Sears e Zemansky Física II Termodinâmica e Ondas Young e Freedman 12ª Edição

SEARS ZEMANSKY FÍSICA II TERMODINÂMICA E ONDAS YOUNG FREEDMAN 12ª EDIÇÃO PEARSON Addison Wesley Companion Website Site com material de apoio para professores e estudantes SEARS ZEMANSKY FÍSICA II TERMODINÂMICA E ONDAS YOUNG FREEDMAN 12ª EDIÇÃO Hugh D Young Universidade CarnegieMellon Pittsburgh Roger A Freedman Universidade da Califórnia Santa Bárbara Colaborador A Lewis Ford Universidade AM do Texas Tradução Cláudia Santana Martins Revisão Técnica Adir Moysés Luiz Doutor em ciência Professor associado do Instituto de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro PEARSON Addison Wesley São Paulo Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela 2008 by Pearson Education do Brasil Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de nenhum modo ou por algum outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Pearson Education do Brasil Diretor editorial Roger Trimer Gerente editorial Sabrina Cairo Supervisor de produção editorial Marcelo Françozo Editores Arlete Sousa e Marco Pace Preparação Marina Mourão Fanti Revisão Hebe Lucas e Thaís Totino Richter Capa Rafael Mazzo sob projeto original de Yvo Riezebos Design Projeto gráfico e diagramação Globaltec Artes Gráficas Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Young Hugh D Física II Termodinâmica e Ondas Young e Freedman colaborador A Lewis Ford tradução Cláudia Santana Martins revisão técnica Adir Moysés Luiz 12 ed São Paulo Addison Wesley 2008 Título original Sear and Zemanskys University physics ISBN 9788588639331 1 Física 2 Ondas 3 Termodinâmica I Freedman Roger A II Ford A Lewis III Título 0802034 CDD530 Índice para catálogo sistemático 1 Física Estudo e ensino 530 2008 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil uma empresa do grupo Pearson Education Av Ermanno Marchetti 1435 CEP 05038001 São Paulo SP Fone 11 21788686 Fax 11 21788688 email vendaspearsonedcom SUMÁRIO FÍSICA 2 TERMODINÂMICA E ONDAS CAPÍTULO 12 Gravitação 121 Lei de Newton da Gravitação 01 122 Peso 05 123 Energia Potencial Gravitacional 08 124 Movimento de Satélites 10 125 As Leis de Kepler e o Movimento de Planetas 13 126 Distribuição Esférica de Massa 17 127 Peso Aparente e Rotação da Terra 20 128 Buraco Negro 22 ResumoPrincipais Termos 25 QuestõesExercíciosProblemas 27 CAPÍTULO 13 Movimento Periódico 131 Causas da Oscilação 36 132 Movimento Harmônico Simples 38 133 Energia no Movimento Harmônico Simples 45 134 Aplicações do Movimento Harmônico Simples 49 135 O Pêndulo Simples 52 136 O Pêndulo Físico 54 137 Oscilações Amortecidas 56 138 Oscilações Forçadas e Ressonância 58 ResumoPrincipais Termos 60 QuestõesExercíciosProblemas 62 CAPÍTULO 14 Mecânica dos Fluidos 141 Densidade 72 142 Pressão em um Fluido 74 143 Empuxo 79 144 Escoamento de um Fluido 82 145 Equação de Bernoulli 84 146 Viscosidade e Turbulência 88 ResumoPrincipais Termos 90 QuestõesExercíciosProblemas 92 CAPÍTULO 15 Ondas Mecânicas 151 Tipos de Ondas Mecânicas 103 152 Ondas Periódicas 105 153 Descrição Matemática das Ondas 107 154 Velocidade de uma Onda Transversal 113 155 Energia no Movimento Ondulatório 116 156 Interferência de Ondas Condições de Contorno de uma Corda e Princípio da Superposição 119 157 Ondas Estacionárias em uma Corda 121 158 Modos Normais de uma Corda 125 ResumoPrincipais Termos 128 QuestõesExercíciosProblemas 130 CAPÍTULO 16 Som e Audição 161 Ondas Sonoras 140 162 Velocidade das Ondas Sonoras 145 163 Intensidade do Som 149 164 Ondas Estacionárias e Modos Normais 153 165 Ressonância e Som 157 166 Interferência de Ondas 159 167 Batimentos 161 168 O Efeito Doppler 162 169 Ondas de Choque 167 ResumoPrincipais Termos 169 QuestõesExercíciosProblemas 171 CAPÍTULO 17 Temperatura e Calor 171 Temperatura e Equilíbrio Térmico 179 172 Termômetros e Escalas de Temperatura 181 173 Termômetro de Gás e Escala Kelvin 182 174 Expansão Térmica 184 175 Quantidade de Calor 190 176 Calorimetria e Transições de Fases 193 177 Mecanismos de Transferência de Calor 198 ResumoPrincipais Termos 205 QuestõesExercíciosProblemas 206 CAPÍTULO 18 Propriedades Térmicas da Matéria 181 Equações de Estado 217 182 Propriedades Moleculares da Matéria 223 183 Modelo CinéticoMolecular de um Gás Ideal 226 184 Calor Específico 231 185 Velocidades Moleculares 235 186 Fases da Matéria 237 ResumoPrincipais Termos 240 QuestõesExercíciosProblemas 242 CAPÍTULO 19 A Primeira Lei da Termodinâmica 191 Sistemas Termodinâmicos 251 192 Trabalho Realizado Durante Variações de Volume 252 193 Caminhos entre Estados Termodinâmicos 255 194 Energia Interna e Primeira Lei da Termodinâmica 256 195 Tipos de Processos Termodinâmicos 261 196 Energia Interna de um Gás Ideal 262 197 Calor Específico de um Gás Ideal 263 198 Processo Adiabático de um Gás Ideal 266 ResumoPrincipais Termos 268 QuestõesExercíciosProblemas 270 CAPÍTULO 20 A Segunda Lei da Termodinâmica 201 Sentido de um Processo Termodinâmico 278 202 Máquinas Térmicas 279 203 Máquinas de Combustão Interna 282 204 Refrigeradores 284 205 Segunda Lei da Termodinâmica 286 206 O Ciclo de Carnot 288 207 Entropia 293 208 Interpretação Microscópica da Entropia 298 ResumoPrincipais Termos 301 QuestõesExercíciosProblemas 303 APÊNDICES A Sistema Internacional de Unidades 311 B Relações Matemáticas Úteis 313 C Alfabeto Grego 314 D Tabela Periódica dos Elementos 315 E Fatores de Conversão das Unidades 316 F Constantes Numéricas 317 Respostas dos Problemas Ímpares 319 Índice Remissivo 323 Créditos das fotos 327 Sobre os autores 329 43 Segunda Lei de Newton 44 Massa e Peso 45 Terceira Lei de Newton 46 Exemplos de Diagramas do Corpo Livre ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 5 Aplicações das Leis de Newton 51 Uso da Primeira Lei de Newton Partículas em Equilíbrio 52 Uso da Segunda Lei de Newton Dinâmica das Partículas 53 Forças de Atrito 54 Dinâmica do Movimento Circular 55 As Forças Fundamentais da Natureza ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 6 Trabalho e Energia Cinética 61 Trabalho 62 Energia Cinética e o Teorema do TrabalhoEnergia 63 Trabalho e Energia com Forças Variáveis 64 Potência ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 7 Energia Potencial e Conservação da Energia 71 Energia Potencial Gravitacional 72 Energia Potencial Elástica 73 Forças Conservativas e Forças Não Conservativas 74 Força e Energia Potencial 75 Diagramas de Energia ResumoPrincipais Termo QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 8 Momento Linear Impulso e Colisões 81 Momento Linear e Impulso 82 Conservação do Momento Linear 83 Conservação do Momento Linear e Colisões 84 Colisões Elásticas 85 Centro de Massa 86 Propulsão de um Foguete ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 9 Rotação de Corpos Rígidos 91 Velocidade Angular e Aceleração Angular 92 Rotação com Aceleração Angular Constante 93 Relações entre a Cinemática Linear e a Cinemática Angular 94 Energia no Movimento de Rotação 95 Teorema dos Eixos Paralelos 96 Cálculos de Momento de Inércia ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 10 Dinâmica do Movimento de Rotação 101 Torque 102 Torque e Aceleração Angular de um Corpo Rígido 103 Rotação de um Corpo Rígido em Torno de um Eixo Móvel 104 Trabalho e Potência no Movimento de Rotação 105 Momento Angular 106 Conservação do Momento Angular 107 Giroscópios e Precessão ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 11 Equilíbrio e Elasticidade 111 Condições de Equilíbrio 112 Centro de Gravidade 113 Soluções de Problemas de Equilíbrio de Corpos Rígidos 114 Tensão Deformação e Módulos de Elasticidade 115 Elasticidade e Plasticidade ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas FÍSICA 3 ELETROMAGNETISMO CAPÍTULO 21 Carga Elétrica e Campo Elétrico 211 Carga Elétrica 212 Condutores Isolantes e Cargas Induzidas 213 Lei de Coulomb 214 Campo Elétrico e Forças Elétricas 215 Determinação do Campo Elétrico 216 Linhas de Força de um Campo Elétrico 217 Dipolos Elétricos ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 22 Lei de Gauss 221 Carga Elétrica e Fluxo Elétrico 222 Determinação do Fluxo Elétrico 223 Lei de Gauss 224 Aplicações da Lei de Gauss 225 Cargas e Condutores ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 23 Potencial Elétrico 231 Energia Potencial Elétrica 232 Potencial Elétrico 233 Determinação do Potencial Elétrico 234 Superfícies Equipotenciais 235 Gradiente de Potencial ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 24 Capacitância e Dielétricos 241 Capacitância e Capacitores 242 Capacitores em Série e em Paralelo 243 Armazenamento de Energia em Capacitores e Energia do Campo Elétrico 244 Dielétricos 245 Modelo Molecular da Carga Induzida 246 Lei de Gauss em Dielétricos ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 25 Corrente Resistência e Força Eletromotriz 251 Corrente 252 Resistividade 253 Resistência 254 Força Eletromotriz e Circuitos 255 Energia e Potência em Circuitos Elétricos 256 Teoria da Condução em Metais ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 26 Circuitos de Corrente Contínua 261 Resistores em Série e em Paralelo 262 Leis de Kirchhoff 263 Instrumentos de Medidas Elétricas 264 Circuito RC 265 Sistemas de Distribuição de Potência ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 27 Campo Magnético e Força Magnética 271 Magnetismo 272 Campo Magnético 273 Linhas de Campo Magnético e Fluxo Magnético 274 Movimento de Partículas Carregadas em um Campo Magnético 275 Aplicações do Movimento de Partículas Carregadas 276 Força Magnética Sobre um Condutor Transportando uma Corrente 277 Força e Torque Sobre uma Espira de Corrente 278 O Motor de Corrente Contínua 279 O Efeito Hall ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 28 Fontes de Campo Magnético 281 Campo Magnético de uma Carga em Movimento 282 Campo Magnético de um Elemento de Corrente 283 Campo Magnético de um Condutor Retilíneo Transportando uma Corrente 284 Força Entre Condutores Paralelos 285 Campo Magnético de uma Espira de Corrente 286 Lei de Ampère 287 Aplicações da Lei de Ampère 288 Materiais Magnéticos ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 29 Indução Eletromagnética 291 Experiências de Indução 292 Lei de Faraday 293 Lei de Lenz 294 Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento 295 Campos Elétricos Induzidos 296 Correntes de Rodamoinho 297 Corrente de Deslocamento e Equações de Maxwell 298 Supercondutividade ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 30 Indutância 301 Indutância Mútua 302 Indutores e AutoIndutância 303 Indutores e Energia do Campo Magnético 304 O Circuito RL 305 O Circuito LC 306 O Circuito RLC em Série ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 31 Corrente Alternada 311 Fasor e Corrente Alternada 312 Resistência e Reatância 313 O Circuito RLC em Série 314 Potência em Circuitos de Corrente Alternada 315 Ressonância em Circuitos de Corrente Alternada 316 Transformadores ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 32 Ondas Eletromagnéticas 321 Equações de Maxwell e Ondas Eletromagnéticas 322 Ondas Eletromagnéticas Planas e a Velocidade da Luz 323 Ondas Eletromagnéticas Senoidais 324 Energia e Momento Linear em Ondas Eletromagnéticas 325 Ondas Eletromagnéticas Estacionárias ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas FÍSICA 4 ÓTICA E FÍSICA MODERNA CAPÍTULO 33 Natureza e Propagação da Luz 331 Natureza da Luz 332 Reflexão e Refração 333 Reflexão Interna Total 334 Dispersão 335 Polarização 336 Espalhamento da Luz 337 Princípio de Huygens ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 34 Ótica Geométrica e Instrumentos de Ótica 341 Reflexão e Refração em uma Superfície Plana 342 Reflexão em uma Superfície Esférica 343 Refração em uma Superfície Esférica 344 Lentes Delgadas 345 Câmera 346 O Olho 347 A Lupa 348 Microscópios e Telescópios ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 35 Interferência 351 Interferência e Fontes Coerentes 352 Interferência da Luz Produzida por Duas Fontes 353 Intensidade das Figuras de Interferência 354 Interferência em Películas Finas 355 O Interferômetro de Michelson ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 36 Difração 361 Difração de Fresnel e Difração de Fraunhofer 362 Difração Produzida por uma Fenda Simples 363 Intensidade na Difração Produzida por uma Fenda Simples 364 Fendas Múltiplas 365 A Rede de Difração 366 Difração de Raios X 367 Orifícios Circulares e Poder de Resolução 368 Holografia ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 37 Relatividade 371 Invariância das Leis Físicas 372 Relatividade da Simultaneidade 373 Relatividade dos Intervalos de Tempo 374 Relatividade do Comprimento 375 As Transformações de Lorentz 376 O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas 377 Momento Linear Relativístico 378 Trabalho e Energia na Relatividade 379 Mecânica Newtoniana e Relatividade ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 38 Fótons Elétrons e Átomos 381 Emissão e Absorção da Luz 382 O Efeito Fotoelétrico 383 Espectro Atômico de Linhas e Níveis de Energia 384 O Núcleo do Átomo 385 O Modelo de Bohr 386 O Laser 387 Espalhamento e Produção de Raios X 388 Espectro Contínuo 389 A Dualidade OndaPartícula ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 39 A Natureza Ondulatória das Partículas 391 Onda de De Broglie 392 Difração de Elétrons 393 Probabilidade e Incerteza 394 O Microscópio Eletrônico 395 Função de Onda e Equação de Schrödinger ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 40 Mecânica Quântica 401 Partícula em uma Caixa 402 Poço de Potencial 403 Barreira de Potencial e Efeito Túnel 404 O Oscilador Harmônico 405 Problemas em Três Dimensões ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 41 Estrutura Atômica 411 O Átomo de Hidrogênio 412 O Efeito Zeeman 413 Spin do Elétron 414 Átomos com Muitos Elétrons e o Princípio de Exclusão 415 Espectro de Raios X ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 42 Moléculas e Matéria Condensada 421 Tipos de Ligações Moleculares 422 Espectro Molecular 423 Estrutura de um Sólido 424 Bandas de Energia 425 Modelo do Elétron Livre para um Metal 426 Semicondutores 427 Dispositivos Semicondutores 428 Supercondutividade ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 43 Física Nuclear 431 Propriedades do Núcleo 432 Ligação Nuclear e Estrutura Nuclear 433 Estabilidade Nuclear e Radioatividade 434 Atividade e MeiaVida 435 Efeitos Biológicos da Radiação 436 Reações Nucleares 437 Fissão Nuclear 438 Fusão Nuclear ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 44 Física das Partículas e Cosmologia 441 Partículas Fundamentais uma História 442 Aceleradores de Partículas e Detectores 443 Interações entre Partículas 444 Quarks e o Modelo com Simetria de Oito Modos 445 O Modelo Padrão e os Modelos Futuros 445 O Universo em Expansão 446 O Começo do Tempo ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas PREFÁCIO Este livro é o resultado de meio século de liderança e inovação no ensino da Física A primeira edição do livro Física de Francis W Sears e Mark W Zemansky publicada em 1949 foi revolucionária dentre os livrostexto baseados em cálculo por dar ênfase aos princípios da Física e suas aplicações O êxito alcançado por esta obra para o uso de diversas gerações de alunos e professores em várias partes do mundo atesta os méritos desse método e das muitas inovações introduzidas posteriormente Ao preparar esta nova edição incrementamos e desenvolvemos o livro de modo a incorporar as melhores ideias extraídas de pesquisas acadêmicas com ensino aprimorado de solução de problemas pedagogia visual e conceitual pioneira Novidades desta Edição Estratégias para a solução de problemas e Exemplos resolvidos Seções de Estratégia para a solução de problemas permeiam o livro e fornecem aos alunos táticas específicas para a resolução de determinados tipos de problema Eles atendem às necessidades de todo estudante que já sentiu que compreende os conceitos mas não consegue resolver os problemas Todas as seções de Estratégia para a Solução de Problemas seguem a abordagem ISEE do inglês Identify Set Up Execute and Evaluate Identificar Preparar Executar e Avaliar Essa abordagem ajuda os estudantes a saber como começar a tratar uma situação aparentemente complexa identificar os conceitos relevantes de Física decidir quais recursos são necessários para solucionar o problema executar a solução e depois avaliar se o resultado faz sentido Essa é uma ideia extraída de pesquisas acadêmicas realizadas recentemente na área Por ser um recurso extremamente didático é muito eficiente para o aprendizado Exemplo 121 CÁLCULO DE UMA FORÇA GRAVITACIONAL A massa m1 de uma das esferas pequenas da balança de Cavendish é igual a 00100 kg a massa m2 de uma das esferas grandes é igual a 0500 kg e a distância entre o centro de massa da esfera pequena e o centro de massa da esfera grande é igual a 00500 m Calcule a força gravitacional Fg sobre cada esfera SOLUÇÃO IDENTIFICAR como os objetos de 00100 kg e 0500 kg são esfericamente simétricos podemos calcular a força gravitational que um exerce sobre o outro supondo que eles sejam partículas distanciadas de 00500 m Cada esfera recebe uma força de mesmo módulo da outra esfera ainda que suas massas sejam muito diferentes PREPARAR usaremos a lei da gravitação Equação 121 para determinar Fg Estratégia para a solução de problemas 141 EQUAÇÃO DE BERNOULLI A equação de Bernoulli foi deduzida a partir do teorema do trabalhoenergia portanto não é surpresa que possamos aplicar aqui muitas recomendações de estratégia para a solução de problemas mencionadas na Seção 71 IDENTIFICAR os conceitos relevantes comece certificandose de que o escoamento do fluido seja estacionário e que o fluido seja compressível e livre de atrito interno Este caso é uma idealização mas é surpreendentemente aplicável a fluidos que escoem por tubos suficientemente grandes e a escoamentos dentro de fluidos com grande volume por exemplo o ar que cerca um avião ou a água ao redor de um peixe PREPARAR seguindo os passos 1 Sempre comece identificando claramente os pontos 1 e 2 mencionados na equação de Bernoulli 2 Defina o seu sistema de coordenadas e em especial o nível em que y 0 3 Faça uma lista das grandezas conhecidas e desconhecidas na Equação 1417 As variáveis são P1 P2 v1 v2 y1 e y2 as constantes são ρ e g O que foi dado O que você precisa calcular EXECUTAR o problema da seguinte forma escreva a equação de Bernoulli e encontre as grandezas desconhecidas Em alguns problemas você terá de usar a equação da continuidade Equação 1410 para obter uma relação entre as duas velocidades em termos das áreas das seções retas dos tubos ou dos recipientes Ou talvez você conheça as velocidades mas precise encontrar uma Cada seção de Estratégia para a Solução de Problemas é seguida por um ou mais Exemplos resolvidos que ilustram a estratégia Muitos outros Exemplos podem ser encontrados em cada capítulo Assim como as seções de Estratégia para a Solução de Problemas todos os exemplos quantitativos aplicam a abordagem ISEE Vários deles são puramente qualitativos e classificados como Exemplos Conceituais Ensino associado à prática Um recurso eficiente e sistemático de aprendizado associado à prática inclui os Objetivos de Aprendizagem disponíveis no início de cada capítulo e os Resumos dos capítulos que consolidam cada conceito por meio de palavras fórmulas matemáticas e figuras OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá Como descrever oscilações em termos da amplitude período frequência e frequência angular Como fazer cálculos com movimento harmônico simples MHS um tipo importante de oscilação Como usar conceitos de energia para analisar MHS Como aplicar os conceitos envolvidos em um MHS a diferentes situações físicas Como analisar os movimentos de um pêndulo simples O que é um pêndulo físico e como calcular as propriedades de seu movimento Teste sua compreensão da Seção 144 Uma equipe de manutenção está trabalhando em um trecho de uma estrada de três pistas deixando apenas uma pista aberta ao tráfego O resultado é um tráfego muito mais lento um engarrafamento Os carros na estrada se comportam como i moléculas de um fluido incompressível ou ii moléculas de um fluido compressível 1 Organização dos capítulos A Introdução de cada capítulo fornece exemplos específicos do conteúdo e faz a conexão com assuntos abordados em capítulos anteriores Há também uma Pergunta de abertura do capítulo e uma lista de Objetivos de Aprendizagem para que o aluno reflita sobre a matéria no capítulo a seguir Para encontrar a resposta a essa pergunta procure pelo ícone A maioria das seções termina com um Teste de compreensão que apresenta perguntas simples relacionadas ao conteúdo estudado Esse recurso ajuda os alunos a testarem instantaneamente o que acabaram de aprender O final de cada capítulo traz um Resumo visual dos princípios mais importantes apresentados bem como uma lista de Principais termos com referência da página na qual cada termo foi introduzido pela primeira vez As respostas à Pergunta de abertura do capítulo e do Teste de compreensão vêm na sequência dos Principais termos O poder didático das figuras O poder instrutivo das figuras é potencializado por meio da comprovada técnica de anotação comentários no estilo quadronegro integrados às figuras para orientar o estudante em sua interpretação e do uso eficiente de detalhes Problemas em destaque ao final dos capítulos Outro reconhecido mérito desta 12a edição vai ainda mais longe ela oferece em seus quatro volumes a primeira biblioteca de problemas sistematicamente melhorados em Física com mais de 800 novos problemas que compõem o acervo total de 3700 Questões e exercícios No final de cada capítulo há um conjunto de Questões para discussão destinadas a aprofundar e ampliar a assimilação conceitual pelo aluno e logo após vêm os Exercícios problemas simples que envolvem um dado conceito relacionado com seções específicas do texto Em seguida temos os Problemas que normalmente necessitam de duas ou mais etapas não triviais e por fim os Problemas desafiadores destinados a desafiar os melhores estudantes Os problemas abrangem aplicações a campos tão diversos quanto astrofísica biologia e aerodinâmica Muitos deles possuem partes conceituais as quais os estudantes devem discutir e explicar seus resultados As novas questões exercícios e problemas desta edição foram criados e organizados por Wayne Anderson Sacramento City College Laird Kramer Florida International University e Charlie Hibbard FRIO QUENTE Uma chapa se dilata quando aquecida então um buraco recortado na chapa também deve se dilatar Figura 1710 Quando um objeto passa por dilatação térmica quaisquer buracos existentes no objeto também se dilatam A dilatação foi exagerada na grava Parágrafos de atenção Duas décadas de pesquisa acadêmica em Física revelaram uma série de armadilhas conceituais que comumente afligem os iniciantes no estudo da Física Dentre elas as noções de que uma força é necessária para o movimento que a corrente elétrica é usada ao longo de um circuito e que o próprio produto da massa pela aceleração é uma força Os parágrafos de Atenção alertam para essas e outras armadilhas e explicam onde está o erro na abordagem que pode ter inicialmente ocorrido ao estudante de uma determinada situação Notação e unidades Os estudantes geralmente levam muito tempo para distinguir as grandezas escalares das grandezas vetoriais Nesta edição usamos letras em itálico e negrito com uma seta em cima para designar vetores como v a e F vetores unitários como î possuem acento circunflexo Os sinais em negrito e são usados para relacionar grandezas vetoriais e não confundir com os respectivos sinais usados para relacionar grandezas escalares Nesta edição são usadas somente unidades SI as unidades inglesas ocorrem em casos de exceção O joule é usado como unidade padrão para todas as formas de energia incluindo o calor Um guia para o estudante Muitos estudantes sentem dificuldade simplesmente porque não sabem como fazer o melhor uso do livrotexto Depois deste prefácio incluímos uma seção com o título Como Aprender Física Tentando para Valer que serve como um manual do usuário apontando para todas as características deste livro Essa seção escrita pelo Professor Mark Hollabaugh Normandale Community College fornece também inúmeras dicas para os alunos Recomendamos que todos os estudantes leiam atentamente essa seção Flexibilidade Este livro pode ser utilizado em uma grande variedade de cursos Existe material suficiente para cursos de três semestres ou cinco trimestres Embora muitos professores possam achar que há material demais para um curso de um ano ele pode ser usado omitindose certos capítulos ou seções Por exemplo alguns ou todos os capítulos sobre mecânica dos fluidos acústica ondas eletromagnéticas ou relatividade podem ser omitidos sem perda da continuidade Seja como for ninguém é obrigado a seguir estritamente a seqüência do livro Material Adicional No Companion Website deste livro wwwawcomyoungbr professores e estudantes têm acesso a materiais adicionais que facilitarão a exposição das aulas e o aprendizado Para os professores manual de soluções em inglês e apresentações em PowerPoint com figuras e os principais conceitos do livro protegidos por senha Para estudantes exercícios de múltipla escolha para ajudar na fixação de conceitos e animações em inglês que simulam alguns temas das lições como no exemplo abaixo Simulação de um processo adiabático ATENÇÃO É interna Note que a energia interna não inclui a energia potencial decorrente das interações entre o sistema