Lista de Exercícios Resolvidos sobre Funções e Gráficos - Matemática

19 Os dois raios tem o mesmo coeficiente angular por isso são paralelos A equação da reta r é y 2x 5 Suponha que a reta s que passa pelo ponto Q tenha coeficiente angular 2 e então y 3 2x 1 a b c d 21 Marque cada gráfico que representa uma função não responda a tabela Discuta o domínio e a imagem de cada função e verifique se eles são adequados pelo que se observa no gráfico 1 31 17 12 a Macintosh Note 10 RESPOSTAS a 4 Silveira T 0 S Serway R M Física para Cientistas e Engenheiros trad Liz Claudio B Vol 1 2ed Editora Campus Rio de Janeiro 1995 1925 Indians O cos cos ZON ISONO CSON 9 GO fir 4 2x1 2 1222 212 RLS 10 12 4 4 Ranger semstry Ấ 20 25 30 35 Concepções O Siggers b Mike I 54 Usagiet 22 G 11 12 10 10 46 rintimpraa dimsela 2 2 23 CIME 55 stoss Hänschen PERTOS ONTRONCING CON POSE Besel at wsi pes SNATOSTICAMY poas 1000X e wacentem pourdin 4424 234 R 32 2 2 3 2 BOOS SXQ PE140 Phungkul 2 iay a 3 PP10 Cpo 4 25 MATHATICS 42 1 Generate Simple m Power Tamilnes 48 12 11 0 093 Sin 48 025 05 sin 93 9 304 4 814 44 445 055 o e SX 25 5 e 32 5 4 9 6 9 0 6 6 3 212 4 25 245 10 0 24 03 sec 94 31 SCree 3 866 9 Intenor 12 15 Sempe 25 25 15 8000 25 2 03 5 Semster 15 21 92 25 1a 3 5 4 15s 15 3103 8 203 24 8 4 Sec 59 de 444 Essa curva é chamada hipérbole O estudo completo da hipérbole não será feito neste volume da coleção veja como complemento a seção Um pouco mais sobre do capítulo 4 58 CAPÍTULO 3 EXERCÍCIOS 44 Construa os gráficos das funções f A B sendo B C R dadas pela lei y x 1 nos seguintes casos a A 0 1 2 3 c A Z b A 0 3 d A R 45 Construa os gráficos das funções f A B com B C R dadas pela lei y 2x 1 nos seguintes casos a A 2 1 0 1 2 c A R b A 2 2 46 Construa os gráficos das funções f A B com B C R definidas por fx x² nos seguintes casos a A 2 32 1 12 0 12 1 32 2 b A 2 2 c A R 47 Construa os gráficos das funções f A B sendo BC R dadas pela lei y 1 x nos seguintes casos a A 3 2 1 0 1 2 3 b A 3 3 c A R 48 Construa o gráfico da função f R R dada por y 1x 49 A função definida por y 2x b tem domínio D N e b é uma constante que pode ser determinada pela leitura do gráfico ao lado Qual é o valor de b 50 O gráfico seguinte representa a função f de domínio real cuja lei é y ax² b com a e b constantes Quais são os valores de a e de b 51 O gráfico seguinte representa a função f D C R R sendo D a b Sabendo que fx 3x 2 determine a os valores de a e b b a abcissa do ponto P 52 Quais dos gráficos seguintes não representam função de domínio igual a R Explique a f y t y t y t y t y t b g c h d e Funções 59 Observe que todo elemento x do domínio tem uma única imagem y no contradomínio embora possam existir elementos do contradomínio que não são imagem de nenhum x do domínio Note que no exemplo 8 os números 0 e 5 não são imagens de x A no exemplo 9 os números inteiros ímpares não são imagens de x Z No exemplo 10 todos os números reais são imagens de algum x R do domínio como veremos logo adiante Determinação do domínio Muitas vezes se faz referência a uma função f dizendo apenas qual é a lei de correspondência que a define Quando não é dado explicitamente o domínio D de f devese subentender que D é formado por todos os números reais que podem ser colocados no lugar de x na lei de correspondência y fx de modo que efetuados os cálculos resulte um y real Vejamos alguns exemplos O domínio da função definida pela lei y 3x 4 D R pois qualquer que seja o valor real atribuído a x o número 3x 4 também é real 48 CAPÍTULO 3 O domínio da função dada por