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1 1 Transformação de Tensão Parte 2 Componente Curricular ENGN90 Mecânica dos Materiais IA Carga Horária 60 horas 9 2 Capítulo9 Transformação de Tensão R C Hibbeler Pearson Education do Brasil A 96 Circulo de Mohr para Estado Plano de TensGes y LY O Circulo de Mohr é uma maneira pratica para V 055 Ts x Oy ny representar Estado Plano de Tensdes de um ponto y Txy ox Qe graficamente L Para o elemento sujeito ao estado plano de tensGes LI As expressdes de o 74 sao chamadas de equagdes paramétricas de um circulo x Oy cos 26 Ty sin 20 Tyy COS 20 Isso significa que se escolhermos um conjunto de eixos de coordenadas retangulares e esbocarmos um ponto V plano vertical de coordenadas a 7 pata qualquer valor do parametro todos os pontos obtidos ficarao sobre um circulo Para confirmar essa propriedade climinaremos o das expressoes de o tT da seguinte maneira oe 96 Circulo de Mohr para Estado Plano de TensGes y Utilizando as coordenadas do plano vertical Va5 7 temse Oy x Ox Oy Ox z 0s 20 Txy sin 260 A Ox 7 O 0 Ox dy Ox 7 0s 20 Tyy sin 26 Wg 2 2 Oy 0 Oy 6 SPE ome IN Z aoe Ox Oy Ox 0 2 QO Somandose 1 e 2 temse a b Ox ay Ox Oy 2 Ox Oy Ox Txryr 7 0s 20 Tyy sin 26 sin 20 Tyy COS 26 oer 96 Circulo de Mohr para Estado Plano de TensGes Oy 0 2 QO Desenvolvendose a e b temse a cos 20 Tyy sin 26 0 6 2 Ox 0 5 os 26 42 cos 26 tyy sin 20 Ty sin 20 a NN en ee Ox Oy 2 Ox Oy COs 20 2Txy a cos 26 sin 20 x Try sin 20 a J Oe Ox Oy 2 6 z7 sin 20 Tyy COS 26 0 6 2 Ox 0 sin 26 2 sin 26 Try cos 20 Try cos 20 AS 25 sin 26 Ketay FF sin 20 05 2K Py 00820 Ox Oy x ys 1 2 b 3 sin 20 2Txy 5 sin 26 cos 20 Try COs 26 eee Ox Oy2 QO Somandose O x cos 20 sin 26 60 ty cos 20 sin 20 resultado de a e b temse og 02 2x Py 2 95 96 Circulo de Mohr para o Estado Plano de Tensdes QO Substituindo a expressao a b na equacao abaixo temse Ox ay 2 Ox6 20 0 6 2 o Txryr cos 20 Tyy sin 26 sin 26 Ty COS 26 oa Ox T Oy Ox Oy 2 0 0 PS 7509 ey SF reo 7 txy Oméd 0 R 0 y 98 A 5 ako Ox Oméd T x1 R 1 I CIND Ox Oy Os pontos B e A definem as tensdes fone Vio Txy principais oe 7 tespectivamente V Ox Oy Quando as tensOes sao principais temse GF 208 que Tyy 0 7 7 0 Oxy oa 36 sin 20 Ty tan 26 Txy DV Ty sin Txy COS 206 Ox fro Cd yt 2 2 Equacao do circulo de raio com centro Cno eixo das abscissas a cujas coordenadas Xp e Vy sao G 0 a 96 Circulo de Mohr para o Estado Plano de Tensdes QO Para tracar o circulo de Mohr considerase o estado plano de tensd6es EPT um elemento Lee y infinitesimal supondo que 0 g 7 sejam conhecidos QO A partir de um diagrama o x 7 as cootdenadas dadas pelos pontos V 7 fepresenta as tensdes no plano vertical do T elemento e o ponto H a 7 representa as tensdes no x plano horizontal O 7 0 V estara localizado abaixo do eixo 0 das abscissas e H acima i V OW Caso Ty 0 V estara localizado acima Txy aN do eixo das abscissas e H abaixo 0 Txy Oxs Oy QO Ligandose os pontos V e H por uma reta temse 0 ponto de interseao dessa reta H V com o eixo das abscissas que sera o centro 5 x C do circulo T Xy O Tracase 0 circulo com centro Ce diametro VH om 96 Circulo de Mohr para Estado Plano de TensGes QO No circulo o plano vertical V do Oy H a8 oo 60 elemento infinitesimal representado T pelo segmento CV ec o plano iN B horizontal pelo segmento CH O NQ Ox 0 xy 292 UO Esses planos sao perpendiculares Gy BNO ee V 36 entre si no estado de tens4o mas no i Ox circulo de Mohr eles estao defasados ee méd R de 180 Ty 01 LI Os pontos A e B definem as tens6es principais o o O 0 tespectivamente dados por 6O0OB OCCB 642R 02 O0A OCCA 6R L Adotando o plano vertical V CV como teferéncia a direg4o principal é dada pela tangente do angulo formado pelos segmentos CV e CB DV tan 20 LU O angulo 209 é dado levando segmento CV ao CA 98 96 Circulo de Mohr para o Estado Plano de Tensdes F Tmax R Tmin L Os pontos E e F fornecem as tensGes yy Tmax Tmin 00 plano dadas por Tmax CE CF R B O XQ O50 As cootdenadas desse pontos so Y EOmeaiR FOmeai R O24 RN V20 0 E max Ri Oxt Oy 01 62 OK I Omed OC 2 2 t Oméd R xV O71 y Adotando o plano vertical VCV como referéncia a direcao o y do plano de cisalhamento maximo e minimo é dado pela Ty tangente do angulo formado pelos segmentos CV e CE Ox CD Lembrando que