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FENÔMENOS FÍSICOS AULA 6 CINEMÁTICA MRUV Prof Dr Carlos Eduardo Leal Professor Titular UVA 20221 Conceitos Básicos Aceleração relação entre a variação da velocidade de um corpo no espaço em relação ao tempo A aceleração também é uma grandeza vetorial possuindo direção sentido e módulo No SI a unidade de aceleração é metro por segundo quadrado ms2 ou ms2 Movimento Retilíneo Uniformemente Variado MRUV Movimento retilíneo uniformemente variado MRUV é descrito como um movimento de um móvel em relação a um referencial ao longo de uma reta na qual sua aceleração é sempre constante de modo que a velocidade do móvel sofre variações iguais em intervalos de tempo iguais No MRUV a aceleração média assim como sua aceleração instantânea são iguais Aceleração média Vamos considerar novamente o movimento de uma partícula ao longo do eixo Ox Suponha que em dado instante t1 a partícula esteja em um ponto P1 e possua um componente x da velocidade instantânea v1x e que em outro instante t2 a partícula esteja em um ponto P2 e possua um componente x da velocidade v2x Logo a variação do componente x da velocidade é Δvx v2x v1x em um intervalo de tempo Δt t2 t1 Definimos a aceleração média amx da partícula que se move de P1 a P2 como uma grandeza vetorial cujo componente x é dado pela razão entre Δvx a variação do componente x da velocidade e o intervalo de tempo Δt amx v2x v1x t2 t1 Δvx Δt 24 aceleração média movimento retilíneo Para o movimento retilíneo ao longo do eixo Ox chamamos amx simplesmente de aceleração média No Capítulo 3 encontraremos outros componentes do vetor aceleração média Quando a velocidade é expressa em metros por segundo e o tempo em segundos a aceleração média é expressa em metros por segundo por segundo ou mss Normalmente escrevemos isso como ms² e lemos metro por segundo ao quadrado t1 12 h v1 60 kmh t2 14 h v2 90 kmh am Δv Δt vf vi tf ti Variação da velocidade ms Valor da Aceleração Média ms² Intervalo de tempo s Aceleração instantânea aceleração instantânea no ponto P1 imaginamos que o ponto P2 da Figura 211 se aproxima continuamente do ponto P1 de modo que a aceleração média seja calculada em intervalos de tempo cada vez menores A aceleração instantânea é o limite da aceleração média quando o intervalo de tempo tende a zero Na linguagem do cálculo diferencial a aceleração instantânea é igual à taxa de variação da velocidade com o tempo Logo ax lim Δt 0 Δvx Δt dvx dt 25 aceleração instantânea movimento retilíneo Note que ax na Equação 25 é de fato o componente x do vetor aceleração instantânea no movimento retilíneo todos os demais componentes deste vetor são iguais a zero A partir de agora quando usarmos o termo aceleração estaremos designando a aceleração instantânea não a aceleração média Módulo da velocidade vi Velocidade v1i Módulo da velocidade vj Velocidade v2j x P1 P2 Movimento com aceleração constante Se uma partícula tem movimento retilíneo com aceleração constante ax a velocidade varia em quantidades iguais para intervalos de tempo iguais Entretanto a posição varia em quantidades diferentes para intervalos de tempo iguais porque a velocidade está variando Figura 215 Diagrama do movimento para uma partícula que se move em linha reta na direção positiva de x com aceleração constante positiva a A posição a velocidade e a aceleração são indicadas em cinco intervalos de tempo iguais Quando a aceleração ax é constante a aceleração média amx para qualquer intervalo de tempo é a mesma que ax Assim é fácil deduzir equações para a posição x e para a velocidade vx em função do tempo Para encontrar uma expressão para vx primeiro substituímos amx na Equação 24 por ax ax v2x v1x t2 t1 27 Agora faça t1 0 e suponha que t2 seja um instante posterior arbitrário t Usamos o símbolo v0x para a velocidade no instante t 0 a velocidade para qualquer instante t é vx Então a Equação 27 tomase ax vx v0x t 0 ou vx v0x ax t 28 somente para aceleração constante Gráfico aceleração versus tempo a x t no MRUV com aceleração constante A seguir queremos deduzir uma expressão para a posição x da partícula que se move com aceleração constante Para isso usaremos duas diferentes expressões para a velocidade média vm da partícula desde t 0 até um instante posterior t A primeira expressão resulta da definição de vm Equação 22 que permanece válida tanto no caso de aceleração constante quanto no caso de aceleração variável Denominamos a posição no instante t 0 de posição inicial e a representamos por x0 Designamos simplesmente por x a posição em um instante posterior t Para o intervalo de tempo Δt t 0 e para o deslocamento correspondente Δx x x0 a Equação 22 fornece vm x x0 t 29 Podemos também deduzir uma segunda expressão para vm válida somente no caso de aceleração constante de modo que o gráfico vx t seja uma linha reta como na Figura 217 e a velocidade varie com uma taxa constante Nesse caso a velocidade média durante qualquer intervalo de tempo é simplesmente a média aritmética desde o início até o instante final Para o intervalo de tempo de 0 a t vm v0x vx 2 210 somente para aceleração constante Vm deslocamento tempo ou Vm V1 V22 Substituindo a expressão de vx eq 28 na eq 210 obtemos Finalmente igualando a eq 29 com a eq 211 e simplificando o resultado Esta equação 