Aula 2: Medidas de Tendência em Estatística

Estatística e Probabilidade Análise e Desenvolvimento de Sistemas Aula 2 Resumindo dados Medidas de Tendência Prof Dr Samuel Sanches 1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA 2 Cada caso é um caso Podemos estar satisfeitos com a apresentação utilizando alguma das maneiras apresentadas na Aula 1 Porém muitas vezes precisaremos resumir ainda mais o nosso conjunto de valores As medidas de tendência central possuem informações a respeito dos dados como um todo dando um panorama geral que muitas vezes pode revelar informações surpreendentes POPULAÇÕES E AMOSTRAS 3 População todas observações possíveis do fenômeno como todos os estudantes da universidade com idades entre 25 e 35 anos Amostra conjunto que possui apenas uma parte da população como todos os estudantes da universidade com idades entre 25 e 35 anos de uma pesquisa que envolva todos os estudantes Vamos comprar 400 peças de cerâmica e escolhemos 20 para verificar sua resistência quem é amostra e quem é população Fornecimento de dezenas de milhares dessas peças se escolhermos 400 dessas peças quem é amostra e quem é população MÉDIA ARITMÉTICA 4 Comumente só média existem média geométrica e média harmônica é definida como A média de n números é sua soma dividida por n Exemplo O total de heroína apreendida por várias agências de polícia dos EUA foi de 1794 3030 2551 3514 e 2824 quilogramas de 1990 a 1994 Encontre a média combinada de heroína apreendida por essas agências no dado período de cinco anos O total é 1794 3030 2551 3514 2824 13713 quilogramas sua média então 137135 27426 quilogramas MÉDIA ARITMÉTICA 5 Exemplo No início da primeira sessão anual do congresso durante oito anos consecutivos havia 67 71 78 82 96 110 104 e 92 congressistas com pelo menos 60 anos de idade Encontre a média O total é 67 71 78 82 96 110 104 92 700 sua média então 7008 875 Planilha Aula 2 httpsdocsgooglecomspreadsheetsd1x87nOgoUdY8Bgu1kczaSLr6BfHVj9tJo4CjIWkXszwedituspsharelink MÉDIA ARITMÉTICA 6 Número de dados de uma amostra tamanho da amostra denotado por n valores da nossa amostra denotados por x1 x2 x3 xn Ou mais formal temos a média amostral Média populacional se troca n N tamanho de população MÉDIA ARITMÉTICA 8 Descrições de amostras são referidas como estatística utilizando o alfabeto latino Descrições de populações são referidas como parâmetro utilizando o alfabeto grego MÉDIA ARITMÉTICA 9 Exemplo Se as lâmpadas da amostra duram 967 949 952 940 e 922 horas de uso continuado o que podemos concluir sobre a duração média das 40000 lâmpadas do lote Aqui n 5 então a média da amostra é Supondo que os dados são uma amostra ou seja podemos generalizar é estimado que as 40000 lâmpadas tem duração média de μ 946 horas MÉDIA ARITMÉTICA 10 Exemplo Se o salário anual médio pago a três jogadores de basquete na temporada 20012002 foi de 3650000 dólares pode a algum deles ter recebido 6000000 dólares b dois deles terem recebido cada um 6000000 dólares O salário combinado dos três jogadores é nmédia 33650000 10950000 dólares ou seja os salários somados não podem ultrapassar este valor a Se 1 recebeu 6000000 então 10950000 6000000 4950000 para os outros dois então é possível b Se 2 receberem 6000000 somados temos 12000000 que ultrapassa o que foi pago aos três então não é possível MÉDIA ARITMÉTICA 11 Exemplo Se seis alunos fizeram uma média de 57 pontos em um teste quantos deles no máximo podem ter obtido 72 ou mais Aqui n 6 e média 57 então 657 342 que pode ser fatorado como 342 472 54 assim no máximo quatro podem ter obtido 72 ou mais MÉDIA ARITMÉTICA 12 Centro do conjunto de dados Pode ser calculada para qualquer conjunto de dados numéricos sempre existe Conjunto de dados tem somente uma média ela é única Média de vários conjuntos de dados podem ser combinados em uma média global de todos os