Definição de Séries e Sequências Numéricas e Suas Aplicações

04 41 DEFINIÇÃO DE SÉRIES E SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 42 PROGRESSÃO ARITMÉTICA FÓRMULA DO TERMO GERAL 43 PROGRESSÃO ARITMÉTICA FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS 44 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA FÓRMULA DO TERMO GERAL 45 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS RESUMO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS TÓPICOS DESTA UNIDADE SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS N esta unidade serão apresentadas as séries e sequências numéricas que são muito comuns no nosso dia a dia principalmente quando os valores que compõem a sequência ou a série são definidos por uma fórmula ou regra geral Recentemente uma sequência numérica muito conhecida dos matemáticos mas não do público em geral tornouse famosa ao aparecer no romance O Código Da Vinci do escritor norteamericano Dan Brown Outras sequências também estão presentes principalmente em cálculos fi nanceiros seja na definição do cálculo das prestações para a compra de uma geladeira nova ou das contribuições para um plano de previdência pri vada Ou seja séries e sequências numéricas estão por todos os lados e igualmente em vários setores da atividade econômica OBJETIVOS DA UNIDADE Apresentar os conceitos básicos e a definição de séries e sequências numéricas 1 Matemática Aplicada Apresentar a definição e a fórmula geral dos termos da progressão aritmética Mostrar a definição da fórmula da soma dos termos da progressão aritmética Apresentar a definição e a fórmula geral dos termos da progressão geométrica Mostrar a definição da fórmula da soma dos termos da progressão geométrica 2 Matemática Aplicada 41 DEFINIÇÃO DE SÉRIES E SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS As séries e sequências numéricas são representadas por um conjunto de números cujo valor é definido por uma regra traduzida na forma de uma expressão textual ou matemática ou em uma mistura de ambas Uma sequência que se tornou famosa há alguns anos saindo do ambien te matemático para o público em geral foi a série de Fibonacci graças ao romance que depois virou filme O Código da Vinci de Dan Brown O CÓDIGO DA VINCI Fonte Divulgação Columbia Pictures FIGURA 6 3 Matemática Aplicada UNIDADE4 4 Matemática Aplicada UNIDADE4 A série de Fibonacci é definida da seguinte maneira O primeiro termo é igual a zero O segundo termo é igual a um Cada termo a partir do terceiro é igual à soma dos dois ter mos anteriores Repare que nesse caso específico temos uma mistura de expressão textual para os dois primeiros termos e matemática do terceiro termo em diante Em uma série ou sequência numérica cada termo é identificado por ai onde i é um número natural positivo que designa a posição do elemento Dessa maneira a1 designa o primeiro elemento a2 o segundo elemento e assim por diante sendo an o elemento de ordem n No caso da série de Fibonacci portanto têmse a1 0 a2 1 a3 a1 a2 0 1 1 a4 a2 a3 1 1 2 a5 a3 a4 1 2 3 a6 a4 a5 2 3 5 a7 a5 a6 3 5 8 a8 a6 a7 5 8 13 an an2 an1 42 PROGRESSÃO ARITMÉTICA FÓRMULA DO TERMO GERAL Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que cada novo termo é igual ao termo anterior somado de uma constante deno minada razão da progressão aritmética 5 Matemática Aplicada UNIDADE4 Como exemplo a sequência de valores a seguir representa uma progres são aritmética em que o primeiro termo vale quatro e a razão vale três 4 7 10 13 16 19 22 A fórmula geral da progressão aritmética é estabelecida da seguinte ma neira sendo designada por r a razão da PA a2 a1 r a3 a2 r a1 r r a1 2r an a1 n1r Logo a fórmula geral que permite obter o termo de ordem n da PA é an a1 n1r Considerando ainda que para um termo de ordem k ak a1 k1r se subtrairmos esta equação daquela que define o termo geral temos an ak a1 n1r a1 k1r n kr o que fornece an ak n kr A fórmula anterior permite obter o termo de ordem n conhecendose um termo de ordem k e a razão da progressão aritmética O gráfico a seguir mostra como variam os termos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é quatro e a razão vale três VARIAÇÃO DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 fx4x13 x y