Planos Probabilísticos e Amostragens em Estatística

Problema Numa urna témse cinco tiras de papel numeradas 1 3 5 5 7 Uma tira é sorteada e recolocada na urna entéo uma segunda tira é sorteada Sejam X e X2 0 primeiro e o segundo nimeros sorteados Planos probabilisticos Existem varios planos probabilisticos que séo utilizados em situacgdes praticas Vamos descrever brevemente alguns deles a Amostragem Aleatéria Simples AAS Nesse plano as n unidades que compdem a amostra sdo selecionadas de tal forma que todas as possiveis amostras tém a mesma probabilidade de serem escolhidas Podemos ter AAS com e sem reposicéo No problema que foi enunciado anterioremente cada amostra com reposigéo tem probabilidade 125 e cada amostra sem reposicéo 120 de ser escolhida b Amostragem Aleatéria Estratificada Nesse procedimento a populagéo é dividida em subpopu lagdes ou estratos usualmente de acordo com os valores ou categorias de uma varidvel e depois AAS 6é utilizada na selecéo de uma amostra de cada estrato Por exemplo considere uma populacéo de N 10 estudantes para os quais definimos as varidveis renda familiar X e classe social X92 categorizada como A B ou C Entaéo P 1210 e suponha que a matriz de dados seja pat2 15 6 22 12 7 16 13 It B C A C A BC A B B Podemos considerar trés estratos determinados pela varidvel X92 Pa 3 5 st Pg 1 6 9 10 Pe 2 4 7 Um dos objetivos da estratificagéo é homogeneizar a variancia dentro de cada estrato relativamente a principal varidvel de interesse c Amostragem Aleatéria por Conglomerados Como no item b a populacao é dividida em grupos subpopulagées distintos chamados conglomerados Por exemplo podemos dividir uma cidade em bairros ou quadras Usamos AAS para selecionar uma amostra de conglomerados e depois todos os individuos dos conglomerados selecionados sao analisados d Amostragem em Dois Estadgios A populacao é dividida em grupos como em c Num pri meiro estagio através de AAS selecionamos algumas subpopulagoes Num segundo estagio usando novamente AAS retiramos amostras das subpopulacoes selecionadas na primeiro estagio ce Amostragem Sistematica Nesse plano supdese que temos uma listagem das unidades populaci onais Para k fixado sorteamos um elemento entre os k primeiros da listagem Depois observamos sistematicamente individuos separados por k unidades Por exemplo se k 10 e sorteamos 0 oitavo elemento observamos depois o décimo oitavo vigésimo oitavo etc 1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL Problema Numa urna têmse cinco tiras de papel numeradas 1 3 5 5 7 Uma tira é sorteada e recolocada na urna então uma segunda tira é sorteada Sejam X1 e X2 o primeiro e o segundo números sorteados a Determine a distribuição conjunta de X1 e X2 Solução Veja a tabela abaixo X1 X2 1 3 5 7 PX1 x1 1 125 125 225 125 525 3 125 125 225 125 525 5 225 225 425 225 1025 7 125 125 225 125 525 PX2 x2 525 525 1025 525 2525 b Obtenha as distribuições marginais de X1 e X2 Elas são independentes Solução Veja abaixo as distribuições de X1 e X2 Tabela Distribuição da va X1 X1 1 3 5 7 PX1 x1 15 15 25 15 Tabela Distribuição da va X2 X2 1 3 5 7 PX2 x2 15 15 25 15 X1 e X2 são independentes P X1 x1 X2 x2 P X1 x1 P X2 x2 P X1 1 X2 5 P X1 1 P X2 5 225 15 25 logo X1 e X2 são independentes c Encontre a média e a variância de X1 X2 e X X1 X22 Tabela Distribuição da va X X 1 2 3 4 5 6 7 PX x 125 225 525 625 625 425 125 Solução A média e a variância de X1 X2 e X X1 X22 µX1 1 3 5 5 7 1 5 215 4 2 σ2 X1 1 2152 3 2152 5 2152 5 2152 7 2152 1 5 4 16 µX2 1 3 5 5 7 1 5 215 4 2 σ2 X2 1 2152 3 2152 5 2152 5 2152 7 2152 1 5 4 16 µX 11 25 22 25 35 25 46 25 56 25 64 25 71 25 215 4 2 σ2 X 112152 25 222152 25 352152 25 462152 25 562152 25 642152 25 712152 25 215 2 08 2 d Como seriam as respostas anteriores se a primeira tira de papel não fosse devolvida à urna antes da segunda extração Solução Determine a distribuição conjunta sem reposição de X1 e X2 Solução Veja a tabela abaixo X1 X2 1 3 5 7 PX1 x1 1 020 120 220 120 420 3 120 020 220 120 420 5 220 220 220 220 820 7 120 120 220 020 420 PX2 x2 420 420 820 420 2020 Obtenha as distribuições marginais de X1 e X2 Elas são independentes Solução Veja abaixo as distribuições de X1 e X2 Tabela Distribuição da va X1 X1 1 3 5 7 PX1 x1 15 15 25 15 Tabela Distribuição da va X2 X2 1 3 5 7 PX2 x2 15 15 25 15 X1 e X2 são independentes P X1 x1 X2 x2 P X1 x1 P X2 x2 P X1 1 X2 5 P X1 1 P X2 5 220 15 25 225 logo X1 e X2 NÃO são independentes Encontre a média e a variância de X1 X2 e X X1 X22 Solução A média e a variância de X1 X2 e X X1 X22 µX1 1 3 5 5 7 1 5 215 4 2 σ2 X1 1 2152 3 2152 5 2152 5 2152 7 2152 1 5 4 16 µX2 1 3 5 5 7 1 5 215 4 2 σ2 X2 1 2152 3 2152 5 2152 5 2152 7 2152 1 5 4 16 Tabela Distribuição da va X X 2 3 4 5 6 PX x 220 420 620 420 420 µX 22 20 34 20 46 20 54 20 64 20 8420 4 2 σ2 X 222152 20 342152 20 462152 20 542152 20 642152 20 1 56 3 Para o problema anterior em que colhemos todas as amostras possíveis de tamanho 2 com reposição e sem reposição da população 1 3 5 5 7 os repectivos gráficos das distribuições amostrais para n2 3 4 e 5 são apresentados 0 2 