·
Cursos Gerais ·
Outros
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
1 1 Transformação de Tensão Parte 1 Componente Curricular ENGN90 Mecânica dos Materiais IA Carga Horária 60 horas 9 2 Capítulo9 Transformação de Tensão R C Hibbeler Pearson Education do Brasil 91 Introducao LI Nos estudos anteriores determinouse as tensdes normal e de cisalhamento nos planos das secoes transversais das barras LI Ocorre muitas vezes na engenharia o interesse pratico em se determinar essas tensdes em planos que nao sejam o da secao transversal P LI Para definir o Estado de Tensao em um ponto P devese determinar as P OP N L Os g P N componentes de tensdes s A V normal e de cisalhamento em todos os planos que Ss passam por aquele ponto p Pp Pp LI O objetivo do estudo do Estado de Tens4o é a determinacao dos valores maximos das tensdes normais e de cisalhamento que ocorram num determinado ponto do corpo em analise ee A te 91 Introducao a LI No caso mais geral o estado de tenséo0 em um ponto é A a PRY 4 PET WI caracterizado por 9 componentes de tensao sendo 3 ae normais e 6 de cisalhamento que atuam nas faces de um SS elemento do material localizado no ponto G4 LI As tensdes de cisalhamento sao iguais em planos perpendiculares propriedade complementar do cisalhamento a L Matematicamente este Estado Geral de Tensées pode ser O Txy Txz representado na forma de uma matriz quadrada 3 x 3 com9 o Tyx Tyz Tzx Try componentes denominado de Tensor de Tens6es a LI Este caso geral recebe o nome de Estado Triplo de TensGes oer A te 91 Introducao U Se o Ne 4 4 0 significando que nao ha nenhuma KS Vee i catga nessa superficie do corpo as componentes de tensao normal e de cisalhamento como dito serao iguais o Ox a zero na face LI Este caso recebe o nome de Estado Plano de Tensdes EPT General state of stress L O Tensor de Tensées o passa a ser composto pelas ip Li seguintes componentes ZA a a Gal Pe o zy lil x y 0 0 O if Cre so vx UA visdo bidimensional do Estado Plano de TensGes é dada por er 91 Introducao L A partir desse EPT as convencGes de sinais conforme a figura sao dadas por y y T Oy Txy Txy as 0 oO x x LI Se 0 estado de tensao em um ponto fot conhecido para uma determinada orientaAo 0 de um elemento estrutural L Assim o estado de tens4o para aleuma outra orientag4o pode ser determinado om 92 Equacodes Gerais de Transformacao de Tensao no Plano LU Utilizandose as convencgdes de sinais definidas e seccionando figura ao longo do plano inclinado de a Oy ficura representada por hs LI Considerandose que a area seccionada vale AA as areas das faces horizontal e vertical sao dadas por LI Aplicando as equacdes de equilibrio de forca nesse elemento determinase as componentes da tensao normal 9 e y tensao de cisalhamento 7 em relagao aos eixos x e y rns eirados 0 a VF 0 yy Ox a 0AA 0AA cos 6 cos 6 0AA sin sin map ou TyyAA cos 0 sin tyyAA sin cos 0 Te Oe TS Txy ond 0HA cos 9 oy Hh sin2 8 t ay cos sin 6 a a iS oe 92 Equacodes Gerais de Transformacao de Tensao no Plano y 2 2 Ox Ox COS 0 sin 9 2Txy sin 6 cos 6 Ay tw QO Lembrando as relacoes trigonomeétricas Oy X 1 2 1 cos 26 2 2 sin 20 2sincos QO Reescrevendo a expressao de o temse 3 TyyAA x 1 cos 20 1 cos 20 4 120 7x AA cos a ox AA Ox1 Ox 3 dy Txy sin ou y TyyAA cos 6 5 AA cos 0 a TxyAA sin 6 cos 20 Tyy sin 20 a OyAA sin 6 oe 92 Equacodes Gerais de Transformacao de Tensao no Plano y LI Para a determinagao da tensao de cisalhamento z temse Oy Y 0 TyryAA 0AA cos 6 sin aAA sin cos 6 ry TxyAA cos cos TyyAA sin Q sin 0 A x x ty tayAfcos 6 sin é 0 A sin 8 cos 8 tay cos 6 Hay Qh sin 6 0 Txryr Ox Dy sin 8 cosO Txycos 6 sin 8 O Considerandose as relac6es trizonométricas monies x sin26 2sincos cos2 cos6sin 6 AA cos 6 ox AA U Reescrevendo a expressao de 7 temse TAA Txryt dzx Oy 5 sin cos Txy COS 20 a TxyAA sin 6 a 5 rR Se Tyy COS 2 or 92 Equacodes Gerais de Transformacao de Tensao no Plano y LI A determinacao da componente da tenséo normal 9 é feita y aplicando as equacdes de equilibrio de forca considerando uma Tx secao no elemento