Resistência dos Materiais - Conceitos e Análises

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Henrique Furia e Mauro Noriaki Takeda com consultoria de Renato de Brito Sanchez 2 SUMÁRIO 1 CONCEITO DE TENSÃO COMPRESSÃO E CISALHAMENTO 3 2 ANÁLISE DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES 10 3 TENSÕES E EQUILÍBRIO 20 4 LEI DE HOOKE E MÓDULO DE YOUNG 36 5 ESTRUTURAS EM BARRAS 45 6 VIGAS E PÓRTICOS 57 3 1 CONCEITO DE TENSÃO COMPRESSÃO E CISALHAMENTO Você já ouviu falar em acidentes causados pela ruptura de alguma estrutura Você deve ter se perguntado por quê A resposta está no conceito físico aplicado na engenharia cuja denominação é resistência dos materiais Alguns materiais resistem mais do que outros em função da sua estrutura e concepção de produção A resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças que agem no seu interior Você deve observar que o assunto também envolve o cálculo das deformações do corpo proporcionando o estudo de sua estabilidade quando sujeito a forças externas 11 Tensão A intensidade da força ou força por unidade de área que age perpendicularmente a variação da área e definida como tensão normal σ sigma uma vez que 𝐹𝑧 é normal à área ou seja 𝜎𝑧 lim 𝐴0 𝐹𝑧 𝐴 Agora devemos observar o seguinte Se a força normal ou tensão existir para tracionar o elemento de área ΔA ela será denominada tensão de tração 4 se a força normal ou tensão existir para comprimir o elemento de área ΔA ela será denominada tensão de compressão E a tensão de cisalhamento É importante analisar a seguinte situação a tensão de cisalhamento e a intensidade da força ou força por unidade de área que age tangente a ΔA Aqui vamos designála pela letra grega tau ou seja a tensão de cisalhamento τ Vamos analisar os componentes da tensão de cisalhamento 𝜏2𝑥 lim 𝐴0 𝐹𝑥 𝐴 𝜏2𝑦 lim 𝐴0 𝐹𝑦 𝐴 Atenção A notação do índice z em 𝜎𝑧 é usada para indicar a direção da reta normal dirigida para fora que específica a orientação da área ΔA Na tensão de cisalhamento são usados dois índices para o eixo z especifica a orientação da área e x e y referemse às retas que indicam a direção das tensões de cisalhamento Você deve lembrar que as unidades utilizadas no Sistema Internacional de Unidades SI para os valores da tensão normal e da tensão de cisalhamento são especificadas nas unidades básicas 𝑁 𝑚2 𝑃𝑎 Agora vamos analisar as reações de apoio Note que as forças de superfície se desenvolvem nos apoios ou pontos de contato entre os corpos 5 Figura 11 Representação esquemática das forças e do momento aplicados ao ponto Em muitas situações analisamos o corpo na condição de equilíbrio exigindo um equilíbrio de forças para impedir a translação ou o movimento acelerado do corpo ao longo de uma trajetória reta ou curva e um equilíbrio de momentos para impedir que o corpo gire Essas condições podem ser expressas pelas equações Para um sistema de coordenadas x y e z com origem no ponto o os vetores força e momento podem ser resolvidos em componentes ao longo dos eixos coordenados sendo as equações escritas da seguinte forma Na pratica da engenharia muitas vezes a carga sobre um corpo pode ser representada através de um sistema de forças coplanares 6 111 Distribuição de tensão normal média Vamos agora analisar uma barra que esteja submetida a uma deformação uniforme e constante Essa deformação e o resultado de uma tensão normal constante σ Você deve observar que cada área ΔA da secção transversal está submetida a uma forca dada por ΔF σ ΔA Observe que a soma dessas forças que agem em toda a área da secção transversal deve ser equivalente a forca resultante interna P 𝑑𝐹𝑃 𝜎 𝑑𝐴 𝑎 ou 𝑃 𝜎𝐴 A tensão normal média em qualquer ponto da área da secção transversal será dada por 𝜎 𝑃 𝐴 12 Compressão Enquanto na tensão de tração temos a aplicação de forças em uma relação uniaxial com resultado de alongar o material na compressão estas forças convergem para um mesmo ponto ou seja o material tende a diminuir seu comprimento do sentido uniaxial da aplicação destas forças Isso contrasta com a tração ou seja a aplicação de forças equilibradas A resistência à compressão de materiais e estruturas é uma importante consideração na engenharia 7 Na compressão uniaxial as forças são dirigidas ao longo de apenas uma direção de modo que atuem no sentido de diminuir o comprimento da peça ou estrutura ao longo dessa direção Se o próprio vetor do stress é oposto a x é dito que o material está sob compressão normal ou tensão de compressão Quando posto sob compressão ou qualquer outro tipo de stress todo o material irá sofrer alguma deformação mesmo que imperceptível que faz com que as posições relativas médias dos seus átomos e moléculas possam se alterar A deformação pode ser permanente ou pode ser revertida quando desfeitas as forças de compressão Neste último caso a deformação dá origem a forças de reação que se opõem às forças de compressão e pode eventualmente equilibrálos Figura 11 Gota de Rupert Um exemplo de compressão é a gota de Rupert quando se joga vidro derretido em água fria o vidro se solidifica rapidamente em forma de gota essa solidificação da gota de vidro comprime o núcleo da gota a parte grossa desenvolvendo grande pressão e resistência nessa área isso se dá devido ao fato da compressão as forças convergirem para o núcleo da gota para um mesmo ponto ou seja o material tende a diminuir seu 8 comprimento do sentido uniaxial da aplicação destas forças mas devido a solidificação da camada externa do vidro não há variação ou deformação para que o vidro se expanda fazendo com que o núcleo permaneça sendo comprimido permanentemente até esfriar dando incrível resistência ao material isso se dá devido a um estado extremamente alto de estresse tensional no interior e um estado de compressão extremamente alto no exterior da gota mas quando qualquer parte dessa gota se quebra a gota inteira explode alimentandose da própria energia armazenada sendo essa energia armazenada obtida pela tensão mecânica e esta onda de energia é chamada de limite de ruptura 13 Cisalhamento O cisalhamento define a presença de uma força tangencial que existe sobre uma determinada área definida por A tal que a tensão de cisalhamento pode ser expressa pelo símbolo Figura 13 Cisalhamento 9 Matematicamente a tensão de cisalhamento pode ser definhada como 𝜏𝑧𝑥 lim 𝐴0 𝐹𝑥 𝐴 1 𝜏𝑧𝑦 lim 𝐴0 𝐹𝑦 𝐴 2 Conclusão Neste capítulo você estudou que a resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças que agem no seu interior Se a força normal ou tensão existir para tracionar o elemento de área ΔA ela será denominada tensão de tração mas se existir para comprimir o elemento de área ΔA será denominada tensão de compressão REFERÊNCIAS GOTA do Príncipe Rupert O Vidro que não Quebra mas explode In Ciências e Engenharia Disponível em httpscientificaengenhariablogspotcom Acesso em 10 de set de 2020 MYSTERY of Prince Ruperts Drop Smarter Every Day In YouTube Disponível em httpsbitly35UhNCe Acesso em 11 de set de 2020 Tração e Compressão In Passei direto Disponível em httpsbitly3mKpJMG Acesso em 10 de set de 2020 10 2 ANÁLISE DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar uma carga sem deformação excessiva ou ruptura Essa propriedade é inerente ao próprio material e deve ser determinada por métodos experimentais