Estudo sobre Tensão e Deformação em Materiais Dúcteis e Frágeis

MEC0404 MECANICA DOS SOLIDOS Docente Everton Carneiro da Silva RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Tensão e Deformação Carregamento axial Resistência dos Materiais Tensão e Deformação Em projetos de estruturas e máquinas devese considerar não somente a análise de tensões evolvidas além disso as deformações impostas não permitindo que se tornem tão grandes a ponto de impedirem que as estruturas ou máquinas desempenhem a função para a qual são destinadas Considerando as estruturas de máquinas como deformáveis nos permitem determinar forças e reações que são estaticamente indeterminadas Este capítulo é dedicado ao estudo das deformações causadas por cargas axiais Definições 𝛿 deformação total ou elongação 𝜀 deformação específica ou simplismente deformação 𝜎 tensão normal Introdução 𝜎 𝑃 𝐴 Tensão Deformação Resistência dos Materiais Tensão e Deformação 𝜀 𝛿 𝐿 Deformação 𝜎 2𝑃 2𝐴 𝑃 𝐴 𝜀 𝛿 𝐿 𝜎 2𝑃 2𝐴 𝑃 𝐴 𝜀 2𝛿 2𝐿 𝛿 𝐿 Diagrama TensãoDeformação Máquina de Ensaio de Tração Resistência dos Materiais Tensão e Deformação Diagrama TensãoDeformação Material Dúctil No caso do alumínio e de vários outros materiais dúcteis não existe o patamar de escoamento As tensões continuam aumentando porém de forma não linear Convencionouse tomar a Tensão de Escoamento o ponto onde a deformação permanente atinge 𝛆𝐏 𝟎 𝟐 Resistência dos Materiais Tensão e Deformação Diagrama TensãoDeformação Material Frágil Resistência dos Materiais Tensão e Deformação Distinguese um material dúctil de um frágil pelo Alongamento Percentual que os dúcteis apresentam maior que 5 Para o aço estrutural é comum uma RPA da ordem de 60 e 70 𝐴𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝐿 𝐿0 𝐿0 100 𝑅𝑒𝑑𝑢çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 Á𝑟𝑒𝑎 𝐴0 𝐴 𝐴0 100 Lei de Hooke Módulo de Elasticidade Até o Limite de Proporcionalidade 𝜎 𝐸𝜀 𝐸 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑜𝑢 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑌𝑜𝑢𝑛𝑔 Observamos que todos os materiais representados no diagrama ao lado têm o mesmo Módulo de Elasticidade ou seja sua rigidez é a mesma dentro da região elástica Resistência dos Materiais Tensão e Deformação Deformação Sob Carga Axial Muitos cientistas utilizam as tensões e as defromações específicas verdadeiras nos seu estudos 𝜀v 𝜀 𝐿 𝐿 ou 𝜀v 𝐿0 𝐿 𝑑𝐿 𝐿 ln 𝐿 𝐿0 e Resistência dos Materiais Tensão e Deformação Da Lei de Hooke 𝜎 𝐸𝜀 𝜀 𝜎 𝐸 𝑃 𝐴𝐸 Da definição de deformação 𝜀 𝛿 𝐿 𝛿 𝑃𝐿 𝐴𝐸 Se temos variação nas cargas área da seção ou propriedade do material 𝛿 𝑖 𝑃𝑖𝐿𝑖 𝐴𝑖𝐸𝑖 𝜎v 𝑃 𝐴v O engenheiro tem a responsabilidade de determiner se uma determinada carga leva à tensões e deformações aceitáveis usando dados fáceis de avaliar Usará então o diagrama tensãodeformação obtido através dos valores da Área e do comprimento do corpo de provas Comportamento Elástico e Plástico do Material Se a deformação desaparece quando a carga é removida