perpendicular a essa tensao Ox YF 0 mp oy LF 0 BD Try x L Ou simplesmente substituir o angulo na equacao o pelo angulo 6 90 y y 6 90 x oy ca CO 6 a x y Txy NN 4 mt Tay cos 20 Ty sin 20 Oy Ox Oy Oxy dy Oy cos 28 90 Ty sin 28 90 2 2 Cra 92 Equacodes Gerais de Transformacao de Tensao no Plano y Ox Oy Ox Oy 90 Oy 7 08 26 90 Tyy sin 28 90 Oy Ty O L Sabese das relacGes trigonométricas que x cosa b cosacosb sinasinb sina b sinacosb cosasinb L Temse que cos26 90 cos26 180 cos 26 cos 180 sin 20 sin 180 cos 26 sin 20 90 sin20 180 sin 26 cos 180 cos 26 sin 180 sin 20 gq Ox Oy Oxy Dy Substituindo na exptessao de g Oy a cos 20 Tyy sin 20 Oy 0 9s 29 Tyy sin 20 an 92 Equacodes Gerais de Transformacao de Tensao no Plano y LI As componentes da tensdéo normal o o e da a tensao de cisalhamento z em relagao aos novos oy x y Txy eixos de coordenadas xe y obtidos por rotagao dos Mz me 0 eixos originais xe y de um angulo sao dados por cos 20 Ty sin 20 Ox Oy 0s 26 Ty sin 28 Tyy COS 20 UL Podese afirmar que Oy Txy Isso mostra que a soma das tensdes normais em um o xXx elemento em estado plano de tens6des independe da orientagao deste elemento EP 95 Exemplo de Aplicacao 1 50 MPa 1 O estado plano de tensao EPT em um ponto é representado pelo elemento ilustrado na figura Determine o estado de tensao desse ponto quando o 80 MPa elemento for orientado a 30 no sentido horario em s Low ee ge 25 MPa relacao a posicao inicial ilustrada Ox Try 0 80 25 0 y o Tyx Oy 0 o 125 50 0 0 0 O 0 0 O L As convencées de sinais Cc uy x y Txy 4 x 30 O oy y 4 0 x x x aE 95 Exemplo de Aplicacao 1 80 25 0 Yi o 25 50 0 L As equacg6es para determinacao das tensdes 0 0 O em eixos quaisquer rotacionados de 0 sao y 80 MPa cos 20 Tyy sin 26 25 MPa 0 0 O Ste cos 20 Tyy sin 20 30 Seas D 0 x 20 Tyy Cos 20 Ox 2585 MPa Estado de tensao Final 580 90 80 90 5 230 25 sin230 J Ox 5 3 cos 2 sin2 7 415 MPa 688 MPa 2585 ay 80 50 Oy 415 MPa x o fo 80 50 f 30 Tx1y 5 sin 230 Tyy cos 230 8 MPa Txry 6879 MPa tv ar 93 Tenses Principais e direcdes principais y LI A partir equacao da componente de tensao normal o 6 90 podese determinar a orientagao dos planos onde 3 y Txy ocorrerao os valores maximo e minimo dessa tens4ao Nz a 0 xX mees2047sin20 o cos Tyy sin td dé Considerando a condicao de maximo e minimo da funcao a I xry Ax Ox 0 do lg o ys x x y 0 2 sin 26 2T cos 20 2 2 sin 26 Tra COS 20 dé 2 XY dé 2 Txy doy dd AT xrys Tay 0 0 Tyy COs 26 Essa expressao mostra que a tensao de cisalhamento é nula sobre os planos que experimentam valores maximos e minimos da tensao normal Estes planos sao conhecidos como planos principais e as tensdes normais nesses planos sao conhecidas como tensGes principais denominadas Fy oar 93 Tensdes Principais e direcdes principais 7 LJ Substituindo Txryry 9 ma equagao da y x componente de tensao de cisalhamento 1 ny obtémse a ditecao principal dada por mo in 20 2T 0 Oy a Oy sinep Ey 0 3 sin 20 Txyy COS 20 sin 20 Ty COS 26 cos20 dy dy essa expressao positiva indica que 20 consequentemente 6 no elemento Ox Fy plano esta no sentido antihorario a partir do e1xo horizontal positivo x A solugao dessa expressdo tem duas raizes 261 20p2 Baseandose na equacao da direao sendo que seus valores sao defasados de 180 logo y1 principal temse a seguinte figura Oy2 estarao defasados de 90 Ty coahae ati 9 a Oy 2 es es 2 p lA 9 Pa ahi 20p1 180 Ce An re es a 93 Tenses Principais e direcdes principais LI As equacdes das tensdes principais podem ser determinadas a o97 partir da equacao das componentes de tensao normal g Ir 5 26 LI Através da equacao da tens4o normal o e a partir 2 Aa dR da figura utilizando a direao principal 20 temse wre n Ge a res cos 29 Txy sin 20 LP 2 Ox Oy T cos 2051 sin 2051 oe Ox Oy 2 Ox Oy 2 2 tty 2 t Substituindose na equacao de a temse Ox Oy Ox Oy O6 Ta T Fe S oe y Ox 0 Ox 0 252 Tey 25 Tey Ox Oy Ox F Oy 2 Try Ox ee Pg og Ox 6 0 0 252 Tey 252 Ty ar 93 Tensdes Principais e direcdes principais a Ox Oy Omax Ox T Oy 2 Txy O00 et Oe Ox Oy ay 5 x Yy x Yy T G2 0 EG Be Ea o2 Ox Oy 3 Ox Oy