como o ensaio de tração ou compressão Uma máquina de teste e projetada para ler a carga exigida para manter o alongamento uniforme Figura 22 Esquema de máquina de tração ou compressão 21 Tensãodeformação A tensão nominal σ ou tensão de engenharia e determinada pela divisão da carga aplicada P pela área original da secção transversal do corpo de prova A0 11 A tensão é dada pela equação A deformação nominal ε ou deformação de engenharia e determinada pela razão da variação δ no comprimento de referência do corpo de prova pelo comprimento de referência original do corpo de prova L0 A equação e dada por Para um comportamento elástico temos que a tensão é proporcional a deformação o material é linearmente elástico O escoamento ocorre quando um pequeno aumento na tensão acima do limite de elasticidade resulta no colapso do material fazendo com que ele se deforme permanentemente Você deve observar que pode ocorrer um endurecimento por deformação quando o escoamento tiver terminado Aplicando uma carga adicional ao corpo de prova obtémse uma curva que cresce continuamente mas se torna mais achatada até atingir a tensão máxima denominada limite de resistência Você vai constatar que no limite de resistência a área da secção transversal começa a diminuir em uma região localizada do corpo de prova causando o que denominamos estricção 12 Figura 23 Máquina de ensaio de tração da marca Panambra Nesse caso o corpo de prova quebrase quando atinge a tensão de ruptura Devemos notar que os valores da tensão e da deformação calculados por essas medições são denominados tensão real e deformação real Vamos analisar o comportamento da tensãodeformação de materiais dúcteis e frágeis Mas o que é um material dúctil Um material dúctil é aquele que pode ser submetido a grandes deformações antes de sofrer ruptura Já um material frágil exibe pouco ou nenhum escoamento antes da falha Bônus Na figura 23 está sendo representado um exemplo de máquina de tração para um ensaio de tração como o nome da máquina indica 13 Figura 24 Exemplo de máquina de tração Um ensaio de tração consiste aplicar uma força uniaxial no material tendendoo a alongálo tração até o momento de sua fratura Os corpos de prova ou CPs são padronizados por normas técnicas e na maioria das vezes são circulares ou retangulares Como pode ser visto na figura 23 o corpo de prova é fixado pelas suas extremidades nas garras de fixação da máquina de tração com isso o corpo de prova então é submetido a um esforço aplicando carga gradativa e registrando cada valor de força correspondente a um tipo de deformação no material como pode ser visto na figura 24 na qual é apresentada a deformação no material até o limite de escoamento nesse caso a deformação resultante é um tipo de alongamento do material alongamento este sendo medido por um extensômetro 14 Figura 25 Variação da deformação de acordo com a tensão 22 Módulo de cisalhamento Vamos agora pensar em fixar um parafuso na parede utilizando uma chave de fenda Elementos de fixação como pregos e parafusos frequentemente estão sujeitos a cargas de cisalhamento Note que a intensidade de uma força de cisalhamento sobre o elemento de fixação e maior ao longo de um plano que passa pelas superfícies interconectadas A tensão de cisalhamento média distribuída sobre cada área seccionada e definida por Em que τ média tensão de cisalhamento média na secção que consideramos a mesma em cada ponto localizado na secção 15 V força de cisalhamento interna resultante na secção determinada pelas equações de equilíbrio A área na secção O comportamento de um material submetido a cisalhamento puro pode ser estudado em laboratório por meio de corpos de prova na forma de tubos finos submetidos a carga de torção Se o torque aplicado e os ângulos de torção resultantes forem medidos os dados podem ser utilizados para determinar a tensão de cisalhamento e a deformação por cisalhamento Vamos admitir que a maioria dos materiais de engenharia apresente um comportamento linear elástico portanto a lei de Hooke para cisalhamento pode ser expressa por Em que G módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de rigidez Uma tensão de cisalhamento aplicada a um material homogêneo e isotrópico somente produz deformação por cisalhamento no mesmo plano 23 Círculo de mohr O círculo de Mohr é um método gráfico bidimensional representativo da lei de transformação do tensor tensão de Cauchy sendo por isso utilizado para resolver um estado de tensões mas para que seja possível o uso desse método é necessário que cada plano seja representado por um ponto em um sistema de coordenadas σ τ É possível calcular com essa representação gráfica momentos de inércia deformações e 16 tensões adaptando esses cálculos a uma característica de um círculo sendo também possível calcular o esforço cortante máximo absoluto e a deformação máxima absoluta Para que se faça o gráfico do círculo de Mohr é preciso se atentar a algumas condições Os planos das tensões principais são representados por pontos que se encontram no eixo σ já que neles a tensão de cisalhamento é igual a zero As tensões de cisalhamento mínimo e máximo são representadas por pontos que são simétricos em relação ao eixo σ Lembrando que nestes planos ocorre a mesma tensão normal e que as tensões de cisalhamento são iguais e de sinais opostos Figura 26 Cisalhamento máximo e mínimo Fonte Erik Chia 2020 A tensão normal que atua nos planos das tensões de cisalhamento máxima e mínima é igual à média aritmética das tensões principais 17 Planos perpendiculares entre si são representados por pontos que à mesma distância do eixo σ porém em lados opostos Notese aqui que a tensão normal média dos dois planos é igual à tensão média das tensões principais Figura 27 Planos perpendiculares entre si Fonte Erik Chia 2020 Como pode ser visto na figura 27 ao possuir todas as condições simultaneamente foi obtido um círculo que é denominado Círculo de Mohr sendo que Mohr foi o nome do idealizador e o Círculo a figura geométrica obtida 18 Figura 28 Círculo de Mohr Fonte Erik Chia 2020 Conclusão Neste capítulo você estudou que muitos materiais de engenharia exibem comportamento inicial linear elástico sendo a tensão proporcional a deformação e definida pela lei de Hooke Quando o material sofre tensão além do ponto de escoamento ocorre deformação permanente O comportamento de um material submetido a cisalhamento puro pode ser estudado em laboratório por meio de corpos de prova na forma de tubos finos submetidos a carga de torção Também estudou sobre o círculo de Mohr e seu método de utilização REFERÊNCIAS CALLISTER JR W Ciência e Engenharia de Materiais Uma Introdução Sétima Edição In Apostila Telecurso 2000 Mecânica 19 CLAROS L Círculo de Mohr In Prezi Disponível em httpsprezicomn0c8bvn5lkgmexposicioncirculodemohr Acesso em 10 de set de 2020 TRIGO T Ensaio de Tração In InfoEscola Disponível em httpstecnoblognet247956referenciasiteabntartigos Acesso em 10 de set de 2020 20 3 TENSÕES E EQUILÍBRIO Neste bloco serão tratados os conceitos de equilíbrio das estruturas tensões e deformações Iniciase o estudo dos vínculos estruturais e reações de apoio que ocorrem nestas estruturas em consequência das ações sobre elas aplicadas As estruturas são projetadas para suportar