Resolver as Questões

1 Escreva a matriz A onde 2i3j 2 Escreva a matriz B onde 3 Escreva a matriz C onde 4 Escreva a matriz D onde i j 5 Escreva a matriz A onde 6 Escreva a matriz A onde 7 Escreva a matriz A onde 8 Chamase traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal Determine o traço de cada uma das matrizes A 9 Dada a matriz A determinar a a transposta de A b a oposta de A 10 Dadas as matrizes A e determinar a b e x para que A 11 Determinar os valores de a e b tais que 12 Determine x e y na igualdade 13 Seja A onde i j Determine m n e p em B a fim de que tenhamos AB 14 Determine a b x e y tais que 15 Determine x e y tais que a b B B B Curso Redes Prof Dr Eduardo Zimdars Disciplina Matemática Fundamental Estudante Data 26062025 Avaliação 2 Matrizes e Determinantes 10 pontos Observações 1ª Avaliação individual 2ª A resolução das questões é componente avaliativo portanto não serão consideradas apenas respostas finais para validação da questão 3ª Eventuais erros de correção ou soma de pontuação devem ser comunicados ao professor sendo reconsiderados apenas quando o estudante respondeu a avaliação com caneta de tinta azul ou preta Considere as matrizes 𝐴 3 4 5 0 1 2 3 5 4 𝐵 1 0 2 2 2 2 3 0 2 e 𝐶 2 2 2 3 4 7 1 2 5 para resolver as questões 1 a 5 1ª questão 1 ponto Calcule o determinante de A 2ª questão 1 ponto Determine a matriz 𝐴 2𝐵 3ª questão 1 ponto Determine ABC 4ª questão 2 pontos Calcule AB se possível 5ª questão 2 pontos Calcule det 𝐴 6ª questão 2 pontos Determine caso exista a matriz inversa da matriz A 52 1 5 36 7ª questão 1 ponto Dadas as matrizes A tal que i j B tal que com e C AB determine o elemento A B C 3 4 5 0 1 2 3 5 4 1 0 2 2 2 2 3 0 2 2 2 7 3 4 7 1 2 5 2 4 7 2 1 0 0 5 6 2 2 7 3 4 7 1 2 5 22 43 71 22 44 72 27 47 75 22 13 01 22 74 02 27 17 05 02 53 61 02 54 62 07 57 65 4 12 7 4 16 14 19 28 35 9 3 9 4 19 7 12 20 35 30 1 2 21 1 0 7 9 8 5 A B 3 4 5 0 1 2 3 5 4 1 0 2 2 2 2 3 0 2 31 42 53 0 42 0 32 42 52 12 23 0 12 0 0 12 22 31 25 43 0 52 0 6 10 8 3 8 15 8 6 8 10 4 2 2 4 12 20 8 12 4 2 2 19 10 12 Do item 1 vimos que det A 0 portanto A é invertível Vamos encontrar a inversa de A através do seguinte escalonamento 3 4 5 1 0 0 0 1 0 3 5 4 0 0 1 L₃ L₁ L₃ 3 4 5 1 0 0 0 1 2 0 1 0 0 1 1 1 0 1 L₃ L₂ L₃ 3 4 5 1 0 0 0 1 2 0 1 0 0 0 1 1 1 1 L₂ 2L₃ L₂ L₁ 5L₃ L₁ 3 4 0 4 5 5 0 1 0 2 1 2 0 0 1 1 1 1 L₁ 4L₂ L₁ 3 0 0 4 1 3 0 1 0 2 1 2 0 0 1 1 1 1 L₁ 13 L₁ 1 0 0 43 13 1 0 1 0 2 1 2 0 0 1 1 1 1 Se A a b c d com det A 0 então a inversa é A¹ 1det A d b c a Como A 2 1 5 3 e det A 23 15 1 0 a inversa é A¹ 11 3 1 5 2 3 1 5 2 O elemento c₄₂ da matriz produto C AB pode ser obtido ao multiplicar a linha 4 da matriz A pela coluna 2 da matriz B Basta calcular a linha 4 de A e a coluna 2 de B logo aᵢⱼ i j e bᵢⱼ j i a₄₁ 4 1 3 a₄₂ 4 2 2 a₄₃ 4 3 1 a₄₄ 4 4 0 b₁₂ 2 1 1 b₂₂ 2 2 0 b₃₂ 2 3 1 b₄₂ 2 4 2 logo c₄₂ a₄₁b₁₂ a₄₂b₂₂ a₄₃b₃₂ a₄₄b₄₂ 31 20 11 02 3 1 2 1 Uma matriz 2 x 3 possui 6 elementos basta calcular as entradas pela expressão aᵢⱼ 2i 3j i12 j123 a₁₁ 21 31 5 a₂₁ 22 31 7 a₁₂ 21 32 8 a₂₂ 22 32 10 a₁₃ 21 33 11 a₂₃ 22 33 13 logo A 5 8 11 7 10 13 2 É uma matriz 3 x 3 possui 9 elementos novamente basta calcular por bᵢⱼ ij ij123 b₁₁ 11 1 b₂₁ 21 2 b₃₁ 3 b₁₂ 12 b₂₂ 22 1 b₃₂ 32 b₁₃ 13 b₂₃ 23 b₃₃ 33 1 logo B 1 12 13 2 1 23 32 1 3 É uma matriz 4 x 1 ou vetor tem 4 elementos basta usar que cᵢⱼ i² j c₁₁ 1² 1 2 c₂₁ 2² 1 5 c₃₁ 3² 1 10 c₄₁ 4² 1 17 C 2 5 10 17 a A transposta At de uma matriz é simplesmente trocar linhas por colunas assim A 1 2 1 4 At 1 1 2 4 b Interpretando matriz oposta como matriz inversa Note que det A 14 21 4 2 2 0 portanto A é inversível A inversa de uma matriz 2x2 A a b c d é A1 1det A d b c a assum a matriz 1 2 1 4 A1 12 4 2 1 1 2 12 12 12 Como B x 3 l 3 Bt x l 3 3 logo A Bt 1 2 a 3 x l 3 3 x 1 l 2 e a 3 comparando entrada a entrada Comparando entrada a entrada temos 2a1 b2 l3 a3 2a b 1 a l 0 somando a 1 logo b 1 Comparando entrada a entrada temos log3 x 4 y12 9 log3 x 4 inversa x 34 e y 9 3 logo x 34 e y 3 ou y 3 c cos15t 175 e3t sen5 t 4 comparando coeficientes a b x y 3 2 a b 2x y 1 1 x y 2 2x y 1 somando 3x 3 x 1 logo y 1 2 a b 3 a b 1 somando 2a 4 a 2 logo b 1 Calculando as entradas de A temos a11 11 2 a21 21 3 a12 12 3 a22 22 4 a13 13 4 a23 23 5 A 2 3 4 3 4 5 assim 2 3 4 3 4 5 mm m 3 4 m1 m2p 5 mm 2 m1 3 m2p 4 m 4 logo m 2m 24 2 m 2 2p m4 p m42 242 3 p 3 15 a comparando termos log₂ x 3 y 5 x² 64 resolvendo a última temos x 8 x 8 obsevação para x 0 temos que x 8 E y 5 y 5 ou y 5 d comparando Multiplicando 2x 3y 5 5x 2y 7 15 2x 21 5 x 1 logo y 2 Subtraindo 15x 3y 21 2x 3y 5 13x 16 x 1613