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Equações Diferenciais Ordinárias Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Equacoes diferenciais ordinarias 71 Solucao numerica de EDO 72 Metodos de RungeKutta 73 Metodos de Adams 74 Comparacao de metodos para EDO 75 Sistemas de equacoes diferenciais ordinarias 76 Exemplos de aplicacao controle de poluicao e deflexao de viga 77 Exercıcios c2009 FFCf 2 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Equacoes diferenciais ordinarias Ferramentas fundamentais para modelagem matematica de varios fenˆomenos fısicos quımicos biologicos etc Fenˆomenos descritos em termos de taxa de variacao Taxa de variacao da corrente i em funcao do tempo t em circuito RL dit dt V itR L 1 onde V tensao entre dois pontos do circuito R resistˆencia e L indutˆancia Equacao diferencial ordinaria de primeira ordem Equacao diferencial e ordinaria porque corrente i e funcao apenas de uma variavel independente o tempo t c2009 FFCf 3 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Ordem de uma EDO Se funcao fosse definida em termos de duas ou mais variaveis terseia uma equacao diferencial parcial Equacao de Laplace 2ux y x2 2ux y y2 0 A EDO 1 e de primeira ordem pois a derivada de maior ordem ditdt e de ordem 1 Quando a equacao contiver uma derivada de ordem n ela e dita EDO de ordem n Ld2it dt2 Rdit dt 1 Cit dV t dt e EDO de segunda ordem sendo C a capacitˆancia do circuito c2009 FFCf 4 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Solucao de EDO Solucao de EDO e uma funcao que satisfaz a equacao diferencial Tambem satisfaz certas condicoes iniciais na funcao Resolver uma EDO analiticamente e encontrar uma solucao geral contendo constantes arbitrarias Determinar essas constantes de modo que a expressao combine com as condicoes iniciais c2009 FFCf 5 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Solucao numerica de EDO Metodos analıticos sao restritos apenas a algumas formas especiais de funcao Nem toda EDO tem solucao analıtica Metodos numericos nao possuem tal limitacao Solucao numerica obtida como tabela de valores da funcao em varios valores da variavel independente Solucao analıtica e uma relacao funcional Praticamente qualquer EDO pode ser resolvida numericamente Se as condicoes iniciais forem alteradas entao toda tabela deve ser recalculada Metodos numericos para solucao de equacoes diferenciais ordinarias sujeitas as condicoes iniciais c2009 FFCf 6 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Problema de valor inicial Problema de valor inicial PVI de primeira ordem y fx y ya η a x b e y 2 Solucao do PVI e uma funcao y yx contınua e diferenciavel que satisfaz a 2 Teorema 1 estabelece condicoes suficientes para existˆencia de solucao unica do PVI c2009 FFCf 7 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Teorema de Lipschitz Teorema 1 Lipschitz Seja fx y uma funcao definida e contınua para todo x y na regiao D definida por a x b e y sendo a e b numeros finitos e seja uma constante L tal que fx y fx y Ly y 3 seja valida para todo x y x y D Entao para algum η existe uma unica solucao yx do PVI 2 onde yx e contınua e diferenciavel para todo x y D Inequacao 3 conhecida como condicao de Lipschitz L constante de Lipschitz c2009 FFCf 8 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos numericos para EDO Calcular uma aproximacao yi da solucao exata yxi do PVI nos pontos xi a ih h b a m i 0 1 2 m onde m numero de subintervalos de a b e h incremento ou passo Solucao numerica do PVI e uma tabela contendo os pares xi yi sendo yi yxi c2009 FFCf 9 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodo de Euler Expansao da solucao exata yx em serie de Taylor em torno do valor inicial x0 yx0 h yx0 hyx0 h2 2 yx0 h3 6 yx0 Truncando a serie apos derivada primeira sendo x1 x0 h y1 uma aproximacao de yx1 e y fx y y1 y0 hfx0 y0 Sucessivas aproximacoes yi de yxi obtidas pela formula de recorrˆencia yi1 yi hfxi yi 4 Formula conhecida como metodo de Euler Leonhard Euler propˆos este metodo em 1768 c2009 FFCf 10 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Algoritmo de Euler para solucao de problema de valor inicial Algoritmo Euler Objetivo Resolver um PVI pelo metodo de Euler parˆametrosdeentrada a b m y0 limite inferior limite superior numero de subintervalos e valor inicial parˆametrosdesaıda VetX VetY abscissas e solucao do PVI h b am x a y y0 Fxy fx y avaliar fx y em x x0 e y y0 VetX1 x VetY 1 y para i 1 ate m faca x a i h y y h Fxy Fxy fx y avaliar fx y em x xi e y yi escreva i x y Fxy VetXi 1 x VetY i 1 y fimpara fimalgoritmo c2009 FFCf 11 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Exemplo de uso do algoritmo Exemplo 1 Calcular a solucao do PVI y x 2y 1 com y0 1 5 no intervalo 0 1 com m 10 subintervalos utilizando o algoritmo de Euler Os parametros de entrada a 0 b 1 m 10 y0 1 produzem os resultados Metodo de Euler i x y fxy 0 000000 100000 100000 1 010000 090000 070000 2 020000 083000 046000 3 030000 078400 026800 4 040000 075720 011440 5 050000 074576 000848 6 060000 074661 010678 7 070000 075729 018543 8 080000 077583 024834 9 090000 080066 029867 10 100000 083053 033894 c2009 FFCf 12 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao da solucao pelo metodo de Euler Solucao exata do PVI 5 yx 1 43e2x 2x 1 6 i xi yi yi yxi 0 00 10000 00000 1 01 09000 00140 2 02 08300 00227 3 03 07840 00276 4 04 07572 00298 5 05 07458 00301 6 06 07466 00293 7 07 07573 00277 8 08 07758 00256 9 09 08007 00233 10 10 08305 00210 i xi yi yi yxi 0 00 10000 00000 10 01 09128 00012 20 02 08507 00020 30 03 08091 00025 40 04 07843 00027 50 05 07731 00028 60 06 07732 00027 70 07 07823 00026 80 08 07990 00024 90 09 08217 00022 100 10 08495 00020 a m 10 h 01 b m 100 h 001 Metodo de Euler com h 01 fornece so uma decimal exata para o PVI 5 Reducao do passo h para 001 melhora solucao numerica do PVI Exatidao da solucao melhorada quando o valor do passo for reduzido c2009 FFCf 13 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Definicoes Definicao 1 Passo simples Um metodo sera de passo simples quando a aproximacao yi1 for calculada a partir somente do valor yi do passo anterior Sendo φ a funcao incremento um metodo de passo simples e definido na forma yi1 yi hφxi yi h Definicao 2 Passo multiplo Sejam os p valores yi yi1 yi2 yip1 previamente calculados por algum metodo Um metodo e de passo multiplo se estes p valores yi yi1 yi2 yip1 forem utilizados para calcular yi1 para i p 1 p p 1 m 1 c2009 FFCf 14 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Definicoes Definicao 3 Erro local Supondo que o valor calculado por um metodo de passo k seja exato isto e yij yxij para j 0 1 k 1 entao o erro local em xik e definido por eik yxik yik Definicao 4 Ordem Um metodo de passo simples tera ordem q se a funcao incremento φ for tal que yx h yx hφx y h Ohq1 Definicao 5 Consistˆencia Um metodo numerico e dito consistente com o PVI 2 se a sua ordem q 1 c2009 FFCf 15 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Definicoes Definicao 6 Convergˆencia Um metodo de passo k e convergente se para o PVI 2 lim h0 yi yxi ih x a e valido para todo x a b e os valores iniciais sao tais que lim h0 yjh η j 0 1 k 1 Consistˆencia significa que a solucao numerica corresponde a solucao do PVI Consistˆencia de um metodo limita a magnitude do erro local cometido em cada passo Estabilidade controla a propagacao do erro durante os calculos Um metodo e convergente se ele for consistente e estavel Por 4 e pelas Definicoes 1 e 4 o metodo de Euler e de passo simples e tem ordem 1 c2009 FFCf 16 