Capítulo 3: Segunda Equação de Maxwell

Capítulo 3 Segunda equação de Maxwell 31 Introdução Diferentemente do campo elétrico o qual é oriundo de uma carga elétrica fonte nunca se observou a existência de uma carga magnética fonte Desta forma temos a segunda equação de Maxwell B 0 31 pois o divergente de um campo vetorial indica a presença de uma carga fonte Aprendemos que a divergência indica a densidade de carga fonte aplicando o teorema de Gauss à lei de Coulomb Eq 236 Como cargas magnéticas não existem o divergente do campo magnético B deve ser nulo E o que faz o campo magnético B E se exixtisse carga magnética 32 O campo magnético 321 Sem carga magnética Como o campo elétrico E o campo magnético B pode ser denido pela sua ação em uma carga teste q F q v B 32 conhecida como força de Lorentz 1895 mas identicada por Maxwell já em 1861 Esta força magnética apresenta duas características inexistentes na força elétrica F q E i ela é um pseudovetor devido ao produto vetorial e ii ela é dependente da velocidade da carga teste Um pseudovetor resultante de um produto vetorial não inverte seu sentido quando o sentido de cada vetor no produto vetorial é invertido Da mesma forma o número resultante de um produto escalar é um pseudoescalar Os produtos escalar e vetorial são operações 36 Capitulo 3 Segunda equagao de Maxwell 32 O campo magnético binarias entre vetores As dimensoes do campo magnético B sao a T oF 33 qle QT No sistema internacional SI de unidades temos kgCsT Tesla como unidades para o campo magnético A unidade Tesla é uma homenagem a Nikola Tesla E se existisse carga magnética 322 Com carga magnética Suponha que além da carga elétrica Q exista também a carga magnética Q como fonte pontual de um campo magnético obedecendo a lei de Coulomb no vazio C 1 B cmp Cn Hor 34 r2 At Cin Loo onde C é a constante magnética ig 6 a permeabilidade e 9 é a permissividade do vacuo e ca velocidade da luz também no vacuo Naturalmente esse campo magnético é derivado de um potencial magnético verifique Qm BVxX x Cm r0 35 Até aqui tudo similar ao campo elétrico Como no caso elétrico 0 divergente do campo magnético deve ser proporcional 4 densidade de carga magnética Nao fizemos isso para o campo elétrico de uma carga pontual mas faremos aqui Existe uma forma matematica elegante de definir uma densidade para uma carga pontual apesar da carga pontual ocupar um volume nulo O preco é usar uma distribuicao conhecida por delta de Dirac em homenagem a Paul Dirac A definigao de uma distribuicgao apresentada no Apéndice C A caracteristica principal da distribuigdo delta de Dirac 6r 0 ou simplesmente 6r é ter um valor nulo em todo o espaco exceto na origem r 0 Na origem r 0 ela tende ao infinito A distribuicao delta de Dirac nao é uma fungao pelo menos do tipo ordinario Usando esta distribuigao delta de Dirac a densidade de uma carga pontual pode ser escrita assim Pm Qm dr 36 A distribuicgao delta de Dirac 6r tem as mesmas dimensoes de inverso de volume 37 33 O potencial vetor Capitulo 3 Segunda equagao de Maxwell A divergéncia do campo magnético 35 VBVy 41Cin Pm 37 é proporcional a densidade de carga magnética pontual como esperado verifique Vale o mesmo procedimento para 0 campo elétrico O Apéndice C apresenta um exercicio mostrando que o laplaciano do potencial 1r é uma distribuicao delta de Dirac gl V 4rdr 38 r O fluxo deste campo magnético produzido por uma carga pontual com simetria radial é calculado facilmente usando uma superficie gaussiana esférica 1 centrada na origem e o teorema de Gauss 234 w Bda Bav AnCn Qn 39 sl 82 onde S é a esfera contendo a superficie esférica S como borda e escrevemos o divergente do campo magnético em termos da delta de Dirac dr como em 37 A integracgao no volume S é feita usando a definicéo C1 de uma distribuicao verifique Vale o mesmo procedimento para o campo elétrico Concluimos assim que uma possivel existéncia da carga magnética seguindo a lei de Coulomb dada em 34 apresenta um cendrio completamente similar ao campo elétrico sugerindo uma forga magnética do tipo dmB onde qn 6 uma carga magnética teste O problema que sabemos da existéncia da forga de Lorentz 32 a qual é dependente da velocidade do corpo teste Portanto apesar do apelo matemAatico este cendrio similar ao campo elétrico esta descartado Exercicio 2 Detalhe cuidadosamente cada uma das situagoes especificados por