4 6 distribuição de x i1 n xi n valores de x freqüência 1 2 3 4 5 6 7 µx 42 σx 2 208 0 4 8 distribuição de s2 i1 n xi x2 n 1 valores de s2 freqüência 0 2 8 18 µs2 416 σs2 2 2557 0 2 4 6 distribuição de x i1 n xi n valores de x freqüência 2 3 4 5 6 µx 42 σx 2 156 0 4 8 distribuição de s2 i1 n xi x2 n 1 valores de s2 freqüência 0 2 8 18 µs2 52 σs2 2 2656 Distribuição Amostral da Média e Variância para AAS com e sem reposição n 2 0 10 20 distribuição de x i1 n xi n valores de x freqüência 1 3 5 7 µx 42 σx 2 139 0 20 40 distribuição de s2 i1 n xi x2 n 1 valores de s2 freqüência 0 4 933333333333333 µs2 416 σs2 2 1128 0 5 10 distribuição de x i1 n xi n valores de x freqüência 3 433333333333333 µx 42 σx 2 069 0 10 20 distribuição de s2 i1 n xi x2 n 1 valores de s2 freqüência 133333333333333 933333333333333 µs2 52 σs2 2 869 Distribuição Amostral da Média e Variância para AAS com e sem reposição n 3 4 0 40 80 distribuição de x i1 n xi n valores de x freqüência 1 2 3 4 5 6 7 µx 42 σx 2 104 0 40 80 distribuição de s2 i1 n xi x2 n 1 valores de s2 freqüência 0 4 8 12 µs2 416 σs2 2 702 0 20 40 distribuição de x i1 n xi n valores de x freqüência 35 4 45 5 µx 42 σx 2 026 0 20 40 distribuição de s2 i1 n xi x2 n 1 valores de s2 freqüência 266666666666667 633333333333333 µs2 52 σs2 2 287 Distribuição Amostral da Média e Variância para AAS com e sem reposição n 4 0 200 500 distribuição de x i1 n xi n valores de x freqüência 1 18 3 38 5 58 7 µx 42 σx 2 083 0 200 400 distribuição de s2 i1 n xi x2 n 1 valores de s2 freqüência 0 2 4 6 8 108 µs2 416 σs2 2 504 0 40 80 distribuição de x i1 n xi n valores de x freqüência 42 µx 42 σx 2 0 0 40 80 distribuição de s2 i1 n xi x2 n 1 valores de s2 freqüência 52 µs2 52 σs2 2 0 Distribuição Amostral da Média e Variância para AAS com e sem reposição n 5 5 População 2 3 e 7 Uma população consiste nos valores 2 3 e 7 Completem na tabela abaixo todas as diferentes amostras possíveis de tamanho n 2 aleatoriamente retiradas com reposição da população iden tifique a distribuição amostral específica da média mediana amplitude variância desviopadrão e proporção de números ímpares Tabela 1 Distribuições amostrais das estatísticas médiax medianax amplitudeR variâncias2 desvio padrãos e proporçãoˆp amostra Média Mediana Amplitude V ariância Desvpad Prop Prob n2 x x R s2 s ˆp P 2 2 2 2 0 0 0 0 01111 2 3 25 25 1 05 07071 05 01111 2 7 45 45 5 125 35355 05 01111 3 2 25 25 1 05 07071 05 01111 3 3 3 3 0 0 0 1 01111 3 7 5 5 4 8 28284 1 01111 7 2 45 45 5 125 35355 05 01111 7 3 5 5 4 8 28284 1 01111 7 7 7 7 0 0 0 1 01111 média µx 4 µx 4 µR 2 2222 µs2 4 6667 µs 1 5713 µˆp 0 6667 Parâmetro µ 4 δ 3 ρ 5 σ2 4 6667 σ 2 1602 p 0 6667 atinge o alvo SIM NÃO NÃO SIM NÃO SIM Interpretação Com base nos resultados apresentados na tabela podemos ver que ao se usar uma estatís tica amostral para se estimar um parâmetro populacional algumas estatísticas são boas no sentido de que elas atingem o alvo do parâmetro populacional portanto provavelmente fornecerão bons resultados Tais estatísticas são chamadas Estimadores Não Tendenciosos 00 05 10 15 20 Média Média 4 NÃO VICIADO freqüência 2 3 45 7 00 05 10 15 20 Mediana Média 4 VICIADO freqüência 2 3 45 7 00 10 20 30 Amplitude Média 22222 VICIADO freqüência 0 1 4 5 00 10 20 30 Variância Média 46667 NÃO VICIADO freqüência 0 8 125 00 10 20 30 Desvio padrão Média 15713 VICIADO freqüência 0 282842712474619 0 1 2 3 4 Proporção de nºs impares Média 06667 NÃO VICIADO freqüência 0 05 1 Distribuição Amostral da Média Mediana Amplitude Variância Desvio Padrão e Proporção de nºs impares com n 2 Figura 1 distribuição amostral para n2 6 Escores de QI Quociente de inteligéncia abreviado para QI de uso comum é um valor obtido por meio de testes desenvolvidos para avaliar as capacidades cognitivas inteligéncia de um sujeito E a expressao do nivel de habilidade de um individuo num determinado momento em relagéo ao padrao ou normas comum a sua faixa etaria considerando que a inteligéncia de um individuo em qualquer momento é o produto final de uma complexa sequéncia de interagoes entre fatores ambientais e hereditarios Enunciado do problema Suponha que os adultos tenham escores de QI normalmente distribuidos com média js 100 e desvio padraéo o 15 como no teste de Wechsler Foi realizado um estudo para investigar tal conjuctura e para isso foi selecionada uma amostra aleatdéria de tamanho n 36 dos escores de QI dessa populacgaéo Os valores dos escores de QI na amostra variam de 835 a 1155 pontos o escore de QI médio na amostra foi de y 985 pontos e o desvio padrao foi de s 12 pontos Com base nestas informagoes associe o numero de cada termo ou valor associado no contexto deste estudo a Unidade elementar Solugéo Cada escore de QI individualmente b Variavel Solucao Escore de QI do individuo c Amostra Solucado Valores dos escore de QI do grupo de pessoas selecionadas no estudo d Valor do parémetro populacional de interesse Solucéo A média yw 100 e Média dos escores de QI da amostra Solucéo A média 985 f Variancia dos escores de QI da amostra Solucdo A varidncia s 12 144 g