Demostração

Exercício Sejam f X Y e g Z W e tais que fX Z Y Mostre as afirmações que são verdadeiras e exiba um contraexemplo para as que são falsas 1 Se f e g são injetivas então g o f X W é injetiva 2 Se f e g são sobrejetivas então g o f X W é sobrejetiva 3 Se f e g são bijetivas então g o f X W é bijetiva 4 Se f e g são sobrejetivas e Y Z então g o f X W é sobrejetiva Solução 1 VERDADEIRO Sejam xy X tal que g o fx g o fy gfx gfy fx fy já que g é injetiva x y já que f é injetiva 2 FALSO Definimos f 01 01 g 02 02 x x x x Claramente são sobrejetivas mas g o f não é sobrejetiva já que se 2 g o fx para algum x 01 2 gfx 2 fx impossível pois f01 01 3 FALSO Basta considerar fxx x 01 bijetivas gxx x 02 mas pelo item anterior g o f não é sobrejetiva g o f não é bijetiva 4 VERDADEIRO Seja y W arbitrário Como g é sobrejetiva existe z Z tal que gz y Como Y Z z então z Y e f sobrejetiva então existe x X tal que fx z Portanto gfx gz y isto é g o f sobrejetivo