AF 2 txy ox Fy Gx Oy 5 2 ep 2 y x x 2 x 2 De forma analoga substituindose cos 20p2 sin 26y2 na equacao de a temse Ox Oy COS 262 cos26 180 cos 20 7 Faw 2 43 2 2 xy 2054 180 2 xy 20 2 Pa Oy Ox cos 26 Tyy sin 20 O20 cosa b cosacosbsinasinb ce p 3 sina b sinacosb cosasinb Txy sin 20 y2 sin 2051 oS 0 Oy Ox Oy 2 CSB bey Onn Z AZ tty 2 xy 918 93 Tenses Principais e direcdes principais L Entao as tensdes principais oe a representam as tens6es normais maximas dy4 e minimas Omjn que correspondem as direcdes principais 20 e 202 respectivamente sendo dadas por D Ox Oy 0 Oy x Cy de a 2 Onde 0 0 3 Txy 2 xou y oy Op Op 90 Lembrando que a tensao de o7 Txy x cisalhamento é nula sobre os planos m4 Ap x que experimentam valores maximos e minimos da tensao normal Inplane principal stresses C Podese afirmar que Isso mostra que a soma das tensdes normais em um elemento em estado plano de tensdes independe da orientagao deste elemento Ou a tensao normal é um invariante algo que nao se altera ao aplicar um conjunto de transformacoes ar Equacoes Gerais de Transformacao de Tensao no Plano y LI A partir de um estado de tensao conhecido podese calcular aig as tensOes normais e de cisalhamento dada uma rotacao 6 Oy Txy utilizandose as seguintes equacoes y Nz aa Oy Oy x cos 20 Ty sin 20 Ty Oy O O c0s 20 Ty sin 20 x ou y Op Op 90 Pz Py a2 x LI Também podese obter as tenses principais a e 7 que 1 Dp x representam as tens6es normais maximas e minimas e correspondem as diregdes principais 20 e 20y2 respectivamente sendo dadas por Inplane principal stresses am Oy 2Tx AZ ten Sendo 2 a 2 e Ox Oy rey 5 NN 95 Exemplo de Aplicacao 2 a 4 my r a O estado plano de tensao em um ponto sobre um corpo é representado no elemento ilustrado na figura Represente esse estado de tens4o em termos das tensdes 90 MPa normais principais mostrando a direcao principal Pp Pp ao princip 60 MPa Ox Txy O 20 60 O aij tyx oy 0 oj 60 90 0 20 MPa 0 0 O 0 0 O tensdes normais principais T oa 7 Oy 2 Try tty oy 0 11639 MPa 20 90 2090 1 12 z 00 o 4639 MPa Ee 0 A soma das tensdes normais em um elemento em estado plano de tensdes independe da orientacao deste elemento ey 95 Exemplo de Aplicacao 2 a he 60 MPa 4 Di g d irecao tensdes principais an ga0 UY das P Pp P 0 dy 20 MPa tan 26 cx 0 tan 20 1090 20 4749 0 2374 o 11639 MPa Ainda nao se sabe se esta ditecao 26 ou 265 O 4639 MPa Uma forma de saber substituir o angulo 26 ou 6 determinado na expressao de o pata identificar qual sera a tensao principal a ou a Ja calculada associada ao etxo x Ox Oy cos 26 Tx sin 20 cr 02 4639 MPa Sabese que 02 2090 2090 Ox are er cos 22374 60 sin22374 0 4639 MPa 0 052 2374 Oy Ox6 02 cos 26 ty sin 20 c 0 11639 MPa 2090 2090 Oy care cos 22374 60 sin 22374 o 11639 MPa 0 2052 180 26 4749 180 26 13251 6 6626 922 95 Exemplo de Aplicacao 2 a 90 MPa L Representag4o do estado de tenses principais 60 MPa O02 4639 MPa 2 2374 20 MPa 0 11639 MPa 6 6626 toy yp Try o o 1 O51 f7 4 I I 02 y o Op2 XO I x 1 02 t Neg Txy A 1 0 O01 eS Cee 94 Tensao de Cisalhamento Maxima no Plano e suas direc6es LI A partir equagao da componente de tenséo de cisalhamento 7 determinase a orientagao 8 do plano onde ocorrera 0 valor maximo dessa tensao por exemplo Da condicao de maximo ty dT ty Oy Oy 7 2 c08 265 2Tyy sin 26 e minimo de 7 temse dé 2 AT xy Ox Oy Ox Oy 7 2 cos 26 Tyy sin 26 0 7 08 20 Tyy sin 20 Ox 0 sin 20 0 0 0 Oy Ty sin 20 cos 26 sin 265 x ey x Oy 2 cos 20 2T xy es A expressdo negativa indica que 26 esta no sentido horario diferentemente do angulo ys A 20 que é no sentido antihorario oe P 0 dy a B do a d aseandose na equacao a Oy Oy TA diregao da tens4o cisalhamento 2 z Ux Oy mn maxima temse a seguinte figura Uxy CaCO 924 94 Tensao de Cisalhamento Maxima no Plano e suas direc6es LI Dessa mesma expressao 7 considerando a condiaéo de maximo e minimo temse aAT1 ss 0 dé dt Ox 0 dT yl x y x yl 2 c0s 28 Tyy sin 26 2 do 2 XY dé Ox Oy Ox 0 Ox Oy Oy 0 20 Ox 5 0 Ox a Nos planos onde ocorrem a tensao de cisalhamento maxima z a tensao normal é dada pela tensao média