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Escoamento de HagenPoiseuille Calcular o campo de velocidade o ponto de velocidade máxima tensão de cisalhamento na parede e vazão de um escoamento em um duto circular em regime laminar Desconsiderar as forças de campo Solução Hipóteses 1 Regime Laminar 𝑅𝑒 2300 2 Sem forças de campo 𝜌𝑔 0 Força motriz do movimento será a 𝑝 𝑧 3 Regime Permanente 𝑡 0 4 Fluido Incompressível 𝜌 𝑐𝑡𝑒 5 Fluido Newtoniano 𝜇 0 6 Escoamento puramente axial 𝑣𝑟 𝑣𝜃 0 7 Escoamento axissimétrico 𝜃 0 1 Escoamento de HagenPoiseuille Região de Entrada Escoamento completamente desenvolvido 2 Solução Equação da continuidade em coordenadas cilíndricas 𝜌 𝑡 1 𝑟 𝑟 𝑟𝜌𝑣𝑟 1 𝑟 𝜃 𝜌𝑣𝜃 𝑧 𝜌𝑣𝑧 0 𝑧 𝑣𝑧 0 Escoamento completamente desenvolvido 3 ρ urt ur urr uθ urθ uz urz uθ²r ρgr pr μ 1r r r urr 1r² ²urθ² ²urz² urr² 2uθr uθ Solução Equação de NavierStokes em coord cilíndricas na direção 𝑂𝑟 𝜌 𝑣𝑟 𝑡 𝑣𝑟 𝑣𝑟 𝑟 𝑣𝜃 𝑟 𝑣𝑟 𝜃 𝑣𝑧 𝑣𝑟 𝑧 𝑣𝜃 2 𝑟 𝜌𝑔𝑟 𝑝 𝑟 𝜇 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝑣𝑟 𝑟 1 𝑟2 2𝑣𝑟 𝜃2 2𝑣𝑟 𝑧2 𝑣𝑟 𝑟2 2 𝑟2 𝑣𝜃 𝜃 𝑝 𝑟 0 Direção 𝑂𝜃 𝜌 𝑣𝜃 𝑡 𝑣𝑟 𝑣𝜃 𝑟 𝑣𝜃 𝑟 𝑣𝜃 𝜃 𝑣𝑧 𝑣𝜃 𝑧 𝑣𝑟𝑣𝜃 𝑟 𝜌𝑔𝜃 1 𝑟 𝑝 𝜃 𝜇 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝑣𝜃 𝑟 1 𝑟2 2𝑣𝜃 𝜃2 2𝑣𝜃 𝑧2 𝑣𝜃 𝑟2 2 𝑟2 𝑣𝑟 𝜃 𝑝 𝜃 0 5 Solução Com isso sabemos que 𝑝 𝑟 𝑝 𝜃 0 Ou seja 𝑝 𝑝𝑧 Direção 𝑂𝑧 𝜌 𝑣𝑧 𝑡 𝑣𝑟 𝑣𝑧 𝑟 𝑣𝜃 𝑟 𝑣𝑧 𝜃 𝑣𝑧 𝑣𝑧 𝑧 𝜌𝑔𝑧 𝑝 𝑧 𝜇 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝑣𝑧 𝑟 1 𝑟2 2𝑣𝑧 𝜃2 2𝑣𝑧 𝑧2 𝑝 𝑧 𝜇 𝑟 𝑟 𝑟 𝑣𝑧 𝑟 6 Solução Direção 𝑂𝑧 Como a pressão e a velocidade são funções apenas de Ԧ𝑧 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝜇 𝑟 𝑑 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 Por não haver mudança no campo de velocidade na direção Ԧ𝑧 CM 𝑧 𝑣𝑧 0 Podemos dizer que a variação de pressão na direção Ԧ𝑧 é constante ao longo do eixo 𝑑 𝑟 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 1 𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟𝑑𝑟 Integrando teremos Solução Direção 𝑂𝑧 𝑟 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟2 𝐶1 Dividindo por 𝑟 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟 𝐶1 𝑟 Organizando os termos 𝑑𝑣𝑧 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟𝑑𝑟 𝐶1 𝑟 𝑑𝑟 Integrando novamente 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟2 𝐶1 ln 𝑟 𝐶2 Agora devemos aplicar as condições de contorno 7 Solução Direção 𝑂𝑧 Condições de contorno Escoamento simétrico na linha central 𝑟 0 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 0 𝑟 0 Condição de não deslizamento 𝑣𝑧 0 𝑟 𝑅 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟 𝐶1 𝑟 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟2 𝐶1 ln 𝑟 𝐶2 Solução Direção 𝑂𝑧 Aplicando a primeira condição de contorno 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟 𝐶1 𝑟 0 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 0 𝐶1 𝑟 𝐶1 0 Assim a equação fica 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟2 𝐶2 Aplicando a segunda condição de contorno 0 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅2 𝐶2 𝐶2 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅2 8 Solução Direção 𝑂𝑧 O campo de velocidade passa a ser 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟2 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅2 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅2 𝑟2 Os livros em geral escrevem da seguinte maneira 𝑣𝑧 𝑅2 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 1 𝑟 𝑅 2 𝒓 𝑹 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅2 𝑅2 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 0 𝑣𝑧 0 Solução Direção 𝑂𝑧 𝒓 𝟎 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅2 0 𝑣𝑧 𝑅2 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 Onde será o ponto de velocidade máxima 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 