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos de RungeKutta Exatidao dos resultados melhorada se passo h for reduzido Se exatidao requerida for elevada reducao do passo pode acarretar grande esforco computacional Melhor exatidao obtida mais eficientemente pela formulacao denominada metodos de RungeKutta C D T Runge desenvolveu o primeiro metodo em 1895 M W Kutta elaborou a formulacao geral em 1901 RungeKutta sao metodos de passo simples de acordo com Definicao 1 c2009 FFCf 17 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos de RungeKutta explıcitos Forma geral dos metodos explıcitos de s estagios yi1 yihφxi yi h onde φx y h b1k1 b2k2 bsks com 7 k1 fx y k2 fx c2h y a21hk1 k3 fx c3h y ha31k1 a32k2 ks fx csh y has1k1 as2k2 ass1ks1 sendo a b e c constantes definidas para cada metodo particular c2009 FFCf 18 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Constantes na notacao de Butcher 0 c2 a21 c3 a31 a32 cs as1 as2 ass1 b1 b2 bs1 bs c2009 FFCf 19 Expansão em série de Taylor com derivadas em y escritas em termos de f a partir de dydx fx y yi1 yi hfxi yi h²2 fxi yi Escrevendo 7 em termos de k1 e k2 yi1 yi b1hfxi yi b2hfxi c2h yi a21hfxi yi Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos de RungeKutta de segunda ordem cont Comparando 8 e 9 Sistema nao linear com 3 equacoes e 4 incognitas b1 b2 1 b2c2 12 b2a21 12 Variedade de metodos de segunda ordem c2009 FFCf 22 Método de RungeKutta de segunda ordem é chamado método de Euler modificado Constantes do método de Euler modificado 0 12 12 0 1 Método de Euler modificado yi1 yi hfxi h2 yi h2 fxi yi Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodo de Euler melhorado Metodo de RungeKutta de segunda ordem Constantes do metodo de Euler melhorado 0 1 1 12 12 Metodo de Euler melhorado yi1 yi h 2fxi yi fxi h yi hfxi yi 11 c2009 FFCf 24 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao dos metodos de Euler Exemplo 2 Comparar a solucao do PVI y 2xy2 com y0 05 no intervalo 0 1 com m 10 subintervalos utilizando os metodos de Euler Euler modificado e Euler melhorado sabendo que a solucao exata e yx 1 x2 2 i xi yE i yxi yEmod i yxi yEmel i yxi 0 00 0 0 0 1 01 249103 124105 124105 2 02 480103 476105 232105 3 03 673103 983105 297105 4 04 811103 155104 289105 5 05 888103 206104 191105 6 06 904103 245104 260108 7 07 869103 267104 270105 8 08 794103 271104 596105 9 09 693103 259104 948105 10 10 577103 235104 130104 c2009 FFCf 25 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos de quarta ordem Mesmo desenvolvimento utilizado para obter metodos de RungeKutta de ordem mais elevada No caso de quarta ordem sistema nao linear com 11 equacoes e 13 incognitas Um dos metodos mais comuns desta ordem e o metodo classico de RungeKutta Constantes do metodo de RungeKutta de quarta ordem 0 12 12 12 0 12 1 0 0 1 16 13 13 16 c2009 FFCf 26 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Algoritmo de RungeKutta de ordem 4 para a solucao de PVI Algoritmo RK4 Objetivo Resolver um PVI pelo metodo de RungeKutta de ordem 4 parˆametrosdeentrada a b m y0 limite inferior limite superior numero de subintervalos e valor inicial parˆametrosdesaıda VetX VetY abscissas e solucao do PVI h b am xt a yt y0 VetX1 xt VetY 1 yt escreva 0 xt yt para i 1 ate m faca x xt y yt k1 fx y avaliar fx y x xt h2 y yt h2 k1 k2 fx y avaliar fx y y yt h2 k2 k3 fx y avaliar fx y x xt h y yt h k3 k4 fx y avaliar fx y xt a i h yt yt h6 k1 2 k2 k3 k4 escreva i xt yt VetXi 1 xt VetY i 1 yt fimpara fimalgoritmo c2009 FFCf 27 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Exemplo de uso do algoritmo Exemplo 3 Calcular a solucao do PVI do Exemplo 1 y x 2y 1 com y0 1 no intervalo 0 1 com m 10 subintervalos pelo algoritmo de RungeKutta de ordem 4 Os parametros de entrada a 0 b 1 m 10 y0 1 fornecem os resultados Metodo de RungeKutta ordem 4 i x y 0 000000 100000 1 010000 091405 2 020000 085274 3 030000 081161 4 040000 078700 5 050000 077591 6 060000 077590 7 070000 078495 8 080000 080143 9 090000 082398 10 100000 085150 c2009 FFCf 28 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao da solucao pelo metodo de RungeKutta Diferenca entre o valor aproximado yi dado pelo metodo de RungeKutta de ordem 4 e a solucao exata yxi dada por 6 i xi yi yi yxi 0 00 10000 0 1 01 09141 194106 2 02 08527 317106 3 03 08116 389106 4 04 07870 425106 5 05 07759 435106 6 06 07759 427106 7 07 07850 408106 8 08 08014 382106 9 09 08240 352106 10 10 08515 320106 i xi yi yi yxi 0 00 10000 0 10 01 09140 1661010 20 02 08527 2731010 30 03 08116 3351010 40 04 07870 3661010 50 05 07759 3741010 60 06 07759 3681010 70 07 07849 3511010 80 08 08014 3281010 90 09 08240 3031010 100 10 08515 2751010 a m 10 h 01 b m 100 h 001 c2009 FFCf 29 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodo de RungeKuttaFehlberg Verificar se um metodo de RungeKutta produz valores dentro da exatidao desejada Recalcular o valor de yi1 no final de cada intervalo utilizando o passo h dividido ao meio Valor aceito se houver apenas uma pequena diferenca entre os dois resultados Passo h dividido ao meio ate que a exatidao desejada seja alcancada Esta estrategia pode requerer grande esforco computacional Processo proposto por E Fehlberg no final da decada de 1960 utiliza dois metodos de ordens diferentes um de ordem 4 e outro de ordem 5 Compara os valores de yi1 obtidos nos dois casos Metodo de RungeKuttaFehlberg e considerado um metodo de ordem 4 c2009 FFCf 30 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodo de DormandPrince No inıcio da decada de 1980 J R Dormand e P J Prince propuseram um metodo similar ao de RungeKuttaFehlberg porem de ordem 5 Constantes do metodo de DormandPrince 0 15 15 310 340 940 45 4445 5615 329 89 193726561 253602187 644486561 212729 1 90173168 35533 467325247 49176 510318656 1 35384 0 5001113 125192 21876784 1184 35384 0 5001113 125192 21876784 1184 0 ei 7157600 0 7116695 711920 17253339200 22525 140 Constantes a7i bi i 1 2 6 Linha ei contem coeficientes para calcular erros globais diferencas entre yi1 obtido pelo processo de ordem 5 e o de ordem 4 c2009 FFCf 31 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Algoritmo de DormandPrince para a solucao de PVI Algoritmo DOPRI54 Objetivo Resolver um PVI pelo metodo de DormandPrince parˆametros de entrada a b m y0 limite inferior limite superior numero de subintervalos e valor inicial parˆametros de saıda VetX VetY EG abscissas solucao do PVI e erro global parˆametros do metodo a21 15 a31 340 a32 940 a41 4445 a42 5615 a43 329 a51 193726561 a52 253602187 a53 644486561 a54 212729 a61 90173168 a62 35533 a63 467325247 a64 49176 a65 510318656 a71 35384 a73 5001113 a74 125192 a75 21876784 a76 1184 c2 15 c3 310 c4 45 c5 89 c6 1 c7 1 e1 7157600 e3 7116695 e4 711920 e5 17253339200 e6 22525 e7 140 h b am xt a yt y0 VetX1 xt VetY 1 yt EG1 0 escreva 0 xt yt para i 1 ate m faca x xt y yt k1 h fx y avaliar fx y x xt c2 h y yt a21 k1 k2 h fx y avaliar fx y x xt c3 h y yt a31 k1 a32 k2 k3 h fx y avaliar fx y x xt c4 h y yt a41 k1 a42 k2 a43 k3 k4 h fx y avaliar fx y x xt c5 h y yt a51 k1 a52 k2 a53 k3 a54 k4 k5 h fx y avaliar fx y x xt c6 h y yt a61 k1 a62 k2 a63 k3 a64 k4 a65 k5 k6 h fx y avaliar fx y x xt c7 h y yt a71 k1 a73 k3 a74 k4 a75 k5 a76 k6 k7 h fx y avaliar fx y xt a i h yt yt a71 k1 a73 k3 a74 k4 a75 k5 a76 k6 ErroGlobal e1 k1 e3 k3 e4 k4 e5 k5 e6 k6 e7 k7 VetXi 1 xt VetY i 1 yt EGi 1 ErroGlobal escreva i xt yt ErroGlobal fimpara fimalgoritmo c2009 FFCf 32 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Exemplo de uso do algoritmo Exemplo 4 Calcular a solucao do PVI do Exemplo 1 y x 2y 1 com y0 1 no intervalo 