Física Aplicada Lei de Coulomb

18 13 A lei de Coulomb A discussão qualitativa dos fenômenos elétricos nos fez adotar a hipótese da existência de duas substâncias responsáveis pelas forças elétricas Supomos que as quantidades das duas podem ser quantificadas numa grandeza que chamamos de carga elétrica de tal maneira que uma das substâncias corresponde a valores negativos desta grandeza e a outra a valores positivos Além disso aceitamos que cargas do mesmo sinal se repelem e cargas de sinais opostos se atraem Aceitamos ainda a hipótese que o módulo destas forças diminui com a distância das cargas Agora é preciso encontrar uma descrição quantitativa da força elétrica A última palavra sobre esta lei quantitativa tem que ser a experiência É preciso medir as forças quantitativamente Mas antes de partir para uma experiência os pesquisadores já fazem umas apostas Isto pode ajudar na concepção da experiência e também torna uma experiência mais emocionante No caso das forças elétricas estas experiências foram feitas por CharlesAugustin de Coulomb 14061736 2308 1806 Nessa época já se conhecia a lei que descreve a força gravitacional e se esperava que a força elétrica tivesse uma lei semelhante com as seguintes características Propriedade 131 O módulo da força é proporcional ao inverso do quadrado da distância entre as cargas Propriedade 132 Tratase de uma força central ou seja a direção da força coincide com a direção da linha que une as duas cargas Nestas afirmações pensamos em cargas pontuais Vimos na seção anterior qual é a vantagem de considerar apenas pontos1 Então quando falamos de distância tratase da distância dos pontos onde se encontram as cargas E quando falamos de linha que une as duas cargas tratase da linha que une os pontos de localização das cargas A segunda propriedade propriedade 132 pode ser motivada também por um argumento de simplicidade Nenhuma direção no espaço vazio é privilegiada mas a força sendo uma grandeza vetorial tem que ter uma direção A única direção privilegiada pela presença de dois objetos pontuais é a direção da linha que une os dois pontos Se a força tivesse qualquer outra direção as cargas pontuais teriam que ter alguma estrutura interna que definisse direções Então a hipótese mais simples é que eles não tenham nenhuma estrutura interna As medidas quantitativas contam com algumas dificuldades técnicas Primeiramente é preciso ter um medidor de forças para forças relativamente pequenas Coulomb usou uma balança de torção para medir pequenas forças Primeiramente ele pesquisou como reage um objeto pendurado num fio fino de metal quando se aplica um torque A figura 131 mostra estas experiências esquematicamente Ele descobriu que o torque τ necessário para modificar a orientação de equilíbrio por um ângulo ϕ era proporcional ao ângulo Ainda constatou que para um dado material a constante de proporcionalidade era proporcional à quarta potência do diâmetro do arame e inversamente proporcional ao comprimento do arame d 4 K l τ ϕ 131 1 Isto deve ter sido um dos pontos de destaque na sua solução do exercício 123 Se este ponto não estava na sua solução você não estudou de forma adequada Coulomb relatou este resultado em 1784 Mais ou menos na mesma época 1783 John Michell inventou uma balança de torção para medir a atração gravitacional Fig 131 Fio de torção com disco pendurado para verificação da lei 131 Fig 132 Balança de torção usada por Coulomb A figura 132 mostra a balança que Coulomb usou para as medidas quantitativas das forças elétricas Há uma haste horizontal indicada como Fig3 pendurada no fio de torção Nas pontas desta haste há esferas metálicas g e a Podese transferir carga elétrica para uma destas esferas e colocar uma outra esfera J Fig5 também eletrizada perto da esfera eletrizada da haste A força elétrica resulta num torque que pode ser medido usando a relação 131 Fig 133 Definição de igualdade de valores de cargas Fora da tarefa difícil de medir estas forças com precisão há outro problema que precisa ser resolvido Os aspectos quantitativos