Distribuição Normal Padrão

Cap. 14 - Variáveis Aleatórias Contínuas\n\n14.3. Distribuição Normal Padrão\n\nDada uma distribuição normal de uma variável aleatória X, com média μ, desvio padrão σ, denotada por N(μ,σ) e função densidade de probabilidade\nf(x) = (1 / σ√(2π)) e^{-(1/2)(x-μ/σ)^2} \n-∞ < x < ∞\n\nEfetuando-se a mudança de variável z = (x - μ) / σ, obtemos uma nova\nexpressão para a função densidade de probabilidade:\n\nφ(z) = e^{-z^{2}/2} / √(2π)\n\nPela propriedade 2, pode-se concluir que a nova variável aleatória Z\né uma distribuição normal pois, Z = (1/σ)X + (-μ/σ).\n\nAlém disso, tem-se:\n\na) E(Z) = E((x - μ) / σ) = (1 / σ)E(X - μ) = (1 / σ)(E(X) - E(μ)) = (1 / σ)(μ - μ) = 0\n\nb) Var(Z) = Var((x - μ) / σ) = (1 / σ^{2})Var(X - μ) = (1 / σ^{2})[Var(X) - Var(μ)]\n\nComo Var(μ) = 0, conclui-se que Var(Z) = (1 / σ^{2}) = 1. Cap. 14 - Variáveis Aleatórias Contínuas\n\nSubstituindo-se esses resultados na expressão da nova função\ndensidade obtém-se: φ(z) = e^{-z^{2}/2} / √(2π), para z real.\n\nA variável aleatória Z, definida dessa forma, apresenta uma\ndistribuição normal padrão e sua função densidade tem a seguinte curva:\n\nμ = 0\n\nCom a mudança de variável apresentada, é possível calcular-se\nprobabilidades para uma variável aleatória normalmente distribuída. Utiliza-se\npara isso a tabulação das probabilidades da distribuição normal padrão,\nlevando-se em conta o resultado a seguir.\n\nPara calcular a probabilidade de uma variável X, normalmente\ndistribuída, entre x₁ e x₂, denotada por P(x₁ ≤ X ≤ x₂), transformam-se x₁ e x₂ em unidades padrão:\n\nz₁ = (x₁ - μ) / σ\ne z₂ = (x₂ - μ) / σ\n\ne leva-se em consideração que P(x₁ ≤ X ≤ x₂) = P(z₁ ≤ Z ≤ z₂). Cap. 14 - Variáveis Aleatórias Contínuas\n\n14.4. Uso da Tabela Normal Padrão de Áreas\n\nSeja Z uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Como\no gráfico de sua função densidade de probabilidade é simétrico, em relação à\mmédia μ = 0, basta analisar os casos em que z é positivo.\n\nPara cada intervalo [0, z] ⊆ [0, 3], existe na tabela de áreas da\ndistribuição normal padrão, o valor correspondente a sua probabilidade. Essa\ntabela representa, na primeira coluna, valores correspondentes de\nprobabilidades referentes à primeira casa decimal, depois da vírgula a primeira\nlinha, o valor correspondente ao complemento da segunda casa decimal.\n\nExemplo 1\nO intervalo [0, 1.6] tem probabilidade igual a 0.4452; já o intervalo\n[0, 2.17], na tabela, apresenta valor de probabilidade 0.4850.\n\nAs áreas para os valores negativos de z são obtidos por simetria, já que a\ncurva é simétrica. Cap. 14 - Variáveis Aleatórias Contínuas\n\nExemplo 2\nO intervalo [-0,9, 0] tem probabilidade igual a 0,3159, pois é simétrico ao intervalo [0, 0,9].\n\nNos casos em que o intervalo contém partes positiva e negativa, somam-se as probabilidades correspondentes a cada uma delas.\n\nExemplo 3\nPara se determinar a probabilidade associada ao intervalo [-0,23, 1,37], toma-se que [-0,23, 1,37] = [-0,23, 0] ∪ [0, 1,37]. Somando-se as probabilidades, obtidas na tabela, 0,0910 referente a [-0,23, 0] e 0,4147 referente ao intervalo [0, 1,37], obtém-se 0,5057, que é a probabilidade associada ao intervalo [-0,23, 1,37].