Ciclos Termodinamicos para Ime Ita Aprofundamento

Termodinâmica 1 - FMT 159\nNoturno, segundo semestre de 2009\nExercícios em classe: máquinas térmicas\n30/10/2009\n\nHá diversos tipos de motores térmicos, que funcionam transferindo calor entre reservatórios térmicos e realizando trabalho mecânico como parte dele. Estamos cercados por eles! Carros, navios e aviões, aparelhos de ar condicionado, usinas termoelétricas ou nucleares são apenas alguns exemplos. Algum material, em geral um fluido, aquece e se expande, realizando trabalho mecânico. Como esse processo precisa ser repetido diversas vezes, as máquinas térmicas operam com algum tipo de ciclo termodinâmico. Um ciclo termodinâmico éportanto uma sequência de processos (como expansão, aquecimento ou compressão) que se repetem; são realizados por algum fluido (chamado muitas vezes de fluido de trabalho), como um gás ou um líquido, que faz funcionar o motor.\n\nA máquina térmica mais eficiente possível, entre duas temperaturas T1 e T2 é uma máquina operando com um ciclo termodinâmico reversível, o ciclo de Carnot, formado por duas isotermas, (a temperaturas T1 e T2 < T1) e duas adiabáticas. Qualquer máquina térmica reversível tem o mesmo rendimento, ou seja, esse rendimento não depende das propriedades do fluido que executa o ciclo. Neste ciclo, TODAS AS TROCAS DE CALOR SÃO ISOTÉRMICAS.\n\nVários motores cílclos termodinâmicos são possíveis, e muitos deles descrevem de forma idealizada o funcionamento de vários motores térmicos que encontramos a nossa volta. Por exemplo, motores funcionando com um ciclo conhecido como ciclo Otto equipam a maioria dos automóveis de passageiro.\n\nMotores de combustão interna são máquinas térmicas nas quais há troca de calor entre um fluido que realiza a combustão, que ocorre dentro do motor. Eles utilizam os próprios gases resultantes da combustão como fluido de trabalho. Nos motores de combustão externa, ao contrário, o processo de combustão ocorre fora do motor, esquentando um outro fluido que realiza o ciclo. Uma locomotiva a vapor ou a turbina a gás de uma usina termoelétrica operam com ciclos de combustão externa. Uma usina nuclear também é uma máquina térmica, mas não um motor a combustão, uma vez que o calor vem de uma reação nuclear de fissão, na qual massa se transforma em energia.\n\nMáquina a vapor é um nome genérico dado a um motor que funciona pela transformação de energia térmica em mecânica, através da expansão do vapor de água. O primeiro motor a vapor foi proposto no final do século XVIII, e estes foram aperfeiçoados durante o século XVIII, e utilizavam-se do fato que um gás se contrai quando condensa e se expande quando evapora para realizar trabalho mecânico. Em seu ciclo, portanto, há uma transição de fuse. O ciclo idealizado que descreve esse processo (com uma condensação e uma evaporação) é chamado as vezes ciclo Rankine.\n\nNo ciclo Otto, que descreve de forma idealizada o funcionamento de um tipo de motor a combustão interna, a ignição do combustível é causada por uma faísca. No chamado ciclo diesel - que também opera motores de combustão interna - é o próprio processo de compressão que inicia a reação de combustão (não há faísca). Nenhum desses ciclos é eficiente quanto o ciclo de Carnot, e sua eficiência - ao contrário do que ocorre no ciclo de Carnot - depende de propriedades do fluido que realiza o ciclo (como por exemplo o calor latente de evaporação).