Texto de pré-visualização
Unidade de Aprendizagem 7 Trigonometria no Triângulo Retângulo 1 Razões trigonométricas no triângulo retângulo Dado um triângulo retângulo que tem um de seus ângulos igual a 90º e cujos lados medem a b e c e os ângulos agudos são e α β 1 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 c a a b Tomando como referência o ângulo temos que α O lado a é o cateto oposto ao ângulo note que o lado a está na frente α do ângulo α O lado b é o cateto adjacente ao ângulo note que o lado b está ao lado α do ângulo α O lado c é a hipotenusa Uma constatação importante a respeito dos triângulos retângulos é que a razão entre seus lados é constante independentemente do comprimento destes lados sendo função apenas do ângulo É sobre essa constatação que se baseia todo o estudo da trigonometria Vamos ver razões trigonométricas entre os lados de um triângulo retângulo 2 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Seno O seno de um ângulo é a razão entre seu cateto oposto e a hipotenusa Na figura temos sen α 𝑎 e sen β 𝑐 𝑏 𝑐 Cosseno O cosseno de um ângulo é a razão entre seu cateto adjacente e a hipotenusa Na figura temos cos e cos α 𝑏 𝑐 β 𝑎 𝑐 Nota Você pode perceber que num triângulo retângulo o seno de um dos ângulos agudos é igual ao cosseno do outro e viceversa Tangente A tangente de um ângulo é a razão entre seu cateto oposto e seu cateto adjacente Na figura temos tg e tg α 𝑎 𝑏 β 𝑏 𝑎 Veja que tg α 𝑠𝑒𝑛 α cos𝑐𝑜𝑠 α 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 Veja que tg β 𝑠𝑒𝑛 β 𝑐𝑜𝑠 β 𝑏 𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 3 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Cotangente A cotangente de um ângulo é a razão entre seu cateto adjacente e seu cateto oposto Na figura temos cotg e cotg α 𝑏 𝑎 β 𝑎 𝑏 Veja que cotg α 𝑐𝑜𝑠 α 𝑠𝑒𝑛 α 𝑏 𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 Veja que cotg β 𝑐𝑜𝑠 β 𝑠𝑒𝑛 β 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 Secante A secante de um ângulo é a razão entre a hipotenusa e seu cateto adjacente Na figura temos sec α e sec 𝑐 𝑏 β 𝑐 𝑎 Veja que sec α 1 𝑐𝑜𝑠 α 1 𝑏 𝑐 𝑐 𝑏 Veja que sec β 1 𝑐𝑜𝑠 β 1 𝑎 𝑐 𝑐 𝑎 Cossecante A cossecante de um ângulo é a razão entre a hipotenusa e seu cateto oposto Na figura temos cossec α e cossec 𝑐 𝑎 β 𝑐 𝑏 4 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Veja que cossec α 1 𝑠𝑒𝑛𝑜 α 1 𝑎 𝑐 𝑐 𝑎 Veja que cossec β 1 𝑐𝑜𝑠 β 1 𝑏 𝑐 𝑐 𝑏 2 Relações entre Seno Cosseno e Tangente no Triângulo Retângulo Seja o triângulo retângulo ABC noventa graus em A com lados a b e c da figura a seguir Agora se dividirmos o Teorema de Pitágoras a² b² c² por a² teremos Se substituirmos 5 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Obtemos sen²B cos²B 1 Dessa forma concluímos que a soma do quadrado do seno e do cosseno é igual a 1 Isso significa que se B 580 por exemplo temos sen2 580 cos² 580 1 Em relação aos ângulos agudos concluímos que existe uma relação entre esses ângulos no triângulo retângulo fazendo com que sen θ cos 90 θ cos θ sen 90 θ tg θ cotg 90 θ cot θ tg 90 θ secg θ cossec 90 θ cossec θ sec 90 θ Veja que sen 30 0 cos 900 300 cos 600 pois 300 600 900 Veja cot 300 tg 900 300 tg 600 pois 300 600 900 Exercício 1 Determine as medidas dos senos cossenos tangentes cotangentes secantes e cossecantes dos ângulos apresentados nos triângulos 6 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Veja as respostas a O seno do ângulo α senα 3 5 Para calcular o cosseno precisamos do valor do cateto adjacente para isso utilizaremos o Teorema de Pitágoras para encontrar a medida do lado a² b² c² 5² 3² c² 25 9 c² c 4 16 Assim o cosseno do ângulo α é cosα 4 5 A tangente do ângulo α é tanα 3 4 A cotangente do ângulo α é cotα 4 3 A secante do ângulo α é secα 5 4 A cossecante do ângulo α é cossecα 5 3 b O seno do ângulo β é senβ 8 10 Para calcular o cosseno precisamos do valor do cateto adjacente vamos utilizar o Teorema de Pitágoras a² b² c² 10² b² 8² 100 64 b² b 6 36 Assim o cosseno do ângulo β é cosβ 6 10 A tangente do ângulo β é tanβ 8 6 7 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 A cotangente do ângulo β é cotα 6 8 A secante do ângulo β é secα 10 6 A cossecante do ângulo β é cossecα 10 8 C Nessa alternativa precisamos encontrar o valor da hipotenusa para isso utilizaremos o Teorema de Pitágoras para encontrar a medida do lado a² b² c² a² 5² 12² a² 25 144 a 13 169 Então o seno do ângulo α é senα 12 13 O cosseno do ângulo α é cosα 5 13 A tangente do ângulo α é tanα 12 5 A cotangente do ângulo α é cotα 5 12 A secante do ângulo α é secα 13 5 A cossecante do ângulo α é cossecα 13 12 O seno do ângulo β é senβ 5 13 O cosseno do ângulo β é cosβ 12 13 A tangente do ângulo β é tanβ 5 12 A cotangente do ângulo β é cotα 12 5 8 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 A secante do ângulo β é secα 13 12 A cossecante do ângulo β é cossecα 13 5 Exercício 2 Sabendo que sen x e x ângulo agudo de um triângulo 1 3 retângulo calcule cos x Veja que o problema não dá os lados do triângulo mas podemos encontrar cos x usando a identidade trigonométrica sen² x cos² x 1 Então vamos substituir sen x na lei sen² x cos² x 1 e calcular cos x 1 3 2 cos² x 1 1 3 1 cos² x 1 9 cos² x 1 1 9 cos² x 8 9 cos x 8 9 8 3 9 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Exercício 3 Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 20º Após percorrer 2 000 metros em linha reta qual será a altura atingida pelo avião aproximadamente Utilize sen 20º 0342 Seno cosseno e tangente de 300 450 e 600 10 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 11 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Unidade de Aprendizagem 8 Trigonometria no Círculo 1 Arco no círculo trigonométrico Chamamos de arco toda parte da circunferência que fica submetida entre 2 de seus pontos 1 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 B A Se os pontos A e B forem coincidentes dizemos que eles determinam um arco nulo B A É importante perceber que a medida de um arco não significa