Princípio dos Trabalhos Virtuais - Aula 02

6 Princípio dos Trabalhos Virtuais Prof Dr Leandro Dias Küster Análise de Estruturas Hiperestáticas Aula 02 Princípio dos Trabalhos Virtuais 𝑊𝑒𝑥𝑡 Calculado pelo produto das forças externas pelos deslocamentos virtuais impostos à estrutura 𝑊𝑖𝑛𝑡 Calculado das tensões de deformações que ocorrem nos elementos ao se dar um deslocamento virtual 𝑊𝑒𝑥𝑡 𝑊𝑖𝑛𝑡 𝑊 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 7 Princípio dos Trabalhos Virtuais Prof Dr Leandro Dias Küster Análise de Estruturas Hiperestáticas Aula 02 Princípio dos Trabalhos Virtuais O ponto A simboliza a estrutura em repouso O ponto A simboliza a estrutura deformada du Deslocamento na direção x causado por uma deformação dv Deslocamento na direção y causado por uma deformação dq Giro da seção considerada causado pela deformação B dx dy dx dv du A A dq dq 8 Princípio dos Trabalhos Virtuais Prof Dr Leandro Dias Küster Análise de Estruturas Hiperestáticas Aula 02 Princípio dos Trabalhos Virtuais O trabalho interno no elemento considerado é Desprezamse as parcelas de ordem superiores resultantes de dN dV e dM Na estrutura como um todo o trabalho interno será 𝑑𝑊𝑖𝑛𝑡 𝑁𝑑𝑢 𝑉𝑑𝑣 𝑀𝑑𝜃 𝑊𝑖𝑛𝑡 න 𝐸𝑥𝑡 𝑁𝑑𝑢 න 𝐸𝑥𝑡 𝑉𝑑𝑣 න 𝐸𝑥𝑡 𝑀𝑑𝜃 9 Princípio dos Trabalhos Virtuais Prof Dr Leandro Dias Küster Análise de Estruturas Hiperestáticas Aula 02 Princípio dos Trabalhos Virtuais No processo do PTV vamos criar 2 sistemas 1º sistema A estrutura submetida as forças externas responsáveis pelo deslocamento ou esforço que se queira determinar A B P P deslocamento real 10 Princípio dos Trabalhos Virtuais Prof Dr Leandro Dias Küster Análise de Estruturas Hiperestáticas Aula 02 Princípio dos Trabalhos Virtuais 2º sistema À estrutura aplicase uma carga virtual unitária valor 1 carga coerente com o deslocamento ou esforço que desejamos determinar Esse sistema denominase estado de deslocamento A B 1 Estado de deslocamento virtual 11 Princípio dos Trabalhos Virtuais Prof Dr Leandro Dias Küster Análise de Estruturas Hiperestáticas Aula 02 Princípio dos Trabalhos Virtuais Exemplo Determinar o giro q da estrutura abaixo 𝑊𝑖𝑛𝑡 න 𝐸𝑥𝑡 𝑁𝑑𝑢 න 𝐸𝑥𝑡 𝑁𝑑𝑣 න 𝐸𝑥𝑡 𝑀𝑑𝜃 𝑊𝑒𝑥𝑡 𝑊𝑖𝑛𝑡 A q 12 Princípio dos Trabalhos Virtuais Prof Dr Leandro Dias Küster Análise de Estruturas Hiperestáticas Aula 02 Princípio dos Trabalhos Virtuais 1º sistema Estado de carregamento real Para determinar o giro q aplicase uma carga unitária no ponto A ponto que se queira determinar o deslocamento A 13 Princípio dos Trabalhos Virtuais Prof Dr Leandro Dias Küster Análise de Estruturas Hiperestáticas Aula 02 Princípio dos Trabalhos Virtuais 2º sistema Estado de carregamento virtual Do PTV temse que A 1 𝑊𝑒𝑥𝑡 𝑊𝑖𝑛𝑡 14 Princípio dos Trabalhos Virtuais Prof Dr Leandro Dias Küster Análise de Estruturas Hiperestáticas Aula 02 Princípio dos Trabalhos Virtuais O trabalho externo é Sendo 1 Carga virtual unitária Deslocamento desejado real 1q O trabalho interno é A Força unitária gera os esforços N1 V1 e M1 O carregamento real gera os esforços NR VR e MR 𝑊𝐸𝑥𝑡 1Δ 𝑊𝑖𝑛𝑡 න 𝐸𝑥𝑡 𝑁1𝑑𝑢 න 𝐸𝑥𝑡 𝑉1𝑑𝑣 න 𝐸𝑥𝑡 𝑀1𝑑𝜃 15 Princípio dos Trabalhos Virtuais Prof Dr Leandro Dias Küster Análise de Estruturas Hiperestáticas Aula 02 Princípio dos Trabalhos Virtuais Para que se possa integrar na variável x temse Da lei de Hooke temos Então s Tensão e Deformação específica E Módulo de elasticidade 𝜀 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝜎 𝜀𝐸 𝑁𝑅 𝐴 𝜀 𝑁𝑅 𝐴 𝑑𝑢 𝜀𝑑𝑥 𝑁𝑅 𝐸𝐴 𝑑𝑥 16 Princípio dos Trabalhos Virtuais Prof Dr Leandro Dias Küster Análise de Estruturas Hiperestáticas Aula 02 Princípio dos Trabalhos Virtuais Para que se possa integrar na variável x temse dv dy dx 𝛾 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑡𝑔 𝛾 Da lei de Hooke para cisalhamento temos 𝜏 𝛾𝐺 𝜏 𝑉𝑅 𝐴 𝑐 C coeficiente para correção da distribuição não uniforme de t 𝑑𝑣 𝛾𝑑𝑥 𝜏 𝐺 𝑑𝑥 𝑐 𝑉𝑅 𝐴𝐺 𝑑𝑥 17 Princípio dos Trabalhos Virtuais Prof Dr Leandro Dias Küster Análise de Estruturas Hiperestáticas Aula 02 Princípio dos Trabalhos Virtuais Para se integrar ao longo do giro temse 𝑑2𝑣 𝑑𝑥² 𝑀𝑅 𝐸𝐼 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑀𝑅𝑑𝑥 𝐸𝐼 q q dx dv 𝑡𝑔𝜃 𝜃 𝑑𝑣 𝑑𝑥 q dv dx 18 Princípio dos Trabalhos Virtuais Prof Dr Leandro Dias Küster Análise de Estruturas Hiperestáticas Aula 02 Princípio dos Trabalhos Virtuais Do PTV temse que 𝑊𝑒𝑥𝑡 𝑊𝑖𝑛𝑡 1 Δ න 𝑁1𝑑𝑢 න 𝑉1𝑑𝑣 න 𝑀1𝑑𝜃 1 Δ න 𝑁1 𝑁𝑅𝑑𝑥 𝐸𝐴 න 𝑉1 𝑐𝑉𝑅𝑑𝑥 𝐴𝐺 න 𝑀1 𝑀𝑅𝑑𝑥 𝐸𝐼