212 mostra que se para um instante inicial t 0 a partícula está em uma posição x0 e possui velocidade v0x sua nova posição em qualquer instante t é dada pela soma de três termos a posição inicial x0 mais a distância v0x t que ela percorreria caso a velocidade permanecesse constante mais uma distância adicional 12 ax t2 produzida pela variação da velocidade t V MRU 0 t1 x x x x0 área do gráfico V x t Logo x x x0 v t xt x0 Vt x0 é constante V é constante t é a variável xt é a função posição conforme t varia Vt V0 a t Equação de uma reta a V t V V V0 a t Equação de Torricelli para o MRUV Em muitos problemas é conveniente usar uma equação que envolva a posição a velocidade e a constante aceleração que não leve em conta o tempo Para obtêla inicialmente explicitamos t na Equação 28 a seguir a expressão obtida deve ser substituída na Equação 212 e simplificada t vx v0x ax x x0 v0xvx v0x ax 12 ax vx v0x ax2 Transferindo o termo x0 para o membro esquerdo e multiplicando por 2ax 2axx x0 2v0x vx 2v0x2 vx2 2v0x vx v0x2 Finalmente ao simplificar obtemos vx2 v0x2 2axx x0 213 somente para aceleração constante RESUMO MRUV a constante vt v0 a t xt x0 v0 t a t2 2 v2 t v0 2 t0 2 a Δx GRÁFICOS no MUV V x t MRUV acelerado a 0 MRUV desacelerado a 0 MRU v é constante a 0 a MRUV acelerado b MRUV desacelerado c MRU EXERCÍCIOS MRUV 1 Um móvel parte com velocidade de 4 ms de um ponto de uma trajetória retilínea com aceleração constante de 5 ms² Ache sua velocidade no instante 16 s 2 Um móvel obedece a equação horária X610t2t² no sistema internacional a velocidade inicial e a aceleração desse móvel são respectivamente 3 Observando a equação horária de um determinado movimento x 20 5t 2t² podemos identificar que a velocidade inicial é de E qual o valor de x em um tempo de 2 minutos no SI 4 Em 2 horas a velocidade de um carro aumenta de 20 kmh a 120 kmh Qual a aceleração nesse intervalo de tempo 5 Um carro moviase em linha reta com velocidade de 20 ms quando o motorista pisou nos freios fazendo o carro parar em 5s A aceleração do carro nesse intervalo de tempo foi de 6 Um automóvel correndo com velocidade de 90 kmh é freado com aceleração constante e para em 5 s Qual a aceleração introduzida pelos freios 7 Um avião a jato partindo do repouso é submetido a uma aceleração constante de 4 ms² Qual o intervalo de tempo de aplicação desta aceleração para que o jato atinja a velocidade de decolagem de 160 ms Qual a distância percorrida até a decolagem 8 O maquinista aciona os freios de um trem reduzindo sua velocidade de 80 kmh para 60 kmh no intervalo de 1 minuto Determine a aceleração do trem nesse intervalo 9 Em cada caso classifique o movimento em progressivo ou retrógrado e acelerado ou retardado Gabarito MRUV 1 84 ms 2 10 ms e 4 ms² 3 5 ms e 29420m 4 50 kmh² 6 5 ms² 9 A progressivo e retardado B retrógrado e retardado C retrógrado e acelerado D progressivo e retardado Exemplo 24 CÁLCULOS ENVOLVENDO ACELERAÇÃO CONSTANTE Um motociclista se dirige para o leste ao longo de uma cidade do Estado de São Paulo e acelera a moto depois de passar pela placa que indica os limites da cidade Figura 220 Sua aceleração é constante e igual a 40 ms² No instante t 0 ele está a 50 m a leste do sinal movendose para leste a 15 ms a Determine sua posição e velocidade para t 20 s b Onde está o motociclista quando sua velocidade é de 25 ms EXECUTAR a podemos determinar a posição x em t 20 s usando a Equação 212 que fornece a posição x em função do tempo t x x0 v0xt 12 axt² 50 m 15 ms20 s 12 40 ms²20 s² 43 m Podemos achar a velocidade vx no mesmo instante usando a Equação 28 que fornece a velocidade vx em função do tempo t vx v0x axt 15 ms 40 ms²20 s 23 ms b Queremos encontrar o valor de t para vx 25 ms mas não sabemos quando a motocicleta possui essa velocidade Então usamos a Equação 213 que envolve x vx e ax mas não envolve t vx² v0x² 2axx x0 Explicitando x e substituindo os valores numéricos conhecidos obtemos Como alternativa podemos usar a Equação 28 para achar o tempo quando vx 25 ms vx v0x axt então t vx v0xax 25 ms 15 ms40 ms² 25 s Tendo obtido o tempo t podemos encontrar x usando a Equação 212c x x0 v0xt 12 axt² 50 m 15 ms25 s 12 40 ms²25 s² 55 m Exemplo 25 DOIS CORPOS COM ACELERAÇÕES DIFERENTES Um motorista dirige a uma velocidade constante de 15 ms quando passa em frente a uma escola onde a placa de limite de velocidade indica 10 ms Um policial que estava parado no local da placa acelera sua motocicleta e persegue o motorista com uma aceleração constante de 30 ms² Figura 221a a Qual o intervalo de tempo desde o início da perseguição até o momento em que o policial alcança o motorista b Qual é a velocidade do policial nesse instante c Que distância cada veículo percorreu até esse momento EXECUTAR a Para calcular o tempo t no momento em que o motorista e o policial estão na mesma posição aplicamos a Equação 212 x x0 v0xt 12axt² para cada veículo xM 0 v0M t 12 0t² v0M t xp 0 0 t 12ap t² 12ap t² Como xM xp no instante t igualamos as duas expressões anteriores e obtemos a seguinte solução para t v0M t 12 ap t² t 0 ou t 2v0M ap 215 ms30 ms² 10 s Existem dois instantes nos quais os dois veículos possuem o mesmo valor de x O primeiro t 0 corresponde ao ponto em que o motorista passa pela placa onde o policial estava O segundo t 10 s corresponde ao