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Engenharia Civil ·
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Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 3 FORÇAS DISTRIBUÍDAS 31 Considerações Iniciais Até agora no presente curso lidouse apenas com sistema de forças concentradas Porém em muitas aplicações de engenharia essa abordagem não é adequada em razão da natureza das forças eou a forma de sua aplicação na estrutura analisada Além disso diante da necessidade de se analisar os elementos estruturais em termos de efeitos internos fazse necessário abordagem mais realística possível da atuação dessas forças Exemplos Na realidade esfera tende a se deformar causando a distribuição da força resultante ao longo de uma superfície de contato Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 31 Considerações Iniciais cont As forças distribuídas podem ser modeladas de acordo com a geometria do corpo em que atuam ou seja i Distribuição linear atua ao longo de estruturas planas lineares tais como vigas e cabos Exemplos A intensidade da força distribuída linear é dada por FL Unidades Nm kgfm lbin lbft Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 31 Considerações Iniciais cont ii Distribuição bidimensional atua ao longo de superfícies da uma dada estrutura espacial ou plana Exemplos A intensidade da força distribuída ao longo de uma área é dada por FL2 Unidades Nm2 kgfm2 lbin2 lbft2 Obs As forças distribuídas em razão da ação de fluidos são denominadas de pressão enquanto que para forças internas em sólidos chamase tensões assunto a ser discutido na 3ª unidade do nosso curso Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 31 Considerações Iniciais cont iii Distribuição volumétrica atua em razão da atuação de campos de força também chamada de força de corpo Exemplos Peso próprio de um corpo A intensidade da força distribuída ao longo do volume é dada por FL3 Para o peso próprio essa intensidade é chamada de peso específico ou seja Unidades Nm3 kgfm3 lbin3 lbft3 E ainda o peso total do corpo é Para um corpo homogêneo g Massa específica Aceleração da gravidade V W dW dV Volume do corpo W V gV Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Considerese o corpo sólido no espaço sujeito ao seu peso próprio x y z r i j k vetor posição do C G do corpo Na realidade o sistema de forças no corpo é composto por infinitas forças DW paralelas aplicadas em pequenos elementos A idéia do conceito de Centro de Gravidade C G é substituir o sistema de forças infinito por outro de apenas uma força W concentrada 32 Centro de Gravidade eCentro de Massa x y z r i j k vetor posição de um ponto genérico Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Portanto temos W W W W D D F j j 32 Centro de Gravidade e Centro de Massa cont W W W W W W D D D Mo r j r j r j r j r r Eq2 Eq1 Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Para infinitos elementos com quantidades infinitesimais as Equações 1 e 2 tornamse 32 Centro de Gravidade e Centro de Massa cont W W W dW W W W dW x y z W x y z dW Wx Wy Wz xdW ydW xdW PORTANTO xdW ydW zdW x y z W W W D D r r r r i j k i j k i j k i j k Peso do corpo As coordenadas do Centro de gravidade Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 32 Centro de Gravidade e Centro de Massa cont E ainda sabendo que W m g e dW gdm Temse as expressões para o Centro de Massa do corpo xg dm x dm yg dm y dm zg dm z dm x y z m g m m g m m g m OBS O Centro de Massa é de uso mais geral na física pois não está associado ao campo gravitacional Eles são coincidentes por se admitir um campo gravitacional uniforme e paralelo ao longo do corpo o que é bastante razoável Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 33 Centroides ou Centro Geométricos As coordenadas do Centro de Massa de um corpo são dadas por Sabendo que e temse xdm y dm z dm x y z m m m Na grande parte das aplicações da engenharia é comum se ter ou seja corpo homogêneo então dV dm V m x dV y dV z dV x y z V V V cte xdV y dV z dV x y z V V V Coordenadas x y z do centroide do corpo de volume V OBS O centróide de um corpo é uma característica puramente geométrica portanto independente do campo gravitacional ou da densidade do corpo Esses três centros de gravidade geométrico e de massa são coincidentes apenas se O corpo é homogêneo e o campo gravitacional uniforme e paralelo ao longo do