\n\nExemplo 4\nPara se determinar a probabilidade associada ao intervalo [1,51, ∞), basta observar que [1,51, ∞) = [0, ∞) - [0, 1,51). Como a probabilidade associada a [0, ∞) é 0,5 e, pela tabela, a associada a [0, 1,51] é 0,4345, tem-se que a probabilidade associada ao intervalo [1,51, ∞) é P(1,51 ≤ Z < ∞) = 0,5 - 0,4345 = 0,0655. Cap. 14 - Variáveis Aleatórias Contínuas\n\n14.5. Cálculo de Probabilidade em Distribuições Normais\n\nDada uma variável aleatória X, normalmente distribuída, para se determinar sua probabilidade, em um intervalo [x1, x2], calcula-se o correspondente intervalo [z1, z2] na variável normal padrão Z, usando-se a mudança de variável já mencionada e toma-se o respectivo valor, na tabela da distribuição normal padrão.\n\nExemplos\n1) As alturas dos estudantes de uma escola são normalmente distribuídas com média 170 cm e desvio padrão 20 cm. Encontre a probabilidade de um estudante, dessa escola, ter altura, em centímetros,\n\na) entre 150 e 180;\n\nb) maior que 175;\n\nc) menor que 148.\n\nResolução:\n\na) Para x1 = 150 cm, tem-se z1 = 150 - 170 / 20 = -1\n\nPara x2 = 180 cm, tem-se z2 = 180 - 170 / 20 = 0,5 Cap. 14 - Variáveis Aleatórias Contínuas\n\nA probabilidade a se determinar é\nP(150 ≤ X ≤ 180) = P(-1 ≤ Z ≤ 0,5) = P(0 ≤ Z ≤ 1) + P(0 ≤ Z ≤ 0,5) = 0,3413 + 0,1915 = 0,5328.\n\nb) Para x = 175 cm, tem-se z = 175 - 170 / 20 = 0,25\n\nA probabilidade a se determinar é\nP(X > 175) = P(Z > 0,25) = P(Z > 0) - P(0 ≤ Z ≤ 0,25) =\n= 0,5 - 0,0987 = 0,4013\n\nc) Para x = 148 cm, tem-se z = 148 - 170 / 20 = -1,1\n\nA probabilidade a se determinar é\nP(X < 148) = P(Z < -1,1) = P(Z < 0) - P(Z < 0)\n= 0,5 - 0,3643 = 0,1357\n\n2) Considerando-se os dados do exemplo 1, qual deve ser a altura mínima de 10% dos estudantes mais altos dessa escola?\n\nResolução:\nEsse problema é o inverso do anterior, tem-se a porcentagem 10%, que corresponde à probabilidade 0,1 e deseja-se saber o valor mínimo de X.\n\nPela tabela 0,1 corresponde a 0,4 cujo valor aproximado é z = 1,28.\n\nLogo, 1,28 = x - 170 / 20 ⇒ x = (1,28)20 + 170 = 195,6 cm deve ser a altura mínima, aproximadamente. 222\nCap. 14 - Variáveis Aleatórias Contínuas\nTabela de Áreas da Curva Normal Padrão (de 0 a z)\nZ\t0,00\t0,01\t0,02\t0,03\t0,04\t0,05\t0,06\t0,07\t0,08\t0,09\n0,0\t0,0000\t0,0040\t0,0080\t0,0120\t0,0160\t0,0199\t0,0239\t0,0279\t0,0319\t0,0359\n0,1\t0,0398\t0,0438\t0,0478\t0,0517\t0,0557\t0,0596\t0,0636\t0,0675\t0,0714\t0,0745\n0,2\t0,1179\t0,1217\t0,1251\t0,1289\t0,1326\t0,1361\t0,1397\t0,1432\t0,1469\t0,1503\n0,3\t0,1554\t0,1591\t0,1628\t0,1664\t0,1700\t0,1736\t0,1772\t0,1808\t0,1844\t0,1879\n0,4\t0,1885\t0,1915\t0,1948\t0,1977\t0,2005\t0,2032\t0,2059\t0,2086\t0,2113\t0,2139\n0,5\t0,2340\t0,2417\t0,2446\t0,2467\t0,2486\t0,2500\t0,2514\t0,2531\t0,2546\t0,2562\n0,6\t0,9213\t0,3730\t0,3782\t0,3731\t0,3709\t0,3700\t0,3688\t0,3676\t0,3663\t0,3649\n0,7\t0,3582\t0,3505\t0,3521\t0,3500\t0,3581\t0,3655\t0,3712\t0,3761\t0,3814\t0,3862\n0,8\t0,4927\t0,4930\t0,4970\t0,4964\t0,4961\t0,4982\t0,4999\t0,5030\t0,5050\t0,5085 223\nCap. 14 - Variáveis Aleatórias Contínuas\nLista 25 de Exercícios Propostos\n1. O salário mensal dos funcionários de uma indústria são distribuídos de\nforma normal, em torno da média R$ 1.000,00, com desvio padrão\nR$ 80,00. Qual a probabilidade de um funcionário, dessa indústria, ter\nsalário mensal entre 980 e 1040 reais?