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1 1 Flexão Parte 2 Componente Curricular ENGN90 Mecânica dos Materiais IA Carga Horária 60 horas 6 2 Capítulo6 Flexão R C Hibbeler Pearson Education do Brasil Ty e 67 Formula Geral das Tensdes Normais na Flexaog LI Quando a teoria da flexao foi 0 Pll eixo lal apresentada falouse apenas sobre neutro on ee vigas que apfesentaram somente ia aE i eixo C superficie flexao em torno dos eixos Zou y longitudinal neutra Eixo de simetria sy LNas condicdes da figura ilustrada as sendo o eixo vertical y de simetria Soya sy o O Mi ae oe An os eixos ye Z840 principais e centrais xT IC Superficie neutra da secao transversal Eixo longitudinal L Eixos principais sao aqueles pata os quais os momentos de inércia sio maximo e minimo E se diz centrais quando tém a origem no centro de gravidade centroide da secao transversal conforme TIMOSHENKO e GERE Mecanica dos Sélidos vol 2 L No caso ilustrado nas figuras as tens6des normais devido a flex4o sao diretamente proporcionais a distancia y da fibra considerada ao eixo neutro portanto podendo utilizar a formula da Flexao Normal Simples 63 Ty e 67 Formula Geral das Tensdes Normais na Flexao L Mas tém casos que além da flex4o em relacao ao cixo z M ha flexdo em torno do eixo y M forga normal N na direcao do eixo x atuantes na seao transversal U Por exemplo quando se tém cargas transversais Pe P forga normal N onde os elxos Ze yda secao transversal sao principais e centrais e P LI Para se determinar a tensao normal causada we AD por essas forcas a formula utilizada N joy Zz anteriormente nao considera os efeitos das y forcas Ne P L Outro caso que nao se consegue determinat a tensAo normal 7 ee utilizando a formula da flexao simples é quando se trabalha e wil com eixos que nao sao principais de inércia da secao oe annem me Loe SH transversal y L Esse tipo de caso geralmente acontece quando se tem Zz secdes transversais assimétticas e utilizase os eixos x ow que nao sao principais para determinar a tensao normal 64 67 Formula Geral das Tensdes Normais na Flexao LPortanto no intuito de deduzir a equagdo geral para a teoria da flex4o considerase por exemplo um elemento de barra de uma estrutura de segao transversal qualquer onde os eixos X Ye Zsao centrais passam pelo centroide Y S41 S2 S5 s5 Y I d lAd NT ue N y N z x parma m esses ees ween ee eee Jie eee Z I I a I I I I I I I I I LIApés a deformagio temse AB ABBB ABdAd Adé o acréscimo de comprimento sofrido no trecho AB pode ser negativo ou positivo LI Algebricamente a variacao de Ad é dada pela equac4o do plano 9 LI Assim supondose os eixos centrais situados na secao Sz tal equag4o pode ser dada por a be csao constantes Ad a bz cy 65 67 Formula Geral das Tensoes Normais na Flexao Y Sy S2 Ss Y UW Da definicao da deformacgao mada Al Bi B fret longitudinal ou normal eé otc I ed aa i 1 LiL a temse ec I iH x I oi Q I of LJ Assim temse ey tpaiatpiaae ay be csa0 constantes pois dé o mesmo pata todas a C Equagao do plano de deformagoées as fibras LJ Considerandose a Lei de Hooke isto é Oy Eaz boZ Coy LI Finalmente temse O abzcy Equagao do plano de tensdes Uma vez que a b c e Esao constantes temse LI Agora considerandose um elemento diferencial de area dA na seco transversal localizado a um distancia ze y dos eixos centrais Ye Z respectivamente OLA LI Nesse elemento diferencial de area dA atua a tensao normal de tracdo o devida ao diferencial de forca dF cuja a expressao geral é dada pela equacao do plano de tens6es 66 67 Formula Geral das