corpo Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 33 Centroides ou Centro Geométricos cont i Expressão do C G de figuras geométrica em formato de linha AL V Sendo dV AdL xdL y dL z dL x y z L L L Temse ii Expressão do C G para superfícies espessura t constante V At Sendo dV t dA xdA y dA z dA x y z A A A Temse Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Para uma área plana no plano xy por exemplo temse y x Q Q x y A A Onde y x Q xdA Q y dA Momentos estáticos de área em relação ao eixo y e x respectivamente 33 Centroides ou Centro Geométricos cont dA x y x y xdA y dA x y A A As coordenadas do Centróide são dadas por Chamando Temse y x Q A x x dA Q A y y dA OBS Os momentos estáticos de área não tem significado físico algum apenas levam esse nome em razão da analogia à determinação de um momento de uma força em relação a um eixo Também são chamados de Primeiros momentos de área Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr OBSERVAÇÕES IMPORTANTES 1 Sempre que a figura geométrica do corpo tiver um eixo de simetria o centróide dessa figura estará nesse eixo Ex 2 Em alguns casos o centróide de uma figura pode estar fora dela ou seja 33 Centróides ou Centro Geométricos cont cg cg cg cg Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr OBSERVAÇÕES IMPORTANTES CONT 3 Sempre que a figura for antisimétrica o centróide vai estar na origem dos eixos de antisimetria 33 Centróides ou Centro Geométricos cont cg Para todo xy existe um correspondente xy de forma que 0 0 y x Q xdA Q y dA Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr As coordenadas do centróide de uma figura geométrica são dadas por i Para sólidos ii Para Áreas iii Para Linhas Além disso o centro de massa de um corpo é dado por 34 Centróides e Centros de Massa determinação por integração xdV y dV z dV x y z V V V xdL y dL z dL x y z L L L xdA y dA z dA x y z A A A xdm y dm z dm x y z dm dm dm Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Escolha apropriada do elemento infinitesimal para integração 1º Ordem do elemento Em muitos casos é mais fácil integrar com um elemento de primeira ordem ou seja reduzir a integral tripla ou dupla para uma simples dA dxdy b Na situação a temos a Na situação b temos dA l dy dV dxdydz Na situação a temos Na situação b temos 2 dV r dy b a 34 Centróides e Centros de Massa determinação por integração cont Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 2º Continuidade do elemento Sempre que possível escolher um elemento de primeira ordem que seja contínuo ao longo da figura a ser integrada Para o elemento escolhido ao lado há a necessidade de se dividir a integral em duas parcelas ou seja o elemento não é contínuo ao longo de toda figura Para este exemplo a escolha do elemento na figura ao lado é a mais apropriada 34 Centróides e Centros de Massa determinação por integração cont Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 3º Coordenadas do Centróide do Elemento Ao se escolher um elemento infinitesimal de 1ª ordem fazse necessário usar suas coordenadas do centróide para determinação dos momentos estáticos infinitesimais de área por exemplo Para figura ao lado os momentos estáticos infinitesimais de área são dados por x c x c y c y c c c dQ y dA Q y dA dQ x dA Q x dA x y Para o sólido ao lado temos que 2 0 2 0 2 2 h c h c r zdV z dz r xdV x dz h Lembrando que r f z 34 Centroides e Centros de Massa determinação por integração cont Coordenadas do centroide do elemento infinitesimal em destaque na figura Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Exemplo 1 Determinar as coordenadas do centroide para as figura abaixo x y h b 34 Centroides e Centros de Massa determinação por integração cont a Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Exemplo 2 Determinar as coordenadas do centroide do tronco de cone abaixo 34 Centroides e Centros de Massa determinação por integração cont Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Exemplo 3 Uma placa de aço tem 10 mm de espessura e densidade de 7850 kgm3 Calcule as reações nos apoios Assuma g981 ms2 44 Centroides e Centros de Massa determinação por integração cont Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Exemplo 4 A barra curva é fixada através de um pino em A e apoiada na superfície lisa em B Sua densidade linear é dada por 15 kgm Para R85 m determine as reações de apoio em A e B Assuma g981 ms2 44 Centroides e Centros de Massa determinação por integração cont