cargas mantendo o equilíbrio e com deformações controladas mantendose a estética e a funcionalidade do sistema Neste sentido tornase necessário criar modelos matemáticos para resolver estas estruturas simples utilizando conceitos físicos relacionados ao equilíbrio às tensões e às deformações 31 Vínculos e reações Modelagem matemática O equilíbrio das estruturas é a primeira verificação de qualquer projeto estrutural é necessário que a estrutura mantenha a sua estabilidade durante toda a vida útil ou seja enquanto a estrutura for utilizada não poderão ocorrer movimentações das suas partes como corpos rígidos Cada um destes movimentos pode ser considerado como a combinação de uma translação com uma rotação Para garantir este comportamento de estabilidade a resultante de todas as forças externas a estrutura é nula e o momento destas forças em relação a qualquer ponto da estrutura é nulo A estrutura deve ser construída para suportar os esforços externos ativos a ela que são gerados pelos carregamentos que surgem devido ao uso da estrutura Tomamse como por exemplos o peso do próprio da estrutura o peso de pessoas e de objetos sobre a estrutura além de pressões externas ao sistema Um modelo matemático precisa ser construído para avaliar o efeito das ações e das reações sobre a estrutura Uma viga pode ser representada por uma estrutura de barra 21 que esteja adequadamente vinculada para garantir o equilíbrio Cada vínculo corresponde a uma restrição ao movimento de parte da estrutura que é imposta por um tipo de apoio Os apoios são dispositivos que ligam os pontos do sistema a outros pontos a fim de impedir determinados movimentos O apoio simples ou a articulação móvel impede o deslocamento na direção perpendicular à reta de vinculação A articulação fixa impede todos os deslocamentos de translação O primeiro modelo para estudo é o de uma viga simplesmente apoiada sob as duas extremidades Desenho 31 Viga sobre um apoio fixo à esquerda e um apoio móvel à direita Fonte O autor Assim qualquer carregamento que nela for colocado será equilibrado pelos apoios colocados nas extremidades Se um carregamento uniformemente distribuído de intensidade 𝑝 for colocado sobre a viga de comprimento ℓ a representação do modelo da estrutura passa a ser o seguinte 22 Desenho 32 Viga duplamente apoiada com carregamento uniformemente distribuído Fonte O autor Os esforços sobre a viga migram em direção às extremidades onde estão os apoios que absorverão estes carregamentos e manterão a estrutura em equilíbrio Assim metade do carregamento será absorvido por cada um dos apoios Um sistema de forças mecanicamente equivalentes é mostrado abaixo Desenho 33 Sistema mecanicamente equivalente ao Desenho 32 com as reações de apoio 23 As reações de apoio uma em cada lado garantem o equilíbrio da estrutura de modo que a soma vetorial de forças é nula e o momento de rotação em relação a qualquer ponto da estrutura também será nulo É importante observar que apesar de serem estaticamente equivalentes as estruturas acima deformamse de maneiras diferentes Um vínculo de engastamento impede todas as translações e todos os movimentos de rotação em torno do ponto vinculado como apresentado no desenho abaixo Desenho 34 Viga engastada com carregamento uniformemente distribuído Os esforços sobre a viga migram em direção à extremidade engastada onde está o único apoio que absorverá estes carregamentos mantendo a estrutura em equilíbrio No Desenho 35 é aprestado um sistema mecânico estaticamente equivalente ao sistema acima incluindo as respectivas reações de apoio 24 Desenho 35 Sistema mecanicamente equivalente ao Desenho 34 com as reações de apoio Fonte O autor O apoio de engaste na extremidade esquerda da barra absorverá a resultante do carregamento distribuído e o momento resultante destes carregamentos 32 Tensões Naturalmente além do equilíbrio estrutural é também necessário avaliar os efeitos das ações nos sólidos deformáveis em especial as estruturas de barras O conceito de tensão em um sólido é apresentado na sequência Quando o sólido da Ilustração 1 é submetido a um conjunto de forças e momentos estes esforços ativos aplicados na região 𝑆 do sólido migram na estrutura até as regiões Sμ dos vínculos sendo então equilibradas pelas reações de apoio assim como fora mostrado no Desenho 32 para uma estrutura de barras 25 Figura 31 Esforços ativos e reativos Fonte SILVA 2005 Efetuandose cortes como o plano 𝜋 representado é possível determinar a distribuição de esforços no interior do sólido ao dividilo em duas partes 𝑉 𝑉 conforme a figura 32 Figura 32 Partes do sólido em equilíbrio Fonte SILVA 2005 26 Para preservar o equilíbrio esforços internos impedem que estas partes se separem Assim as ações que agem de uma parte sobre a outra deverão ser de mesma intensidade e sentidos opostos conforme a lei da ação e reação Figura 33 Representação das tensões Fonte SILVA 2005 As resultantes 𝐹 das forças de superfície que agem na parte esquerda do sólido devida a ação da parte direita sobre ele são apresentadas na figura 33 que contém a representação da normal unitária 𝑛3 externa à parte esquerda em relação ao plano de corte Assim a tensão atuante no ponto 𝑃 é definida como sendo a razão entre cada resultante 𝐹 e as respectivas áreas de influência 𝐴 tomada tão pequena quanto se queira 27 Considerandose a parcela da tensão 𝜌 relativa à direção perpendicular ao plano 𝜋 caracterizase a tensão normal 𝜎 A outra componente atua no plano 𝜋 estando associada ao corte esta é a tensão de cisalhamento 𝜏 como mostrado na figura 34 As tensões total normal e de cisalhamento respectivamente 𝜌 𝜎 𝜏 estão vetorialmente relacionadas por Ilustração 34 Tensão normal e tensão de cisalhamento Fonte SILVA 2005 Em uma barra de comprimento inicial ℓ com seção transversal maciça de área 𝐴 como representada na Ilustração 35 o modelo de cálculo é mais simples Ilustração 35 Barra sólida Fonte O autor 28 Considerandose 𝑁 a força aplicada longitudinalmente à barra provocando tendência de deslocamentos axiais a tensão normal uniforme na respectiva seção vale 𝜎 𝑁 𝐴 No caso em que uma força 𝑉 é aplicada transversalmente à barra produzindo tendência de corte em relação ao plano da seção transversal a tensão média de cisalhamento vale 𝜏 𝑉 𝐴 Uma vez submetido a estes e outros esforços ativos a barra devido às tensões internas que absorve sofre deformações No caso de esforços de tração a barra sofre alongamento aumentando o seu comprimento em uma medida ℓ resultando em um comprimento final ℓ ℓ No caso de compressão a barra sobre encurtamento que a deixa com comprimento final ℓ ℓ A deformação específica é taxa de alongamento da barra estabelecida conforme a relação 𝜀 ℓ ℓ Consequentemente quando submetida à tração a deformação da barra é algebricamente positiva no caso de compressão o valor é negativo Para avaliar a relação entre as tensões e as respectivas deformações é necessário estabelecer modelos matemáticos realizar ensaios e validar a teoria 29 33 Comportamento elástico linear Tratase do modelo físico em que as tensões variam linearmente com as deformações sofridas pelo corpo ou seja como uma função linear Neste caso ao construir um diagrama relacionando as grandezas de tensão ou de força por deformação ou deslocamento