e suas vizinhanças Se o sistema for um copo com água quando o colocarmos no alto de uma prateleira sua energia potencial oriunda da interação com a Terra aumentará Porém isso não acarreta nenhuma mudança na energia potencial decorrente das interações entre as moléculas da água de modo que a energia interna da água não varia Como Aprender Física Tentando para Valer Mark Hollabaugh Normandale Community College A física abrange o pequeno e o grande o velho e o novo Dos átomos até as galáxias dos circuitos elétricos até a aerodinâmica a física é parte integrante do mundo que nos cerca Você provavelmente está fazendo este curso de física baseado no cálculo como prérequisito de cursos subseqüentes que fará para se preparar para uma carreira de ciências ou de engenharia Seu professor deseja que você aprenda física e que goste da experiência Ele está muito interessado em ajudálo a aprender essa fascinante matéria Essa é uma das razões para ter escolhido este livrotexto para o seu curso Também foi por isso que os doutores Young e Freedman me pediram para escrever esta seção introdutória Desejamos o seu sucesso O objetivo desta seção é fornecer algumas idéias que possam auxiliálo durante a aprendizagem Após uma breve abordagem sobre hábitos e estratégias gerais de estudo serão apresentadas sugestões específicas sobre como usar o livrotexto Preparação para este Curso Caso esteja adiantado em seus estudos de física você aprenderá mais rapidamente alguns conceitos por estar familiarizado com a linguagem dessa matéria Da mesma forma seus estudos de matemática facilitarão sua assimilação dos aspectos matemáticos da física Seu professor poderá indicar alguns tópicos de matemática que serão úteis neste curso Aprendendo a Aprender Cada um de nós possui um estilo próprio e um método preferido de aprendizagem Compreender seu estilo de aprender ajudará você a identificar as dificuldades e superálas Obviamente você preferirá dedicar mais tempo estudando os assuntos mais complicados Se você aprende mais ouvindo assistir às aulas e conferências será muito importante Caso prefira explicar o trabalho em equipe vai lhe ser útil Se a sua dificuldade está na solução de problemas gaste uma parte maior do seu tempo aprendendo a resolver problemas Também é fundamental desenvolver bons hábitos de estudo Talvez a coisa mais importante que você possa fazer por si mesmo seja estabelecer uma rotina de estudos em horários regulares e em um ambiente livre de distrações Responda para si mesmo as seguintes perguntas Estou apto para usar os conceitos matemáticos fundamentais da álgebra da geometria e da trigonometria Caso não esteja apto faça um programa de revisão com a ajuda de seu professor Em cursos semelhantes qual foi a atividade na qual tive mais dificuldade Dedique mais tempo a isso Qual foi a atividade mais fácil para mim Executea primeiro isso lhe dará mais confiança Eu entendo melhor a matéria se leio o livro antes ou depois da aula Pode ser que você aprenda melhor fazendo uma leitura superficial da matéria assistindo à aula e depois relendo o material com mais atenção Eu dedico um tempo adequado aos meus estudos de física Uma regra prática para um curso deste tipo é dedicar 2h30 de estudos para cada hora de aula Para uma semana com 5 horas de aula devese dedicar cerca de 10 a 15 horas de estudos por semana Devo estudar física todos os dias Distribua as 10 ou 15 horas de estudos durante a semana Em que parte do dia meus estudos são mais eficientes Escolha um período específico do dia e atenhase a ele Eu estudo em ambiente silencioso que favoreça minha concentração As distrações podem quebrar sua rotina de estudos e atrapalhar a assimilação de pontos importantes Trabalho em Grupo Cientistas e engenheiros raramente trabalham sozinhos e preferem cooperar entre si Você aprenderá melhor e com mais prazer estudando Física junto com outros colegas Alguns professores aplicam métodos formais de aprendizagem cooperativa ou incentivam a formação de grupos Você pode por exemplo formar seu próprio grupo de estudos com amigos da escola ou de sua vizinhança Caso possua email useo para se comunicar com outros colegas Seu grupo de estudos será especialmente importante quando estiver fazendo uma revisão para os exames Aulas e Anotações Um componente importante de seu curso são as aulas e conferências Na física isso é especialmente importante porque seu professor geralmente faz demonstrações de princípios físicos executa simulações em computador ou exibe filmes Todos esses recursos ajudam você a entender princípios fundamentais Não falte a nenhuma aula e caso por algum motivo isso seja inevitável peça as anotações de algum colega de seu grupo de estudos Faça anotações das aulas sob a forma de tópicos e deixe para completar os detalhes do conteúdo mais tarde É difícil anotar palavra por palavra portanto anote apenas as idéias básicas O professor pode usar um diagrama do livro Deixe um espaço em suas notas para inserir o diagrama depois Após as aulas revise suas anotações preenchendo as lacunas e anotando os pontos que devem ser mais desenvolvidos posteriormente Anote as referências de páginas equações ou seções do livro Faça perguntas em classe ou procure o professor depois da aula Lembrese de que a única pergunta tola é aquela que não foi feita Exames Fazer uma prova gera um elevado nível de estresse Contudo estar bem preparado e descansado alivia a tensão Prepararse para uma prova é um processo contínuo começa assim que termina a última prova Imediatamente depois de uma prova você deve rever cuidadosamente os eventuais erros cometidos Proceda do seguinte modo divida uma folha de papel em duas colunas Em uma delas escreva a solução correta do problema Na outra coloque sua solução e verifique onde foi que errou Caso não consiga identificar com certeza o erro consulte seu professor A física se constrói a partir de princípios básicos e é necessário corrigir imediatamente qualquer interpretação incorreta Atenção embora você possa passar em um exame deixando para estudar na última hora não conseguirá reter adequadamente os conceitos necessários para serem usados na próxima prova Agradecimentos Desejamos agradecer às centenas de revisores e colegas que ofereceram valiosos comentários e sugestões para este livro O sucesso duradouro de Física devese em grande medida às suas contribuições Edward Adelson Ohio State University Ralph Alexander University of Missouri at Rolla J G Anderson R S Anderson Wayne Anderson Sacramento City College Alex Azima Lansing Community College Dilip Balamore Nassau Community College Harold Bale University of North Dakota Arun Bansil Northeastern University John Barach Vanderbilt University J D Barnett H H Barschall Albert Bartlett University of Colorado Paul Baum CUNY Queens College Frederick Becchetti University of Michigan B Bederson David Bennum University of Nevada Reno Lev I Berger San Diego State University Robert Boeke William Rainey Harper College S Borowitz A C Braden James Brooks Boston University Nicholas E Brown California Polytechnic State University San Luis Obispo Tony Buffa California Polytechnic State University San Luis Obispo A Capecelatro Michael Cardamone Pennsylvania State University Duane Carmony Purdue University Troy Carter UCLA P Catranides John Cerne SUNY at Buffalo Roger Clapp University of South Florida William M Cloud Eastern Illinois University Leonard Cohen Drexel University W R Coker University of Texas Austin Malcolm D Cole University of Missouri at Rolla H Conrad David Cook Lawrence University Gayl Cook University of Colorado Hans Courant University of Minnesota Bruce A Craver University of Dayton Larry Curtis University of Toledo Jai Dahiya Southeast Missouri State University Steve Detweiler University of Florida George Dixon Oklahoma State University Donald S Duncan Boyd Edwards West Virginia University Robert Eisenstein Carnegie Mellon University Amy Emerson Missourn Virginia Institute of Technology William Faissler Northeastern University William Fasnacht US Naval Academy Paul Feldker St Louis Community College Carlos Figueroa Cabrillo College L H Fisher Neil Fletcher Florida State University Robert Folk Peter Fong Emory University A Lewis Ford Texas AM University D Frantszog James R Gaines Ohio State University Solomon Gartenhaus Purdue University Ron Gautreau New Jersey Institute of Technology J David Gavenda University of Texas Austin Dennis Gay University of North Florida James Gerhart University of Washington N S Gingrich J L Glathart S Goodwin Rich Gottfried Frederick Community College Walter S Gray University of Michigan Paul Gresser University of Maryland Benjamin Grinstein UC San Diego Howard Grotch Pennsylvania State University John Gruber San Jose State University Graham D Gutsche US Naval Academy Michael J Harrison Michigan State University Harold Hart Western Illinois University Howard Hayden University of Connecticut Carl Helrich Goshen College Laurent Hodges Iowa State University C D Hodgman Michael Hones Villanova University Keith Honey West Virginia Institute of Technology Gregory Hood Tidewater Community College John Hubisz North Carolina State University M Iona John Jaszczak Michigan Technical University Alvin Jenkins North Carolina State University Robert P Johnson UC Santa Cruz Lorella Jones University of Illinois John Karchek GMI Engineering Management Institute Thomas Keil Worcester Polytechnic Institute Robert Kraemer Carnegie Mellon University Jean P Krisch University of Michigan Robert A Kromhout Andrew Kunz Marquette University Charles Lane Berry College Thomas N Lawrence Texas State University Robert J Lee Alfred Leitner Rensselaer Polytechnic University Gerald P Lietz De Paul University Gordon Lind Utah State University S Livingston Elihu Lubkin University of Wisconsin Milwaukee Robert Luke Boise State University David Lynch Iowa State University Michael Lysak San Bernardino Valley College Jeffrey Mallow Loyola University Robert Mania Kentucky State University Robert Marchina University of Memphis David Markowitz University of Connecticut R J Maurer Oren Maxwell Florida International University Joseph L McCauley University of Houston T K McCubbin Jr Pennsylvania State University Charles McFarland University of Missouri at Rolla James Mcguire Tulane University Lawrence McIntyre University of Arizona Fredric Messing CarnegieMellon University Thomas Meyer Texas AM University Andre Mirabelli St Peters College New Jersey Herbert Muether SUNY Stony Brook Jack Munsee California State University Long Beach Lorenzo Narducci Drexel University Van E Neie Purdue University David A Nordling U S Naval Academy Benedict Oh Pennsylvania State University L O Olsen Jim Pannell DeVry Institute of Technology W F Parks University of Missouri Robert Paulson California State University Chico Jerry Peacher University of Missouri at Rolla Arnold Perlmutter University of Miami Lennart Peterson University of Florida R J Peterson University of Colorado Boulder R Pinkston Ronald Poling University of Minnesota J G Potter C W Price Millersville University Francis Prosser University of Kansas Shelden H Radin Michael Rapport Anne Arundel Community College R Resnick James A Richards Jr John S Risley North Carolina State University Francesc Roig University of California Santa Barbara T L Rokoske Richard Roth Eastern Michigan University Carl Rotter University of West Virginia S Clark Rowland Andrews University Rajarshi Roy Georgia Institute of Technology Russell A Roy Santa Fe Community College Dhiraj Sardar University of Texas San Antonio Bruce Schumm UC Santa Cruz Melvin Schwartz St Johns University F A Scott L W Seagondollar Paul Shand University of Northern Iowa Stan Shepherd Pennsylvania State University Douglas Sherman San Jose State Bruce Sherwood Carnegie Mellon University Hugh Siefkin Greenville College Tomasz Skwarnicki Syracuse University C P Slichter Charles W Smith University of Maine Orono Malcolm Smith University of Lowell Ross Spencer Brigham Young University Julien Sprott University of Wisconsin Victor Stanionis Iona College James Stith American Institute of Physics Chuck Stone North Carolina AT State University Edward Strother Florida Institute of Technology Conley Stutz Bradley University Albert Stwertka US Merchant Marine Academy Martin Tiersten CUNY City College David Toot Alfred University Somdev Tyagi Drexel University F Verbrugge Helmut Vogel Carnegie Mellon University Robert Webb Texas A M Thomas Weber Iowa State University M Russell Wehr Pennsylvania State University Robert Weidman Michigan Technical University Dan Whalen UC San Diego Lester V Whitney ThomasWiggins Pennsylvania State University DavidWilley University of Pittsburgh Johnstown George Williams University of Utah John Williams Auburn University Stanley Williams Iowa State University Jack Willis Suzanne Willis Northern Illinois University Robert Wilson San Bernardino Valley College L Wolfenstein James Wood Palm Beach Junior College Lowell Wood University of Houston R E Worley D H Ziebell Manatee Community College George O Zimmerman Boston University Além disso nós dois temos agradecimentos individuais a fazer Estendo meus cordiais agradecimentos aos meus colegas da CarnegieMellon em especial aos professores Robert Kraemer Bruce Sherwood Ruth Chabay Helmut Vogel e Brian Quinn por discussões estimulantes sobre pedagogia da Física e por seu apoio e incentivo durante a elaboração das sucessivas edições deste livro Agradeço também às muitas gerações de estudantes da CarnegieMellon por me ajudarem a entender o que é ser um bom professor e um bom escritor e por me mostrarem o que funciona ou não É sempre um prazer e um privilégio expressar minha gratidão à minha mulher Alice e minhas filhas Gretchen e Rebeca pelo amor suporte e amparo emocional durante a elaboração das sucessivas edições deste livro Quem dera todos os homens e mulheres fossem abençoados com o amor que elas me dedicam H D Y Gostaria de prestar agradecimento aos meus colegas do passado e do presente da UCSB incluindo Rob Geller Carl Gwin Al Nash Elisabeth Nicol e Francesc Roig pelo dedicado apoio e pelas valiosas discussões Expresso minha gratidão especial aos meus primeiros professores Willa Ramsay Peter Zimmerman William Little Alan Schwertman e Dirk Walecka por me mostrarem como é claro e envolvente o ensino da Física e a Stuart Johnson por me convidar a participar deste projeto como coautor a partir da nona edição Meus especiais agradecimentos à equipe editorial da Addison Wesley e seus parceiros a Adam Black pela visão editorial a Margot Otway pelo extraordinário senso gráfico e cuidadoso desenvolvimento desta edição a Peter Murphy e Carol Reitz pela cuidadosa leitura do manuscrito a Wayne Anderson Charlie Hibbard Laird Kramer e Larry Stookey pelo trabalho nos problemas de final de capítulo e a Laura Kenney Chandrika Madhavan Nancy Tabor e Pat McCutcheon por manter a produção editorial fluindo Desejo agradecer ao meu pai por seu amor e suporte permanentes e por reservar um espaço na estante para este livro Acima de tudo desejo expressar minha gratidão e amor à minha esposa Caroline a quem dedico minhas contribuições a este livro Alô Caroline a nova edição finalmente saiu vamos comemorar R A F GRAVITAÇÃO 12 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá Como calcular as forças gravitacionais que dois corpos quaisquer exercem um sobre o outro Como relacionar o peso de um objeto à expressão geral para a força gravitacional Como usar e interpretar a expressão geral para a energia potencial gravitacional Como relacionar a velocidade o período orbital e a energia mecânica de um satélite em uma órbita circular As leis que descrevem os movimentos dos planetas e como utilizálas O que são buracos negros como calcular suas propriedades e como eles são encontrados Os anéis de Saturno são compostos de inúmeras partículas individuais orbitando Todas as partículas do anel orbitam à mesma velocidade ou as partículas de dentro são mais rápidas ou mais lentas do que as de fora Algumas das primeiras investigações em Física começaram com perguntas que as pessoas se faziam a respeito do céu noturno Por que a Lua não cai sobre a Terra Por que os planetas se deslocam no céu Por que a Terra não sai voando no espaço em vez de permanecer em órbita ao redor do Sol O estudo da interação gravitacional fornece respostas para essas e outras perguntas relacionadas Conforme acentuamos no Capítulo 5 Física I a gravitação é uma das quatro classes de interações presentes na Natureza e foi a primeira das quatro a ser estudada extensivamente No século XVII Newton descobriu que a interação que faz a maçã cair de uma macieira é a mesma que mantém os planetas em órbita ao redor do Sol Essa descoberta assinalou o começo da mecânica celeste o estudo da dinâmica dos astros Hoje nossos conhecimentos da mecânica celeste nos permitem determinar como colocar um satélite artificial da Terra em uma órbita desejada ou escolher a trajetória exata para enviar uma nave espacial a outro planeta Neste capítulo estudaremos a lei básica que governa a interação gravitacional Essa lei é universal a gravidade atua do mesmo modo entre a Terra e o corpo do leitor deste livro entre o Sol e um planeta e entre um planeta e uma de suas luas Aplicaremos a lei da gravitação a fenômenos como a variação do peso com a altura as órbitas de um satélite em torno da Terra e as órbitas de planetas em torno do Sol 121 Lei de Newton da gravitação O seu peso a força que te atrai para o centro da Terra talvez seja o mais familiar exemplo de atração gravitacional que você conhece Estudando o movimento da Lua e dos planetas Newton descobriu o caráter fundamental da atração gravitacional entre dois corpos de qualquer natureza Juntamente com as três leis do movimento Newton publicou a lei da gravitação em 1687 Ela pode ser enunciada do seguinte modo Cada partícula do universo atrai qualquer outra partícula com uma força diretamente proporcional ao produto das respectivas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as partículas Traduzindo matematicamente essa lei pode ser escrita da seguinte forma Quaisquer duas partículas separadas por uma distância r se atraem mutuamente pela ação da força gravitacional As duas forças possuem módulos iguais mesmo quando as massas das partículas são bastante diferentes Figura 121 Forças gravitacionais entre duas partículas de massas m1 e m2 Fg Gm1 m2 r2 lei da gravitação 121 onde Fg é o módulo da força gravitacional que atua sobre cada partícula m1 e m2 são as massas das partículas r é a distância entre elas Figura 121 e G é uma constante física fundamental denominada constante gravitacional O valor numérico de G depende do sistema de unidades usado A Equação 121 nos mostra que a força gravitacional entre duas partículas diminui com o aumento da distância r se a distância dobra a força se reduz a um quarto e assim por diante Embora muitas estrelas no céu noturno possuam muito mais massa do que o Sol elas estão tão distantes que sua força gravitacional sobre a Terra pode ser desprezada pois é muito pequena ATENÇÃO Como os símbolos g e G são muito parecidos é bastante comum confundir as grandezas gravitacionais representadas por eles A letra minúscula g é a aceleração da gravidade que relaciona o peso p com a massa m do corpo através da equação p mg O valor de g varia em locais diferentes da Terra e sobre as superfícies de outros planetas Em contraste a letra maiúscula G relaciona a força entre dois corpos com as suas massas e a distância entre eles A constante G denominase universal porque ela possui sempre o mesmo valor para dois corpos independentemente dos locais do universo nos quais os corpos estejam Na próxima seção mostraremos como G se relaciona com g As forças gravitacionais atuam sempre ao longo da linha que une as duas partículas constituindo um par de ação e reação Essas forças possuem sempre módulos iguais mesmo quando as massas são diferentes Figura 121 A força de atração que o seu corpo exerce sobre a Terra possui o mesmo módulo da força de atração que a Terra exerce sobre você Quando você salta do trampolim de uma piscina a Terra se move em sua direção Por que você não nota isso Porque a massa da Terra é cerca de 1023 vezes maior do que a sua massa de modo que a aceleração da Terra é igual a 1023 da sua aceleração a A força gravitacional entre duas massas com simetria esférica m1 e m2 b é a mesma que se reuníssemos toda a massa de cada esfera no centro da esfera Figura 122 O efeito gravitacional na parte externa de qualquer distribuição de massa com simetria esférica é o mesmo efeito produzido supondose que a massa total da esfera esteja reunida em seu centro Gravitacão e corpos de simetria esférica Enunciamos a lei da gravitação em termos da interação entre duas partículas Verificase que a interação gravitacional entre dois corpos que possuem distribuições de massa com simetria esférica tal como esferas maciças ou ocas é igual à interação gravitacional entre duas partículas localizadas nos centros das respectivas esferas como indicado na Figura 122 Portanto quando modelamos a Terra como um corpo esférico de massa mT a força que ela exerce sobre uma partícula ou sobre um corpo com simetria esférica de massa m sendo r a distância entre seus respectivos centros é dada por Fg GmT m r2 122 desde que o corpo esteja situado na parte externa da Terra Uma força de mesmo módulo é realizada pelo corpo sobre a Terra Essas afirmações serão demonstradas na Seção 126 Para os pontos situados no interior da Terra a situação é diferente Se pudéssemos fazer um furo até o centro da Terra e medíssemos a força gravitacional em diferentes profundidades verificaríamos que a força gravitacional diminui com o aumento da profundidade em vez de crescer com 1r2 À medida que um corpo penetra no interior da Terra ou em qualquer outro corpo esférico as partes externas da massa da Terra opostas em relação ao centro exercem sobre o corpo forças em sentidos contrários Exatamente no centro da Terra a força gravitacional exercida por ela sobre o corpo é igual a zero A massa de Júpiter é muito grande 190 x 1027 kg então a atração gravitacional mútua de suas partes deulhe uma forma quase esférica Amaléia uma das pequenas luas de Júpiter possui uma massa relativamente pequena 717 x 1018 kg apenas cerca de 38 x 109 da massa de Júpiter e fraca atração gravitacional mútua por isso tem uma forma irregular Figura 123 Corpos esféricos e não esféricos o planeta Júpiter e uma de suas pequenas luas Amaléia Corpos que possuem uma distribuição de massa com simetria esférica são muito importantes porque luas planetas e estrelas tendem a possuir uma forma esférica Visto que todas as partículas de um corpo sofrem a ação de forças gravitacionais que tendem a aproximálas entre si as partículas tendem a se mover para minimizar a distância entre elas Por causa disso o corpo tende naturalmente a possuir uma forma esférica do mesmo modo que uma porção de barro tende a assumir uma forma esférica quando você comprime o barro com força igual em todas as direções Quando o corpo celeste possui massa pequena esse efeito é bastante reduzido porque as forças gravitacionais são menos intensas e esses corpos tendem a não assumir uma forma esférica Figura 123 Determinação do valor de G Para determinar o valor da constante gravitacional G devemos medir a força gravitacional entre dois corpos de massas conhecidas m1 e m2 separados por uma distância r conhecida Essa força é extremamente pequena para corpos existentes em laboratórios mas ela pode ser medida com um instrumento denominado balança de torção usado em 1798 por Henry Cavendish para determinar o valor de G Uma versão moderna da balança de Cavendish é indicada na Figura 124 Uma haste leve e rígida em forma de letra T invertida é sustentada verticalmente por uma fibra de quartzo fina Duas pequenas esferas cada uma com massa m1 estão fixadas nas extremidades dos braços horizontais da armação em forma de T Ao aproximarmos duas esferas grandes cada uma com massa m2 nas posições indicadas as forças gravitacionais fazem o T girar um pequeno ângulo devido à torção Para medir esse ângulo fazemos um feixe de luz incidir sobre um espelho fixado na haste do T O feixe refletido atinge uma escala graduada e quando o T sofre uma torção o feixe refletido se move ao longo da escala Depois de calibrar a balança de Cavendish podemos medir as forças gravitacionais e assim determinar o valor de G O valor atualmente aceito em unidades SI é dado por G 674210 x 1011 N m2kg2 Com três algarismos significativos escrevemos G 667 x 1011 N m2kg2 Como 1 N 1 kg ms2 as unidades de G em unidades fundamentais do SI também podem ser expressas como m3 kg s2 As forças gravitacionais devem ser adicionadas vetorialmente Se duas massas exercem forças gravitacionais sobre uma terceira massa a força resultante sobre a terceira massa é igual à soma vetorial dessas duas forças gravitacionais No Exemplo 123 utilizamos esta propriedade normalmente chamada de superposição de forças 1 A gravitação atrai as pequenas massas para as grandes massas fazendo com que a fibra vertical de quartzo gire As esferas pequenas atingem uma nova posição de equilíbrio quando a força elástica exercida pela fibra de quartzo deslocada equilibra a força gravitacional entre elas Espelho Fibra de quartzo Massa grande m2 Massa pequena m1 2 A deflexão do raio laser indica o quanto a fibra girou Assim que o instrumento é calibrado esse resultado fornece o valor de G Raio laser Laser Escala Figura 124 Princípio de funcionamento de uma balança de Cavendish usada para a determinação do valor de G O ângulo