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Unidade de Aprendizagem 16 Geometria Espacial Sólidos Redondos 1 Cilindro reto Os sólidos redondos são sólidos geométricos que possuem superfícies arredondadas Os sólidos geométricos redondos são o cilindro o cone e a esfera O cilindro é uma figura geométrica que possui dois círculos com raios de medidas equivalentes e posicionados em planos paralelos Essa figura 1 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 arredondada ainda apresenta o mesmo diâmetro ao longo de todo o seu comprimento O cilindro é gerado pela rotação de um paralelogramo retângulo Na imagem abaixo podemos ver o cilindro sendo gerado pela rotação de um retângulo g é a geratriz do cilindro que é igual a altura h do cilindro e as bases são círculos 2 Área do cilindro Área da base do cilindro Como a base é um círculo de raio r devemos usar a fórmula Ab r2 para π encontrar a área da base 2 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Área lateral do cilindro A área lateral pode ser visualizada a partir da planificação do cilindro Com ela decomposta é possível visualizar um retângulo e dois círculos Nesse cálculo utilizamos a seguinte fórmula AL 2 r h Veja que 2 r é o π π comprimento da circunferência da base do cilindro e que na planificação passa ser a base do retângulo AL 2 r h π AL área lateral r raio do círculo h altura 3 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Área total do cilindro A área total do cilindro é a soma da área das duas bases circulares e da área lateral AT 2 r2 2 r h π π Exemplo Dado um cilindro reto com 20 cm de altura e raio da base de 4 cm Qual o valor da área total dessa figura AT 2 r2 2 r h π π AT 2 42 2 4 20 π π AT 2 16 8 20 π π AT 32 π 160 π AT 192 cm2 π 4 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 3 Volume do cilindro O volume do cilindro é dado pelo produto da área da base circular multiplicada por sua altura V Ab h ou V r² h π Exemplo Dado um cilindro que possui base com raio de 2m e altura de 4 m Qual o volume dessa figura V r² h π V 2² 4 π V 4 16 m3 4 π π 5 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 4 Cone Reto O cone é um sólido caracterizado por ter um círculo como base Esse sólido geométrico é construído a partir da rotação de um triângulo Um cone pode ser reto quando a sua altura fica no centro da circunferência que forma a base ou oblíquo quando a sua altura não coincide com o centro da base 5 Área do cone reto A área do cone faz referência à medida da superfície dessa figura geométrica espacial Lembrese que o cone é um sólido geométrico com uma base circular e uma ponta a qual é chamada de vértice Chamamos g de geratriz do cone h altura do cone e r raio da base 6 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Área da Base AB πr2 Onde AB área da base π pi 314 r raio Área Lateral AL πrg Onde AL área lateral π pi 314 r raio g geratriz A geratriz corresponde a medida da lateral do cone Formada por qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice e a outra na base ela é calculada pela fórmula g2 h2 r2 sendo h a altura do cone e r o raio 7 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Área Total At πrg πr2 Onde At área total π pi 314 r raio g geratriz 6 Volume do cone reto O volume do cone é a terça parte da multiplicação entre a área da base e a altura Como a base é sempre um círculo podemos calcular a área da base por Ab π r² 8 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 17 Esfera Área da superfície esférica A área da esfera é encontrada pela fórmula A 4пr2 Volume da Esfera O volume da esfera é encontrada pela fórmula V 4 пR3 3 9 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Unidade de Aprendizagem 17 Geometria Analítica Ponto 1 Sistema Cartesiano Ortogonal Plano Cartesiano Plano cartesiano ou sistema cartesiano ortogonal é um sistema de coordenadas constituído por dois eixos perpendiculares O eixo horizontal é 1 