na trigonometria a medida do comprimento desse arco D C Você deve ter percebido que a medida do comprimento do arco CD é maior que a medida do comprimento do arco AB porém a medida do arco CD é igual ao arco AB podendo ser escrito em graus pois ambos têm o 2 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 mesmo ângulo central em O 2 Medidas de um arco na circunferência As duas unidades de medidas de arcos usados são o grau e o radiano Vejamos suas definições Grau Imagine uma circunferência e dividaa em 360 partes iguais Cada uma dessas divisões é igual a 1º lêse um grau Assim temos que A circunferência inteira mede 360º meia circunferência mede 180º um quarto de circunferência mede 90º e assim sucessivamente É comum termos ainda subdivisões do grau Minuto Se dividirmos 1º em 60 partes cada parte será igual a 1 minuto Então 1 grau tem 60 minutos isto é tem 60 Segundo Se dividirmos 1 minuto em 60 partes iguais cada parte será 3 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 igual a 1 segundo Então 1 minuto tem 60 segundos isto é tem 60 Radiano Imaginemos que pudéssemos esticar um determinado arco da circunferência Definimos como 1 radiano a medida do arco de circunferência que quando esticado tem um comprimento igual ao raio dessa circunferência O valor do ângulo α será igual a 1 radiano se e somente se o valor do arco AB for igual ao raio Exemplo 1 Dada uma circunferência de raio 12 cm nela contém um arco AB de comprimento 6 cm Qual é a medida desse arco em radianos Sabemos que 1 rad será igual ao valor do raio então montamos a seguinte regra de três rad cm 1 12 x 6 12x 6 4 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 x 612 x 05 rad Logo a medida do arco AB é 05 rad Exemplo 2 Qual a medida do arco de uma uma circunferência de raio r em radianos sabendo que o seu comprimento é igual a 2π r Vamos utilizar a mesma regra de três do exemplo anterior rad comprimento 1 r x 2π r xr 2π r x 2π r r x 2π rad Portanto o comprimento de circunferência igual a 2π r em radianos será igual a 2π rad Então o arco de uma circunferência completa de raio r é igual a 2π rad Portanto o arco de uma volta completa 360º equivale a 2 π rad independente do valor do raio Veja que se 360o é 2π rad então 1800 é π rad 5 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Veja que se 180o é π rad então 900 é π2 rad Veja que se 90o é π2 rad então 2700 é 3 π2 rad ou rad 3π 2 Veja que 00 0 rad Exemplo 1 Qual a medida do ângulo 60º em radianos Ângulo radiano 360º 2π 60º x 3600 x 600 2 π x 1200 π 3600 x π rad 3 Exemplo 2 Qual a medida do ângulo 2π 3 𝑒𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 Vamos substituir rad por 1800 π Temos 1200 2180 3 360 3 6 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 3 Leitura dos arcos no círculo trigonométrico no sentido positivo e negativo No sentido positivo a leitura é feita no sentido contrário aos ponteiros do relógio No sentido negativo a leitura é feita no sentido dos ponteiros do relógio 7 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 4 Seno e cosseno de um ângulo no círculo α trigonométrico de raio unitário A projeção do ponto P que determina o ângulo no eixo horizontal x α chamado eixo do cosseno tem o valor da abscissa definido por cos α A projeção do ponto P que determina o ângulo no eixo vertical y α chamado eixo do seno tem o valor da ordenada definido por sen α Veja que cos e sen estão sempre no intervalo 1 1 pois o raio do α α círculo trigonométrico será sempre 1 8 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Veja que se 0 temos a projeção de P sobre o eixo x medindo da α 60 origem do círculo até a projeção o valor 05 Assim dizemos que cos 0 05 60 Veja que se 0 temos a projeção de P sobre o eixo y medindo da α 60 origem do círculo até a projeção o valor 3 2 Assim dizemos que sen 0 60 3 2 5 Relação Fundamental da trigonometria 9 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Usando o Teorema de pitágoras temos a relação sen 2 cos 2 1 θ θ ou sen2 cos2 1 θ θ Nós já vimos essa relação no triângulo retângulo Ocorre que no triângulo retângulo o ângulo é agudo isto é entre 00 e 900 θ No círculo trigonométrico esse ângulo pode ser qualquer ângulo θ embora a demonstração mostre o ângulo como agudo θ 10 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Exemplo Sabendo que sen x 3 e x no segundo quadrante calcular cos x 5 Vamos usar a relação sen2 cos2 1 𝑥 𝑥 cos2 1 9 25 𝑥 cos2 𝑥 1 9 25 cos2 𝑥 16 25 cos 𝑥 4 5 Veja que devemos considerar cos pois x está no segundo 𝑥 4 5 quadrante e cos x é negativo Daí cos 𝑥 4 5 6 Tangente e cotangente de um ângulo 𝑥 É importante dizer que tgx e cot x 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥 11 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Veja que a tangente é o inverso da cotangente Os sinais e os valores das tangentes e cotangentes podem ser encontrados a partir dos sinais e valores de seno e cosseno do arco 7 Sinais do Seno Cosseno nos quadrantes do círculo trigonométrico e os valores de seno e cosseno dos arcos 00 900 1800 2700 e 3600 8 Arcos côngruos Toda vez que o ponto da circunferência é o mesmo para arcos diferentes como 600 42007800 chamamos esses arcos de côngruos ou 12 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 congruentes Note que todos os arcos côngruos diferem entre si de um múltiplo de 3600 que é o comprimento de cada volta Imaginando o ponto que se desloca sobre a circunferência no sentido antihorário teríamos o seguinte Na primeira figura o ponto deslocouse de 60 de A até B Na segunda figura o ponto deslocouse de uma volta inteira 2π ou 360 e mais 60 ou seja deslocouse 420 Na terceira figura o ponto deslocouse de duas voltas inteiras 22π ou 2 360 e mais 60 ou seja 780 Supondo que o ponto se deslocasse k voltas inteiras o número associado à extremidade B do arco AB é dado pela lei K3600 600 kZ de todos os arcos côngruos em graus ou pela lei em radianos k 2π π3 kZ Dizemos que 600 é a menor determinação positiva A menor