Estudo de Caso - Paradoxo de Russell e Teoria dos Conjuntos na Engenharia

Estudo de Caso Olá estudante Se você está lendo este texto é porque você chegou à etapa de avaliação das disciplinas de Eixo do seu curso de Pósgraduação da Faculdade Descomplica na área de Engenharia Para desenvolver esta atividade você deve ler os artigos selecionados abaixo e elaborar um texto com o limite de 500 palavras utilize o contador de palavras do aplicativo Word ou equivalente para este controle Não se esqueça de se posicionar com clareza a respeito dos aspectos técnicos e legais sobre os assuntos abordados Ao final um caso hipotético é apresentado para que você faça as suas considerações Artigos para leitura e fundamentação da análise Paradoxo de Russell Descoberto em 1901 pelo matemático Bertrand Russell o Paradoxo de Russell versa sobre uma contradição na Teoria de Conjuntos de CantorFrege Além de matemático Russel era filósofo escritor premiado com o Nobel da Literatura e impulsionador do logicismo vertente filosófica da matemática que acredita que esta ciência pode ser reduzida pelo menos em sua maioria à lógica Na Teoria dos Conjuntos desenvolvida pelos matemáticos alemãs Georg Cantor e Gotlob Frege todo predicado define um conjunto Por exemplo o predicado ser de aço define o conjunto de todas as coisas que são de aço Em uma escrita mais formal teríamos 𝐶 𝑥 𝑥 é 𝑑𝑒 𝑎ç𝑜 Neste caso temos que C é o conjunto e x é um elemento deste conjunto Os conjuntos mais famosos são os conjuntos numéricos onde seus elementos são números Por exemplo O conjunto dos Números Naturais N 1 2 3 4 5 6 O conjunto dos números Inteiros Z 3 2 1 0 1 2 3 O conjunto dos números Racionais Q 𝑎 𝑏 𝑎 𝐙 𝑒 𝑏 𝐍 Porém a Teoria dos Conjuntos vai muito além Podemos definir conjuntos não só de números mas também de polígonos de pontos de objetos de funções e inclusive conjuntos de conjuntos A título de exemplo consideremos um conjunto Cabc A partir dele podemos criar um conjunto de conjuntos chamado de Conjunto das Partes composto por todos os subconjuntos de C Em uma escrita mais formal 𝑃𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 Observe que no Conjunto das Partes de C temos que seus elementos são outros conjuntos porém os elementos de C não são elementos de PC Isto é em um conjunto de conjuntos seus elementos são somente conjuntos mas não incluem os elementos destes conjuntos O Paradoxo de Russell consiste em um conjunto de conjuntos definido pelo seguinte predicado não pertence a si mesmo De modo mais detalhado o conjunto definido por este predicado é o conjunto de todos os conjuntos que não possuem a si próprios como elementos Em escrita mais formal 𝑀 𝐴 𝐴 𝐴 onde A é um conjunto de conjuntos O rigor que a matemática exige pode dificultar o entendimento deste paradoxo porém tal paradoxo pode ser ilustrado através da analogia criada por M Carmen Márquez García explicita a seguir Considere que um especialista em obras de arte queira classificar todos os quadros do mundo em duas categorias disjuntas isto é cada obra estará em uma e apenas uma categoria A primeira categoria consiste de todos os quadros que possuem uma cópia de si mesmos retratada na cena na tela Por exemplo uma obra que retrata uma sala de estar e na parede da sala está uma cópia deste mesmo quadro seria um quadro incluído nesta categoria A segunda categoria consiste de todos os quadros que não possuem uma cópia de si mesmos retratados na cena pintada Por exemplo o quadro A Noite Estrelada de Van Gogh não possui uma cópia de A Noite Estrelada retratada em local nenhum da tela então é um quadro que está nesta categoria Esta categoria será chamada de Quadros de Russell Agora suponha que uma galeria de arte decida expor todos os Quadros de Russell que existem no mundo em uma enorme sala Para comemorar tal feito um artista é contratado para pintar a seguinte cena a sala com todos os quadros Este quadro intitulado de Quadro M Todas as pinturas de Russell do mundo possui em sua tela todos os Quadros de Russel como A Noite Estrelada por exemplo O paradoxo reside em classificar o Quadro M nas duas categorias anteriores tal obra é ou não é um Quadro de Russell Se tal obra não inclui uma cópia de si mesma então por definição é um Quadro de Russell logo deveria ser retratada na cena de Todas as