω nω0 dω f t Como o termo exponencial não contém o índice de soma n podemos trocar a ordem das operações de integração e soma 1F jω n cne jωtδω nω0 dω f t Por não ser função da variável de integração o coeficiente cn pode ser tratado como uma constante Então usando a propriedade de peneiramento do impulso obtemos Seção 189 u A função de sistema e a resposta no domínio da frequência 763 1F jω n cne jnω0t f t que é exatamente o mesmo que a Equação 39 a expansão de ft na série complexa de Fourier Os pontos de interrogação nas equações anteriores podem agora ser removidos e a existência da transformada de Fourier de funções temporais periódicas é estabelecida Isso não deveria causar muita surpresa no entanto Na última seção avaliamos a transformada de Fourier de uma função cosseno que é certamente periódica embora não tenhamos feito referência direta à sua periodicidade Entretanto usamos uma aborda gem indireta para obter a transformada Mas agora temos uma ferramenta matemática pela qual a transformada pode ser obtida mais diretamente Para demonstrar esse procedimento considere novamente ft cosω0t Primeiro avaliamos os coeficientes de Fourier cn cn 1 T T 2 T 2 cos ω0t e jnω0tdt 1 2 n 1 0 caso contrário Então f t 2π n cnδω nω0 Essa expressão tem valores que são diferentes de zero apenas quando n 1 e segue portanto que toda a soma se reduz a F cos ω0t πδω ω0 δω ω0 que é precisamente a expressão que obtivemos anteriormente Que alívio u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1814 Determine a F5 sen2 3t b FA sen ω0t c F6 cos8t 01π Resposta 25π2δ ω δ ω 6 δ ω 6 jπA δ ω ω0 δ ω ω0 188518o δ ω 8 188518o δ ω 8 189 A FUNÇÃO DE SISTEMA E A RESPOSTA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Na Seção 155 o problema de determinar a saída de um sistema físico em termos da entrada e de sua resposta ao impulso foi resolvido com o uso da integral de convolução e o trabalho inicial no domínio do tempo A entrada a saída e a resposta ao impulso eram todas funções temporais Subsequen temente descobrimos que muitas vezes era mais conveniente realizar tais operações no domínio da frequência já que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é simplesmente o produto de ambas as funções no domínio da frequência Seguindo a mesma linha veremos que o mesmo é verdade quando trabalhamos com a transformada de Fourier Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 764 Para fazer isso vamos examinar a transformada de Fourier da saída de um sistema Assumindo arbitrariamente que a entrada e a saída sejam tensões aplicamos a definição básica da transformada de Fourier e expres samos a saída como uma integral de convolução υ0t F0 jω e jωt υit zhz dz dt onde novamente assumimos que não haja armazenamento inicial de ener gia Em primeira análise essa expressão parece ser um tanto complicada mas ela pode ser reduzida a um resultado surpreendentemente simples Podemos mover o termo exponencial para dentro da integral porque ele não contém a variável de integração z Em seguida invertemos a ordem de integração obtendo F0 jω e jωtυit zhz dt dz Como hz não é uma função de t podemos extrair essa função da inte gral interna e simplificar a integração em relação a t com uma mudança de variáveis t z x F0 jω hz e jωx zυix dx dz e jωzhz e jωxυix dx dz Mas agora o sol está começando a aparecer pois a integral de dentro é meramente a transformada de Fourier de vit Além disso ela não contém termos que dependam de z e portanto pode ser tratada como uma constante em qualquer integração envolvendo z Logo podemos mover essa transfor mada Fijω completamente para fora de todas as integrais F0 jω Fi jω e jωzhz dz Finalmente a integral restante exibe a nossa velha amiga uma vez mais a transformada de Fourier Esta é a transformada de Fourier da resposta ao impulso que designaremos pela notação Hjω Portanto todo nosso traba lho se resume ao simples resultado F0 jω Fi jωH jω Fi jω ht Esse é mais um resultado importante ele define a função de sistema Hjω como a relação entre a transformada de Fourier da função resposta e a transformada de Fourier da função forçante Além disso a função de sistema e a resposta ao impulso constituem um par de transformadas de Fourier ht 3 H jω 67 O desenvolvimento do parágrafo anterior também serve para provar o enunciado geral de que a transformada de Fourier da convolução de duas funções temporais é o produto de suas transformadas de Fourier Seção 189 u A função de sistema e a resposta no domínio da frequência 765 f t gt Ff jωFg jω 68 Os comentários anteriores poderiam nos fazer pensar novamente se vale mesmo a pena trabalhar no domínio do tempo mas devemos sempre lem brar que raramente conseguimos algo sem ceder algo em troca Um poeta disse uma vez Nossa mais sincera risadacom alguma dor é carregada2 A dor que enfrentamos aqui é a dificuldade ocasional na obtenção da trans formada inversa de Fourier de uma função resposta por razões de com plexidade computacional Por outro lado um simples computador pessoal pode realizar a convolução de duas funções temporais com uma rapidez magnífica Mas ele também pode obter uma FFT transformada rápida de Fourier muito rapidamente Consequentemente não há vantagens claras entre trabalhar no domínio do tempo ou no domínio da frequência Uma decisão deve ser tomada em cada novo problema essa decisão deve se basear nas informações disponíveis e nos recursos computacionais que temos em mãos Considere uma função forçante na forma vi t ut ut 1 e a resposta ao impulso unitário definida por ht 2etut Obtemos primeiro as transformadas de Fourier correspondentes A fun ção forçante é a diferença entre duas funções degrau unitário Essas duas funções são idênticas exceto pelo fato de uma se iniciar 1 s após a outra Vamos avaliar a resposta gerada por ut a resposta gerada por ut 1 é a mesma porém atrasada no tempo em 1 s A diferença entre essas duas respostas parciais é a resposta total causada por vit A transformada de Fourier de ut foi obtida na Seção 187 ut πδω 1 jω A função de sistema é obtida a partir da transformada de Fourier de ht listada na Tabela 182 ht H jω 2e tut 2 1 jω A transformada inversa do produto dessas duas funções leva ao compo nente de vot causado por ut υo1t 1 2πδω 1 jω 2 jω1 jω Usando a propriedade de peneiramento do impulso a transformada inversa do primeiro termo é apenas uma constante igual a 1 Logo υo1t 1 F 1 2 jω1 jω 2 Our sincerest laughterwith some pain is fraught P B Shelley To a Skylark 1821 Para recapitular se conhecermos as transformadas de Fourier da função forçante e da resposta ao impulso então a transformada de Fourier da função resposta pode ser obtida como o produto de ambas O resultado é uma descrição da função resposta no domínio da frequência a representação da função resposta no domínio do tempo é obtida simplesmente com a realização da transformada inversa de Fourier Assim vemos que o processo de convolução no domínio do tempo é equivalente à operação relativamente simples de multiplicação no domínio da frequência Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 766 O segundo termo contém um produto de termos no denominador cada um na forma α jω e a sua transformada inversa é mais facilmente obtida com a aplicação da expansão em frações parciais desenvolvida na Seção 145 Vamos selecionar uma técnica de expansão em frações parciais que possui uma grande vantagem ela sempre funciona embora métodos mais rápidos possam ser usados na maioria das situações Atribuímos um valor desconhecido ao numerador de cada uma das duas frações 2 jω1 jω A jω B 1 jω e então substituímos um número correspondente de valores simples para jω Aqui fazemos jω 1 1 A B 2 e então fazemos jω 2 1 A B 2 Isso leva a A 2 e B 2 Logo 1 2 jω1 jω 1 2 jω 2 1 jω sgnt 2e tut de forma que υo1t 1 sgnt 2e tut 2ut 2e tut 21 e tut Daí segue que vo2t o componente de vot produzido por ut 1 é vo2t 21 et1ut 1 Portanto υot vo1t vo2t 21 e tut 21 e t 1ut 1 As descontinuidades em t 0 e t 1 ditam a separação em três inter valos de tempo vot c 0 t 0 21 e t 0 t 1 2e 1e t t 1 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1815 A resposta ao impulso de uma certa rede linear é ht 6e20tut O sinal de entrada é vi 3e6tut V Determine a Hjω b Vijω c Vojω d vo01 e vo03 f vomáx Resposta 620 jω 36 jω 1820 jω6 jω 0532 V 0209 V 05372 V Seção 189 u A função de sistema e a resposta no domínio da frequência 767 O material apresentado neste capítulo forma a base para muitas áreas avan çadas de estudo incluindo o processamento de sinais as comunicações e o controle Podemos apresentar apenas alguns de seus conceitos mais fun damentais no contexto de um texto introdutório de circuitos mas mesmo neste ponto algumas das potencialidades da análise de Fourier podem ser discutidas Como um primeiro exemplo considere o circuito da Figura 1815 construído no PSpice usando um amplificador operacional μA741 p FIGURA 1815 Circuito amplificador inversor com um ganho de tensão de 10 alimentado por um sinal de entrada senoidal operando em 100 Hz O circuito tem um ganho de tensão de 10 e assim esperamos uma saída senoidal com amplitude de 10 V Isto é de fato o que obtemos após realizar uma análise transitória no circuito como mostra a Figura 1816 p FIGURA 1816 Tensão de saída simulada do circuito amplificador mostrado na Figura 1815 u ANÁLISE AUXILIADA POR COMPUTADOR Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 768 O PSpice nos permite determinar o espectro de frequências da tensão de saída por meio daquilo que é conhecido como a transformada rápida de Fourier FFT uma aproximação em tempo discreto para a transformada de Fourier exata do sinal Dentro do Probe selecionamos Fourier sob o menu Trace o resultado é o gráfico mostrado na Figura 1817 Conforme esperado o espec tro de linhas da tensão de saída desse circuito amplificador consiste em uma única linha na frequência de 100 Hz p FIGURA 1817 Aproximação discreta para a transformada de Fourier da Figura 1816 À medida que o módulo da tensão de entrada aumenta a saída do amplificador se aproxima da condição de saturação determinada pelas tensões de alimentação cc positiva e negativa 15 V neste exemplo Esse comportamento fica evi dente no resultado de simulação apresentado na Figura 1818 que corresponde a uma tensão de entrada de 18 V Uma característica de interesse fundamental é o fato de a tensão de saída deixar de ser uma senoide pura Como resultado esperamos valores diferentes de zero nas frequências harmônicas que apare cem no espectro de frequências da função como é o caso da Figura 1819 p FIGURA 1818 Resultado de simulação da análise transitória do circuito amplificador quando o módulo da tensão de entrada aumenta para 18 V Efeitos de saturação se manifestam no gráfico como formas de onda com picos cortados Seção 189 u A função de sistema e a resposta no domínio da frequência 769 p FIGURA 1819 O espectro de frequências referente à forma de onda ilustrada na Figura 1818 mostrando a presença de vários componentes harmônicos além da frequência fundamental A largura finita das linhas é um artefato da discretização numérica foi usado um conjunto de valores de tempo discretos a b p FIGURA 1820 a Efeitos severos de saturação no amplificador são observados na resposta simulada para uma entrada senoidal de 15 V b Uma FFT da forma de onda mostra um aumento significativo da fração de energia presente nos harmônicos em comparação com a energia da fundamental em 100 Hz Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 770 O efeito da saturação do circuito amplificador é uma distorção no sinal se esse circuito fosse conectado a um altofalante não ouviríamos uma forma de onda limpa de 100 Hz Ao invés disso ouviríamos a superposição de formas de onda que incluem não apenas a frequência fundamental de 100 Hz mas também significativos componentes harmônicos em 300 e 500 Hz Uma distorção ainda maior da forma de onda aumentaria a quantidade de energia nas frequências harmônicas de forma que contribuições de harmônicos em frequências mais altas se tornariam mais significativas Isso fica evidente nos resultados de simulação apresentados na Figura 1820a e b que mostram a tensão de saída nos domínios do tempo e da frequência respectivamente 1810 O SIGNIFICADO FÍSICO DA FUNÇÃO DE SISTEMA Nesta seção tentamos conectar vários aspectos da transformada de Fourier ao trabalho que completamos nos capítulos anteriores Dado um quadripolo linear genérico N sem qualquer energia inicial armazenada assumimos funções forçante e resposta senoidais arbitraria mente representadas como tensões conforme ilustrado na Figura 1821 Fazemos com que a tensão de entrada seja simplesmente A cosωxt θ e a saída pode ser descrita em termos gerais como vot B cosωxt ϕ onde a amplitude B e o ângulo de fase ϕ são funções de ωx Na forma fasorial podemos escrever as funções forçante e resposta como Vi Aejθ e Vo Bejϕ A relação entre a resposta fasorial e a função forçante fasorial é um número complexo que é função de ωx Vo Vi Gωx B Ae jφ θ onde B A é a amplitude de G e ϕ θ é seu ângulo de fase A função de transferência Gωx poderia ser obtida em laboratório com a variação de ωx ao longo de uma grande faixa de valores com a medição da amplitude B A e da fase ϕ θ para cada valor de ωx Se então traçássemos um gráfico com cada um desses parâmetros em função da frequência o par de curvas resultantes descreveria completamente a função de transferência Vamos guardar por um momento esses comentários no fundo de nossa mente e considerar um aspecto ligeiramente diferente do mesmo problema de análise Para o circuito com entrada e saída senoidal mostrado na Figura 1821 qual é a função de sistema Hjω Para responder a essa pergunta começa mos com a definição de Hjω como sendo a relação entre as transformadas υot B cos vx t f υit A cos vx t u N p FIGURA 1821 A análise senoidal pode ser usada na determinação da função de transferência Hjωx B Aejϕ θ onde B e ϕ são funções de ωx Seção 1810 u O significado físico da função de sistema 771 de Fourier da saída e da entrada Essas duas funções temporais envolvem a forma funcional cosωxt b cuja transformada de Fourier ainda não avaliamos embora possamos trabalhar com cos ωxt A transformada que precisamos é cosωxt β e jωt cosωxt β dt Se fizermos a substituição ωxt b ωxτ então cosωxt β e jωτ jωβω x cos ωxτ dτ e jωβω x cos ωxt πe jωβω xδω ωx δω ωx Este é um novo par de transformadas de Fourier cosωxt β πe jωβω xδω ωx δω ωx 69 que podemos usar agora para avaliar a função de sistema desejada H jω B cosωxt φ A cosωxt θ πBe jωφωxδω ωx δω ωx πAe jωθωxδω ωx δω ωx B Ae jωφ θωx Agora nos lembramos da expressão para Gωx Gωx B Ae jφ θ onde B e ϕ foram avaliados em ω ωx e vemos que a avaliação de Hjω em ω ωx fornece Hωx Gωx B Ae jφ θ Como não há nada de especial no subscrito x concluímos que a função de sistema e a função de transferência são idênticas H jω Gω 70 O fato de um dos argumentos ser ω enquanto o outro é indicado por jω não é importante e é completamente arbitrário o j possibilita meramente uma comparação mais direta entre as transformadas de Fourier e Laplace A Equação 70 representa uma conexão direta entre as técnicas da transformada de Fourier e a análise em regime permanente senoidal Nosso trabalho prévio com a análise em regime permanente senoidal usando fasores foi nada mais do que um caso especial das técnicas mais gerais de análise por meio da transformada de Fourier O termo especial é usado no sentido de que as entradas e as saídas eram senoides enquanto o uso das transformadas de Fourier e das funções de sistema nos permite trabalhar com funções forçantes e respostas não senoidais Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 772 Logo para obter a função de sistema Hjω de uma rede tudo o que precisamos fazer é determinar a função de transferência senoidal corres pondente em função de ω ou jω Determine a tensão nos terminais do indutor no circuito mostrado na Figura 1822a quando a tensão de entrada é um simples pulso decaindo exponencialmente como indicado Precisamos da função de sistema mas não é necessário aplicar um impulso obter a resposta ao impulso e então determinar a sua transformada inversa Ao invés disso usamos a Equação 70 para obter a função de sistema Hjω assumindo que as tensões de entrada e de saída sejam senoides descritas por seus fasores cor respondentes como mostra a Figura 1822b Usando a divisão de tensão temos H jω Vo Vi j2ω 4 j2ω A transformada da função forçante é υit 5 3 jω e assim a transformada de vot é dada como υot H jω υit j2ω 4 j2ω 5 3 jω 15 3 jω 10 2 jω onde as frações parciais aparecendo no último passo ajudam na determinação da transformada inversa de Fourier υot 1 15 3 jω 10 2 jω 15e 3tut 10e 2tut 53e 3t 2e 2tut Nosso problema está completo sem desespero convoluções ou equações diferenciais u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1816 Use as técnicas da transformada de Fourier no circuito da Figura 1823 para obter i1t em t 15 ms se is é igual a a δ t b ut A c cos 500t A 4 V 6 V 20 mH is i1 t FIGURA 1823 Resposta 1417 A 0683 A 0308 A u EXEMPLO 188 υot a 4 V 2 H υit 5e3tut b 4 V j2v V Vi Vo p FIGURA 1822 a Desejase a resposta vot causada por vit b A função de sistema Hjω pode ser determinada por meio da análise em regime permanente senoidal Hjω VoVi APLICAÇÃO PROCESSAMENTO DE IMAGENS Embora um grande progresso tenha sido feito em direção ao desenvolvimento de um entendimento completo sobre a função muscular há ainda muitas questões em aberto Muitas pesquisas nesta área têm sido realizadas utilizando músculos de vertebrados em particular o sartório o mús culo da perna do sapo Figura 1824 p FIGURA 1824 Visão ampliada de um sapo em um fundo laranja IT StockPunchStockRF Das muitas técnicas analíticas usadas por cientistas uma das mais comuns é a microscopia eletrônica A Figura 1825 mostra um micrográfico eletrônico do tecido muscular do sartório de um sapo seccionado de forma a destacar o arranjo regular da miosina um tipo filamentar de proteína contráctil Interessam aos biólogos estruturais a periodicidade e a desordem dessas proteínas ao longo de uma ampla área de tecido muscular Para desenvolver um modelo que contemple essas características uma aborda gem numérica onde a análise de tais imagens possa ser automatizada é preferível Como pode ser visto na figura no entanto a imagem produzida pelo microscópio eletrô nico pode ser contaminada por um elevado nível de ruído de fundo o que faz com que a identificação automatizada dos filamentos de miosina seja propensa a erros p FIGURA 1825 Micrográfico eletrônico de uma região do tecido muscular do sartório de um sapo Cortesia Professor John M Squire Imperial College de Londres Apresentadas com o intuito de nos ajudar na análise de circuitos lineares variáveis com o tempo as técnicas de Fourier deste capítulo são na realidade métodos gerais muito poderosos que encontram aplicação em muitas situ ações diferentes Entre estas a área de processamento de imagens faz uso frequente das técnicas de Fourier especial mente por meio da transformada rápida de Fourier FFT e de métodos numéricos relacionados A imagem da Figura 1825 pode ser descrita por uma função espacial fx y onde f x y 0 corresponde ao branco fx y 1 corresponde ao vermelho e x y denota a localização de um pixel na imagem Definindo uma função de filtro hx y com a apa rência da Figura 1826a a operação da convolução gx y f x y hx y resulta na imagem da Figura 1826b na qual os fila mentos de miosina vistos no final são mais claramente identificáveis a b p FIGURA 1826 a Filtro espacial com simetria hexagonal b Imagem após a realização da convolução e da transformada inversa discreta de Fourier mostrando uma redução no ruído de fundo Na prática este processamento de imagens é realizado no domínio da frequência onde as FFTs de f e de h são calculadas e as matrizes resultantes são multiplicadas entre si Uma operação de FFT inversa produz então a imagem filtrada da Figura 1826b Por que essa convolução é igual à operação de filtragem O arranjo de filamentos de miosina possui uma simetria hexagonal da mesma forma que a função do filtro hx y de certa maneira tanto o arranjo de filamentos de miosina quanto a função do filtro possuem as mesmas frequências espaciais A convolução de f com h resulta em um reforço do padrão hexagonal presente na imagem original e na remoção dos pixels rui dosos que não possuem simetria hexagonal Isso pode ser entendido qualitativamente se modelarmos uma linha horizontal da Figura 1825 como uma função senoidal fx cosω0t que tem a transformada de Fourier mostrada na Figura 1827a um par casado de funções impulso separadas por 2ω0 Se fizermos a convolução dessa função com uma função de filtro hx cosω1t representada pela transformada de Fourier presente na Figura 1827b temos zero se ω1 ω0 as frequências periodicidades das duas funções não casam Se ao invés disso escolhermos uma função de filtro com a mesma frequência de fx a convo lução tem valores diferentes de zero em ω ω0 v a v0 2v0 v b v1 2v1 p FIGURA 1827 a Transformada de Fourier de fx cosω0t b Transformada de Fourier de hx cosω1t EPÍLOGO Retornando novamente à Equação 70 que mostra a identidade entre a função de sistema Hjω e função de transferência Gω em regime per manente senoidal podemos agora considerar a função de sistema como a relação entre o fasor de saída e o fasor de entrada Suponha que fixemos um fasor de entrada com amplitude unitária e ângulo de fase igual a zero Então o fasor de saída é Hjω Nessas condições se gravarmos a amplitude e a fase da saída em função de ω para todo ω teremos gravado a função de sistema Hjω em função de ω para todo ω Examinamos assim a resposta do sistema na condição que envolve a aplicação bem sucedida de um núme ro infinito de senoides na entrada todas com amplitude unitária e fase zero Suponhamos agora que a nossa entrada seja um único impulso unitário e olhemos para a resposta ao impulso ht A