0 1 com m 10 subintervalos pelo algoritmo de DormandPrince Os parametros de entrada a 0 b 1 m 10 y0 1 produzem os resultados Metodo de DormandPrince i x y Erro 0 000000 100000 1 010000 091405 2100e07 2 020000 085274 1719e07 3 030000 081161 1408e07 4 040000 078700 1153e07 5 050000 077591 9436e08 6 060000 077590 7725e08 7 070000 078495 6325e08 8 080000 080142 5179e08 9 090000 082397 4240e08 10 100000 085150 3471e08 c2009 FFCf 33 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao da solucao pelo metodo de DormandPrince Diferenca entre valor aproximado yi dado pelo metodo de DormandPrince e solucao exata yxi dada por 6 i xi yi yi yxi 0 00 10000 0 1 01 09140 152108 2 02 08527 249108 3 03 08116 305108 4 04 07870 333108 5 05 07759 341108 6 06 07759 335108 7 07 07849 320108 8 08 08014 300108 9 09 08240 276108 10 10 08515 251108 i xi yi yi yxi 0 00 10000 0 10 01 09140 1131013 20 02 08527 1861013 30 03 08116 2271013 40 04 07870 2481013 50 05 07759 2541013 60 06 07759 2491013 70 07 07849 2381013 80 08 08014 2231013 90 09 08240 2051013 100 10 08515 1871013 a m 10 subintervalos b m 100 subintervalos c2009 FFCf 34 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos lineares de passo multiplo Classe de metodos para resolver o problema de valor inicial Definicao 2 Metodo de passo k na forma αkyikαk1yik1 α0yi hβkfikβk1fik1 β0fi 12 onde α e β sao constantes especıficas de um metodo particular sujeitas as condicoes αk 1 e α0 β0 0 Quando βk 0 metodo e dito explıcito e para βk 0 ele e implıcito Explıcitos sao chamados metodos de AdamsBashforth J C Adams e F Bashforth propuseram em 1883 um metodo para resolver um problema de acao capilar Implıcitos sao conhecidos como metodos de AdamsMoulton F R Moulton melhorou o metodo de Adams para calcular trajetorias balısticas na Primeira Guerra Mundial c2009 FFCf 35 Métodos explícitos de passo dois Método explícito de AdamsBashforth de passo dois Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos implıcitos de passo dois Metodo explıcito obtido pela integracao do polinˆomio no intervalo x1 x2 Polinˆomio Px determinado a partir dos pontos em x0 x1 Extrapolacao nao produz bons resultados Se polinˆomio for construıdo usando pontos no intervalo x0 x2 conseguese metodo mais exato Polinˆomio de Lagrange de grau 2 que passa por x0 f0 x1 f1 e x2 f2 P2x f0 x x1x x2 x0 x1x0 x2f1 x x0x x2 x1 x0x1 x2f2 x x0x x1 x2 x0x2 x1 Definindo variavel auxiliar u x x0 h x x0 hu x x1 hu 1 e x x2 hu 2 P2x f2 uu 1 2 f1uu 2 f0 u 1u 2 2 16 c2009 FFCf 39 Métodos de Adams Substituindo 16 em 13 y2 y1 2x1 P2xdx Mudança de variável x u y2 y1 21 f2uu12 f1uu2 f0u1u22 hdu y1 h f2 u36 u24 f1 u3 u2 f0 u36 3u24 u 21 y2 y1 h12 5f2 8f1 f0 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodo implıcito de AdamsMoulton de passo dois Formula implıcita de AdamsMoulton de passo k 2 yi1 yi h 125fi1 8fi fi1 17 Valor de fi1 fxi1 yi1 necessario para obter o proprio yi1 Valor de yi1 obtido por AdamsBashforth usado em AdamsMoulton para avaliar fi1 e calcular valor melhor de yi1 Metodo do tipo preditorcorretor preditor AdamsBashforth corretor AdamsMoulton c2009 FFCf 41 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao da solucao pelo metodo preditorcorretor de passo dois Exemplo 5 Calcular a solucao do PVI do Exemplo 1 y x 2y 1 com y0 1 no intervalo 0 1 utilizando o metodo preditorcorretor de passo dois Diferenca entre valor aproximado yi e solucao exata yxi dada por 6 Valores de f1 calculados pelo metodo de DormandPrince i xi yi yi yxi 0 000 10000 0 1 010 09140 152108 2 020 08526 135104 3 030 08114 219104 4 040 07867 268104 5 050 07756 292104 6 060 07756 299104 7 070 07847 294104 8 080 08011 280104 9 090 08237 262104 10 100 08513 241104 i xi yi yi yxi 0 000 10000 0 10 010 09140 119107 20 020 08527 206107 30 030 08116 258107 40 040 07870 284107 50 050 07759 292107 60 060 07759 288107 70 070 07849 275107 80 080 08014 258107 90 090 08240 238107 100 100 08515 217107 a m 10 subintervalos b m 100 subintervalos c2009 FFCf 42 Integração do polinômio de Lagrange de grau 2 no intervalo x2 x3 y3 y2 x3x2 P2xdx y2 32 f2uu12 f1uu2 f0u1u22 hdu y2 h f2 u36 u24 f1 u3 u2 f0 u36 3u24 u 32 y3 y2 h1223f2 16f1 5f0 yi1 yi h1223fi 16fi1 5fi2 18 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodo implıcito de AdamsMoulton de passo trˆes Formula explıcita obtida por extrapolacao Integracao no intervalo xi xi1 Polinˆomio construıdo a partir de pontos em xi2 xi Metodo implıcito de AdamsMoulton de passo k 3 yi1 yi h 249fi1 19fi 5fi1 fi2 19 c2009 FFCf 44 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodo de AdamsBashforthMoulton de quarta ordem Um dos metodos mais populares de passo multiplo Preditor explıcito AdamsBashforth de passo k 4 yi1 yi h 2455fi 59fi1 37fi2 9fi3 20 Corretor implıcito AdamsMoulton de passo k 3 yi1 yi h 249fi1 19fi 5fi1 fi2 Corretor aplicado mais de uma vez para melhorar ainda mais o resultado c2009 FFCf 45 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Algoritmo de AdamsBashforthMoulton de ordem 4 para a solucao de PVI Algoritmo ABM4 Objetivo Resolver PVI pelo metodo de AdamsBashforthMoulton de ordem 4 parˆametros de entrada a b m y0 limite inferior limite superior numero de subintervalos e valor inicial parˆametros de saıda VetX VetY Erro abscissas solucao do PVI e erro h b am VetX VetY Erro DOPRIa a 3 h 3 y0 ver algoritmo parˆametros de saıda de DOPRI retornam em VetX VetY Erro para i 1 ate 4 faca escreva i 1 VetXi VetY i Erroi fimpara para i 4 ate m faca x VetXi 3 y VetY i 3 f0 fx y avaliar fx y x VetXi 2 y VetY i 2 f1 fx y avaliar fx y x VetXi 1 y VetY i 1 f2 fx y avaliar fx y x VetXi y VetY i f3 fx y avaliar fx y Ypre h 55 f3 59 f2 37 f1 9 f024 VetY i VetY i 1 Ypre VetXi 1 a i h x VetXi 1 para j 1 ate 2 faca y VetY i 1 f4 fx y avaliar fx y Ycor h 9 f4 19 f3 5 f2 f124 VetY i VetY i 1 Ycor fimpara Erro absYcor Ypre 19270 escreva i VetXi 1 VetY i 1 Erro fimpara fimalgoritmo c2009 FFCf 46 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Exemplo de uso do algoritmo Exemplo 6 Calcular a solucao do PVI do Exemplo 1 y x 2y 1 com y0 1 no intervalo 0 1 utilizando o algoritmo de AdamsBashforthMoulton de ordem 4 Os parametros de entrada a 0 b 1 m 10 y0 1 produzem os resultados Metodo de AdamsBashforthMoulton ordem 4 i x y Erro 0 000000 100000 000000e00 1 010000 091405 210000e07 2 020000 085274 171933e07 3 030000 081161 140767e07 4 040000 078699 423161e06 5 050000 077590 351703e06 6 060000 077589 282201e06 7 070000 078494 233307e06 8 080000 080142 190865e06 9 090000 082397 156299e06 10 100000 085150 127961e06 c2009 FFCf 47 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao da solucao pelo metodo preditorcorretor de ordem 4 Diferenca entre resultado exato dado por 6 e os obtidos pelo metodo preditorcorretor de AdamsBashforthMoulton de ordem 4 i xi yi yi yxi 0 000 10000 0 1 010 09140 152108 2 020 08527 249108 3 030 08116 305108 4 040 07870 307106 5 050 07759 494106 6 060 07759 607106 7 070 07849 662106 8 080 08014 677106 9 090 08240 665106 10 100 08515 635106 i xi yi yxi 0 000 0 10 010 3691010 20 020 7331010 30 030 9531010 40 040 107109 50 050 111109 60 060 110109 70 070 106109 80 080 9991010 90 090 9251010 100 100 8441010 i yi yxi 0 0 100 5021014 200 8391014 300 1031013 400 1141013 500 1161013 600 1151013 700 1101013 800 1031013 900 9431014 1000 8561014 a 10 subintervalos b 100 subintervalos c 1000 subintervalos c2009 FFCf 48 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao de metodos para EDO Metodos de passo simples RungeKutta Metodos de passo multiplo Adams c2009 FFCf 49 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos de RungeKutta Vantagens 1 Autoiniciaveis nao dependendo do auxılio de outros metodos 2 Facil alteracao do incremento h para reduzir esforco computacional Desvantagens 1 Numero elevado de avaliacoes da funcao fx y por passo 2 Escolha de h pequeno para limitar erro de discretizacao pode causar aumento do erro de arredondamento c2009 FFCf 50 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos de Adams Vantagens 1 Numero pequeno de avaliacoes da funcao fx y a cada iteracao i uma vez nas formulas explıcitas e i 1 vezes nas implıcitas 2 Formulas simples podendo ser utilizadas com calculadora Desvantagens 1 Nao sao autoiniciaveis causando dependˆencia de outro metodo 2 Mudanca do incremento h mais difıcil c2009 FFCf 51 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao de metodos para EDO para solucao de cinco PVIs Metodos Euler DormandPrince e AdamsBashforthMoulton Solucao exata do jesimo PVI e dada por yjx f1x y 2x2y2 y0 2 x 0 2 y1x 6 4x3 3 f2x y 3x2y y1 1 x 1 2 y2x ex31 f3x y 2xy3 y0 1 x 0 5 y3x 1 2x2 1 f4x y cosxy y0 1 x 0 10 y4x e senx f5x y senx y y0 0 x 0 π y5x ex senxcosx 2 Erro maior diferenca em valor absoluto entre solucao numerica e exata trel razao entre tempo gasto pelo metodo e pelo metodo de Euler c2009 FFCf 52 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias f1x y 2x2y2 y0 2 x 0 2 m 10 Metodo Erro trel Euler 143101 10 DOPRI 351105 47 ABM4 248103 43 m 100 Metodo Erro trel Euler 126102 10 DOPRI 7261011 64 ABM4 362107 53 m 1000 Metodo Erro trel Euler 124103 10 DOPRI 3331015 61 ABM4 3751011 49 c2009 FFCf 53 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias f2x y 3x2y y1 1 x 1 2 m 10 Metodo Erro trel Euler 959102 10 DOPRI 154101 70 ABM4 496101 65 m 100 Metodo Erro trel Euler 289102 10 DOPRI 118105 64 ABM4 282102 52 m 1000 Metodo Erro trel Euler 348101 10 DOPRI 1341010 60 ABM4 317106 48 c2009 FFCf 54 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias f3x y 2xy3 y0 1 x 0 5 m 10 Metodo Erro trel Euler 184101 10 DOPRI 151104 62 ABM4 399103 56 m 100 Metodo Erro trel Euler 105102 10 DOPRI 1991010 64 ABM4 489106 53 m 1000 Metodo Erro trel Euler 997104 10 DOPRI 3001015 61 ABM4 6231010 49 c2009 FFCf 55 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias f4x y cosxy y0 1 x 0 10 m 10 Metodo Erro trel Euler 266100 10 DOPRI 725104 68 ABM4 565101 60 m 100 Metodo Erro trel Euler 390101 10 DOPRI 102108 66 ABM4 482105 53 m 1000 Metodo Erro trel Euler 415102 10 DOPRI 1061013 60 ABM4 365109 46 c2009 FFCf 56 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias f5x y senx y y0 0 x 0 π m 10 Metodo Erro trel Euler 773102 10 DOPRI 490107 70 ABM4 563105 60 m 100 Metodo Erro trel Euler 718103 10 DOPRI 4051012 66 ABM4 872109 53 m 1000 Metodo Erro trel Euler 713104 10 DOPRI 1221015 61 ABM4 8751013 46 c2009 FFCf 57 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Sistemas de equacoes diferenciais ordinarias Uso de sistemas de EDO e comum na modelagem de problema real Equacao diferencial de ordem n 1 resolvida por um sistema de ordem n Sistema de p equacoes diferenciais ordinarias com p incognitas y 1 f1x y1 yp y 2 f2x y1 yp yp f1x y1 yp fi funcao dada do problema e yia ηi i 1 2 p condicoes iniciais c2009 FFCf 58 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Algoritmo de RungeKutta de ordem 4 para sistema de ordem 2 Algoritmo RK4sis2 Objetivo Resolver sistema de EDO pelo metodo de RungeKutta de ordem 4 parˆametros de entrada a b m y10 y20 limite inferior limite superior numero de subintervalos e valores iniciais parˆametros de saıda VetX VetY1 VetY2 abscissas e solucoes do PVI h b am xt a y1t y10 y2t y20 VetX1 xt VetY11 y1t VetY21 y2t escreva 0 xt y1t y2t para i 1 ate m faca x xt y1 y1t y2 y2t k11 f1x y1 y2 avaliar f1x y1 y2 k12 f2x y1 y2 avaliar f2x y1 y2 x xt h2 y1 y1t h2 k11 y2 y2t h2 k12 k21 f1x y1 y2 avaliar f1x y1 y2 k22 f2x y1 y2 avaliar f2x y1 y2 y1 y1t h2 k21 y2 y2t h2 k22 k31 f1x y1 y2 avaliar f1x y1 y2 k32 f2x y1 y2 avaliar f2x y1 y2 x xt h y1 y1t h k31 y2 y2t h k32 k41 f1x y1 y2 avaliar f1x y1 y2 k42 f2x y1 y2 avaliar f2x y1 y2 xt a i h y1t y1t h6 k11 2 k21 k31 k41 y2t y2t h6 k12 2 k22 k32 k42 escreva i xt y1t y2t VetXi 1 xt VetY1i 1 y1t VetY2i 1 y2t fimpara fimalgoritmo c2009 FFCf 59 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Exemplo de uso do algoritmo Exemplo 7 Resolver o sistema de EDO y 1 y1 y2 3x e y 2 2y1 y2 x com y10 0 e y20 1 no intervalo 0 2 com 10 subintervalos utilizando o algoritmo RK4sis2 Os parametros de entrada a 0 b 2 m 10 y10 0 y20 1 produzem os resultados Metodo RK4 para sistema de ordem 2 i x y1 y2 0 000000 000000 100000 1 020000 014073 086747 2 040000 016119 082388 3 060000 004768 080741 4 080000 022970 075950 5 100000 072072 061782 6 120000 150106 030864 7 140000 268142 026206 8 160000 442101 122000 9 180000 694680 273780 10 200000 1058102 505594 c2009 FFCf 60 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Equacoes diferenciais de segunda ordem Equacao diferencial ordinaria de ordem n 1 reduzida a sistema de EDO de primeira ordem com n equacoes Transformacao por meio de mudanca de variaveis PVI de segunda ordem y fx y y com ya η1 e ya η2 Equivalente ao sistema de equacoes de primeira ordem y 1 y2 y 2 fx y1 y2 com y1a η1 e y2a η2 Mudancas de variaveis y1 y e y2 y 1 c2009 FFCf 61 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Exemplo de equacoes diferenciais de segunda ordem Exemplo 8 Resolver o PVI de segunda ordem y y 2y x2 com y0 1 e y0 0 intervalo 0 1 com 10 subintervalos Mudancas de variaveis y1 y e y2 y 1 Sistema de ordem dois de EDO de primeira ordem y 1 y2 y 2 y2 2y1 x2 com y10 1 e y20 0 c2009 FFCf 62 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Exemplo de uso do algoritmo Sistema de EDO de primeira ordem y 1 y2 e y 2 y2 2y1 x2 com y10 1 e y20 0 intervalo 0 1 com 10 subintervalos Usando o algoritmo RK4sis2 Os parametros de entrada a 0 b 1 m 10 y10 1 y20 0 produzem os resultados Metodo RK4 para sistema de ordem 2 i x y1 y2 0 000000 100000 000000 1 010000 101035 021070 2 020000 104295 044591 3 030000 110053 071105 4 040000 118638 101276 5 050000 130456 135912 6 060000 146002 176003 7 070000 165878 222756 8 080000 190823 277646 9 090000 221738 342475 10 100000 259721 419443 c2009 FFCf 63 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao da solucao pelo algoritmo RK4sis2 Resultados obtidos pelo algoritmo RK4sis2 comparados com valor exato yx 1 4e2x 2x2 2x 3 i xi yi yi yxi 0 00 10000 0 1 01 10103 898107 2 02 10430 217106 3 03 11005 393106 4 04 11864 632106 5 05 13046 954106 6 06 14600 138105 7 07 16588 195105 8 08 19082 269105 9 09 22174 366105 10 10 25972 493105 i xi yi yxi 0 00 0 10 01 1041010 20 02 2511010 30 03 4531010 40 04 7291010 50 05 110109 60 06 159109 70 07 225109 80 08 310109 90 09 422109 100 10 568109 i yi yxi 0 0 100 1131014 200 2691014 300 4821014 400 7531014 500 1131013 600 1631013 700 2291013 800 3151013 900 4291013 1000 5761013 a 10 subintervalos b 100 subintervalos c 1000 subintervalos c2009 FFCf 64 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Exemplo de uso do algoritmo Exemplo 9 Resolver o PVI de segunda ordem y 4y 5y x 2 com y0 1 e y0 1 x 0 2 usando 8 subintervalos Mudancas de variaveis y1 y e y2 y 1 Sistema y 1 y2 e y 2 4y2 5y1 x 2 com y10 1 e y20 1 Os parametros de entrada a 0 b 2 m 8 y10 1 y20 1 produzem os resultados Metodo RK4 para sistema de ordem 2 i x y1 y2 0 000000 100000 100000 1 025000 029150 522233 2 050000 197300 1386486 3 075000 725688 3000220 4 100000 1795859 5807121 5 125000 3776370 10389015 6 150000 7192819 17398777 7 175000 12722682 27340703 8 200000 21101753 40051082 c2009 FFCf 65 Fim