obtémse para o respectivo material a representação do desenho 36 Desenho 36 Regimes elástico e plástico Fonte O autor 331 Elasticidade longitudinal Em geral um material tem comportamentos diferentes quando submetido à tração com valores algebricamente positivos no diagrama ou à compressão com valores algebricamente negativos O exemplo apresentado no desenho 36 corresponde a um material que resiste menos à compressão que à tração As constantes físicas indicadas no desenho 36 têm as suas descrições apresentadas na tabela abaixo 30 Os respectivos valores são estabelecidos a partir de ensaios validados em modelos matemáticos e apresentados em normas específicas ao material de trabalho Tabela 31 Tensões e deformações SÍMBOLO SIGNIFICADO 𝑚 Material 𝜎 Tensão atuante no material 𝑓MN Tensão de escoamento na tração 𝑓MQ Tensão de escoamento na compressão 𝜀 Deformação sofrida pelo material 𝜀MN Limite de proporcionalidade na tração 𝜀MQ Limite de proporcionalidade na compressão 𝜀N Limite último de ruptura por estiramento excessivo 𝜀Q Limite último de ruptura por esmagamento excessivo 𝐸 Módulo de elasticidade longitudinal Fonte O autor No modelo apresentado no desenho 36 o comportamento elástico linear é limitado ao intervalo T𝜀MQ 𝜀MNU Este intervalo contém a origem dos eixos uma vez que há deformação na compressão Após este regime o material continua a se deformar sem acréscimo de tensão é o regime plástico em que ocorre escoamento até o momento da ruptura 𝜀𝑢𝑡 por tração ou 𝜀𝑢𝑐 por compressão 31 A relação linear entre deformação e tensão que ocorre no regime elástico é devida a Robert Hooke 𝜎K 𝐸K 𝜀K A constante física que faz o papel matemático de coeficiente angular no gráfico da função apresentada no desenho 36 é o módulo de elasticidade longitudinal devido a Thomas Young Cada material tem a sua propriedade No caso da madeira representada por exemplo o módulo de elasticidade é diferente conforme a direção de trabalho 332 Efeito de Poisson A contração natural ocorrida em diferentes direções em relação a direção de alongamento em sólido é denominada de Efeito de Poisson em homenagem à Siméon Denis Poisson Desenho 37 Deslocamentos e efeito Poisson Fonte SILVA 2005 32 Ao submeter o sólido azul de volume 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 à tração axial aparece o alongamento 𝑑𝑢 nesta direção representado na direção positiva do eixo 𝑥 Nas outras direções aparecem os deslocamentos 𝑑𝑣 𝑑𝑤 representados nas direções negativas dos eixos 𝑦 𝑧 respectivamente As taxas de variação destas grandezas definem as deformações lineares específicas uma em cada direção Levandose ao limite estabelecemse as seguintes derivadas parciais 333 Cálculo de deslocamento Barras como a da figura 35 quando carregadas axialmente sofrem alongamentos conforme os carregamentos aplicados Considerandose o regime elástico de trabalho apresentado no desenho 36 vale a lei de Hooke que versa sobre a linearidade entre tensão e deformação apresentada com a nomenclatura da tabela 32 Tabela 32 Ensaio de tração SÍMBOLO SIGNIFICADO 𝑁 Força normal de tração aplicada na barra 𝐴 Área da seção transversal da barra 𝜎 Tensão normal na barra ℓ Comprimento inicial da barra ℓ Alongamento na barra devido à tração 𝜀 Deformação sofrida pelo material 𝐸 Módulo de elasticidade longitudinal Fonte O Autor 33 Em um ensaio de tração a força 𝑁 aplicada pela máquina é progressivamente aumentada e os alongamentos ℓ obedecem a progressão linear estabelecidas conforme as relações Este regime elástico permanece enquanto a deformação respeitar a restrição 𝜀 𝜀MN Depois disto como mostrado no desenho 36 o material atinge o escoamento e os alongamentos continuam a evoluir sem acréscimo de tensão normal que fica estabilizada no valor 𝜎 𝑓MN A partir deste ponto o material trabalha em regime plástico preparandose para romper o que efetivamente acontece quando a deformação atinge o limite último 𝜀 𝜀N Obviamente o interesse é estabelecer as relações entre forças e tensões e deformações ainda no regime elástico antes da ruptura Substituindo as definições de tensão e deformação na lei de Hooke obtêmse as seguintes relações Em ensaios de compressão realizadas com deformações controladas a barra sofre diminuição progressiva de comprimento e algebricamente a força normal e as deformações são negativas permanecendo válido o desenho 36 34 Conclusão O equilíbrio das estruturas é a primeira verificação de qualquer projeto estrutural para garantir a sua estabilidade durante toda a vida útil Para isto vínculos devem ser construídos a fim de restringir deslocamentos e rotações e receber os esforços que aplicados sobre as estruturas migram para as regiões dos apoios A estrutura do desenho 32 submetida a um carregamento uniforme sofre deslocamentos proporcionais ao carregamento nela aplicado O apoio fixo da esquerda restringe qualquer translação O apoio móvel da direita restringe apenas deslocamentos verticais Ou seja as reações de apoio uma em cada lado garantem o equilíbrio da estrutura de modo que a soma vetorial de forças é nula e o momento de rotação em relação a qualquer ponto da estrutura também será nulo É parte importante avaliar se a estrutura que está sob carregamento sofre com deslocamentos excessivos que podem por um lado apenas causar desconforto ao usuário mas por outro lado prejudicar a estabilidade global e inviabilizar a utilização da estrutura O cálculo de deslocamentos precisa ser realizado para estabelecer os limites admissíveis para a estrutura O modelo matemático de deformações em regime elástico apresentado no desenho 36 é fundamental para estabelecer as relações entre forças e deslocamentos em barras carregadas axialmente com uma força normal 𝑁 A variação de temperatura precisa também ser considerada conforme o material e seu respectivo coeficiente 𝛼 de dilatação térmica principalmente em estruturas de precisão milimétrica Somandose estes efeitos a deformação na barra é dada pela relação 35 𝜀 𝛼 Δ𝑇 𝑁 ℓ 𝐸 𝐴 No caso de tração a força normal é algebricamente positiva na compressão negativa No caso de dilatação térmica gerada por variação positiva de temperatura a contribuição na deformação é medida com o mesmo sinal algébrico REFERÊNCIAS SILVA H F Formulação do problema da torção uniforme em barras de seção transversal maciça Dissertação de mestrado Escola Politécnica 2005 WOLFGANG B WESTFALL G D DIAS H Física para Universitários Mecânica São Paulo McGraw Hill Brasil 2012 36 4 LEI DE HOOKE E MÓDULO DE YOUNG Você já estudou a lei de Hooke Nesse caso vamos aplicála em resistência dos materiais A lei de Hooke define a relação linear entre a tensão e a deformação dentro da região elástica sendo dada pela equação Em que σ representa a tensão aplicada E representa o modulo de Young ε representa a deformação sofrida pelo corpo O módulo de Young somente pode ser utilizado se o material apresentar uma relação linear elástica 41 Energia de deformação e elasticidade volumétrica Quando um material é deformado por uma carga externa tende a armazenar energia internamente em todo o seu volume Como essa energia está relacionada com as deformações no material ela é denominada energia de deformação Agora vamos representar um corpo sofrendo uma deformação em função da carga aplicada ao corpo 37 A tensão desenvolve