Tens6es Normais na Flexao LI Como se tem 3 incégnitas a be c a determinar utilizase as equacGes de equilibrio da secao que envolvem a tensao normal 4 x rh w dr 0dA abzcy dA dF pean OL EM M ydF y 0dA ya bzcy dA y A A yM M zar z0dA Zabzcy dA cc ad A A LI Sendo a be cconstantes podese escrever va iA b zdA c y dA A A A uelaf yaaso yedate yas A A A MyaJ zdatb zaac zyad A A A 67 67 Formula Geral das Tens6es Normais na Flexao LI Considerando uma primeira simplificag4o em que os eixos Ze Yda secao transversal sao centrais passam pelo centroide temse NadbQ00 NaA M cl M a0 bly ch Mblyz ch Mz bly cl Z M aQbl cl My bly clzy Substituindo o valor de 6 na equacao de My temse M cl M cl Myly Mzly clzly My aa ly Clzy My aa lyChy 4 42 2 chy Mylyz Mzly l Clyly cI2 Mzly Mylyz CIzly 12 Mzly Mylyz X UY Substituindo o valor de cna equacao de Bb temse et Me Male Malye LI I Z 7 Is oe 67 Formula Geral das Tensoes Normais na Flexao L Levando os valores de a be cna expressao da tensao normal temse N 1 aa aa 7 ean Formula Geral das Tens6es Normais x 72 7 72 A taly Iy2 taly My2 na Flexao para eixos Centrais Y LI Os sinais dos esforgos solicitantes N M e M seguem a convencao adotada ou seja Z Forca Normal WN tracao positiva Mo Momentos fletores M e M sao positivos com os seus vetores no Mk M sentido positivo dos eixos Ze Y respectivamente 69 68 Formula Geral das Tensdes Normais na Flexao para eixos Centrais Principais L Considerando novamente as exptessdes dos esforgos solicitantes temse NaAbQcQ M aQbl cl M aQ bl cl LI Considerando também uma segunda simplificag4o onde os eixos Ze Yda secao transversal além de centrais passam pelo centroide Ly 0 Q Q 0 sao principais temse M M Quando os eixos do plano da secaéo transversal sao centrais y Z e pelo menos um desse eixos possui simetria o produto de inércia J nulo portanto considerase que esses eixos ortogonais sao ptincipais L Levando os valores de a be cna expressao da tens4o normal temse 0 a bz cy N My M Formula das Tensdes Normais na Ox rm G2 7 y Z Flexao para eixos Centrais Principais eel 6 11 Os tipos de flexão podem ser considerados como Flexão Normal é quando a flexão ocorre em torno apenas de um dos eixos centrais principais Flexão Oblíqua é quando a flexão ocorre em torno de um eixo inclinado em relação aos eixos centrais com componentes Mz e My Flexão Simples é quando há somente solicitação de flexão Mz eou My e não há força Normal N 0 atuante Flexão Composta é quando além da solicitação de flexão Mz eou My a seção transversal é solicitada por força Normal N 0 Podese dizer ainda que as flexões Normal e Oblíqua se dividem em 69 Tipos de Flexao LI Considerando 0 caso geral de tensées normais na flex4o para eixos centtais principais de inércia temse N M M XA lL N0 O Eixo Neutro EN A Flexao Normal Simples FNS Mz M 0 r coincide com o eixo Ox 7 y M 0 central principal z EN o 0 Yen 0 y O Ven Zen distancia a partir dos eixos ze yao eixo neutro EM respectivamente Z EN N0 O Eixo Neutro EN M y M 0 coincide com o eixo M 0 central principal y EN EN o 0 Zen 0 ep e wz N M M 69 Tipos de Flexado Rp ouyesay Al B Flexao Normal NM N0 O Etxo Neutro EN M 0 onstante e paralelo ao Composin ENC 7a M0 Mmpleontme pane M 0 eixo central principal z NL EN o 0 Yen AM y O Ven Zen distancia a partir dos eixos ze Z yew yao eixo neutro EN respectivamente N0 O Eixo Neutro EN N M M 0 rc constante e paralelo ao EN M 0 eixo central principal y EN 0 2 Oy U ZEn Fa A My ane 69 Tipos de Flexao NM Ms x y A ly I C Flexio Obliqua v 9 72 M 0 cr M0 I My EN 0 0 Vey S371Z 7 Ven