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 chamado de eixo das abscissas x e o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas y O sistema Cartesiano Ortogonal é dividido em quatro quadrantes Eixo das ordenadas e Eixo das abscissas Identificado com a letra y o eixo da ordenadas é a reta vertical do plano cartesiano Se olharmos bem veremos que ambos os eixos são escalas 2 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 numéricas Para cima do ponto 0 os números nessa escala são positivos Para baixo negativos Identificado com a letra x o eixo das abscissas é a reta horizontal do plano cartesiano Para a direita os números na escala numérica são positivos Para a esquerda negativos Ponto 00 é chamado de origem tratase do ponto exato onde as duas retas se encontram formando um ângulo reto Coordenadas são pares ordenados xy que dão a exata localização de um ponto no plano cartesiano Assim cada ponto no plano é determinado a partir de um par de informações Dáse o nome de par ordenado a esse conjunto constituído por dois números reais que representam valores nos dois eixos e nos fornecem a exata localização de um ponto no plano O primeiro valor do par é a abscissa x O segundo a ordenada y Qualquer ponto no quadrante 1 Q1 terá coordenadas x e y positivas O quadrante 2 Q2 é formado por pontos em que a coordenada x é positiva e y negativa O terceiro quadrante Q3 é constituído pelos pontos formados por coordenadas x e y negativas Já o quarto quadrante Q4 tem a coordenada x positiva e y negativa 3 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Exemplos Sejam os pontos representados no Sistema Cartesiano Ortogonal Quando o ponto está sobre um dos quadrantes basta traçar duas linhas uma delas vertical partindo do ponto até encontrar o eixo x outra horizontal partindo do ponto até encontrar o eixo y A13 E3 1 Quando o ponto está sobre o eixo x terá a representação x 0 Quando o ponto está sobre o eixo y terá a representação 0y Ponto sobre o x D 40 Ponto sobre o eixo y B0 2 Também é possível descobrir a localização de um ponto no plano cartesiano a partir das coordenadas Basta traçar duas retas uma partindo do eixo x outra do eixo y O encontro entre as duas retas é o ponto 4 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Temos os seguintes pares ordenados 34 41 33 e 23 Esses pares determinam pontos no plano cartesiano Note que cada um deles está localizado dentro de um dos quatro quadrantes Em Q1 temos 34 ou seja coordenada 3 no eixo das abscissas x e coordenada 4 no eixo das ordenadas y Em Q2 temos 41 Em Q3 33 Em Q4 23 5 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 2 Distância entre dois pontos a Os pontos têm a mesma ordenada 1 e o segmento de reta AB é paralelo ao eixo x A distância entre os pontos A e B é dada pela diferença das abscissas 3 1 2 unidades b Os pontos têm a mesma abscissa 3 e o segmento de reta AB é paralelo ao eixo y A distância entre os pontos A e B é dada pela diferença das abscissas 3 2 3 2 5 unidades c O segmento de reta AB dado por d AB não é paralelo aos eixos 6 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Calcular a distância entre os pontos P 3 11 e Q 2 1 Perceba que na fórmula devemos subtrair os valores das abscissas de cada ponto e em seguida elevar ao quadrado e o mesmo deve acontecer com os valores das ordenadas Assim Exercício 7 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Calcule os lados do triângulo retângulo Lado AP d AP 4 2 4 2 6 Lado BP d BP 1 2 1 2 3 Lado AB Devemos usar a fórmula dAB 2 1 2 2 4 2 3 2 6 2 9 36 45 8 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 3 Ponto Médio entre dois pontos dados Como determinar o ponto médio M xm ym entre os pontos P xp yp e Q xq yq Coordenadas do ponto médio do segmento PQ da figura Assim o ponto médio tem coordenadas 9 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB sendo A2 6 e B8 4 xm 3 𝑥𝐴𝑥𝐵 2 28 2 6 2 ym 1 𝑦𝐴𝑦𝐵 2 64 2 2 2 O ponto médio e M31 Condição de