momento em que o policial alcança o motorista b Queremos o módulo da velocidade do policial vp no instante t encontrado na parte a Sua velocidade em qualquer instante é dada pela Equação 28 vp v0p ap t 0 30 ms²t Logo quando t 10 s achamos vp 30 ms No momento em que o policial alcança o motorista sua velocidade é o dobro da do motorista c Em 10 s a distância percorrida pelo motorista é xM v0M t 15 ms10 s 150 m e a distância percorrida pelo policial é xp 12 ap t² 12 30 ms²10 s² 150 m Isso confirma que no momento em que o policial alcança o motorista eles percorrem distâncias iguais b O policial e o motorista se encontram no intervalo t onde seus gráficos xt se cruzam Teste sua compreensão da Seção 24 O Exemplo 25 mostra quatro gráficos vx t para dois veículos Qual gráfico está correto b Motorista Policial c Motorista Policial c Motorista Policial d Motorista Policial No instante inicial o carro esta em repouso parado ou com velocidade inicial nula V00 na origem x0 0 e mantemse acelerado até o instante t1 Durante o intervalo t2 t1 o carro descreve um MRU e volta a acelerar até o instante t3 sendo a aceleração a2 a1 em seguida o carro mantem a velocidade ate o instante t4 Diante de um semáforo fechado o motorista aciona os freios até que o carro pare no instante t5 Faça os gráficos Posição versus Tempo Velocidade versus Tempo e Aceleração versus Tempo para todo o intervalo de tempo Equações de Movimento MRU x x0 vt MRUV x x0 v0 t ½ a t2 v v0 at v2 v0 2 2 a x x0 t x MRU V 0 MRUV a 0 MRUV a 0 MRUV a 0 MRU x1 x5 x4 x3 x2 t1 t5 t4 t3 t2 t v t1 t2 t3 t4 t5 Carro parou em t5 V0 V2 V1 MRUV a 0 MRUV a 0 MRUV a 0 MRU MRU t a t1 t2 t3 t4 t5 MRU MRU MRUV a 0 MRUV a 0 MRUV a 0 a1 a2 EXERCÍCIOS Um automóvel parte do repouso com aceleração constante de 25 ms2 em um percurso de 72 m Depois seu movimento passa a ser uniforme durante 10 s após o que é freado durante 4 s até que pare Obtenha a aceleração de freamento a distância percorrida até o inicio da freada a distancia percorrida durante a frenagem e o tempo total desde o início do movimento até o momento em que o carro pára Faça os gráficos posição versus tempo velocidade versus tempo e aceleração versus tempo para todo o movimento Um automóvel preto da marca GM está em movimento ao longo de uma estrada retilínea sem buracos a uma velocidade de 75 kmh Ao perceber um congestionamento a sua frente o motorista aplica os freios durante 3 s e reduz a velocidade para 47 kmh Supondo que a aceleração seja constante durante o período de aplicação dos freios calcule o valor dessa aceleração em ms2 Faça os gráficos posição versus tempo velocidade versus tempo e aceleração versus tempo para todo o movimento Um móvel parte do repouso com aceleração constante de intensidade igual a 20 ms² em uma trajetória retilínea Após 20 s começa a frear uniformemente até parar a 500 m do ponto de partida Calcule a aceleração de freada Um objeto parte do repouso de um ponto A e percorre em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado um trecho até outro ponto B No mesmo instante em que o primeiro objeto parte de A para B outro parte de B em direção à A em Movimento Retilíneo Uniforme velocidade constante A distância entre A e B é de 50 m Depois de 10 s da partida os objetos se cruzam exatamente no meio do percurso AB Com isso calcule a velocidade do móvel que partiu de B e a velocidade do objeto que partiu de A chegará em B Um fazendeiro precisa saber a que profundidade de um poço em sua propriedade para isso ele abandona uma pedra na boca do poço e espera ouvir o som da pedra atingindo a água Com um cronômetro ele observa que do momento em que ele soltou a pedra até o instante em que ouviu o som dela atingindo a água se passaram Qual é aproximadamente a altura do poço a partir da superfície da água Prof Dr Carlos Eduardo Leal ATIVIDADE EXTRA CLASSE EXERCÍCIOS Seção 24 Movimento com aceleração constante 221 Um antílope que se move com aceleração constante leva 70 s para percorrer uma distância de 700 m entre dois pontos Ao passar pelo segundo ponto sua velocidade é de 150 ms a Qual era sua velocidade quando passava pelo primeiro ponto b Qual era sua aceleração 222 Ao ser lançado pela catapulta da plataforma de um portaaviões um caça a jato atinge a velocidade de decolagem de 270 kmh em uma distância aproximada de 90 m Suponha acelecção constante a Calcule a aceleração do caça em ms² b Calcule o tempo necessário para o caça atingir essa velocidade de decolagem 223 Um arremesso rápido O arremesso mais rápido já medido de uma bola de beisebol saiu da mão do arremessador a uma velocidade de 450 ms Se o arremessador estava em contato com a bola a uma distância de 150 m e produziu aceleração constante a qual aceleração ele deu à bola e b quanto tempo ele levou para arremessála 224 Um saque no tênis No saque mais rápido já medido de tênis a bola deixou a raquete a 7314 ms O saque de uma bola de tênis normalmente está em contato com a raquete por 300 ms e parte do repouso Suponha que a aceleração seja constante a Qual foi a aceleração da bola nesse saque b Qual foi a distância percorrida pela bola durante o saque 225 Air bag de automóvel O corpo humano pode sobreviver a um trauma por acidente com aceleração negativa parada súbita quando o módulo de aceleração é menor do que 250 ms² cerca