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Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 3 FORÇAS DISTRIBUÍDAS 31 Considerações Iniciais Até agora no presente curso lidouse apenas com sistema de forças concentradas Porém em muitas aplicações de engenharia essa abordagem não é adequada em razão da natureza das forças eou a forma de sua aplicação na estrutura analisada Além disso diante da necessidade de se analisar os elementos estruturais em termos de efeitos internos fazse necessário abordagem mais realística possível da atuação dessas forças Exemplos Na realidade esfera tende a se deformar causando a distribuição da força resultante ao longo de uma superfície de contato Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 31 Considerações Iniciais cont As forças distribuídas podem ser modeladas de acordo com a geometria do corpo em que atuam ou seja i Distribuição linear atua ao longo de estruturas planas lineares tais como vigas e cabos Exemplos A intensidade da força distribuída linear é dada por FL Unidades Nm kgfm lbin lbft Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 31 Considerações Iniciais cont ii Distribuição bidimensional atua ao longo de superfícies da uma dada estrutura espacial ou plana Exemplos A intensidade da força distribuída ao longo de uma área é dada por FL2 Unidades Nm2 kgfm2 lbin2 lbft2 Obs As forças distribuídas em razão da ação de fluidos são denominadas de pressão enquanto que para forças internas em sólidos chamase tensões assunto a ser discutido na 3ª unidade do nosso curso Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 31 Considerações Iniciais cont iii Distribuição volumétrica atua em razão da atuação de campos de força também chamada de força de corpo Exemplos Peso próprio de um corpo A intensidade da força distribuída ao longo do volume é dada por FL3 Para o peso próprio essa intensidade é chamada de peso específico ou seja Unidades Nm3 kgfm3 lbin3 lbft3 E ainda o peso total do corpo é Para um corpo homogêneo g Massa específica Aceleração da gravidade V W dW dV Volume do corpo W V gV Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Considerese o corpo sólido no espaço sujeito ao seu peso próprio x y z r i j k vetor posição do C G do corpo Na realidade o sistema de forças no corpo é composto por infinitas forças DW paralelas aplicadas em pequenos elementos A idéia do conceito de Centro de Gravidade C G é substituir o sistema de forças infinito por outro de apenas uma força W concentrada 32 Centro de Gravidade eCentro de Massa x y z r i j k vetor posição de um ponto genérico Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Portanto temos W W W W D D F j j 32 Centro de Gravidade e Centro de Massa cont W W W W W W D D D Mo r j r j r j r j r r Eq2 Eq1 Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Para infinitos elementos com quantidades infinitesimais as Equações 1 e 2 tornamse 32 Centro de Gravidade e Centro de Massa cont W W W dW W W W dW x y z W x y z dW Wx Wy Wz xdW ydW xdW PORTANTO xdW ydW zdW x y z W W W D D r r r r i j k i j k i j k i j k Peso do corpo As coordenadas do Centro de gravidade Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 32 Centro de Gravidade e Centro de Massa cont E ainda sabendo que W m g e dW gdm Temse as expressões para o Centro de Massa do corpo xg dm x dm yg dm y dm zg dm z dm x y z m g m m g m m g m OBS O Centro de Massa é de uso mais geral na física pois não está associado ao campo gravitacional Eles são coincidentes por se admitir um campo gravitacional uniforme e paralelo ao longo do corpo o que é bastante razoável Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 33 Centroides ou Centro Geométricos As coordenadas do Centro de Massa de um corpo são dadas por Sabendo que e temse xdm y dm z dm x y z m m m Na grande parte das aplicações da engenharia é comum se ter ou seja corpo homogêneo então dV dm V m x dV y dV z dV x y z V V V cte xdV y dV z dV x y z V V V Coordenadas x y z do centroide do corpo de volume V OBS O centróide de um corpo é uma característica puramente geométrica portanto independente do campo gravitacional ou da densidade do corpo Esses três centros de gravidade geométrico e de massa são coincidentes apenas se O corpo é homogêneo e o campo gravitacional uniforme e paralelo ao longo do corpo Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 