Distribuicgéo amostral do escore médio de QI em amostras de tamanho n 36 obtida com base nos parametros populacionais ge oy 41004 1 Solugéo Seja y o escore médio de QI logo y N us 100 oy S36 25 h Uma estatistica amostral calculada além das de interesse amplitude Solugéo Amplitude 1155 835 32 pontos 7 PROBLEMA EMPACOTAMENTO DE PACOTES DE CAFE Enunciado do problema Uma maquina automatica de encher pacotes de café encheos segundo uma distribuigao normal com média yz e desvio padrao de o 20 g O valor de u pode ser fixado por um mostrador situado numa posigéo um pouco inacessivel dessa maquina A maquina foi regulada para pp 500 g Desejamos de meia em meia hora colher uma amostra de n 25 pacotes e verificar se a producaéo esta sob controle isto é se o peso médio amostral estiver abaixo de 492 g ou acima de 508 o processo de produgao é parado e a maquina de encher é ajustada Responda os itens abaixo utilizando para os calculos 2 casas decimais Y peso de um pacote de café Y Nw 500 0 400 Y peso médio de uma amostra de 25 pacotes Y N500 40025 a Qual é a probabilidade de uma caixa selecionada ao acaso ter peso entre 496 e 504 gramas Solucaio P 496 Y 504 P 5 You Sas a0e 6702 z02 05793 04207 01585 b Qual é a probabilidade do peso médio de uma amostra de n 25 caixas estar entre 496 e 504 gramas Solugao P 496 Y 504 P Ge sos 610z10 08413 01587 Y 06827 c Desejase saber qual é 0 peso de uma caixa que é superado por apenas 15 das caixas Solugéo PY y 015 PY y085 y 520 7287 d Desejase saber qual é 0 peso médio amostral que é superado por 15 das amostras Solugio PY 9 PZ E2 015 PZ 2 085 y 500 10364 y 500 10364 x 4 504 1497 e Considerando a maquina ajustada qual é a probabilidade de encontrar um peso médio amostral fora dos limites 492 508 Solugéo 1 P 492 Y 508 1P seem soja 1 z20 z20 Y 1 09772 00228 1 09545 00455 f Considerando a maquina ajustada qual deveria ser o valor critico A em gramas tal que PwAY pA 095 Solugdo PuwAY pA 095 A196 x 4784 g Suponha que ocorra uma alteracéo na mdquina modificando o peso médio de yu 500 para fo 495 gramas sem que o desviopadrao seja alterado Qual seria a proporgaéo dos pesos médios amostrais fora dos limites 492508 lembrando que proporcaéo é um nimero entre 0 e 1 Solugéo P Y 492 UY 508 uo 495 PZ 454 4 PZ 8548 O7075 1 7325 02266 1 09994 02266 00006 02272 8 Enunciado do problema As caixas de cereais produzidas em uma determinada fabrica séo regularmente inspecionadas e devem conter o peso médio de 550 gramas Assumese que os pesos individuais das caixas seguem uma distribuigéo normal de média 550 e desvio padrao de 20 gramas Nas inspecgoes de rotina o fiscal seleciona uma amostra aleatéria de 12 caixas de cereais e se 0 peso médio amostral estiver abaixo de 544 ou acima de 556 o processo de fabricagao é parado e a maquina de encher as caixas é ajustada Y peso de uma caixa de cereais Y Nu 550 0 400 Y peso médio de uma amostra de 12 caixas Y N550 40012 a Qual é a probabilidade de uma caixa selecionada ao acaso ter peso entre 538 e 559 gramas Solugdo P538 Y 559 P P3858 Z 890 P0600 Z 0450 0399 b Qual é a probabilidade do peso médio de uma amostra de 12 caixas estar entre 538 e 559 gramas zy Vy 538550 559550 Solucaio P538 Y 559 P 28580 Z 550550 P2078 Z 1559 0922 c Desejase saber qual é 0 peso de uma caixa que é superado por apenas 25 das caixas Solugéo PY y 0025 y 5892 d Desejase saber qual é 0 peso médio amostral que é superado por 25 das amostras Solugdo PY y 0025 y 5613 e Considerando a maquina ajustada qual é a probabilidade de encontrar um peso médio amostral fora dos limites 544 556 xo PIV Vy 544550 556550 Solugao PY 544UY 556 P IZ 514550 P IZ 56550 PZ 104PZ 104 0299 f Considerando a maquina ajustada qual deveria ser o valor critico A em gramas tal que Puw A Y ptA 095 Solucao PIpAY ajP A Z A 095 ae L2012 20vn jo 20 A 1960 113 Vv 12 g Suponha que ocorra uma alteragéo na mdquina modificando o peso médio de 550 para 535 gramas sem que o desviopadrao seja alterado Qual seria a proporcaéo dos pesos médios amostrais fora dos limites 544 556 lembrando que proporgéo é um nimero entre 0 e 1 5 544535 556535 Solugéo PY 544UY 556 P 2 St 935 P IZ 536935 PZ 1559 PZ 3637 0941 9 Enunciado do problema As caixas de cereais produzidas em uma determinada fabrica séo regularmente inspecionadas e devem conter o peso médio de 4 450 gramas Assumese que os pesos individuais das caixas seguem uma distribuicgéo normal de média p 450 e desvio padrao de o 20 gramas Nas inspecdes de rotina o fiscal seleciona uma amostra aleatéria de n 12 caixas de cereais e se o peso médio amostral estiver abaixo de 444 ou acima de 456 o processo de fabricagao é parado e a maquina de encher as caixas é ajustada Y peso de uma caixa de cereais Y Nu 450 0 400 Y peso médio de uma amostra de 12 caixas Y N450 40012 a Qual é a probabilidade de uma caixa selecionada ao acaso ter peso entre 438 e 459 gramas Solugdo P438 Y 459 P 8588 Z 949 P0600 Z 0450 0399 b Qual é a probabilidade do peso médio de uma amostra de 12 caixas estar entre 438 e 459 gramas zy Vy 438450 459450 Solucaio P438 Y 459 P 38450 Z 459450 P2078 Z 1559 0922 c