analiticamente x 0 20 90 20 Negativo Sentido horario oer a 97 Exemplos de Aplicacao 1 ryYT yf oes 1 O estado plano de tensao de um ponto sobre um corpo é ee representado no elemento ilustrado na figura Represente esse estado bay de tensao em termos a das tensdes normais principais b da tensao de cisalhamento maxima no plano e da tensao normal 90 MPa meédia associada utilizando o circulo de Mohr 60 MPa me oes oe 20 MPa a tensdes normais principais e diregao principal 90 Referéncia plano vertical VCV 02 H 02 0A CACO R Onea va Lf 60 20 90 A B OC Omea z 35 MPa R CD DV He Vi je Oméd 02 813935 CD O0D0C 20435 55 MPa 00 oS 0 4639 MPa R552 602 R 8139 MPa t xy Cra 9 Exemp los de Ap licagao 1 a tensdes normais principais e direcao 90 MPa V20 60 1s principal 180 26 60 MPa H90 60 1 90 201 180 4749 20 MPa try i 205 13251 0 4639 MPa A B 00 R 8139 MPa V ING 5 op y iy 0 OB OC CB Omeg R io o1 Ty Pe Ni o 813935 o 11639 MPa 02 I l Considerando o plano vertical V CV como teferéncia que tx 0 esta associado a tensao o temse direcao principal dada por pe VD 62 Xr tan 20p a CD0C0D352055MPa a Lo 60 5 af tan 20y2 55 202 4749 69 2375 an 97 Exemplos de Aplicacao 1 b tensd4o de cisalhamento maxima no plano e a tensao normal a media associada e sua diregao 390 MPa Tmax CECF R R8139 MPa Considerando o plano vertical V segmento CV como referencia a direcao da T4 dada por a2 aoe OD AOE 20435 282 4251 Ftmix 1B Tin an 205 VD VD 60 6 2126 Hs ay y Tmax R 8139 MPa A C Zs 60 Oméd Tmax ae 60 KO 1 Oxs Oy get y x fy eo 20 WX fe Oso x om G2 NZméd p lg toy dee 20 E Tmax R o met O71 A 71 4 I Uy Tmax Oméd 20 90 OC Omea z 35 MPa aD 6 13 Pág 348 e 349 Prob 970 972 978 Resolver os seguintes exercícios do Capítulo 9 Transformação de Tensão do livro texto Resistência dos Materiais 7a ed R C Hibbeler Pág 350 Prob 981 982 Pág 356 Prob 988 a c e d 989 990 Círculo de Mohr Tensão de cisalhamento máxima absoluta Td wv e 98 Tensao de Cisalhamento Maxima Absoluta L Como ja visto no caso geral do estado de Ox Ty Txz O T yx Oy Tyz to tensdes denominado de Estado Triplo de Lai 1 OT 6 ZX zy Zz Tensdes em um dado ponto de um corpo Fy 4 Ws a Cp A tém as seguinte componentes de tensao P LI E possivel determinar no espaco a orientagcao de um OQ Z ee a elemento sobre o qual atua apenas as tensOes principais em suas faces cujo os valores serao considerados maximos intermediarios e minimos isto é General state of stress L Para esse objetivo admitira que a orientacao do elemento O34 min associado as tensdes principais seja conhecido LI Nessas condicdes as tensdes sao conhecidas como e e e e e yp Tensdes Triaxiais ou Estado de Tens4o Triaxial x Oint Omax 02 O74 ar 98 Tensao de Cisalhamento Maxima Absoluta LI Se observar esse elemento em apenas duas dimensGes isto é nos 03 x min planos principais xy yz e xz podese utilizar o circulo de Mohr para determinar a tensao de cisalhamento maxima que oO ocotrem em cada um desses planos VoT Ho T yy x Dint O14 y mx ETS 02 O52 ee 52 ED O14 x Pmed 2 Zz Zz 3 3 oy 3 Vo40 H3 0 02 93 y x mea ad aa 2 ar 98 Tensdao de Cisalhamento Maxima Absoluta 2 LI Representando o estado de tensGes dos planos no circulo de Mohr 03 Omin y z med 05 0150 O2 H62 0 e350 y x Oint 01 O14 Omax x x O71 3 TmaxAbs 5 01 902 0 603 01 92 01 03 2 5 Lo o Pmaxxy Tmax Abs mead I oO O oO z wee ee ee He ee ee ee ee T 916 o 99 Exemplos de Aplicacao 2 P A partir de carregamentos aplicados a estrutura o T1y elemento localizado em um ponto esta sujeito ao Sn estado plano de tens4o ilustrado na figura Através Pp 2 do circulo de Mohr determine a tensOes principais e sua diregao b a tensao de cisalhamento maxima absoluta no ponto e sua diregao c Represente usando o circulo de Mohr o estado Y de tensao em um elemento orientado a 30 no ee sentido antihorario em relacao ao estado de F tensao inicial 20 kPa VOx Txy V2040 C100 40kPa H0yTxy H040 Ooy 200 O mid 10kPa x 2 2 aT 99 Exemplos de Aplicacdo2 wy O74 180 265 V2040 H040 C100 So 1 OL X 20 180 7596 a tensOes normais principais e 1 sua direao Pe x 261 10404 O92 OAO0C4CA Omea R 64 5202 I 200 OC Ong 10 kPa vs 7 os 20 2 t 20 kPa R JCD DV 40kPa CD OD 0C 2010 10kPa e 20 RJ102402 R4123kPa 40 24y2 62 4123410 o 5123 kPa A ic lo B 66 so DY 40 ran 2 CD 10 oo J 40 285 7596 1 OB CBCO Ano 3798 6 412310 