33 Centroides ou Centro Geométricos cont i Expressão do C G de figuras geométrica em formato de linha AL V Sendo dV AdL xdL y dL z dL x y z L L L Temse ii Expressão do C G para superfícies espessura t constante V At Sendo dV t dA xdA y dA z dA x y z A A A Temse Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Para uma área plana no plano xy por exemplo temse y x Q Q x y A A Onde y x Q xdA Q y dA Momentos estáticos de área em relação ao eixo y e x respectivamente 33 Centroides ou Centro Geométricos cont dA x y x y xdA y dA x y A A As coordenadas do Centróide são dadas por Chamando Temse y x Q A x x dA Q A y y dA OBS Os momentos estáticos de área não tem significado físico algum apenas levam esse nome em razão da analogia à determinação de um momento de uma força em relação a um eixo Também são chamados de Primeiros momentos de área Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr OBSERVAÇÕES IMPORTANTES 1 Sempre que a figura geométrica do corpo tiver um eixo de simetria o centróide dessa figura estará nesse eixo Ex 2 Em alguns casos o centróide de uma figura pode estar fora dela ou seja 33 Centróides ou Centro Geométricos cont cg cg cg cg Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr OBSERVAÇÕES IMPORTANTES CONT 3 Sempre que a figura for antisimétrica o centróide vai estar na origem dos eixos de antisimetria 33 Centróides ou Centro Geométricos cont cg Para todo xy existe um correspondente xy de forma que 0 0 y x Q xdA Q y dA Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr As coordenadas do centróide de uma figura geométrica são dadas por i Para sólidos ii Para Áreas iii Para Linhas Além disso o centro de massa de um corpo é dado por 34 Centróides e Centros de Massa determinação por integração xdV y dV z dV x y z V V V xdL y dL z dL x y z L L L xdA y dA z dA x y z A A A xdm y dm z dm x y z dm dm dm Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Escolha apropriada do elemento infinitesimal para integração 1º Ordem do elemento Em muitos casos é mais fácil integrar com um elemento de primeira ordem ou seja reduzir a integral tripla ou dupla para uma simples dA dxdy b Na situação a temos a Na situação b temos dA l dy dV dxdydz Na situação a temos Na situação b temos 2 dV r dy b a 34 Centróides e Centros de Massa determinação por integração cont Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 2º Continuidade do elemento Sempre que possível escolher um elemento de primeira ordem que seja contínuo ao longo da figura a ser integrada Para o elemento escolhido ao lado há a necessidade de se dividir a integral em duas parcelas ou seja o elemento não é contínuo ao longo de toda figura Para este exemplo a escolha do elemento na figura ao lado é a mais apropriada 34 Centróides e Centros de Massa determinação por integração cont Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 3º Coordenadas do Centróide do Elemento Ao se escolher um elemento infinitesimal de 1ª ordem fazse necessário usar suas coordenadas do centróide para determinação dos momentos estáticos infinitesimais de área por exemplo Para figura ao lado os momentos estáticos infinitesimais de área são dados por x c x c y c y c c c dQ y dA Q y dA dQ x dA Q x dA x y Para o sólido ao lado temos que 2 0 2 0 2 2 h c h c r zdV z dz r xdV x dz h Lembrando que r f z 34 Centroides e Centros de Massa determinação por integração cont Coordenadas do centroide do elemento infinitesimal em destaque na figura Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Exemplo 1 Determinar as coordenadas do centroide para as figura abaixo x y h b 34 Centroides e Centros de Massa determinação por integração cont a Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Exemplo 2 Determinar as coordenadas do centroide do tronco de cone abaixo 34 Centroides e Centros de Massa determinação por integração cont Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Exemplo 3 Uma placa de aço tem 10 mm de espessura e densidade de 7850 kgm3 Calcule as reações nos apoios Assuma g981 ms2 44 Centroides e Centros de Massa determinação por integração cont Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Exemplo 4 A barra curva é fixada através de um pino em A e apoiada na superfície lisa em B Sua densidade linear é dada por 15 kgm Para R85 m determine as reações de apoio em A e B Assuma g981 ms2 44 Centroides e Centros de Massa determinação por integração cont