determinação positiva está no intervalo 0 3600 Assim podemos dizer que os arcos são côngruos quando temos um número de voltas completas no círculo trigonométrico medido em grau ou radiano mais a menor determinação positiva medida respectivamente em grau ou radiano 13 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 9 Redução de um arco no círculo trigonométrico ao Primeiro Quadrante Na redução de um arco ao primeiro quadrante devemos inicialmente reconhecer o sinal do cosseno ou seno do arco que queremos reduzir ao primeiro quadrante Sinais do cosseno nos quadrantes Primeiro quadrante positivo Segundo quadrante negativo Terceiro quadrante negativo 14 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Quarto quadrante positivo Sinais do seno nos quadrantes Primeiro quadrante positivo Segundo quadrante positivo Terceiro quadrante negativo Quarto quadrante negativo Redução ao Primeiro Quadrante Quando o arco x está no segundo quadrante fazer 1800 x Se for seno temos seno no segundo quadrante positivo e apenas vamos reduzir o arco ao primeiro quadrante para podermos determinar o seno de um ângulo agudo mas o sinal do seno referese ao segundo quadrante isto é positivo sen x sen 1800 x 15 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Quando o arco x está no segundo quadrante fazer 1800 x Se for cosseno temos cosseno no segundo quadrante negativo e apenas vamos reduzir o arco ao primeiro quadrante para podermos determinar o cosseno de um ângulo agudo mas o sinal do cosseno referese ao segundo quadrante isto é negativo cos x cos 1800 x Quando o arco x está no terceiro quadrante fazer x 1800 Se for seno temos seno no terceiro quadrante negativo e apenas vamos reduzir o arco ao primeiro quadrante para podermos determinar o seno de um ângulo agudo mas o sinal do seno referese ao terceiro quadrante isto é negativo sen x sen x 1800 Quando o arco x está no terceiro quadrante fazer x 1800 Se for cosseno temos cosseno no terceiro quadrante negativo e apenas vamos reduzir o arco ao primeiro quadrante para podermos determinar o cosseno de um ângulo agudo mas o sinal do cosseno referese ao terceiro quadrante isto é negativo cos x cos x 1800 Quando o arco x está no quarto quadrante fazer 3600 x Se for seno temos seno no quarto quadrante negativo e apenas vamos reduzir o arco ao primeiro quadrante para podermos determinar o seno de um ângulo agudo mas o sinal do seno referese ao quarto quadrante isto é negativo sen x sen 3600 x 16 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Quando o arco x está no quarto quadrante fazer 3600 x Se for cosseno temos cosseno no quarto quadrante positivo e apenas vamos reduzir o arco ao primeiro quadrante para podermos determinar o cosseno de um ângulo agudo mas o sinal do cosseno referese ao quarto quadrante isto é positivo cos x cos 3600 x Exemplo 1 Considere o ângulo 150 Calcule sen 1500 e cos 1500 sen 1500 sen 180 1500 sen 300 1 2 cos 1500 cos 180 1500 cos 300 3 2 Exemplo 2 Considere o ângulo 240 Calcule sen 2400 e cos 2400 sen 2400 sen 2400 1800 sen 600 3 2 cos 2400 cos 2400 1800 cos 600 1 2 Exemplo 2 Considere o ângulo 300 Calcule sen 3000 e cos 3000 17 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 sen 3000 sen 3600 3000 sen 600 3 2 cos 3000 cos 3600 3000 cos 600 1 2 10 Função seno função cosseno e função tangente As funções trigonométricas são funções periódicas ou seja na sua representação gráfica as funções se caracterizam pela repetição de um padrão Este padrão chamamos de período Função seno A função seno é definida como uma função f RR tal que fx sen x xR Representação no ciclo trigonométrico 18 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Imagem A imagem da função seno é o intervalo 1 1 Isso é um fato conhecido pois os valores que o seno pode assumir para qualquer valor de x podem variar apenas de 1 e 1 Período O período da função seno é 2π pois se sen xy qualquer valor de x teremos um valor em y então sen x2kπykZ terá a mesma imagem no ciclo ou seja y sen x senx2kπ Gráfico da função seno Vamos ver os senos dos arcos em radiano correspondentes aos ângulos em graus 0 30 45 60 90 180 270 e 360 19 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 A partir dessa tabela podemos construir o gráfico da função seno x senx 0 0 π6 12 π4 22 π3 32 π2 1 π 0 3π2 1 2π 0 Gráfico da função seno O período é a curva do gráfico no intervalo 2π rad O gráfico passa ter a mesma representação de 2π rad em 2π rad 20 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 A função senx assume valor máximo igual a 1 quando o valor de x representa um arco com primeira determinação π E o valor mínimo igual a 1 2 quando x representa um arco com primeira determinação 3π 2 Função cosseno A função cosseno é definida como uma função f RR tal que fxcos x x R Representação no ciclo trigonométrico 21 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Imagem A imagem da função cosseno é o intervalo 1 1 Isso é um fato conhecido pois os valores que o cosseno pode assumir para qualquer valor de x podem variar apenas de 1 e 1 Período O período da função cosseno é 2π pois se cos x y qualquer valor de x teremos um valor em y então cosx2kπyk Z terá a mesma imagem no ciclo ou seja y cos x cos x2kπ Exemplo Para k2 e x temos que cos cos 4π sen π 6 π 6 π 6 25π 6 Vamos supor que tivéssemos uma onda que descrevesse o gráfico da função fx cos x cosseno Quando a onda se desloca no valor numérico rad que vale π 6 aproximadamente 052 rad ou se desloca no valor numérico que vale 314 6 aproximadamente 1308 rad teremos o mesmo valor da altura 25π 6 25 314 6 da onda nesses pontos que é determinada por cos cos 086 π 6 25π 6 Gráfico da função cosseno Vamos ver os cossenos dos arcos em radiano correspondentes aos ângulos em graus 0 30 45 60 90 180 270 e 360 22 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 x cosx 0 1 π6 32 π4 22 π3 12 π2 0 π 1 3π2 0 2π 1 Esses valores nos auxiliarão na construção do gráfico da função cosseno Gráfico da função cosseno O período