\nRes.: 0,2902\n2. Um teste de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio\npadrão 10. Determine a probabilidade de um indivíduo submetido a esse\nteste, obter nota\na) maior que 120;\nb) maior que 80;\nc) entre 85 e 115;\nd) maior que 100.\nRes.: a) 0,0228;\nb) 0,9772;\nc) 0,8664;\nd) 0,5\n3. Os pesos de 600 estudantes estão normalmente distribuídos com média\n65,3 kg e desvio padrão 5,5 kg. Determine o número de estudantes que\npesam\na) entre 60 e 70 kg;\nb) mais de 63,2 kg;\nc) menos de 68 kg.\nRes.: a) 381;\nb) 389;\nc) 413 224\nCap. 14 - Variáveis Aleatórias Contínuas\n4. O peso médio de 500 estudantes é 75,5kg e o desvio padrão de seus\npesos é 7,5 kg. Admitindo-se que esses pesos estão normalmente\ndistribuídos, determine\na) a probabilidade de se encontrar um deles com peso entre 60 e 70 kg;\nb) a probabilidade de se encontrar um deles com peso igual ou superior\na 92,5 kg;\nc) o número de estudantes com peso igual ou superior a 92,5 kg.\nRes.: a) 0,5596;\nb) 0,016;\nc) 6\n5. Os diâmetros dos parafusos produzidos por uma máquina têm distribuição\nnormal com média 0,25 cm e desvio padrão 0,02 cm. Se um desses\nparafusos é considerado defeituoso quando seu diâmetro é maior ou igual\na 0,28 cm ou menor ou igual a 0,2 cm, qual a porcentagem de parafusos\ndefeituosos que a máquina produz?\nRes.: 7,3%\n6. Os graus obtidos pelos candidatos nas provas de um concurso público\ntêm distribuição normal com média 7,6 e desvio padrão 1,5. Supondo-se\nque apenas 15,15% dos candidatos foram aprovados, qual a nota mínima\npara aprovação nesse concurso?\nRes.: 9,14\n7. Um certo produto tem seu peso normalmente distribuído com média\n100 g e desvio padrão 20 g. As caixas que embalam 20 unidades desse\nproduto têm peso, também normalmente distribuído, com média 500 g e\ndesvio padrão 25 g. Supondo-se que os pesos do produto e das caixas\nsão independentes, qual a probabilidade de uma dessas caixas cheia desse\nproduto ter peso maior que 2,550 kg?\nRes.: 0,4522 Um certo tipo de componente eletrônico para computadores tem seu tempo de duração normalmente distribuído com média 20.400 horas e desvio padrão 1.080 horas. Determine a probabilidade de um desses componentes ter vida útil\na) entre 16.800 e 24.000 horas;\nb) maior que 19.200 horas;\nc) menor que 18.000 horas.\nRes.: a) 1 b) 0,8665 c) 0,0132 O peso de um produto é normalmente distribuído com média 10 gramas e desvio padrão 0,5 gramas. Tal produto é embalado em caixas cujo peso é normalmente distribuído com média 100 gramas e desvio padrão 10 gramas. Qual a probabilidade de uma dessas caixas, com 100 unidades desse produto, pesar mais de 1125 gramas?\nRes.: 0,3372 A vida útil de dois equipamentos médicos similares A e B tem distribuições normais com médias μ A = 45 e μ B = 40 horas e desvios padrão σ A = 36 horas. Tais equipamentos devem ser usados, no mínimo por 45 horas. Qual deles deve ser escolhido para uso?\nRes.: A