alinhamento entre três pontos Três pontos estão alinhados se e somente se pertencerem à mesma reta Para verificarmos se os pontos x1 y1 x2 y2 e x3 y3 estão alinhados devemos fazer o cálculo do determinante pela regra de Sarrus envolvendo a matriz das coordenadas e a última coluna formada por 1 Se o determinante for zero os pontos estão alinhados Caso contrário os pontos não estarão alinhados 10 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Exemplo a Dados os pontos A 2 5 B 3 7 e C 5 11 vamos determinar se estão alinhados 271 14 175 35 515 25 2111 22 1311 33 531 15 Dai 14 25 33 35 22 15 72 7 2 0 11 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 O determinante deu zero logo os pontos estão alinhados b Verificar se os pontos A2 2 B3 1 e C3 1 estão alinhados Vamos verificar se o determinante abaixo é zero 211 2 113 3 2 13 6 211 2 131 3 2 31 6 Dai 2 6 3 3 2 6 10 O determinante deu diferente de zero logo os pontos estão desalinhados 12 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Unidade de Aprendizagem 18 Geometria Analítica Reta 1 Equação geral da reta que passa pelos pontos Ax1 y1 e Bx2 y2 Sendo dado dois pontos A e B devemos introduzir um ponto xy que corre na reta e que passa por A e B um ponto imaginário sem ocupar a posição dos pontos A e B Esse ponto que aqui chamamos de Qxy será o ponto que vai gerar a equação da reta Como os três pontos estão alinhados 1 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 devemos usar a condição de alinhamento de três pontos apresentada na unidade 17 desenvolvendo o algoritmo de Sarrus em um determinante zero e encontrando uma equação em x e y que serão as abscissas e as ordenadas de todos os pontos da reta Equação geral da reta é dada pela lei ax by c 0 onde xy são pontos pertencentes à reta Exemplo Qual a equação da reta que passa pelos pontos 16 e 23 Vamos desenvolver a regra de Sarrus para o determinante em que a primeira linha tem as coordenadas do ponto imaginário xy e 1 na segunda linha tem as coordenadas do ponto 16 e 1 na terceira linha tem as coordenadas do ponto 2 3 e 1 É importante dizer que a ordem das linhas não importa Poderíamos ter 1 6 1 trocado com x y 1 e a equação da reta será a mesma 2 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 x61 6x 162 12 y12 2y x13 3x 113 3 y11 y Então temos 6x 2y 3 12 3x y 0 9x 3y 9 0 Podemos dividir a equação por 3 e teremos 3x y 3 0 Veja que se substituirmos os pontos 1 6 e 2 3 na reta teremos 31 6 3 0 e 32 3 3 0 Então a equação está certa Vamos verificar se o ponto 2 1 pertence à reta Para isso vamos substituir x 2 e y 1 na equação 3x y 3 0 Então temos 32 1 3 3 Como não deu zero o ponto 2 1 não pertence à reta 3 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 2 Equação segmentária da reta Podemos escrever a equação de uma reta quando conhecemos os pontos por onde ela intersecta os eixos x e y na forma que chamamos de segmentária Qual a equação da reta abaixo na forma segmentária A equação é 1 𝑥 4 𝑦 2 4 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 3 Coeficiente angular da reta O coeficiente angular de uma reta é dado pela tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x Ângulo medido a partir do eixo x no sentido anti horário até a reta Se o ângulo for O coeficiente angular pode ser chamado de 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑔 m daí m tg Quando o ângulo for agudo tg é um valor positivo Quando o ângulo for obtuso tg é um valor negativo Quando o ângulo for 90 0 tg não existe ou não é definida Quando o ângulo for 0 0 tg 0 5 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Qual o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos 2 4 e 12 m 6 42 21 6 1 4 Equação reduzida da reta Podemos escrever a equação da reta reduzida y px q a partir da equação geral da reta O valor de p é o coeficiente angular da reta e o valor de q é chamado coeficiente linear da reta Dai y mx q O coeficiente linear da reta é o valor