é a curva do gráfico no intervalo 2π rad O gráfico passa ter a mesma representação de 2π rad em 2π rad 23 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Função tangente A função tangente para um arco x é a razão entre o seno e o cosseno desse arco É uma função ilimitada ou seja não é limitada por um intervalo como as funções seno e cosseno A função tangente existe se e somente se cosx 0 já que tg x tg x e não podemos ter denominador zero Então definimos o domínio da 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos𝑐𝑜𝑠 𝑥 função fx tanx como D x R x π2 kπ k Z Veja que se x π2 kπ temos cos x 0 A tangente de um número real x pode assumir qualquer valor já que a função tangente é ilimitada Dessa forma a imagem da função é Im Ou seja pode assumir infinitos valores negativos ou positivos 24 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Vamos ver as tangentes dos arcos em radiano correspondentes aos ângulos em graus 0 30 45 60 90 180 270 e 360 x tanx 0 0 π6 33 π4 1 π3 3 π2 π 0 3π2 2π 0 O símbolo significa não existe Esses valores nos auxiliarão na construção do gráfico da função tangente Gráfico da função tangente 25 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 O período é a curva do gráfico no intervalo de π rad O gráfico passa a ter a mesma representação de π em π 26 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Unidade de Aprendizagem 9 ESTATÍSTICA E PORCENTAGEM 1 Estatística Média moda e mediana são medidas estatísticas 1 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Tipos de média Média Aritmética Considere o rol x1 x2 x3 xn A média aritmética x do seus n elementos é dada por x x1 x2 x3 xn n Média ponderada Imagine agora um rol em que o elemento x1 aparece p vezes e o elemento x2 aparece k vezes e assim por diante até chegarmos ao último elemento do rol xn que aparece t vezes A média ponderada é a soma do produto das repetições que chamamos de peso pelos elementos do rol e tudo isso dividido pelo somatório dos pesos x p x1 k x2 t xn p k t Moda Chamamos de moda o elemento que possui maior frequência no rol isto é que aparece mais vezes nele 2 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Mediana Chamamos de mediana o elemento que está no centro do rol ou seja o elemento que o divide ao meio Caso o rol tenha um número par de elementos a mediana ocorrerá pela média aritmética dos dois elementos centrais Exemplo O dono de uma creche realizou um levantamento das idades de seus alunos encontrando os seguintes anos 2 2 2 3 3 5 5 6 7 8 Determine a média moda e mediana dessa sequência 2 Porcentagem O significado da porcentagem Todos os dias estamos expostos às expressões do tipo A inflação de julho ficou em 08 lêse zero vírgula oito por cento O candidato que estava no primeiro lugar nas pesquisas caiu dois pontos percentuais na última pesquisa 40 lêse quarenta por cento dos entrevistados preferem o sabão em pó Essas e muitas outras informações chegam aos nossos olhos e ouvidos através dos jornais revistas rádio televisão ou seja da mídia em geral Mas o que elas significam 3 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Quando um jornal noticia que 40 dos entrevistados preferem uma determinada marca de sabão em pó isso quer dizer que de cada 100 pessoas entrevistadas 40 disseram que preferem aquela marca A expressão 40 por cento pode ser escrita como 40 ou através da razão ou pela decimal 040 que é a divisão de 40 por 100 40 100 3 Resolvendo problemas de porcentagem a Como saber quanto é a porcentagem de uma certa quantidade Veja que 20 de 50 pode ser calculado assim 20 corresponde que em cada 100 temos 20 Logo em 50 que é a metade de 100 temos a metade de 20 que é 10 Então 20 de 50 é 10 A proposição de em 20 de 50 pode ser na linguagem matemática substituída pelo símbolo x da multiplicação escrevendose 20 x 50 Então 20 de 50 ou de 50 pode ser escrito como 20 100 20 100 𝑥50 20𝑥50 100 1000 100 10 4 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Para calcularmos 45 de R72000 podemos multiplicar por 720 45 100 encontrando Daí o valor de 45 de R72000 ser 45 𝑥 720 100 32400 100 324 R32400 b Se uma mercadoria que custa R60000 está sendo vendida com um desconto de 5 Como saber por quanto a mercadoria está sendo vendida Vamos calcular 5 de 600 Podemos multiplicar por 600 encontrando Daí o 5 100 5𝑥600 100 3000 100 30 valor de 5 de R60000 é R3000 Vai haver desconto então devemos fazer 600 30 570 Então a mercadoria está sendo vendida por R57000 c Um trabalhador teve seu salário de R120000 aumentado de 8 Qual é o novo salário desse trabalhador Vamos calcular 8 de 1200 Podemos multiplicar por 1200 encontrando Daí o 8 100 8𝑥1200 100 9600 100 96 valor de 8 de R120000 é R9600 Vai haver aumento então devemos fazer 1200 96 1296 Então o trabalhador receberá o novo salário de R129600 5 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 d A quantia de R7200 corresponde a quanto por cento de R24000 Vamos fazer uma leitura algébrica 72 x de 240 72 240 𝑥 100 72 240𝑥 100 7200 240x x 30 7200 240 A quantia de R7200 corresponde a 30 de R24000 e 80 de que valor dá 56 Vamos fazer uma leitura algébrica 80 x 56 100 80x5600 x 70 5600 80 80 de 70 dá 56 6 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 e Uma geladeira cujo preço à vista é R240000 Tem um acréscimo de 5 no seu preço se for paga em 3 prestações iguais Qual o valor de cada prestação 5 de 2400 é 120 5 100 𝑥2400 5𝑥2400 100 12000 100 Ao ser paga em prestações a geladeira passa ter o preço de R240000 R12000 R 252000 O valor de cada prestação é R 84000 𝑅252000 3 f O salário de um trabalhador era de R120000 e passou a ser de R129600 Qual foi a porcentagem de aumento Vamos fazer uma leitura algébrica X de 1200 1200 1296 𝑥 100 1200 1200 1296 1200𝑥 100 1200 1296 12𝑥 1296 1200 96 12𝑥 7 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 x 96 8 12 O valor da porcentagem do aumento foi de 8 8 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736
Texto de pré-visualização