verifique 33 O potencial vetor 331 Sem carga magnética A segunda equacao de Maxwell 31 tem uma solucao imediata verifique VB0 BVxA 310 38 Capitulo 3 Segunda equagao de Maxwell 33 O potencial vetor O campo vetorial A é conhecido como potencial vetor Vale observar que esta solucao deixa de ser valida se 0 potencial vetor apresentar uma singularidade em alguma regiao espacial Um potencial vetor satisfazendo 310 é dito regular O potencial vetor desempenha um papel similar ao potencial escalar tal que E V Note que os potenciais elétrico e A magnético dao origem aos campos vetoriais E elétrico e B magnético via gradiente e rotacional respectivamente Naturalmente estes potenciais estao definidos a menos de uma constante arbitraria pelo menos até o momento Vale ressaltar que esta solucao em termos de um potencial vetor via rotacional é valida somente na auséncia de cargas magnéticas Na presenga de cargas magnéticas o divergente do campo magnético nao sera nulo Exercicio 3 Detalhe cuidadosamente cada uma das situagoes especificados por verifique 332 Com carga magnética Supondo a existéncia da carga magnética quem sera o potencial vetor A que dara origem ao campo magnético B via o rotacional B V x A Nao podemos mais usar um potencial vetor regular pois VVxA 0 neste caso que fornece um fluxo nulo sempre Uma contradigao como esta é fruto tipico da arvore de singularidades e indica que o potencial vetor desse campo magnético deve ser irregular singular em alguma regiao Como 0 campo magnético possui simetria esférica ou radial esperamos que a forma do potencial vetor deve apresentar também algum tipo de simetria além de uma irregularidade singularidade necessaria Dirac escolheu um potencial azimutal simetria em torno do eixo Z A Agés 311 Justificativas Talvez Pauli pudesse télas enunciadas Dirac nao precisava delas Com esta escolha 1 cos9 OAs Ay OAg VxAAsg 3 6 7 6 312 405 a Or 312 em coordenadas esféricas verifique ou 2 OAs Ay OAg Vx Ae x 313 dz r Op s em coordenadas cilindricas verifique Requerendo que V x A B entao temos duas equacées diferenciais verifique para resolver cuja solucao geral é fo cos Ag C a 314 mm rsind 39 34 Densidade de corrente Capitulo 3 Segunda equagao de Maxwell para as coordenadas esféricas verifique e CmQm Zz Ag F 1 315 para as coordenadas cilindricas verifique onde f uma fungao arbitraria Que cri térios adicionais poderfamos usar para determinar esta fungao arbitraria Por exemplo escolhendo f 1 0 potencial vetor apresenta uma irregularidade diverge nos semieixos p0rz z000 ez 0 07 respectivamente As coordenadas cilindricas parecem mais adequadas para percebermos tais irregularidades verifique Aqui a hipétese basica é de que 0 campo magnético é derivado de um potencial vetor via o rotacional B V x A Esta hipétese implica em um potencial vetor singular A divergéncia deste campo magnético leva ao laplaciano deste potencial vetor singular que tera o comportamento de uma distribuicao Esta situacao é similar a definicao da densidade de carga pontual 36 via a distribuicao delta de Dirac definida num ponto Aqui teremos de usar uma distribuicao definida numa reta Em breve Exercicio 4 Detalhe cuidadosamente cada uma das situagoes especificados por verifique 34 Densidade de corrente Veremos em breve que carga em movimento corrente elétrica gera um campo magnético Em geral correntes sao conduzidas em materiais que possuem extensoes além de compri mentos como num fio Isto significa que teremos de considerar densidades de correntes como um campo vetorial com direcao e sentido além de intensidade Diferentemente do campo elétrico que é produzido por uma carga elétrica fonte o campo magnético nao tem uma carga magnética fonte Até o momento ainda nao conseguimos observar uma carga mag nética o que coloca uma grande dtivida sobre sua existéncia Nossos campos magnéticos sao criados por cargas elétricas em movimento Portanto precisamos definir uma densidade de cargas em movimento corrente elétrica como um vetor Cargas em movimento formam uma corrente elétrica Para tal considere a Figura 3 1a Cada portador de cargas pontos tem uma carga Q é uma velocidade w numa regiao muito pequena Consideremos as cargas que atravessarao uma determinada area Aa num tempo At Seja Ad o vetor elemento de area perpendicular a esta 4rea O volume apoiado na Area Aa e de altura uAt é AV Atw Ad Seja n a densidade dos portadores