de 25 g Suponha que você sofra um acidente de automóvel com velocidade inicial de 105 kmh e seja amortecido por um air bag que infla automaticamente Qual deve ser a distância que o air bag se deforma para que você consiga sobreviver 226 Entrando na autoestrada Um carro está parado na rampa de acesso de uma autoestrada esperando uma diminuição do tráfego O motorista se move a uma aceleração constante ao longo da rampa para entrar na autoestrada O carro parte do repouso movese ao longo de uma linha reta e atinge uma velocidade de 20 ms no final da rampa de 120 m de comprimento a Qual é a aceleração do carro b Quanto tempo ele leva para percorrer a rampa c O tráfego na autoestrada se move com uma velocidade constante de 20 ms Qual é o deslocamento do tráfego enquanto o carro atravessa a rampa 227 Lançamento de nave espacial No lançamento a nave espacial pesa 45 milhões de libras Quando lançada a partir do repouso leva 80 s para atingir 161 kmh e ao final do primeiro minuto sua velocidade é 1610 kmh a Qual é a aceleração média em ms² da nave i durante os primeiros 80 s e ii entre 80 s e o final do primeiro minuto b Supondo que a aceleração seja constante durante cada intervalo de tempo mas não necessariamente a mesma em ambos os intervalos que distância a nave viajou i durante os primeiros 80 s e ii durante o intervalo entre 80 s e 10 min 228 De acordo com dados de testes recentes um automóvel percorre 0250 mi em 199 s a partir do repouso O mesmo carro ao frear a 600 mih em um piso seco para a 146 p Supondo uma aceleração constante em cada trecho do movimento mas não necessariamente a mesma aceleração ao reduzir ou ao acelerar a Determine a aceleração desse carro quando aumenta a velocidade e quando freia b Se a aceleração é constante a que velocidade em mih o carro deve estar se movendo após 0250 mi de aceleração A velocidade real medida é 700 mih o que isso diz sobre o movimento c Quanto tempo esse carro leva para parar ao frear a 600 mih 229 Um gato anda em uma linha reta à qual chamaremos de eixo 0x com a direção positiva para a direita Como um físico observador você mede o movimento desse gato e desenha um gráfico da velocidade do felino em função do tempo Figura 236 a Determine a velocidade do gato a t 40 s e a t 70 s b Qual é a aceleração do gato a t 30 s A t 60 s A t 70 s c Qual é a distância percorrida pelo gato nos primeiros 45 s De t 0 até t 75 s d Desenhe gráficos claros da aceleração e da posição do gato em função do tempo supondo que ele partiu da origem Figura 236 Exercício 229 230 Para r 0 um carro pára em um semáforo Quando a luz fica verde o carro começa a acelerar com uma taxa constante elevando sua velocidade para 20 ms 8 s depois de a luz ficar verde Ele se move com essa nova velocidade por uma distância de 60 m A seguir o motorista avista uma luz vermelha no cruzamento seguinte e começa a diminuir a velocidade com uma taxa constante O carro para no sinal vermelho a 180 m da posição para r 0 a Para o movimento do carro desenhe gráficos acurados de xr vf e af b Faça um diagrama do movimento como o da Figura 213b ou o da Figura 214b mostrando a posição a velocidade e a aceleração do carro 231 O gráfico da Figura 237 mostra a velocidade da motocicleta de um policial em função do tempo a Calcule a aceleração instantânea para r 3 s r 7 s e r 11 s b Qual foi o deslocamento do policial nos 5 s iniciais E nos 9 s iniciais E nos 13 s iniciais Figura 237 Exercício 231 232 O gráfico da Figura 238 mostra a aceleração de um modelo de locomotiva que se move no eixo Ox Faça um gráfico da velocidade e da posição sabendo que x 0 e vx 0 para r 0 Figura 238 Exercício 232 234 Um trem de metrô parte do repouso em uma estação e acelera com uma taxa constante de 160 ms² durante 140 s Ele viaja com velocidade constante durante 700 s e reduz a velocidade com uma taxa constante de 350 ms² até parar na estação seguinte Calcule a distância total percorrida 235 Dois carros A e B movemse no eixo Ox O gráfico da Figura 239 mostra as posições de A e B em função do tempo a Faça um diagrama do movimento como o da Figura 213b ou o da Figura 214b mostrando a posição a velocidade e a aceleração do carro para r 0 r 1 s e r 3 s b Para que tempos caso exista algum A e B possuem a mesma posição c Faça um gráfico da velocidade versus tempo para A e B d Para que tempos caso exista algum A e B possuem a mesma velocidade e Para que tempos caso exista algum o carro B ultrapassa o carro A Figura 239 Exercício 235 236 No momento em que um sinal luminoso fica verde um carro que estava parado começa a moverse com aceleração constante de 320 ms² No mesmo instante um caminhão que se desloca com velocidade constante de 200 ms ultrapassa o carro a Qual a distância percorrida a partir do sinal para que o carro ultrapasse o caminhão b Qual é a velocidade do carro no momento em que ultrapassa o caminhão c Faça um gráfico xr dos movimentos desses dois veículos Considere x 0 o ponto de interseção inicial d Faça um gráfico vfr dos movimentos desses dois veículos Vídeos Sugeridos EXPERIMENTO httpswwwyoutubecomwatchvXvt0sphjmHkt54sabchannelOFC3ADsico httpswwwyoutubecomwatchvCm8gWFJvTEIabchannelMarcosFCoronheiro httpswwwyoutubecomwatchvXK5lDFaLm10abchannelC380LuzdaF C3ADsica httpswwwyoutubecomwatchvOK5b2N6e5oabchannelQuebratudonoEnem21 Fim