Desejase saber qual é 0 peso de uma caixa que é superado por apenas 5 das caixas Solugdo PY y 005 y 4829 d Desejase saber qual é 0 peso médio amostral que é superado por 5 das amostras Solugdo PY y 005 y 4595 e Considerando a maquina ajustada qual é a probabilidade de encontrar um peso médio amostral fora dos limites 444 456 xo PIV Vy 444450 456450 Solugao PY 444UY 456 P IZ 444450 P IZ 456450 PZ 104PZ 104 0299 f Considerando a maquina ajustada qual deveria ser o valor critico A em gramas tal que P A Y pwA09 Solucao PIpAY ajP A Z A 09 a 90V12 20vnj 20 A 1645 95 V12 g Suponha que ocorra uma alteragéo na mdquina modificando o peso médio de 450 para 440 gramas sem que o desviopadrao seja alterado Qual seria a proporcaéo dos pesos médios amostrais fora dos limites 444 456 lembrando que proporgéo é um nimero entre 0 e 1 x DIV Ty 444440 456440 Solugéo PY 444UY 456 P 2 s440 P IZ 56440 PZ 0693 PZ 2771 0759 10 PROBLEMA EMPACOTAMENTO DE PACOTES DE CAFE Enunciado do problema Uma maquina automatica de encher pacotes de café encheos segundo uma distribuigao normal com média yz e desvio padrao de o 15 g O valor de wu pode ser fixado por um mostrador situado numa posigéo um pouco inacessivel dessa maquina A maquina foi regulada para pp 450 g Desejamos de meia em meia hora colher uma amostra de n 10 pacotes e verificar se a producaéo esta sob controle isto é se o peso médio amostral estiver abaixo de 445 g ou acima de Z 455 o processo de produgao é parado e a maquina de encher é ajustada Responda os itens abaixo utilizando para os calculos 2 casas decimais Y peso de um pacote de café Y Np 450 0 225 Y peso médio de uma amostra de 10 pacotes Y N450 22510 a Qual é a probabilidade de uma caixa selecionada ao acaso ter peso entre 441 e 457 gramas Solugao P441 Y 457 P 438 Z SE P0600 Z 0467 0405 b Qual é a probabilidade do peso médio de uma amostra de n 10 caixas estar entre 441 e 457 gramas zy Vy 441450 457450 Solucaio P441 Y 457 P sars5e Z 457450 P1897 Z 1476 0901 c Desejase saber qual é 0 peso de uma caixa que é superado por apenas 15 das caixas Solugéo PY y 015 y 4655 d Desejase saber qual é 0 peso médio amostral que é superado por 15 das amostras Solucao PY y 015 1 PY y 015 PY y 085 y 450 10394 47434 4549 e Considerando a maquina ajustada qual é a probabilidade de encontrar um peso médio amostral fora dos limites 445 455 xo PIV V 445450 455450 SolugéoPY 445UY 455 P IZ 445150 P Z 455450 PZ 105 PZ 105 0292 f Considerando a maquina ajustada qual deveria ser o valor critico A em gramas tal que PwAY pA 098 Solucao PIupAY ajP A Z A 098 pense 8 i5Vi0 1Bvn 15 A 2326 110 Vv 10 g Suponha que ocorra uma alteracéo na mdquina modificando o peso médio de yp 435 para fo 495 gramas sem que o desviopadrao seja alterado Qual seria a proporgaéo dos pesos médios amostrais fora dos limites 445 455 lembrando que proporgaéo é um nimero entre 0 e 1 so PIV Vy 445435 455435 Solugéo PY 445UY 455 P 2 45435 P IZ 55125 PZ 2108 PZ 4216 0983 11 Enunciado do problema Um pecuarista possui um rebanho e monitora 0 peso dos animais periodicamente Como o rebanho é muito grande ele escolhe alguns animais ao acaso de cada vez Em uma determinada pesagem ele seleciona 20 animais que mostram um peso médio de 430 kg Assuma que o desvio padrao dos pesos dos animais do rebanho é conhecido e igual a 20 kg Com base nestas informacoes responda para cada termo abaixo o contexto deste estudo Populacao Solugéo Pesos de todos os animais do rebanho Varidvel aleatéria Solugaéo Y peso do animal em kg Parametros da populacao Solucdo pz Peso médio dos animais do rebanho o varidncia dos pesos dos animais do rebanho Estimador do parémetro populacional desconhecido Solugao 7 SO yin Variancia do estimador do paraémetro desconhecido Solucdo on Distribuicéo amostral do estimador do parametro desconhecido Solugao Y Np 07n Valor numérico do peso médio dos animais da populacao Solugao Desconhecido Amostra Solucao Pesos dos 20 animais amostrados Tamanho da amostra Solugao n 20 Margem de erro de um intervalo de confianca de 90 para o pardmetro desconhecido Solugao 1645 x 2020 12 INTERVALO DE CONFIANCA Problema Vamos considerar que o peso de criangas de 6 anos de idade varie segundo uma distribuigéo normal de média e desviopadrao desconhecidos Numa amostra de n 6 criangas os pesos em kg obtidos foram 204 180 Responda as quest6es a seguir a Considerando o intervalo bilateral de confianga de 86 para peso médio de criangas de 6 anos de idade qual é o limite inferior desse intervalo Solugéo Para ICu 86 o limite inferior LI é LI tayo sVn 1825 17529 172 V6 170 b Considerando o intervalo bilateral de confianga de 86 para peso médio de criangas de 6 anos de idade qual é o limite superior desse intervalo Solugao Para ICw 86 o limite superior LS é LS tyo sVn 1825 17529 172V6 195 c Com as informagées obtidas nesta amostra calcule qual seria a margem de erro de um intervalo de confiana de 95 para peso médio de criangas de 6 anos de idade Solucéo A margem de erro para IC 95 é e tayo sn 25706 172V6 18 d Suponha que se esteja insatisfeito com a margem de erro obtida no item anterior