y x 3x 1 é D R 1 pois para todo x real diferente de 1 o número x 3x 1 é real O domínio da função dada por y x 2 é D x R x 2 pois x 2 só é um número real se x 2 0 A função dada por y 1x 1 x só é definida para x 1 0 e x 0 então seu domínio é D x R x 0 e x 1 Conjunto imagem Se f A B é uma função chamase conjunto imagem de f indicase Im o subconjunto do contradomínio constituído pelos elementos y que são imagens de algum x A Retomando os exemplos 8 9 e 10 temos Exemplo 8 fx x 1 Im 1 2 3 4 Exemplo 9 fx 2x Im 4 2 0 2 4 Podemos também escrever Im y Z y 2x x Z Exemplo 10 fx 2x 1 Im R No exemplo 10 todos os números reais são imagens de algum x R do domínio de f Com efeito dado um número real qualquer a ele é imagem de x a 12 a 12 2 a 12 1 a 1 1 a a R É importante destacar que o procedimento apresentado acima não se aplica facilmente a qualquer função Na maioria das vezes a determinação do conjunto imagem de uma função será feita por meio da leitura de seu gráfico como veremos adiante EXERCÍCIOS 25 Sejam os conjuntos A 2 1 0 1 2 e B 1 0 1 2 3 4 5 Em cada caso determine o domínio o contradomínio e o conjunto imagem de f a f A B dada por fx x 2 c f A B dada por fx x 1 b f A B dada por fx x² d f A B dada por fx x 26 Se A x Z 2 x 2 B x Z 5 x 5 e f A B é definida pela lei y 2x 1 quantos são os elementos de B que não pertencem ao conjunto imagem da função 27 Seja f N Z definida por fx x Qual é o conjunto imagem de f 49 Funções 28 Se x e y são números reais estabeleça o domínio de cada uma das funções dadas pelas seguintes leis a y 4x² 3x 1 b y 3x 11 x c y 2x 3 4 d y 4 x 1 PENSE NISTO Note que a 2x 1 x a 12 Professora a ideia deste Pense nisto é mostrar no exemplo 10 como obter o valor do elemento do domínio a partir de sua imagem É importante que o estudante perceba que neste caso é possível isolar x mas esse procedimento não se aplica facilmente a todas as funções 25 Sejam os conjuntos A 2 1 0 1 2 e B 1 0 1 2 3 4 5 Em cada caso determine o domínio o contradomínio e o conjunto imagem de f a f A B dada por fx x 2 b f A B dada por fx x² c f A B dada por fx x 1 d f A B dada por fx x 26 Se A x Z 2 x 2 B x Z 5 x 5 e f A B é definida pela lei y 2x 1 quantos são os elementos de B que não pertencem ao conjunto imagem da função 27 Seja f N Z definida por fx x Qual é o conjunto imagem de f 28 Se x e y são números reais estabeleça o domínio de cada uma das funções dadas pelas seguintes leis a y 4x³ 3x 1 3x 11 2 b y 2x 3 x c y 4 d y x 1 x 1 29 Se x e y são números reais determine o domínio das funções definidas por a y x 2 b y 4x 1 c y 3x 1 x 3 d y x 1 x 30 Estabeleça o domínio D R de cada uma das funções definidas pelas sentenças abaixo a fx 2x 1 x b gx 3x 5 x 1 c íx 2 x² 4x d jx x² 5 UM POUCO DE HISTÓRIA O desenvolvimento do conceito de função A ideia de função que temos hoje em dia foi sendo construída ao longo do tempo por vários matemáticos Conheça um pouco dessa longa história Na Antiguidade a ideia de função aparece implícita em algumas informações encontradas em tábuas babilônicas Um importante registro sobre funções aparece não com este nome na obra do francês Nicole Oresme c 13231382 que teve a ideia de construir um gráfico ou uma figura para representar graficamente uma quantidade variável no caso a velocidade de um móvel variando no tempo Oresme teria usado os termos latitude para representar a velocidade e longitude para representar o tempo no lugar do que hoje chamamos de ordenada e abcissa era o primeiro grande passo na representação gráfica das funções O matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 