Tensores

ALGO DE TENSORES\n Sea V un espacio vectorial sobre los reales de dimensión N. Sea {e_i} (i=1,...,N) una base, no necesariamente ortogonal, de V. Entonces, todo x~ \u2208 V se puede expresar en esta base como\n x~ = x^i e_i \u2192 objeto abstracto.\n\n objeto abstracto \u2192 Números escalares \u2261 Componentes contravariantes de x~.\n Para determinar las componentes x_i necesitamos de la noción de espacio dual V*, el cual tiene por elementos todos los mapas lineales de V en los reales. Los elementos de V* son denotados por y~, ..., y reciben el nombre de uno-formas:\n v~ (x~) \u2261 \langle v~, x~ \rangle \u2208 R\n = \langle x~, v~ \rangle\n = x~ (v~) Dada la base de vectores {e_i} en V, existe la base dual {e^i} de V*, definida por\n e^i (e_j) = \delta^i_j -> Definición de base dual.\n Entonces, toda uno-forma v~ \u2208 V* se puede representar en la base {e^i} por\n v~ = v^i e^i\n \u2190 Componentes covariantes de v~.\n Asociado al vector x~ \u2208 V, existe su dual que es la uno-forma x~ \u2208 V*. Entonces,\n x~ = x^i e_i \n { x^i = x_i e^i }\n \n x~ = x_i e^i\n x^i componentes contravariantes del vector x~\n x_i componentes covariantes de la uno-forma x~. Ahora bien,\n e^i (x~) = e^i (x^j e_j) = x^j e^i(e_j) = x^j \delta^i_j = x^i\n \u2192 x^i = e^i (x~) \n Componentes contravariantes.\n\n Similarmente,\n x~ (e_i) = x_j e^j (e_i) = x_i \delta^j_i = x_i\n \u2192 x_i = x~ (e_i) \n Componentes covariantes.\n Nota ahora que\n x~ (x~) = x_i e^i (x^j e_j) = x_i x^j e^i (e_j) = x_i x^j \delta^i_j = x^i x_i = \langle x~, x~ \rangle = \langle x~, y~ \rangle Todo \\hat{x} \\in V puede ser representado en las bases \\{\\hat{e}^i\\} y \\{\\hat{E}_i\\} como sigue:\n\\hat{x} = x^i \\hat{e}_i = x^j \\hat{E}_j = x^j (\\Lambda^i{}_j \\hat{E}_i) = x^j A_j^i \\hat{E}_i\n\\Rightarrow X^{i'} = A_j^{i} X^j\n\n2\\text{a Ley de transformación de un 1-tensor contravariante.}\n\n\n\nSimilarmente, sean \\{\\hat{e}^i\\} y \\{\\hat{E}_i\\} dos bases de V*:\n\\hat{e}^{i'} = (A^{-1})^{i}{}_{j} \\hat{e}^j\n\nEntonces toda una forma \\bar{v} tiene la representación\n\\bar{v} = v^{i'} \\hat{e}^{i'} = v_j \\hat{e}^j \\Rightarrow\n= A^{-1}_{i'} v^i_j; \\hat{e'}^i\n\n\\Rightarrow v^{i'} = (A^{-1})^{i}{}_{j} v_j\n\n\\text{Ley de transformación covariante de un 1-tensor. • Tensores de más alto rango\n\nDado el espacio de vectores V y su espacio dual asociado V*, podemos establecer las siguientes relaciones:\n\nx, V\n{e_i, e_j, ..} dos bases en V:\ne^i = M^i_j e^j\n \nLas bases son duales:\n\ne^{2}(e_j) = <e^2, e_j> = \delta^i_j = e_j ; (e^2) = (e^j, e^2)\n\ne^{i}(e_j') = <e^i, e_j'> = \delta^i_j;\ (e^{i}) = (e^i, e^j)\n\nRelación entre componentes de vectores y uno-formas bajo un cambio de base:\n\nx^k = x^{k'} e_j' = x^k e_i ;\nX^k = (A^{-1})^k_j X_j;\n\nLey de transformación contravariante de un 1-tensor o vector\n\nLey de transformación covariante de un 1-tensor o uno-forma. Los espacios V y V* permiten definir 3 espacios diferentes de dimensión N^2 a través del producto exterior:\n\nV ∧ V → Una posible base: { e_i ∧ e_j }\nV ∧ V* → ''\nV* ∧ V → ''\n\nNote que { e^i } es una base de V y { e_i } es una base de V^*, las cuales son duales o recíprocas:\n\ne^{i}(e_j) = \delta^i_j = e^j;\n\ne^{i}(e^j) = \delta^i_j;\n\nLos entes abstractos de estos espacios son llamados