Revisão de Integrais Duplas e Cálculo de Volume

Integral Dupla Revisão Integral Definida Seja f definida em a x b começase dividindo o intervalo a b em n subintervalos xi1 xi de comprimentos iguais a Escolhemse pontos arbitrários de amostragem 𝑥𝑖 em cada um desses subintervalos 2 Revisão Integral Definida Formase a soma de Riemann Tomando o limite dessa soma quando n 3 Revisão Integral Definida Quando f 0 x 𝐷𝑜𝑚𝑓 a soma de Riemann pode ser interpretada como a soma das áreas dos retângulos e a integral representa a área sob a curva y fx de a até b 4 Considere uma função de duas variáveis definida em um retângulo fechado Vamos supor inicialmente que fxy 0 x y 𝐷𝑜𝑚𝑓 O gráfico de f é a superfície com equação z fxy 5 Seja S o sólido que está acima da região R e abaixo do gráfico de f O objetivo é calcular o volume de S 6 Procedimento é análogo ao da integral de cálculo 1 Dividese o intervalo a b em m subintervalos xi1 xi de comprimentos Dividese o intervalo c d em n subintervalos yj1 yj de comprimentos Cada retângulo com área 7 Rij Escolhendo pontos arbitrários de amostragem 𝑥𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗 em cada 𝑅𝑖𝑗 podese aproximar a parte de S que está acima de cada 𝑅𝑖𝑗 por uma caixa retangular fina ou coluna Base 𝑅𝑖𝑗 e altura f𝑥𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗 O volume da caixa é dado por 9 Seguindo este procedimento e somando os volumes podese obter uma aproximação do volume total de S 10 O cálculo corresponderá ao volume correto quando Estes limites aparecem não só ao calcular volumes mas em outras situações também 11 Escolhendo o ponto de amostragem como o canto superior direito 12 Se fx y geq 0 então o volume V do sólido que está acima do retângulo R e abaixo da superfície z fx y é V iintR fx y dA A soma na Definição 5 sumi1m sumj1n fxij yij Delta A é chamada soma dupla de Riemann e é usada como uma aproximação do valor da integral Propriedades das Integrais Duplas Suponha uma função de duas variáveis integráveis em R ab x cd 15 cd ab fx y dx dy cd ab fx y dx dy 03 x2 dy dx 12 03 x2 dy dx EXEMPLO 4 Determine o volume do sólido S que é limitado pelo paraboloide elíptico x² 2y² z 16 pelos planos x 2 e y 2 e pelos três planos coordenados SOLUÇÃO Observemos primeiro que S é o sólido que está abaixo da superfície z 16 x² 2y² e acima do quadrado R 0 2 0 2 Veja a Figura 5 Esse sólido foi considerado no Exemplo 1 da Seção 151 mas agora temos condições de calcular a integral dupla usando o Teorema de Fubini Portanto EXEMPLO 4 Determine o volume do sólido S que é limitado pelo paraboloide elíptico x² 2y² z 16 pelos planos x 2 e y 2 e pelos três planos coordenados V R 16 x² 2y² dA ₀² ₀² 16 x² 2y² dx dy ₀² 16x 13x³ 2y²x ₁²₀ dy ₀² 883 4y² dy 883y 43y³ ₂₀ 48 Como integrar em uma região como essa Transformar este problema em um conhecido 21 Integrais Duplas sobre Regiões Gerais Se F for integrável em R então definimos a integral dupla de f em D por fx y dA Fx y dA Como vamos proceder na prática Integrais Duplas sobre Regiões Gerais Fx y fx y se x y está em D 0 se x y está em R mas não em D Uma região plana D é dita do tipo I se for a região entre o gráfico de duas funções contínuas de x ou seja D x y a x b g₁x y g₂x onde g₁ e g₂ são contínuas em a b Algumas regiões do tipo I Se f é contínua em uma região D do tipo I tal que D x y a x b g1x y g2x então D fx y dA b a g2x fx y dy dx Consideraremos também regiões planas do tipo II que podem ser expressas como D x y c y d h1y x h2y onde h1 e h2 são contínuas Essas duas regiões estão ilustradas na Figura 7 D fx y dA d c h2y h1y fx y dx dy onde D é uma região do tipo II dada pela Equação 4 EXEMPLO 1 Calcule D x 2y dA onde D é a região limitada pelas parábolas y 2x² e y 1 x² EXEMPLO 4 Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x 2y z 2 x 2y x 0 e z 0 EXEMPLO 4 Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x 2y z 2 x 2y x 0 e z 0 Portanto V D 2 x 2y dA ₀¹ 1x22x2y dy dx Propriedades das Integrais Duplas D fxy gxy dA D fxy dA D gxy dA D cfxy dA c D fxy dA Se fxy gxy para todo xy em R então D fxy dA D gxy dA Propriedades das Integrais Duplas Se D D1 D2 onde D1 e D2 não se sobreepõem exceto talvez nas fronteiras veja a Figura 17 então D fxy dA D1 fxy dA D2 fxy dA A próxima propriedade de integrais diz que se integrarmos a função constante fxy 1 sobre uma região D obtemos a área de D D 1 dA AD Propriedades das Integrais Duplas Se m fxy M para todo xy em D então mAD D fxy dA MAD Bibliografia Stewart James Cálculo Vol 2 6ª Edição Editora Cengage Guidorizzi H L Um curso de cálculo Vols 2 e 3 6ª edição LTC