numérico onde a reta intersecta o eixo y 6 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Escrever a equação da reta x 2y 4 0 na forma reduzida Vamos tirar o valor de y escrevendo y px q 2y x 4 y y 𝑥 2 4 2 1 2 𝑥 2 Veja a equação y representada no sistema cartesiano ortogonal 1 2 𝑥 2 abaixo A equação intersecta o eixo y em 2 que é o coeficiente linear da reta Veja que o ponto da reta 40 que está sobre o eixo x está na reta pois ao substituir x 4 temos y 0 Veja y 2 2 0 1 2 4 2 7 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 5 Equação fundamental da reta Equação fundamental da reta que passa pelos pontos x1y1 e x2y2 é dada por y y1 mx x1 onde m Veja que usamos apenas o ponto 𝑦2𝑦1 𝑥2𝑥1 x1y1 para escrever a equação Poderíamos escrever a equação usando o ponto x2y2 e teríamos y y2 mx x2 onde o coeficiente angular m é o mesmo Determinar a equação fundamental da reta que passa pelos pontos 4 2 e 2 1 m m 𝑦2𝑦1 𝑥2𝑥1 21 42 1 2 8 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Usando o ponto 4 2 temos y 2 1 x 4 2 Vamos escrever na forma geral 2y 4 x 4 x 2y 0 Usando o ponto 2 1 temos y 1 1 x 2 2 Vamos escrever na forma geral 2y 2 x 2 x 2y 0 Veja que as duas equações têm na forma geral a mesma representação x 2y 0 9 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 6 Retas paralelas Condição para que duas retas sejam paralelas As retas s e r são paralelas Elas têm e consequentemente tg θ isto é as duas retas têm os mesmos coeficientes angulares 𝑡𝑔 θ Para que duas retas sejam paralelas elas devem ter o mesmo coeficiente angular Verifique se as retas r 2x 3y 7 0 e s 10x 15y 45 0 são paralelas Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas Reta r 2x 3y 7 0 3y 2x 7 y e m r 2𝑥 3 7 3 2 3 Reta s 10x 15y 45 0 10 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 15y 10x 45 y e m s 10𝑥 15 45 15 10 15 2 3 Como os coeficientes angulares mr e ms são iguais as retas são paralelas Verifique se as retas r x y 2 0 e s x 5y 4 0 são paralelas Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas Reta r x y 2 0 y x 2 e m r 1 Reta s x 5y 4 0 5y x 4 y e m s 1 5 𝑥 4 5 1 5 Como os coeficientes angulares mr e ms não são iguais as retas não são paralelas 7 Retas perpendiculares Duas retas t x y 3 0 e u x y 3 0 serão perpendiculares se possuírem um ponto comum e nesse encontro for formado um ângulo de 90 Veja abaixo os gráficos das retas desenhadas 11 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 A condição para que duas retas u e t sejam perpendiculares é dada por mt mu 1 O coeficiente angular de t x y 3 0 é y x 3 y x 3 e mt 1 O coeficiente angular de u x y 3 0 é y x 3 e mu 1 Veja que mt mu 1 Então as retas são perpendiculares Caso o produto dos coeficientes angulares der um valor diferente de 1 dizemos que as retas são concorrentes não perpendiculares Verifique se as retas r x y 4 0 e s 2x y 3 0 são concorrentes perpendiculares ou concorrentes não perpendiculares O coeficiente angular de r x y 4 0 é 12 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 y x 4 e m r 1 O coeficiente angular de s 2x y 3 0 é y 2x 3 e m s 2 Veja que m r m s 1 2 2 Como o produto dos coeficientes angulares deu 2 um valor diferente de 1 dizemos que as retas são concorrentes não perpendiculares 8 Distância entre ponto e reta Seja a reta r de equação axbyc0 e o ponto Px0y0 o qual não pertence a reta r A fórmula da distância do ponto à reta é Veja que Iax0 by0 cI indica que o numerador é positivo A representação entre duas barras indica módulo e faz com que o valor numérico encontrado seja sempre positivo 13 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Exemplos a Calcule a distância da reta P à reta r P13 e r 5x 12y 2 0 Daí d 3913 3 b P24 e r y x 8 0 d 6 6 2 2 d 6 2 62 62 3 2 2 2 22 2 Passa a ser Contradomínio e aí o número 3 tem ligações com 1 e 1 não sendo função 14 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 15 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736