uma forca dada por Essa variação de força ocorre nas faces superior e inferior do elemento após ele ter sofrido um deslocamento εΔz Figura 41 Face superior e inferior de um elemento Agora vamos relembrar o que é trabalho em física Você pode definir o trabalho pelo produto entre a força e o deslocamento na direção da força A deformação aumenta uniformemente de zero até seu valor final δF quando é obtido o deslocamento εΔz nesse caso o trabalho realizado pela força sobre o elemento é igual ao valor médio da força 𝐹 2 vezes o deslocamento εΔz Note que esse trabalho externo é equivalente ao trabalho interno ou energia de deformação armazenada no elemento ou corpo de prova quando do ensaio real Agora vamos considerar que nenhuma energia foi perdida na forma de calor Nesse caso a energia de deformação é 38 ou Lembrese de que o volume do elemento é dado por Vamos definir a densidade de energia de deformação que é dada pela equação Se o comportamento do material for linear elástico a lei de Hooke aplicase e a equação é dada por Veja que podemos expressar a densidade de energia de deformação em termos de tensão uniaxial como ou 39 Portanto temos Quando uma barra é confeccionada em material homogêneo e isotrópico e submetida a uma força axial que age no centro da área de secção transversal o material no interior da barra é submetido somente à tensão normal admitindose que essa tensão é uniforme ou média na área da secção transversal Quando um material homogêneo e isotrópico é submetido a um estado de tensão triaxial a deformação em uma das direções da tensão é influenciada pelas deformações produzidas por todas as tensões 42 Propriedades mecânicas dos materiais Os materiais são identificados por algumas propriedades mecânicas por exemplo resistência mecânica rigidez ductilidade resiliência dureza e tenacidade Mas como determinar as propriedades mecânicas dos materiais Um exemplo seria através de ensaios mecânicos como ensaio de tração ou compressão utilizando normalmente corpos de prova sendo que esses corpos de prova são padronizados por normas técnicas utilizando também as normas técnicas para o procedimento das medidas e de confecção Nos ensaios mecânicos é possível obter dos materiais a resistência à tração compressão torção ao choque ao desgaste e resistência à fadiga além da dureza E a ductilidade Bom a ductilidade é a deformação plástica total até o ponto de ruptura de um material 40 Figura 49 Exemplo de ductilidade Como pode ser visto na figura 42 a ductilidade pode ser dividida entre duas características materiais frágeis e materiais dúctil sendo um material considerado dúctil quando se deforma sob tensão em metais como ouro cobre e alumínio é possível ver a formação de um cone característico na área de ruptura típico dos materiais dúcteis E um material frágil quando se rompe com pouca ou nenhuma deformação no processo de ensaio de tração 41 Figura 43 Exemplo de deformações nos materiais 43 Resiliência e tenacidade 431 Módulo de resiliência μr Uma das propriedades mecânicas fundamentais para a análise de materiais se dá por meio do módulo de resiliência o qual descreve o ponto em que o material pode ser carregado com tensões tal que acumule energia associada a deformação por unidade de volume sem que este cruze o limiar entre os regimes elástico e plástico ou seja ocorre durante a região elástica da deformação Em particular quando a tensão σ atinge o limite de proporcionalidade a densidade de energia de deformação é denominada módulo de resiliência O módulo de resiliência é dado por ou 42 Figura 34 Curva de tensãodeformação Atenção A resiliência de um material representa a sua capacidade de absorver energia sem sofrer qualquer dano permanente 432 Módulo de tenacidade μt Embora atue com os esforços associados à deformação assim como a Resiliência a propriedade de Tenacidade difere por estar associado a capacidade do material em absorver energia até o ponto de fratura ou seja está relacionado ao regime elástico e elastoplástico de cada tipo de material O modulo de tenacidade é representado pela área inteira no diagrama de tensão deformação portanto indica a densidade de deformação do material um pouco antes da ruptura Essa propriedade e importante no projeto de elementos de estruturas que possam ser sobrecarregadas acidentalmente 43 Figura 410 Curva de tensãodeformação para a tenacidade Materiais com alto modulo de tenacidade sofrem grande distorção devido à sobrecarga porém podem ser preferíveis aos que possuem baixo valor de modulo de tenacidade já os que possuem modulo de tenacidade baixo podem sofrer ruptura repentina sem nenhum sinal dessa ruptura iminente Ligas de metais podem mudar sua resiliência e tenacidade Conclusão Nesse módulo foi estudada a aplicação da Lei de Hooke em resistência dos materiais também foi estudado energia de deformação e elasticidade volumétrica além de ter sido relembrado as propriedades mecânicas dos materiais apresentando mais algumas informações sobre o bloco 2 onde foi falado sobre os ensaios mecânicos nos quais é possível obter dos materiais a resistência à tração compressão torção ao choque ao desgaste e resistência à fadiga além da dureza Como também foi apresentado no bloco 4 a ductilidade dos materiais 44 REFERÊNCIAS ALVARES B A LUZ A M R Física ensino médio São Paulo Scipione 2008 AMALDI U Imagens da física as ideias e as experiências do pêndulo aos quarks São Paulo Scipione1995 BEER F P JOHNSTON R Resistência dos materiais 3 ed São Paulo Makron Books 1995 BONJORNO R A et al Física fundamental 2º grau volume único São Paulo FTD 1993 BOTELHO M H C Resistência dos materiais São Paulo Edgard Blucher 2008 HIBBELER R C Resistência dos materiais 3 ed Rio de Janeiro LTC 2000 Resistência dos materiais Tradução de Arlete Símile Marques 7 ed São Paulo Pearson Education 2011 SERWAY R A Física 1 Sl sn 1996 SERWAY R A JEWETT JR J W Princípios de física São Paulo Pioneira Thomson 2008 v 1 TIMOSHENKO S P Resistência dos materiais 3 ed Rio de Janeiro LTC 1993 v 12 TIPLER P A Física para cientistas e engenheiros Rio de Janeiro LTC 2000 v 1 YOUNG H D FREEDMAN R A Física IV 12 ed São Paulo Pearson Education 2008 45 5 ESTRUTURAS EM BARRAS Neste bloco serão estudadas as estruturas em barras com relação ao equilíbrio esforços solicitantes e distorções As estruturas de treliça são muito utilizadas em coberturas de galpões industriais ou nas estruturas de telhados sendo construídas com aço ou madeira 51 Efeitos térmicos Barras de alumínio como as da figura 51 ou de aço e outros materiais sofrem consideráveis deformações provocadas pelo efeito da temperatura Figura 51 Trilho de alumínio Sendo 𝛼 o coeficiente de dilatação térmica do material e Δ𝑇 a variação de temperatura uma barra de comprimento inicial ℓ sofre expansão de acordo com a relação Δℓ9 ℓ 𝛼 Δ𝑇 46 A deformação específica devido à temperatura vale No caso de redução de temperatura ou de congelamento a variação de temperatura é negativa ΔT 0 Neste caso a barra sofrerá contração conforme a mesma relação produzindo uma deformação algebricamente negativa O efeito da temperatura somase às deformações devidas a esforços aplicados 52 Tensões de cisalhamento Distorções As tensões de cisalhamento são as que atuam em um sólido na direção de um corte como