0 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟 𝐶1 𝑟 0 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟 𝑟 0 Assim 𝑣𝑚á𝑥 𝑅2 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 9 Solução Como obter a vazão 𝑄 න 𝐴 𝑣𝑧𝑑𝐴 Lembrando que 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅2 𝑟2 𝑄 න 𝑟0 𝑟𝑅 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅2 𝑟2 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 Solução Resolvendo a integral 𝑄 𝜋 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 න 𝑟0 𝑟𝑅 𝑅2 𝑟2 𝑟 𝑑𝑟 𝑄 𝜋 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 න 𝑟0 𝑟𝑅 𝑟𝑅2 𝑟3 𝑑𝑟 𝑄 𝜋 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 න 𝑟0 𝑟𝑅 𝑟𝑅2𝑑𝑟 න 𝑟0 𝑟𝑅 𝑟3 𝑑𝑟 𝑄 𝜋 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 อ 𝑅2 𝑟2 2 𝑟0 𝑟𝑅 อ 𝑟4 4 𝑟0 𝑟𝑅 𝑄 𝜋 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅4 2 0 𝑅4 4 0 𝑄 𝜋𝑅4 8𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 10 Solução Por fim a tensão de cisalhamento na parede será 𝜏𝑤𝑎𝑙𝑙 𝜇 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 𝑟𝑅 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟 𝑑𝑣𝑧ቤ 𝑑𝑟 𝑟𝑅 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅 Assim 𝜏𝑤𝑎𝑙𝑙 𝜇 𝑅 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝜏𝑤𝑎𝑙𝑙 𝑅 2 𝑑𝑝 𝑑𝑧 É comum vermos que 𝜏𝑤𝑎𝑙𝑙 𝑅 2 Δ𝑃 𝐿 11 Considerando que ℎ 𝐿 onde 𝐿 é um comprimento característico pedese a Hipóteses b Campo de Velocidade c Tensão de cisalhamento d Vazão Solução a Hipóteses Mecânica do contínuo Existe uma 𝜌 𝜌 é constante 𝑈 0 Fluido real e newtoniano 𝜇 0 Escoamento uniforme lâmina de fluido não varia ℎ 𝑥 0 Regime permanente 𝑡 0 Bidimensional 2D 𝑥 𝑦 Não possui gradiente de temperatura 𝑇 0 Regime laminar ℎ 𝑥 0 𝑔 𝜃 𝜃 𝑃𝑒𝑠𝑜𝑥 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 1 Solução Assim podemos escrever que 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦 Se estou interessado no valor norma podemos escrever 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦 𝑈 𝐿 𝑉 ℎ 𝑉 𝑈 ℎ 𝐿 O problema TROUXE COMO INFORMAÇÃO que ℎ 𝐿 assim ou seja 𝑼 𝑽 Em outras palavras a velocidade V é DESPREZÍVEL 𝑣 𝑥 𝑦 0 𝒖 𝒙 𝟎 Solução b Campo de velocidade 𝑈 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑤𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 Bidimensional e regime permanente CM 𝑈 𝑢 𝑥 𝑦 𝑣 𝑥 𝑦 Equação da conservação da massa vetorial 𝜌 𝑡 𝜌𝑈 0 Conforme as hipóteses que definimos 𝜌 é constante Regime permanente 𝑈 0 vetorial 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦 0 cartesiana 2 Solução 𝑂𝑥 0 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑃 𝑥 𝜇 2𝑢 𝑦2 𝑂𝑦 0 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑃 𝑦 Agora vamos resolver essas equações 0 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑃 𝑦 𝑃 𝑦 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑃 𝑥 𝑦 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 𝑓𝑥 Condições de contorno 𝑃 𝑥 𝑦 ℎ 0 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 ℎ 𝑓 𝑥 0 𝑓 𝑥 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 ℎ Assim 𝑷 𝒚 𝝆𝒈𝒉 𝒚𝒄𝒐𝒔𝜽 Solução 𝑢 𝑥 0 𝑢 𝑥 𝑦 𝑐𝑡𝑒 𝑔 𝑦 𝑢 𝑦 𝑓 𝑦 Agora partimos das equações de NavierStokes 𝑂𝑥 𝜌 𝑢 𝑡 𝑢 𝑢 𝑥 𝑣 𝑢 𝑦 𝑤 𝑢 𝑧 𝜌𝑔𝑥 𝑃 𝑥 𝜇 2𝑢 𝑥2 2𝑢 𝑦2 2𝑢 𝑧2 𝑂𝑦 𝜌 𝑣 𝑡 𝑢 𝑣 𝑥 𝑣 𝑣 𝑦 𝑤 𝑣 𝑧 𝜌𝑔𝑦 𝑃 𝑦 𝜇 2𝑣 𝑥2 2𝑣 𝑦2 2𝑣 𝑧2 3 Solução Condições de contorno Condição de no slip ou não deslizamento I 𝑢 𝑦 0 0 Tensão cisalhante nula na superfície livre II 𝜏𝑦𝑥 𝜇 𝑢ቤ 𝑦 𝑦ℎ 0 Avaliando I 𝑢 𝑦 0 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 2𝜇 02 𝐶10 𝐶2 0 𝑪𝟐 𝟎 Avaliando II 𝑢 𝑦 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 ℎ 𝐶1 0 𝑪𝟏 𝝆𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽 𝝁 𝒉 Solução Se a pressão não depende de 𝑥 teremos que 𝑃 𝑥 0 0 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑃 𝑥 𝜇 2𝑢 𝑦2 2𝑢 𝑦2 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 Agora temos que resolver a equação acima Integrando a primeira vez 𝑢 𝑦 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 𝑦 𝐶1 Integrando a segunda vez 𝑢 𝑦 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 2𝜇 𝑦2 𝐶1𝑦 𝐶2 4 Solução c Tensão de cisalhamento 𝜏𝑦𝑥 𝜇 𝑢 𝑦 Utilizando a primeira integral 𝑢 𝑦 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 𝑦 𝐶1 Substituindo na equação da tensão de cisalhamento 𝜏𝑦𝑥 𝜇 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 𝑦 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 ℎ 𝜏𝑦𝑥 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 ℎ 𝑦 Solução E o campo de velocidade passa a ser 𝑢 𝑦 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 2𝜇 𝑦2 𝐶1𝑦 𝐶2 𝑢 𝑦 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 2𝜇 𝑦2 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 ℎ𝑦 0 𝑢 𝑦 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 ℎ𝑦 𝑦2 2 5 𝜏𝑦𝑥 𝑦 0 Solução d Vazão 𝑄 න 𝐴 𝑢𝑑𝐴 න 0 ℎ 𝑢𝑏𝑑𝑦 𝑄 න 0 ℎ 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 ℎ𝑦 𝑦2 2 𝑏𝑑𝑦 𝑄 อ 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑏 𝜇 ℎ𝑦2 2 𝑦3 6 0 ℎ 𝑄 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑏 3𝜇 ℎ3 6 Taxa de variação da massa específica Variação líquida da massa através das superfícies de controle v M1 M2 M3 0 A equação da Conservação de Massa é uma equação escalar ou seja preza pela quantidade da variação de massa em um volume de controle A Quantidade de Movimento é uma equação Vetorial ou seja interessa a direção e o sentido que o fluido fornece ou recebe energia devido ao movimento do fluido Lei da viscosidade de Newton Intensidade da resposta à tensão aplicada A Taxa de Deformação ou a taxa de variação da deformação linear é a resposta de quão rápido ou veloz o fluido se deforma A Intensidade da Resposta tem relação com o quão resistente o material é a tensão aplicada Comumente denominado Viscosidade Dinâmica Pas essa medida indica o quaõ o material resiste à deformação T Mx WMNⱼ Uniforme ou nãouniforme Escoamento é uniforme na direção preferencial x mas o campo de velocidade é nãouniforme na direção y Permanente ou transiente Permanente pois não tem dependência temporal Uni bi ou tridimensional Unidimensional Apoio ao mini projeto Campo de velocidade 𝑣 𝑣0 1 𝑅2 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒𝑟 𝑣0 1 𝑅2 𝑟2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝜃 1 Mostrar que o campo de velocidade é incompressível e irrotacional Incompressível o divergente do campo de velocidades deve ser nulo 𝑈 0 Irrotacional o rotacional do campo de velocidades deve ser nulo 𝑈 0 Para coordenadas cilíndricas temos que 𝐴 1 𝑟 𝑟𝐴𝑟 𝑟 1 𝑟 𝐴𝜃 𝜃 𝐴𝑍 𝑧 𝐴 1 𝑟 𝐴𝑧 𝜃 𝐴𝜃 𝑧 𝑒𝑟 𝐴𝑟 𝑧 𝐴𝑧 𝑟 𝑒𝜃 1 𝑟 𝑟𝐴𝜃 𝑟 𝐴𝑟 𝜃 𝑒𝑧 Assim para o campo de velocidades bidimensional do problema teremos que 1 𝑟 𝑟𝐴𝑟 𝑟 1 𝑟 𝐴𝜃 𝜃 0 Como 𝑈 0 Teremos 1 𝑟 𝑟 𝑟𝑣0 1 𝑅2 𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃 1 𝑟 𝜃 𝑣0 1 𝑅2 𝑟2 𝑠𝑖𝑛𝜃 0 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 𝑟 𝑟 𝑅2 𝑟 𝑣0 𝑟 1 𝑅2 𝑟2 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 0 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 1 𝑅2 𝑟2 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 1 𝑅2 𝑟2 0 Assim comprovase que o escoamento é incompressível Para comprovar a irrotacionalidade do campo de velocidades teremos que 1 𝑟 𝐴𝑧 𝜃 𝐴𝜃 𝑧 𝑒𝑟 𝐴𝑟 𝑧 𝐴𝑧 𝑟 𝑒𝜃 1 𝑟 𝑟𝐴𝜃 𝑟 𝐴𝑟 𝜃 𝑒𝑧 0 0 0𝑒𝑟 0 0𝑒𝜃 1 𝑟 𝑟 𝑟𝑣0 1 𝑅2 𝑟2 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜃 𝑣0 1 𝑅2 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒𝑧 0 1 𝑟 𝑣0𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑟 𝑟 𝑅2 𝑟 𝑣0 1 𝑅2 𝑟2 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒𝑧 0 1 