Ox 0 Ox dy Da expressao de o temse Ox F K08 20 Tyy sin 26 Ox 6 cos 20 Tyy sin 26 9 25 94 Tensao de Cisalhamento Maxima no Plano e suas direc6es Voltando na expressao da direcao onde ocorre Ox a Oy a o cisalhamento maximo observase que 20 solucao dessa expressao tem duas raizes 2051 e 205 sendo que seus valores sao defasados de Tt Ws T 2 180 logo 01 e As2 estarao defasados de 90 Ne S EAS 5 5 Ox Oy Tay 261 180 25 Por compatacao com a figura que mostta os angulos 20 observase que cada raiz de 26 esta 29 25 oY sa a 90 de 26 logo as rafzes dos angulos 6 e Oy 5 os 7 aa tay estao defasados de 45 Xp aN 7 A oO oO 7 va 5 20 90 i Oey 94 Tensao de Cisalhamento Maxima no Plano e suas direcdes Essa expressao significa que o plano para 7z pode ser determinado 0 0 45 otientando um elemento a 45 em relacao a posicéo de um elemento que define o plano das tens6es principais Em outras palavras o elemento que representa a 7 no plano associada com a esta a 45 em relacao ao elemento que representa as tens6es principais ay ay x ay we oO I I y Oméd 4 4 g 0 Ss Oo P C Txy 2 Om op O x x x Tor txy y Oméd 3 2 Oméd EPT EPT Tensoes normais maxima EPT Tensdo de cisalhamento maxima e minima Tensées Principais associada a tensd4o normal média es 94 Tensao de Cisalhamento Maxima no Plano e suas direcdes LIA tensao de cisalhamento maxima é x Ox determinada a partir da equacao da componente TNE 2 de tensao de cisalhamento 7 dada pot mA Try 0x oy Pei Ox 7 Py Tx Da figura temse sin20 2 cos 20 oO Ox Oy 2 252 42 2 FSO EP 5 Substituindose na equacao de t temse Ox Oy Ox Oy a Txy a rea 0 ee Oxy Ox Oy 5 3 tty 7 tty Oz tay fly Ox Oy r Ox Oy x Ty 2 vx Sy 2 z ttm Fz t Cee 94 Tensao de Cisalhamento Maxima no Plano e suas direc6es Ox Oy 9 T vey ts Ox Oy J oo 2 a 42 AZ t FAg t T Oy 5 Ox Oy 2 3 Cath te Cs m Jano yt 3 p hg Ot ey oS 2 x 2 Te pee De forma analoga substituindose sin 207 cos 269 na equacao de 7 temse Ox Oy sin 209 sin20 180 sin26 201 180 52 252 sina b sinacosb cosasinb 2 T cos 269 cos 204 ee oe Ox Oy f x C az a OT z 2 cosa b cosacosb sinasinb 2 elo m ill A ee Ox Oy 2 2 Ox Oy 4 Ux Oy a 5 tty aan ts tL eer 95 Exemplo de Aplicacao 2 b b O estado plano de tensao em um ponto sobre um corpo representado no elemento ilustrado na figura Represente esse 4 estado de tensao0 em termos da tensao de cisalhamento 90 MPa maxima no plano e da tensa0 normal média assoctada a vatte Ox Txy 0 20 60 0 loijtyx Fy 0 oi 60 90 20 MPa 0 0 0 0 0 O n oy 2 Tmax a 602 sy 8139 MPa Try oy Cag eet Gea 350 MPa me 2 OREN 95 Exemplo de Aplicacao 2 b a oa 0 O 60 MPa L Orientacao 0 das 75 Funes 2T x 20 20 MP tan 26 29 tan 20 09167 20 4251 2 X 60 OBS No exemplo 2a a tensao normal principal o pode ser verificada pela equacao de o Assim a direcao principal 20 foi associada ao indice 2 rey devido a essa tensao normal principal Portanto a direcao 20 da tensao de cisalhamento maxima estara associada ao indice 2 e sera o complemento do angulo 209 que sera denominada como 20 om 269 4251 69 2126 J y 04 2126 90 O6 11126 O med Dae O64 Confirmando se a tensao de cisalhamento ae oo I I omer x maxima positiva ou negativa 952 fy 20 Txy COS 20 ON ene owe 2090 Tx1y sin 22126 60 cos 22126 Tm Omé Tay 8139 MPa o 350 MPa mix mee 931 95 Procedimento dos Exemplos de Aplicacao 2 a e b LI A partir de um estado plano de tensdes EPT calculase as tenses principais a e oe suas direcdes 6 62 assim desenha EPT principal me es do 11639MPa o 4639MPa 0 2374 60 MPa L Ainda com estado plano de tensdes EPT dado é 20 MPa determinado também as tensdes de cisalhamento maxima e minimas T T suas direcdes 6 65 a tensao normal média o associada assim podendo ay Yor py representar EPT para esse caso O41 Oméd Tmax Tmax 8139 MPa Oméd 350 MPa 6 2 2126 1 o met 1 O02 x o 0 6 6 45 ww s2 x Try On2 0 2374 45 Oe op x Ox I 2 02 2126 tm YAO O71 Oméd EE 6 33 Pág 332 Prob 92 98 Resolver os seguintes exercícios do Capítulo 9 Transformação de Tensão do livro texto Resistência dos Materiais 7a ed R C Hibbeler Pág 333 Prob 910 913 917 Pág 334 Prob 924 925 926 Pág 335 e 336 Prob 931 943