de cargas nesta regido a densidade de cargas p nQ Entao o total de portadores de cargas é nAV 40 Capitulo 3 Segunda equagao de Maxwell 34 Densidade de corrente a C 7S vt yy a a ao J po Qe v Y a Corrente elétrica b Densidade de corrente Figura 31 Densidade de corrente e conservacgao da carga elétrica Podemos definir localmente corrente elétrica como carga por unidade de tempo nAV Q T ii pu da l d jim GG puda 316 Melhor ainda como veremos mais adiante introduzir o campo vetorial densidade de cor rente J de modo a obtermos a corrente total I passando por uma area A como o fluxo dessa densidade de corrente I Fa J pit 317 A A unidade de corrente elétrica no Sistema Internacional SI 6 0 Ampere ACs Isto faz com que a unidade de densidade de corrente seja Am corrente por area O campo vetorial densidade de corrente J e o campo escalar densidade de cargas p estao intimamente relacionados Para sabermos como temos de introduzir um principio ou postulado carga elétrica conservada Considere uma carga total Q saindo ou entrando de uma regiao de volume V na forma de uma corrente J dQdt Considere uma superficie fechada de area A contendo 0 volume V A carga dQ pdV que sai desse volume V precisa atravessar a superficie A que o contém como mostrado na Figura 31b Assim usando a definigao de corrente elétrica e o principio da conservacao da carga ou da corrente elétrica 41 35 Casos de estudos Capitulo 3 Segunda equagao de Maxwell temos dQ d I Jdé pdv 318 dt dit p 318 A V O sinal negativa indica que a carga esta saindo da regiao Podemos usar 0 teorema de Gauss 234 para passar a integral na superficie A para a integral no volume V contido dentro desta superficie A d dp Jda VJdV pdV VJ40 319 dt dt A V V Esta tltima equacao é conhecida por equacao da continuidade Ela relaciona a variacgao temporal do campo escalar densidade de carga p com a variagao espacial divergente do campo vetorial densidade de corrente J Ela afirma localmente a conservacao da carga a carga que sai de uma regiao sai na forma de uma corrente 35 Casos de estudos Consideremos aqui uma corrente elétrica em um fio retilineo cujo comprimento bem maior que o seu diametro Como cargas elétricas em movimento percebem os campos elétricos que elas criam Como uma carga teste externa a um fio conduzindo uma corrente elétrica em repouso ou em movimento vé tudo isso 351 Corrente em um fio Esta segdo é uma traducao livre da Secao 59 da Ref 1 Considere a Figura 32 onde temos um fio retilineo infinito conduzindo uma corrente J Despreza a espessura do fio Note que a corrente elétrica é no sentido inverso da velocidade wu dos elétrons devido a carga negativa dos elétrons O referencial inercial O é solidario ao fio Na Figura 32 os elétrons livres sao representados pelo pontos azuis e os fons positivos fixos sao representados por pontos vermelhos Essa representacao é supersimplificada pois elétrons sao entidades do mundo quantico subat6mico O referencial inercial O é solidaério aos elétrons pontos azuis na corrente elétrica os quais possuem uma velocidade t uniforme em relacao ao referencial O Temos também uma carga teste g a uma distancia r deste fio condutor O referencial inercial instantaneamente O é solidario a carga teste Esta carga teste possui uma velocidade v em relacao ao referencial O Estamos falando de velocidades de correntes num fio condutor Mesmo a carga teste colocada aqui de forma isolada na pratica é parte de outra corrente elétrica em outro fio condutor Mas qual mesmo a ordem de grandeza destas velocidades Para uma excelente 42 Capítulo 3 Segunda equação de Maxwell 35 Casos de estudos analogia exibindo o conceito de velocidade dos elétrons numa corrente elétrica entre aqui Também veja esta divertida animação bem como esta outra Estaremos considerando aqui a velocidade de sinais Desta forma u e v são próximas à velocidade da luz c Figura 32 Carga teste q em movimento numa vizinhança de um o innito com uma corrente elétrica I O referencial inercial O é solidário ao o O referencial inercial O é solidário instantaneamente à carga teste O referencial inercial O é solidário aos elétrons pontos azuis na corrente elétrica I Os íons pontos vermelhos estão xos no o Temos três referenciais inerciais na Figura 32 com velocidades relativas comparáveis à velocidade da luz Em cada referencial temos experimentalistas que realizam experimentos cuidadosos Imagine