Lista de Exercícios Resolvidos - Álgebra Linear e Transformações

1 Se na base canônica w v1 e v2 são dados por w 3 1 v1 3 2 v2 1 4 então o vetor coluna formado pelas coordenadas de w na base α v1 v2 nessa ordem é a 3 1 2 43 1 b 10 2 c 3 1 2 41 3 1 d 114 4 1 2 33 1 2 Se na base canônica w v1 e v2 são dados por w 3 1 v1 06 08 v2 08 06 então o vetor coluna formado pelas coordenadas de w na base α v1 v2 nessa ordem é a 06 08 08 061 3 1 b 06 08 08 06T 3 1 c 06 08 08 06 3 1 d 1 3 3 Se P 29 37 e r é a reta r t1 2 t R então o ponto P0 de r mais próximo de P é a a interseção de r com a reta que passa por P e é ortogonal a r b a projeção ortogonal de P em r c o ponto t 2t tal que t minimiza a função dt t 292 2t 372 d 1035 1 2 4 Se na base canônica v1 v2 u1 e u2 são dados por v1 22 22 v2 22 22 u1 06 08 u2 08 06 e T R2 R2 é linear com Tv1 3u1 Tv2 5u2 então a matriz de T na base canônica é a 06 08 08 06 3 0 0 5 22 22 22 22 b 06 08 08 06 3 0 0 5 22 22 22 22 c 06 08 08 06 3 0 0 5 22 22 22 22 d 06 08 08 06 3 0 0 5 22 22 22 22 5 Se na base canônica v1 v2 u1 e u2 são dados por v1 22 22 v2 22 22 u1 06 08 u2 08 06 T R2 R2 é linear com Tv1 5u1 Tv2 3u2 e A é a matriz de T na base canônica então uma decomposição em valores singulares de A é a 06 08 08 06 5 0 0 3 22 22 22 22 b 06 08 08 06 5 0 0 3 22 22 22 22 c 06 08 08 06 5 0 0 3 22 22 22 22 d 06 08 08 06 5 0 0 3 22 22 22 22 6 Suponha que A é matriz 2 2 e que sua decomposição em valores singulares é A U 4 0 0 2 06 08 08 06 Então a A 06 08 4 b A 08 06 0 2 c Existem u1 e u2 em R2 unitários e ortogonais tais que A 06 08 4u1 e A 08 06 2u2 d U A 015 04 02 03 Justifique suas respostas 1 Suponha que T R2 R2 é linear e que T 22 22 3 12 32 T 22 22 2 32 12 a Determine a matriz T de T na base canônica b Escreva T como um produto de matrizes T UDVT com D diagonal positiva e U V ortogonais 2 Sejam A matriz m n e B matriz n p Considere cada coluna de A como uma matriz m 1 chame de Ai a iésima coluna de A vista como matriz Da mesma forma considere cada linha de B como uma matriz 1 p chame de Bj a jésima linha de B a Quais são as dimensões da matriz Ai Bj produto da matriz Ai pela matriz Bj b Qual é o posto de Ai Bj c Qual a relação entre as matrizes AB e i1n Ai Bi Explique 1 Seja V um espaço vetorial Sejam α u1 un β v1 vm subconjuntos de V tais que i α é linearmente independente ii β gera V Demonstre diretamente das definições em particular não é aceitável usar resultados parentes a bases e dimensão o Lema Fundamental existe γ ε1εm que gera V tal que α γ α β 2 Seja A matriz real m n a Suponha que v1vn é base ortonormal de autovetores de ATA Mostre que i j Avi Avj 0 b Suponha que A 1 2 1 0 0 1 Encontre v1 e v2 formando base ortonormal de R2 u1 u2 e u3 formando base ortonormal de R3 σ1 σ2 0 tais que A UΣVT seja decomposição em valores singulares de A as matrizes U Σ e V são obtidas dos vi dos ui e dos σi da maneira óbvia c Mostre que A σ1u1v1T σ2u2v2T 3 Uma matriz quadrada é dita de Markov ou estocástica de todas suas entradas são não negativas e a soma das entradas de cada coluna é 1 Suponha que A é matriz de Markov 3 3 tal que uma de suas colunas tem duas entradas não nulas Seja T o triângulo de vértices e1 e2 e3 ei é o iésimo vetor da base canônica Defina a sequência de triângulos TnnN por T0 T Tn1 ATn Seja para cada n Snárea de Tn a Mostre que lim n Sn 0 b Mostre que o mesmo resultado com as devidas adaptações vale para matrizes k k k natural maior do que 3 4 Seja E um espaço vetorial real com produto internode dimensão n Qual é o maior inteiro k tal que existem em E k vetores v1vk tais que i j vi vj 0 Demonstre