Para um levantamento futuro sobre este mesmo problema desejariase que ela fosse um terco da margem de erro obtida Usando 0 mesmo nivel de confiancga adotado no item anterior o tamanho amostral para o levantamento futuro deveria ser o tamanho amostral atual multiplicado por quanto Solugéo Desejase que a nova margem de erro seja um terco da margem de erro anterior Entéo o tamanho amostral para o levantamento futuro n deverad ser o tamanho amostral atual n multiplicado por 9 pois tas s n 4 n3n9 e3 13 TAMANHO DA AMOSTRA O objetivo de uma pesquisa é estimar a proporcgao de consumidores de uma marca de calcados que estariam dispostos a adquirir um produto fabricado com materiais biodegradaveis com uma margem de erro de no maximo 001 p proporcado de consumidores numa amostra de tamanho n pl p pN n a Qual o tamanho amostral minimo necessario para satisfazer essa exigéncia com uma confianga de 85 Considere nos seus calculos que nao existe nenhum conhecimento sobre a proporgao de consumidores da marca que estariam dispostos a adquirir um produto biodegradavel Solugao Como nao se sabe qual é a magnitude da proporcao desejada para o calculo do tamanho de amostra consideramos o valor p 12 e maximizamos o tamanho de amostra para a margem de erro e 001 exigida e confianca de 85 2 Za2 2 144 1 1 n plp 1 5181 e POPoo 9 2 b Qual o tamanho amostral minimo necessario para satisfazer essa exigéncia com uma confianga de 85 utilizando a informagao adicional de que a proporcaéo deve ser no maximo igual a 025 Solugaéo Como agora temos a informacao adicional de que a proporcao desejada é de no maximo p 025 para o caélculo do tamanho de amostra consideramos o valor p 025 e calculamos o tamanho de amostra para a margem de erro e 001 exigida e confianga de 85 Zo22 144 n 4 p1p 025 1 025 3886 e 001 14 Teste de Hipdéteses Definigaéo Em estatistica uma hipdtese é uma afirmativa sobre uma propriedade de uma populacaéo Um teste de hipdtese ou teste de significancia é um procedimento padrao para se testar uma afirmativa sobre uma propriedade de uma populacao A hipdtese nula representada por Ho é uma afirmativa de que o valor de um parémetro populacional como proporgéo média ou desvio padrao é igual a algum valor especificado Para a média temos as trés formas possiveis para a hipotese nula Ho w 10 Ho uw po Ou Ao pw po onde pio algum valor Testamos a hipdétese nula diretamente no sentido de que supomos que ela seja verdadeira e chegamos a uma conclusdo para rejeitar Ho ou deixar de rejeitar Ho A hipdtese alternativa representada por H ou H ou Ha é a afirmativa que o parametro tem um valor que de alguma forma difere da hipdétese nula Para a média a hipdtese alternativa comporta apenas uma das trés formas Ay uw wo Hi uw po ou Ay pw po onde po algum valor Note que H é 0 oposto de Ho Estatistica de teste A estatistica de teste 6 um valor usado para se tomar a decisdo sobre a hipdtese nula e é encontrada pela conversdo da estatistica amostral como a proporcgaéo amostral f ou a média amostral ou o desvio padrao s em um escore como z t ou x com a suposicdo de que a hipétese nula seja verdadeira Estatistica de teste para a média z 2 n ou to 2 Vn 2 Estatistica de teste para a variancia ou o desvio padrao y3 ye Estatistica de teste para a proporcéo z9 S22 Vnpo1po Regiao critica A regiao critica ou regiao de rejeigéo é o conjunto de todos os valores da estatistica de teste que nos fazem rejeitar a hipdtese nula Valor critico um valor critico é qualquer valor que separa a regiao critica onde rejeitamos a hipétese nula dos valores da estatistica de teste que nao levam A rejeigéo da hipétese nula Os valores criticos dependem da natureza da hipdétese nula da distribuigaéo amostral principal que se aplica o nivel de significancia e Um valor P ou valor de probabilidade é a probabilidade de obter um valor da estatistica amostral de teste que seja no minimo tao extremo quanto aquele que representa dos dados amostrais supondo que a hipdétese nula seja verdadeira A hipdtese nula é rejeitada se o valor P for muito pequeno tal como 005 ou menos e Erro Tipo I Consiste em rejeitar a hipdtese nula quando ela é verdadeira O erro tipo I nao é um calculo malfeito ou uma fase de processo mal desempenhada é um erro que pode ocorrer como consequéncia casual de um evento raro A probabilidade de rejeitar a hipdtese nula quando ela é verdadeira é chamada de nivel de significdncia e se denota por a alfa O valor de a é tipicamente predeterminado sao comuns as escolhas a 005 e a 001 Erro Tipo II Consiste em nao rejeitar a hipdétese nula quando ela é falsa Usase 0 simbolo 6 beta para representar a probabilidade de um erro tipo II 15 Tomada de decisão Comparação do Teste de Hipóteses com as opções de decisão em um Tribunal de Justiça Teste de Hipóteses Tribunal de Justiça Situação Verdadeira Situação Verdadeira Decisão H0 verdadeira H0 falsa Decisão Inocente Culpado Rejeitar H0 Erro Tipo I correto Condenar Erro maior correto Não Rejeitar H0 correto Erro Tipo II Absolver correto Erro menor Julgamento no tribunal O procedimento de um teste estatístico é