tensores, en este caso 2-tensores o tensores de segundo rango. Así, si X ∈ V ∧ V* y { e^i ∧ e_j },\nX = X^i_j e_i ∧ e_j,\n\ndonde X^{ij} es un conjunto de N^2 números, llamados componentes de X en la base { e_i ∧ e_j }. Similarmante, si Y ∈ V ⊗ V* y Z ∈ V* ⊗ V, su representación en las bases ya especificadas es:\n\nY = Y^{ij} e_i ⊗ e_j\nZ = Z_{ij} e^i ⊗ e^j\n\nDecimos que\n\nX = x^{ij} e_i ⊗ e_j es un tensor de tipo (2,0)\nY = Y^{ij} e_i ⊗ e_j ; (1,1)\nZ = Z_{ij} e^i ⊗ e^j ; (0,2)\n\nPero no es necesario establecer una base para hablar de este tipo de tensores. Este tipo de objetos están definidos como mapas a los reales, es decir, son funciones de los espacios productos directos a los reales. Esto nos permite calcular los componentes como sigue:\n\nV ⊗ V (2,0) IR: X(e^{ij}, e^j) = x^{ij} e_k ⊗ e_j(e^{ij} e^j) = x^{ij} e_k(e^{ij}, e^j)\nV ⊗ V (1,1) IR: Y(e^{ij}, e^j) = y^{k} e_k ⊗ e^j = y^{k} e_k(e^{ij} e^j) = y^{k} e_k(e^{ij}, e^j)\nV ⊗ V (0,2) IR: Z(e^{ij}, e^j) = z_{k} e^j ⊗ e^j = z_{k} e^j e(e^{ij}, e^j) = z_{k} e_{ij} = Z_{ij}. Esta clase de tensores se pueden especificar de manera general sin hacer referencia a bases. Sean \\( \\overline{x}, \\overline{y}, \\ldots \\in V \\) y \\( \\overline{u}, \\overline{w}, \\ldots \\in V^* \\), entonces los tensores de tipo (2,0) son mapas \\( T \\) de la forma:\n\\[ V^* \\otimes V^* \\rightarrow \\mathbb{R}, \\quad T = \\overline{x} \\otimes \\overline{y} \\]\n\\[ T(\\overline{u},\\overline{w}) = \\overline{x}(\\overline{u}) \\overline{w}(\\overline{y}) \\in \\mathbb{R} \\]\n\\[ T \\in V \\otimes V \\]\nLos tensores de tipo (1,1) son mapas \\( T \\) de la forma:\n\\[ V^* \\otimes V \\rightarrow \\mathbb{R}, \\quad T = \\overline{x} \\otimes \\overline{w} \\]\n\\[ T(\\overline{w},\\overline{u}) = \\overline{w}(\\overline{x}) \\overline{u}(\\overline{w}) \\in \\mathbb{R} \\]\n\\[ T \\in V^* \\otimes V \\]\nFinalmente, los tensores de tipo (0,2) son mapas de la forma:\n\\[ V \\otimes V \\rightarrow \\mathbb{R}, \\quad T = \\overline{u} \\otimes \\overline{w} \\]\n\\[ T(\\overline{x},\\overline{y}) = \\overline{u}(\\overline{x}) \\overline{w}(\\overline{y}) \\in \\mathbb{R} \\]\n\\[ T \\in V^* \\otimes V^* \\] Lo anterior de la misma manera que definimos vectores y uno-formas.\nUna uno-forma es un tensor de tipo (0,1) ya que se define como el siguiente mapeo:\n\\[ V \\xrightarrow{} \\mathbb{R}, \\quad \\overline{v}(\\overline{x}) \\in \\mathbb{R}, \\quad \\overline{v} \\in V^* \\]\nUn vector es un tensor de tipo (1,0), ya que se define a través del mapeo:\n\\[ V^* \\xrightarrow{} \\mathbb{R}, \\quad \\overline{x}(\\overline{v}) \\in \\mathbb{R}, \\quad \\overline{x} \\in V \\]\nVolviendo a las representaciones de tensores, sean \\( \\overline{e}_i \\) y \\( \\overline{e}^j \\) dos bases de \\( V \\), relacionadas por la matriz de transformación A:\n\\[ \\overline{e}_i = A_{ij} \\overline{e}^j \\]\nSean \\( \\overline{e}^i \\) y \\( \\overline{e}_j \\) las bases duales correspondientes en \\( V^* \\). Sabemos que\n\\[ \\overline{e}^i = (M^{-1})_j^i \\overline{e}^j \\] También sabemos que si \\( \\overline{x} \\in V \\), entonces sus representaciones en las dos bases están relacionadas por\n\\[ X^i = A_{j}^i X^j \\] \nLey de transformación contravariante de un tensor de rango 1\nAdemás, la uno-forma \\( \\overline{x} \\in