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FENÔMENOS FÍSICOS AULA 6 CINEMÁTICA MRUV Prof Dr Carlos Eduardo Leal Professor Titular UVA 20221 Conceitos Básicos Aceleração relação entre a variação da velocidade de um corpo no espaço em relação ao tempo A aceleração também é uma grandeza vetorial possuindo direção sentido e módulo No SI a unidade de aceleração é metro por segundo quadrado ms2 ou ms2 Movimento Retilíneo Uniformemente Variado MRUV Movimento retilíneo uniformemente variado MRUV é descrito como um movimento de um móvel em relação a um referencial ao longo de uma reta na qual sua aceleração é sempre constante de modo que a velocidade do móvel sofre variações iguais em intervalos de tempo iguais No MRUV a aceleração média assim como sua aceleração instantânea são iguais Aceleração média Vamos considerar novamente o movimento de uma partícula ao longo do eixo Ox Suponha que em dado instante t1 a partícula esteja em um ponto P1 e possua um componente x da velocidade instantânea v1x e que em outro instante t2 a partícula esteja em um ponto P2 e possua um componente x da velocidade v2x Logo a variação do componente x da velocidade é Δvx v2x v1x em um intervalo de tempo Δt t2 t1 Definimos a aceleração média amx da partícula que se move de P1 a P2 como uma grandeza vetorial cujo componente x é dado pela razão entre Δvx a variação do componente x da velocidade e o intervalo de tempo Δt amx v2x v1x t2 t1 Δvx Δt 24 aceleração média movimento retilíneo Para o movimento retilíneo ao longo do eixo Ox chamamos amx simplesmente de aceleração média No Capítulo 3 encontraremos outros componentes do vetor aceleração média Quando a velocidade é expressa em metros por segundo e o tempo em segundos a aceleração média é expressa em metros por segundo por segundo ou mss Normalmente escrevemos isso como ms² e lemos metro por segundo ao quadrado t1 12 h v1 60 kmh t2 14 h v2 90 kmh am Δv Δt vf vi tf ti Variação da velocidade ms Valor da Aceleração Média ms² Intervalo de tempo s Aceleração instantânea aceleração instantânea no ponto P1 imaginamos que o ponto P2 da Figura 211 se aproxima continuamente do ponto P1 de modo que a aceleração média seja calculada em intervalos de tempo cada vez menores A aceleração instantânea é o limite da aceleração média quando o intervalo de tempo tende a zero Na linguagem do cálculo diferencial a aceleração instantânea é igual à taxa de variação da velocidade com o tempo Logo ax lim Δt 0 Δvx Δt dvx dt 25 aceleração instantânea movimento retilíneo Note que ax na Equação 25 é de fato o componente x do vetor aceleração instantânea no movimento retilíneo todos os demais componentes deste vetor são iguais a zero A partir de agora quando usarmos o termo aceleração estaremos designando a aceleração instantânea não a aceleração média Módulo da velocidade vi Velocidade v1i Módulo da velocidade vj Velocidade v2j x P1 P2 Movimento com aceleração constante Se uma partícula tem movimento retilíneo com aceleração constante ax a velocidade varia em quantidades iguais para intervalos de tempo iguais Entretanto a posição varia em quantidades diferentes para intervalos de tempo iguais porque a velocidade está variando Figura 215 Diagrama do movimento para uma partícula que se move em linha reta na direção positiva de x com aceleração constante positiva a A posição a velocidade e a aceleração são indicadas em cinco intervalos de tempo iguais Quando a aceleração ax é constante a aceleração média amx para qualquer intervalo de tempo é a mesma que ax Assim é fácil deduzir equações para a posição x e para a velocidade vx em função do tempo Para encontrar uma expressão para vx primeiro substituímos amx na Equação 24 por ax ax v2x v1x t2 t1 27 Agora faça t1 0 e suponha que t2 seja um instante posterior arbitrário t Usamos o símbolo v0x para a velocidade no instante t 0 a velocidade para qualquer instante t é vx Então a Equação 27 tomase ax vx v0x t 0 ou vx v0x ax t 28 somente para aceleração constante Gráfico aceleração versus tempo a x t no MRUV com aceleração constante A seguir queremos deduzir uma expressão para a posição x da partícula que se move com aceleração constante Para isso usaremos duas diferentes expressões para a velocidade média vm da partícula desde t 0 até um instante posterior t A primeira expressão resulta da definição de vm Equação 22 que permanece válida tanto no caso de aceleração constante quanto no caso de aceleração variável Denominamos a posição no instante t 0 de posição inicial e a representamos por x0 Designamos simplesmente por x a posição em um instante posterior t Para o intervalo de tempo Δt t 0 e para o deslocamento correspondente Δx x x0 a Equação 22 fornece vm x x0 t 29 Podemos também deduzir uma segunda expressão para vm válida somente no caso de aceleração constante de modo que o gráfico vx t seja uma linha reta como na Figura 217 e a velocidade varie com uma taxa constante Nesse caso a velocidade média durante qualquer intervalo de tempo é simplesmente a média aritmética desde o início até o instante final Para o intervalo de tempo de 0 a t vm v0x vx 2 210 somente para aceleração constante Vm deslocamento tempo ou Vm V1 V22 Substituindo a expressão de vx eq 28 na eq 210 obtemos Finalmente igualando a eq 29 com a eq 211 e simplificando o resultado Esta equação 