comparável ao julgamento de um crime O réu não é considerado culpado na medida em que sua culpa não é provada O promotor tenta provar a culpa do réu Quando houver provas de acusação suficientes o réu é condenado No início do procedimento há duas hipóteses H0 o réu não é culpado e H1 o réu é culpado H0 é a hipótese nula aceita no momento presunção da inocência H1 é a hipótese alternativa a qual esperase apoiar A hipótese de inocência somente é rejeitada quando o erro é muito improvável porque não se quer condenar um réu inocente Este erro é chamado de erro do tipo I isto é a convicção de uma pessoa inocente e a ocorrência deste erro é controlada para ser rara Como uma consequência desde comportamento assimétrico o erro do tipo II absolver uma pessoa que cometeu um crime muitas vezes é muito grande H0 é verdadeira O réu não é culpado H1 é verdadeira O réu é culpado Hipótese nula é aceita Absolvição Decisão Certa Decisão errada Erro Tipo II Hipótese nula é rejeitada Condenação Decisão errada Erro Tipo I Decisão Certa Um julgamento criminal pode considerar os procedimentos de decisão culpado e não culpado ou evidência e limiar Por um lado o réu é julgado Por outro lado o desempenho do promotor detém o ônus da prova também é julgado Portanto um teste de hipóteses pode ser considerado tanto como o julgamento de uma hipótese quanto como o julgamento de uma evidência Nos Estados Unidos o erro de condenar um réu inocente é visto como mais grave do que o erro de inocentar um réu culpado Consequentemente o sistema legal coloca o ônus da prova na acusação para estabelecer a culpa além uma dúvida razoável Se não forem apresentadas provas suficientes ao tribunal o réu é absolvido Da mesma forma em um teste de hipótese o ônus é colocado no analista para que o mesmo forneça evidências convincentes de que a hipótese nula H0 é falsa na ausência de tal evidência a hipótese nula H0 é verdadeira Continuando a analogia na estrutura de teste de hipóteses o caminho para reduzir a probabilidade de cometer um erro Tipo II sem comprometer o controle do erro Tipo I é necessário buscar um tamanho de amostra maior No quadro jurídico os tribunais podem reduzir melhor a probabilidade de absolver réus culpados obtendo o máximo de evidência relevante possível 16 O Erro Tipo I e o Erro Tipo II Existem dois tipos de erros o Erro Tipo I de rejeitar H0 quando H0 é verdadeira e o Erro Tipo II de não rejeitar H0 quando H0 é falsa No método tradicional de teste de hipóteses o estatístico préespecifica o nível de significância α a proba bilidade máxima de cometer um Erro Tipo I Sujeito a essa restrição selecionamos um procedimento de teste que fornece bom controle sobre β a proba bilidade de cometer um Erro Tipo II Esta probabilidade é uma função do parâmetro desconhecido que está sendo testado Um gráfico da proba bilidade contra o parâmetro é chamado de curva característica de operação curva CO do teste O poder de um teste de hipótese é a probabilidade de corretamente rejeitar a hipótese nula quando a hipótese nula é falsa equivalentemente a probabilidade 1 β Uma curva poder é um gráfico da probabilidade de rejeitar H0 contra o valor verdadeiro do parâmetro Ela contém informações idênticas ao transmitido por uma curva CO Importância do tamanho da amostra Os três conjuntos de painéis mostram a mesma hipótese nula µ0 8 e alternativas hipótese µ1 8411 com três tamanhos de amostra diferentes n 32 64 128 e seus repectivos poder do teste 0315 0500 0752 Cada conjunto contém um gráfico da distribuição normal no painel superior com o poder do teste no painel do meio e a curva do valor de beta curva característica de operacão no painel inferior A área rosa em cada painel superior mostra o poder do teste a probabilidade de que um observado x estará à direita do valor crítico xc 8411 quando a verdadeira média é µ1 8411 A curva cinza em cada painel central é a curva poder mostrando a poder para todos os valores possíveis da média alternativa µ1 O alvo no painel central estão em µ1 8411 e πµ1 8411 A área vermelha nos painéis superiores mostram β 1 π a probabilidade do Erro Tipo II normal σx 03536 n 32 w x φz σx 00 02 04 06 08 10 12 65 70 75 80 85 90 95 wobs 85 wc 8582 µa 8411 µ0 8 α 005 β 06852 1 β 03148 p 00786 Figura 2 erro tipo I e tipo II e poder do teste para n32 17 normal σx 025 n 64 w x φz σx 00 05 10 15 65 70 75 80 85 90 95 wobs 85 wc 8411 µa 8411 µ0 8 α 005 β 05003 1 β 04997 p 00228 Figura 3 erro tipo I e tipo II e poder do teste para n64 normal σx 01768 n 128 w x φz σx 00 05 10 15 20 65 70 75 80 85 90 95 wobs 85 wc 8291 µa 8411 µ0 8 α 005 β 02482 1 β 07518 p 00023 Figura 4 erro tipo I e tipo II e poder do teste para n128 18 Intervalos de Confiança normal σx 03536 n 32 w x φz σx 00 02 04 06 08 10 12 65 70 75 80 85 90 95 wUCL 9082 wobs 85 095 normal σx 025 n 64 w x φz σx 00 05 10 15 65 70 75 80 85 90 95 wUCL 8911 wobs 85 095 normal σx 01768 n 128 w x φz σx 00 05 10 15 20 65 70 75 80 85 90 95 wUCL 8791 wobs 85 095 Figura 5 intervalo de confiança para n32 64 e 128 19 Na sequência apresentamos o teste t utilizando hipótese nula