Fonte Leão 2018 GRÁFICO 13 6 Matemática Aplicada UNIDADE4 Observe que a variação é linear e a fórmula geral representa na realida de a equação de uma reta com coeficientes angular e linear respectiva mente iguais a nr e a1 r 421 CLASSIFICAÇÃO DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Em função do valor da razão da progressão aritmética podemos classifi cála em um dos seguintes tipos Crescente quando a razão é positiva e consequentemente cada termo é maior do que o anterior Constante quando a razão é nula e consequentemente to dos os seus elementos são iguais Decrescente quando a razão é negativa e consequentemen te cada termo é menor do que o anterior 43 PROGRESSÃO ARITMÉTICA FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS Considere uma progressão aritmética com N termos como a indicada a seguir a1 a2 a3 a4an2 an1 an Podese verificar que a soma de dois termos equidistantes dos extremos sempre apresenta o mesmo valor ou seja a1 an a1 a1 n 1r 2a1 n 1r a2 an1 a1 r a1 n 2r 2a1 n 1r Logo se somarmos todos os pares de termos equidistantes dos extre mos teremos Sn a1 ann2 pois a soma foi computada n2 vezes 7 Matemática Aplicada UNIDADE4 44 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA FÓRMULA DO TERMO GERAL Uma progressão geométrica é uma sequência de números em que cada novo termo é igual ao termo anterior multiplicado por uma constante denominada razão da progressão geométrica Como exemplo a sequência de valores a seguir representa uma progres são geométrica em que o primeiro termo vale dois e a razão vale três 2 6 18 54 162 486 1458 A fórmula geral da progressão geométrica é estabelecida da seguinte maneira sendo designada por q a razão da PG a2 a1 q a3 a2 q a1 q q a1 q2 an a1 qN1 Logo a fórmula geral que permite obter o termo de ordem n da PG é an a1 qn1 Considerando ainda que para um termo de ordem k ak a1 qk1 se divi dimos a equação que define o termo geral por esta temos an ak a1 qN1 a1 qk1 an ak qN1 qk1 an ak qN1 k 1 an ak qN k A fórmula anterior permite obter o termo de ordem n conhecendose um termo de ordem k e a razão da progressão geométrica O gráfico a seguir mostra como variam os termos de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é quatro e a razão vale três 8 Matemática Aplicada UNIDADE4 VARIAÇÃO DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 250 100 150 200 50 350 300 400 450 1 2 3 4 5 1 2 fx43x1 x y Fonte Leão 2018 Observe que desse modo a variação não é linear mas proporcional a uma potência de três O gráfico a seguir compara a variação das progressões aritmética e geo métrica com o mesmo termo inicial quatro e a mesma razão três COMPARAÇÃO DA VARIAÇÃO DOS TERMOS DE PROGRESSÕES ARITMÉTICA E GEOMÉTRICA 250 100 150 200 50 350 300 400 450 1 2 3 4 5 1 2 fx4x13 fx43x1 x y Fonte Leão 2018 GRÁFICO 14 GRÁFICO 15 9 Matemática Aplicada UNIDADE4 Repare que os termos da progressão geométrica crescem muito mais rá pido do que os termos da progressão aritmética A tabela a seguir apre senta os cinco primeiros termos para ambas as projeções mostradas no gráfico 15 TERMOS DAS PROJEÇÕES TERMO PROGRESSÃO ARITMÉTICA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA a1 4 4 a2 7 12 a3 10 36 a4 13 108 a5 16 324 Fonte Leão 2018 É importante destacar que abordamos progressões com o mesmo termo inicial e razão ambos positivos A comparação entre progressões com características diferentes das descritas forneceriam gráficos com aspec tos distintos 441 CLASSIFICAÇÃO DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Em função do valor da razão da progressão geométrica podemos classi ficála em um dos seguintes tipos Crescente quando a razão é maior do que um e seu primeiro termo é positivo ou quando a razão é positiva mas inferior a um e o primeiro termo é negativo e consequentemente cada termo é maior do que o anterior Constante quando a razão é igual a um e consequentemente todos os seus elementos são iguais Decrescente quando a razão é maior do que um e seu primei ro termo é negativo ou quando a razão é positiva mas inferior a um e o primeiro termo é positivo e consequentemente cada termo é menor do que o anterior Alternada ou oscilante quando a razão é negativa e os termos são alternadamente de sinais contrários