você que a natureza possui regras para que as informações destes expe rimentalistas sejam traçadas entre eles Estas regras fazem parte das previsões totalmente inesperadas da teoria da Relatividade Especial RE de Einstein Momento Relatividade Especial 0 A troca de informações entre referenciais inerciais deve ser feita através das Transformações de Lorentz da Relatividade Especial As Transformações de Lorentz TL da RE garantem que as informações anotadas num referencial sejam passadas corretamente para outro referencial inercial As TL atuam com um decodicador de informações No caso de um mesmo experimento sendo realizado em dois referenciais inerciais o nosso e um outro se pudéssemos simplesmente pegar as informações do outro referencial para comparar com as nossas informações vericaríamos que elas são diferentes Após transformarmos via as TL as informações do outro referencial é que vericaremos uma completa concordância Em particular como temos densidades lineares de cargas no o carga por comprimento precisamos saber como as TL processa informações sobre comprimentos entre referenciais inerciais Momento Relatividade Especial 1 A Relatividades Especial de Einstein estabelece que o comprimento próprio L medido na direção do movimento em um referencial inercial em 43 35 Casos de estudos Capitulo 3 Segunda equagao de Maxwell movimento deve ser interpretado no outro referencial como sendo menor pelo fator 17 isto é vemos o comprimento L em movimento como L7 onde 1 v Ww os Ov 320 22 1 c e v é a intensidade da velocidade relativa entre esses dois referenciais inerciais e c é a velo cidade da luz no vacuo Este efeito conhecido por contracgao espacial Regra 0 comprimento proprio visto em movimento é sempre 0 menor Essa contragao espacial afeta as densidades lineares carga por comprimento Menor a distancia vista entre cargas maior a densidade linear Assim toda densidade linear vista em movimento sera maior aumentada pelo fator y A densidade linear de cargas positivas fons fixos pontos vermelhos no fio é Ao Sendo o fio um condutor neutro a densidade de cargas negativas elétrons em movimento pontos azuis precisa ser Ag Portanto no referencial inercial O solidario ao fio nao ha campo elétrico na regiao externa ao fio como podemos concluir aplicando a lei de Gauss pois a carga interna a superficie gaussiana SG um cilindro de raio concéntrico com o fio é nula Isto significa que se a carga teste estiver em repouso ela nao sentira qualquer forga Mas oO que acontecera com a carga teste caso ela esteja em movimento Antes porém vejamos como é a densidade linear de cargas eletrénicas negativas no referencial O solidério aos elétrons No nosso referencial segundo o Momento Relatividade Especial 1 a densidade linear eletr6nica medida no referencial deve ser vista no referen cial O aumentada pelo fator y onde u é a intensidade da velocidade relativa uw ui do referencial O em relacao ao nosso referencial O No entanto j4 denominamos esta densidade no nosso referencial por Ag Assim a densidade eletrénica no referencial precisa ser rN ou 321 para ao ser multiplicada por y obtermos Ap Afinal 6 A 9 que medimos no nosso refe rencial O O fator relativistico y dado em 320 substituindo v por uw Suponha agora que a carga teste q esteja se movimentando em relagao ao fio com ve locidade digamos ao longo do eixo horizontal do referencial inercial O solidario ao fio isto é vt No referencial O soliddrio a carga teste é o fio que esté em movimento no sentido oposto com velocidade v como podemos observar na Figura 32 Como um observador no referencial O vé as densidades lineares positiva ions e negativa elétrons Novamente segundo o Momento Relatividade Especial 1 a contragao espacial faz com que a densidade linear positiva medida no referencial O seja multiplicada pelo fator 7 ao ser 44 Capitulo 3 Segunda equagao de Maxwell 35 Casos de estudos transcrita para o referencial O NE Ww Ao 322 De forma semelhante no referencial O a densidade linear negativa medida no referencial O dos elétrons é multiplicada pelo fator yw NM Ww N doYwYus 323 onde w é a intensidade da velocidade relativa w dos elétrons em relacaéo ao referencial O solidario 4 carga teste g O fator relativistico 7 dado em 320 substituindo v por w Devido ao movimento do fio em relacao ao referencial O esta velocidade relativa w dos elétrons em relacdo ao referencial O uma