de deflexão está exagerado para maior clareza Exemplo 121 CÁLCULO DE UMA FORÇA GRAVITACIONAL A massa m1 de uma das esferas pequenas da balança de Cavendish é igual a 00100 kg a massa m2 de uma das esferas grandes é igual a 0500 kg e a distância entre o centro de massa da esfera pequena e o centro de massa da esfera grande é igual a 00500 m Calcule a força gravitacional Fg sobre cada esfera SOLUÇÃO IDENTIFICAR como os objetos de 00100 kg e 0500 kg são esfericamente simétricos podemos calcular a força gravitacional que um exerce sobre o outro supondo que eles sejam partículas distanciadas de 00500 m Cada esfera recebe uma força de mesmo módulo da outra esfera ainda que suas massas sejam muito diferentes PREPARAR usaremos a lei da gravitação Equação 121 para determinar Fg EXECUTAR o módulo da força que uma esfera exerce sobre a outra é Fg 667 x 1011 N m2kg2 00100 kg 0500 kg 00500 m2 133 x 1010 N AVALIAR essa força é bastante pequena como era de se esperar Não experimentamos atração gravitacional perceptível devido a objetos comuns de massa pequena em nosso meio ambiente É preciso um objeto de massa realmente grande para exercer uma força gravitacional substancial Exemplo 122 ACELERAÇÃO PRODUZIDA POR ATRAÇÃO GRAVITACIONAL Suponha que uma esfera pequena e uma esfera grande sejam destacadas do dispositivo descrito no Exemplo 121 e colocadas a uma distância de 00500 m entre seus centros em um local do espaço muito afastado de outros corpos Qual é o módulo da aceleração de cada esfera em relação a um sistema inercial SOLUÇÃO IDENTIFICAR a força gravitacional que as duas esferas exercem uma na outra possui o mesmo módulo O sistema de duas esferas está tão distante de outros corpos que podemos desprezar quaisquer outras forças Mas as acelerações das duas esferas são diferentes porque suas massas são diferentes PREPARAR calculamos o módulo da força sobre cada esfera no Exemplo 121 Para achar o módulo da aceleração de cada esfera usaremos a segunda lei de Newton EXECUTAR a aceleração a1 da esfera menor possui módulo a1 Fg m1 133 x 1010 N 00100 kg 133 x 108 ms2 A aceleração a2 da esfera maior possui módulo a2 Fg m2 133 x 1010 N 0500 kg 266 x 1010 ms2 AVALIAR a esfera maior possui uma massa 50 vezes maior do que a da menor e assim sua aceleração é igual a 150 da aceleração da menor Note também que as acelerações não são constantes as forças gravitacionais aumentam à medida que as esferas se aproximam Exemplo 123 SUPERPOSIÇÃO DE FORÇAS GRAVITACIONAIS Muitas estrelas no céu são na verdade sistemas de duas ou mais estrelas mantidas juntas devido à atração gravitacional mútua A Figura 125 mostra um sistema de três estrelas em um instante em que elas estão localizadas nos vértices de um triângulo retângulo de 45º Determine o módulo a direção e o sentido da força gravitacional resultante sobre a estrela menor exercida pela ação das duas estrelas maiores SOLUÇÃO IDENTIFICAR devemos usar o princípio da superposição a força gravitacional resultante sobre a estrela menor é a soma vetorial das duas forças gravitacionais produzidas pelas estrelas maiores PREPARAR vamos supor que as estrelas sejam esféricas para que possamos usar a lei da gravitação em cada força como na Figura 122 Primeiro calcularemos os módulos de cada força usando a Equação 121 e depois a soma vetorial usando componentes ao longo dos eixos mostrados na Figura 125 EXECUTAR o módulo de F1 a força exercida pela estrela grande superior sobre a estrela menor é dado por F1 667 x 1011 N m2kg2 x 80 x 1030 kg 10 x 1030 kg 20 x 1012 m2 667 x 105 N O módulo da força F2 exercida pela estrela grande inferior é dado por F2 667 x 1011 N m2kg2 x 80 x 1030 kg 10 x 1030 kg 20 x 1012 m2 133 x 106 N 80 x 1030 kg 20 x 1012 m F1 F θ F2 10 x 1030 kg 20 x 1012 m 80 x 1030 kg Figura 125 A força gravitacional resultante sobre a estrela menor em O é a soma vetorial das forças gravitacionais exercidas sobre ela pelas duas estrelas maiores Em comparação a massa do Sol uma estrela bastante comum é 199 x 1030 kg e a distância da Terra ao Sol é 150 x 1011 m Os componentes x e y destas forças são F1x 667 1025 Ncos 45 472 1025 N F1y 667 1025 Nsen 45 472 1025 N F2x 133 1026 N F2y 0 Os componentes da força resultante sobre a esfera menor são Fx F1x F2x 181 1026 N Fy F1y F2y 472 1025 N O módulo da força resultante é dado por F Fx2 Fy2 181 1026 N2 472 1025 N2 187 1026 N e sua direção em relação ao eixo Ox é determinada pelo ângulo Fy θ arctg Fx arctg 472 1025 N 146 181 1026 N AVALIAR embora a força resultante sobre a estrela pequena seja imensa o módulo da aceleração resultante não é a Fm 187 1026 N10 1030 kg 187 104 ms2 Você é capaz de mostrar que essa força não está dirigida para o centro de massa das duas estrelas maiores Veja o Problema 1251 Por que as forças gravitacionais são importantes Comparando os exemplos 121 e 123 vemos que as forças gravitacionais entre objetos caseiros de tamanho normal são desprezíveis mas bastante significativas entre objetos do tamanho de estrelas Com efeito a gravidade é a força mais importante na escala de planetas estrelas e galáxias Figura 126 Ela é responsável por manter a nossa Terra agregada e por manter os planetas girando ao redor do Sol A atração gravitacional mútua entre as diversas partes do Sol comprime a massa no núcleo do Sol a intensidades e temperaturas muito altas possibilitando as reações nucleares que acontecem lá Essas reações geram a energia do Sol que torna possível a existência da vida na Terra e permite que você esteja agora lendo estas palavras A força gravitacional é muito importante em escala cósmica porque ela atua a distância sem nenhum contato entre os corpos As forças elétricas e magnéticas também possuem essa notável propriedade mas são menos importantes em escala astronômica porque grandes acumulações de matéria são eletricamente neutras ou seja contêm quantidades iguais de carga positiva e negativa Em resultado as forças elétricas e magnéticas entre estrelas e planetas aproximamse de zero As interações fortes e fracas discutidas na Seção 55 Física I também agem a distância porém sua influência é desprezível em distâncias muito maiores do que o diâmetro de um núcleo atômico cerca de 1014 m O conceito de campo é um método útil para descrever forças que atuam a distância Um corpo produz uma perturbação ou campo em todos os pontos do espaço e a força que atua sobre outro corpo situado em um dado ponto é uma resposta do campo do primeiro corpo nesse ponto Existem campos associados às forças que atuam a distância por essa razão mencionaremos campos gravitacionais campos elétricos campos magnéticos e assim por diante Como não necessitamos do conceito de campo gravitacional para os estudos deste capítulo não o mencionaremos mais aqui No entanto em capítulos posteriores verificaremos que o conceito de campo é uma ferramenta extremamente poderosa para descrever interações elétricas e magnéticas Teste sua compreensão da Seção 121 O planeta Saturno possui cerca de cem vezes a massa da Terra e fica cerca de dez vezes mais longe do Sol do que a Terra Comparada à aceleração da Terra provocada pela atração gravitacional do Sol quão maior ou menor é a aceleração de Saturno em virtude da atração gravitacional do Sol i cem vezes maior ii dez vezes maior iii igual iv 110 da aceleração da Terra v 1100 da aceleração da Terra mos o peso do corpo a atração gravitacional exercida por ela sobre o corpo e assim por diante Se modelarmos a Terra como um corpo esférico de raio RT e massa mT o peso p de um corpo pequeno de massa m na superfície terrestre a uma distância RT do seu centro é dado por p Fg GmTm RT2 123 peso de um corpo de massa m na superfície terrestre Sabemos porém da Seção 44 que o peso p de um corpo é a força que produz uma aceleração g quando o corpo está em queda livre então pela segunda lei de Newton p mg Igualando esta relação com a Equação 123 e dividindo por m obtemos g GmT RT2 124 aceleração da gravidade na superfície A aceleração da gravidade g é independente da massa m do corpo porque m não aparece na relação anterior Já conhecíamos esse resultado porém agora verificamos como ele decorre da lei da gravitação Com exceção de mT as demais grandezas da Equação 124 são mensuráveis portanto usandose essa relação podemos determinar a massa da Terra Explicitando mT da Equação 124 e usando os valores RT 6380 km 638 106 m e g 980 ms2 achamos mT gRT2 G 598 1024 kg resultado bem próximo do valor de 5974 1024 kg atualmente aceito Quando Cavendish mediu G ele determinou a massa da Terra usando esse método Em um ponto acima da superfície terrestre situado a uma distância r do centro da Terra a uma altura r r RT acima da superfície o peso de um corpo é dado pela Equação 123 substituindose RT por r p Fg GmTm r2 125 O peso de um corpo diminui com o inverso do quadrado da distância ao centro da Terra Figura 127 A Figura 128 mostra como o peso varia com a altura acima da Terra para uma astronauta que pesa 700 N na superfície terrestre O peso aparente de um corpo na superfície terrestre difere ligeiramente da força de atração gravitational exercida pela Terra porque a Terra gira e portanto ela não é precisamente um sistema de referência inercial Em nossa discussão anterior desprezamos esse efeito e a Terra foi considerada um sistema de referência inercial Voltaremos a discutir o efeito da rotação da Terra na Seção 127 Figura 127 Quando está em um avião voando a uma altitude elevada você pesa menos por estar mais longe do centro da Terra do que quando está sobre a superfície terrestre O efeito é bastante pequeno porém mensurável Você é capaz de mostrar que a uma altura de 10 km acima da superfície terrestre seu peso é precisamente 03 menor do que seu peso sobre a superfície terrestre Em nossa discussão sobre peso consideramos a Terra um corpo que possui aproximadamente uma distribuição de massa com simetria esférica Porém isso não significa supor que a Terra seja uniforme Para provar que ela não pode ser uniforme vamos inicialmente calcular sua densidade média ou seja a massa por unidade de volume da Terra Supondo que ela seja esférica seu volume é VT 43πRT3 43π638 106 m3 109 1021 m3 A densidade média ρ letra grega ró é igual à massa total dividida pelo volume ρ mT VT 597 1024 kg 109 1021 m3 5500 kgm3 55 gcm3 Compare com a densidade da água dada por 1000 kgm3 10 gcm3 Caso a Terra fosse uniforme as rochas nas vizinhanças da superfície terrestre deveriam possuir essa densidade Na realidade a densidade das rochas de superfície é bem menor entre aproximadamente 2000 kgm3 2 gcm3 para as rochas sedimentares e cerca de 3300 kgm3 33 gcm3 para o basalto Portanto a Terra não pode ser uniforme e o interior dela deve possuir uma densidade maior do que a densidade da superfície terrestre para que a sua densidade média seja de 5500 kgm3 550 gcm3 De acordo com modelos geofísicos do interior da Terra a densidade máxima no centro da Terra é aproximadamente igual a 13000 kgm3 13 gcm3 A Figura 129 mostra um gráfico da densidade em função da distância ao centro da Terra Exemplo 124 GRAVIDADE EM MARTE Um veículo explorador não tripulado é enviado à superfície do planeta Marte que possui raio RM 340 106 m e massa mM 642 1023 kg O veículo possui um peso na Terra igual a 3920 N Calcule o peso Fg e a aceleração gM decorrentes da gravidade em Marte a a uma altura de 60 106 m acima da superfície de Marte a distância entre a órbita do satélite Fobos e a superfície de Marte b sobre a superfície de Marte Despreze os efeitos das muito pequenas luas de Marte SOLUÇÃO IDENTIFICAR precisamos encontrar o peso Fg do veículo e a aceleração gravitational gM em duas distâncias diferentes do centro de Marte PREPARAR encontramos o peso Fg usando a Equação 125 substituindo mT a massa da Terra por mM a massa de Marte Note que o valor da constante gravitacional G é sempre o mesmo em qualquer local do universo ele é uma constante física fundamental A seguir encontramos a aceleração gM usando a equação Fg mMgM onde m é a massa do veículo O valor da massa não foi dado mas podemos calculálo a partir do peso do veículo na Terra EXECUTAR a distância r entre o ponto e o centro de Marte é dada por r 60 106 m 340 106 m 94 106 m A massa m do veículo que deve pousar em Marte é dada pelo seu peso na Terra p dividido pela aceleração da gravidade g na Terra m p g 3920 N 98 ms2 400 kg A massa da nave é sempre a mesma esteja na Terra ou em Marte ou em qualquer lugar entre esses planetas Usando a Equação 125 Figura 128 Uma astronauta pesando 700 N na superfície terrestre sofre a ação de uma força gravitação menor em pontos acima dessa superfície A distância que importa é a distância r da astronauta ao centro da Terra não a distância da astronauta à superfície terrestre Massa da Terra mT Massa da astronauta m p N 700 P Raio da Terra RT 638 106 m 600 500 400 300 200 100 0 0 5 10 15 20 25 30 r X 106 m r RT X 106 m 0 5 10 15 20 25 Figura 129 A densidade diminui à medida que aumenta a distância ao centro da Terra Núcleo sólido interior Núcleo exterior quase todo líquido Manto sólido Fg GmMm r2 667 1011 N m2 kg2642 1023 kg400 kg 94 106 m2 194 N A aceleração decorrente da gravidade de Marte no ponto considerado é gM Fg m 194 N 400 kg 048 ms2 Essa aceleração é a mesma experimentada por Fobos em sua órbita a uma altura de 60 106 m acima da superfície de Marte b Para achar Fg e gM na superfície de Marte repetimos os cálculos efetuados no item a substituindo r 94 106 m por RM 340 106 m De modo alternativo como Fg e gM são inversamente proporcionais a 1r2 em qualquer ponto fora do planeta podemos multiplicar o resultado da parte a pelo fator 94 106 m 340 106 m2 Convidamos você a completar os cálculos pelos dois métodos e a mostrar que na superfície de Marte Fg 1500 N e gM 37 ms2 AVALIAR os resultados do item b mostram que o peso e a aceleração da gravidade de um objeto são na superfície de Marte aproximadamente 40 de seu valor na superfície da Terra Os filmes e histórias de ficção científica que se passam em Marte em geral descrevem as temperaturas mais baixas e a atmosfera mais rarefeita do planeta mas raramente se concentram na experiência de se estar em um ambiente de baixa gravidade Teste sua compreensão da Seção 122 Coloque os seguintes planetas hipotéticos em ordem da maior à menor gravidade de superfície i massa 2 vezes a massa da Terra raio 2 vezes o raio da Terra ii massa 4 vezes a massa da Terra raio 4 vezes o raio da Terra iii massa 4 vezes a massa da Terra raio 2 vezes o raio da Terra iv massa 2 vezes a massa da Terra raio 4 vezes o raio da Terra 123 Energia potencial gravitacional Quando desenvolvemos o conceito de energia potencial gravitacional na Seção 71 Física I a força gravitacional que atua sobre um corpo foi considerada constante em módulo direção e sentido Isso nos levou ao resultado U mgy Agora contudo sabemos que a força gravitacional que atua sobre um corpo de massa m em qualquer ponto fora da Terra é dada de forma geral pela Equação 122 Fg Gmtmr2 onde mT é a massa da Terra e r é a distância entre o corpo e o centro da Terra Em problemas nos quais r varia de modo suficiente para que a força gravitacional não possa ser considerada constante precisamos de uma expressão genérica para a energia potencial gravitacional Para obter essa expressão seguimos as mesmas etapas indicadas na Seção 71 Consideramos um corpo de massa m fora da Terra e inicialmente calculamos o trabalho Wgrav realizado pela força gravitacional quando o corpo se move ao longo de uma reta que o une ao centro da Terra movendose diretamente para cima ou para baixo como na Figura 1210 desde o ponto r r1 até o ponto r r2 Esse trabalho é dado por Wgrav r2r1 Frdr 126 onde Fr é o componente radial da força gravitacional ou seja o componente que aponta para fora do centro da Terra Como a força aponta para dentro do centro da Terra Fr é negativo Esse componente é diferente da Equação 122 que fornece o módulo da força gravitacional porque ele possui um sinal negativo Fr Gmtmr2 127 Substituindo a Equação 127 na 126 vemos que Wgrav é dado por Wgrav Gmtmr2r1 drr2 Gmtmr2 Gmtmr1 128 Trajetória reta Trajetória curva Trajetória retilínea A força gravitacional é conservativa O trabalho realizado por Fr não depende da trajetória de r1 a r2 Figura 1210 Trabalho realizado pela força gravitacional quando o corpo se move da coordenada radial r1 até r2 U Gmtmr energia potencial gravitacional 129 A trajetória não precisa ser retilínea ela poderia ser uma trajetória curva como a indicada na Figura 1210 Usandose um método semelhante ao da Seção 71 vemos que esse trabalho depende apenas do valor final e do valor inicial de r e não da trajetória descrita Isso prova também que a força gravitacional é sempre conservativa Agora definimos a energia potencial gravitacional U correspondente de tal modo que Wgrav U1 U2 como na Equação 73 Comparando este resultado com a Equação 128 vemos que a definição apropriada da energia potencial gravitacional é Figura 1211 mostra como a energia potencial gravitacional depende da distância r entre o corpo de massa m e o centro da Terra Quando o corpo se afasta da Terra a distância r aumenta a força gravitacional realiza um trabalho negativo e U aumenta isto é tornase menos negativa Quando o corpo cai na direção da Terra a distância r diminui a força gravitacional realiza um trabalho positivo e a energia potencial gravitacional diminui isto é tornase mais negativa Talvez você fique confuso com a Equação 129 porque ela afirma que a energia potencial gravitacional é sempre negativa No entanto você já encontrou valores negativos para U anteriormente Ao usar a relação U mgy na Seção 71 você verificou que U se tornava negativa quando o corpo de massa m se encontrava em uma altura y abaixo do ponto que você escolheu para y 0 ou seja sempre que a distância entre o corpo e a Terra era menor do que uma certa distância arbitrária Veja o Exemplo 72 na Seção 71 Ao definir U pela Equação 129 escolhemos U 0 quando o corpo de massa m se encontra em uma distância infinita da Terra r À medida que o corpo se aproxima da Terra a energia potencial gravitacional diminui e portanto tornase negativa Massa da Terra mT Massa da astronauta m Energia potencial gravitacional U Gmtmr para o sistema da Terra e da astronauta U é sempre negativa mas se torna menos negativa com o aumento da distância radial r Figura 1211 Gráfico da energia potencial gravitacional U para o sistema da Terra massa mT e astronauta massa m em função da distância r da astronauta ao centro da Terra Caso fosse nosso desejo poderíamos fazer U 0 na superfície terrestre onde r RT simplesmente adicionando a quantidade GmtmRT à Equação 129 Isso faria U se tornar positiva para r RT Não faremos isso por dois motivos primeiro porque tornaria a expressão de U mais complicada segundo porque o termo adicionado não alteraria a diferença de energia potencial entre dois pontos arbitrários que é a única grandeza que possui significado físico ATENÇÃO Força gravitacional x Energia potencial gravitacional Tome cuidado para não confundir a relação da força gravitacional dada pela Equação 127 com a relação da energia potencial gravitacional dada pela Equação 129 A força Fr é proporcional a 1r2 enquanto a energia potencial gravitacional U é proporcional a 1r Tendo a Equação 129 como ferramenta podemos agora usar relações gerais de energia em problemas nos quais a força gravitacional dependa de 1r2 Quando a força gravitacional é a única força que realiza trabalho a energia mecânica total do sistema é constante ou se conserva No exemplo fornecido a seguir usaremos esse princípio para calcular a velocidade de escape a velocidade mínima necessária para que um corpo escape completamente de um planeta Exemplo 125 DA TERRA À LUA No livro com esse título escrito por Júlio Verne em 1865 um projétil com três homens foi disparado em direção à Lua por um gigantesco canhão semienterrado no solo na Flórida a Calcule a velocidade mínima necessária na boca do canhão para que o projétil disparado verticalmente atinja uma altura igual ao raio da Terra b Calcule a velocidade de escape ou seja a velocidade mínima necessária para que o projétil deixe a Terra completamente Despreze a resistência do ar a rotação da Terra e a atração da Lua O raio da Terra é dado por a b Formulações de esboços r2 2RT Massa da Terra mT Massa do projétil m Massa do projétil m r1 RT r1 RT r2 Massa da Terra mT Figura 1212 Nossos esboços para este problema RT 6380 km 638 x 106 m e a massa da Terra é mT 597 x 1024 kg veja o Apêndice F SOLUÇÃO IDENTIFICAR assim que o projétil sai da boca do canhão apenas a força gravitacional conservativa realiza trabalho e a energia mecânica é conservada Usamos esse fato para encontrar a velocidade com que o projétil precisa sair da boca do canhão a fim de a atingir sua altura máxima a uma distância de dois raios da Terra desde o centro do planeta e b atingir sua altura máxima a uma distância infinita da Terra PREPARAR tanto no item a quanto no item b usamos a equação da conservação da energia K1 U1 K2 U2 em que a energia potencial U é obtida pela Equação 129 A Figura 1212 mostra nossos esboços para resolver o problema O ponto 1 é aquele em que o projétil sai do canhão com velocidade v1 a variável procurada Nesse ponto a distância do centro da Terra é r1 RT o raio da Terra O ponto 2 é onde o projétil atinge a sua altura máxima no item a isso acontece quando r2 2RT Figura 1212a e no item b isso acontece infinitamente longe da Terra em r2 Figura 1212b Em ambos os casos o projétil está em repouso no ponto 2 então v2 0 e K2 0 Vamos considerar m a massa do projétil com os passageiros EXECUTAR podemos calcular v1 usando a equação da conservação da energia mecânica Reagrupando os termos encontramos 12 m v12 GmtmRT 0 Gmtm2RT v1 GmtRT 667 x 1011 N m2kg2597 x 1024 kg 638 x 106 m 7900 ms 28400 kmh 17700 mih b Desejamos que o projétil seja capaz de atingir o ponto 2 em r2 sem nenhuma energia cinética ou seja K2 0 Quando o projétil está a uma distância infinita da Terra a energia potencial também é nula U2 0 veja a Figura 1211 A energia resultante é portanto zero e quando o projétil é disparado a soma da energia cinética K1 positiva com a energia potencial gravitacional U1 negativa deve ser igual a zero 12 mv12 GmtmRT 0 0 v1 2GmtRT 2667 x 1011 Nm2kg2597 x 1024 kg 638 x 106 m 112x104 ms 40200 kmh 25000 mih AVALIAR esse resultado não depende nem da massa do projétil nem da direção em que ele foi lançado As modernas espaçonaves lançadas na Flórida devem atingir essencialmente a velocidade encontrada no item b para deixar a Terra Uma espaçonave no solo em Cabo Canaveral já está se movendo a 410 ms de oeste para leste em virtude da rotação da Terra lançandose a espaçonave de oeste para leste ela recebe gratuitamente essa contribuição para a velocidade de escape Generalizando nosso resultado a velocidade inicial v1 necessária para que um corpo escape da superfície de um astro esférico de massa M e raio R desprezandose a resistência é dada por v1 2GMR velocidade de escape Você pode usar esse resultado para calcular a velocidade de escape da superfície de outros astros Para Marte você achará 502 x 103 ms para Júpiter 595 x 104 ms e para o Sol 618 x 105 ms Outras relações envolvendo energia potencial gravitacional Como observação final mostraremos que quando estamos nas vizinhanças da superfície terrestre a Equação 129 se reduz ao resultado familiar U mgy obtido no Capítulo 7 Inicialmente rescreveremos a Equação 128 do seguinte modo Wgrav Gmtm r1 r2 r1 r2 Quando o corpo está nas vizinhanças da superfície terrestre podemos substituir r1 e r2 pelo raio da Terra RT no denominador logo Wgrav Gmtm r1 r2 RT2 Usando a Equação 124 g GmtRT2 obtemos Wgrav mg r1 r2 Substituindose cada r pelo respectivo y obtemos justamente a Equação 71 referente ao trabalho realizado por uma força gravitacional constante Na Seção 71 usamos esta relação para deduzir a Equação 72 U mgy de modo que podemos considerar essa expressão da energia potencial gravitacional um caso particular da relação mais geral dada pela Equação 129 Teste sua compreensão da Seção 123 É possível que um planeta possua a mesma gravidade de superfície que a Terra ou seja o mesmo valor de g na superfície e ainda assim tenha uma velocidade de escape maior 124 Movimento de satélites Satélites artificiais em órbita em torno da Terra constituem um fato familiar na vida contemporânea Figura 1213 No entanto quais são os fatores que determinam as propriedades das órbitas e como eles permanecem em órbita As respostas podem ser fornecidas aplicandose as leis de Newton e a lei da gravitação Veremos na próxima seção que o movimento de planetas pode ser analisado de modo semelhante Para começar lembrese do raciocínio feito na Seção 33 Física I quando discutimos o movimento de um projétil No Exemplo 36 um motociclista se lança horizontalmente da extremidade de um morro descrevendo uma trajetória parabólica que termina no solo plano na base do morro Caso ele sobreviva e repita essa experiência com velocidades crescentes em cada lançamento ele chegará ao solo em pontos cada vez mais afastados do local do lançamento É possível imaginar que ele se lance com uma velocidade suficientemente grande para que a curvatura da Terra passe a ser um fator importante À medida que ele cai a Terra se encurva embaixo dele Caso ele se lance com uma velocidade suficientemente grande e caso o topo do morro seja suficientemente elevado ele pode dar a volta na Terra sem retornar ao solo A Figura 1214 mostra uma variante do tema apresentado no parágrafo anterior Lançamos um projétil de um ponto A em uma direção AB tangente à superfície terrestre As trajetórias de 1 até 7 mostram o efeito