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Unidade de Aprendizagem 16 Geometria Espacial Sólidos Redondos 1 Cilindro reto Os sólidos redondos são sólidos geométricos que possuem superfícies arredondadas Os sólidos geométricos redondos são o cilindro o cone e a esfera O cilindro é uma figura geométrica que possui dois círculos com raios de medidas equivalentes e posicionados em planos paralelos Essa figura 1 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 arredondada ainda apresenta o mesmo diâmetro ao longo de todo o seu comprimento O cilindro é gerado pela rotação de um paralelogramo retângulo Na imagem abaixo podemos ver o cilindro sendo gerado pela rotação de um retângulo g é a geratriz do cilindro que é igual a altura h do cilindro e as bases são círculos 2 Área do cilindro Área da base do cilindro Como a base é um círculo de raio r devemos usar a fórmula Ab r2 para π encontrar a área da base 2 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Área lateral do cilindro A área lateral pode ser visualizada a partir da planificação do cilindro Com ela decomposta é possível visualizar um retângulo e dois círculos Nesse cálculo utilizamos a seguinte fórmula AL 2 r h Veja que 2 r é o π π comprimento da circunferência da base do cilindro e que na planificação passa ser a base do retângulo AL 2 r h π AL área lateral r raio do círculo h altura 3 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Área total do cilindro A área total do cilindro é a soma da área das duas bases circulares e da área lateral AT 2 r2 2 r h π π Exemplo Dado um cilindro reto com 20 cm de altura e raio da base de 4 cm Qual o valor da área total dessa figura AT 2 r2 2 r h π π AT 2 42 2 4 20 π π AT 2 16 8 20 π π AT 32 π 160 π AT 192 cm2 π 4 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 3 Volume do cilindro O volume do cilindro é dado pelo produto da área da base circular multiplicada por sua altura V Ab h ou V r² h π Exemplo Dado um cilindro que possui base com raio de 2m e altura de 4 m Qual o volume dessa figura V r² h π V 2² 4 π V 4 16 m3 4 π π 5 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 4 Cone Reto O cone é um sólido caracterizado por ter um círculo como base Esse sólido geométrico é construído a partir da rotação de um triângulo Um cone pode ser reto quando a sua altura fica no centro da circunferência que forma a base ou oblíquo quando a sua altura não coincide com o centro da base 5 Área do cone reto A área do cone faz referência à medida da superfície dessa figura geométrica espacial Lembrese que o cone é um sólido geométrico com uma base circular e uma ponta a qual é chamada de vértice Chamamos g de geratriz do cone h altura do cone e r raio da base 6 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Área da Base AB πr2 Onde AB área da base π pi 314 r raio Área Lateral AL πrg Onde AL área lateral π pi 314 r raio g geratriz A geratriz corresponde a medida da lateral do cone Formada por qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice e a outra na base ela é calculada pela fórmula g2 h2 r2 sendo h a altura do cone e r o raio 7 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Área Total At πrg πr2 Onde At área total π pi 314 r raio g geratriz 6 Volume do cone reto O volume do cone é a terça parte da multiplicação entre a área da base e a altura Como a base é sempre um círculo podemos calcular a área da base por Ab π r² 8 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 17 Esfera Área da superfície esférica A área da esfera é encontrada pela fórmula A 4пr2 Volume da Esfera O volume da esfera é encontrada pela fórmula V 4 пR3 3 9 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Unidade de Aprendizagem 17 Geometria Analítica Ponto 1 Sistema Cartesiano Ortogonal Plano Cartesiano Plano cartesiano ou sistema cartesiano ortogonal é um sistema de coordenadas constituído por dois eixos perpendiculares O eixo horizontal é 1 