V^* \\), dual del vector \\( \\overline{x} \\), tiene representaciones en las bases duales correspondientes, relacionadas por\n\\[ X'^{i} = (A^{-1})_{j}^i X^j \\] \nLey de transformación covariante de un tensor de rango 1\nConsidere ahora un tensor de tipo (2,0). Este es un objeto del espacio producto directo \\( V \\otimes V \\);\nel cual, en la base \\( \\{ \\overline{e}_i \\otimes \\overline{e}_j \\} \\), tiene la siguiente representación:\n\\[ X = x^{ij} \\overline{e}_i \\otimes \\overline{e}_j \\]\nSea el cambio de base\n\\[ \\overline{e}^i = A_{j}^i \\overline{e}^j \\]\nEntonces, en la nueva base, x tiene la siguiente representación\n\\[ X = X'^{ij} \\overline{e}_i \\otimes \\overline{e}^j \\] Ahora bien, dado que x no depende de la base, es cierto que\nx = X^{i' } e_{i'} \otimes e_{j'} \n= X^{k e}_{k} \otimes e_{l} \n= x^{k} \left( A_k^{i'} e_{i'} \right) \otimes (A^{j'}_{l} e_{j'}) \n= A_k^{i'} A^k_{l} e^{i'} \otimes e^{j'}\n\n\\{\text{Ley de transformación contra-variante de un tensor de rango 2}}\nAhora, considere un tensor y de tipo (1,1). Este es un objeto del espacio producto directo V^* \\otimes V, cuya representación en la base \\{ e^{i} \\otimes e_{j} \\} es:\n\ny = y_{j}^{i} e^{i} \\otimes e^{j} \n\nBajo un cambio de base, tenemos\ny = \\widehat{y}_{j}^{i} e_{i'} \\otimes e_{j'} \n= y_{k}^{i} \\otimes e^{k} \\otimes e_{l} \n= y_{k}^{i} \\left( A_k^{l} e^{i'} \\right) \\otimes e^{j} \n= \\left( A^{-1} \\right)^{k}_{l} A^{i}_{j} e^{i'} \\otimes e^{j'}\n\n\\Rightarrow \\widehat{y}_{j}^{i} = A_{k}^{i} (A^{-1})^{k}_{l} y_{j k}\n\n\\text{Ley de transformación una vez contra-variante y una vez covariante de un tensor de rango 2. Finalmente, sea z un tensor de clase (0,2). Este es un objeto del espacio producto directo V^* \\otimes V^*, el cual actúa sobre objetos del espacio dual V \\otimes V para dar un número. En la base \\{ e^{i} \\otimes e^{j} \\}, su descomposición es dada por\nz = z_{ij} e^{i} \\otimes e^{j}\n\nBajo un cambio de base, tenemos\nz = \\widehat{z}_{l}^{k} e^{l} \\otimes e^{m} \n= z^{k} e^{k} \\otimes e^{l} \n= z^{k} \\left( A^{-1} \\right)_{l}^{j} e^{i} \\otimes e^{j}\n= \\left( A^{-1} \\right)^{k}_{l} (A^{-1})^{m}_{j} z_{ij} e^{i} \\otimes e^{j}\n\n\\Rightarrow \\widehat{z}_{l}^{k} = (A^{-1})^{k}_{l} (A^{-1})^{j}_{i} z_{ij}\n\n\\text{Ley de transformación covariante de un tensor de rango 2. Existen 3 2-tensores de importancia especial im- portancia en geometría diferencial. Estos son, el ten- sor métrico g, el cual es un tensor de tipo (2,0); el tensor métrico inverso g^{-1} es de tipo (0,2); y el tensor identidad I, el cual es de tipo (1,1).\n\n\\bullet \\text{El Tensor Identidad} \nEl tensor identidad es de tipo (1,1), así I actúa sobre una uno-forma y un vector para producir un escalar. De hecho, lo definimos como el producto es- calar:\nI(\\tilde{Y}, \\tilde{X}) \\equiv \\langle \\tilde{Y}, \\tilde{X} \\rangle = \\langle \\tilde{X}, \\tilde{Y} \\rangle \n= \\tilde{Y}(\\tilde{X}) = \\tilde{X}(\\tilde{Y})\\nPero, ¿por qué el nombre de tensor identidad? Esto viene de la siguiente interpretación:\nI(\\tilde{Y}, \\cdot) = \\tilde{Y} \\Rightarrow I: V^* \\mapsto V^*\n\\tilde{Y} \\mapsto \\tilde{Y} \nI(\\tilde{X}, \\tilde{X}) = \\tilde{Y}(\\tilde{X}) El Tensor Métrico\nEl tensor métrico g es un tensor de tipo (0,2), esto es, es un mapeo que toma 2 vectores para dar un escalar:\ng: V ⊗ V \\rightarrow ℝ\ng(\\overline{x}, \\overline{y}) \\in ℝ\nse define como el producto punto de sus argumentos:\ng(\\overline{x}, \\overline{y}) = \\overline{x} \\cdot \\overline{y} = \\overline{y} \\cdot \\overline{x} = g(\\overline{y}, \\overline{x})\n\\mathcal{L} es una función escalar bilineal y simétrica de dos vectores.