o 3123kPa Ty J 918 99 Exemplos de Aplicacao 2 0 3123 kPa Omax b a tensao de cisalhamento maxima absoluta no 02 ponto e sua direcao 2 51 23 MPaJ Omin 3 oy i tos REO o1 02 H63 0 C1 mea 2 C2 Omea a 20 kPa i H202 0 02 03 C3 Omea H3o3 0 TmaxAbs C1 R 4123 kPa a Tmixans Bo 3123 5123 r TmaxAbs a max Abs TmaxAbs 4123 kPa J 3123 51 23 919 99 Exemplos de Aplicacao 2 b a tensao de cisalhamento maxima absoluta no ponto e sua direao to Tmaxabs CJ R 4123 kPa neg 10 kPa 202 7596 40kPa 20 cabs 20p2 90 207445 7596 90 V J Oméd C O71 mixAps 20 7Abs Vi J Tmax Abs J Sméed J If x Oméd toy rs 1 H I tte T Oneal TmaxAbs in 9 20 99 Exemplos de Aplicacao 2 c Represente usando o circulo de Mohr o estado de tensao em um elemento ee 20 KPa orientado a 30 no sentido antihorario em relacado ao estado de tens4o inicial His 20 2 x 30 60 B2020 P 7596 60 1598 V2040 H040 CE CE CH CV R 4123 kPa cosB cos1598 CE 3964 kPa B CV 4123 20 202 7596 V OC 10 kPa Ox OE OCCE oy 3964 10 0x 49 64 kPa ord R Txy OF VE Tyy 1135 kPa Lon l Oméd VE Tx yr senpB sen1598 CV 4123 oo C x y Oy OG CG OC 3964 10 NI 0O 2964 KPa CG 1598 CG 40 cos B CH cos1598 4123 CG 3964 kPa H xX Oy cos 20 Ty sin 20 T Woo sin 20 Tyy cos 20 921 99 Exemplos de Aplicacao 2 Representacao do Estado Plano de Tensao rotacionado de 30 no sentido antihorario 0 4964 kPa eb 20 kPa Oy 2964 kPa y pe 40kPa Oy Tyy 1135 kPa i 1 1 30 4964 01 20 0 0 x 13 toy 7 Ly Oy 2964 kPa Try Oy 0 ee 99 Exemplo 3 A viga ilustrada esta sujeita ao carregamento distribuido w 120 kKNm Determine as tensdes ptincipais e de cisalhamento maxima na viga no ponto que se encontra na juncao superior da alma com a mesa ou flange I 674 x 10 m Solucao Reacoes de apoio y G w 120 kNm DF 0 a 4 B C A yr 0 Ay By120x20 a 03 m Im Ay By 240 Ay 120kN B A 3 1 mm f0 56 kN YM 0 By X2120x2x 0 B 120kN teen Secao em C para determinacao dos esforcos solicitantes a 200 mm Z 3 a que atuam no ponto P fy ip pr0 p20 Rot 15 mm 175 mm 03m YF 0 120120x03Vp 0 Wp 84kN Vp 84kN M 306kNm 03 120 kN YMé 0 120 x 03 120 x 03 xX Mp 0 Mp 306kNm 923 99 Exemplo3 J674x10 m y Solugao Vp 84kN Mp 306kNm x Z B N Myl Mzlyz Mylyz Mzly a AT pre ph 75m 2m zty yz zty YZ VQ 15mm No ponto P T P it M 306 x 103 N 01m 454MP ee P Ox L Ox 674 x 106m4 AM a 200 mm Z Qp 0175 m 0015 m 01075 m 28219 x 106 m 15mm 840 x 10 N 28219 x 108 m vam xy 674x10m00lm 36 kN ag 352 MPa 015m Portanto o estado de tensao no ponto Pé ms dado por 45 4 MPa toy a Hing V O plano Vertical V tem coordenadas dada por 03m 120 kN VOx5Txy V 454 352 u ay 99Exemplo3 352 MPa y w 120 kNm Solugao tke 454MPa x V 454 352 lll 7 rs 03m O centro do citculo de Mohr é dado Oméd oes a 227MPa pela coordenada Cjn90 C2270 a tensOes normais principais e diteao principal 454 02 227 419 02OAO0CCA OnéGq R Vo RO 0 646MPa OC Oméd 22 7 MPa 352 R JCD Dv A B D Oxs Oy CD OD OC 454 227 227 MPa Fone R med R 2272 3522 R419MPa 02 O1 mm Ty rs 99Exemplo3 352MPa erate Solugao tke 454MPa 265 V 454 352 03m 4 ay Om sq 227 MPa 2 646MPa R419MPq Jue 1 y a tensOes normais principais e diteao principal rok 1 6v I I 01 O0B CBCOR Onéa On2 x o 419227 o 192 MPa gA on V 5 A 2652 Pan 222 Cp 352 gs A Bo r CD OD OC 454227227MPa PY 3 Oxs Oy 352 NR ined 3 tan 20y2 227 2652 5718 645 2859 O02 O14 20 Positivo Sentido antihorario Ty 9 26 y w kN 99 Exemplo 3 352 MPa a Solugao ms tok 454MPa 78 4 V 454 352 03m 4 ay Wy b tensao de cisalhamento maxima no plano e a Tix Onég tensao normal média associada e sua diregao f Nig fi Oméq 227 MPa 454 be Tmax CE R 419MPa 1 E Yoo x bess io fa 59 2 OD 96 oe tan 2027p yp 352 me Oméd A C B 454227 Ds re 00 tan 205 352 ay HAR oe 5 209 3282 0 1640 ie 02 20 Negativo Sentido horario Ty ery 99 Exemplo 4 Determine tensao de cisalhamento maxima absoluta para o estado de tensao ilustrado na figura a seguir Solucio 2 ay 2 oa 90 MPa 80 MPa P a A Nl i A eee ZA oi AA Z T Fmteans ME met Tmixabs 9179 MPa Cees 99 Exemplo de Aplicacao 5 OD O eixo macico esta sujeito a um torque de 45 Nm a um momento At Am 2 fletor de 300 Nm ec a uma forga cortante de 800 N como ilustra a eet y eee Figura Através do Circulo de Mohr determine GOONm BD 1 55 mm a tenses principais e sua direao para o ponto B ee y b a tensao de cisalhamento maxima absoluta e sua a Z direcao considerando o estado de tensao inicial da letra