212 mostra que se para um instante inicial t 0 a partícula está em uma posição x0 e possui velocidade v0x sua nova posição em qualquer instante t é dada pela soma de três termos a posição inicial x0 mais a distância v0x t que ela percorreria caso a velocidade permanecesse constante mais uma distância adicional 12 ax t2 produzida pela variação da velocidade t V MRU 0 t1 x x x x0 área do gráfico V x t Logo x x x0 v t xt x0 Vt x0 é constante V é constante t é a variável xt é a função posição conforme t varia Vt V0 a t Equação de uma reta a V t V V V0 a t Equação de Torricelli para o MRUV Em muitos problemas é conveniente usar uma equação que envolva a posição a velocidade e a constante aceleração que não leve em conta o tempo Para obtêla inicialmente explicitamos t na Equação 28 a seguir a expressão obtida deve ser substituída na Equação 212 e simplificada t vx v0x ax x x0 v0xvx v0x ax 12 ax vx v0x ax2 Transferindo o termo x0 para o membro esquerdo e multiplicando por 2ax 2axx x0 2v0x vx 2v0x2 vx2 2v0x vx v0x2 Finalmente ao simplificar obtemos vx2 v0x2 2axx x0 213 somente para aceleração constante RESUMO MRUV a constante vt v0 a t xt x0 v0 t a t2 2 v2 t v0 2 t0 2 a Δx GRÁFICOS no MUV V x t MRUV acelerado a 0 MRUV desacelerado a 0 MRU v é constante a 0 a MRUV acelerado b MRUV desacelerado c MRU EXERCÍCIOS MRUV 1 Um móvel parte com velocidade de 4 ms de um ponto de uma trajetória retilínea com aceleração constante de 5 ms² Ache sua velocidade no instante 16 s 2 Um móvel obedece a equação horária X610t2t² no sistema internacional a velocidade inicial e a aceleração desse móvel são respectivamente 3 Observando a equação horária de um determinado movimento x 20 5t 2t² podemos identificar que a velocidade inicial é de E qual o valor de x em um tempo de 2 minutos no SI 4 Em 2 horas a velocidade de um carro aumenta de 20 kmh a 120 kmh Qual a aceleração nesse intervalo de tempo 5 Um carro moviase em linha reta com velocidade de 20 ms quando o motorista pisou nos freios fazendo o carro parar em 5s A aceleração do carro nesse intervalo de tempo foi de 6 Um automóvel correndo com velocidade de 90 kmh é freado com aceleração constante e para em 5 s Qual a aceleração introduzida pelos freios 7 Um avião a jato partindo do repouso é submetido a uma aceleração constante de 4 ms² Qual o intervalo de tempo de aplicação desta aceleração para que o jato atinja a velocidade de decolagem de 160 ms Qual a distância percorrida até a decolagem 8 O maquinista aciona os freios de um trem reduzindo sua velocidade de 80 kmh para 60 kmh no intervalo de 1 minuto Determine a aceleração do trem nesse intervalo 9 Em cada caso classifique o movimento em progressivo ou retrógrado e acelerado ou retardado Gabarito MRUV 1 84 ms 2 10 ms e 4 ms² 3 5 ms e 29420m 4 50 kmh² 6 5 ms² 9 A progressivo e retardado B retrógrado e retardado C retrógrado e acelerado D progressivo e retardado Exemplo 24 CÁLCULOS ENVOLVENDO ACELERAÇÃO CONSTANTE Um motociclista se dirige para o leste ao longo de uma cidade do Estado de São Paulo e acelera a moto depois de passar pela placa que indica os limites da cidade Figura 220 Sua aceleração é constante e igual a 40 ms² No instante t 0 ele está a 50 m a leste do sinal movendose para leste a 15 ms a Determine sua posição e velocidade para t 20 s b Onde está o motociclista quando sua velocidade é de 25 ms EXECUTAR a podemos determinar a posição x em t 20 s usando a Equação 212 que fornece a posição x em função do tempo t x x0 v0xt 12 axt² 50 m 15 ms20 s 12 40 ms²20 s² 43 m Podemos achar a velocidade vx no mesmo instante usando a Equação 28 que fornece a velocidade vx em função do tempo t vx v0x axt 15 ms 40 ms²20 s 23 ms b Queremos encontrar o valor de t para vx 25 ms mas não sabemos quando a motocicleta possui essa velocidade Então usamos a Equação 213 que envolve x vx e ax mas não envolve t vx² v0x² 2axx x0 Explicitando x e substituindo os valores numéricos conhecidos obtemos Como alternativa podemos usar a Equação 28 para achar o tempo quando vx 25 ms vx v0x axt então t vx v0xax 25 ms 15 ms40 ms² 25 s Tendo obtido o tempo t podemos encontrar x usando a Equação 212c x x0 v0xt 12 axt² 50 m 15 ms25 s 12 40 ms²25 s² 55 m Exemplo 25 DOIS CORPOS COM ACELERAÇÕES DIFERENTES Um motorista dirige a uma velocidade constante de 15 ms quando passa em frente a uma escola onde a placa de limite de velocidade indica 10 ms Um policial que estava parado no local da placa acelera sua motocicleta e persegue o motorista com uma aceleração constante de 30 ms² Figura 221a a Qual o intervalo de tempo desde o início da perseguição até o momento em que o policial alcança o motorista b Qual é a velocidade do policial nesse instante c Que distância cada veículo percorreu até esse momento EXECUTAR a Para calcular o tempo t no momento em que o motorista e o policial estão na mesma posição aplicamos a Equação 212 x x0 v0xt 12axt² para cada veículo xM 0 v0M t 12 0t² v0M t xp 0 0 t 12ap t² 12ap t² Como xM xp no instante t igualamos as duas expressões anteriores e obtemos a seguinte solução para t v0M t 12 ap t² t 0 ou t 2v0M ap 215 ms30 ms² 10 s Existem dois instantes nos quais os dois veículos possuem o mesmo valor de x O primeiro t 0 corresponde ao ponto em que o motorista passa pela placa onde o policial estava O segundo t 10 s corresponde ao