apresentado no Bloco 1 Ao submeter o sólido de volume 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 simultaneamente a um corte no plano 𝑦𝑧 e outro no plano 𝑧𝑥 ocorrem as distorções apresentadas no desenho 51 47 Desenho 51 Distorções Fonte SILVA 2005 As distorções são as diferenças das medidas angulares entre duas arestas do sólido antes e depois da deformação No paralelepípedo da figura todos os ângulos são originalmente retos Após a aplicação dos cisalhamentos as arestas H𝑂JJJJ𝐴J J𝑂JJJ𝐵J N deixam de ser ortogonais e passam a ter medida angular igual a A variação da medida angular é a distorção apresentada devido aos cortes simultâneos efetuados nos planos 𝑦𝑧 𝑧𝑥 e vale 𝛾0T 𝛼 𝛽 Consequentemente são produzidos os deslocamentos infinitesimais 𝑑𝑢 𝑑𝑣 apresentados no desenho acima Considerandose a hipótese de linearidade 𝜋 𝛼 𝛽 2 48 geométrica podem ser utilizadas as relações métricas nos triângulos 𝑂𝐴𝐴 𝑂𝐵𝐵 produzindo as seguintes relações infinitesimais Para as funções trigonométricas podese utilizar a aproximação por polinômios de Brook Taylor centrados na origem com resto em forma de Girolamo Peano BENEVIERI 2018a Utilizando o polinômio de ordem 1 resulta em tan 𝜃 𝜃 Assim obtêmse para o paralelepípedo do desenho 51 a distorção como a seguinte derivada parcial Considerandose as outras direções obtêmse Cada tensão de cisalhamento varia linearmente com a respectiva distorção angular pela lei de Hooke que relaciona tensões com deformações 𝜏0T 𝐺 𝛾0T 𝜏Tl 𝐺 𝛾Tl 𝜏l0 𝐺 𝛾l0 O módulo de elasticidade transversal 𝐺 está relacionado ao módulo de elasticidade longitudinal 𝐸 conforme o coeficiente de Poisson 𝜐 por 𝐺 𝐸 2 1 𝜐 49 53 Torção em barras 531 Seção Maciça Quando submetida a um esforço de torção de intensidade 𝑀r uma barra de seção quadrada apresenta deformações como mostradas na figura 52 Figura 52 Torção em barra prismática de seção quadrada Fonte SILVA 2005 Neste caso ocorre empenamento da seção transversal uma vez que aparecem deslocamentos axiais em pontos de uma mesma seção que deixa de ser plana invalidando a hipótese de Claude Louis Marie Henri Navier 50 Desenho 52 Deslocamentos na seção transversal Fonte SILVA 2005 Na seção transversal de uma barra maciça ocorrem deslocamentos conforme mostrado no Desenho 8 em que fibras radiais J𝑂JJJ𝑃J giram em torno do eixo longitudinal da barra de um ângulo Θ 𝜃 𝑧 Com este movimento estas fibras radiais passam a ocupar a posição J𝑂JJJ𝑃JJJ Sendo 𝜃 a taxa de rotação da seção por comprimento de barra Silva 2005 obtém o campo de deslocamentos de pontos da seção transversal conforme indicado no desenho acima representativo da torção uniforme 𝑢 𝜃 𝑧 𝑦 𝑣 𝜃 𝑧 𝑥 Submetendose uma barra com seção transversal maciça a um esforço de torção de intensidade 𝑀r a taxa de rotação por comprimento varia conforme a relação 𝜃 𝑀r 𝐺 9 51 Considerandose que a barra tenha comprimento ℓ o ângulo de rotação vale O momento de inércia à torção 9 depende da geometria da seção transversal Desenho 53 Orientação do contorno de uma elipse Fonte SILVA 2005 O problema da torção uniforme em barras com seção transversal elíptica e em particular o de seção transversal circular possui solução analítica fechada No desenho 53 é mostrada uma elipse com semieixo maior de medida 𝑎 e semieixo menor de medida 𝑏 Silva 2005 obteve o momento de inércia à torção correspondente Θ 𝑀r ℓ 𝐺 9 𝜋 𝑎𝑏 52 Nestas condições os deslocamentos longitudinais 𝑤 de pontos da seção transversal foram obtidos por Silva 2005 pela aplicação do método semiinverso e valem O resultado deste empenamento pode ser observado abaixo Desenho 54 Empenamento da seção transversal em barras de seção maciça elíptica Fonte SILVA 2005 532 Torção em eixos de seção circular Em eixos de barras de sistemas mecânicos com seção circular de diâmetro 𝐷 a elipse do desenho 53 é transformada em uma circunferência de raio Consequentemente como 𝑎 𝑏 o empenamento da seção transversal desaparece uma vez que 𝑤 0 Por esta razão as barras maciças de seção circular são de grande 𝑎 𝑏 𝐷 2 53 interesse na engenharia aplicada a motores girantes e os resultados bem conhecidos Neste cenário o momento de inércia à torção é reduzido a 533 Torção em seções abertas de paredes delgadas A principal característica de um perfil de paredes delgadas é que a espessura da seção transversal é muito menor que sua largura altura ou contorno Porém estas dimensões são muito menores do que seu comprimento de modo que ainda é possível utilizar modelos de barra para sua análise Usualmente temos que St 10t e L 10St onde L é o comprimento do elemento St é o perímetro da seção e t é a espessura das paredes do elemento Figura 53 Perfil de secção aberta e paredes delgadas Para a determinação das equações que permitem obter a posição do centro de cisalhamento em seções transversais abertas e delgadas são admitidas como válidas as seguintes hipóteses simplificadoras O contorno da seção transversal permanece rígido em seu próprio plano durante a deformação As deformações por cisalhamento na superfície média da barra podem ser desprezadas 54 Quando um perfil de seção aberta e paredes delgadas é submetido a um momento torsor mx as suas seções giram em torno do seu próprio eixo e empenam Se o empenamento for livre nas extremidades e o momento torsor mx aplicado for constante dizse que o perfil está submetido a uma torção uniforme ou torção de SaintVenant Se por outro lado o momento torsor for variável ou o empenamento estiver impedido em alguma seção dizse que o perfil está submetido a uma torção não uniforme No caso mais geral de um perfil submetido a uma torção não uniforme o momento torsor resistente é constituído por duas parcelas o momento devido à torção Tt e o momento devido ao impedimento do empenamento Te Deste modo o equilíbrio do perfil corresponde a No caso da torção uniforme apenas existe a primeira parcela As duas parcelas do momento torsor relacionamse com o ângulo de torção θx do perfil em torno do eixo longitudinal que passa pelo centro de cisalhamento da seção transversal através das expressões Onde X é o eixo do perfil e GJ e EIw designam respectivamente a rigidez a torção e rigidez ao empenamento 55 Aqui G e E são respectivamente os módulos de elasticidade transversal e longitudinal do material e J e Iw são respectivamente as constantes de torção e empenamento do perfil Sabese da resistência dos materiais que Onde bi e ti são respectivamente a largura e a espessura da iésima parede do perfil O cálculo de Iw é próprio de cada perfil Por exemplo para um perfil C a constante de empenamento é obtida pela seguinte equação Onde tf e tw são respectivamente as espessuras da mesa e alma da seção A resolução do problema da torção não uniforme de um perfil requer a solução da seguinte equação diferencial de equilíbrio Conclusão É possível construir treliças mistas utilizando concreto armado onde é cabível Assim os diferentes materiais são utilizados para atender aos requisitos de segurança e estabilidade aproveitandose de suas melhores propriedades 56 REFERÊNCIAS SILVA H F Formulação do problema da torção uniforme em barras de seção transversal maciça Dissertação de mestrado Escola Politécnica 2005 BENEVIERI P Cálculo Diferencial e Integral I registro das aulas Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo 2018 