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 chamado de eixo das abscissas x e o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas y O sistema Cartesiano Ortogonal é dividido em quatro quadrantes Eixo das ordenadas e Eixo das abscissas Identificado com a letra y o eixo da ordenadas é a reta vertical do plano cartesiano Se olharmos bem veremos que ambos os eixos são escalas 2 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 numéricas Para cima do ponto 0 os números nessa escala são positivos Para baixo negativos Identificado com a letra x o eixo das abscissas é a reta horizontal do plano cartesiano Para a direita os números na escala numérica são positivos Para a esquerda negativos Ponto 00 é chamado de origem tratase do ponto exato onde as duas retas se encontram formando um ângulo reto Coordenadas são pares ordenados xy que dão a exata localização de um ponto no plano cartesiano Assim cada ponto no plano é determinado a partir de um par de informações Dáse o nome de par ordenado a esse conjunto constituído por dois números reais que representam valores nos dois eixos e nos fornecem a exata localização de um ponto no plano O primeiro valor do par é a abscissa x O segundo a ordenada y Qualquer ponto no quadrante 1 Q1 terá coordenadas x e y positivas O quadrante 2 Q2 é formado por pontos em que a coordenada x é positiva e y negativa O terceiro quadrante Q3 é constituído pelos pontos formados por coordenadas x e y negativas Já o quarto quadrante Q4 tem a coordenada x positiva e y negativa 3 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Exemplos Sejam os pontos representados no Sistema Cartesiano Ortogonal Quando o ponto está sobre um dos quadrantes basta traçar duas linhas uma delas vertical partindo do ponto até encontrar o eixo x outra horizontal partindo do ponto até encontrar o eixo y A13 E3 1 Quando o ponto está sobre o eixo x terá a representação x 0 Quando o ponto está sobre o eixo y terá a representação 0y Ponto sobre o x D 40 Ponto sobre o eixo y B0 2 Também é possível descobrir a localização de um ponto no plano cartesiano a partir das coordenadas Basta traçar duas retas uma partindo do eixo x outra do eixo y O encontro entre as duas retas é o ponto 4 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Temos os seguintes pares ordenados 34 41 33 e 23 Esses pares determinam pontos no plano cartesiano Note que cada um deles está localizado dentro de um dos quatro quadrantes Em Q1 temos 34 ou seja coordenada 3 no eixo das abscissas x e coordenada 4 no eixo das ordenadas y Em Q2 temos 41 Em Q3 33 Em Q4 23 5 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 2 Distância entre dois pontos a Os pontos têm a mesma ordenada 1 e o segmento de reta AB é paralelo ao eixo x A distância entre os pontos A e B é dada pela diferença das abscissas 3 1 2 unidades b Os pontos têm a mesma abscissa 3 e o segmento de reta AB é paralelo ao eixo y A distância entre os pontos A e B é dada pela diferença das abscissas 3 2 3 2 5 unidades c O segmento de reta AB dado por d AB não é paralelo aos eixos 6 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Calcular a distância entre os pontos P 3 11 e Q 2 1 Perceba que na fórmula devemos subtrair os valores das abscissas de cada ponto e em seguida elevar ao quadrado e o mesmo deve acontecer com os valores das ordenadas Assim Exercício 7 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Calcule os lados do triângulo retângulo Lado AP d AP 4 2 4 2 6 Lado BP d BP 1 2 1 2 3 Lado AB Devemos usar a fórmula dAB 2 1 2 2 4 2 3 2 6 2 9 36 45 8 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 3 Ponto Médio entre dois pontos dados Como determinar o ponto médio M xm ym entre os pontos P xp yp e Q xq yq Coordenadas do ponto médio do segmento PQ da figura Assim o ponto médio tem coordenadas 9 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB sendo A2 6 e B8 4 xm 3 𝑥𝐴𝑥𝐵 2 28 2 6 2 ym 1 𝑦𝐴𝑦𝐵 2 64 2 2 2 O ponto médio e M31 Condição de