𝑟 𝑣0𝑠𝑖𝑛𝜃 1 𝑅2 𝑟2 𝑣0 1 𝑅2 𝑟2 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒𝑧 0 Assim comprovase que o escoamento é irrotacional 2 Mostrar que o escoamento é paralelo ao eixo horizontal 𝑂𝑥 longe do cilindro Mostrar o vetor velocidade Escrevemos o vetor de velocidade da seguinte maneira 𝑣 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒𝑟 𝑣0𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝜃 𝑣 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑒𝑥 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝑦 𝑣0𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑒𝑦 𝑣 𝑣0 cos2 𝜃 𝑒𝑥 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝑦 𝑣0 sin2 𝜃𝑒𝑥 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝑦 𝑣 𝑣0sin2𝜃 cos2 𝜃𝑒𝑥 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝑦 Assim 𝑣 𝑣01𝑒𝑥 𝑣00𝑒𝑦 Logo 𝑣 𝑣0𝑒𝑥 Dessa forma representase matematicamente que a velocidade longe do cilindro é paralela ao eixo 𝑂𝑥 3 Demonstrar a velocidade na superfície em 𝑟 𝑅 nos pontos A B C e D Nesse caso o vetor velocidade ficará 𝑣 𝑣0 1 𝑅2 𝑅2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒𝑟 𝑣0 1 𝑅2 𝑅2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝜃 𝑣 2𝑣0𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒𝜃 2𝑣0𝑠𝑖𝑛𝜃 Ponto A 𝜃 0 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑣 2𝑣0 sin0 𝑣 0 Ponto B 𝜃 𝜋 2 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑣 2𝑣0 sin𝜋 2 𝑒𝜃 𝑣 2𝑣0 Ponto C 𝜃 𝜋 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑣 2𝑣0 sin𝜋 𝑣 0 Ponto D 𝜃 𝜋 2 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑣 2𝑣0 sin 𝜋 2 𝑣 2𝑣0 4 Demonstrar a pressão através da aplicação do teorema de Bernoulli e seus valores nos pontos A B C e D 𝑃0 1 2 𝜌𝑣0 2 𝑃𝑠𝑢𝑟𝑓 1 2 𝜌𝑣𝑠𝑢𝑟𝑓 2 𝑃𝑠𝑢𝑟𝑓 𝑃𝑟 𝑅 𝜃 𝑃0 1 2 𝜌𝑣0 21 4 sin2 𝜃 Assim 𝑃𝐴 𝑃0 1 2 𝜌𝑣0 2 𝑃𝐵 𝑃0 1 2 𝜌𝑣0 21 4 𝑃0 3 2 𝜌𝑣0 2 𝑃𝐶 𝑃𝐴 𝑃𝐷 𝑃𝐵 5 Calcular as componentes horizontais e verticais das forças de pressão que são exercidas no cilindro por unidade de largura na direção 𝑂𝑍 𝑑𝑓 𝑝𝑑𝑆 𝑑𝑆 𝑑𝑆 cos𝜃 𝑒𝑥 𝑑𝑆 sin 𝜃 𝑒𝑦 𝐹𝑥 𝑝 cos 𝜃 𝑆 𝑑𝑆 𝑝𝜃 cos𝜃 2𝜋 0 𝑅𝑑𝜃 𝑃0 1 2 𝜌𝑣0 21 4 sin2 𝜃 cos 𝜃 𝑅𝑑𝜃 2𝜋 0 0 fluido perfeitoideal 𝐹𝑦 𝑃0 1 2 𝜌𝑣0 21 4 sin2 𝜃 sin 𝜃 𝑅𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑅 𝑃0 cos𝜃0 2𝜋 1 2 𝜌𝑅𝑣0 2 cos 𝜃0 2𝜋 2𝜌𝑅𝑣0 2 sin3 𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 O termo sin3 𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 pode ser escrito como sin3 𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 3 4 sin 𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 1 4 sin3𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 0 Assim 𝐹𝑦 0 condição de simetria Água escoa a uma velocidade de u 1 ms sobre uma placa plana de comprimento L 06 m Considere um caso no qual a temperatura da água é de aproximadamente 300 K Nas regiões laminar e turbulenta medidas experimentais mostram que os coeficientes convectivos locais são bem descritos pelas relações abaixo Considerando Clam 395 Wmk e Cturb 2330 WmK Determine a o coeficiente convectivo médio sobre a placa e b a taxa de transferência de calor na placa considerando a variação de temperatura de 80ºC Aplicação 01 xc 5000 855E04 Pas 9574 kgm³ Lms xc 04287 m 042m ₀xc hₗ am x dx Cₗ am ₀xc x 05 dx Cₗ am x 05 2 Cₗ am 05 05 2 Cₗ am xc05 ₗ hₗ turb x dx Cₗ turb ₗ x 002 dx xc Cₗ turb L 08 xc 08 Aplicação 2 Resultados experimentais para a transferência de calor sobre uma placa plana com superfície extremamente rugosa puderam ser correlacionados por uma expressão com a forma sendo Nux o valor local do número de Nusselt na posição x medida a partir da aresta frontal da placa Obtenha uma expressão para a razão entre os coeficientes de transferência de calor médio x e local hx hx C x02 fracbarhhx frac11 C x01C x01 11