a B Primeiramente temos que determinar o estado de tens4o no ponto B 800N maa Pie Poceh brett peje SS Tto Iely byz It ie y 300 Nm DCL s LF 0 45 Nm T Ne y 0 800 Vz 0 Vp 800 N ey vy MZ 0 300 800 x 045 Mz 0 800 N Mo 0m 2 Vs i 60m 1 IME08541e0 GaeT oy y 99 Exemplo 5 V800N M 60Nm60000Nmm Tz 45Nm 45000 Nmm Cole 4 No ponto 450 oi LS PS Zz y U zly li boxy 0 ee y 45 Nm 45 N p 0 800 N 1041667 mm 364 MP SN gz m 7 8 30679616mm50mm a B L inet 5m 25 I 30679616 mm SOON 1 Ar 2 2 Ay ag7yr2 2 43 953 1041667 mm3 Qe Y Qs 5 mr Qe 37 3 25 Qp ple 45000 Nmm25mm 0 Bo 8 61359231mm a 1 1 1 Jo gm 5m 25 Jo 61359231 mm 9 30 99 Exemplo 5 y 4 x F al 45 No ponto 2 Zz bon 450 wi 4 LD a Z Oxp 0 B y ala YO 25 mm 4 MPa we A b ty 450mm Z 300 N V 0 129 Estado de tensfio nesse ponto Bé dado por OSs neeind Tav 054 MPa Tar 183 MPa tp 129 MPa 4y ay 4y 183MPa 054 MPa 129 MPa 183 MPa 129 MPa 054 MPa 9 31 A 99 Exemplo 5 y or P Cisalhamento Puro stint ly Amt Sol ao 300 Nm p 25 mm us a OX 6o 00 BF Onéd 0 V0 129 2 2 ae o 1 29 VPa ay 800 N Yo O centro do circulo de Mohr é dado 4 6v pela coordenada C20 C00 Oy2 a tensOes normais principais e diregao principal ti X 02 62OAR 02129MPa i 282 90 129 6s A B we Oy Oy 20 Positivo Sentido antihorario 01OBR Oo 129MPa NN 02 O41 mM Tay EE 99 Exemplo 5 Omsy 01 129 MPa b a tensao de cisalhamento maxima absoluta no ponto e sua directo Vi 1 9 01 03 a3 129MPa C1 Ong min 2 3 Hyo30 4 2 Vs 02 0 202 90 V2 630 o o Hsoss0 2 Hp 02 0 2 C3 Oméa 2 try V Tnisabs Sogo tnaxans Cyl R 129 MP smite 2222 E29 pgs L2H A 7 B O 2OT aps 90 90 TmaxAbs Abs O23 20a O71 20Aabs 180 Tmax x y x y Tmax 129MPa Ja55 129 1 29 J Oméd TmaxAbs tI T 4 x bo tai 0 Ee 99 Exemplo 5 y V800N M60Nm 60000Nmm T 45 Nm 45000 Nmm aN Z No ponto A 450 4 s SO Nm we LA 25 mm f 45 N 45 N Mz 60000 5 489 MPa 800 N Oxa Y A 30679616 2 m Vala ser Ay Q40 ay 183MPa mela 45000 Nmm 25mm 1 AT oh TBM 61359231mm Ox a Jo snr m 25 Jo 61359231 mm4 oe 1 83 MPa Vx Txy V 489 183 9 34 99 Exemplo de Aplicacao 8 1 B 11 Lt xX p A estrutura suporta a carga distribuida de 200 Nm i 200 mm WA op OL 5 ZC i Utilizando o circulo de Mohr determine Mi S15 Z 6 a no ponto Das tensoes principais e sua direao i b a tensao normal e a tensao de cisalhamento ponto i EU 60 D que agem nos sentidos perpendicular e paralelo 1 mm fo 50 mm ey as fibras respectivamente Nesse ponto as fibras L a 100mm SOON Jim formam um angulo de 30 com a horizontal como Tse C ilustra a figura B 25m 9 Primeiramente temos que determinar o estado de tensao no ponto D C Cy y 1 Reacoes de apoio 4m DP0 Ay tC 0 LF 0 Ay Cy 20025 0 Cy 250 N 29 YMZ0 Ay2520025Ay 4 0 A A 62 250 N A YM 0 Ax40 A 0 y 95 m A eer 99 Exemplo de Aplicacdo 8 2 oe Tg N Pe aad ly M sam PT 8 lpm 7 AU é S A bl E Iyly 12 EN comm 8 DCL 400 Nm y Y C 250 N It er TIT L Tk Ay EL 90 352 kPa a x Wl 30 mam as 50 mm V D Z C 15m mx D 1500 mm WY 100 mm y 562 kP a 562 kPa 350 N os ola 352 kPa SSsreuiens z 150 Cc dy 0 250 20015 Vp 0 Vp 50N 15 75 mm Ms 0 250 15 200 15 Mp 0 Mp 150 Nm 50N M 150000 ox By OxD 6667 x 105mm x 1oSmmé 25 mm OxD 562 x 10 MPa 562 KPa 3 Vp Qp 50 N 468750 mm 000352 MPa 352 KP L bh tj eem It 6667 X 106mm4100mm a a 12 Qn AY Qp 10075 100 752 Qp 468750 mm er 99 Exemplo ay Oo0 5620 352 kPa 72 Onéd Fr Soluci olugao ex toy Omid 281 kPa Vo Txy a 562 kPa 352 kPa V 562 352 VD 352 Ore 90 tan 261 Gp 294 O centro do circulo de Mohr é dado pela coordenada 20 714 O14 357 COméd3 0 C28 1 0 20 Positivo Sentido antihorario a tensOes normais principais e diteao principal 562 0O0B0CCB Onea R 06 281283 OC Oméd 281 kPa 01 564 kPa iV 7 R VCD2 Dv 28123522 R283kPa 4 Aion 302 CD OD OC 562 281 281 MPa x7 sy Iméd 2 R 02 OA CAOC R Oneg 283 281 NY O74 02 0 2 kPz 1 Uy ay 200 Nm 99 Exemplos de Aplicacao 8 pPeeemeeenr bDeterminar a tensao normal e a de 9 30 7s BE Ya mL 15 mS OF cisalhamento ponto D perpendicular e y paralelo as fibras que formam um angulo de not y y 30 com a horizontal como ilustra a figura x ts 1 x any 1 Ox CV R 283 kPa 20 714 26 120 POW 10 6 180 26 26 180 120 7 14 52 86 6x I y CE CE vs es CE171kPa cos B cy cos52 86 283 Oy Ox OE OC CE 281171 6y 110 kPa 962 Tyy OF VE Tyty 2256 kPa FLY 1 ix 5 2 VE Txyr 352 sen sen5286 583 a n HE Ci 050 Oy OG0C CG 2814171 6y 452kPal Kons p CG CG ZEN KPa 286 CG 171kPa H cos B CH cos52 86 283 yy 9 38
