Aula 6 - Fisica Teorica 3

Lei de Biot-Savart Antes de iniciarmos o nosso estudo da Lei de Ampère, convém comentarmos sobre a lei de Biot-Savart. Esse estudo recebeu esse nome em homenagem a dois físicos franceses. O primeiro foi Jean-Baptiste Biot. Jean-Baptiste Biot (1774-1862) Nascido na cidade de Paris, na França, em 1774, Jean-Baptiste foi docente na área de matemática na Escola Central de Beauvais e professor de física-matemática no Collège de France. Dentre as suas linhas de pesquisa, os seus estudos foram direcionados principalmente para a matemática aplicada às áreas da óptica, astronomia, eletricidade e magnetismo. Ele também fez trabalhos na área de geometria. É importante citar que Biot, juntamente com Laplace, foi um dos cientistas que defendeu a teoria corpuscular da luz. Lei de Biot-Savart O segundo francês homenageado foi Félix Savart. Félix Savart (1791-1841) Félix Savart nasceu na França, em 1791. Ele foi professor e membro da Academia de Ciências. Desenvolveu suas pesquisas em colaboração com Biot, o que rendeu para ambos os pesquisadores a Lei do eletromagnetismo conhecida como Lei de Biot-Savart. Além de suas investigações na área do eletromagnetismo, desenvolveu trabalhos na área de mecânica dos fluidos e foi inventor de um instrumento chamado de roda dentada de Savart, capaz de medir a frequência de uma vibração acústica. De acordo com a Lei de Biot-Savart, o módulo do campo de indução magnética B de um elemento de corrente, produzido em um ponto P por um fio de corrente i, sob forma vetorial, sendo um vetor unitário, é dado por: dB = μ₀/4π (i dS sinθ) / r² Na forma vetorial, escrevemos: dB⃗ = μ₀/4π (i dS×r) / r² Para o cálculo do campo magnético produzido por uma corrente que flui em um circuito completo, em qualquer ponto do espaço, é necessário resolver a integral: dB⃗ = μ₀/4π ∫ (i dS×r) / r² Sendo μ₀ = 4π·10⁻⁷ T·m/A ≈ 1,26·10⁻⁶ T·m/A Você Sabia? Existe, por parte dos pesquisadores, grande interesse em estudar o funcionamento do cérebro humano. Um estudo chamado magnetencefalografia (MEG) é capaz de monitorar os campos magnéticos produzidos pelo cérebro enquanto uma pessoa realiza atividades comuns, como ler uma frase ou beber um suco. Essas atividades são capazes de ativar o cérebro, fazendo com que os pulsos elétricos sejam enviados ao longo dos circuitos nervosos, produzindo, dessa forma, campos magnéticos. Fonte: HALLIDAY, RESNICK, WALKER. Eletromagnetismo. 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, página 235. Exemplo No cérebro humano, o valor da corrente i é igual a 10 para um pulso típico, a distância percorrida é da ordem de 1 mm. Considere a intensidade do campo em um ponto P situado a uma distância r=2 cm do pulso. A trajetória do pulso é tangente à superfície do cérebro e o ângulo θ =90°. Adaptado: HALLIDAY, RESNICK, WALKER. Eletromagnetismo. 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, p. 235. SOLUÇÃO B = (4π·10⁻⁷ T·m/A) (10.10⁻⁶ A) (1.10⁻³ m) / 4π (2.10⁻² m)² sin90° B ≈ 2,5·10⁻¹² T ≈ 3pT O valor obtido é extremamente fraco quando comparado ao campo magnético terrestre. É um milhão de vezes mais fraco. Os campos magnéticos do cérebro não podem ser detectados apenas com o uso de uma bússola, é necessária a utilização de um equipamento chamado SQUID, capaz de detectar campos magnéticos menores que 1pT. Lei de Ampére A determinação de um campo elétrico com distribuição de cargas que não respeitam nenhum tipo de simetria exige cálculos complicados que muitas vezes devem ser feitos com o uso de computadores devido à sua complexidade. Para os casos em que a distribuição de corrente possui certa simetria, é possível utilizar a Lei de Ampére para o cálculo do campo magnético total, nesse caso, os cálculos são mais simples. É curioso lembrar que embora essa lei receba o nome do físico francês André-Marie Ampère (1831-1879), ela foi proposta pelo físico inglês James Clerk Marques (1831-1879). O enunciado geral da Lei de Ampére é: ∮B·dS = μ₀·iₑnv Sendo a corrente total envolvida pela curva fechada, dada por iₑnv Lembrete! O círculo visto no símbolo da integral significa que a integração deve ser feita para uma curva fechada. ∮ = integração realizada para uma curva fechada. Aplicações da Lei de Ampére - Campo de um condutor retilíneo Aplicando-se a Lei de Ampére, é possível calcular, no módulo do vetor em um ponto p, a distância r de um condutor retilíneo de comprimento infinito, percorrido por uma corrente elétrica contínua i. O cálculo do vetor é feito aplicando-se a expressão: dB = μ₀·i / 2πr Considere um condutor reto e extenso, percorrido por uma corrente elétrica de intensidade igual a 4,0A, conforme mostra a figura. Determine a intensidade, a direção e o sentido da indução magnética no ponto a 30 cm do condutor. Solução: Cálculo do vetor indução magnética: B = 4.𝜋.10^{-7} \frac{4,0}{2𝜋.30.10^{-2}} B ≅ 2,67.10^{-6} T A direção do vetor indução é perpendicular ao plano definido pelo ponto p e pelo condutor, que coincide com o plano do papel. De acordo com a regra da mão direita (vista na aula anterior), o sentido do vetor indução é “para dentro” do papel. Aplicações da Lei de Ampère - Campo no interior de um cilindro infinito Campo no interior de um cilindro infinito Determine o campo no interior de um condutor cilíndrico infinito, com densidade uniforme e raio R, percorrido por uma corrente i₀. Na figura que segue, observa-se uma seção reta do cilindro, sendo uma com r < R e a outra com r > R. Solução: Sabemos que o campo é dado por \frac{𝜇₀.i}{2𝜋r} e a densidade de corrente é dada por \frac{i}{𝜋R^{2}}, o que nos leva a i_{𝑒𝑛𝑣} = i \frac{𝜋 r^{2}}{𝜋 R^{2}} = i \frac{r^{2}}{R^{2}}. Sendo \small\int B.d𝑠 = B (2𝜋r) = 𝜇₀ i_{𝑒𝑛𝑣}, temos dentro do condutor (r < R): B (2𝜋r ) = 𝜇_{0} \frac{i r^{2}}{R^{2}} B = \frac{𝜇_{0} i r}{2𝜋 R^{2}} Fora do condutor (r > R), o valor do campo magnético é calculado da mesma forma que vimos para o fio retilíneo longo, conduzido por uma corrente i, independentemente do valor de R. O campo magnético de qualquer distribuição de corrente com simetria cilíndrica é igual ao produzido por um fio longo posicionado no eixo da distribuição.