composicao das velocidades relativas Uv do fio e u dos elétrons Classicamente teriamos ii mas para intensidades comparaveis a rapidez da luz esta regra de composicao classica é alterada pela Relatividade Especial Momento Relatividade Especial 2 A regra de composigao de velocidades na Relatividade Especial aplicada aos referenciais que estamos considerando é Bu a By bw 324 1 BuBr para vU e u em sentidos opostos e Bu By 325 Pu TT BBy 325 com U e tu no mesmo sentido positivo onde w v u Bu By Bu 326 C C C Vale observar que estas leis de composicao de velocidades relativisticas obedece o principio que a velocidade da luz é uma constante universal Mesmo que v e u sejam iguais a velocidade da luz a composigéo 325 dara w c verifique Nenhuma velocidade pode ultrapassar a velocidade da luz Interessante também observar que o fator relativistico 7 correspondente A velocidade composta w tem a seguinte propriedade verifique 1 Ww Fs 1 Bubv wr 327 V1 Substituindo o fator relativistico 327 na densidade eletrénica 323 lida no referencial O da carga teste verifique dr 1 BuBv Yo Xo Yv Xo Buu Ye Ao 328 45 35 Casos de estudos Capítulo 3 Segunda equação de Maxwell Desta forma a densidade eletrônica total vista pela carga teste a soma das densidades 322 e 328 não é mais nula λ λ λ λ0βuβvγv 329 Este resultado destaca duas características marcantes 1 a carga teste vê uma densidade linear de cargas nãonula em seu referencial e 2 somente se ela ou o o estiver em mo vimento v 0 e u 0 Se a carga teste vê uma carga elétrica então estará sujeita a uma força elétrica Concluímos que devido à Relatividade Especial a carga teste em movimento sente a presença de um campo elétrico e consequentemente uma força elétrica Figura 33 Carga teste q em movimento numa vizinhança de um o innito com uma corrente elétrica I O referencial inercial O é solidário instantaneamente à carga teste A superfície gaussiana CG é uma casca cilíndrica de raio r com o versor ˆr normal à superfície lateral O campo elétrico na posição da carga teste é o mesmo de um o innito com a densidade linear λ dada em 329 com simetria cilíndrica Assim escolhendo como superfície gaussi ana uma casca cilíndrica de raio r centrada no o como mostrado na Figura 33 podemos usar o resultado encontrado em 278 E E r rˆr E r r 2λCe r 330 Esse é o campo elétrico sentido pela carga teste em movimento em seu próprio referencial Vale sempre lembrar que este campo elétrico é diretamente proporcional à velocidade da 46 Capítulo 3 Segunda equação de Maxwell 35 Casos de estudos carga teste Se tem campo elétrico tem força elétrica A força elétrica correspondente é F q E F r ˆr F r r 2qλ0Ceγvβvβur r 0 331 Note que é uma força dependente da velocidade e perpendicular à velocidade da carga teste a característica principal de uma força magnética Melhor expressarmos esta força em co ordenadas cartesianas Na posição da carga teste temos ˆr ˆj Assim em coordenadas cartesianas temos F F y ˆj F y 2qλ0Ceγvβvβur r 0 332 Como esta força é vista no nosso referencial O Momento Relatividade Especial 3 A Relatividade Especial de Einstein prevê uma con tração das componentes de forças perpendiculares à direção do movimento Apenas as com ponentes perpendiculares à direção do movimento relativo entre referenciais inercias sofrem uma contração pelo fator relativístico Como regra forças vistas em movimento têm suas componentes perpendiculares reduzidas pelo fator γv onde v é a rapidez do movimento relativo Como a força elétrica 332 na carga teste é perpendicular ao movimento relativo entre os referenciais O e O desta forma de acordo com o Momento Relatividade Especial 3 a força elétrica 332 transcrita do referencial O para o referencial O tem sua componente F y diminuída pelo fator relativístico γv Fy F y γ 2qλ0Ce r βuβv 2Ce c2 qvI r 2CmqvI r 333 onde introduzimos a corrente elétrica I λ0u cλ0βu 334 e a constante magnética via a velocidade da luz c2 CeCm verique Este resultado em 333 pode ser reescrito numa forma vetorial mais interessante verique F q v B v vˆi B 2Cm I r ˆk 335 onde introduzimos o vetor B o qual é campo magnético produzido pela corrente I como veremos mais adiante A força em 335 é a parte magnética da força de Lorentz Isto signica que cargas em movimento correntes são fontes de campos magnéticos A Figura 34 exibe os vetores presentes em 335 e suas orientações relativas ao o conduzindo a