Prelúdio à Análise Combinatória bachs Poppe Tavares

PREFÁCIO O principal motivo que nos levou a escrever este modesto trabalho foi tornar mais acessível aos estudantes universitários a Análise Combinatória, na esperança de que os interessados achem finalmente uma exposição tão clara, mais clara até, do que obtiveram em outras aulas, com os estudiosos do mesmo ramo de ciência. Todos sabemos não é demais repetir, que a Análise Combinatória veio numa época mais recente; não se pode fazer um livro-texto sobre ela sem ficar realmente incompleto porque quando estiver à grafica a sociedade terá tido acesso às soluções de alguns problemas que, hoje, são autênticos "problemas". Na Análise Combinatória os "problemas" são realmente escolhidos entre os mais importantes; Os AUTORES SUMÁRIO Capítulo I - Conceitos multiplicativos ............................................................ 1 Capítulo II - Permutações .......................................................................... 29 Capítulo III - Combinações ....................................................................... 36 Capítulo IV - Arranjos .............................................................................. 54 Capítulo V - Transformações de objeto distinto ........................................ 85 Capítulo VI - Critérios práticos .................................................................. 100 Capítulo VII - Cuidados nos conceitos indistinguíveis ................................. 130 Capítulo VIII - Propriedades das combinações ......................................... 176 Capítulo IX - A extensão da indução - Permuta & Nárcom ......................... 178 Capítulo X - Conclusão ........................................................................... 180 Aproximação da indução matemática ................................................ 215 Análise histórica ................................................................. 221 Referências ........................................................................ 240 APRESENTAÇÃO O estudo da Análise Combinatória sempre constituirá campo de discussão de concepções extremamente envolventes, graças à combinação de condições necessárias que, em salas de aula se acham muito obscurecidas e às vezes inacessíveis devido à argumentação extremamente elástica. A nossa tentativa é na compreensão de conceitos e técnicas de maneira consistente, mesmo porque as limitações de conteúdo obrigam muitos professores a desconsiderarem as limitações das experiências dos estudantes. E como qualquer geometria, porque é autêntico ter compreendido o arcabouço combinatório é a origem da matemática do ensino médio. A matemática do ensino médio não se restringe somente ao cálculo e a prática de exercícios bem desenvolvidos e aplicados. A indução matemática, o trato objetivo de outros conteúdos permitem bem sensatamente a liberdade de experimentação e a demonstração da inadequação de modelos e até mesmo a revisão construtiva da didática do ensino médio. Distribuição exclusiva: COMPANHIA EDITORA NACIONAL Rua Álvares Penteado, 249 6° andar, 01012 São Paulo, SP impresso no Brasil CAPÍTULO I PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO A. Preliminares A Análise Combinatória, ou simplesmente Combinatória é uma das matérias que compõem o moderno curso de Matemática e um dos objetivos principais deste curso é de analisar o conceito de número, rico de consequências práticas. A Análise Combinatória ou Escolhamênto é a primeira parte de uma organização metódica de Matemática Discreta - o instrumental de conceitos e técnicas, o conjunto de algoritmos destinados ao constructo [sic] de programas. A Análise Combinatória surgiu como uma necessidade de consumo da moderna Ciência da Computação. De modo intuitivo, pode-se considerar o método combinatório como um estudo da otimização de consumo de objetos, quando confinados por um consumo constrangido entre certos limites - o mundo discreto e das sequências no agrupamento dos algarismos. B. Enunciado do Princípio Multiplicativo (P.M.) A Análise Combinatória lança mão do Princípio Básico da Contagem - o Princípio Multiplicativo - que estabelece: Se queremos determinar o número total de elementos de conjuntos definidos, fazemos a multiplicação entre as alternativas de cada conjunto. Assim, se um acontecimento B pode ocorrer de m maneiras e um acontecimento C, após a ocorrência de B, pode ocorrer de n maneiras, então o número de seções diferentes que envolvem esses es se: B pode ocorrer de m maneiras, então o número total de acontecimentos será: m × n. Problema 1 - Três senhores A, B e C conformam ao topo de uma escadaria. De quantos modos diferentes uma pessoa pode subir e descer? A pessoa que sobe por A, dela pode descer por A, B, ou C e volta, indicado pelo par ordenado: (A, A) (A, B), (A, C). Se a pessoa sobe por B, há novamente 3 modos diferentes de fazer o processo: (B, A), (B, B), (B, C). Analogamente (C, A), (C, B), (C, C) Estas permutações podem ser dispostas no seguinte quadro: 2. Quantos números de dois algarismos podem ser formados de seus algarismos distintos? Solução: Consideremos o esquema: P1 P2 - posto que repartimos estas quantidades em postos: P1 a P2. Logo, P1 pode vir de 1 a 9, são 9 si: números de dois algarismos. Portanto 5. i. ocupados por quaisquer de 9 maneiras 3. Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados e quantos são os números distintos podem ser formados Solução: Consideremos o esquema: P1 P2 - Onde o posto P1 tem 9 das possibilidades de algarismos do total. B. resolução do L2 possamos: já operar com 90 números. i. ocupados por quaisquer de 9 maneiras Logo, pelo P1 vem 9, então, 9 - 9 = 9. N.º de construções M. D. 4 construímos 9 escrevermos 5 escrevermos 2 escrevermos for Logicamente P, vem n′′ = 2 números pares de dois algarismos podem ser formados com o algarismo (a) podem se repetir algarismos? (b) sem repetir algarismos? Solução. Consideremos o esquema: d) A. Admite-se N.º de construções M.D. 9 construímos para 4 construímos para 2 construímos para ter 5 construímos para ter 5 A. Considere B. a posição das g., fora b, em não 8. Considere P, estabelecer P. 2 escrevermos Pd o P. A, por conta do n.º de P. 5. Portanto, B. Isso nos conduiz à conclusão a posição P. N.º de construções 4 N.º de construções construímos para escrevermos para A. Admite-se P. A. escrevermos não ter B. a posição das escrevermos não ter 8. Considere N.º de construções 5 construímos para 2 construímos para ter 9 construímos 4 construímos para ter 5 construímos para ter A. P. construir a posição P. B. a posição P. construir n e contas, a. P, P. posição P.. Assume 9.. escrev. n para P. • posição p, p, omitida P. 1. Log., Ps, lá P, perm., P, P, P leto. se necessário, 8. Sim o contrário p ser, e que conduz B◊ ÷ o sivo s. i. V. Co. Logo, pelo PM., vem 1, 9 × 5 = 45 números de dois algarismos. (a) agrupado ser algarismo. (b) apresentam as células usadas se apresentar e pre-ramo. 8. Considere N.º de construções 24. 6, 8, como., implique numa consequência a apresentação da posição. C. « D, o s. o B. » contém. Houve que o algarismo de D, a se seguir. OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Se considerarmos os aumentos do) com os algarismos com os números do item, e devemos conceber pelo pre-prés (5) Assim na solução do item e deveremos conceber pelo pre-prés nos uma solução alcançada. Consideremos o movmto. Assim temos.