1716 introduziu a palavra função com praticamente o mesmo sentido que conhecemos e usamos hoje A notação fx para indicar função de x foi introduzida pelo matemático suíço Leonhard Euler 17071783 O matemático alemão Peter Gustav Lejeune Dirichlet 18051859 deu uma definição de função muito próxima da que usamos hoje em dia Se uma variável y está relacionada com uma variável x de modo que sempre que um valor numérico é atribuído a x existe uma regra de acordo com a qual é determinado um único valor de y então se diz que y é função da variável independente x Por fim com a criação da teoria dos conjuntos no fim do século XIX foi possível definir função como um conjunto de pares ordenados x y em que x é elemento de um conjunto A y é elemento de um conjunto B e para todo x A existe um único y B tal que x y f Fonte de pesquisa BOYER Carl B História da Matemática 3ª ed São Paulo Edgard Blucher 2010 A pintura de Jakob Emanuel Handmann datada dos anos 1753 mostra o matemático suíço Leonhard Euler 50 CAPÍTULO 3 a Calcule f0 f2 e f1 b Seja a R Qual é o valor de fa f a 14 Sendo f N N dada por fx 2x 1x calcule a f0 d f 2 b f1 e f37 c f2 46 CAPÍTULO 3 15 Considerando f e g funções de Q em Q dadas por fx 3x² x 5 e gx 2x 9 faça o que se pede a Determine o valor de f0 g 1 f1 b Resolva a equação gx f 3 g 4 16 Seja f uma função de Z em Z definida por fx 4x 2 3 Em cada caso determine se existir o número inteiro cuja imagem vale a 6 b 10 c 0 d 1 17 A lei seguinte mostra a relação entre a projeção do valor vt em reais de um equipamento eletrônico e o seu tempo de uso t em anos vt 1800 1 t 20 a Qual é o valor desse equipamento novo isto é sem uso b Qual é a desvalorização em reais do equipamento no seu primeiro ano de uso c Com quantos anos de uso o aparelho estará valendo R 1 26000 18 Seja f R R definida por fx 3 4x m sendo m uma constante real Sabendo que f 8 4 determine a o valor de m b f1 c o valor de x tal que fx 12 19 O gerente de uma casa de espetáculos verificou durante uma temporada que o número de pagantes y em um musical variou de acordo com o preço x em reais do ingresso para o espetáculo segundo a lei y 400 5 2 x com 20 x 120 a Qual foi o número de pagantes quando o preço do ingresso era R 6000 b Se o número de pagantes em uma noite foi 320 qual foi o valor cobrado pelo ingresso c Quanto arrecadou a bilheteria quando o preço do ingresso era R 9000 20 Uma função f R R é definida pela lei fx m 4x sendo m uma constante real Sabendo que f1 12 determine o valor de a m b f2 21 Estimase que a população p em milhares de habitantes de certo município daqui a x anos a contar de hoje seja dada pela lei px 10 2 x 1 a Qual é a população atual desse município b Qual será a população daqui a 3 anos c De quantas pessoas a população aumentará do 3º para o 4º ano d Daqui a quantos anos a população será de 9900 habitantes 22 No Brasil o número N do sapato varia de acordo com o tamanho ou o comprimento c do pé em centímetros segundo a lei N 5c 28 4 a O pé de Luis mede 28 cm Qual é o número de seu sapato b Luma calça sapatos de número 36 Quanto mede seu pé c Dois irmãos sabem que as numerações de seus sapatos diferem de 4 unidades Em quantos centímetros diferem os comprimentos de seus pés 23 Uma função f R R é definida pela lei fx 3x 5 Determine os valores de a e R tais que fa fa 1 3 f2a 24 Um laboratório realizou um teste de um novo medicamento em uma amostra de 900 voluntários doentes O número n de pessoas que ainda estavam doentes no tempo t em semanas contando a partir do início da experiência