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1 1 Transformação de Tensão Parte 2 Componente Curricular ENGN90 Mecânica dos Materiais IA Carga Horária 60 horas 9 2 Capítulo9 Transformação de Tensão R C Hibbeler Pearson Education do Brasil A 96 Circulo de Mohr para Estado Plano de TensGes y LY O Circulo de Mohr é uma maneira pratica para V 055 Ts x Oy ny representar Estado Plano de Tensdes de um ponto y Txy ox Qe graficamente L Para o elemento sujeito ao estado plano de tensGes LI As expressdes de o 74 sao chamadas de equagdes paramétricas de um circulo x Oy cos 26 Ty sin 20 Tyy COS 20 Isso significa que se escolhermos um conjunto de eixos de coordenadas retangulares e esbocarmos um ponto V plano vertical de coordenadas a 7 pata qualquer valor do parametro todos os pontos obtidos ficarao sobre um circulo Para confirmar essa propriedade climinaremos o das expressoes de o tT da seguinte maneira oe 96 Circulo de Mohr para Estado Plano de TensGes y Utilizando as coordenadas do plano vertical Va5 7 temse Oy x Ox Oy Ox z 0s 20 Txy sin 260 A Ox 7 O 0 Ox dy Ox 7 0s 20 Tyy sin 26 Wg 2 2 Oy 0 Oy 6 SPE ome IN Z aoe Ox Oy Ox 0 2 QO Somandose 1 e 2 temse a b Ox ay Ox Oy 2 Ox Oy Ox Txryr 7 0s 20 Tyy sin 26 sin 20 Tyy COS 26 oer 96 Circulo de Mohr para Estado Plano de TensGes Oy 0 2 QO Desenvolvendose a e b temse a cos 20 Tyy sin 26 0 6 2 Ox 0 5 os 26 42 cos 26 tyy sin 20 Ty sin 20 a NN en ee Ox Oy 2 Ox Oy COs 20 2Txy a cos 26 sin 20 x Try sin 20 a J Oe Ox Oy 2 6 z7 sin 20 Tyy COS 26 0 6 2 Ox 0 sin 26 2 sin 26 Try cos 20 Try cos 20 AS 25 sin 26 Ketay FF sin 20 05 2K Py 00820 Ox Oy x ys 1 2 b 3 sin 20 2Txy 5 sin 26 cos 20 Try COs 26 eee Ox Oy2 QO Somandose O x cos 20 sin 26 60 ty cos 20 sin 20 resultado de a e b temse og 02 2x Py 2 95 96 Circulo de Mohr para o Estado Plano de Tensdes QO Substituindo a expressao a b na equacao abaixo temse Ox ay 2 Ox6 20 0 6 2 o Txryr cos 20 Tyy sin 26 sin 26 Ty COS 26 oa Ox T Oy Ox Oy 2 0 0 PS 7509 ey SF reo 7 txy Oméd 0 R 0 y 98 A 5 ako Ox Oméd T x1 R 1 I CIND Ox Oy Os pontos B e A definem as tensdes fone Vio Txy principais oe 7 tespectivamente V Ox Oy Quando as tensOes sao principais temse GF 208 que Tyy 0 7 7 0 Oxy oa 36 sin 20 Ty tan 26 Txy DV Ty sin Txy COS 206 Ox fro Cd yt 2 2 Equacao do circulo de raio com centro Cno eixo das abscissas a cujas coordenadas Xp e Vy sao G 0 a 96 Circulo de Mohr para o Estado Plano de Tensdes QO Para tracar o circulo de Mohr considerase o estado plano de tensd6es EPT um elemento Lee y infinitesimal supondo que 0 g 7 sejam conhecidos QO A partir de um diagrama o x 7 as cootdenadas dadas pelos pontos V 7 fepresenta as tensdes no plano vertical do T elemento e o ponto H a 7 representa as tensdes no x plano horizontal O 7 0 V estara localizado abaixo do eixo 0 das abscissas e H acima i V OW Caso Ty 0 V estara localizado acima Txy aN do eixo das abscissas e H abaixo 0 Txy Oxs Oy QO Ligandose os pontos V e H por uma reta temse 0 ponto de interseao dessa reta H V com o eixo das abscissas que sera o centro 5 x C do circulo T Xy O Tracase 0 circulo com centro Ce diametro VH om 96 Circulo de Mohr para Estado Plano de TensGes QO No circulo o plano vertical V do Oy H a8 oo 60 elemento infinitesimal representado T pelo segmento CV ec o plano iN B horizontal pelo segmento CH O NQ Ox 0 xy 292 UO Esses planos sao perpendiculares Gy BNO ee V 36 entre si no estado de tens4o mas no i Ox circulo de Mohr eles estao defasados ee méd R de 180 Ty 01 LI Os pontos A e B definem as tens6es principais o o O 0 tespectivamente dados por 6O0OB OCCB 642R 02 O0A OCCA 6R L Adotando o plano vertical V CV como teferéncia a direg4o principal é dada pela tangente do angulo formado pelos segmentos CV e CB DV tan 20 LU O angulo 209 é dado levando segmento CV ao CA 98 96 Circulo de Mohr para o Estado Plano de Tensdes F Tmax R Tmin L Os pontos E e F fornecem as tensGes yy Tmax Tmin 00 plano dadas por Tmax CE CF R B O XQ O50 As cootdenadas desse pontos so Y EOmeaiR FOmeai R O24 RN V20 0 E max Ri Oxt Oy 01 62 OK I Omed OC 2 2 t Oméd R xV O71 y Adotando o plano vertical VCV como referéncia a direcao o y do plano de cisalhamento maximo e minimo é dado pela Ty tangente do angulo formado pelos segmentos CV e CE Ox CD Lembrando que