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Equações Diferenciais Ordinárias Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Equacoes diferenciais ordinarias 71 Solucao numerica de EDO 72 Metodos de RungeKutta 73 Metodos de Adams 74 Comparacao de metodos para EDO 75 Sistemas de equacoes diferenciais ordinarias 76 Exemplos de aplicacao controle de poluicao e deflexao de viga 77 Exercıcios c2009 FFCf 2 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Equacoes diferenciais ordinarias Ferramentas fundamentais para modelagem matematica de varios fenˆomenos fısicos quımicos biologicos etc Fenˆomenos descritos em termos de taxa de variacao Taxa de variacao da corrente i em funcao do tempo t em circuito RL dit dt V itR L 1 onde V tensao entre dois pontos do circuito R resistˆencia e L indutˆancia Equacao diferencial ordinaria de primeira ordem Equacao diferencial e ordinaria porque corrente i e funcao apenas de uma variavel independente o tempo t c2009 FFCf 3 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Ordem de uma EDO Se funcao fosse definida em termos de duas ou mais variaveis terseia uma equacao diferencial parcial Equacao de Laplace 2ux y x2 2ux y y2 0 A EDO 1 e de primeira ordem pois a derivada de maior ordem ditdt e de ordem 1 Quando a equacao contiver uma derivada de ordem n ela e dita EDO de ordem n Ld2it dt2 Rdit dt 1 Cit dV t dt e EDO de segunda ordem sendo C a capacitˆancia do circuito c2009 FFCf 4 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Solucao de EDO Solucao de EDO e uma funcao que satisfaz a equacao diferencial Tambem satisfaz certas condicoes iniciais na funcao Resolver uma EDO analiticamente e encontrar uma solucao geral contendo constantes arbitrarias Determinar essas constantes de modo que a expressao combine com as condicoes iniciais c2009 FFCf 5 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Solucao numerica de EDO Metodos analıticos sao restritos apenas a algumas formas especiais de funcao Nem toda EDO tem solucao analıtica Metodos numericos nao possuem tal limitacao Solucao numerica obtida como tabela de valores da funcao em varios valores da variavel independente Solucao analıtica e uma relacao funcional Praticamente qualquer EDO pode ser resolvida numericamente Se as condicoes iniciais forem alteradas entao toda tabela deve ser recalculada Metodos numericos para solucao de equacoes diferenciais ordinarias sujeitas as condicoes iniciais c2009 FFCf 6 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Problema de valor inicial Problema de valor inicial PVI de primeira ordem y fx y ya η a x b e y 2 Solucao do PVI e uma funcao y yx contınua e diferenciavel que satisfaz a 2 Teorema 1 estabelece condicoes suficientes para existˆencia de solucao unica do PVI c2009 FFCf 7 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Teorema de Lipschitz Teorema 1 Lipschitz Seja fx y uma funcao definida e contınua para todo x y na regiao D definida por a x b e y sendo a e b numeros finitos e seja uma constante L tal que fx y fx y Ly y 3 seja valida para todo x y x y D Entao para algum η existe uma unica solucao yx do PVI 2 onde yx e contınua e diferenciavel para todo x y D Inequacao 3 conhecida como condicao de Lipschitz L constante de Lipschitz c2009 FFCf 8 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos numericos para EDO Calcular uma aproximacao yi da solucao exata yxi do PVI nos pontos xi a ih h b a m i 0 1 2 m onde m numero de subintervalos de a b e h incremento ou passo Solucao numerica do PVI e uma tabela contendo os pares xi yi sendo yi yxi c2009 FFCf 9 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodo de Euler Expansao da solucao exata yx em serie de Taylor em torno do valor inicial x0 yx0 h yx0 hyx0 h2 2 yx0 h3 6 yx0 Truncando a serie apos derivada primeira sendo x1 x0 h y1 uma aproximacao de yx1 e y fx y y1 y0 hfx0 y0 Sucessivas aproximacoes yi de yxi obtidas pela formula de recorrˆencia yi1 yi hfxi yi 4 Formula conhecida como metodo de Euler Leonhard Euler propˆos este metodo em 1768 c2009 FFCf 10 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Algoritmo de Euler para solucao de problema de valor inicial Algoritmo Euler Objetivo Resolver um PVI pelo metodo de Euler parˆametrosdeentrada a b m y0 limite inferior limite superior numero de subintervalos e valor inicial parˆametrosdesaıda VetX VetY abscissas e solucao do PVI h b am x a y y0 Fxy fx y avaliar fx y em x x0 e y y0 VetX1 x VetY 1 y para i 1 ate m faca x a i h y y h Fxy Fxy fx y avaliar fx y em x xi e y yi escreva i x y Fxy VetXi 1 x VetY i 1 y fimpara fimalgoritmo c2009 FFCf 11 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Exemplo de uso do algoritmo Exemplo 1 Calcular a solucao do PVI y x 2y 1 com y0 1 5 no intervalo 0 1 com m 10 subintervalos utilizando o algoritmo de Euler Os parametros de entrada a 0 b 1 m 10 y0 1 produzem os resultados Metodo de Euler i x y fxy 0 000000 100000 100000 1 010000 090000 070000 2 020000 083000 046000 3 030000 078400 026800 4 040000 075720 011440 5 050000 074576 000848 6 060000 074661 010678 7 070000 075729 018543 8 080000 077583 024834 9 090000 080066 029867 10 100000 083053 033894 c2009 FFCf 12 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao da solucao pelo metodo de Euler Solucao exata do PVI 5 yx 1 43e2x 2x 1 6 i xi yi yi yxi 0 00 10000 00000 1 01 09000 00140 2 02 08300 00227 3 03 07840 00276 4 04 07572 00298 5 05 07458 00301 6 06 07466 00293 7 07 07573 00277 8 08 07758 00256 9 09 08007 00233 10 10 08305 00210 i xi yi yi yxi 0 00 10000 00000 10 01 09128 00012 20 02 08507 00020 30 03 08091 00025 40 04 07843 00027 50 05 07731 00028 60 06 07732 00027 70 07 07823 00026 80 08 07990 00024 90 09 08217 00022 100 10 08495 00020 a m 10 h 01 b m 100 h 001 Metodo de Euler com h 01 fornece so uma decimal exata para o PVI 5 Reducao do passo h para 001 melhora solucao numerica do PVI Exatidao da solucao melhorada quando o valor do passo for reduzido c2009 FFCf 13 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Definicoes Definicao 1 Passo simples Um metodo sera de passo simples quando a aproximacao yi1 for calculada a partir somente do valor yi do passo anterior Sendo φ a funcao incremento um metodo de passo simples e definido na forma yi1 yi hφxi yi h Definicao 2 Passo multiplo Sejam os p valores yi yi1 yi2 yip1 previamente calculados por algum metodo Um metodo e de passo multiplo se estes p valores yi yi1 yi2 yip1 forem utilizados para calcular yi1 para i p 1 p p 1 m 1 c2009 FFCf 14 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Definicoes Definicao 3 Erro local Supondo que o valor calculado por um metodo de passo k seja exato isto e yij yxij para j 0 1 k 1 entao o erro local em xik e definido por eik yxik yik Definicao 4 Ordem Um metodo de passo simples tera ordem q se a funcao incremento φ for tal que yx h yx hφx y h Ohq1 Definicao 5 Consistˆencia Um metodo numerico e dito consistente com o PVI 2 se a sua ordem q 1 c2009 FFCf 15 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Definicoes Definicao 6 Convergˆencia Um metodo de passo k e convergente se para o PVI 2 lim h0 yi yxi ih x a e valido para todo x a b e os valores iniciais sao tais que lim h0 yjh η j 0 1 k 1 Consistˆencia significa que a solucao numerica corresponde a solucao do PVI Consistˆencia de um metodo limita a magnitude do erro local cometido em cada passo Estabilidade controla a propagacao do erro durante os calculos Um metodo e convergente se ele for consistente e estavel Por 4 e pelas Definicoes 1 e 4 o metodo de Euler e de passo simples e tem ordem 1 c2009 FFCf 16 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos de RungeKutta Exatidao dos resultados melhorada se passo h for reduzido Se exatidao requerida for elevada reducao do passo pode acarretar grande esforco computacional Melhor exatidao obtida mais eficientemente pela formulacao denominada metodos de RungeKutta C D T Runge desenvolveu o primeiro metodo em 1895 M W Kutta elaborou a formulacao geral em 1901 RungeKutta sao metodos de passo simples de acordo com Definicao 1 c2009 FFCf 17 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos de RungeKutta explıcitos Forma geral dos metodos explıcitos de s estagios yi1 yihφxi yi h onde φx y h b1k1 b2k2 bsks com 7 k1 fx y k2 fx c2h y a21hk1 k3 fx c3h y ha31k1 a32k2 ks fx csh y has1k1 as2k2 ass1ks1 sendo a b e c constantes definidas para cada metodo particular c2009 FFCf 18 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Constantes na notacao de Butcher 0 c2 a21 c3 a31 a32 cs as1 as2 ass1 b1 b2 bs1 bs c2009 FFCf 19 Expansão em série de Taylor com derivadas em y escritas em termos de f a partir de dydx fx y yi1 yi hfxi yi h²2 fxi yi Escrevendo 7 em termos de k1 e k2 yi1 yi b1hfxi yi b2hfxi c2h yi a21hfxi yi Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos de RungeKutta de segunda ordem cont Comparando 8 e 9 Sistema nao linear com 3 equacoes e 4 incognitas b1 b2 1 b2c2 12 b2a21 12 Variedade de metodos de segunda ordem c2009 FFCf 22 Método de RungeKutta de segunda ordem é chamado método de Euler modificado Constantes do método de Euler modificado 0 12 12 0 1 Método de Euler modificado yi1 yi hfxi h2 yi h2 fxi yi Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodo de Euler melhorado Metodo de RungeKutta de segunda ordem Constantes do metodo de Euler melhorado 0 1 1 12 12 Metodo de Euler melhorado yi1 yi h 2fxi yi fxi h yi hfxi yi 11 c2009 FFCf 24 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao dos metodos de Euler Exemplo 2 Comparar a solucao do PVI y 2xy2 com y0 05 no intervalo 0 1 com m 10 subintervalos utilizando os metodos de Euler Euler modificado e Euler melhorado sabendo que a solucao exata e yx 1 x2 2 i xi yE i yxi yEmod i yxi yEmel i yxi 0 00 0 0 0 1 01 249103 124105 124105 2 02 480103 476105 232105 3 03 673103 983105 297105 4 04 811103 155104 289105 5 05 888103 206104 191105 6 06 904103 245104 260108 7 07 869103 267104 270105 8 08 794103 271104 596105 9 09 693103 259104 948105 10 10 577103 235104 130104 c2009 FFCf 25 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos de quarta ordem Mesmo desenvolvimento utilizado para obter metodos de RungeKutta de ordem mais elevada No caso de quarta ordem sistema nao linear com 11 equacoes e 13 incognitas Um dos metodos mais comuns desta ordem e o metodo classico de RungeKutta Constantes do metodo de RungeKutta de quarta ordem 0 12 12 12 0 12 1 0 0 1 16 13 13 16 c2009 FFCf 26 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Algoritmo de RungeKutta de ordem 4 para a solucao de PVI Algoritmo RK4 Objetivo Resolver um PVI pelo metodo de RungeKutta de ordem 4 parˆametrosdeentrada a b m y0 limite inferior limite superior numero de subintervalos e valor inicial parˆametrosdesaıda VetX VetY abscissas e solucao do PVI h b am xt a yt y0 VetX1 xt VetY 1 yt escreva 0 xt yt para i 1 ate m faca x xt y yt k1 fx y avaliar fx y x xt h2 y yt h2 k1 k2 fx y avaliar fx y y yt h2 k2 k3 fx y avaliar fx y x xt h y yt h k3 k4 fx y avaliar fx y xt a i h yt yt h6 k1 2 k2 k3 k4 escreva i xt yt VetXi 1 xt VetY i 1 yt fimpara fimalgoritmo c2009 FFCf 27 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Exemplo de uso do algoritmo Exemplo 3 Calcular a solucao do PVI do Exemplo 1 y x 2y 1 com y0 1 no intervalo 0 1 com m 10 subintervalos pelo algoritmo de RungeKutta de ordem 4 Os parametros de entrada a 0 b 1 m 10 y0 1 fornecem os resultados Metodo de RungeKutta ordem 4 i x y 0 000000 100000 1 010000 091405 2 020000 085274 3 030000 081161 4 040000 078700 5 050000 077591 6 060000 077590 7 070000 078495 8 080000 080143 9 090000 082398 10 100000 085150 c2009 FFCf 28 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao da solucao pelo metodo de RungeKutta Diferenca entre o valor aproximado yi dado pelo metodo de RungeKutta de ordem 4 e a solucao exata yxi dada por 6 i xi yi yi yxi 0 00 10000 0 1 01 09141 194106 2 02 08527 317106 3 03 08116 389106 4 04 07870 425106 5 05 07759 435106 6 06 07759 427106 7 07 07850 408106 8 08 08014 382106 9 09 08240 352106 10 10 08515 320106 i xi yi yi yxi 0 00 10000 0 10 01 09140 1661010 20 02 08527 2731010 30 03 08116 3351010 40 04 07870 3661010 50 05 07759 3741010 60 06 07759 3681010 70 07 07849 3511010 80 08 08014 3281010 90 09 08240 3031010 100 10 08515 2751010 a m 10 h 01 b m 100 h 001 c2009 FFCf 29 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodo de RungeKuttaFehlberg Verificar se um metodo de RungeKutta produz valores dentro da exatidao desejada Recalcular o valor de yi1 no final de cada intervalo utilizando o passo h dividido ao meio Valor aceito se houver apenas uma pequena diferenca entre os dois resultados Passo h dividido ao meio ate que a exatidao desejada seja alcancada Esta estrategia pode requerer grande esforco computacional Processo proposto por E Fehlberg no final da decada de 1960 utiliza dois metodos de ordens diferentes um de ordem 4 e outro de ordem 5 Compara os valores de yi1 obtidos nos dois casos Metodo de RungeKuttaFehlberg e considerado um metodo de ordem 4 c2009 FFCf 30 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodo de DormandPrince No inıcio da decada de 1980 J R Dormand e P J Prince propuseram um metodo similar ao de RungeKuttaFehlberg porem de ordem 5 Constantes do metodo de DormandPrince 0 15 15 310 340 940 45 4445 5615 329 89 193726561 253602187 644486561 212729 1 90173168 35533 467325247 49176 510318656 1 35384 0 5001113 125192 21876784 1184 35384 0 5001113 125192 21876784 1184 0 ei 7157600 0 7116695 711920 17253339200 22525 140 Constantes a7i bi i 1 2 6 Linha ei contem coeficientes para calcular erros globais diferencas entre yi1 obtido pelo processo de ordem 5 e o de ordem 4 c2009 FFCf 31 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Algoritmo de DormandPrince para a solucao de PVI Algoritmo DOPRI54 Objetivo Resolver um PVI pelo metodo de DormandPrince parˆametros de entrada a b m y0 limite inferior limite superior numero de subintervalos e valor inicial parˆametros de saıda VetX VetY EG abscissas solucao do PVI e erro global parˆametros do metodo a21 15 a31 340 a32 940 a41 4445 a42 5615 a43 329 a51 193726561 a52 253602187 a53 644486561 a54 212729 a61 90173168 a62 35533 a63 467325247 a64 49176 a65 510318656 a71 35384 a73 5001113 a74 125192 a75 21876784 a76 1184 c2 15 c3 310 c4 45 c5 89 c6 1 c7 1 e1 7157600 e3 7116695 e4 711920 e5 17253339200 e6 22525 e7 140 h b am xt a yt y0 VetX1 xt VetY 1 yt EG1 0 escreva 0 xt yt para i 1 ate m faca x xt y yt k1 h fx y avaliar fx y x xt c2 h y yt a21 k1 k2 h fx y avaliar fx y x xt c3 h y yt a31 k1 a32 k2 k3 h fx y avaliar fx y x xt c4 h y yt a41 k1 a42 k2 a43 k3 k4 h fx y avaliar fx y x xt c5 h y yt a51 k1 a52 k2 a53 k3 a54 k4 k5 h fx y avaliar fx y x xt c6 h y yt a61 k1 a62 k2 a63 k3 a64 k4 a65 k5 k6 h fx y avaliar fx y x xt c7 h y yt a71 k1 a73 k3 a74 k4 a75 k5 a76 k6 k7 h fx y avaliar fx y xt a i h yt yt a71 k1 a73 k3 a74 k4 a75 k5 a76 k6 ErroGlobal e1 k1 e3 k3 e4 k4 e5 k5 e6 k6 e7 k7 VetXi 1 xt VetY i 1 yt EGi 1 ErroGlobal escreva i xt yt ErroGlobal fimpara fimalgoritmo c2009 FFCf 32 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Exemplo de uso do algoritmo Exemplo 4 Calcular a solucao do PVI do Exemplo 1 y x 2y 1 com y0 1 no intervalo 0 1 com m 10 