Unidade de Aprendizagem 7 Trigonometria no Triângulo Retângulo 1 Razões trigonométricas no triângulo retângulo Dado um triângulo retângulo que tem um de seus ângulos igual a 90º e cujos lados medem a b e c e os ângulos agudos são e α β 1 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 c a a b Tomando como referência o ângulo temos que α O lado a é o cateto oposto ao ângulo note que o lado a está na frente α do ângulo α O lado b é o cateto adjacente ao ângulo note que o lado b está ao lado α do ângulo α O lado c é a hipotenusa Uma constatação importante a respeito dos triângulos retângulos é que a razão entre seus lados é constante independentemente do comprimento destes lados sendo função apenas do ângulo É sobre essa constatação que se baseia todo o estudo da trigonometria Vamos ver razões trigonométricas entre os lados de um triângulo retângulo 2 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Seno O seno de um ângulo é a razão entre seu cateto oposto e a hipotenusa Na figura temos sen α 𝑎 e sen β 𝑐 𝑏 𝑐 Cosseno O cosseno de um ângulo é a razão entre seu cateto adjacente e a hipotenusa Na figura temos cos e cos α 𝑏 𝑐 β 𝑎 𝑐 Nota Você pode perceber que num triângulo retângulo o seno de um dos ângulos agudos é igual ao cosseno do outro e viceversa Tangente A tangente de um ângulo é a razão entre seu cateto oposto e seu cateto adjacente Na figura temos tg e tg α 𝑎 𝑏 β 𝑏 𝑎 Veja que tg α 𝑠𝑒𝑛 α cos𝑐𝑜𝑠 α 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 Veja que tg β 𝑠𝑒𝑛 β 𝑐𝑜𝑠 β 𝑏 𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 3 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Cotangente A cotangente de um ângulo é a razão entre seu cateto adjacente e seu cateto oposto Na figura temos cotg e cotg α 𝑏 𝑎 β 𝑎 𝑏 Veja que cotg α 𝑐𝑜𝑠 α 𝑠𝑒𝑛 α 𝑏 𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 Veja que cotg β 𝑐𝑜𝑠 β 𝑠𝑒𝑛 β 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 Secante A secante de um ângulo é a razão entre a hipotenusa e seu cateto adjacente Na figura temos sec α e sec 𝑐 𝑏 β 𝑐 𝑎 Veja que sec α 1 𝑐𝑜𝑠 α 1 𝑏 𝑐 𝑐 𝑏 Veja que sec β 1 𝑐𝑜𝑠 β 1 𝑎 𝑐 𝑐 𝑎 Cossecante A cossecante de um ângulo é a razão entre a hipotenusa e seu cateto oposto Na figura temos cossec α e cossec 𝑐 𝑎 β 𝑐 𝑏 4 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Veja que cossec α 1 𝑠𝑒𝑛𝑜 α 1 𝑎 𝑐 𝑐 𝑎 Veja que cossec β 1 𝑐𝑜𝑠 β 1 𝑏 𝑐 𝑐 𝑏 2 Relações entre Seno Cosseno e Tangente no Triângulo Retângulo Seja o triângulo retângulo ABC noventa graus em A com lados a b e c da figura a seguir Agora se dividirmos o Teorema de Pitágoras a² b² c² por a² teremos Se substituirmos 5 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Obtemos sen²B cos²B 1 Dessa forma concluímos que a soma do quadrado do seno e do cosseno é igual a 1 Isso significa que se B 580 por exemplo temos sen2 580 cos² 580 1 Em relação aos ângulos agudos concluímos que existe uma relação entre esses ângulos no triângulo retângulo fazendo com que sen θ cos 90 θ cos θ sen 90 θ tg θ cotg 90 θ cot θ tg 90 θ secg θ cossec 90 θ cossec θ sec 90 θ Veja que sen 30 0 cos 900 300 cos 600 pois 300 600 900 Veja cot 300 tg 900 300 tg 600 pois 300 600 900 Exercício 1 Determine as medidas dos senos cossenos tangentes cotangentes secantes e cossecantes dos ângulos apresentados nos triângulos 6 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Veja as respostas a O seno do ângulo α senα 3 5 Para calcular o cosseno precisamos do valor do cateto adjacente para isso utilizaremos o Teorema de Pitágoras para encontrar a medida do lado a² b² c² 5² 3² c² 25 9 c² c 4 16 Assim o cosseno do ângulo α é cosα 4 5 A tangente do ângulo α é tanα 3 4 A cotangente do ângulo α é cotα 4 3 A secante do ângulo α é secα 5 4 A cossecante do ângulo α é cossecα 5 3 b O seno do ângulo β é senβ 8 10 Para calcular o cosseno precisamos do valor do cateto adjacente vamos utilizar o Teorema de Pitágoras a² b² c² 10² b² 8² 100 64 b² b 6 36 Assim o cosseno do ângulo β é cosβ 6 10 A tangente do ângulo β é tanβ 8 6 7 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 A cotangente do ângulo β é cotα 6 8 A secante do ângulo β é secα 10 6 A cossecante do ângulo β é cossecα 10 8 C Nessa alternativa precisamos encontrar o valor da hipotenusa para isso utilizaremos o Teorema de Pitágoras para encontrar a medida do lado a² b² c² a² 5² 12² a² 25 144 a 13 169 Então o seno do ângulo α é senα 12 13 O cosseno do ângulo α é cosα 5 13 A tangente do ângulo α é tanα 12 5 A cotangente do ângulo α é cotα 5 12 A secante do ângulo α é secα 13 5 A cossecante do ângulo α é cossecα 13 12 O seno do ângulo β é senβ 5 13 O cosseno do ângulo β é cosβ 12 13 A tangente do ângulo β é tanβ 5 12 A cotangente do ângulo β é cotα 12 5 8 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 A secante do ângulo β é secα 13 12 A cossecante do ângulo β é cossecα 13 5 Exercício 2 Sabendo que sen x e x ângulo agudo de um triângulo 1 3 retângulo calcule cos x Veja que o problema não dá os lados do triângulo mas podemos encontrar cos x usando a identidade trigonométrica sen² x cos² x 1 Então vamos substituir sen x na lei sen² x cos² x 1 e calcular cos x 1 3 2 cos² x 1 1 3 1 cos² x 1 9 cos² x 1 1 9 cos² x 8 9 cos x 8 9 8 3 9 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Exercício 3 Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 20º Após percorrer 2 000 metros em linha reta qual será a altura atingida pelo avião aproximadamente Utilize sen 20º 0342 Seno cosseno e tangente de 300 450 e 600 10 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 11 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Unidade de Aprendizagem 8 Trigonometria no Círculo 1 Arco no círculo trigonométrico Chamamos de arco toda parte da circunferência que fica submetida entre 2 de seus pontos 1 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 B A Se os pontos A e B forem coincidentes dizemos que eles determinam um arco nulo B A É importante perceber que a medida de um arco não significa na trigonometria a medida do comprimento