Atividade de Geometria Analítica e Vetores

a Prove que se os pontos P e Q de uma parábola eqüidistam do vértice e P Q eles são simétricos em relação ao eixo da parábola isto é a mediatriz de P Q contém esse eixo b Obtenha uma equação reduzida da parábola de vértice V 00 que contém os pontos 618 e 618 A condição de vértice em 00 com eixo vertical faz com que a forma canônica da parábola seja x² 4py onde p 0 é a distância do vértice ao foco Como os pontos 618 e 618 pertencem à curva basta substituir um deles na equação para determinar p Substituindo 618 na forma canônica vem 6² 4p 18 36 72 p p 3672 12 Ao inserir p 12 na equação x² 4p y obtémse x² 4 12 y x² 2 y y x²2 a Prove que se os pontos P e Q de uma parábola eqüidistam do vértice e P Q eles são simétricos em relação ao eixo da parábola isto é a mediatriz de PQ contém esse eixo Considere uma parábola de vértice na origem e com eixo horizontal cuja equação canônica é y² 4p x onde p 0 O vértice V está em 00 e o eixo da parábola é a reta y 0 Sejam dois pontos distintos P x₁y₁ e Q x₂y₂ que pertencem à parábola e estão à mesma distância de V A condição de estar na parábola obriga y₁² 4p x₁ e y₂² 4p x₂ A igualdade das distâncias a V implica x₁² y₁² x₂² y₂² x₁² y₁² x₂² y₂² Substituindo yᵢ² 4p xᵢ em cada termo obtémse x₁² 4p x₁ x₂² 4p x₂ x₁² x₂² 4px₁ x₂ 0 Fatorando a diferença de quadrados e o fator comum vem x₁ x₂x₁ x₂ 4p 0 Como P Q o caso x₁ x₂ forçaria x₁ x₂ 4p 0 o que é impossível para x₁ x₂ 0 e p 0 Logo deve ocorrer x₁ x₂ Com isso das equações y₁² 4p x₁ e y₂² 4p x₁ segue y₂² y₁² y₂ y₁ pois P Q Portanto P xy e Q x y com y 0 O segmento P Q é vertical seu ponto médio é x 0 e sua mediatriz é a reta horizontal y 0 exatamente o eixo da parábola Dessa forma concluise que quaisquer dois pontos distintos de uma parábola que equidistam do vértice são simétricos em relação ao eixo da parábola ou seja a mediatriz de P Q contém esse eixo