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
1 1 Transformação de Tensão Parte 1 Componente Curricular ENGN90 Mecânica dos Materiais IA Carga Horária 60 horas 9 2 Capítulo9 Transformação de Tensão R C Hibbeler Pearson Education do Brasil 91 Introducao LI Nos estudos anteriores determinouse as tensdes normal e de cisalhamento nos planos das secoes transversais das barras LI Ocorre muitas vezes na engenharia o interesse pratico em se determinar essas tensdes em planos que nao sejam o da secao transversal P LI Para definir o Estado de Tensao em um ponto P devese determinar as P OP N L Os g P N componentes de tensdes s A V normal e de cisalhamento em todos os planos que Ss passam por aquele ponto p Pp Pp LI O objetivo do estudo do Estado de Tens4o é a determinacao dos valores maximos das tensdes normais e de cisalhamento que ocorram num determinado ponto do corpo em analise ee A te 91 Introducao a LI No caso mais geral o estado de tenséo0 em um ponto é A a PRY 4 PET WI caracterizado por 9 componentes de tensao sendo 3 ae normais e 6 de cisalhamento que atuam nas faces de um SS elemento do material localizado no ponto G4 LI As tensdes de cisalhamento sao iguais em planos perpendiculares propriedade complementar do cisalhamento a L Matematicamente este Estado Geral de Tensées pode ser O Txy Txz representado na forma de uma matriz quadrada 3 x 3 com9 o Tyx Tyz Tzx Try componentes denominado de Tensor de Tens6es a LI Este caso geral recebe o nome de Estado Triplo de TensGes oer A te 91 Introducao U Se o Ne 4 4 0 significando que nao ha nenhuma KS Vee i catga nessa superficie do corpo as componentes de tensao normal e de cisalhamento como dito serao iguais o Ox a zero na face LI Este caso recebe o nome de Estado Plano de Tensdes EPT General state of stress L O Tensor de Tensées o passa a ser composto pelas ip Li seguintes componentes ZA a a Gal Pe o zy lil x y 0 0 O if Cre so vx UA visdo bidimensional do Estado Plano de TensGes é dada por er 91 Introducao L A partir desse EPT as convencGes de sinais conforme a figura sao dadas por y y T Oy Txy Txy as 0 oO x x LI Se 0 estado de tensao em um ponto fot conhecido para uma determinada orientaAo 0 de um elemento estrutural L Assim o estado de tens4o para aleuma outra orientag4o pode ser determinado om 92 Equacodes Gerais de Transformacao de Tensao no Plano LU Utilizandose as convencgdes de sinais definidas e seccionando figura ao longo do plano inclinado de a Oy ficura representada por hs LI Considerandose que a area seccionada vale AA as areas das faces horizontal e vertical sao dadas por LI Aplicando as equacdes de equilibrio de forca nesse elemento determinase as componentes da tensao normal 9 e y tensao de cisalhamento 7 em relagao aos eixos x e y rns eirados 0 a VF 0 yy Ox a 0AA 0AA cos 6 cos 6 0AA sin sin map ou TyyAA cos 0 sin tyyAA sin cos 0 Te Oe TS Txy ond 0HA cos 9 oy Hh sin2 8 t ay cos sin 6 a a iS oe 92 Equacodes Gerais de Transformacao de Tensao no Plano y 2 2 Ox Ox COS 0 sin 9 2Txy sin 6 cos 6 Ay tw QO Lembrando as relacoes trigonomeétricas Oy X 1 2 1 cos 26 2 2 sin 20 2sincos QO Reescrevendo a expressao de o temse 3 TyyAA x 1 cos 20 1 cos 20 4 120 7x AA cos a ox AA Ox1 Ox 3 dy Txy sin ou y TyyAA cos 6 5 AA cos 0 a TxyAA sin 6 cos 20 Tyy sin 20 a OyAA sin 6 oe 92 Equacodes Gerais de Transformacao de Tensao no Plano y LI Para a determinagao da tensao de cisalhamento z temse Oy Y 0 TyryAA 0AA cos 6 sin aAA sin cos 6 ry TxyAA cos cos TyyAA sin Q sin 0 A x x ty tayAfcos 6 sin é 0 A sin 8 cos 8 tay cos 6 Hay Qh sin 6 0 Txryr Ox Dy sin 8 cosO Txycos 6 sin 8 O Considerandose as relac6es trizonométricas monies x sin26 2sincos cos2 cos6sin 6 AA cos 6 ox AA U Reescrevendo a expressao de 7 temse TAA Txryt dzx Oy 5 sin cos Txy COS 20 a TxyAA sin 6 a 5 rR Se Tyy COS 2 or 92 Equacodes Gerais de Transformacao de Tensao no Plano y LI A determinacao da componente da tenséo normal 9 é feita y aplicando as equacdes de equilibrio de forca considerando uma Tx secao no elemento perpendicular