subintervalos pelo algoritmo de DormandPrince Os parametros de entrada a 0 b 1 m 10 y0 1 produzem os resultados Metodo de DormandPrince i x y Erro 0 000000 100000 1 010000 091405 2100e07 2 020000 085274 1719e07 3 030000 081161 1408e07 4 040000 078700 1153e07 5 050000 077591 9436e08 6 060000 077590 7725e08 7 070000 078495 6325e08 8 080000 080142 5179e08 9 090000 082397 4240e08 10 100000 085150 3471e08 c2009 FFCf 33 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao da solucao pelo metodo de DormandPrince Diferenca entre valor aproximado yi dado pelo metodo de DormandPrince e solucao exata yxi dada por 6 i xi yi yi yxi 0 00 10000 0 1 01 09140 152108 2 02 08527 249108 3 03 08116 305108 4 04 07870 333108 5 05 07759 341108 6 06 07759 335108 7 07 07849 320108 8 08 08014 300108 9 09 08240 276108 10 10 08515 251108 i xi yi yi yxi 0 00 10000 0 10 01 09140 1131013 20 02 08527 1861013 30 03 08116 2271013 40 04 07870 2481013 50 05 07759 2541013 60 06 07759 2491013 70 07 07849 2381013 80 08 08014 2231013 90 09 08240 2051013 100 10 08515 1871013 a m 10 subintervalos b m 100 subintervalos c2009 FFCf 34 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos lineares de passo multiplo Classe de metodos para resolver o problema de valor inicial Definicao 2 Metodo de passo k na forma αkyikαk1yik1 α0yi hβkfikβk1fik1 β0fi 12 onde α e β sao constantes especıficas de um metodo particular sujeitas as condicoes αk 1 e α0 β0 0 Quando βk 0 metodo e dito explıcito e para βk 0 ele e implıcito Explıcitos sao chamados metodos de AdamsBashforth J C Adams e F Bashforth propuseram em 1883 um metodo para resolver um problema de acao capilar Implıcitos sao conhecidos como metodos de AdamsMoulton F R Moulton melhorou o metodo de Adams para calcular trajetorias balısticas na Primeira Guerra Mundial c2009 FFCf 35 Métodos explícitos de passo dois Método explícito de AdamsBashforth de passo dois Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos implıcitos de passo dois Metodo explıcito obtido pela integracao do polinˆomio no intervalo x1 x2 Polinˆomio Px determinado a partir dos pontos em x0 x1 Extrapolacao nao produz bons resultados Se polinˆomio for construıdo usando pontos no intervalo x0 x2 conseguese metodo mais exato Polinˆomio de Lagrange de grau 2 que passa por x0 f0 x1 f1 e x2 f2 P2x f0 x x1x x2 x0 x1x0 x2f1 x x0x x2 x1 x0x1 x2f2 x x0x x1 x2 x0x2 x1 Definindo variavel auxiliar u x x0 h x x0 hu x x1 hu 1 e x x2 hu 2 P2x f2 uu 1 2 f1uu 2 f0 u 1u 2 2 16 c2009 FFCf 39 Métodos de Adams Substituindo 16 em 13 y2 y1 2x1 P2xdx Mudança de variável x u y2 y1 21 f2uu12 f1uu2 f0u1u22 hdu y1 h f2 u36 u24 f1 u3 u2 f0 u36 3u24 u 21 y2 y1 h12 5f2 8f1 f0 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodo implıcito de AdamsMoulton de passo dois Formula implıcita de AdamsMoulton de passo k 2 yi1 yi h 125fi1 8fi fi1 17 Valor de fi1 fxi1 yi1 necessario para obter o proprio yi1 Valor de yi1 obtido por AdamsBashforth usado em AdamsMoulton para avaliar fi1 e calcular valor melhor de yi1 Metodo do tipo preditorcorretor preditor AdamsBashforth corretor AdamsMoulton c2009 FFCf 41 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao da solucao pelo metodo preditorcorretor de passo dois Exemplo 5 Calcular a solucao do PVI do Exemplo 1 y x 2y 1 com y0 1 no intervalo 0 1 utilizando o metodo preditorcorretor de passo dois Diferenca entre valor aproximado yi e solucao exata yxi dada por 6 Valores de f1 calculados pelo metodo de DormandPrince i xi yi yi yxi 0 000 10000 0 1 010 09140 152108 2 020 08526 135104 3 030 08114 219104 4 040 07867 268104 5 050 07756 292104 6 060 07756 299104 7 070 07847 294104 8 080 08011 280104 9 090 08237 262104 10 100 08513 241104 i xi yi yi yxi 0 000 10000 0 10 010 09140 119107 20 020 08527 206107 30 030 08116 258107 40 040 07870 284107 50 050 07759 292107 60 060 07759 288107 70 070 07849 275107 80 080 08014 258107 90 090 08240 238107 100 100 08515 217107 a m 10 subintervalos b m 100 subintervalos c2009 FFCf 42 Integração do polinômio de Lagrange de grau 2 no intervalo x2 x3 y3 y2 x3x2 P2xdx y2 32 f2uu12 f1uu2 f0u1u22 hdu y2 h f2 u36 u24 f1 u3 u2 f0 u36 3u24 u 32 y3 y2 h1223f2 16f1 5f0 yi1 yi h1223fi 16fi1 5fi2 18 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodo implıcito de AdamsMoulton de passo trˆes Formula explıcita obtida por extrapolacao Integracao no intervalo xi xi1 Polinˆomio construıdo a partir de pontos em xi2 xi Metodo implıcito de AdamsMoulton de passo k 3 yi1 yi h 249fi1 19fi 5fi1 fi2 19 c2009 FFCf 44 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodo de AdamsBashforthMoulton de quarta ordem Um dos metodos mais populares de passo multiplo Preditor explıcito AdamsBashforth de passo k 4 yi1 yi h 2455fi 59fi1 37fi2 9fi3 20 Corretor implıcito AdamsMoulton de passo k 3 yi1 yi h 249fi1 19fi 5fi1 fi2 Corretor aplicado mais de uma vez para melhorar ainda mais o resultado c2009 FFCf 45 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Algoritmo de AdamsBashforthMoulton de ordem 4 para a solucao de PVI Algoritmo ABM4 Objetivo Resolver PVI pelo metodo de AdamsBashforthMoulton de ordem 4 parˆametros de entrada a b m y0 limite inferior limite superior numero de subintervalos e valor inicial parˆametros de saıda VetX VetY Erro abscissas solucao do PVI e erro h b am VetX VetY Erro DOPRIa a 3 h 3 y0 ver algoritmo parˆametros de saıda de DOPRI retornam em VetX VetY Erro para i 1 ate 4 faca escreva i 1 VetXi VetY i Erroi fimpara para i 4 ate m faca x VetXi 3 y VetY i 3 f0 fx y avaliar fx y x VetXi 2 y VetY i 2 f1 fx y avaliar fx y x VetXi 1 y VetY i 1 f2 fx y avaliar fx y x VetXi y VetY i f3 fx y avaliar fx y Ypre h 55 f3 59 f2 37 f1 9 f024 VetY i VetY i 1 Ypre VetXi 1 a i h x VetXi 1 para j 1 ate 2 faca y VetY i 1 f4 fx y avaliar fx y Ycor h 9 f4 19 f3 5 f2 f124 VetY i VetY i 1 Ycor fimpara Erro absYcor Ypre 19270 escreva i VetXi 1 VetY i 1 Erro fimpara fimalgoritmo c2009 FFCf 46 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Exemplo de uso do algoritmo Exemplo 6 Calcular a solucao do PVI do Exemplo 1 y x 2y 1 com y0 1 no intervalo 0 1 utilizando o algoritmo de AdamsBashforthMoulton de ordem 4 Os parametros de entrada a 0 b 1 m 10 y0 1 produzem os resultados Metodo de AdamsBashforthMoulton ordem 4 i x y Erro 0 000000 100000 000000e00 1 010000 091405 210000e07 2 020000 085274 171933e07 3 030000 081161 140767e07 4 040000 078699 423161e06 5 050000 077590 351703e06 6 060000 077589 282201e06 7 070000 078494 233307e06 8 080000 080142 190865e06 9 090000 082397 156299e06 10 100000 085150 127961e06 c2009 FFCf 47 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao da solucao pelo metodo preditorcorretor de ordem 4 Diferenca entre resultado exato dado por 6 e os obtidos pelo metodo preditorcorretor de AdamsBashforthMoulton de ordem 4 i xi yi yi yxi 0 000 10000 0 1 010 09140 152108 2 020 08527 249108 3 030 08116 305108 4 040 07870 307106 5 050 07759 494106 6 060 07759 607106 7 070 07849 662106 8 080 08014 677106 9 090 08240 665106 10 100 08515 635106 i xi yi yxi 0 000 0 10 010 3691010 20 020 7331010 30 030 9531010 40 040 107109 50 050 111109 60 060 110109 70 070 106109 80 080 9991010 90 090 9251010 100 100 8441010 i yi yxi 0 0 100 5021014 200 8391014 300 1031013 400 1141013 500 1161013 600 1151013 700 1101013 800 1031013 900 9431014 1000 8561014 a 10 subintervalos b 100 subintervalos c 1000 subintervalos c2009 FFCf 48 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao de metodos para EDO Metodos de passo simples RungeKutta Metodos de passo multiplo Adams c2009 FFCf 49 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos de RungeKutta Vantagens 