Z aztana M I y y Angulo positivo F FOS FOC rotacionar do sentido do NX ve wn eixo Z positivo patra o YEN al Ne pa sentido do eixo y positivo Z Z sentido horario O Eixo Neutro EN é eq s D Flexio Obliqua N0 ehexag Ab iiqua N My M de uma reta que nao passa Ox Zzy M O Composta FOC A I pela origem C sendo M0 inclinada em felacao aos I My NI EN 0 0 Yen M ly Z AM YEN 04 b eixos centrais principais ze y eae Exemplo 1 O elemento com secao transversal circular vazada foi projetado para resistir a um momento de 40 Nm Determine a tensao normal maxima absoluta e a tensao Solugao normal no ponto B Esboce diagrama de tenses na seao N Myl Mzlyz 7 Mylyz Fel N0 M0 M40Nm y x A Iyly 12 Ll Gz 0 1 0 7 50 ming may cee 08m SIN Ox Flexao Normal Simples FNS Zz 7 Er m GOmm GOmm T 4272566 01 mm od Jf Zz 4 4 4 40000 Nmm 50 mm 2000000 Nmm 047 Nmm i abs 597556601 man 4272566 01 me 047 Nmm O max abs 4272566 01 mm4 4272566 01 mm O max Abs 047 MPa 40000 N Vista lateral da secao o 40000 Nm m o 00094 y y 427256601 mm oS 047 MPa y 30mm OxB 028 MPa Tensdo de of 028 MPa y50mm OS max 047 MPa Meese seer ren y o0 y c o Tens4o no eixo neutro EN ot 028 MPa y30mm mm o 028MPa y50mm mm Ohamsx 047MPa ll a ox 047 MPa ah y 610 Exemplo de Aplicacao 2 Uma viga com secao Z ilustrada na figura é Z 300 mm submetida ao momento fletor M 20 kN m Pedese construir o diagrama de tensdes normais 100 mm na flexao indicando as tensdes normais maximas bo i 300 mm e a orientacao do eixo neutro rt 100 mm 1 Os eixos sao centrais V 400mm ot 100 mm LI Os eixo ze yn4o sao de simetria mas o ponto C é um centro Qy zdA Qy ZA de simetria por essa tazao posso dizer que o centroide se localiza nesse ponto Logo se diz que so eixos centrais Zy0 Qy Q0 Uma area é simétrica em relacao a um centro C se para cada elemento de superficie dA de coordenadas ze y existir um elemento dA de igual area com coordenadas z e y mesmas distancias em modulo sendo que a distancia entre essas areas passa pelo C ao y 610 Exemplo de Aplicacao 2 of 2 Os eixos sao principais 300 mm L Como os eixo Zz e y nao sao de simetria se sre 100 mm portanto nao sao principais de inércia dessa forma o produto de inércia L 0 mod Hot 300 mm L Tem duas maneiras de resolver esse exemplo 100 mm os 400mm 100 mm Solucao 1 adotar os eixos centrais ze ye utilizar a equacao geral de tensdes dada por N MyI MZI Myly MzI ote 52 2 Mote y A ly I Igly 12 eat so 610 Exemplo de Aplicacao 2 yf Solucdo 2 Fazer uma rotacao dos eixos EN 300 mm centrais ze ye determinar os eixos principais aaa ze y de tal forma que 0 podendo 7 SS 100 mm en eS usat a equacao de tens6es dada por Z N My Mz 3 300 mm Ox 7A 77 7 y z 100 min Q Equacio para determinacio da diregdo dos 400mmotae eixos principais I ly a UO Equacao para determinacao dos 5 toe I 1 II momentos de inércia principais Imaxmin 2 a Ze 1 In Localizacao do eixo neutro EN fana 7tan 6m I aT y 610 Exemplo de Aplicacao 2 of 1 LI Adotando a Solugio 1 300 mm V1 N Pe wpe Pe ee 4 Z 2 CM Tagg mm x A Ly Tp LL yz 4 J N0 300 mm My 0 100 mm 3 M 20kNm 20 x 10Nmm 400mm 100 mm M1 MI1 y y o a 73 a 2 BD Qualo tipo de Flexio Z Z L Momento de Inércia em relacao ao eixo z I Flexao Obliqua Simples FOS 100 x 3003 5 L14y ny 5 100 x 300 x 200 71 1425 x 10 mm 3 L I tho tle 7 000 100 7 05 x 108mm Z2 12 100 x 3008 I 29 x 108mm La 3 100 x 300 x 200 13 1425 x 10mm 619 610 Exemplo de Aplicacao 2 y LI Solugdot Mzlyz Mzly y wenden ILL 12 Ll 12 zy 300 mm LI Momento de Inércia em relacao ao eixo y Z 100 mm ly Iy4 ly2 Iy3 L 56 x 108mm Zz 300 mm 1 1 3 100 mm 300 x 100 tt a 2 400 