a essa tensao Ox YF 0 mp oy LF 0 BD Try x L Ou simplesmente substituir o angulo na equacao o pelo angulo 6 90 y y 6 90 x oy ca CO 6 a x y Txy NN 4 mt Tay cos 20 Ty sin 20 Oy Ox Oy Oxy dy Oy cos 28 90 Ty sin 28 90 2 2 Cra 92 Equacodes Gerais de Transformacao de Tensao no Plano y Ox Oy Ox Oy 90 Oy 7 08 26 90 Tyy sin 28 90 Oy Ty O L Sabese das relacGes trigonométricas que x cosa b cosacosb sinasinb sina b sinacosb cosasinb L Temse que cos26 90 cos26 180 cos 26 cos 180 sin 20 sin 180 cos 26 sin 20 90 sin20 180 sin 26 cos 180 cos 26 sin 180 sin 20 gq Ox Oy Oxy Dy Substituindo na exptessao de g Oy a cos 20 Tyy sin 20 Oy 0 9s 29 Tyy sin 20 an 92 Equacodes Gerais de Transformacao de Tensao no Plano y LI As componentes da tensdéo normal o o e da a tensao de cisalhamento z em relagao aos novos oy x y Txy eixos de coordenadas xe y obtidos por rotagao dos Mz me 0 eixos originais xe y de um angulo sao dados por cos 20 Ty sin 20 Ox Oy 0s 26 Ty sin 28 Tyy COS 20 UL Podese afirmar que Oy Txy Isso mostra que a soma das tensdes normais em um o xXx elemento em estado plano de tens6des independe da orientagao deste elemento EP 95 Exemplo de Aplicacao 1 50 MPa 1 O estado plano de tensao EPT em um ponto é representado pelo elemento ilustrado na figura Determine o estado de tensao desse ponto quando o 80 MPa elemento for orientado a 30 no sentido horario em s Low ee ge 25 MPa relacao a posicao inicial ilustrada Ox Try 0 80 25 0 y o Tyx Oy 0 o 125 50 0 0 0 O 0 0 O L As convencées de sinais Cc uy x y Txy 4 x 30 O oy y 4 0 x x x aE 95 Exemplo de Aplicacao 1 80 25 0 Yi o 25 50 0 L As equacg6es para determinacao das tensdes 0 0 O em eixos quaisquer rotacionados de 0 sao y 80 MPa cos 20 Tyy sin 26 25 MPa 0 0 O Ste cos 20 Tyy sin 20 30 Seas D 0 x 20 Tyy Cos 20 Ox 2585 MPa Estado de tensao Final 580 90 80 90 5 230 25 sin230 J Ox 5 3 cos 2 sin2 7 415 MPa 688 MPa 2585 ay 80 50 Oy 415 MPa x o fo 80 50 f 30 Tx1y 5 sin 230 Tyy cos 230 8 MPa Txry 6879 MPa tv ar 93 Tenses Principais e direcdes principais y LI A partir equacao da componente de tensao normal o 6 90 podese determinar a orientagao dos planos onde 3 y Txy ocorrerao os valores maximo e minimo dessa tens4ao Nz a 0 xX mees2047sin20 o cos Tyy sin td dé Considerando a condicao de maximo e minimo da funcao a I xry Ax Ox 0 do lg o ys x x y 0 2 sin 26 2T cos 20 2 2 sin 26 Tra COS 20 dé 2 XY dé 2 Txy doy dd AT xrys Tay 0 0 Tyy COs 26 Essa expressao mostra que a tensao de cisalhamento é nula sobre os planos que experimentam valores maximos e minimos da tensao normal Estes planos sao conhecidos como planos principais e as tensdes normais nesses planos sao conhecidas como tensGes principais denominadas Fy oar 93 Tensdes Principais e direcdes principais 7 LJ Substituindo Txryry 9 ma equagao da y x componente de tensao de cisalhamento 1 ny obtémse a ditecao principal dada por mo in 20 2T 0 Oy a Oy sinep Ey 0 3 sin 20 Txyy COS 20 sin 20 Ty COS 26 cos20 dy dy essa expressao positiva indica que 20 consequentemente 6 no elemento Ox Fy plano esta no sentido antihorario a partir do e1xo horizontal positivo x A solugao dessa expressdo tem duas raizes 261 20p2 Baseandose na equacao da direao sendo que seus valores sao defasados de 180 logo y1 principal temse a seguinte figura Oy2 estarao defasados de 90 Ty coahae ati 9 a Oy 2 es es 2 p lA 9 Pa ahi 20p1 180 Ce An re es a 93 Tenses Principais e direcdes principais LI As equacdes das tensdes principais podem ser determinadas a o97 partir da equacao das componentes de tensao normal g Ir 5 26 LI Através da equacao da tens4o normal o e a partir 2 Aa dR da figura utilizando a direao principal 20 temse wre n Ge a res cos 29 Txy sin 20 LP 2 Ox Oy T cos 2051 sin 2051 oe Ox Oy 2 Ox Oy 2 2 tty 2 t Substituindose na equacao de a temse Ox Oy Ox Oy O6 Ta T Fe S oe y Ox 0 Ox 0 252 Tey 25 Tey Ox Oy Ox F Oy 2 Try Ox ee Pg og Ox 6 0 0 252 Tey 252 Ty ar 93 Tensdes Principais e direcdes principais a Ox Oy Omax Ox T Oy 2 Txy O00 et Oe Ox Oy ay 5 x Yy x Yy T G2 0 EG Be Ea o2 Ox Oy 3 Ox Oy AF 2 txy ox