englobam também as quantidades de carga elétrica nas esferas Primeiramente temos que completar a definição desta grandeza Já falamos da soma dos valores Outro item essencial na definição de uma grandeza 20 física é a prescrição operacional que determina a igualdade de valores da grandeza Podemos definir duas cargas pontuais têm o mesmo valor de carga se a força exercida por uma terceira carga pontual qualquer que se encontra na mesma situação geométrica relativa às cargas testadas provoca a mesma força Compare com a figura 133 Nesta definição não precisamos conhecer o valor 0q da terceira carga mas temos que ter certeza de que no intervalo de tempo no qual efetuamos a substituição da carga 1 pela carga 2 não haja alteração do valor da carga 0q Isto na prática pode ser um problema Como cargas do mesmo sinal se repelem existe uma tendência natural das cargas de um corpo carregado fugir deste corpo Então os suportes que seguram o objeto carregado devem ser de um material isolante com superfícies perfeitamente limpas As medidas devem ser feitas de preferência em dias com ar de baixa umidade relativa e a substituição geométrica da carga 1 pela carga 2 deve ser feita de forma rápida A soma de valores de carga foi definida na seção anterior Para produzir uma sequência conhecida de valores de carga existe um artifício simples Imagine uma pequena esfera metálica com algum valor desconhecido 0q que está suspensa por um fio perfeitamente isolante Agora pegamos uma segunda esfera do mesmo material com exatamente o mesmo diâmetro também pendurada por um fio perfeitamente isolante Mas esta segunda esfera está neutra Em seguida movendo o suporte do fio colocamos as duas esferas em contato Como cargas do mesmo sinal se repelem as cargas se distribuirão no corpo formado pelas duas esferas de tal forma que elas possam ficar o mais longe possível uma da outra Então a esfera que estava originalmente neutra receberá carga Pela simetria da configuração podemos ter certeza que no estado final as duas esferas terão a carga q0 2 cada uma Finalmente podemos afastar a segunda esfera e geramos um corpo de carga q0 2 Repetindo este procedimento diversas vezes podemos gerar uma sequência de valores de carga 0q q0 2 q0 2 n Fazendo isto com a esfera que se introduz na balança de torção ou com a esfera presa na haste horizontal podese pesquisar como a força depende dos valores das cargas envolvidas O resultado desta pesquisa é a força é proporcional a cada um dos valores de carga dos dois corpos envolvidos Então segue Propriedade 133 A força é proporcional ao produto dos valores das duas cargas pontuais As experiências de Coulomb confirmaram a afirmação de que as forças elétricas têm a propriedade 131 A propriedade 132 também pode ser testada com uma balança de torção Basta que se coloque a esfera externa fora da linha tangencial ao círculo que tem centro no fio de torção e no qual se encontra a esfera da haste Se a força for central o torque deve diminuir por um fator cosα da projeção da linha que une as esferas sobre a reta tangencial compare figura 134 Fig 134 Uso da balança de torção para testar se a força elétrica é uma força central Contudo as experiências com a balança de torção são α tipo Duas cargas pontuais de mesmo valor têm cada uma a carga unitária Ucarga se a força que uma exerce sobre a outra quando postas numa distância de 1 m for 1 N Com esta escolha de unidade o valor da constante k seria k 1 N m2Ucarga De fato este tipo de proposta foi feita pelo matemático Johann Carl Friedrich Gauss 30041777 23021855 mas usando centímetros e gramas como unidades básicas no lugar do metro e do quilograma A unidade de carga correspondente é chamado de statCoulomb statC e com ela a constante k fica na forma k 1 g cm3statC2 s2 Do ponto de vista da teoria esta escolha de unidade parece boa Mas do ponto de vista experimental ela não é boa Como mencionamos as experiências eletrostáticas são dificilmente experiências de alta precisão porque as cargas naturalmente têm a tendência de fugir O sistema internacional