\n\nA seguir vamos descrever brevemente alguns ciclos mais conhecidos e calcular a sua eficiência, supondo sempre que o fluido que executa seja um gás ideal com coeficiente adiabático γ. 1. O Ciclo Otto foi implementado pela primeira vez pelo engenheiro alemão Nikolaus Otto, em 1876, e representa de forma idealizada o que ocorre no motor da maioria dos carros de passeio (a gasolina). Pode funcionar em dois tempos ou quatro tempos. O motor quatro tempos é mais eficiente e menos poluente, mas mais sofisticado tecnologicamente e e mais pesado. A figura abaixo representa um ciclo Otto (sem a fase de injeção e compressão final), que descreve o funcionamento de um motor a gasolina de quatro tempos. \nAB representa a compressão rápida (adiabática) da mistura de ar com vapor de gasolina. Nessa etapa o gás passa de um volume V0 para um volume V0/r, onde r é a chamada taxa de compressão. BC representa um aquecimento a volume constante, e é causado pela ignição e queima da mistura combustível; CD representa a expansão adiabática dos gases aquecidos, movimento do pistão e realizando trabalho; DA representa a queda de pressão associada à exhaustão dos gases de combustão, que em geral são lançados na atmosfera.\n\nFigura 2: ciclo Otto: formado por duas adiabáticas (Q = 0) e duas isocóricas (V constante).\n\n(a) mostre que o rendimento do ciclo (operado por um gás ideal) é dado por:\n\nη = (TD - TA)/(TC - TB).\n\n(b) Calcule η para γ = 1,4 e r = 10 (compressão máxima pois acontece antes pré-ignição).\n\nSolução:\n\nA eficiência de um ciclo termodinâmico é definida por η = W/Q1, onde W é o trabalho realizado no ciclo e Q1 é o calor absorvido da fonte quente.\n\nNo ciclo Otto, as trocas de calor ocorrem nas transformações isocóricas, a volume constante, onde não há trabalho realizado/recebido e nas quais, portanto, a variação de energia interna é toda devido ao calor.\n\nΔU = Q - W = Q já que W = 0.\n\nMas, para um gás ideal, em um processo a volume constante, Q = Cv ΔT; como, para um gás ideal com coeficiente adiabático γ, Cv = R/(γ-1).\n\nQ1 = QBC = R/ γ-1 (TC - TB).\n\nO trabalho total realizado pelo ciclo é W = WAB + WCD. Em uma adiabática, Q = 0 e portanto ΔU = -W. Como a energia interna é uma função de estado, ΔU = UB - UA não depende do caminho escolhido para ir de A a B, então\n\nWCD = -ΔUCD = R/ γ-1 (TC - TD),\n\nWAB = -ΔUAB = R/ γ-1 (TA - TB). logo,\n\nη = W/Q1.\n\nNote que VB. Para reescrever esse resultado em função de r lembramos que, em uma adiabática, PVγ = constante, constante, T/Pγ-1 = constante.\n\nPortanto TC Vγ-1 = TD Vγ-1 = TA Vγ-1.\n\nComo VD e VB = VC, temos TD TC = TA/TB, ou\n\n( )\n\ne teremos\n\ncomo e teremos\n\n~ 0,6\n\n2. O ciclo Diesel representa de forma também idealizada o funcionamento de um outro tipo de motor a combustão interna, que opera os motores a diesel de caminhões e utilitários. Nele a ignição do combustível é feita pelo próprio aquecimento causado pela compressão. Foi inventado pelo engenheiro alemão Rudolf Diesel em 1897, e permite taxas de compressão maiores que os motores que funcionam com o ciclo Otto. Na figura abaixo temos a representação de um ciclo Diesel de quatro tempos. AB e CD são adiabáticas; a ignição ocorre a pressão constante (etapa BC), sem necessidade de uma faísca. A razão V entre os volumes máximo e mínimo é chamada taxa de compressão. A taxa de expansão adiabática é definida como e = V0/V1.\n\n(a) Mostre que o rendimento de um ciclo Diesel (operado por um gás ideal) é dado por:\n\nη = 1 - (TA/T) * (1 - 1/re) ^ (γ-1) * (1 - 1/r) ^ γ.\n\n(b) Calcule η para r e = 18.\n\n(c) Compare o rendimento com o de um ciclo de Carnot operando nas mesmas temperaturas extremas.\n\nSolução:\n\nNovamente, a eficiência de um ciclo termodinâmico é definida por η, onde W é o trabalho realizado.\n\nNo ciclo Diesel, o calor absorvido pela fonte quente ocorre no processo isobárico, a pressão constante então. Figura 3: ciclo Diesel: formado por duas adiabáticas (Q = 0), uma isobárica (P constante) e uma isocórica (V constante).\n\nlembre-se que se trata de um gás ideal com coeficiente adiabático γ, então Cv = R/(γ - 1) e Cp = Rγ/(γ - 1) portanto \n\nQ1 = γR/(γ - 1) (TC - TB).\n\nO trabalho total realizado pelo ciclo é W = WAB + WCD. Os processos AB e CD são realizados adiabaticamente, Q = 0 e portanto Δ = -W. Como a energia interna é uma função de estado, ΔUCD não depende do caminho escolhido, então\n\nWAB = -R/(γ - 1) (TB - TA),\n\nWCD = -R/(γ - 1) (TC - TB).\n\nJá o processo isobárico BC é\n\nWBC = QBC - ΔUBC = Cp(TC - TB) - Cv(TB - TA),\n\nWBC = R(TC - T).