Fy Gx Oy 5 2 ep 2 y x x 2 x 2 De forma analoga substituindose cos 20p2 sin 26y2 na equacao de a temse Ox Oy COS 262 cos26 180 cos 20 7 Faw 2 43 2 2 xy 2054 180 2 xy 20 2 Pa Oy Ox cos 26 Tyy sin 20 O20 cosa b cosacosbsinasinb ce p 3 sina b sinacosb cosasinb Txy sin 20 y2 sin 2051 oS 0 Oy Ox Oy 2 CSB bey Onn Z AZ tty 2 xy 918 93 Tenses Principais e direcdes principais L Entao as tensdes principais oe a representam as tens6es normais maximas dy4 e minimas Omjn que correspondem as direcdes principais 20 e 202 respectivamente sendo dadas por D Ox Oy 0 Oy x Cy de a 2 Onde 0 0 3 Txy 2 xou y oy Op Op 90 Lembrando que a tensao de o7 Txy x cisalhamento é nula sobre os planos m4 Ap x que experimentam valores maximos e minimos da tensao normal Inplane principal stresses C Podese afirmar que Isso mostra que a soma das tensdes normais em um elemento em estado plano de tensdes independe da orientagao deste elemento Ou a tensao normal é um invariante algo que nao se altera ao aplicar um conjunto de transformacoes ar Equacoes Gerais de Transformacao de Tensao no Plano y LI A partir de um estado de tensao conhecido podese calcular aig as tensOes normais e de cisalhamento dada uma rotacao 6 Oy Txy utilizandose as seguintes equacoes y Nz aa Oy Oy x cos 20 Ty sin 20 Ty Oy O O c0s 20 Ty sin 20 x ou y Op Op 90 Pz Py a2 x LI Também podese obter as tenses principais a e 7 que 1 Dp x representam as tens6es normais maximas e minimas e correspondem as diregdes principais 20 e 20y2 respectivamente sendo dadas por Inplane principal stresses am Oy 2Tx AZ ten Sendo 2 a 2 e Ox Oy rey 5 NN 95 Exemplo de Aplicacao 2 a 4 my r a O estado plano de tensao em um ponto sobre um corpo é representado no elemento ilustrado na figura Represente esse estado de tens4o em termos das tensdes 90 MPa normais principais mostrando a direcao principal Pp Pp ao princip 60 MPa Ox Txy O 20 60 O aij tyx oy 0 oj 60 90 0 20 MPa 0 0 O 0 0 O tensdes normais principais T oa 7 Oy 2 Try tty oy 0 11639 MPa 20 90 2090 1 12 z 00 o 4639 MPa Ee 0 A soma das tensdes normais em um elemento em estado plano de tensdes independe da orientacao deste elemento ey 95 Exemplo de Aplicacao 2 a he 60 MPa 4 Di g d irecao tensdes principais an ga0 UY das P Pp P 0 dy 20 MPa tan 26 cx 0 tan 20 1090 20 4749 0 2374 o 11639 MPa Ainda nao se sabe se esta ditecao 26 ou 265 O 4639 MPa Uma forma de saber substituir o angulo 26 ou 6 determinado na expressao de o pata identificar qual sera a tensao principal a ou a Ja calculada associada ao etxo x Ox Oy cos 26 Tx sin 20 cr 02 4639 MPa Sabese que 02 2090 2090 Ox are er cos 22374 60 sin22374 0 4639 MPa 0 052 2374 Oy Ox6 02 cos 26 ty sin 20 c 0 11639 MPa 2090 2090 Oy care cos 22374 60 sin 22374 o 11639 MPa 0 2052 180 26 4749 180 26 13251 6 6626 922 95 Exemplo de Aplicacao 2 a 90 MPa L Representag4o do estado de tenses principais 60 MPa O02 4639 MPa 2 2374 20 MPa 0 11639 MPa 6 6626 toy yp Try o o 1 O51 f7 4 I I 02 y o Op2 XO I x 1 02 t Neg Txy A 1 0 O01 eS Cee 94 Tensao de Cisalhamento Maxima no Plano e suas direc6es LI A partir equagao da componente de tenséo de cisalhamento 7 determinase a orientagao 8 do plano onde ocorrera 0 valor maximo dessa tensao por exemplo Da condicao de maximo ty dT ty Oy Oy 7 2 c08 265 2Tyy sin 26 e minimo de 7 temse dé 2 AT xy Ox Oy Ox Oy 7 2 cos 26 Tyy sin 26 0 7 08 20 Tyy sin 20 Ox 0 sin 20 0 0 0 Oy Ty sin 20 cos 26 sin 265 x ey x Oy 2 cos 20 2T xy es A expressdo negativa indica que 26 esta no sentido horario diferentemente do angulo ys A 20 que é no sentido antihorario oe P 0 dy a B do a d aseandose na equacao a Oy Oy TA diregao da tens4o cisalhamento 2 z Ux Oy mn maxima temse a seguinte figura Uxy CaCO 924 94 Tensao de Cisalhamento Maxima no Plano e suas direc6es LI Dessa mesma expressao 7 considerando a condiaéo de maximo e minimo temse aAT1 ss 0 dé dt Ox 0 dT yl x y x yl 2 c0s 28 Tyy sin 26 2 do 2 XY dé Ox Oy Ox 0 Ox Oy Oy 0 20 Ox 5 0 Ox a Nos planos onde ocorrem a tensao de cisalhamento maxima z a tensao normal é dada pela tensao média Ox 0 Ox dy