informação que examinamos é diferente daquela que acabamos de obter A transformada de Fourier do impulso unitário é uma constante igual a 1 indicando que todos os com ponentes de frequência estão presentes todos com mesmo módulo e com fase nula A resposta de nosso sistema é a soma das respostas a todos esses componentes A saída resultante poderia ser vista em um osciloscópio É evidente que a função de sistema e a função resposta ao impulso contêm informações equivalentes sobre a resposta do sistema Temos portanto dois diferentes métodos para descrever a resposta de um sistema a uma função forçante genérica uma delas é uma descrição no domínio do tempo e a outra uma descrição no domínio da frequência Tra balhando no domínio do tempo fazemos a convolução da função forçante 775 Resumo e revisão com a resposta ao impulso do sistema para obter a função resposta Como vimos quando consideramos a convolução pela primeira vez esse procedi mento pode ser interpretado como a aplicação de um contínuo de impulsos com diferentes valores em diferentes instantes de tempo na entrada a saída resultante é um contínuo de respostas ao impulso No domínio da frequência no entanto determinamos a resposta por meio da multiplicação da transformada de Fourier da função forçante pela função de sistema Neste caso interpretamos a transformada da função forçante como um espectro de frequências ou um contínuo de senoides Multiplicandoa pela função de sistema obtemos a função resposta tam bém um contínuo de senoides RESUMO E REVISÃO Seja pensando na saída como um contínuo de respostas ao impulso ou como um contínuo de respostas senoidais a linearidade da rede e o princípio da superposição nos permitem determinar a saída total de uma função tempo ral como a soma ao longo de todas as frequências a transformada inversa de Fourier ou de uma função da frequência como a soma ao longo de todo o tempo a transformada de Fourier Infelizmente ambas as técnicas acima têm limitações e dificuldades associadas a seu uso Ao usar a convolução a integral que define essa operação pode ser bem difícil de se avaliar quando funções forçantes ou respostas ao impulso complicadas estão presentes Além disso do ponto de vista experimental não podemos medir a resposta ao impulso de um siste ma porque não somos realmente capazes de gerar um impulso Mesmo se aproximássemos o impulso por um pulso estreito com amplitude elevada provavelmente levaríamos nosso sistema à saturação a um ponto fora de sua faixa de operação linear Com respeito ao domínio da frequência encontramos uma limitação absoluta no que se refere ao fato de podermos facilmente imaginar funções forçantes que gostaríamos de aplicar na teoria mas que não possuem trans formadas de Fourier Além disso se desejarmos obter a descrição da função resposta no domínio do tempo devemos avaliar uma transformada inversa de Fourier e algumas dessas inversões podem ser extremamente difíceis Finalmente nenhuma dessas técnicas oferece um método muito conve niente para o manuseio de condições iniciais Para isso a transformada de Laplace é claramente superior Os maiores benefícios derivados do uso da transformada de Fourier aparecem na abundância de informações úteis que ela fornece sobre as pro priedades espectrais de um sinal particularmente a energia ou a potência por largura de faixa Algumas dessas informações também são facilmente obtidas por meio da transformada de Laplace devemos deixar uma discus são detalhada sobre os méritos relativos de cada uma dessas técnicas para cursos mais avançados de sinais e sistemas Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 776 Então por que estivemos segurando essa informação até agora A melhor resposta é que provavelmente essas técnicas poderosas podem complicar demais a solução de problemas simples e tendem a obscurecer a interpretação física do desempenho de redes mais simples Por exemplo se estivermos interessados apenas na resposta forçada então não faz muito sentido usar a transformada de Laplace e obter as respostas natural e força da passando por uma difícil operação de transformada inversa Bem poderíamos continuar mas todas as coisas boas devem chegar a um final Boa sorte para você em seus estudos futuros f As frequências harmônicas de uma senoide com frequência funda mental ω0 são nω0 onde n é um inteiro Exemplos 181 182 f O teorema de Fourier diz que desde que uma função ft satisfaça a algumas propriedades fundamentais ela pode ser representada pela série infinita a0 Σ n1 an cos nω0t bn sen nω0t onde a0 1T T 0 ft dt an 2T T 0 ft cos nω0t dt e bn 2T T 0 ft sen nω0t dt Exemplo 181 f Uma função ft possui simetria par se ft f t f Uma função ft possui simetria ímpar se ft f t f Uma função possui simetria de meiaonda se ft f t T2 f A série de Fourier de uma função par é composta apenas por uma constante e por funções cosseno f A série de Fourier de uma função ímpar é composta apenas por funções seno f A série de Fourier de qualquer função possuindo simetria de meia onda contém apenas harmônicos ímpares f A série de Fourier de uma função também pode ser expressa na forma complexa ou exponencial onde f t n cne jnω0t e cn 1 T T 2 T 2 f te jnω0t Exemplos 183 184 f A transformada de Fourier nos permite representar funções vari áveis com o tempo no domínio da frequência de maneira simi lar à transformada de Laplace As equações que a definem são F jω e jωt f t dt e f t 1 2π e jωtF jω dω Exemplos 185 186 187 f A análise da transformada de Fourier pode ser implementada para analisar circuitos que contêm resistores indutores capacitores e ou de maneira similar ao que é feito utilizando transformadas de Laplace Exemplo 188 LEITURA COMPLEMENTAR Um tratamento de leitura bastante fácil sobre a análise de Fourier pode ser encontrado em Pinkus e S Zafrany Fourier Series and Integral Transforms Cam bridge Cambridge University Press 1997 777 Exercícios Finalmente para aqueles interessados em aprender mais sobre a pesquisa de músculos incluindo a microscopia eletrônica de tecidos um excelente tratamento pode ser encontrado em J Squire The Structural Basis of Muscular Contraction New York Plenum Press 1981 EXERCÍCIOS 181 Forma Trigonométrica da Série de Fourier 1 Determine a frequência fundamental frequência fundamental radiana e o perío do das seguintes funções a 5 sen 9t b 200 cos 70t c 4 sen 4 t 10º d 4 sen 4 t 10º 2 Desenhe gráficos considerando vários períodos do primeiro terceiro e quinto harmônicos em um mesmo diagrama para cada uma das seguintes formas de onda periódica na verdade desejase obter três gráficos separados no total a 3 sen t b 40 cos 100t c 2 cos 10t 90º 3 Calcule a0 para as seguintes funções a 4 sen 4t b 4 cos 4t c 4 cos 4t d 4 4 cos t 40º 4 Calcule a0 a1 e b1para as seguintes funções a 2 cos 3t b 3 cos 3t c 4 sen 4t 35º 5 a Calcule os coeficientes de Fourier a0 a1 a2 a3 b1 b2 e b3 para o função periódica ft 2ut 2ut 1 2ut 2 2ut 3 b Faça o gráfico de ft e a série de Fourier truncada após n 3 por 3 períodos 6 a Calcule os coeficientes de Fourier a0 a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 e b4 para a função periódica gt parcialmente esboçada na Figura 1828 b Faça o gráfico de gt juntamente com a representação da série de Fourier truncada após n 4 2 2 2 1 4 3 g t t 2 t FIGURA 1828 7 Para a forma de onda periódica ft representada na Figura 1829 calcule a1 a2 a3 e b1 b2 b3 5 10 5 0 5 10 f t t s t FIGURA 1829 8 Com relação ao gráfico da forma de onda periódica na Figura 1829 seja gnt a representação da Série de Fourier de ft truncada em n Por exemplo se Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 778 n 1 g1t tem três termos definidos por a0 a1 e b1 a Faça o gráfico de g2t g3t e g5t juntamente com ft b Calcule f25 g225 g325 e g525 9 Com relação ao gráfico da forma de onda periódica gt na Figura 1828 defina ynt a representação da Séries de Fourier truncada em n Por exemplo y2t tem cinco termos definidos por a0 a1 a2 b1 e b2 a Faça o gráfico de y3t e y5t juntamente com gt b Calcule y105 y205 y305 e g05 10 Determine as expressões para an e bn para o gt 1 se a forma de onda perió dica gt é definido como o gráfico na Figura 1828 11 Desenhe o espectro de linhas limitado aos seis maiores termos para a forma de onda mostrada na Figura 184a 12 Desenhe o espectro de linhas limitado aos cinco maiores termos para a forma de onda da Figura 184b 13 Desenhe o espectro de linhas limitado aos cinco maiores termos para a forma de onda representada no gráfico da Figura 184c 182 O Uso da Simetria 14 Informe se as funções a seguir apresentam simetria ímpar simetria par eou simetria de meia onda a 4 sen 100 t b 4 cos 100t c 4 cos4t 70º d 4 cos 100t 4 e de cada forma de onda da Figura 184 15 Determine se as funções a seguir apresentam simetria ímpar simetria par e ou simetria de meia onda a a forma de onda na Figura 1828 b gt 1 se gt é representada na Figura 1828 c gt 1 se gt é representada na Figura 1828 d a forma de onda da Figura 1829 16 A forma de onda não periódica gt é definida na Figura 1830 Usea para criar uma nova função yt de modo que yt seja idêntica a gt no intervalo de 0 t 4 e também seja caracterizada por um período t 8 e possua a simetria ímpar b simetria par c simetria par e de meia onda d simetrias impar e de meia onda t FIGURA 1830 2 0 1 3 4 5 t g t 17 Calcule a0 a1 a2 a3 e b1 b2 b3 para a forma de onda periódica vt representada na Figura 1831 t FIGURA 1831 t s 1 2 3 3 2 1 1 1 υt V 18 A forma de onda da Figura 1831 é deslocada para criar uma nova forma de onda tal que vnovot vt 1 Calcule a0 a1 a2 a3 e b1 b2 b3 19 Desenhe uma forma de onda triangular tendo uma amplitude de pico de 3 um período de 2 segundos e caracterizado por a simetria par e de meia onda b simetrias impar e de meia onda 779 Exercícios 20 Faça uso da simetria o tanto quanto possível para obter valores numéricos para a0 an e bn 1 n 10 para a forma de onda mostrada na Figura 1832 t FIGURA 1832 t ms f t 2 10 4 4 2 6 8 12 14 10 183 Resposta Completa a Funções Forçantes Periódicas 21 Para o circuito da Figura 1833a calcule vt se ist é dado pela Figura 1833b e v0 0 t FIGURA 1833 1 V 2 F is a υ t 0 10 0 p 2p is mA t s p 2 p 2 3p 2 b 22 Se a forma de onda mostrada na Figura 1834 é aplicada no circuito da Figura 188a calcule it t FIGURA 1834 t s υst V 12 0 p 10 p 10 p 5 23 O circuito da Figura 1835a é submetido à forma de onda desenhada na Figura 1835b Determine a tensão em regime permanente vt t FIGURA 1835 a 10 V is 5 mH 10 V iL υ b 01 0 2 2 01 02 03 04 iS A t s Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 780 24 Aplique a forma de onda da Figura 1836 no circuito da Figura 1835b e calcule a corrente iLt em regime permanente t FIGURA 1836 2 3 0 3 2 4 6 8 iS A t s 25 Se a forma de onda de corrente da Figura 1836 é aplicada ao circuito da Figura 1833a calcule a tensão vt em regime permanente 184 Forma Complexa da Série de Fourier 26 Seja a função vt definida conforme indicado na Figura 1810 Determine cn para a vt 05 b vt 05 27 Calcule c0 c1 e c2 para a forma de onda da Figura 1836 28 Determine os cinco primeiros termos da representação da série exponencial de Fourier da forma de onda do gráfico da Figura 1833b 29 Para a forma de onda periódica mostrada na Figura 1837 determine a o perí odo T b c0 c1 c2 e c3 t FIGURA 1837 t s 10 3 2 1 1 3 4 10 f t 2 30 Para a forma de onda periódica representada na Figura 1838 calcule a o período T b c0 c1 c2 e c3 t FIGURA 1838 100 1 2 3 4 5 6 f t t ms 31 Uma sequência de pulsos tem um período de 5 ms uma amplitude unitária em 06 t 04 ms e em 04 t 06 ms e amplitude zero no restante do inter valo de um período Essa série de pulsos poderia representar a transmissão do numero decimal 3 na forma binária em um computador digital a Determine cn b Avalie c4 c Avalie c0 d Determine cnmáx e Determine N de forma 781 Exercícios que cn 01cnmáx para todo n N f Qual é a largura de faixa necessária para se transmitir essa porção do espectro 32 Seja uma tensão periódica vst 40 V para 0 t 1 96 s e 0 para 1 96 t 1 16 s Se T 1 16 s determine a c3 b a potência fornecida à carga no circuito da Figura 1839 t FIGURA 1839 f Hz 0 15 30 45 60 Carga 1 υ0 υs v0 5 V 10 mH υs 185 Definição da Transformada de Fourier 33 Dado gt 5 1 t 1 0 outro intervalo faça o gráfico de a gt b Gjω 34 Para a função vt 2ut 2 ut 2 2 ut 4 2 ut 6 V faça o gráfico de a vt b Vjω 35 Empregue a Equação 46a para calcular Gjω se gt é a 5etut b 5tetut 36 Obtenha a transformada de Fourier Fjω do pulso triangular da Figura 1840 t FIGURA 1840 15 0 3 3 f t t 37 Determine a transformada de Fourier Fjω do pulso senoidal na forma de onda mostrada na Figura 1841 t FIGURA 1841 5 5 2 p p f t t 2 186 Algumas Propriedades da Transformada de Fourier 38 Para gt 3etut calcule a Gjω b Ag1 c Bg1 d φω Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 782 39 O pulso de tensão 2etut V é aplicado à entrada de um filtro passabanda ideal A faixa de passagem do filtro é definida por 100 f 500 Hz Calcule a energia de saída total 40 Dado que a vt 4et V calcule o intervalo de frequências na qual se tem 85 da energia de 1 Ω 41 Calcule a energia de 1 Ω associada à função ft 4te3tut 42 Use a definição da transformada de Fourier para provar os seguintes resultados onde f t F jω a f t t0 e jωt0 f t b d f t dt jω f t c f kt 1 kF jω k d f t F jω e t f t j dF jω dω 187 Pares de Transformadas de Fourier para Algumas Fun ções Temporais Simples 43 Determine a transformada de Fourier das seguintes funções a 5ut 2 sgnt b 2 cos 3t 2 c 4e j3t 4e j3t 5ut 44 Encontre a transformada de Fourier de cada uma das seguintes funções a 85ut 2 50 ut 2 b 5 δt 2cos 4t 45 Esboce de ft e Fjω se ft é dado por a 2 cos 10t b e4tut c 5 sgnt 46 Determine ft se Fjω é dada por a 4 δω b 25000 jω c e j120ω 47 Obtenha uma expressão para ft se Fjω é dada por a j 231 ω b 1 j2 1 j4 c 5δω 1 2 j10 188 A Transformada de Fourier de uma Função Temporal Periódica Genérica 48 Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções a 2 cos2 5tb 7sen 4t cos 3t c 3 sen4t 40º 49 Determine a transformada de Fourier da função periódica gt que é definida no intervalo de 0 t 10 s por gt 2ut 3 ut 4 2 ut 8 50 Se F jω 20 n 11 n 1δω 20n encontre o valor de f 005 51 Dada a forma de onda periódica mostrada na Figura 1842 determine a sua transformada de Fourier u FIGURA 1842 5 5 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 f t t s 189 A Função de Sistema e a Resposta no Domínio da Frequência 52 Se um sistema é descrito pela função de transferência ht 2ut 2 ut 1 use a convolução para o cálculo da saída no domínio do tempo se a entrada é a 2ut b 2te2t ut 783 Exercícios 53 Dada a função de entrada xt 5e5tut empregue a convolução para obter uma saída no domínio do tempo se o sistema de transferência de função ht é dada por a 3 ut 1 b 10te tut 54 a Projete um amplificador não inversor com um ganho de 10 Se o circuito é construído usando um AOP μA741 alimentado por fontes de 15 V determine a FFT da saída por meio de simulações apropriadas se a tensão de entrada opera em 1 kHz e tem amplitude de b 10 mV c 1 V d 2 V 55 a Projete um amplificador inversor com ganho de 5 Se o circuito é constru ído usando um AOP μA741 alimentado por fontes de 10 V faça simulações apropriadas para determinar a FFT da tensão de saída se a tensão de entrada tem uma frequência de 10 kHz e amplitude de b 500 mV c 18 V d 3 V 1810 Significado Físico da Função de Sistema 56 Com relação ao circuito da Figura 1843 calcule vot utilizando técnicas de Fourier se vit 2tetut V t FIGURA 1843 υot 25 V 5 H υit 57 Após o indutor da Figura 1843 ser discretamente substituído por um capacitor de 2 F calcule vot utilizando técnicas de Fourier se vit é igual a a 5ut V b 3e4tut V 58 Empregue técnicas de Fourier para calcular vCt indicado na Figura 1844 se vit é igual a a 2ut V b 2 δt V t FIGURA 1844 500 mF 2 V υC 200 mH υit 59 Empregue técnicas de Fourier para calcular vot conforme indicado na Figura 1845 se vit é igual a a 5ut V b 3 δt V 60 Empregue técnicas de Fourier para calcular vot conforme indicado na Figura 1845 se vit é igual a a 5 ut 1 V b 2 8etut V Exercícios de integração do capítulo 61 Aplique a forma de onda pulsada da Figura 1846a como a tensão de entrada vit no circuito mostrado na Figura 1844 e calcule vCt t FIGURA 1846 2 1 2 0 2 4 6 ht t a 10 5 2 0 2 4 6 x t t b p FIGURA 1845 1 V 500 mF 800 mH υot υit Capítulo 18 u Análise de Circuitos Usando Fourier 784 62 Aplique a forma de onda pulsada da Figura 1846b como a tensão de entrada vit no circuito mostrado na Figura 1844 e calcule vCt 63 Aplique a forma de onda pulsada da Figura 1846a como a tensão de entrada vit no circuito mostrado na Figura 1844 e calcule iCt definida de acordo com a convenção de sinal passivo 64 Aplique a forma de onda pulsada da Figura 1846b como a tensão de entrada vit no circuito mostrado na Figura 1845 e calcular o vt 65 Aplique a forma de onda pulsada da Figura 1846b como a tensão de entrada vit no circuito mostrado na Figura 1845 e calcular o vt Após trabalharmos com muitos problemas de circuitos ficou aos poucos evidente que muitos dos circuitos que vimos têm algo em comum pelo menos em termos do arranjo dos componentes A partir dessa constatação é possível criar uma visão mais abstrata de circuitos que denominamos topologia de rede um assunto que introdu ziremos neste apêndice A11 ÁRVORES E ANÁLISE NODAL GERAL Planejamos agora generalizar o método de análise nodal que conhecemos e amamos Já que a análise nodal é aplicável em qualquer rede não podemos prometer que esta remos aptos a resolver uma classe mais ampla de problemas de circuito Podemos no entanto desejar selecionar um método de análise nodal geral que possa resultar em menos equações e menos trabalho quando aplicado em um problema particular Devemos primeiramente estender a nossa lista de definições relacionadas à topo logia de rede Começamos definindo o próprio termo topologia como um ramo da geometria preocupado com as propriedades de uma figura geométrica que não se alteram quando a figura é torcida dobrada amassada alongada apertada ou amar rada desde que partes da figura não sejam separadas ou conectadas Uma esfera e um tetraedro são topologicamente idênticos assim como um quadrado e um círculo Em termos de circuitos elétricos então não estamos preocupados agora com os tipos particulares de elementos que nele aparecem mas apenas com a maneira na qual os ramos e os nós estão arranjados Na realidade usualmente suprimimos a natureza dos elementos e simplificamos o traçado do circuito mostrando os elementos como linhas O desenho resultante é chamado de grafo linear ou simplesmente grafo Um circuito e seu grafo são mostrados na Figura A11 Note que todos os nós são identi ficados como pontos cheios no grafo Como as propriedades topológicas do circuito ou de seu grafo não mudam quando ele é distorcido os três grafos mostrados na Figura A12 são topologicamente idênti cos ao circuito e ao grafo da Figura A11 Termos topológicos que já conhecemos e que estivemos usando corretamente são f Nó Ponto no qual dois um mais elementos têm uma conexão comum f Caminho Conjunto de elementos que podem ser atravessados ordenadamente sem que passemos duas vezes pelo mesmo nó Uma Introdução à Topologia de Rede a b p FIGURA A11 a Um circuito qualquer b O grafo linear desse circuito Apêndice 1 Apêndice 1 u Uma Introdução à Topologia de Rede 786 f Ramo Caminho único contendo um elemento simples que conecta um nó a qualquer outro nó f Laço Um caminho fechado f Malha Laço que não contém nenhum outro laço dentro de si f Circuito Planar Circuito que pode ser desenhado em uma superfície plana de forma tal que nenhum ramo passe sobre ou sob outro ramo f Circuito não planar Qualquer circuito que não seja planar Os grafos da Figura A12 contêm 12 ramos e 7 nós Três novas propriedades de um grafo linear devem ser definidas agora a árvore a coárvore e o elo Definimos uma árvore como qualquer conjunto de ramos não contendo laços que ainda assim conectem todos os nós entre si não necessariamente de forma direta Há usualmente um certo número de árvores diferentes que podem ser traçadas para uma rede e esse número cresce rapidamente à medida que a complexidade da rede aumen ta O grafo simples mostrado na Figura A13a tem oito possíveis árvores quatro delas ilustradas por meio de linhas cheias nas Figuras A13b c d e e p FIGURA A13 a O grafo linear de uma rede com três nós b c d e Quatro das oito diferentes árvores que podem ser desenhadas para esse grafo são mostradas em linhas pretas a e d c b A Figura A14a mostra um grafo mais complexo A Figura A14b mos tra uma possível árvore e as Figuras A14c e d mostram conjuntos de ramos que não são árvores por não satisfazerem à definição Após a especificação de uma árvore os ramos que não fazem parte dessa árvore formam a coárvore ou o complemento da árvore As linhas suaves nas Figuras A13b a d mostram as coárvores correspondentes às árvores marcadas em linhas cheias Desde que tenhamos entendido a construção de uma árvore e de sua coárvore o conceito de elo é muito simples pois um elo é qualquer ramo pertencente à coárvore É evidente que qualquer ramo particular pode ser ou não um elo dependendo da árvore particular selecionada O número de elos em um grafo pode ser facilmente relacionado ao número de ramos e nós Se o grafo tem N nós então exatamente N 1 p FIGURA A12 a b c Grafos lineares alternativos para o circuito da Figura A11 a c b p FIGURA A14 a Um grafo linear b Uma possível árvore para esse grafo c d Esses conjuntos de ramos não satisfazem à definição de uma árvore a d c b Seção A11 u Árvores e análise nodal geral 787 ramos são necessários para construir uma árvore porque o primeiro ramo escolhido conecta dois nós e cada ramo adicional inclui um nó a mais Logo dados B ramos o número de elos L deve ser L B N 1 ou L B N 1 1 Há L ramos na coárvore e N 1 ramos na árvore Em qualquer um dos grafos mostrados na Figura A13 notamos que 3 5 3 1 e no grafo