Atividade de Análise 2

2 a Prove que uma função f é contínua se e somente se imagem inversa de conjunto fechado é conjunto fechado Sugestão utilize a noção topológica de continuidade b Use o item acima para provar que se fX Y é contínua então o conjunto Zf x X fx 0 dos zeros de f é fechado 3 a Explique a diferença entre função contínua e função uniformemente contínua b Exiba um exemplo mostrando que nem toda função contínua é uniformemente contínua c Prove que toda função lipschitziana é uniformemente contínua Resolução 2 a Uma função f é contínua se e somente se a imagem inversa de todo conjunto fechado é um conjunto fechado Prova da continuidade usando conjuntos fechados Seja f X Y uma função contínua e F um subconjunto fechado de Y Queremos mostrar que 𝑓1𝐹 é um subconjunto fechado de X Pela definição topológica de continuidade a imagem inversa de um conjunto aberto em Y é um conjunto aberto em X Considere o complementar de F em Y denotado por 𝐹𝑐 Como F é fechado 𝐹𝑐 é aberto A continuidade de f implica que 𝑓1𝐹𝑐 é aberto em X Observe que 𝑓1𝐹𝑐 𝑓1𝐹 𝑐 Portanto o complementar de 𝑓1𝐹 em X é aberto Consequentemente 𝑓1𝐹 é fechado em X Reciprocamente suponha que a imagem inversa de todo conjunto fechado em Y é um conjunto fechado em X Seja U um conjunto aberto em Y Então o complementar de U 𝑈𝑐 é fechado em Y Por hipótese 𝑓1𝑈𝑐 é fechado em X Novamente note que 𝑓1𝑈𝑐 𝑓1𝐹 𝑐 Como 𝑓1𝑈𝑐 é fechado seu complementar 𝑓1𝑈 é aberto em X Isso mostra que a imagem inversa de qualquer conjunto aberto em Y é um conjunto aberto em X o que é a definição topológica de continuidade 2 b O conjunto Zf dos zeros de f é fechado Conjunto dos zeros de uma função contínua Seja f X Y uma função contínua Considere o conjunto Zf x X fx 0 Queremos mostrar que Zf é fechado O conjunto 0 é um conjunto fechado em Y na topologia usual de Y por exemplo se Y é um espaço métrico Como f é contínua e 0 é fechado pela parte a a imagem inversa de 0 sob f ou seja 𝑓10 é um conjunto fechado em X Note que 𝑓10 x X fx 0 Zf Portanto Zf é fechado 3 a Continuidade vs Continuidade Uniforme Uma função é contínua se para cada ponto x no domínio podemos encontrar um δ tal que se y estiver suficientemente próximo de x a uma distância menor que δ então fy estará arbitrariamente próximo de fx A continuidade uniforme por outro lado exige que um único δ funcione para todos os pontos x no domínio Em outras palavras a continuidade uniforme garante uma uniformidade na proximidade de fy a fx independentemente da escolha de x 3 b Exemplo de função contínua mas não uniformemente contínua Considere a função fx x² definida em R Esta função é contínua em todo o seu domínio No entanto não é uniformemente contínua Para ver isso considere a sequência de intervalos n n1n para n suficientemente grande A variação de fx nesse intervalo é n1n² n² 2 1n² que não tende a zero quando n tende ao infinito Isso contradiz a definição de continuidade uniforme 3 c Prova de que toda função lipschitziana é uniformemente contínua Seja f X Y uma função lipschitziana Isso significa que existe uma constante K 0 tal que para todos x y X temos dfx fy K dx y onde d denota a métrica nos espaços X e Y Seja ε 0 Escolha δ εK Então para quaisquer x y X tais que dx y δ temos dfx fy K dx y K εK ε Isso mostra que para qualquer ε 0 existe um δ 0 independente de x tal que se dx y δ então dfx fy ε Esta é a definição de continuidade uniforme