\n\nEntão o trabalho total no ciclo é\n\nW = -R/(γ - 1) + (-R/(γ - 1) (TD - TC)\n\nAgora podemos calcular o rendimento\n\nη = W/Q1 = R/(γ - 1)(TA - TD) + 2R/-R(CA - TB),\n\nη = 1 = (TD - TA)/(TC - TB).\n\nComo vimos PVγ = constante, TVγ-1 = constante, T/P = constante.\n\nEntão usando a segunda igualdade nos processos CD e AB temos\n\nTcV TDVγ-1 D = TA Vγ-1 A = TBVγ-1 B,\n\nque substituindo em\n\nη = 1 - (TD - TA)/(γTC),\n\n4 teremos\n\nη = 1 - 1/γ(\n\ncomo 0, VC = e\n\n= T\n\nComo, da relação no processo teremos\n\n- A/TD (VC / V)\n\ne como PB = PC no processo BC então\n\nTA/TD = (TB/TC)γAVD)1-γ\n\nportanto como\n\ne\nTB/TC = - (V2/V1)γ-1\n\nsubstituindo esse resultado na equação temos\n\n1 - V1/V0\n\nmultiplicando o numerador e o denominador por 0 teremos\n\n= 1 -\n\nV1/V0,\n\nη = 1 - 1/γ((V2/V0)γ - (V1/V0)γ\n\nfinalmente\n\nη = 1 - 1/γ(\n\nsubstituindo e teremos\n\nη = 1 - (5/7)^(7/5) - (1/15)^(7/5)\n\n= 1 - (5/7) - (1/15)\n\n~ 0,56. 3. O ciclo Joule ou ciclo Brayton, representado na figura abaixo, é uma idealização do que ocorre em uma turbina a gás, comumente empregada em usinas termelétricas. AB e CD são adiabáticos, e BC é DA representam, respectivamente, aquecimento e resfriamento a pressão constante. r = PB/PA e a taxa de compressão.\n\n(a) Mostre que o rendimento de um ciclo Joule no qual o fluido de trabalho é um gás ideal é dado por:\n\nη = 1 - (T2/T1)^(γ - 1)\n\n(b) Calcule o rendimento para r = 10.\n\n(c) Compare o rendimento com o de um ciclo de Carnot operando entre as temperaturas mais extremas TA e TC.\n\nFigura 4: ciclo Joule ou Brayton: formado por duas adiabáticas (Q = 0) e duas isobáricas (P = constante).\n\nSolução\n\nAqui o calor absorvido ocorre no processo isobárico BC\n\nQ1 = Cp(TC - TB)\n\nE o trabalho total no ciclo é\n\nW = WAB + WBC\n\nQBC + QDA - (ΔUAB + ΔUBC + ΔUCD + ΔUDA), como o ciclo é fechado e U é uma função de estado ΔU = 0, teremos então\n\nW = QBC + QDA,\n\nW = Cp(TC - TB) + Cp(TA - TD).\n\nEntão\n\nη = W/Q1 = Cp(TC - TB) + Cp(TA - TD)/(Cp (TC - TB))\n\nη = 1 + (TA - TD)/(TC - TB)\n\nη = 1 + TA(1 - TD/TA)\n\nSabendo que nos processos adiabáticos AB e CD vale a igualdade T/P^(γ-1)/γ = constante. E como PB = PC = PA = PD, chegamos na identidade\n\nTC/TB = TA/TD (façam as contas e comprovem!),\n\n6 então\n\nη = 1 - T\ncomo γ-1 e l e sabendo que e 0 então\n\nη = 1 - (1 - 1)\nSubstituindo 1 e na expressão acima teremos\n\nη = 1 - (\n\nCompare esse resultado com a eficiência de uma máquina operando em um ciclo de Carnot.\n\n4. O ciclo de Stirling descreve o funcionamento de um motor de combustão externa, proposto pelo escocês Robert Stirling em 1816. É muito parecido com o ciclo de uma máquina a vapor, mas mais seguro. É também chamado \"motor de ar quente\", porque pode utilizar o ar como fluido de trabalho. Máquinas térmicas funcionam de acordo com esse ciclo tem um rendimento alto quando comparadas com as operadas por outros ciclos como o ciclo Otto ou Diesel. Seu rendimento é igual ao de um ciclo de Carnot, ou seja, trata-se de um ciclo reversível. A figura abaixo mostra um ciclo de Stirling. Ele consiste em uma compressão e uma expansão isotérmicas, seguidas por um aquecimento e um resfriamento, ambos constantes.\n\n(a) Mostre que para um gás ideal o rendimento do ciclo de Stirling é o mesmo do ciclo de Carnot, que representa o máximo rendimento possível entre as temperaturas T1 e T2.\n\nP\n\nA\n\nB\n\nC\n\nD\n\nT2\n\nV\n\nFigura 5: ciclo Stirling: formado por duas isotérmicas (T constante) e duas isocóricas (V constante).\n\nSolução:\nO calor absorvido no ciclo é\n\nQ1 = QBC = R (VC/VB),\nJá que os processos CD e AB são isocóricos então WCD = WAB = 0. Sendo assim, o trabalho total é\n\nW = W\n\n/√B) + RT2 ln (VA/VD).\n\nO rendimento dessa máquina é\n\nη = W/Q1 = W\nRT1 ln (VC/VB) + RT2 ln (VA/VD)\nRT1 ln (VC/VB),\nη = 1 + T2 ln (VA/VD)\nT1 ln (VC/VB).\n\nComo VC = VD e VA = VB então\n\nη = 1 - T2/T1,\nque é igual ao rendimento de uma máquina operando em um ciclo de Carnot.