1 Autoiniciaveis nao dependendo do auxılio de outros metodos 2 Facil alteracao do incremento h para reduzir esforco computacional Desvantagens 1 Numero elevado de avaliacoes da funcao fx y por passo 2 Escolha de h pequeno para limitar erro de discretizacao pode causar aumento do erro de arredondamento c2009 FFCf 50 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Metodos de Adams Vantagens 1 Numero pequeno de avaliacoes da funcao fx y a cada iteracao i uma vez nas formulas explıcitas e i 1 vezes nas implıcitas 2 Formulas simples podendo ser utilizadas com calculadora Desvantagens 1 Nao sao autoiniciaveis causando dependˆencia de outro metodo 2 Mudanca do incremento h mais difıcil c2009 FFCf 51 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao de metodos para EDO para solucao de cinco PVIs Metodos Euler DormandPrince e AdamsBashforthMoulton Solucao exata do jesimo PVI e dada por yjx f1x y 2x2y2 y0 2 x 0 2 y1x 6 4x3 3 f2x y 3x2y y1 1 x 1 2 y2x ex31 f3x y 2xy3 y0 1 x 0 5 y3x 1 2x2 1 f4x y cosxy y0 1 x 0 10 y4x e senx f5x y senx y y0 0 x 0 π y5x ex senxcosx 2 Erro maior diferenca em valor absoluto entre solucao numerica e exata trel razao entre tempo gasto pelo metodo e pelo metodo de Euler c2009 FFCf 52 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias f1x y 2x2y2 y0 2 x 0 2 m 10 Metodo Erro trel Euler 143101 10 DOPRI 351105 47 ABM4 248103 43 m 100 Metodo Erro trel Euler 126102 10 DOPRI 7261011 64 ABM4 362107 53 m 1000 Metodo Erro trel Euler 124103 10 DOPRI 3331015 61 ABM4 3751011 49 c2009 FFCf 53 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias f2x y 3x2y y1 1 x 1 2 m 10 Metodo Erro trel Euler 959102 10 DOPRI 154101 70 ABM4 496101 65 m 100 Metodo Erro trel Euler 289102 10 DOPRI 118105 64 ABM4 282102 52 m 1000 Metodo Erro trel Euler 348101 10 DOPRI 1341010 60 ABM4 317106 48 c2009 FFCf 54 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias f3x y 2xy3 y0 1 x 0 5 m 10 Metodo Erro trel Euler 184101 10 DOPRI 151104 62 ABM4 399103 56 m 100 Metodo Erro trel Euler 105102 10 DOPRI 1991010 64 ABM4 489106 53 m 1000 Metodo Erro trel Euler 997104 10 DOPRI 3001015 61 ABM4 6231010 49 c2009 FFCf 55 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias f4x y cosxy y0 1 x 0 10 m 10 Metodo Erro trel Euler 266100 10 DOPRI 725104 68 ABM4 565101 60 m 100 Metodo Erro trel Euler 390101 10 DOPRI 102108 66 ABM4 482105 53 m 1000 Metodo Erro trel Euler 415102 10 DOPRI 1061013 60 ABM4 365109 46 c2009 FFCf 56 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias f5x y senx y y0 0 x 0 π m 10 Metodo Erro trel Euler 773102 10 DOPRI 490107 70 ABM4 563105 60 m 100 Metodo Erro trel Euler 718103 10 DOPRI 4051012 66 ABM4 872109 53 m 1000 Metodo Erro trel Euler 713104 10 DOPRI 1221015 61 ABM4 8751013 46 c2009 FFCf 57 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Sistemas de equacoes diferenciais ordinarias Uso de sistemas de EDO e comum na modelagem de problema real Equacao diferencial de ordem n 1 resolvida por um sistema de ordem n Sistema de p equacoes diferenciais ordinarias com p incognitas y 1 f1x y1 yp y 2 f2x y1 yp yp f1x y1 yp fi funcao dada do problema e yia ηi i 1 2 p condicoes iniciais c2009 FFCf 58 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Algoritmo de RungeKutta de ordem 4 para sistema de ordem 2 Algoritmo RK4sis2 Objetivo Resolver sistema de EDO pelo metodo de RungeKutta de ordem 4 parˆametros de entrada a b m y10 y20 limite inferior limite superior numero de subintervalos e valores iniciais parˆametros de saıda VetX VetY1 VetY2 abscissas e solucoes do PVI h b am xt a y1t y10 y2t y20 VetX1 xt VetY11 y1t VetY21 y2t escreva 0 xt y1t y2t para i 1 ate m faca x xt y1 y1t y2 y2t k11 f1x y1 y2 avaliar f1x y1 y2 k12 f2x y1 y2 avaliar f2x y1 y2 x xt h2 y1 y1t h2 k11 y2 y2t h2 k12 k21 f1x y1 y2 avaliar f1x y1 y2 k22 f2x y1 y2 avaliar f2x y1 y2 y1 y1t h2 k21 y2 y2t h2 k22 k31 f1x y1 y2 avaliar f1x y1 y2 k32 f2x y1 y2 avaliar f2x y1 y2 x xt h y1 y1t h k31 y2 y2t h k32 k41 f1x y1 y2 avaliar f1x y1 y2 k42 f2x y1 y2 avaliar f2x y1 y2 xt a i h y1t y1t h6 k11 2 k21 k31 k41 y2t y2t h6 k12 2 k22 k32 k42 escreva i xt y1t y2t VetXi 1 xt VetY1i 1 y1t VetY2i 1 y2t fimpara fimalgoritmo c2009 FFCf 59 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Exemplo de uso do algoritmo Exemplo 7 Resolver o sistema de EDO y 1 y1 y2 3x e y 2 2y1 y2 x com y10 0 e y20 1 no intervalo 0 2 com 10 subintervalos utilizando o algoritmo RK4sis2 Os parametros de entrada a 0 b 2 m 10 y10 0 y20 1 produzem os resultados Metodo RK4 para sistema de ordem 2 i x y1 y2 0 000000 000000 100000 1 020000 014073 086747 2 040000 016119 082388 3 060000 004768 080741 4 080000 022970 075950 5 100000 072072 061782 6 120000 150106 030864 7 140000 268142 026206 8 160000 442101 122000 9 180000 694680 273780 10 200000 1058102 505594 c2009 FFCf 60 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Equacoes diferenciais de segunda ordem Equacao diferencial ordinaria de ordem n 1 reduzida a sistema de EDO de primeira ordem com n equacoes Transformacao por meio de mudanca de variaveis PVI de segunda ordem y fx y y com ya η1 e ya η2 Equivalente ao sistema de equacoes de primeira ordem y 1 y2 y 2 fx y1 y2 com y1a η1 e y2a η2 Mudancas de variaveis y1 y e y2 y 1 c2009 FFCf 61 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Exemplo de equacoes diferenciais de segunda ordem Exemplo 8 Resolver o PVI de segunda ordem y y 2y x2 com y0 1 e y0 0 intervalo 0 1 com 10 subintervalos Mudancas de variaveis y1 y e y2 y 1 Sistema de ordem dois de EDO de primeira ordem y 1 y2 y 2 y2 2y1 x2 com y10 1 e y20 0 c2009 FFCf 62 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Exemplo de uso do algoritmo Sistema de EDO de primeira ordem y 1 y2 e y 2 y2 2y1 x2 com y10 1 e y20 0 intervalo 0 1 com 10 subintervalos Usando o algoritmo RK4sis2 Os parametros de entrada a 0 b 1 m 10 y10 1 y20 0 produzem os resultados Metodo RK4 para sistema de ordem 2 i x y1 y2 0 000000 100000 000000 1 010000 101035 021070 2 020000 104295 044591 3 030000 110053 071105 4 040000 118638 101276 5 050000 130456 135912 6 060000 146002 176003 7 070000 165878 222756 8 080000 190823 277646 9 090000 221738 342475 10 100000 259721 419443 c2009 FFCf 63 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Comparacao da solucao pelo algoritmo RK4sis2 Resultados obtidos pelo algoritmo RK4sis2 comparados com valor exato yx 1 4e2x 2x2 2x 3 i xi yi yi yxi 0 00 10000 0 1 01 10103 898107 2 02 10430 217106 3 03 11005 393106 4 04 11864 632106 5 05 13046 954106 6 06 14600 138105 7 07 16588 195105 8 08 19082 269105 9 09 22174 366105 10 10 25972 493105 i xi yi yxi 0 00 0 10 01 1041010 20 02 2511010 30 03 4531010 40 04 7291010 50 05 110109 60 06 159109 70 07 225109 80 08 310109 90 09 422109 100 10 568109 i yi yxi 0 0 100 1131014 200 2691014 300 4821014 400 7531014 500 1131013 600 1631013 700 2291013 800 3151013 900 4291013 1000 5761013 a 10 subintervalos b 100 subintervalos c 1000 subintervalos c2009 FFCf 64 Algoritmos Numericos 2a edicao Capıtulo 7 Equacoes diferenciais ordinarias Exemplo de uso do algoritmo Exemplo 9 Resolver o PVI de segunda ordem y 4y 5y x 2 com y0 1 e y0 1 x 0 2 usando 8 subintervalos Mudancas de variaveis y1 y e y2 y 1 Sistema y 1 y2 e y 2 4y2 5y1 x 2 com y10 1 e y20 1 Os parametros de entrada a 0 b 2 m 8 y10 1 y20 1 produzem os resultados Metodo RK4 para sistema de ordem 2 i x y1 y2 0 000000 100000 100000 1 025000 029150 522233 2 050000 197300 1386486 3 075000 725688 3000220 4 100000 1795859 5807121 5 125000 3776370 10389015 6 150000 7192819 17398777 7 175000 12722682 27340703 8 200000 21101753 40051082 c2009 FFCf 65 Fim