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Escoamento de HagenPoiseuille Calcular o campo de velocidade o ponto de velocidade máxima tensão de cisalhamento na parede e vazão de um escoamento em um duto circular em regime laminar Desconsiderar as forças de campo Solução Hipóteses 1 Regime Laminar 𝑅𝑒 2300 2 Sem forças de campo 𝜌𝑔 0 Força motriz do movimento será a 𝑝 𝑧 3 Regime Permanente 𝑡 0 4 Fluido Incompressível 𝜌 𝑐𝑡𝑒 5 Fluido Newtoniano 𝜇 0 6 Escoamento puramente axial 𝑣𝑟 𝑣𝜃 0 7 Escoamento axissimétrico 𝜃 0 1 Escoamento de HagenPoiseuille Região de Entrada Escoamento completamente desenvolvido 2 Solução Equação da continuidade em coordenadas cilíndricas 𝜌 𝑡 1 𝑟 𝑟 𝑟𝜌𝑣𝑟 1 𝑟 𝜃 𝜌𝑣𝜃 𝑧 𝜌𝑣𝑧 0 𝑧 𝑣𝑧 0 Escoamento completamente desenvolvido 3 ρ urt ur urr uθ urθ uz urz uθ²r ρgr pr μ 1r r r urr 1r² ²urθ² ²urz² urr² 2uθr uθ Solução Equação de NavierStokes em coord cilíndricas na direção 𝑂𝑟 𝜌 𝑣𝑟 𝑡 𝑣𝑟 𝑣𝑟 𝑟 𝑣𝜃 𝑟 𝑣𝑟 𝜃 𝑣𝑧 𝑣𝑟 𝑧 𝑣𝜃 2 𝑟 𝜌𝑔𝑟 𝑝 𝑟 𝜇 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝑣𝑟 𝑟 1 𝑟2 2𝑣𝑟 𝜃2 2𝑣𝑟 𝑧2 𝑣𝑟 𝑟2 2 𝑟2 𝑣𝜃 𝜃 𝑝 𝑟 0 Direção 𝑂𝜃 𝜌 𝑣𝜃 𝑡 𝑣𝑟 𝑣𝜃 𝑟 𝑣𝜃 𝑟 𝑣𝜃 𝜃 𝑣𝑧 𝑣𝜃 𝑧 𝑣𝑟𝑣𝜃 𝑟 𝜌𝑔𝜃 1 𝑟 𝑝 𝜃 𝜇 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝑣𝜃 𝑟 1 𝑟2 2𝑣𝜃 𝜃2 2𝑣𝜃 𝑧2 𝑣𝜃 𝑟2 2 𝑟2 𝑣𝑟 𝜃 𝑝 𝜃 0 5 Solução Com isso sabemos que 𝑝 𝑟 𝑝 𝜃 0 Ou seja 𝑝 𝑝𝑧 Direção 𝑂𝑧 𝜌 𝑣𝑧 𝑡 𝑣𝑟 𝑣𝑧 𝑟 𝑣𝜃 𝑟 𝑣𝑧 𝜃 𝑣𝑧 𝑣𝑧 𝑧 𝜌𝑔𝑧 𝑝 𝑧 𝜇 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝑣𝑧 𝑟 1 𝑟2 2𝑣𝑧 𝜃2 2𝑣𝑧 𝑧2 𝑝 𝑧 𝜇 𝑟 𝑟 𝑟 𝑣𝑧 𝑟 6 Solução Direção 𝑂𝑧 Como a pressão e a velocidade são funções apenas de Ԧ𝑧 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝜇 𝑟 𝑑 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 Por não haver mudança no campo de velocidade na direção Ԧ𝑧 CM 𝑧 𝑣𝑧 0 Podemos dizer que a variação de pressão na direção Ԧ𝑧 é constante ao longo do eixo 𝑑 𝑟 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 1 𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟𝑑𝑟 Integrando teremos Solução Direção 𝑂𝑧 𝑟 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟2 𝐶1 Dividindo por 𝑟 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟 𝐶1 𝑟 Organizando os termos 𝑑𝑣𝑧 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟𝑑𝑟 𝐶1 𝑟 𝑑𝑟 Integrando novamente 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟2 𝐶1 ln 𝑟 𝐶2 Agora devemos aplicar as condições de contorno 7 Solução Direção 𝑂𝑧 Condições de contorno Escoamento simétrico na linha central 𝑟 0 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 0 𝑟 0 Condição de não deslizamento 𝑣𝑧 0 𝑟 𝑅 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟 𝐶1 𝑟 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟2 𝐶1 ln 𝑟 𝐶2 Solução Direção 𝑂𝑧 Aplicando a primeira condição de contorno 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟 𝐶1 𝑟 0 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 0 𝐶1 𝑟 𝐶1 0 Assim a equação fica 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟2 𝐶2 Aplicando a segunda condição de contorno 0 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅2 𝐶2 𝐶2 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅2 8 Solução Direção 𝑂𝑧 O campo de velocidade passa a ser 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟2 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅2 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅2 𝑟2 Os livros em geral escrevem da seguinte maneira 𝑣𝑧 𝑅2 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 1 𝑟 𝑅 2 𝒓 𝑹 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅2 𝑅2 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 0 𝑣𝑧 0 Solução Direção 𝑂𝑧 𝒓 𝟎 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅2 0 𝑣𝑧 𝑅2 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 Onde será o ponto de velocidade máxima 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 