BENEVIERI P Análise Real registro das aulas Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo 2018 FLEXOTORÇÃO em perfis de secção aberta e paredes delgadas PUC RIO Disponível em httpswwwmaxwellvracpucriobr35617356173PDF Acesso em 11 de set de 2020 57 6 VIGAS E PÓRTICOS Neste bloco serão estudadas as vigas e as estruturas de pórticos que são as células básicas para a construção de estruturas em que serão determinadas as reações de apoio necessárias para garantir o seu equilíbrio estático assim como calculados os esforços internos atuantes nas barras Existem alguns programas que auxiliam o engenheiro nestas tarefas e uma vez validados os esforços a partir de resultados elementares da teoria podem ser utilizados sem restrições 61 Cargas e Reações Esforços Internos No Desenho 61 é representada uma viga de comprimento ℓ simplesmente apoiada sob um apoio fixo na seção 𝐴 e um apoio móvel na seção 𝐵 Desenho 61 Viga duplamente apoiada com carregamento uniformemente distribuído Fonte O autor 58 Como esta estrutura possui um ponto fixo 𝐴 é conveniente escolher um eixo de referência 𝑥 passando por este ponto com a origem do sistema de coordenadas sobre este ponto Assim 𝑥 0 𝑥 ℓ O carregamento de intensidade 𝑝 distribuído ao longo da viga tem resultante estática 𝑝 ℓ 𝑘𝑁 e migra igualmente para cada uma das extremidades 𝐴 𝐵 que reagem com forças concentradas de sentidos opostos à essa resultante e com intensidades Internamente a viga sofre esforços internos de corte ou cisalhamento No desenho acima foram selecionadas duas seções para a análise dos esforços internos A seção 𝐴 foi locada imedia tamente à direita da extremidade na qual foi construída o apoio fixo Portanto à esquerda desta seção atua a força concentrada reativa 𝑅 que tende a girar a estrutura no sentido horário Portanto a força cortante na seção 𝐴 vale A seção 𝐵 foi locada imediatamente à esquerda da extremidade na qual foi construída o apoio móvel Portanto à direita desta seção atua a força concentrada reativa 𝑅 que tende a girar a estrutura no sentido antihorário Portanto a força cortante na seção 𝐵 vale 𝑉0 𝑝 ℓ 2 𝑉ℓ 𝑝 ℓ 2 59 A seção 𝐶 foi locada exatamente no centro da viga isto é ℓ 𝑥 2 Observando à esquerda da seção ou seja na seção 𝐶 existe a força 𝑅 que tende a girar a estrutura no sentido horário O carregamento distribuído de intensidade 𝑝 possui neste trecho da viga resultante de ℓ tendendo a girar a estrutura no sentido antihorário Portanto Observando à direita da seção isto é na seção 𝐶 existe a força 𝑅 que tende a girar a estrutura no sentido antihorário O carregamento distribuído de intensidade 𝑝 possui neste trecho da viga resultante de ℓA tendendo a girar a estrutura no sentido horário Portanto Uma vez que os valores laterais da função são iguais estabelecese a continuidade da função naquele ponto e escrevese Observandose na seção 𝐶 imediatamente à esquerda da seção 𝐶 a força concentrada reativa 𝑅 tende a tracionar a mesa inferior da viga com um momento de 60 A A O carregamento distribuído de intensidade 𝑝 possui neste trecho da viga resultante de ℓ tendendo a tracionar a mesa superior da viga com um momento de Considerandose positivos os momentos que tracionam a mesa inferior da viga e negativos os momentos que tracionam a mesa superior da viga obtémse para esta seção o momento fletor de Observandose na seção 𝐶 imediatamente à direita da seção 𝐶 a força concentrada reativa 𝑅 tende a tracionar a mesa inferior da viga com um momento de O carregamento distribuído de intensidade 𝑝 possui neste outro trecho da viga resultante de ℓ tendendo a tracionar a mesa superior da viga com um momento de 61 Para a seção 𝐶 o momento fletor obtido é Uma vez que os valores laterais da função são iguais estabelecese a continuidade da função naquele ponto e escrevese Este é o momento fletor máximo atuante na viga na seção central sendo utilizado para dimensionar a estrutura para que suporte este carregamento Nestas condições os esforços internos o carregamento e as reações de apoio são compatíveis com o equilíbrio da estrutura do desenho 61 No desenho 62 é representada uma viga de comprimento ℓ engastada na seção 𝐴 e livre na extremidade da seção 𝐵 62 Desenho 62 Viga engastada com carregamento uniformemente distribuído O carregamento de intensidade 𝑝 distribuído ao longo da viga tem resultante estática 𝑝 ℓ 𝑘𝑁 e os esforços dele decorrentes migram totalmente para a extremidades engastada 𝐴 que reage com força concentrada de sentido oposto à essa resultante e com um momento concentrado com intensidades Internamente a viga sofre esforços internos de corte ou cisalhamento No desenho acima foram selecionadas duas seções para a análise dos esforços internos À esquerda da seção 𝐴 atua a força concentrada reativa 𝑅 que tende a girar a estrutura no sentido horário Portanto a força cor tante na seção 𝐴 vale 𝑉0 𝑝 ℓ 63 Atua também o momento reativo 𝑀 que tende a tracionar a mesa superior da viga Nesta seção o momento fletor vale À direita da seção 𝐵 não há forças cortantes e nem momentos fletores Consequentemente 𝑉ℓ 0 𝑀ℓ 0 62 Construção de diagramas de esforços solicitantes Para construir os diagramas de esforços solicitantes é necessário determinar para cada seção da barra as funções que representam os esforços internos de forças normais forças cortantes momentos fletores e momentos torsor torque Primeiramente escolhese um eixo de coordenadas e colocase a origem preferencialmente em um ponto fixo da estrutura como mostrado no desenho 63 Desenho 63 Viga duplamente apoiada com carregamento uniformemente distribuído 64 A Em seguida devese escolher uma seção 𝑆 de coordenada 𝑥 para escrever cada função em função da respectiva coordenada Olhandose à esquerda de 𝑆 percebese que a força concentrada reativa 𝑅 tende a girar a estrutura no sentido horário O carregamento distribuído de intensidade 𝑝 possui neste trecho da viga resultante 𝑝 𝑥 tendendo a girar a estrutura no sentido antihorário Portanto O mesmo resultado é obtido se for efetuado a análise dos esforços à direita de 𝑆 pois a força concentrada reativa 𝑅 tende a girar a estrutura no sentido antihorário e a resultante 𝑝 ℓ 𝑥 do carregamento distribuído neste trecho tende a girar a estrutura no sentido horário Portanto Concluise que em uma viga simplesmente apoiada com carregamento vertical uniforme a força cortante é uma função decrescente de primeiro grau definida para o intervalo 𝑥 0 ℓ e que assume o valor máximo em 𝑥 0 e o valor mínimo em 𝑥 ℓ sendo nula na seção central 𝑥 ℓ Portanto o gráfico da função 𝑉𝑥 é um segmento de reta 65 A Quanto aos momentos fletores observandose à esquerda da seção 𝑆 a força concentrada reativa 𝑅 tende a tracionar a mesa inferior da viga com um momento de Considerandose positivos os momentos que tracionam a mesa inferior da viga e negativos os momentos que tracionam a mesa superior da viga obtémse para esta seção o momento fletor de O mesmo resultado é obtido considerandose os esforços à direita de 𝑆 pois a força reativa 𝑅 tende a tracionar a mesa inferior da viga enquanto que a resultante do carregamento distribuído de 𝑝 ℓ 𝑥 neste trecho tende a tracionar a mesa superior da viga Assim Concluise que em uma viga simplesmente apoiada com carregamento vertical uniforme o momento fletor é uma função de segundo grau