do aumento da velocidade inicial Nas trajetórias de 3 até 5 o projétil não volta para o solo e tornase um satélite artificial da Terra Caso não exista nenhuma força retardadora a velo Figura 1213 Com 132 m de comprimento e massa igual a 11000 kg o Telescópio Espacial Hubble está entre os maiores satélites colocados em órbita Um projétil é lançado de A para B As trajetórias de 1 a 7 mostram o efeito do aumento da velocidade inicial Figura 1214 Trajetórias de um projétil lançado de uma grande altura desprezando a resistência do ar As órbitas 1 e 2 se completariam como mostrado se a Terra fosse uma massa pontual em C Esta ilustração se baseia em uma ilustração do livro Principia de Isaac Newton O satélite está em uma órbita circular sua aceleração é sempre perpendicular à sua velocidade v então sua velocidade v é constante Figura 1215 A força devida à atração gravitacional exercida pela Terra fornece a aceleração centrípeta necessária para manter o satélite em órbita Compare essa figura com a Figura 528 Física I força resultante a força da gravitação que atua sobre um satélite de massa m é dada por Fg GmTmr2 e possui a mesma direção e sentido da aceleração Então a segunda lei de Newton permite escrever Figura 1216 Estes astronautas do ônibus espacial encontramse em um estado de aparente imponderabilidade Quais estão de cabeça para cima e quais estão de cabeça para baixo Estação Espacial Internacional Distância do centro da Terra 6800 km 400 km acima da superfície Velocidade orbital 77 kms Período orbital 93 min Lua Distância do centro da Terra 384000 km Velocidade orbital 10 kms Período orbital 273 dias Figura 1217 Tanto a Estação Espacial Internacional como a Lua são satélites da Terra A Lua descreve uma órbita bem mais longe do centro da Terra do que a Estação Espacial por isso possui uma velocidade orbital menor e um período orbital maior Plutão Caronte o maior satélite de Plutão Dois satélites menores de Plutão com órbitas mais externas Figura 1218 Os dois pequenos satélites de Plutão foram descobertos em 2005 De acordo com a Equação 1212 quanto maior a órbita do satélite mais tempo levará para que ele complete uma volta ao redor de Plutão Exemplo 126 UMA ÓRBITA DE SATÉLITE Suponha que você deseje colocar um satélite meteorológico de 1000 kg em uma órbita circular 300 km acima da superfície terrestre a Qual seria a velocidade o período e a aceleração radial desse satélite b Qual seria o trabalho necessário para colocar esse satélite em órbita c Qual seria o trabalho adicional necessário para fazer esse satélite escapar da Terra O raio da Terra é RT 6380 km e a massa é mT 597 x 1024 kg SOLUÇÃO IDENTIFICAR o satélite está em uma órbita circular então podemos usar as equações deduzidas nesta seção PREPARAR no item a acharemos primeiro o raio r da órbita do satélite nessa altitude Depois calcularemos a velocidade v e o período T usando as equações 1210 e 1212 A aceleração em uma órbita circular é dada pela fórmula que já conhecemos desde o Capítulo 3 arad v2r Nos itens b e c o trabalho necessário é a diferença entre a energia mecânica inicial e a final que para uma órbita circular é dada pela Equação 1213 EXECUTAR a O raio da órbita do satélite é r 6380 km 300 km 6680 km 668 x 106 m Pela Equação 1210 a velocidade orbital é v sqrtGmTr sqrt667x1011 N x m2kg2 597 x 1024 kg668 x 106 m 7720 ms Pela Equação 1212 o período orbital é T 2 pi rv 2 pi 668 x 106 m7720 ms 5440 s 906 min A aceleração radial é dada por arad v2r 7720 ms2 668 x 106 m 892 ms2 Esse é o valor de g na altura de 300 km acima da superfície ele é ligeiramente menor do que o valor de g na superfície terrestre b O trabalho necessário é dado pela diferença entre a energia mecânica total E2 quando o satélite está em órbita e a energia mecânica total original E1 quando o satélite estava em repouso na plataforma de lançamento na Terra Usando a Equação 1213 obtemos a energia em órbita E2 GmTm2r 667 x 1011 N x m2kg2 597 x 1024 kg 1000 kg 2 638 x 106 m 299 x 1010 J Em repouso na superfície da Terra r RT a energia cinética é igual a zero E1 K1 U1 0 GmTmRT 667 x 1011 N x m2kg2 597 x 1024 kg 1000 kg 638 x 106 m 625 x 1010 J e portanto Wpreciso E2 E1 299 x 1010 J 625 x 1010 J 326 x 1010 J c Vimos na parte d do Exemplo 125 que para um satélite escapar até o infinito a energia mecânica total deve ser igual a zero A energia mecânica total na órbita circular é E2 299 x 1010 J Para fazer essa energia crescer até zero seria preciso realizar um trabalho igual a 299 x 1010 J Essa energia extra poderia ser fornecida pelos motores de um foguete ligado ao satélite AVALIAR na parte b nós desprezamos a energia cinética inicial do satélite que ainda estava na plataforma de lançamento devido à rotação da Terra Que diferença faz esse fator Veja o Exemplo 125 Teste sua compreensão da Seção 124 A sua espaçonave particular está em baixa altitude em uma órbita circular ao redor da Terra A resistência do ar nas regiões mais periféricas da atmosfera executa trabalho negativo sobre a espaçonave fazendo com que o raio da órbita diminua um pouco A velocidade da espaçonave i permanece a mesma ii aumenta ou iii diminui 125 As leis de Kepler e o movimento de planetas A palavra planeta deriva de um termo grego que significa errante e na verdade os planetas mudam constantemente de posição no céu em relação ao fundo das estrelas Um dos maiores êxitos intelectuais dos séculos XVI e XVII foi a verificação de três fatos a Terra também é um planeta todos os planetas descrevem órbitas em torno do Sol e os movimentos aparentes dos planetas vistos da Terra podem ser usados para uma determinação precisa de suas órbitas Nicolau Copérnico publicou em 1543 na Polônia a primeira e a segunda conclusões acima mencionadas A determinação das órbitas dos planetas foi realizada entre 1601 e 1619 pelo astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler usando um conjunto volumoso de dados precisos sobre os movimentos aparentes compilados pelo seu preceptor o astrônomo dinamarquês Tycho Brahe Por meio do método das tentativas Kepler descobriu três leis empíricas que descrevem com precisão o movimento dos planetas 1 Cada planeta se move em uma órbita elíptica com o Sol ocupando um dos focos da elipse 2 A linha que liga o Sol a um planeta varre áreas iguais a intervalos de tempo iguais 3 O período de um planeta é proporcional à potência 32 do comprimento do eixo maior da elipse descrita pelo respectivo planeta Kepler não sabia por que os planetas se moviam desse modo Três gerações mais tarde quando Newton estudava o movimento dos planetas descobriu que todas as leis de Kepler poderiam ser deduzidas elas decorrem das leis do movimento de Newton e da lei da gravitação Vamos examinar separadamente cada uma das leis de Kepler Primeira lei de Kepler Inicialmente vamos considerar a órbita elíptica mencionada na primeira lei de Kepler A Figura 1219 mostra a geometria de uma elipse A dimensão maior corresponde ao eixo maior e a é a metade do comprimento do eixo maior esse comprimento é o semieixo maior A soma das distâncias de S até P e de S até P é a mesma para todos os pontos sobre a curva Os pontos S e S são os focos O Sol está no ponto S e o planeta no ponto P consideramos esses astros pontos porque suas dimensões são muito menores do que a distância entre eles Não existe nada no outro foco S A distância de cada foco até o centro da elipse é igual a ea onde e é um número sem dimensões entre 0 e 1 denominado excentricidade Quando e 0 a elipse é uma circunferência As órbitas reais dos planetas são aproximadamente circulares suas excentricidades variam de 0007 para Vênus a 0206 para Mercúrio a excentricidade da Terra é e 0017 O periélio corresponde ao ponto mais próximo do Sol na órbita do planeta e o afélio corresponde ao ponto mais afastado do Sol na órbita do planeta Newton verificou que quando uma força proporcional a 1r² atua sobre um corpo as únicas órbitas fechadas possíveis são a elipse e a circunferência ele também mostrou que órbitas abertas trajetórias 6 e 7 na Figura 1214 devem ser parábolas ou hipérboles Esses resultados podem ser obtidos de forma direta usandose as leis do movimento de Newton e a lei da gravitação juntamente com algumas equações diferenciais que você ainda não está preparado para resolver Segunda lei de Kepler A segunda lei de Kepler é mostrada na Figura 1220 Em um pequeno intervalo de tempo dt a linha que liga o Sol ao planeta descreve um ângulo dθ A área varrida é dada pelo triângulo sombreado de altura r base r dθ e área dA 12 r² dθ A taxa com a qual essa área é varrida dAdt denominase velocidade setorial dA 12 r² dθ 1214 A essência da segunda lei de Kepler consiste em dizer que a velocidade setorial permanece constante qualquer que seja o ponto da órbita Quando o planeta está próximo do Sol r é pequeno e dθ dt possui valor grande quando o planeta está longe do Sol r é grande e dθdt possui valor pequeno Para ver como a segunda lei de Kepler é deduzida a partir das leis de Newton escrevemos dAdt em termos da velocidade do planeta P O componente de perpendicular à linha radial é dado por v sen ϕ Pela Figura 1220b o deslocamento ao longo da direção de v₁ durante um intervalo de tempo dt é r dθ de modo que obtemos v₁ r dθdt Substituindo essa relação na Equação 1214 achamos v₁ r dθdt 1215 Agora rv sen ϕ é o módulo do produto vetorial r x v que por sua vez é igual a lm vezes o momento angular L r x mv do planeta em relação ao Sol Assim obtemos a SP linha que liga o Sol S ao planeta P b v v sen ϕ dθ dA área varrida pela linha SP em um tempo dt c A linha SP varre áreas iguais A em tempos iguais Figura 1220 a O planeta P se move ao redor do Sol S descrevendo uma órbita elíptica b Em um intervalo de tempo dt a linha SP varre uma área dA 12 r dθ r 12 r² dθ c A velocidade do planeta varia de tal modo que a linha SP varre a mesma área A em um dado tempo t qualquer que seja a posição do planeta em sua órbita dAdt 12m r x mv L2m 1216 Portanto a segunda lei de Kepler de acordo com a qual a velocidade setorial é constante significa que o momento angular é constante É fácil provar que o momento angular de um planeta deve ser constante De acordo com a Equação 1026 a taxa de variação de L é igual ao torque da força gravitacional F que atua sobre o planeta dLdt τ r x F Neste caso r é o vetor que liga o Sol ao planeta e a força gravitacional F é direcionada do planeta ao Sol Portanto esses dois vetores sempre estão sobre a mesma direção e o produto vetorial r x F é igual a zero Logo dLdt 0 Essa conclusão não depende do fato de a força ser proporcional a 1r² o momento angular se conserva para qualquer força que atua sempre ao longo da linha que liga a partícula a um ponto fixo Esse tipo de força denominase força central A primeira e a terceira leis de Kepler são válidas somente quando a força é proporcional a 1r² A conservação do momento angular também explica por que a órbita deve estar contida em um plano O vetor L r x mv é sempre perpendicular ao plano formado pelos vetores r e v como L é um vetor constante em módulo e direção concluímos que r e v devem sempre estar sobre um mesmo plano que é justamente o plano da órbita do planeta Terceira lei de Kepler Já deduzimos a terceira lei de Kepler para o caso particular de órbitas circulares A Equação 1212 mostra que o período de um satélite ou planeta é igual à potência 32 do raio da órbita Newton mostrou que essa mesma relação também vale no caso de uma órbita elíptica substituindose o raio da órbita r pelo semieixo a T 2πa32 Gms órbita elíptica em torno do Sol 1217 Uma vez que o planeta descreve a órbita em torno do Sol e não em torno da Terra substituímos a massa da Terra mT na Equação 1212 pela massa do Sol mS Note que o período não depende da excentricidade e Um asteroide em uma órbita elíptica alongada com um semieixo maior a terá o mesmo período orbital que um planeta que descreva uma órbita circular com raio a A diferença principal é que o asteroide se move com velocidades diversos em diferentes pontos da órbita elíptica Figura 1220c enquanto a velocidade do planeta se mantém constante ao longo da órbita circular Exemplo conceitual 127 VELOCIDADES ORBITAIS Em que ponto de uma órbita elíptica Figura 1219 um planeta apresenta a maior velocidade SOLUÇÃO IDENTIFICAR a energia mecânica se conserva enquanto o planeta se move ao redor da órbita A energia cinética do planeta K 12 mv² é máxima quando a energia potencial U GmS mr é mínima isto é o mais negativo possível Veja a Figura 1211 o que ocorre quando r é mínimo Assim a velocidade v é máxima no periélio A sua intuição a respeito de corpos que caem é útil aqui Enquanto o planeta cai na direção do Sol ele acelera e sua velocidade é máxima quando ele está mais perto do Sol Pelo mesmo raciocínio o planeta desacelera quando se afasta do Sol e sua velocidade é mínima no afélio Exemplo conceitual 128 TERCEIRA LEI DE KEPLER O asteroide Palas tem um período orbital de 462 anos e uma excentricidade orbital de 0233 Encontre o semieixo maior de sua órbita SOLUÇÃO IDENTIFICAR este exemplo usa a terceira lei de Kepler que relaciona o período T com o semieixo maior a de um objeto como um asteroide em órbita PREPARAR usamos a Equação 1217 para encontrar a a partir do valor dado de T Note que não precisamos do valor da excentricidade EXECUTAR pela Equação 1217 a32 Gms T2π Para explicitar a elevamos essa expressão à potência 23 a Gms T²4π²13 Como G 667 x 1011 N m²kg² e ms 199 x 1030 kg a massa do Sol conforme o Apêndice F são dadas em unidades do SI precisamos expressar o período T em segundos em vez de anos usando um fator de conversão que você pode encontrar no Apêndice E T 462 a 3156 x 107 sa 146 x 108 s Usando esse valor encontramos a 415 x 1011 m Substitua você mesmo os números para verificar AVALIAR nosso resultado fica entre os semieixos maiores de Marte e Júpiter veja o Apêndice F Com efeito a maioria dos asteroides conhecidos orbita em um cinturão de asteroides entre as órbitas desses dois planetas Como uma nota histórica Palas só foi descoberto em 1802 quase dois séculos depois da publicação da terceira lei de Kepler Embora Kepler tenha deduzido suas três leis a partir dos movimentos dos cinco planetas além da Terra conhecidos em seu tempo essas leis se mostraram aplicáveis a todos os planetas asteroides e cometas que posteriormente se descobriu orbitarem ao redor do Sol Exemplo 129 O COMETA HALLEY Esse cometa se move em uma órbita alongada ao redor do Sol Figura 1221 No periélio a distância entre o cometa Halley e o Sol é igual a 875 x 107 km no afélio é igual a 526 x 109 km Calcule o semieixo maior a excentricidade e o período orbital SOLUÇÃO IDENTIFICAR sabemos as distâncias do periélio e do afélio e precisamos descobrir o semieixo maior a a excentricidade e o período orbital T que está relacionado ao semieixo maior pela terceira lei de Kepler PREPARAR a Figura 1219 nos mostra como encontrar a e e a partir das distâncias do periélio e do afélio Assim que soubermos o valor de a podemos encontrar o período orbital usando a Equação 1217 EXECUTAR vemos na Figura 1219 que o comprimento do eixo maior é igual à soma da distância entre o cometa e o Sol no periélio e a distância entre o cometa e o Sol no afélio O comprimento do eixo maior é 2a portanto a 875 x 107 km 526 x 109 km2 267 x 109 km Observando mais detalhadamente a Figura 1219 vemos que a distância entre o cometa e o Sol no periélio é a ea a1 e Como sabemos que a distância é 875 x 107 km a excentricidade é e 1 875 x 107 kma 1 875 x 107 km267 x 109 km 0967 a Órbita de Júpiter Órbita da Terra Órbita de Marte Órbita de Saturno Órbita de 1985 1987 Urano 1983 1989 Órbita de Netuno 1977 1996 Órbita de Plutão Posição do Cometa Halley em certa data 1948 2024 b Figura 1221 a A órbita do cometa Halley b Imagem do cometa Halley quando ele apareceu em 1986 No coração do cometa existe uma camada de gelo chamada núcleo que possui um diâmetro de aproximadamente 10 km Quando a órbita do cometa faz com que ele se aproxime do Sol o calor da luz solar produz uma vaporização parcial do núcleo O material evaporado constitui a cauda que pode se projetar até uma distância de dezenas de milhões de quilômetros Órbita do planeta ao redor do centro de massa Centro de massa do sistema da estrela e do planeta Planeta Estrela Órbita da estrela A estrela possui mais massa do que o planeta e por isso sua órbita é mais próxima do centro de massa O planeta e a estrela estão sempre em lados opostos em relação ao centro de massa Figura 1222 Uma estrela e seu planeta orbitam ao redor de seu centro de massa comum O período pode ser obtido usandose a Equação 1217 T 2πa32Gms 2π267 1012 m32667 1011 N m2kg2199 1030 kg 238 109 s 755 anos AVALIAR A excentricidade é muito próxima de 1 portanto a órbita do cometa é muito alongada veja a Figura 1221a O cometa Halley atingiu o periélio em 1986 A próxima vez que ele atingirá o periélio será em 2061 Movimentos planetários e o centro de massa Havíamos suposto que quando um planeta ou um cometa descreve uma órbita em torno do Sol o Sol permanece absolutamente estacionário Obviamente isso não é correto como o Sol exerce uma força gravitacional sobre o planeta o planeta exerce uma força gravitacional sobre o Sol de mesmo módulo e direção Na realidade o Sol e o planeta descrevem uma órbita em torno do centro de massa comum Figura 1222 Ao desprezarmos esse efeito no entanto cometemos apenas um pequeno erro porque a massa do Sol é aproximadamente 750 vezes maior do que a soma das massas de todos os planetas de modo que o centro de massa do sistema solar não está muito afastado do centro do Sol É interessante observar que os astrônomos utilizam esse efeito para detectar a presença de planetas orbitando ao redor de outras estrelas Telescópios sensíveis são capazes de detectar a oscilação aparente de uma estrela ao orbitar ao redor do centro comum de massa de uma estrela e de um planeta não visível que a acompanha Os planetas não são suficientemente iluminados para serem observados diretamente Analisando essas oscilações os astrônomos descobriram planetas orbitando ao redor de mais de cem outras estrelas A análise de Newton do movimento dos planetas ainda é utilizada pelos astrônomos modernos O resultado mais impressionante do trabalho de Newton é que as mesmas leis usadas para descrever o movimento de corpos na Terra podem ser usadas para descrever o movimento de todos os corpos do universo Essa síntese newtoniana como se costuma dizer é um dos grandes princípios unificadores da ciência Isso produziu efeitos profundos no modo como a humanidade passou a encarar o universo não como uma realidade misteriosa e impenetrável mas como uma extensão de nosso mundo cotidiano acessível ao cálculo e ao estudo científico Teste sua compreensão da Seção 125 A órbita do Cometa X possui um semieixo quatro vezes maior do que o semieixo do Cometa Y Qual é a razão entre o período orbital de X e o período orbital de Y i 2 ii 4 iii 8 iv 16 v 32 vi 64 potencial gravitacional da interação entre a massa pontual m e a Terra massa mT é dada por U GmTmr Trocandose a notação dessa relação vemos que na Figura 1223a a energia potencial gravitacional da interação entre a massa pontual m e uma partícula de massa mi no interior do anel é dada por Ui Gmmis Para achar a energia potencial da interação entre m e o anel inteiro cuja massa é dM mi somamos a expressão anterior de Ui a todas as partículas que constituem o anel Chamando essa energia potencial de dU encontramos dU Ui Gmmis Gms mi Gm dMs 1218 Para prosseguir precisamos conhecer a massa dM do anel Podemos encontrála com o auxílio da geometria O raio da casca esférica é igual a R portanto em termos do ângulo ϕ mostrado na figura o raio do anel é dado por R sen ϕ e sua circunferência possui comprimento 2πR sen ϕ A largura do anel é R dϕ e sua área é aproximadamente igual ao seu comprimento multiplicado pela sua largura dA 2πR2 sen ϕ dϕ A razão entre a massa do anel dM e a massa total M da casca esférica é igual à razão entre a área dA do anel e a área total A 4πR2 da casca esférica dMM 2πR2 sen ϕ dϕ4πR2 12 sen ϕ dϕ 1219 a Geometria da situação Agora explicite dM da Equação 1219 e substitua o resultado na Equação 1218 para achar a energia potencial da interação entre a massa pontual m e o anel dU GMm sen ϕ dϕ2s 1220 A energia potencial total da interação entre a massa pontual m e a casca esférica é dada pela integral da Equação 1220 sobre a esfera inteira quando ϕ varia de zero até π e não de zero até 2π e s varia de r R até r R Para poder integrar devemos escrever o integrando em termos de uma única variável escolhemos s Para expressar ϕ e dϕ em função de s é necessário usar a geometria A Figura 1223b mostra que se é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos lados são r R cos ϕ e R sen ϕ então o teorema de Pitágoras fornece s² r R cos ϕ² R sen ϕ² r² 2rR cos ϕ R² 1221 Diferenciando os dois membros dessa relação 2s ds 2rR sen ϕ dϕ Dividindo por 2rR e substituindo o resultado na Equação 1220 obtemos dU GMm2s s dsrR GMm2rR ds 1222 Podemos agora integrar a Equação 1222 lembrando que s varia de r R a r R Figura 1223 Calculando a energia potencial gravitacional da interação entre uma massa pontual m no exterior de uma casca esférica e um anel sobre a superfície da casca b A distância s é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos lados são r R cos ϕ e R sen ϕ U GMm2rR rR rR ds GMm2rR r R r R 1223 Finalmente temos U GMmr 1224 massa m no exterior de uma casca esférica de massa M Isso é igual à energia potencial de duas massas pontuais m e M separadas por uma distância r Portanto provamos que a energia potencial de uma massa pontual m interagindo com uma casca esférica de massa M para qualquer distância r é a mesma obtida supondose uma interação entre duas massas pontuais Como a força é dada por Fr dUdr o mesmo raciocínio também vale para a força A força gravitacional entre distribuições esféricas de massa Qualquer distribuição de massa com simetria esférica pode ser imaginada como se fosse constituída por uma superposição de muitas cascas esféricas concêntricas Aplicando o princípio da superposição das forças concluímos que o que é verdade para uma camada é verdadeiro também para o conjunto inteiro das camadas Portanto provamos metade do que desejávamos demonstrar ou seja que a interação gravitacional entre uma massa pontual e uma distribuição de massa com simetria esférica é a mesma como se toda a massa da distribuição de massa com simetria esférica estivesse concentrada no centro da esfera A outra metade a ser provada é que duas distribuições de massa com simetria esférica interagem como se ambas fossem pontos Essa parte é mais fácil Na Figura 1223a as forças de atração formam um par de ação e reação e elas obedecem à terceira lei de Newton Portanto provamos também que a força exercida por m sobre a esfera de massa M é a mesma que se M estivesse concentrada em um ponto Substituímos agora a massa m por uma distribuição de massa com simetria esférica centralizada no ponto onde se encontrava a massa m a força gravitacional resultante sobre qualquer parte de M é a mesma que a mencionada anteriormente e portanto a força total também será a mesma Isso completa a nossa demonstração Massa pontual no interior de uma casca esférica Havíamos considerado que a massa pontual m estivesse no exterior da casca esférica portanto nossa demonstração só vale quando a massa m se encontra no exterior de uma distribuição de massa com simetria esférica Quando a massa pontual m se encontra no interior da casca esférica a geometria é indicada na Figura 1224 A análise inteira segue os mesmos passos da dedução anterior continuam válidas as relações desde a Equação 1218 até a Equação 1222 Na Equação 1223 os limites de integração devem ser alterados os novos limites são de R r até R r Obtemos U GMm2rR RrRr ds GMm2rR R r R r 1225 e o resultado final é U GMmR 1226 massa m no interior de uma casca esférica de massa M Compare esse resultado com a Equação 1224 em vez de termos no denominador a distância r entre m e o centro de M temos R o raio da casca esférica Isso nos leva a concluir que U na Equação 1226 não depende de r e portanto possui o mesmo valor no interior da casca esférica Quando m se move no interior da esfera nenhum trabalho é realizado sobre ela de modo que a força que atua sobre a massa pontual m é igual a zero em qualquer ponto do interior da casca esférica Generalizando em qualquer ponto no interior de uma distribuição de massa com simetria esférica não necessariamente uma casca esférica a uma distância r do centro a força gravitacional sobre uma massa pontual m é a mesma força que seria produzida se removêssemos todas as massas situadas em pontos com distâncias ao centro maiores do que r e concentrássemos toda a massa da esfera restante no centro da esfera Exemplo 1210 VIAGEM AO CENTRO DA TERRA Suponha que você faça um furo através de um diâmetro da Terra massa mT e raio RT e deixe cair um malote de correspondência massa m por ele Deduz a uma expressão da força gravitacional sobre o malote em função de sua distância r ao centro Suponha que a densidade da Terra seja constante isso não é um modelo realista veja a Figura 129 Seção transversal da Terra Região esférica de raio r Figura 1225 Um furo é feito através do centro da Terra supostamente uniforme Quando um objeto está à uma distância r do centro somente a massa no interior de uma esfera de raio r exerce uma força gravitacional resultante sobre o objeto SOLUÇÃO IDENTIFICAR como dissemos anteriormente a força gravitacional a uma distância r do centro é determinada apenas pela massa M dentro de uma região esférica de raio r Figura 