corrente I Observe a regra da mão direita no canto superior esquerdo amarrando as direções e 47 35 Casos de estudos Capítulo 3 Segunda equação de Maxwell orientações do campo magnético e corrente Figura 34 Força Lorentz F na carga teste q velocidade v devida ao campo magnético B criado pela corrente elétrica I em um o innito paralelo ao versor ˆi CA é uma circunferência de raio r centrada no o e perpendicular a ele A Figura 34 mostra a corrente I no o retilíneo paralelo ao versor ˆi a qual cria o campo magnético B tangente à circunferência imaginária CA curva amperiana de raio r contida no plano dos versores ˆj e ˆk O sentido do vetor campo magnético é dado pela regra da mão direita o dedão indica o sentido da corrente e o indicador indica o sentido do campo magnético num movimento de rotação em torno do dedão Este campo magnético atua na carga teste q produzindo nela a força de Lorentz F dada em 335 Esse exercício mostra como uma carga elétrica em movimento produz uma força de pendente da velocidade noutra carga elétrica também em movimento Este resultado sur preendente resulta tomando a Relatividade Especial como correta Este resultado tem sido conrmado experimentalmente através da observação de uma força entre duas correntes elé tricas Note em todas as expressões anteriores que a carga teste q é sempre a mesma ou seja estamos escrevendo q para representar a carga teste em qualquer um destes referenciais Podemos fazer graças à Relatividade Especial Momento Relatividade Especial 4 A carga elétrica não é afetada pela Relatividade Especial A carga elétrica é um invariante relativístico 48 Capítulo 4 Indução 41 Introdução Vimos na Seção 351 usando a Relatividade Especial como cargas elétricas em movimento corrente elétrica gera induz um campo magnético em sua vizinhança Do ponto de vista prático este campo magnético produzido por uma corrente elétrica gera uma força numa carga elétrica teste em movimento que pode ser vericada experimentalmente Essa força é idêntica à força de Lorentz já conhecida experimentalmente usando ímãs para gerar campos magnéticos ao invés de correntes elétricas Do ponto de vista da Relatividade Especial se uma carga elétrica em movimento portanto um campo elétrico variando no tempo gera um campo magnético então um campo magnético variando no tempo deve gerar um campo elétrico Em suma no fenômeno da indução um campo de um tipo elétrico ou magnético variando induz o surgimento de um outro tipo de campo magnético ou elétrico Esse fenômeno da indução é um efeito relativístico As relações entre campos variando e campos induzidos estão contidas nas duas últimas equações de Maxwell Vamos contextualizar Maxwell apresentou suas equações em 1861 Einstein nos apre sentou a Relatividade Especial somente em 1905 Portanto o fenômeno da indução foi descoberto experimentalmente antes da Relatividade Especial De fato os efeitos da indu ção eletromagnética foram vericados experimentalmente de forma magistral por Ampère em 1820 e por Faraday em 1821 Embora os efeitos elétricos e magnéticos fossem conheci dos separadamente há milênios coube a Ampère e Faraday mostrar suas interrelações pela primeira vez A Relatividade Especial reforçou estas interrelações 49 42 Ampére Capitulo 4 Indugao 42 Ampére Oersted em sala de aula descobriu experimentalmente em 1820 que um fio transportando uma corrente elétrica produzia um campo magnético Ele usou uma bissola para identificar ap6s trés anos que este campo magnético era circular ao fio como vimos na Secao 351 Na época definiase campo magnético pela interacdéo com uma bissola mas eram conhecidos ha muito tempo e interagiam com bissolas contendo também um ima Este experimento de Oersted mostrou pela primeira vez uma relacao explicita entre os fendmenos elétricos corrente 6 magnéticos imas Uma simulagao desse experimento pode ser vista aqui Ampére nasceu em uma familia rica e teve sua educacgao inteiramente em sua casa Tornouse professor de Matematica Fisica e Quimica Ainda em 1820 tomou conhecimento do experimento de Oersted e se dedicou a ele com tanto afinco ao ponto de traduzilo mate maticamente no que chamamos hoje de lei de Ampére corretissima para correntes estaticas Infelizmente ele nao registrou seus passos nesta empreitada publicou apenas seus resultados de forma completa em 1826 um ano antes de sua morte Ampére chegou a conjecturar cargas