adotou uma outra unidade de carga que permite mais precisão nas realizações do padrão Infelizmente ainda não temos condições de entender como esta definição de unidade é feita pois esta usa forças magnéticas Então por enquanto ficamos somente com o nome desta unidade ela se chama Coulomb e é abreviada com C Somente quando chegarmos quase no fim do semestre teremos condições de entender como o Coulomb é definido Em termos desta unidade a constante k tem o valor de k 8987551788109 N m2C 2 134 Para muitas aplicações é suficiente usar o valor aproximado k 9109 N m2C 2 135 que pode ser memorizado muito facilmente por causa do duplo aparecimento da cifra 9 no expoente e na mantissa Mais tarde conheceremos razões pelas quais muitas pessoas preferem escrever a constante k numa forma um tanto estranha k 14πε0 136 com ε0 8854187817 1012 C2N1m2 137 Na fórmula da lei de Coulomb 133 mantivemos as parcelas que correspondem às três propriedades 131133 separadas Mas quando fazemos cálculos não é preciso manter esta separação e podemos juntar os dois fatores de módulo da diferença de vetores posição F12 k q1q2 r1 r2 r1 r23 138 2 De fato Gauss não considerava carga elétrica como uma nova grandeza física mas ele identificava carga com uma raiz quadrada de massa multiplicada por uma raiz quadrada de um volume e dividido por um tempo de tal forma que a constante k fica adimensional com o valor 1 extremamente difíceis e não se pode esperar muita precisão Também julgando pela figura 122 as cargas não eram muito pequenas em comparação com as distâncias envolvidas Hoje temos outros testes muito precisos que confirmam as afirmações das propriedades 131 133 Num capítulo posterior conheceremos um teste muito preciso destas afirmações Estas três afirmações verbais podem ser condensadas numa única fórmula Usaremos a linguagem vetorial para escrever estas propriedades de forma compacta Primeiramente vamos descrever as posições das duas cargas pontuais no espaço do referencial que usamos Isto pode ser feito também com a ajuda de vetores Escolhemos um ponto fixo O chamado de origem no espaço e com este ponto podemos descrever as posições P1 e P2 das cargas com dois vetores de deslocamento P1 r1 OP1 P2 r2 OP2 132 Estes vetores são chamados de vetores posição dos pontos P1 e P2 Lembramos que um vetor deslocamento é uma classe de equivalência de pares ordenados de pontos sendo a relação de equivalência definida por transporte paralelo dos pares de pontos Na Física III usaremos vetores extensamente e o aluno que não tem familiaridade com os conceitos vetoriais deve dedicar algumas horas de intenso estudo para entender estes conceitos de preferência logo no início do semestre No apêndice destas notas há um ensaio sobre geometria e vetores Fig 135 Vetores posição r1 e r2 das cargas e o vetor r1 r2 Temos que expressar a distância entre as cargas e a direção da linha que une as cargas em termos dos vetores posição A distância é simplesmente o módulo do vetor r1 r2 e podemos descrever a direção com o vetor unitário r1 r2 r1 r2 Com estes elementos podemos finalmente escrever a força que a carga 2 exerce sobre a carga 1 F12 k q1q2 r1 r22 r1 r2 r1 r2 133 Esta relação é a lei de Coulomb Caso as duas cargas tenham o mesmo sinal a força é repulsiva e tem o mesmo sentido do vetor r1 r2 A constante de proporcionalidade k é uma constante dimensional que conecta o espaço de valores de quadrados de carga dividido por quadrados de distâncias com o espaço de módulos de força Falta definir uma unidade para a grandeza carga Uma possibilidade é usar a própria lei de Coulomb para definir uma unidade Poderseia formular uma definição do seguinte Repare que o expoente 3 que aparece no denominador não significa que a força cai proporcionalmente ao cubo da distância Pois no numerador há o vetor vecr1 vecr2 cujo módulo aumenta com a distância Interrompemos aqui nosso estudo da força elétrica para um comentário sumamente importante No contexto da lei de Coulomb usamos a palavra proporcional diversas vezes É um erro muito comum