que sua resposta é verdadeira 5 Seja H um espaço vetorial real com produto interno Sejam K um subconjunto convexo e não vazio de H e a um elemento de H K Sejam d inf x a x K e xnnN uma sequência de elementos de K tal que lim n xn a d Mostre que xnnN é uma sequência de Cauchy isto é ε n0 nm n0 xn xm ε GEOMETRIA ANALÍTICA Primeira Parte Solução 1 Temos que resolver o sistema linear 3x y 3 2x 4y 1 Resolvendo por escalonamento temos 3 1 3 2 4 113 12 1 13 3 2 4 10 143 3314143 1 13 3 2 4 1130 1 91413 R2 R1 1 0 1114 0 1 914 x 1114 y 914 1 As respostas corretas são letras d e c pois não precisa resolver o sistema pra saber que A X B X A1B quando A é invertível e nesse caso A1 14 4 1 2 3 pelo método da adjunta Solução 2 Tudo parte do fato que os vetores v1 e v2 são ortonormais Assim a matriz A v1 v2 é uma matriz ortogonal e portanto vale a igualdade AT A1 Portanto todas as respostas são corretas pelo mesmo motivo da questão 1 pois não precisa resolver o sistema pra saber que A X B X A1B quando A é invertível Solução 3 Todas as respostas estão corretas pois a definição de distância entre ponto e reta é exatamente a distância entre P e sua projeção ortogonal P0 que coincide com a menor distância e portanto o mínimo da função d Por último a letra d também está correta pois a reta perpendicular s à r passando por p é st 29 37 t 2 1 e sua interseção com a reta r é o ponto 10351 2 Solução 4 Note que α v1 v2 é uma base ortonormal Assim a matriz A v1 v2 é uma matriz ortogonal e assim AT A1 O mesmo vale para B u1 u2 com β u1 u2 base ortonormal Logo TCanCan AT TβαBT Logo a resposta correta é a letra c Solução 5 Pelo mesmo motivo do item anterior a resposta correta é a letra b Solução 6 Temos A U 4 0 0 2 06 08 08 06 U 4 06 4 08 2 08 2 06 U 24 32 16 12 Note que 24 32 16 121 015 04 02 03 Isso implica que a letra d está correta As demais respostas também estão corretas por definição de decomposição singular Segunda Parte Solução 1 Vamos resolver a Note que α v1 v2 é uma base ortonormal Assim a matriz A v1 v2 é uma matriz ortogonal e assim AT A1 O mesmo vale para B u1 u2 com β u1 u2 base ortonormal e temos a relação Tv1 3u1 Tv2 2u2 Logo TCanCan AT TβαBT 12 32 32 12 3 0 0 2 22 22 22 22 Logo obtemos como resultado a matriz 14 32 26 3226 22 36 36 22 b Já fiz isso na letra a Solução 2 Vamos resolver a Temos um produto m 1 1 p m p b O posto do produto satisfaz uma desigualdade pAiBj minpAi pBj e como Ai é m 1 e Bj é 1 p segue que pAiBj 0 ou 1 c Por definicao AB Al Bk onde Al e a lesima linha de A e Bk e a kesima coluna de B Por outro lado AT BT AiBj Portanto se A B AB BA entao temos uma relacao A BT ABT BAT ABT AT BT ABT AiBj Terceira Parte Solucao 1 Basta notar que todo conjunto L I pode ser completado a um conjunto gerador e todo conjunto gerador por ser resumido a um conjunto L I por eliminacao de vetores Solucao 2 Vamos resolver a Temos para todo i AT Avi λivi Alem disso temos AT A AT A logo AT A e autoadjunto Note que pelo Teorema Espectral o operador AT A e diagonalizavel Devemos ter entao usando isso que Avi Avj λiλjvi vj λiλjδij b Basta tomar nesse caso as bases canˆonicas do R2 e do R3 c Isso e imediato da definicao de decomposicao singular Solucao 3 Tanto a letra a quanto a letra b sao imediatas do fato de que ATn1 AnT e assim Sn1 decresce quando n tende ao infinito visto que o modulo de An decresce Solucao 4 A resposta e k n pois sempre e possıvel com n vetores Basta comecar com um vetor naonulo e construir uma base negativa seguindo um processo bem similar a GramShimidt Solucao 5 De fato isso vem da seguinte desigualdade xn xm xn a a xm xn a xm a 3