elétricas em movimento como a origem de campos magnéticos quase um século antes do advento da Teoria da Relatividade Especial Mais detalhes sobre Ampére podem ser obtidos aqui 421 A lei de Ampére Ampére foi capaz de mostrar que a circulagao do campo magnético B de uma corrente elétrica I estatica que nao varia no tempo em um fio retilineo circulagéo em torno desse fio 6 proporcional a corrente elétrica que ele transporta fa dl 4AnCn I Cm 22 41 4 C Este resultado é valido sempre e é conhecido por lei de Ampére o andlogo a lei de Gauss para o campo elétrico A curva fechada sobre a qual a circulacgao é calculada é a curva amperiana CA ilustrada na Figura 34 Note também nesta mesma figura o uso da regra da mao direita para identificar o sentido da corrente com o dedao e o sentido do campo magnético com o indicador e demais Na Figura 34 0 campo magnético de uma corrente estatica em um fio retilineo é tangente a curva amperiana CA Como a lei de Gauss a lei de Ampére é muito titil em situacoes onde ha simetrias Exercicio 5 Como ao usar a lei de Gauss use argumentos de simetria e a lei de Ampére para obter 0 campo magnético produzido por uma corrente I estdtica em um fio retilineo 50 Capitulo 4 Indugao 43 Faraday 422 Terceira equagao de Maxwell Usando o Teorema 2 podemos estabelecer uma versao local para a lei de Ampére fBdl Vx BdtanCy 1 Arc va VxB4rCJ 42 C A A onde o campo vetorial densidade de corrente J foi introduzido na Secao 34 Maxwell em 1861 notou que este resultado compativel com a equagao da continuidade 319 somente para campos estaticos independentes do tempo pois verifique ss 6 Op 0VVx B49CVJ Anim 43 onde p é a densidade de cargas elétricas dependente da posigéo e do tempo A primeira igualdade é valida sempre pois VVxF0 para qualquer campo vetorial F Desta forma Maxwell corrigiu a lei de Ampére local para COmO0E Vx B41CJ 44 C Ot 44 ou usando c CCm 10E V x B 41CJ 45 c Ot 45 obtendo assim a terceira equacdo de Maxwell Note que a variagao espacial do campo mag nético esta relacionada com a variaciéo temporal do campo elétrico E um campo induzindo outro Maxwell fez uma descoberta ainda maior a conservacgao da carga expressa na equagao da continuidade 319 é uma consequéncia das leis do Eletromagnetismo De fato basta aplicar o divergente na lei de Ampére 45 e usar as demais equacdes de Maxwell para reobtermos a equacao da continuidade 319 como feito em 43 Exercicio 6 Aplique o divergente na terceira equacao de Maxwell e mostre que ela é con sistente com a primeira equagao de Maxwell e com a equagdo da continuidade 319 43 Faraday 431 Introducgao Logo apoés a descoberta de Oersted de 1820 relatada na secao anterior Faraday também se dedicou ao assunto Ao contrario de seu contemporaneo Ampére Faraday nunca teve 51 43 Faraday Capítulo 4 Indução educação formal substituída pela necessidade de trabalhar desde muito cedo No entanto isso não o impediu de obter conhecimentos por si mesmo iniciando em Química e terminando no Eletromagnetismo proporcionandolhe títulos honorários e várias premiações além de uma posição como Professor Iniciando em 1821 Faraday meticulosamente realizou uma série de experimentos sobre eletricidade e magnetismo inspirado por Oersted e principalmente por Ampère que resultou na indução eletromagnética base para a geração de energia elétrica a partir de movimento mecânico usina hidrelétrica Recomendo a leitura da Seção 71 de PurcellMorin 1 para perceber a genialidade de Faraday na realização de seus experimentos e conclusões estabelecidas A grandeza de Faraday aumenta ainda mais se levarmos em conta que suas conclusões foram obtidas apenas com base experimental sem o embasamento matemático familiar a Ampère 432 Experimentos A simulação mostrada aqui ilustra as conclusões de Faraday Segure e arraste o ímã aquele com as quatro setas indicadoras de movimento e introduzao dentro da bobina o enrolado na forma circular espiras para induzir uma corrente elétrica no o que acenderá uma lâmpada O sentido e a intensidade da corrente elétrica induzida são indicados pelo medidor de tensão volts Note que é necessário haver movimento do ímã fonte de campo magnético para induzir uma corrente elétrica no o Quanto mais rápido maior a corrente Note que invertendo o sentido do movimento do ímã invertese também o sentido da corrente Experimente Experimente também com o item Linhas de campo ligado