0 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟 𝐶1 𝑟 0 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟 𝑟 0 Assim 𝑣𝑚á𝑥 𝑅2 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 9 Solução Como obter a vazão 𝑄 න 𝐴 𝑣𝑧𝑑𝐴 Lembrando que 𝑣𝑧 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅2 𝑟2 𝑄 න 𝑟0 𝑟𝑅 1 4𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅2 𝑟2 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 Solução Resolvendo a integral 𝑄 𝜋 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 න 𝑟0 𝑟𝑅 𝑅2 𝑟2 𝑟 𝑑𝑟 𝑄 𝜋 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 න 𝑟0 𝑟𝑅 𝑟𝑅2 𝑟3 𝑑𝑟 𝑄 𝜋 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 න 𝑟0 𝑟𝑅 𝑟𝑅2𝑑𝑟 න 𝑟0 𝑟𝑅 𝑟3 𝑑𝑟 𝑄 𝜋 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 อ 𝑅2 𝑟2 2 𝑟0 𝑟𝑅 อ 𝑟4 4 𝑟0 𝑟𝑅 𝑄 𝜋 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅4 2 0 𝑅4 4 0 𝑄 𝜋𝑅4 8𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 10 Solução Por fim a tensão de cisalhamento na parede será 𝜏𝑤𝑎𝑙𝑙 𝜇 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 𝑟𝑅 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟 𝑑𝑣𝑧ቤ 𝑑𝑟 𝑟𝑅 1 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅 Assim 𝜏𝑤𝑎𝑙𝑙 𝜇 𝑅 2𝜇 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝜏𝑤𝑎𝑙𝑙 𝑅 2 𝑑𝑝 𝑑𝑧 É comum vermos que 𝜏𝑤𝑎𝑙𝑙 𝑅 2 Δ𝑃 𝐿 11 Considerando que ℎ 𝐿 onde 𝐿 é um comprimento característico pedese a Hipóteses b Campo de Velocidade c Tensão de cisalhamento d Vazão Solução a Hipóteses Mecânica do contínuo Existe uma 𝜌 𝜌 é constante 𝑈 0 Fluido real e newtoniano 𝜇 0 Escoamento uniforme lâmina de fluido não varia ℎ 𝑥 0 Regime permanente 𝑡 0 Bidimensional 2D 𝑥 𝑦 Não possui gradiente de temperatura 𝑇 0 Regime laminar ℎ 𝑥 0 𝑔 𝜃 𝜃 𝑃𝑒𝑠𝑜𝑥 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 1 Solução Assim podemos escrever que 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦 Se estou interessado no valor norma podemos escrever 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦 𝑈 𝐿 𝑉 ℎ 𝑉 𝑈 ℎ 𝐿 O problema TROUXE COMO INFORMAÇÃO que ℎ 𝐿 assim ou seja 𝑼 𝑽 Em outras palavras a velocidade V é DESPREZÍVEL 𝑣 𝑥 𝑦 0 𝒖 𝒙 𝟎 Solução b Campo de velocidade 𝑈 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑤𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 Bidimensional e regime permanente CM 𝑈 𝑢 𝑥 𝑦 𝑣 𝑥 𝑦 Equação da conservação da massa vetorial 𝜌 𝑡 𝜌𝑈 0 Conforme as hipóteses que definimos 𝜌 é constante Regime permanente 𝑈 0 vetorial 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦 0 cartesiana 2 Solução 𝑂𝑥 0 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑃 𝑥 𝜇 2𝑢 𝑦2 𝑂𝑦 0 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑃 𝑦 Agora vamos resolver essas equações 0 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑃 𝑦 𝑃 𝑦 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑃 𝑥 𝑦 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 𝑓𝑥 Condições de contorno 𝑃 𝑥 𝑦 ℎ 0 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 ℎ 𝑓 𝑥 0 𝑓 𝑥 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 ℎ Assim 𝑷 𝒚 𝝆𝒈𝒉 𝒚𝒄𝒐𝒔𝜽 Solução 𝑢 𝑥 0 𝑢 𝑥 𝑦 𝑐𝑡𝑒 𝑔 𝑦 𝑢 𝑦 𝑓 𝑦 Agora partimos das equações de NavierStokes 𝑂𝑥 𝜌 𝑢 𝑡 𝑢 𝑢 𝑥 𝑣 𝑢 𝑦 𝑤 𝑢 𝑧 𝜌𝑔𝑥 𝑃 𝑥 𝜇 2𝑢 𝑥2 2𝑢 𝑦2 2𝑢 𝑧2 𝑂𝑦 𝜌 𝑣 𝑡 𝑢 𝑣 𝑥 𝑣 𝑣 𝑦 𝑤 𝑣 𝑧 𝜌𝑔𝑦 𝑃 𝑦 𝜇 2𝑣 𝑥2 2𝑣 𝑦2 2𝑣 𝑧2 3 Solução Condições de contorno Condição de no slip ou não deslizamento I 𝑢 𝑦 0 0 Tensão cisalhante nula na superfície livre II 𝜏𝑦𝑥 𝜇 𝑢ቤ 𝑦 𝑦ℎ 0 Avaliando I 𝑢 𝑦 0 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 2𝜇 02 𝐶10 𝐶2 0 𝑪𝟐 𝟎 Avaliando II 𝑢 𝑦 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 ℎ 𝐶1 0 𝑪𝟏 𝝆𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽 𝝁 𝒉 Solução Se a pressão não depende de 𝑥 teremos que 𝑃 𝑥 0 0 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑃 𝑥 𝜇 2𝑢 𝑦2 2𝑢 𝑦2 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 Agora temos que resolver a equação acima Integrando a primeira vez 𝑢 𝑦 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 𝑦 𝐶1 Integrando a segunda vez 𝑢 𝑦 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 2𝜇 𝑦2 𝐶1𝑦 𝐶2 4 Solução c Tensão de cisalhamento 𝜏𝑦𝑥 𝜇 𝑢 𝑦 Utilizando a primeira integral 𝑢 𝑦 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 𝑦 𝐶1 Substituindo na equação da tensão de cisalhamento 𝜏𝑦𝑥 𝜇 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 𝑦 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 ℎ 𝜏𝑦𝑥 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 ℎ 𝑦 Solução E o campo de velocidade passa a ser 𝑢 𝑦 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 2𝜇 𝑦2 𝐶1𝑦 𝐶2 𝑢 𝑦 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 2𝜇 𝑦2 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 ℎ𝑦 0 𝑢 𝑦 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 ℎ𝑦 𝑦2 2 5 𝜏𝑦𝑥 𝑦 0 Solução d Vazão 𝑄 න 𝐴 𝑢𝑑𝐴 න 0 ℎ 𝑢𝑏𝑑𝑦 𝑄 න 0 ℎ 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 ℎ𝑦 𝑦2 2 𝑏𝑑𝑦 𝑄 อ 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑏 𝜇 ℎ𝑦2 2 𝑦3 6 0 ℎ 𝑄 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑏 3𝜇 ℎ3 6 Taxa de variação da massa específica Variação líquida da massa através das superfícies de controle v M1 M2 M3 0 A equação da Conservação de Massa é uma equação escalar ou seja preza pela quantidade da variação de massa em um volume de controle A Quantidade de Movimento é uma equação Vetorial ou seja interessa a direção e o sentido que o fluido fornece ou recebe energia devido ao movimento do fluido Lei da viscosidade de Newton Intensidade da resposta à tensão aplicada A Taxa de Deformação ou a taxa de variação da deformação linear é a resposta de quão rápido ou veloz o fluido se deforma A Intensidade da Resposta tem relação com o quão resistente o material é a tensão aplicada Comumente denominado Viscosidade Dinâmica Pas essa medida indica o quaõ o material resiste à deformação T Mx WMNⱼ Uniforme ou nãouniforme Escoamento é uniforme na direção preferencial x mas o campo de velocidade é nãouniforme na direção y Permanente ou transiente Permanente pois não tem dependência temporal Uni bi ou tridimensional Unidimensional Apoio ao mini projeto Campo de velocidade 𝑣 𝑣0 1 𝑅2 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒𝑟 𝑣0 1 𝑅2 𝑟2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝜃 1 Mostrar que o campo de velocidade é incompressível e irrotacional Incompressível o divergente do campo de velocidades deve ser nulo 𝑈 0 Irrotacional o rotacional do campo de velocidades deve ser nulo 𝑈 0 Para coordenadas cilíndricas temos que 𝐴 1 𝑟 𝑟𝐴𝑟 𝑟 1 𝑟 𝐴𝜃 𝜃 𝐴𝑍 𝑧 𝐴 1 𝑟 𝐴𝑧 𝜃 𝐴𝜃 𝑧 𝑒𝑟 𝐴𝑟 𝑧 𝐴𝑧 𝑟 𝑒𝜃 1 𝑟 𝑟𝐴𝜃 𝑟 𝐴𝑟 𝜃 𝑒𝑧 Assim para o campo de velocidades bidimensional do problema teremos que 1 𝑟 𝑟𝐴𝑟 𝑟 1 𝑟 𝐴𝜃 𝜃 0 Como 𝑈 0 Teremos 1 𝑟 𝑟 𝑟𝑣0 1 𝑅2 𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃 1 𝑟 𝜃 𝑣0 1 𝑅2 𝑟2 𝑠𝑖𝑛𝜃 0 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 𝑟 𝑟 𝑅2 𝑟 𝑣0 𝑟 1 𝑅2 𝑟2 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 0 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 1 𝑅2 𝑟2 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 1 𝑅2 𝑟2 0 Assim comprovase que o escoamento é incompressível Para comprovar a irrotacionalidade do campo de velocidades teremos que 1 𝑟 𝐴𝑧 𝜃 𝐴𝜃 𝑧 𝑒𝑟 𝐴𝑟 𝑧 𝐴𝑧 𝑟 𝑒𝜃 1 𝑟 𝑟𝐴𝜃 𝑟 𝐴𝑟 𝜃 𝑒𝑧 0 0 0𝑒𝑟 0 0𝑒𝜃 1 𝑟 𝑟 𝑟𝑣0 1 𝑅2 𝑟2 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜃 𝑣0 1 𝑅2 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒𝑧 0 1 𝑟 𝑣0𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑟 𝑟 𝑅2 𝑟 𝑣0 1 𝑅2 𝑟2 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒𝑧 0 1 𝑟 𝑣0𝑠𝑖𝑛𝜃 1 𝑅2 𝑟2 𝑣0 1 𝑅2 𝑟2 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒𝑧 0 Assim comprovase que o escoamento é irrotacional 2 Mostrar que o escoamento é paralelo ao eixo horizontal 𝑂𝑥 longe do cilindro Mostrar o vetor velocidade Escrevemos o vetor de velocidade da seguinte maneira 𝑣 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒𝑟 𝑣0𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝜃 𝑣 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑒𝑥 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝑦 𝑣0𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑒𝑦 𝑣 𝑣0 cos2 𝜃 𝑒𝑥 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝑦 𝑣0 sin2 𝜃𝑒𝑥 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝑦 𝑣 𝑣0sin2𝜃 cos2 𝜃𝑒𝑥 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝑦 Assim 𝑣 𝑣01𝑒𝑥 𝑣00𝑒𝑦 Logo 𝑣 𝑣0𝑒𝑥 Dessa forma representase matematicamente que a velocidade longe do cilindro é paralela ao eixo 𝑂𝑥 3 Demonstrar a velocidade na superfície em 𝑟 𝑅 nos pontos A B C e D Nesse caso o vetor velocidade ficará 𝑣 𝑣0 1 𝑅2 𝑅2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒𝑟 𝑣0 1 𝑅2 𝑅2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝜃 𝑣 2𝑣0𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒𝜃 2𝑣0𝑠𝑖𝑛𝜃 Ponto A 𝜃 0 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑣 2𝑣0 sin0 𝑣 0 Ponto B 𝜃 𝜋 2 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑣 2𝑣0 sin𝜋 2 𝑒𝜃 𝑣 2𝑣0 Ponto C 𝜃 𝜋 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑣 2𝑣0 sin𝜋 𝑣 0 Ponto D 𝜃 𝜋 2 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑣 2𝑣0 sin 𝜋 2 𝑣 2𝑣0 4 Demonstrar a pressão através da aplicação do teorema de Bernoulli e seus valores nos pontos A B C e D 𝑃0 1 2 𝜌𝑣0 2 𝑃𝑠𝑢𝑟𝑓 1 2 𝜌𝑣𝑠𝑢𝑟𝑓 2 𝑃𝑠𝑢𝑟𝑓 𝑃𝑟 𝑅 𝜃 𝑃0 1 2 𝜌𝑣0 21 4 sin2 𝜃 Assim 𝑃𝐴 𝑃0 1 2 𝜌𝑣0 2 𝑃𝐵 𝑃0 1 2 𝜌𝑣0 21 4 𝑃0 3 2 𝜌𝑣0 2 𝑃𝐶 𝑃𝐴 𝑃𝐷 𝑃𝐵 5 Calcular as componentes horizontais e verticais das forças de pressão que são exercidas no cilindro por unidade de largura na direção 𝑂𝑍 𝑑𝑓 𝑝𝑑𝑆 𝑑𝑆 𝑑𝑆 cos𝜃 𝑒𝑥 𝑑𝑆 sin 𝜃 𝑒𝑦 𝐹𝑥 𝑝 cos 𝜃 𝑆 𝑑𝑆 𝑝𝜃 cos𝜃 2𝜋 0 𝑅𝑑𝜃 𝑃0 1 2 𝜌𝑣0 21 4 sin2 𝜃 cos 𝜃 𝑅𝑑𝜃 2𝜋 0 0 fluido perfeitoideal 𝐹𝑦 𝑃0 1 2 𝜌𝑣0 21 4 sin2 𝜃 sin 𝜃 𝑅𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑅 𝑃0 cos𝜃0 2𝜋 1 2 𝜌𝑅𝑣0 2 cos 𝜃0 2𝜋 2𝜌𝑅𝑣0 2 sin3 𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 O termo sin3 𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 pode ser escrito como sin3 𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 3 4 sin 𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 1 4 sin3𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 0 Assim 𝐹𝑦 0 condição de simetria Água escoa a uma velocidade de u 1 ms sobre uma placa plana de comprimento L 06 m Considere um caso no qual a temperatura da água é de aproximadamente 300 K Nas regiões laminar e turbulenta medidas experimentais mostram que os coeficientes convectivos locais são bem descritos pelas relações abaixo Considerando Clam 395 Wmk e Cturb 2330 WmK Determine a o coeficiente convectivo médio sobre a placa e b a taxa de transferência de calor na placa considerando a variação de temperatura de 80ºC Aplicação 01 xc 5000 855E04 Pas 9574 kgm³ Lms xc 04287 m 042m ₀xc hₗ am x dx Cₗ am ₀xc x 05 dx Cₗ am x 05 2 Cₗ am 05 05 2 Cₗ am xc05 ₗ hₗ turb x dx Cₗ turb ₗ x 002 dx xc Cₗ turb L 08 xc 08 Aplicação 2 Resultados experimentais para a transferência de calor sobre uma placa plana com superfície extremamente rugosa puderam ser correlacionados por uma expressão com a forma sendo Nux o valor local do número de Nusselt na posição x medida a partir da aresta frontal da placa Obtenha uma expressão para a razão entre os coeficientes de transferência de calor médio x e local hx hx C x02 fracbarhhx frac11 C x01C x01 11