t 0 é expresso pela lei nt a t² b em que a e b são constantes reais Sabendo que o último voluntário curouse assim que foi completada a 15ª semana determine o número de pessoas que ainda estavam doentes decorridas 5 semanas do início dos testes Domínio e contradomínio Seja f A B uma função O conjunto A é chamado domínio de f e o conjunto B é chamado contradomínio de f Veja os exemplos a seguir EXEMPLO 8 Sendo A 0 1 2 3 e B 0 1 2 3 4 5 a função f A B tal que fx x 1 tem domínio A e contradomínio B EXERCÍCIOS 1 A tabela mostra o valor final de alguns pedidos de um certo tipo de piso laminado solicitados a um fabricante de acordo com a área de piso colocado Área m² Valor R 40 2800 25 1750 60 4200 140 9800 1805 12635 a Qual será o valor de um pedido de 100 m² desse piso E de 250 m² b Qual é a fórmula ou lei que relaciona o valor y em reais de um pedido de acordo com a quantidade x de piso em metros quadrados 2 Na cidade um veículo econômico de passeio consome um litro de gasolina a cada 9 quilômetros rodados a Faça uma tabela que forneça a distância percorrida pelo veículo ao serem consumidos 025 L 05 L 2 L 3 L 10 L 25 L 40 L de gasolina b Qual é a fórmula que relaciona a distância percorrida d em quilômetros em função do número de litros L consumidos 3 Um moderno avião é capaz de manter uma velocidade média de cruzeiro de aproximadamente 900 kmh a Qual é a distância percorrida pelo avião em 15 minutos meia hora 2 horas e 5 horas Represente em uma tabela b Em quanto tempo o avião percorre 2 880 km c Relacione por meio de uma lei a distância percorrida d em quilômetros em função do tempo t em horas 4 Ao receber sua conta de R 8500 referente a TV por assinatura Nair les a seguinte instrução Para pagamentos realizados com atraso serão acrescentados multa de R 170 e juros de R 003 por dia de atraso no pagamento a Qual valor Nair pagaria se atrasasse 15 10 ou 30 dias b Seja x o número de dias de atraso 1 x 30 Qual é a lei ou fórmula que relaciona o total y a ser pago em reais em função de x 5 Em uma atividade um professor pediu aos alunos que desenhassem uma sequência de cinco quadrados a partir da medida de seus lados Para cada quadrado os alunos deveriam calcular o perímetro e a área como mostra a tabela Medida do lado cm 1 35 5 8 10 Medida do perímetro cm Área cm² a Copie a tabela acima no caderno e completea b Qual é a lei de correspondência entre a medida do perímetro p e a medida do lado l do quadrado c Qual é a lei de correspondência entre a área a e a medida do lado l do quadrado d Dobrandose a medida do lado dobrase a medida do perímetro E a área 6 Juntas duas torneiras idênticas com a mesma vazão enchem um reservatório vazio em 20 minutos a Faça uma tabela para representar o tempo em minutos gasto para encher esse mesmo reservatório quando vazio se forem utilizadas 1 4 6 8 e 10 torneiras todas idênticas às das primeiras b Qual é a lei que relaciona o tempo t em minutos gasto para encher tal reservatório de acordo com o número n dessas torneiras c Quantas dessas torneiras seriam necessárias para encher tal reservatório em 1 minuto e 36 segundos 7 Considere um processo de divisão celular em que cada célula se subdivide em outras duas a cada hora a Partindose de uma única célula iniciouse uma experiência científica Faça uma tabela para representar a quantidade de células presentes nessa cultura após 1 2 3 4 5 e 6 horas do início da experiência b Qual é a quantidade mínima de horas completas necessárias para que haja mais de 1000 células na cultura c Qual é a lei que relaciona o número