mm ly 1900 x 10mm 3 yp e fin 1800 x 10 mm y 12 300 x 100 lyg G5 300 x 100 x 250 Iya 1900 x 10 mm ee 610 Exemplo de Aplicacao 2 y L Produto de Inércia em relac4o aos eixos Zy L 1 Z4 300 mm ly Ipy FAZV Izy lay Ieyn t Leys ly 15 x 10015 x 10 Ct 100mm Ly 30 x 10mm po Tt Y Iyy1 0 100 x 300 x 250 x 200 Izy 15 X10mm Z 300 mm im 3 Inyz 0 600 x 100 x0 x0 100 mn ad 400mm 100 mm ly3 0 100 x 300 x 250 x 200 Ly3 15 x 108mm Mylyz Mzly A equacao do plano de tensGes é dada por jo Zz y IL 12 IL 12 20 x 10 x 30 x 108 20 x 10 x 56 x 108 x 1029 x 108 x 56 x 108 30 x 108229 x 108 x 56 x 108 30 x 1082 Oy 8287 x 104z 15470 x 10ty Cea y 610 Exemplo de Aplicacao 2 voces ceececeeeeeeeees LJ Solucao 1 300 mm EN A equacao do EN é dada por EN 0 0 Z 0 8287 X 104z 154 70 x 10y 100 mm 0 8287 x 1074z 154 70 x 10ygy i 300 mm 8287 x 104 im Yen 2 TZ EN 05357Z 100 mim 4 7 15470 x 10 400mm 100 mm momen a Orientacio do EN é dada por tanaa tana05357 a tan05357 a 2818 Angulo positivo rotacionar do sentido do eixo z positivo para o sentido do eixo y positivo sentido horario Ep 610 Exemplo de Aplicacao 2 0 8287 x 10z 154 70 x 10y UL Solucdo 1 Diagrama de tensGes normais maximas e Tracar O EN EN 05357Z PontoAz0 VEN 0 a 2818 PontoB z 300mm yey 16071mm oe y Tensdes Normais Me D Ponto D z 200mm y 350mm EN Mea Le 300 mm BY a ma Ponto E z 200mm y 350mm y ST fe a ins 400mm Oxmax 3 76 MPa Oxmin an 0 mm 376 MPa 100 mm Pa h t E tote J t 400 mm 100 min 376 MPa Ponto F z 300mm y 50mm oy 326 MPa ee Exemplo 3 y 200 mm Uma viga em Jesta sujeita a um momento fletor My to My 30 M 15 kNm Determine a tensao normal o 30mm Z C maxima na viga e a orientagao do eixo neutro M 2 100 mm Esboce o diagrama de tensao normal t o N Pe en 7 Pt a 40 mm A Iplpeslg Iplpmeslg YY Z 200 0 tZy 1 lye 30 mm Z C a Componentes do momento sao dadas por Yi 47 100 mm M 15cos 30 1299 kNm 2 Y y y2 M 15 sen 30 750 kKNm 44 fb od r 4 Para propriedades da seco temse 40 mm Z100mm 7 uvA 7 200 x 30x 11540x100x50 6 LA 200 x 30 40 x 100 ey Exemplo 3 I 1392 x 10mm 200 mm Ip les 1 l I 1 Ay z Ia t Iz2 41 mm My 30mm 200 x 302 7 C lL 200 x 30 x 130 89 15 M 12 Zz 100 mm I 4506 x 10mm i sd Lo 40 x 100 40 x 100 x 89 50 mm Z2 12 y lg 9417 x 10mm 2 100 300 mm Ly ly Ty2 1 2053 x 10mm4 30 mm Z 1 Cc 200 x 30 Y2 ly a 200 x 30 x 0 yr 200 x 10mm 2 7 g89 00mm 403 x 100 40 n lyz za 40 x 100 x 0 I 0533 x 10mm4 625 Exemplo 3 L 1392 x 10mm M M 15cos 30 1299 kNm Oy 77 Z Mi ispena07504Nm S205 1299 x 10 75 x 10 Ox 2053 x 10 a 1392 x 10 y Flexao Obliqua Simples FOS A equacao do EN é dada por EN 0 0 0 6327 x 102z 5388x 10y 0 6327 x 102z 5388 x 102y O Eixo Neutro EN é eq de uma reta que EN passa pela origem sendo inclinada em relacao 6327 x 107 YEN 5388x102 en 11742 aos e1xos centrais Ze Yy Orientacao do EN é dada por tanaa tana 1174 a tan1174 a 4958 Angulo a positivo rotacionar do sentido do eixo z positivo para o sentido do eixo y positivo sentido horario ya Exemplo 3 Diagrama de tensoes normais maximas e Tracat o EN Ven 11742z EN ws a 4958 PontoA z0 yey 0 me Ponto B z 20mm yey 2348 mm ws Mo y a 200 ane Tensdes Normais a Dy E 41 mm npel 2 ae 30 mm 0 6327 x 102z 5388x 102y 89 mm 106mm Ponto D z100mm y 41mm F Be 6 4118 MPa e 4 40x ee 8536 MPa N OQ Ponto E z100mm y 41mm 6061 mPaw Cymax 8536 MPa Oymin Ponto G z 100mm y 11mm Ponto F z 20mm y 89 mm 6 5734MPa Fxmax 6061 MPa ey 6 28 Resolver os seguintes exercícios do capítulo 6 Flexão do livro texto Resistência dos Materiais 7a ed R C Hibbeler Pág 222 Prob 6102 6104 e 6105 Pág 223 Prob 6108 6110 Pág 224 Prob 6112 Flexão Assimétrica