o material deformou elasticamente A maior tensão onde isto ocorre é chamada de Limite de Elasticidade Resistência dos Materiais Tensão e Deformação Quando a deformação não retorna a zero a remoção da carga o material deformou plasticamente Para que haja deformação plástica o material precisa atingir a Tensão de Escoamento Fadiga O diagrama ao lado mostra a relação entre a tensão de falha por fadiga e o número de ciclos de aplicação da mesma Um membro pode falhar por fadiga sob uma tensão significativamente inferior a sua Tensão Última se submetido a vários ciclos de aplicação da carga Quando a tensão é reduzida para um nível abaixo do Limite de Endurança não ocorre a falha por fadiga Resistência dos Materiais Tensão e Deformação Exemplo 21 Determine a deformação da barra de aço da figura sob ação das cargas indicadas 𝐸 200 GPa Resistência dos Materiais Tensão e Deformação Exemplo 21 SOLUÇÃO Resistência dos Materiais Tensão e Deformação 𝛿 𝑖 𝑃𝑖𝐿𝑖 𝐴𝑖𝐸𝑖 1 𝐸 𝑃1𝐿1 𝐴1 𝑃2𝐿2 𝐴2 𝑃3𝐿3 𝐴3 Calculando a deformação total 𝛿 1 200 109 400 103 03 600 106 100 103 03 600 106 200 103 04 200 106 𝛿 275 mm 𝑃1 400 kN 𝑃2 100 kN 𝑃3 200 kN Exemplo resolvido 21 A barra rígida BDE é suportada por duas barras AB e CD A barra AB é de alumínio 𝐸 70 GPa e tem uma seção transversal de 500 mm2 A barra CD é de aço 𝐸 200 GPa e tem uma seção transversal de 600 mm2 Para a força de 30 kN mostrada determine a deflexão a de B b de D c de E Resistência dos Materiais Tensão e Deformação Exemplo resolvido 22 Resistência dos Materiais Tensão e Deformação 𝑀𝐵 0 0 30 kN 06 m 𝐹𝐶𝐷 02 m 𝐹𝐶𝐷 90 kN tração SOLUÇÃO Diagrama de Corpo Livre BDE 𝑀𝐷 0 0 30 kN 04 m 𝐹𝐴𝐵 02 m 𝐹𝐴𝐵 60 kN compressão Deformação total AB 𝛿𝐵 𝑃𝐿 𝐴𝐸 𝛿𝐵 60 103 N 03 m 500 106 m270 109 Pa 𝛿𝐵 514 106 m Deformação total CD 𝛿𝐷 𝑃𝐿 𝐴𝐸 𝛿𝐷 90 103 N 04 m 600 106 m2200 109 Pa 𝛿𝐷 300 106 m 𝛿𝐵 0514 mm 𝛿𝐷 0300 mm Exemplo resolvido 22 Deslocamento de E Resistência dos Materiais Tensão e Deformação 𝐵𝐵 𝐷𝐷 𝐵𝐻 𝐻𝐷 0514 mm 0300 mm 200 mm 𝑥 𝑥 𝑥 734 mm 𝐸𝐸 𝐷𝐷 𝐻𝐸 𝐻𝐷 𝛿𝐸 0300 mm 400 737 mm 737 mm 𝛿𝐸 1928 mm 𝛿𝐸 1928 mm Sistemas Estaticamente Indeterminados Também chamados de sistemas hiperestáticos são aqueles onde o número de equações da estática aplicáveis ao problema é menor que o número de incógnitas a resolver Para a sua solução lançase mão de equações auxiliares conseguidas a partir das condições de deslocamento Resistência dos Materiais Tensão e Deformação Sistemas Estaticamente Indeterminados Também chamados de sistemas hiperestáticos são aqueles onde o número de equações da estática aplicáveis ao problema é menor que o número de incógnitas a resolver Para a sua solução lançase mão de equações auxiliares conseguidas a partir das condições de deslocamento Um dos métodos de solução é o método da superposição que consiste em considerar uma das reações como superabundante Isto é as deformações devidas às cargas externas e devido à reação superabundante são calculadas separadamente e depois superpostas Resistência