de células n encontrado na cultura após t horas do início da experiência INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA CAMPUS NOVA ODESSA LISTA DE EXERCÍCIOS 04 ALUNO DISCIPLINA CÁLCULO I PROFESSOR EDUARDO SOUZA AULAS 2604 e 030522 SEMESTRE 20221 BIANCHINI RL GIOVANNI JUNIOR JR GIOVANNI ARC URF Campinas Rumo Matemática Completa São Paulo FTD 2017 1 UDESC SC A respeito dos gráficos de funções dadas nas figuras abaixo marque a opção correta quanto à sua monotonidade crescente e decrescente a Gráfico 3 é crescente e o gráfico 6 é decrescente b Apenas os gráficos 2 e 7 são decrescentes c Gráficos 4 e 5 são decrescentes d Gráficos 1 3 e 5 são crescentes e Apenas o gráfico 8 é crescente 2 UDESC SC Em relação aos gráficos abaixo analise as afirmativas e assinale a alternativa correta I O gráfico 1 apresenta uma função decrescente II O gráfico 2 apresenta uma função que não é crescente nem decrescente III O gráfico 3 apresenta uma função crescente IV O gráfico 4 apresenta uma função decrescente 3 Observe e analise os gráficos da figura a seguir Analise as alternativas e escolha a correta a Apenas o gráfico b representa uma função b Ambos os gráficos são funções c Nenhum dos gráficos é função d Apenas o gráfico a representa uma função e Nenhuma das alternativas images of graphs 4 UDESC Observe os gráficos abaixo e responda a Quais dos gráficos representam funções b Qual o conjunto de valores de x em que a função é crescente decrescente ou constante several graphed functions 5 Considerando a função fx x² 4 qual é o valor de f3 a 5 b 9 c 13 d 5 e 9 1 A relação representada pelo esquema abaixo é uma função Justifique diagram of relation 2 Para cada relação abaixo diga se representa uma função Justifique a diagram b diagram c diagram d diagram 3 Dada a função fx 2x 1 determine a f2 b f1 c f0 4 Considere a função fxx² Calcule f3 e f3 5 Considere a função f R R dada por fx 3x 5 Calcule f0 f2 e f4 6 Dada a função gx 2x² 3x 1 calcule a g1 b g1 7 Seja hx x³ 4x calcule h2 e h2 8 Considere a função fx 3 x² Calcule f1 e f1 8 Verifique em cada caso se o esquema define ou não uma função de A em B os pontos assinalados representam os elementos dos conjuntos A e B a diagram b diagram c diagram d diagram 9 Em cada caso verifique se o esquema representa uma função de A em B sendo A 101 e B 21012 Em caso afirmativo dê uma possível lei que define tal função a diagram b diagram c diagram d diagram Professor na correção comente que pode existir mais de uma resposta por exemplo no item a x 1 ou y 2 ou y x etc 10 Sendo A 1 0 1 2 e B 2 1 0 1 2 3 4 verifique em cada caso se a lei dada define uma função de A com valores em B a fx 2x b fx x² c fx 2x 1 d fx x 1 11 Sejam A N e B N Responda a A lei que associa cada elemento de A ao seu sucessor em B define uma função b A lei que associa cada elemento de A ao seu quadrado em B define uma função c A lei que associa cada elemento de A ao seu oposto em B define uma função 12 Considere f uma função de R em R dada por fx 3x² x 4 Calcule a f1 b f1 c f0 d f12 e f2 13 Seja f uma função de R em R definida pela lei fx 3 x 2 x a Calcule f0 f2 e f1 b Seja a R Qual é o valor de fa fa 14 Sendo f N N dada por fx 2x 1x calcule a f0 b f1 c f2 d f2 e f37 15 Considerando f e g funções de Q em Q dadas por fx 3x² x 5 e gx 2x 9 faça o que se pede a Determine o valor de f0 g1f1 b Resolva a equação gx f3 g4 20 Uma função f R R é definida pela lei fx m 4x sendo m uma constante real Sabendo que f1 12 determine o valor de a m b f2 21 Estimase que a população P em milhares de text cut off