termos positivos se guidos por termos negativos e viceversa TABELA 1 10 Matemática Aplicada UNIDADE4 45 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS Para obter a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométri ca podese considerar que Sn a1 a2 a3 a4 na2 an1 an Multiplicandose ambos os lados da equação pela razão q obtémse Snq a1q a2q a3q a4q an2q an1q anq Ou Snq a2 a3 a4 a5 an1 an anq Subtraindo ambos os lados da equação anterior dos termos correspon dentes da equação inicialmente usada para a definição de Sn Sn Sn a2 a3 a4 a5 an1 an anq a1 a a a a5 an an Ou Snq 1 anq a1 ou lembrando qunaan a1 qn1 Snq 1 a1 qn1q a1 a1 qn a1 a1 qn 1 Finalmente Sn a1 qn 1 q 1 11 Matemática Aplicada UNIDADE4 Caso a razão q da progressão geométrica possua um valor entre 1 e 1 nesse caso dizse que o módulo da razão é menor do que um podese mostrar que quando o número de termos da progressão é infinito o valor de qn se aproxima de zero Considere por exemplo os gráficos das funções fx 05x e fx 05x mostrados a seguir em que a variável x desempenha o papel de n Dessa maneira se a razão estiver entre 1 e 1 a expressão qn 1 será igual a 1 e a soma dos infinitos termos da progressão geométrica será S a1 1q 2 2 4 6 8 8 6 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 fx0 5x n y 2 2 4 6 8 8 6 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 fx 0 5x n y Fonte Leão 2018 SAIBA MAIS 12 Matemática Aplicada UNIDADE4 No caso da progressão geométrica podese ainda estabelecer uma fórmula para o produto dos termos como a seguir Se Pn a1a2a3an então Pn a1a1qa1q2a1qn1 a1q0a1q1a1q2a1qn1 a1 nq012n1 Repare que no expoente da razão q têmse a soma dos termos de uma progressão aritmética de n termos em que o primeiro termo é zero e o último termo vale n1 A soma nesse caso vale nn12 Dessa maneira podese escrever Pn a1 nqnn12 FIQUE LIGADO 13 Matemática Aplicada UNIDADE4 RESUMO Foram abordadas nesta unidade as séries e sequências numéricas tratan do inicialmente e como motivação da série de Fibonacci que se tornou famosa entre os não matemáticos a partir do romance O Código Da Vinci do romancista Dan Brown e que deu origem ao filme de mesmo nome para em seguida tratar particularmente das progressões aritmética em que a diferença entre dois termos consecutivos é uma constante e geométrica em que a razão entre dois termos consecutivos é uma constante Para cada tipo de série ou progressão foram apresentadas e deduzidas as fórmulas que possibilitam a obtenção de um termo qualquer da pro gressão bem como da soma de um determinado número de termos A fim de ilustrar a diferença de comportamento entre as duas séries foram apresentados gráficos que mostram como varia cada uma dessas progressões adotandose para fim de comparação progressões que possuem o mesmo termo inicial e a mesma razão O conhecimento dessas séries é fundamental para a compreensão dos assuntos abordados em disciplinas como matemática financeira e mate mática atuarial Na matemática financeira são comuns as séries de pagamentos cujos valores representam termos de uma progressão aritmética no caso de regime de juros simples ou de uma progressão geométrica no caso de regime de juros compostos Na matemática atuarial a acumulação de capital e o pagamento de benefícios também podem ser representados por progressões geométricas consideran dose sempre nesse caso um regime de capitalização a juros compostos Dessa maneira para o gestor da área de seguros e previdência é in questionável a importância de obter conhecimento a respeito dos tópi cos abordados nesta unidade REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 14 Matemática Aplicada REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS GUIDORIZZI H L Matemática para Administração 1 ed São Paulo LTC 2002 JAQUES I Matemática para Economia e Administração 6 ed São Pau lo Pearson Prentice Hall 2011 LEITHOLD L Matemática aplicada à Economia e Administração 1 ed São Paulo Harbra 2001 1 v MUROLO A C Matemática Aplicada à Administração Economia e Contabilidade 1 ed São Paulo Cengage Learning 2011 TAN S T Matemática aplicada à administração e economia 5 ed São Paulo Pioneira 2006 WEBER J E Matemática para Economia e Administração 2 ed São Paulo Harbra 2001