da Figura A14b 6 10 5 1 Uma rede pode conter várias partes separadas e a Equação 1 pode ser generalizada com a troca de 1 por S onde S é o número de partes separadas No entanto também é possível conectar duas partes separadas por meio de um único condutor o que faz com que dois nós se reduzam a apenas um nó nenhuma corrente pode fluir neste único condutor Esse processo pode ser usado para conectar qualquer número de partes separadas e assim não sofremos nenhuma perda de generalidade se restringirmos a nossa atenção a circuitos nos quais S 1 Agora estamos prontos para discutir um método que nos permite escre ver um conjunto de equações nodais que sejam independentes e suficientes Esse método nos permite obter muitos conjuntos de equações diferentes para a mesma rede e todos os conjuntos são válidos Entretanto tal método não nos fornece todos os conjuntos de equações possíveis Vamos primeiro descrever o procedimento ilustrálo em três exemplos e então apontar o porquê de as equações serem independentes e suficientes Dada uma rede devemos 1 Desenhar um grafo e então identificar uma árvore 2 Colocar todas as fontes de tensão na árvore 3 Colocar todas as fontes de corrente na coárvore 4 Colocar na árvore todos os ramos que forneçam variáveis de con trole para fontes dependentes controladas por tensão se possível 5 Colocar na coárvore todos os ramos que forneçam variáveis de controle para fontes dependentes controladas por corrente se possível Esses quatro últimos passos efetivamente associam tensões à árvore e correntes à coárvore Agora atribuímos uma variável de tensão com seu par de sinais mais e menos a cada um dos N 1 ramos da árvore A um ramo contendo uma fonte de tensão dependente ou independente devemos atribuir a tensão da fonte a um ramo contendo uma tensão de controle devemos atribuir a tensão de controle O número de novas variáveis que introduzimos é portanto igual ao número de ramos da árvore N 1 que pode ser reduzido pelo número de fontes de tensão presentes na árvore e também pelo número de tensões de controle que conseguimos posicionar em seu interior No Exemplo A13 veremos que o número de novas variáveis necessárias pode ser nulo Apêndice 1 u Uma Introdução à Topologia de Rede 788 De posse de um conjunto de variáveis precisamos agora escrever um conjunto de equações que sejam suficientes para determinar essas variáveis As equações são especificadas com a aplicação da LKC Fontes de tensão são consideradas da mesma forma como quando fizemos nossas primeiras investidas usando a análise nodal cada fonte de tensão e os dois nós em seus terminais constituem um supernó ou parte de um supernó A lei de Kirchhoff das correntes é então aplicada em todos os nós e supernós rema nescentes exceto um Igualamos a zero a soma das correntes que deixam o nó através dos ramos a ele conectados Cada corrente é expressa em termos das variáveis de tensão que acabamos de assinalar Um nó pode ser igno rado da mesma forma que fizemos anteriormente com o nó de referência Finalmente nos casos onde houver fontes dependentes controladas por corrente devemos escrever uma equação para cada corrente de controle de forma a relacionála às variáveis de tensão isso também não difere do procedimento usado anteriormente na análise nodal Vamos testar esse processo no circuito mostrado na Figura A15a Ele contém quatro nós e cinco ramos e seu grafo é mostrado na Figura A15b Determine o valor de vx no circuito da Figura A15a p FIGURA A15 a Circuito usado como exemplo para a análise nodal geral b O grafo do circuito dado c A fonte de tensão e a tensão de controle são colocadas na árvore enquanto a fonte de corrente vai para a coárvore d A árvore é completada e uma tensão é atribuída a cada um dos ramos υx 14 a 4 V 15 V 8 V 100 V υx d υx υ1 100 V c b De acordo com os passos 2 e 3 do procedimento do traçado de árvores colocamos a fonte de tensão na árvore e a fonte de corrente na coárvore Seguindo o passo 4 vemos que o ramo vx também pode ser colocado na árvo re já que ele não forma qualquer laço que possa violar a definição de uma árvore Chegamos agora aos dois ramos de árvore e ao único elo mostrados na Figura A15c e vemos que ainda não temos uma árvore pois o nó da direita não está conectado aos demais nós por um caminho através dos ramos da árvore A única maneira possível de completar a árvore é mostrada na Figura A15d A fonte de 100 V a tensão de controle vx e uma nova variável v1 são em seguida atribuídas aos três ramos da árvore como mostrado u EXEMPLO A11 Seção A11 u Árvores e análise nodal geral 789 Temos portanto duas incógnitas vx e v1 e precisamos obter duas equações em termos delas Há quatro nós mas a presença da fonte de tensão faz com que dois deles formem um supernó A lei de Kirchhoff das correntes pode ser aplicada em quaisquer dois dos três nós ou supernós remanescentes Vamos atacar o nó da direita primeiro A corrente saindo para a esquerda é v115 enquanto aquela saindo para baixo é vx14 Logo nossa primeira equação é υ1 15 υx 14 0 O nó central na parte de cima do circuito parece mais fácil de se trabalhar do que o supernó e assim igualamos a zero a soma das correntes para a esquerda vx8 para a direita v115 e para baixo através do resistor de 4 Ω Essa últi ma corrente é dada pela divisão da tensão nos terminais do resistor por 4 Ω mas não há tensão identificada para esse elo Entretanto quando uma árvore é construída de acordo com a definição sempre há um caminho passando por ela que conecte ambos os nós de um elo Então como cada ramo da árvore tem a si associada uma tensão podemos expressar a tensão em qualquer elo em termos das tensões nos ramos das árvores Essa corrente para baixo é portanto vx 1004 e temos a segunda equação υx 8 υ1 15 υx 100 4 0 A solução simultânea dessas duas equações nodais fornece υ1 60 V υx 56 V Determine os valores de vx e vy no circuito da Figura A16a p FIGURA A16 a Um circuito com 5 nós b Uma árvore é escolhida de forma que ambas as fontes de tensão e ambas as tensões de controle sejam ramos da árvore a υx υy 1 V 1 S 1 S 2 S 2 S 2 A 4υy 2υx b υx υy 1 V 4υy Desenhamos uma árvore de forma que ambas as fontes de tensão e ambas as tensões de controle apareçam como tensões de ramo de árvore e portanto como variáveis atribuídas Como pode ser visto na Figura A16b esses quatro ramos constituem uma árvore e tensões de ramo de árvore vx 1 vy e 4vy são escolhidas Ambas as fontes de tensão definem supernós e aplicamos a LKC duas vezes uma no nó de cima u EXEMPLO A12 Apêndice 1 u Uma Introdução à Topologia de Rede 790 2υx 1υx υy 4υy 2 e a outra no supernó formado pelo nó da direita o nó de baixo e a fonte de tensão dependente 1υy 2υy 1 14υy υy υx 2υx Ao invés das quatro equações que esperaríamos usando as técnicas estuda das previamente temos apenas duas e obtemos facilmente υx 26 9 V e υy 4 3 V Determine o valor de vx no circuito da Figura A17a As duas fontes de tensão e a tensão de controle estabelecem a árvore com três ramos mostrada na Figura A17b Como os dois nós de cima e o nó inferior direito se juntam para formar um supernó precisamos escrever apenas uma equação LKC Selecionando o nó esquerdo inferior temos 1 υx 4 3 υx 30 6υx 5 0 e daí segue que υx 32 3 V A despeito da aparente complexidade desse circuito o uso da análise nodal geral levou a uma solução fácil O emprego de correntes de malha ou de tensões nodais requereria mais equações e um esforço maior Discutimos na próxima seção o problema de encontrar o melhor esque ma de análise Se precisássemos saber alguma outra tensão corrente ou potência no exemplo anterior um passo adicional levaria à resposta Por exemplo a potência fornecida pela fonte de 3 A é 3 30 32 3 122 W Vamos concluir discutindo a suficiência do conjunto de tensões de ramo de árvore assumido e a independência das equações nodais Se essas tensões de ramo de árvore são suficientes então deve ser possível obter a tensão de cada ramo pertencente à árvore ou à coárvore a partir do conhecimento dos valores de todas as tensões de ramo de árvore Isso é certamente verdadeiro para os ramos pertencentes à árvore Sabemos que os elos se estendem entre dois nós e por definição a árvore também deve conectar esses dois nós Portanto toda tensão em um elo também pode ser estabelecida em termos de tensões de ramos de árvore Uma vez que conheçamos a tensão em cada ramo do circuito então todas as correntes podem ser obtidas com o uso do valor dado de corrente se o ramo consistir em uma fonte de corrente ou com o uso da lei de Ohm se ele for um ramo resistivo ou com o uso da LKT e desses valores de cor rente se por acaso o ramo for uma fonte de tensão Logo todas as tensões e correntes são determinadas e a suficiência é demonstrada u EXEMPLO A13 p FIGURA A17 a Um circuito para o qual apenas uma equação nodal geral precisa ser escrita b A árvore e as tensões de ramo de árvore usadas υx a 5 V 4 V 30 V 1 A 2 A 3 A 6υx υx b 6υx 30 V Seção A12 u Elos e análise de laço 791 Para demonstrar a independência vamos nos satisfazer assumindo a situa ção onde as únicas fontes na rede são fontes de corrente independentes Como notamos anteriormente a presença no circuito de fontes de tensão independen tes resulta em um menor número de equações enquanto fontes dependentes usualmente demandam um maior número de equações Com apenas fontes de corrente independentes haverá precisamente N 1 equações nodais escri tas em termos de N 1 tensões de ramo de árvore Para mostrar que essas N 1 equações são independentes visualize a aplicação da LKC aos N 1 diferentes nós Cada vez que escrevermos uma equação LKC haverá um novo ramo de árvore envolvido que conecta aquele nó ao restante da árvore Como esse elemento de circuito não terá aparecido em nenhuma equação prévia devemos obter uma equação independente Isso é verdadeiro para cada um dos N 1 nós e portanto temos N 1 equações independentes u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO A11 a Quantas árvores podem ser construídas para o circuito da Figura A18 seguindo todas as cinco sugestões listadas anteriormente para o traçado de árvores b Desenhe uma árvore adequada escreva duas equações com duas incógnitas e determine i3 c Qual é a potência fornecida pela fonte dependente t FIGURA A18 i3 12 V 8 V 5 V 9 A 25 V Resposta 1 72 A 547 W A12 ELOS E ANÁLISE DE LAÇO Consideramos agora o uso de uma árvore para obter um conjunto adequado de equações de laço Em alguns aspectos este é o dual do método de escrita de equações nodais Deve ser frisado novamente que embora possamos garantir que qualquer conjunto de equações que escrevamos seja suficiente e independente não devemos esperar que esse método leve diretamente a todos os conjuntos de equações possíveis Começamos novamente construindo uma árvore e usamos o mesmo conjunto de regras que usamos na análise nodal geral O objetivo da análise nodal ou da análise de laço é colocar as tensões na árvore e as correntes na coárvore esta é uma regra obrigatória paras as fontes e desejável para as grandezas controladoras Agora no entanto ao invés de atribuir uma tensão a cada ramo da árvore atribuímos uma corrente incluindo a seta de referência é claro a cada elemento da coárvore ou a cada elo Se houver 10 elos vamos atribuir exatamente 10 correntes de elo A qualquer elo que contiver uma Apêndice 1 u Uma Introdução à Topologia de Rede 792 fonte de corrente atribuímos a corrente da fonte Note que cada corrente de elo também pode ser pensada como se fosse uma corrente de laço pois o elo deve se estender entre dois nós específicos e também deve haver um caminho entre aqueles mesmos dois nós passando pela árvore Logo a cada elo existe associado um único laço específico que inclui aquele elo e um caminho único através da árvore É evidente que a corrente atribuída pode ser pensada como uma corrente de laço ou como uma corrente de elo A conotação do elo é mais útil na hora em que as correntes estão sendo defi nidas pois devese atribuir uma delas a cada elo a interpretação do laço é mais conveniente na hora de escrever as equações porque aplicaremos a LKT em torno de cada laço Vamos testar esse processo de definição de correntes de elo conside rando o circuito mostrado na Figura A19a A árvore selecionada é uma das várias árvores que poderiam ser construídas nas quais a fonte de tensão está localizada em um ramo de árvore e a fonte de corrente está em um elo Vamos considerar primeiro o elo contendo a fonte de corrente O laço associado a esse elo está na malha da esquerda e então mostramos nossa corrente de elo fluindo no perímetro dessa malha Figura A19b Uma escolha óbvia para o símbolo dessa corrente de elo é 7A Lembrese que nenhuma outra corrente pode fluir nesse elo específico e portanto o seu valor deve ser exatamente a amplitude da fonte de corrente p FIGURA A19 a Um circuito simples b Escolhese uma árvore de forma tal que a fonte de corrente esteja em um elo e a fonte de tensão esteja no ramo de uma árvore a 2 V 1 V 1 V 2 V 3 V 7 V 7 A b 7 A iB iA Voltamos agora a nossa atenção ao elo contendo o resistor de 3 Ω O laço associado a esse elo é a malha superior da direita e essa corrente de laço ou de malha é definida como iA e também mostrada na Figura A19b O último elo é o resistor de 1 Ω na parte de baixo do circuito e o único caminho entre os seus terminais passando pela árvore é o perímetro do circuito A corrente de elo é chamada de iB e a seta indicando o seu caminho e a direção de refe rência aparece na Figura A19b Ela não é uma corrente de malha Note que cada elo possui apenas uma corrente mas um ramo de árvore pode conter de 1 ao número total de correntes de elo atribuídas O uso de setas longas quase fechadas indicando os laços ajuda a destacar qual cor rente de laço flui através de que árvore e qual é a sua direção de referência Seção A12 u Elos e análise de laço 793 Uma equação LKT deve agora ser escrita para cada um desses laços As variáveis usadas são as correntes de elo atribuídas Como a tensão nos terminais de uma fonte de corrente não pode ser expressa em termos da corrente da fonte e como já usamos o valor da corrente da fonte como uma corrente de elo descartamos qualquer laço contendo fontes de corrente Para o exemplo da Figura A19 determine os valores de iA e iB Primeiro atravessamos o laço iA no sentido horário partindo do canto inferior esquerdo A corrente seguindo o nosso caminho no resistor é iA 7 no elemento de 2 Ω é iA iB e no elo é simplesmente iB Logo 1iA 7 2i A iB 3iA 0 Para o elo iB o percurso no sentido horário partindo do canto inferior esquer do leva a 7 2i A iB 1iB 0 A travessia do laço definido pelo elo de 7 A não é necessária Resolvendo temos iA 05 A e iB 2 A novamente A solução foi obtida com uma equa ção a menos do que antes Avalie i1 no circuito mostrado na Figura A110a p FIGURA A110 a Um circuito no qual a corrente i1 pode ser encontrada com uma equação usandose a análise de laço geral b A única árvore que satisfaz às regras apresentadas na Seção A11 c As três correntes de elo são mostradas com os seus laços i1 a 5 V 2 V 4 V 19 V 30 V 25 V 4 A 15i1 4 A i1 c 15i1 b u EXEMPLO A14 u EXEMPLO A15 Apêndice 1 u Uma Introdução à Topologia de Rede 794 Esse circuito contém seis nós e sua árvore deve ter cinco ramos Como há oito elementos na rede existem três elos na coárvore Se colocarmos as três fontes de tensão na árvore e as duas fontes de corrente e a corrente de controle na coárvore somos levados à árvore mostrada na Figura A110b A fonte de corrente de 4 A define um laço como mostra a Figura A110c A fonte depen dente estabelece a corrente de laço 15i1 em torno da malha da direita e a corrente de controle i1 nos dá a corrente de laço restante em torno do períme tro do circuito Note que todas as três correntes passam pelo resistor de 4 Ω Temos apenas uma grandeza desconhecida i1 e após descartar os laços definidos pelas duas fontes de corrente aplicamos a LKT na parte de fora do circuito 30 5 i1 19 2 i1 4 4 i1 4 15i1 25 0 Além das três fontes de tensão há três resistores nesse laço O resistor de 5 Ω tem apenas uma corrente de laço passando por ele por também ser um elo o resistor de 2 Ω contém duas correntes de laço o resistor de 4 Ω tem três Um conjunto cuidadosamente desenhado de correntes de laço é neces sário se quisermos evitar erros como o esquecimento de correntes o uso de correntes a mais ou o emprego da direção errada para as correntes A equação acima é garantida contudo e leva a i1 12 A Como poderíamos demonstrar a suficiência Visualizemos uma árvore Ela não contém laços e portanto contém pelo menos dois nós a cada um dos quais pelo menos um ramo de árvore está conectado A corrente em cada um desses dois ramos é facilmente determinada a partir das correntes de elo conhecidas aplicandose a LKC Se há outros nós aos quais apenas um ramo de árvore está conectado essas correntes de ramo de árvore também podem ser imediatamente obtidas Na árvore mostrada na Figura A111 determinamos portanto as correntes nos ramos a b c e d Agora nos movemos ao longo dos ramos da árvore obtendo as correntes nos ramos e e f o processo pode continuar até que todas as correntes de ramo sejam determinadas As correntes de elo são portanto suficientes para determinar todas as correntes de ramo É útil olhar para a situação onde uma árvore tiver sido desenhada incorretamente contendo um laço Mesmo se todas as correntes de elo fossem nulas uma corrente poderia ainda assim circular nesse laço de árvore Portanto as correntes de elo não poderiam deter minar essa corrente e elas não representariam um conjunto suficiente Tal árvore é por definição impossível Para demonstrar a independência satisfaçamonos assumindo a situ ação onde as únicas fontes na rede são fontes de tensão independentes Como notamos anteriormente a presença de fontes de corrente independen tes no circuito resulta em um menor número de equações enquanto fontes dependentes usualmente demandam mais equações Se apenas fontes de tensão estiverem presentes então haverá precisamente B N 1 equações de laço escritas em termos das B N 1 correntes de elo Para mostrar que essas B N 1 equações de elo são independentes basta dizer que cada uma delas representa a aplicação da LKT em torno de um laço que p FIGURA A111 Árvore usada como exemplo para ilustrar a suficiência das correntes de elo a e d g c f b Seção A12 u Elos e análise de laço 795 contém um elo não aparecendo em qualquer outra equação Poderíamos visualizar uma diferente resistência R1 R2 RBN1 em cada um desses elos e então fica claro que uma equação nunca poderia ser obtida a partir das outras já que cada uma delas contém um coeficiente que não aparece nas demais Portanto as correntes de elo são suficientes para permitir a obtenção de uma solução completa e o conjunto de equações de laço que usamos para obter as correntes de elo é um conjunto de equações independentes Tendo visto a análise nodal geral e a análise de laço geral devemos agora considerar as vantagens e desvantagens de cada método para que possamos fazer uma escolha inteligente do plano de ataque a ser empregado em um dado problema de análise O método nodal requer em geral N 1 equações mas esse número se reduz em 1 para cada fonte de tensão independente ou dependente presente em um ramo de árvore e aumenta em 1 para cada fonte dependente contro lada por tensão cuja variável de controle é uma tensão de elo ou para cada fonte dependente controlada por corrente O método do laço envolve basicamente B N 1 equações Entre tanto cada fonte de corrente independente ou dependente presente em um elo reduz esse número em 1 enquanto cada fonte dependente controlada por corrente cuja variável de controle é uma corrente de ramo de árvore aumenta esse número em 1 o mesmo ocorrendo com fontes controladas por tensão Como um grand finale para essa discussão vamos inspecionar o mode lo de circuito equivalente T mostrado na Figura A112 ao qual está conec tada uma fonte de tensão senoidal 4 sen 1000t mV e uma carga de 10 kΩ Determine a corrente de entrada emissor ie e a tensão vL na carga no circuito da Figura A112 assumindo valores típicos para a resistência de emissor re 50 Ω a resistência de base rb 500 Ω a resistência de coletor rc 20 kΩ e a razão de transferência direta de corrente na configuração base comum α 099 p FIGURA A112 Uma fonte de tensão senoidal e uma carga de 10 kΩ são conectadas ao circuito equivalente T de um transistor A conexão comum entre a entrada e a saída é o terminal de base do transistor e o arranjo é chamado de configuração base comum υL υs 4 sen 1000t mV ie aie Coletor Emissor Base 10 kV rb re rc u EXEMPLO A16 Apêndice 1 u Uma Introdução à Topologia de Rede 796 Embora os detalhes sejam requisitados nos exercícios de fixação a seguir podemos ver prontamente que a análise desse circuito poderia ser feita com o desenho de árvores demandando três equações nodais gerais N 1 1 1 ou duas equações de laço B N 1 1 Também podemos notar que seriam necessárias três equações em termos de tensões nodais bem como três equa ções de malha Independentemente do método escolhido obtêmse estes resultados para este circuito específico ie 1842 sen 1000t μA υL 1226 sen 1000t mV e portanto vemos que esse circuito transistor fornece um ganho de tensão vLvs de 306 um ganho de corrente vL10000ie de 0666 e um ganho de potên cia igual ao produto 3060666 204 Ganhos mais elevados poderiam ser assegurados com a operação desse transistor na configuração emissor comum u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO A12 Desenhe uma árvore adequada e use a análise de laço geral para deter minar i10 no circuito da a Figura A113a escrevendo apenas uma equação com i10 como variável b Figura A113b escrevendo apenas duas equações com i10 e i3 como variáveis p FIGURA A113 i10 a 2 kV 10 kV 20 kV 5 kV 5 mA 04i10 i10 i3 20 V 4 V 6 V 24 V 10 V 2 A 100 V b 3i3 A13 No circuito equivalente do amplificador transistorizado mostrado na Figura A112 assuma re 50 Ω rb 