Ita1976 -1977 - 1978 - Mat - Etapa

ITA ITA ÍNDICE Matemática 76 ........................... pág.01 Matemática 77 ........................... pág. 20 Matemática 78 ........................... pág. 38 MATEMÁTICA - ITA 76 Duração da prova: 3h 01. Considere g : {a,b,c} {a,b,c} uma função tal que g(a) = b e g(b) = a. Então, temos: a) a equação g(x) = x tem solução se, e somente se, g é injetora b) g é injetora, mas não é sobrejetora c) g é sobrejetora, mas não é injetora d) se g não é sobrejetora, então g(g(x)) = x para todo x em {a,b,c} e) n.d.r.a. alternativa A Observação: supondo a ≠ b, b ≠ c, a ≠ c (alternativa a verdadeira) 1) g(x) = x tem solução g(c) = c g é injetora. 2) g é injetora g(c) = c g(x) = x tem solução. (alternativa b falsa) podemos ter g = {(a, b), (b,a), (c,c)} que é injetora e sobrejetora. (alternativa c falsa) ver explicação acima. (alternativa d falsa) se g não é sobrejetora podemos ter, por exemplo, g(c) = a, assim temos g(g(c)) = g(a) a ≠ c. 02. Sejam A e B conjuntos infinitos de números naturais Se f : A B e g: B A são funções tais que f(g(x)) = x, para todo x em B e g(f(x)) = x, para todo x em A, então, temos: a) existe x_0 em B,tal que f(y) = x_0, para todo y em A b) existe a função inversa de f c) existem x_o ≠ x_1 em A, tais que x_o ≠ x_1 e f(x_o)=f(x_1) d) existe a em B, tal que g(f(g(a))) ≠ g(a) e) n.d.r.a. alternativa B Do enunciado temos que f é a inversa de g, logo f e g são bijetoras, assim: (alternativa a falsa) a afirmação é falsa pois f é bijetora, portanto tem que ser injetora. (alternativa b verdadeira) pois g é inversa da f. (alternativa c falsa) pois f tem que ser injetora. (alternativa d falsa) Como f(g(a)) = a ∀ a ∈ B temos g(f(g(a))) = g(a) ∀ a ∈ B 03.Suponhamos que z_1 = a + xi e z_2 = a + yi, a ≠ 0, x ≠ 0 são dois números complexos, tais que z_1. z_2 = 2. Então temos:(Observação: z indica conjugado de z) a) z_1 = z_2 e |z_1| = |z_2| = 2 b) z_1 = z_2 e |z_1| = |z_2| = √2 c) z_1 = z_2 e |z_1| = |z_2| = √2 d) z_1 + z_2 = 2a e a^2 + y^2 = 4 e) n.d.r.a. alternativa C z_1 = a + xi z_2 = a + yi (a + xi)(a + yi) = 2 a ≠ 0 a ≠ 0 x ≠ 0 x ≠ 0 z_1 . z_2 = 2 a^2 - xy - 2^ v a(y + x)i = 0 a ≠ 0 x ≠ 0 2 → | a^2 - xy = 2 a ≠ 0 y + x → 0 x ≠ 0 ita 76 - matemática 11 ETAPA 03 | a² - xy - 2 | -> | a² - x(x) - 2 | -> | a² × x - 2 | | y - x ≠ 0 | | y - x ≠ 0 | | y - x ≠ 0 | a² × 2 = √2 | a + xi | = 2 | z₁ | √2 a² × 2 = √2 | a + yi | = 2 | z₂ | √2 z₁ - a + xi = a - yi = 2 04. As raízes de ordem 4 do número z = e^(πi/2), onde i é a unidade imaginária, são: a) z_k = cosθ_k + i senθ_k, onde θ_k = (1+4k)/8 π, com k = 0,1,2,3. b) z_k = e^(iθ_k), onde θ_k = (1+3k)/8 π, com k = 0,1,2,3. c) z_k = e^(iθ_k), onde θ_k = 4k π, com k = 0,1,2,3. d) z_k = e^(iθ_k), onde θ_k = (1-4k)/8 π, com k = 0,1,2,3. e) n.d.r.a. alternativa A Temos, pela fórmula de Euler, que: z^(πi/2) = z = e^(iπ/2) = cos π/2 + i sen π/2 Se z_k = z, então z_k é uma raiz quarta de z, e pode ser determinada por z_k = cos θ_k + i sen θ_k onde θ_k = π/4 + 2kπ/8 para k = 0,1,2,3 05. Os valores reais a e b, tais que os polinômios x³ - 2ax² + (3a + b)x - 3b e x³ - (a + 2b)x + 2a sejam divisíveis por x + 1, são: a) dois números inteiros positivos b) dois números inteiros negativos c) números inteiros, sendo que um é positivo e o outro negativo ita 76 - matemática 11 ETAPA 04 d) dois números reais, sendo um racional e o outro irracional. e) n.d.r.a. alternativa C P₁(x) = x³ - 2ax² + (3a + b)x - 3b P₂(x) = x³ - (a + 2b)x + 2a P₁(-1) = 0 => (-1)³ - 2a(-1)² + (3a + b)(-1) - 3b = 0 -1 - 2a - 3a - b - 3b = 0 - 5a - 4b = 1 5a + 4b = -1 3a + 2b = 1 a = 3 b = -4 dois números inteiros, sendo um positivo e o outro negativo 06. Se designarmos por S_n a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de infinitos termos, de razão q > 1 e primeiro termo a₁ > 0, podemos afirmar que: S_n/S_{2n} = S_n/S_{3n} - S_n a) S_n/2n - S_n = S_{3n} - S_{2n} b) S/S_{2n} - S_{3n} = S_{3n} - S_{2n} c) S_n/S_{2n} = S_{3n} - S_n d) S_{3n} = S_{2n} + S_n e) n.d.r.a. alternativa A S_n = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1); S_{2n} = a₁(q^(2n) - 1)/(q - 1); S_{3n} = a₁(q^(3n) - 1)/(q - 1) ita 76 - matemática 11 ETAPA 05 S_{2n} - S_n = a₁(q^(2n) - 1)/(q - 1) - a₁(qⁿ - 1)/(q - 1) a₁(q^(2n) - qⁿ)/(q - 1); a₁(q¯n - 1)(q^(n) - 1)/(q - 1); a₁(qⁿ - 1)/(q - 1) × qⁿ = S_nqⁿ S_{3n} - S_{2n} = a₁(q^(3n) - 1)/(q - 1); a₁(q^(2n) - q^(3n))/(q - 1); a₁(q³ - q²)/q - 1 logo S_n/S_{2n} = 1/qⁿ 07. Dado um paralelepípedo retângulo, de volume V, cujas arestas estão em progressão geométrica, de razão q, podemos garantir que sua área total é dada por: a) (2V√3/q)²(q² + q + 1) b) (V(√3/q)²(q² + q - 1) c) V/q²(q² + q + 1) d) V/q²(q + 1) e)n.d.r.a. alternativa A Sejam x/q, x e xq as dimensões do paralelepípedo do retângulo. V = x/q × x × xq = V = x³ = √V A = 2 × (x/q × x) + xq × xq) A = 2 × X(1/q + q) = A(2 × x(1/q) × (1 + q + q²)/q) A = 2 × q(√³)/q(q² + q + 1) ita 76 - matemática 08. Numa superfície esférica de área A > 1, considere inscrito um cone, tal que a área de sua base seja igual a sua altura. Nestas condições, temos que o volume do cone é dado por: a) V = \frac{1}{3} \pi^2 A^{\frac{3}{2}} b) V = \frac{1}{3}\pi A^2 c) V = \frac{1}{3}(\sqrt{\pi A - 1}\over \pi)^2 d) V = \frac{1}{3}\pi(A^{\frac{3}{2}}-1) e) n.d.r.a. alternativa C ... (B = \pi r^2...) p = \sqrt{\pi . A - 1} \over \pi ...\end{array} \cdot (\frac{}{2\cdot ... ) \text{B} = \sqrt(\over \pi ) \Xth \downtotheright \pi \cdot (\pi ) = B\cdot \pi \frac{\pi^2 A - 1}{ ) ... R = \sqrt{\pi..\sqrt{ B = \pi R^2 - h V = \frac{1}{3} \cdot B^2 ita 76 - matemática V = \frac{1}{3} \cdot B^2 B = \sqrt{\pi A - 1} \over \pi V = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{\pi A - 1}\over \pi)^2 c) Suponhamos R = r ... R = \frac{1}{\pi} (pois R \neq 0) V = \frac{1}{3} \cdot (\pi (\frac{1}{\pi})^2 ) \over 1 \Leftrightarrow V = \frac{1}{3\pi} A = 4 \pi . (...) \mathrm{e}\, \mathrm{A} > 1 ... \cdot 4 \over \pi > 1 ...