confundir proporcional com monotonicamente crescente e inversamente proporcional com monotonicamente decrescente Estas noções são totalmente diferentes Definição131 Uma grandeza y é proporcional a uma grandeza x se e somente se vale y A imes x 139 com algum valor de A que não depende de x Uma variável y é dita inversamente proporcional a x se y for proporcional a x1 Proporcionalidade não tem absolutamente nenhuma ligação com crescimento monótono Veja os seguintes exemplos y x3 cresce monotonicamente mas aqui y não é proporcional a x Por outro lado com y 5 x a variável y é proporcional a x mas y decresce quanto x cresce Proporcionalidade é um caso especial de uma noção sumamente importante nas ciências quantitativas Especialmente aqui no estudo do eletromagnetismo usaremos esta noção frequentemente Proporcionalidade é um caso especial de linearidade Seja f V o W uma função que mapeia um conjunto V num conjunto W Queremos definir linearidade de uma função Mas esta noção só faz sentido quando os conjuntos V e W tiverem a estrutura de espaços lineares Isto significa que dentro destes conjuntos deve existir uma definição de soma de elementos e uma multiplicação de elementos com números com as seguintes propriedades forall ab in V a b b a 1310 forall abc in V a b c a b c 1311 exists 0 in V forall a in V a 0 a 1312 forall a in V exists a in V a a 0 1313 forall alpha beta in Re foralla in V alpha beta a alpha beta a 1314 forall a in V 1 a a 1315 forall ab in V forall alpha in Re alpha a b alpha a alpha b 1316 forall a in V forall alpha beta in Re alpha beta a alpha a beta a 1317 Analogamente para o espaço W Os valores de grandezas físicas ficam em espaços lineares Os vetores de deslocamento formam um espaço linear e há muitos outros exemplos importantes de espaços lineares Então podemos agora definir quando uma função que mapeia um espaço linear em outro espaço linear é uma função linear 23 Definição132 Uma função f V o W entre dois espaços lineares V e W é chamada de linear se e somente se forall ab in V forall alpha beta in Re falpha a beta b alpha f a beta f b 1318 Podemos formular esta definição verbalmente de forma bem simples Uma função é linear se ela se comporta de forma simpática em relação à formação de combinações lineares podese fazer a combinação linear antes de aplicar a função ou depois e o resultado é sempre o mesmo Repare na semelhança com outra propriedade de funções Uma função é contínua se ela for simpática em relação à formação de limites podese tomar um limite antes de aplicar a função ou depois e o resultado é sempre o mesmo A noção de linearidade é fundamental Por exemplo não faz o menor sentido aprender o que é uma derivada sem ter entendido a noção de linearidade pois a derivada é uma aproximação linear das variações locais de uma função na vizinhança de um ponto Na Física III linearidade aparecerá em muitos pontos estratégicos e peço ao aluno que não tem clareza desta noção para praticar com exemplos vide exercícios no fim da seção Voltemos às forças elétricas Precisamos dizer algo sobre a força que atua numa carga na presença de várias outras cargas Neste caso a própria mecânica Newtoniana prevê que se devem somar as forças exercidas por todas as outras cargas Então seja q o valor de uma carga elétrica que se encontra no ponto vecr4 Na presença de N cargas qk nas posições vecrk com k123N a força que atua sobre a carga q é vecF k q sumk1N qk fracleftvecr vecrkrightleft vecr vecrk right3 1319 Vejamos um exemplo Vamos considerar que uma carga pontual q esteja no ponto leftlangle x a y a2 z0 rightrangle de um sistema de coordenadas cartesianas e que haja uma carga q1 no ponto leftlangle xa y0 z0 rightrangle e uma carga q2 na origem leftlangle x0 y0 z0 rightrangle como mostra a figura 136 Fig 136 Disposição de cargas no exemplo calculado A força que a carga 1 exerce sobre a carga q é vecF1 k q q1 fraclefthatx a haty a 2 hatz 0 right lefthatx a haty 0 hatz 0 rightleft02 a2 4 02 right32 1320 e a força que a carga 2 exerce sobre q é 4 Usamos aqui uma linguagem