500 Ω rc 20 kΩ e α 099 e determine ie e vL desenhando uma árvore adequada e usando a duas equações de laço b três equações nodais com um nó comum de refe rência para a tensão c três equações nodais sem um nó comum de referência A14 Determine circuitos equivalentes de Thévenin e de Norton vistos pela carga de 10 kΩ na Figura A112 obtendo a o valor de circuito aberto de vL b a corrente de curtocircuito para baixo c a resistência equivalente de Thévenin Todos os valores do circuito são dados no Exercício de Fixação A13 Repostas A12 400 mA 469 A A13 1842 sen 1000t μA 1226 sen 1000t mV A14 1476 sen 1000t mV 722 sen 1000t μA 205 kΩ Considere o simples sistema de equações 7υ1 3υ2 4υ3 11 1 3υ1 6υ2 2υ3 3 2 4υ1 2υ2 11υ3 25 3 Esse conjunto de equações poderia ser resolvido pela eliminação sistemática de variáveis Tal procedimento é demorado no entanto e pode nunca levar a respostas se for feito de forma não sistemática para um número maior de equações simultâne as Felizmente temos muitas opções disponíveis algumas das quais vamos explorar neste capítulo A21 A CALCULADORA CIENTÍFICA Talvez a abordagem mais simples quando nos deparamos com um sistema de equa ções como as Equações de 1 a 3 nas quais temos coeficientes numéricos e esta mos interessados apenas nos valores específicos das incógnitas ao invés de relações algébricas seja empregar qualquer uma das várias calculadoras científicas disponí veis no mercado Por exemplo em uma Texas Instruments TI84 podemos empregar o Localizador das raízes de polinômios e simultaneamente Resolver Equação pode ser necessário instalar o aplicativo usando TI ConnectTM Pressionando a tecla APPS e movimentando para baixo localize o aplicativo chamado PLYSmlt2 Executando e prosseguindo após a tela de boas vindas mostra o Menu Principal da Figura A21a Selecionando o segundo item do menu resultará na tela mostrada na Figura A21b onde nós escolhemos três equações em três incógnitas Após pressionar NEXT nos é apresentada um tela semelhante à mostrada na Figura A21c Depois que terminar de digitar todos os coeficientes pressionando o botão SOLVE abrirá a tela Solution representada na Figura A21d Se não é revelado o nome das variáveis é necessário uma rápida conversão mental para realizar X1 v1 X2 v2 etc Devese notar que cada calculadora capaz de resolver equações simultâneas tem seu próprio procedimento para inserir as informações exigidas portanto é bom não jogar fora nada como Manual do Proprietário ou de Instruções não importando quão tentador tal ação poderia ser Solução de Equações Simultâneas Apêndice 2 Apêndice 2 u Solução de Equações Simultâneas 798 A22 MATRIZES Uma outra abordagem poderosa para a solução de um sistema de equações se baseia no conceito de matrizes Considere as Equações 1 2 e 3 O arranjo dos coeficientes constantes das equações G C 7 3 4 3 6 2 4 2 11 S é chamado de matriz o símbolo G foi selecionado já que cada elemento da matriz é um valor de condutância Uma matriz não tem um valor ela é meramente um arranjo de elementos Usamos uma letra em negrito para representar uma matriz e delimitamos os seus elementos usando colchetes Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de matriz m n pronunciase m por n Logo A 2 0 5 1 6 3 é uma matriz 2 3 e a matriz G de nosso exemplo é uma matriz 3 3 Uma matriz n n é uma matriz quadrada de ordem n Uma matriz m 1 é chamada de matriz coluna ou vetor Logo V V1 V2 é uma matriz coluna 2 1 de tensões fasoriais e I I1 I2 é uma matriz coluna 2 1 de correntes fasoriais Uma matriz 1 n é conhecida como vetor linha Duas matrizes m n são iguais se os seus elementos corresponden tes forem iguais Logo se ajk é o elemento de A localizado na linha j e p FIGURA A21 Sequência de telas para resolver as equações de 1 a 3 utilizando uma TI84 que executa a aplicação Simultaneuous Equation Solver a b c d Seção A22 u Matrizes 799 na coluna k e bjk é o elemento na linha j e na coluna k da matriz B então A B se e somente se ajk bjk para todo 1 j m e 1 k n Logo se V1 V2 z11I1 z12I2 z21I1 z22I2 then V1 z11I1 z12I2 and V2 z21I1 z22I2 então V1 z11I1 z12I2 e V2 z21I1 z22I2 Duas matrizes m n podem ser somadas com a adição dos elementos correspondentes Logo 2 0 5 1 6 3 1 2 3 3 2 1 3 2 8 4 4 2 Vamos agora considerar o produto matricial AB onde A é uma matriz m n e B é uma matriz p q Se n p dizemos que as matrizes são conformais e seu produto existe Isto é a multiplicação matricial é definida apenas para o caso onde o número de colunas da primeira matriz do produto for igual ao número de linhas da segunda matriz A definição formal da multiplicação matricial diz que o produto da matriz A m n e da matriz B n q é uma matriz m q tendo elemen tos cjk 1 j m e 1 k q onde cjk aj1b1k aj2b2k ajnbnk Isto é para obter o elemento na segunda linha e na terceira coluna do produto multiplicamos cada um dos elementos na segunda linha de A pelo elemento correspondente na terceira coluna de B e então somamos os n resultados Por exemplo dada a matriz A 2 3 e a matriz B 3 2 a11 a12 a13 a21 a22 a23 C b11 b12 b21 b22 b31 b32 S a11b11 a12b21 a13b31 a11b12 a12b22 a13b32 a21b11 a22b21 a23b31 a21b12 a22b22 a23b32 O resultado é uma matriz 2 2 Como um exemplo numérico da multiplicação matricial temos 3 2 1 2 2 4 C 2 3 2 1 4 3 S 6 4 16 16 where 6 32 2 2 14 4 33 2 1 1 3 and so forth onde 6 32 22 14 4 33 21 13 e assim por diante A multiplicação matricial não é comutativa Por exemplo dadas a matriz C 3 2 e a matriz D 2 1 é evidente que o produto CD pode ser calculado mas o produto DC nem sequer é definido Como um exemplo final seja tA 2 3 1 4 e tB 3 1 5 0 Apêndice 2 u Solução de Equações Simultâneas 800 de forma que tAtB e tBtA sejam definidos Contudo tAtB 21 2 17 1 enquanto tBtA 5 13 10 15 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO A21 Dadas as matrizes 1 3 3 5 B 4 1 2 3 C 50 30 e V V1 V2 obtenha a A B b AB c BA d AV BC e A2 AA Resposta Ans 5 4 1 8 10 10 2 12 1 17 7 21 V1 3V2 170 3V1 5V2 10 8 18 18 16 A23 INVERSÃO DE MATRIZES Se escrevermos nosso sistema de equações usando a notação matricial C 7 3 4 3 6 2 4 2 11 S C υ1 υ2 υ3 S C 11 3 25 S 4 podemos resolver para o vetor de tensões multiplicando ambos os lados da Equação 4 pela inversa de nossa matriz G G 1 C 7 3 4 3 6 2 4 2 11 S C υ1 υ2 υ3 S G 1 C 11 3 25 S 5 Esse procedimento faz uso da identidade G1G I onde I é a matriz identidade uma matriz quadrada com o mesmo tamanho de G composta por zeros exceto na diagonal Cada elemento da diagonal de uma matriz identidade é igual a 1 Assim a Equação 5 se torna C 1 0 0 0 1 0 0 0 1 S C υ1 υ2 υ3 S G 1 C 11 3 25 S que pode ser simplificada para C υ1 υ2 υ3 S G 1 C 11 3 25 S pois a multiplicação da matriz identidade por qualquer vetor é simplesmen te igual a esse vetor a prova é deixada para o leitor como um exercício de 30 s A solução de nosso sistema de equações foi portanto transformada no problema de se obter a matriz inversa de G Muitas calculadoras científicas permitem a manipulação de álgebra matricial Seção A24 u Determinantes 801 Voltando para a TI84 pressionamos 2ND e MATRIX para obter a tela mostrada na Figura A22a Rolando horizontalmente para EDIT pressio ne a tecla ENTER e selecione uma matriz 3 3 resultando em uma tela semelhante à mostrada na Figura A22b Assim que terminar de digitar a matriz pressionamos 2ND e QUIT Voltando ao editor MATRIX criamos um vetor 3 1 chamado B como mostrado na Figura A22c Estamos agora finalmente prontos para resolver o vetor solução Pressionando 2ND e MATRIX sob NAMES que selecionamos A e pressione ENTER seguido pela tecla x1 Em seguida selecione B da mesma maneira que poderíamos ter pressionado a tecla de multiplicação no meio mas não é necessário O resultado do cálculo é a mostrada na Figura A22d e concorda com o nosso exercício anterior A24 DETERMINANTES Embora uma matriz não possua ela mesma um valor o determinante de uma matriz quadrada tem um valor Para sermos precisos poderíamos dizer que o determinante de uma matriz é um valor mas o uso comum nos per mite falar tanto da própria matriz quanto de seu valor como o determinante Vamos simbolizar um determinante pela letra D e empregar um subscrito adequado para denotar a matriz à qual o determinante se refere Logo G 7 3 4 3 6 2 4 2 11 Note que linhas simples verticais são usadas para envolver o determinante O valor de qualquer determinante é obtido com a sua expansão em menores complementares Para fazer isso selecionamos qualquer linha j ou coluna k multiplicamos cada elemento daquela linha ou coluna por seu menor complementar e por 1jk e então somamos os produtos O menor complementar do elemento que aparece na linha j e na coluna k é o determinante obtido quando a linha j e a coluna k são removidas ele é indicado por Δjk p FIGURA A22 Sequência de telas para solução de matriz a tela de editor de matriz b inserindo os termos c criando o lado direito do vetor d resolvendo a equação matricial a b c d Apêndice 2 u Solução de Equações Simultâneas 802 Como um exemplo vamos expandir o determinante DG ao longo da colu na 3 Primeiro multiplicamos o 4 no topo dessa coluna por 113 1 e então por seu menor complementar 4 11 3 3 6 4 2 e então repetimos para os outros elementos na coluna 3 somando os resultados 4 3 6 4 2 2 7 3 4 2 11 7 3 3 6 Os menores contêm apenas duas linhas e duas colunas Eles são de ordem 2 e seus valores são facilmente determinados com uma nova expan são em menores neste caso uma operação trivial Logo para o primeiro determinante expandimos ao longo da primeira coluna multiplicando 3 por 111 e seu menor que é meramente o elemento 2 e então multi plicando 4 por 121 e por 6 Logo 3 6 4 2 3 2 4 6 30 É usualmente mais fácil lembrar o resultado para um determinante de segunda ordem como a esquerda de cima multiplicada pela direita de baixo menos a direita de cima vezes a esquerda de baixo Finalmente G 4 3 2 6 4 27 2 3 4 1176 3 3 430 2 26 1133 191 Para praticar vamos expandir esse mesmo determinante ao longo da primeira linha G 7 6 2 2 11 3 3 2 4 11 4 3 6 4 2 762 3 41 430 191 A expansão por menores complementares é válida para determinantes de qualquer ordem Repetindo essas regras para avaliar o determinante em termos mais gerais diríamos que dada a matriz a a C a11 a12 a1N a21 a22 a2N aN1 aN2 aN N S o termo Da poderia ser obtido pela expansão em termos de menores com plementares ao longo de qualquer coluna j Seção A25 u Regra de Cramer 803 a aj1 1 j 1 j1 aj2 1 j 2 j2 aj N 1 j N j N N n 1 ajn 1 j n jn ou ao longo de qualquer coluna k a a1k 11 k 1k a2k 12 k 2k aNk 1N k Nk N n 1 ank 1n k nk O cofator Cjk do elemento que aparece na linha j e na coluna k é sim plesmente 1jk vezes o menor complementar Djk Logo C11 D11 mas C12 D12 Podemos agora escrever a N n 1 ajnCjn N n 1 ankCnk Como exemplo vamos considerar este determinante de quarta ordem 2 1 2 0 1 4 2 3 2 1 5 1 0 3 3 2 Obtemos 11 4 2 3 1 5 1 3 3 2 410 3 14 9 3 2 15 26 12 1 2 3 2 5 1 0 3 2 110 3 24 9 0 13 e C11 26 enquanto C12 13 Determinando o valor de D para praticar temos 2C11 1C12 2C13 0 226 1 13 23 0 59 A25 REGRA DE CRAMER Consideramos agora a regra de Cramer que nos permite obter os valores das variáveis desconhecidas Ela também é útil na resolução de sistemas de equações onde os coeficientes numéricos ainda não tenham sido especifica dos o que confunde as nossas calculadoras Vamos considerar novamente as Equações 1 2 e 3 definimos o determinante D1 como aquele que é obtido quando a primeira coluna de DG é substituída pelas três constantes nos lados direitos das três equações Logo 1 11 3 4 3 6 2 25 2 11 Apêndice 2 u Solução de Equações Simultâneas 804 Expandimos ao longo da primeira coluna 1 11 6 2 2 11 3 3 4 2 11 25 3 4 6 2 682 123 750 191 A regra de Cramer diz então que υ1 1 G 191 191 1 V e υ2 2 G 7 11 4 3 3 2 4 25 11 581 63 136 191 2 V e finalmente υ3 3 G 7 3 11 3 6 3 4 2 25 1092 291 228 191 3 V A regra de Cramer pode ser aplicada em sistemas com N equações line ares simultâneas e N incógnitas para a iésima variável vi υi i G u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO A22 Avalie a 2 3 2 5 b 1 1 0 4 2 3 3 2 5 c 2 3 1 5 3 1 1 0 0 4 2 3 6 3 2 5 d Determine i2 se 5i1 2i2 i3 100 2i1 6i2 3i3 i4 0 i1 3i2 4i3 i4 0 e i2 i3 0 Resposta 4 33 411 1266 Aqui provamos o teorema de Thévenin na mesma forma na qual ele é enunciado na Seção 53 do Cap 5 Dado qualquer circuito linear rearranjeo na forma de duas redes A e B conectadas por dois fios Defina uma tensão vca como a tensão de circuito aberto que aparece nos terminais de A quando B está desconectada Então todas as correntes e tensões em B permanecerão inalteradas se todas as fontes de tensão e corrente independentes em A forem mortas ou zeradas e uma fonte de tensão independente vca for conectada com polaridade apropriada em série com a rede A morta inativa Vamos efetivar a nossa prova mostrando que a rede A original e o equivalente de Thévenin da rede A fazem com que a mesma corrente flua nos terminais da rede B Se as correntes são as mesmas então as tensões devem ser as mesmas em outras palavras se aplicamos uma certa corrente na qual poderíamos pensar como sendo uma fonte de corrente na rede B então a fonte de corrente e a rede B constituem um circuito que tem uma tensão de entrada específica como resposta Assim a corrente determina a tensão Alternativamente poderíamos se desejássemos mostrar que a tensão terminal em B não é alterada porque a tensão também determina unicamente a corrente Se a tensão de entrada e a corrente que entra na rede B não se alteram então sucede que as correntes e tensões no interior da rede B também não se alteram Vamos primeiro provar o teorema para uma rede B passiva sem fontes indepen dentes Após concluir esse passo poderemos usar o princípio da superposição para estender o teorema de forma a incluir redes B que também contenham fontes inde pendentes Cada rede pode conter fontes dependentes desde que as suas variáveis de controle estejam na mesma rede Uma Prova do Teorema de Thévenin Apêndice 3 A inativa i c υx υca A B sem fontes indepen dentes B sem fontes indepen dentes B sem fontes indepen dentes i a υca A 0 b υx p FIGURA A31 a Uma rede A genérica e uma rede B que não contém fontes independentes Variáveis de controle para fontes dependentes devem aparecer na mesma parte da rede b A fonte de Thévenin é inserida no circuito e ajustada até que i 0 Nenhuma tensão aparece nos terminais de B e portanto vx vca A fonte de Thévenin produz uma corrente i enquanto a rede A fornece i c A fonte de Thévenin é invertida e a rede A é desativada Apêndice 3 u Uma Prova do Teorema de Thévenin 806 A corrente i que flui no condutor de cima da rede A para a rede B na Figura A31a é portanto causada inteiramente pelas fontes independentes presentes na rede A Suponha agora que acrescentemos uma fonte de tensão adicional vx que chamaremos de fonte de Thévenin no condutor no qual medimos i como mostra a Figura A31b e que então ajustemos o módulo e a variação temporal de vx até que a corrente se reduza a zero Por nossa defi nição de vca então a tensão nos terminais de A deve ser vca já que i 0 A rede B não contém fontes independentes e nenhuma corrente entra em seus terminais portanto não há tensão nos terminais da rede B e pela lei de Kir chhoff das tensões a tensão da fonte de Thévenin é vca volts vx vca Além disso como a fonte de Thévenin e a rede A não fornecem conjuntamente uma corrente i a superposição requer que a fonte de Thévenin agindo sozinha deva fornecer uma corrente i à rede B A fonte agindo sozinha em uma direção invertida como mostra a Figura A31c produz portanto uma corrente i no fio de cima Essa situação no entanto é a mesma conclusão obtida pelo teorema de Thévenin a fonte de Thévenin vca agindo em série com a rede inativa é equivalente à rede dada Vamos considerar agora o caso onde a rede B pode ser uma rede ativa Pensamos agora na corrente i fluindo da rede A para a rede B no condu tor de cima como se fosse composta por duas parcelas iA e iB onde iA é a corrente produzida por A agindo isoladamente e a corrente iB é causada por B agindo isoladamente Nossa habilidade de dividir a corrente em dois componentes é uma consequência direta da aplicabilidade do princípio da superposição nessas duas redes lineares a resposta completa e as duas res postas parciais são indicadas pelos diagramas da Figura A32 A resposta parcial iA já foi considerada se a rede B está desativada sabemos que a rede A pode ser substituída pela fonte de Thévenin e pela rede A inativa Em outras palavras das três fontes que devemos ter em mente em A em B e a fonte de Thévenin a resposta parcial iA ocorre quando A e B estão mortas e a fonte de Thévenin está ativa Preparando para o uso da superposição agora desativamos A mas ligamos B e desligamos a fonte de Thévenin por definição a resposta parcial iB é obtida Superpondo os resultados a resposta quando A está inativa e tanto a fonte de Thévenin quanto a rede B estão ativas é iA iB Essa soma é igual à corrente original i e a situação na qual a fonte de Thévenin e a rede B estão ativas mas A está morta é o circuito equivalente de Thévenin desejado Logo a rede ativa A pode ser trocada por sua fonte de Thévenin que é a tensão em circuito aberto em série com a rede A inativa independentemente do estado da rede B esteja ela ativa ou inativa p FIGURA A32 A superposição permite a consideração da corrente i como sendo a soma de duas respostas parciais A Se B inativa iA a A então B i iA iB c A e B inativa iB b SPICE é um acrônimo para Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis Pro grama de Simulação com Ênfase em Circuitos Integrados Um programa muito pode roso o SPICE é um padrão na indústria sendo usado no mundo inteiro em uma grande variedade de aplicações de análise de circuitos O SPICE foi originalmente desenvolvido no início dos anos setenta por Donald O Peterson e colegas de trabalho na University of Califórnia em Berkeley Curiosamente Peterson advogava a distribuição livre e irrestrita de conhecimentos criados em laboratórios de universidades preferindo causar impacto ao invés de lucrar financeiramente Em 1984 a MicroSim Corporation introduziu uma versão do SPICE para PC chamada PSpice que construía interfaces gráficas interativas em torno do núcleo das rotinas do programa SPICE Há agora muitas variações do SPICE disponíveis comercialmente bem como pacotes computacionais concorrentes O objetivo deste apêndice é simplesmente apresentar os fundamentos da análise auxiliada por computador mais detalhes são apresentados no texto principal bem como nas referências listadas no item Leitura Complementar Tópicos avançados cobertos nas referências incluem como determinar a sensibilidade de uma variável de saída frente a mudanças no valor de um determinado componente como obter gráficos da saída versus uma tensão de fonte como determinar a saída em função da frequência da fonte métodos para realizar a análise de ruído e distorção modelos de componentes não lineares e como modelar efeitos de temperatura em tipos específicos de circuitos A compra da MicroSim pela OrCAD e a subsequente aquisição da OrCAD pela Cadence levaram a algumas mudanças neste popular pacote de simulação de circui tos No momento em que este texto é escrito o OrCAD CISDemo 163 é a atual ver são profissional uma versão resumida está disponível para download grátis www cadencecom Essa nova versão substitui a popular versão de estudante do PSpice PSpice Student Release 91 e embora seja ligeiramente diferente deve parecer familiar aos usuários de versões prévias do PSpice A documentação que acompanha a versão Demo OrCAD 163 lista várias restri ções que não se aplicam à versão profissional disponível comercialmente A mais significativa é que apenas circuitos contendo 60 componentes ou menos podem ser gravados e simulados circuitos maiores podem ser traçados e vistos no entanto Escolhemos trabalhar com o editor de diagramas esquemáticos OrCAD Capture pois a versão atual é muito similar em seus fundamentos ao editor PSpice AD Schematic Capture Embora atualmente a Cadence também disponibilize o PSpice AD para download ele não é mais suportado Um Tutorial do PSpice Apêndice 4 Apêndice 4 u Um Tutorial do PSpice 808 A41 INICIANDO A análise de circuitos auxiliada por computador se constitui em três passos separados 1 o traçado do diagrama esquemático 2 a simulação do cir cuito e 3 a extração da informação necessária a partir da saída da simu lação O editor de diagramas esquemáticos OrCAD Capture é chamado a partir da lista de programas do Windows encontrada no menu selecionandose OrCAD Capture CIS Demo o editor de diagramas esque máticos é aberto como mostra a Figura A41 No menu File selecione New e então Project a janela da Fig A42a aparecerá Após você fornecer um nome de arquivo à simulação e escolher um diretório aparecerá a janela da Figura A42b simplesmente selecione a opção Create a blank project Somos agora apresentados à tela principal do editor de diagramas esquemáticos como na Figura A43 p FIGURA A42 a Janela de novo projeto b Janela de criação de novo projeto no PSpice a b u FIGURA A41 Janela do Capture CIS Demo Seção A41 u Iniciando 809 Neste ponto estamos prontos para desenhar um circuito então vamos tentar um simples divisor de tensão para fins de ilustração Primeiramente colocamos os componentes necessários na tela e então os conectamos Abrindo o menu Place escolhemos Part Digitando uma letra r minúscula como mostrado clicamos em OK e então podemos mover o sím bolo de um resistor ao longo da tela de esquemáticos usando o mouse Um único clique com o botão esquerdo do mouse coloca o resistor denominado R1 na localização do mouse um segundo clique coloca um segundo resis tor denominado R2 em nosso esquemático Um único clique no botão direito do mouse e a seleção da opção End Mode cancelam a colocação de resistores adicionais O segundo resistor não tem a orientação apropria da mas pode ser facilmente manipulado com a sua seleção por meio de