µ0 8 contra a hipótese alternativa µ1 94 A primeira figura logo acima sob a suposição de variância conhecida o que implica que o curva de densidade para a alternativa também é normal com a mesma variância sob a hipótese nula H0 a potência é 0782 A segunda figura logo abaixo sob a suposição de variância desconhecida que requer que s deve ser estimado a partir dos dados a distribuição alternativa tem uma distribuição t não central A hipótese nula tem um menor valor de pico central e maior valor crítico enquanto a hipótese alternativa não é mais simétrica e tem um valor de pico ainda menor Veja mais discussões sobre a distribuição t não central normal σx 05774 n 12 w x φz σx 00 02 04 06 7 8 9 10 wobs 895 wc 895 µa 94 µ0 8 α 005 β 02177 1 β 07823 p 00499 Figura 6 erro tipo I e tipo II e poder do teste para suposição de variância conhecida t sx 05774 n 12 ν 11 w x fνt sx 00 02 04 06 7 8 9 10 wobs 895 wc 9037 µa 94 µ0 8 α 005 β 02653 1 β 07347 p 00641 Figura 7 erro tipo I e tipo II e poder do teste para suposição de variância desconhecida 20 PROBLEMA QUEIMA DO PROPELENTE SOLIDO Suponha que um engenheiro esteja proje tando um sistema de escape da tripulacgéo de uma aeronave que consiste em um assento de ejecéo e um motor de foguete que energiza o assento O motor de foguete contém um propelente Se a taxa de queima for muito baixa o assento de ejecéo podera nao funcionar apropriadamente levando a uma ejecéo nao segura e possivel injiria do piloto Taxas maiores de queima podem implicar instabilidade no propelente ou um assento de ejecao muito potente levando outra vez a uma possivel injiria do piloto Para o assento de ejecao funcionar apropriadamente o propelente deve ter uma taxa minima de queima de py 50 cms Sabemos que o desvio padrao da taxa de queima seja conhecida o 25 cms O experimentador decide especificar uma probabilidade do erro tipo I de a 005 Ele seleciona uma amostra aleatéria de n 10 propelentes e obtém uma taxa de queima de 515 centimetros por segundo Responda abaixo a O parametro de interesse é 1 a taxa média de queima b A hipétese nula Ho u 50cms a taxa média de queima estdé adequada c A hipétese alternativa Hy 4 50cms a taxa média de queima nao esta adequada d A estatistica de teste z Gun N0 1 ER 515 500 V10 Calculos z wvn 15 500 v10 190 o 25 e Apresente a regiao critica com seus respectivos valores criticos isto é rejeite Ho se normal oz 07906 n10 Wotherside 485 Wobs 915 We 4845 We 9155 Hy 50 cs in i 04 i 03 in 0Z 65 02 K u oo p00578 wXx f Conclusées apresente uma interpretacdo pratica NAO REJEITAMOS a hipotese nula Hp p 50 cms ao nivel de significanica de a 005 portanto podemos concluir que a taxa média de queima esta adequada g Determine o valor P isto 6 0 Erro Tipo I o menor valor a que resulta na rejeicgaéo da hipdétese nula Ho ou seja o nivel exato de significancia de um teste estatistico Valor P P Erro tipo I P Rejeitar a hipétese Hp Hp é verdadeira 21 Zo Pl 485 ou 515 uw 50 P z 485 500 079 ou z 515 50 079 P z 190 ou z 190 21 6190 00578 e o tipo do Teste de Hipétese é bilateral Essa é a probabilidade do erro tipo I Isso implica que 578 de todas as amostras aleatérias conduziriam a rejeicgdo da hipdétese Hp 4 50 centimetros por segundo quando a taxa média verdadeira de queima fosse realmente 50 centimetros por segundo 21 h Calcule 6 P Erro tipo II J para yw 520 e o poder do teste 7 1 8 que é a Probabilidade de corretamente rejeitar a hipdétese Hy quando a hipdtese nula Ho é falsa PnAo rejeitar a hipdtese Ho Ho é falsa P 4845 5155 uy 520 5155 520079 4855 520079 02844 00000 0 2844 normal og 07906 n10 Wotherside 485 Wobs 915 We 4845 We 9155 Ho 50 Ha 52 r 05 u h y 0zox Ot B 02844 oo p 00578 eg wX i Apresente um intervalo de confianga bilateral de 1001 a para ys ao nivel de significéncia de a 005 que é dado por Plz 202 Ta pwsEt Za2Fz 1a normal og 07906 n10 4975 5285 WicL Wepe 513 Wuci 0 wX Embora testes de hipdteses e ICs sejam procedimentos equivalentes visto que a tomada de deciséo ou inferéncia sobre jz seja de interesse cada um fornece de algum modo percepcées diferentes Por exemplo o intervalo de confiancga fornece uma faixa de valores provaveis para 4 em um nivel estabelecido de confianga enquanto o teste de hipdéteses é uma estrutura facil para dispor os niveis de risco tal como o valor P associado a uma decisdo especifica 22 Repita o problema anterior utilizando n 16 PROBLEMA QUEIMA DO PROPELENTE SOLIDO Suponha que um engenheiro esteja proje tando um sistema de escape da tripulacgéo de uma aeronave que consiste em um assento de ejecéo e um motor de foguete que energiza o assento O motor de foguete contém um propelente Se a taxa de queima for muito baixa o assento de ejecéo podera nao funcionar apropriadamente levando a uma ejecéo nao segura e possivel injiria do piloto Taxas maiores de queima podem implicar instabilidade no propelente ou um assento de ejecao muito potente levando outra vez a uma possivel injiria do piloto Para o assento de ejecao funcionar apropriadamente o propelente deve ter uma taxa minima de queima de py 50 cms Sabemos que o desvio padrao