Análise Matemática - Definições Formais e Demonstração da Regra de L'Hospital

QUESTÃO 1 Muitos consideram a disciplina de Análise Matemática dentro do curso de Licenciatura em Matemática como um complemento das disciplinas de Cálculo Diferencial e integral mas precisamente o Cálculo I A diferença é que precisamos justificar todos os conceitos definidos na disciplina de Cálculo como limites e derivadas além de novas definições necessárias Um exemplo dessas novas definições é o de ponto de acumulação Mas onde ele é importante Para podermos definir Limites Novamente eu indago por que precisamos definir limites Para podermos definir Derivadas Daí a Análise Matemática dá suas voltas Vocês viram em Cálculo I que existe uma propriedade de derivadas que ajuda a resolver limites A regra de LHospital Essa regra em sua forma mais simples se refere ao cálculo de um limite da forma limxa fxgx no caso em que tanto f quanto g possuem derivadas no ponto a e tal que limxa fx fa 0 ga limxa gx Mas será possível provar a Regra de LHospital Para esse MAPA você precisará realizar as seguintes tarefas 1 Definir FORMALMENTE os conceitos a seguir a Ponto de Acumulação b Limite em um ponto c Derivada em um ponto 2 Demonstrar FORMALMENTE a Regra de LHospital apresentada 1 a Definição Dado um conjunto X ℝ Um número aℝ é chamado ponto de acumulação do conjunto X se para todo ε0 o conjunto aε aεXa Ø b Definição Dada uma função f Xℝ X ℝ e aℝ um ponto de acumulação de X Dizemos que um número real L é o limite de f x quando x tende para a quando para todo ε0 existe δ 0 tal que se 0xaδ x X então f xLε E escrevemos lim x a f xL c Definição Dada uma função f Xℝ X ℝ e a X um ponto de acumulação de X Dizemos que f é derivável em a quando existe o limite lim x a f xf a xa E em caso positivo dizemos que a derivada de f em a é f a lim xa f xf a xa 2 Regra de LHospital Sejam f e g funções deriváveis no ponto a e lim x a f xlim x a gx0 e ga0 Então lim x a f x gx f a ga Demonstração Note que lim x a f x gx lim x a f x xa gx xa lim x a f x xa lim x a gx xa f a g a