um único clique com o botão esquerdo do mouse e selecione Rotate Se não soubermos o nome do componente desejado podemos procurálo nas bibliotecas de componentes Se resistores de 1 kΩ não forem desejados por exemplo talvez dois resistores de 500 Ω sejam o que queremos mudamos os valores padrão simplesmente dando um clique duplo no 1k próximo ao símbolo apropriado Nenhum circuito divisor de tensão está completo sem uma fonte de ten são naturalmente Clicando duas vezes no valor padrão DC escolhemos um valor de 9 V para a nossa fonte Mais um componente é necessário o SPICE requer que um nó de referência ou terra seja especificado Cli cando no símbolo GND escolhemos 0Source a partir das opções Nosso progresso até o momento é mostrado na Figura A44a tudo o que nos resta é fazer a conexão dos componentes Isso é feito selecionando o icone Place Wire W Os botões esquerdo e direito do mouse controlam cada fio é necessário experimentar um pouco aqui após fazer isso selecione os seg mentos de fio indesejados e pressione a tecla Delete Nosso circuito final é mostrado na Figura A44b Vale notar que o editor permite ao usuário que ele passe um fio atravessando um resistor colocandoo portanto em p FIGURA A43 Tela principal do editor de esquemáticos do Capture CIS Demo Apêndice 4 u Um Tutorial do PSpice 810 curtocircuito o que pode ser difícil de se ver Geralmente um símbolo de alerta aparece antes de completarmos uma conexão em uma localização imprópria Antes de simular nosso circuito salvamolo clicando no ícone save ou selecionando Save no menu File No menu PSpice selecionamos New Simulation Profile e digitamos Voltage Divider Divisor de Tensão na caixa de diálogo que aparece A caixa de diálogo Simulation Settings Ajus tes de Simulação que aparece nos permite ajustar parâmetros para uma grande variedade de tipos de simulação no presente exemplo precisamos selecionar Bias Point no menu Analysis type Novamente clicando no menu PSpice selecionamos Run Os resultados de simulação são mostra dos na Figura A45 Felizmente nossa simulação leva ao resultado esperado uma divisão idêntica da tensão da fonte entre os dois resistores de mesmo valor Tam bém podemos ver os resultados da simulação selecionando View Output File no menu PSpice Descendo para o final desse arquivo vemos as seguintes linhas NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE N00157 90000 N00166 45000 onde o nó 109 é a referência positiva de nossa fonte de tensão e o nó 116 é a junção entre os dois resistores Essa informação está disponível na parte de cima do arquivo LEITURA COMPLEMENTAR Dois livros muito bons dedicados à simulação no SPICE e no PSpice são P W Tuinenga SPICE A Guide to Circuit Simulation and Analysis Using PSpice Englewood Cliffs NJ PrenticeHall 1995 R W Goody OrCAD PSpice for Windows Volume 1 DC and AC Circuits 3a ed Englewood Cliffs NJ PrenticeHall 2001 Uma interessante história sobre os simuladores de circuitos bem como a contribuição de Donald Peterson nessa área pode ser encontrada em T Perry Donald O Peterson electronic engineering biography IEEE Spectrum 35 1988 2227 p FIGURA A45 Resultados da simulação p FIGURA A44 a Componentes colocados na tela b Circuito completo pronto para a simulação a b Este apêndice inclui seções cobrindo a definição de um número complexo as opera ções aritméticas básicas entre números complexos a identidade de Euler e as formas exponencial e polar do número complexo Primeiro introduzimos o conceito de número complexo A51 O NÚMERO COMPLEXO Nosso treinamento inicial em matemática lidava exclusivamente com números reais como 4 27 e p Logo contudo começamos a encontrar equações algébricas como x2 3 que não podia ser satisfeita por nenhum número real Tal equação pode ser resolvida apenas com a introdução da unidade imaginária ou operador imaginário que vamos designar pelo símbolo j Por definição j2 1 j 1 j3 j j4 1 e assim por diante O produto de um número real pelo operador imaginário é chamado de número imaginário e a soma de um número real e um número imaginário é um número complexo Assim um número com a forma a jb onde a e b são números reais é um número complexo Vamos designar o número complexo por meio de um único símbolo especial assim A a jb A natureza complexa do número é indicada pelo uso de uma letra em negri to em material manuscrito é costumeiro usar uma barra acima da letra Dizse que o número complexo A mostrado acima possui um componente real ou parte real a e um componente imaginário ou parte imaginária b Isso também é expresso como ReA a ImA b O componente imaginário de A não é jb Por definição o componente imaginário é um número real Deve ser notado que todos os números reais podem ser vistos como números com plexos com partes imaginárias iguais a zero Os números reais estão portanto incluídos no sistema dos números complexos e podemos agora considerálos como um caso especial Quando definirmos as operações aritméticas fundamentais para os números complexos devemos portando esperar que elas se reduzam à definições corresponden tes para os números reais se a parte imaginária de cada número complexo for anulada Como qualquer número complexo é completamente caracterizado por um par de números como a e b no exemplo anterior podemos obter algum auxílio visual Números Complexos Apêndice 5 Matemáticos designam o operador imaginário pelo símbolo i mas é costumeiro usar j em engenharia elétrica para se evitar confusão com o símbolo da corrente A escolha das palavras imaginário e complexo é infeliz Essas palavras são usadas aqui e na literatura matemática como termos técnicos para designar uma classe de números Interpretar imaginário como não pertencente ao mundo real ou complexo como complicado não é justificável muito menos desejável Apêndice 5 u Números Complexos 812 com a representação gráfica de um número complexo em um sistema de coordenadas retangular ou Cartesiano Traçando por nossa conta um eixo real e um eixo imaginário como mostrado na Figura A51 formamos um plano complexo ou diagrama de Argand no qual qualquer número com plexo pode ser representado como um único ponto Os números complexos M 3 j1 e N 2 j2 estão indicados É importante entender que este plano complexo é apenas uma ajuda visual ele não é de forma alguma essencial para os enunciados matemáticos que apresentamos a seguir p FIGURA A51 Os números complexos M 3 j1 e N 2 j2 são mostrados no plano complexo j3 j2 j1 j1 j2 1 1 2 3 M N 4 5 0 Real Imaginário Vamos definir dois números complexos como sendo iguais se e somen te se as suas partes reais forem iguais e as suas partes imaginárias forem iguais Graficamente a cada ponto no plano complexo corresponde apenas um número complexo e da mesma forma a cada número complexo corres ponde apenas um ponto no plano complexo Assim suponha que nos sejam dados dois números complexos A a jb e B c jd Então se A B é necessário que a c e b d Dizse que um número complexo expresso como a soma de um número real e um número imaginário como A a jb está na forma retangular ou cartesiana Outras formas para o número complexo aparecerão em breve Vamos agora definir as operações fundamentais de adição subtração multiplicação e divisão para os números complexos A soma de dois núme ros complexos é definida como um número complexo cuja parte real é a soma das partes reais dos dois números complexos e cuja parte imaginária é a soma das partes imaginárias dos dois números complexos Logo a jb c jd a c jb d Por exemplo 3 j4 4 j2 7 j2 Seção A51 u O número complexo 813 A diferença de dois números complexos é feita de maneira similar por exemplo 3 j4 4 j2 1 j6 A adição e a subtração de números complexos também pode ser feita graficamente no plano complexo Cada número complexo é representado como um vetor ou segmento de reta direcionado e a soma é obtida com pletandose o paralelogramo como ilustra a Figura A52a ou fazendose a conexão dos vetores da maneira indicada na Figura A52b Um esboço gráfico é muitas vezes útil para uma solução numérica mais exata O produto de dois números complexos é definido por a jbc jd ac bd jbc ad O resultado pode ser facilmente obtido pela multiplicação direta dos dois termos binomiais usandose as regras de álgebra de números reais e então simplificandoos fazendo j2 1 Por exemplo 3 j44 j2 12 j6 j16 8 j2 12 j10 8 20 j10 É mais fácil multiplicar os números complexos usando esse método particularmente se trocarmos j2 por 1 imediatamente do que substituílos na fórmula geral que define a multiplicação Antes de definir a operação da divisão para números complexos deve mos definir o conjugado de um número complexo O conjugado do número complexo A a jb é a jb e é representado como A O conjugado de qualquer número complexo é portanto facilmente obtido como a mera troca do sinal da parte imaginária desse número Logo se A 5 j3 então A 5 j3 É evidente que o conjugado de qualquer expressão complexa pode ser obtido com a troca de cada termo complexo na expressão por seu conjuga do o que pode ser feito com a substituição de todo j presente na expressão por j As definições da adição da subtração e da multiplicação mostram que as seguintes afirmativas são verdadeiras a soma de um número complexo e seu conjugado é um número real a diferença de um número complexo e seu conjugado é um número imaginário e o produto de um número com plexo por seu conjugado é um número real Também é evidente que se A é o conjugado de A então A é o conjugado de A em outras palavras A A Dizse que um número complexo e seu conjugado formam um par complexo conjugado Definimos agora o quociente de dois números complexos A B AB BB Inevitavelmente em um problema físico um número complexo é de alguma forma acompanhado por seu conjugado M N M N 5 j1 Real Imaginário a M M N 5 j1 N Real Imaginário b p FIGURA A52 a A soma dos números complexos M 3 j1 e N 2 j2 é obtida com a construção de um paralelogramo b A soma dos mesmos dois números complexos é obtida com a sua conexão cauda com cabeça Apêndice 5 u Números Complexos 814 e assim a jb c jd ac bd jbc ad c2 d2 Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do deno minador para obter um denominador real esse processo é chamado de racionalização do denominador Como um exemplo numérico 3 j4 4 j2 3 j44 j2 4 j24 j2 4 j22 16 4 02 j11 A adição ou a subtração de dois números complexos expressos na forma retangular é uma operação relativamente simples a multiplicação e a divi são de dois números complexos na forma retangular no entanto é um pro cesso bem trabalhoso Essas duas últimas operações se tornam muito mais simples quando os números complexos são dados na forma exponencial ou na forma complexa Ambas são apresentadas nas Seções A53 e A54 u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO A51 Para A 4 j5 B 3 j2 e C 6 j5 determine a C B b 2A 3B 5C c j5C2A B d B ReA A ReB A52 Usando os mesmos valores para A B e C dados no problema anterior determine a A AB B b 1C 1B c B C 2BC Respostas A51 9 j3 47 j9 27 j191 24 j23 A52 j60 0329 j0236 00662 j01179 A52 A IDENTIDADE DE EULER No Capítulo 9 apresentamos funções temporais que contêm números complexos e estamos preocupados com a diferenciação e a integração des sas funções em relação à variável real t Diferenciamos e integramos tais funções em relação a t usando exatamente os mesmos procedimentos que aplicamos em funções temporais reais Isto é as constantes complexas são tratadas como se fossem constantes reais quando realizamos a operação de diferenciação ou integração Se ft é uma função complexa do tempo como ft a cos ct jb sen ct então dft dt ac sen ct jbc cos ct e ft dt a c sen ct j b c cos ct C onde a constante de integração C é um número complexo qualquer Seção A52 u A identidade de Euler 815 Às vezes é necessário diferenciar ou integrar uma função de uma variável complexa em relação à variável complexa Em geral a realização bem suce dida dessas operações requer que a função a ser diferenciada ou integrada satisfaça a certas condições Todas as nossas funções satisfazem a essas con dições e a integração ou a diferenciação em relação a uma variável complexa é feita usandose métodos idênticos àqueles usados para as variáveis reais Neste momento devemos utilizar uma relação fundamental muito impor tante conhecida como a identidade de Euler pronunciase óiler Vamos provar essa identidade por ela ser de extrema utilidade na representação de um número complexo em uma forma diferente da forma retangular A prova se baseia na expansão em séries de cos θ sen θ e ez que pode ser encontrada em seu livro de cálculo favorito cos θ 1 θ2 2 θ4 4 θ6 6 senθ θ θ3 3 θ5 5 θ7 7 ou cos θ j senθ 1 jθ θ2 2 j θ3 3 θ4 4 j θ5 5 e ez 1 z z2 2 z3 3 z4 4 z5 5 de forma que e jθ 1 jθ θ2 2 j θ3 3 θ4 4 Concluímos que e jθ cos θ j sen θ 1 ou se fizermos z jθ vemos que e jθ cos θ j sen θ 2 Somando e subtraindo as Equações 1 e 2 obtemos as duas expres sões que utilizamos sem provar em nosso estudo da resposta natural suba mortecida dos circuitos RLC série e paralelo cos θ 1 2e jθ ejθ 3 senθ j 1 2e jθ ejθ 4 u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO A53 Use as Equações 1 a 4 para avaliar a ej1 b e1 j1 c cosj1 d senj1 A54 Avalie em t 05 a ddt3 cos 2t j2 sen 2t b t 0 3cos 2t j2 sen 2tdt avalie em s 1 j2 c s s3ds d dds3s 2 Respostas A53 0540 j0841 1469 j229 1543 1175 A54 505 j216 1262 j0460 006 j008 00888 j0213 Apêndice 5 u Números Complexos 816 A53 A FORMA EXPONENCIAL Vamos agora pegar a identidade de Euler e jθ cos θ j sen θ e multiplicála em ambos os lados pelo número C positivo e real Ce jθ C cos θ jC sen θ 5 O lado direito da Equação 5 consiste na soma de um número real e um número imaginário representando portanto um número complexo na forma retangular Chamemos esse número complexo de A onde A a jb Igualando as partes reais a C cos θ 6 as partes imaginárias b C sen θ 7 e então elevando 6 e 7 ao quadrado e somando a2 b2 C2 ou C a2 b2 8 e dividindo a Equação 7 pela Equação 6 b a tan θ ou θ tan 1 b a 9 obtemos as relações expressas pelas Equações 8 e 9 que nos permitem determinar C e θ a partir do conhecimento de a e b Por exemplo se A 4 j2 então identificamos a como 4 e b como 2 e determinamos C e θ C 42 22 447 θ tan 1 2 4 266 Poderíamos usar essas novas informações para escrever A na forma A 447 cos 266 j447 sen 266 mas é a forma do lado esquerdo da Equação 5 que provaremos ser mais útil A Ce jθ 447e j266 Dizse que um número complexo expresso dessa maneira está na forma exponencial O fator multiplicativo C real e positivo é conhecido como amplitude ou módulo e a grandeza real θ no expoente é chamada de argumento ou ângulo Um matemático sempre expressaria θ em radianos e escreveria A 447e j0464 Seção A53 u A forma exponencial 817 mas engenheiros trabalham de forma costumeira em termos de graus O uso do símbolo do grau no expoente evita qualquer confusão Recapitulando se temos um número complexo dado na forma retangular A a jb e desejamos expressálo na forma exponencial A Ce jθ podemos determinar C e θ pelas Equações 8 e 9 Se dispomos do número complexo na forma exponencial então podemos obter a e b empre gando as Equações 6 e 7 Quando A é expresso em termos de valores numéricos a transformação entre as formas exponencial ou polar e retangular pode ser feita direta mente na maioria das calculadoras científicas Uma questão aparecerá na determinação do ângulo θ usando a relação da Equação 9 Essa função possui múltiplos valores e um ângulo apro priado deve ser selecionado entre as várias possibilidades Um método pelo qual podese fazer a escolha é a seleção de um ângulo cujo seno e o cosseno possuam os sinais apropriados para produzir os valores necessários de a e b a partir das Equações 6 e 7 Por exemplo vamos converter V 4 j3 para a forma exponencial A amplitude é C 42 32 5 e o ângulo é θ tan 1 3 4 10 Um valor de θ deve ser selecionado de forma a levar a um valor positivo para cosθ já que 4 5 cosθ e a um valor negativo para senθ pois 3 5 senθ Obtemos portanto θ 369o 3231o 3969o e assim por diante Qualquer um desses ângulos está correto e usualmente selecionamos aque le que é o mais simples aqui 369o Devemos notar que a solução alter nativa da Equação 10 θ 1431o não é a correta porque cosθ é negativo e senθ é positivo Um método mais simples para selecionar o ângulo correto pode ser obti do se representarmos graficamente o número complexo no plano complexo Vamos primeiro selecionar um número complexo dado na forma retangu lar A a jb que está posicionado no primeiro quadrante do plano com plexo como ilustrado na Figura A53 Se traçarmos uma linha da origem ao ponto que representa o número complexo teremos construído um triângulo cuja hipotenusa é evidentemente a amplitude da representação exponencial do número complexo Em outras palavras C a2 b2 Além disso o ângulo no sentido antihorário que essa linha faz com o eixo real positivo corresponde ao ângulo θ da representação exponencial porque a C cosθ e b senθ Se agora tivermos um número complexo representado na forma retangular localizado em outro quadrante como V 4 j3 desenhado na Figura A54 o ângulo correto fica graficamente evidente sendo 369o ou Imaginário a C cos u C a2 b2 b C sen u Real u p FIGURA A53 Um número complexo pode ser representado por um ponto no plano complexo com a escolha correta das partes real e imaginária a partir da forma retangular ou com a seleção do módulo e do ângulo a partir da forma exponencial j3 C 5 V 4 Imaginário Real u 3231 u 369 p FIGURA A54 O número complexo V 4 j3 5ej369 é representado no plano complexo Apêndice 5 u Números Complexos 818 3231o para este exemplo O esboço pode ser muitas vezes visualizado não havendo a necessidade de se desenhálo Se a forma retangular do número complexo tem parte real negativa é muitas vezes mais fácil lidar com o negativo do número complexo evitan dose com isso trabalhar com ângulos maiores que 90o Por exemplo dado I 5 j2 escrevemos I 5 j2 e então transformamos 5 j2 para a forma exponencial I Ce jθ onde C 29 539 e θ tan 1 2 5 218 Temos portanto I 539e j218 O sinal negativo pode ser removido do número complexo aumentando se ou diminuindose o ângulo em 180o o que pode ser diretamente visua lizado no plano complexo Assim o resultado pode ser expresso na forma exponencial como I 539e j1582 ou I 539ej2018 Note que o cálculo do arco tangente em uma calculadora eletrônica sempre leva a ângulos com módulo menor que 90o Logo tan134 e tan134 saem como 369o No entanto calculadoras que permitem a conversão de retangular para polar fornecem o ângulo correto em todos os casos Deve ser feita uma última colocação sobre a representação exponen cial de um número complexo Dois números complexos ambos escritos na forma exponencial são iguais se e somente se as suas amplitudes são iguais e seus ângulos são equivalentes Ângulos equivalentes são aqueles que diferem entre si em múltiplos de 360o Por exemplo se A Cejθ e B Dejϕ então se A B é necessário que C D e θ ϕ 360on onde n 0 1 2 3 u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO A55 Expresse cada um dos seguintes números complexos na forma expo nencial usando um ângulo no intervalo 180o θ 180o a 185 j261 b 179 j122 c 216 j312 A56 Expresse cada um destes números complexos na forma retangular a 612ej1111 b 362e j108 c 5ej25 Respostas A55 320ej1253 217ej343 379e j1247 A56 220 j571 1119 j344 401 j299 Seção A54 u A forma polar 819 A54 A FORMA POLAR A terceira e última forma na qual podemos representar um número com plexo é essencialmente igual à forma exponencial exceto por uma pequena diferença de simbolismo Usamos um sinal de ângulo para substituir a combinação ej Assim a representação exponencial de um número com plexo A A Ce jθ pode ser escrita de forma um pouco mais concisa como A C θ Dizse então que o número complexo está representado na forma polar um nome que sugere a representação de um ponto em um plano complexo usandose coordenadas polares É claro que a transformação da forma retangular para a forma polar e viceversa é basicamente igual à transformação entre as formas retangular e exponencial As mesmas relações existem entre C θ a e b O número complexo A 2 j5 é portanto escrito na forma exponencial como A 539e j1118 e na forma polar como A 539 1118 Para que possamos apreciar a utilidade das formas exponencial e polar vamos considerar a multiplicação e a divisão de dois números complexos representados na forma exponencial ou polar Se temos A 5 531 e B 15 369 então a representação desses dois números complexos na forma exponencial A 5e j531 e B 15e j369 nos permite escrever o produto como um número complexo na forma expo nencial cuja amplitude é o produto das amplitudes e cujo ângulo é a soma algébrica dos ângulos de acordo com as regras normais para a multiplica ção de duas grandezas exponenciais AB 515e j531 369 ou AB 75e j162 75 162 A partir da definição da forma polar é evidente que A B 0333 90 Apêndice 5 u Números Complexos 820 A adição ou a subtração de números complexos é feita mais facilmente com os números complexos na forma retangular e a realização dessas ope rações para dois números complexos na forma exponencial ou polar deve começar com a conversão desses dois números para a forma retangular A situação inversa se aplica à multiplicação e à divisão dois números dados na forma retangular devem ser transformados para a forma polar a menos que os números sejam inteiros pequenos Por exemplo se desejamos mul tiplicar 1 j3 por 2 j1 é mais fácil multiplicálos diretamente do jeito que eles estão e obter 5 j5 Se o números puderem ser multiplicados mentalmente então transformálos para a forma polar é tempo perdido Devemos agora nos esforçar para nos familiarizarmos com as três dife rentes formas nas quais números complexos podem ser expressos e com a rápida conversão de uma forma para a outra As relações entre essas três formas parecem quase intermináveis e a extensa equação a seguir resume as várias interrelações existentes A a jb ReA jImA Ce jθ a2 b2e j tan 1b a a2 b2 tan 