dados média das médias Confiável médias de amostras repetidas extraídas da mesma população geralmente não flutuam como outras medidas estatísticas usadas para estimar a média de uma população Utiliza todos os elementos do conjunto de dados salvo os outliers MÉDIA ARITMÉTICA 13 Exemplo Um laboratório fez a calorimetria de fatias de pizzas de calabresa grande Obtendo os valores 265 332 340 225 238 e 346 a Calcule a média b Suponha que ao calcular a média foi cometido um erro digitando 832 em vez de 238 Qual será o tamanho do erro cometido a b MÉDIA ARITMÉTICA 14 Exemplo Nove alunos que foram a uma excursão têm idades 18 16 16 17 18 15 17 17 e 17 anos e o professor 49 Qual a idade média das dez pessoas que foram na excursão Note que nenhum aluno tem 20 anos esse valor um pouco estranho é devido ao número 49 que para esse conjunto de dados é um dado estranho que pode prejudicar nossas interpretações por isso temos outras medidas que juntas nos ajudam a evitar interpretações erradas MÉDIA PONDERADA 15 Quando os dados não possuem a mesma importância ou significância a média aritmética pode estar informando um resultado inútil Alguns casos nossos dados possuem um peso de importância relativa e então calcular a média ponderada dos valores chamada de xw dos dados x1 x2 com importância w1 w2 MÉDIA PONDERADA 16 Exemplo Calcular a média combinada dos rebates de jogadores de beisebol um deles possui média 0357 357 outro 0351 outro 0350 outro 0348 e por último 0341 O número de vezes que cada um rebateu foi 350 388 400 368 e 413 GRANDE MÉDIA DE DADOS COMBINADOS 17 Determinados casos se pode calcular a média global ou grande média de k conjuntos de dados onde cada possui média x1 x2 com n1 n2 medidas ou observações n que é o peso é o tamanho da amostra aqui o numerador é o total de todas as medidas e o denominador é o número total de itens nas amostras combinadas GRANDE MÉDIA DE DADOS COMBINADOS 18 Exemplo Em uma turma da universidade há 14 calouros 25 alunos de segundo e 16 alunos de terceiro ano Dado que num exame os calouros obtiveram a média 76 os alunos do segundo ano a média 83 e os alunos do terceiro ano a média 89 qual é a grande média para toda a classe Aqui a quantidade de alunos é o tamanho da amostra Arredondando para manter coerência com nossos dados a média é 83 MEDIANA 19 Uma maneira de contornar problemas que dados grandes ou pequenos podem trazer utilizamos o valor central ou meio do conjunto de dados Para isso é obrigatório a ordenação desses valores Vale lembrar ela sempre existe Não temos mediana global A mediana é o valor do elemento do meio se n for ímpar e a média dos dois valores do meio se n é par MEDIANA 20 Exemplo Uma determinada cidade registrou 14 17 20 22 e 17 arrombamentos em residências Encontre a mediana desses dados Veja que o meio é 20 n é ímpar porém os dados não estão ordenados então 14 17 17 20 e 22 assim encontramos a mediana 17 Exemplo 12 cursos foram frequentados por 37 32 28 40 35 38 40 24 30 37 32 e 40 pessoas encontre a mediana dos dados Ordenando 24 28 30 32 32 35 37 37 38 40 40 40 temos n par os valores do meio são 35 e 37 assim 35 372 36 POSIÇÃO MEDIANA 21 A posição de n dados é dada por n 12 Exemplo Encontre a posição da mediana para a n 17 e b n 41 a n 12 17 12 9 mediana é o 9º item b n 12 41 12 21 mediana é o 21º item Exemplo Encontre a posição da mediana para a n 16 e b n 50 a n 12 16 12 85 mediana é a média dos valores do 8º e 9º itens b n 12 50 12 255 mediana é a média dos valores do 25º e 26º itens MEDIANA 22 Exemplo Na aula 1 obtivemos o diagrama de folhas e ramos para ocupação de quartos em um hotel A partir dele encontre a mediana dos valores Temos n 30 posição n 12 30 12 155 entre 15º e 16º Pelo diagrama 15º 53 e 16º 54 então 53 542 535 A média que calculamos foi 544 OUTROS QUANTIS 23 A mediana é apenas um quantil ela divide os dados em