Solução Avaliação 1 - Tipo 3 Vetores e Geometria Analítica

Solução da Avaliação 2\n\nQuestão 1 (2 pontos) Determine a equação do plano que passa pelo ponto P (1, 2, -2) e contém a reta x = 2t, y = 3 - t, z = 1 + 3t.\n\nSolução: Se o plano P contém a reta L, então este plano contém o ponto P0(0, 3, 1) que é o ponto da reta quando t = 0 e é paralelo ao vetor v = (2, -1, 3). Precisamos mais um vetor paralelo ao plano P, que pode ser obtido pegando o ponto P0 e o ponto P, dois pontos do plano, o que resulta no vetor u = P0P = (2 - 1, -1 - 2, -3 - (-2)), conforme ilustrado na figura 1.\n\nFigura 1: Ilustração da questão 1.\n\nO vetor normal ao plano pode ser obtido através do produto vetorial\n\nN = u x v\n\nSendo assim, a equação\n\n(x - 1) + 9(y - 2) - (z + 2) = 0\n\nresulta na equação do plano\n\n6x + 9y - z - 26 = 0. Questão 2 (3 pontos) Determine se as retas dadas pelas equações simétricas\n\nL1: x - 1 / 2 = y - 3 / 3 = z - 4 / 1\n\nL2: x - 6 / 6 = y - 2 / -1 = z - 5 / 2\n\nsão paralelas, reversas ou concorrentes. Qual a distância entre elas?\n\nSolução: Primeiro podemos obter as equações paramétricas das retas\n\nx = 1 + 2t\n\ny = 2 + 3t\n\nz = 3 + 4t\n\ne\n\nL2:\n\nsendo . Note que as retas não são paralelas, pois 2, 3, 4) não é múltiplo de (6, -1, 2). Sendo assim, devemos testar se existe algum ponto em comum entre as retas. Para isso devemos igualar\n\n1 + 2t = -1 + 6s,\n\n2 + 3t = -s,\n\n3 + 4t = -5 + 2s.\n\nDa primeira equação temos\n\nt = -1 + 3s.\n\nInserindo este resultado na segunda equação obtemos\n\ns = 1,\n\nresultando\n\nt = 2.\n\nPorém, a terceira equação não é satisfeita! Sendo assim, as retas são\n\nReversas!\n\nA distância entre as retas pode ser calculada se construirmos um plano P paralelo as duas retas e que contém a reta L1, conforme ilustrado na figura 2. A distância entre a reta L2 e o plano P será a distância entre as duas retas. Neste caso, o plano P contém o ponto A(1, 2, 3), que é obtido das equações paramétricas de L1 quando t = 0. O plano P é paralelo aos vetores diretores de L1 e L2, sendo eles v1 = (2, 3, 4) e v2 = (6, -1, 2). Figura 2: Ilustração da questão 2.\n\nA distância entre as retas será o módulo da componente projeção do vetor a na direção de N, ou seja,\n\nd = |compN a|\n\n= |a · N| / ||N||\n\n= |(-2, 1, -8) · (1, 2, -2)| / sqrt(1 + 4 + 4)\n\n= 16 / 3.\n\n\n\nd = 16 / 3. Questão 3 (3 pontos) Calcule a equação da hipérbole com um dos vértices em (1, 3) e assintotas y = 4x - 2 e y = -4x + 6. Solução: Para começar devemos calcular o centro desta hipérbole. Lembre-se de que o centro é o local onde as assintotas se cruzam, portanto, 4x - 2 = -4x + 6 ⇒ x = 1, sendo que y = 4 - 2 = 2. Ou seja, o centro está em C(1,2). Note que o centro e o vértice não possuem o mesmo valor na coordenada x, de maneira que o eixo que passa pelos focos, centro e vértices é paralelo ao eixo y. A distância entre o centro e o vértice é 1, ou seja, a = 1. A equação das assintotas, neste caso, será (y - y0) = ±(b/a)(x - x0), resultando em b/a = 1/1, ou seja, b = 1. Isto basta para obtermos a equação da hipérbole ) 1)² - 1. Questão 4 (3 pontos) Encontre os vértices, o centro e os focos da elipse 9x² + 4y² + 72x - 40y + 208 = 0 e esboce seu gráfico. Solução: Primeiro devemos completar quadrados na equação acima. 0 = 9x² + 4y² + 72x - 40y + 208 = (9(x² + 8x) + 4(y² - 10y) = 9(x + 4)² + 4(y - 5)² + 208 = 9(x + 4)² + 4(y - 5)² = 36. Passando o 36 para o outro lado da igualdade e dividindo toda a equação por 36 obtemos (y - 5)²/9 + (x + 4)²/4 = 1, que é a equação de uma elipse com centro em C(-4, 5), com semi-eixo maior paralelo ao eixo y, sendo a = 3, b = 2 e c = √5. Os vértices da elipse encontram-se em e foca em - e Figura 3: Ilustração da questão 4.