para visualizar as linhas de campo do campo magnético criado pelo ímã Essas linhas de campo foram inventadas por Faraday mesmo sem ter os devidos conhecimentos matemáticos sobre campos vetoriais Experimente também com uma bobina com menos espiras quanto mais espiras maior a intensidade da corrente Lei de Faraday a corrente induzida no o depende diretamente da variação do uxo do campo magnético Faraday que não tinha conhecimentos de campos vetoriais inventou suas linhas de campo para chegar a esta conclusão 433 Quarta equação de Maxwell Maxwell 1861 usou os experimentos de Faraday e deu a eles uma interpretação matemática Para criar a corrente no o é necessário uma força agindo nos portadores de carga Seja uma carga q submetida a uma força F movimentandose ao longo de uma curva C Então podemos introduzir um campo elétrico E Fq Denominemos de força eletromotriz 52 Capitulo 4 Inducao 43 Faraday por razoes historicas o trabalho por unidade de carga lL fans 3 42 EFdr Edr 46 qd C C onde dr é o deslocamento infinitesimal tangente 4 trajetoria C da carga g Note que um escalar e nao um vetor necessario para ser uma forca com dimensoes de energia por unidade de carga portanto as mesmas dimensoes de potencial elétrico A forca eletromotriz um potencial elétrico tensao Segundo Maxwell a lei de Faraday pode ser escrita como d A onde é o fluxo do campo magnético B através da superficie de Area A apoiada em um contorno C por onde movimentam os portadores de carga Em geral a curva C representando a trajetoria da carga q 6 uma curva praticamente fechada moldada por um fio condutor como os anéis de uma bobina mostrada na Figura 4la Verbalizando a Eq 47 a lei de Faraday estabelece que a variacao do fluxo de um campo magnético induz uma corrente elétrica em uma bobina Ly ie I CID LN oe yf I Ges WU er z s My a Lei de Lenz b Lei de Ampére Figura 41 Anel condutor caindo num campo magnético fixo Uma corrente J é estabele cida para compensar a variacao do fluxo pelo anel Desta vez o sinal negativo na lei de Faraday 47 nao é uma simples escolha mas uma exigéncia experimental Usando a lei de Ampére esta corrente induzida cria um campo magnético de simetria circular em torno do fio sempre no sentido de compensar gracas ao sinal negativo a variacao do fluxo do campo magnético externo A Figura 41a ilustra essa interpretacao conhecida por lei de Lenz Nesta figura um campo magnético nado uniforme 53 44 Casos de estudos Capitulo 4 Inducao espacialmente criado pelas bobinas ligadas a um gerador de corrente de acordo com a lei de Ampére Uma outra bobina circular anel 6 permitida se movimentar na direcao vertical na presenca deste campo magnético variando o fluxo no seu interior Quanto mais densa a regiao em termos de linhas de campo mais intenso 0 campo Assim esse campo magnético é mais intenso na regiao proxima as bobinas que o criou Quando o anel se aproxima da regiao onde o campo é mais intenso o fluxo através dele aumenta Segundo a lei de Lenz uma corrente sera induzida nesse anel no sentido de criar outro campo magnético que iré compensar esse aumento do fluxo do campo magnético original Por isso 0 sentido da corrente induzida J indicado nessa figura Veja na Figura 41b a regra da maodireita para determinar o sentido do campo criado pela lei de Ampére Usando o Teorema 2 podemos estabelecer uma versao local para a lei de Faraday EGOEd Vx Ed Bda da 48 fea anna fBda fame 8 C A A A onde a superficie de area A esta inteiramente apoiada no contorno C Esta condicgao produz a quarta equacdo de Maxwell OB Vx b 0 49 Vale lembrar que um campo elétrico dependente do tempo nao produz um trabalho nulo numa trajetoria fechada ou seja se for dependente do tempo nao seré conservativo Note que a variacao temporal de um campo magnético induz a variagao espacial de um campo elétrico E um campo induzindo o surgimento de outro Exercicio 7 Aplique o divergente na quarta equacgao de Maxwell e obtenha a segunda equa cao de Maxwell VB0 Exercicio 8 Reobtenha a lei de Faraday a partir da variagao do fluxo do campo magnético Use também a quarta equacao de Maxwell 44 Casos de estudos 441 Fio A Figura 42a mostra um fio parte dele conduzindo uma corrente J estatica O campo magnético B criado por esta corrente é perpendicular ao fio e tangente 4 curva amperiana CA uma circunferéncia de raio r O campo magnético é tangente 4 curva amperiana CA BB 410 54