alinhamento entre três pontos Três pontos estão alinhados se e somente se pertencerem à mesma reta Para verificarmos se os pontos x1 y1 x2 y2 e x3 y3 estão alinhados devemos fazer o cálculo do determinante pela regra de Sarrus envolvendo a matriz das coordenadas e a última coluna formada por 1 Se o determinante for zero os pontos estão alinhados Caso contrário os pontos não estarão alinhados 10 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Exemplo a Dados os pontos A 2 5 B 3 7 e C 5 11 vamos determinar se estão alinhados 271 14 175 35 515 25 2111 22 1311 33 531 15 Dai 14 25 33 35 22 15 72 7 2 0 11 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 O determinante deu zero logo os pontos estão alinhados b Verificar se os pontos A2 2 B3 1 e C3 1 estão alinhados Vamos verificar se o determinante abaixo é zero 211 2 113 3 2 13 6 211 2 131 3 2 31 6 Dai 2 6 3 3 2 6 10 O determinante deu diferente de zero logo os pontos estão desalinhados 12 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Unidade de Aprendizagem 18 Geometria Analítica Reta 1 Equação geral da reta que passa pelos pontos Ax1 y1 e Bx2 y2 Sendo dado dois pontos A e B devemos introduzir um ponto xy que corre na reta e que passa por A e B um ponto imaginário sem ocupar a posição dos pontos A e B Esse ponto que aqui chamamos de Qxy será o ponto que vai gerar a equação da reta Como os três pontos estão alinhados 1 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 devemos usar a condição de alinhamento de três pontos apresentada na unidade 17 desenvolvendo o algoritmo de Sarrus em um determinante zero e encontrando uma equação em x e y que serão as abscissas e as ordenadas de todos os pontos da reta Equação geral da reta é dada pela lei ax by c 0 onde xy são pontos pertencentes à reta Exemplo Qual a equação da reta que passa pelos pontos 16 e 23 Vamos desenvolver a regra de Sarrus para o determinante em que a primeira linha tem as coordenadas do ponto imaginário xy e 1 na segunda linha tem as coordenadas do ponto 16 e 1 na terceira linha tem as coordenadas do ponto 2 3 e 1 É importante dizer que a ordem das linhas não importa Poderíamos ter 1 6 1 trocado com x y 1 e a equação da reta será a mesma 2 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 x61 6x 162 12 y12 2y x13 3x 113 3 y11 y Então temos 6x 2y 3 12 3x y 0 9x 3y 9 0 Podemos dividir a equação por 3 e teremos 3x y 3 0 Veja que se substituirmos os pontos 1 6 e 2 3 na reta teremos 31 6 3 0 e 32 3 3 0 Então a equação está certa Vamos verificar se o ponto 2 1 pertence à reta Para isso vamos substituir x 2 e y 1 na equação 3x y 3 0 Então temos 32 1 3 3 Como não deu zero o ponto 2 1 não pertence à reta 3 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 2 Equação segmentária da reta Podemos escrever a equação de uma reta quando conhecemos os pontos por onde ela intersecta os eixos x e y na forma que chamamos de segmentária Qual a equação da reta abaixo na forma segmentária A equação é 1 𝑥 4 𝑦 2 4 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 3 Coeficiente angular da reta O coeficiente angular de uma reta é dado pela tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x Ângulo medido a partir do eixo x no sentido anti horário até a reta Se o ângulo for O coeficiente angular pode ser chamado de 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑔 m daí m tg Quando o ângulo for agudo tg é um valor positivo Quando o ângulo for obtuso tg é um valor negativo Quando o ângulo for 90 0 tg não existe ou não é definida Quando o ângulo for 0 0 tg 0 5 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Qual o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos 2 4 e 12 m 6 42 21 6 1 4 Equação reduzida da reta Podemos escrever a equação da reta reduzida y px q a partir da equação geral da reta O valor de p é o coeficiente angular da reta e o valor de q é chamado coeficiente linear da reta Dai y mx q O coeficiente linear da reta é o valor