desse arco D C Você deve ter percebido que a medida do comprimento do arco CD é maior que a medida do comprimento do arco AB porém a medida do arco CD é igual ao arco AB podendo ser escrito em graus pois ambos têm o 2 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 mesmo ângulo central em O 2 Medidas de um arco na circunferência As duas unidades de medidas de arcos usados são o grau e o radiano Vejamos suas definições Grau Imagine uma circunferência e dividaa em 360 partes iguais Cada uma dessas divisões é igual a 1º lêse um grau Assim temos que A circunferência inteira mede 360º meia circunferência mede 180º um quarto de circunferência mede 90º e assim sucessivamente É comum termos ainda subdivisões do grau Minuto Se dividirmos 1º em 60 partes cada parte será igual a 1 minuto Então 1 grau tem 60 minutos isto é tem 60 Segundo Se dividirmos 1 minuto em 60 partes iguais cada parte será 3 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 igual a 1 segundo Então 1 minuto tem 60 segundos isto é tem 60 Radiano Imaginemos que pudéssemos esticar um determinado arco da circunferência Definimos como 1 radiano a medida do arco de circunferência que quando esticado tem um comprimento igual ao raio dessa circunferência O valor do ângulo α será igual a 1 radiano se e somente se o valor do arco AB for igual ao raio Exemplo 1 Dada uma circunferência de raio 12 cm nela contém um arco AB de comprimento 6 cm Qual é a medida desse arco em radianos Sabemos que 1 rad será igual ao valor do raio então montamos a seguinte regra de três rad cm 1 12 x 6 12x 6 4 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 x 612 x 05 rad Logo a medida do arco AB é 05 rad Exemplo 2 Qual a medida do arco de uma uma circunferência de raio r em radianos sabendo que o seu comprimento é igual a 2π r Vamos utilizar a mesma regra de três do exemplo anterior rad comprimento 1 r x 2π r xr 2π r x 2π r r x 2π rad Portanto o comprimento de circunferência igual a 2π r em radianos será igual a 2π rad Então o arco de uma circunferência completa de raio r é igual a 2π rad Portanto o arco de uma volta completa 360º equivale a 2 π rad independente do valor do raio Veja que se 360o é 2π rad então 1800 é π rad 5 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Veja que se 180o é π rad então 900 é π2 rad Veja que se 90o é π2 rad então 2700 é 3 π2 rad ou rad 3π 2 Veja que 00 0 rad Exemplo 1 Qual a medida do ângulo 60º em radianos Ângulo radiano 360º 2π 60º x 3600 x 600 2 π x 1200 π 3600 x π rad 3 Exemplo 2 Qual a medida do ângulo 2π 3 𝑒𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 Vamos substituir rad por 1800 π Temos 1200 2180 3 360 3 6 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 3 Leitura dos arcos no círculo trigonométrico no sentido positivo e negativo No sentido positivo a leitura é feita no sentido contrário aos ponteiros do relógio No sentido negativo a leitura é feita no sentido dos ponteiros do relógio 7 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 4 Seno e cosseno de um ângulo no círculo α trigonométrico de raio unitário A projeção do ponto P que determina o ângulo no eixo horizontal x α chamado eixo do cosseno tem o valor da abscissa definido por cos α A projeção do ponto P que determina o ângulo no eixo vertical y α chamado eixo do seno tem o valor da ordenada definido por sen α Veja que cos e sen estão sempre no intervalo 1 1 pois o raio do α α círculo trigonométrico será sempre 1 8 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Veja que se 0 temos a projeção de P sobre o eixo x medindo da α 60 origem do círculo até a projeção o valor 05 Assim dizemos que cos 0 05 60 Veja que se 0 temos a projeção de P sobre o eixo y medindo da α 60 origem do círculo até a projeção o valor 3 2 Assim dizemos que sen 0 60 3 2 5 Relação Fundamental da trigonometria 9 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Usando o Teorema de pitágoras temos a relação sen 2 cos 2 1 θ θ ou sen2 cos2 1 θ θ Nós já vimos essa relação no triângulo retângulo Ocorre que no triângulo retângulo o ângulo é agudo isto é entre 00 e 900 θ No círculo trigonométrico esse ângulo pode ser qualquer ângulo θ embora a demonstração mostre o ângulo como agudo θ 10 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Exemplo Sabendo que sen x 3 e x no segundo quadrante calcular cos x 5 Vamos usar a relação sen2 cos2 1 𝑥 𝑥 cos2 1 9 25 𝑥 cos2 𝑥 1 9 25 cos2 𝑥 16 25 cos 𝑥 4 5 Veja que devemos considerar cos pois x está no segundo 𝑥 4 5 quadrante e cos x é negativo Daí cos 𝑥 4 5 6 Tangente e cotangente de um ângulo 𝑥 É importante dizer que tgx e cot x 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥 11 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Veja que a tangente é o inverso da cotangente Os sinais e os valores das tangentes e cotangentes podem ser encontrados a partir dos sinais e valores de seno e cosseno do arco 7 Sinais do Seno Cosseno nos quadrantes do círculo trigonométrico e os valores de seno e cosseno dos arcos 00 900 1800 2700 e 3600 8 Arcos côngruos Toda vez que o ponto da circunferência é o mesmo para arcos diferentes como 600 42007800 chamamos esses arcos de côngruos ou 12 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 congruentes Note que todos os arcos côngruos diferem entre si de um múltiplo de 3600 que é o comprimento de cada volta Imaginando o ponto que se desloca sobre a circunferência no sentido antihorário teríamos o seguinte Na primeira figura o ponto deslocouse de 60 de A até B Na segunda figura o ponto deslocouse de uma volta inteira 2π ou 360 e mais 60 ou seja deslocouse 420 Na terceira figura o ponto deslocouse de duas voltas inteiras 22π ou 2 360 e mais 60 ou seja 780 Supondo que o ponto se deslocasse k voltas inteiras o número associado à extremidade B do arco AB é dado pela lei K3600 600 kZ de todos os arcos côngruos em graus ou pela lei em radianos k 2π π3 kZ Dizemos que 600 é a menor determinação positiva A menor determinação positiva está no intervalo 0 3600 