definida para o intervalo 𝑥 0 ℓ com concavidade para cima e que assume o valor máximo em 𝑥 ℓ e valores mínimos em 𝑥 ℓ 66 63 Softwares gratuitos para cálculo estrutural As treliças são estruturas formadas por barras construtivamente articuladas nos nós concebidas para trabalharem apenas a esforços axiais Na figura 61 é mostrada uma treliça de madeira com conexões por peças metálicas Figura 61 Treliça plana de madeira As diretrizes para dimensionamento e detalhamento destas ligações são estudadas na disciplina de estruturas de madeira e metal respeitando as diretrizes estabelecidas pelas normas brasileiras correspondentes Na Figura 62 é mais fácil enxergar as conexões articuladas entre as barras de aço É uma treliça espacial construída para suportar uma cobertura 67 Figura 62 Treliça de aço galvanizado Com relação à treliça plana da Figura 61 por exemplo um modelo matemático é construído utilizandose barras articuladas nas extremidades permitindo rotação relativa entre barras sucessivas Um apoio fixo que restringe todas as translações deve ser colocado por exemplo à esquerda e um apoio móvel que restringe apenas deslocamentos horizontais à direita Desta maneira constróise um modelo de uma estrutura isostática com um ponto fixo É conveniente estabelecer a origem do sistema de coordenadas neste ponto fixo Desenho 64 A versão 301 21122016 do software gratuito Ftool1 foi utilizada para construir modelos matemáticos para a treliça da Figura 61 1 Disponível em httpswwwftoolcombrFtool Acesso em 22 set 2020 68 Desenho 64 Carregamento forças normais e reações de apio em treliça plana simétrica Neste exemplo foram colocadas cargas concentradas verticais de 6 𝑘𝑁 simulando a ação de uma cobertura apoiada nestes nós Obviamente as reações de apoio de 3 𝑘𝑁 cada equilibram a estrutura Uma vez que não há forças horizontais nenhuma componente nesta direção aparece na reação de apoio da esquerda Em vermelho no centro de cada barra aparecem os valores em 𝑘𝑁 das forças normais a que as barras estão submetidas Neste caso como tratase de uma estrutura simétrica com carregamento simétrico as barras simétricas possuem solicitações iguais Para as barras horizontais 𝑁 3 𝑘𝑁 Esta força normal algebricamente positiva confirma que a barra está tracionada A barra vertical está tracionada com 𝑁 2 𝑘𝑁 Portanto para efeito de verificação da segurança estrutural tomase a força interna de maior valor absoluto para estudo da tração 69 As outras barras estão comprimidas com forças normais algebricamente negativas Tomase a de maior valor absoluto para efetuar a verificação da segurança estrutural 𝑁 42 𝑘𝑁 Em barras comprimidas além de se verificar a segurança quanto à resistência do material tornase necessário verificar a estabilidade à flambagem Fica mais fácil perceber quais barras estão tracionadas e quais barras estão comprimidas observandose os deslocamentos que ocorrem na estrutura devidos às solicitações aplicadas Desenho 65 Deslocamentos em treliça sobre um apoio fixo à esquerda e um apoio móvel à direita O desenho 65 foi construído com auxílio da versão 301 21122016 do software gratuito Ftool que funciona em computadores com Windows Em escala amplificada 70 mostramse os deslocamentos que as barras sofrem em decorrência do carregamento aplicado O apoio da direita permite deslocamentos horizontais deste nó da estrutura Observase também que as todas as barras se mantêm retas na configuração deformada Isto ocorre porque neste tipo de estrutura não há cargas aplicadas no corpo da barra mas somente nos seus respectivos nós além disto todos os vínculos permitem rotações o que elimina a possibilidade de haver flexão nas barras deste modelo Desenho 66 Carregamento forças normais e reações de apio em treliça plana assimétrica Na treliça do desenho 66 foi acrescentado carregamento lateral simulação de vento Na análise do equilíbrio global da estrutura o equilíbrio de momentos estabelecido em relação a cada um dos dois apoios resolve a determinação das reações de apoio Observar que somente o apoio da esquerda possui vínculo horizontal e naturalmente absorverá todos os esforços nesta direção 71 O equilíbrio dos nós e das seções efetuadas na direção de cada uma das barras permite determinar as forças normais em cada barra estabelecendo as barras comprimidas e as barras tracionadas O maior nível de compressão estabelecido é 𝑁 64 𝑘𝑁 Este valor é absolutamente superior ao encontrado na treliça do desenho 64 Por outro lado o maior nível de tração na treliça acima é 𝑁 20 𝑘𝑁 Este valor é inferior ao da outra estrutura Observase que os tipos de vínculos e os carregamentos aplicados na estrutura eliminam as propriedades de simetria inicialmente concebidas no modelo do desenho 64 Desenho 67 Deslocamentos em treliça com carregamento lateral 72 No desenho 67 é apresentada a configuração deformada em escala exagerada na qual observase que mesmo tendo à direita um apoio móvel não há deslocamento na direção deste grau de liberdade Isto ocorre porque os carregamentos laterais vão em direção ao apoio fixo Desenho 68 Carregamento forças normais e reações de apio em treliça plana assimétrica No entanto quando o sentido do carregamento lateral é invertido o comportamento muda significativamente As reações verticais permanecem iguais no desenho 68 comparado com o Desenho 66 mas a mudança de sentido na reação horizontal do apoio fixo gera alterações nas forças normais das barras 𝑁 64 𝑘𝑁 𝑁0 75 𝑘𝑁 73 Desenho 69 Deslocamentos em treliça com carregamento lateral Além disto aparecem deslocamentos no apoio móvel e que não ocorriam no modelo anterior As treliças são estruturas isostáticas construídas com barras articuladas nas extremidades e concebidas para receberem apenas carregamentos nos nós Com isto o modelo matemático permite obter como resultado a ausência de flexão e de cortante nas barras que estão sujeitas apenas a esforços axiais Isto simplifica a análise do problema uma vez que na ausência de solicitações transversais as deformações axiais das barras dependem apenas das forças normais atuantes nas barras Conclusão Neste bloco estudamos as vigas e as estruturas de pórticos que são as células básicas para a construção de estruturas nais quais serão determinadas as reações de apoio necessárias para garantir o seu equilíbrio estático assim como calculados os esforços internos atuantes nas barras 74 REFERÊNCIAS ALVARES B A LUZ A M R Física ensino médio São Paulo Scipione 2008 AMALDI U Imagens da física as ideias e as experiências do pêndulo aos quarks São Paulo Scipione1995 BEER F P JOHNSTON R Resistência dos materiais 3 ed São Paulo Makron Books 1995 BONJORNO R A et al Física fundamental 2º grau volume único São Paulo FTD 1993 BOTELHO M H C Resistência dos materiais São Paulo Edgard Blucher 2008 HIBBELER R C Resistência dos materiais 3 ed Rio de Janeiro LTC 2000 Resistência dos materiais Tradução de Arlete Símile Marques 7 ed São Paulo Pearson Education 2011 SERWAY R A Física 1 Sl sn 1996 SERWAY R A JEWETT JR J W Princípios de física São Paulo Pioneira Thomson 2008 v 1 TIMOSHENKO S P Resistência dos materiais 3 ed Rio de Janeiro LTC 1993 v 12 TIPLER P A Física para cientistas e engenheiros Rio de Janeiro LTC 2000 v 1 YOUNG H D FREEDMAN R A Física IV 12 ed São Paulo Pearson Education 2008