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1 1 Flexão Parte 2 Componente Curricular ENGN90 Mecânica dos Materiais IA Carga Horária 60 horas 6 2 Capítulo6 Flexão R C Hibbeler Pearson Education do Brasil Ty e 67 Formula Geral das Tensdes Normais na Flexaog LI Quando a teoria da flexao foi 0 Pll eixo lal apresentada falouse apenas sobre neutro on ee vigas que apfesentaram somente ia aE i eixo C superficie flexao em torno dos eixos Zou y longitudinal neutra Eixo de simetria sy LNas condicdes da figura ilustrada as sendo o eixo vertical y de simetria Soya sy o O Mi ae oe An os eixos ye Z840 principais e centrais xT IC Superficie neutra da secao transversal Eixo longitudinal L Eixos principais sao aqueles pata os quais os momentos de inércia sio maximo e minimo E se diz centrais quando tém a origem no centro de gravidade centroide da secao transversal conforme TIMOSHENKO e GERE Mecanica dos Sélidos vol 2 L No caso ilustrado nas figuras as tens6des normais devido a flex4o sao diretamente proporcionais a distancia y da fibra considerada ao eixo neutro portanto podendo utilizar a formula da Flexao Normal Simples 63 Ty e 67 Formula Geral das Tensdes Normais na Flexao L Mas tém casos que além da flex4o em relacao ao cixo z M ha flexdo em torno do eixo y M forga normal N na direcao do eixo x atuantes na seao transversal U Por exemplo quando se tém cargas transversais Pe P forga normal N onde os elxos Ze yda secao transversal sao principais e centrais e P LI Para se determinar a tensao normal causada we AD por essas forcas a formula utilizada N joy Zz anteriormente nao considera os efeitos das y forcas Ne P L Outro caso que nao se consegue determinat a tensAo normal 7 ee utilizando a formula da flexao simples é quando se trabalha e wil com eixos que nao sao principais de inércia da secao oe annem me Loe SH transversal y L Esse tipo de caso geralmente acontece quando se tem Zz secdes transversais assimétticas e utilizase os eixos x ow que nao sao principais para determinar a tensao normal 64 67 Formula Geral das Tensdes Normais na Flexao LPortanto no intuito de deduzir a equagdo geral para a teoria da flex4o considerase por exemplo um elemento de barra de uma estrutura de segao transversal qualquer onde os eixos X Ye Zsao centrais passam pelo centroide Y S41 S2 S5 s5 Y I d lAd NT ue N y N z x parma m esses ees ween ee eee Jie eee Z I I a I I I I I I I I I LIApés a deformagio temse AB ABBB ABdAd Adé o acréscimo de comprimento sofrido no trecho AB pode ser negativo ou positivo LI Algebricamente a variacao de Ad é dada pela equac4o do plano 9 LI Assim supondose os eixos centrais situados na secao Sz tal equag4o pode ser dada por a be csao constantes Ad a bz cy 65 67 Formula Geral das Tensoes Normais na Flexao Y Sy S2 Ss Y UW Da definicao da deformacgao mada Al Bi B fret longitudinal ou normal eé otc I ed aa i 1 LiL a temse ec I iH x I oi Q I of LJ Assim temse ey tpaiatpiaae ay be csa0 constantes pois dé o mesmo pata todas a C Equagao do plano de deformagoées as fibras LJ Considerandose a Lei de Hooke isto é Oy Eaz boZ Coy LI Finalmente temse O abzcy Equagao do plano de tensdes Uma vez que a b c e Esao constantes temse LI Agora considerandose um elemento diferencial de area dA na seco transversal localizado a um distancia ze y dos eixos centrais Ye Z respectivamente OLA LI Nesse elemento diferencial de area dA atua a tensao normal de tracdo o devida ao diferencial de forca dF cuja a expressao geral é dada pela equacao do plano de tens6es 66 67 Formula Geral das