1b a A maioria das conversões de uma forma para a outra pode ser feita rapidamente com a ajuda de uma calculadora e muitas calculadoras são equipadas para resolver equações lineares com números complexos Veremos que os números complexos são um conveniente artifício mate mático que facilita a análise de situações físicas reais u EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO A57 Expresse o resultado de cada uma destas manipulações com números complexos na forma polar usando seis algarismos significativos sim plesmente pela alegria de fazer as contas a 2 141o0341o b 50287836o 516632o c 418o 675o 528o A58 Determine Z na forma retangular se a Z j2 3Z b Z 2 ln2 j3 c sen Z 3 Respostas A57 469179132183o 631833704626o 115066545969o A58 1414 j1 256 j1966 1571 j1763 A intenção deste tutorial é fornecer uma breve introdução a alguns dos conceitos bási cos necessários para o uso de um poderoso pacote computacional conhecido como MATLAB O uso do MATLAB é uma parte completamente opcional do material contido neste livro texto mas como ele vem se tornando uma ferramenta cada vez mais comum em todas as áreas da engenharia elétrica achamos que seria válido dar aos estudantes uma oportunidade para começar a explorar algumas das características desse programa particularmente o traçado de gráficos 2D e 3D a realização de ope rações matriciais a solução de equações simultâneas e a manipulação de expressões algébricas Muitas instituições disponibilizam a versão completa do MATLAB para seus estudantes mas no momento em que escrevemos essas linhas uma versão de estudante se encontra disponível por um custo significativamente reduzido a partir da MathWorks Inc httpwwwmathworkscomacademiastudentversion A61 INICIANDO Abrese o MATLAB clicandose no ícone do programa a janela de abertura típica é mostrada na Figura A61 Programas podem ser rodados a partir de arquivos ou com a entrada direta de comandos na janela O MATLAB também possui extensas fontes de ajuda online que são igualmente úteis para iniciantes e usuários avançados Um Breve Tutorial do Matlab Apêndice 6 t FIGURA A61 Tela de comandos do MATLAB após a inicialização Apêndice 6 u Um Breve Tutorial do Matlab 822 Programas típicos do MATLAB se parecem muito com programas escri tos em C embora a familiaridade com essa linguagem não seja de forma alguma necessária A62 VARIÁVEIS E OPERAÇÕES MATEMÁTICAS O MATLAB faz muito mais sentido assim que o usuário percebe que todas as variáveis são tratadas como matrizes mesmo que simplesmente matrizes 1 1 Nomes de variáveis podem ter um comprimento de até 19 caracteres o que é extremamente útil na escrita de programas por facilitar a sua leitura O primeiro caractere deve ser uma letra mas os caracteres restantes podem ser qualquer letra ou número a barra inferior também pode ser usada Nomes de variáveis no MATLAB são sensíveis a letras maiúsculas e minúsculas Além disso o MATLAB inclui diversas variáveis predefinidas Variáveis predefinidas relevantes para o material apresentado neste texto incluem eps A precisão da máquina realmin O menor número positivo de ponto flutuante manuseado pelo computador realmax O maior número de ponto flutuante manuseado pelo computador inf Infinito definido como 10 NaN Literalmente não é um número Not a Number Isto inclui situações como 00 pi p 314159 i j Ambas as variáveis são inicialmente definidas como 1 Elas podem receber outros valores fornecidos pelo usuário Uma lista completa das variáveis definidas pode ser obtida com o comando who Variáveis recebem valores com o uso do sinal de igual Se a linha for terminada com um pontoevírgula então um novo cursor aparece Se a linha for simplesmente terminada com o uso da tecla Enter então a variável é repetida Por exemplo EDU inputvoltage 5 EDU inputcurrent 1e3 inputcurrent 10000e003 EDU Variáveis complexas são facilmente definidas no MATLAB por exemplo EDU s 9 j5 cria uma variável complexa s com valor 9 j5 Uma matriz que não for 1 1 é definida usandose colchetes Por exem plo expressaríamos a matriz t 2 1 3 0 no MATLAB como EDU t 2 1 3 0 Note que os elementos da matriz são informados de linha em linha ele mentos em uma linha são separados por um espaço e linhas são separadas Seção A62 u Variáveis e operações matemáticas 823 por um pontoevírgula As mesmas operações aritméticas estão disponí veis para as matrizes então por exemplo podemos obter t t como EDU t t ans 4 2 6 0 Operações aritméticas incluem potenciação divisão à esquerda multiplicação adição divisão à direita ordinária subtração A ordem das operações é importante A ordem de precedência é potên cia depois multiplicação e divisão e finalmente adição e subtração EDU x 1 5 2 3 x 76 O conceito de divisão à esquerda pode parecer estranho de início mas é muito útil em álgebra matricial Por exemplo EDU 15 ans 02000 EDU 1 5 ans 5 EDU 5 1 ans 02000 E no caso da equação matricial Ax B onde A 2 4 1 6 and B 1 2 e A 2 4 1 6 and B 1 2 determinamos x com EDU A 2 4 1 6 EDU B 1 2 EDU x AB x 17500 06250 Alternativamente também podemos escrever EDU x A 1B x 17500 06250 Apêndice 6 u Um Breve Tutorial do Matlab 824 ou EDU invAB ans 17500 06250 Quando tivermos alguma dúvida parênteses podem ser muito úteis A63 ALGUMAS FUNÇÕES ÚTEIS Limitações de espaço não nos permitem listar todas as funções contidas no MATLAB Algumas das funções mais básicas incluem absx x log 10x log10 x expx ex sinx sen x asinx sen1 x sqrtx x cosx cos x acosx cos1 x logx ln x tanx tan x atanx tan1 x Funções úteis para a manipulação de variáveis complexas incluem reals Res imags Ims abss a2 b2 onde s a jb angles tan1ba onde s a jb conjs complexo conjugado de s Outro comando extremamente útil porém muitas vezes esquecido é simplesmente o help Ocasionalmente precisamos de um vetor como quando queremos criar um gráfico O comando linspacemin máx número de pontos é de grande valia nesses casos EDU frequency linspace0105 frequency 0 25000 50000 75000 100000 Um primo importante desse comando é o logspace A64 GERANDO GRÁFICOS Fazer gráficos no MATLAB é extremamente fácil Por exemplo a Figura A62 mostra o resultado da execução do seguinte programa no MATLAB EDU x linspace02pi100 EDU y sinx EDU plotxy EDU xlabelAngle radians EDU ylabelfx Seção A65 u Escrevendo programas 825 p FIGURA A62 Exemplo de gráfico de senx 0 x 2π gerado no MATLAB A variável x é um vetor composto por 100 elementos igualmente espaçados A65 ESCREVENDO PROGRAMAS Embora os exemplos do MATLAB mostrados neste texto sejam apresenta dos como linhas digitadas na tela de comandos é possível e muitas vezes prudente se a repetição for uma questão importante escrever um progra ma de forma que os cálculos se tornem mais convenientes Isto é feito no MATLAB escrevendose o que é chamado de arquivo m Este é apenas um arquivo texto salvo com a extensão m por exemplo primeiroprogm Em homenagem a Kernighan e Ritchie clicamos em New MFile no menu File o que abre o editor de arquivos m note que você pode usar outro editor como o WordPad por exemplo Digitamos r inputHello World como mostrado na Figura A63 p FIGURA A63 Exemplo de arquivo m criado no editor de arquivos m Apêndice 6 u Um Breve Tutorial do Matlab 826 Em seguida salvamos esse arquivo como primeiroprogm em um diretório apropriado tendo o cuidado de selecionar os arquivos MATLAB m em File Type No menu File selecionamos Open e encontramos firstprogramm Esta ação abre novamente o editor poderíamos então não têlo fechado anteriormente Podemos rodar o nosso programa apertando F5 ou selecionando Run no menu Debug Na tela de comandos vemos a nossa saudação o MATLAB fica esperando por uma resposta de teclado então simplesmente aperte a tecla Enter Vamos expandir um dos exemplos anteriores para permitir que o módu lo seja selecionado pelo usuário como na Figura A64 Podemos agora per mitir a entrada de qualquer amplitude arbitrária para nosso gráfico Deixamos para o leitor a escolha de quando escrever um programa em um arquivo m e quando usar diretamente a tela de comandos p FIGURA A64 Arquivo m escrito para gerar um gráfico da função seno nomeado como example1m LEITURA COMPLEMENTAR Há um grande número de excelentes referências disponíveis para o MATLAB com novos títulos aparecendo regularmente Duas referências que merecem ser consultadas são D C Hanselman e B L Littlefield Mastering MATLAB 7 Upper Saddle River NJ PrenticeHall 2005 W J Palm III Introduction to MATLAB 7 for Engineers 2a ed New York McGrawHill 2005 Neste apêndice apresentamos brevemente vários teoremas da transformada de Laplace tipicamente usados em situações mais avançadas complementando aqueles descritos no Capítulo 14 A71 TRANSFORMADAS DE FUNÇÕES TEMPORAIS PERIÓDICAS O teorema do deslocamento no tempo é muito útil na avaliação da transformada de funções temporais periódicas Suponha que f t seja periódica com um período T para valores positivos de t O comportamento de f t em t 0 não tem efeito na transfor mada de Laplace unilateral como sabemos Assim f t pode ser escrita como f t f t nT n 0 1 2 Se agora definimos uma nova função temporal que é diferente de zero apenas no primeiro período de f t f1t ut ut T f t então a função f t original pode ser representada como a soma de um número infinito de funções desse tipo atrasadas de múltiplos inteiros de T Isto é f t ut ut T f t ut T ut 2T f t ut 2T ut 3T f t f1t f1t T f1t 2T ou f t n 0 f1t nT A transformada de Laplace dessa soma é simplesmente a soma das transformadas Fs n 0 f1t nT e o teorema do deslocamento no tempo leva a Fs n 0 e nTsF1s Teoremas Adicionais da Transformada de Laplace Apêndice 7 Apêndice 7 u Teoremas Adicionais da Transformada de Laplace 828 onde F1s f1t T 0 e st f t dt Como F1s não é uma função de n ela pode ser removida da soma e Fs se torna Fs F1s1 e Ts e 2Ts Quando aplicamos o teorema binomial na expressão entre colchetes essa expressão se simplifica para 11 eTs Assim concluímos que a função periódica f t com período T tem uma transformada de Laplace expressa por Fs F1s 1 e Ts 1 onde F1s ut ut T f t 2 é a transformada do primeiro período da função temporal Para ilustrar o uso desse teorema da transformada para funções perió dicas vamos aplicálo no familiar trem de pulsos retangulares ilustrado na Figura A71 Podemos descrever essa função periódica analiticamente υt n 0 V0ut nT ut nT τ t 0 t FIGURA A71 Um trem de pulsos retangulares periódicos para os quais Fs V0s1 esτ 1 esT 0 t υt V0 t T T t 2T 2T t A função V 1s é simples de se calcular V1s V0 τ 0 e st dt V0 s 1 e sτ Agora para obter a transformada desejada simplesmente dividimos por 1 esT Vs V01 e sτ s1 e sT 3 Devemos notar como muitos teoremas diferentes aparecem na trans formada em 3 O fator 1 esT no denominador leva em consideração a periodicidade da função o termo esτ no numerador surge do atraso temporal da onda quadrada negativa que desliga o pulso e o fator V0s é naturalmente a transformada das funções degrau envolvidas em vt Seção A72 u Deslocamento na frequência 829 Determine a transformada da função periódica da Figura A72 Começamos escrevendo uma equação para descrever f t uma função com posta por funções impulso positivas e negativas alternadas f t 2δt 1 2δt 3 2δt 5 2δt 7 Definindo uma nova função f1 e reconhecendo um período T 4 s f1t 2δt 1 δt 3 podemos fazer uso da operação da periodicidade no tempo listada na Tabela 142 para determinar Fs Fs 1 1 e Ts F1s 4 onde F1s T 0 f te st dt 4 0 f1te st dt Há várias formas de se avaliar essa integral A mais fácil é reconhecer que seu valor permanecerá o mesmo se o limite superior crescer até o que nos permite utilizar o teorema do deslocamento no tempo Assim F1s 2e s e 3s 5 Nosso exemplo é completado com a multiplicação da Equação 5 pelo fator indicado na Equação 4 de forma que Fs 2 1 e 4s e s e 3s 2e s 1 e 2s u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO A71 Determine a transformada de Laplace da função periódica mostrada na Figura A73 Resposta Ans 8 s2 π 2 4 s π 2e s π 2e 3s se 4s 1 e 4s A72 DESLOCAMENTO NA FREQUÊNCIA O novo teorema a seguir estabelece uma relação entre Fs lf t e Fs a Consideremos a transformada de Laplace de eat f t e at f t 0 e ste at f t dt 0 e s at f t dt Olhando cuidadosamente para esse resultado notamos que a integral à direita é idêntica àquela que define Fs com uma exceção s a aparece no lugar de s Logo e at f t 3 Fs a 6 Concluímos que a troca de s por s a no domínio da frequência cor responde à multiplicação por eat no domínio do tempo Este é conhecido u EXEMPLO A71 p FIGURA A72 Uma função periódica baseada em funções impulso unitárias 0 1 2 3 4 5 2 2 6 7 2 2 8 f t t s p FIGURA A73 0 1 2 3 4 cosseno 5 6 7 t s 8 f t Apêndice 7 u Teoremas Adicionais da Transformada de Laplace 830 como o teorema do deslocamento na frequência Ele pode ser usado ime diatamente na avaliação da transformada da função cosseno exponencial mente amortecida que usamos extensivamente em trabalhos anteriores Começando com a conhecida transformada da função cosseno cos ω0t Fs s s2 ω2 0 então a transformada de eat cos w0t deve ser Fs a e at cos ω0t Fs a s a s a2 ω2 0 7 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO A72 Determine le2t sen5t 02put Resposta 0588s 405s2 4s 29 A73 DIFERENCIAÇÃO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Vamos agora examinar as consequências de se derivar Fs em relação a s O resultado é d dsFs d ds 0 e st f t dt 0 te st f t dt 0 e st t f t dt que é simplesmente a transformada de Laplace de t f t Concluímos portanto que a derivada em relação a s no domínio da frequência resulta na multiplicação por t no domínio do tempo ou t f t 3 d dsFs 8 Suponha agora que f t seja a função rampa unitária tut cuja transfor mada sabemos que é 1s2 Podemos usar o nosso recém adquirido teorema da diferenciação na frequência para determinar a transformada inversa de 1s3 conforme descrito a seguir d ds 1 s2 2 s3 3 t 1 1 s2 t2ut e t2ut 2 3 1 s3 9 Continuando com o mesmo procedimento obtemos t3 3ut 3 1 s4 10 Seção A74 u Integração no domínio da frequência 831 e em geral tn 1 n 1ut 3 1 sn 11 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO A73 Determine lt sen5t 02put Resposta 0588s2 809s 1469s2 252 A74 INTEGRAÇÃO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA O efeito causado em f t pela integração de Fs em relação a s pode ser mostrado novamente a partir da definição Fs 0 e st f t dt fazendose uma integração na frequência de s a s Fs ds s 0 e st f t dt ds trocandose a ordem de integração s Fs ds 0 s e st ds f t dt e calculandose a integral interna s Fs ds 0 1 t e st s f t dt 0 f t t e st dt Logo f t t 3 s Fs ds 12 Por exemplo já estabelecemos o par de transformadas sen ω0t ut 3 ω0 s2 ω2 0 Portanto sen ω0t ut t s ω0 ds s2 ω2 0 tan 1 s ω0 s e temos sen ω0t ut t 3 π 2 tan 1 s ω0 13 Apêndice 7 u Teoremas Adicionais da Transformada de Laplace 832 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO A74 Determine lsen2 5tutt Resposta Ans 1 4 lns2 100 s2 A75 O TEOREMA DA MUDANÇA DE ESCALA NO TEMPO Desenvolvemos agora o teorema da mudança de escala no tempo da teoria da transformada de Laplace com a avaliação da transformada de f at assumindo que lf t seja conhecida O procedimento é muito simples f at 0 e st f at dt 1 a 0 e s aλ f λ dλ onde foi empregada a mudança de variável at l A última integral pode ser reconhecida como 1a vezes a transformada de Laplace de f t exceto pela substituição de s por sa na transformada Daí segue que f at 3 1 a F s a 14 Como um exemplo elementar do uso do teorema da mudança de escala no tempo considere a determinação da transformada de uma onda cosse noidal de 1 kHz Assumindo que conheçamos a transformada de uma onda cossenoidal de 1 rads cos t ut 3 s s2 1 o resultado é cos 2000πt ut 1 2000π s 2000π s 2000π2 1 s s2 2000π2 u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO A75 Determine lsen2 5tut Resposta 50ss2 100 µA741 AOP 185188 191 2N3904 Parâmetros CA711 A Abordagem direta circuitos RL sem fontes 254281 AD549K AOP 185188 AD622 AOP 199 Adição operação da transformada de Laplace 556 Admitância 231 568 em regime permanente senoidal 386387 parâmetros Veja Quadripolos Ajuste do nível de corrente transformadores ideais para 509510 Ajuste do nível de tensão transformadores ideais para 507509 Alternativas algébricas funções forçantes complexas 372373 Amortecida função forçante senoidal 531535 561 562 Amortecida resposta senoidal 331 Amortecimento de transitórios 324 325 Ampère A M 12 Ampères 10 11 12 Amplificador de diferença 173176 188189 resumo 174 Amplificador de ganho unitário 174 Amplificador de instrumentação 197199 206 207 Amplificador inversor 169 174 Amplificador Sallenkey 670 674 Amplificador somador 172174 Amplificadores operacionais 167208 AD549K AOP 185 188 AD622 AOP 199 amplificador de diferença 173 176188 189 amplificador inversor 169 174 amplificador de instrumentação 197199 206 207 amplificador somador 172174 análise auxiliada por computador 192196 capacitores com 232 233 250 251 circuito amplificador não inversor 170 171 174 circuito seguidor de tensão 171 174 circuitos RLC paralelo sem fontes 317 318325 355357 A1 e A2 encontrando os valores 318320 representação gráfica de 323325 circuitos RLC série sem fontes 338339 comparadores 297298 206207 considerações práticas 184196 205 encapsulamento 192 193 estágios em cascata 176179 203205 fontes de corrente confiáveis 182184 204205 fontes de tensão confiáveis 179182 116205 frequência e 191193 função 332 333 ideais 168176 dedução de 186188 impedância de saída amplificadores 701 LM324 AOP 185 LM411 AOP 184 192 193 LM741 AOP 192 193 LMC6035 AOP 166 LMV321 AOP dual 168 modelagem 184187 OPA690 AOP 185 191 192 operações transformada de Laplace tabela de 556 ordem de elementos LKT e 54 oscilador 602 Philbrick K2W AOP 168 projeto de circuito 602604 realimentação negativa 188190 realimentação positiva 189190 regras 168 rejeição de modo comum 188189 resistência de saída 128 resposta sobreamortecida resumo 174 saídas dependem das entradas 168 saturação 189191 senoides defasadas 364365 sistema de monitoramento da pressão de tanques 178179 slew rate 191193 tensão de offset de entrada 191 valores de parâmetros típicos 185 μA741 AOP 185188 191 Amplificadores redes equivalentes e 700702 Amplitude da resposta função forçante proporcional 368 de senoides 363 forma exponencial de um número com plexo 816819 Amprobe 435 Análise auxiliada por computador 67 124127 Veja também MATLAB PSpice análise em regime permanente senoidal 396397 análise nodal e de malha 100105 115 116 573576 análise nodal e de malha no domínio s 573576 AOPs 192196 circuitos acoplados magneticamente 501504 circuitos RL sem fontes 262265 circuitos RLC paralelo sem fontes 336338 diagramas de Bode e 649657 função de sistema 787790 para quadripolos 714715 transformada rápida de Fourier 787790 transformadas de Laplace e 545548 Análise de circuitos ac Veja também análise de potência ac Análise de circuitos Análise de circuitos de Fourier 4 727784 Veja também série de Fourier Trans formada de Fourier aplicação prática 782781 processamento de imagens 773777 resposta completa a funções forçantes periódicas 741743 Análise de circuitos não lineares 2 Análise de circuitos no domínio s 567614 análise nodal e de malha em 578584 613615 análise auxiliada por computador 573576 Índice Índice 834 convolução e Veja Convolução frequência complexa e Veja frequência complexa polos zeros e funções de transferência 583585 611612 razão de tensão VoutVin síntese 601606 613614 técnica equivalente de Thévenin 582584 técnicas adicionais 580585 610612 Zs e Ys 567573 607609 capacitores modelagem no domínio s 571572 no domínio da frequência 572573 no domínio do tempo 572573 indutores modelagem no domínio s 568571 no domínio da frequência 568 573 no domínio do tempo 572573 resistores no domínio da frequência 567568 572573 no domínio do tempo 572573 resumo da representação de elementos 573 Análise de circuitos engenharia e 45 Análise de Laplace 4 Análise de potência em circuitos ac 413448 Veja também Potência complexa circuitos com múltiplas frequências 427429 em formas de onda periódicas 425427 em formas de onda senoidais 426428 excitação senoidal potência instantânea 415 441443 potência aparentefator de potência 430 433 444446 potência instantânea 413416 469 441443 potência média Veja Potência média potência média máxima 423 regime permanente senoidal teorema 422423 valores RMS de correntetensão 425 431 439 cálculo da potência média 427428 Análise em regime permanente senoidal 3 360412 admitância 386387 amplitude 363 amplitude resposta vs função forçante 368 análise auxiliada por computador 396397 análise nodal e de malha 386389 407409 aplicando 371373 argumento 363 atraso e avanço 364365 características de senoides 363366 402404 condutância 386387 defasamento 364365 diagramas fasoriais 397400 em fase 364365 fontes imaginárias respostas imaginá rias 371373 fontes reais respostas reais 371373 forma alternativa da 367368 frequência 364365 frequência angular 363 frequência de corte amplificador transis torizado 390391 frequência radiana 363 função forçante com forma de onda senoidal 363 função forçante complexa 370374 404405 alternativa algébrica para equações diferenciais 372373 imitância 386387 impedância Veja impedância necessidades da comparação de fase 365 parte imaginária 370 parte real 370 período 364 potência média ca 417419 regime permanente 366367 relações fasoriais e Veja Relações faso riais para R L e C resposta forçada a senoides 363 366 369 403404 resposta natural 363 senos convertidos para cosenos 365 superposição transformação de fontes e 389397 409410 susceptância 386387 teorema da superposição 371373 Análise nodal e de malhas 3 77116 análise de circuitos no domínio s e 573 580 608610 auxiliada por computador 573576 análise de malha 8996 111113151 corrente de malha 8990 9193 496497 definição de malha 786 Lei de Kirchhoff das tensões aplicada a 9596 procedimento resumido 9596 supermalha 9596 9798113114 análise nodal 3 7887 