1225 A massa exterior ao raio não tem efeito sobre o malote PREPARAR a força gravitacional resultante sobre o malote é a mesma que se toda a massa M dentro de um raio r estivesse concentrada no centro da Terra A massa de uma esfera uniforme é proporcional ao volume da esfera que é para a esfera de raio r e para a Terra inteira EXECUTAR a razão entre a massa M da esfera de raio r e a massa da Terra mT é M mT 34 πr3 34 πRT3 r3 RT 3 então M mT r3 RT 3 O módulo da força gravitacional resultante sobre m é dado por Fs GMm r2 Gm r2 mT r3 RT3 GmT m r RT3 AVALIAR para pontos no interior da esfera de densidade uniforme Fs é diretamente proporcional à distância r ao centro da esfera em vez de ser proporcional a 1r2 para pontos no exterior da esfera Diretamente sobre a superfície onde r RT a expressão anterior fornece Fs GmT mRT2 como esperado No próximo capítulo aprenderemos como calcular o tempo que o malote levaria para emergir do lado oposto da Terra sob a hipótese da densidade constante Teste sua compreensão da Seção 126 No clássico livro de ficção científica de 1913 Tarzan no Centro da Terra de Edgar Rice Burroughs exploradores descobrem que a Terra é uma esfera oca e que existe uma civilização morando dentro dela Seria possível ficar em pé e caminhar sobre a superfície interna de um planeta oco e sem rotação p0 peso real de um objeto de massa m F força exercida pela balança de molas sobre um objeto de massa m F p0 força resultante sobre um objeto de massa m devido à rotação da Terra ela não é zero exceto nos pólos p peso aparente oposto de F No Pólo Norte ou Sul o peso aparente é igual ao peso real Figura 1226 Exceto nos pólos as leituras das escalas o peso aparente são menores do que a força de atração gravitacional sobre o objeto o peso real Isso acontece porque é preciso haver uma força resultante que forneça a aceleração centrípeta enquanto o objeto gira com a Terra Para maior visibilidade a ilustração exagera o ângulo ß entre os vetores do peso real e do peso aparente Rotação da Terra Para calcular v2 RT notamos que um ponto sobre o equador leva 86164 s para percorrer uma distância igual ao comprimento da circunferência da Terra 2πRT 2π 638 x 106 m O dia solar 86400 s é 1365 vezes maior do que esse valor porque em um dia a Terra percorre uma fração de da sua órbita em torno do Sol Portanto achamos v 2π 638 x 106 m 86164 s 465 ms v2 RT 465 ms2 638 x 106 m 00339 ms2 Logo considerando a Terra esfericamente simétrica a aceleração da gravidade no equador é cerca de 003 ms2 menor do que a aceleração da gravidade nos pólos Nos locais intermediários entre o equador e os pólos o peso real p0 e a força centrípeta não estão ao longo da mesma direção e devemos escrever uma equação vetorial correspondente à Equação 1227 Pela Figura 1226 vemos que a equação apropriada é p p0 m arad m g0 m arad 1228 A diferença entre os módulos g e g0 está compreendida entre zero e 00339 ms2 Como indicado na Figura 1226 existe um pequeno ângulo ß da ordem de 01 ou menos entre a direção do vetor peso aparente e a direção que liga o ponto ao centro da Terra A Tabela 121 fornece valores de g em diversos locais mostrando variações com a latitude Existem também pequenas variações adicionais provocadas pelas distorções da simetria esférica da Terra variações locais de densidade e diferenças de altitude Tabela 121 Variações de g com a Latitude e a Altitude Local Latitude Norte Altitude m gms2 Zona do Canal 9º 0 978243 Jamaica 18º 0 978591 Bermuda 32º 0 979806 Denver Co 40º 1638 979609 Pittsburgh PA 405º 235 980118 Cambridge MA 42º 0 980398 Groenlândia 70º 0 982534 Peso aparente e falta de peso aparente Nossa discussão sobre o peso aparente também pode ser aplicada ao fenômeno da aparente perda de peso em satélites e outros sistemas que permanecem em órbita descritos na Seção 124 Um corpo no interior de uma espaçonave em órbita possui peso a atração gravitacional da Terra continua a agir sobre o corpo da mesma forma que agia quando ele estava na superfície terrestre O peso aparente de um corpo no interior de uma espaçonave em órbita é novamente dado pela Equação 1228 p p0 m arad m g0 m arad No entanto para uma espaçonave em órbita assim como para qualquer astronauta no interior dela a aceleração radial para o centro da Terra é igual ao valor da aceleração Figura 1227 Este astronauta em órbita é afetado pela atração gravitacional da Terra Entretanto ele se sente como se não tivesse peso porque sua aceleração é igual a g da gravidade no local em que a espaçonave se encontra Logo g0 arad e o peso aparente é p 0 Isso é o que queremos dizer quando falamos que um astronauta ou qualquer outro corpo no interior de uma espaçonave em órbita possui peso aparente igual a zero Note que não fizemos nenhuma hipótese acerca da forma da órbita conforme dissemos na Seção 124 um astronauta terá peso aparente igual a zero qualquer que seja a órbita Figura 1227 Teste sua compreensão da Seção 127 Imagine um planeta que possua a mesma massa e raio que a Terra mas complete dez rotações no mesmo tempo em que a Terra completa uma Qual seria a diferença entre a aceleração da gravidade no equador do planeta e a aceleração da gravidade nos pólos i 000339 ms2 ii 00339 ms2 iii 0339 ms2 iv 339 ms2 128 Buraco negro O conceito de buraco negro é um dos mais interessantes produtos da teoria da gravitação moderna embora a idéia fundamental possa ser entendida com base nos princípios da mecânica newtoniana Velocidade de escape de uma estrela Pense nas propriedades do nosso Sol A sua massa M 199 x 1030 kg e o raio R 696 x 108 m são muito maiores do que os de qualquer planeta em comparação com outras estrelas contudo o Sol não possui massa excepcionalmente grande Você pode calcular a densidade média ρ do Sol como calculamos a densidade média da Terra na Seção 122 ρ M V M 43 π R3 199 x 1030 kg 43 π 696 x 108 m3 1410 kgm3 A temperatura do Sol varia entre 5800 K cerca de 5500 C na superfície e 15 x 107 K em seu interior de modo que ele certamente não contém sólidos nem líquidos Contudo a atração gravitacional aglutina os átomos dos gases fazendo com que o Sol tenha uma densidade 41 mais elevada do que a densidade da água e cerca de 1200 vezes maior do que a densidade do ar que respiramos Pense agora na velocidade de escape de um corpo da superfície do Sol No Exemplo 125 Seção 123 verificamos que a velocidade de escape da superfície de um corpo esférico com massa M e raio R é dada por v 2GM R Podemos expressar esse resultado em termos da densidade média Substituindo M ρV ρ 43 π R3 na relação da velocidade de escape obtemos v 2GM R 8 π G ρ 3 R 1229 Usando qualquer uma das duas relações anteriores você pode mostrar que a velocidade de escape de um corpo da superfície do Sol é dada por v 618 x 105 ms cerca de 22 milhões de kmh Esse valor igual a aproximadamente 1500 da velocidade da luz é independente da massa do corpo que escapa depende apenas da massa e do raio ou do raio e da densidade média do Sol Considere agora diversas estrelas com a mesma densidade média ρ mas com diferentes raios R A Equação 1229 mostra que para um dado valor da densidade média ρ a velocidade de escape v é diretamente proporcional a R Em 1783 o Rev John Mitchell um astrônomo amador notou que se um corpo com a mesma densidade média do Sol tivesse um raio aproximadamente 500 vezes maior do que o raio do Sol o módulo da velocidade de escape seria maior do que a velocidade da luz c Com a afirmação de que toda luz emitida por esse corpo seria atraída para seu interior Mitchell tornouse o primeiro homem a sugerir a existência do que hoje chamamos de buraco negro um objeto que exerce força de atração gravitacional sobre outros corpos mas que não pode emitir luz própria Buracos negros raio de Schwarzschild e horizonte de eventos A primeira expressão para a velocidade de escape indicada na Equação 1229 sugere que o corpo de massa M pode se converter em um buraco negro caso seu raio R seja menor do que um certo raio crítico Como determinar esse raio crítico Talvez você pense que basta substituir v c na Equação 1229 Na realidade esse procedimento fornece uma resposta correta mas somente por causa de dois erros que se compensam A energia cinética da luz não é dada por mc22 e a energia potencial gravitacional nas vizinhanças de um buraco negro não é dada pela Equação 129 Em 1916 Karl Schwarzschild usou a teoria da relatividade geral de Einstein em parte uma generalização e extensão da teoria newtoniana da gravitação para deduzir uma expressão para o raio crítico RS atualmente chamado de raio de Schwarzschild Verificase que o resultado é igual ao obtido quando substituímos v c na Equação 1229 portanto c sqrt2GM RS Explicitando o raio de Schwarzschild RS obtemos RS 2GM c2 raio de Schwarzschild 1230 Quando um corpo esférico com massa M que não está girando possui um raio menor do que RS então nada nem mesmo a luz pode escapar da superfície do corpo e o corpo é um buraco negro Figura 1228 Nesse caso qualquer outro corpo situado até uma distância igual a RS do centro dele é aprisionado por sua atração gravitacional e não pode escapar A superfície da esfera de raio RS que cerca o buraco negro denominase horizonte de eventos porque uma vez que a luz não pode escapar de seu interior não podemos ver nenhum evento que ocorre nessa esfera Tudo o que um observador situado no exterior do horizonte de eventos pode conhecer a respeito de um buraco negro é a sua massa em virtude dos efeitos gravitacionais produzidos sobre outros corpos sua carga elétrica em virtude das forças elétricas produzidas sobre outros corpos carregados e seu momento angular porque um buraco negro que gira tende a arrastar o espaço e tudo o que existe nesse espaço em torno da sua fronteira Todas as outras informações sobre o corpo são perdidas de modo irrecuperável quando ele cai em seu horizonte de eventos Exemplo 1211 CÁLCULOS SOBRE BURACOS NEGROS A teoria astrofísica sugere que uma estrela que terminou de queimar todo o seu combustível pode entrar em colapso gravitacional e formar um buraco negro quando sua massa for três vezes menor do que a massa do Sol Caso ela possua esse raiolimite qual seria o seu horizonte de eventos a Quando o raio R de um corpo é maior do que o raio de Schwarzschild RS a luz pode escapar da superfície do corpo A gravidade provoca desvios para o vermelho da luz que sai do corpo aumentando o seu comprimento de onda b Se toda a massa do corpo estiver dentro do raio RS esse corpo é um buraco negro Nenhuma luz pode escapar dele Figura 1228 a Um corpo de raio R maior do que o raio de Schwarzschild RS b Se o corpo passa a ter um raio menor do que RS ele é um buraco negro que possui uma velocidade de escape maior que a velocidade da luz A superfície da esfera de raio RS é chamada de horizonte de eventos do buraco negro SOLUÇÃO IDENTIFICAR o raio pedido corresponde ao raio de Schwarzschild PREPARAR usamos a Equação 1230 com um valor de M 3199 x 1030 kg 60 x 1030 kg EXECUTAR da Equação 1230 RS 2GM c2 2667 x 1011 Nm2kg260 x 1030 kg 30 x 108 ms2 89 x 103 m 89 km AVALIAR quando o raio desse corpo é exatamente igual ao raio de Schwarzschild sua densidade média atinge o incrível valor de ρ M 43 π R3 60 x 1030 kg 43 π 89 x 103 m3 20 x 1018 kgm3 Essa densidade é cerca de 1015 vezes maior do que a densidade dos corpos comuns na Terra sendo comparável à densidade de núcleos atômicos Na realidade depois que o corpo se contrai até o raio RS nada pode impedir que haja um colapso posterior produzindo maior contração Toda a matéria no interior do buraco negro é esmagada até atingir um ponto no seu centro denominado singularidade Esse ponto possui volume igual a zero e portanto sua densidade é infinita Visita a um buraco negro Em pontos muito distantes do buraco negro o efeito gravitacional é igual ao produzido por qualquer corpo normal com a mesma massa Caso o Sol sofresse um colapso e se transformasse em um buraco negro as órbitas dos planetas não seriam afetadas Porém nas vizinhanças de um buraco negro os eventos ocorrem de forma drasticamente diferente Caso você decidisse se tornar um mártir da ciência e pulasse para dentro de um buraco negro quem estivesse o observando notaria diversos efeitos adversos à medida que você se aproximasse do horizonte de eventos quase todos ligados à relatividade geral Se você levasse um transmissor de rádio para comentar sua viagem seria necessário sintonizar os sinais para frequências cada vez menores um efeito chamado de deslocamento para o vermelho gravitacional Devido a esse deslocamento os relógios eletrônicos ou biológicos que estivessem com você pareceriam cada vez mais lentos um efeito chamado dilatação do tempo Na realidade durante suas vidas seus observadores jamais veriam você chegar ao horizonte de eventos No sistema de referência deles você conseguiria atingir o horizonte de eventos em um intervalo de tempo muito curto mas de uma forma bastante perturbadora Quando você se aproximasse da superfície do buraco negro a força gravitacional sobre os seus pés seria maior do que a força sobre sua cabeça que estaria ligeiramente mais afastada do centro do buraco As diferenças entre as forças gravitacionais ao longo do seu corpo seriam suficientemente elevadas a ponto de achatar seu corpo comprimindoo em direção ao buraco negro Esses efeitos chamados de forças de maré fariam você se estilhaçar em um grupo de átomos e a seguir fariam esses átomos se estilhaçarem antes que você chegasse ao horizonte de eventos Detectando um buraco negro Considerando o fato de um buraco negro não permitir que a luz escape dele e o de possuir um raio tão pequeno quanto o indicado no Exemplo 1211 como podemos verificar se esse corpo existe no espaço Isso é possível porque poeiras e gases existentes nas vizinhanças do buraco negro são agrupados formando um disco de acréscimo que gira formando uma espiral em torno do buraco negro de modo semelhante a um redemoinho Figura 1229 O atrito entre as partes do material que constitui o disco de acréscimo produz uma perda de energia mecânica fazendo o material cair dentro do buraco negro e formando uma espiral à medida que o disco se move ele sofre uma compressão Isso produz um aquecimento do material tal como o aquecimento do ar comprimido no interior de uma bomba que você usa para encher o pneu de uma bicicleta Temperaturas da ordem de 106 K podem ocorrer no interior de um disco de acréscimo de modo que o disco não emite luz visível como no caso de um corpo quente vermelho ou um corpo quente branco mas sim raios X Os astrônomos procuram esses raios X emitidos antes do disco de acréscimo cruzar o horizonte de eventos para sinalizar a presença de um buraco negro Diversos candidatos promissores já foram encontrados e os astrônomos contemporâneos acreditam firmemente na existência de buracos negros Um buraco negro em uma estrela binária como o sistema retratado na Figura 1229 possui massas algumas vezes maior do que a massa do Sol Há também numerosos indícios da existência de buracos negros com supermassas Acreditase que um exemplo desses buracos negros ocorra no centro de nossa Via Láctea a cerca de 26000 anosluz da Terra na direção da constelação de Sagitário Imagens de alta resolução do centro da galáxia mostram estrelas se movendo em velocidades maiores do que 1500 kms perto de um objeto invisível localizado na posição de uma fonte de ondas de rádio chamada Sgr A Figura 1230 Analisando esses movimentos os astrônomos podem deduzir o período T e o semieixo maior a da órbita de cada estrela A massa do objeto invisível pode ser calculada por meio da terceira lei de Kepler na forma dada na Equação 1217 substituindo a massa do Sol mS por mX Figura 1230 Esta imagem mostra o movimento de estrelas no centro de nossa galáxia durante um período de nove anos Analisando essas órbitas por meio da terceira lei de Kepler vemos que as estrelas estão se movendo ao redor de um objeto não visível cuja massa é cerca de 37 x 106 vezes maior do que a massa do Sol A escala indica uma distância de 1014 m 670 vezes a distância da Terra ao Sol do centro da galáxia T 2 π a32 sqrtG mX logo mX 4 π2 a3 G T2 A conclusão extraída desse cálculo é que o misterioso objeto negro no centro da galáxia possui uma massa de 73 x 1036 kg ou seja 37 milhões de vezes a massa do Sol Apesar disso observações com radiotelescópios mostram que ele possui um raio de não mais do que cerca de 1011 m comparável à distância da Terra ao Sol Essas observações sugerem que esse objeto de massa elevada compacto é um buraco negro com um raio de Schwarzschild de 11 x 1010 m Os astrônomos esperam aperfeiçoar a resolução de suas observações de modo a poderem realmente ver o horizonte de eventos desse buraco negro Outras linhas de pesquisa sugerem que haveria buracos negros ainda maiores de massa 109 vezes maior do que a do Sol nos centros de outras galáxias Os estudos observacionais e teóricos de buracos negros de todos os tamanhos continuam sendo uma área fascinante de pesquisas tanto na física quanto na astronomia Teste sua compreensão da Seção 128 Se o Sol sofrer um colapso e formar um buraco negro que efeito esse acontecimento teria sobre a órbita da Terra i a órbita encolheria ii a órbita se expandiria iii a órbita permaneceria do mesmo tamanho II sobre um corpo particular a força gravitacional resultante sobre esse corpo é dada pela soma vetorial de todas as forças gravitacionais exercidas pelos outros corpos sobre o corpo em particular A interação gravitacional entre dois corpos que possuem distribuições de massa com simetria esférica tais como planetas ou estrelas é a mesma que existiria se toda a massa dos corpos estivesse concentrada no centro de cada corpo Veja os exemplos 121123 e 1210 Fg G m1 m2 r2 121 Força gravitacional peso e energia potencial gravitacional O peso p de um corpo é a força gravitacional resultante decorrente da ação de todas as forças gravitacionais exercidas pelos outros corpos do universo sobre o corpo considerado Nas vizinhanças da superfície da Terra massa mT e raio RT o peso é basicamente dado pela força gravitacional da Terra A energia potencial gravitacional U de dois corpos de massas m e mT separados por uma distância r é inversamente proporcional a r A energia potencial nunca é positiva ela é igual a zero somente quando os dois corpos estão separados por uma distância infinita Veja os exemplos 124 e 125 p Fg G m mT RT2 peso na superfície da Terra 123 g G mT RT2 aceleração da gravidade na superfície da Terra 124 U G m mT r 129 Órbitas Quando um satélite se move ao longo de uma órbita circular a aceleração centrípeta é fornecida pela atração gravitacional da Terra As três leis de Kepler descrevem o caso mais geral uma órbita elíptica de um planeta em torno do Sol ou um satélite em torno de seu planeta Veja os exemplos 126129 v GmT r velocidade em uma órbita circular 1210 T 2πr v 2πr r GmT 2πr32 GmT período em uma órbita circular 1212 Buracos negros Caso uma distribuição de massa com simetria esférica sem rotação e que apresente uma resultante M possua um raio menor do que o raio de Schwarzschild RS tal corpo denominase buraco negro A interação gravitacional impede o escape de qualquer tipo de matéria incluindo a luz do interior da esfera com raio RS Veja o Exemplo 1211 RS 2GM c² raio de Schwarzschild 1230 Se todo o corpo estiver dentro do raio de Schwarzschild RS 2GMc² esse corpo é um buraco negro Principais termos lei da gravitação 1 constante gravitacional 2 energia potencial gravitacional 8 velocidade de escape 9 órbitas fechadas 11 órbitas abertas 11 semieixo maior 14 excentricidade 14 peso real 20 peso aparente 20 buraco negro 22 raio de Schwarzschild 23 horizonte de eventos 23 Resposta à Pergunta Inicial do Capítulo Quanto menor o raio orbital r de um satélite maior a sua velocidade orbital v conforme a Equação 1210 Assim uma partícula perto do lado interno dos anéis de Saturno possui uma velocidade maior do que uma partícula perto do lado externo dos anéis Respostas às Perguntas dos Testes de Compreensão 121 Resposta v Pela Equação 121 a força gravitacional do Sol massa m1 sobre um planeta massa m2 a uma distância r tem módulo FG Gm1 m2 r² Comparado à Terra Saturno possui um valor de r² que é 10² cem vezes maior e um valor de m2 que é também cem vezes maior Portanto a força que o Sol exerce sobre Saturno tem o mesmo módulo que a forca exercida pelo Sol sobre a Terra A aceleração de um planeta é igual à força resultante dividida pela massa do planeta como Saturno possui cem vezes mais massa do que a Terra a sua aceleração é 1100 da aceleração da Terra 122 Resposta iii i ii iv Pela Equação 124 a aceleração da gravidade na superfície de um planeta de massa mp e raio RP é igual a gp Gmp RP² Ou seja gp é diretamente proporcional à massa do planeta e inversamente proporcional ao quadrado de seu raio Seguese que comparado ao valor de g na superfície da Terra o valor de gp em cada planeta é i 22² 12 do valor de g ii 44² 14 do valor de g iii 42² 1 vez o valor de g ou seja igual e iv 24² 18 do valor de g 123 Resposta sim Isso é possível porque a gravidade e a velocidade de escape na superfície dependem de diferentes formas da massa mp e raio Rp do planeta O valor de g na superfície é Gmp Rp² enquanto a velocidade de escape é 2Gmp RP Para o planeta Saturno por exemplo mp é cerca de cem vezes a massa da Terra e Rp é cerca de dez vezes o raio da Terra O valor de g é diferente do que é na Terra por um fator 10010² 1 isto é é o mesmo que na Terra enquanto a velocidade de escape é maior por um fator 32 Lembrese de que a gravidade na superfície revela as condições junto à superfície do planeta enquanto a velocidade de escape que lhe diz quão rápido é preciso viajar para escapar para o infinito depende das condições em todos os pontos entre a superfície do planeta e o infinito Tendo em vista que Saturno possui muito mais massa do que a Terra os seus efeitos gravitacionais são significativos em distâncias muito maiores e sua velocidade de escape é maior 124 Resposta ii A Equação 1210 mostra que em uma órbita de raio menor a espaçonave apresenta uma maior velocidade O trabalho negativo realizado pela resistência do ar reduz a energia mecânica total E K U a energia cinética K aumenta tornase mais positiva mas a energia potencial gravitacional U diminui tornase mais negativa muito mais 125 Resposta iii A Equação 1217 indica que o período orbital T é proporcional à potência 32 do semieixo maior a Assim o período orbital do Cometa X é maior do que o do Cometa Y por um fator de 432 8 126 Resposta não Nossa análise mostra que existe uma força gravitacional de valor zero dentro de uma casca esférica oca Dessa forma os visitantes do interior de um planeta oco ficariam sem peso e não poderiam ficar em pé nem caminhar pela superfície interna do planeta 127 Resposta iv Ao analisar a Equação 1227 vimos que a diferença entre a aceleração da gravidade no equador e nos pólos é v² RT Como esse planeta possui o mesmo raio e portanto a mesma circunferência que a Terra a velocidade em seu equador deve ser dez vezes a velocidade no equador da Terra Logo v² RT é 10² cem vezes maior do que na Terra ou 100 00339 ms² 339 ms² A aceleração da gravidade nos pólos é 980 ms² enquanto no equador é drasticamente menor 980 ms² 339 ms² 641 ms² Podese demonstrar que se esse planeta precisasse girar 170 vezes mais rápido do que a Terra a aceleração da gravidade no equador seria zero e objetos soltos sairiam voando da superfície do equador 128 Resposta iii Se o Sol se tornasse um buraco negro o que segundo o nosso conhecimento das estrelas é impossível ele teria a mesma massa porém um raio muito menor Como a atração gravitacional exercida pelo Sol sobre a Terra não depende do raio do Sol a órbita da Terra não seria afetada Questões para discussão Q121 Um estudante escreveu A única razão pela qual a maçã cai no sentido da Terra em vez de a Terra subir no sentido da maçã é que a massa da Terra é muito maior do que a massa da maçã e portanto ela exerce uma atração muito maior Por favor comente Q122 Um planeta executa uma órbita circular com período T ao redor de uma estrela Se uma estrela com três vezes a massa da primeira estrela estivesse em órbita à mesma distância o novo período em termos de T seria a 3T b T3 c T d T3 ou e 73 Q123 Se todos os planetas tivessem a mesma densidade média como a aceleração da gravidade na superfície de um planeta dependeria do seu raio Q124 Com gramas de manteiga na Terra possuem a mesma quantidade de manteiga que cem gramas de manteiga em Marte O que você diria sobre um quilograma de manteiga Explique Q125 O Exemplo 122 Seção 121 mostra que a aceleração de cada esfera produzida pela força gravitational é inversamente proporcional à massa da respectiva esfera Então como você explica que qualquer corpo caindo nas vizinhanças da superfície terrestre possui a mesma aceleração da gravidade Q126 Quando a atração gravitacional entre você e o Sol é maior ao meiodia ou à meianoite Explique Q127 Visto que a Lua é constantemente atraída pela força gravitacional da Terra por que ela não se choca contra a Terra Q128 Imagine que o Sol tivesse uma massa igual ao dobro da massa atual Qual seria o efeito produzido sobre seu peso na Terra medido quando você fica em pé sobre uma balança de mola Explique sua resposta Q129 O Sol puxa a Lua com uma força duas vezes maior do que a força de atração entre a Terra e a Lua Então por que o Sol não afasta a Lua da Terra Q1210 Conforme vimos no Capítulo 7 Física I a energia potencial gravitacional é dada por U mgy sendo positiva para um corpo de massa m acima da superfície terrestre y 0 Porém neste capítulo a energia potencial gravitacional é dada por U Gm mp r que é negativa