Tens6es Normais na Flexao LI Como se tem 3 incégnitas a be c a determinar utilizase as equacGes de equilibrio da secao que envolvem a tensao normal 4 x rh w dr 0dA abzcy dA dF pean OL EM M ydF y 0dA ya bzcy dA y A A yM M zar z0dA Zabzcy dA cc ad A A LI Sendo a be cconstantes podese escrever va iA b zdA c y dA A A A uelaf yaaso yedate yas A A A MyaJ zdatb zaac zyad A A A 67 67 Formula Geral das Tens6es Normais na Flexao LI Considerando uma primeira simplificag4o em que os eixos Ze Yda secao transversal sao centrais passam pelo centroide temse NadbQ00 NaA M cl M a0 bly ch Mblyz ch Mz bly cl Z M aQbl cl My bly clzy Substituindo o valor de 6 na equacao de My temse M cl M cl Myly Mzly clzly My aa ly Clzy My aa lyChy 4 42 2 chy Mylyz Mzly l Clyly cI2 Mzly Mylyz CIzly 12 Mzly Mylyz X UY Substituindo o valor de cna equacao de Bb temse et Me Male Malye LI I Z 7 Is oe 67 Formula Geral das Tensoes Normais na Flexao L Levando os valores de a be cna expressao da tensao normal temse N 1 aa aa 7 ean Formula Geral das Tens6es Normais x 72 7 72 A taly Iy2 taly My2 na Flexao para eixos Centrais Y LI Os sinais dos esforgos solicitantes N M e M seguem a convencao adotada ou seja Z Forca Normal WN tracao positiva Mo Momentos fletores M e M sao positivos com os seus vetores no Mk M sentido positivo dos eixos Ze Y respectivamente 69 68 Formula Geral das Tensdes Normais na Flexao para eixos Centrais Principais L Considerando novamente as exptessdes dos esforgos solicitantes temse NaAbQcQ M aQbl cl M aQ bl cl LI Considerando também uma segunda simplificag4o onde os eixos Ze Yda secao transversal além de centrais passam pelo centroide Ly 0 Q Q 0 sao principais temse M M Quando os eixos do plano da secaéo transversal sao centrais y Z e pelo menos um desse eixos possui simetria o produto de inércia J nulo portanto considerase que esses eixos ortogonais sao ptincipais L Levando os valores de a be cna expressao da tens4o normal temse 0 a bz cy N My M Formula das Tensdes Normais na Ox rm G2 7 y Z Flexao para eixos Centrais Principais eel 6 11 Os tipos de flexão podem ser considerados como Flexão Normal é quando a flexão ocorre em torno apenas de um dos eixos centrais principais Flexão Oblíqua é quando a flexão ocorre em torno de um eixo inclinado em relação aos eixos centrais com componentes Mz e My Flexão Simples é quando há somente solicitação de flexão Mz eou My e não há força Normal N 0 atuante Flexão Composta é quando além da solicitação de flexão Mz eou My a seção transversal é solicitada por força Normal N 0 Podese dizer ainda que as flexões Normal e Oblíqua se dividem em 69 Tipos de Flexao LI Considerando 0 caso geral de tensées normais na flex4o para eixos centtais principais de inércia temse N M M XA lL N0 O Eixo Neutro EN A Flexao Normal Simples FNS Mz M 0 r coincide com o eixo Ox 7 y M 0 central principal z EN o 0 Yen 0 y O Ven Zen distancia a partir dos eixos ze yao eixo neutro EM respectivamente Z EN N0 O Eixo Neutro EN M y M 0 coincide com o eixo M 0 central principal y EN EN o 0 Zen 0 ep e wz N M M 69 Tipos de Flexado Rp ouyesay Al B Flexao Normal NM N0 O Etxo Neutro EN M 0 onstante e paralelo ao Composin ENC 7a M0 Mmpleontme pane M 0 eixo central principal z NL EN o 0 Yen AM y O Ven Zen distancia a partir dos eixos ze Z yew yao eixo neutro EN respectivamente N0 O Eixo Neutro EN N M M 0 rc constante e paralelo ao EN M 0 eixo central principal y EN 0 2 Oy U ZEn Fa A My ane 69 Tipos de Flexao NM Ms x y A ly I C Flexio Obliqua v 9 72 M 0 cr M0 I My EN 0 0 Vey S371Z 7 Ven