Assim podemos dizer que os arcos são côngruos quando temos um número de voltas completas no círculo trigonométrico medido em grau ou radiano mais a menor determinação positiva medida respectivamente em grau ou radiano 13 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 9 Redução de um arco no círculo trigonométrico ao Primeiro Quadrante Na redução de um arco ao primeiro quadrante devemos inicialmente reconhecer o sinal do cosseno ou seno do arco que queremos reduzir ao primeiro quadrante Sinais do cosseno nos quadrantes Primeiro quadrante positivo Segundo quadrante negativo Terceiro quadrante negativo 14 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Quarto quadrante positivo Sinais do seno nos quadrantes Primeiro quadrante positivo Segundo quadrante positivo Terceiro quadrante negativo Quarto quadrante negativo Redução ao Primeiro Quadrante Quando o arco x está no segundo quadrante fazer 1800 x Se for seno temos seno no segundo quadrante positivo e apenas vamos reduzir o arco ao primeiro quadrante para podermos determinar o seno de um ângulo agudo mas o sinal do seno referese ao segundo quadrante isto é positivo sen x sen 1800 x 15 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Quando o arco x está no segundo quadrante fazer 1800 x Se for cosseno temos cosseno no segundo quadrante negativo e apenas vamos reduzir o arco ao primeiro quadrante para podermos determinar o cosseno de um ângulo agudo mas o sinal do cosseno referese ao segundo quadrante isto é negativo cos x cos 1800 x Quando o arco x está no terceiro quadrante fazer x 1800 Se for seno temos seno no terceiro quadrante negativo e apenas vamos reduzir o arco ao primeiro quadrante para podermos determinar o seno de um ângulo agudo mas o sinal do seno referese ao terceiro quadrante isto é negativo sen x sen x 1800 Quando o arco x está no terceiro quadrante fazer x 1800 Se for cosseno temos cosseno no terceiro quadrante negativo e apenas vamos reduzir o arco ao primeiro quadrante para podermos determinar o cosseno de um ângulo agudo mas o sinal do cosseno referese ao terceiro quadrante isto é negativo cos x cos x 1800 Quando o arco x está no quarto quadrante fazer 3600 x Se for seno temos seno no quarto quadrante negativo e apenas vamos reduzir o arco ao primeiro quadrante para podermos determinar o seno de um ângulo agudo mas o sinal do seno referese ao quarto quadrante isto é negativo sen x sen 3600 x 16 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Quando o arco x está no quarto quadrante fazer 3600 x Se for cosseno temos cosseno no quarto quadrante positivo e apenas vamos reduzir o arco ao primeiro quadrante para podermos determinar o cosseno de um ângulo agudo mas o sinal do cosseno referese ao quarto quadrante isto é positivo cos x cos 3600 x Exemplo 1 Considere o ângulo 150 Calcule sen 1500 e cos 1500 sen 1500 sen 180 1500 sen 300 1 2 cos 1500 cos 180 1500 cos 300 3 2 Exemplo 2 Considere o ângulo 240 Calcule sen 2400 e cos 2400 sen 2400 sen 2400 1800 sen 600 3 2 cos 2400 cos 2400 1800 cos 600 1 2 Exemplo 2 Considere o ângulo 300 Calcule sen 3000 e cos 3000 17 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 sen 3000 sen 3600 3000 sen 600 3 2 cos 3000 cos 3600 3000 cos 600 1 2 10 Função seno função cosseno e função tangente As funções trigonométricas são funções periódicas ou seja na sua representação gráfica as funções se caracterizam pela repetição de um padrão Este padrão chamamos de período Função seno A função seno é definida como uma função f RR tal que fx sen x xR Representação no ciclo trigonométrico 18 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Imagem A imagem da função seno é o intervalo 1 1 Isso é um fato conhecido pois os valores que o seno pode assumir para qualquer valor de x podem variar apenas de 1 e 1 Período O período da função seno é 2π pois se sen xy qualquer valor de x teremos um valor em y então sen x2kπykZ terá a mesma imagem no ciclo ou seja y sen x senx2kπ Gráfico da função seno Vamos ver os senos dos arcos em radiano correspondentes aos ângulos em graus 0 30 45 60 90 180 270 e 360 19 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 A partir dessa tabela podemos construir o gráfico da função seno x senx 0 0 π6 12 π4 22 π3 32 π2 1 π 0 3π2 1 2π 0 Gráfico da função seno O período é a curva do gráfico no intervalo 2π rad O gráfico passa ter a mesma representação de 2π rad em 2π rad 20 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 A função senx assume valor máximo igual a 1 quando o valor de x representa um arco com primeira determinação π E o valor mínimo igual a 1 2 quando x representa um arco com primeira determinação 3π 2 Função cosseno A função cosseno é definida como uma função f RR tal que fxcos x x R Representação no ciclo trigonométrico 21 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Imagem A imagem da função cosseno é o intervalo 1 1 Isso é um fato conhecido pois os valores que o cosseno pode assumir para qualquer valor de x podem variar apenas de 1 e 1 Período O período da função cosseno é 2π pois se cos x y qualquer valor de x teremos um valor em y então cosx2kπyk Z terá a mesma imagem no ciclo ou seja y cos x cos x2kπ Exemplo Para k2 e x temos que cos cos 4π sen π 6 π 6 π 6 25π 6 Vamos supor que tivéssemos uma onda que descrevesse o gráfico da função fx cos x cosseno Quando a onda se desloca no valor numérico rad que vale π 6 aproximadamente 052 rad ou se desloca no valor numérico que vale 314 6 aproximadamente 1308 rad teremos o mesmo valor da altura 25π 6 25 314 6 da onda nesses pontos que é determinada por cos cos 086 π 6 25π 6 Gráfico da função cosseno Vamos ver os cossenos dos arcos em radiano correspondentes aos ângulos em graus 0 30 45 60 90 180 270 e 360 22 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 x cosx 0 1 π6 32 π4 22 π3 12 π2 0 π 1 3π2 0 2π 1 Esses valores nos auxiliarão na construção do gráfico da função cosseno Gráfico da função cosseno O período é a curva do gráfico no intervalo 2π rad