para um corpo de massa m acima da superfície terrestre r RT Como você pode conciliar essas duas descrições da energia potencial gravitacional aparentemente incompatíveis Q1211 Um planeta se move com velocidade constante em uma órbita circular em torno de uma estrela Em uma órbita completa o trabalho total realizado pela força gravitacional da estrela sobre o planeta é positivo negativo ou nulo Qual seria a resposta a essa pergunta no caso de uma órbita elíptica ao longo da qual a velocidade não é constante Explique suas respostas Q1212 A velocidade de escape de um corpo depende da direção em que ele é lançado da superfície terrestre Explique Sua resposta depende do fato de incluir ou não o efeito da resistência do ar Q1213 Quando um projétil é disparado verticalmente de baixo para cima da superfície terrestre o que ocorreria se sua energia mecânica total cinética mais potencial fosse a menor do que zero b maior do que zero Em cada caso despreze a resistência do ar e os efeitos gravitacionais do Sol da Lua e dos outros planetas Q1214 Verifique se a afirmação seguinte é correta Na ausência da resistência do ar a trajetória de um projétil nas vizinhanças da superfície terrestre é uma elipse e não uma parábola Q1215 A Terra está mais próxima do Sol em novembro do que em maio Em qual desses meses a velocidade da Terra é maior Explique Q1216 Uma empresa de comunicações deseja colocar um satélite em órbita de modo que ele sempre sobrevoe a Terra ao longo do paralelo 45 latitude norte de 45 Ou seja o plano da órbita não passa pelo centro da Terra Essa órbita seria possível Explique por que Q1217 Em qual ponto de uma órbita elíptica a aceleração é máxima Em qual ponto ela é mínima Justifique suas respostas Q1218 Considere uma viagem da Terra até a Lua e a viagem de volta da Lua até a Terra Em qual viagem o gasto de combustível é maior Explique Q1219 Como seria enunciada a terceira lei de Kepler na hipótese de uma órbita circular caso a lei de Newton da gravitação fosse alterada de modo que a força fosse inversamente proporcional a a³ Essa alteração modificaría as outras duas leis de Kepler Explique Q1220 Na órbita elíptica do cometa Halley indicada na Figura 1221a a gravidade do Sol faz o cometa cair aproximandose do Sol do afélio para o períélio Porém qual é o efeito responsável pelo afastamento do cometa do periélio até o afélio Q1221 Muitas pessoas acreditam que astronautas em órbita não sentem seu peso porque estão fora da atração terrestre Qual deveria ser a distância entre uma espaçonave e a Terra para que ela realmente ficasse fora da influência do campo gravitacional da Terra Caso a espaçonave ficasse realmente fora da atração terrestre ela poderia permanecer em órbita Explique Qual é a verdadeira razão pela qual astronautas em órbita sentem como se estivessem sem peso Q1222 Como parte do treinamento para poder permanecer em órbita os astronautas pilotam um avião que voa ao longo de uma trajetória parabólica como um projétil em queda livre Explique como a sensação existente nesse caso é a mesma que a experimentada em órbita quando o peso aparente é igual a zero Exercícios Seção 121 Lei de Newton da gravitação 121 Calcule a razão da força de atração gravitacional entre o Sol e a Lua e a força entre a Terra e a Lua Suponha que a distância da Lua ao Sol seja aproximadamente a mesma distância da Terra ao Sol Use dados do Apêndice F É mais preciso dizer que a Lua está em órbita ao redor da Terra ou que a Lua está em órbita ao redor do Sol 122 Experiência de Cavendish Para usar a balança de Cavendish mostrada na Figura 124 suponha que m1 110 kg m2 250 kg e a haste que conecta os pares de ml possui 300 cm de comprimento Se em cada par m1 e m2 estão a 120 cm de distância de centro a centro encontre a a força resultante e b o torque resultante em relação ao eixo de rotação na parte rotatória do aparelho c Você acha que o torque na parte b seria suficiente para girar facilmente a haste Sugira modos de aperfeiçoar a sensibilidade do experimento 123 A que distância de uma pequena esfera de 100 kg uma partícula teria de ser colocada para que a esfera atraísse a partícula com a mesma força que a Terra Esse experimento poderia ser efetivamente realizado Por quê 124 Duas esferas uniformes cada uma com massa M e raio R estão em contato Qual é o módulo da força de atração gravitacional entre elas 125 Uma nave espacial interplanetária passa em um ponto do espaço no qual a força de atração gravitacional da Terra sobre a nave cancela a força de atração gravitacional do Sol sobre a nave a Qual é a distância entre a nave e o centro da Terra Use dados do Apêndice F b Assim que houver atingido o ponto encontrado no item a a espaçonave poderia desligar seus motores e ficar pairando lá indefinidamente Explique 126 a Qual é o módulo a direção e o sentido da força gravitacional resultante exercida pelas outras esferas sobre a esfera uniforme de 0100 kg indicada na Figura 1231 Os centros das três esferas estão sobre a mesma linha reta b De acordo com a terceira lei de Newton a esfera de 0100 kg exerce forças iguais e opostas com o mesmo módulo encontrado na parte a sobre cada uma das outras duas esferas 127 Um homem adulto típico possui massa igual a 70 kg Qual é a força que a Lua cheia exerce sobre esse homem quando ela está diretamente sobre ele a uma distância de 378000 km b Compare essa força com a força exercida sobre o homem na Terra 128 Uma massa pontual de 80 kg e outra massa pontual de 150 kg são mantidas fixas a 500 cm de distância Uma partícula de massa m é solta de um ponto entre as duas massas a 200 cm da massa de 80 kg ao longo da linha que conecta as duas massas fixas Ache o módulo a direção e o sentido da aceleração da partícula 129 Determine o módulo a direção e o sentido da força gravitacional resultante exercida pelo Sol e pela Terra sobre a Lua quando a Lua está em cada uma das posições indicadas na Figura 1232 Note que a figura não está desenhada em escala Suponha que o Sol esteja no plano da órbita da Lua em torno da Terra embora esse caso seja raro Use dados do Apêndice F 1210 Quatro massas idênticas de 800 kg cada são colocadas nos cantos de um quadrado cujo lado mede 100 cm Qual é a força gravitacional resultante módulo direção e sentido sobre uma das massas em virtude das outras três 1211 Uma partícula de massa 3m está localizada a 10 m de outra partícula de massa m a Onde você deve colocar uma terceira massa M de modo que a força gravitational resultante sobre M em virtude das duas massas seja exatamente zero b O equilíbrio de M é estável ou instável i em pontos ao longo da linha que conecta m e 3m e ii em pontos ao longo da linha que passa por M e é perpendicular à linha que conecta m e 3m 1212 As massas pontuais m e 2m estão situadas ao longo do eixo x com m na origem e 2m em x L Uma terceira massa pontual M é deslocada ao longo do eixo x a Em que ponto a força gravitational resultante sobre M em virtude das duas outras massas é igual a zero b Desenhe o componente x da força resultante sobre M em virtude de m e 2m supondo que as grandezas à direita sejam positivas Inclua as regiões x 0 0 x L e x L Não deixe de mostrar o comportamento do gráfico em ambos os lados de x 0 e x L 1213 Duas esferas uniformes cada uma com massa igual a 0260 kg estão fixas nos pontos A e B Figura 1233 Determine o módulo a direção e o sentido da aceleração inicial de uma esfera uniforme com massa 0010 kg quando ela é liberada do repouso no ponto P e sofrendo apenas atrações gravitacionais das esferas situadas em A e B Seção 122 Peso 1214 Consulte o Apêndice F e use os valores da massa e do raio do planeta Plutão para calcular a aceleração da gravidade na superfície de Plutão 1215 Sabendo que a aceleração da gravidade na superfície da Terra é igual a 980 ms² qual deve ser a altura acima da superfície terrestre na qual a aceleração da gravidade é igual a 0980 ms² 1216 A massa de Vênus é igual a 815 da massa da Terra e seu raio é 949 do raio da Terra a Usando esses dados calcule a aceleração da gravidade na superfície de Vênus b Se uma pedra pesa 750 N na Terra qual seria o seu peso na superfície de Vênus 1217 Titânia a maior lua do planeta Urano possui um raio igual a 18 do raio da Terra e massa igual a 11700 da massa da Terra a Qual é a aceleração da gravidade na superfície de Titânia b Qual é a densidade média de Titânia Esse valor é menor do que a densidade média das rochas uma evidência em favor da hipótese de que Titânia seja basicamente constituída por gelo 1218 Réia uma das luas de Saturno possui raio igual a 765 km e a aceleração da gravidade na sua superfície é igual a 0278 ms2 Calcule sua massa e sua densidade média 1219 Calcule a força da gravidade exercida pela Terra sobre um astronauta de 75 kg que está consertando o Telescópio Espacial Hubble a 600 km acima da superfície da Terra e depois compare esse valor com o peso dele na superfície da Terra Diante do seu resultado explique por que dizemos que os astronautas não têm peso quando orbitam a Terra em um satélite tal como um ônibus espacial Isso se deve ao fato de a atração gravitational da Terra ser tão pequena a ponto de poder ser desprezada 1220 Estrelas de nêutrons como a que se localiza no centro da Nebulosa do Caranguejo têm aproximadamente a mesma massa que nosso Sol mas um diâmetro muito menor do que o Sol Se você pesasse 675 N na Terra qual seria o seu peso na superfície de uma estrela de nêutrons que possuísse a mesma massa de nosso Sol e um diâmetro de 20 km 1221 Usandose uma balança de Cavendish para a medida da constante gravitacional G verificouse que uma esfera uniforme de 0400 kg atrai outra esfera uniforme de 000300 kg com uma força igual a 80 1010 N quando a distância entre os centros destas esferas é igual a 00100 m A aceleração da gravidade na superfície da Terra é igual a 980 ms2 e o raio da Terra é igual a 6380 km Calcule a massa da Terra usando esses dados 1222 Explorando Europa Há fortes indícios de que Europa um satélite de Júpiter tenha um oceano líquido sob a superfície de gelo Muitos cientistas acham que deveríamos enviar um módulo espacial para lá em busca de vida Antes de lançálo deveríamos testar o módulo sob as condições de gravidade na superfície de Europa Um modo de fazer isso é colocar o módulo na extremidade de um braço rotativo em um satélite orbitando ao redor da Terra Se o braço possuir 425 m de comprimento e girar ao redor de uma extremidade em que velocidade angular em rpm ele deveria girar para que a aceleração do módulo espacial fosse a mesma que a aceleração da gravidade na superfície de Europa A massa de Europa é 48 1022 kg e seu diâmetro é 3138 km Seção 123 Energia potencial gravitacional 1223 O asteroide Dactyl descoberto em 1993 possui um raio de apenas 700 m e massa aproximadamente igual a 36 1012 kg Use os resultados do Exemplo 125 Seção 123 para calcular a velocidade de escape para um objeto na superfície de Dactyl Poderia uma pessoa atingir essa velocidade apenas caminhando 1224 Massa de um cometa Em 4 de julho de 2005 a espaçonave Deep Impact da NASA lançou um projétil sobre a superfície do Cometa Tempel 1 Esse cometa tem um diâmetro de cerca de 90 km Observações dos fragmentos provocados pelo impacto na superfície revelaram a liberação de poeira do cometa com uma velocidade bastante reduzida de cerca de 10 ms a Supondo uma forma esférica qual é a massa desse cometa Sugestão Veja o Exemplo 125 na Seção 123 b A que distância do centro do cometa estará um fragmento quando houver perdido i 900 de sua energia cinética inicial na superfície e ii toda a energia cinética que possuía na superfície 1225 Use os resultados do Exemplo 125 Seção 123 para calcular a velocidade de escape para uma espaçonave sair a da superfície de Marte b da superfície de Júpiter Use dados do Apêndice F c Por que a velocidade de escape não depende da massa da espaçonave 1226 Dez dias após seu lançamento para Marte em dezembro de 1998 a espaçonave Mars Climate Orbiter massa igual a 629 kg estava a uma distância de 287 105 km da Terra e se deslocava com velocidade igual a 120 104 kmh em relação à Terra Nesse momento qual era a a energia cinética da espaçonave em relação à Terra e b a energia potencial gravitacional do sistema espaçonaveTerra Seção 124 Movimento de satélites 1227 Qual deve ser a velocidade orbital de um satélite que descreve uma órbita circular de raio igual a 780 km acima da superfície terrestre 1228 Missão Aura Em 15 de julho de 2004 a NASA lançou a espaçonave Aura para estudar o clima e a atmosfera da Terra Esse satélite foi colocado em uma órbita 705 km acima da superfície da Terra Suponha uma órbita circular a Quantas horas leva para esse satélite completar uma órbita b Com que velocidade em quilômetros a espaçonave Aura está se movendo 1229 Suponha que a órbita da Terra ao redor do Sol seja circular Use o raio orbital e o período orbital da Terra fornecidos no Apêndice F para calcular a massa do Sol 1230 Estação Espacial Internacional International Space Station A Estação Espacial Internacional completa 1565 revoluções por dia em sua órbita ao redor da Terra Supondo uma órbita circular a que altura acima da Terra se encontra esse satélite 1231 Deimos uma das luas de Marte possui cerca de 12 km de diâmetro e 20 1015 kg de massa Suponha que você tenha sido abandonado sozinho em Deimos e queira jogar beisebol com você mesmo Você seria o arremassador e o rebatedor ao mesmo tempo a Com que velocidade você teria de arremessar uma bola de beisebol para que ela entrasse em órbita circular um pouco acima da superfície e retornasse a você para que pudesse rebatêla Você acha que poderia realmente arremessar a bola a essa velocidade b Quanto tempo em horas depois de arremessar a bola você deveria se preparar para rebatêla Haveria muita ação nesse jogo de beisebol Seção 125 As leis de Kepler e o movimento de planetas 1232 Planeta Vulcano Suponha que houvesse sido descoberto um planeta entre o Sol e Mercúrio com uma órbita circular de raio igual a 23 do raio orbital médio de Mercúrio Qual seria o período orbital desse planeta Antigamente acreditavase que esse planeta existisse para explicar a precessão da órbita de Mercúrio Chegouse mesmo a batizálo de Vulcano embora hoje em dia não se tenha nenhuma evidência de que ele realmente exista A precessão de Mercúrio é explicada pela relatividade geral 1233 A estrela Rho1 Cancri está a uma distância de 57 anosluz da Terra e possui massa igual a 085 da massa do Sol Verificouse que existe um planeta descrevendo uma órbita circular em torno de Rho1 Cancri com raio igual a 011 do raio da órbita da Terra em torno do Sol a Qual é a velocidade orbital e b o período orbital do planeta de Rho1 Cancri 30 FÍSICA II 1234 Em março de 2006 foram descobertos dois pequenos satélites orbitando Plutão um deles a uma distância de 48000 km e o outro a 64000 km Já se sabia que Plutão possuía um grande satélite Caronte orbitando a 19600 km com um período orbital de 639 dias Supondo que os satélites não se afetem um ao outro encontre os períodos orbitais dos dois satélites sem usar a massa de Plutão 1235 a Use a Figura 1219 para mostrar que a distância entre o Sol e um planeta no periélio é igual a 1 ea a distância entre o Sol e um planeta no afélio é igual a 1 ea e portanto a soma dessas duas distâncias é igual a 2a b Plutão é chamado de planeta externo porém durante o periélio em 1989 ele estava quase 100 milhões de quilômetros mais perto do Sol do que Netuno Os semieixos maiores das órbitas de Plutão e de Netuno são respectivamente 592 1012 m e 450 1012 m e as respectivas excentricidades são 0248 e 0010 Ache a menor distância entre o Sol e Plutão e a maior distância entre o Sol e Netuno c Depois de quantos anos do periélio de Plutão em 1989 Plutão estará novamente no periélio 1236 Júpiter quente Em 2004 astrônomos relataram a descoberta de um planeta tão grande quanto Júpiter orbitando muito perto da estrela HD 179949 daí o termo Júpiter quente A órbita é exatamente a distância de Mercúrio a nosso Sol e o planeta leva apenas 309 dias para completar uma órbita suponha que a órbita seja circular a Qual é a massa da estrela Dê a sua resposta em quilogramas e como um múltiplo da massa de nosso Sol b Qual a velocidade em kms com que esse planeta se move 1237 A espaçonave Helios B possuía uma velocidade de 71 kms quando ela estava a 43 107 km do Sol a Prove que ela não estava em uma órbita circular em torno do Sol b Prove que sua órbita em torno do Sol era fechada e portanto elíptica Seção 126 Distribuição esférica de massa 1238 Uma casca esférica uniforme de massa igual a 1000 kg possui um raio de 50 m a Ache a força gravitacional que essa casca exerce sobre uma massa pontual de 20 kg colocada nas seguintes distâncias do centro da casca i 501 m ii 499 m iii 272 m b Desenhe um gráfico qualitativo do módulo da força gravitacional que essa esfera exerce sobre uma massa pontual m em função da distância r de m do centro da esfera Inclua a região de r 0 a r 1239 Uma esfera sólida uniforme de massa igual a 1000 kg possui um raio de 50 m a Ache a força gravitacional que essa esfera exerce sobre uma massa pontual de 20 kg colocada nas seguintes distâncias do centro da esfera i 501 m e ii 250 m b Desenhe um gráfico qualitativo do módulo da força gravitacional que essa esfera exerce sobre uma massa pontual m em função da distância r de m do centro da esfera Inclua a região de r 0 a r 1240 Uma barra delgada uniforme possui massa M e comprimento L Uma pequena esfera uniforme de massa m é situada a uma distância x de uma das extremidades da barra ao longo do eixo da barra Figura 1234 a Calcule a energia potencial gravitacional do sistema barraesfera Considere a energia potencial gravitacional igual a zero quando a distância entre a barra e a esfera for igual ao infinito Mostre que o resultado se reduz ao esperado quando x for muito maior do que L Sugestão Use o desenvolvimento em série de potências da função ln1 x indicado no Apêndice B b Use a relação Fx dUdx para achar o módu Figura 1234 Exercício 1240 e Problema 1284 1241 Considere o corpo em forma de anel indicado na Figura 1235 Uma partícula de massa m é colocada a uma distância r do centro do anel ao longo de seu eixo e perpendicularmente ao seu plano a Calcule a energia potencial gravitacional U desse sistema Considere a energia potencial gravitacional igual a zero quando os dois objetos estiverem muito distantes b Mostre que o resultado da parte a se reduz ao esperado quando x for muito maior do que o raio a do anel c Use a relação Fx dUdx para achar o módulo e a direção da força gravitacional exercida pelo anel sobre a partícula d Mostre que o resultado da parte c se reduz ao esperado quando x for muito maior do que a e Quais são os valores de U e de Fx quando x 0 Explique por que esses resultados fazem sentido Figura 1235 Exercício 1241 e Problema 1283 Seção 127 Peso aparente e rotação da Terra 1242 O peso do Papai Noel no Pólo Norte determinado pela leitura de uma balança de molas é igual a 875 N Qual seria a leitura do peso dele nessa balança no equador supondo que a Terra fosse esfericamente simétrica 1243 A aceleração da gravidade no pólo norte de Netuno é aproximadamente igual a 107 ms2 Netuno possui massa igual a 10 1026 kg e raio igual a 25 104 km e gira uma vez em torno de seu eixo em 16 h a Qual é a força gravitacional sobre um objeto de 50 kg no pólo norte de Netuno b Qual é o peso aparente do mesmo objeto no equador de Netuno Note que a superfície de Netuno é gasosa e não sólida de modo que é impossível ficar em pé sobre ela Seção 128 Buraco negro 1244 Miniburacos negros Os cosmólogos especulam que buracos negros do tamanho de um próton poderiam ter se formado durante os primeiros dias do Big Bang quando o universo teve início Se tomarmos o diâmetro de um próton como 10 1015 m qual seria a massa de um miniburaco negro 1245 A que fração do raio atual o raio da Terra deveria ser reduzido para que ela se tornasse um buraco negro 1246 a Mostre que um buraco negro atrai um objeto de massa m com uma força igual a mc2Rs2r2 onde r é a distância entre o objeto e o centro do buraco negro b Calcule o módulo da força gravitational exercida por um buraco negro que possua o raio de Schwarzschild igual a 140 mm sobre um corpo de 50 kg situado a uma distância de 3000 km do buraco negro c Qual é a massa desse buraco negro 1247 No núcleo da Via Láctea Os astrônomos observaram um objeto pequeno com massa elevada no centro de nossa galáxia a Via Láctea veja Seção 128 Giram em torno desse objeto materiais distribuídos ao longo de um anel o diâmetro desse anel é aproximadamente igual a 15 anosluz e sua velocidade orbital é aproximadamente igual a 200 kms a Determine a massa desse objeto Dê a resposta em quilogramas e em massas solares a massa solar é uma unidade de massa igual à massa do Sol b Observações de estrelas bem como teorias das estruturas estelares sugerem que é impossível que uma única estrela possua massa maior do que 50 massas solares Esse objeto com massa elevada seria constituído por uma única estrela c Muitos astrônomos acreditam que esse objeto no centro da Via Láctea seja um buraco negro Caso seja qual deveria ser o seu raio de Schwarzschild Um buraco negro desse tamanho caberia no interior da órbita da Terra em torno do Sol 1248 Em 2005 foi anunciada a descoberta de um grande buraco negro na galáxia Markarian 766 Esse buraco negro possuía blocos de matéria completando uma órbita a cada 27 horas e movendose a 30000 kms a A que distância do centro do buraco negro estão esses blocos b Qual é a massa desse buraco negro supondo órbitas circulares Dê a resposta em quilogramas e como um múltiplo da massa do nosso Sol c Qual é o raio do horizonte de eventos desse buraco negro Problemas 1249 Três esferas uniformes estão fixadas nas posições indicadas na Figura 1236 a Determine o módulo a direção e o sentido da força sobre uma partícula de 00150 kg situada no ponto P b Se essas esferas estivessem nas profundezas do espaço sideral e uma partícula de 00150 kg fosse libertada do repouso a 300 m da origem ao longo de uma reta a 45º abaixo do eixo Ox qual seria a velocidade da partícula quando ela atingisse a origem Figura 1236 Problema 1249 1250 Uma esfera uniforme de massa igual a 600 kg é mantida fixa com seu centro na origem e uma segunda esfera uniforme de massa igual a 800 kg é mantida fixa com seu centro no ponto x 0 y 30 m a Determine o módulo a direção e o sentido da força gravitacional resultante produzida por essas esferas sobre uma terceira esfera uniforme com massa igual a 0500 kg situada no ponto x 40 m y 0 b Em que ponto sem ser o infinito a terceira esfera deve ser colocada para que a força gravitacional resultante que atua sobre ela seja igual a zero 1251 a Mostre que a força gravitacional exercida pelas duas grandes estrelas do Exemplo 123 Seção 121 sobre a estrela menor não é dirigida para o ponto situado no meio da distância entre as estrelas maiores b Suponha que as duas estrelas maiores constituam um único corpo rígido como se estivessem ligadas por uma haste de massa desprezível Calcule o torque exercido pela estrela pequena sobre esse corpo rígido em relação a um pivô situado no seu centro de massa c Explique como o resultado da parte b mostra que o centro de massa não coincide com o centro de gravidade Por que não há essa coincidência 1252 Em um dado instante a Terra a Lua e uma espaçonave de massa igual a 1250 kg ocupam os vértices de um triângulo eqüilátero de lado igual a 384 108 km a Determine o módulo a direção e o sentido da força gravitacional resultante exercida pela Terra e pela Lua sobre a espaçonave Descreva a direção em termos do ângulo a partir da linha que liga a Terra com a espaçonave Faça um diagrama mostrando a Terra a Lua a espaçonave e o vetor força b Qual seria o trabalho mínimo que você deveria realizar para afastar a espaçonave até uma distância infinita da Terra e da Lua Despreze os efeitos gravitacionais produzidos pelo Sol e pelos outros planetas 1253 Realizase uma experiência nas profundezas do espaço sideral com duas esferas uniformes de mesmo raio uma com massa igual a 250 kg e a outra com massa igual a 1000 kg As esferas possuem raios de mesmo tamanho r 020 m e são liberadas a partir do repouso com seus centros a 400 m de distância Elas aceleram uma ao encontro da outra em virtude da atração gravitacional entre elas Despreze outras forças gravitacionais além da existente entre as esferas a Explique por que existe conservação do momento linear b Quando a distância entre seus centros for igual a 200 m calcule i a velocidade de cada esfera e ii o módulo da velocidade relativa da aproximação entre as duas esferas c Qual é a distância entre o ponto ocupado pelo centro da esfera de 250 kg e o ponto no qual as superfícies das duas esferas colidem 1254 Suponha que a órbita da Lua em torno da Terra seja circular A partir do período orbital de 273 dias calcule a distância da Lua ao centro da Terra Suponha que o movimento da Lua seja determinado unicamente pela força gravitacional que a Terra exerce sobre ela e use a massa da Terra indicada no Apêndice F 1255 Satélites geossíncronos Muitos satélites se movem em um círculo no plano equatorial da Terra Eles estão a uma altura tal que sempre permanecem sobre um mesmo ponto da Terra a Ache a altura desses satélites acima da superfície terrestre Esse tipo de órbita é denominado geossíncrona b Faça um diagrama para mostrar que um receptor a uma latitude norte superior a 813º N não pode receber sinais de rádio emitidos por esse tipo de satélite 1256 Um módulo espacial de massa igual a 12500 kg está em uma órbita circular 575 105 sobre a superfície