Z aztana M I y y Angulo positivo F FOS FOC rotacionar do sentido do NX ve wn eixo Z positivo patra o YEN al Ne pa sentido do eixo y positivo Z Z sentido horario O Eixo Neutro EN é eq s D Flexio Obliqua N0 ehexag Ab iiqua N My M de uma reta que nao passa Ox Zzy M O Composta FOC A I pela origem C sendo M0 inclinada em felacao aos I My NI EN 0 0 Yen M ly Z AM YEN 04 b eixos centrais principais ze y eae Exemplo 1 O elemento com secao transversal circular vazada foi projetado para resistir a um momento de 40 Nm Determine a tensao normal maxima absoluta e a tensao Solugao normal no ponto B Esboce diagrama de tenses na seao N Myl Mzlyz 7 Mylyz Fel N0 M0 M40Nm y x A Iyly 12 Ll Gz 0 1 0 7 50 ming may cee 08m SIN Ox Flexao Normal Simples FNS Zz 7 Er m GOmm GOmm T 4272566 01 mm od Jf Zz 4 4 4 40000 Nmm 50 mm 2000000 Nmm 047 Nmm i abs 597556601 man 4272566 01 me 047 Nmm O max abs 4272566 01 mm4 4272566 01 mm O max Abs 047 MPa 40000 N Vista lateral da secao o 40000 Nm m o 00094 y y 427256601 mm oS 047 MPa y 30mm OxB 028 MPa Tensdo de of 028 MPa y50mm OS max 047 MPa Meese seer ren y o0 y c o Tens4o no eixo neutro EN ot 028 MPa y30mm mm o 028MPa y50mm mm Ohamsx 047MPa ll a ox 047 MPa ah y 610 Exemplo de Aplicacao 2 Uma viga com secao Z ilustrada na figura é Z 300 mm submetida ao momento fletor M 20 kN m Pedese construir o diagrama de tensdes normais 100 mm na flexao indicando as tensdes normais maximas bo i 300 mm e a orientacao do eixo neutro rt 100 mm 1 Os eixos sao centrais V 400mm ot 100 mm LI Os eixo ze yn4o sao de simetria mas o ponto C é um centro Qy zdA Qy ZA de simetria por essa tazao posso dizer que o centroide se localiza nesse ponto Logo se diz que so eixos centrais Zy0 Qy Q0 Uma area é simétrica em relacao a um centro C se para cada elemento de superficie dA de coordenadas ze y existir um elemento dA de igual area com coordenadas z e y mesmas distancias em modulo sendo que a distancia entre essas areas passa pelo C ao y 610 Exemplo de Aplicacao 2 of 2 Os eixos sao principais 300 mm L Como os eixo Zz e y nao sao de simetria se sre 100 mm portanto nao sao principais de inércia dessa forma o produto de inércia L 0 mod Hot 300 mm L Tem duas maneiras de resolver esse exemplo 100 mm os 400mm 100 mm Solucao 1 adotar os eixos centrais ze ye utilizar a equacao geral de tensdes dada por N MyI MZI Myly MzI ote 52 2 Mote y A ly I Igly 12 eat so 610 Exemplo de Aplicacao 2 yf Solucdo 2 Fazer uma rotacao dos eixos EN 300 mm centrais ze ye determinar os eixos principais aaa ze y de tal forma que 0 podendo 7 SS 100 mm en eS usat a equacao de tens6es dada por Z N My Mz 3 300 mm Ox 7A 77 7 y z 100 min Q Equacio para determinacio da diregdo dos 400mmotae eixos principais I ly a UO Equacao para determinacao dos 5 toe I 1 II momentos de inércia principais Imaxmin 2 a Ze 1 In Localizacao do eixo neutro EN fana 7tan 6m I aT y 610 Exemplo de Aplicacao 2 of 1 LI Adotando a Solugio 1 300 mm V1 N Pe wpe Pe ee 4 Z 2 CM Tagg mm x A Ly Tp LL yz 4 J N0 300 mm My 0 100 mm 3 M 20kNm 20 x 10Nmm 400mm 100 mm M1 MI1 y y o a 73 a 2 BD Qualo tipo de Flexio Z Z L Momento de Inércia em relacao ao eixo z I Flexao Obliqua Simples FOS 100 x 3003 5 L14y ny 5 100 x 300 x 200 71 1425 x 10 mm 3 L I tho tle 7 000 100 7 05 x 108mm Z2 12 100 x 3008 I 29 x 108mm La 3 100 x 300 x 200 13 1425 x 10mm 619 610 Exemplo de Aplicacao 2 y LI Solugdot Mzlyz Mzly y wenden ILL 12 Ll 12 zy 300 mm LI Momento de Inércia em relacao ao eixo y Z 100 mm ly Iy4 ly2 Iy3 L 56 x 108mm Zz 300 mm 1 1 3 100 mm 300 x 100 tt a 2 400 