106109151 análise em regime permanente senoi dal 386389 407409 árvores e 785791 definição de nós 40 785 efeitos de fonte de tensão 8789 109111 lei de Kirchhoff das correntes e 78 nó de referência 78 procedimento básico resumo 8687 procedimento resumido 9596 supermalha 9596 9798113114 supernós 8789 109111 auxiliada por computador 100105 115116 comparação 98100 114115 de regimes permanentes senoidais 385 389 407409 diagramas esquemáticos no PSpice baseados em nós 103105 localização de fontes e 98 Análise transitória 3 4 capacidade do PSpice para 262265 Análise comando PSpice Type 102 AnáliseResposta em regime permanente 283 Veja também Análise em regime permanente senoidal circuitos RL sem fontes 254 Ângulo de fase θ 364 Ângulos números complexos exponenciais 816819 Anodo 181 AOPs Veja Amplificadores operacionais Argumento de senoides 363 forma exponencial de um número com plexo 816819 Árvores 785791 Assíntotas diagramas de Bode e 645647 Atenuador 170 604605 Aterramento 6465 Atraso de tempo de formas de onda 292 AWG American Wire Gauge 27 B Babbage Charles 6 Base de transistores 710 Beaty H Wayne 3031 Bipolos 683687 717718 cálculo da impedância de entrada para 684687 Bitola de fios 2627 Bobina de potencial 468 Bobina de tensão 468 Bobinas em wattímetros 468469 Bobinas fortemente acopladas 495496 Bode diagramasgráficos de 643660 679681 análise auxiliada por computador para 656660 considerações adicionais 648653 determinando assíntotas 645647 escala decibel dB 644645 pares complexos conjugados 653657 resposta de fase e 647649 suavização de 646647 termos de ordem elevada e 662 termos múltiplos em 646647 Bode Hendrik W 644645 Bossanyi E 478 Boyce W E 301302 Braço robótico 5 Buffer projeto de 172 Burton T 478 C Calculadoras científicas 797798 Caminho Índice 835 análise de malha 8990 definição 785 tensão 14 Caminhos fechados 43 8990 Candela 10 Capacitores 209217 AOPs com 232233 250251 circuitos no domínio s e 571573 definição de 208 dualidade Veja dualidade em paralelo 229230 em série 228229 ideal 209212 217 linearidade consequências da 230232 247250 modelagem de capacitores ideais 209212 com o PSpice 237240 251252 no domínio s 571572 relações fasoriais para 380 relações tensãocorrente integrais 203 214 241245 Carga balanceada 450 Carga constante 12 Carga instantânea 12 Carga negativa 11 Carga positiva 11 Carga 1112 3234 conservação de 11 151 distância e 5 Cargas desbalanceadas conectadas em Y 461462 Cascata de AOPs 176179 203205 604 605 Caso exponencial frequência complexa 528529 Catodo 181 Cavendish Henry 23 CC corrente contínua análise 3 caso frequência complexa 528529 curtoscircuitos 218 fonte de corrente 20 fontes 20 167 varredura de parâmetros 124127 Chua LO 226 Circuito aberto 2829 para CC 211 parâmetros impedância 703705 Circuito amplificador não inversor 174 forma de onda de saída 170171 Circuito Bilateral 693 Circuito com laço único 45 7071 Circuito com único par de nós 4551 71 Circuito LC sem perdas 348349 351353 362 Circuito planar 8990 98 definição 786 Circuito seguidor de tensão 171 174 Circuitos acoplados magneticamente 485 526Veja também transformadores análise auxiliada por computador 501 504 coeficiente de acoplamento 495496 considerações de energia 492496 520522 fluxo magnético 485486 489490 igualdade de M12 e M21 493495 indutância mútua Veja indutância mútua limite superior para M estabelecendose um 494495 transformadores ideais Veja transforma dores ideais transformadores lineares 496504 521523 Circuitos com múltiplas frequências valor RMS em 427429 Circuitos com Q alto aproximações para 625630 largura de faixa e 625630 676677 Circuitos elétricos Veja circuitos Circuitos equivalentes de ThéveninNorton 34 135145 151152 158161 164165 linearidade para capacitoresindutores 232 teorema de Norton 34 139141 151152 164165 análise de circuitos no domínio s 582584 e análise em regime permanente senoi dal 389397 409410 prova da 805806 quadripolos 701750 quando fontes dependentes estão presen tes 141143 resistência 138 151152 164165 teorema de Thévenin 3 135 137139 151152 164165 linearidade para capacitoresindutores 232 Circuitos equivalentes transformadores ideais 511514 Circuitos integrados digitais limites de frequência em 298300 Circuitos lineares 24 análise CC 3 análise da resposta em frequência 3 4 análise transitória 3 4 funções forçantes complexas 371373 leis da conservação 151 relações tensãocorrente lineares 117118 Circuitos não planares definição 786 Circuitos polifásicos 449484 conexão em triângulo 461468 cargas conectadas em Y vs 465 de fontes 481482 conexão trifásica YY Veja Conexão trifásica YY notação com subscrito duplo 451452 sistemas monofásicos a três fios 452456 459460 sistemas polifásicos 450452 Circuitos RC com fontes 287292 Circuitos RC gerais 271274 Circuitos RC sem fontes 265267 Circuitos RC com fontes 287292 constante de tempo τ 266267 função degrau unitário 274278 306 gerais 271274 sem fontes 265267 302303 Circuitos RL com fontes 278281 306307 determinação da resposta completa 283 287 308310 entendimento intuitivo de 281 procedimento direto 279281 resposta natural e forçada 280 281287 307308 Circuitos RL gerais 267268 303306 Circuitos RL ou RC chaveados sequencial mente Veja Circuitos RC Circuitos RL Circuitos RL a resposta em regime permanente 254 a solução particular 254 abordagem alternativa 256 abordagem de solução geral 256257 abordagem direta 254255 análise auxiliada por computador 262 265 chaveados sequencialmente 292297 310 I tempo para cargadescarga comple ta 293295 296 II tempo para carga completa mas não para a descarga completa 295 296 III sem tempo para carga completa mas com tempo para descarga completa 295 296 IV sem tempo para cargadescarga completa 296 297 consideração da energia 259 constante de tempo da resposta exponen cial τ 260261 em fatias bem finas 0 vs 0 268271 função complementar 254 função degrau unitário 274278 306 função forçante 254 geral 267268 303306 propriedades da resposta exponencial 260265 302 resposta forçada 254 resposta livre 254 resposta natural 254 resposta natural Veja Respostas naturais resposta transitória 254 sem fontes 253260 301302 Circuitos RLC 313362 amortecimento crítico sem fontes 326331 forma da resposta criticamente amor tecida 326327 representação gráfica 327328 valores de A1 e A2 327 circuito LC sem perdas 348353 circuitos paralelo sem fontes 313317 355 circuitos série sem fontes 338343 definição dos termos de frequência 316317 equação diferencial para 314316 modelagem de suspensão automotiva 350 Índice 836 relações fasoriais para Veja relações fasoriais para R L e C resposta completa de 343351 361362 parte complicada 344349 parte descomplicada 343344 resposta criticamente amortecida 317 339 resposta sobreamortecida 317 318325 338 339 355357 representação gráfica 323325 resposta subamortecida 317 331 338 339 358360 forma da 331332 representação gráfica 332333 resistência finita papel da 332334 valores de B1 e B2 332333 valores de A1 e A2 318320 resumo de equações 339 resumo do processo de solução 348349 351 Circuitos análise de Veja análise de circuitos componentes de Veja Componentes básicos e circuitos elétricos elementos de 1819 22 funções de transferência para 491492 redes e 2223 resumo da resposta circuito RLC série sem fontes 338339 Clayton G 607608 Coárvore 786787 Coeficiente de acoplamento 495496 Coeficiente de amortecimento exponencial 316 617 Coeficiente de fricção 5 Coeficiente de indutância mútua 485486 Coletores 710 Comando Create PSpice 102 Comando New Simulation Profile PSpice 102 Comando Ponto de Polarização PSpice 102 Comando Run PSpice 102 Combinação de elementos em paralelo 45 capacitores 229230 combinação sérieparalelo equivalentes 635640 combinações de impedância 381383 indutores 228 Combinações equivalentes resposta em frequência e 635640 Comparação de fase ondas senoidais 365 Comparadores 196197 206207 Componentes básicos e circuitos elétricos 938 carga 1112 3234 corrente Veja corrente lei de Ohm V Veja Lei de Ohm potência Veja Potência unidades e escalas 911 3032 tensão Veja Tensão Componentes simétricas 461462 Condutância 2829 386387 Conexão de neutro terra 450 456 Conexão de terra neutro 6465 450 Conexão em série 45 capacitores 228229 combinações de impedâncias 381382 e combinações em paralelo Veja tam bém transformações de fontes fontes conectadas 5154 72 133134 outras formas ressonantes 635640 indutores em 227228 Conexão triângulo 461468 481482 cargas conectadas em Y vs 465 fontes conectadas 465468 Conexão trifásica YY 456462 com carga desbalanceada 461462 conexão em triângulo vs 465 medição de potência em Veja Medição de potência potência instantânea total 459460 sequência de fases abc 456457 sequência de fases cba 456457 sequência de fases negativa 456457 sequência de fases positiva 456457 tensões entre linhas 457458 Conferência Geral de Pesos e Medidas 910 Configuração emissor comum 710 Conservação da energia 14 47 151 Conservação de carga 11 151 Constante de tempo τ circuitos RC 266267 resposta exponencial de circuitos RL 260261 Convenção de sinal passivo 1617 Convenção do ponto base física da 489492 função de transferência do circuito 491492 ganho de potência 491492 indutância mútua 486492 516520 Conversão triânguloestrela 149151 162165 Convolução análise de circuitos no domínio s e 584 585 594 comentários sobre a função de trans ferência 593 integral de convolução 586587 métodos gráficos de 588589 processo de análise em quatro passos 584585 resposta ao impulso 584586 811 sistemas realizáveis e 586588 transformada de Laplace e 591592 operação da transformada de Laplace 556 591592 Cooper George R 538539 Corrente 9 11 12133234 bobina 468 conexões sérieparalelo 5154 72 corrente de ramo 92 direção real vs convenção 13 e divisão de tensão 60637475 e tensão Veja Tensão fonte de corrente controlada por corren te 19 2022 fonte de tensão controlada por corrente 19 2022 fontes reais 127 131132 confiáveis AOPs 182184 controladas 19 2022 ganho amplificadores 700 leis Veja Leis de tensão e corrente malha 8990 9193 496497 relações tensãocorrente em um capaci tor 212214 241245 resposta ressonância e 618 símbolos gráficos para 13 superposição aplicável a 425426 tipos de 13 Corrente de primário 496497 Corrente de ramo 92 Corrente de secundário 496497 Cosenos senos convertidos para 365 Coulomb 11 Curtocircuito 2829 admitância e 703705 admitância de entrada 688689 admitância de saída 689 admitância de transferência 689 para redes equivalentes 694696 quadripolos 689 em CC 218 D Davies B 560561 Década de frequências 645646 DeCarlo R a 106 153154 402 716 Decibel dB diagramas de Bode 644645 Deslocamento no tempo transformadas de Laplace e 552553 556 827829 Determinantes 801803 Diagrama de Argand 811812 Diferença de potencial 14 Diferenciação no tempo transformadas de Laplace e 547549 556 Diodo zener 179182204205 Diodo zener 1N750 181182 DiPrima R C 301 Direção da corrente 12 Dissipação de potência 48 Distância carga e 5 Divisão de tensão e corrente 6063 7475 Domínio da frequência domínio do tempo conversão para 533534 expressões VI relações fasoriais e 380 função de sistema e 763770 representação fasorial 376 Domínio do tempo capacitores no 572573 conversão para o domínio da frequência 533534 expressões VI relações fasoriais e 380 Índice 837 indutores no 572573 relações de tensão para o transformador ideal no 509514 523526 Drexler H B 241242 Dualidade 224 232234 E Edison Thomas 449 Eficaz valor RMS Veja valor eficaz Elemento ativo 209 Elemento bilateral 693 Elemento passivo 209 Elementos lineares 117118 Elementos puramente reativos absorção de energia média 420421 Elementos reativos absorção de potência média 420421 Elos 786787 análise de laços e 791796 Em fatias bem finas 0 vs 0 circuitos RL 268271 Emissores 710 Encapsulamentos AOPs 192193 Energia instantânea armazenada ressonân cia paralela e 620 Energia 14 consideração circuitos RL sem fontes 259 densidade 763 instantânea armazenada 620 circuitos acoplados magneticamente Veja circuitos acoplados magnetica mente armazenamento em capacitores 214216 armazenamento em indutores 223225 unidades de trabalho 10 conservação da 14 47 151 Engenharia análise de circuitos e 45 ENIAC 6 Entendimento intuitivo circuitos RL com fontes 281 Entrada inversora 168 Entrada não inversora 168 Equação auxiliar 315 Equação característica 257259 315 Equações diferenciais alternativa algébrica regime permanente senoidal 372373 homogêneas e lineares 248249 para circuitos RLC paralelo sem fontes 314316 Equações diferenciais homogêneas lineares 253254 Equações diferenciais lineares homogêneas 253254 Equivalentes de Norton Veja Circuitos equivalentes de ThéveninNorton Escalas unidades e 911 3032 Espectro de fase análise com série de Fourier 736737 Espectro de linhas análise com a série de Fourier 735736 Espectro discreto 736 Estabilidade de um sistema 555 Estator 466 Estratégias para a solução de problemas 1 78 Estrutura programação 84 F Fairchild Corp 167 185 Faixa de passagem 660 Faixa de rejeição 660 farad F 208 Faraday Michael 210 217 218 Fasores 4 376 405406 567 Veja tam bém relações fasoriais para R L e C diagramas regime permanente senoidal 397400411 Fator de amortecimento ressonância parale la e 621624 Fator de potência atrasado 431432 Fator de qualidade Q Veja Ressonância paralela Feynman R 6667 Fibra ótica comunicador 175176 Filtros frequência 659660668669 680 681681682 ajuste de gravesmédiosagudos 667669 aplicação prática 667669 ativos 665666 Butterworth 670671 Chebyshev 670671 multifaixas 660 notch 6 ordem superior 668674 681682 passaaltas 660 661673 passabaixas 660661 670671 passafaixas 660 662665 passivo definição 665 passabaixas e passaaltas 660661 rejeitafaixa 670 Filtros ativos 665666 Filtros Butterworth 670671 Filtros Chebyshev 670570 Filtros de agudos 667669 Filtros de médios 667669 Filtros de ordem elevada 668674 681682 Filtros multifaixas 660 Filtros notch 660 Filtros passaalta 660672673 passivos 660661 Filtros passabaixas 660670671 passivos 660661 Filtros passafaixa 660 662665 Filtros passivos definição 665 passabaixas e passaaltas 660661 Filtros rejeitafaixa 670 Fink Donald G 3031 Fluxo magnético 485 485486 489490 Fluxograma para resolução de problemas 8 Fluxos aditivos 489490 Fonte de corrente controlada por tensão 20 Fonte de tensão controlada por tensão 2021 Fonte de tensão real geral 128 Fonte dependente linear 118 Fontes controladas de tensãocorrente 19 2022 Fontes de corrente confiáveis AOPs 182 184 204205 Fontes de corrente independentes 19 20 Fontes de corrente reais 129130 133134 Fontes de tensão confiáveis AOPs 179 182 204205 Fontes de tensão equivalentes 127 Fontes de tensão ideais 127130 Fontes de tensão independentes 19 20 Fontes de tensão reais 127130 133134 Fontes de tensão confiáveis AOPs 179182 204205 efeitos de fontes análise nodal e de malha 8789 109111 fontes conectadas em série e em paralelo 5154 72 ideais 127130 reais 127130 Fontes dependentes circuitos equivalentes de ThéveninNorton 141143 de tensãocorrente 19 2022 lineares 118 Fontes ideais de tensão 19 Fontes imaginárias respostas imaginárias 371373 Fontes reais respostas reais funções forçantes complexas 371373 Fontes reais equivalentes 129132 Fontes reais funções degrau unitário e 276277 Força propulsora 466 Força tensão e 5 Forma cartesiana números complexos 812 Forma complexa da série de Fourier 743 750 Forma exponencial números complexos 816819 Forma geral frequência complexa 527 529 560562 Forma polar números complexos 818820 Forma retangular números complexos 812 Forma trigonométrica da série de Fourier Veja Série de Fourier Formas de onda senoidais como funções forçantes 363 comparação de fase 365 projeto de circuitos osciladores e 602604 valores RMS de tensãocorrente 426428 Formas de respostas circuitos RLC criticamente amortecidos 326327 circuitos RLC sem fontes subamorteci dos 331332 Frequência angular de senoides 363 Índice 838 Frequência complexa 316 análise de circuitos no domínio s e 594603 constelações de polos e zeros 596598 operação em frequências complexas 599 resposta como uma função de σ 594596 resposta natural e 598603 613614 caso especial 605 perspectiva geral 604traçado de gráficos e 595596 612614 traçado de gráficos e 595596 612614 caso CC 528529 caso exponencial 528529 caso senoidal 528529 definição 527532 forma geral 527529 560562 frequência neperiana 527532 frequência radiana 531532 s em relação à realidade 530532 senoides exponencialmente amortecidas 530 Frequência de 3dB 646647 Frequência de canto 646647 Frequência de corte amplificador transisto rizado 390391 Frequência de meia potência inferior 624 625 Frequência de meia potência superior 624625 Frequência de meia potência 646647 Frequência de quebra 646647 Frequência de ressonância natural 331332 618 Frequência de ressonância 316 Frequência fundamental 728 Frequência neperiana 531532 definição 316 Frequência radiana 363 531532 Frequência angular de senoides 363 AOPs e 191193 circuitos RLC paralelo sem fontes 316317 complexa Veja Frequência complexa corte amplificador transistorizado 390391 de senoides 364365 definições de unidades para 316 deslocamento na transformadas de Laplace 556 829830 diferenciação transformadas de Laplace 556 833 domínio da Veja Domínio da frequência frequência fundamental 728 integração transformadas de Laplace 556 831 limites circuitos integrados digitais 298300 mudança de escala 640644678680 múltipla valor RMS com 427429 radiana de senoides 363 resposta em Veja Resposta em frequência ressonante natural 331332 seletividade ressonância paralela e 625626 Frequências críticas análise de circuitos no domínio s 584585 Função de amostragem série de Fourier 747750 Função de sistema 584585 análise auxiliada por computador 767770 resposta no domínio da frequência 763770 significado físico da 770772 transformada rápida de Fourier FFT 765 767770 exemplo de processamento de imagens 773 Função degrau unitário ut 274278 306 circuitos RC 274278 306 circuitos RL 274278 306 e fontes reais 276 277 pares de transformadas de Fourier para 760 retangular 277278 transformadas de Laplace para 538539 Função exponencial eαt 539540 Função forçante complexa Veja análise em regime permanente senoidal Função impulso unitário 275 transformada de Laplace para 538540 Função pulso retangular 277278 Função rampa tut transformada de Lapla ce para 539540 Funções complementares circuitos RL sem fontes 254 Funções de singularidade 275 Funções de transferência 491492 583 584 593 Funções forçantes 118 circuitos RL sem fontes 254 formas de onda senoidais como 363 Funções ímpares 739 Funções não periódicas potência média para 423426 Funções pares 739 Funções racionais transformadas inversas para 541543 Funções temporais simples transformadas de Laplace de 537541 562563 Funçõesformas de onda periódicas 424 Veja também Análise em regime perma nente senoidal Formas de onda senoidais atraso de tempo de 292 como função forçada 363 como saída amplificadores não inverso res 170171 largura de pulso de 292 período T de 292 364 potência média ca de 416418 resposta completa a 741743 tempo de decaimento de 292 tempo de subida de 292 transformadas de Laplace de 827829 valores RMS para 425427 G Ganho de AOPs 602 Ganho de tensão amplificadores 700 George A Philbrick Researches Inc 201 Gerador síncrono 466 Goody R W 355 810 GPS sistemas de posicionamento global 602 Gráficostraçado de gráficos da corrente símbolos para 13 de convolução análise no domínio s 588589 de resposta criticamente amortecida circuitos RLC 328329 no plano de frequências complexas 595 596 612614 resposta sobreamortecida circuitos RLC 323325 resposta subamortecida circuitos RLC 332333 Graves agudos e médios filtros de 667669 Grupos de fontes independentes 119 H Hs VsaídaVent sintetizando 601606 Hanselman D C 826 Harmônicos ímpares 739 Harmônicos pares 739 Harmônicos Fourier 728729 Harper CA 241242 Hartwell FP 6667 Hayt W H Jr 200 402 716 Heathcote M 516 henry H 217 Henry Joseph 217 Hilburn JL 675676 Huang Q 675676 Huelsman LP 675676 I Identidade de Euler 372373 375 433 Igualdade M12 M21 Circuitos acoplados magneticamente 493495 Imitância 386387 Impedância de entrada 582583 amplificadores 700702 bipolos 684687 Impedância refletida 496498 Impedância 231 567568 casamento 506507 combinação de impedâncias em paralelo 380 combinação de impedâncias em série 381382 Índice 839 entrada 582583 reatância e 348349 regime permanente senoidal 381387 definição 381382 resistência e 382383 Indutância mútua 485493 fluxos aditivos 485486 coeficiente de 485486 convenção do ponto 486492 516520 função de transferência do circuito 491492 base física da 489492 ganho de potência 491492 fluxo magnético 485 485486 489490 indutância própria somada à 488 Indutância própria 485 somada à indutância mútua 488 Indutoresindutância 217226 244247 485 armazenamento de energia 223225 características ideal 225 definição 217 dualidade Veja Dualidade em paralelo 228 em série 227228 linearidade consequências da 230232 247250 modelagem 237240 251252 568571 modelo ideal do indutor 217221 no domínio da frequência 568573 no domínio do tempo 572573 picos infinitos de tensão 221 reatância indutiva 368 relações fasoriais para 379 405406 relações tensãocorrente integrais 221223 Integração no tempo transformadas de Laplace e 549551 556 Integrais trigonométricas análise por série de Fourier 730731 Integral particular 283 Inversão de Matrizes 800801 J Jenkins N 477 Johnson DE 675676 Joules 10 Jung W G 200 241242 K K2W op amp 168 Kaiser C J 241242 kelvin 10 Kennedy B K 516 Kirchhoff Gustav Robert 40 L Laço análise de malha e 8990 análise elos e 791796 definição 786 Lancaster D 675676 Largura de faixa e circuitos com alto Q 624630 Largura de pulso de formas de onda 292 Lei de Ohm 2329 3437 absorção de potência em resistores 2428 aplicação prática 2627 condutância 2829 definição de unidades de resistência 23 definição 23 Leighton R B 6667 Leis de Kirchhoff fasores e 380380 lei das correntes