analiticamente x 0 20 90 20 Negativo Sentido horario oer a 97 Exemplos de Aplicacao 1 ryYT yf oes 1 O estado plano de tensao de um ponto sobre um corpo é ee representado no elemento ilustrado na figura Represente esse estado bay de tensao em termos a das tensdes normais principais b da tensao de cisalhamento maxima no plano e da tensao normal 90 MPa meédia associada utilizando o circulo de Mohr 60 MPa me oes oe 20 MPa a tensdes normais principais e diregao principal 90 Referéncia plano vertical VCV 02 H 02 0A CACO R Onea va Lf 60 20 90 A B OC Omea z 35 MPa R CD DV He Vi je Oméd 02 813935 CD O0D0C 20435 55 MPa 00 oS 0 4639 MPa R552 602 R 8139 MPa t xy Cra 9 Exemp los de Ap licagao 1 a tensdes normais principais e direcao 90 MPa V20 60 1s principal 180 26 60 MPa H90 60 1 90 201 180 4749 20 MPa try i 205 13251 0 4639 MPa A B 00 R 8139 MPa V ING 5 op y iy 0 OB OC CB Omeg R io o1 Ty Pe Ni o 813935 o 11639 MPa 02 I l Considerando o plano vertical V CV como teferéncia que tx 0 esta associado a tensao o temse direcao principal dada por pe VD 62 Xr tan 20p a CD0C0D352055MPa a Lo 60 5 af tan 20y2 55 202 4749 69 2375 an 97 Exemplos de Aplicacao 1 b tensd4o de cisalhamento maxima no plano e a tensao normal a media associada e sua diregao 390 MPa Tmax CECF R R8139 MPa Considerando o plano vertical V segmento CV como referencia a direcao da T4 dada por a2 aoe OD AOE 20435 282 4251 Ftmix 1B Tin an 205 VD VD 60 6 2126 Hs ay y Tmax R 8139 MPa A C Zs 60 Oméd Tmax ae 60 KO 1 Oxs Oy get y x fy eo 20 WX fe Oso x om G2 NZméd p lg toy dee 20 E Tmax R o met O71 A 71 4 I Uy Tmax Oméd 20 90 OC Omea z 35 MPa aD 6 13 Pág 348 e 349 Prob 970 972 978 Resolver os seguintes exercícios do Capítulo 9 Transformação de Tensão do livro texto Resistência dos Materiais 7a ed R C Hibbeler Pág 350 Prob 981 982 Pág 356 Prob 988 a c e d 989 990 Círculo de Mohr Tensão de cisalhamento máxima absoluta Td wv e 98 Tensao de Cisalhamento Maxima Absoluta L Como ja visto no caso geral do estado de Ox Ty Txz O T yx Oy Tyz to tensdes denominado de Estado Triplo de Lai 1 OT 6 ZX zy Zz Tensdes em um dado ponto de um corpo Fy 4 Ws a Cp A tém as seguinte componentes de tensao P LI E possivel determinar no espaco a orientagcao de um OQ Z ee a elemento sobre o qual atua apenas as tensOes principais em suas faces cujo os valores serao considerados maximos intermediarios e minimos isto é General state of stress L Para esse objetivo admitira que a orientacao do elemento O34 min associado as tensdes principais seja conhecido LI Nessas condicdes as tensdes sao conhecidas como e e e e e yp Tensdes Triaxiais ou Estado de Tens4o Triaxial x Oint Omax 02 O74 ar 98 Tensao de Cisalhamento Maxima Absoluta LI Se observar esse elemento em apenas duas dimensGes isto é nos 03 x min planos principais xy yz e xz podese utilizar o circulo de Mohr para determinar a tensao de cisalhamento maxima que oO ocotrem em cada um desses planos VoT Ho T yy x Dint O14 y mx ETS 02 O52 ee 52 ED O14 x Pmed 2 Zz Zz 3 3 oy 3 Vo40 H3 0 02 93 y x mea ad aa 2 ar 98 Tensdao de Cisalhamento Maxima Absoluta 2 LI Representando o estado de tensGes dos planos no circulo de Mohr 03 Omin y z med 05 0150 O2 H62 0 e350 y x Oint 01 O14 Omax x x O71 3 TmaxAbs 5 01 902 0 603 01 92 01 03 2 5 Lo o Pmaxxy Tmax Abs mead I oO O oO z wee ee ee He ee ee ee ee T 916 o 99 Exemplos de Aplicacao 2 P A partir de carregamentos aplicados a estrutura o T1y elemento localizado em um ponto esta sujeito ao Sn estado plano de tens4o ilustrado na figura Através Pp 2 do circulo de Mohr determine a tensOes principais e sua diregao b a tensao de cisalhamento maxima absoluta no ponto e sua diregao c Represente usando o circulo de Mohr o estado Y de tensao em um elemento orientado a 30 no ee sentido antihorario em relacao ao estado de F tensao inicial 20 kPa VOx Txy V2040 C100 40kPa H0yTxy H040 Ooy 200 O mid 10kPa x 2 2 aT 99 Exemplos de Aplicacdo2 wy O74 180 265 V2040 H040 C100 So 1 OL X 20 180 7596 a tensOes normais principais e 1 sua direao Pe x 261 10404 O92 OAO0C4CA Omea R 64 5202 I 200 OC Ong 10 kPa vs 7 os 20 2 t 20 kPa R JCD DV 40kPa CD OD 0C 2010 10kPa e 20 RJ102402 R4123kPa 40 24y2 62 4123410 o 5123 kPa A ic lo B 66 so DY 40 ran 2 CD 10 oo J 40 285 7596 1 OB CBCO Ano 3798 6 412310 