abreviada No ponto vecr deve ser entendido como no ponto cujo vetor posição é vecr 24 vecF2 k q q2 fraclefthatx a haty a 2 hatz 0right lefthatx 0 haty 0 hatz 0rightlefta2 a24 02 right32 1321 Nestas fórmulas escrevemos de forma totalmente exagerada termos do tipo hatz 0 e 02 somente para deixar claro de onde vem cada expressão Você não precisa fazer isto nos seus cálculos Chamamos os vetores unitários que apontam nas direções dos eixos de coordenadas de hatx haty hatz É também muito comum escrever estes vetores como hati hatj hatk A notação que usa os nomes das coordenadas tem a vantagem de poder ser aplicada da mesma forma para outros sistemas de coordenadas Por exemplo com um sistema de coordenadas esféricas r heta varphi temos analogamente vetores básicos hatr hat heta hatvarphi usando a notação com a mesma lógica Limpando as fórmulas 1320 e 1321 destas sujeiras hatz 0 e 02 obtemos vecF1 frack q q1 4a2 haty 1322 vecF2 frack q q2a2 frachatx 8 haty 4532 1323 Então a força total será vecFtotal frack qa2 lefthatx frac8 q2532 haty leftfrac4 q2532 4 q1 rightright 1324 Agora vamos imaginar que q 1 mu C q1 1 mu C e q2 1118 mu C approx 532 mu C e a 1 cm Neste caso temos vecFtotal frac9 imes 109 extN m2 imes 106 extC104 extm2 extC2 lefthatx 8 imes 106 extC haty 8 imes 106 extCright 1325 hatx 720 extN haty 720 extN O módulo desta força é vecFtotal approx 1018 extN Isto é uma força enorme Podemos concluir que uma carga de um microCoulomb é uma quantidade de carga gigante se for comparada com as cargas das nossas experiências da seção 12 É interessante comparar este módulo com a soma dos módulos das forças parciais vecF1 vecF2 approx 360 extN 805 extN 1165 extN 1326 Esta soma é consideravelmente maior que o módulo da força total Por que esta diferença Compare com o exercício E 132 Terminamos esta seção com um comentário importante A verificação experimental da lei de Coulomb feita pelo Coulomb e também a verificação muito mais precisa que conheceremos mais tarde tratam exclusivamente de cargas em repouso Então podemos supor a validade desta lei somente para este caso De fato futuramente veremos que as forças que atuam sobre cargas em movimento são consideravelmente mais complicadas 25 Exercícios E 131 Quando giramos um objeto por um ângulo α em torno de um eixo pares de pontos marcados no objeto se transformam em outros pares de pontos Cada par de pontos A B define um vetor deslocamento AB Desta maneira um giro joga vetores em vetores Esta função é linear E 132 O módulo de um vetor é uma função que associa a cada vetor um valor escalar f a a Esta função é linear E 133 f R R com f x A Bx é linear E 134 O sol considerado infinitamente distante projeta sombra de pontos marcados com pequenos objetos opacos Coletamos estas sombras num plano Um par de pontos no espaço é projetado num par de pontos no plano Desta forma podese definir uma função que mapeia vetores do espaço tridimensional para vetores no plano Esta função é linear E 135 Três cargas pontuais se encontram nos vértices de um triângulo equilátero de lado a O centro do triângulo está na origem de um sistema de coordenadas cartesianas e o plano do triângulo fica no plano x y Uma das cargas está no eixoy e as outras simetricamente nos quadrantes III e IV como mostra a figura A carga no eixoy assim como a carga no quadrante III têm o valor Q e a carga no quadrante IV tem o valor Q Calcule a força que atua sobre uma carga q na origem de coordenadas Escreva o seu resultado de forma vetorial usando a base i j k ou x y z E 136 Escreva os pontos de destaque da seção 13 01 Lei de Coulomb Escala Macro Realizar gráficos com os dados de carga e distância Isto usando os dados da simulação Enquanto mais pontos melhor o resultado Se aproximem a 50 dados Vcs podem modificar a intensidade e sinal das duas cargas Do mesmo modo a distância entre elas Escala Atômica Fazer o mesmo que na Escala Macro Utilizar prints para mostrar alguns resultados Analisar os resultados Comparar com a teoria Relatório Utilize no mínimo dois artigos nas suas referências