de um planeta O período da órbita é 5800 s Os astronautas no módulo medem o diâmetro do planeta e obtêm 960 106 O módulo espacial pousa no pólo norte do planeta Qual é o peso de um astronauta de 856 kg ao descer à superfície do planeta 1257 Qual é a velocidade de escape de um asteroide com diâmetro de 300 km e com uma densidade igual a 2500 kgm3 1258 a Os asteroides possuem densidades da ordem de 2500 kgm3 e raios variando de 470 km até menos do que um quilômetro Supondo que o asteroide possua uma distribuição de massa com simetria esférica estime o raio do maior asteroide do qual você poderia escapar simplesmente pulando da superfície dele 32 FÍSICA II Sugestão Você pode estimar a velocidade máxima do seu pulo relacionandoa à altura máxima que você atinge quando pula na superfície terrestre b Europa uma das quatro maiores luas de Júpiter possui um raio igual a 1570 km A aceleração da gravidade em sua superfície é igual a 133 ms2 Calcule sua densidade média 1259 a Suponha que você esteja no equador da Terra e observe um satélite passando bem em cima de sua cabeça e movendose de oeste para leste no céu Exatamente 120 horas depois você vê esse satélite sobre sua cabeça outra vez A que distância da superfície da Terra está a órbita do satélite b Você vê outro satélite bem em cima de sua cabeça e seguindo de leste para oeste Esse satélite está novamente sobre sua cabeça em 120 horas A que distância da superfície da Terra está a órbita desse satélite 1260 O Planeta X gira do mesmo modo que a Terra ao redor de um eixo que passa por seus pólos norte e sul e é perfeitamente esférico Um astronauta que pesa 9430 N na Terra pesa 9150 N no pólo norte do Planeta X e apenas 8500 N em seu equador A distância do pólo norte ao equador é 18850 km medidos ao longo da superfície do Planeta X a Qual a duração do dia no Planeta X b Se um satélite de 45000 kg for colocado em uma órbita circular 2000 km acima da superfície do Planeta X qual será o seu período orbital 1261 Existem duas equações a partir das quais você pode calcular uma variação da energia potencial gravitacional U do sistema constituído por um corpo de massa m e a Terra Uma delas é U mgy Equação 72 Física I A outra é U GmTmrr Equação 129 Como mostramos na Seção 123 a primeira equação é correta somente quando a força gravitacional for constante ao longo da variação de altura Δy A segunda é sempre correta Na realidade a força gravitacional nunca é exatamente constante ao longo de qualquer variação de altura porém quando a variação for pequena podemos desprezála Calcule a diferença de U usando as duas fórmulas para uma diferença de altura h acima da superfície terrestre e ache o valor de h para o qual a Equação 72 fornece um erro de 1 Expresse esse valor de h como uma fração do raio da Terra e obtenha também seu valor numérico 1262 A sua espaçonave o Andarilho Errante pousa no misterioso planeta Mongo Como engenheiro e cientistachefe você efetua as seguintes medidas uma pedra de massa igual a 250 kg jogada para cima a partir do solo retorna ao solo em 80 s a circunferência de Mongo no equador é 20 105 e não existe atmosfera significativa em Mongo O comandante da nave Capitão Confusão pede as seguintes informações a Qual é a massa de Mongo b Se o Andarilho Errante entrar em uma órbita circular 30000 km acima da superfície de Mongo quantas horas a nave levará para completar uma órbita 1263 Calcule a diferença percentual entre o seu peso em Sacramento perto do nível do mar e no topo do Monte Everest 8800 m acima do nível do mar 1264 No Exemplo 125 Seção 123 desprezamos os efeitos gravitacionais da Lua sobre a espaçonave que se deslocava entre a Terra e a Lua Na realidade devemos incluir também o efeito da Lua sobre a energia potencial gravitacional Para este problema despreze o movimento da Terra e da Lua a Chamando de RL o raio da Lua e de RT1 a distância entre a Terra e a Lua ache a energia potencial gravitacional do sistema partículaTerra e do sistema partículaLua quando uma partícula de massa m está a uma distância r do centro da Terra Considere a energia potencial gravitacional igual a zero quando a distância entre os corpos for infinita b Existe um ponto na linha que une a Terra com a Lua para o qual a força gravitacional resultante é igual a zero Use a expressão deduzida na parte a e dados do Apêndice F para calcular a distância entre este ponto e o centro da Terra Com que velocidade deve uma espaçonave ser lançada da superfície da Terra para que ela consiga apenas atingir esse ponto sem ir além c Caso uma espaçonave fosse lançada da superfície da Terra em direção à Lua com velocidade igual a 112 kms com que velocidade ela atingiria a superfície da Lua 1265 Uma espaçonave sem tripulação descreve uma órbita circular em torno da Lua observando a superfície da Lua de uma altura de 500 km ver o Apêndice F Para surpresa dos cientistas na Terra devido a uma falha elétrica um dos motores da espaçonave deixa de funcionar fazendo sua velocidade diminuir 200 ms Caso nada seja feito para corrigir sua órbita com que velocidade em kmh a espaçonave atingiria a superfície da Lua 1266 Qual seria a duração de um dia isto é o tempo necessário para a Terra completar uma rotação em torno do seu eixo se a taxa de rotação da Terra fosse tal que g 0 no equador 1267 Martelo em queda Um martelo com massa m é largado de uma altura h acima da superfície da Terra Essa altura não é necessariamente pequena em comparação ao raio da Terra RT Desprezando a resistência do ar deduza uma expressão para a velocidade v do martelo quando ele atinge a superfície da Terra Essa expressão deve envolver h RT e mT a massa da Terra 1268 a Calcule o trabalho necessário para lançar uma espaçonave de massa m da superfície da Terra massa mT e raio RT e colocála em uma órbita terrestre baixa isto é uma órbita cuja altura acima da superfície da Terra seja menor do que RT Como exemplo a Estação Espacial Internacional está em uma órbita terrestre baixa a uma altura de 400 km que é muito menor do que RT 6380 km Despreze a energia cinética que a espaçonave possui na superfície da Terra em virtude da rotação da Terra b Calcule o trabalho adicional mínimo necessário para fazer a espaçonave se deslocar da órbita terrestre até uma distância muito grande da Terra Despreze os efeitos gravitaçãois do Sol da Lua e dos outros planetas c Justifique a seguinte afirmação em termos de energia uma órbita terrestre baixa está na metade da distância até a borda do universo 1269 Desejamos lançar uma espaçonave da superfície da Terra de modo que ela também escape do sistema solar a Calcule a velocidade relativa ao centro da Terra com a qual ela deve ser lançada Considere os efeitos gravitaçãois do Sol e da Terra e inclua o efeito da velocidade orbital da Terra mas despreze a resistência do ar b A rotação da Terra pode auxiliar a atingir esta velocidade de escape Calcule a velocidade que a espaçonave deve possuir em relação à superfície da Terra se a espaçonave for lançada da Flórida no ponto indicado na Figura 1237 A rotação da Terra em torno do seu eixo e seu movimento orbital em torno do Sol possuem o mesmo sentido de rotação Em Cabo Canaveral um lançamento ocorre na latitude de 285 ao norte do equador c A European Space Agency ESA utiliza uma plataforma de lançamento na Guiana Francesa imediatamente ao norte do Brasil situada a 515 ao norte do equador Com que velocidade em relação à superfície da Terra deve uma espaçonave ser lançada da plataforma de lançamento na Guiana Francesa para que ela escape do sistema solar Capítulo 12 Gravitação 33 Figura 1237 Problema 1269 1270 Gravidade no interior da Terra Ache a força gravitacional que a Terra exerce sobre uma massa de 100 kg se ela for colocada nos seguintes locais Consulte a Figura 129 e suponha uma densidade constante em todas as regiões interiores manto núcleo externo núcleo interno mas não a mesma densidade em todas essas regiões Use o gráfico para estimar a densidade média de cada região a Na superfície da Terra b na superfície externa do núcleo externo liquefeito c na superfície do núcleo interno sólido d no centro da Terra 1271 Lacunas de Kirkwood Centenas de milhares de asteroides giram em torno do Sol no interior do cinturão de asteroides que se estende desde uma distância do Sol de 3 108 km até cerca de 5 108 km a Ache o período orbital em anos para i um asteroid na parte interna do cinturão e ii um asteroide na parte externa do cinturão Considere órbitas circulares b Em 1867 o astrônomo americano Daniel Kirkwood notou diversas lacunas na continuidade do cinturão no interior das quais existem relativamente poucos asteroides Agora sabemos que essas lacunas de Kirkwood são causadas pela atração gravitacional de Júpiter o maior planeta do sistema solar que completa uma volta em torno do Sol a cada 1186 anos Como exemplo se o asteroide possuísse um período orbital igual à metade do período de Júpiter 593 anos cada órbita estaria próxima da de Júpiter e sofreria uma forte atração gravitacional deste planeta Essa atração atuando continuamente em órbitas vizinhas poderia fazer alguns asteroides saírem da lacuna de Kirkwood Use essa hipótese para determinar o raio da órbita da lacuna de Kirkwood c Uma de diversas outras lacunas de Kirkwood surgiu a uma distância do Sol para a qual o período orbital é igual a 0400 do período de Júpiter Explique por que ocorre essa lacuna e calcule o raio dessa lacuna de Kirkwood 1272 Quando um satélite descreve uma óritba suficientemente baixa ele sofre arraste do ar da atmosfera terrestre Como a força de arraste do ar produz um trabalho negativo a força de arraste do ar possui sentido contrário ao do movimento a energia mecânica diminui De acordo com a Equação 1213 quando E diminui tornase mais negativa o raio r da órbita diminui Se o arraste do ar for suficientemente pequeno a órbita pode ser considerada circular com uma diminuição contínua do raio a De acordo com a Equação 1210 quando o raio r de uma órbita circular diminui a velocidade orbital v do satélite aumenta Como você pode conciliar esse resultado com o fato de que a energia mecânica diminui Sugestão É a força de arraste do ar a única força que realiza trabalho sobre o satélite quando o raio da órbita diminui b Devido à força de arraste do ar o raio da órbita circular diminui de r para r Δr onde o valor positivo r é muito menor do que Δr A massa do satélite é igual a m Mostre que o aumento da velocidade orbital é dado por Δv Δr2 GmTr3 que a variação da energia cinética é dada por ΔK GmTm2r2 Δr que a variação da energia potencial gravitacional é dada por ΔU 2ΔK GmTmr2 Δr e que a força de arraste do ar produz um trabalho dado por W GmTm2r2 Δr Interprete esses resultados com base em seus comentários da parte a c Um satélite com massa igual a 3000 kg está inicialmente em uma órbita circular a 300 km acima da superfície da Terra Sua altura diminui para 250 km graças à força de arraste do ar Calcule a velocidade orbital inicial o aumento da velocidade orbital a energia mecânica inicial a variação da energia cinética a variação da energia potencial gravitacional a variação da energia mecânica e o trabalho realizado pela força de arraste do ar d Um satélite passa a se mover em uma altura tão baixa que ele se queima e seus restos se espalham na superfície da Terra O que ocorreu com a sua energia mecânica inicial 1273 Estrela binária massas iguais Duas estrelas idênticas cada uma com massa MT giram em torno do centro de massa das duas estrelas Cada órbita é circular e possui raio R de modo que as duas estrelas estão sempre em lados opostos do círculo a Ache a força gravitacional de uma estrela sobre a outra b Ache a velocidade orbital de cada estrela e o período da órbita c Qual deve ser a energia necessária para separar as duas estrelas até uma distância infinita 1274 Estrela binária massas diferentes Duas estrelas uma com massa M1 e a outra com massa M2 descrevem uma órbita circular em torno do centro de massa delas A estrela de massa M1 possui uma órbita com raio R1 e a estrela de massa M2 possui uma órbita com raio R2 a Mostre que a razão entre os raios orbitais das duas estrelas é inversamente proporcional à razão entre suas massas ou seja mostre que R1R2 M2M1 b Explique por que as duas estrelas possuem o mesmo período orbital e mostre que o período T é dado por c As duas estrelas de um certo sistema de estrela binária descrevem órbitas circulares A primeira estrela Alfa possui velocidade orbital igual a 360 kms A outra estrela Beta possui velocidade orbital igual a 120 kms O período orbital é igual a 137 d Calcule a massa de cada uma das duas estrelas d Presumase que um dos melhores candidatos a buraco negro se encontre no sistema binário denominado A06200090 Os dois corpos desse sistema são uma estrela laranja V616 Monocerotis e um corpo compacto que parece ser um buraco negro Figura 1222 O período orbital do binário A06200090 é igual a 775 horas Estimase que a massa de V616 Monocerotis seja igual a 067 vez a massa do Sol e que a massa do buraco negro seja igual a 38 vezes a massa do Sol Supondo que as órbitas sejam circulares calcule o raio da órbita e a velocidade orbital de cada um desses corpos Compare suas respostas com o raio orbital e com a velocidade da Terra em sua órbita em torno do Sol 1275 Os cometas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol com elevadas excentricidades Se um cometa possui velocidade igual a 20 104 ms quando sua distância ao centro do Sol é igual a 25 1011 m qual é sua velocidade quando sua distância ao centro do Sol é igual a 50 1010 m 1276 À medida que Marte percorre sua órbita elíptica em torno do Sol sua distância mais próxima do centro do Sol no periélio é igual a 2067 1011 m e sua distância máxima ao centro do Sol no afélio é igual a 2492 1011 m Se a velocidade orbital de Marte no afélio é igual a 2198 104 ms qual é sua velocidade orbital no periélio Despreze a influência dos outros planetas 34 FÍSICA II 1277 Considere uma espaçonave percorrendo uma órbita elíptica em torno da Terra Em seu ponto inferior ou perigeu de sua órbita ela está a uma altura de 400 km acima da superfície terrestre em seu ponto superior ou apogeu de sua órbita ela está a uma altura de 4000 km acima da superfície terrestre a Qual é o período da órbita da espaçonave b Usando a conservação do momento angular ache a razão entre a velocidade no perigeu e a velocidade no apogeu c Usando a conservação da energia ache a velocidade no perigeu e a velocidade no apogeu d Desejamos fazer a espaçonave escapar completamente da Terra Se os motores dos foguetes forem acionados durante o perigeu quanto a velocidade deve aumentar para atingir esse objetivo E se os motores forem acionados durante o apogeu Qual é o ponto da órbita mais eficiente para se usar 1278 O planeta Urano possui raio igual a 25560 km e a aceleração da gravidade em sua superfície nos pólos é igual a 111 ms2 Sua lua Miranda descoberta por Kuiper em 1948 descreve uma órbita circular em torno de Urano a uma altura de 104000 km acima da superfície deste planeta Miranda possui massa igual a 66 10¹⁹ kg e um raio igual a 235 km a Calcule a massa de Miranda usando os dados anteriores b Calcule o módulo da aceleração de Miranda em sua órbita em torno de Urano c Calcule a aceleração da gravidade na superfície de Miranda d Suas respostas dos itens b e c significam que um objeto lançado a 1 m acima da superfície de Miranda no lado voltado para Urano cairia para cima em relação a Miranda Explique 1279 Uma espaçonave de 3000 kg descreve uma órbita circular a uma altura de 2000 km acima da superfície de Marte Qual é o trabalho realizado pelos motores da espaçonave para transportála até uma órbita circular com raio igual a 4000 km 1280 Um dos cometas mais brilhantes que apareceram no século XX foi o cometa Hyakutake que passou nas proximidades do Sol em torno de 1996 Estimouse em 30000 anos o período orbital deste cometa Calcule o semieixo maior da órbita desse cometa Compare o resultado com a distância média entre o Sol e Plutão e com a distância da estrela mais próxima do Sol Alfa Centauro situada a uma distância da Terra aproximadamente igual a 43 anosluz 1281 Planetas não são uniformes por dentro Normalmente eles são mais densos no núcleo e sua densidade vai decrescendo de dentro para fora até a superfície Modele um planeta esfericamente simétrico de mesmo raio que a Terra tendo uma densidade que diminui linearmente com a distância a partir do centro Suponha que a densidade seja 150 103 kgm³ no núcleo e 20 103 kg m³ na superfície Qual é a aceleração da gravidade na superfície desse planeta 1282 Um fio uniforme de comprimento L e massa M está curvado em semicírculo Calcule o módulo direção e sentido da força gravitacional que o fio exerce sobre uma partícula de massa m situada no centro da curvatura do semicírculo 1283 Um corpo com forma de anel fino possui raio a e massa M Uma esfera uniforme de raio R e massa m é colocada com seu centro situado a uma distância x à direita do centro do anel sobre a linha que une os centros perpendicular ao plano do anel Figura 1235 Qual é a força gravitacional que a esfera exerce sobre o corpo em forma de anel Mostre que o seu resultado se reduz ao esperado quando x for muito maior do que a 1284 Uma barra uniforme delgada possui comprimento L e massa M Calcule o módulo da força gravitacional que a barra exerce sobre uma partícula de massa m situada ao longo do eixo da barra a uma distância x de uma de suas extremidades Figura 1234 Mostre que o seu resultado se reduz ao esperado quando x for muito maior do que L 1285 Perfuramos um túnel da superfície até o centro da Terra Figura 1225 Como no Exemplo 1210 Seção 126 considere a hipótese bastante irreal de que a densidade da Terra seja constante Com essa aproximação a força gravitacional exercida sobre um objeto de massa m no interior da Terra situado a uma distância r do centro da Terra possui módulo dado por Fs GmTmrRₜ³ como deduzido no Exemplo 1210 e aponta para o centro da Terra a Deduza uma expressão para a energia potencial gravitacional Ur do sistema objetoTerra em função da distância entre o objeto e o centro da Terra Considere a energia potencial gravitacional igual a zero quando o objeto está no centro da Terra b Se um objeto fosse libertado dentro do túnel na superfície terrestre qual seria sua velocidade quando ele atingisse o centro da Terra Problemas desafiadores 1286 a Quando um corpo descreve uma órbita circular de raio r em torno da Terra massa mT o período da órbita é igual a T dado pela Equação 1212 e a velocidade orbital é igual a v dada pela Equação 1210 Mostre que quando o corpo se move em uma órbita circular de raio r Δr sendo Δr r seu novo período da órbita é igual a T ΔT e sua nova velocidade orbital é igual a v Δv onde Δr ΔT e Δv são grandezas positivas e Sugestão Use a expressão 1 xⁿ 1 nx válida para xdl 1 b A Estação Espacial Internacional International Space Station ISS descreve uma órbita aproximadamente circular a uma altura de 39800 km acima da superfície terrestre Uma tripulação de manutenção deverá chegar ao local onde ela se encontra usando um ônibus espacial que também descreve uma órbita circular no mesmo plano da ISS mas a uma altitude de 39810 km A tripulação deve remover um cabo elétrico deteriorado cujo comprimento é igual a 125 m que possui uma das extremidades presa na ISS e a outra extremidade flutua livre no espaço A missão planeja retirar o cabo através da extremidade livre quando o ônibus espacial a ISS e o centro da Terra estiverem alinhados A seguir o cabo seria destacado da ISS quando ele ficasse sob tensão ao ser esticado Quanto tempo depois de a extremidade livre do cabo ficar presa ao ônibus espacial seria necessário para ela se destacar da ISS Dê sua resposta em minutos c Caso falhe a tentativa de prender o cabo no ônibus espacial mostre que a tripulação deverá esperar um tempo t T²ΔT até que ela tenha uma segunda chance Calcule o valor numérico de t e explique se compensaria essa espera 1287 Navegação interplanetária O método mais eficiente para enviar uma espaçonave da Terra a outro planeta consiste em usar uma órbita de transferência de Hohmann Figura 1238 Se a órbita da partida e a órbita do destino forem circulares a órbita de transferência de Hohmann será uma elipse cujo periélio tan gencia a órbita de um dos planetas e cujo afélio tangencia a órbita do outro planeta Os foguetes são acionados brevemente na órbita de partida para colocar a espaçonave na órbita de transferência a seguir a espaçonave viaja até atingir o planeta desejado Depois os foguetes são novamente acionados para colocar a espaçonave na mesma órbita em torno do Sol descrita pelo planeta do destino a Para uma viagem da Terra até Marte qual deve ser a direção e o sentido em que o foguete deve ser disparado na Terra e em Marte no sentido do movimento ou no sentido oposto ao movimento E no caso de uma viagem de Marte até a Terra b Quanto tempo entre os disparos dos foguetes levaria uma viagem de ida da Terra até Marte c Para atingir Marte a partir da Terra o lançamento deve ser cronometrado de modo que Marte deve estar no local exato de sua órbita quando a trajetória da espaçonave tangencia a órbita do planeta em torno do Sol Qual deve ser o ângulo entre a direção do lançamento e a direção da linha que une o Sol com Marte e da linha que une o Sol com a Terra Use dados do Apêndice F Figura 1238 Problema desafiador 1287 1288 Forças de maré nas vizinhanças de um buraco negro Uma astronauta no interior de uma espaçonave que a protege das radiações perigosas descreve uma órbita em torno de um buraco negro a uma distância de 120 km do seu centro O buraco negro possui massa igual a 50 vezes a massa do Sol e um raio de Schwarzschild igual a 150 km A astronauta está posicionada no interior da espaçonave de tal modo que uma de suas orelhas de 0030 kg está 60 cm mais afastada do centro do buraco negro do que o centro de massa da espaçonave e a outra orelha está 60 cm mais próxima a Qual é a tensão entre suas orelhas A astronauta poderia suportar essa força ou seria rasgada por ela Uma vez que o corpo inteiro da astronauta descreve a órbita com a mesma velocidade angular por causa da diferença entre os raios uma das orelhas se move com velocidade maior do que a outra orelha Portanto sua cabeça deverá exercer forças sobre as orelhas para mantêlas na órbita b O centro de massa da sua cabeça está situado no mesmo ponto do seu centro de gravidade Explique 1289 A massa M está uniformemente distribuída ao longo de um disco de raio a Determine o módulo a direção e o sentido da força gravitacional entre o disco e a partícula de massa m localizada a uma distância x acima do centro do disco Figura 1239 O seu resultado se reduz a uma expressão correta quando x assume valores muito elevados Sugestão Divida o disco em anéis finos concêntricos infinitesimais a seguir use a expressão deduzida no Problema 1241 para a força gravitacional de cada anel e integre o resultado para achar a força total Figura 1239 Problema desafiador 1289 1290 A massa M está uniformemente distribuída ao longo de uma linha de comprimento igual a 2L Uma partícula de massa m está localizada a uma distância a acima do centro da linha sobre sua bissetriz ortogonal Ponto P da Figura 1240 Ache os componentes perpendiculares e paralelos à linha da força gravitacional que a linha exerce sobre a partícula O seu resultado se reduz a uma expressão correta quando a assume valores muito elevados Figura 1240 Problema desafiador 1290 MOVIMENTO PERIÓDICO 13 Suponha que você dobre a massa do pêndulo de um relógio inclusive a haste e o peso na extremidade sem alterar suas dimensões O relógio andaria mais depressa ou mais lentamente OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá Como descrever oscilações em termos da amplitude período frequência e frequência angular Como fazer cálculos com movimento harmônico simples MHS um tipo importante de oscilação Como usar conceitos de energia para analisar MHS Como aplicar os conceitos envolvidos em um MHS a diferentes situações físicas Como analisar os movimentos de um pêndulo simples O que é um pêndulo físico e como calcular as propriedades de seu movimento O que determina quão rapidamente uma oscilação chega ao fim Como uma força propulsora aplicada a um oscilador na frequência certa pode provocar uma resposta muito intensa ou ressonância Avibração de um cristal de quartzo em um relógio a oscilação do pêndulo de um relógio de carrilhão as vibrações sonoras produzidas por um clarinete ou pelo tubo de um órgão e as oscilações produzidas pelos pistões no motor de um automóvel são exemplos de movimentos que se repetem indefinidamente Esse tipo de movimento chamado de movimento periódico ou oscilação é o assunto deste capítulo O entendimento do movimento periódico será essencial para os estudos que faremos sobre as ondas o som as correntes elétricas e a luz Um corpo que executa movimento periódico encontrase sempre em uma posição de equilíbrio estável Quando ele é deslocado dessa posição e libertado surge uma força ou um torque que o faz retornar à sua posição de equilíbrio Quando ele atinge esse ponto entretanto pelo fato de haver acumulado energia cinética ele o ultrapassa parando em algum ponto do outro lado e sendo novamente puxado para sua posição de equilíbrio Imagine uma bola rolando para a frente e para trás no interior de um recipiente côncavo ou um pêndulo que oscila de um lado para o outro passando por sua posição de equilíbrio na vertical Neste capítulo concentraremos nossa atenção em dois exemplos simples de sistemas que executam movimentos periódicos o sistema massamola e o pêndulo