da taxa de queima seja conhecida o 25 cms O experimentador decide especificar uma probabilidade do erro tipo I de a 005 Ele seleciona uma amostra aleatéria de n 16 propelentes e obtém uma taxa de queima de 515 centimetros por segundo Responda abaixo a O parametro de interesse é 1 a taxa média de queima b A hipétese nula Ho u 50cms a taxa média de queima estdé adequada c A hipétese alternativa Hy 4 50cms a taxa média de queima nao esta adequada d A estatistica de teste z G wa N0 1 ER 515 500 V16 Calculos z Wyn 515 500 v 16 24 o 25 e Apresente a regiao critica com seus respectivos valores criticos isto é rejeite Ho se normal oz 0625 n16 Wotherside 485 Wops 915 We 4878 We 9122 Ho 50 ot 06 1 io io hot i ot 0 1 olor 7 7 00 ao wX f ConclusGes apresente uma interpretagéo pratica REJEITAMOS a hipétese nula Ho pw 50 cms ao nivel de significanica de a 005 portanto podemos concluir que a taxa média de queima nao esta adequada g Determine o valor P isto é 0 Erro Tipo I o menor valor a que resulta na rejeigaéo da hipdétese nula Ho ou seja o nivel exato de significancia de um teste estatistico Valor P P Erro tipo I P Rejeitar a hipdtese Ho Ho é verdadeira 21 6Zo Pl 485 ou 515 w 50 Pl z 485 500 0625 ou z 515 50 0625 P z 240 ou z 240 21 6240 0 0164 ee o tipo do Teste de Hipétese é bilateral Essa é a probabilidade do erro tipo I Isso implica que 164 de todas as amostras aleatérias conduziriam a rejeicgdo da hipdétese Hp 4 50 centimetros por segundo quando a taxa média verdadeira de queima fosse realmente 50 centimetros por segundo 23 h Calcule 6 P Erro tipo II J para yw 520 e o poder do teste 7 1 8 que é a Probabilidade de corretamente rejeitar a hipdétese Hy quando a hipdtese nula Ho é falsa PnAo rejeitar a hipdétese Ho Ho é falsa P 4878 5122 uy 520 65122520 0625 48785200625 z1246z516 0107500000 01075 normal o0625 n16 Wotherside 485 Wobs 515 We 4878 We 3122 Ho 50 Ha 52 a a rot ot 06 a to 4 ot 0 7 7 rot it 2 ox 7 2 tos B 08925 an rpotore bo p 00764 a a T wX i Apresente um intervalo de confianga bilateral de 1001 a para ys ao nivel de significéncia de a 005 que é dado por Plz 202 Ta pwsEt Za2Fz 1a normal oz 0625 n16 WLicL 5008 Wee 513 WucL 5252 A 0 wX Embora testes de hipdteses e ICs sejam procedimentos equivalentes visto que a tomada de deciséo ou inferéncia sobre jz seja de interesse cada um fornece de algum modo percepcées diferentes Por exemplo o intervalo de confiancga fornece uma faixa de valores provaveis para 4 em um nivel estabelecido de confianga enquanto o teste de hipdéteses é uma estrutura facil para dispor os niveis de risco tal como o valor P associado a uma decisdo especifica 24 Repita o problema utilizando o seguinte enunciado Suponha que desejamos testar as hipóteses hipótese nula H0 µ µ0 contra hipótese alternativa H1 µ µ0 sendo µ0 uma constante especificada Temos uma amostra aleatória X1 X2 Xn proveniente de uma população normal Visto que x tem uma distribuição normal isto é a distribuição amostral de x é normal com média µ0 e desviopadrão σn se a hipótese nula for verdadeira poderemos calcular um valor P ou construir uma região crítica baseada no valor calculado da média amostral Para x 505 utilzando n 10 25 50 100 400 1000 Mostre que n valor P x 505 potência α 005 quando µ 505 IC para µ 10 05271 00969 4895 5205 16 04237 01259 4928 5172 25 03173 01701 4952 5148 50 01573 02930 4981 5119 100 00455 05160 5001 5099 400 00000 09793 5026 5074 1000 00000 10000 5035 5065 normal σx 07906 n 10 w x φz σx 00 01 02 03 04 05 48 49 50 51 52 53 wobs 505 wotherside 495 wc 4845 wc 5155 µa 505 µ0 50 α 005 β 09031 1 β 00969 p 05271 normal σx 07906 n 10 w x φz σx 00 01 02 03 04 05 48 49 50 51 52 53 wLCL 4895 wUCL 5205 wobs 505 095 25 normal σx 0625 n 16 w x φz σx 00 02 04 06 48 49 50 51 52 wobs 505 wotherside 495 wc 4878 wc 5122 µa 505 µ0 50 α 005 β 08741 1 β 01259 p 04237 normal σx 0625 n 16 w x φz σx 00 02 04 06 48 49 50 51 52 wLCL 4928 wUCL 5172 wobs 505 095 normal σx 05 n 25 w x φz σx 00 02 04 06 08 49 50 51 52 wobs 505 wotherside 495 wc 4902 wc 5098 µa 505 µ0 50 α 005 β 08299 1 β 01701 p 03173 26 normal σx 05 n 25 w x φz σx 00 02 04 06 08 49 50 51 52 wLCL 4952 wUCL 5148 wobs 505 095 normal σx 03536 n 50 w x φz σx 00 02 04 06 08 10 12 490 495 500 505 510 515 wobs 505 wotherside 495 wc 4931 wc 5069 µa 505 µ0 50 α 005 β 0707 1 β 0293 p 01573 normal σx 03536 n 50 w x φz σx 00 02 04 06 08 10 12 490 495 500 505 510 515 wLCL 4981 wUCL 5119 wobs 505 095 27 normal σx 025 n 100 w x φz σx 00 05 10 15 495 500 505 510 wobs 505 wotherside 495 wc 4951 wc 5049 µa 505 µ0 50 α 005 β 0484 1 β 0516 p 00455 normal σx 025 n 100 w x φz σx 00 05 10 15 495 500 505 510 wLCL 5001 wUCL 5099 wobs 505 095 normal σx 0125 n 400 w x φz σx 0 1 2 3 500 505 wobs 505 wc 4976 wc 5024 µa 505 µ0 50 α 005 β 00207 1 β 09793 p 1e04 28 normal σx 0125 n 400 w x φz σx 0 1 2 3 500 505 wLCL 5026 wUCL 5074 wobs 505 095 normal σx 007906 n 1000 w x φz σx 0 1 2 3 4 5 498 500 502 504 506 wobs 505 wc 4985 wc 5015 µa 505 µ0 50 α 005 β 0 1 β 1 p 0 normal σx 007906 n 1000 w x φz σx 0 1 2 3 4 5 498 500 502 504 506 wLCL 5035 wUCL 5065 wobs 505 095 29