\end{array} \cdot (\sqrt{\pi . A - 1}\over \pi)^2 \frac{1}{3\pi^2}\end{array}(\frac{}{}3) \cdot Observação: Consideramos na resolução da questão o cone como sendo um cone reto, apesar de nada ter sido mencionado no enunciado. 09. Considere um tetaedro regular circunscrito a uma esfera de r\mathrm{ajo} R. Designando por H,a,h e V, respectivamente, a altura, a aresta, a altura da base e o volume des se teteraedro, temos: a) V = \frac{\textstyle 2\sqrt{3}}{3} R^3 e h = \frac{\textstyle 3\sqrt{2}}{4} H b) V = 8 \sqrt{3} R^3 e a = \frac{\sqrt{6}}{2} H c) V = \frac{\textstyle 4\sqrt{2}}{3} R^3 e H = 4R d) V = 6 \sqrt{2} R^3 e H = 4R e) n.d.r.a. ita 76 - matemática alternativa B ... H = 4R a = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot H \frac{(\sqrt{6})}{2} = \frac{6a}{9} ... V = \frac{1}{3}\cdot (\frac{}{2\cdot 3a\over }) \sqrt{3} \cdot 4\text{R} V = 8 \cdot \sqrt{3} \cdot R^3 10. Seja A uma função real de varával real x, tal que: 2^x - 2e^x\cdot A(x) + 1 = 0, para todo número real x. ... a) A(0) = 1, A(x) = A(-x), para todo número real x e não existe um número real x \neq 0, satisfazendo a relação A(x) = 1. b) A(0) = 1 e A(x) = 0, pra algum número real x. c) A(1) < 0 e A(x) = A(-x), para todo número real x. d) não existe um número real x, não nulo, satisfazendo a relação A(x) = 1 e não existe um número real x, satisfazendo A(x) = A(-x). e) n.d.r.a. alternativa A 2^x - 2e^x. A(x) + 1 <<=>> 2^x \cdot A(x) = e^ \left(\dfrac{}{}2^x A(x) = \frac2{x} + A(x) = \frac{}{2e^x} ita 76 - matematica (alternativa a verdadeira?) A(0) = \frac{9.1}{2.e} - \frac{1.1}{2} - .1 \newline \newline 2) A(-x) = \frac{1}{2.e} - e^{-x} = \frac{1}{2} - e^{2x} \newline - \frac{1+ 2x}{2x} - \frac{1+e^x}{2x} = \frac{1 + e^{2x}}{2x} * \frac{1+e^x}{2x} - A(x)\newline \newline 3) A(x) \equiv \frac{2x}{2.e} - 1 \equiv \frac{2x}{2.e} * 1 1 + 2e^x (e^x)^2- 2.e^x 1 \langle \equiv \frac{1}{e} \x x = 0\newline \newline \langle \equiv \frac{1}{e} \x x = 0 (alternativa b falsa) A(x) {\frac{2x}{2e} 1 \frac{2x}{2e} = o e^\x 1 = o e^\x 1 {nao e \lacontex\m \in \x } \e R que torme a igualdade verdadeira}.\newline / / a (alternativa c falsa) A(1) \frac{2/1}{2.e } > 0\newline \newline (alternativa d falsa) temos V x \ E {R.A(x) - A(-x)}, como verificamos acima. \newline \newline II. Considere a seguinte funcao real de variavel real M(x) = \frac{e^x - e^-x}{e^-x+ e^x} Entao:\newline (a) Para todo ocorres. M(x) > 1 \newline (a) Para todo x e > 1, ocorrem: M(x) > 1 \newline (b) Para todo numero real, ocorrem simultaneamente, e \nM (t-x) = -M(x) e o \lase /M(x) * < 1 \newline 1 + 2 M(X) sin\ >T_DIALOGUX > (c) \na existem um a (numero real positivo) e um b} 6! M.e_ocorram (o >_dan\ - M e numero real negativo), tais que: M(a) \le M(b) \newline \n d) M(x) 9, somente quando x = 0 e M(x) > 0 apenas quan & do x < 0 \newline e) M.d.r.a - e - M(\n negativa\((800\x\ e\ul>) tom (E \newline (alternativa E) \newline M(X) = \frac{e^x - e^-x}{ - e \x e^x}- E e^\x > \langle\nex e ^0 2\e ^{ 2x .1 \newline (alternativa a - falsa)