o 3123kPa Ty J 918 99 Exemplos de Aplicacao 2 0 3123 kPa Omax b a tensao de cisalhamento maxima absoluta no 02 ponto e sua direcao 2 51 23 MPaJ Omin 3 oy i tos REO o1 02 H63 0 C1 mea 2 C2 Omea a 20 kPa i H202 0 02 03 C3 Omea H3o3 0 TmaxAbs C1 R 4123 kPa a Tmixans Bo 3123 5123 r TmaxAbs a max Abs TmaxAbs 4123 kPa J 3123 51 23 919 99 Exemplos de Aplicacao 2 b a tensao de cisalhamento maxima absoluta no ponto e sua direao to Tmaxabs CJ R 4123 kPa neg 10 kPa 202 7596 40kPa 20 cabs 20p2 90 207445 7596 90 V J Oméd C O71 mixAps 20 7Abs Vi J Tmax Abs J Sméed J If x Oméd toy rs 1 H I tte T Oneal TmaxAbs in 9 20 99 Exemplos de Aplicacao 2 c Represente usando o circulo de Mohr o estado de tensao em um elemento ee 20 KPa orientado a 30 no sentido antihorario em relacado ao estado de tens4o inicial His 20 2 x 30 60 B2020 P 7596 60 1598 V2040 H040 CE CE CH CV R 4123 kPa cosB cos1598 CE 3964 kPa B CV 4123 20 202 7596 V OC 10 kPa Ox OE OCCE oy 3964 10 0x 49 64 kPa ord R Txy OF VE Tyy 1135 kPa Lon l Oméd VE Tx yr senpB sen1598 CV 4123 oo C x y Oy OG CG OC 3964 10 NI 0O 2964 KPa CG 1598 CG 40 cos B CH cos1598 4123 CG 3964 kPa H xX Oy cos 20 Ty sin 20 T Woo sin 20 Tyy cos 20 921 99 Exemplos de Aplicacao 2 Representacao do Estado Plano de Tensao rotacionado de 30 no sentido antihorario 0 4964 kPa eb 20 kPa Oy 2964 kPa y pe 40kPa Oy Tyy 1135 kPa i 1 1 30 4964 01 20 0 0 x 13 toy 7 Ly Oy 2964 kPa Try Oy 0 ee 99 Exemplo 3 A viga ilustrada esta sujeita ao carregamento distribuido w 120 kKNm Determine as tensdes ptincipais e de cisalhamento maxima na viga no ponto que se encontra na juncao superior da alma com a mesa ou flange I 674 x 10 m Solucao Reacoes de apoio y G w 120 kNm DF 0 a 4 B C A yr 0 Ay By120x20 a 03 m Im Ay By 240 Ay 120kN B A 3 1 mm f0 56 kN YM 0 By X2120x2x 0 B 120kN teen Secao em C para determinacao dos esforcos solicitantes a 200 mm Z 3 a que atuam no ponto P fy ip pr0 p20 Rot 15 mm 175 mm 03m YF 0 120120x03Vp 0 Wp 84kN Vp 84kN M 306kNm 03 120 kN YMé 0 120 x 03 120 x 03 xX Mp 0 Mp 306kNm 923 99 Exemplo3 J674x10 m y Solugao Vp 84kN Mp 306kNm x Z B N Myl Mzlyz Mylyz Mzly a AT pre ph 75m 2m zty yz zty YZ VQ 15mm No ponto P T P it M 306 x 103 N 01m 454MP ee P Ox L Ox 674 x 106m4 AM a 200 mm Z Qp 0175 m 0015 m 01075 m 28219 x 106 m 15mm 840 x 10 N 28219 x 108 m vam xy 674x10m00lm 36 kN ag 352 MPa 015m Portanto o estado de tensao no ponto Pé ms dado por 45 4 MPa toy a Hing V O plano Vertical V tem coordenadas dada por 03m 120 kN VOx5Txy V 454 352 u ay 99Exemplo3 352 MPa y w 120 kNm Solugao tke 454MPa x V 454 352 lll 7 rs 03m O centro do citculo de Mohr é dado Oméd oes a 227MPa pela coordenada Cjn90 C2270 a tensOes normais principais e diteao principal 454 02 227 419 02OAO0CCA OnéGq R Vo RO 0 646MPa OC Oméd 22 7 MPa 352 R JCD Dv A B D Oxs Oy CD OD OC 454 227 227 MPa Fone R med R 2272 3522 R419MPa 02 O1 mm Ty rs 99Exemplo3 352MPa erate Solugao tke 454MPa 265 V 454 352 03m 4 ay Om sq 227 MPa 2 646MPa R419MPq Jue 1 y a tensOes normais principais e diteao principal rok 1 6v I I 01 O0B CBCOR Onéa On2 x o 419227 o 192 MPa gA on V 5 A 2652 Pan 222 Cp 352 gs A Bo r CD OD OC 454227227MPa PY 3 Oxs Oy 352 NR ined 3 tan 20y2 227 2652 5718 645 2859 O02 O14 20 Positivo Sentido antihorario Ty 9 26 y w kN 99 Exemplo 3 352 MPa a Solugao ms tok 454MPa 78 4 V 454 352 03m 4 ay Wy b tensao de cisalhamento maxima no plano e a Tix Onég tensao normal média associada e sua diregao f Nig fi Oméq 227 MPa 454 be Tmax CE R 419MPa 1 E Yoo x bess io fa 59 2 OD 96 oe tan 2027p yp 352 me Oméd A C B 454227 Ds re 00 tan 205 352 ay HAR oe 5 209 3282 0 1640 ie 02 20 Negativo Sentido horario Ty ery 99 Exemplo 4 Determine tensao de cisalhamento maxima absoluta para o estado de tensao ilustrado na figura a seguir Solucio 2 ay 2 oa 90 MPa 80 MPa P a A Nl i A eee ZA oi AA Z T Fmteans ME met Tmixabs 9179 MPa Cees 99 Exemplo de Aplicacao 5 OD O eixo macico esta sujeito a um torque de 45 Nm a um momento At Am 2 fletor de 300 Nm ec a uma forga cortante de 800 N como ilustra a eet y eee Figura Através do Circulo de Mohr determine GOONm BD 1 55 mm a tenses principais e sua direao para o ponto B ee y b a tensao de cisalhamento maxima absoluta e sua a Z direcao considerando o estado de tensao inicial da letra