Formulación Lagrangiana

• Formulación lagrangiana.\nGrado de\nLibertad\nCoordenda\nGeneralizada\nqⁱ(t)\nNo tiene\nporqué hacer\nreferencia a\nun punto ma-\nterial\nSe introduce el concepto\nde velocidad generalizada\nmediante la siguiente\ndefinición:\nq̇ⁱ(t) = d qⁱ(t)\n\ndt 2\nTodo sistema físico tiene una cantidad\nfundamental llamada acción, la cual\nes una funcional definida, por\nS = ∫ dt L (qⁱ(t), q̇ⁱ(t))\nL es la función lagrangiana del sistema. En problemas elementales se\ndefine por\n\nL (q, q̇) = T - V\ndonde T = energía cinética\nV = energía potencial\npero esta no es la definición más\ngeneral ni la más útil. A un nivel\nmás fundamental, L debe ser definida\nmediante criterios de simetría:\n\n∫ L (qⁱ(t), q̇ⁱ(t)) = Expresión más ge\nneral consistente\ncon los grupos de\nsimetría del sistema.\nDebe ser un invariante\nbajo transformaciones\nde los grupos de simetría. 3\nlas coordenadas qⁱ(t) definen el llano\nespacio de configuración\n\nqⁱ\nEl sistema evoluciona con el tiempo de\nacuerdo con el principio de Hamilton, el\ncual establece que la trayectoria se\nguía es tal que hace extrema a\nla acción:\n\nδS[q] = 0,\ncon los puntos 1 q²\nfijos durante la\nvariación.\nLa variación de S está dada por\nδS = ∫² dt δ qⁱ(t) δ S\nδ qⁱ(t) = 0,\nesto es,\n\nδ S\nδ qⁱ(t) = 0\nrepresenta las ecuaciones de movimiento. Tomando en cuenta que\nS = ∫² dt L(qⁱ(t), \u0302qⁱ(t))\ny notando que L solo depende de\nlas qⁱ y sus primeras derivadas,\npodemos escribir\n\n∂S\n∂qⁱ(t) = ( \n ∂\n∂qⁱ - d dt \n ∂\n∂\u0302qⁱ ) L = 0,\n\nesto es,\n\nd dt ( ∂L ∂\u0302qⁱ ) = ∂L ∂qⁱ\n\nEcuaciones\nde\nLagrange.\n\nEl estado de un sistema físico a un tiempo\nt está dado por\n( qⁱ(t), \u0302qⁱ(t), ... )\nEntonces\n\nδS = 0 ⇒ { d dt ( ∂L ∂qⁱ ) = ∂L ∂qⁱ \} ⇒ { (q(t₀), \u0302q(t₀)) } ⇒ { El estado a\ntiempo t } En la formulación lagrangiana, toda observable A es\nuna función de las coordenadas y velocidades.\nA = A( qⁱ(t), \u0302qⁱ(t) )\n\nesto es, con funciones en el mismo sentido que la\nlagrangiana.\n\nAsí, el conocimiento de las qⁱ(t) y las \u0302qⁱ(t)\na todo tiempo permite conocer con certeza el\nvalor de A a ese instante. Aunque no necesita\nA puede representar alguna necesidad física de interés experimental, como, por\nejemplo, la energía, el momento angular, etc.\nMás adelante se hará evidente que una observable física está restringida a satisfacer\nfuertes requerimientos que se derivan de las\nsimetrías del sistema. Este hecho adquiere un\nsignificado altamente no trivial en el contexto\nde la teoría cuántica.\n\nPor otra parte, conviene mencionar que si bien\nes cierto la identificación de los grados de libertad de un sistema de n partículas es tan-\n\nno siempre es el más adecuado. Por ejemplo, si\nel sistema tiene simetría esférica no son los\ncoordenadas cartesianas las más apropiadas,\nsino las esféricas.