duas partes iguais Quartis dividir o conjunto de dados em 4 partes Decis dividir o conjunto de dados em 10 partes Percentis dividir o conjunto de dados em 100 partes Q1 é a mediana de todos os valores inferiores à mediana de todo o conjunto de dados Q2 é a mediana Q3 é a mediana de todos os valores superiores à mediana de todo o conjunto de dados OUTROS QUANTIS 24 Exemplo Verifique que há tantos valores inferiores a Q1 e a mediana entre a mediana e Q3 e superiores a Q3 para a n 12 b n 13 c n 14 d n 15 GRÁFICO DE CAIXA 25 As informações que temos com a mediana Q1 Q3 maior e menor valor pode ser utilizada para fazer o gráfico de caixa box plot ou candlestick GRÁFICO DE CAIXA 26 Exemplo Na aula 1 obtivemos o diagrama de folhas e ramos para ocupação de quartos em um hotel Onde a mediana foi 535 a Encontre o menor e o maior b Encontre Q1 e Q3 c Esboce o gráfico de caixa a Pelo diagrama Menor 35 Maior 81 b n 30 posição mediana 155 para os 15 valores inferiores a 535 temos 15 12 8 Então Q1 é 8º valor 46 Q3 é o 8º valor a partir da outra extremidade 62 GRÁFICO DE CAIXA 27 c Menor 35 Maior 81 Mediana 535 Q1 46 Q3 62 Planilha Aula 2 httpsdocsgooglecomspreadsheetsd1x87nOgoUdY8Bgu1kczaSLr6BfHVj9tJo4CjIWkXszwedituspsharelink MODA 28 Esta é outra medida para nos informar sobre o centro ou meio dos dados definida como o valor que ocorre com maior frequência e mais de uma vez caso dois ou mais dados tenham a mesma frequência todos são moda Exemplo As 21 reuniões de um clube foram frequentadas por 22 24 23 24 27 25 24 20 24 26 28 26 23 21 24 25 23 28 24 26 e 25 Encontre a moda Os dados 20 21 22 e 27 ocorrem só 1 vez 28 ocorre 2 vezes 23 25 e 26 ocorrem 3 vezes e 24 ocorre 5 vezes então a 24 é a frequência modal ou moda dos dados DADOS AGRUPADOS 29 Muitas vezes teremos somente as frequências dos dados como vimos na aula anterior Sendo f a frequência dos n dados a Média de Dados Agrupados é DADOS AGRUPADOS 30 Exemplo Na aula passada foi montado o agrupamento ao lado encontre a média dos valores Então O erro devido ao agrupamento em classes pode ser verificado obtendo a média a partir dos dados originais que é 7827 assim o erro de agrupamento nesse caso é 7859 7827 027 pequeno DADOS AGRUPADOS 31 A mediana pode ser obtida a partir de um histograma sendo que a área total dos retângulos à sua esquerda é igual à área total dos retângulos à sua direita Podemos escrever L é a fronteira inferior da classe onde a mediana cairá f a frequência c o seu intervalo de classe e j o número de itens que ainda faltam para atingir L assim a Mediana de Dados Agrupados é O mesmo princípio vale para os outros quartis decis e percentis DADOS AGRUPADOS 32 Exemplo Na aula passada foi montado o agrupamento ao lado encontre a mediana dos valores Total 110 então 1102 55 contar 55 dos itens de alguma das extremidades vamos fazer com os menores então 2 2 4 19 24 51 caem nas primeiras 5 classes assim 55 51 4 i valores a mais dentre os que estão na sexta classe Então os 39 f valores restantes que estão distribuídos igualmente somamos 439 do intervalo da classe que é 10 c a sua fronteira inferior 6º classe que é 795 L DADOS AGRUPADOS 33 Exemplo Ainda com os dados encontre Q1 Q3 D2 e P5 Total 110 então 1104 275 então 2 2 4 19 27 nas 4 primeiras classes sobra 275 27 05 dos 24 valores da 5º classe então Total 110 então 1104 275 então maior para menor 2 3 15 20 nas 3 últimas classes sobra 275 20 75 dos 39 valores da 6º classe então DADOS AGRUPADOS 34 Exemplo Ainda com os dados encontre Q1 Q3 D2 e P5 Total 110 então 110210 22 então 2 2 4 8 nas 3 primeiras classes sobra 22 8 14 dos 19 valores da 4º classe então Total 110 então 1105100 22 então 2 3 15 20 nas 3 últimas classes sobra 22 20 2 dos 39 valores da 6º classe então EXERCÍCIOS 35 Lista 1 de Exercícios Parte 1 httpsdrivegooglecomfiled13uquLgC8gQLySR0kgeiSnrOmuiDGOzPxviewuspsharelink