momento em que o policial alcança o motorista b Queremos o módulo da velocidade do policial vp no instante t encontrado na parte a Sua velocidade em qualquer instante é dada pela Equação 28 vp v0p ap t 0 30 ms²t Logo quando t 10 s achamos vp 30 ms No momento em que o policial alcança o motorista sua velocidade é o dobro da do motorista c Em 10 s a distância percorrida pelo motorista é xM v0M t 15 ms10 s 150 m e a distância percorrida pelo policial é xp 12 ap t² 12 30 ms²10 s² 150 m Isso confirma que no momento em que o policial alcança o motorista eles percorrem distâncias iguais b O policial e o motorista se encontram no intervalo t onde seus gráficos xt se cruzam Teste sua compreensão da Seção 24 O Exemplo 25 mostra quatro gráficos vx t para dois veículos Qual gráfico está correto b Motorista Policial c Motorista Policial c Motorista Policial d Motorista Policial No instante inicial o carro esta em repouso parado ou com velocidade inicial nula V00 na origem x0 0 e mantemse acelerado até o instante t1 Durante o intervalo t2 t1 o carro descreve um MRU e volta a acelerar até o instante t3 sendo a aceleração a2 a1 em seguida o carro mantem a velocidade ate o instante t4 Diante de um semáforo fechado o motorista aciona os freios até que o carro pare no instante t5 Faça os gráficos Posição versus Tempo Velocidade versus Tempo e Aceleração versus Tempo para todo o intervalo de tempo Equações de Movimento MRU x x0 vt MRUV x x0 v0 t ½ a t2 v v0 at v2 v0 2 2 a x x0 t x MRU V 0 MRUV a 0 MRUV a 0 MRUV a 0 MRU x1 x5 x4 x3 x2 t1 t5 t4 t3 t2 t v t1 t2 t3 t4 t5 Carro parou em t5 V0 V2 V1 MRUV a 0 MRUV a 0 MRUV a 0 MRU MRU t a t1 t2 t3 t4 t5 MRU MRU MRUV a 0 MRUV a 0 MRUV a 0 a1 a2 EXERCÍCIOS Um automóvel parte do repouso com aceleração constante de 25 ms2 em um percurso de 72 m Depois seu movimento passa a ser uniforme durante 10 s após o que é freado durante 4 s até que pare Obtenha a aceleração de freamento a distância percorrida até o inicio da freada a distancia percorrida durante a frenagem e o tempo total desde o início do movimento até o momento em que o carro pára Faça os gráficos posição versus tempo velocidade versus tempo e aceleração versus tempo para todo o movimento Um automóvel preto da marca GM está em movimento ao longo de uma estrada retilínea sem buracos a uma velocidade de 75 kmh Ao perceber um congestionamento a sua frente o motorista aplica os freios durante 3 s e reduz a velocidade para 47 kmh Supondo que a aceleração seja constante durante o período de aplicação dos freios calcule o valor dessa aceleração em ms2 Faça os gráficos posição versus tempo velocidade versus tempo e aceleração versus tempo para todo o movimento Um móvel parte do repouso com aceleração constante de intensidade igual a 20 ms² em uma trajetória retilínea Após 20 s começa a frear uniformemente até parar a 500 m do ponto de partida Calcule a aceleração de freada Um objeto parte do repouso de um ponto A e percorre em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado um trecho até outro ponto B No mesmo instante em que o primeiro objeto parte de A para B outro parte de B em direção à A em Movimento Retilíneo Uniforme velocidade constante A distância entre A e B é de 50 m Depois de 10 s da partida os objetos se cruzam exatamente no meio do percurso AB Com isso calcule a velocidade do móvel que partiu de B e a velocidade do objeto que partiu de A chegará em B Um fazendeiro precisa saber a que profundidade de um poço em sua propriedade para isso ele abandona uma pedra na boca do poço e espera ouvir o som da pedra atingindo a água Com um cronômetro ele observa que do momento em que ele soltou a pedra até o instante em que ouviu o som dela atingindo a água se passaram Qual é aproximadamente a altura do poço a partir da superfície da água Prof Dr Carlos Eduardo Leal ATIVIDADE EXTRA CLASSE EXERCÍCIOS Seção 24 Movimento com aceleração constante 221 Um antílope que se move com aceleração constante leva 70 s para percorrer uma distância de 700 m entre dois pontos Ao passar pelo segundo ponto sua velocidade é de 150 ms a Qual era sua velocidade quando passava pelo primeiro ponto b Qual era sua aceleração 222 Ao ser lançado pela catapulta da plataforma de um portaaviões um caça a jato atinge a velocidade de decolagem de 270 kmh em uma distância aproximada de 90 m Suponha acelecção constante a Calcule a aceleração do caça em ms² b Calcule o tempo necessário para o caça atingir essa velocidade de decolagem 223 Um arremesso rápido O arremesso mais rápido já medido de uma bola de beisebol saiu da mão do arremessador a uma velocidade de 450 ms Se o arremessador estava em contato com a bola a uma distância de 150 m e produziu aceleração constante a qual aceleração ele deu à bola e b quanto tempo ele levou para arremessála 224 Um saque no tênis No saque mais rápido já medido de tênis a bola deixou a raquete a 7314 ms O saque de uma bola de tênis normalmente está em contato com a raquete por 300 ms e parte do repouso Suponha que a aceleração seja constante a Qual foi a aceleração da bola nesse saque b Qual foi a distância percorrida pela bola durante o saque 225 Air bag de automóvel O corpo humano pode sobreviver a um trauma por acidente com aceleração negativa parada súbita quando o módulo de aceleração é menor do que 250 ms² cerca