Da expressao de o temse Ox F K08 20 Tyy sin 26 Ox 6 cos 20 Tyy sin 26 9 25 94 Tensao de Cisalhamento Maxima no Plano e suas direc6es Voltando na expressao da direcao onde ocorre Ox a Oy a o cisalhamento maximo observase que 20 solucao dessa expressao tem duas raizes 2051 e 205 sendo que seus valores sao defasados de Tt Ws T 2 180 logo 01 e As2 estarao defasados de 90 Ne S EAS 5 5 Ox Oy Tay 261 180 25 Por compatacao com a figura que mostta os angulos 20 observase que cada raiz de 26 esta 29 25 oY sa a 90 de 26 logo as rafzes dos angulos 6 e Oy 5 os 7 aa tay estao defasados de 45 Xp aN 7 A oO oO 7 va 5 20 90 i Oey 94 Tensao de Cisalhamento Maxima no Plano e suas direcdes Essa expressao significa que o plano para 7z pode ser determinado 0 0 45 otientando um elemento a 45 em relacao a posicéo de um elemento que define o plano das tens6es principais Em outras palavras o elemento que representa a 7 no plano associada com a esta a 45 em relacao ao elemento que representa as tens6es principais ay ay x ay we oO I I y Oméd 4 4 g 0 Ss Oo P C Txy 2 Om op O x x x Tor txy y Oméd 3 2 Oméd EPT EPT Tensoes normais maxima EPT Tensdo de cisalhamento maxima e minima Tensées Principais associada a tensd4o normal média es 94 Tensao de Cisalhamento Maxima no Plano e suas direcdes LIA tensao de cisalhamento maxima é x Ox determinada a partir da equacao da componente TNE 2 de tensao de cisalhamento 7 dada pot mA Try 0x oy Pei Ox 7 Py Tx Da figura temse sin20 2 cos 20 oO Ox Oy 2 252 42 2 FSO EP 5 Substituindose na equacao de t temse Ox Oy Ox Oy a Txy a rea 0 ee Oxy Ox Oy 5 3 tty 7 tty Oz tay fly Ox Oy r Ox Oy x Ty 2 vx Sy 2 z ttm Fz t Cee 94 Tensao de Cisalhamento Maxima no Plano e suas direc6es Ox Oy 9 T vey ts Ox Oy J oo 2 a 42 AZ t FAg t T Oy 5 Ox Oy 2 3 Cath te Cs m Jano yt 3 p hg Ot ey oS 2 x 2 Te pee De forma analoga substituindose sin 207 cos 269 na equacao de 7 temse Ox Oy sin 209 sin20 180 sin26 201 180 52 252 sina b sinacosb cosasinb 2 T cos 269 cos 204 ee oe Ox Oy f x C az a OT z 2 cosa b cosacosb sinasinb 2 elo m ill A ee Ox Oy 2 2 Ox Oy 4 Ux Oy a 5 tty aan ts tL eer 95 Exemplo de Aplicacao 2 b b O estado plano de tensao em um ponto sobre um corpo representado no elemento ilustrado na figura Represente esse 4 estado de tensao0 em termos da tensao de cisalhamento 90 MPa maxima no plano e da tensa0 normal média assoctada a vatte Ox Txy 0 20 60 0 loijtyx Fy 0 oi 60 90 20 MPa 0 0 0 0 0 O n oy 2 Tmax a 602 sy 8139 MPa Try oy Cag eet Gea 350 MPa me 2 OREN 95 Exemplo de Aplicacao 2 b a oa 0 O 60 MPa L Orientacao 0 das 75 Funes 2T x 20 20 MP tan 26 29 tan 20 09167 20 4251 2 X 60 OBS No exemplo 2a a tensao normal principal o pode ser verificada pela equacao de o Assim a direcao principal 20 foi associada ao indice 2 rey devido a essa tensao normal principal Portanto a direcao 20 da tensao de cisalhamento maxima estara associada ao indice 2 e sera o complemento do angulo 209 que sera denominada como 20 om 269 4251 69 2126 J y 04 2126 90 O6 11126 O med Dae O64 Confirmando se a tensao de cisalhamento ae oo I I omer x maxima positiva ou negativa 952 fy 20 Txy COS 20 ON ene owe 2090 Tx1y sin 22126 60 cos 22126 Tm Omé Tay 8139 MPa o 350 MPa mix mee 931 95 Procedimento dos Exemplos de Aplicacao 2 a e b LI A partir de um estado plano de tensdes EPT calculase as tenses principais a e oe suas direcdes 6 62 assim desenha EPT principal me es do 11639MPa o 4639MPa 0 2374 60 MPa L Ainda com estado plano de tensdes EPT dado é 20 MPa determinado também as tensdes de cisalhamento maxima e minimas T T suas direcdes 6 65 a tensao normal média o associada assim podendo ay Yor py representar EPT para esse caso O41 Oméd Tmax Tmax 8139 MPa Oméd 350 MPa 6 2 2126 1 o met 1 O02 x o 0 6 6 45 ww s2 x Try On2 0 2374 45 Oe op x Ox I 2 02 2126 tm YAO O71 Oméd EE 6 33 Pág 332 Prob 92 98 Resolver os seguintes exercícios do Capítulo 9 Transformação de Tensão do livro texto Resistência dos Materiais 7a ed R C Hibbeler Pág 333 Prob 910 913 917 Pág 334 Prob 924 925 926 Pág 335 e 336 Prob 931 943