LKC 39 4042 6769 análise nodal e 78 151 lei das tensões LKT 39 4245 6870 análise de circuitos e 151 na análise de malha 9596 ordem de elementos e 54 Leis de tensão e corrente 3976 caminhos 3940 circuito com laço único 4548 7071 circuito com um único par de nós 4851 71 divisão de tensão e corrente 6063 7475 fontes conectadas em série e em paralelo 5154 72 laços 39406668 lei de Kirchhoff das correntes LKC 39 4245 6870 ordem dos elementos e 54 lei de Kirchhoff das tensões LKT 39 4042 6769 nós 3940 6668 ramos 3940 6668 resistência equivalente 54 resistores em série e em paralelo 5460 7374 LF411 AOP 185 192193 Lin P M 106 153154 402 716 Linden D 153154 Linearidade 117118 consequências capacitoresindutores 230232 teorema da transformada inversa 540542 Littlefield B L 826 LM324 AOP 185 LM741 AOP 192193 LMC6035 AOP 168 LMV321 AOP dual 168 M M limite superior para 494495 Malha aberta configuração AOPs 196 ganho de tensão 184185 Malha fechada ganho em 185 Malha fechada operação de AOPs em 196 Malha Veja Análise nodal e de malha Mancini R 200 241242 607608 Máquina Analítica 6 Máquina diferencial 6 MATLAB 83 545548 tutorial 821826 Matriz coluna 798 Matriz quadrada 798 Matrizes conformais 799 Matrizes determinantes de 801803 equações simultâneas solução de 798804 forma matricial de equações 83 inversão de 800801 Máxima transferência de potência 146149 161163 422424 Maxwell James Clerk 210 McGillem Clare D 538539 McLyman W T 516 McPartland B J 6667 McPartland J F 6667 Memristor 226 Método dos resíduos 542544 Método Yv para redes equivalentes 694 Metros 10 Microfarads mF 211 MicroSim Corporation 100 Modelo ideal do capacitor 209212 Modelo ideal do indutor 217221 ModelosModelagem 3 de AOPs detalhados 184187 de capacitores ideais 209212 de indutores com o PSpice 237240 251252 indutores ideais 217221 no domínio s 568571 de sistemas de suspensão automotiva 350 Módulo forma exponencial de um número com plexo 816819 mudança de escala 640644 678680 Moles 10 MOSFET 23 Mudança de escala e resposta em frequência 640654 operação da transformada de Laplace 556 Multímetro digital DMM 144145 Multiplicação escalar 556 N Nanotecnologia 226 Napier John 527528 NASA Marshall Space Flight Center 6 National Bureau of Standards 9 National Semiconductor Corp 168 192193 Nepers Np 527528 Neudeck G W 200 402 716 Nó de referência 78 Norton E L 135 Notação com subscrito duplo circuitos polifásicos 451452 Índice 840 Números complexos 813814 descrição 811812 forma exponencial de 816819 forma polar de 818820 forma retangular cartesiana de 812 identidade de Euler 814815 operações aritméticas para 812822 unidade imaginária operador 811 O Øersted Hans Christian 217 Ogata K 559 611612 Ohm Georg Simon 23 Ohms Ω 23 Oitava de frequências 645646 OPA690 AOP 185 191192 Operando em frequências complexas 599 Oscilador ponte de Wien 602 P Palm W J III 826 Parâmetros ABCD quadripolos 711715 724725 Parâmetros de transmissão quadripolos 711715 724725 Parâmetros híbridos quadripolos 708711 723724 Parâmetros T quadripolos 711715 724725 Parâmetros Y quadripolos 689690 702703 Parâmetros Z 703707 722723 Parcela real de função forçante complexa 370 Pares complexos conjugados diagramas de Bode e 653657 Pares de Transformadas de Fourier 752753 para a função degrau unitário 760 para a função impulso unitário 757759 para a função sinal 759760 para funções forçantes constantes 759 resumo de 761 Pares transformadas de Laplace 553554 ParsevalDeschenes Marc Antoine 755 Periodicidade no tempo transformadas de Laplace e 556 827829 Perry T 810 Peterson Donald O 807808 Philbrick K2W AOP 168 Philbrick Researches Inc 167 Philbrick George A 201 Picos infinitos de tensão indutores e 221 Pinkus A 560561 776777 Plano complexo 811812 Polarização de entrada 188 Polinômio de Butterworth 670 Polinômios de Chebyshev 670 Polos distintos método dos resíduos e 542544 Polos repetidos técnicas de transformada inversa 544545 Polos 541542 constelações de polos e zeros 596598 método dos resíduos e 542544 repetidas transformadas inversas 544545 zeros e funções de transferência 583585 611612 Polya G 8 Porta 683 Potência absorvida 17 20 4748 em resistores 2428 por elemento 4748 Potência aparente 431432 435 439 fator de potência e 430433 444446 Potência complexa 433439 444446 componente em quadratura 435 fator de potência 430433 444446 adiantado 431432 atrasado 430431 correção 436437 fator de potência FP fórmula 433434 medição 435437 potência aparente 431432 433 436437 e fator de potência 429432 potência complexa 433435 potência em quadratura 435 potência média 435 potência reativa 433 433435 439 terminologia 439 triângulo de potências 433435 voltaampère reativo VAR unidades 433434 voltampère VA 431432 watt W 439 Potência em quadratura 435 Potência fornecida 17 igualando potência absorvida 48 Potência fornecida 20 Potência instantânea 413416 439 441443 Potência média máxima 423 Potência média 435 439 absorção em elementos reativos de 420421 absorção em um resistor ideal 420 circuitos ac 416426 439 441442 443444 formas de onda periódicas 416418 funções não periódicas 423426 máxima 423 máxima transferência de 422424 no regime permanente senoidal 417419 superposição e 425426 valor RMS e 427428 Potência negativa absorvida 17 20 Potência positiva 17 19 Potência reativa 433434 435 439 Potência total instantânea trifásica 450 459460 Potência 9 1518 3234 Veja também análise de potência em circuitos ac absorvida Veja potência absorvida dissipação 48 expressão para 15 ganho 491492 700 máxima transferência de 146149 161163 média Veja potência média negativa Veja potência absorvida positiva 17 1 reativa 435 439 recapitulação de terminologia 439 sistemas de geração 466467 superposição aplicável à 425426 triângulo 433435 unidades 10 Potência fator de FP 439 adiantado 431432 ângulo 431432 atrasado 431432 correção 436437 potência aparente e 430433 444446 potência complexa 430433 444446 Potência medição de 435437 método dos dois wattímetros 472475 sistemas trifásicos 468476 482483 wattímetro teoria e fórmulas 469473 wattímetros uso de 468470 Potenciômetro 667 Prefixos SI 1011 Prefixos SI 1011 Probe programa 336338 Procedimento direto circuitos RL com fontes 279281 Processamento de imagens análise de Fourier e 773774 Programa de Simulação com Ênfase em Circuitos Integrados 100 Projeto definição 56 Propriedade aditiva da transformada de Laplace 540541 Propriedade da homogeneidade transfor madas de Laplace 540541 Propriedade do peneiramento 539540 PSpice 100 102105 124127 comando Bias Point 102 comando Create 102 comando New Simulation Profile 102 comando Run 102 comando Type 102 diagramas esquemáticos baseados em nós 103105 modelagem de capacitores no 237240 251252 modelagem de indutores no 237240 251252 para análise em regime permanente senoidal 396397 para análise transitória 262265 tutorial 807810 Q Quadripolos 683727 admitância de transferência em curto circuito 689 admitância em curtocircuito da entrada 689 Índice 841 admitância em curtocircuito da saída 689 amplificadores 700702 análise auxiliada por computador 714 715 bipolos Veja bipolos elemento bilateral 693 método da subtraçãoadição yv 694 método de Δ de impedâncias 695698 método da admitância de curto circuito 694696 método do equivalente de Norton 701702 método do equivalente de Thévenin 701702 yΔ não aplicável 697698 parâmetros ABCD 711715 parâmetros admitância 687694 718720 circuito bilateral 693 parâmetros admitância de curtocircuito 689 parâmetros de transmissão 711715 724725 parâmetros híbridos 708711 723724 parâmetros impedância 703707 parâmetros t 711715 724725 parâmetros y 689690 702703 redes equivalentes 694715 teorema da reciprocidade 693 transistores caracterizando 710711 Quilogramas 10 Quilowatthora kWh 430431 R Ragazzini J R 200 Ramos definição de 785 Randall R M 200 Rawlins C B 26 27 Realimentação negativa AOPs 188189190 caminho 602 Realimentação positiva 189190 602 Realimentação controle de 5 Reatância síncrona 466 Reatância impedância e 382383 indutiva 368 síncrona 466 Rede ativa 22 Rede inativa 141 Rede morta 138 141 Rede multiportas 683 Veja também Qua dripolos Rede passiva 22 Redes com parâmetros concentrados 39 Redes com parâmetros distribuídos 39 Redes equivalentes e T 498499501502 Redes equivalentes T e 498499501502 Redes equivalentes quadripolos Veja quadripolos Redes 2223 ativas 22 passivas 22 quadripolos Veja Quadripolos topologia Veja topologia de redes Regra de Cramer 82 803804 Regulação de tensão 467 Rejeição de modo comum CMRR AOPs 188189 Relação de tensão Hs VsaídaVent sinteti zando 601606 613614 Relação de tensão transformadores ideais domínio do tempo 509514 Relação de transformação transformadores ideais 503507 Relação tensãocorrente linear 117118 Relações fasoriais para R L e C capacitores 380380 definição de impedância a partir de Veja análise em regime permanente senoidal domínio da frequência expressões VI no 380 expressões VI no domínio do tempo 380 indutores 379 405406 leis de Kirchhoff usando 380380 na representação complexa abreviada 375 representação fasorial 376 representação no domínio da frequência 376 representação no domínio do tempo 38 resistores 377378379 Relações tensãocorrente integrais capacitores 212214 241245 indutores 221223 Reposta ao impulso convolução e 584586 612 Representação complexa fasor como uma abreviação para 375 Resistência equivalente 55 138 Resistência finita de fios 453454 Resistência finita circuito RLC paralelo sem fontes subamortecido 332334 Resistência interna 128 ResistênciaResistoresResistividade 9 26 Veja também lei de Ohm em série e paralelo 5460 7374 equivalente 55 ideal absorção de potência média 420 impedância e 382 383 interna 128 linear 24 na análise de circuitos no domínio s 567568 572573 no domínio da frequência 567568 no domínio do tempo 572573 relações fasoriais para 377378379 saída 128 variável Veja Potenciômetro Resistências negativas 687 Resistor ideal absorção de potência média 420 Resistor linear 24 Resposta completa 729728 a funções forçantes periódicas 741743 circuitos RL com fontes 283287 308 310 de circuitos RLC Veja circuitos RLC Resposta criticamente amortecida circuitos RLC circuito sem fontes paralelo 317 329 série 338339forma da 326327 representação gráfica 328329 Resposta de fase diagramas de Bode e 647649 Resposta de tensão ressonância e 618619 Resposta em frequência 3 4 615682 combinações série e paralelo equivalen tes 635640 diagramas de Bode Veja diagramasgrá ficos de Bode filtros Veja filtros frequência formas ressonantes outras 633640678 679 mudança de escala 640644 678680 ressonância paralela Veja ressonância paralela ressonância série 629632 677 Resposta exponencial circuitos RL 260265 302 Resposta livre circuitos RL sem fontes 244245 Resposta subamortecida circuitos RLC paralelo sem fontes Veja circuitos RLC circuitos RLC série sem fontes 338339 Resposta transitória 281 circuitos RL sem fontes 254 Resposta 117 circuitos RLC série sem fontes 338339 como função de domínio s 594596 funções 118 no domínio da frequência 763770 Respostas forçadas 363 727728 a senoides Veja Análise em regime permanente senoidal circuitos RL com fontes 280 307308 circuitos RL sem fontes 254 Respostas naturais 274 363 366 727728 circuitos RL com fontes 280 281287 circuitos RL sem fontes 254 e o plano s das frequências complexas 598603 613614 Ressonância paralela 615624 632 675676 Amortecimento coeficiente exponencial 617 fator 621624 definição 615618 energia instantânea armazenada 620 fator de qualidade Q 619624 fator de amortecimento e 621624 largura de faixa e 624630 outras interpretações para Q 621622 frequência de ressonância natural 618 largura de faixa e circuitos com Q alto 624630 676677 principais conclusões sobre 629630 Índice 842 resposta de corrente e 618 resposta de tensão e 618619 resumo da 632 seletividade em frequências 625626 Ressonância 316 paralela Veja Ressonância paralela resposta de corrente e 618 resposta de tensão e 618619 série 629632 677 tabela resumo para 632 Ressonância série 629632677 RetificadoresRetificação 451 485 Rotina solve 84 Rotor 466 Russell F A 200 S s definição 530532 Sands M L 6667 Saturação AOP 189190191 Segundos 10 Senoides adiantadas 364365 Senoides atrasadas 364365 Senoides em fase 364365 Senoides exponencialmente amortecidas 530 Senoides caso da frequência complexa 528529 como funções forçantes 615616 transformadas de Laplace de 552553 Senos convertidos para cosenos 365 Sequência de fase abc 456457 Sequência de fase cba 456457 Sequência de fases negativa 456457 Sequência de fases positiva 456457 Série de Fourier coeficientes 731732 forma complexa 747750 forma trigonométrica da 727737 coeficientes avaliação de 731732 dedução 729730 equação para 730 espectro de fase 736737 espectro de linhas 735737 harmônicos 728729 integrais úteis 730731 função de amostragem 747750 simetria uso da 737741 com finalidade de simplificação 741 simetria de meia onda 739740 741 simetria par e ímpar 737 741 termos de Fourier e 737739 Setas para correntes 9 13 Sharpe D 478 siemen S 568 Significado físico transformadas de Fou rier 755756 Simetria de meia onda Fourier 739740 741 Simetria ímpar análise com a série de Fourier 737 741 Simetria par análise por série de Fourier 737 741 Simetria uso da análise com série de Fou rier 737741 Simon PaulRené 3031 Sinais convenção passiva 17 para tensões 9 14 Sistema de monitoramento de pressão em tanques 178179 Sistema Internacional de Unidades SI 910 Sistema métrico de unidades 10 Sistema trifásico balanceado 450 Sistemas de suspensão automotiva mode lagem de 350 Sistemas fisicamente realizáveis 586588 Sistemas monofásicos a três fios 452456 479 Sistemas numéricos unidades e escalas 9 Sistemas realizáveis análise no domínio s 586588 Sistemas trifásicos balanceados 450 Sistemas estabilidade de 555 Slew rate AOPs 191193 Snider GS 226 Solução complementar Veja Respostas naturais Solução de equações simultâneas 797804 calculadoras científicas e 797798 determinantes e 801803 matrizes 800804 regra de Cramer 803804 Solução geral circuitos RL sem fontes 256257 Solução particular 283 circuitos RL sem fontes 254 SPICE 6 100 Veja também PSpice Squire J 776777 Stewart DR 226 Strukov DB 226 Suavização de diagramas de Bode 646647 Supermalha 9596 9798 113114 Supernós 8789 109111 Superposição 3 117127 152 153156 371373 análise em regime permanente senoidal 389397 409410 aplicável a correntes 425426 aplicável à potência 425426 limitações da 127 procedimento básico 124 teorema da superposição 119 Susceptância 386387 Suspensão automotiva modelando 350 Szwarc Joseph 3031 T Taylor Barry N 3031 Taylor J T 675676 Técnicas de análise de circuitos 117166 circuitos equivalentes de Norton Veja Circuitos equivalentes de Thévenin Norton circuitos equivalentes de ThéveninVeja Circuitos equivalentes de Thévenin Norton conversão triânguloestrela 149151 linearidade e superposição 117127 153156 máxima transferência de potência 146149 processo de seleção para 151152 164165 superposição Veja Superposição transformações de fontes Veja transfor mações de fontes Tempo de acomodação 324325 Tempo de descida de formas de onda 292 Tempo de subida de formas de onda 292 Tensão de entrada diferencial 188 Tensão de geração 466 Tensão de offset de entrada AOPs 191 Tensão derivada da corrente 19 Tensão integral da corrente 19 Tensão zener 181 Tensão 9 1415 divisão de tensão e corrente 6063 74 75 Amplificador de tensão 170 elementos passivos 22 fontes de corrente e 1823 3435 5154 72 elementos ativos 22 elemento de circuito 22 fontes dependentes de tensãocorren te 19 2022 fontes independentes de tensão 1920 fontes Veja Fontes de tensão força e 5 gerada internamente 466 leis Veja Leis de tensão e corrente offset de entrada AOPs 191 polaridade real vs convenção 14 redes e circuitos 2223 relações tensãocorrente integrais para capacitores 21223 tensão derivada da corrente 19 fontes independentes de corrente 20 tensão integral da corrente 19 valor eficaz de 425431 443445 Tensões de fase 456 Tensões entre linhas conexão trifásica YY 457458 Teorema da mudança de escala transforma das de Laplace e 832 Teorema da reciprocidade 693 Terminais de linha 456 Termos de ordem elevada diagramas de Bode 652653 Termos múltiplos em diagramas de Bode 646647 Terra de chassi 6465 Terra de sinal 6465 Tesla Nikola 449 Thévenin LC 135 Índice 843 Thompson Ambler 3031 Topologia de redes 785796 análise de laço e elos 791796 análise nodal generalizada e árvores 785791 Topologia 785 Veja também Topologia de rede Trabalho energia unidades 10 Transcondutância 22 Transferência de carga 12 Transformação de fontes 3 127134 151 156159 e análise em regime permanente senoi dal 389397 409410 fontes de corrente reais 129130 133134 fontes de tensão reais 127130 133134 fontes reais equivalentes 129132 requerimentos conceituais fundamen tais 133134 resumo 134 Transformações de fontes Veja Transformação de fontes entre parâmetros y z h e t 704705 Transformada de Fourier Veja também Pares de Transformadas de Fourier de função periódica temporal genérica 762756 definição 750754 função de sistema domínio da frequên cia Veja função de sistema propriedades da 754757 significado físico da 755756 transformada rápida de Fourier FFT 765 767770 exemplo de processamento de ima gens 773 Transformada de Laplace bilateral 535536 Transformada de Laplace unilateral 536538 Transformada inversa de Laplace bilateral 536537 Transformada Rápida de Fourier FFT 765 767770 exemplo de processamento de imagens 773 Transformadas de Laplace 527566 análise auxiliada por computador 545548 convolução e 591592 definição 534538562563 função forçante senoidal amortecida 531535 560561 para a função exponencial eaτ 539540 polos repetidos 544545 de funções temporais periódicas 827829 de funções temporais simples 537 541 562563 operações tabela de 556 para a função degrau unitário ut 538539 para a função impulso unitário d t t0 538540 para a função rampa tut 539540 pares 553554 propriedade do peneiramento 539540 teorema da diferenciação no tempo 549551 teorema da estabilidade de sistemas 555 teorema da integração no tempo 549551 teorema da mudança de escala no tempo 832 teorema da senoide 552553 teorema do deslocamento no tempo 552553 827829 teoremas para 547556 563565 transformada de inversa de Laplace bilateral 536537 transformada de Laplace bilateral 535536 unilateral 536538 técnicas de transformada inversa 540 546 563564 para funções racionais 541543 polos distintos método dos resíduos 542544 teorema da linearidade 540542 teorema da diferenciação na frequência 831 teorema do deslocamento no tempo 829830 teoremas do valor inicialfinal 556558 564566 Transformadas inversas Veja transforma das de Laplace Transformadores abaixadores 508509 Transformadores elevadores 508509 Transformadores ideais 503515 circuitos equivalentes 511514 para ajuste do nível de tensão 507509 para casamento de impedâncias 506507 relação de tensão no domínio do tempo 509514 523526 relação de transformação de 503507 transformadores abaixadores 508509 transformadores elevadores 508509 Transformadores lineares 496504 corrente de primário 496497 corrente de secundário 496497 impedância refletida 496498 redes equivalentes T e 498499 501502 Transformadores supercondutores 511512 Transformadores 485 Veja também Circui tos acoplados magneticamente supercondutores 511512 Transistores 23 390391 710711 Triângulo de impedâncias redes equi valentes 695698 Tuinenga P 106 810 U Unidades básicas do SI 10 Unidades de engenharia 11 Unidades e Escalas 911 3032 V Valor final transformadas de Laplace 557558 Valor inicial transformadas de Laplace 556557 Valor raiz do valor médio quadrático RMS Veja Valor RMS Valor RMS em circuitos com múltiplas frequências 427429 para a potência média 427428 para a tensão e a corrente 425431 439 para formas de onda periódicas 425427 para formas de onda senoidais 425427 Valores de A1 e A2 amortecimento crítico e 327 circuito RLC paralelo sobreamortecido 318320 Valores de B1 e B2 332333 Valores de parâmetros AOPs 185 Vetor linha 798 Vetores 799 800 Volta Alessandro Giuseppe Antonio Anas tasio 14 Voltampères VA 431432 Votaampèrereativo VAR unidades 433434 potência complexa 433 W Wait JV 675676 Wattímetros para sistemas trifásicos método dos dois wattímetros 472475 teoria e fórmula 469473 uso 468470 Watts W 10 433 Weber E 301 355 Weedy B M 440441 478 Westinghouse George 449 Wheeler HA 527528 Williams RS 226 Winder S 607608 Y Ys e Zs Veja análise de circuitos no domínio s Z Zs Ys e Veja análise de circuitos no domínio s Zafrany S 560561 776777 Zandman Felix 3031 Zero vs Zero em fatias bem finas circui tos RL 268271 Zeros 541542 análise de circuitos no domínio s constelações de polos e zeros 596598 zeros polos e funções de transferên cia 583585 Zeta ζ fator de amortecimento 622623 Tabela de integrais sen2ax dx x 2 sen2 ax 4a cos2 ax dx x 2 sen2 ax 4 a x sen ax dx 1 a2 sen ax ax cos ax x2 sen ax dx 1 a3 2ax sen ax 2 cos ax a2x2 cos ax x cos ax dx 1 a2 cos ax ax sen ax x2 cos ax dx 1 a3 2ax cos ax 2 sen ax a2x2 sen ax sen ax sen bx dx sena bx 2a b sena bx 2a b a2 b2 sen ax cos bx dx cosa bx 2a b cosa bx 2a b a2 b2 cos ax cos bx dx sena bx 2a b sena bx 2a b a2 b2 xeaxdx eax a2 ax 1 x2eaxdx eax a3 a2x2 2ax 2 eax sen bx dx eax a2 b2 a sen bx b cos bx eax cos bx dx eax a2 b2 a cos bx b sen bx dx a2 x2 1 a tan 1 x a 0 sen ax x dx 1 2π a 0 0 a 0 1 2π a 0 π 0 sen2x dx π 0 cos2 x dx π 2 π 0 sen mx sen nx dx π 0 cos mx cos nx dx 0 m n m e n inteiros π 0 sen mx cos nx dx 0 m n par 2m m2 n2 m n ímpar Tabela de identidades trigonométricas senα β sen α cos β cos α sen β cosα β cos α cos β sen α sen β cosα 90 o sen α senα 90 o cos α cos α cos β 1 2 cosα β 1 2 cosα β sen α sen β 1 2 cosα β 1 2 cosα β sen α cos β 1 2 senα β 1 2 senα β sen 2α 2 senα cos α cos 2α 2 cos2 α 1 1 2 sen2 α cos2 α sen2 α sen2α 1 21 cos 2α cos2 α 1 21 cos 2α sen α ejα e jα j2 cos α ejα e jα 2 ejα cos α j sen α A cos α B sen α A2 B2 cos α tan 1 B A Endsheetindd 833 7314 704 PM