pinturas de Russell do mundo Por outro lado se tal obra incluir uma cópia de si mesma então não é um Quadro de Russell e sendo assim não deveria estar na cena de todas as pinturas de Russell do mundo Com isto temos um paradoxo o Quadro M não pode ser classificado em nenhuma das duas classificações iniciais Voltando ao problema inicial o conjunto MAAA representa uma falha nos fundamentos da teoria de Cantor e Frege Considerando que Russell buscava reduzir a matemática à lógica a sua reação foi em suas palavras a mesma que deve sentir um católico fervoroso sobre papas indignos A solução encontrada para resolver o paradoxo de Russell e também a Teoria de Cantor e Frege era de que na definição de conjuntos não serão considerados os conjuntos que possuem a si próprios como elementos Em outras palavras M deixou de ser considerado um conjunto Problemática para desenvolvimento 1 O Paradoxo de Russell exibiu uma falha na Teoria de Cantor e Frege que só foi corrigida na segunda metade do século XX Quais seriam as possíveis consequências que uma falha teórica não solucionada poderia desencadear em uma teoria matemática 2 Uma técnica para ilustrar um problema complexo como o Paradoxo de Russell é o uso de analogias como os Quadros de Russell Que outra analogia poderia ser utilizada para ilustrar o Paradoxo de Russell O Paradoxo de Russell Em 1901 o matemático Bertrand Russell descobriu um paradoxo matemático na Teoria dos Conjuntos de CantorFrege que ficou conhecido como Paradoxo de Russell A própria Teoria de CantorFrege é ainda altamente difundida e relevante e isso torna ainda mais necessário conhecer o Paradoxo de Russell para entender quais os limites dessa Teoria e refletir como essa falha teórica que resultou no paradoxo poderia desencadear consequências na matemática A primeira consequência do Paradoxo de Russell é justamente a criação de um conjunto impossível isto é um conjunto que contradiz sua própria existência Uma segunda consequência é demonstrar que um dos princípios utilizados na formalização da Teoria de CantorFrege e presente em outras lógicas para conjuntos causaria contradições Ainda filosoficamente esse resultado é usado para botar em cheque a ideia que toda a matemática poderia ser reduzida a lógica uma vez que um sistema baseado nisso encontrou contradições Uma falha teórica como essa não solucionada poderia desencadear a contestação da atribuição da lógica como válida dentro da matemática Essa falha também poderia desencadear a criação de outros sistemas que não fossem a matemática para que pudessem melhor estruturar os problemas que são encarados com a matemática Ainda optando por seguir essa Teoria na matemática com a falha poderia fazer aparecer mais e mais contradições a ponto de criar objetos matemática totalmente ilógicos e irreais ou conseguir provas com novos paradoxos que assumissem o valor de verdade quando não deveriam e outros objetos impossíveis O próprio Russell e outros matemáticos conseguiram propor maneiras de evitar o Paradoxo e para isso modificaram a linguagem lógica padrão ou outros paradigmas É nesse contexto que nasce a Teoria dos Conjuntos de ZermeloFraenkel O Paradoxo de Russell pode ser apresentado informalmente através de analogias e como forma de motivação até mesmo para aqueles que não entendem os axiomas e princípios da Teoria de Conjuntos Uma analogia que por exemplo utiliza como base o Paradoxo de Russell é chamada de Paradoxo do Barbeiro Nessa analogia imaginemos uma cidade que possui apenas um barbeiro e esse barbeiro faz a barba dos homens desta cidade sob o seguinte critério o barbeiro faz a barba de todo homem que não faz a sua própria barba O paradoxo surge no momento em que é questionado se o barbeiro faz sua própria barba Porque se o barbeiro fizer sua própria barba então ele não faria a barba com o barbeiro o que é uma contradição já que ele mesmo é o barbeiro E se o barbeiro não faz sua própria barba então ele entra no critério e teria que fazer a barba com o barbeiro outra contradição Portanto em qualquer caso não podemos definir o conjunto de homens que fazem a barba com o barbeiro com esse critério Os elementos dessa analogia com o Paradoxo de Russell são bem diretos o conjunto de homens que fazem a barba com o barbeiro é justamente o conjunto impossível