numérico onde a reta intersecta o eixo y 6 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Escrever a equação da reta x 2y 4 0 na forma reduzida Vamos tirar o valor de y escrevendo y px q 2y x 4 y y 𝑥 2 4 2 1 2 𝑥 2 Veja a equação y representada no sistema cartesiano ortogonal 1 2 𝑥 2 abaixo A equação intersecta o eixo y em 2 que é o coeficiente linear da reta Veja que o ponto da reta 40 que está sobre o eixo x está na reta pois ao substituir x 4 temos y 0 Veja y 2 2 0 1 2 4 2 7 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 5 Equação fundamental da reta Equação fundamental da reta que passa pelos pontos x1y1 e x2y2 é dada por y y1 mx x1 onde m Veja que usamos apenas o ponto 𝑦2𝑦1 𝑥2𝑥1 x1y1 para escrever a equação Poderíamos escrever a equação usando o ponto x2y2 e teríamos y y2 mx x2 onde o coeficiente angular m é o mesmo Determinar a equação fundamental da reta que passa pelos pontos 4 2 e 2 1 m m 𝑦2𝑦1 𝑥2𝑥1 21 42 1 2 8 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Usando o ponto 4 2 temos y 2 1 x 4 2 Vamos escrever na forma geral 2y 4 x 4 x 2y 0 Usando o ponto 2 1 temos y 1 1 x 2 2 Vamos escrever na forma geral 2y 2 x 2 x 2y 0 Veja que as duas equações têm na forma geral a mesma representação x 2y 0 9 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 6 Retas paralelas Condição para que duas retas sejam paralelas As retas s e r são paralelas Elas têm e consequentemente tg θ isto é as duas retas têm os mesmos coeficientes angulares 𝑡𝑔 θ Para que duas retas sejam paralelas elas devem ter o mesmo coeficiente angular Verifique se as retas r 2x 3y 7 0 e s 10x 15y 45 0 são paralelas Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas Reta r 2x 3y 7 0 3y 2x 7 y e m r 2𝑥 3 7 3 2 3 Reta s 10x 15y 45 0 10 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 15y 10x 45 y e m s 10𝑥 15 45 15 10 15 2 3 Como os coeficientes angulares mr e ms são iguais as retas são paralelas Verifique se as retas r x y 2 0 e s x 5y 4 0 são paralelas Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas Reta r x y 2 0 y x 2 e m r 1 Reta s x 5y 4 0 5y x 4 y e m s 1 5 𝑥 4 5 1 5 Como os coeficientes angulares mr e ms não são iguais as retas não são paralelas 7 Retas perpendiculares Duas retas t x y 3 0 e u x y 3 0 serão perpendiculares se possuírem um ponto comum e nesse encontro for formado um ângulo de 90 Veja abaixo os gráficos das retas desenhadas 11 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 A condição para que duas retas u e t sejam perpendiculares é dada por mt mu 1 O coeficiente angular de t x y 3 0 é y x 3 y x 3 e mt 1 O coeficiente angular de u x y 3 0 é y x 3 e mu 1 Veja que mt mu 1 Então as retas são perpendiculares Caso o produto dos coeficientes angulares der um valor diferente de 1 dizemos que as retas são concorrentes não perpendiculares Verifique se as retas r x y 4 0 e s 2x y 3 0 são concorrentes perpendiculares ou concorrentes não perpendiculares O coeficiente angular de r x y 4 0 é 12 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 y x 4 e m r 1 O coeficiente angular de s 2x y 3 0 é y 2x 3 e m s 2 Veja que m r m s 1 2 2 Como o produto dos coeficientes angulares deu 2 um valor diferente de 1 dizemos que as retas são concorrentes não perpendiculares 8 Distância entre ponto e reta Seja a reta r de equação axbyc0 e o ponto Px0y0 o qual não pertence a reta r A fórmula da distância do ponto à reta é Veja que Iax0 by0 cI indica que o numerador é positivo A representação entre duas barras indica módulo e faz com que o valor numérico encontrado seja sempre positivo 13 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Exemplos a Calcule a distância da reta P à reta r P13 e r 5x 12y 2 0 Daí d 3913 3 b P24 e r y x 8 0 d 6 6 2 2 d 6 2 62 62 3 2 2 2 22 2 Passa a ser Contradomínio e aí o número 3 tem ligações com 1 e 1 não sendo função 14 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 15 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736