O gráfico passa ter a mesma representação de 2π rad em 2π rad 23 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Função tangente A função tangente para um arco x é a razão entre o seno e o cosseno desse arco É uma função ilimitada ou seja não é limitada por um intervalo como as funções seno e cosseno A função tangente existe se e somente se cosx 0 já que tg x tg x e não podemos ter denominador zero Então definimos o domínio da 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos𝑐𝑜𝑠 𝑥 função fx tanx como D x R x π2 kπ k Z Veja que se x π2 kπ temos cos x 0 A tangente de um número real x pode assumir qualquer valor já que a função tangente é ilimitada Dessa forma a imagem da função é Im Ou seja pode assumir infinitos valores negativos ou positivos 24 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Vamos ver as tangentes dos arcos em radiano correspondentes aos ângulos em graus 0 30 45 60 90 180 270 e 360 x tanx 0 0 π6 33 π4 1 π3 3 π2 π 0 3π2 2π 0 O símbolo significa não existe Esses valores nos auxiliarão na construção do gráfico da função tangente Gráfico da função tangente 25 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 O período é a curva do gráfico no intervalo de π rad O gráfico passa a ter a mesma representação de π em π 26 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Unidade de Aprendizagem 9 ESTATÍSTICA E PORCENTAGEM 1 Estatística Média moda e mediana são medidas estatísticas 1 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Tipos de média Média Aritmética Considere o rol x1 x2 x3 xn A média aritmética x do seus n elementos é dada por x x1 x2 x3 xn n Média ponderada Imagine agora um rol em que o elemento x1 aparece p vezes e o elemento x2 aparece k vezes e assim por diante até chegarmos ao último elemento do rol xn que aparece t vezes A média ponderada é a soma do produto das repetições que chamamos de peso pelos elementos do rol e tudo isso dividido pelo somatório dos pesos x p x1 k x2 t xn p k t Moda Chamamos de moda o elemento que possui maior frequência no rol isto é que aparece mais vezes nele 2 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Mediana Chamamos de mediana o elemento que está no centro do rol ou seja o elemento que o divide ao meio Caso o rol tenha um número par de elementos a mediana ocorrerá pela média aritmética dos dois elementos centrais Exemplo O dono de uma creche realizou um levantamento das idades de seus alunos encontrando os seguintes anos 2 2 2 3 3 5 5 6 7 8 Determine a média moda e mediana dessa sequência 2 Porcentagem O significado da porcentagem Todos os dias estamos expostos às expressões do tipo A inflação de julho ficou em 08 lêse zero vírgula oito por cento O candidato que estava no primeiro lugar nas pesquisas caiu dois pontos percentuais na última pesquisa 40 lêse quarenta por cento dos entrevistados preferem o sabão em pó Essas e muitas outras informações chegam aos nossos olhos e ouvidos através dos jornais revistas rádio televisão ou seja da mídia em geral Mas o que elas significam 3 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Quando um jornal noticia que 40 dos entrevistados preferem uma determinada marca de sabão em pó isso quer dizer que de cada 100 pessoas entrevistadas 40 disseram que preferem aquela marca A expressão 40 por cento pode ser escrita como 40 ou através da razão ou pela decimal 040 que é a divisão de 40 por 100 40 100 3 Resolvendo problemas de porcentagem a Como saber quanto é a porcentagem de uma certa quantidade Veja que 20 de 50 pode ser calculado assim 20 corresponde que em cada 100 temos 20 Logo em 50 que é a metade de 100 temos a metade de 20 que é 10 Então 20 de 50 é 10 A proposição de em 20 de 50 pode ser na linguagem matemática substituída pelo símbolo x da multiplicação escrevendose 20 x 50 Então 20 de 50 ou de 50 pode ser escrito como 20 100 20 100 𝑥50 20𝑥50 100 1000 100 10 4 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Para calcularmos 45 de R72000 podemos multiplicar por 720 45 100 encontrando Daí o valor de 45 de R72000 ser 45 𝑥 720 100 32400 100 324 R32400 b Se uma mercadoria que custa R60000 está sendo vendida com um desconto de 5 Como saber por quanto a mercadoria está sendo vendida Vamos calcular 5 de 600 Podemos multiplicar por 600 encontrando Daí o 5 100 5𝑥600 100 3000 100 30 valor de 5 de R60000 é R3000 Vai haver desconto então devemos fazer 600 30 570 Então a mercadoria está sendo vendida por R57000 c Um trabalhador teve seu salário de R120000 aumentado de 8 Qual é o novo salário desse trabalhador Vamos calcular 8 de 1200 Podemos multiplicar por 1200 encontrando Daí o 8 100 8𝑥1200 100 9600 100 96 valor de 8 de R120000 é R9600 Vai haver aumento então devemos fazer 1200 96 1296 Então o trabalhador receberá o novo salário de R129600 5 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 d A quantia de R7200 corresponde a quanto por cento de R24000 Vamos fazer uma leitura algébrica 72 x de 240 72 240 𝑥 100 72 240𝑥 100 7200 240x x 30 7200 240 A quantia de R7200 corresponde a 30 de R24000 e 80 de que valor dá 56 Vamos fazer uma leitura algébrica 80 x 56 100 80x5600 x 70 5600 80 80 de 70 dá 56 6 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 e Uma geladeira cujo preço à vista é R240000 Tem um acréscimo de 5 no seu preço se for paga em 3 prestações iguais Qual o valor de cada prestação 5 de 2400 é 120 5 100 𝑥2400 5𝑥2400 100 12000 100 Ao ser paga em prestações a geladeira passa ter o preço de R240000 R12000 R 252000 O valor de cada prestação é R 84000 𝑅252000 3 f O salário de um trabalhador era de R120000 e passou a ser de R129600 Qual foi a porcentagem de aumento Vamos fazer uma leitura algébrica X de 1200 1200 1296 𝑥 100 1200 1200 1296 1200𝑥 100 1200 1296 12𝑥 1296 1200 96 12𝑥 7 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 x 96 8 12 O valor da porcentagem do aumento foi de 8 8 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736 Este material é de uso exclusivo de FERNANDA CARDOSO DO NASCIMENTO CPF 07826943736