dos Materiais Tensão e Deformação 𝛿 𝛿𝐿 𝛿𝑅 0 Exemplo 24 Determine as reações em 𝐴 e 𝐵 para a barra de aço e o carregamento mostrado na figura Resistência dos Materiais Tensão e Deformação Exemplo 24 Determine as reações em 𝐴 e 𝐵 para a barra de aço e o carregamento mostrado na figura Resistência dos Materiais Tensão e Deformação V 0 RA RB 900 kN SOLUÇÃO 𝛿AD 𝛿DC 𝛿CK 𝛿KB 0 FKB RB FCK RB 600 FDC FAD RB 900 𝐹𝐴𝐷 𝐿𝐴𝐷 𝐸𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷 𝐹𝐷𝐶 𝐿𝐷𝐶 𝐸𝐷𝐶 𝐴𝐷𝐶 𝐹𝐶𝐾 𝐿𝐶𝐾 𝐸𝐶𝐾 𝐴𝐶𝐾 𝐹𝐾𝐵 𝐿𝐾𝐵 𝐸𝐾𝐵 𝐴𝐾𝐵 0 RB 900 015 250 106 RB 600 015 250 106 RB 600 015 400 106 RB 015 400 106 0 RB 577 kN e RA 323 kN Exemplo 24Método da Superposição Determine as reações em 𝐴 e 𝐵 para a barra de aço e o carregamento mostrado na figura Resistência dos Materiais Tensão e Deformação Exemplo 24Método da Superposição Determine as reações em 𝐴 e 𝐵 para a barra de aço e o carregamento mostrado na figura Resistência dos Materiais Tensão e Deformação Considere a reação em B como superabundante libere a barra desde suporte e calcule as deformações causadas pelas cargas externas aplicadas Calcule as deformações causadas pela reação superabundante em B O sistema requer que haja compatibilidade entre as deformações causadas pelas cargas externas e pela reação ou seja sua soma é nula neste caso SOLUÇÃO Exemplo 24Método da Superposição Resistência dos Materiais Tensão e Deformação SOLUÇÃO 𝑃1 0 𝐴1 𝐴2 400 106 m2 𝐿1 𝐿2 𝐿3 𝐿4 150 mm Deformação total devida às cargas externas Deformação total devida à reação 𝑃2 𝑃3 600 103 N 𝑃4 900 103 N 𝐴3 𝐴4 250 106 m2 𝛿𝐿 𝑖 𝑃𝑖𝐿𝑖 𝐴𝑖𝐸𝑖 1125 109 𝐸 𝑃1 𝑃2 𝑅𝐵 𝐴1 400 106 m2 𝐴2 250 106 m2 𝐿1 𝐿2 0300 m 𝛿𝑅 𝑖 𝑃𝑖𝐿𝑖 𝐴𝑖𝐸𝑖 195 103 𝑅𝐵 𝐸 Exemplo 24Método da Superposição Resistência dos Materiais Tensão e Deformação SOLUÇÃO 𝛿 𝛿𝐿 𝛿𝑅 0 Compatibilidade das deformações Cálculo da reação em A 𝛿 1125 109 𝐸 195 103 𝑅𝐵 𝐸 0 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 300 kN 600 kN 577 kN 𝑅𝐵 577 103 N 577 kN 𝑅𝐴 323 kN RA 323 kN RB 577 kN Tensões Devido a Variação de Temperatura Uma variação de temperatura resulta em uma variação no comprimento da barra ou 𝑑𝑖𝑙𝑎𝑡𝑎çã𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎 Se a barra está livre para deformar nenhuma tensão é induzida à mesma Porém se ela é impedida de deformar pelos suportes surge uma tensão chamada de tensão térmica A deformação térmica e a deformação causada pela reação superabundante precisam ser compatíveis 𝛿𝑇 𝛼 𝑇 𝐿 Resistência dos Materiais Tensão e Deformação 𝛿𝑃 𝑃𝐿 𝐴𝐸 𝛼 coeficiente de dilatação térmica 𝛿 𝛿𝑇 𝛿𝑃 0 𝛿 𝛿𝑇 𝛿𝑃 0 𝛼 𝑇 𝐿 𝑃𝐿 𝐴𝐸 0 𝑃 𝐴𝐸𝛼 𝑇 𝜎 𝑃 𝐴 𝐸𝛼 𝑇 Coeficiente de Poisson Para uma barra sujeita a uma carga axial temos A elongação na direção do eixo x é acompanhada de uma contração nas outras direções Assumindo que o material é isotrópico O coeficiente de Poisson é definido como Resistência dos Materiais Tensão e Deformação 𝜀𝑥 𝜎𝑥 𝐸 𝜎𝑦 𝜎𝑧 0 𝜈 deformação transversal deforamção axial 𝜀𝑦 𝜀𝑥 𝜀𝑧 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑧 0