a B Primeiramente temos que determinar o estado de tens4o no ponto B 800N maa Pie Poceh brett peje SS Tto Iely byz It ie y 300 Nm DCL s LF 0 45 Nm T Ne y 0 800 Vz 0 Vp 800 N ey vy MZ 0 300 800 x 045 Mz 0 800 N Mo 0m 2 Vs i 60m 1 IME08541e0 GaeT oy y 99 Exemplo 5 V800N M 60Nm60000Nmm Tz 45Nm 45000 Nmm Cole 4 No ponto 450 oi LS PS Zz y U zly li boxy 0 ee y 45 Nm 45 N p 0 800 N 1041667 mm 364 MP SN gz m 7 8 30679616mm50mm a B L inet 5m 25 I 30679616 mm SOON 1 Ar 2 2 Ay ag7yr2 2 43 953 1041667 mm3 Qe Y Qs 5 mr Qe 37 3 25 Qp ple 45000 Nmm25mm 0 Bo 8 61359231mm a 1 1 1 Jo gm 5m 25 Jo 61359231 mm 9 30 99 Exemplo 5 y 4 x F al 45 No ponto 2 Zz bon 450 wi 4 LD a Z Oxp 0 B y ala YO 25 mm 4 MPa we A b ty 450mm Z 300 N V 0 129 Estado de tensfio nesse ponto Bé dado por OSs neeind Tav 054 MPa Tar 183 MPa tp 129 MPa 4y ay 4y 183MPa 054 MPa 129 MPa 183 MPa 129 MPa 054 MPa 9 31 A 99 Exemplo 5 y or P Cisalhamento Puro stint ly Amt Sol ao 300 Nm p 25 mm us a OX 6o 00 BF Onéd 0 V0 129 2 2 ae o 1 29 VPa ay 800 N Yo O centro do circulo de Mohr é dado 4 6v pela coordenada C20 C00 Oy2 a tensOes normais principais e diregao principal ti X 02 62OAR 02129MPa i 282 90 129 6s A B we Oy Oy 20 Positivo Sentido antihorario 01OBR Oo 129MPa NN 02 O41 mM Tay EE 99 Exemplo 5 Omsy 01 129 MPa b a tensao de cisalhamento maxima absoluta no ponto e sua directo Vi 1 9 01 03 a3 129MPa C1 Ong min 2 3 Hyo30 4 2 Vs 02 0 202 90 V2 630 o o Hsoss0 2 Hp 02 0 2 C3 Oméa 2 try V Tnisabs Sogo tnaxans Cyl R 129 MP smite 2222 E29 pgs L2H A 7 B O 2OT aps 90 90 TmaxAbs Abs O23 20a O71 20Aabs 180 Tmax x y x y Tmax 129MPa Ja55 129 1 29 J Oméd TmaxAbs tI T 4 x bo tai 0 Ee 99 Exemplo 5 y V800N M60Nm 60000Nmm T 45 Nm 45000 Nmm aN Z No ponto A 450 4 s SO Nm we LA 25 mm f 45 N 45 N Mz 60000 5 489 MPa 800 N Oxa Y A 30679616 2 m Vala ser Ay Q40 ay 183MPa mela 45000 Nmm 25mm 1 AT oh TBM 61359231mm Ox a Jo snr m 25 Jo 61359231 mm4 oe 1 83 MPa Vx Txy V 489 183 9 34 99 Exemplo de Aplicacao 8 1 B 11 Lt xX p A estrutura suporta a carga distribuida de 200 Nm i 200 mm WA op OL 5 ZC i Utilizando o circulo de Mohr determine Mi S15 Z 6 a no ponto Das tensoes principais e sua direao i b a tensao normal e a tensao de cisalhamento ponto i EU 60 D que agem nos sentidos perpendicular e paralelo 1 mm fo 50 mm ey as fibras respectivamente Nesse ponto as fibras L a 100mm SOON Jim formam um angulo de 30 com a horizontal como Tse C ilustra a figura B 25m 9 Primeiramente temos que determinar o estado de tensao no ponto D C Cy y 1 Reacoes de apoio 4m DP0 Ay tC 0 LF 0 Ay Cy 20025 0 Cy 250 N 29 YMZ0 Ay2520025Ay 4 0 A A 62 250 N A YM 0 Ax40 A 0 y 95 m A eer 99 Exemplo de Aplicacdo 8 2 oe Tg N Pe aad ly M sam PT 8 lpm 7 AU é S A bl E Iyly 12 EN comm 8 DCL 400 Nm y Y C 250 N It er TIT L Tk Ay EL 90 352 kPa a x Wl 30 mam as 50 mm V D Z C 15m mx D 1500 mm WY 100 mm y 562 kP a 562 kPa 350 N os ola 352 kPa SSsreuiens z 150 Cc dy 0 250 20015 Vp 0 Vp 50N 15 75 mm Ms 0 250 15 200 15 Mp 0 Mp 150 Nm 50N M 150000 ox By OxD 6667 x 105mm x 1oSmmé 25 mm OxD 562 x 10 MPa 562 KPa 3 Vp Qp 50 N 468750 mm 000352 MPa 352 KP L bh tj eem It 6667 X 106mm4100mm a a 12 Qn AY Qp 10075 100 752 Qp 468750 mm er 99 Exemplo ay Oo0 5620 352 kPa 72 Onéd Fr Soluci olugao ex toy Omid 281 kPa Vo Txy a 562 kPa 352 kPa V 562 352 VD 352 Ore 90 tan 261 Gp 294 O centro do circulo de Mohr é dado pela coordenada 20 714 O14 357 COméd3 0 C28 1 0 20 Positivo Sentido antihorario a tensOes normais principais e diteao principal 562 0O0B0CCB Onea R 06 281283 OC Oméd 281 kPa 01 564 kPa iV 7 R VCD2 Dv 28123522 R283kPa 4 Aion 302 CD OD OC 562 281 281 MPa x7 sy Iméd 2 R 02 OA CAOC R Oneg 283 281 NY O74 02 0 2 kPz 1 Uy ay 200 Nm 99 Exemplos de Aplicacao 8 pPeeemeeenr bDeterminar a tensao normal e a de 9 30 7s BE Ya mL 15 mS OF cisalhamento ponto D perpendicular e y paralelo as fibras que formam um angulo de not y y 30 com a horizontal como ilustra a figura x ts 1 x any 1 Ox CV R 283 kPa 20 714 26 120 POW 10 6 180 26 26 180 120 7 14 52 86 6x I y CE CE vs es CE171kPa cos B cy cos52 86 283 Oy Ox OE OC CE 281171 6y 110 kPa 962 Tyy OF VE Tyty 2256 kPa FLY 1 ix 5 2 VE Txyr 352 sen sen5286 583 a n HE Ci 050 Oy OG0C CG 2814171 6y 452kPal Kons p CG CG ZEN KPa 286 CG 171kPa H cos B CH cos52 86 283 yy 9 38