Também estudaremos por que as oscilações diminuem de intensidade com o tempo e por que algumas oscilações podem se superpor e construir deslocamentos cada vez maiores quando forças periódicas atuam sobre o sistema 131 Causas da oscilação Na Figura 131 vemos um dos sistemas mais simples que podem executar um movimento periódico Um corpo de massa m está em repouso sobre um trilho horizontal sem atrito tal como no caso de um trilho de ar linear de modo que ele pode se mover apenas ao longo do eixo Ox A mola presa ao corpo possui massa desprezível e pode ser comprimida ou esticada A extremidade esquerda da mola é mantida fixa e sua extremidade direita está presa ao corpo A força da mola é a única força horizontal que atua sobre o corpo a força vertical normal sempre anula a força gravitacional y Posição de equilíbrio mola não comprimida nem esticada Mola Figura 131 Um sistema que pode ter movimento periódico É mais simples definir o sistema de coordenadas com a origem O na posição de equilíbrio para a qual a mola não está esticada nem comprimida Então x fornece o componente x do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio e também indica a variação de comprimento da mola O componente x da aceleração ax é dado por ax Fxm A Figura 132 mostra diagramas do corpo livre para as três diferentes posições da mola Quando o corpo é deslocado da posição de equilíbrio da mola a força da mola tende a fazer o corpo voltar para a posição de equilíbrio Chamamos essa força de força restauradora Uma oscilação ocorre somente quando existe uma força restauradora que obriga o sistema a voltar para a sua posição de equilíbrio Vamos analisar como as oscilações ocorrem nesse sistema Quando deslocamos o corpo para a direita até a posição x A e a seguir o libertamos a força resultante e a aceleração são orientadas para a esquerda Figura 132a A velocidade aumenta até o corpo atingir a posição de equilíbrio O Quando o corpo está no ponto O a força resultante que atua sobre ele é igual a zero mas devido ao seu movimento ele ultrapassa a posição de equilíbrio No outro lado da posição de equilíbrio a velocidade do corpo está orientada para a esquerda porém sua aceleração está orientada para a direita Figura 132c conseqüentemente a velocidade diminui até o corpo parar Mostraremos mais adiante que no caso da mola ideal o corpo pára no ponto x A A seguir o corpo acelera para a direita ultrapassa novamente a posição de equilíbrio e pára no ponto x A pronto para repetir todo o processo O corpo está oscilando Caso não existisse atrito nem outra força capaz de remover a energia mecânica do sistema esse movimento se repetiria eternamente a força restauradora obrigaria sempre o corpo a voltar para a sua posição de equilíbrio e todas as vezes ele ultrapassaria essa posição Em cada caso a força pode depender do deslocamento x de diferentes modos Entretanto as oscilações sempre ocorrem quando existe uma força restauradora que obriga o sistema a voltar para a sua posição de equilíbrio Período frequência e frequência angular A seguir definimos alguns termos que serão usados na discussão de todos os tipos de movimentos periódicos A amplitude do movimento designada por A é o módulo máximo do vetor deslocamento do corpo a partir a x 0 o corpo é deslocado para a direita da posição de equilíbrio Fx 0 então ax 0 a mola esticada empurra o corpo para a posição de equilíbrio b x 0 a mola relaxada não exerce força sobre o corpo então o corpo possui aceleração zero c x 0 o corpo é deslocado para a esquerda da posição de equilíbrio Fx 0 então ax 0 a mola comprimida empurra o corpo para a posição de equilíbrio Figura 132 Exemplo de um movimento periódico Quando o corpo é deslocado de sua posição de equilíbrio em x 0 a mola exerce uma força restauradora que o leva de volta à posição de equilíbrio da posição de equilíbrio isto é o valor máximo de x Ela é sempre positiva Quando a mola da Figura 132 for ideal a amplitude total do movimento será 2A A unidade SI de A é o metro O ciclo é uma oscilação completa digamos de A até A e retornando ao ponto A ou de O até A de volta a O seguindo até A e retornando a O Note que o movimento de uma extremidade a outra digamos de A até A constitui um hemiciclo e não um ciclo completo O período T é o tempo correspondente a um ciclo Ele é sempre positivo A unidade SI é o segundo porém algumas vezes ele é expresso em segundos por ciclo A frequência f é o número de ciclos na unidade de tempo Ela é sempre positiva A unidade SI de frequência é o hertz 1 hertz 1 Hz 1 ciclos 1 s1 Essa unidade foi assim designada em homenagem ao físico alemão Heinrich Hertz 18571894 um pioneiro nas investigações das ondas eletromagnéticas A frequência angular ω é 2 π vezes a frequência ω 2πf Em breve veremos porque ω é uma grandeza útil Ela representa uma taxa de variação de uma grandeza angular não necessariamente relacionada ao movimento de rotação que é sempre medida em radianos portanto ela possui unidades de rads Uma vez que f é em ciclos podemos interpretar o fator 2π como se tivesse unidade de radciclo Pelas definições do período T e da frequência f vemos que cada uma dessas grandezas é o inverso da outra f 1T T 1f relações entre frequência e período 131 Além disso da definição de ω ω 2πf 2πT frequência angular 132 Exemplo 131 Um transdutor ultrasônico uma espécie de altofalante usado para diagnóstico médico oscila com uma frequência igual a 67 MHz 67 x 106 Hz Quanto dura uma oscilação e qual é a frequência angular SOLUÇÃO IDENTIFICAR as variáveis procuradas são o período T e a frequência angular ω PREPARAR temos a frequência f portanto podemos achar as variáveis que desejamos usando as equações 131 e 132 EXECUTAR usando as equações 131 e 132 obtemos T 1f 167 x 106 Hz 15 x 107 s 015 μs ω 2πf 2π67 x 106 Hz 2π radciclo67 x 106 ciclos 42 x 107 rads AVALIAR tratase de uma vibração muito rápida com valores elevados de f e ω e um valor pequeno para T Em uma vibração lenta f e ω são pequenos e T é elevado Teste sua compreensão da Seção 131 Um corpo como o mostrado na Figura 132 oscila para a frente e para trás Para cada um dos seguintes valores da velocidade vx e da aceleração ax do corpo ao longo do eixo Ox diga se o deslocamento x é positivo negativo ou zero a vx 0 e ax 0 b vx 0 e ax 0 c vx 0 e ax 0 d vx 0 e ax 0 e vx 0 e ax 0 f vx 0 e ax 0 132 Movimento harmônico simples O tipo mais simples de oscilação ocorre quando a força restauradora Fx é diretamente proporcional ao deslocamento x da posição de equilíbrio Isso ocorre quando a mola das figuras 131 e 132 é ideal ou seja quando ela obedece à lei de Hooke A constante de proporcionalidade k entre Fx e x é a constante da força ou constante k da mola Talvez você queira rever a lei de Hooke e a definição da constante da mola na Seção 63 Nos dois lados da posição de equilíbrio Fx e x possuem sempre sinais opostos Na Seção 63 representamos a força que atua sobre a mola por Fx kx O componente x da força que a mola exerce sobre o corpo possui esse mesmo módulo porém com sinal contrário logo o componente x da força Fx que a mola exerce sobre o corpo é Fx kx força restauradora exercida pela mola ideal 133 Essa relação fornece corretamente o módulo e o sinal da força independentemente do valor de x ser positivo negativo ou nulo A constante da mola k é sempre positiva e suas unidades são Nm ou kgs2 Supondo que não exista atrito a Equação 133 fornece a força resultante sobre o corpo Quando a força restauradora é diretamente proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio conforme indicado na Equação 133 a oscilação denominase movimento harmônico simples abreviado por MHS A aceleração ax d2xdt2 Fx m de um corpo que executa um MHS é dada por ax d2xdt2 km x movimento harmônico simples 134 O sinal negativo indica que a aceleração possui sempre sentido contrário ao do deslocamento Essa aceleração não é constante portanto nem pense em usar as fórmulas deduzidas no Capítulo 2 Física I para o movimento com aceleração constante Brevemente mostraremos como resolver essa equação para encontrar o deslocamento x em função do tempo Um corpo que executa um movimento harmônico simples constitui um oscilador harmônico Força restauradora Fx x 0 Fx 0 Deslocamento x x 0 Fx 0 A força restauradora exercida por uma mola ideal é diretamente proporcional ao deslocamento lei de Hooke Fx kx o gráfico de Fx em função de x é uma linha reta Figura 133 Uma mola ideal exerce uma força restauradora que obedece à lei de Hooke Fx kx Uma oscilação com uma força restauradora desse tipo é chamada de movimento harmônico simples Caso ideal a força restauradora obedece à lei de Hooke Fx kx então o gráfico Fx em função de x é uma linha reta Força restauradora Fx Caso real típico a força restauradora não segue a lei de Hooke Deslocamento x entretanto Fx kx pode ser uma boa aproximação para a força se o deslocamento x for suficientemente pequeno Figura 134 Em muitas oscilações reais a lei de Hooke se aplica desde que o corpo não se afaste muito da posição de equilíbrio Em tal caso as oscilações de pequena amplitude podem ser consideradas aproximadamente como harmônicas simples Por que o movimento harmônico simples é tão importante Não se esqueça de que nem todos os movimentos periódicos constituem um movimento harmônico simples em movimentos periódicos em geral a força restauradora depende do deslocamento de modo mais complicado do que o indicado na Equação 133 Contudo em muitos sistemas a força restauradora é aproximadamente proporcional ao deslocamento no caso de ele ser suficientemente pequeno Figura 134 Ou seja no caso de uma amplitude suficientemente pequena as oscilações do sistema constituem aproximadamente um movimento harmônico simples que pode ser descrito pela Equação 134 Logo podemos notar que o MHS é um modelo simples para descrever diversos tipos de movimentos periódicos tais como a vibração de um cristal de quartzo em um relógio o movimento de um diapasão a corrente elétrica em um circuito de corrente alternada e as vibrações dos átomos nas moléculas e nos sólidos Movimento circular e as equações do movimento harmônico simples Para explorar as propriedades do movimento harmônico simples devemos representar a distância x do corpo que oscila em função do tempo xt A segunda derivada dessa função d2xdt2 deve ser igual a km multiplicada pela própria função conforme exigido pela Equação 134 Como já dissemos as fórmulas deduzidas na Seção 24 não servem para este caso porque a aceleração varia constantemente à medida que x varia Em vez disso deduziremos uma expressão para xt usando uma impressionante semelhança entre o MHS e um outro movimento que já estudamos em detalhe A Figura 135a mostra a vista do topo de um disco horizontal de raio A com uma bola presa em sua periferia no ponto Q O disco gira com velocidade angular ω constante dada em rads de modo que a bola gira com movimento circular uniforme Um feixe de luz horizontal ilumina o disco que gira e projeta sua sombra sobre uma tela A sombra do ponto P oscila para a frente e para trás enquanto a bola percorre a circunferência Agora colocamos um corpo na extremidade de uma mola ideal como indicado nas figuras 131 e 132 de modo que o corpo oscile paralelamente à direção do deslocamento da sombra Mostraremos que o movimento desse corpo e o movimento da sombra são idênticos quando a amplitude do movimento do corpo é igual ao raio A do disco e que a frequência angular 2πf do corpo oscilante é igual à velocidade angular ω do disco que gira Ou seja o movimento harmônico simples é a projeção de um movimento circular uniforme sobre um diâmetro do círculo a Aparelho para criar um círculo de referência Tela iluminada vertical Enquanto a bola Q sobre a plataforma giratória se move em movimento circular sua sombra P se desloca para a frente e para trás sobre a tela em movimento harmônico simples Sombra da bola na tela Sombra da bola Bola em plataforma giratória Iluminação Mesa Feixe de luz b Uma representação abstrata do movimento em a Bola se move em movimento circular uniforme Sombra se desloca para a frente e para trás sobre o eixo x em MHS Figura 135 a Relacionando o movimento circular uniforme e o movimento harmônico simples b A sombra da bola se move exatamente como um corpo oscilando em uma mola ideal Podemos verificar essa importante conclusão determinando a aceleração da sombra no ponto P e comparando o resultado com a aceleração de um corpo que executa um MHS dada a Equação 134 O círculo ao longo do qual a bola se move de modo que sua projeção se superpõe à do movimento oscilatório do corpo denominase círculo de referência chamaremos o ponto Q de ponto de referência Consideramos o círculo de referência contido em um plano xy com a origem O no centro do círculo Figura 135b No instante t o vetor OQ que liga a origem ao ponto Q faz um ângulo θ com o sentido positivo do eixo Ox À medida que o ponto Q percorre o círculo de referência com velocidade angular ω constante o vetor OQ gira com a mesma velocidade angular Esse vetor girante denominase fasor Esse termo era usado muito antes do termo phaser ter sido popularizado pelo seriado Jornada nas Estrelas como o nome de uma arma paralisante O método dos fasores é útil em diversas partes da física Utilizaremos fasores ao estudarmos circuitos de corrente alternada no Capítulo 31 Física III e ao analisarmos a interferência da luz nos capítulos 35 e 36 Física IV O componente x do fasor no instante t nada mais é do que a coordenada x do ponto Q x A cos θ 135 a Usando o círculo de referência para determinar a velocidade ao longo do eixo Ox do ponto P b Usando o círculo de referência para determinar a aceleração ao longo do eixo Ox do ponto P Figura 136 A a velocidade e b a aceleração da sombra da bola P veja a figura 135 são os componentes x respectivamente dos vetores velocidade e aceleração da bola Q Essa relação também fornece a coordenada x da sombra P que é a projeção do ponto Q sobre o eixo Ox Portanto a velocidade da sombra P ao longo do eixo Ox é igual ao componente x do vetor velocidade do ponto de referência Q Figura 136a e a aceleração da sombra P ao longo do eixo Ox é igual ao componente x do vetor aceleração do ponto de referência Q Figura 136b Visto que o ponto Q possui movimento circular uniforme o vetor aceleração aQ está sempre orientado para o ponto O Além disso o módulo de aQ é constante e dado pelo quadrado da velocidade angular multiplicado pelo raio do círculo ver a Seção 93 aQ ω2 A 136 A Figura 136b mostra que o componente x de aQ é dado por ax aQ cosθ Combinando esse resultado com as equações 135 e 136 obtemos a aceleração do ponto P na forma ax aQ cosθ ω2 A cosθ ou ax ω2 x 137 138 A aceleração do ponto P é diretamente proporcional ao deslocamento x e possui sempre sentido contrário a ele Essas são precisamente as características básicas do movimento harmônico simples A Equação 138 é exatamente igual à Equação 134 que fornece a aceleração de um movimento harmônico simples desde que a velocidade angular ω do ponto de referência Q esteja relacionada à constante da mola k e à massa m do corpo que oscila por ω2 km ou ω km 139 Temos usado o mesmo símbolo ω para a velocidade angular do ponto de referência Q e para a frequência angular do ponto oscilante P Isso é feito porque essas grandezas são iguais Se o ponto Q executa uma revolução completa no tempo T então o ponto P realiza o ciclo completo da oscilação no mesmo intervalo de tempo portanto T é o período da oscilação Durante o tempo T o ponto Q se move 2π radianos logo sua velocidade angular é ω 2πT Porém esse resultado é exatamente igual à Equação 132 que fornece a frequência angular do ponto P confirmando nossa afirmação acerca da interpretação de ω Essa foi a razão pela qual introduzimos o conceito de frequência angular na Seção 131 essa é a grandeza que estabelece a conexão entre a oscilação e o movimento circular uniforme Logo podemos interpretar novamente a Equação 139 como uma relação para a frequência angular de um corpo de massa m que executa um movimento harmônico simples sobre o qual atua uma força restauradora com uma constante da mola k ω km movimento harmônico simples 1310 Quando você inicia um corpo oscilando em MHS não é você quem escolhe o valor de ω ele é predeterminado pelos valores de k e de m As unidades de k são Nm ou kgs² logo km possui unidades de kgs²kg s² Quando extraímos a raiz quadrada da Equação 1310 obtemos s¹ ou mais apropriadamente rads porque se trata de uma frequência angular lembrese de que radiano não é uma unidade verdadeira De acordo com as equações 131 e 132 a frequência f e o período T são f ω2π 12π km movimento harmônico simples 1311 T 1f 2πω 2π mk movimento harmônico simples 1312 Com a Equação 1312 notamos que para um corpo de massa m maior com maior inércia a aceleração é menor ele se move mais lentamente e leva um tempo maior para completar um ciclo Figura 137 Em contraste quando a mola é mais dura possuindo um valor elevado da constante da mola k a força exercida é maior para a mesma deformação x produzindo aceleração mais elevada velocidade maior e um tempo T menor por ciclo ATENÇÃO Não confunda frequência e frequência angular Você poderá se atrapalhar caso não saiba a diferença entre a frequência f e a frequência angular ω 2πf A frequência informa o número de ciclos por segundo enquanto a frequência angular informa o número de radianos por segundo correspondente ao círculo de referência Ao resolver um problema verifique cuidadosamente se o objetivo é achar f ou ω Período e amplitude no MHS As equações 1311 e 1312 mostram que o período e a frequência do movimento harmônico simples são completamente determinados pela massa m e pela constante da mola k No movimento harmônico simples o período e a frequência não dependem da amplitude A Para dados valores de k e de m o tempo de uma oscilação completa não depende do fato de a amplitude ser pequena ou grande A Equação 133 mostra por que essa conclusão deveria ser esperada Um valor maior de A implica também uma força restauradora maior porque x é maior Isso faz aumentar a velocidade média ao longo de um ciclo completo compensando a distância maior a ser percorrida e resultando no mesmo tempo total Dentes com massa m elevada baixa frequência f 128 Hz Dentes de massa m pequena alta frequência f 4096 Hz Figura 137 Quanto maior a massa m de cada dente do garfo do diapasão menor será a frequência da oscilação f 12π km As vibrações de um diapasão constituem aproximadamente um movimento harmônico simples o que significa que sua frequência não depende de sua amplitude Essa é a razão pela qual o diapasão é usado como padrão para identificar a altura de um som musical Se não fosse por essa característica do movimento harmônico simples seria impossível fazer os relógios mecânicos e eletrônicos que conhecemos funcionarem com precisão ou tocar a maior parte dos instrumentos musicais de modo afinado Quando você encontrar um corpo oscilando com um período que dependa da amplitude a oscilação não corresponderá a um movimento harmônico simples Exemplo 132 FREQUÊNCIA FREQUÊNCIA ANGULAR E PERÍODO NO MHS A extremidade esquerda de uma mola horizontal é mantida fixa Ligamos um dinamômetro na extremidade livre da mola e puxamos para a direita Figura 138a verificamos que a força que estica a mola é proporcional ao deslocamento e que uma força de 60 N produz um deslocamento igual a 0030 m A seguir removemos o dinamômetro e amarramos a extremidade livre a um corpo de 050 kg puxamos o corpo até uma distância de 0020 m o libertamos e observamos o MHS resultante Figura 138b a Calcule a constante da mola b Calcule a frequência a frequência angular e o período da oscilação SOLUÇÃO IDENTIFICAR como a força da mola igual em módulo à força que estica a mola é proporcional ao deslocamento o movimento é harmônico simples PREPARAR encontramos o valor da constante da mola k usando a lei de Hooke Equação 133 e os valores de ω f e T por meio das equações 1310 1311 e 1312 respectivamente EXECUTAR a Quando x 0030 m a força que a mola exerce sobre o dinamômetro é F 60 N Usando a Equação 133 a F 60 N x m x 0 x 0030 m b m 050 kg x x 0 x 0020 m Figura 138 a A força exercida sobre a mola indicada pelo vetor F possui um componente no eixo Ox igual a Fx 60 N A força exercida pela mola possui um componente no eixo Ox é igual a Fx 60 N b Um corpo é preso à mesma mola e pode oscilar livremente k Fxx 60 N0030 m 200 Nm 200 kgs² b Substituindo m 050 kg na Equação 1310 encontramos ω km 200 kgs²050 kg 20 rads A frequência f é f ω2π 20 rads2π radciclo 32 ciclos 32 Hz O período T é o inverso da frequência f T 1f 132 ciclos 031 s O período é geralmente expresso em segundos em vez de segundos por ciclo Figura 139 Gráfico de x em função de t ver Equação 1313 em um movimento harmônico simples No caso mostrado ϕ 0 AVALIAR a amplitude da oscilação é igual a 0020 m que corresponde à deformação inicial da mola quando puxamos o corpo para a direita antes de libertálo Não precisamos usar essa informação para achar a frequência a frequência angular e o período porque em um MHS nenhuma dessas grandezas depende da amplitude Deslocamento velocidade e aceleração no MHS Precisamos achar o deslocamento x em função do tempo para um oscilador harmônico A Equação 134 para um corpo que descreve um movimento harmônico simples ao longo do eixo Ox é idêntica à Equação 138 para a coordenada x de um ponto de referência que descreve um movimento circular uniforme com uma velocidade angular constante dada por ω km Da Equação 135 vemos que x A cos θ descreve a coordenada x em ambas as situações Se em t 0 o fator OQ faz um ângulo ϕ com o sentido positivo do eixo Ox então para qualquer outro instante posterior t esse ângulo é dado por θ ωt ϕ Substituindo na Equação 135 obtemos x A cos ωt ϕ deslocamento no MHS 1313 onde ω km A Figura 139 mostra um gráfico da Equação 1313 para o caso particular ϕ 0 O deslocamento x é uma função periódica do tempo conforme seria de se esperar em um MHS Mediante a relação cos x senα π2 poderíamos também ter escrito a Equação 1313 em termos de uma função senoidal em vez de usar o coseno No movimento harmônico simples o deslocamento é uma função do tempo senoidal periódica Existem muitas funções periódicas contudo nenhuma delas é tão simples quanto uma função seno ou coseno a m aumenta A e k não variam A massa m aumenta da curva 1 a 2 e a 3 Como apenas m aumenta o período aumenta também b k aumenta A e m não variam A constante da mola k aumenta da curva 1 a 2 e a 3 Como apenas k aumenta o período diminui c A aumenta k e m não variam A amplitude A aumenta da curva 1 a 2 e a 3 Como apenas A varia o período não se altera Figura 1310 Variações em um movimento harmônico simples Todos os casos indicados são para ϕ 0 Essas três curvas mostram MHS com o mesmo período T e amplitude A mas com ângulos ϕ de fase diferentes Figura 1311 Variações do MHS deslocamento em função do tempo para o mesmo oscilador harmônico com diferentes ângulos ϕ de fase O valor da função coseno está sempre compreendido entre 1 e 1 Assim na Equação 1313 o valor de x está sempre entre A e A o que confirma que A é a amplitude do movimento O período T corresponde ao tempo de um ciclo completo da oscilação A função coseno se repete todas as vezes que a quantidade entre parênteses na Equação 1313 aumenta de 2π radianos Logo se começamos no instante t 0 o tempo T necessário para completar um ciclo é dado por ωT km T 2π 2π mk ou que é exatamente a Equação 1312 Fazendose variar m ou k o período da oscilação varia conforme indicado nas figuras 1310a e 1310b A constante ϕ indicada na Equação 1313 denominase ângulo de fase Ela nos informa em que ponto do ciclo o movimento se encontrava em t 0 equivalente a dizer em que ponto da circunferência estava o ponto Q em t 0 Vamos designar por x₀ a posição em t 0 Substituindo t 0 e x x₀ na Equação 1313 obtemos x₀ A cos ϕ 1314 Se ϕ 0 então x₀ A cos0 A e o corpo começa em seu deslocamento positivo máximo Se ϕ π então x₀ A cos π A e o corpo começa em seu deslocamento negativo máximo Se ϕ π2 então x₀ A cos π2 0 e o corpo está inicialmente na origem A Figura 1311 mostra o deslocamento x em função do tempo para diferentes ângulos de fase Achamos a velocidade vₓ e a aceleração aₓ em função do tempo para um movimento harmônico simples derivando a Equação 1313 em relação ao tempo vₓ dxdt ωA sen ωt ϕ velocidade no MHS 1315 aₓ dvₓdt d²xdt² ω²A cos ωt ϕ aceleração no MHS 1316 A velocidade vₓ oscila entre os valores vₘₐₓ ωA e vₘₐₓ ωA e a aceleração aₓ oscila entre os valores aₘₐₓ ω²A e aₘₐₓ ω²A Figura 1312 Comparando a Equação 1316 com a Equação 1313 e lembrando da Equação 139 em que ω² km vemos que aₓ ω²x km x que é exatamente a Equação 134 do movimento harmônico simples Isso confirma a validade da Equação 1313 para x em função do tempo Na realidade já havíamos deduzido a Equação 1316 de forma geométrica considerando o componente x do vetor aceleração do ponto de referência Q Isso foi feito na Figura 136b e na Equação 137 lembrese de que θ ωt ϕ Do mesmo modo poderíamos ter deduzido a Equação 1315 tomando o componente x do vetor velocidade de Q conforme indicado na Figura 136b Deixaremos os detalhes para você resolver ver o Problema 1385 Note que o gráfico senoidal do deslocamento em função do tempo Figura 1312a está deslocado em um quarto de período em relação ao gráfico da velocidade em função do tempo Figura 1312b e em meio período do gráfico da a Deslocamento x em função do tempo t b Velocidade vₓ em função do tempo t c Aceleração aₓ em função do tempo t Figura 1312 Gráficos de a x em função de t b vₓ em função de t e c aₓ em função de t para um corpo em MHS Para o movimento descrito nestes gráficos ϕ π3