mm ly 1900 x 10mm 3 yp e fin 1800 x 10 mm y 12 300 x 100 lyg G5 300 x 100 x 250 Iya 1900 x 10 mm ee 610 Exemplo de Aplicacao 2 y L Produto de Inércia em relac4o aos eixos Zy L 1 Z4 300 mm ly Ipy FAZV Izy lay Ieyn t Leys ly 15 x 10015 x 10 Ct 100mm Ly 30 x 10mm po Tt Y Iyy1 0 100 x 300 x 250 x 200 Izy 15 X10mm Z 300 mm im 3 Inyz 0 600 x 100 x0 x0 100 mn ad 400mm 100 mm ly3 0 100 x 300 x 250 x 200 Ly3 15 x 108mm Mylyz Mzly A equacao do plano de tensGes é dada por jo Zz y IL 12 IL 12 20 x 10 x 30 x 108 20 x 10 x 56 x 108 x 1029 x 108 x 56 x 108 30 x 108229 x 108 x 56 x 108 30 x 1082 Oy 8287 x 104z 15470 x 10ty Cea y 610 Exemplo de Aplicacao 2 voces ceececeeeeeeeees LJ Solucao 1 300 mm EN A equacao do EN é dada por EN 0 0 Z 0 8287 X 104z 154 70 x 10y 100 mm 0 8287 x 1074z 154 70 x 10ygy i 300 mm 8287 x 104 im Yen 2 TZ EN 05357Z 100 mim 4 7 15470 x 10 400mm 100 mm momen a Orientacio do EN é dada por tanaa tana05357 a tan05357 a 2818 Angulo positivo rotacionar do sentido do eixo z positivo para o sentido do eixo y positivo sentido horario Ep 610 Exemplo de Aplicacao 2 0 8287 x 10z 154 70 x 10y UL Solucdo 1 Diagrama de tensGes normais maximas e Tracar O EN EN 05357Z PontoAz0 VEN 0 a 2818 PontoB z 300mm yey 16071mm oe y Tensdes Normais Me D Ponto D z 200mm y 350mm EN Mea Le 300 mm BY a ma Ponto E z 200mm y 350mm y ST fe a ins 400mm Oxmax 3 76 MPa Oxmin an 0 mm 376 MPa 100 mm Pa h t E tote J t 400 mm 100 min 376 MPa Ponto F z 300mm y 50mm oy 326 MPa ee Exemplo 3 y 200 mm Uma viga em Jesta sujeita a um momento fletor My to My 30 M 15 kNm Determine a tensao normal o 30mm Z C maxima na viga e a orientagao do eixo neutro M 2 100 mm Esboce o diagrama de tensao normal t o N Pe en 7 Pt a 40 mm A Iplpeslg Iplpmeslg YY Z 200 0 tZy 1 lye 30 mm Z C a Componentes do momento sao dadas por Yi 47 100 mm M 15cos 30 1299 kNm 2 Y y y2 M 15 sen 30 750 kKNm 44 fb od r 4 Para propriedades da seco temse 40 mm Z100mm 7 uvA 7 200 x 30x 11540x100x50 6 LA 200 x 30 40 x 100 ey Exemplo 3 I 1392 x 10mm 200 mm Ip les 1 l I 1 Ay z Ia t Iz2 41 mm My 30mm 200 x 302 7 C lL 200 x 30 x 130 89 15 M 12 Zz 100 mm I 4506 x 10mm i sd Lo 40 x 100 40 x 100 x 89 50 mm Z2 12 y lg 9417 x 10mm 2 100 300 mm Ly ly Ty2 1 2053 x 10mm4 30 mm Z 1 Cc 200 x 30 Y2 ly a 200 x 30 x 0 yr 200 x 10mm 2 7 g89 00mm 403 x 100 40 n lyz za 40 x 100 x 0 I 0533 x 10mm4 625 Exemplo 3 L 1392 x 10mm M M 15cos 30 1299 kNm Oy 77 Z Mi ispena07504Nm S205 1299 x 10 75 x 10 Ox 2053 x 10 a 1392 x 10 y Flexao Obliqua Simples FOS A equacao do EN é dada por EN 0 0 0 6327 x 102z 5388x 10y 0 6327 x 102z 5388 x 102y O Eixo Neutro EN é eq de uma reta que EN passa pela origem sendo inclinada em relacao 6327 x 107 YEN 5388x102 en 11742 aos e1xos centrais Ze Yy Orientacao do EN é dada por tanaa tana 1174 a tan1174 a 4958 Angulo a positivo rotacionar do sentido do eixo z positivo para o sentido do eixo y positivo sentido horario ya Exemplo 3 Diagrama de tensoes normais maximas e Tracat o EN Ven 11742z EN ws a 4958 PontoA z0 yey 0 me Ponto B z 20mm yey 2348 mm ws Mo y a 200 ane Tensdes Normais a Dy E 41 mm npel 2 ae 30 mm 0 6327 x 102z 5388x 102y 89 mm 106mm Ponto D z100mm y 41mm F Be 6 4118 MPa e 4 40x ee 8536 MPa N OQ Ponto E z100mm y 41mm 6061 mPaw Cymax 8536 MPa Oymin Ponto G z 100mm y 11mm Ponto F z 20mm y 89 mm 6 5734MPa Fxmax 6061 MPa ey 6 28 Resolver os seguintes exercícios do capítulo 6 Flexão do livro texto Resistência dos Materiais 7a ed R C Hibbeler Pág 222 Prob 6102 6104 e 6105 Pág 223 Prob 6108 6110 Pág 224 Prob 6112 Flexão Assimétrica