de 25 g Suponha que você sofra um acidente de automóvel com velocidade inicial de 105 kmh e seja amortecido por um air bag que infla automaticamente Qual deve ser a distância que o air bag se deforma para que você consiga sobreviver 226 Entrando na autoestrada Um carro está parado na rampa de acesso de uma autoestrada esperando uma diminuição do tráfego O motorista se move a uma aceleração constante ao longo da rampa para entrar na autoestrada O carro parte do repouso movese ao longo de uma linha reta e atinge uma velocidade de 20 ms no final da rampa de 120 m de comprimento a Qual é a aceleração do carro b Quanto tempo ele leva para percorrer a rampa c O tráfego na autoestrada se move com uma velocidade constante de 20 ms Qual é o deslocamento do tráfego enquanto o carro atravessa a rampa 227 Lançamento de nave espacial No lançamento a nave espacial pesa 45 milhões de libras Quando lançada a partir do repouso leva 80 s para atingir 161 kmh e ao final do primeiro minuto sua velocidade é 1610 kmh a Qual é a aceleração média em ms² da nave i durante os primeiros 80 s e ii entre 80 s e o final do primeiro minuto b Supondo que a aceleração seja constante durante cada intervalo de tempo mas não necessariamente a mesma em ambos os intervalos que distância a nave viajou i durante os primeiros 80 s e ii durante o intervalo entre 80 s e 10 min 228 De acordo com dados de testes recentes um automóvel percorre 0250 mi em 199 s a partir do repouso O mesmo carro ao frear a 600 mih em um piso seco para a 146 p Supondo uma aceleração constante em cada trecho do movimento mas não necessariamente a mesma aceleração ao reduzir ou ao acelerar a Determine a aceleração desse carro quando aumenta a velocidade e quando freia b Se a aceleração é constante a que velocidade em mih o carro deve estar se movendo após 0250 mi de aceleração A velocidade real medida é 700 mih o que isso diz sobre o movimento c Quanto tempo esse carro leva para parar ao frear a 600 mih 229 Um gato anda em uma linha reta à qual chamaremos de eixo 0x com a direção positiva para a direita Como um físico observador você mede o movimento desse gato e desenha um gráfico da velocidade do felino em função do tempo Figura 236 a Determine a velocidade do gato a t 40 s e a t 70 s b Qual é a aceleração do gato a t 30 s A t 60 s A t 70 s c Qual é a distância percorrida pelo gato nos primeiros 45 s De t 0 até t 75 s d Desenhe gráficos claros da aceleração e da posição do gato em função do tempo supondo que ele partiu da origem Figura 236 Exercício 229 230 Para r 0 um carro pára em um semáforo Quando a luz fica verde o carro começa a acelerar com uma taxa constante elevando sua velocidade para 20 ms 8 s depois de a luz ficar verde Ele se move com essa nova velocidade por uma distância de 60 m A seguir o motorista avista uma luz vermelha no cruzamento seguinte e começa a diminuir a velocidade com uma taxa constante O carro para no sinal vermelho a 180 m da posição para r 0 a Para o movimento do carro desenhe gráficos acurados de xr vf e af b Faça um diagrama do movimento como o da Figura 213b ou o da Figura 214b mostrando a posição a velocidade e a aceleração do carro 231 O gráfico da Figura 237 mostra a velocidade da motocicleta de um policial em função do tempo a Calcule a aceleração instantânea para r 3 s r 7 s e r 11 s b Qual foi o deslocamento do policial nos 5 s iniciais E nos 9 s iniciais E nos 13 s iniciais Figura 237 Exercício 231 232 O gráfico da Figura 238 mostra a aceleração de um modelo de locomotiva que se move no eixo Ox Faça um gráfico da velocidade e da posição sabendo que x 0 e vx 0 para r 0 Figura 238 Exercício 232 234 Um trem de metrô parte do repouso em uma estação e acelera com uma taxa constante de 160 ms² durante 140 s Ele viaja com velocidade constante durante 700 s e reduz a velocidade com uma taxa constante de 350 ms² até parar na estação seguinte Calcule a distância total percorrida 235 Dois carros A e B movemse no eixo Ox O gráfico da Figura 239 mostra as posições de A e B em função do tempo a Faça um diagrama do movimento como o da Figura 213b ou o da Figura 214b mostrando a posição a velocidade e a aceleração do carro para r 0 r 1 s e r 3 s b Para que tempos caso exista algum A e B possuem a mesma posição c Faça um gráfico da velocidade versus tempo para A e B d Para que tempos caso exista algum A e B possuem a mesma velocidade e Para que tempos caso exista algum o carro B ultrapassa o carro A Figura 239 Exercício 235 236 No momento em que um sinal luminoso fica verde um carro que estava parado começa a moverse com aceleração constante de 320 ms² No mesmo instante um caminhão que se desloca com velocidade constante de 200 ms ultrapassa o carro a Qual a distância percorrida a partir do sinal para que o carro ultrapasse o caminhão b Qual é a velocidade do carro no momento em que ultrapassa o caminhão c Faça um gráfico xr dos movimentos desses dois veículos Considere x 0 o ponto de interseção inicial d Faça um gráfico vfr dos movimentos desses dois veículos Vídeos Sugeridos EXPERIMENTO httpswwwyoutubecomwatchvXvt0sphjmHkt54sabchannelOFC3ADsico httpswwwyoutubecomwatchvCm8gWFJvTEIabchannelMarcosFCoronheiro httpswwwyoutubecomwatchvXK5lDFaLm10abchannelC380LuzdaF C3ADsica httpswwwyoutubecomwatchvOK5b2N6e5oabchannelQuebratudonoEnem21 Fim