\nEl tensor métrico inverso g^{-1} es de tipo (2,0), esto es, es una función escalar bilineal y simétrica de dos uno-formas:\ng^{-1}: \\overline{V} \\otimes \\overline{V} \\rightarrow ℝ\ng^{-1}(\\overline{x}, \\overline{y}) \\in ℝ\ng^{-1}(\\overline{x}, \\overline{y}) = \\overline{x} \\cdot \\overline{y} = \\overline{y} \\cdot \\overline{x} = g^{-1}(\\overline{v}, \\overline{x}) De la misma manera que el tensor identidad puede ser interpretrado como el mapeo identidad en los espacios V, I(\\overline{x}, \\overline{y}) = \\overline{x}, y V^{*}, I(\\overline{y}, \\overline{x}) = \\overline{y}, el tensor métrico g y su inverso pueden ser interpretados como mapeos entre los espacios V y V^{*}.\n\nTenemos que g(\\overline{x}, \\overline{y}) = \\overline{x} \\cdot \\overline{y} \\in ℝ.\n\nDado que \\overline{x} \\cdot \\overline{y} es un escalar, podemos interpretar a este número como el que surge de la acción de una uno-forma sobre un vector. Podemos pensar que g(\\overline{x}, \\cdot) = \\overline{x}, es decir, g mapea el vector \\overline{x} en su uno-forma asociada \\overline{y}:\ng: V \\longrightarrow V^{*} \\Rightarrow g(\\overline{x}, \\overline{y}) = \\overline{x} \\cdot \\overline{y} = \\langle g(\\overline{y}), \\overline{x} \\rangle = \\langle \\overline{y}, \\overline{x} \\rangle = \\overline{x} \\cdot \\overline{y}.\n\nDe manera similar, el tensor métrico inverso g^{-1} se puede pensar como un mapeo que asocia a la uno-forma \\overline{x} el vector \\overline{y}:\ng^{-1}: V^{*} \\longrightarrow V \\Rightarrow g^{-1}(\\overline{x}, \\overline{y}) = \\overline{x} \\cdot \\overline{y} = \\overline{y} \\cdot \\overline{x} = g^{-1}(\\overline{y}, \\overline{x}) En general, un tensor T de rango (m,n) se define como un mapeo escalar multilineal de la forma\n\\[ T: V^* \\otimes \\cdots \\otimes V^* \\otimes V \\otimes \\cdots \\otimes V \\rightarrow \\mathbb{R} \\]\nm-factores\nn-factores\nEntonces, T es un tensor del espacio producto directo\n\\[ V \\otimes \\cdots \\otimes V \\otimes V^* \\otimes \\cdots \\otimes V^* \\]\nh-factores\nm-factores\nDadas las bases \\{ e^i \\} de V y \\{ e_j \\} de V^*\n\\[ e^i \\{ e_j \\} = \\delta^i_j = e^i (e_j) \\] \nla base correspondiente de este espacio producto directo es \\{ e^i_1 \\otimes \\cdots \\otimes e^i_n \\otimes e^{j_1} \\otimes \\cdots \\otimes e^{j_m} \\}. En esta base, T tiene la siguiente descomposición\n\\[ T = T_{i_1...i_n}^{j_1...j_m} e^{i_1} \\otimes \\cdots \\otimes e^{i_n} \\otimes e_{j_1} \\otimes \\cdots \\otimes e_{j_m} \\] Bajo el cambio de base\n\\[ e^i = A^i_j e^j; \\quad e_i = (A^{-1})^j_i e_j, \\] \nlas componentes de T se transforman como\n\\[ T'^{i_1...i_n}_{j_1...j_m} = A^{i_1}_{k_1} \\cdots A^{i_n}_{k_n} (A^{-1})^{k_1}_{l_1} \\cdots (A^{-1})^{l_m}_{j_m} T_{k_1...k_n}^{l_1...l_m} \\]\n\\[\nL \\text{ ley de transformación de un tensor mixto, n-veces contravariante y m-veces covariante.}\n\\]