Seções de Mínimo Perímetro Molhado e Máxima Vazão

Seções de mínimo perímetro molhado ou de máxima vazão Observandose a fórmula de Manning verificase que para a declividade de fundo e rugosidade fixadas a vazão será máxima quando o raio hidráulico adquirir o máximo valor possível o que ocorre quando o perímetro molhado for mínimo compatível com a área Desta maneira uma seção com esta propriedade de mínimo perímetro molhado é uma das que devem ser estudadas nos projetos uma vez que além de ser eficiente do ponto de vista hidráulico é também econômica devido à mínima superfície de revestimento que representa de modo geral uma das partes mais dispendiosas da obra Na prática entretanto nem sempre é possível projetar uma seção na condição de mínimo perímetro molhado pois a seção pode resultar profunda com o custo de escavação rebaixamento do lençol freático e outros superando o custo do revestimento Outras vezes a seção resultante é tal que a largura de fundo é pequena em relação à altura o que pode dificultar a construção Ainda pode acontecer de a velocidade média resultante para a vazão de projeto não ser compatível com o tipo de revestimento empregado podendo podendo provocar erosão nos taludes e fundo Para determinada área a figura que apresenta o menor perímetro molhado é o círculo porém sua construção é inexequível a não ser que seja préfabricada como as tubulações de esgotos ou de drenagem de águas pluviais Aplicando o critério de minimização do perímetro do perímetro molhado ou seja igualando a zero a derivada do perímetro molhado em relação a 𝑦 podem ser definidas as relações a seguir demonstradas Trapézio de Mínimo Perímetro Molhado Seção trapezoidal Fonte Adaptado de PORTO 2006 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 𝑍 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑎𝑙𝑢𝑑𝑒 𝑚 𝑏 𝑦 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑏 𝑚𝑦 𝐴 1 2 𝑏 𝑏 2 𝑍 𝑦B 𝑦 1 2 𝑦 2𝑏 2 𝑍 𝑦 1 2 𝑦 2 𝑏 𝑍 𝑦 𝐴 𝑦𝑏 𝑍 𝑦 𝑦 𝑚 𝑦 𝑍 𝑦 𝑚 𝑦 𝑍 𝑦 𝑚 𝑍 𝑦 𝑨 𝒎 𝒁 𝒚𝟎𝟐 𝑃 𝑏 2 I𝑦 𝑍 𝑦 𝑏 2 I𝑦 1 𝑍 𝑃 𝑏 2 𝑦 1 𝑍 𝑚𝑦 2 𝑦 1 𝑍 𝑦𝑚 2 1 𝑍 𝑷 𝒎 𝟐 I𝟏 𝒁𝟐 𝒚𝟎 𝐴 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝐴 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝒚𝟎 𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑦 𝐴2 𝑚 𝑍2 𝑃 𝑚 21 𝑍2B 𝐴2 𝑚 𝑍2 𝑃 𝑚 21 𝑍2B𝐴2 𝑚 𝑍2 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑨 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑃 𝑑𝑚 0 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑜𝑙ℎ𝑎𝑑𝑜 Recordando as regras de derivadas 𝑓𝑥 𝐶 𝑓4𝑥 0 𝑓𝑥 𝐶 𝑔𝑥 𝑓4𝑥 𝐶𝑔4𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓4𝑥 𝑛𝑔𝑥52 ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ4𝑥 𝑓4𝑥 𝑔4𝑥 ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ4𝑥 𝑓4𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔4𝑥 ℎ𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ4𝑥 𝑓4𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔4𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑃 𝑑𝑀 𝐴2 𝑑 𝑑𝑚 Z𝑚 21 𝑍2 𝑚 𝑍2 0 𝑑 𝑑𝑚 Z𝑚 21 𝑍2 𝑚 𝑍2 0 𝑑 𝑑𝑚 𝑚 21 𝑍2B 𝑚 𝑍2 𝑚 21 𝑍2 𝑑 𝑑𝑚 𝑚 𝑍2B 𝑚 𝑍2 0 𝑑 𝑑𝑚 𝑚 21 𝑍2B 𝑚 𝑍2 𝑚 21 𝑍2 𝑑 𝑑𝑚 𝑚 𝑍2B 𝑑𝑚 𝑑𝑚 2 𝑑 𝑑𝑚 1 𝑍2 1 2 𝑚 𝑍 2 52 𝑚 21 𝑍2B 1 2 𝑚 𝑍252 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑚 𝑑𝑚 1 𝑒 𝑑 𝑑𝑚 1 𝑍2 0 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 1 2 0 𝑚 𝑍2 𝑚 21 𝑍2B 1 2 𝑚 𝑍52 𝑚 𝑍2 𝑚 21 𝑍2 2𝑚 𝑍2 2𝑚 𝑍 𝑚 21 𝑍2 2𝑚 2𝑍 𝑚 21 𝑍2 𝑚 21 𝑍2 2𝑍 21 𝑍2 𝑍B 𝒎 𝟐𝟏 𝒁𝟐𝟏𝟐 𝒁B Esta é a relação que deve haver entre os dois adimensionais da seção trapezoidal para que ela tenha o mínimo perímetro molhado Retângulo de Mínimo Perímetro Molhado O retângulo é um caso particular do trapézio quando 𝛼 90 𝑐𝑜𝑡𝑔 90 0 então 𝑚 21 𝑍2 𝑍B 21 02 0B 2 Mas 𝑚 7 8 7 8 2 𝒃 𝟐𝒚𝟎 Portanto a seção retangular de máxima vazão é aquela na qual a largura é igual a duas vezes a altura de água A figura a seguir constam algumas características das seções de máxima eficiência hidráulica Seções de máxima eficiência hidráulica Fonte Adaptado de BAPTISTA LARA 2010 Exercícios 1 Dimensionar um canal retangular em concreto 𝑛 0015 com declividade de 00018 𝑚 𝑚 para funcionar em condições de máxima eficiência conduzindo 50 𝑚9 𝑠 2 Dimensionar um canal retangular em concreto 𝑛 0014 com declividade de 0003 𝑚 𝑚 para funcionar em condições de máxima eficiência conduzindo 62 𝑚9 𝑠